Examkin

Geometri

436 soru

Soru 141Soru →

Yarıçapı 1212 birim olan OO merkezli bir daireden, merkez açısının ölçüsü 60∘60^{\circ} olan bir daire dilimi kesilip çıkarılıyor. Elde edilen bu daire diliminin içine; dilimin her iki yarıçapına ve yayına teğet olacak şekilde MM merkezli en büyük çember yerleştiriliyor. Buna göre, MM merkezli çemberin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16π16\pi

Cevap

16π16\pi birimkare
Çemberin merkezi ile dilimin merkezi birleştirildiğinde oluşan 30−60−9030-60-90 üçgeninden çemberin yarıçapı (rr), dilimin yarıçapının (RR) üçte biri (r=R/3r = R/3) olarak bulunur. R=12R=12 ise r=4r=4 olur ve alan 16π16\pi hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Şekli zihinde canlandırarak merkezleri birleştiren doğruyu çiz.
OO noktası (dilim merkezi), MM noktası (çember merkezi) ve TT noktası (yay üzerindeki teğet noktası) doğrusaldır.
Teğet çemberlerin merkezleri ve teğet noktaları aynı doğru üzerindedir.
2
MM merkezinden teğet noktasına dik indirerek oluşan dik üçgeni incele.
OMOM doğrusu açıortaydır, dolayısıyla 60∘60^{\circ}'lik açıyı 30∘−30∘30^{\circ}-30^{\circ} böler. Oluşan dik üçgende hipotenüs ∣OM∣=2r|OM| = 2r olur (sin⁡(30∘)=r∣OM∣\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{|OM|} olduğu için).
30−60−9030-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30∘30^{\circ}'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.
3
Büyük dairenin yarıçapı (RR) ile küçük çemberin yarıçapı (rr) arasındaki bağıntıyı kur.
R=∣OM∣+r=2r+r=3rR = |OM| + r = 2r + r = 3r. Soruda R=12R=12 verildiğinden, 12=3r12 = 3r ise r=4r = 4 birim bulunur.
Dilimin yarıçapı, merkezden yaya kadar olan toplam mesafedir.
4
Çemberin alanını hesapla.
Alan =πr2=π(42)=16π= \pi r^2 = \pi (4^2) = 16\pi birimkare.
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Bir açıya ve bir yaya teğet olan çember problemlerinde, merkezleri birleştiren doğrunun açıortay olduğu ve oluşan dik üçgen özelliklerinin kullanılması gerekir.

İpuçları

1
Dilimin merkezi OO ile çemberin merkezi MM'yi birleştiren bir doğru çizmeyi dene. Bu doğru açıortaydır.
2
Oluşan dik üçgende 30∘30^{\circ}'nin karşısındaki kenar rr ise, hipotenüs (OMOM uzunluğu) kaç rr olur?
3
Dilimin yarıçapı R=12R=12, aynı zamanda ∣OM∣+r|OM| + r toplamına eşittir. ∣OM∣=2r|OM|=2r olduğuna göre 3r=123r=12 eşitliğini kullanabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 90∘90^{\circ}'lik çeyrek daire dilimi için çözerek RR ve rr arasındaki ilişkinin nasıl değiştiğini (R=r(1+2)R = r(1+\sqrt{2})) inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Benzerlik oranı kullanarak da çözülebilir ancak dik üçgen yöntemi en pratik olanıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 142Soru →

OO merkezli ve yarıçapı 66 cm olan bir çembere, çemberin dışındaki bir PP noktasından [PA][PA] ve [PB][PB] teğetleri çiziliyor. ∣PA∣=63|PA| = 6\sqrt{3} cm olduğuna göre; [PA][PA], [PB][PB] doğru parçaları ve çemberin ABAB küçük yayı arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2’dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 363−12π36\sqrt{3} - 12\pi

Cevap

363−12π36\sqrt{3} - 12\pi
Çember dışındaki bir noktadan çizilen teğetler yarıçapa diktir. OAPOAP dik üçgeninde 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ bağıntısı kullanılarak merkez açının 120∘120^\circ olduğu bulunur. Dörtgenin alanından (36336\sqrt{3}) bu merkez açıya sahip daire diliminin alanı (12π12\pi) çıkarıldığında istenen bölge elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet özelliklerini belirleme
OA⊥APOA \perp AP ve OB⊥BPOB \perp BP
Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçaplar teğet doğrusuna diktir.
2
OAPOAP dik üçgeninde açıları bulma
tan⁡(∠APO)=663=13⇒∠APO=30∘,∠AOP=60∘\tan(\angle APO) = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \angle APO = 30^\circ, \angle AOP = 60^\circ
Dik üçgende karşı kenarın komşu kenara oranı tanjant değerini verir.
3
Dörtgenin merkez açısını ve toplam alanını hesaplama
∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ, Alan(OAPB)=2×(12×6×63)=363\text{Alan}(OAPB) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3}) = 36\sqrt{3} cm2\text{cm}^2
Simetri nedeniyle OAPBOAPB dörtgeni iki eş dik üçgenden oluşur.
4
Daire diliminin alanını hesaplama
Alan(Dilim)=π×62×120360=12π\text{Alan(Dilim)} = \pi \times 6^2 \times \frac{120}{360} = 12\pi cm2\text{cm}^2
120∘120^\circ’lik merkez açıya sahip daire diliminin alanı πr2α360\pi r^2 \frac{\alpha}{360} formülüyle bulunur.
5
Taralı alanı bulma
363−12π36\sqrt{3} - 12\pi
Sınırlı bölgenin alanı, dıştaki dörtgenin alanından içteki daire diliminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Teğet-yarıçap dikliği ve daire dilimi alanı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 143Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde; D∈[AB]D \in [AB], E∈[AC]E \in [AC] ve F∈[BC]F \in [BC] noktaları belirlenmiştir. BDEFBDEF dörtgeni bir paralelkenardır.

ADEADE üçgeninin alanı 8 cm² ve EFCEFC üçgeninin alanı 18 cm² olduğuna göre, BDEFBDEF paralelkenarının alanı kaç cm² dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

BDEF paralelkenarının alanı 24 cm² dir.
Verilen yapıda ADEADE ve EFCEFC üçgenleri büyük ABCABC üçgenine benzerdir. Benzerlik oranları tabanlar üzerindeki paylarına göre belirlenir. BDEFBDEF paralelkenar olduğundan, ∣DE∣+∣FC∣=∣BC∣|DE| + |FC| = |BC| eşitliği sağlanır. Bu durum, Stoplam=S1+S2\sqrt{S_{toplam}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} bağıntısını doğurur. 8+18=22+32=52\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} olduğundan, toplam alan 50 cm²'dir. Paralelkenarın alanı ise 50−(8+18)=2450 - (8+18) = 24 cm² olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paralelliklerden dolayı oluşan benzer üçgenleri belirle.
DE∥BCDE \parallel BC olduğu için △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC ve EF∥ABEF \parallel AB olduğu için △EFC∼△ABC\triangle EFC \sim \triangle ABC benzerlikleri vardır.
Paralel doğrular yöndeş açılar oluşturur, bu da Açı-Açı benzerliğini sağlar.
2
Benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişkiyi kullan.
Benzerlik oranı (kk), alanlar oranının kareköküne eşittir. ∣DE∣∣BC∣=Alan(ADE)Alan(ABC)\frac{|DE|}{|BC|} = \sqrt{\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)}} ve ∣FC∣∣BC∣=Alan(EFC)Alan(ABC)\frac{|FC|}{|BC|} = \sqrt{\frac{Alan(EFC)}{Alan(ABC)}}.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesidir (k2k^2).
3
Taban uzunlukları arasındaki ilişkiyi kur.
BDEFBDEF bir paralelkenar olduğundan ∣DE∣=∣BF∣|DE| = |BF|'dir. Dolayısıyla ∣BC∣=∣BF∣+∣FC∣=∣DE∣+∣FC∣|BC| = |BF| + |FC| = |DE| + |FC| olur.
Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.
4
Alan formülünü uygula ve toplam alanı bul.
Alan(ABC)=Alan(ADE)+Alan(EFC)⇒Alan(ABC)=8+18=22+32=52\sqrt{Alan(ABC)} = \sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} \Rightarrow \sqrt{Alan(ABC)} = \sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}. Buradan Alan(ABC)=(52)2=50Alan(ABC) = (5\sqrt{2})^2 = 50 cm².
Bu özel geometrik yapıda büyük üçgenin alanının karekökü, küçük üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamına eşittir.
5
Paralelkenarın alanını hesapla.
Alan(BDEF)=Alan(ABC)−[Alan(ADE)+Alan(EFC)]=50−(8+18)=50−26=24Alan(BDEF) = Alan(ABC) - [Alan(ADE) + Alan(EFC)] = 50 - (8 + 18) = 50 - 26 = 24 cm².
Toplam alandan bilinen parçaların alanlarını çıkararak bilinmeyen bölgeyi buluruz.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi

İpuçları

1
Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının paralel olduğunu ve bu paralelliğin üçgenlerde benzerlik oluşturduğunu hatırlayın.
2
ADEADE üçgeni ve EFCEFC üçgeni, büyük ABCABC üçgenine benzerdir. Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
3
Alan(ADE)+Alan(EFC)=Alan(ABC)\sqrt{Alan(ADE)} + \sqrt{Alan(EFC)} = \sqrt{Alan(ABC)} formülünü kullanarak önce tüm alanı bulun, sonra parçaları çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda, alanlar yerine benzerlik oranı verilip alanların istendiği bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Pratik Yol: Bu tip sorularda paralelkenarın alanı, verilen üçgen alanlarının çarpımının karekökünün 2 katına eşittir: Alan=2⋅S1⋅S2Alan = 2 \cdot \sqrt{S_1 \cdot S_2}. Burada 2⋅8⋅18=2⋅144=2⋅12=242 \cdot \sqrt{8 \cdot 18} = 2 \cdot \sqrt{144} = 2 \cdot 12 = 24.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 144Soru →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları ∣AB∣=(x+5)|AB| = (x + 5) cm, ∣AC∣=(2x+1)|AC| = (2x + 1) cm ve ∣BC∣=14|BC| = 14 cm olarak verilmiştir.

Bu üçgenin iç açılarının ölçüleri arasında m(A^)>m(B^)>m(C^)m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) sıralaması olduğuna göre, xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Değişkenin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 11'dir.
Doğru cevap olan 11 değeri, verilen açı sıralamasına göre 14>2x+114 > 2x + 1 ve 2x+1>x+52x + 1 > x + 5 eşitsizliklerinin çözümünden gelen 4<x<6,54 < x < 6,5 aralığındaki 5 ve 6 tam sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Açı-kenar bağıntısını uygulayarak ilk eşitsizliği kurun.
m(A^)>m(B^)⇒∣BC∣>∣AC∣⇒14>2x+1m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) \Rightarrow |BC| > |AC| \Rightarrow 14 > 2x + 1
Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.
2
Elde edilen ilk eşitsizliği xx için çözün.
13>2x⇒x<6,513 > 2x \Rightarrow x < 6,5
Değişkenin üst sınırını belirlemek için denklem çözümü yapılır.
3
Açı-kenar bağıntısını uygulayarak ikinci eşitsizliği kurun.
m(B^)>m(C^)⇒∣AC∣>∣AB∣⇒2x+1>x+5m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) \Rightarrow |AC| > |AB| \Rightarrow 2x + 1 > x + 5
Açıların sıralaması kenarların uzunluk sıralamasını doğrudan belirler.
4
İkinci eşitsizliği xx için çözün.
x>4x > 4
Değişkenin alt sınırını belirlemek için terimler düzenlenir.
5
Üçgen eşitsizliğini kontrol edin.
(2x+1)+(x+5)>14⇒3x+6>14⇒3x>8⇒x>2,66...(2x + 1) + (x + 5) > 14 \Rightarrow 3x + 6 > 14 \Rightarrow 3x > 8 \Rightarrow x > 2,66...
Herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
6
Tüm koşulları birleştirerek tam sayı değerlerini bulun.
4<x<6,54 < x < 6,5 aralığından x∈{5,6}x \in \{5, 6\} ve toplam 5+6=115 + 6 = 11
Açı sıralaması ve üçgen olma kuralı aynı anda sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir üçgende açıların ölçüleri arasındaki sıralama, bu açıların karşısındaki kenarların uzunluk sıralaması ile aynıdır.
Soru 145Soru →

Bir ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliği veriliyor. [AC][AC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınıyor. ∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| ve m(ABD^)=33∘m(\widehat{ABD}) = 33^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

İstenen açının ölçüsü 38 derecedir.
Verilen iki farklı ikizkenarlık durumu kullanılarak açılar arasında bir denklem kurulmalıdır. ∣AC∣=∣AB∣|AC|=|AB| şartından büyük üçgenin taban açılarına xx denir. ∣BD∣=∣BC∣|BD|=|BC| şartından küçük üçgenin taban açıları da xx olur. Açı toplamları ve parça-bütün ilişkisinden x=33+(180−2x)x = 33 + (180-2x) denklemi elde edilir. Bu denklemden taban açısı 71∘71^\circ bulunur. Tepe açısı ise 180−2(71)=38∘180 - 2(71) = 38^\circ olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgen özelliklerini kullanarak açıları değişkenle ifade et
m(ACB^)=xm(\widehat{ACB}) = x olsun. ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olduğundan m(ABC^)=xm(\widehat{ABC}) = x olur.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
2
İçteki ikizkenar üçgeni (BDCBDC) analiz et
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| olduğundan △BDC\triangle BDC ikizkenardır ve taban açıları eşittir: m(BDC^)=m(BCD^)=xm(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) = x.
Soruda verilen ikinci ikizkenarlık şartı kullanılır.
3
Üçgenin iç açıları toplamını kullanarak denklem kur
△BDC\triangle BDC üçgeninde tepe açısı: m(DBC^)=180∘−2xm(\widehat{DBC}) = 180^\circ - 2x. Ayrıca, m(ABC^)=m(ABD^)+m(DBC^)m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBC}) eşitliğini yazarız: x=33∘+(180∘−2x)x = 33^\circ + (180^\circ - 2x).
Açılar arasındaki parça-bütün ilişkisi ve üçgen iç açı toplamı prensibi.
4
Denklemi çöz ve istenen açıyı bul
3x=213∘⇒x=71∘3x = 213^\circ \Rightarrow x = 71^\circ. İstenen m(A^)=180∘−2x=180∘−142∘=38∘m(\widehat{A}) = 180^\circ - 2x = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ.
Büyük üçgenin tepe açısını bulmak için taban açıları toplamını 180'den çıkarırız.

Anahtar Kavram

İkizkenar Üçgen ve Açı Hesabı

İpuçları

1
Büyük üçgenin (ABCABC) taban açılarına xx diyerek başlayın.
2
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| olduğu için BDCBDC üçgeni de ikizkenardır ve taban açıları xx olur.
3
BB köşesindeki açının tamamı xx'tir. Bu açıyı 33∘33^\circ ve BDCBDC üçgeninin tepe açısı cinsinden yazarak bir eşitlik kurun.

Alternatif Yöntem

Dış açı özelliği kullanılarak: DD noktasındaki dış açı ADB^\widehat{ADB} olsun. Ancak bu soruda iç açılar toplamı yöntemi daha doğrudandır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 146Soru →

Bir ABCDABCD dışbükey dörtgeninde [AB]⊥[AD][AB] \perp [AD] ve ∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD| eşitlikleri verilmiştir. Dörtgenin diğer kenar uzunlukları ∣BC∣=8|BC| = 8 cm, ∣DC∣=6|DC| = 6 cm ve açısı m(BCD^)=60∘m(\widehat{BCD}) = 60^\circ olduğuna göre, ABCDABCD dörtgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13+12313 + 12\sqrt{3}

Cevap

Dörtgenin alanı 13+12313 + 12\sqrt{3} cm2\text{cm}^2 dir.
Şekil BDBD köşegeni ile ikiye bölündüğünde; üstte oluşan ABDABD ikizkenar dik üçgeninin alanı hipotenüs karesinin 4'e bölümü (veya dik kenar karesinin yarısı) ile 13 bulunur. Altta kalan BCDBCD üçgeninin alanı ise sinüs teoremiyle 12312\sqrt{3} bulunur. Toplam alan bu iki değerin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
BB ve DD köşelerini birleştirerek dörtgeni iki üçgene (ABDABD ve BCDBCD) ayırın.
ABDABD ikizkenar dik üçgen, BCDBCD ise çeşitkenar üçgen olur.
Dörtgenin alanını bulmak için bilinen formülleri uygulayabileceğimiz parçalara ayırmamız gerekir.
2
BCDBCD üçgeninde DD noktasından [BC][BC] kenarına dikme indirin (veya Kosinüs Teoremi uygulayın) ve ∣BD∣|BD| uzunluğunu bulun.
∣BD∣2=62+82−2⋅6⋅8⋅cos⁡(60∘)=36+64−48=52|BD|^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 64 - 48 = 52.
ABDABD üçgeninin alanını bulmak için hipotenüsü olan ∣BD∣|BD| uzunluğuna ihtiyacımız vardır.
3
ABDABD ikizkenar dik üçgeninin alanını hesaplayın.
∣AB∣=∣AD∣=a|AB| = |AD| = a dersek, a2+a2=∣BD∣2=52⇒2a2=52⇒a2=26a^2 + a^2 = |BD|^2 = 52 \Rightarrow 2a^2 = 52 \Rightarrow a^2 = 26. Alan(ABDABD) = a2/2=26/2=13a^2/2 = 26/2 = 13 cm2\text{cm}^2.
Dik kenarları eşit olan dik üçgenin alanı, dik kenarlar çarpımının yarısıdır.
4
BCDBCD üçgeninin alanını Sinüs Alan Formülü ile hesaplayın.
Alan(BCDBCD) = 12⋅6⋅8⋅sin⁡(60∘)=24⋅32=123\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
İki kenarı ve arasındaki açısı bilinen üçgenin alanı en kolay bu yöntemle bulunur.
5
İki üçgenin alanını toplayarak toplam alanı bulun.
Alan(ABCDABCD) = 13+12313 + 12\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Dörtgenin toplam alanı, parçalarının alanları toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Genel dörtgenlerde alan hesabı için şeklin köşegen yardımıyla bilinen üçgenlere (ikizkenar dik üçgen ve özel açılı üçgen) ayrılması.

İpuçları

1
Dörtgeni BB ve DD noktalarını birleştiren bir köşegen çizerek iki farklı üçgene ayırmayı deneyin.
2
Oluşan BCDBCD üçgeninde 60∘60^\circ açısını kullanarak ∣BD∣|BD| uzunluğunu bulmak için DD'den [BC][BC]'ye dikme indirin veya Kosinüs Teoremini kullanın.
3
∣BD∣2=52|BD|^2 = 52 bulunacaktır. ABDABD üçgeni ikizkenar dik üçgen olduğu için alanı ∣BD∣2/4|BD|^2 / 4 formülüyle kolayca bulunabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurguda ancak açının 120 veya 150 derece verildiği sorular çözerek sinüs teoremi pratiği yapın.

Alternatif Yöntem

BCDBCD üçgeninde CC köşesinden dikme indirerek 30-60-90 üçgeni oluşturup taban ve yükseklik çarpımıyla da alan hesaplanabilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 147Soru →

Bir dışbükey çokgenin üç iç açısının ölçüleri 105∘105^{\circ}, 120∘120^{\circ} ve 135∘135^{\circ}'dir. Bu çokgenin diğer iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 168∘168^{\circ} olduğuna göre, çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 18'dir.
Çokgenin dış açıları toplamının 360∘360^{\circ} olması kuralından hareket edildiğinde; verilen açılara ait dış açılar 75∘,60∘,45∘75^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ} bulunur. Bunların toplamı 180∘180^{\circ}'dir. Geriye kalan 360∘−180∘=180∘360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}'lik dış açı toplamı, her biri 12∘12^{\circ} olan (180∘−168∘180^{\circ}-168^{\circ}) diğer köşelere aittir. 180/12=15180/12 = 15 adet diğer köşe vardır. Başlangıçtaki 3 köşe ile birlikte toplam 15+3=1815+3=18 kenarlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgen sorularında kenar sayısını bulmak için dış açılar toplamından gitmek en pratik yöntemdir. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı daima 360∘360^{\circ}'dir.
Dış Açılar Toplamı = 360∘360^{\circ}
İç açılar toplamı kenar sayısına (n)(n) bağlıyken, dış açılar toplamı sabittir.
2
Verilen iç açılara karşılık gelen dış açıları hesaplayalım (180∘−I˙c¸ Ac¸ı180^{\circ} - \text{İç Açı}).
1. Dış Açı: 180∘−105∘=75∘180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}
2. Dış Açı: 180∘−120∘=60∘180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}
3. Dış Açı: 180∘−135∘=45∘180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}
Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘180^{\circ}'dir.
3
Diğer eşit iç açıların (168∘168^{\circ}) her birine karşılık gelen dış açıyı bulalım.
Diğer Dış Açılar: 180∘−168∘=12∘180^{\circ} - 168^{\circ} = 12^{\circ}
Kalan tüm köşelerdeki dış açılar birbirine eşittir.
4
Dış açılar toplamı denklemini kuralım. Bilinen üç dış açının toplamı ile kalan kk adet dış açının toplamı 360∘360^{\circ} olmalıdır.
75∘+60∘+45∘+12∘⋅k=360∘75^{\circ} + 60^{\circ} + 45^{\circ} + 12^{\circ} \cdot k = 360^{\circ}
180∘+12∘⋅k=360∘180^{\circ} + 12^{\circ} \cdot k = 360^{\circ}
Tüm dış açıların toplamı 360∘360^{\circ}'ye eşitlenir.
5
Denklemden kk (eşit açıların sayısı) değerini bulup toplam kenar sayısına ulaşalım.
12∘⋅k=180∘⇒k=1512^{\circ} \cdot k = 180^{\circ} \Rightarrow k = 15
Toplam Kenar Sayısı = 3+15=183 + 15 = 18
Başlangıçtaki 3 köşe ile sonradan bulunan 15 köşe toplanır.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde dış açılar toplamı sabit olup 360∘360^{\circ}'dir. Kenar sayısı hesaplamalarında iç açılar yerine dış açıları kullanmak işlem kolaylığı sağlar.

İpuçları

1
Kenar sayısı sorularında iç açılar toplamı formülü (n−2)180(n-2)180 yerine, dış açılar toplamı (360∘360^{\circ}) üzerinden gitmek daha kolaydır.
2
Her bir iç açıyı 180∘180^{\circ}'ye tamamlayan dış açıları bulunuz. Verilenler için: 75∘,60∘,45∘75^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ}.
3
Bilinen dış açıların toplamı 180∘180^{\circ} eder. Kalan 180∘180^{\circ}'lik dış açı toplamını, eşit olan dış açılara (12∘12^{\circ}) bölerek kaç tane daha kenar olduğunu bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Bir iç açısı ve bir dış açısı arasında kat ilişkisi verilen düzgün çokgen sorularını inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

İç açılar toplamı formülüyle çözüm: 105+120+135+(n−3)⋅168=(n−2)⋅180105 + 120 + 135 + (n-3) \cdot 168 = (n-2) \cdot 180. Bu denklem çözüldüğünde de n=18n=18 sonucu bulunur ancak işlem yükü daha fazladır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 148Soru →

Alanı 48 cm248 \text{ cm}^2 olan bir daire verilmiştir. π=3\pi = 3 olduğuna göre, bu dairenin çevresi kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Dairenin çevresi 24 cm'dir.
Verilen alan bilgisi kullanılarak 3⋅r2=483 \cdot r^2 = 48 eşitliğinden yarıçap r=4 cmr = 4 \text{ cm} olarak hesaplanır. Bu yarıçap değeri çevre formülünde yerine yazıldığında (2⋅3⋅42 \cdot 3 \cdot 4) sonuç 24 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dairenin alan formülünü (A=πr2A = \pi r^2) kullanarak yarıçapı (rr) bulunuz.
48=3⋅r2⇒r2=16⇒r=4 cm48 = 3 \cdot r^2 \Rightarrow r^2 = 16 \Rightarrow r = 4 \text{ cm}
Çevreyi hesaplayabilmek için öncelikle dairenin temel ölçüsü olan yarıçapı belirlemek gerekir.
2
Bulunan yarıçap değerini çevre formülünde (C\c=2πrÇ = 2\pi r) yerine koyunuz.
C\c=2⋅3⋅4=24 cmÇ = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \text{ cm}
Yarıçapı bilinen bir dairenin çevresi, yarıçapın 2π2\pi katına eşittir.

Anahtar Kavram

Dairede alan ve çevre formülleri arasındaki geçiş

İpuçları

1
Dairenin alanı π⋅r2\pi \cdot r^2 ve çevresi 2⋅π⋅r2 \cdot \pi \cdot r formülleri ile hesaplanır. Burada rr yarıçapı temsil eder.
2
Önce 3⋅r2=483 \cdot r^2 = 48 denklemini çözerek yarıçapı (rr) bulunuz.
3
Yarıçapı 4 cm olarak bulduktan sonra, çevre formülünde π\pi yerine 3 ve rr yerine 4 yazarak işlemi tamamlayınız.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı 5 cm olan bir dairenin çevresi ile alanı arasındaki sayısal farkın ne kadar olduğunu hesaplamayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 149Soru →

Analitik düzlemde köşe noktaları O(0,0)O(0,0), A(3,0)A(3,0) ve B(3,3)B(3,3) olan üçgensel bölgenin, x=5x=5 doğrusu etrafında 360∘360^\circ döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç π\pi birimküptür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Dönel cismin hacmi 27π birimküptür.
Verilen noktalar O(0,0)O(0,0), A(3,0)A(3,0) ve B(3,3)B(3,3) bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin alanı A=3⋅32=4,5A = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4,5 birimkaredir. Pappus-Guldin Teoremi'ne göre, bir düzlemsel bölgenin bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi, bölgenin alanı ile bölgenin ağırlık merkezinin dönme sırasında aldığı yolun çarpımına eşittir (V=Alan⋅2πrV = \text{Alan} \cdot 2\pi r). Üçgenin ağırlık merkezinin apsisi xG=0+3+33=2x_G = \frac{0+3+3}{3} = 2'dir. Dönme ekseni x=5x=5 olduğu için, ağırlık merkezinin eksene uzaklığı r=5−2=3r = 5 - 2 = 3 birimdir. Buradan hacim V=4,5⋅2π⋅3=27πV = 4,5 \cdot 2\pi \cdot 3 = 27\pi bulunur. Alternatif olarak, büyük bir silindir boşluğundan (iç yarıçapı 2, dış yarıçapı 5 olan) ilgili diğer parçalar çıkarılarak da bulunabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönel cismin hacmini bulmak için Pappus-Guldin Teoremi'ni veya 'Hacimlerin Farkı' yöntemini belirle.
Yöntem: Hacim = (Oluşan Büyük Silindir Boşluğu) - (Tamamlayıcı Parçanın Hacmi) veya Pappus Teoremi: V = Alan . 2πr
Şekil karmaşık bir dönel cisimdir, doğrudan formülü yoktur; bu yüzden parça parça düşünmek veya genel teorem kullanmak gerekir.
2
Üçgensel bölgenin alanını ve ağırlık merkezinin koordinatlarını hesapla.
Alan = (3 . 3) / 2 = 4,5 br². Ağırlık merkezi G'nin apsisi: (0+3+3)/3 = 2.
Pappus teoremini uygulamak için bölgenin alanı ve kütle merkezinin dönme eksenine uzaklığı gereklidir.
3
Ağırlık merkezinin dönme ekseni olan x=5 doğrusuna uzaklığını (r) bul.
r = |5 - 2| = 3 birim.
Cismin hacmi, ağırlık merkezinin çizdiği çemberin çevresi ile alanın çarpımına eşittir.
4
Hacim formülünü uygula (V = Alan . 2πr).
V = 4,5 . 2π . 3 = 9π . 3 = 27π.
Sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Dönel Cisimlerin Hacmi (Pappus-Guldin Teoremi veya Silindirden Çıkarma Yöntemi)

İpuçları

1
Cismin hacmini bulmak için Pappus-Guldin teoremini hatırlayın: Hacim = Alan × (Ağırlık Merkezinin Aldığı Yol).
2
Üçgenin ağırlık merkezinin x koordinatını bulmak için köşe noktalarının apsislerinin aritmetik ortalamasını alın (xG=x1+x2+x33x_G = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}).
3
Ağırlık merkezinin apsisi 2'dir. Dönme ekseni x=5 olduğuna göre, dönme yarıçapı r=3 olur. Alan ise 4,5 birimkaredir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, üçgenin y ekseni etrafında döndürülmesi durumu için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Büyük silindir bloğundan çıkarma yöntemi: 3x3'lük karenin x=5 etrafında dönmesiyle oluşan içi boş silindirden (dış yarıçap 5, iç yarıçap 2), üstteki 'boş' üçgenin oluşturduğu hacmi çıkarabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 150Soru →

Boyutları 44 cm, 66 cm ve 1010 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240240

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının hacmi 240240 cm3\text{cm}^3 tür.
240240 sonucu, dikdörtgenler prizmasının üç farklı ayrıt uzunluğunun (44 cm, 66 cm ve 1010 cm) çarpılmasıyla elde edilen hacim değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenler prizmasının hacim formülünü belirle.
V=a×b×cV = a \times b \times c
Bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına (yani üç farklı ayrıtının çarpımına) eşittir.
2
Verilen boyutları (a=4a = 4 cm, b=6b = 6 cm, c=10c = 10 cm) formülde yerine koy.
V=4×6×10V = 4 \times 6 \times 10
Soruda verilen ayrıt uzunlukları matematiksel işleme dökülür.
3
Çarpma işlemini gerçekleştir.
240240 cm3\text{cm}^3
4×6=244 \times 6 = 24 ve 24×10=24024 \times 10 = 240 sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi

İpuçları

1
Bir kutunun iç hacmini bulmak için üç farklı kenar uzunluğunu kullanmalısın.
2
Dikdörtgenler prizmasının hacmi; taban ayrıtları ve yüksekliğin birbiriyle çarpılmasıyla bulunur.
3
Kutunun boyutları olan 44, 66 ve 1010 sayılarını çarparak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Bir küpün tüm ayrıtları eşit olduğunda hacminin nasıl değişeceğini düşünerek küp hacmi konusuna geçebilirsin.

Alternatif Yöntem

Önce taban alanını bulup (4×6=244 \times 6 = 24), ardından bu alanı yükseklik (1010) ile çarparak aynı sonuca ulaşabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 151Soru →

AB ⊥\perp BC olacak şekilde verilen ABC dik üçgeninde, [AD] doğru parçası BAC^\widehat{BAC} açısına ait iç açıortaydır. D∈[BC]D \in [BC] olmak üzere, ∣BD∣=6|BD| = 6 cm ve ∣DC∣=10|DC| = 10 cm olduğuna göre, boyalı ADC üçgeninin alanı kaç cm 2^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

ADC üçgeninin alanı 60 cm²'dir.
İç açıortay teoremi gereği kenarlar 3k ve 5k orantılıdır. Pisagor bağıntısından (3k, 16, 5k) üçgeninin 12-16-20 üçgeni olduğu bulunur. Yükseklik 12 cm, taban 10 cm olduğundan alan 60 cm²'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini uygula.
∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=610=35\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. Buna göre ∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k denilebilir.
Üçgende iç açıortay, karşı kenarı diğer kenarların oranına göre böler.
2
Pisagor bağıntısı ile kk değerini bul.
(3k)2+(6+10)2=(5k)2⇒9k2+162=25k2⇒256=16k2⇒k2=16⇒k=4(3k)^2 + (6+10)^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 16^2 = 25k^2 \Rightarrow 256 = 16k^2 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4.
ABC üçgeni dik üçgen olduğu için dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
3
Dik kenar uzunluğunu (∣AB∣|AB|) hesapla.
∣AB∣=3k=3×4=12|AB| = 3k = 3 \times 4 = 12 cm.
Alan hesabı için yüksekliğe ihtiyaç vardır.
4
ADC üçgeninin alanını hesapla.
Alan(ADC) = ∣DC∣×∣AB∣2=10×122=60\frac{|DC| \times |AB|}{2} = \frac{10 \times 12}{2} = 60 cm 2^2.
Geniş açılı veya parçalı üçgenlerde yükseklik üçgenin dışında olabilir; ADC üçgeninin [DC] tabanına ait yükseklik [AB] kenarıdır.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Dik Üçgende Alan

İpuçları

1
Önce A açısına ait iç açıortay teoremini kullanarak AB ve AC kenarları arasında bir oran kurun.
2
Kenarlara 3k ve 5k diyerek Pisagor bağıntısını uygulayın (Dik kenarlar: AB ve BC). BC uzunluğunun 6 + 10 = 16 olduğunu unutmayın.
3
AB kenarını bulduktan sonra, bu kenarın aslında ADC üçgeninin DC tabanına ait yüksekliği olduğunu fark edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla dış açıortay teoremi içeren alan soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm alan hesaplanıp (96), tabanlar oranına (6/10) göre paylaştırılabilir: 6S + 10S = 96 => 16S = 96 => S=6. Alan(ADC) = 10S = 60.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 152Soru →

Bir şehir planlama projesi kapsamında, ABCABC üçgeni şeklindeki bir park arazisi, taban kenarı olan BCBC yoluna paralel çizilen DEDE ve FGFG yürüyüş yolları ile üç farklı bölgeye ayrılmıştır. Arazinin ABAB kenarı üzerindeki ölçümler şu şekildedir:

∣AD∣=20 m,∣DF∣=30 m,∣FB∣=10 m|AD| = 20 \text{ m}, \quad |DF| = 30 \text{ m}, \quad |FB| = 10 \text{ m}

Ortada kalan DEGFDEGF dörtgeni şeklindeki bölgenin alanı 420 m2420 \text{ m}^2 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, parkın en alt kısmında yer alan FBCGFBCG bölgesinin alanı kaç metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 220

Cevap

FBCG bölgesinin alanı 220 metrekaredir.
Üçgenlerde benzerlik oranı kk ise alanlar oranı k2k^2'dir. Tepe noktasından (A) uzaklıklar sırasıyla 20, 50 ve 60 metredir. Bunları sadeleştirirsek oranlar 2, 5 ve 6 olur. Alanlar bu sayıların kareleriyle orantılı olacaktır: 22=42^2=4, 52=255^2=25, 62=366^2=36.

Buna göre en üstteki üçgenin alanı 4S4S, ortadaki büyük üçgenin alanı 25S25S, en büyük üçgenin alanı 36S36S olur. Aradaki parçaların alanlarını bulmak için çıkarma yaparız:
- Ortadaki parça (DEGF): 25S−4S=21S25S - 4S = 21S
- En alttaki parça (FBCG): 36S−25S=11S36S - 25S = 11S

Soruda 21S=42021S = 420 m² olarak verilmiş, buradan S=20S = 20 m² bulunur. İstenen alan 11S=11×20=22011S = 11 \times 20 = 220 m²'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik oranlarını belirle
Üçgenlerin tepe noktası A'ya göre benzerlik oranları: ADE∼AFG∼ABCADE \sim AFG \sim ABC. Oranlar kenar uzunlukları toplamına göre: k1=2020+30=25k_1 = \frac{20}{20+30} = \frac{2}{5} ve k2=2020+30+10=26=13k_2 = \frac{20}{20+30+10} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
Paralel doğrular temel benzerlik teoremi (Thales) gereği açi-açı benzerliği oluşturur.
2
Alanlar oranını hesapla (k^2)
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir. A(ADE)/A(AFG)=(2/5)2=4/25A(ADE)/A(AFG) = (2/5)^2 = 4/25. A(ADE)/A(ABC)=(1/3)2=1/9=4/36A(ADE)/A(ABC) = (1/3)^2 = 1/9 = 4/36.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
3
Bölgelerin alanlarını S cinsinden ifade et
A(ADE)=4SA(ADE) = 4S olsun. A(AFG)=25SA(AFG) = 25S olduğundan aradaki DEGFDEGF alanı 25S−4S=21S25S - 4S = 21S olur. A(ABC)=36SA(ABC) = 36S olduğundan en alttaki FBCGFBCG alanı 36S−25S=11S36S - 25S = 11S olur.
Toplam alanlardan üstteki parçalar çıkarılarak şeritlerin (yamukların) alanları bulunur.
4
Verilen değeri kullanarak S'i bul ve istenen alanı hesapla
Verilen DEGFDEGF alanı 21S=420  ⟹  S=2021S = 420 \implies S = 20. İstenen FBCGFBCG alanı 11S=11×20=22011S = 11 \times 20 = 220 metrekaredir.
Bulunan birim alan değeri hedef bölgenin katsayısı ile çarpılır.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (k^2)

İpuçları

1
Üçgenlerde tabana paralel çizilen doğrular, tepe noktasına göre benzer üçgenler oluşturur. Benzerlik oranını bulmak için kenar uzunluklarını oranlayın.
2
Benzer iki üçgenin benzerlik oranı 'k' ise, alanları oranı 'k'nın karesidir (k²). Alanları A(ADE)A(ADE), A(AFG)A(AFG) ve A(ABC)A(ABC) olarak düşünün.
3
Kenar oranları 2:5:6 şeklindedir. Alanlar bu sayıların karesiyle (4, 25, 36) orantılıdır. Parçaların alanlarını bulmak için bu kareleri birbirinden çıkararak farklarına bakın (25-4 ve 36-25).

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının hacim oranına etkisi (k^3) ile ilgili sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 153Soru →

Kenar uzunlukları 8 cm, 15 cm ve 17 cm olan üçgensel bir metal levhadan, bu levhanın içine sığabilecek en büyük alana sahip dairesel parça kesilip çıkarılacaktır. Buna göre, elde edilecek bu dairesel parçanın alanı kaç π\pi cm 2^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Verilen kenar uzunlukları (8, 15, 17) bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin içine çizilebilecek en büyük daire, iç teğet çemberidir. Üçgenin alanı A(ABC)=u⋅rA(ABC) = u \cdot r formülüyle ilişkilidir. Üçgenin alanı 6060 cm 2^2 ve yarı çevresi u=20u=20 cm olduğundan, iç teğet çemberin yarıçapı r=3r=3 cm bulunur. Dairenin alanı ise πr2=9π\pi r^2 = 9\pi cm 2^2 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin türünü belirle.
Kenarlar 8-15-17 olduğu için, 82+152=64+225=289=1728^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 sağlar. Bu bir dik üçgendir.
Pisagor teoreminin tersi gereği kenar uzunlukları bu bağıntıyı sağlayan üçgen dik üçgendir.
2
Üçgenin alanını hesapla.
Alan = 8×152=60\frac{8 \times 15}{2} = 60 cm 2^2.
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.
3
Üçgenin çevresini ve yarı çevresini (u) bul.
Çevre = 8+15+17=408 + 15 + 17 = 40 cm. Yarı çevre u=402=20u = \frac{40}{2} = 20 cm.
İç teğet çemberin yarıçapı formülü için yarı çevreye ihtiyaç vardır.
4
İç teğet çemberin yarıçapını (r) bul.
Alan = u⋅r⇒60=20⋅r⇒r=3u \cdot r \Rightarrow 60 = 20 \cdot r \Rightarrow r = 3 cm.
Bir üçgenin alanı, yarı çevresi ile iç teğet çemberinin yarıçapının çarpımına eşittir.
5
Dairesel parçanın (dairenin) alanını hesapla.
Alan = πr2=π⋅32=9π\pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi cm 2^2.
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

İç Teğet Çember ve Alan Bağıntısı

İpuçları

1
Üçgenin kenar uzunluklarına dikkat edin (8-15-17). Bu özel bir üçgen türü olabilir mi?
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 154Soru →

Bir ABCABC üçgeninde AA köşesine ait iç açıortay, [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir. ∣BD∣=5|BD| = 5 cm, ∣DC∣=7|DC| = 7 cm ve ABCABC üçgeninin çevresi 4848 cm olduğuna göre, ∣AC∣|AC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

İç açıortay teoremi gereği kenarların oranı tabanların oranına eşittir; çevre bağıntısı kullanıldığında ∣AC∣|AC| kenarı 21 cm bulunur.
İç açıortay teoremine göre, üçgenin yan kenarları (∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC|), açıortayın tabanda ayırdığı parçalarla (∣BD∣|BD| ve ∣DC∣|DC|) orantılıdır. ∣BD∣=5|BD|=5 ve ∣DC∣=7|DC|=7 olduğu için ∣AB∣=5k|AB|=5k, ∣AC∣=7k|AC|=7k alınır. Üçgenin çevresi bu üç kenarın toplamı olduğundan, 5k+7k+(5+7)=485k + 7k + (5+7) = 48 denklemi kurulur. Buradan 12k+12=4812k + 12 = 48 işleminden k=3k=3 bulunur. İstenen kenar ∣AC∣=7k=7×3=21|AC| = 7k = 7 \times 3 = 21 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini uygula.
∣AB∣∣BD∣=∣AC∣∣DC∣  ⟹  ∣AB∣5=∣AC∣7\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|DC|} \implies \frac{|AB|}{5} = \frac{|AC|}{7}. Buradan ∣AB∣=5k|AB| = 5k ve ∣AC∣=7k|AC| = 7k denilebilir.
Üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
[BC][BC] kenarının uzunluğunu hesapla.
∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣=5+7=12|BC| = |BD| + |DC| = 5 + 7 = 12 cm.
Taban uzunluğu, açıortayın ayırdığı parçaların toplamıdır.
3
Çevre formülünü kullanarak kk orantı sabitini bul.
Çevre(ABCABC) = ∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=48|AB| + |AC| + |BC| = 48 cm. 5k+7k+12=48  ⟹  12k=36  ⟹  k=35k + 7k + 12 = 48 \implies 12k = 36 \implies k = 3.
Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
4
İstenen ∣AC∣|AC| kenarını hesapla.
∣AC∣=7k=7×3=21|AC| = 7k = 7 \times 3 = 21 cm.
∣AC∣|AC| kenarı 7k7k olarak belirlenmişti.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi
Soru 155Soru →
Dik koordinat düzleminde, mm bir gerçel sayı olmak üzere,
(m+1)x+(m−1)y−m−3=0(m+1)x + (m-1)y - m - 3 = 0

denklemiyle verilen doğruların geçtiği sabit nokta KK olarak işaretleniyor.

Buna göre KK noktasının, 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Doğru cevap 2 birimdir.
Verilen denklem mm parametresine bağlı bir doğru demetidir. Bu doğruların hepsi sabit bir KK noktasından geçer. Denklemi m(x+y−1)+(x−y−3)=0m(x+y-1) + (x-y-3)=0 şeklinde düzenlediğimizde, her mm için sağlanması adına x+y−1=0x+y-1=0 ve x−y−3=0x-y-3=0 olmalıdır. Bu sistem çözüldüğünde K(2,−1)K(2, -1) noktası bulunur. Bu noktanın 3x+4y−12=03x+4y-12=0 doğrusuna uzaklığı formülle hesaplandığında sonuç 2 birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğru demeti denklemini mm parametresine göre düzenle.
m(x+y−1)+(x−y−3)=0m(x + y - 1) + (x - y - 3) = 0
Her mm değeri için sağlanması gereken koşulu bulmak için denklem mm parantezine alınır.
2
Elde edilen ifadede mm'nin katsayısını ve sabit terimi sıfıra eşitleyerek denklem sistemini çöz.
x+y−1=0x + y - 1 = 0 ve x−y−3=0x - y - 3 = 0 denklemlerinden x=2x = 2 ve y=−1y = -1 bulunur. Böylece K(2,−1)K(2, -1) noktası elde edilir.
Eşitliğin her mm için sağlanması, parantez içlerinin sıfır olmasıyla mümkündür.
3
K(2,−1)K(2, -1) noktasının 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 doğrusuna olan uzaklığını hesapla.
d=∣3(2)+4(−1)−12∣32+42=∣6−4−12∣5=∣−10∣5=2d = \frac{|3(2) + 4(-1) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 4 - 12|}{5} = \frac{|-10|}{5} = 2 birim.
Noktanın doğruya uzaklığı formülü: d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Anahtar Kavram

Doğru Demeti ve Noktanın Doğruya Uzaklığı

İpuçları

1
Denklemi mm parantezine alarak düzenlemeyi deneyin; bu sayede mm'den bağımsız olan ortak çözüm kümesini görebilirsiniz.
2
m(x+y−1)+(x−y−3)=0m(x + y - 1) + (x - y - 3) = 0 eşitliğinin her mm sayısı için sağlanması, ancak mm'nin katsayısının ve sabit terimin aynı anda sıfır olmasıyla mümkündür.
3
Sabit nokta KK'yi bulmak için x+y−1=0x + y - 1 = 0 ve x−y−3=0x - y - 3 = 0 denklem sistemini çözün. Bulduğunuz (x,y)(x, y) değerlerini uzaklık formülünde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, sabit bir noktadan geçen doğrular yerine, paralel doğrular arasındaki uzaklığı soran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

m değerine keyfi iki farklı sayı (örneğin m=1 ve m=-1) vererek iki farklı doğru denklemi elde edip, bu iki doğrunun kesişim noktasını bularak da K noktasına ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 156Soru →

Aşağıdaki ABCDABCD dörtgeninde [AC][AC] köşegeni çizilmiştir. ∣AB∣=7|AB| = 7 cm, ∣BC∣=11|BC| = 11 cm ve ∣AD∣=5|AD| = 5 cm uzunlukları verilmiştir. m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ ve m(ADC^)<90∘m(\widehat{ADC}) < 90^\circ olduğu bilinmektedir.

∣AC∣|AC| ve ∣DC∣|DC| uzunlukları birer tam sayı olduğuna göre, ∣DC∣|DC|'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

∣DC∣|DC| uzunluğu 8 farklı tam sayı değeri alabilir.
Çözüm iki aşamalıdır. Önce ABCABC üçgeninde geniş açı ve üçgen eşitsizliği kullanılarak ortak kenar ∣AC∣|AC|'nin alabileceği tam sayı değerleri bulunur ({14,15,16,17}\{14, 15, 16, 17\}). Sonra her bir ∣AC∣|AC| değeri için ADCADC üçgeninde dar açı şartı (b2<52+x2b^2 < 5^2 + x^2) ve üçgen eşitsizliği analiz edilerek ∣DC∣|DC|'nin (xx) alabileceği değerler kümesi oluşturulur. Bu kümelerin birleşimi 14'ten 21'e kadar olan tam sayılardır (8 adet).

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeni için ∣AC∣=b|AC| = b diyelim. Üçgen eşitsizliğini uygula: ∣11−7∣<b<11+7⇒4<b<18|11-7| < b < 11+7 \Rightarrow 4 < b < 18.
4<b<184 < b < 18
Bir üçgenin kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.
2
m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ (geniş açı) şartını uygula: b2>72+112⇒b2>49+121⇒b2>170b^2 > 7^2 + 11^2 \Rightarrow b^2 > 49 + 121 \Rightarrow b^2 > 170.
b>170≈13,03b > \sqrt{170} \approx 13,03
Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından büyüktür.
3
∣AC∣|AC| bir tam sayı olduğundan, 1. ve 2. adımdaki şartları sağlayan bb değerlerini belirle.
b∈{14,15,16,17}b \in \{14, 15, 16, 17\}
132=16913^2=169 (küçük), 142=19614^2=196 (uygun). Üst sınır 18 dahil değil.
4
Her bir bb değeri için ADCADC üçgeninde (∣AD∣=5|AD|=5, ∣DC∣=x|DC|=x, ∣AC∣=b|AC|=b) dar açı ve üçgen eşitsizliği şartlarını incele. m(D^)<90∘⇒b2<52+x2⇒x>b2−25m(\widehat{D}) < 90^\circ \Rightarrow b^2 < 5^2 + x^2 \Rightarrow x > \sqrt{b^2-25}.
Analiz başlangıcı
DD açısı dar ise karşısındaki bb kenarının karesi, diğerlerinin kareleri toplamından küçüktür.
5
b=14b=14 için: x>196−25=171≈13,07x > \sqrt{196-25}=\sqrt{171}\approx13,07 ve 9<x<199 < x < 19.
x∈{14,15,16,17,18}x \in \{14, 15, 16, 17, 18\}
xx en az 14 olabilir, üst sınır üçgen eşitsizliğinden (14+514+5) gelir.
6
b=15b=15 için: x>200≈14,1x > \sqrt{200}\approx14,1. 10<x<2010 < x < 20. →x∈{15,16,17,18,19}\rightarrow x \in \{15, 16, 17, 18, 19\}
b=16b=16 için: x>231≈15,2x > \sqrt{231}\approx15,2. 11<x<2111 < x < 21. →x∈{16,17,18,19,20}\rightarrow x \in \{16, 17, 18, 19, 20\}
b=17b=17 için: x>264≈16,2x > \sqrt{264}\approx16,2. 12<x<2212 < x < 22. →x∈{17,18,19,20,21}\rightarrow x \in \{17, 18, 19, 20, 21\}
Tüm kümelerin birleşimi: {14,15,...,21}\{14, 15, ..., 21\}
Her durumdan gelen çözüm kümelerini birleştiriyoruz.
7
Elde edilen farklı tam sayı değerlerini say.
8 değer
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21.

Anahtar Kavram

İki üçgenin ortak kenarı üzerinden tam sayı kısıtlamaları ve açı-kenar bağıntılarının (dar/geniş açı) birlikte analizi.
Soru 157Soru →

Bir ayrıtı 66 birim olan küp biçimindeki bir tahta blokun tüm köşelerinden, o köşeyle birleşen ayrıtların orta noktalarından geçen düzlemler boyunca kesim yapılıyor ve oluşan parçalar atılıyor. Buna göre, geriye kalan cismin hacmi kaç birimküptür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Geriye kalan cismin hacmi 180 birimküptür.
Küpün bir ayrıtı 6 birim olduğundan hacmi 216216 birimküptür. Her köşeden, ayrıtların orta noktalarından geçen düzlemlerle kesim yapıldığında, dik kenarları 33 birim olan üçgen piramitler oluşur. Bir piramidin hacmi 13⋅(3⋅32)⋅3=4,5\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 3}{2}) \cdot 3 = 4,5 birimküptür. Küpte 8 köşe olduğu için toplam 8⋅4,5=368 \cdot 4,5 = 36 birimküp hacim eksilir. Kalan hacim 216−36=180216 - 36 = 180 birimküptür.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki küpün hacmini hesapla.
Vku¨p=a3=63=216V_{küp} = a^3 = 6^3 = 216 birimküp.
Kalan hacmi bulmak için önce toplam hacim bilinmelidir.
2
Kesilen bir parçanın şeklini ve boyutlarını belirle.
Her köşeden kesilen parça bir üçgen piramittir. Küpün ayrıtları birbirine dik olduğu için piramidin dik kenar uzunlukları, ayrıtın yarısı olan 6/2=36/2 = 3 birimdir.
Soruda kesimin orta noktalardan yapıldığı belirtilmiştir.
3
Bir köşe piramidinin hacmini hesapla.
Taban alanı (dik üçgen) = 3⋅32=4,5\frac{3 \cdot 3}{2} = 4,5 birimkare. Yükseklik = 33 birim. Vpiramit=13⋅4,5⋅3=4,5V_{piramit} = \frac{1}{3} \cdot 4,5 \cdot 3 = 4,5 birimküp.
Piramit hacim formülü: V=13⋅Taban Alanı⋅hV = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot h
4
Toplam kesilen hacmi ve kalan hacmi hesapla.
Toplam kesilen hacim = 8⋅4,5=368 \cdot 4,5 = 36 birimküp. Kalan hacim = 216−36=180216 - 36 = 180 birimküp.
Küpün 8 köşesi olduğundan bir piramit hacmi 8 ile çarpılır ve toplamdan çıkarılır.

Anahtar Kavram

Bir cisimden parça çıkarıldığında, kalan cismin hacmi başlangıç hacmi ile çıkarılan parçaların hacimleri farkına eşittir. Küp köşelerinden kesilen parçalar üçgen piramit (düzgün dörtyüzlü değil, dik üçgen piramit) şeklindedir.

İpuçları

1
Küpün toplam hacminden, köşelerden kesilen 8 adet küçük parçanın hacmini çıkarmanız gerekir.
2
Köşelerden kesilen her bir parça, dik kenar uzunlukları küpün ayrıtının yarısı (3 birim) olan birer üçgen piramittir.
3
Bir üçgen piramidin hacmi V=13⋅Taban Alanı⋅Yu¨kseklikV = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik} formülüyle bulunur. Burada taban, dik kenarları 3 birim olan bir dik üçgendir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, bir silindirden oyulan koninin hacmini soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Oran yöntemi: Kesilen her bir piramidin hacmi, onu çevreleyen 3×3×33 \times 3 \times 3 boyutlarındaki hayali küpün hacrinin 1/61/6'sıdır. Tüm küp 8 adet 3×3×33 \times 3 \times 3 küpten oluşur. Her birinden 1/61/6 parça giderse, toplam hacmin 1/61/6'sı gitmiş olur. Kalan hacim 5/65/6'dır. 216⋅56=180216 \cdot \frac{5}{6} = 180.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 158Soru →

Bir geometri dersinde öğretmen, tahtaya bir ABCABC üçgeni çizmiş ve bu üçgenin her bir iç açısını iki eş parçaya bölen doğru parçalarını (iç açıortaylar) göstermiştir. Bu üç iç açıortayın üçgenin içerisinde kesiştiği nokta ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Cevap

İç açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
Üçgende iç açıortaylar, üçgenin kenarlarına eşit uzaklıkta bulunan tek bir noktada kesişirler. Bu nokta, üçgenin kenarlarına içten teğet olan çemberin merkezi olduğu için 'iç teğet çemberin merkezi' olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1
Yardımcı elemanı tanımlayın.
Soruda verilen elemanlar iç açıortaylardır.
Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.
2
Kesişim noktasının özelliklerini hatırlayın.
İç açıortaylar üçgenin içinde tek bir noktada kesişir.
Üçgende yardımcı elemanların kesişim noktaları özel isimler alır.
3
Noktanın geometrik karşılığını saptayın.
Açıortayların kesişim noktası, üçgenin kenarlarına eşit uzaklıktadır.
Bu eşit uzaklık (r), üçgenin içine çizilen ve kenarlara teğet olan çemberin yarıçapıdır, dolayısıyla bu nokta iç teğet çemberin merkezidir.

Anahtar Kavram

Üçgende İç Açıortayların Kesişim Noktası (İç Teğet Çemberin Merkezi)

İpuçları

1
Üçgende açıları iki eş parçaya bölen doğru parçalarına 'açıortay' denir.
2
Açıortayların kesiştiği bu özel nokta, üçgenin tüm kenarlarına aynı dik uzaklıktadır.
3
Kenarlara eşit uzaklıkta olan bu nokta, üçgenin içine çizilen ve kenarlara dokunan çemberin merkezidir.

Daha Fazla Pratik

Kenarortayların kesişim noktası olan 'Ağırlık Merkezi' (G) ve özelliklerini tekrar etmek bu konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır.
Tahmini Süre:45s
Soru 159Soru →

Aşağıdaki şekilde bir düzgün sekizgen verilmiştir.

Buna göre, bu düzgün sekizgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünden kaç derece fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9090

Cevap

Düzgün sekizgenin bir iç açısı ile bir dış açısı arasındaki fark 90∘90^{\circ}'dir.
Düzgün sekizgenin bir dış açısı 360∘/8=45∘360^{\circ} / 8 = 45^{\circ} olarak hesaplanır. İç açı ve dış açı birbirini 180∘180^{\circ}'ye tamamladığı için iç açı 180∘−45∘=135∘180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} olur. Bu iki değerin farkı 135∘−45∘=90∘135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Dış açının hesaplanması
360∘/8=45∘360^{\circ} / 8 = 45^{\circ}
Bütün düzgün çokgenlerin dış açılarının toplamı 360∘360^{\circ}'dir. Bir dış açıyı bulmak için bu toplam kenar sayısına bölünür.
2
İç açının hesaplanması
180∘−45∘=135∘180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}
Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı her zaman 180∘180^{\circ}'dir (doğru açı).
3
Farkın bulunması
135∘−45∘=90∘135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}
Soruda iç açının dış açıdan ne kadar fazla olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde bir dış açı 360/n360/n formülüyle, bir iç açı ise dış açıyı 180∘180^{\circ}'ye tamamlayan değerle bulunur.

İpuçları

1
Düzgün çokgenlerde dış açıyı bulmak için 360∘360^{\circ} toplam kenar sayısına bölünür.
2
Bir iç açı ile o köşeye ait dış açının toplamının 180∘180^{\circ} olduğunu hatırlayın.
3
Sekizgen olduğu için 360/8360 / 8 işlemini yaparak dış açıyı, ardından 180180 - (dış açı) yaparak iç açıyı bulun ve farklarını alın.

Daha Fazla Pratik

Farklı kenar sayılarına sahip düzgün çokgenler (örneğin düzgün ongen) için aynı farkı hesaplayarak pratiğinizi artırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 160Soru →

Dik koordinat düzleminde A(−2,1)A(-2, 1) ve B(4,5)B(4, 5) noktaları veriliyor. [AB][AB] doğru parçasının orta dikme doğrusunun eksenlerle sınırladığı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 274\frac{27}{4}

Cevap

Doğru cevap 274\frac{27}{4} birimkaredir.
Soruda istenen orta dikme doğrusunu bulmak için önce [AB][AB]'nin orta noktası M(1,3)M(1,3) ve eğimi m=2/3m=2/3 bulunur. Dikme doğrusunun eğimi −3/2-3/2 olur. MM noktasından geçen ve eğimi −3/2-3/2 olan doğru denklemi 3x+2y−9=03x+2y-9=0'dır. Bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar (3,0)(3,0) ve (0,9/2)(0, 9/2) olduğundan, eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı 3⋅9/22=274\frac{3 \cdot 9/2}{2} = \frac{27}{4} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
[AB][AB] doğru parçasının orta noktası (MM) bulunur.
M(−2+42,1+52)=M(1,3)M(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+5}{2}) = M(1, 3)
Orta dikme doğrusu, doğru parçasının tam ortasından geçer.
2
ABAB doğrusunun eğimi (mABm_{AB}) ve orta dikme doğrusunun eğimi (mdm_d) hesaplanır.
mAB=5−14−(−2)=46=23m_{AB} = \frac{5-1}{4-(-2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. Diklik şartından mAB⋅md=−1⇒md=−32m_{AB} \cdot m_d = -1 \Rightarrow m_d = -\frac{3}{2}
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.
3
Orta dikme doğrusunun denklemi yazılır.
y−3=−32(x−1)⇒2(y−3)=−3(x−1)⇒2y−6=−3x+3⇒3x+2y−9=0y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1) \Rightarrow 2(y-3) = -3(x-1) \Rightarrow 2y - 6 = -3x + 3 \Rightarrow 3x + 2y - 9 = 0
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi y−y1=m(x−x1)y-y_1 = m(x-x_1) formülüyle bulunur.
4
Doğrunun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
x=0x=0 için 2y=9⇒y=922y=9 \Rightarrow y=\frac{9}{2}. y=0y=0 için 3x=9⇒x=33x=9 \Rightarrow x=3.
Eksenlerle oluşan üçgenin dik kenar uzunluklarını bulmak için eksen kesim noktaları gerekir.
5
Oluşan dik üçgenin alanı hesaplanır.
Alan = 12⋅∣xkesim∣⋅∣ykesim∣=12⋅3⋅92=274\frac{1}{2} \cdot |x_{kesim}| \cdot |y_{kesim}| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{9}{2} = \frac{27}{4} birimkare.
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

Bir doğru parçasının orta dikme doğrusu, parçanın orta noktasından geçen ve parçaya dik olan doğrudur. Analitik geometride alan soruları genellikle eksen kesim noktaları üzerinden çözülür.

İpuçları

1
Önce [AB][AB] doğru parçasının orta noktasını ve eğimini bulunuz.
2
Orta dikme doğrusu, orta noktadan geçer ve eğimi ABAB doğrusunun eğimiyle çarpıldığında −1-1 sonucunu verir (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1).
3
Bulduğunuz doğru denkleminde x=0x=0 ve y=0y=0 vererek eksenleri kestiği noktaları bulun, ardından dik üçgen alan formülünü uygulayın.

Alternatif Yöntem

Geometrik çizim yaparak benzerlik kullanmak mümkündür ancak analitik yöntem (doğru denklemi kurmak) bu soruda daha hızlı sonuç verir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 8 / 22Sonraki
Geometri — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 8 | Examkin