Examkin

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

35 soru

Soru 21Soru →

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(E)=40s(E) = 40
* s(A′∪B′)=32s(A' \cup B') = 32
* s(A′∩B′)=6s(A' \cap B') = 6
* s(A∖B)=3⋅s(B∖A)−14s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A) - 14

Buna göre, BB kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

B kümesinin eleman sayısı 18'dir.
Soruda verilen De Morgan ifadelerinden hareketle s(A∩B)=8s(A \cap B) = 8 ve s(A∪B)=34s(A \cup B) = 34 olduğu saptanır. Birleşim formülü kullanılarak AA ve BB kümelerinin fark bölgelerinin toplamının 26 olduğu bulunur. Verilen cebirsel bağıntı (s(A∖B)=3⋅s(B∖A)−14s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A) - 14) kullanılarak s(B∖A)s(B \setminus A) değeri 10 olarak hesaplanır. BB kümesinin tamamı sorulduğu için bu fark değerine kesişim eklenerek 18 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
De Morgan yasasını kullanarak kesişim kümesinin eleman sayısını belirlemek.
s(A∩B)=8s(A \cap B) = 8
s(A′∪B′)=s((A∩B)′)=32s(A' \cup B') = s((A \cap B)') = 32 olduğundan, evrensel kümeden tümleyen çıkarıldığında kesişim bulunur: s(A∩B)=40−32=8s(A \cap B) = 40 - 32 = 8.
2
De Morgan yasasını kullanarak birleşim kümesinin eleman sayısını belirlemek.
s(A∪B)=34s(A \cup B) = 34
s(A′∩B′)=s((A∪B)′)=6s(A' \cap B') = s((A \cup B)') = 6 olduğundan, evrensel kümeden dış bölge çıkarıldığında birleşim bulunur: s(A∪B)=40−6=34s(A \cup B) = 40 - 6 = 34.
3
Kümelerin fark bölgeleri arasındaki ilişkiyi kullanarak denklem kurmak.
s(B∖A)=10s(B \setminus A) = 10 ve s(A∖B)=16s(A \setminus B) = 16
s(A∪B)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) formülünde bilinenler yerine yazılırsa: 34=s(A∖B)+s(B∖A)+8⇒s(A∖B)+s(B∖A)=2634 = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + 8 \Rightarrow s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = 26. Sorudaki denklemde s(B∖A)=ks(B \setminus A) = k denirse: (3k−14)+k=26⇒4k=40⇒k=10(3k - 14) + k = 26 \Rightarrow 4k = 40 \Rightarrow k = 10 bulunur.
4
BB kümesinin toplam eleman sayısını hesaplamak.
s(B)=18s(B) = 18
s(B)=s(B∖A)+s(A∩B)s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) olduğundan, 10+8=1810 + 8 = 18 elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde De Morgan yasaları ve fark işleminin eleman sayısı hesaplamalarıyla olan ilişkisi.
Soru 22Soru →

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

3⋅s(A∖B)=4⋅s(B∖A)=s(A∩B) 3 \cdot s(A \setminus B) = 4 \cdot s(B \setminus A) = s(A \cap B)
s((A∪B)′)=7 s((A \cup B)') = 7
s(E)=45 s(E) = 45

Buna göre, AA kümesinin tümleyeninin eleman sayısı (s(A′)s(A')) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13
Verilen eşitlikler kullanılarak küme bölgeleri kk cinsinden ifade edildiğinde (4k,12k,3k4k, 12k, 3k), evrensel küme toplamından k=2k=2 bulunur. AA'nın tümleyeni, AA kümesinin dışında kalan elemanlardır; yani sadece BB'de olanlar (3k=63k=6) ile her iki kümenin de dışında olanlar (77) toplamıdır: 6+7=136+7=13.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen oranları tek bir değişkene bağla.
s(A∖B)=4ks(A \setminus B) = 4k, s(B∖A)=3ks(B \setminus A) = 3k, s(A∩B)=12ks(A \cap B) = 12k (3 ve 4'ün EKOK'u kullanılarak).
Eşitlikteki katsayıların (3, 4, 1) ortak katını bularak kesirli sayılarla uğraşmaktan kaçınmak için.
2
Evrensel küme denklemini kur.
s(E)=s(A∖B)+s(A∩B)+s(B∖A)+s((A∪B)′)s(E) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) + s(B \setminus A) + s((A \cup B)') olduğundan, 45=4k+12k+3k+745 = 4k + 12k + 3k + 7.
Tüm bölgelerin toplamı evrensel kümeyi verir.
3
kk değerini hesapla.
19k+7=45⇒19k=38⇒k=219k + 7 = 45 \Rightarrow 19k = 38 \Rightarrow k = 2.
Bölge değerlerini bulmak için kk'yı çözmek gerekir.
4
s(A′)s(A') değerini hesapla.
A′=(E∖A)=(B∖A)∪(A∪B)′A' = (E \setminus A) = (B \setminus A) \cup (A \cup B)'. s(A′)=3k+7=3(2)+7=6+7=13s(A') = 3k + 7 = 3(2) + 7 = 6 + 7 = 13.
AA kümesinin dışındaki tüm elemanları (sadece B'de olanlar ve hiçbirinde olmayanlar) toplamak gerekir.

Anahtar Kavram

Kümelerde İşlemler ve De Morgan Kuralları
Soru 23Soru →

Yabancı dil kursundaki öğrencilerin oluşturduğu EE evrensel kümesi içerisinde; Almanca bilenlerin kümesi AA, İngilizce bilenlerin kümesi II ile gösterilmiştir. Aşağıdaki Venn şemasında sadece Almanca bilen öğrencilerin bulunduğu bölge taranmıştır. Buna göre, taranan bu bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A∖IA \setminus I

Cevap

Sadece Almanca bilenlerin kümesi olan A∖IA \setminus I ifadesi doğrudur.
Şemada taranmış olan bölge, Almanca bilenlerin (AA kümesi) sınırları içinde yer alırken, İngilizce bilenlerin (II kümesi) sınırlarının dışında kalmaktadır. Matematikte bu durum 'A fark I' olarak adlandırılır ve A∖IA \setminus I sembolü ile gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1
Taranan bölgenin hangi temel kümenin sınırları içerisinde olduğunu belirleyin.
Taranan bölge AA kümesinin (çemberinin) içindedir.
Sadece Almanca bilenler, AA kümesinin bir alt kısmını oluşturur.
2
Taranan bölgenin hangi kümenin sınırları dışında bırakıldığını kontrol edin.
II kümesi ile olan ortak bölge (kesişim) taranmamıştır.
Bir kişinin 'sadece' Almanca bilmesi, o kişinin İngilizce bilmediği anlamına gelir.
3
AA kümesinde bulunup II kümesinde bulunmayan elemanları temsil eden matematiksel sembolü belirleyin.
Bu durum 'fark' işlemiyle A∖IA \setminus I (veya A−IA - I) şeklinde gösterilir.
Kümelerde fark işlemi, bir kümenin diğer kümeden ayrılan özel kısmını tanımlar.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi (A∖BA \setminus B), A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesidir.

İpuçları

1
Taranan bölgenin hangi ana kümenin (A veya I) içinde olduğuna dikkat edin.
2
Taranan yer A kümesinin içindedir ancak I kümesi ile ortak olan kısımları içermemektedir.
3
Bir kümede olup başka bir kümede olmayan elemanları göstermek için 'fark' sembolü (\ veya -) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Aynı şema üzerinde hem Almanca hem İngilizce bilenlerin bölgesini ve Almanca bilmeyenlerin bölgesini sembollerle ifade etmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Taranan bölgeyi A∩I′A \cap I' (A ile I'nın tümleyeninin kesişimi) şeklinde de ifade edebiliriz, çünkü bu bölge hem A'nın içinde hem de I'nın dışındadır.
Tahmini Süre:45s
Soru 24Soru →
EE evrensel kümesinin boş olmayan AA ve BB alt kümeleri için,
K=[(A∪B′)∖(A∖B)]∩B K = [(A \cup B') \setminus (A \setminus B)] \cap B
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A∩BA \cap B

Cevap

İfadenin en sade hali A∩BA \cap B kümesidir.
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; ilk kısım evrensel kümeden simetrik farkın çıkarılmasına (veya kesişim ile dış bölgenin birleşimine) denk gelir. Bu küme ile BB kümesi kesiştirildiğinde, geriye sadece hem AA'da hem de BB'de olan elemanlar, yani A∩BA \cap B kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Fark işlemini kesişim cinsinden ifade etme
A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' ve X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y' kurallarını kullanalım. İfade: (A∪B′)∩(A∖B)′(A \cup B') \cap (A \setminus B)' haline gelir.
Küme cebiri işlemlerini yapabilmek için fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmak gerekir.
2
De Morgan kuralını uygulama
(A∖B)′=(A∩B′)′=A′∪B(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B olur. İfade şimdi: [(A∪B′)∩(A′∪B)]∩B[(A \cup B') \cap (A' \cup B)] \cap B şeklindedir.
Parantezin tümleyenini içeri dağıtarak işlemi basitleştirmek için.
3
Dağılma özelliği veya bölge analizi yapma
[(A∪B′)∩(A′∪B)][(A \cup B') \cap (A' \cup B)] ifadesi, (A∩B)∪(A∪B)′(A \cap B) \cup (A \cup B)' kümesine eşittir (veya sadece bölgeler düşünüldüğünde: 'Sadece B' ve 'Sadece A' bölgeleri dışındaki her yer).
Bu ifadeyi basitleştirmek sonraki kesişim işlemi için gereklidir.
4
Sonuç ile B kümesini kesiştirme
[(A∩B)∪(A∪B)′]∩B[(A \cap B) \cup (A \cup B)'] \cap B. Dağılma özelliği ile: (A∩B∩B)∪((A∪B)′∩B)(A \cap B \cap B) \cup ((A \cup B)' \cap B).
(A∩B)∩B=A∩B(A \cap B) \cap B = A \cap B olur.
(A∪B)′∩B=∅(A \cup B)' \cap B = \emptyset (çünkü B kümesi (A∪B)′(A \cup B)' ile ayrıktır).
Sonuç: (A∩B)∪∅=A∩B(A \cap B) \cup \emptyset = A \cap B.

Anahtar Kavram

Küme işlemlerinde fark (A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B') ve De Morgan kurallarının sembolik mantık ile uygulanması.

İpuçları

1
İfadedeki fark işlemlerini (X∖YX \setminus Y) kesişim ve tümleme cinsinden (X∩Y′X \cap Y') yazarak işe başlayın.
2
(A∖B)′(A \setminus B)' ifadesini De Morgan kuralı ile açın: (A∩B′)′=A′∪B(A \cap B')' = A' \cup B.
3
İfadeyi Venn şeması üzerinde bölgeler vererek düşünün: A∪B′A \cup B' kümesinden A∖BA \setminus B (sadece A) bölgesini çıkarırsanız geriye ne kalır?

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgeleri numaralandırın (1: Sadece A, 2: Kesişim, 3: Sadece B, 4: Dışarı). (A∪B′)(A \cup B') {1,2,4} bölgeleridir. (A∖B)(A \setminus B) {1} bölgesidir. Farkları {2,4} olur. Bu kümeyi B kümesi {2,3} ile kesiştirirseniz geriye sadece {2} yani kesişim kalır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 25Soru →
Gerçel sayılar kümesi R\mathbb{R} üzerinde AA ve BB kümeleri,
A={x∈R∣∣x−1∣≤4} A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1| \le 4 \}
B={x∈R∣x>2} B = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2 \}
şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, A∖B′A \setminus B' kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (2,5](2, 5]

Cevap

A kümesinden B'nin tümleyeni çıkarıldığında elde edilen aralık (2,5](2, 5] olur.
Öncelikle mutlak değer eşitsizliği çözülerek A=[−3,5]A=[-3, 5] bulunur. Daha sonra BB kümesinin tümleyeni alınarak B′=(−∞,2]B'=(-\infty, 2] elde edilir. Son adımda AA kümesinden B′B' kümesi çıkarılır. 22 noktası çıkarılan kümeye dahil olduğu için sonuçta hariç tutulur, 55 noktası çıkarılan kümede olmadığı için dahil edilir. Sonuç (2,5](2, 5] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesini aralık gösterimiyle ifade et.
∣x−1∣≤4  ⟹  −4≤x−1≤4  ⟹  −3≤x≤5|x - 1| \le 4 \implies -4 \le x - 1 \le 4 \implies -3 \le x \le 5. Yani A=[−3,5]A = [-3, 5].
Mutlak değerli eşitsizlik çözülerek A kümesinin sınırları bulunur.
2
B kümesinin tümleyenini (B′B') bul.
B=(2,∞)B = (2, \infty) olduğuna göre, B′=(−∞,2]B' = (-\infty, 2] olur.
2'den büyük sayıların tümleyeni, 2 ve 2'den küçük sayılardır.
3
A∖B′A \setminus B' fark kümesini hesapla.
[−3,5][-3, 5] aralığından (−∞,2](-\infty, 2] aralığını çıkarırsak geriye 2'den büyük, 5'e eşit veya küçük sayılar kalır.
2 sayısı B′B' kümesine dahildir, bu yüzden fark kümesinden atılır (açık parantez). 5 sayısı B′B' kümesinde yoktur, kalır (kapalı parantez).

Anahtar Kavram

Kümelerde Fark ve Tümleme

İpuçları

1
Önce A kümesinin aralık gösterimini bulunuz (−a≤x≤a-a \le x \le a kuralını kullanın).
2
B kümesi x>2x > 2 olduğuna göre, B'nin tümleyeni (B′B') 2 ve 2'den küçük sayıları kapsar.
3
[−3,5][-3, 5] aralığından 2 ve 2'den küçük sayıları çıkarırsanız, alt sınırınız 2 olur (dahil değil).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkta, (A∪B)′(A \cup B)' işlemini gerektiren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizerek A kümesini ve B' kümesini farklı renklerle işaretleyip, A'nın B' ile örtüşmeyen kısmını görsel olarak tespit edebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 26Soru →

AA ve BB kümeleri, EE evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Aşağıdaki Venn şemasında bu kümeler arasındaki belirli bir bölge taralı olarak gösterilmiştir.

Buna göre, şemada taralı olarak gösterilen bölgeyi ifade eden işlem aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A∖BA \setminus B

Cevap

Taralı bölge, AA kümesinde olup BB kümesinde olmayan elemanları temsil ettiği için A∖BA \setminus B (veya A−BA-B) işlemiyle ifade edilir.
Venn şemasında taranmış olan bölge, sol taraftaki AA kümesinin sınırları içerisinde kalırken sağ taraftaki BB kümesinin dışında bırakılmıştır. Matematiksel olarak bir kümede bulunup diğerinde bulunmayan elemanların kümesi "fark" işlemi ile gösterilir. Bu nedenle taranmış bölgeyi en doğru şekilde ifade eden gösterim A∖BA \setminus B şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Venn şemasındaki sınırları inceleyin.
Şemada iki adet kesişen çember (AA ve BB) ve onları kapsayan bir dikdörtgen (EE) bulunmaktadır.
Kümeler arasındaki ilişkileri görsel olarak anlamak için sınırların tespiti gerekir.
2
Taralı alanın hangi kümenin içinde ve hangisinin dışında olduğunu belirleyin.
Taralı bölge tamamen AA çemberinin içinde yer alırken, BB çemberinin sınırlarının tamamen dışındadır.
Taralı bölgenin karakteristik özelliğini belirleyerek matematiksel tanıma ulaşmak hedeflenir.
3
Elde edilen veriyi küme işlemleri tanımlarıyla eşleştirin.
"AA kümesinde olan ancak BB kümesinde olmayan" elemanların kümesi fark işlemidir ve A∖BA \setminus B şeklinde gösterilir.
Görsel veriyi küme teorisi terminolojisine dönüştürmek için tanım bilgisi kullanılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi (A∖BA \setminus B), birinci kümede bulunan ancak ikinci kümede bulunmayan elemanların oluşturduğu kümedir.

İpuçları

1
Taralı bölgenin hangi kümenin 'sahipliğinde' olduğunu ve hangi kümeden 'kaçındığını' düşünün.
2
Şemada taranan yer sadece AA kümesine ait olup BB ile hiçbir ortaklığı olmayan kısımdır.
3
Bir kümeden diğerini 'çıkardığımızda' geriye kalan bölgeyi ifade eden matematiksel sembolü hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir şemada hem AA hem de BB çemberlerinin dışında kalan ancak dikdörtgenin içinde kalan bölgenin hangi işlemi (tümleme) ifade ettiğini inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 27Soru →

Boştan farklı KK ve LL kümeleri, EE evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Aşağıdaki eşitlikler bu kümeler için geçerlidir:

s(K∪L)=30s(K \cup L) = 30
s(K∖L)+s(L∖K)=4⋅s(K∩L)s(K \setminus L) + s(L \setminus K) = 4 \cdot s(K \cap L)
s(K)=2⋅s(L)s(K) = 2 \cdot s(L)
s(K′)=18s(K') = 18

Verilen bu bilgilere göre, L′L' (L kümesinin tümleyeni) eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

L kümesinin tümleyeninin eleman sayısı 30'dur.
Verilen eşitlikler kullanılarak küme eleman sayıları sırasıyla bulunur. s(K∪L)=30s(K \cup L) = 30 ve farkların toplamı kesişimin 4 katı olduğundan kesişim 6 bulunur. s(K)=2s(L)s(K)=2s(L) eşitliğinden KK fark LL kümesi 18, LL fark KK kümesi 6 bulunur. K′K' bilgisiyle evrensel kümenin dışındaki eleman sayısı 12 olarak hesaplanır. Son olarak L′L', KK fark LL ile dış bölgenin toplamı olan 30'a eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesinin eleman sayısını (xx) belirle.
s(K∩L)=xs(K \cap L) = x olsun.
Bilinmeyenleri ifade etmek için değişkene ihtiyaç vardır.
2
Fark kümelerinin toplamını xx cinsinden ifade et ve birleşim formülünü kullan.
s(K∖L)+s(L∖K)=4xs(K \setminus L) + s(L \setminus K) = 4x olduğundan, s(K∪L)=4x+x=5x=30⇒x=6s(K \cup L) = 4x + x = 5x = 30 \Rightarrow x = 6.
Birleşim kümesi, fark kümeleri ve kesişimin toplamına eşittir.
3
Fark kümelerinin eleman sayılarını (aa ve bb) bulmak için s(K)=2⋅s(L)s(K) = 2 \cdot s(L) eşitliğini kullan.
s(K∖L)=as(K \setminus L) = a, s(L∖K)=bs(L \setminus K) = b olsun. a+b=24a + b = 24. s(K)=a+6s(K) = a + 6, s(L)=b+6s(L) = b + 6. a+6=2(b+6)⇒a=2b+6a + 6 = 2(b + 6) \Rightarrow a = 2b + 6. Denklem çözülürse b=6,a=18b=6, a=18.
İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülmelidir.
4
Evrensel kümenin dışındaki (yy) eleman sayısını s(K′)=18s(K') = 18 bilgisinden bul.
s(K′)=s(L∖K)+s((K∪L)′)=6+y=18⇒y=12s(K') = s(L \setminus K) + s((K \cup L)') = 6 + y = 18 \Rightarrow y = 12.
Bir kümenin tümleyeni, o kümenin dışındaki tüm elemanları kapsar.
5
İstenen s(L′)s(L') değerini hesapla.
s(L′)=s(K∖L)+s((K∪L)′)=18+12=30s(L') = s(K \setminus L) + s((K \cup L)') = 18 + 12 = 30.
L'nin tümleyeni, L dışındaki elemanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemleri arasındaki cebirsel ilişkiler.

İpuçları

1
Kümeleri Venn şeması çizerek gösterin ve her bölgeye (K∖LK \setminus L, K∩LK \cap L, L∖KL \setminus K ve dış bölge) birer değişken atayın (örneğin a,x,b,ya, x, b, y).
2
s(K∪L)s(K \cup L) formülünü kullanarak önce kesişim kümesinin eleman sayısını (xx) bulun.
3
s(K′)=s(L∖K)+s((K∪L)′)s(K') = s(L \setminus K) + s((K \cup L)') eşitliğini kullanarak dış bölgedeki eleman sayısını (yy) bulun, sonra L′L' için s(K∖L)+ys(K \setminus L) + y toplamını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu üç küme (A,B,CA, B, C) için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Denklem sistemi yerine değer vererek deneme yapılabilir, ancak s(K)=2s(L)s(K)=2s(L) şartını sağlayan tek tam sayı çözümünü bulmak zor olabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 28Soru →

Aşağıdaki Venn şemasında EE evrensel kümesi ve bu kümenin bir alt kümesi olan AA kümesi gösterilmiştir.

Buna göre, şemada taralı olarak gösterilen bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A′A' (A'nın tümleyeni)

Cevap

A′A' (A'nın tümleyeni) kümesi
Şemada gösterilen taralı alan, AA kümesinin sınırları dışında kalan ancak evrensel kümenin (EE) sınırları içerisinde yer alan bölgedir. Matematiksel olarak bir kümenin dışında kalan elemanların kümesi o kümenin tümleyeni olarak tanımlandığından, bu bölge A′A' (A'nın tümleyeni) ile ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Venn şemasını ve sınırları analiz edin.
Dikdörtgen çerçeve EE evrensel kümesini, içindeki daire ise AA kümesini temsil etmektedir.
Kümeler arasındaki ilişkileri görsel olarak anlamak için temel bileşenleri belirlemek gerekir.
2
Taralı bölgenin konumunu belirleyin.
Taralı bölge AA dairesinin dışında, ancak EE dikdörtgeninin içindedir.
Taralı alanın hangi eleman gruplarını dışladığını veya kapsadığını görmek işlemi belirlememizi sağlar.
3
Küme işlemleri tanımıyla eşleştirin.
Bir evrensel kümede, bir AA kümesine ait olmayan elemanların kümesine AA'nın tümleyeni denir ve A′A' ile gösterilir.
Görsel veriyi matematiksel terminoloji ile ifade etmek için tanım kullanılır.

Anahtar Kavram

Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan ancak evrensel kümede bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümedir.

İpuçları

1
Şemadaki dikdörtgenin evrensel küme olduğunu, dairenin ise AA kümesi olduğunu unutmayın.
2
Taralı bölge AA dairesinin içinde mi yoksa dışında mı yer alıyor?
3
Bir kümenin dışında kalan elemanlar kümesine 'tümleyen' denir ve bu A′A' sembolü ile gösterilir.

Daha Fazla Pratik

İki kümenin kesişiminin dışındaki bölgeyi (A ve B kümeleri varken) gösteren şemaları inceleyerek De Morgan kurallarını keşfedebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şemayı E∖AE \setminus A (E fark A) işlemi olarak da düşünebilirsiniz. Bir evrensel kümenin alt kümesinden farkı, o alt kümenin tümleyenine eşittir (E∖A=A′E \setminus A = A').
Tahmini Süre:30s
Soru 29Soru →

EE evrensel kümesinin boş olmayan AA ve BB alt kümeleri veriliyor.

Buna göre,
[(A∪B)∖(B∖A)]′ \left[ (A \cup B) \setminus (B \setminus A) \right]'
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A'

Cevap

İfadenin en sade hali A' (A'nın tümleyeni) kümesidir.
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde parantez içinin A kümesine eşit olduğu görülür. En dıştaki tümleyen işareti nedeniyle doğru cevap A kümesinin tümleyenidir (A′A').

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki fark işlemini (B∖AB \setminus A) kesişim ve tümleme cinsinden ifade edelim.
B∖A=B∩A′B \setminus A = B \cap A'
Küme farkı tanımı gereği X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y' eşitliği kullanılır.
2
Ana ifadedeki fark işlemini (∖\setminus) dönüştürelim.
(A∪B)∖(B∩A′)=(A∪B)∩(B∩A′)′(A \cup B) \setminus (B \cap A') = (A \cup B) \cap (B \cap A')'
Dışarıdaki fark işlemi de kesişim ve tümleme cinsine çevrilir.
3
De Morgan kuralını uygulayarak sağdaki parantezin tümleyenini alalım.
(B∩A′)′=B′∪A(B \cap A')' = B' \cup A
İfade şu hale gelir: (A∪B)∩(A∪B′)(A \cup B) \cap (A \cup B')
Kesişimin tümleyeni, tümleyenlerin birleşimine eşittir.
4
Dağılma özelliğini tersten (ortak paranteze alma) uygulayalım.
(A∪B)∩(A∪B′)=A∪(B∩B′)(A \cup B) \cap (A \cup B') = A \cup (B \cap B')
B∩B′=∅B \cap B' = \emptyset olduğundan sonuç A∪∅=AA \cup \emptyset = A bulunur.
Her iki parantezde de A∪A \cup ifadesi ortaktır.
5
En dıştaki tümleyen işlemini uygulayalım.
[A]′=A′[A]' = A'
Soruda köşeli parantezin dışında bir tümleyen işareti (') bulunmaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y' dönüşümü ve De Morgan kuralları kullanılarak sadeleştirme yapılır.

İpuçları

1
Fark işlemini (X∖YX \setminus Y) kesişim ve tümleme cinsinden (X∩Y′X \cap Y') yazarak başlayın.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 30Soru →

EE evrensel kümesinin boştan farklı AA ve BB alt kümeleri için tanımlanan (A∖B)′∩(A∪B)(A \setminus B)' \cap (A \cup B) ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: BB

Cevap

İfadenin en sade hali BB kümesidir.
Verilen (A∖B)′∩(A∪B)(A \setminus B)' \cap (A \cup B) ifadesinde öncelikle fark işlemi A∩B′A \cap B' olarak yazılır. De Morgan kuralı ile (A∩B′)′(A \cap B')' ifadesi A′∪BA' \cup B olur. Böylece tüm ifade (A′∪B)∩(A∪B)(A' \cup B) \cap (A \cup B) şekline dönüşür. Burada BB bileşeni ve birleşim işlemi ortaktır. İfade B∪(A′∩A)B \cup (A' \cap A) parantezine alınır. Bir küme ile tümleyeninin kesişimi boş küme (A′∩A=∅A' \cap A = \emptyset) olduğundan, sonuç B∪∅=BB \cup \emptyset = B bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden ifade et.
A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' olduğu için ifade (A∩B′)′∩(A∪B)(A \cap B')' \cap (A \cup B) halini alır.
Küme işlemlerinde sadeleştirme yapabilmek için fark işlemi genellikle kesişime çevrilir.
2
De Morgan kuralını uygula.
(A∩B′)′=A′∪(B′)′=A′∪B(A \cap B')' = A' \cup (B')' = A' \cup B olur.
Parantez dışındaki tümleme işlemini içeri dağıtmak için De Morgan kuralı kullanılır.
3
Elde edilen ifadeyi ana denklemde yerine yaz ve ortak paranteze al (Dağılma özelliğinin tersi).
İfade (A′∪B)∩(A∪B)(A' \cup B) \cap (A \cup B) şekline dönüşür. Her iki tarafta da ∪B\cup B ortaktır. Bu ifadeyi B∪(A′∩A)B \cup (A' \cap A) şeklinde düzenleyebiliriz.
Sağdan dağılma özelliğinin tersini kullanarak ifade sadeleştirilir.
4
Tümleme özelliğini kullanarak sonucu bul.
A′∩A=∅A' \cap A = \emptyset (boş küme) olduğundan işlem B∪∅B \cup \emptyset haline gelir. Sonuç BB olur.
Bir küme ile tümleyeninin kesişimi boş kümedir; boş küme ile bir kümenin birleşimi kümenin kendisidir.

Anahtar Kavram

Küme cebrinde fark işleminin (A∖B=A∩B′)(A \setminus B = A \cap B') dönüşümü, De Morgan kuralları ve dağılma özelliği kullanılarak sembolik sadeleştirme yapılması.

İpuçları

1
Öncelikle A∖BA \setminus B (A fark B) işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmayı deneyin.
2
A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' eşitliğini kullanın ve ardından parantez dışındaki tümleme işlemi için De Morgan kuralını uygulayın.
3
İfadeyi (A′∪B)∩(A∪B)(A' \cup B) \cap (A \cup B) haline getirdikten sonra, her iki tarafta ortak olan BB kümesini dışarı alarak (dağılma özelliğinin tersi) sadeleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (A∪B)′∪(A∩B)(A \cup B)' \cup (A \cap B) ifadesinin sadeleştirilmesi üzerine çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek de çözülebilir. A∖BA \setminus B sadece A'da olan kısımdır. Bunun tümleyeni (dışı), bu kısım hariç her yerdir. Bu alan ile A∪BA \cup B (iki kümenin tamamı) kesiştirildiğinde geriye sadece BB kümesinin kaldığı görülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 31Soru →
EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için,
[(A∖B)∪(B∖A)]′∩A [(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' \cap A
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A∩BA \cap B

Cevap

İfadenin en sade hali A∩BA \cap B kümesidir.
Verilen ifadede köşeli parantez içi AA ve BB'nin simetrik farkıdır. Bunun tümleyeni alındığında, 'ya her ikisinde olan ya da hiçbirinde olmayan' elemanlar elde edilir. Bu küme AA ile kesiştirildiğinde, geriye sadece her ikisinde de olan elemanlar, yani kesişim kümesi (A∩BA \cap B) kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki ifadeyi tanımla.
(A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) ifadesi AA ve BB kümelerinin simetrik farkıdır (sadece AA'da veya sadece BB'de olan elemanlar).
İşlem önceliğine göre önce en içteki parantez yorumlanır.
2
Simetrik farkın tümleyenini al.
[(A∖B)∪(B∖A)]′[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' ifadesi, simetrik farkın dışındaki bölgedir. Bu bölge, her iki kümede de olanlar (A∩BA \cap B) ile hiç birinde olmayanların (A′∩B′A' \cap B') birleşimidir.
Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan elemanları kapsar.
3
Elde edilen kümeyi AA ile kesiştir.
Bu birleşim kümesinin AA ile ortak olan kısmı sadece A∩BA \cap B bölgesidir. Çünkü (A′∩B′A' \cap B') kümesinin AA ile ortak elemanı yoktur.
Kesişim işlemi, her iki kümede de ortak bulunan elemanları seçer.

Anahtar Kavram

Kümelerde Simetrik Fark ve Tümleme

İpuçları

1
(A∖B)∪(B∖A)(A \setminus B) \cup (B \setminus A) ifadesinin Venn şemasında nereleri taradığını düşünün.
2
Bu birleşim 'Simetrik Fark'tır. Tümleyeni alındığında geriye kesişim bölgesi ve her iki kümenin dışı kalır.
3
Elde ettiğiniz bölgeyi A kümesi ile kesiştirdiğinizde, A'nın dışında kalan kısımlar (evrenselin boşluğu) elenir, geriye sadece kesişim kalır.

Daha Fazla Pratik

De Morgan kuralları kullanılarak yapılan benzer sadeleştirme sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

Değer vererek çözme: A={1,2}A=\{1,2\}, B={2,3}B=\{2,3\}, E={1,2,3,4}E=\{1,2,3,4\} olsun. A∖B={1}A \setminus B=\{1\}, B∖A={3}B \setminus A=\{3\}. Birleşim {1,3}\{1,3\}. Tümleyeni {2,4}\{2,4\}. Bu kümenin AA ({1,2}\{1,2\}) ile kesişimi {2}\{2\} olur. {2}\{2\} kümesi A∩BA \cap B'dir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →

EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

s(E)=35 s(E) = 35
s(A′∩B′)=12 s(A' \cap B') = 12
s([(A∖B)∪(B∖A)]′)=4⋅s(A∩B) s([(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]') = 4 \cdot s(A \cap B)
s(A)=2⋅s(B) s(A) = 2 \cdot s(B)

Buna göre, s(A∖B)s(A \setminus B) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14
Verilen karmaşık ifade, simetrik farkın tümleyenidir ve Venn şemasında hem kesişim bölgesini (A∩BA \cap B) hem de dış bölgeyi (A′∩B′A' \cap B') kapsar. Denklem s(A∩B)+s(A′∩B′)=4⋅s(A∩B)s(A \cap B) + s(A' \cap B') = 4 \cdot s(A \cap B) şeklinde kurulduğunda, kesişim kümesinin eleman sayısı 4 olarak bulunur. s(A)=2s(B)s(A) = 2s(B) bağıntısı ve evrensel küme toplamı kullanılarak yapılan denklem çözümü sonucunda A∖BA \setminus B kümesinin eleman sayısı 14 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri bölgelere ayırıp değişken ata
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x, s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y, s(A∩B)=zs(A \cap B) = z, s(A′∩B′)=ts(A' \cap B') = t olsun.
Karmaşık küme ifadelerini cebirsel denklemlere dönüştürmek çözümü kolaylaştırır.
2
Verilen basit eşitlikleri değişkenler cinsinden yaz
x+y+z+t=35x + y + z + t = 35 ve t=12t = 12.
Evrensel küme ve tümleyenlerin kesişimi doğrudan verilmiştir.
3
Karmaşık ifadeyi analiz et: s([(A∖B)∪(B∖A)]′)s([(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]')
Bu ifade (AΔB)′(A \Delta B)' demektir. Bu bölge, hem kesişimi (zz) hem de dış bölgeyi (tt) kapsar. Yani: z+t=4zz + t = 4z.
Simetrik farkın tümleyeni, 'ya her ikisi ya hiçbiri' mantığıyla kesişim ve dış bölgenin birleşimidir.
4
z değerini bul
t=3z⇒12=3z⇒z=4t = 3z \Rightarrow 12 = 3z \Rightarrow z = 4.
t değeri bilindiği için z hesaplanabilir.
5
Geriye kalan x ve y değişkenlerini çöz
Toplam: x+y+4+12=35⇒x+y=19x + y + 4 + 12 = 35 \Rightarrow x + y = 19. Denklem: s(A)=2s(B)⇒x+z=2(y+z)⇒x+4=2(y+4)⇒x=2y+4s(A) = 2s(B) \Rightarrow x + z = 2(y + z) \Rightarrow x + 4 = 2(y + 4) \Rightarrow x = 2y + 4.
İki bilinmeyenli denklem sistemi elde edilir.
6
Denklem sistemini çözerek x'i bul
(2y+4)+y=19⇒3y=15⇒y=5(2y + 4) + y = 19 \Rightarrow 3y = 15 \Rightarrow y = 5. Buradan x=2(5)+4=14x = 2(5) + 4 = 14.
İstenen değer s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x olduğu için sonuç 14'tür.

Anahtar Kavram

Simetrik Farkın Tümleyeni

İpuçları

1
Venn şeması çizerek bölgelere harfler (x,y,z,tx, y, z, t) verin.
2
[(A∖B)∪(B∖A)]′[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' ifadesi, AA ve BB'nin sadece birinde olanların dışındakilerdir. Yani hem ikisinde olanlar (A∩BA \cap B) hem de hiçbirinde olmayanlar (A′∩B′A' \cap B').

Daha Fazla Pratik

De Morgan kurallarını içeren ve 3 kümeli (A, B, C) birleşim problemi çözün.
Tahmini Süre:3m 30s
Soru 33Soru →

Gerçel sayılar kümesi (mathbbR\\mathbb{R}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈R∣∣x−2∣≤4} A = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \le 4 \}
B={x∈R∣x2−2x−8<0} B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 2x - 8 < 0 \}

Buna göre, AA kümesinde bulunup BB kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu A∖BA \setminus B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{ -2 \} \cup [4, 6]

Cevap

{−2}∪[4,6]\{-2\} \cup [4, 6] kümesi doğru cevaptır.
Doğru cevap, AA kümesinin [−2,6][-2, 6] kapalı aralığı ve BB kümesinin (−2,4)(-2, 4) açık aralığı olarak bulunmasıyla elde edilir. A∖BA \setminus B işlemi, [−2,6][-2, 6] aralığından (−2,4)(-2, 4) aralığının çıkarılmasıdır. −2-2 noktası BB kümesine dahil olmadığı için (açık aralık), fark kümesinde kalır. Benzer şekilde 44 noktası BB kümesine dahil olmadığı için fark kümesinde kalır. 44 ile 66 arasındaki tüm sayılar da BB'de olmadığı için kalır. Sonuç olarak {−2}\{-2\} tekil elemanı ve [4,6][4, 6] kapalı aralığı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin aralığını belirle.
∣x−2∣≤4⇒−4≤x−2≤4⇒−2≤x≤6|x - 2| \le 4 \Rightarrow -4 \le x - 2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 6. Yani A=[−2,6]A = [-2, 6].
Mutlak değer eşitsizliği −a≤u≤a-a \le u \le a kuralına göre açılır.
2
B kümesinin aralığını belirle.
x2−2x−8<0⇒(x−4)(x+2)<0x^2 - 2x - 8 < 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 2) < 0. Kökler x=4x=4 ve x=−2x=-2. İşaret tablosuna göre negatif olduğu aralık (−2,4)(-2, 4). Yani B=(−2,4)B = (-2, 4).
İkinci dereceden eşitsizliklerde kökler arası (katsayı pozitif ise) negatif bölgedir.
3
A \ B fark kümesini hesapla (A'da olan ama B'de olmayanlar).
Sayı doğrusunda [−2,6][-2, 6] aralığından (−2,4)(-2, 4) açık aralığı çıkarılır.
1. −2-2 elemanı AA'da vardır, BB'de yoktur (B açık aralık). O halde −2-2 fark kümesine dahildir.
2. (−2,4)(-2, 4) aralığı hem AA'da hem BB'de vardır, atılır.
3. 44 elemanı AA'da vardır, BB'de yoktur (B açık aralık). O halde 44 fark kümesine dahildir.
4. (4,6](4, 6] aralığı AA'da vardır, BB'de yoktur. Dahildir.
Fark işlemi tanımı: x∈Ax \in A ve x∉Bx \notin B. Sınır noktalarına dikkat edilmelidir.

Anahtar Kavram

Gerçel sayı aralıklarında fark işlemi yapılırken, çıkarılan kümenin sınır noktalarının dahil olup olmadığına (açık/kapalı parantez) dikkat edilmelidir. Açık aralık çıkarıldığında, sınır noktası fark kümesinde kalır.

İpuçları

1
Önce verilen eşitsizlikleri çözerek A ve B kümelerini aralık notasyonu ile (köşeli veya normal parantez kullanarak) yazınız.
2
A kümesi [-2, 6] kapalı aralığı, B kümesi ise (-2, 4) açık aralığıdır. Sayı doğrusu çizerek A kümesini boyayın, ardından B kümesinin kapladığı yeri silin.
3
B kümesi (-2, 4) açık aralığıdır, yani -2 ve 4 sayılarını İÇERMEZ. Bir kümeden B'yi çıkardığınızda, B'de olmayan bu sınır noktaları (eğer ana kümede varsa) geriye kalan parçada durmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu tam sayı kısıtlaması altında çözün: A∩ZA \cap \mathbb{Z} ve B∩ZB \cap \mathbb{Z} kümelerinin farkının eleman sayısı kaçtır?

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizmek yerine kümeleri özelliklerine göre yazın: A kümesi -2 ile 6 arasındaki (dahil) sayılar. B kümesi -2 ile 4 arasındaki (hariç) sayılar. Fark kümesi için A'nın şartını sağlayan (-2 <= x <= 6) ama B'nin şartını sağlamayan (x <= -2 veya x >= 4) sayıları arayın. Kesişim: x = -2 veya 4 <= x <= 6.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 34Soru →

EE evrensel kümesinin boş olmayan AA ve BB alt kümeleri veriliyor.

Buna göre,
[(A∪B′)′∪(A∩B)]′ \left[ (A \cup B')' \cup (A \cap B) \right]'
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: B′B'

Cevap

Verilen ifade sadeleştirildiğinde B′B' (B kümesinin tümleyeni) sonucuna ulaşılır.
İfadenin çözümü mantıksal işlem sırasına göre yapıldığında, iç kısımdaki terimler BB kümesine indirgenir. En dıştaki tümleme işareti nedeniyle sonuç BB kümesinin tümleyeni (B′B') olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk parantez içindeki (A∪B′)′(A \cup B')' ifadesine De Morgan kuralını uygula.
(A′∩(B′)′)=A′∩B(A' \cap (B')') = A' \cap B
De Morgan kuralı gereği (X∪Y)′=X′∩Y′(X \cup Y)' = X' \cap Y' ve (X′)′=X(X')' = X tir.
2
Elde edilen ifadeyi yerine yaz ve köşeli parantez içindeki birleşim işlemini düzenle.
(A′∩B)∪(A∩B)(A' \cap B) \cup (A \cap B)
İfade ortak çarpan parantezine alınabilir.
3
BB kümesi ortak olduğu için dağılma özelliğini tersine kullan (B parantezine al).
B∩(A′∪A)B \cap (A' \cup A)
Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği: (X∩Y)∪(Z∩Y)=(X∪Z)∩Y(X \cap Y) \cup (Z \cap Y) = (X \cup Z) \cap Y.
4
A′∪AA' \cup A ifadesinin evrensel kümeye (EE) eşit olduğunu kullan.
B∩E=BB \cap E = B
Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi verir; evrensel küme ile kesişim kümenin kendisidir.
5
Son olarak, en dıştaki tümleme işlemini uygula.
B′B'
Köşeli parantezin içi BB olarak bulundu, dışındaki ′' işareti tümleyeni ifade eder.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Dağılma Özelliği

İpuçları

1
Önce en içteki parantez olan (A∪B′)′(A \cup B')' ifadesini De Morgan kuralını kullanarak açın.
2
Elde ettiğiniz ifadede (A′∩B)(A' \cap B) ve (A∩B)(A \cap B) terimlerini göreceksiniz. Her iki terimde de ortak olan küme hangisidir?
3
İfadeyi BB parantezine aldığınızda (A′∪A)(A' \cup A) oluşur. Bu birleşim evrensel kümeye eşittir. Sonucu bulduktan sonra en dıştaki tümleme işaretini unutmayın.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek de çözülebilir: İki kesişen küme çizin. A∪B′A \cup B' bölgesi, 'sadece B' bölgesi dışındaki her yerdir. Bunun tümleyeni (A∪B′)′(A \cup B')' ise 'sadece B' bölgesidir (B∖AB \setminus A). A∩BA \cap B ise kesişim bölgesidir. Bu ikisinin birleşimi ('sadece B' ve 'kesişim') B kümesinin tamamını verir. B'nin tümleyeni ise B′B' olur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 35Soru →
EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:
s(A)=14 s(A) = 14
s(A′)=20 s(A') = 20
s(B)=16 s(B) = 16
s(A∖B)=8 s(A \setminus B) = 8

Buna göre, s(A′∩B′)s(A' \cap B') değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İstenen kümenin eleman sayısı 10'dur.
Soruyu çözmek için önce evrensel kümenin eleman sayısı bulunur: s(E)=s(A)+s(A′)=14+20=34s(E) = s(A) + s(A') = 14 + 20 = 34. Daha sonra AA kümesinin eleman sayısı formülünden kesişim kümesi elde edilir: s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)⇒14=8+s(A∩B)⇒s(A∩B)=6s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) \Rightarrow 14 = 8 + s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 6. Birleşim kümesi formülü ile s(A∪B)=14+16−6=24s(A \cup B) = 14 + 16 - 6 = 24 bulunur. Son olarak, De Morgan kuralı gereği s(A′∩B′)=s((A∪B)′)s(A' \cap B') = s((A \cup B)') olduğundan, bu değer evrensel kümeden birleşim kümesinin çıkarılmasıyla 34−24=1034 - 24 = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Evrensel kümenin eleman sayısını bulmak için s(A)s(A) ve s(A′)s(A') değerlerini toplayın.
s(E)=s(A)+s(A′)=14+20=34s(E) = s(A) + s(A') = 14 + 20 = 34
Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi oluşturur.
2
A∩BA \cap B kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak için s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) eşitliğini kullanın.
14=8+s(A∩B)⇒s(A∩B)=614 = 8 + s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 6
AA kümesi, AA'nın BB'den farkı ile kesişimlerinin birleşimidir.
3
A∪BA \cup B birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=14+16−6=24s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 14 + 16 - 6 = 24
Birleşim formülü: İki kümenin eleman sayıları toplamından kesişimleri çıkarılır.
4
De Morgan kuralını kullanarak s(A′∩B′)s(A' \cap B') ifadesini s((A∪B)′)s((A \cup B)') olarak yazın ve sonucu bulun.
s((A∪B)′)=s(E)−s(A∪B)=34−24=10s((A \cup B)') = s(E) - s(A \cup B) = 34 - 24 = 10
İstenen ifade, birleşim kümesinin tümleyenine eşittir.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Kümelerde Kardinalite Problemleri

İpuçları

1
Öncelikle s(E)=s(A)+s(A′)s(E) = s(A) + s(A') eşitliğini kullanarak evrensel kümenin eleman sayısını bulunuz.
2
s(A∖B)s(A \setminus B) bilgisini kullanarak s(A∩B)s(A \cap B) değerini hesaplayınız.
3
De Morgan kuralını hatırlayınız: A′∩B′=(A∪B)′A' \cap B' = (A \cup B)'. Bu nedenle önce s(A∪B)s(A \cup B) değerini bulup evrensel kümeden çıkarınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak üç küme içeren veya alt küme bağıntısı verilen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bir bölgeye değişken atayınız (x, y, z, t). x+z=14x+z=14, y+t=20y+t=20 (A dışı), z+y=16z+y=16 (B), x=8x=8 (A fark B). Bu denklem sistemini çözerek tt (A' kesişim B') değerini bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin