Examkin

Geometri

436 soru

Soru 161Soru →

Bir ABCABC üçgeninde GG noktası ağırlık merkezidir. GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarına paralel olan dd doğrusu, [AB][AB] kenarını DD noktasında kesmektedir. BB ile GG noktaları birleştirildiğinde oluşan BDGBDG üçgeninin alanı 44 cm 2^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin tamamının alanı kaç cm 2^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

36 cm 2^2
Ağırlık merkezi (GG), kenarortay üzerinde köşeye 22 birim, kenara 11 birim uzaklıktadır. DG∥BCDG \parallel BC paralel doğrusu çizildiğinde, Temel Benzerlik Teoremi gereği bu 2:12:1 oranı ABAB kenarı üzerinde de oluşur (∣AD∣=2k,∣DB∣=k|AD|=2k, |DB|=k). GG köşesi ortak olan ADGADG ve BDGBDG üçgenlerinin alanları tabanlarıyla orantılıdır. Tabanı kk olan BDGBDG üçgeninin alanı 44 ise, tabanı 2k2k olan ADGADG üçgeninin alanı 88 olur. Böylece ABGABG üçgeninin toplam alanı 4+8=124+8=12 cm 2^2 bulunur. Ağırlık merkezi, büyük üçgenin alanını 33 eşit parçaya (ABG,BGC,AGCABG, BGC, AGC) ayırdığından, tüm alan 3×12=363 \times 12 = 36 cm 2^2 dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık merkezi ve benzerlik oranını belirle
∣AG∣=2∣GM∣|AG| = 2|GM| ve ∣AD∣=2∣DB∣|AD| = 2|DB|
GG ağırlık merkezi kenarortayı 2:12:1 oranında böler. DG∥BCDG \parallel BC olduğundan Thales teoremi gereği bu oran [AB][AB] kenarında da korunur.
2
ABGABG üçgenindeki alan dağılımını hesapla
Alan(ABGABG) =3×= 3 \times Alan(BDGBDG) =12= 12 cm 2^2
ADGADG ve BDGBDG üçgenlerinin yükseklikleri ortaktır (GG'den ABAB'ye inen dikme). Alanlar tabanlar oranına eşittir. ∣AD∣=2∣DB∣|AD|=2|DB| olduğundan Alan(ADGADG)=2Alan(BDGBDG). Toplam Alan(ABGABG) = 3Alan(BDGBDG).
3
Toplam alanı bul
Alan(ABCABC) =3×12=36= 3 \times 12 = 36 cm 2^2
Ağırlık merkezi ile köşeler birleştirildiğinde oluşan üç üçgenin (ABGABG, BGCBGC, AGCAGC) alanları eşittir. Dolayısıyla toplam alan ABGABG alanının 33 katıdır.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi kenarortayı 2:12:1 oranında böler ve üçgenin alanını 3 eşit parçaya ayırır.

İpuçları

1
Ağırlık merkezi kenarortayı hangi oranda böler?
2
GG noktasından geçen paralel doğru, kenarları da aynı oranda (2:12:1) böler. Bu oranı ABAB kenarına taşıyın.
3
ABGABG üçgeninin alanı, verilen BDGBDG üçgeninin alanının 3 katıdır. Toplam alan ise ABGABG alanının 3 katıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer kurguda, DD ve EE noktalarından geçen yamuğun alanı verilip toplam alanın sorulduğu soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Benzerlik oranı k=2/3k=2/3 olduğundan Alan(ADEADE) / Alan(ABCABC) = (2/3)2=4/9(2/3)^2 = 4/9. Kalan yamuğun alanı 5/95/9. Bu oranlardan giderek de çözülebilir ancak BGDBGD parçasını bulmak için yine taban oranlarına dönmek gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 162Soru →

Çevresi 4040 cm olan ABCDABCD eşkenar dörtgeninin köşegen uzunlukları 33 ve 44 sayıları ile orantılıdır.

Buna göre, bu eşkenar dörtgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Eşkenar dörtgenin alanı 96 cm2\text{cm}^2 dir.
Doğru cevapta, önce çevre uzunluğundan kenar uzunluğu (10 cm) bulunmuş, ardından köşegenlerin birbirini dik ortalaması özelliği kullanılarak Pisagor bağıntısı ile köşegen uzunlukları (12 ve 16 cm) hesaplanmıştır. Son olarak alan formülü (köşegenler çarpımının yarısı) doğru uygulanarak 96 sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bul.
Çevre 4040 cm olduğundan, bir kenar a=40/4=10a = 40 / 4 = 10 cm bulunur.
Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.
2
Köşegen uzunluklarını ve yarım köşegenleri oran sabiti kk cinsinden ifade et.
Köşegenler e=3ke = 3k ve f=4kf = 4k olsun. Köşegenler birbirini ortaladığından yarım köşegenler 3k2\frac{3k}{2} ve 4k2\frac{4k}{2} (yani 1.5k1.5k ve 2k2k) olur.
Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar.
3
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygula.
(1.5k)2+(2k)2=102⇒2.25k2+4k2=100⇒6.25k2=100(1.5k)^2 + (2k)^2 = 10^2 \Rightarrow 2.25k^2 + 4k^2 = 100 \Rightarrow 6.25k^2 = 100.
Köşegenlerin oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsü eşkenar dörtgenin bir kenarıdır.
4
kk değerini ve köşegen uzunluklarını bul.
k2=16⇒k=4k^2 = 16 \Rightarrow k=4. Köşegenler: e=3⋅4=12e = 3 \cdot 4 = 12 cm, f=4⋅4=16f = 4 \cdot 4 = 16 cm.
Alan hesabı için gerçek köşegen uzunluklarına ihtiyaç vardır.
5
Alanı hesapla.
Alan =e⋅f2=12⋅162=96= \frac{e \cdot f}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96 cm2\text{cm}^2.
Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar ve alan köşegenler çarpımının yarısına eşittir.

İpuçları

1
Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini dik ortaladığını hatırlayınız.
2
Köşegenlerin yarısını dik kenar, eşkenar dörtgenin bir kenarını hipotenüs kabul eden dik üçgeni oluşturunuz.
3
Köşegen uzunluklarına 3k3k ve 4k4k diyerek, dik kenarları 1.5k1.5k ve 2k2k olan Pisagor bağıntısını kurunuz.

Alternatif Yöntem

3-4-5 özel üçgeninin katlarını düşünerek, hipotenüsün 10 olduğu durumda dik kenarların 6 ve 8 olması gerektiğini doğrudan görebilirsiniz. Buradan köşegenler 12 ve 16 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 163Soru →

Analitik düzlemde A(2,3)A(2, 3) ve B(5,7)B(5, 7) noktaları verilmiştir. Buna göre, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İki nokta arasındaki uzaklık 5 birimdir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü olan d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} ifadesinde değerler yerine yazıldığında d=(5−2)2+(7−3)2=32+42=5d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 sonucu elde edilir. Bu, analitik düzlemde 3-4-5 özel dik üçgeninin hipotenüs uzunluğuna karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Noktaların koordinatlarını belirleyin.
x1=2,y1=3x_1 = 2, y_1 = 3 ve x2=5,y2=7x_2 = 5, y_2 = 7
Uzaklık formülünde yerine koymak için her iki noktanın apsis ve ordinat değerleri gereklidir.
2
Apsisler farkını ve ordinatlar farkını bulun.
x2−x1=5−2=3x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3 ve y2−y1=7−3=4y_2 - y_1 = 7 - 3 = 4
Uzaklık, koordinat düzleminde oluşturulan dik üçgenin dik kenar uzunluklarına karşılık gelir.
3
Uzaklık formülünü uygulayın.
d=32+42=9+16=25d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}
Pisagor bağıntısı gereği iki nokta arasındaki uzaklık, koordinat farklarının kareleri toplamının kareköküdür.
4
Karekök işlemini tamamlayın.
d=5d = 5
25 sayısının karekökü 5'tir.

Anahtar Kavram

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

İpuçları

1
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü düşünün: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.
2
Apsislerin farkı 3, ordinatların farkı 4'tür. Bu farklar bir dik üçgenin kenarları gibidir.
3
Kenarları 3 birim ve 4 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu (3-4-5 üçgeni) hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Noktalardan biri orijin (0,0)(0,0) olsaydı uzaklık nasıl hesaplanırdı? Bunu deneyerek pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 164Soru →

Analitik düzlemde A(k,4)A(k, 4) noktası 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusu üzerinde bulunmaktadır. Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen noktanın koordinatları doğru denkleminde yerine yazıldığında kk değeri 3 olarak bulunur.
Analitik geometride temel bir kural olarak, eğer bir nokta bir doğrunun üzerindeyse, o noktanın koordinatları doğrunun denklemini sağlamak zorundadır. A(k,4)A(k, 4) noktasında x=kx = k ve y=4y = 4 değerlerini 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 denkleminde yerine yazdığımızda 2k−12+6=02k - 12 + 6 = 0 eşitliğini elde ederiz. Buradan 2k=62k = 6 ve dolayısıyla k=3k = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerlerine yazın.
2(k)−3(4)+6=02(k) - 3(4) + 6 = 0
Bir noktanın bir doğru üzerinde olması, o noktanın koordinatlarının doğrunun denklemini sağlaması gerektiği anlamına gelir.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirin.
2k−12+6=0⇒2k−6=02k - 12 + 6 = 0 \Rightarrow 2k - 6 = 0
Çarpma işlemlerini yaparak ve sabit sayıları toplayarak denklemi çözülebilir hale getiriyoruz.
3
kk değerini yalnız bırakarak denklemi çözün.
2k=6⇒k=32k = 6 \Rightarrow k = 3
Bilinmeyeni bulmak için sabit terimi karşıya atıp katsayıya bölüyoruz.

Anahtar Kavram

Bir noktanın bir doğru denklemini sağlaması kuralı

İpuçları

1
Bir noktanın doğru üzerinde olması, koordinatlarının (x ve y değerlerinin) denklemi doğru kılması demektir.
2
Nokta A(k,4)A(k, 4) olduğuna göre denklemde xx gördüğünüz yere kk, yy gördüğünüz yere 44 yazarak yeni bir denklem oluşturun.
3
2k−12+6=02k - 12 + 6 = 0 denklemini elde ettikten sonra kk değerini bulmak için dört işlem kurallarını uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak için x=0x=0 ve y=0y=0 değerlerini vererek pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 165Soru →

Şekildeki ABCDABCD eşkenar dörtgeninde [AC][AC] köşegendir. m(BAC^)=35∘m(\widehat{BAC}) = 35^\circ olduğuna göre, DD açısının ölçüsü (m(ADC^)m(\widehat{ADC})) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 110

Cevap

D açısının ölçüsü 110 derecedir.
Eşkenar dörtgende köşegenler açıortay olduğu için AA açısının tamamı 35×2=7035 \times 2 = 70 derecedir. Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, birbirini takip eden AA ve DD açılarının toplamı 180180 derecedir. Buradan 180−70=110180 - 70 = 110 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar dörtgenin açıortay özelliğini uygula
m(DAC^)=35∘m(\widehat{DAC}) = 35^\circ
Eşkenar dörtgende köşegenler, geçtikleri köşelerdeki açıları iki eş parçaya böler (açıortaydır).
2
AA köşesindeki toplam açıyı hesapla
m(A^)=35∘+35∘=70∘m(\widehat{A}) = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ
Köşegen açıyı ikiye böldüğü için açının tamamı verilen değerin iki katıdır.
3
Paralelkenar özelliğini kullanarak DD açısını bul
m(D^)=180∘−70∘=110∘m(\widehat{D}) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ
Eşkenar dörtgen aynı zamanda bir paralelkenardır ve ardışık (komşu) iki açısının toplamı 180∘180^\circ’dir.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır ve ardışık iç açılar toplamı 180∘180^\circ’dir.

İpuçları

1
Eşkenar dörtgende köşegenlerin (burada AC doğrusu) açıyı nasıl böldüğünü hatırla.
2
Köşegenler açıortaydır. Yani m(BAC^)=35∘m(\widehat{BAC}) = 35^\circ ise AA açısının tamamı bunun iki katıdır.
3
Bir paralelkenarda yan yana olan iki açının toplamı 180∘180^\circ’dir. AA açısını bulduktan sonra 180180’den çıkararak DD’ye ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Eşkenar dörtgende köşegenlerin dik kesişmesi özelliğini kullanarak alan hesaplama sorularına göz atabilirsin.

Alternatif Yöntem

Eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit olduğu için ADCADC üçgeni bir ikizkenar üçgendir ve köşegenler dik kesişir bilgisiyle de çözülebilir, ancak açıortay özelliği en kısa yoldur.
Tahmini Süre:45s
Soru 166Soru →

Kenar uzunlukları birbirine eşit olan ABCDEFABCDEF düzgün altıgeni ile ABKLMABKLM düzgün beşgeni, [AB][AB] kenarı çakışacak şekilde aynı düzlemde çizilmiştir. Düzgün beşgen, düzgün altıgenin iç bölgesinde yer almaktadır.

Buna göre, m(CBK^)m(\widehat{CBK}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İki çokgenin iç açıları farkı olan 12 derecedir.
Düzgün altıgenin bir iç açısı 120∘120^\circ, düzgün beşgenin bir iç açısı ise 108∘108^\circ'dir. Beşgen, altıgenin içinde ve bir kenarları ortak olduğundan, aradaki açı bu iki değerin farkı olan 12∘12^\circ'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün çokgenlerin bir iç açısının ölçüsünü bulmak için (n−2)⋅180∘n\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} formülü kullanılır.
Formül hatırlanır.
Her iki çokgenin BB köşesindeki açısını bulmak için iç açı formülüne ihtiyaç vardır.
2
ABCDEFABCDEF düzgün altıgeninin bir iç açısını hesapla (n=6n=6).
(6−2)⋅180∘6=4⋅180∘6=120∘\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ. Yani m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ.
Altıgenin BB köşesindeki açısı belirlenir.
3
ABKLMABKLM düzgün beşgeninin bir iç açısını hesapla (n=5n=5).
(5−2)⋅180∘5=3⋅180∘5=108∘\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ. Yani m(ABK^)=108∘m(\widehat{ABK}) = 108^\circ.
Beşgenin BB köşesindeki açısı belirlenir.
4
İstenen m(CBK^)m(\widehat{CBK}) açısını bulmak için, büyük açıdan (altıgen) küçük açıyı (beşgen) çıkar.
m(CBK^)=m(ABC^)−m(ABK^)=120∘−108∘=12∘m(\widehat{CBK}) = m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{ABK}) = 120^\circ - 108^\circ = 12^\circ.
Beşgen altıgenin içinde olduğu için, aradaki fark açısı kenarlar arasındaki açıyı verir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerin iç açıları farkı
Soru 167Soru →

∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olan ABCABC ikizkenar üçgeninde, [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası işaretleniyor. AD⊥ACAD \perp AC, ∣BD∣=7|BD| = 7 cm ve ∣DC∣=25|DC| = 25 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

20
İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikme tabanı ikiye böler (32/2=1632/2=16). Oluşan ADCADC dik üçgeninde (AD⊥ACAD \perp AC), Öklid'in dik kenar bağıntısı (∣AC∣2=∣CH∣⋅∣CD∣|AC|^2 = |CH| \cdot |CD|) kullanılarak sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ikizkenar üçgeninde AA köşesinden [BC][BC] tabanına AHAH dikmesi indirilir.
HH noktası [BC][BC]'yi iki eşit parçaya böler.
İkizkenar üçgende tabana inilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.
2
Taban uzunluğu ve HH noktasının konumu hesaplanır.
∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣=7+25=32|BC| = |BD| + |DC| = 7 + 25 = 32 cm. Buradan ∣BH∣=∣HC∣=16|BH| = |HC| = 16 cm bulunur.
Kenarortay özelliği.
3
ADCADC dik üçgeninde Öklid bağıntısı uygulanarak ∣AC∣|AC| bulunur.
∣AC∣2=∣CH∣⋅∣CD∣⇒∣AC∣2=16⋅25=400⇒∣AC∣=20|AC|^2 = |CH| \cdot |CD| \Rightarrow |AC|^2 = 16 \cdot 25 = 400 \Rightarrow |AC| = 20 cm.
AD⊥ACAD \perp AC verildiği için △ADC\triangle ADC dik üçgendir ve AHAH hipotenüse ait yüksekliktir (Dik kenar bağıntısı).
4
∣AB∣|AB| uzunluğu belirlenir.
∣AB∣=∣AC∣=20|AB| = |AC| = 20 cm.
Üçgenin ikizkenar olduğu verilmiştir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana inilen dikmenin kenarortay olması ve Öklid dik kenar bağıntısı.

İpuçları

1
İkizkenar üçgende AA köşesinden tabana bir dikme indirmeyi deneyin.
2
İndirdiğiniz dikme [BC][BC] tabanını iki eşit parçaya böler. ∣BD∣|BD| ve ∣DC∣|DC| değerlerini kullanarak bu parçaların uzunluklarını bulun.
3
AD⊥ACAD \perp AC bilgisini kullanarak, oluşan ADCADC üçgeninde Öklid bağıntılarını (Dik kenar kuralı: b2=k⋅ab^2 = k \cdot a) hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Öklid bağıntılarının ikizkenar üçgen içinde gizlendiği diğer soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

ADCADC üçgeninde AD=hAD=h, AC=bAC=b ve CD=aCD=a olsun. h2+b2=a2h^2 + b^2 = a^2 (Pisagor) ve ABCABC üçgeninden gelen yükseklik ilişkisi ile denklem sistemi kurulabilir, ancak Öklid en pratik yoldur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 168Soru →

Analitik düzlemde, x−2y+4=0x - 2y + 4 = 0 doğrusunun A(1,−2)A(1, -2) noktasına göre simetriği olan doğrunun xx eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Aranan apsis değeri 14'tür.
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği kendisine paraleldir. A(1,−2)A(1, -2) noktası, orijinal doğru ile simetrik doğrunun tam ortasında yer alır. Orijinal doğrunun denklem değeri AA noktasında 99 ise, simetrik doğrunun değeri −9-9 olmalıdır. Buradan simetrik doğru x−2y−14=0x - 2y - 14 = 0 bulunur. y=0y=0 için x=14x=14 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun ve simetri merkezinin özelliklerini belirle.
Doğru: d1:x−2y+4=0d_1: x - 2y + 4 = 0, Simetri Merkezi: A(1,−2)A(1, -2).
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, o doğruya paralel olan başka bir doğrudur.
2
Simetrik doğru (d2d_2) denkleminin genel formunu yaz.
d2:x−2y+k=0d_2: x - 2y + k = 0
Paralel doğruların xx ve yy katsayıları aynıdır (veya orantılıdır), sadece sabit terim (kk) değişir.
3
Simetri merkezi A(1,−2)A(1, -2) noktasının d1d_1 ve d2d_2 doğrularına eşit uzaklıkta (orta nokta) olması kuralını kullan.
d1(A)+d2(A)=0d_1(A) + d_2(A) = 0 veya pratik yol ile sabit terim geçişi hesapla.
Nokta değerini d1d_1'de yerine koy: 1−2(−2)+4=91 - 2(-2) + 4 = 9. AA noktası orta nokta olduğundan, d2d_2'de yerine koyduğumuzda −9-9 sonucunu vermelidir (zıt işaretli).
4
kk sabitini hesapla.
1−2(−2)+k=−9⇒1+4+k=−9⇒5+k=−9⇒k=−141 - 2(-2) + k = -9 \Rightarrow 1 + 4 + k = -9 \Rightarrow 5 + k = -9 \Rightarrow k = -14.
Denklemi sağlayacak sabiti bulmak için.
5
Elde edilen d2d_2 doğrusunun xx eksenini kestiği noktayı (y=0y=0) bul.
x−2(0)−14=0⇒x=14x - 2(0) - 14 = 0 \Rightarrow x = 14.
Soruda apsis (x değeri) istenmektedir.

Anahtar Kavram

Noktaya Göre Simetri ve Doğru Demeti

İpuçları

1
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, o doğruya paraleldir. Yani eğimleri eşittir.
2
Simetri merkezi olan AA noktası, orijinal doğru üzerindeki herhangi bir nokta ile simetrik doğru üzerindeki karşılığının orta noktasıdır.
3
Orijinal denklemde A(1,−2)A(1, -2) koordinatlarını yerine koyduğunuzda çıkan sonucun ters işaretlisi, simetrik denklemde AA noktasının vereceği sonuç olmalıdır.

Alternatif Yöntem

Orijinal doğru üzerinde keyfi bir nokta seçilir (örneğin y=0y=0 için x=−4x=-4, P(−4,0)P(-4,0)). Bu noktanın A(1,−2)A(1,-2) noktasına göre simetriği alınır (P′P'). P′P' noktasından geçen ve eğimi orijinal doğruyla aynı (m=1/2m=1/2) olan doğru denklemi yazılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 169Soru →

Yarıçapı 1515 cm olan daire biçimindeki bir kartondan, merkez açısı 216∘216^\circ olan bir daire dilimi kesilerek; kıvrılma kenarları çakışacak biçimde dik dairesel koni şeklinde bir cisim oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu koninin içine, tabana ve yan yüzeylere teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin yarıçapı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

Ku¨reninyarıc\capı92(4,5)cm′dir.Kürenin yarıçapı \frac{9}{2} (4,5) cm'dir.
Daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna (l=15l=15) eşittir. rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} oranından koninin taban yarıçapı r=9r=9 cm bulunur. Pisagor bağıntısı ile koninin yüksekliği h=12h=12 cm elde edilir. Koninin içine sığacak en büyük küre, koninin dik kesiti olan tabanı 1818, kenarları 1515 cm olan ikizkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Alan=u⋅rku¨reAlan = u \cdot r_{küre} bağıntısından kürenin yarıçapı 92\frac{9}{2} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Daire diliminden koninin taban yarıçapını (rr) bulma
r=9r = 9 cm
Daire diliminin yarıçapı, koninin ana doğrusudur (l=15l=15). rl=α360\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360} formülünden r15=216360⇒r=9\frac{r}{15} = \frac{216}{360} \Rightarrow r=9.
2
Koninin yüksekliğini (hh) hesaplama
h=12h = 12 cm
Konide h2+r2=l2h^2 + r^2 = l^2 pisagor bağıntısından, h2+92=152⇒h=12h^2 + 9^2 = 15^2 \Rightarrow h = 12.
3
Koninin dik kesit üçgenini analiz etme
Tabanı 18 cm, ikiz kenarları 15 cm olan ikizkenar üçgen
Koninin içine yerleştirilen en büyük küre, koninin tepe noktasından ve taban çapından geçen dik kesit üçgeninin iç teğet çemberine karşılık gelir.
4
Üçgenin alanını ve yarı çevresini (uu) hesaplama
Alan =108= 108 cm², u=24u = 24 cm
Alan =Taban⋅Yu¨kseklik2=18⋅122=108= \frac{\text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}}{2} = \frac{18 \cdot 12}{2} = 108. Yarı çevre u=15+15+182=24u = \frac{15+15+18}{2} = 24.
5
İç teğet çemberin (kürenin) yarıçapını bulma
ρ=4,5\rho = 4,5 cm
Alan =u⋅ρ= u \cdot \rho formülünden, 108=24⋅ρ⇒ρ=10824=92=4,5108 = 24 \cdot \rho \Rightarrow \rho = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4,5.

Anahtar Kavram

Koni içine yerleştirilen küre problemleri, koninin dik kesit üçgeninin iç teğet çemberi problemine indirgenerek çözülür.

İpuçları

1
Önce daire diliminin özelliklerini kullanarak koninin taban yarıçapını ve yüksekliğini hesaplayın. (Formül: r/l = α/360)
2
Koninin tam ortasından dikey bir kesit aldığınızı hayal edin. Bu kesit bir ikizkenar üçgendir ve küre bu üçgenin içinde bir daire (iç teğet çember) olarak görünür.
3
Oluşan ikizkenar üçgenin tabanı 18 cm, yüksekliği 12 cm'dir. Üçgenin alanı hem (Taban x Yükseklik)/2 hem de (Yarı Çevre x İç Yarıçap) formülüyle bulunabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir koninin içine küre yerine, tabanı koninin tabanına oturan en büyük hacimli silindir yerleştirilseydi silindirin yüksekliği ne olurdu?

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: İç teğet çemberin merkezi I olsun. Tepe noktası A'dan tabana inen dikme H noktası olsun. A(I teğet noktası) üçgeni ile A(H taban köşesi) üçgeni benzerdir. Açıortay teoremi kullanılarak da oran bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 170Soru →

Dik koordinat düzleminde A(2,1)A(2, 1) noktasının 3x+4y+k=03x + 4y + k = 0 doğrusuna olan uzaklığı 44 birimdir. Buna göre, kk sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -20

Cevap

k sayısının alabileceği değerlerin toplamı -20'dir.
Noktanın doğruya uzaklık formülü ∣3(2)+4(1)+k∣/32+42=4|3(2) + 4(1) + k| / \sqrt{3^2 + 4^2} = 4 şeklinde kurulur. Buradan ∣10+k∣=20|10 + k| = 20 elde edilir. Bu eşitliği sağlayan kk değerleri 1010 ve −30-30 olduğu için toplamları −20-20 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Noktanın doğruya olan uzaklık formülünü belirle.
d=∣ax1+by1+c∣a2+b2d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığını hesaplamak için standart analitik geometri formülü kullanılır.
2
A(2,1)A(2, 1) noktasını ve 3x+4y+k=03x + 4y + k = 0 doğrusunu formülde yerine koy.
4=∣3(2)+4(1)+k∣32+424 = \frac{|3(2) + 4(1) + k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}
Verilen koordinatları (x1=2,y1=1x_1=2, y_1=1) ve katsayıları (a=3,b=4a=3, b=4) kullanarak denklem kurulur.
3
Denklemi sadeleştirerek mutlak değerli ifadeyi yalnız bırak.
4=∣10+k∣5⇒∣10+k∣=204 = \frac{|10 + k|}{5} \Rightarrow |10 + k| = 20
Paydadaki 25=5\sqrt{25}=5 değeri ile karşıdaki uzaklık değeri (4) çarpılarak denklem basitleştirilir.
4
Mutlak değerli denklemi iki durum için çöz.
10+k=20⇒k1=1010 + k = 20 \Rightarrow k_1 = 10 ve 10+k=−20⇒k2=−3010 + k = -20 \Rightarrow k_2 = -30
Mutlak değer içerisindeki bir ifade, dışarıdaki pozitif sayıya veya onun negatifine eşit olabilir.
5
Bulunan kk değerlerini topla.
10+(−30)=−2010 + (-30) = -20
Soruda istenen değerlerin toplamı işlemidir.

Anahtar Kavram

Noktanın doğruya olan uzaklığı formülü ve mutlak değerli denklemler.

İpuçları

1
Noktanın doğruya uzaklığı formülünde paydada katsayıların kareleri toplamının karekökü bulunur.
2
Elde edeceğiniz denklem ∣10+k∣=20|10+k|=20 şeklindedir. Mutlak değerden dolayı iki farklı sonuç çıkacağını unutmayın.
3
Mutlak değerli bir denklemde ∣X∣=a|X|=a ise X=aX=a veya X=−aX=-a olur. Her iki durumu da çözüp k değerlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla iki paralel doğru arasındaki uzaklık formülünü çalışabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 171Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, ABAB kenarı üzerinde DD ve EE noktaları, ACAC kenarı üzerinde ise FF ve GG noktaları işaretlenmiştir. [DF]∥[EG]∥[BC][DF] \parallel [EG] \parallel [BC] paralelliği ve ∣AD∣=∣DE∣=∣EB∣|AD| = |DE| = |EB| eşitliği verilmektedir. DFGEDFGE dörtgeninin alanı 24 cm224 \text{ cm}^2 olduğuna göre, EBCGEBCG dörtgeninin alanı kaç  cm2\text{ cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Üçgende eşit aralıklarla çizilen paralel doğrular, alanları S,3S,5S,7S...S, 3S, 5S, 7S... kuralına göre böler. Soruda verilen eşitliklere göre ortadaki bölge 3S3S, alttaki bölge 5S5S'tir. 3S=243S = 24 olduğundan S=8S=8 bulunur. İstenen alan 5S=5×8=405S = 5 \times 8 = 40 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik oranlarını belirle
Kenarlar eşit parçalandığı için üçgenlerin benzerlik oranları sırasıyla 1/1, 1/2 ve 1/3 değil; tepe noktasına göre 1, 2, 3 birim uzaklıktadır. Temel benzerlik oranları k1=12k_1 = \frac{1}{2} ve k2=13k_2 = \frac{1}{3} şeklindedir.
Paralel doğrular eş aralıklarla çizildiğinde oluşan üçgenlerin benzerlik oranları ardışık tam sayılarla orantılıdır.
2
Alanlar oranını hesapla
Benzerlik oranının karesi alanlar oranına eşittir. Alanlar sırasıyla 121^2, 222^2, 323^2 yani 1A1A, 4A4A, 9A9A ile orantılıdır.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (S1/S2=k2S_1/S_2 = k^2).
3
Bölgelerin alanlarını S cinsinden ifade et
En üstteki üçgen (ADFADF): SS. Ortadaki dörtgen (DFGEDFGE): 4S−S=3S4S - S = 3S. En alttaki dörtgen (EBCGEBCG): 9S−4S=5S9S - 4S = 5S.
Büyük üçgenin alanından bir önceki küçük üçgenin alanı çıkarılarak aradaki dörtgenin alanı bulunur.
4
Verilen bilgiyi kullanarak S değerini bul ve sonucu hesapla
Verilen DFGEDFGE alanı 3S=243S = 24 ise S=8S = 8 bulunur. İstenen EBCGEBCG alanı 5S5S olduğuna göre, 5×8=40 cm25 \times 8 = 40 \text{ cm}^2 dir.
Denklem çözümü.

Anahtar Kavram

Üçgende benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2'dir. Eşit aralıklı paralellerde alanlar S,3S,5S,7S...S, 3S, 5S, 7S... şeklinde tek sayılarla orantılı artar.

İpuçları

1
Üçgenlerde benzerlik oranı kk ise, alanlar oranı k2k^2'dir.
2
Kenarlar eşit parçalara bölündüğünde (∣AD∣=∣DE∣=∣EB∣|AD|=|DE|=|EB|), oluşan bölgelerin alanları S,3S,5S...S, 3S, 5S... şeklinde artar.
3
Ortadaki dörtgenin alanı 3S3S değerine karşılık gelmektedir. 3S=243S = 24 eşitliğini kullanınız.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının 2/32/3 veya 3/43/4 gibi rasyonel sayı olduğu ve alan değişiminin sorulduğu sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 172Soru →

Çevresi 40 cm olan bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8|AB| = 8 cm'dir.

m(ABC^)>90∘m(\widehat{ABC}) > 90^\circ olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Sadece 13 ve 14 olmak üzere 2 farklı değer alır.
Üçgenin kenar uzunlukları için iki temel kısıtlama vardır: Genel üçgen eşitsizliği ve geniş açı kısıtlaması. Çevresi 40 ve bir kenarı 8 olan üçgende diğer iki kenarın toplamı 32'dir (a+b=32a+b=32). Üçgen eşitsizliğinden (∣a−b∣<8|a-b|<8) aa kenarının (12,20)(12, 20) aralığında olması gerekir. Ancak BB açısının geniş olması (b2>a2+82b^2 > a^2 + 8^2), aa'nın 15'ten küçük olmasını gerektirir. Bu iki koşulun kesişimi (12,15)(12, 15) aralığıdır ve bu aralıkta sadece 13 ve 14 tam sayıları bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri değişkenlerle ifade et.
∣AB∣=c=8|AB|=c=8, ∣BC∣=a|BC|=a, ∣AC∣=b|AC|=b. Çevre =a+b+8=40⇒a+b=32⇒b=32−a= a+b+8 = 40 \Rightarrow a+b=32 \Rightarrow b = 32-a.
Soruyu çözebilmek için kenarlar arasında tek değişkene bağlı bir ilişki kurmak gerekir.
2
Üçgen eşitsizliğini uygula.
∣a−b∣<c<a+b⇒∣a−(32−a)∣<8|a-b| < c < a+b \Rightarrow |a-(32-a)| < 8. Buradan ∣2a−32∣<8|2a-32| < 8 elde edilir. −8<2a−32<8⇒24<2a<40⇒12<a<20-8 < 2a-32 < 8 \Rightarrow 24 < 2a < 40 \Rightarrow 12 < a < 20.
Bir üçgenin oluşabilmesi için temel kenar bağıntılarının sağlanması gerekir.
3
Geniş açı (m(B^)>90∘m(\widehat{B}) > 90^\circ) şartını uygula.
b2>a2+c2b^2 > a^2 + c^2 olmalıdır. (32−a)2>a2+82(32-a)^2 > a^2 + 8^2.
Açı 90∘90^\circ'den büyük olduğunda, karşısındaki kenarın karesi diğer kenarların kareleri toplamından büyük olur.
4
Eşitsizliği çöz.
1024−64a+a2>a2+64⇒960>64a⇒15>a1024 - 64a + a^2 > a^2 + 64 \Rightarrow 960 > 64a \Rightarrow 15 > a.
Açı şartının getirdiği üst sınırı belirlemek için işlem yapılır.
5
İki koşulu birleştirerek çözüm kümesini bul.
Üçgen eşitsizliğinden 12<a<2012 < a < 20 ve açı şartından a<15a < 15 bulundu. Ortak çözüm: 12<a<1512 < a < 15. Bu aralıktaki tam sayılar: 13 ve 14.
Her iki koşulu da aynı anda sağlayan değerler geçerlidir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenar uzunlukları hem üçgen eşitsizliğini (∣a−b∣<c<a+b|a-b|<c<a+b) hem de açıya bağlı özel durumları (Pisagor eşitsizliği) sağlamalıdır.
Soru 173Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde [AN][AN] doğru parçası, BAC^\widehat{BAC} açısının açıortayıdır.

∣AB∣=8|AB| = 8 cm, ∣AC∣=12|AC| = 12 cm ve ∣BN∣=6|BN| = 6 cm olduğuna göre, ∣NC∣|NC| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İç açıortay teoremi kullanılarak hesaplanan uzunluk 9 santimetredir.
Üçgende iç açıortay teoremi gereği, kenar uzunluklarının oranı, bu kenarların ayırdığı taban parçalarının oranına eşittir. Verilen değerlerle ∣AB∣∣BN∣=∣AC∣∣NC∣\frac{|AB|}{|BN|} = \frac{|AC|}{|NC|} orantısı kurulur. Buradan 86=12∣NC∣\frac{8}{6} = \frac{12}{|NC|} eşitliği elde edilir ve işlem yapıldığında ∣NC∣=9|NC| = 9 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen [AN][AN] doğru parçasının iç açıortay olduğunu belirle.
İç Açıortay Teoremi uygulanmalıdır.
Bir üçgende iç açıortay, indiği kenarı diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.
2
Teoreme uygun orantıyı kur: ∣AB∣∣BN∣=∣AC∣∣NC∣\frac{|AB|}{|BN|} = \frac{|AC|}{|NC|}.
86=12x\frac{8}{6} = \frac{12}{x}
Kenarların kendi taraflarındaki taban parçalarına oranı eşittir.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak xx değerini hesapla.
8⋅x=6⋅12⇒8x=72⇒x=98 \cdot x = 6 \cdot 12 \Rightarrow 8x = 72 \Rightarrow x = 9 cm
Denklem çözümü.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi

İpuçları

1
Üçgende iç açıortay, kenarları ve taban parçalarını belirli bir orana göre böler.
2
Sol kenarın sol taban parçasına oranı, sağ kenarın sağ taban parçasına oranına eşittir.
3
86=12∣NC∣\frac{8}{6} = \frac{12}{|NC|} eşitliğini kullanmalısın.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 174Soru →

Kenar sayısı çift olan bir düzgün çokgenin en uzun köşegeninin uzunluğu, en kısa köşegeninin uzunluğunun 2 katıdır.

Buna göre, bu çokgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Düzgün çokgenin iç açısı 150 derecedir.
Soruda verilen ilişki (En uzun = 2 ×\times En kısa), çevrel çember mantığıyla çözüldüğünde sin⁡(360/n)=1/2\sin(360/n) = 1/2 eşitliğini verir. Bu da merkez açının 30 derece, dolayısıyla kenar sayısının 12 olduğunu gösterir. 12 kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısı 150 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Çevrel çember yarıçapı (RR) kullanılarak köşegen tanımlarını yap.
Kenar sayısı nn olan çift kenarlı düzgün çokgende en uzun köşegen çaptır: 2R2R. En kısa köşegen ise bir köşe atlanarak çizilen (örneğin AA ile CC arasındaki) köşegendir.
Düzgün çokgenlerde köşegen uzunlukları, köşeler arasındaki yay ölçüsüne (merkez açı) bağlıdır.
2
En kısa köşegenin uzunluğunu merkez açı (alpha\\alpha) cinsinden ifade et.
Bir kenarı gören merkez açı alpha=360/n\\alpha = 360/n dir. En kısa köşegen iki kenarı görür (2alpha2\\alpha). Uzunluğu: 2Rcdotsin(2alpha/2)=2Rcdotsin(alpha)2R \\cdot \\sin(2\\alpha / 2) = 2R \\cdot \\sin(\\alpha).
Kiriş uzunluğu formülü: L=2Rsin(theta/2)L = 2R \\sin(\\theta/2).
3
Verilen '2 katı' ilişkisini denkleme dök ve nn sayısını bul.
2R=2cdot(2Rsinalpha)Rightarrowsinalpha=1/22R = 2 \\cdot (2R \\sin \\alpha) \\Rightarrow \\sin \\alpha = 1/2. Buradan \\alpha = 30^\\circ bulunur. 360/n=30Rightarrown=12360/n = 30 \\Rightarrow n=12.
Sinüsü 1/2 olan dar açı 30 derecedir.
4
Düzgün onikigenin (n=12n=12) bir iç açısını hesapla.
Dış açı = 360/12 = 30^\\circ. İç açı = 180 - 30 = 150^\\circ.
İç açı ile dış açının toplamı 180 derecedir.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde köşegen uzunlukları ve çevrel çember ilişkisi

İpuçları

1
Düzgün çokgenin çevrel çemberini ve merkezini (O) düşünün. En uzun köşegen merkezden geçer (çaptır).
2
En kısa köşegen, ardışık olmayan en yakın iki köşeyi birleştirir (Örneğin A ile C). Bu kirişin uzunluğunu yarıçap (R) cinsinden yazmaya çalışın.
3
En uzun köşegen = 2R. En kısa köşegen, merkezde 2×(360/n)2 \times (360/n) derecelik yayı gören kiriştir. Bu kirişin uzunluğu 2R⋅sin⁡(360/n)2R \cdot \sin(360/n) olur.

Alternatif Yöntem

Özel üçgenler yöntemi: Merkez O, köşeler A, B, C olsun. En kısa köşegen AC'dir. En uzun köşegen 2R'dir. AC = R olmalıdır (yarısı). OAC üçgeninde AC=R ve OA=OC=R olduğundan bu üçgen eşkenardır. O halde tepe açısı 60 derecedir. Bu açı iki kenarı (AB ve BC yaylarını) gördüğü için bir kenarı gören açı 30 derecedir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 175Soru →

ABCABC bir ikizkenar üçgen olmak üzere, ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliği veriliyor. [AC][AC] kenarı üzerinde alınan bir DD noktasından [BC][BC] tabanına indirilen dikmenin ayağı EE noktasıdır. ∣DE∣=4|DE| = 4 cm, ∣EC∣=2|EC| = 2 cm ve ∣BE∣=10|BE| = 10 cm olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 454\sqrt{5}

Cevap

İstenen uzunluk 454\sqrt{5} cm'dir.
İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikmenin tabanı ikiye bölmesi özelliği ve oluşan dik üçgenler arasındaki 1'e 3 benzerlik oranı kullanılarak çözüm yapılır. ∣AC∣|AC| kenarı 656\sqrt{5}, ∣DC∣|DC| parçası 252\sqrt{5} bulunduğundan farkları 454\sqrt{5} olur.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] tabanına AHAH dikmesi çizilir.
ABCABC ikizkenar olduğundan HH noktası tabanı iki eşit parçaya böler: ∣BH∣=∣HC∣=10+22=6|BH| = |HC| = \frac{10+2}{2} = 6 cm.
İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.
2
DECDEC ve AHCAHC üçgenleri arasındaki benzerlik oranı bulunur.
Her iki üçgen de dik üçgendir ve CC açısı ortaktır. Benzerlik oranı k=∣HC∣∣EC∣=62=3k = \frac{|HC|}{|EC|} = \frac{6}{2} = 3 bulunur.
Açı-Açı benzerlik kuralı gereği dik üçgenler benzerdir.
3
Benzerlik oranı kullanılarak ∣AH∣|AH| ve ∣AC∣|AC| uzunlukları hesaplanır.
∣AH∣=3⋅∣DE∣=3⋅4=12|AH| = 3 \cdot |DE| = 3 \cdot 4 = 12 cm. △AHC\triangle AHC üçgeninde Pisagor ile ∣AC∣=62+122=36+144=180=65|AC| = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} cm bulunur.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır.
4
∣DC∣|DC| uzunluğu hesaplanıp ∣AC∣|AC|'den çıkarılır.
△DEC\triangle DEC üçgeninde Pisagor ile ∣DC∣=22+42=20=25|DC| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} cm. Sonuç: ∣AD∣=∣AC∣−∣DC∣=65−25=45|AD| = |AC| - |DC| = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} cm.
DD noktası [AC][AC] üzerindedir, bu nedenle fark alınır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik kenarortaydır ve oluşturulan dik üçgenlerde benzerlik ilişkileri kurulabilir.
Soru 176Soru →

Taban yarıçapı 66 cm ve ana doğrusunun uzunluğu 1010 cm olan dik dairesel bir koninin içerisine, koninin tabanına ve yan yüzeylerine teğet olacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36π36\pi

Cevap

Kürenin hacmi 36π36\pi cm3\text{cm}^3 tür.
Doğru cevap, koninin dikey kesitindeki üçgenin iç teğet çember yarıçapının (R=3R=3) hesaplanması ve bu değerin küre hacim formülüne (V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3) uygulanmasıyla 36π36\pi olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yüksekliğini (hh) bulmak için Pisagor bağıntısını uygula.
h=102−62=100−36=64=8h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 cm.
Koninin yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğru dik üçgen oluşturur (6−8−106-8-10 üçgeni).
2
Koninin tepe noktasından geçen dikey kesiti (ikizkenar üçgeni) ve iç teğet çemberi (kürenin büyük çemberi) modelle.
Kesit üçgeninin tabanı 2r=122r = 12 cm, yüksekliği h=8h = 8 cm, eşit kenarları 1010 cm'dir.
Kürenin yarıçapını (RR) bulmak için bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı hesaplanmalıdır.
3
Üçgenin alanını ve yarı çevresini (uu) kullanarak iç teğet çember yarıçapını (RR) hesapla.
Alan = 12⋅82=48\frac{12 \cdot 8}{2} = 48. Çevre = 10+10+12=3210+10+12=32, u=16u=16. R=Alanu=4816=3R = \frac{\text{Alan}}{u} = \frac{48}{16} = 3 cm.
Bir üçgenin alanı, yarı çevre (uu) ile iç teğet çember yarıçapının (RR) çarpımına eşittir (A=u⋅RA = u \cdot R).
4
Bulunan yarıçapı (R=3R=3) küre hacim formülünde yerine yaz.
Vku¨re=43πR3=43π(33)=43π(27)=36πV_{küre} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3^3) = \frac{4}{3}\pi (27) = 36\pi.
Küre hacim formülü V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 tür.

Anahtar Kavram

Koni içine yerleştirilen en büyük kürenin yarıçapı, koninin eksenel kesitindeki (ikizkenar üçgen) iç teğet çemberin yarıçapına eşittir.

İpuçları

1
Koninin tepe noktasından taban çapına inen dikey bir kesit aldığınızı hayal edin. Bu kesit bir ikizkenar üçgendir.
2
Kürenin bu kesitteki görüntüsü, ikizkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Üçgenin kenar uzunluklarını (6−8−106-8-10 üçgeninden faydalanarak) bulun.
3
Üçgenin alanı (AA) ve yarı çevresi (uu) ile iç teğet çember yarıçapı (RR) arasındaki A=u⋅RA = u \cdot R bağıntısını kullanarak RR'yi hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli koninin hacmini soran bir problem çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: Tepe açısının yarısına α\alpha dersek, tan⁡(α)=rkoni/h=6/8=3/4\tan(\alpha) = r_{koni}/h = 6/8 = 3/4. Küre merkezi OO olmak üzere, OO'dan teğet noktasına çizilen yarıçap RR ve tepe noktasına olan uzaklık 8−R8-R dir. Dik üçgende sin⁡(α)=R/(8−R)\sin(\alpha) = R/(8-R). tan⁡(α)=3/4\tan(\alpha)=3/4 ise sin⁡(α)=3/5\sin(\alpha)=3/5. Buradan 3/5=R/(8−R)⇒24−3R=5R⇒8R=24⇒R=33/5 = R/(8-R) \Rightarrow 24-3R=5R \Rightarrow 8R=24 \Rightarrow R=3.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 177Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeni biçimindeki kâğıt, [AB][AB] kenarı üzerindeki DD noktası ve [BC][BC] kenarı üzerindeki EE noktası boyunca katlandığında, BB köşesi AA köşesi ile çakışmaktadır.

m(ACB^)=42∘m(\widehat{ACB}) = 42^\circ

m(EAC^)=24∘m(\widehat{EAC}) = 24^\circ

Verilenlere göre, m(ABC^)m(\widehat{ABC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 57

Cevap

Katlama sonucu oluşan simetri kullanılarak m(ABC^)=57∘m(\widehat{ABC}) = 57^\circ bulunur.
Katlama işlemi BB noktasını AA'ya taşıdığı için ∣EB∣=∣EA∣|EB|=|EA| eşitliği sağlanır ve ABEABE üçgeni ikizkenar olur. Taban açıları m(B^)=m(EAB^)=xm(\widehat{B}) = m(\widehat{EAB}) = x olarak alınır. ABCABC üçgeninin iç açılar toplamı x+(x+24)+42=180x + (x+24) + 42 = 180 denklemini verir. Buradan 2x=1142x = 114 ve x=57x=57 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Katlama özelliğini analiz et.
BB noktası AA noktasına katlandığına göre, [DE][DE] katlama çizgisi simetri eksenidir. Bu durumda ∣EA∣=∣EB∣|EA| = |EB| olur, yani ΔABE\Delta ABE bir ikizkenar üçgendir.
Katlama sorularında çakışan noktalar simetri ve eşit uzunluk belirtir.
2
Eşit açıları harflendir.
ΔABE\Delta ABE ikizkenar olduğundan taban açıları eşittir: m(ABE^)=m(BAE^)=xm(\widehat{ABE}) = m(\widehat{BAE}) = x diyelim.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
3
Büyük üçgende iç açılar toplamı bağıntısını kur.
ΔABC\Delta ABC için iç açılar: B^=x\widehat{B} = x, C^=42∘\widehat{C} = 42^\circ ve A^=x+24∘\widehat{A} = x + 24^\circ. Toplamları: x+(x+24)+42=180x + (x + 24) + 42 = 180.
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ'dir.
4
Denklemi çöz.
2x+66=180⇒2x=114⇒x=57∘2x + 66 = 180 \Rightarrow 2x = 114 \Rightarrow x = 57^\circ.
Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Katlama (Simetri) ve İkizkenar Üçgen Özellikleri

İpuçları

1
Bir kâğıdı katladığınızda üst üste gelen kenarların uzunlukları eşittir.
2
BB noktası AA noktasına geldiğine göre, ∣EB∣|EB| uzunluğu ∣EA∣|EA| uzunluğuna eşittir. Bu size hangi üçgen türünü hatırlatıyor?
3
ABEABE üçgeni ikizkenardır. m(B^)=m(EAB^)m(\widehat{B}) = m(\widehat{EAB}) eşitliğini kullanarak büyük üçgenin iç açılar toplamını yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir katlama sorusunda katlama çizgisinin açıortay olması özelliğini kullanan sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 178Soru →

Tamamı su ile dolu olan, taban yarıçapı 66 cm ve yüksekliği 1515 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kabın içerisine, yarıçapı 33 cm olan küre şeklinde demir bir bilye bırakılıyor. Bilye tamamen suya battığına göre, kaptan taşan su miktarının kapta kalan su miktarına oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1/141/14

Cevap

Taşan su miktarının kapta kalan su miktarına oranı 1/141/14 olarak bulunur.
Silindirin hacmi 540π540\pi ve içine atılan bilyenin hacmi 36π36\pi olarak hesaplanır. Kap dolu olduğu için taşan su miktarı bilyenin hacmi olan 36π36\pi kadardır. Kapta kalan su ise toplam hacimden taşan miktarın çıkarılmasıyla 504π504\pi olarak bulunur. Bu iki değerin birbirine oranı 36/50436/504 sadeleştirildiğinde 1/141/14 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin toplam hacmini hesaplayınız.
Vsilindir=π⋅r2⋅h=π⋅62⋅15=540π cm3V_{silindir} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 6^2 \cdot 15 = 540\pi \text{ cm}^3
Kap tamamen dolu olduğu için başlangıçtaki su miktarı silindirin hacmine eşittir.
2
Küre şeklindeki bilyenin hacmini hesaplayınız.
Vku¨re=43⋅π⋅r3=43⋅π⋅33=36π cm3V_{küre} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = 36\pi \text{ cm}^3
Bilye suya tamamen battığı için kendi hacmi kadar suyun yerini değiştirecek ve bu miktar kaptan taşacaktır.
3
Kalan su miktarını belirleyiniz.
Vkalan=Vtoplam−Vtas\can=540π−36π=504π cm3V_{kalan} = V_{toplam} - V_{taşan} = 540\pi - 36\pi = 504\pi \text{ cm}^3
Taşan su miktarı bilyenin hacmine eşit olduğundan, toplam hacimden bilye hacmi çıkarılarak kalan su bulunur.
4
İstenen oranı kurunuz.
Oran=36π504π=36504=114\text{Oran} = \frac{36\pi}{504\pi} = \frac{36}{504} = \frac{1}{14}
Taşan su miktarının (36π36\pi) kalan su miktarına (504π504\pi) bölünmesiyle oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Arşimet prensibine göre suya batan bir cisim, kendi hacmi kadar sıvının yerini değiştirir. Katı cisimlerde hacim hesaplama formülleri (Vsilindir=πr2hV_{silindir} = \pi r^2 h ve Vku¨re=43πr3V_{küre} = \frac{4}{3} \pi r^3) bu tür problemlerin çözümünde temeldir.

İpuçları

1
Taşan suyun hacmi, tamamen batan bilyenin hacmine eşittir.
2
Silindirin hacmini πr2h\pi r^2 h ve kürenin hacmini 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3 formülleriyle hesaplayıp π\pi cinsinden bırakın.
3
Kalan su miktarını bulmak için silindirin toplam hacminden bilyenin hacmini çıkarın ve ardından bölme işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, silindirin yarısı suyla dolu olsaydı bilye atıldığında su seviyesinin ne kadar yükseleceğini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayılarla uğraşmak yerine formülleri oranlayabilirsiniz. Tas¸an=43π(3)3=36π\text{Taşan} = \frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi. Kalan=π(6)2(15)−36π\text{Kalan} = \pi(6)^2(15) - 36\pi. Her iki tarafı 36π36\pi parantezine alarak sadeleştirmeyi hızlandırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 179Soru →

ABC bir üçgen ve G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir.

BG⊥CGBG \perp CG olmak üzere;
∣BG∣=6|BG| = 6 cm ve ∣CG∣=8|CG| = 8 cm olduğuna göre, ∣AG∣|AG| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

AG uzunluğu 10 cm'dir.
Öncelikle BGCBGC üçgeninde Pisagor bağıntısı veya 6-8-10 özel üçgeni kuralı ile ∣BC∣=10|BC|=10 cm bulunur. GG noktası ağırlık merkezi olduğu için, AA köşesinden gelen kenarortay GG noktasından geçer ve BCBC kenarını ortalar (bu noktaya DD diyelim). BGCBGC dik üçgen olduğu için 'Muhteşem Üçlü' kuralı gereği hipotenüse ait kenarortay (GDGD), hipotenüsün yarısıdır (∣GD∣=5|GD|=5 cm). Son olarak, ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böldüğü için ∣AG∣=2⋅∣GD∣|AG| = 2 \cdot |GD| formülünden ∣AG∣=10|AG| = 10 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula.
∣BG∣=6|BG|=6 ve ∣CG∣=8|CG|=8 olduğu için, 6−8−106-8-10 özel üçgeninden ∣BC∣=10|BC| = 10 cm bulunur.
BG ve CG dik kesiştiği için BGC dik üçgendir.
2
Ağırlık merkezinden geçen kenarortay doğrusunu çiz ve 'Muhteşem Üçlü' özelliğini kullan.
AG doğrusunu uzatıp BC'yi kestiği noktaya D diyelim. BGC dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay (GD), hipotenüsün yarısıdır. ∣GD∣=∣BC∣/2=10/2=5|GD| = |BC| / 2 = 10 / 2 = 5 cm.
Dik üçgende hipotenüse indirilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
3
Ağırlık merkezi oran özelliğini kullanarak AG uzunluğunu hesapla.
G ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böler (∣AG∣=2⋅∣GD∣|AG| = 2 \cdot |GD|). Buna göre ∣AG∣=2⋅5=10|AG| = 2 \cdot 5 = 10 cm.
Ağırlık merkezi köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıktadır.

Anahtar Kavram

Ağırlık Merkezi ve Muhteşem Üçlü

İpuçları

1
BGC üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak BC uzunluğunu bulunuz.
2
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısıdır (Muhteşem Üçlü).
3
Ağırlık merkezi, kenarortayı 1 birim kenara, 2 birim köşeye olacak şekilde böler (∣AG∣=2∣GD∣|AG| = 2|GD|).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda hipotenüs uzunluğu verilip ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı sorulabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 180Soru →

ABCABC bir ikizkenar üçgen olmak üzere ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. BCBC tabanı üzerinde alınan bir PP noktasından [AB][AB] ve [AC][AC] kenarlarına dikmeler çizilmiştir. [AB][AB] kenarına inilen dikmenin uzunluğu 33 cm, [AC][AC] kenarına inilen dikmenin uzunluğu 55 cm ve m(BAC^)=30∘m(\widehat{BAC}) = 30^\circ olduğuna göre, ∣AC∣|AC| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İkizkenar üçgenin eşit kenar uzunluğu 16 cm'dir.
İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan eşit kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir. Verilen soruda bu dikmelerin toplamı 3+5=83 + 5 = 8 cm'dir. Bu yükseklik, tepe açısı 30∘30^\circ olan bir dik üçgenin dik kenarıdır. 30−60−9030-60-90 üçgeninde, 30∘30^\circ karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı olduğundan, hipotenüs (yani üçgenin eşit kenarı) 2×8=162 \times 8 = 16 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgen özelliğini uygula
hb=hc=3+5=8h_b = h_c = 3 + 5 = 8 cm
İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlara ait yüksekliğe eşittir.
2
CC köşesinden [AB][AB] kenarına ait yüksekliği çiz ve oluşan dik üçgeni incele
Oluşan AHCAHC dik üçgeninde m(HAC^)=30∘m(\widehat{HAC}) = 30^\circ ve ∣HC∣=8|HC| = 8 cm'dir.
Yükseklik ABAB kenarına diktir ve tepe açısı 30∘30^\circ verilmiştir.
3
30-60-90 üçgeni özelliğini kullanarak hipotenüsü bul
∣AC∣=2×8=16|AC| = 2 \times 8 = 16 cm
30−60−9030-60-90 üçgeninde 30∘30^\circ'nin karşısındaki dik kenar (yükseklik), hipotenüsün (eşit kenar) yarısıdır.

Anahtar Kavram

İkizkenar Üçgen Taban Özelliği ve 30-60-90 Üçgeni

İpuçları

1
İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan kollara çizilen dikmelerin toplamı ile ilgili kuralı hatırlayın.
2
Bu dikmelerin toplamı, üçgenin eşit kenarlarından birine ait yüksekliği verir.
3
Eşit kenara ait yüksekliği çizdiğinizde oluşan dik üçgenin açısı 30 derecedir. 30-60-90 üçgeni özelliğini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer özelliği eşkenar üçgen için (içerideki noktadan kenarlara inilen dikmelerin toplamı) soran bir soru çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 9 / 22Sonraki
Geometri — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 9 | Examkin