Problemler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Soru 1Soru →

Bir endüstriyel tesiste A ve B tanklarında bulunan farklı derişimlerdeki asit çözeltileri karıştırılarak yeni çözeltiler elde edilmektedir. A tankındaki çözeltinin asit oranı $\%60$ , B tankındaki çözeltinin asit oranı ise $\%x$ 'tir. Bu tanklardan; A'dan $m$ litre, B'den $n$ litre alınarak oluşturulan I. karışımın asit oranı $\%50$ olmaktadır. Eğer A'dan $n$ litre, B'den $m$ litre alınarak karıştırılsaydı elde edilen II. karışımın asit oranı $\%55$ olacaktı.

Buna göre, B tankındaki çözeltinin asit oranı ( $x$ ) kaçtır?

35

40

45

48

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

B tankındaki çözeltinin asit oranı %45'tir.

Soruda verilen iki farklı karışım durumu için ağırlıklı ortalama denklemleri kurulur. Birinci durumda

A

ve

B

'den alınan miktarlar

m

ve

n

iken, ikinci durumda bu miktarlar yer değiştirmiştir (

n

ve

m

). Her iki durum için elde edilen denklemlerden

m/n

oranı çekilerek birbirine eşitlendiğinde, bilinmeyen

x

yüzdesi için ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin mantıklı çözümü

x=45

'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgileri matematiksel denklemlere dök.

I. Durum:

\frac{60 \cdot m + x \cdot n}{m + n} = 50

II. Durum:

\frac{60 \cdot n + x \cdot m}{m + n} = 55

Karışım problemlerinde, (Miktar × Oran) toplamının toplam miktara bölümü yeni oranı verir.

2

Birinci ve ikinci denklemi düzenleyerek

m

ve

n

arasındaki ilişkiyi bul.

I. denklemden:

60m + xn = 50m + 50n \Rightarrow 10m = n(50-x)

II. denklemden:

60n + xm = 55m + 55n \Rightarrow 5n = m(55-x)

Değişkenleri sadeleştirmek için içler dışlar çarpımı yapılır.

3

Elde edilen iki bağıntıdan oran çekerek (

m/n

) birbirine eşitle.

\frac{m}{n} = \frac{50-x}{10}

ve

\frac{m}{n} = \frac{5}{55-x}

olduğu için;

\frac{50-x}{10} = \frac{5}{55-x}

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için ortak bir oran kullanılır.

4

Oluşan denklemi çözerek

x

değerini bul.

(50-x)(55-x) = 50 \Rightarrow 2750 - 105x + x^2 = 50 \Rightarrow x^2 - 105x + 2700 = 0

Çarpanlar:

(x-60)(x-45) = 0

.

x=60

olamaz (oranlar farklı olurdu), bu yüzden

x=45

.

İkinci dereceden denklemin kökleri bulunur ve problem mantığına uygun olan seçilir.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde madde miktarı korunumunu kullanarak oran-orantı ve denklem sistemi kurma.

İpuçları

1

Karışım problemlerinde temel formül: (1. Madde Miktarı × Yüzdesi + 2. Madde Miktarı × Yüzdesi) = (Toplam Miktar × Yeni Yüzde) şeklindedir.

2

İki durum için de ayrı ayrı denklem kurmalısın. Birinci denklemden

m

ile

n

arasında bir ilişki, ikinci denklemden de yine

m

ile

n

arasında başka bir ilişki bulacaksın.

3

Birinci durumdan

10m = n(50-x)

, ikinci durumdan

5n = m(55-x)

eşitliklerini bulup taraf tarafa oranlayarak

m

ve

n

'yi yok et.

Daha Fazla Pratik

Karışım miktarlarının yer değiştirdiği benzer problemler çözerek denklem kurma pratiği yapılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 2Soru →

Bir belediyenin fen işleri müdürlüğünde hazırlanan bir altyapı projesinin teknik çizimlerini; Selim tek başına $24$ saatte, Nihal ise tek başına $36$ saatte tamamlayabilmektedir. İkisi birlikte bu projenin çizimine başladıktan $6$ saat sonra Selim acil bir saha görevi için işten ayrılıyor. Buna göre, kalan teknik çizimleri Nihal tek başına kaç saatte tamamlar?

14

18

21

24

27

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $21$

Cevap

Kalan teknik çizimler Nihal tarafından 21 saatte tamamlanır.

İşçilerin hızları toplandığında bir saatte işin

\frac{5}{72}

'sini bitirdikleri görülür.

6

saat sonunda işin

\frac{5}{12}

'si tamamlanmış olur. Geriye kalan

\frac{7}{12}

'lik işi Nihal kendi hızıyla (

\frac{1}{36}

) bitirdiğinde

21

saatlik bir süre elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İki işçinin birlikte çalıştığı 1 saatteki iş miktarını bulun.

\frac{1}{24} + \frac{1}{36} = \frac{3+2}{72} = \frac{5}{72}

Birlikte çalışma hızı, bireysel hızların toplamına eşittir.

2

6

saatte yapılan toplam iş miktarını hesaplayın.

6 \times \frac{5}{72} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12}

Çalışma süresi ile birim zamandaki iş miktarı çarpılır.

3

Geriye kalan iş miktarını bulun.

1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}

İşin tamamı 1 tam olarak kabul edilir.

4

Kalan işin Nihal tarafından bitirilme süresini hesaplayın.

\frac{7}{12} \div \frac{1}{36} = \frac{7}{12} \times 36 = 21

saat.

Kalan iş miktarı, işçinin birim zamandaki hızına bölünür.

Anahtar Kavram

Birlikte iş yapma durumunda işçilerin hızları toplanır; kalan iş miktarını bulmak için toplam işten (1 birim) yapılan kısım çıkarılır.

İpuçları

1

Önce ikisinin birlikte 6 saatte işin kaçta kaçını bitirdiğini hesaplayarak başlayın.

2

Kalan iş miktarını bulmak için tüm işten (1), yapılan kısmı (

\frac{5}{12}

) çıkarın.

3

Kalan iş miktarını Nihal'in tek başına bitirme hızıyla (

\frac{1}{36}

) çarparak sonucu bulun.

Daha Fazla Pratik

İşçilerden biri kapasitesini artırdığında veya çalışma hızları arasında bir oran verildiğinde denklemin nasıl değişeceğini düşünün.

Alternatif Yöntem

İşin tamamına 24 ve 36'nın bir katı olan

72x

diyebilirsiniz. Selim saatte

3x

, Nihal saatte

2x

iş yapar. Birlikte 6 saatte

6 \times (3x + 2x) = 30x

iş yaparlar. Kalan iş

72x - 30x = 42x

olur. Nihal bu işi

42x / 2x = 21

saatte bitirir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir mağaza, maliyet fiyatı üzerinden %50 kârla satışa sunduğu bir elektronik ürüne, tedarik maliyetlerinde yaşanan %20'lik artış sonrasında etiket fiyatı üzerinden %12 oranında zam yapmıştır.

Buna göre, son durumda mağazanın bu ürünün satışından elde ettiği kâr oranı maliyet üzerinden yüzde kaçtır?

32

38

40

42

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Son durumda elde edilen kâr oranı %40'tır.

Ürünün başlangıç maliyetine 100 birim denildiğinde, ilk satış fiyatı 150 birim olur. Maliyet %20 artarak 120 birime, satış fiyatı ise %12 artarak 168 birime yükselir. Bu durumda elde edilen 48 birimlik kâr, 120 birimlik yeni maliyetin %40'ına denk gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerlerini belirle.

İlk Maliyet = 100x olsun. İlk Etiket Fiyatı = 100x + %50 kâr = 150x olur.

Yüzde problemlerinde başlangıç değerini 100 birim almak işlemleri kolaylaştırır.

2

Yeni maliyet değerini hesapla.

Maliyet %20 arttığına göre: Yeni Maliyet = 100x + (100x · %20) = 120x olur.

Maliyet artışı, başlangıç maliyeti üzerinden hesaplanır.

3

Yeni etiket fiyatını hesapla.

Etiket fiyatına %12 zam yapıldığına göre: Yeni Etiket Fiyatı = 150x + (150x · %12) = 150x + 18x = 168x olur.

Zam oranı, mevcut etiket fiyatı üzerinden uygulanır.

4

Yeni kâr miktarını bul.

Yeni Kâr = Yeni Etiket Fiyatı - Yeni Maliyet = 168x - 120x = 48x.

Kâr, satış fiyatı ile maliyet arasındaki farktır.

5

Yeni kâr oranını hesapla.

Kâr Oranı = (Kâr / Yeni Maliyet) · 100 = (48x / 120x) · 100 = 0,40 · 100 = %40.

Kâr oranı daima o anki güncel maliyet üzerinden hesaplanır.

Anahtar Kavram

Maliyet ve Satış Üzerinden Yüzde Değişimi

İpuçları

1

İşlemleri kolaylaştırmak için ürünün başlangıç maliyetini 100 TL olarak kabul ediniz.

2

Maliyet artışını 100 TL üzerinden, etiket fiyatı zammını ise kârlı ilk satış fiyatı üzerinden hesaplayınız.

3

Son durumdaki kâr tutarını bulup, bunu son durumdaki (artmış) maliyete bölerek oranı bulunuz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 4Soru →

Bir belediye, şehrin çevre düzenlemesi kapsamında dikilmek üzere $120$ adet fidan temin etmiştir. Bu fidanların $\frac{3}{4}$ 'ü ilk gün toprakla buluşturulduğuna göre, henüz dikilmemiş olan fidan sayısı kaçtır?

30

40

60

80

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Dikilmeyen fidan sayısı 30'dur.

Doğru yanıt olan seçenek, toplam fidan sayısının (

{120}

) dikilmeyen oranı olan

\frac{1}{4}

ile çarpılmasıyla elde edilen 30 değerini içermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Kesrin tamamını temsil eden bütünü belirleyin.

1 = \frac{4}{4}

Fidanların tamamını payda ile uyumlu bir kesir olarak ifade etmek işlemleri kolaylaştırır.

2

Henüz dikilmemiş olan fidanların oranını hesaplayın.

\frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

Tamamından dikilen miktar çıkarıldığında geriye kalan dikilmeyenlerin oranını verir.

3

120

sayısının

\frac{1}{4}

'ünü hesaplayın.

120 \div 4 = 30

Bütünün bir kesir kadarını bulmak için sayıyı paydaya bölüp pay ile çarpmalıyız.

Anahtar Kavram

Bir bütünün kesir kadarını ve kalanını hesaplama.

İpuçları

1

Fidanların toplam sayısının

120

olduğunu ve bir kısmının dikildiğini unutmayın.

2

120

fidanı 4 eşit gruba ayırdığınızı hayal edin; her grupta kaç fidan olur?

3

Fidanların

\frac{3}{4}

'ü dikildiğine göre, dikilmeyen miktar sadece

\frac{1}{4}

'lük kısımdır.

120

'yi

4

'e bölmek yeterli olacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, bir paranın önce bir kısmının harcanıp kalanın sorulduğu sorularla pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce dikilen fidan sayısı bulunabilir:

120 \times 3 / 4 = 90

. Ardından toplam fidandan dikilenler çıkarılır:

120 - 90 = 30

.

Tahmini Süre:45s

Soru 5Soru →

Bir teknoloji mağazası, maliyet fiyatı üzerinden $\%20$ kârla satışa sunduğu bir tablet için bir kampanya düzenlemiştir. Bu kampanya kapsamında;

* Satın alınan birinci tabletin satış fiyatı üzerinden $\%10$ indirim uygulanmaktadır.
* Aynı tabletten ikinci bir tane alana, bu ikinci ürün için indirimli fiyat üzerinden ek bir $\%20$ indirim daha uygulanmaktadır.

Buna göre, bu mağazadan aynı tabletten iki adet satın alan bir müşterinin yaptığı alışveriş sonucunda mağazanın toplam kâr-zarar durumu aşağıdakilerden hangisidir?

\%2,8 zarar

\%2,8 kâr

\%5,6 zarar

\%2 kâr

\%10 zarar

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \%2,8 zarar

Cevap

Mağaza bu alışverişten toplamda %2,8 zarar etmiştir.

İki ürünün toplam maliyeti

200x

birimdir. Birinci ürün

108x

, ikinci ürün ise

86,4x

birime satılarak toplamda

194,4x

gelir elde edilmiştir. Maliyet ile satış arasındaki

5,6x

birimlik fark maliyetten düşüşü (zararı) temsil eder.

200x

maliyette

5,6x

zarar, yüzde olarak hesaplandığında

(5,6 / 200) \times 100 = 2,8

değerine, yani

\%2,8

zarara karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerlerini belirleme

Bir tabletin maliyeti

100x

olsun.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için başlangıç maliyetini 100 birim olarak kabul ederiz.

2

Kârlı satış fiyatını hesaplama

Satış Fiyatı =

100x + (100x \times \%20) = 120x

Kampanya öncesindeki liste fiyatını bulmak için maliyete kâr eklenir.

3

Birinci tabletin indirimli fiyatını hesaplama

1. Ürün Fiyatı =

120x \times (1 - 0,10) = 108x

Kampanya gereği ilk ürüne

\%10

indirim uygulanır.

4

İkinci tabletin indirimli fiyatını hesaplama

2. Ürün Fiyatı =

108x \times (1 - 0,20) = 86,4x

İkinci ürüne, indirimli fiyat (

108x

) üzerinden ek

\%20

indirim uygulanır.

5

Toplam maliyet ve toplam satış tutarını bulma

Toplam Maliyet =

200x

, Toplam Satış =

108x + 86,4x = 194,4x

Genel kâr-zarar durumunu görmek için iki ürünün toplam değerleri kıyaslanır.

6

Kâr-zarar yüzdesini hesaplama

Zarar =

200x - 194,4x = 5,6x

. Yüzde =

(5,6x / 200x) \times 100 = \%2,8

zarar.

Elde edilen gelir maliyetten düşük olduğu için zarar mevcuttur ve bu zarar toplam maliyete oranlanır.

Anahtar Kavram

Ardışık yüzde değişimlerinde referans noktasının (matrahın) her adımda güncellenmesi ve toplam kâr/zarar hesabında toplam maliyetin baz alınması.

İpuçları

1

Bir tabletin maliyetine 100 TL diyerek işlemleri somutlaştırın.

2

İkinci tabletin fiyatını bulurken, ilk indirimden sonra kalan 108 TL üzerinden %20 düşmeniz gerektiğini unutmayın.

3

Toplam maliyetiniz 100 değil, iki ürün olduğu için 200 TL'dir. Karşılaştırmayı bu değer üzerinden yapın.

Daha Fazla Pratik

İkinci ürünün ek indirimi 'ilk fiyat' üzerinden yapılsaydı sonuç nasıl değişirdi? Bu farkı analiz etmek matrah kavramını pekiştirir.

Alternatif Yöntem

Toplam satış yüzdesini bulmak için şu formül de kullanılabilir:

\frac{1}{2} \times (1,20 \times 0,90) + \frac{1}{2} \times (1,20 \times 0,90 \times 0,80) = 0,54 + 0,432 = 0,972

. Bu değer, toplam maliyetin

\%97,2

'ine satıldığını gösterir.

1 - 0,972 = 0,028

yani

\%2,8

zarar.

Tahmini Süre:1m 45s

Soru 6Soru →

Bir gıda mühendisi, ar-ge çalışması kapsamında şeker oranı $\%20$ olan $A$ gram şerbet ile şeker oranı $\%40$ olan $B$ gram şerbeti bir kazanda karıştırıyor. Elde edilen karışımdan, karışım içindeki suyun $A$ gramlık kısmı kaynatılarak buharlaştırılıyor. Son durumda kazandaki şerbetin şeker oranı $\%50$ olarak ölçüldüğüne göre, başlangıçtaki $A$ ve $B$ miktarları arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

A = B

B = 2A

A = 2B

3A = B

2A = 3B

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $B = 2A$

Cevap

B

miktarı

A

miktarının 2 katıdır (

B = 2A

).

Doğru cevap, toplam şeker miktarının korunumu ilkesine dayanır. Buharlaşan madde sadece sudur, bu nedenle başlangıçtaki toplam şeker (

0,20A + 0,40B

), son durumdaki karışımda (

B

gram) bulunan şekere (

0,50B

) eşittir. Bu eşitlik çözüldüğünde

B=2A

bağıntısı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki karışımlarda bulunan saf şeker miktarlarını hesapla.

A

karışımındaki şeker:

A \times \frac{20}{100} = 0,20A

B

karışımındaki şeker:

B \times \frac{40}{100} = 0,40A

Toplam şeker miktarı:

0,20A + 0,40B

Karışım problemlerinde çözünen madde miktarı (şeker) buharlaşma işleminden etkilenmez, sabit kalır.

2

Buharlaşma işlemi sonrası kazanda kalan toplam karışım kütlesini hesapla.

Başlangıç toplam kütlesi:

A + B

Buharlaşan su miktarı:

A

Son durumdaki kütle:

(A + B) - A = B

Buharlaşan madde sudur, toplam kütleden buharlaşan miktar çıkarılarak son kütle bulunur.

3

Son durum verilerini kullanarak denklemi kur ve çöz.

Son şeker oranı

\%50

olduğuna göre:

\frac{\text{Toplam Şeker}}{\text{Son Kütle}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}

\frac{0,20A + 0,40B}{B} = \frac{1}{2}

Yeni karışımın yüzdesi, değişmeyen şeker miktarının yeni toplam kütleye oranıdır.

4

Elde edilen orantıdan

A

ve

B

arasındaki ilişkiyi bul.

İçler dışlar çarpımı yapılır:

2 \times (0,20A + 0,40B) = 1 \times B

0,40A + 0,80B = B

0,40A = B - 0,80B

0,40A = 0,20B

Her iki taraf

0,20

'ye bölünür:

2A = B

Cebirsel sadeleştirme ile istenen bağıntı elde edilir.

Anahtar Kavram

Buharlaşma işleminde çözünen madde (şeker/tuz) miktarı sabit kalırken, toplam karışım kütlesi buharlaşan su miktarı kadar azalır.

İpuçları

1

Buharlaşma işleminde karışımın içindeki şeker miktarı değişmez, sadece su miktarı azalır.

2

Başlangıçtaki toplam şeker miktarını (

A

ve

B

cinsinden) ve son durumdaki toplam karışım ağırlığını (buharlaşan miktarı çıkararak) hesaplayın.

3

Son durumda karışımın ağırlığı

(A+B) - A = B

gramdır. Bu ağırlığın

\%50

'si, başlangıçtaki toplam şeker miktarına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Karışıma saf su veya saf şeker eklendiğinde değişim oranlarının nasıl hesaplanacağını inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ters orantı mantığıyla: Son durumda karışımın %50'si şeker ise, karışım yarı yarıya şeker ve sudur. Kalan karışım sadece B gram kütlesindedir. Demek ki içindeki şeker 0.5B'dir. Bu şeker baştan gelen 0.2A + 0.4B idi. Eşitleyip çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 7Soru →

Bir belediye parkı için özel tasarlanan banklar, yan yana getirilerek birleştirilebilmektedir. Bu tasarımda yan yana gelen her iki bankın ortasındaki ayaklar ortak kullanılmaktadır.

- $1$ bank için $4$ ayak,
- $2$ bank yan yana geldiğinde $6$ ayak,
- $3$ bank yan yana geldiğinde $8$ ayak,

kullanıldığı görülmektedir. Buna göre, bu kurala uygun olarak yan yana birleştirilen $12$ banktan oluşan bir oturma grubunda toplam kaç ayak bulunur?

24

48

26

22

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $26$

Cevap

Toplam

26

ayak bulunur.

26

cevabı doğrudur çünkü bank sayısı ile ayak sayısı arasındaki ilişki incelendiğinde, her yeni bankın toplam ayak sayısını

2

artırdığı görülür. İlk bank için

4

ayak (

2 \times 1 + 2

) kullanıldığına göre,

n

bank için kural

2n+2

olur.

12

bank için bu değer

2 \times 12 + 2 = 26

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bank sayısı ile ayak sayısı arasındaki artış miktarını belirle.

1

bankta

4

ayak,

2

bankta

6

ayak var. Artış miktarı:

6 - 4 = 2

ayak.

Her yeni eklenen bankın kaç ayak eklediğini bulmak örüntünün kuralını belirler.

2

Örüntünün genel kuralını formülize et.

Bank sayısı

n

olsun. Artış

2

ise kural

2n + \text{sabit}

şeklindedir.

n=1

için

2(1) + 2 = 4

olduğundan kural

2n + 2

olur.

Herhangi bir bank sayısı için sonucu hızlıca bulabilmek adına genel bir kurala ihtiyaç vardır.

3

Genel kuralı

12

bank için uygula.

2 \times 12 + 2 = 24 + 2 = 26

.

Soru bizden

12

bankın toplam ayak sayısını istemektedir.

Anahtar Kavram

Örüntü Tanıma ve Kural Oluşturma

İpuçları

1

1

banktan

2

banka geçerken ayak sayısının kaç arttığına bakın.

2

Her yeni bank eklendiğinde ayak sayısının

2

arttığını fark edeceksiniz. Bu durum doğrusal bir örüntü oluşturur.

3

12

bankı yan yana hayal edin. Her bank için

2

ayak ve en başta ve en sonda fazladan kalacak olan ayakları sayın veya

2n + 2

formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Eğer banklar yan yana değil de kapalı bir kare oluşturacak şekilde birleştirilseydi kuralın nasıl değişeceğini düşünün.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak; ilk bankı

4

ayaklı kabul edip kalan

11

bankın her birinin sadece

2

yeni ayak eklediğini düşünebilirsiniz:

4 + (11 \times 2) = 4 + 22 = 26

.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 8Soru →

Bir kamu kurumunun eğitim salonundaki kursiyerler, salonun her bir sırasına ikişerli oturduklarında $4$ kursiyer ayakta kalıyor. Eğer kursiyerler her bir sıraya üçerli otururlarsa $1$ sıra tamamen boş kalıyor. Buna göre, bu eğitim salonundaki toplam kursiyer sayısı kaçtır?

14

16

18

20

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Eğitim salonundaki toplam kursiyer sayısı 18'dir.

Toplam kursiyer sayısı 18'dir. Sıra sayısına

x

dediğimizde, ilk durumdaki öğrenci sayısı

2x+4

olur. İkinci durumda bir sıra tamamen boş kaldığına göre öğrenciler

x-1

sıraya üçerli oturmuşlardır, bu da

3(x-1)

kişiye karşılık gelir.

2x+4 = 3x-3

eşitliğinden

x=7

(sıra sayısı) bulunur. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında toplam kişi sayısı 18 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken tanımlama

Sıra sayısı

x

olsun.

Problemdeki tüm unsurlar sıra sayısına bağlı olduğu için temel değişken olarak belirlendi.

2

Kursiyer sayısını iki farklı durum için ifade etme

1. Durum:

2x + 4

, 2. Durum:

3(x - 1)

İkişerli oturunca 4 kişi artması

2x+4

, üçerli oturunca 1 sıranın boş kalması ise

3(x-1)

şeklinde modellenir.

3

Denklemleri birbirine eşitleme ve çözme

2x + 4 = 3x - 3 \Rightarrow 4 + 3 = 3x - 2x \Rightarrow x = 7

Toplam kursiyer sayısı değişmediği için iki ifadeyi eşitleyerek toplam sıra sayısını buluruz.

4

Sıra sayısını yerine koyarak kursiyer sayısını bulma

2 \times 7 + 4 = 18

veya

3 \times (7 - 1) = 18

Bulunan sıra sayısı herhangi bir denklemde yerine yazılarak gerçek kişi adedine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde bilinmeyen kullanarak doğrusal denklem kurma ve çözme.

İpuçları

1

Salondaki sıra sayısına

x

diyerek her iki durumu da

x

cinsinden yazmayı deneyin.

2

Birinci durumda toplam kişi sayısı

2x + 4

olurken, ikinci durumda bir sıra boş kaldığı için toplam kişi sayısını

3(x - 1)

olarak yazabilirsiniz.

3

Toplam kursiyer sayısı değişmediği için

2x + 4

ve

3(x - 1)

ifadelerini birbirine eşitleyerek önce

x

değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Boş kalan sıra yerine 'bir sırada sadece 1 kişinin oturduğu' durumları içeren benzer problemleri çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek deneme yapılabilir. Örneğin 18 kişi için: İkişerli otursalar 7 sıra tam dolar (14 kişi), 4 kişi artar. Üçerli otursalar 6 sıra tam dolar (18 kişi), 1 sıra boş kalır. Şartlar sağlandığı için doğru cevap 18'dir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 9Soru →

Bir toptancı, satışlarında kullandığı terazinin kalibrasyon hatası nedeniyle ürünlerin ağırlığını gerçek ağırlığından %20 daha fazla ölçmektedir. Bu durumu fark etmeyen toptancı, birim maliyeti belli olan bir ürünü, terazi hatasını bilmeden maliyet fiyatı üzerinden %25 kâr elde etmeyi hedefleyerek etiketlendirmiştir. Buna göre, toptancının bu satıştan elde ettiği gerçek kâr oranı yüzde kaçtır?

44

45

48

50

55

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Gerçek kâr oranı %50'dir.

Satıcının kazancı iki faktörden artmaktadır: hem miktar %20 fazla görünmekte (1.20 katı), hem de fiyat %25 artırılmaktadır (1.25 katı). Bu iki artış çarpımsal etki yaratır:

1.20 \times 1.25 = 1.50

. Bu sonuç, maliyetin 1.50 katı kadar gelir elde edildiğini, yani %50 gerçek kâr sağlandığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Referans değerleri belirle

Ürünün gerçek ağırlığı = 100 birim, Birim maliyeti = 100 TL olsun. Toplam Gerçek Maliyet = 10.000 TL.

Yüzde problemlerinde işlem kolaylığı için taban değerlerin 100 olarak seçilmesi gerekir.

2

Hatalı ölçüm değerini hesapla

Terazi %20 fazla ölçtüğü için: Ölçülen Ağırlık = 100 + 20 = 120 birim.

Satış işlemi terazi ekranındaki (hatalı) miktar üzerinden yapılacaktır.

3

Etiket (satış) fiyatını belirle

Hedeflenen kâr %25 olduğu için: Birim Satış Fiyatı = 100 + 25 = 125 TL.

Toptancı birim fiyatı belirlerken maliyet üzerinden kâr eklemesi yapar.

4

Toplam geliri ve gerçek kârı hesapla

Toplam Gelir = 120 birim × 125 TL = 15.000 TL. Gerçek Kâr = 15.000 - 10.000 = 5.000 TL.

Gerçek kâr, kasaya giren paradan gerçek maliyetin çıkarılmasıyla bulunur.

5

Gerçek kâr oranını bul

Kâr Oranı = (5.000 / 10.000) × 100 = %50.

Kâr oranı her zaman gerçek maliyet üzerinden hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bileşik Yüzde Değişimi (Zincirleme Etki)

İpuçları

1

Soruda iki farklı artış vardır: Biri tartıdaki ağırlık artışı, diğeri fiyat artışı. Bu ikisinin toplam gelir üzerindeki etkisini düşünün.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 10Soru →

Bir kamu kurumunun arşivindeki dosyalar raflara belirli bir düzenle yerleştirilecektir. Dosyalar raflara 8’erli dizildiğinde 24 dosya artmaktadır. Eğer raflara 12’şerli dizilirse 2 raf boş kalmakta ve bir rafta da sadece 4 dosya bulunmaktadır. Buna göre arşivdeki toplam dosya sayısı kaçtır?

120

128

136

144

152

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 136

Cevap

Arşivde toplam 136 dosya bulunmaktadır.

Soruda verilen iki durumu birbirine eşitleyerek çözüm yapılır. '2 raf boş ve 1 rafta 4 dosya var' ifadesi, toplam raf sayısından 3 rafın (2 boş + 1 yarı dolu) tam kapasiteyle kullanılmadığını gösterir. Bu yüzden ikinci denklem

12(x-3) + 4

şeklinde kurulmalıdır. Bu denklem

8x + 24

ile eşitlendiğinde raf sayısı 14 bulunur. Toplam dosya sayısı ise

8 \times 14 + 24 = 136

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla.

Raf sayısı = x, Dosya sayısı = y olsun.

Problemi matematiksel denklemlere dökmek için bilinmeyenleri harflendirmemiz gerekir.

2

Birinci durum için denklemi kur.

8'erli dizilince 24 artıyor: y = 8x + 24

Her rafa 8 dosya konulup 24 tanesi dışarıda kalıyorsa, toplam dosya sayısı 8x + 24 olur.

3

İkinci durum için denklemi kur (Kritik Adım).

12'şerli dizilince 2 raf boş, 1 raf 4'lü: y = 12(x - 3) + 4

Toplam x rafın 2'si boş, 1'i ise tam dolu değil (4 dosya var). Tam dolu (12'li) raf sayısı x - 2 - 1 = x - 3 olur. Kalan 4 dosya buna eklenir.

4

İki denklemi birbirine eşitle ve x'i bul.

8x + 24 = 12(x - 3) + 4 → 8x + 24 = 12x - 36 + 4 → 8x + 24 = 12x - 32 → 56 = 4x → x = 14

Dosya sayısı (y) her iki durumda da aynıdır.

5

Bulunan x değerini yerine yazarak y'yi hesapla.

y = 8(14) + 24 = 112 + 24 = 136

Raf sayısını (14) ilk denklemde yerine koyarak toplam dosya sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemlerinde Denklem Kurma (Tam ve Kısmi Dolu Kaplar)

İpuçları

1

Raf sayısına 'x' diyerek iki farklı durum için dosya sayısını veren iki ayrı denklem yazmayı deneyin.

2

İkinci durumda '2 raf boş, 1 rafta 4 dosya var' deniliyor. Bu, toplam 'x' raftan kaç tanesinin tam dolu (12 dosya) olduğunu etkiler. Boş ve yarı dolu rafları tam dolulardan çıkarın.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek de çözülebilir. Örneğin 136 dosya olsa: 8'e bölersek 17 raf gerekir (tam bölünür, artan 0). Ama soruda 24 artmalı diyor. Demek ki 136'dan 24 çıkarıp (112) 8'e bölmeliyiz.

112/8 = 14

raf. Şimdi 14 rafı 2. duruma uygulayalım:

14

rafın 2'si boş, 1'i 4'lü ise,

11

raf tam doludur.

11 \times 12 + 4 = 136

. Tuttuğu için cevap budur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

Bir boya işini Ali tek başına $10$ saatte, Can ise aynı işi tek başına $15$ saatte bitirebilmektedir.

Buna göre, Ali ve Can bu işi birlikte çalışarak toplam kaç saatte bitirirler?

4

6

8

12,5

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6$

Cevap

Ali ve Can bu işi birlikte çalışarak toplam 6 saatte bitirirler.

İşçi problemlerinin temel kuralına göre, bir işçinin tek başına bitirme süresi

a

, diğerinin

b

ise birlikte bitirme süresi

t

,

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}

formülüyle bulunur. Burada

\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}

olduğundan, birlikte çalışma süresi 6 saat olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İşçilerin

1

saatte işin ne kadarını bitirdiklerini belirle.

Ali bir saatte işin

\frac{1}{10}

'unu, Can ise

\frac{1}{15}

'ini bitirir.

İşçi problemlerinde temel yaklaşım, birim zamanda (1 saatte) yapılan iş miktarını bulmaktır.

2

Birlikte çalışma denklemini kur ve paydaları eşitle.

\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{t}

\frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30}

İki işçi birlikte çalıştığında, birim zamanda yaptıkları iş miktarları toplanır. Ortak paydayı

30

olarak belirlemek işlemi kolaylaştırır.

3

Toplam süreyi (

t

) hesapla.

\frac{5}{30} = \frac{1}{t} \Rightarrow \frac{1}{6} = \frac{1}{t} \Rightarrow t = 6

Birim zamanda yapılan toplam işin tersi, tüm işin bitme süresini verir.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde, işçilerin birim zamanda (örneğin 1 saatte) yaptıkları iş miktarları toplanarak birlikte çalışma süresi hesaplanır.

İpuçları

1

Ali bir saatte işin ne kadarını yapar? Peki ya Can? Bu ikisini toplamayı deneyin.

2

Denkleminiz şu şekilde olmalı:

\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{\text{toplam süre}}

. Paydaları

30

sayısında eşitleyebilirsiniz.

3

\frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30}

sonucuna ulaştıktan sonra, bu kesri sadeleştirin ve sonucun tersini alın.

Daha Fazla Pratik

Eğer Ali kapasitesini iki katına çıkarsaydı süre nasıl değişirdi? Bu soruyu çözerek hız-süre ilişkisini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İşin tamamına sürelerin EKOK'u olan

30

birim diyelim. Ali saatte

30/10 = 3

birim, Can ise

30/15 = 2

birim iş yapar. İkisi birlikte saatte

3+2=5

birim iş yaparlar. Toplam iş

30

birim olduğu için,

30/5 = 6

saatte iş biter.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 12Soru →

Bir kamu kurumundaki personel, düzenlenecek bir moral yemeği için bir organizasyon firmasıyla toplam sabit bir ücret karşılığında anlaşmıştır. Yemeğe katılması planlanan tüm personel, toplam ücreti eşit olarak paylaşacaktır. Ancak organizasyon günü 5 kişi mazeret bildirerek yemeğe katılmamış, bu yüzden katılan diğer personel planlanandan 40 TL daha fazla ödeme yapmak zorunda kalmıştır. Kişi başı ödenmesi planlanan ilk tutar 160 TL olduğuna göre, yemeğe kaç kişi katılmıştır?

15

20

25

30

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Yemeğe 20 kişi katılmıştır.

Toplam ödenecek tutar sabittir. İlk durumda kişi başı 160 TL düşmektedir. 5 kişi katılmadığında kişi başı ücret 40 TL artarak 200 TL olmuştur. Planlanan kişi sayısına

x

denilirse,

160 \cdot x = 200 \cdot (x-5)

eşitliği kurulur. Buradan

x=25

(planlanan) bulunur. Katılan sayısı ise

25-5=20

kişidir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin değişkenlerini tanımla.

Planlanan kişi sayısı:

x

. Planlanan kişi başı ücret: 160 TL. Toplam Ücret:

160x

.

Toplam ücretin sabit olması, denklemin temelini oluşturur.

2

İkinci durum (gerçekleşen) için verileri yaz.

Katılan kişi sayısı:

x - 5

. Yeni kişi başı ücret:

160 + 40 = 200

TL.

Katılmayanlar yüzünden kişi başı düşen pay artmıştır.

3

İki durumdaki toplam ücreti eşitleyerek denklemi kur.

160x = 200(x - 5)

Organizasyon firmasına ödenecek toplam tutar değişmemiştir.

4

Denklemi çözerek

x

değerini bul.

160x = 200x - 1000 \Rightarrow 40x = 1000 \Rightarrow x = 25

.

Bulunan

x

değeri, yemeğe katılması PLANLANAN kişi sayısıdır.

5

Soruda istenen değeri hesapla.

Katılan kişi sayısı =

x - 5 = 25 - 5 = 20

.

Soru planlanan sayıyı değil, gerçekleşen (katılan) sayıyı sormaktadır.

Anahtar Kavram

Ters Orantı ve Denklem Kurma

İpuçları

1

Toplam ödenmesi gereken tutar her iki durumda da aynıdır (Sabit Ücret).

2

Planlanan kişi sayısı ile kişi başı ücretin çarpımı, katılan kişi sayısı ile yeni ücretin çarpımına eşittir.

3

Planlanan sayıya

x

derseniz, denklem:

160 \cdot x = (160+40) \cdot (x-5)

olur.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan 'öğrenci evi kira paylaşımı' veya 'minibüs ücreti' problemlerini çözerek ters orantı mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fark üzerinden düşünme: Katılmayan 5 kişinin ödemesi gereken toplam tutar

5 \times 160 = 800

TL'dir. Bu yük, kalan kişilere paylaştırılmıştır. Kalan her kişi 40 TL fazla ödediğine göre, kalan kişi sayısı

800 / 40 = 20

kişidir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Aşağıda verilen çizgi grafiğinde bir fabrikanın deposunda bulunan ürün miktarının haftalara göre değişimi; daire grafiğinde ise bu üç hafta boyunca yapılan toplam satış miktarının haftalara göre dağılımı gösterilmiştir.

2. hafta üretilen ürün miktarı, 1. hafta üretilen ürün miktarının %50 fazlası olduğuna göre, 3. hafta üretilen ürün miktarı kaç adettir?

5

10

25

30

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

3. hafta üretilen ürün miktarı 5 adettir.

Çizgi grafiğindeki değişimler Üretim (P) eksi Satış (S) farkını verir. Daire grafiği ise satışların oransal dağılımını gösterir. Verilen ilişki (P2 = 1.5 P1) kullanılarak kurulan denklem sisteminden toplam satış 60 birim bulunur. Buradan 3. haftadaki satış 25 birim olarak hesaplanır. Stok 20 birim azaldığına göre, üretim satıştan 20 eksik olmalıdır: 25 - 20 = 5.

Adım Adım Çözüm

1

Çizgi grafiğinden stok değişim denklemlerini yaz

Hafta 1: Stok 50→60 (Artış 10) ⇒ P1 - S1 = 10
Hafta 2: Stok 60→90 (Artış 30) ⇒ P2 - S2 = 30
Hafta 3: Stok 90→70 (Azalış 20) ⇒ P3 - S3 = -20

Stok değişimi = Üretim (P) - Satış (S) formülü kullanılır.

2

Daire grafiğinden satışları toplam satış (T) cinsinden ifade et

S1 = (120°/360°)T = T/3
S2 = (90°/360°)T = T/4
S3 = (150°/360°)T = 5T/12

Daire grafiğindeki açılar orantı kurmak için kullanılır.

3

Üretim miktarları arasındaki ilişkiyi kullanarak T değerini bul

P1 = 10 + T/3
P2 = 30 + T/4
İlişki: P2 = 1.5 × P1 ⇒ 30 + T/4 = 1.5(10 + T/3)
30 + T/4 = 15 + T/2
15 = T/4 ⇒ T = 60

Verilen '%50 fazlası' bilgisi denklemi çözmek için anahtardır.

4

3. hafta verilerini yerine koyarak P3 değerini hesapla

S3 = (5/12) × 60 = 25
P3 - 25 = -20 ⇒ P3 = 5

Bulunan T değeri ile son haftanın denklemi çözülür.

Anahtar Kavram

Grafik Yorumlama ve Denklem Sistemleri

İpuçları

1

Çizgi grafiğindeki her bir nokta arasındaki fark, o haftaki 'Üretim - Satış' değerine eşittir.

2

1. Hafta dengesi: P1 - S1 = +10, 2. Hafta dengesi: P2 - S2 = +30. Satışları (S) daire grafiğindeki açılara göre T cinsinden yazın.

3

P2 yerine 1.5 P1 yazarak T'yi bulmak için şu denklemi kurun: 30 + T/4 = 1.5(10 + T/3).

Daha Fazla Pratik

Stok miktarının hiç değişmediği bir hafta olsaydı, üretim ve satış arasındaki ilişki nasıl olurdu?

Alternatif Yöntem

Toplam satışa 360x demek yerine, açıların EBOB'u olan 30 dereceye k diyerek (4k, 3k, 5k) oranlarıyla çalışmak sayıları küçültebilir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 14Soru →

Bir kamu kurumunun düzenlediği görevde yükselme sınavına İdari, Teknik ve Sağlık hizmetleri sınıflarından katılan personel sayıları 1. grafikte (sütun grafiği), sınavı kazanarak atanmaya hak kazanan personelin sınıflara göre dağılımı ise 2. grafikte (daire grafiği) gösterilmiştir.

1. Grafik: Sınava Katılan Personel Sayısı

Hizmet Sınıfı	Katılan Sayısı
İdari	300
Teknik	500
Sağlık	800

2. Grafik: Atanan Personel Dağılımı (Daire Grafiği)
* İdari: 60°
* Teknik: 120°
* Sağlık: 180°

İdari hizmetler sınıfından sınava katılan personelin %40'ı atanmaya hak kazandığına göre, Teknik hizmetler sınıfından sınava katılan personelin yüzde kaçı atanmaya hak kazanmıştır?

24

32

36

48

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Teknik hizmetler sınıfından katılanların %48'i atanmaya hak kazanmıştır.

Soruda verilen İdari sınıf verisinden yola çıkılarak önce daire grafiğinin sayısal değeri çözümlenmelidir. İdari sınıftan 300 kişi katılmış ve %40'ı atanmıştır, yani 120 kişi atanmıştır. Daire grafiğinde İdari sınıf 60° ile gösterildiğine göre, 60°'ye 120 kişi düşmektedir. Bu da her 1°'lik dilimin 2 kişiye karşılık geldiğini gösterir (120/60 = 2). Teknik sınıf daire grafiğinde 120° ile gösterildiğinden, Teknik sınıftan atanan kişi sayısı 120° × 2 = 240 kişidir. Teknik sınıftan sınava toplam 500 kişi katıldığına göre, atanma yüzadesi (240/500) × 100 işlemişyle %48 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İdari sınıftan atanan personel sayısını hesapla.

300 kişi × %40 = 120 kişi atanmıştır.

Soruda verilen yüzde bilgisini kullanarak daire grafiğindeki dilimin gerçek kişi karşılığını bulmak için.

2

Daire grafiğindeki derece-kişi ilişkisini (katsayıyı) belirle.

İdari sınıf 60° ile gösterilmektedir ve 120 kişiye karşılık gelmektedir. Orantı: 120 kişi / 60° = 2 kişi/derece.

Bu katsayı (her 1 dereceye 2 kişi düşmesi), diğer sınıflardaki kişi sayısını bulmak için anahtardır.

3

Teknik sınıftan atanan personel sayısını bul.

Teknik sınıfın açısı 120° olduğuna göre; 120° × 2 = 240 kişi atanmıştır.

Bulunan katsayıyı Teknik sınıfın açısına uygulayerek gerçek atanan sayısına ulaşmak için.

4

Teknik sınıfın atanma yüzdesini hesapla.

(Atanan / Katılan) × 100 = (240 / 500) × 100

Sonuç istenen yüzde formatına dönüştürülmelidir.

5

İşlemi tamamla.

240 / 500 = 48 / 100 = %48.

Nihai cevabı bulmak için.

Anahtar Kavram

Grafik Dönüşümleri ve Orantı

İpuçları

1

Önce İdari hizmetler sınıfından kaç kişinin atandığını sayısal olarak bulmalısın.

2

Bulduğun bu kişi sayısı (İdari sınıftan atananlar), daire grafiğinde 60 derecelik dilime denk geliyor. Buna göre 1 derece kaç kişiye karşılık gelir?

3

Her 1 derece 2 kişiye karşılık gelmektedir. Teknik sınıfın açısı 120 derece olduğuna göre atanan sayısını bulup, toplam katılan sayısına (500) oranla.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, Sağlık sınıfından atananların yüzdesini hesaplayınız.

Alternatif Yöntem

Orantı Yolu: İdari sınıf 60°, Teknik sınıf 120°'dir. Yani Teknik sınıftan atananlar, İdari sınıftan atananların tam 2 katıdır (Açı 2 katı olduğu için). İdari'den atanan: 300 × 0.40 = 120. O halde Teknik'ten atanan: 120 × 2 = 240. Yüzde: 240/500 = %48.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 15Soru →

Yıllık enflasyon oranının $\%60$ olduğu bir ülkede, memur maaşlarına yıl sonunda $\%20$ oranında zam yapılmıştır. Buna göre, memurun alım gücündeki değişim oranı aşağıdakilerden hangisidir?

%25 azalır

%40 azalır

%33,3 azalır

%20 artar

%25 artar

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %25 azalır

Cevap

Memurun alım gücü %25 azalmıştır.

Alım gücü, gelirin fiyatlar genel düzeyine oranıdır. Başlangıçta 100 TL maaş ile 100 TL'lik bir ürün alınabiliyorken, yıl sonunda maaş 120 TL, ürün ise 160 TL olmuştur. Bu durumda alınabilen miktar 120/160 = 0,75 adettir. Başlangıçtaki 1 adede göre 0,25'lik (yani %25) bir azalma gerçekleşmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerlerini belirle.

Başlangıçta ürünün fiyatı 100 TL ve memurun maaşı 100 TL olsun. Bu durumda memur 1 adet ürün alabilmektedir (Alım Gücü = 1).

Yüzde problemlerinde hesaplama kolaylığı için başlangıç değerlerini 100 olarak kabul etmek işlemi basitleştirir.

2

Yıl sonu değerlerini hesapla.

Enflasyon %60 olduğunda ürünün fiyatı 160 TL olur. Maaş zammı %20 olduğunda yeni maaş 120 TL olur.

Verilen yüzdeler başlangıç değerleri üzerine eklenir.

3

Yeni alım gücünü ve değişimi hesapla.

Yeni Alım Gücü = Maaş / Ürün Fiyatı = 120 / 160 = 3/4 = 0,75. Eski alım gücü 1,00 idi, yeni alım gücü 0,75 oldu. Azalış = 1,00 - 0,75 = 0,25.

Alım gücündeki değişim, satın alınabilen miktar üzerinden kıyaslanır.

Anahtar Kavram

Alım Gücü ve Enflasyon İlişkisi

İpuçları

1

Başlangıçta memurun maaşını 100 TL ve bir ürünün fiyatını 100 TL olarak varsayarak işe başlayın.

2

Yıl sonunda ürünün fiyatı enflasyon kadar artacak, maaş ise zam oranı kadar artacaktır. Yeni değerleri bulun.

3

Yeni maaşın (120 TL) yeni fiyata (160 TL) oranını bulun ve başlangıçtaki duruma (100/100) göre kıyaslayın.

Daha Fazla Pratik

Enflasyon ve zam oranlarının yer değiştirdiği (alım gücünün arttığı) bir senaryo çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 16Soru →

Şehirler arası nakliye yapan bir kargo tırı, Ankara-İzmir güzergahındaki bir teslimat rotasını üç eşit uzunluktaki etaba bölerek tamamlamıştır. Tır, yolun birinci etabını $V$ km/sa, ikinci etabını $2V$ km/sa ve üçüncü etabını $3V$ km/sa sabit hızlarla geçmiştir. Tırın tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte $54$ km olduğuna göre, yolun ilk etabındaki hızı ( $V$ ) kaç km/sa'tir?

27

30

33

36

44

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Aracın ilk etaptaki hızı saatte 33 km'dir.

Soruda yol üç eşit parçaya bölünmüştür. Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranıdır. Toplam yol

3x

, toplam zaman ise mesafelerin hızlara bölümüyle (

x/V + x/2V + x/3V

) bulunur. Bu işlem yapıldığında ortalama hız

\frac{18V}{11}

olarak elde edilir. Bu ifade

54

'e eşitlendiğinde

V=33

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yolun her bir etabının uzunluğuna

x

diyelim. Toplam yol

3x

olur. Her etap için geçen zamanı (

t = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

) formülüyle ifade edelim.

t_1 = \frac{x}{V}

,

t_2 = \frac{x}{2V}

,

t_3 = \frac{x}{3V}

Ortalama hız hesabı için toplam zamanın bulunması gerekir.

2

Toplam geçen zamanı (

T

) bulmak için

t_1, t_2

ve

t_3

değerlerini toplayalım.

T = \frac{x}{V} + \frac{x}{2V} + \frac{x}{3V} = x \left( \frac{1}{V} + \frac{1}{2V} + \frac{1}{3V} \right)

Kesirli ifadelerin toplanması.

3

Parantez içindeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim (6V'de eşitlenir).

\frac{6}{6V} + \frac{3}{6V} + \frac{2}{6V} = \frac{11}{6V}

. Dolayısıyla

T = x \cdot \frac{11}{6V} = \frac{11x}{6V}

Ortak payda ile toplama işlemi.

4

Ortalama hız formülünü (

V_{ort} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}

) kullanalım ve verilen

54

değerine eşitleyelim.

V_{ort} = \frac{3x}{\frac{11x}{6V}} = 3x \cdot \frac{6V}{11x} = \frac{18V}{11}

Bölme işleminde ikinci kesrin ters çevrilip çarpılması.

5

Elde edilen denklemi çözerek

V

değerini bulalım.

\frac{18V}{11} = 54 \Rightarrow 18V = 594 \Rightarrow V = 33

Birinci dereceden denklem çözümü.

Anahtar Kavram

Eşit uzunluktaki yollarda ortalama hız, hızların harmonik ortalaması ile ilişkilidir. Aritmetik ortalama alınmaz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 17Soru →

Bir afet bölgesindeki lojistik merkezinde toplanan yardım malzemelerinin dağıtımı üç aşamalı bir plan dahilinde gerçekleştirilmiştir:

1. İlk aşamada, tüm malzemelerin $\frac{2}{9}$ 'u arama kurtarma ekiplerine sevk edilmiştir.
2. İkinci aşamada, geriye kalan malzemelerin $\frac{3}{7}$ 'si barınma alanlarına gönderilmiştir.
3. Üçüncü aşamada ise, depoda kalan son miktarın $\frac{1}{4}$ 'ü sahra hastanelerine tahsis edilmiştir.

Barınma alanlarına gönderilen malzeme miktarı, sahra hastanelerine tahsis edilen malzeme miktarından 600 birim fazla olduğuna göre, başlangıçta lojistik merkezinde toplam kaç birim malzeme bulunmaktaydı?

1800

2400

2700

3360

5400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2700

Cevap

Başlangıçtaki toplam malzeme miktarı 2700 birimdir.

Soruda verilen dağıtım adımlarını sırasıyla takip ettiğimizde; arama kurtarma

\frac{2}{9}

pay alır, geriye

\frac{7}{9}

kalır. Barınma alanları kalanın

\frac{3}{7}

'sini yani

\frac{3}{9}

'unu alır, geriye

\frac{4}{9}

kalır. Sahra hastaneleri ise son kalanın

\frac{1}{4}

'ünü yani

\frac{1}{9}

'unu alır. Barınma (

\frac{3x}{9}

) ile Hastane (

\frac{x}{9}

) arasındaki fark

\frac{2x}{9}

'dur ve bu 600'e eşittir. Buradan toplam miktar 2700 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıçtaki toplam malzeme miktarını

x

olarak tanımla ve birinci aşamada dağıtılan miktarı hesapla.

Arama Kurtarma =

\frac{2x}{9}

. Kalan =

x - \frac{2x}{9} = \frac{7x}{9}

.

Kesir problemlerinde bütünü temsil eden bir bilinmeyen seçmek ve kalanı bulmak ilk adımdır.

2

İkinci aşamada 'geriye kalan' üzerinden dağıtılan miktarı ve yeni kalanı hesapla.

Barınma Alanları =

\frac{7x}{9} \times \frac{3}{7} = \frac{3x}{9} = \frac{x}{3}

. Yeni Kalan =

\frac{7x}{9} - \frac{3x}{9} = \frac{4x}{9}

.

Soruda 'geriye kalan' ifadesi geçtiği için, ilk kalan üzerinden işlem yapılmalıdır.

3

Üçüncü aşamada yine 'kalan son miktar' üzerinden dağıtılan miktarı hesapla.

Sahra Hastaneleri =

\frac{4x}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{x}{9}

.

Zincirleme kesir problemlerinde her adım bir önceki adımın kalanına uygulanır.

4

Verilen fark bilgisini kullanarak denklemi kur ve çöz.

Barınma (

\frac{3x}{9}

) - Hastane (

\frac{x}{9}

) = 600

\Rightarrow \frac{2x}{9} = 600 \Rightarrow 2x = 5400 \Rightarrow x = 2700

.

Miktarlar arasındaki farkın sayısal değeri verilmiştir, bu eşitlik kullanılarak

x

bulunur.

Anahtar Kavram

Kalanlı Kesir Problemleri

İpuçları

1

Her aşamada 'kalan' miktar üzerinden işlem yapıldığını unutmayın. İlk işlemden sonra elinizde toplamın kaçta kaçı kaldığını bulun.

2

İkinci aşamada

\frac{7}{9}

'luk kısmın

\frac{3}{7}

'sini hesaplarken 7'lerin sadeleştiğini fark ederseniz işlem kolaylaşır.

3

Barınma alanlarına giden miktar toplamın

\frac{3}{9}

'u, sahra hastanelerine giden miktar toplamın

\frac{1}{9}

'udur. Aradaki fark (

\frac{2}{9}

) 600'e eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan ancak tersten gidilerek (son kalan verilip başlangıç sorulan) çözülen bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kesirlerin paydalarına (9, 7, 4) bakarak toplam koli sayısına bu sayıların katı olan bir değer (örneğin

252k

) diyerek de çözüm yapılabilir, ancak sadeleşmeler nedeniyle doğrudan

x

üzerinden gitmek daha pratiktir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 18Soru →

Kilogramı $50$ TL'den alınan yaş sabun, kurutulma sürecinde ağırlığının $\%20$ 'sini kaybetmektedir. Bu sabunların tamamı satıldığında maliyet üzerinden $\%60$ kâr elde etmeyi hedefleyen bir tüccar, kuru sabunun kilogram satış fiyatını kaç TL olarak belirlemelidir?

80

90

96

100

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Kuru sabunun kilogram satış fiyatı 100 TL olmalıdır.

Toplam maliyetin değişmediği, ancak satılabilir ürün miktarının azaldığı bu tip sorularda 'Toplam Gelir / Kalan Miktar' mantığı kullanılır. 5000 TL maliyetli ürünün %60 kârla 8000 TL getirmesi gerekir. Elimizde sadece 80 kg ürün kaldığı için, 8000 TL'yi 80 kg'a bölerek kilogram fiyatını 100 TL buluruz.

Adım Adım Çözüm

1

İşlem kolaylığı için başlangıçta

100

kg yaş sabun alındığını varsayalım.

Miktar:

100

kg

Yüzde problemlerinde taban değeri 100 almak işlemleri sadeleştirir.

2

Toplam maliyeti hesaplayalım (Miktar

\times

Birim Fiyat).

100 \text{ kg} \times 50 \text{ TL} = 5000 \text{ TL}

Kâr oranı bu toplam maliyet üzerinden hesaplanacaktır.

3

Kuruma sonrası kalan ağırlığı bulalım (Ağırlık

\%20

azalıyor).

100 - (100 \times 0,20) = 80 \text{ kg}

Satış yapılabilecek gerçek ürün miktarı budur.

4

Hedeflenen toplam satış gelirini hesaplayalım (Maliyet +

\%60

Kâr).

5000 + (5000 \times 0,60) = 5000 + 3000 = 8000 \text{ TL}

Tüccarın eline geçmesi gereken toplam para miktarıdır.

5

Birim satış fiyatını bulalım (Toplam Gelir / Kalan Ağırlık).

8000 \text{ TL} / 80 \text{ kg} = 100 \text{ TL}

Elde kalan ürünün kilogram başına ne kadara satılması gerektiğini verir.

Anahtar Kavram

Fire (Ağırlık Kaybı) Problemleri

İpuçları

1

Soruyu çözerken başlangıçta elinizde belirli bir miktar (örneğin 100 kg) sabun olduğunu varsaymak işinizi kolaylaştırır.

2

Sabun kuruyunca ağırlığı azalır ancak satın alırken ödediğiniz toplam para (toplam maliyet) değişmez.

3

100 kg sabun 5000 TL eder. Kuruyunca 80 kg kalır. %60 kâr için toplam 8000 TL kazanmalısınız. Şimdi 8000 TL'yi 80 kg'a bölün.

Daha Fazla Pratik

Bir manavın aldığı limonların bir kısmının çürüyüp atılması sonucu oluşan maliyet artışı sorusu ile pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

Bir memur, aylık maaşının $\frac{2}{9}$ 'sini ev kirasına, kalanın $\frac{3}{7}$ 'ünü mutfak masraflarına ve geriye kalan tutarın $\frac{1}{4}$ 'ini faturalara ayırmıştır. Mutfak masrafları için ayrılan tutar faturalar için ayrılan tutardan 15.000 TL fazla olduğuna göre, bu memurun aylık maaşı kaç TL'dir?

45.000

67.500

84.000

105.000

135.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 67.500

Cevap

Memurun aylık maaşı 67.500 TL'dir.

Soruda ardışık olarak kalan paranın belirli oranlarının harcandığı belirtilmiştir. Adım adım gidildiğinde; mutfak masrafı maaşın 3/9'u, fatura masrafı ise maaşın 1/9'u olarak bulunur. Aradaki fark (2/9) 15.000 TL olduğuna göre, maaşın tamamı (9/9) orantı kurularak 67.500 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Maaşın tamamına işlem kolaylığı sağlaması için

x

diyelim. İlk harcamayı hesaplayıp kalanı bulalım.

Ev kirası:

\frac{2x}{9}

. Kalan:

x - \frac{2x}{9} = \frac{7x}{9}

.

Kesir problemlerinde 'kalan' üzerinden işlem yapıldığında her adımda yeni bakiye bulunmalıdır.

2

Birinci kalanın üzerinden mutfak masrafını hesaplayıp yeni kalanı bulalım.

Mutfak:

\frac{7x}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3x}{9} = \frac{x}{3}

. Yeni Kalan:

\frac{7x}{9} - \frac{3x}{9} = \frac{4x}{9}

.

Çarpma işlemi yapılırken 7'ler sadeleşir, işlem kolaylaşır.

3

İkinci kalanın üzerinden fatura masrafını hesaplayalım.

Fatura:

\frac{4x}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{x}{9}

.

4'ler sadeleşir ve fatura tutarı toplam maaş cinsinden bulunur.

4

Soruda verilen 'Mutfak masrafı faturalardan 15.000 TL fazla' bilgisini denkleme dökelim.

\frac{3x}{9} - \frac{x}{9} = 15.000 \Rightarrow \frac{2x}{9} = 15.000

.

Her iki harcama kalemi de aynı paydada (9) olduğu için çıkarma işlemi kolayca yapılır.

5

Denklemi çözerek

x

değerini bulalım.

2x = 135.000 \Rightarrow x = 67.500

.

Bölü 9 karşıya çarpı olarak, çarpı 2 karşıya bölü olarak geçer.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde 'kalanın kalanı' mantığı ile adım adım ilerleme ve parça-bütün ilişkisi kurma.

İpuçları

1

Maaşın tamamına, paydaların (9, 7, 4) katı olan büyük bir sayı vermek yerine, sadeleşmeleri görerek adım adım 'x' cinsinden yazmayı deneyin.

2

Ev kirası düştükten sonra kalan

7x/9

'dur. Mutfak masrafı bunun

3/7

'sidir. 7'lerin sadeleştiğine dikkat edin.

3

Mutfak masrafı

3x/9

, fatura masrafı

x/9

çıkmaktadır. Aradaki fark olan

2x/9

'u 15.000'e eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen ancak tersten gitmeyi (sondan başa) gerektiren problemler çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kutu (Blok) Yöntemi: Maaşı 9 kutu kabul edelim. 2 kutu kira. Kalan 7 kutunun 3'ü mutfak. Geriye kalan 4 kutunun 1'i fatura. Mutfak (3 kutu) - Fatura (1 kutu) = 2 kutu. 2 kutu = 15.000 ise 1 kutu = 7.500. Toplam 9 kutu = 67.500.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 20Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen hizmet içi eğitim seminerinde katılımcılar salondaki sıralara belirli bir düzende oturacaktır. Katılımcılar her sıraya $3$ 'er kişi oturursa $2$ sıra tamamen boş kalıyor. Eğer her sıraya $2$ 'şer kişi oturursa $7$ katılımcı ayakta kalıyor. Buna göre, bu seminerdeki toplam katılımcı sayısı kaçtır?

25

26

33

39

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Seminerdeki toplam katılımcı sayısı 33'tür.

Toplam sıra sayısına

x

denildiğinde, 2 sıranın boş kalması katılımcıların

(x-2)

sıraya 3'erli oturduğunu gösterir. Aynı katılımcı kitlesi sıralara 2'şerli oturduğunda 7 kişi ayakta kalıyorsa, katılımcı sayısı

2x+7

olarak ifade edilir.

3(x-2) = 2x+7

eşitliğinden

x=13

bulunur. Bu değer yerine yazıldığında toplam katılımcı sayısının 33 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken tanımlama

Sıra sayısı =

x

Problemdeki tüm veriler sıra sayısına bağlı olduğu için temel değişken olarak sıra sayısını seçiyoruz.

2

Katılımcı sayısını iki farklı durum için denkleme dökme

1. Durum:

3 \times (x - 2)

, 2. Durum:

2x + 7

İlk durumda 2 sıra boş kaldığı için oturanlar

(x-2)

sırayı doldurur. İkinci durumda herkes oturduğunda 7 kişi artmaktadır.

3

Denklemleri birbirine eşitleme ve çözme

3x - 6 = 2x + 7 \Rightarrow x = 13

Her iki durum da aynı toplam katılımcı sayısını verdiği için denklemler birbirine eşittir.

4

Bulunan değeri yerine koyarak katılımcı sayısını hesaplama

2 \times 13 + 7 = 33

veya

3 \times (13 - 2) = 33

Bulduğumuz sıra sayısını herhangi bir durumdaki ifadede yerine yazarak toplam kişi sayısına ulaşıyoruz.

Anahtar Kavram

Sözel ifadeleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlere dönüştürme ve çözme.

İpuçları

1

Seminerdeki toplam sıra sayısına

x

diyerek başlayın.

2

İki farklı oturma düzeni için de katılımcı sayısını

x

cinsinden yazıp bu iki ifadeyi birbirine eşitleyin.

3

'2 sıra boş kalıyor' ifadesini

3 \times (x - 2)

şeklinde, '7 kişi ayakta kalıyor' ifadesini ise

2x + 7

şeklinde denkleme dökebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan 'kumbaraya atılan madeni para' veya 'ikişer üçer çıkılan merdiven basamağı' problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerden giderek deneme yapılabilir. Örneğin 33 katılımcı için:

33 / 3 = 11

sıra doludur,

13 - 11 = 2

sıra boştur (Şart sağlanır). 33 katılımcı için:

13 \times 2 = 26

kişi oturur,

33 - 26 = 7

kişi ayakta kalır (Şart sağlanır).

Tahmini Süre:1m 30s

Problemler

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap