Examkin

Geometri

436 soru

Soru 121Soru →

O merkezli ve yarıçapı 6 cm olan bir çembere, dışındaki P noktasından çizilen teğetler çembere A ve B noktalarında değmektedir. m(APB) = 60° olduğuna göre, teğetler (PA, PB) ve çemberin küçük yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm²'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36√3 - 12π

Cevap

36√3 - 12π
Taralı alan, merkez ile teğet değme noktalarının oluşturduğu PAOB dörtgeninin alanından, 120 derecelik daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Dörtgenin alanı iki adet 30-60-90 üçgeninden oluşur ve 36√3 cm²'dir. Daire diliminin alanı ise 12π cm²'dir. Sonuç 36√3 - 12π olur.

Adım Adım Çözüm

1
Merkez açı m(AOB)'nin bulunması
PAOB dörtgeninde A ve B açıları 90°'dir. Dörtgenin iç açıları toplamı 360° olduğundan, m(AOB) = 360° - (90° + 90° + 60°) = 120° bulunur.
Teğetler yarıçapa diktir ve dörtgenin iç açıları toplamı sabittir.
2
PAOB dörtgeninin alanının hesaplanması
PO çizildiğinde açıortay olur ve m(APO)=30° olur. PAO üçgeni 30-60-90 üçgenidir. |OA|=6 ise |PA|=6√3 olur. Alan(PAO) = (6.6√3)/2 = 18√3. Dörtgen alanı = 2 . 18√3 = 36√3 cm².
Deltoid alanı iki eş dik üçgenin alanları toplamıdır.
3
Daire diliminin alanının hesaplanması
Alan = π.r² . (α/360) = π.6² . (120/360) = 36π . (1/3) = 12π cm².
120 derecelik daire dilimi tam dairenin üçte biridir.
4
Taralı alanın bulunması
Taralı Alan = Alan(PAOB) - Alan(Daire Dilimi) = 36√3 - 12π.
Toplam alandan daire dilimi çıkarılarak aradaki bölge bulunur.

Anahtar Kavram

Teğet Özellikleri ve Dairede Alan

İpuçları

1
Teğetler değme noktalarında yarıçapa diktir (90°). Bu özellik sayesinde merkezdeki O açısını bulabilirsiniz.
2
Şekilde oluşan PAOB dörtgeninin alanını bulmak için P ile O noktasını birleştirerek iki eş dik üçgen oluşturun.
3
PAO üçgeni bir 30-60-90 üçgenidir. Üçgenlerin toplam alanından, O merkezli daire diliminin alanını çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, teğetler arasındaki açı 90 derece veya 120 derece olacak şekilde çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 122Soru →

Şekildeki ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. Üçgenin [AC][AC] kenarına ait [BH][BH] yüksekliği çizilmiştir. HH noktası [AC][AC] kenarı üzerinde olmak üzere, ∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HC∣=2|HC| = 2 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 cm
Verilen ikizkenar üçgen özelliğinden yan kenar ∣AB∣=9|AB|=9 cm bulunur. ABHABH dik üçgeninde Pisagor ile yükseklik karesi ∣BH∣2=32|BH|^2=32 elde edilir. Daha sonra BHCBHC dik üçgeninde tekrar Pisagor uygulanarak taban ∣BC∣=32+4=6|BC|=\sqrt{32+4}=6 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen uzunlukları kullanarak ikizkenar üçgenin eşit kenar uzunluğunu belirle.
∣AC∣=∣AH∣+∣HC∣=7+2=9|AC| = |AH| + |HC| = 7 + 2 = 9 cm. Dolayısıyla ∣AB∣=9|AB| = 9 cm olur.
H noktası AC üzerindedir ve üçgen ikizkenardır (∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC|).
2
ABHABH dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak ∣BH∣2|BH|^2 değerini bul.
∣AB∣2=∣AH∣2+∣BH∣2⇒92=72+∣BH∣2⇒81=49+∣BH∣2⇒∣BH∣2=32|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 \Rightarrow 9^2 = 7^2 + |BH|^2 \Rightarrow 81 = 49 + |BH|^2 \Rightarrow |BH|^2 = 32.
BH yüksekliği, ABH üçgeninde bir dik kenardır.
3
BHCBHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu hesapla.
∣BC∣2=∣BH∣2+∣HC∣2⇒∣BC∣2=32+22⇒∣BC∣2=36⇒∣BC∣=6|BC|^2 = |BH|^2 + |HC|^2 \Rightarrow |BC|^2 = 32 + 2^2 \Rightarrow |BC|^2 = 36 \Rightarrow |BC| = 6 cm.
BC kenarı BHC dik üçgeninin hipotenüsüdür.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana veya yan kenarlara inilen dikmelerin oluşturduğu dik üçgenlerde Pisagor bağıntısının uygulanması.

İpuçları

1
Önce ∣AB∣|AB| kenar uzunluğunu bulmak için verilen eşitliği (∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC|) ve ACAC üzerindeki parçaları kullanın.
2
∣AB∣|AB| uzunluğunu bulduktan sonra, soldaki ABHABH dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak ∣BH∣2|BH|^2 değerini hesaplayın.
3
∣BH∣2|BH|^2 değerini bulduktan sonra, sağdaki küçük BHCBHC dik üçgeninde tekrar Pisagor bağıntısı uygulayarak ∣BC∣|BC| hipotenüsünü bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda, bu sefer taban uzunluğu verilip yan kenara ait yüksekliğin ayırdığı parçaların sorulduğu bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Trigonometri kullanarak: cos⁡A=∣AH∣/∣AB∣=7/9\cos A = |AH|/|AB| = 7/9. ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi: ∣BC∣2=92+92−2⋅9⋅9⋅(7/9)=162−126=36|BC|^2 = 9^2 + 9^2 - 2\cdot9\cdot9\cdot(7/9) = 162 - 126 = 36. Buradan ∣BC∣=6|BC|=6.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 123Soru →

|AB| = |AC| olan ABC ikizkenar üçgeninde, [BC] tabanı üzerinde bir D noktası alınıyor. D noktasından [AB] ve [AC] kenarlarına çizilen dikmelerin ayakları sırasıyla E ve F noktalarıdır.

|DE| = 4 cm, |DF| = 8 cm ve |BC| = 15 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm² dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

ABC üçgeninin alanı 75 cm² dir.
Verilen dikmelerin uzunlukları ve taban uzunluğu kullanılarak üçgenin açıları ve yüksekliği belirlenebilir. Benzerlikten |BD|=5 cm bulunur, bu da B açısının sinüsünün 4/5 olduğunu gösterir. Buradan tabana ait yükseklik 10 cm olarak hesaplanır ve alan (15*10)/2 = 75 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik oranını kullanarak taban parçalarını bulunuz.
|BD| = 5 cm, |DC| = 10 cm
EBD ve FCD dik üçgenlerinde B ve C açıları eşittir. sin(B) = 4/|BD| ve sin(C) = 8/|DC|. Oran 1/2 olduğundan |DC|=2|BD| olur. Toplam 15 cm olduğundan parçalar 5 ve 10 cm'dir.
2
Taban açısının trigonometrik değerini hesaplayınız.
sin(B) = 4/5
EBD üçgeninde karşı/hipotenüs oranı 4/5'tir. Bu 3-4-5 üçgeni olduğunu gösterir, yani tan(B) = 4/3 olur.
3
Üçgenin tabana ait yüksekliğini (h_a) hesaplayınız.
h_a = 10 cm
Tabana ait yükseklik h_a çizildiğinde, tabanı iki eş parçaya böler (|BH|=7.5). h_a = |BH| * tan(B) = 7.5 * (4/3) = 10 cm.
4
Üçgenin alanını hesaplayınız.
Alan = 75 cm²
Alan = (Taban * Yükseklik) / 2 = (15 * 10) / 2 = 75 cm².

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan eş kenarlara çizilen dikmelerle ilgili özellikler ve trigonometrik oranlar.

İpuçları

1
D noktasından kenarlara çizilen dik üçgenlere (EBD ve FCD) odaklanın. B ve C açılarının eşit olması bu üçgenler arasında nasıl bir ilişki kurar?
2
|DE|=4 ve |DF|=8 olduğuna göre, |BD| ve |DC| uzunlukları arasında 1'e 2 oranı vardır. Toplamları 15 cm olduğuna göre bu parçaların uzunluklarını bulabilirsiniz.
3
|BD|=5 cm bulduysanız, EBD üçgeninin 3-4-5 üçgeni olduğunu fark edebilirsiniz. Bu durumda B açısının tanjantı 4/3 olur. Tabana inen yüksekliği bulmak için bunu kullanın.

Alternatif Yöntem

Yan kenara ait yükseklik h_b = |DE| + |DF| = 12 cm'dir. sin(B)=4/5 olduğundan cos(B)=3/5'tir. Tabana inilen dikme tabanı 7.5 cm böler. Yan kenar |AB| = 7.5 / cos(B) = 7.5 / (3/5) = 12.5 cm bulunur. Alan = (12.5 * 12) / 2 = 75 cm².
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 124Soru →

Bir ABCABC üçgeninde GG noktası ağırlık merkezidir. Bu üçgende ∣AB∣=15|AB| = 15 cm, ∣AC∣=20|AC| = 20 cm ve ∣BC∣=21|BC| = 21 cm olarak verilmiştir. AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan doğru; [AB][AB] kenarını KK, [AC][AC] kenarını LL ve [AD][AD] açıortay doğrusunu PP noktasında kesmektedir. Buna göre, ∣PL∣|PL| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Hesaplamalar sonucunda ∣PL∣|PL| uzunluğu 8 cm olarak bulunur.
Doğru cevap olan seçenek, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığının kenara olan uzaklığının iki katı olması (AG=2⋅GD′AG = 2 \cdot GD') gerçeğinden hareketle, KLKL doğrusunun BCBC doğrusuna olan paralelliği sayesinde kurulan 2/32/3 benzerlik oranını doğru kullanmıştır. Bu oranla ∣KL∣=14|KL| = 14 cm bulunmuş, ardından iç açıortay teoremi ile bu uzunluk 15:2015:20 (yani 3:43:4) oranında bölünerek istenen parça elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezinin özelliğini ve benzerlik oranını belirleme.
AK/AB=AL/AC=2/3AK/AB = AL/AC = 2/3 oranı elde edilir.
GG ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara 2:12:1 oranında böler. [KL]∥[BC][KL] \parallel [BC] olduğu için △AKL∼△ABC\triangle AKL \sim \triangle ABC benzerliği oluşur ve benzerlik oranı 2/32/3 olur.
2
∣KL∣|KL| uzunluğunu hesaplama.
∣KL∣=14|KL| = 14 cm
Benzerlik oranından ∣KL∣/∣BC∣=2/3⇒∣KL∣/21=2/3|KL| / |BC| = 2/3 \Rightarrow |KL| / 21 = 2/3 eşitliği yazılır.
3
İç açıortay teoremini [KL][KL] segmentine uygulama.
∣KP∣/∣PL∣=15/20=3/4|KP| / |PL| = 15 / 20 = 3/4 oranı bulunur.
[AD][AD] açıortay olduğu için [KL][KL] üzerinde ∣KP∣/∣PL∣=∣AK∣/∣AL∣|KP| / |PL| = |AK| / |AL| oranı geçerlidir. Benzerlikten ∣AK∣/∣AL∣=∣AB∣/∣AC∣|AK|/|AL| = |AB|/|AC| olduğu görülür.
4
Orantı kullanarak ∣PL∣|PL| değerini bulma.
∣PL∣=8|PL| = 8 cm
∣KP∣=3k|KP| = 3k ve ∣PL∣=4k|PL| = 4k dersek, 3k+4k=14⇒7k=14⇒k=23k + 4k = 14 \Rightarrow 7k = 14 \Rightarrow k = 2 olur. Buradan ∣PL∣=4×2=8|PL| = 4 \times 2 = 8 cm bulunur.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi kenarortayı 2:12:1 oranında böler ve iç açıortay teoremi karşı kenarı kolların oranında böler.
Soru 125Soru →

Şekilde ABCABC bir eşkenar üçgen, BCDBCD ise ∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| olan bir ikizkenar üçgendir. DD noktası ABCABC üçgeninin dış bölgesinde kalmaktadır. m(BDC^)=100∘m(\widehat{BDC}) = 100^\circ olduğuna göre, m(ABD^)m(\widehat{ABD}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100∘100^\circ

Cevap

Doğru cevap 100∘100^\circ ölçüsüdür.
ABCABC üçgeni eşkenar olduğu için tüm açıları 60∘60^\circ'dir, dolayısıyla m(ABC^)=60∘m(\widehat{ABC}) = 60^\circ olur. BCDBCD üçgeni ikizkenar olduğundan ve ∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| verildiğinden, taban açıları olan m(DBC^)m(\widehat{DBC}) ve m(DCB^)m(\widehat{DCB}) birbirine eşittir. Üçgenin iç açılar toplamı 180∘180^\circ kuralına göre; 100∘+2⋅m(DBC^)=180∘100^\circ + 2 \cdot m(\widehat{DBC}) = 180^\circ denkleminden m(DBC^)=40∘m(\widehat{DBC}) = 40^\circ bulunur. Şekle göre m(ABD^)=m(ABC^)+m(DBC^)m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{DBC}) olduğundan, sonuç 60∘+40∘=100∘60^\circ + 40^\circ = 100^\circ olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC eşkenar üçgeninin iç açılarını belirleyin.
m(ABC^)=60∘m(\widehat{ABC}) = 60^\circ
Eşkenar üçgenin tüm iç açıları 60∘60^\circ'dir.
2
BCDBCD ikizkenar üçgeninin taban açılarını hesaplayın.
m(DBC^)=40∘m(\widehat{DBC}) = 40^\circ
∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| olduğu için taban açıları eşittir. 180∘−100∘=80∘180^\circ - 100^\circ = 80^\circ ve 80∘/2=40∘80^\circ / 2 = 40^\circ bulunur.
3
İstenen açıyı bulmak için iki açıyı toplayın.
m(ABD^)=60∘+40∘=100∘m(\widehat{ABD}) = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ
m(ABD^)m(\widehat{ABD}) açısı, ABCABC ve DBCDBC açılarının toplamından oluşmaktadır.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgenin her bir iç açısının 60∘60^\circ olması ve ikizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açılarının birbirine eşit olması.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin tüm iç açılarının her birinin 60∘60^\circ olduğunu hatırlayın.
2
İkizkenar üçgende ∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| ise, bu kenarların karşısındaki BB ve CC köşelerindeki açıların birbirine eşit olması gerektiğini kullanın.
3
BCDBCD üçgeninde tepe açısı 100∘100^\circ ise, taban açılarını bulmak için 180∘180^\circ'den 100∘100^\circ çıkarıp ikiye bölün. Ardından bulduğunuz bu açıyı eşkenar üçgenin 60∘60^\circ'lik açısıyla toplayın.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgende tepe açısı yerine taban açılarından biri verilseydi tepe açısını nasıl bulurdunuz?
Tahmini Süre:45s
Soru 126Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=10|AB| = 10 cm ve ∣AC∣=24|AC| = 24 cm uzunlukları verilmiştir. m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğu ve BCBC kenarına ait kenarortay uzunluğunun santimetre cinsinden bir tam sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre, bu kenarortayın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kenarortay uzunluğu 5 farklı tam sayı değeri alabilir.
Üçgende bir köşedeki açı 90∘90^\circ olduğunda kenarortay uzunluğu x=102+242/2=13x = \sqrt{10^2+24^2}/2 = 13 olur. Açı 90∘90^\circ'den büyük olduğunda, kenarortay uzunluğu kısalır, yani x<13x < 13 olur. Ayrıca üçgen eşitsizliğinden x>(24−10)/2=7x > (24-10)/2 = 7 olmalıdır. Bu durumda 7<x<137 < x < 13 aralığındaki tam sayılar 8, 9, 10, 11 ve 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kenarortay uzunluğuna xx diyelim. ABCABC üçgenini bir paralelkenara tamamlayarak veya kenarortay formülü ile 2x2x uzunluğunun bulunduğu üçgeni (kenarları 10, 24 ve 2x2x) oluşturalım.
Üçgen eşitsizliğinden: ∣24−10∣<2x<24+10⇒14<2x<34⇒7<x<17|24 - 10| < 2x < 24 + 10 \Rightarrow 14 < 2x < 34 \Rightarrow 7 < x < 17.
Bir üçgende kenarortay uzunluğu, diğer iki kenarın farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.
2
Soruda verilen m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ (geniş açı) şartının kenarortay üzerindeki etkisini inceleyelim.
m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ ise, kenarortay uzunluğunun karesi için 2x2<102+242−a222x^2 < 10^2 + 24^2 - \frac{a^2}{2} bağıntısı yerine daha pratik olarak; AA açısı geniş ise kenarortay 'kısalır'. Sınır durumunda (A=90∘A=90^\circ) x=a2=13x = \frac{a}{2} = 13 olurdu. Açı büyüdükçe kenarortay küçüleceğinden x<13x < 13 olmalıdır.
Geniş açılı üçgenlerde, geniş açıdan çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüse ait kenarortay uzunluğundan (muhteşem üçlü durumundan) daha kısadır.
3
Her iki eşitsizlik sistemini (genel aralık ve açı kısıtlaması) birleştirerek çözüm kümesini bulalım.
Genel aralık 7<x<177 < x < 17 ve açı şartı x<13x < 13. Kesişim: 7<x<137 < x < 13.
Kenarortay hem var olma şartını (üçgen eşitsizliği) hem de açı şartını aynı anda sağlamalıdır.
4
Bu aralıktaki tam sayıları listeleyip sayalım.
Alabileceği değerler: 8, 9, 10, 11, 12. Toplam 5 tane.
Aralık uç noktaları (7 ve 13) eşitsizliğe dahil değildir.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgende kenarortay uzunluğu, dik üçgen durumundaki uzunluktan daha kısadır (Va<adik2V_a < \frac{a_{dik}}{2}).
Soru 127Soru →

Hipotenüs uzunluğu 24 cm ve alanı 72 cm2cm^2 olan bir dik üçgenin dik kenar uzunluklarının toplamı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12612\sqrt{6}

Cevap

Dikkenarlarıntoplamı126cm′dir.Dik kenarların toplamı 12\sqrt{6} cm'dir.
Dik üçgende dik kenarların toplamına (b+c)(b+c) dersek, tam kare açılımı (b+c)2=b2+c2+2bc(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc şeklindedir. Pisagor bağıntısından b2+c2=a2=242=576b^2+c^2 = a^2 = 24^2 = 576 ve alan formülünden bc=2⋅72=144bc = 2 \cdot 72 = 144 olduğu bilinir. Bu değerler yerine konulduğunda (b+c)2=576+288=864(b+c)^2 = 576 + 288 = 864 bulunur. Karekök alındığında sonuç 12612\sqrt{6} cm olarak elde edilir. Ayrıca h=6h = 6 ve a=24a = 24 olduğundan h=a/4h = a/4 bağıntısı sağlanır, bu da üçgenin 15-75-90 üçgeni olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Dik kenarlara b ve c, hipotenüse a diyelim. Verilenleri formülize et.
a = 24, Alan = (b*c)/2 = 72 => b*c = 144
Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır.
2
Pisagor teoremini yaz.
b² + c² = a² = 24² = 576
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
3
(b+c)² tam kare özdeşliğini kullanarak b+c toplamını bul.
(b+c)² = b² + c² + 2bc = 576 + 2(144) = 576 + 288 = 864
Dik kenarlar toplamına ulaşmak için cebirsel özdeşlik kullanılır.
4
Her iki tarafın karekökünü al.
b+c = \sqrt{864} = \sqrt{144 * 6} = 12\sqrt{6}
Sonuca ulaşmak için kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Dik üçgende alan ve Pisagor bağıntısı ile tam kare özdeşliği arasındaki ilişki.

İpuçları

1
Dik kenarların uzunluklarına b ve c diyerek, b²+c² değerini ve b*c değerini bulmaya çalışın.
2
(b+c)² ifadesinin açılımını (özdeşliğini) hatırlayın: b² + c² + 2bc.
3
b²+c² yerine hipotenüsün karesini, bc yerine ise Alanın 2 katını yazarak (b+c)² değerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, hipotenüs ve çevre verilip alan sorularak oluşturun.

Alternatif Yöntem

Üçgenin alanından yüksekliğin h = 2*Alan / a = 144/24 = 6 olduğu bulunur. h = a/4 olduğundan bu bir 15-75-90 üçgenidir. 15-75-90 üçgeninde dik kenarlar hipotenüsün (\sqrt{6} ± \sqrt{2})/4 katıdır (veya yükseklik cinsinden ifade edilebilir). Buradan kenarlar toplanarak da sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 128Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu 1010 cm olan küp şeklindeki bir tahta bloğun bir yüzeyinden, karşı yüzeyine kadar uzanan silindir biçiminde bir delik açılmıştır. Silindirin taban yarıçapı 22 cm olduğuna göre, oluşan cismin toplam yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir? (π=3\pi=3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 696

Cevap

Oluşan cismin toplam yüzey alanı 696696 cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.
Cismin yüzey alanı hesaplanırken, küpün dış yüzeyinden eksilen dairesel kapaklar çıkarılmalı ve deliğin içindeki silindirik yanal yüzey eklenmelidir. Başlangıç alanı 600600 cm2\text{cm}^2, eksilen alan 2424 cm2\text{cm}^2, eklenen alan 120120 cm2\text{cm}^2 olduğundan sonuç 696696 cm2\text{cm}^2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpün başlangıçtaki tüm yüzey alanını hesapla.
Aku¨p=6×a2=6×102=600 cm2A_{\text{küp}} = 6 \times a^2 = 6 \times 10^2 = 600 \text{ cm}^2
Küpün 6 eş karesel yüzeyi vardır.
2
Delik nedeniyle kaybolan dairesel taban alanlarını hesapla.
Akayıp=2×(πr2)=2×(3×22)=24 cm2A_{\text{kayıp}} = 2 \times (\pi r^2) = 2 \times (3 \times 2^2) = 24 \text{ cm}^2
Silindir bloğu deldiğinde üst ve alt yüzeyden iki daire çıkar.
3
Oluşan yeni iç silindirik yüzey alanını hesapla.
Ayeni=2πrh=2×3×2×10=120 cm2A_{\text{yeni}} = 2 \pi r h = 2 \times 3 \times 2 \times 10 = 120 \text{ cm}^2
Delik açıldığında bloğun içinde silindirin yanal alanı kadar yeni bir yüzey oluşur. Yükseklik küpün ayrıtına eşittir.
4
Toplam yüzey alanını bulmak için değişimleri uygula.
Atoplam=600−24+120=696 cm2A_{\text{toplam}} = 600 - 24 + 120 = 696 \text{ cm}^2
Başlangıç alanından kayıplar çıkarılır, yeni oluşan alanlar eklenir.

Anahtar Kavram

Yüzey alanı değişim problemlerinde; çıkarılan parçanın taban alanları toplam alandan düşülürken, oluşan yeni boşluğun yanal alanları toplam alana eklenmelidir.
Soru 129Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olmak üzere; ADEADE üçgeninin alanı 4 br24 \text{ br}^2 ve BCEDBCED dörtgeninin alanı 21 br221 \text{ br}^2 olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣AD∣∣DB∣\frac{|AD|}{|DB|} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23\frac{2}{3}

Cevap

İstenen oran 23\frac{2}{3}'tür.
Paralellikten dolayı ADEADE ve ABCABC üçgenleri benzerdir. Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2k^2). Küçük üçgenin alanı 4, büyük üçgenin alanı 4+21=254+21=25 birimkaredir. Alanlar oranı 4/254/25 olduğundan benzerlik oranı bu değerin karekökü olan 2/52/5'tir. Bu oran ∣AD∣/∣AB∣|AD|/|AB|'ye eşittir. ∣AD∣=2k|AD|=2k ise tamamı ∣AB∣=5k|AB|=5k olur, geriye kalan parça ∣DB∣=3k|DB|=3k olur. İstenen oran 2/32/3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzer üçgenleri belirle ve toplam alanı hesapla.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğundan ADE∼ABCADE \sim ABC'dir. Toplam alan A(ABC)=A(ADE)+A(BCED)=4+21=25 br2A(ABC) = A(ADE) + A(BCED) = 4 + 21 = 25 \text{ br}^2 olur.
Paralellik durumunda Temel Benzerlik Teoremi geçerlidir ve büyük üçgenin alanı parçaların toplamına eşittir.
2
Alanlar oranı ile benzerlik oranı arasındaki ilişkiyi kur.
A(ADE)A(ABC)=425\frac{A(ADE)}{A(ABC)} = \frac{4}{25}'tir. Benzerlik oranı k=425=25k = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} bulunur.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2=Alan1Alan2k^2 = \frac{Alan_1}{Alan_2}).
3
Kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi yaz ve istenen oranı bul.
Benzerlik oranı k=∣AD∣∣AB∣=25k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2}{5}'tir. Buradan ∣AD∣=2x|AD| = 2x dersek, ∣AB∣=5x|AB| = 5x olur. Dolayısıyla ∣DB∣=∣AB∣−∣AD∣=5x−2x=3x|DB| = |AB| - |AD| = 5x - 2x = 3x bulunur. Oran: ∣AD∣∣DB∣=2x3x=23\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}.
Parça-bütün ilişkisi kullanılarak istenen parçaların oranına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üçgende Benzerlik ve Alan İlişkisi
Soru 130Soru →

ABC bir üçgen ve D noktası [BC] kenarı üzerinde bir noktadır.

∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD|

m(BAD^)=m(ACB^)m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB})

m(DAC^)=24∘m(\widehat{DAC}) = 24^\circ
Yukarıdaki verilere göre,
m(ABC^)m(\widehat{ABC})
kaç derecedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 68

Cevap

68
Verilen eşitlikler ve ikizkenar üçgen özellikleri kullanılarak kurulan denklem sisteminin (x+2y=180x+2y=180 ve y=x+24y=x+24) çözümü sonucunda m(ABC^)m(\widehat{ABC}) açısı 68 derece bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen açı eşitliklerini değişken kullanarak ifade et.
m(BAD^)=m(ACB^)=xm(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACB}) = x olsun.
Bilinmeyen açıları ilişkilendirmek için değişkene ihtiyaç vardır.
2
İkizkenar üçgen özelliğini kullan.
∣AB∣=∣AD∣|AB| = |AD| olduğu için △ABD\triangle ABD ikizkenardır. Dolayısıyla taban açıları eşittir: m(ABC^)=m(ADB^)=ym(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADB}) = y.
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
3
Üçgende dış açı özelliğini (iki iç açının toplamı kendisine komşu olmayan dış açıya eşittir) △ADC\triangle ADC için uygula.
△ADC\triangle ADC üçgeninde D köşesindeki dış açı yy'dir. İç açılar 24∘24^\circ ve xx'tir. O halde: y=x+24∘y = x + 24^\circ.
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
4
△ABD\triangle ABD iç açılar toplamı bağıntısını yaz ve denklem sistemini çöz.
△ABD\triangle ABD için: x+y+y=180∘⇒x+2y=180x + y + y = 180^\circ \Rightarrow x + 2y = 180. (3. adımdaki x=y−24x = y - 24 eşitliğini yerine koyalım) (y−24)+2y=180⇒3y−24=180⇒3y=204⇒y=68(y - 24) + 2y = 180 \Rightarrow 3y - 24 = 180 \Rightarrow 3y = 204 \Rightarrow y = 68.
Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
5
İstenen açıyı belirle.
Soruda m(ABC^)m(\widehat{ABC}) yani yy sorulmaktadır. Cevap 68'dir.
Bulunan y değeri sorulan açının kendisidir.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar İlişkileri ve Dış Açı Özelliği

İpuçları

1
Sorudaki eşit açıları (xx) ve ikizkenar üçgenin taban açılarını (yy) harflendirerek üçgenin iç açıları toplamını yazmayı deneyin.
2
ADC üçgeninde D köşesindeki dış açının, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu (y=x+24y = x + 24) hatırlayın.
3
İki denklem elde edeceksiniz: 1) ABDABD üçgeninden x+2y=180x + 2y = 180. 2) Dış açı kuralından y=x+24y = x + 24. Bu sistemi çözün.

Alternatif Yöntem

Değişken kullanmadan deneme-yanılma ile gitmek zordur ancak şıklardan gidilebilir: Şıkkı yy (taban açısı) olarak kabul edip, tepe açısını 180−2y180-2y bulup, bunun y−24y-24 değerine eşit olup olmadığı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 131Soru →

Dik kenarları [AB][AB] ve [BC][BC] olan bir ABCABC dik üçgeninde, AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kesmektedir.

∣BD∣=6|BD| = 6 cm ve ∣DC∣=10|DC| = 10 cm olduğuna göre, ABCABC üçgeninin çevresi kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48
İç açıortay teoremine göre kenarların oranı, açıortayın tabanda ayırdığı parçaların oranına eşittir (3/53/5). Dik kenar 16 cm olduğu için, 3k-16-5k dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak k=4 bulunur. Kenarlar 12, 16 ve 20 cm olur. Toplam çevre 48 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri analiz et
ABCABC bir dik üçgen, [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]. ∣BD∣=6|BD| = 6, ∣DC∣=10|DC| = 10. Toplam ∣BC∣=16|BC| = 16 cm.
Sorudaki geometrik yapıyı ve uzunlukları belirlemek için.
2
İç Açıortay Teoremini uygula
∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣=610=35\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. Buradan ∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k diyebiliriz.
Açıortayın kenarları, ayırdığı parçalarla orantılı böldüğü kuralını kullanmak için.
3
Pisagor Bağıntısını kullanarak k değerini bul
(3k)2+162=(5k)2⇒9k2+256=25k2⇒16k2=256⇒k2=16⇒k=4(3k)^2 + 16^2 = (5k)^2 \Rightarrow 9k^2 + 256 = 25k^2 \Rightarrow 16k^2 = 256 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4.
Bilinmeyen kenar uzunluklarını hesaplamak için dik üçgen özelliğini kullanmak.
4
Kenar uzunluklarını ve çevreyi hesapla
∣AB∣=3(4)=12|AB| = 3(4) = 12, ∣AC∣=5(4)=20|AC| = 5(4) = 20. Çevre = 12+16+20=4812 + 16 + 20 = 48 cm.
Sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
Önce İç Açıortay Teoremini kullanarak ∣AB∣|AB| ve ∣AC∣|AC| kenarları arasındaki oranı belirleyin.
2
Kenarlar arasındaki orana göre ∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣AC∣=5k|AC| = 5k diyebilirsiniz. ∣BC∣|BC| uzunluğu bellidir.
3
ABCABC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayın: (3k)2+162=(5k)2(3k)^2 + 16^2 = (5k)^2. Buradan k değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu Dış Açıortay Teoremi kullanarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

3k-16-5k kenarlarına sahip dik üçgenin, 3-4-5 üçgeninin bir katı olduğunu fark ederseniz; 4 birimlik kenarın 16'ya karşılık geldiğini görüp doğrudan ölçek katsayısının (k) 4 olduğunu bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 132Soru →

Bir ABCABC eşkenar üçgeninin iç bölgesinde alınan bir PP noktası için ∣AP∣=6|AP| = 6 cm, ∣BP∣=8|BP| = 8 cm ve ∣CP∣=10|CP| = 10 cm eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, m(APB^)m(\widehat{APB}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

150 derece
Sorunun çözümü için APCAPC üçgenini AA köşesi etrafında 60∘60^\circ döndürmek gerekir. Bu işlem sonucunda bir kenarı 6 cm olan yeni bir eşkenar üçgen ve kenarları 6-8-10 cm olan bir dik üçgen oluşur. İstenen açı, bu iki üçgenin tepe açılarının toplamı olan 60∘+90∘=150∘60^\circ + 90^\circ = 150^\circ değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
APCAPC üçgenini AA köşesi etrafında saat yönünün tersine 60∘60^\circ döndürerek AP′BAP'B üçgenini oluşturun.
∣AP′∣=6|AP'| = 6, ∣P′B∣=10|P'B| = 10 ve m(PAP′^)=60∘m(\widehat{PAP'}) = 60^\circ elde edilir.
Eşkenar üçgen sorularında döndürme yöntemiyle bilinen uzunlukları bir araya getirmek çözüm için stratejik bir yaklaşımdır.
2
PP ve P′P' noktalarını birleştirerek APP′APP' üçgenini analiz edin.
APP′APP' üçgeni, tepe açısı 60∘60^\circ olan bir ikizkenar üçgen olduğu için eşkenardır. Dolayısıyla ∣PP′∣=6|PP'| = 6 cm ve m(APP′^)=60∘m(\widehat{APP'}) = 60^\circ olur.
Aradaki açısı 60∘60^\circ olan ikizkenar üçgen her zaman eşkenardır.
3
BPP′BPP' üçgeninin kenar uzunluklarını inceleyin (∣BP∣=8|BP|=8, ∣PP′∣=6|PP'|=6, ∣P′B∣=10|P'B|=10).
62+82=36+64=100=1026^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 olduğundan, Pisagor teoreminin tersi gereği BPP′BPP' üçgeni dik üçgendir ve m(BPP′^)=90∘m(\widehat{BPP'}) = 90^\circ dir.
Kenar uzunlukları 6-8-10 olan bir üçgen dik üçgendir.
4
İstenen m(APB^)m(\widehat{APB}) açısını bulmak için parçaları toplayın.
m(APB^)=m(APP′^)+m(BPP′^)=60∘+90∘=150∘m(\widehat{APB}) = m(\widehat{APP'}) + m(\widehat{BPP'}) = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ.
Toplam açı, oluşturulan iki açının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Bu soru, eşkenar üçgen içindeki bir noktanın uzaklıkları verildiğinde döndürme (rotasyon) yöntemi kullanılarak özel üçgenler (eşkenar ve dik üçgen) elde edilmesini ve Pisagor teoreminin uygulanmasını gerektirir.

İpuçları

1
Bu tür sorularda, verilen uzunlukları bir araya getirmek için üçgenin bir parçasını kesip döndürerek yapıştırmayı deneyin.
2
APCAPC üçgenini AA köşesi etrafında 60∘60^\circ döndürerek, ABAB kenarı üzerine gelecek şekilde yeni bir üçgen oluşturun.
3
Döndürme sonucunda oluşan yeni üçgenin kenarlarını inceleyin. Bir eşkenar üçgen ve kenarları 6, 8, 10 olan bir üçgen göreceksiniz. 6-8-10 üçgeninin açısı size cevabı verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çözülen, kare içinde alınan bir nokta ile ilgili 3-4-5 üçgeni sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir: △APB\triangle APB, △BPC\triangle BPC ve △CPA\triangle CPA içinde PP açısına bağlı kosinüs teoremleri yazılıp, toplamlarının 360∘360^\circ olması şartıyla denklem sistemi çözülebilir, ancak bu yöntem döndürme yöntemine göre çok daha uzun ve karmaşıktır.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 133Soru →

Yarıçapı 1212 cm olan daire biçimindeki bir kağıt, bir kiriş boyunca şekildeki gibi katlanıyor. Katlama sonucunda, daire yayının en uç noktası dairenin merkezi olan OO noktası ile çakışmaktadır. Buna göre, katlanan bu daire parçasının (daire kesmesinin) alanı kaç cm²'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48π−36348\pi - 36\sqrt{3}

Cevap

Katlanan parçanın alanı 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} cm²'dir.
Katlanan yayın daire merkezine değmesi, katlama çizgisinin (kirişin) merkeze olan uzaklığının yarıçapın yarısı (r/2r/2) olduğunu gösterir. Yarıçap 1212 cm olduğundan kirişin merkeze uzaklığı 66 cm'dir. Bu durumda oluşan dik üçgende hipotenüs 1212, dik kenar 66 olduğundan merkez açı 2×60∘=120∘2 \times 60^\circ = 120^\circ bulunur. İstenen alan, 120∘120^\circ'lik daire diliminin alanından (48π48\pi), ilgili ikizkenar üçgenin alanının (36336\sqrt{3}) çıkarılmasıyla 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Katlama geometrisini analiz et
Katlanan yayın tepe noktası merkeze değdiği için, kirişin merkeze olan uzaklığı yarıçapın yarısıdır: h=r/2=12/2=6h = r/2 = 12/2 = 6 cm.
Katlama simetrisinden dolayı, yayın tepe noktasının kirişe uzaklığı ile merkezin kirişe uzaklığı eşittir.
2
Merkez açıyı hesapla
Merkezden kirişe inilen dikme, yarıçap ve kiriş ucu arasında oluşan dik üçgende cos⁡(α)=6/12=1/2\cos(\alpha) = 6/12 = 1/2 olduğundan yarı açı α=60∘\alpha = 60^\circ, toplam merkez açı 120∘120^\circ olur.
Daire diliminin alanını bulmak için merkez açının bilinmesi gerekir.
3
Daire diliminin alanını hesapla
Alan = πr2⋅120360=144π⋅13=48π\pi r^2 \cdot \frac{120}{360} = 144\pi \cdot \frac{1}{3} = 48\pi cm².
Daire kesmesinin alanı, daire dilimi alanından üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.
4
Üçgenin alanını hesapla
Kiriş uzunluğu 2⋅12⋅sin⁡(60∘)=1232 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12\sqrt{3} cm. Üçgen Alanı = 12⋅123⋅6=363\frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3} cm².
Merkez açısı 120∘120^\circ olan ikizkenar üçgenin alanı.
5
Sonucu bul
Kesme Alanı = Dilim Alanı - Üçgen Alanı = 48π−36348\pi - 36\sqrt{3} cm².
Boyalı bölge bir daire kesmesidir.

Anahtar Kavram

Bir dairede kiriş boyunca katlama yapıldığında yay merkeze değiyorsa, kirişin merkeze uzaklığı yarıçapın yarısıdır ve merkez açı 120∘120^\circ olur.

İpuçları

1
Kağıt katlandığında yayın merkeze değmesi, kirişin merkeze olan uzaklığı hakkında size ne söyler? Şekli açtığınızı düşünün.
2
Kirişin merkeze olan uzaklığı yarıçapın yarısıdır (r/2r/2). Bu bilgiyi kullanarak merkezde oluşan üçgenin açılarını bulun.
3
Merkezden kirişe dik indiğinizde oluşan dik üçgen bir 30-60-90 üçgenidir. Merkez açı 120∘120^\circ olacaktır. Daire kesmesinin alanı = Daire Dilimi Alanı - Üçgen Alanı.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı verilen bir dairede, 60∘60^\circ'lik yayı gören kirişin ayırdığı parçanın alanını hesaplayınız.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 134Soru →

Bir ABCABC üçgeninde BB ve CC köşelerine ait iç açıortaylar üçgenin içindeki bir II noktasında kesişmektedir. m(BAC^)=80∘m(\widehat{BAC}) = 80^\circ olduğuna göre, m(BIC^)m(\widehat{BIC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 130

Cevap

İç açıortayların kesişmesiyle oluşan açı 130 derecedir.
İç açıortayların kesiştiği noktada oluşan geniş açı, tepe açısının yarısının 90 derece fazlası kuralına (90+A/290 + A/2) dayanır. 8080 derecenin yarısı olan 4040 dereceyi 9090 ile topladığımızda 130130 sonucuna ulaşırız.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasının özelliğini belirleyin
II noktası iç açıortayların kesişim noktasıdır (İç teğet çemberin merkezi).
Soruda BB ve CC köşelerine ait iç açıortayların bu noktada kesiştiği belirtilmiştir.
2
İlgili geometri formülünü uygulayın
m(BIC^)=90∘+m(BAC^)2m(\widehat{BIC}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{BAC})}{2}
Bir üçgende iki iç açıortay arasında kalan açı, tepe açısının yarısının 90 derece fazlasına eşittir.
3
Verilen değeri yerine koyarak hesaplayın
90∘+80∘2=90∘+40∘=130∘90^\circ + \frac{80^\circ}{2} = 90^\circ + 40^\circ = 130^\circ
Aritmetik toplama işlemi sonucunda doğru açı değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İç Açıortayların Kesişimi ile Oluşan Açı

İpuçları

1
Üçgenin içindeki II noktası, iki iç açıortayın birleştiği yerdir.
2
İç açıortaylar arasında kalan açıyı bulmak için tepe açısı ile 90 derece arasındaki ilişkiyi hatırlayın.
3
90+(A/2)90 + (A/2) formülünü kullanarak 8080 derecelik tepe açısını yerine yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Dış açıortayların kesişimiyle oluşan açıyı bulmaya yönelik benzer bir soru çözerek formül farkını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Üçgenin iç açılar toplamını (180∘180^\circ) kullanarak B/2+C/2+BIC^=180∘B/2 + C/2 + \widehat{BIC} = 180^\circ ve 80+B+C=180∘80 + B + C = 180^\circ denklemlerini kurarak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 135Soru →

Taban yarıçapı 66 cm ve yüksekliği 1212 cm olan dik dairesel bir koni, yüksekliğinin tam orta noktasından tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.

Buna göre, oluşan kesik koninin (alt parçanın) hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 126

Cevap

126
Doğru cevap 126'dır. Başlangıçtaki koninin hacmi 144π144\pi'dir. Yükseklik yarıdan kesildiği için oluşan küçük koninin hacmi toplamın 1/8'i, yani 18π18\pi'dir. Kalan parça (kesik koni) ise 144π−18π=126π144\pi - 18\pi = 126\pi olur.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük koninin toplam hacmini hesapla.
Vbu¨yu¨k=13πr2h=13π(62)(12)=144πV_{büyük} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6^2)(12) = 144\pi cm3\text{cm}^3
Koninin hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h kullanılarak başlangıç hacmi bulunur.
2
Benzerlik oranını ve kesilen küçük koninin hacmini belirle.
Benzerlik oranı k=12k = \frac{1}{2} olduğundan hacimler oranı k3=18k^3 = \frac{1}{8}'dir. Vku¨c\cu¨k=144π8=18πV_{küçük} = \frac{144\pi}{8} = 18\pi cm3\text{cm}^3.
Yükseklik tam ortadan kesildiği için benzerlik oranı 1/21/2'dir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpüdür.
3
Kesik koninin hacmini bulmak için küçük koninin hacmini toplam hacimden çıkar.
Vkesik=Vbu¨yu¨k−Vku¨c\cu¨k=144π−18π=126πV_{kesik} = V_{büyük} - V_{küçük} = 144\pi - 18\pi = 126\pi cm3\text{cm}^3.
Kesik koni (alt parça), tüm koniden üstteki parça atılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Kati cisimlerde benzerlik oranı kk ise, hacimler oranı k3k^3'tür.

İpuçları

1
Önce kesilmemiş büyük koninin toplam hacmini hesaplayın.
2
Konilerde yükseklikler oranı benzerlik oranını verir (kk). Hacimler oranı ise benzerlik oranının küpüdür (k3k^3).
3
Benzerlik oranı 1/21/2 olduğu için üstteki küçük koninin hacmi toplam hacmin 1/81/8'idir. Toplam hacimden bu parçayı çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı 1/3 olan bir piramidin kesik hacmini hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Kesik koni hacim formülü: V=13πh(R2+r2+R⋅r)V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + R\cdot r). Burada R=6R=6, r=3r=3 ve kesik parça yüksekliği h=6h=6 alınarak doğrudan hesaplanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 136Soru →

Taban yarıçapı rr ve yüksekliği hh olan bir dik dairesel silindirin yarıçapı ile yüksekliğinin toplamı 1010 cm'dir. Bu silindirin tüm yüzey alanı 120π120\pi cm2\text{cm}^2 olduğuna göre, silindirin hacmi kaç π\pi cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Silindirin hacmi 144 birimdir.
Silindirin toplam yüzey alanı 2πr2+2πrh=2πr(r+h)2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h) formülü ile hesaplanır. Soruda verilen r+h=10r+h=10 değeri bu formülde yerine yazıldığında 2πr(10)=120π2\pi r(10) = 120\pi eşitliği elde edilir. Buradan r=6r=6 ve dolayısıyla h=4h=4 bulunur. Hacim formülü olan πr2h\pi r^2 h uygulandığında ise sonuç 144π144\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen değişkenler arasındaki ilişkiyi yazın.
r+h=10r + h = 10
Soruda yarıçap ve yüksekliğin toplamının 10 olduğu belirtilmiştir.
2
Tüm yüzey alanı formülünü kullanarak rr değerini bulun.
2πr(r+h)=120π⇒2πr(10)=120π⇒20πr=120π⇒r=62\pi r(r + h) = 120\pi \Rightarrow 2\pi r(10) = 120\pi \Rightarrow 20\pi r = 120\pi \Rightarrow r = 6 cm
Silindirin tüm yüzey alanı iki taban alanı ile yanal alanın toplamıdır.
3
hh değerini hesaplayın.
h=10−6=4h = 10 - 6 = 4 cm
r+h=10r + h = 10 eşitliğinde r=6r = 6 yerine yazılarak yükseklik bulunur.
4
Hacim formülünü uygulayın.
V=πr2h=π⋅62⋅4=144πV = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 4 = 144\pi cm3\text{cm}^3
Silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dik Dairesel Silindirin Alan ve Hacim İlişkileri

İpuçları

1
Silindirin toplam yüzey alanı formülünü 2πr(r+h)2\pi r(r+h) olarak yazmayı deneyin.
2
Soruda verilen r+h=10r+h=10 değerini alan formülünde yerine koyarak doğrudan yarıçapı (rr) bulabilirsiniz.
3
r=6r=6 bulduktan sonra hacim formülünde r2r^2 ifadesine dikkat ederek işlemi tamamlayın.

Daha Fazla Pratik

Silindirin yanal alanı ile hacmi arasındaki sayısal ilişkiyi inceleyen benzer sorular çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 137Soru →

Yarıçapı 12 birim olan daire biçimindeki bir kağıttan, merkez açısının ölçüsü 120∘120^\circ olan bir daire dilimi kesilip çıkarılıyor. Bu dilim, kesik yarıçapları (AO ve BO) çakıştırılarak dik dairesel bir koni elde ediliyor.

Elde edilen bu koninin içine, hem tabanına hem de yan yüzeylerine teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük kürenin hacmi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6423π\frac{64\sqrt{2}}{3}\pi

Cevap

6423π\frac{64\sqrt{2}}{3}\pi
Daire dilimi koniye dönüştürüldüğünde taban yarıçapı r=4r=4 ve yüksekliği h=82h=8\sqrt{2} bulunur. Bu koninin içine teğet olan kürenin yarıçapı, koninin dikey kesitindeki ikizkenar üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapıdır (ρ=22\rho=2\sqrt{2}). Hacim formülü uygulandığında sonuç 6423π\frac{64\sqrt{2}}{3}\pi olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Daire diliminden koniye geçiş parametrelerini belirle.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusu olur: l=12l = 12. Daire diliminin yay uzunluğu koninin taban çevresine eşittir: 120360⋅2π(12)=8π\frac{120}{360} \cdot 2\pi(12) = 8\pi. Buradan koni taban yarıçapı 2πr=8π⇒r=42\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4 birim bulunur.
Koninin temel elemanlarını (yarıçap ve ana doğru) bulmak için.
2
Koninin yüksekliğini (hh) hesapla.
Pisagor bağıntısı ile (h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2): h2+42=122⇒h2+16=144⇒h=128=82h^2 + 4^2 = 12^2 \Rightarrow h^2 + 16 = 144 \Rightarrow h = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} birim.
Koninin içine çizilecek kürenin yarıçapını bulmak için dikey kesit yüksekliğine ihtiyaç vardır.
3
Koninin içine yerleştirilen en büyük kürenin yarıçapını (ρ\rho) bul.
Koninin dikey kesiti, tabanı 8 birim, kenarları 12 birim olan bir ikizkenar üçgendir. Küre, bu üçgenin iç teğet çemberine karşılık gelir. Alan formülü ile: Üçgen Alanı = taban⋅yu¨kseklik2=8⋅822=322\frac{taban \cdot yükseklik}{2} = \frac{8 \cdot 8\sqrt{2}}{2} = 32\sqrt{2}. Yarı çevre u=12+12+82=16u = \frac{12+12+8}{2} = 16. İç yarıçap ρ=Alanu=32216=22\rho = \frac{Alan}{u} = \frac{32\sqrt{2}}{16} = 2\sqrt{2} birim.
Küre hacmini hesaplamak için yarıçap gereklidir.
4
Kürenin hacmini hesapla.
V=43πρ3=43π(22)3=43π(162)=6423πV = \frac{4}{3}\pi \rho^3 = \frac{4}{3}\pi (2\sqrt{2})^3 = \frac{4}{3}\pi (16\sqrt{2}) = \frac{64\sqrt{2}}{3}\pi birimküp.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Koni Açınımı ve İç Teğet Küre

İpuçları

1
Daire diliminin yay uzunluğu, oluşturulacak koninin taban çevresine eşittir.
2
Koninin tepe noktasından taban merkezine inen dikme ve taban yarıçapı ile bir dik üçgen oluşturarak koni yüksekliğini bulun.
3
Koninin dikey kesitini (ikizkenar üçgen) çizin. Küre bu üçgenin iç teğet çemberidir. Alan=u⋅rAlan = u \cdot r formülünü kullanarak küre yarıçapını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir koninin içine yerleştirilebilecek en büyük küpün hacmini soran bir soru çözerek katı cisimlerde iç içe geçme mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: Taban açısına α\alpha dersek, tan⁡(α/2)=ρ/r\tan(\alpha/2) = \rho / r bağıntısı kullanılabilir ancak yarım açı formülleri gerektireceğinden alan formülü daha pratiktir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 138Soru →

Dik koordinat düzleminde x−y+4=0x - y + 4 = 0 ve 2x+y−10=02x + y - 10 = 0 doğruları ile xx ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Doğruların kesim noktasının yy koordinatı yükseklik, xx eksenini kestikleri noktalar arasındaki mesafe ise taban kabul edilerek hesaplanan alan 27 birimkaredir.
Kesim noktası olan (2,6)(2, 6) üçgenin tepe noktasıdır ve yüksekliği 6 birimdir. xx eksenini kesen (−4,0)(-4, 0) ve (5,0)(5, 0) noktaları arasındaki 9 birimlik mesafe ise tabanı oluşturur. Bu değerlerin çarpımının yarısı olan 27 birimkare doğru alandır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların kesim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözelim.
x−y+4=0x - y + 4 = 0 ve 2x+y−10=02x + y - 10 = 0 denklemlerini taraf tarafa toplarsak: 3x−6=0⇒x=23x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2. xx değerini ilk denklemde yerine yazarsak 2−y+4=0⇒y=62 - y + 4 = 0 \Rightarrow y = 6. Kesim noktası P(2,6)P(2, 6) olur.
İki doğrunun kesiştiği nokta, oluşacak üçgenin tepe noktasıdır ve yy koordinatı üçgenin yüksekliğini verir.
2
Doğruların xx eksenini kestiği noktaları bulalım (y=0y = 0).
x−0+4=0⇒x=−4x - 0 + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 ve 2x+0−10=0⇒2x=10⇒x=52x + 0 - 10 = 0 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5. Noktalar A(−4,0)A(-4, 0) ve B(5,0)B(5, 0) olur.
Üçgenin tabanı xx ekseni üzerinde olduğu için ekseni kesen bu noktalar taban uzunluğunu belirler.
3
Üçgenin taban uzunluğunu ve yüksekliğini belirleyelim.
Taban (AB) =∣5−(−4)∣=9= |5 - (-4)| = 9 birim. Yükseklik (hh) =P= P noktasının yy koordinatı =6= 6 birim.
xx ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe mutlak değer farkı ile, yükseklik ise tepe noktasının eksene uzaklığı ile bulunur.
4
Üçgenin alanını hesaplayalım.
Alan =Taban×Yu¨kseklik2=9×62=542=27= \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{9 \times 6}{2} = \frac{54}{2} = 27 birimkare.
Geometride üçgenin alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

İki doğrunun kesim noktası ve eksenleri kestiği noktalar yardımıyla analitik düzlemde alan hesabı.

İpuçları

1
Üçgenin köşelerini bulmak için önce doğruları birbirine eşitleyerek kesim noktasını, sonra her doğruda y=0y=0 yazarak xx eksenini kestikleri noktaları bulmalısın.
2
İki doğruyu topladığında 3x=63x = 6 elde edersin. Bu sana tepe noktasının apsisini verir. Buradan yüksekliği bulabilirsin.
3
Tepe noktası (2,6)(2, 6), taban noktaları ise (−4,0)(-4, 0) ve (5,0)(5, 0)'dır. Taban uzunluğu bu iki nokta arasındaki 9 birimlik mesafedir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu doğruların yy ekseniyle oluşturduğu bölge için çözerek eksen farkının alanı nasıl etkilediğini görebilirsin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 139Soru →

[AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olan ABCABC dik üçgeninde, [BN][BN] doğru parçası ABC^\widehat{ABC} açısına ait iç açıortaydır.

NN noktası [AC][AC] kenarı üzerinde olmak üzere; ∣AN∣=3|AN| = 3 cm ve ∣NC∣=5|NC| = 5 cm olduğuna göre, ∣BN∣|BN| kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 353\sqrt{5}

Cevap

Doğru cevap 353\sqrt{5} değeridir.
Açıortay teoremi ile kenarlar arasındaki 3/5 oranı belirlenir. Büyük üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak kenarların gerçek uzunlukları (∣AB∣=6|AB|=6, ∣BC∣=10|BC|=10) bulunur. Son adımda ABNABN dik üçgeninde tekrar Pisagor uygulanarak açıortay uzunluğu hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açıortay teoremini kullanarak kenar oranlarını belirle.
İç açıortay teoremine göre ∣AB∣∣BC∣=∣AN∣∣NC∣=35\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AN|}{|NC|} = \frac{3}{5}'tir.
Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranına göre böler.
2
Bilinmeyen kenarları kk sabiti cinsinden ifade et ve Pisagor teoremini uygula.
∣AB∣=3k|AB| = 3k ve ∣BC∣=5k|BC| = 5k olsun. ABCABC dik üçgeninde (3k)2+(3+5)2=(5k)2(3k)^2 + (3+5)^2 = (5k)^2 denklemi kurulur.
Büyük dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak orantı sabiti bulunmalıdır.
3
Denklemi çözerek kk değerini ve ∣AB∣|AB| uzunluğunu bul.
9k2+64=25k2⇒16k2=64⇒k2=4⇒k=29k^2 + 64 = 25k^2 \Rightarrow 16k^2 = 64 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2. Buradan ∣AB∣=3k=6|AB| = 3k = 6 cm bulunur.
Bilinmeyen kenarı bulmak için denklem çözülür.
4
ABNABN üçgeninde Pisagor uygulayarak ∣BN∣|BN| uzunluğunu hesapla.
∣BN∣2=∣AB∣2+∣AN∣2⇒∣BN∣2=62+32=36+9=45|BN|^2 = |AB|^2 + |AN|^2 \Rightarrow |BN|^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45. Sonuç ∣BN∣=45=35|BN| = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} cm.
İstenen açıortay uzunluğu, oluşan küçük dik üçgenin hipotenüsüdür.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
İç açıortay teoremini hatırlayın: Açıortayın böldüğü parçaların oranı, o parçalara komşu olan kenarların oranına eşittir.
2
∣AB∣|AB| ve ∣BC∣|BC| kenarlarına sırasıyla 3k3k ve 5k5k diyerek büyük üçgende Pisagor bağıntısı uygulayın.

Alternatif Yöntem

İç açıortay uzunluğu formülü (∣BN∣2=∣AB∣⋅∣BC∣−∣AN∣⋅∣NC∣|BN|^2 = |AB|\cdot|BC| - |AN|\cdot|NC|) kullanılarak da çözülebilir: ∣BN∣2=6⋅10−3⋅5=60−15=45|BN|^2 = 6\cdot10 - 3\cdot5 = 60 - 15 = 45.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 140Soru →

Şekilde verilen ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve m(BAC^)=48∘m(\widehat{BAC}) = 48^\circ'dir. BCBC kenarı doğrusal olarak DD noktasına kadar uzatıldığında oluşan ACDACD dış açısının ölçüsü (α\alpha) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 114

Cevap

İkizkenar üçgenin taban açısı 66 derece olduğundan, bu açıya komşu olan dış açı 114 derecedir.
İkizkenar üçgenin tepe açısı bilindiğinde, taban açıları hesaplanır (180−48=132180-48=132, 132/2=66132/2=66). İstenen dış açı, taban açısının bütünleridir (180−66=114180-66=114).

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgenin taban açılarının toplamını bulmak için tepe açısını 180 dereceden çıkar.
180∘−48∘=132∘180^\circ - 48^\circ = 132^\circ
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ'dir.
2
Bir taban açısının ölçüsünü bulmak için toplamı ikiye böl.
132∘/2=66∘132^\circ / 2 = 66^\circ
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir (m(B^)=m(C^)m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})).
3
Dış açıyı (α\alpha) bulmak için iç açıyı 180∘180^\circ'den çıkar.
α=180∘−66∘=114∘\alpha = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ
Bir iç açı ile ona komşu olan dış açının toplamı 180∘180^\circ'dir (doğru açı).

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban açıları eşittir ve bir iç açı ile komşu dış açısının toplamı 180 derecedir.

İpuçları

1
İkizkenar üçgenin taban açılarının birbirine eşit olduğunu hatırlayınız.
2
Önce 180∘180^\circ'den tepe açısını çıkararak taban açılarının toplamını bulunuz.
3
Bir iç açı 66∘66^\circ ise, bunu 180∘180^\circ'ye tamamlayan dış açıyı hesaplayınız.
Tahmini Süre:45s
ÖncekiSayfa 7 / 22Sonraki
Geometri — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 7 | Examkin