Kombinasyon (Seçme) Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir Uluslararası İlişkiler Başkanlığı bünyesinde, yurtdışı temsil görevi için 6 diplomat ve 5 tercüman arasından 5 kişilik bir heyet oluşturulacaktır. Oluşturulacak bu heyette diplomat sayısının tercüman sayısından fazla olması ve Diplomat Ahmet ile Tercüman Canan'ın heyette ya birlikte bulunmaları ya da hiç bulunmamaları gerekmektedir. Buna göre, bu heyet kaç farklı şekilde seçilebilir?

50

81

131

156

281

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 131

Cevap

Belirtilen şartlara uygun heyet 131 farklı şekilde oluşturulabilir.

Soruda iki temel kısıtlama vardır: Diplomat sayısının tercüman sayısından fazla olması (D > T) ve Ahmet ile Canan'ın ayrılmaz ikili olması. Bu tür 'ya birlikte ya hiç' sorularında en güvenli yöntem durumu ikiye ayırmaktır.

1. Ahmet ve Canan'ın Seçildiği Durum:
Heyete 2 kişi (1D, 1T) zaten yerleşmiştir. Kalan 3 koltuk için kalan havuzdan (5D, 4T) seçim yapılır. Toplamda D > T olması için kalan 3 koltuk ya '3D, 0T' ya da '2D, 1T' şeklinde doldurulmalıdır.
- (3D seçimi):

C(5,3) = 10

- (2D, 1T seçimi):

C(5,2) \times C(4,1) = 10 \times 4 = 40

Bu durum için toplam:

10 + 40 = 50

yol.

2. Ahmet ve Canan'ın Seçilmediği Durum:
Bu kişiler elendiği için heyet, kalan (5D, 4T) arasından 5 kişi olarak seçilecektir. D > T şartı için:
- (5D, 0T):

C(5,5) = 1

- (4D, 1T):

C(5,4) \times C(4,1) = 5 \times 4 = 20

- (3D, 2T):

C(5,3) \times C(4,2) = 10 \times 6 = 60

Bu durum için toplam:

1 + 20 + 60 = 81

yol.

Genel Toplam:

50 + 81 = 131

.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi iki ana duruma ayır: 1. Durum (Ahmet ve Canan'ın heyette olduğu) ve 2. Durum (Ahmet ve Canan'ın heyette olmadığı).

İki ayrı hesaplama yapılacak.

Ahmet ve Canan'ın durumu birbirine bağlıdır ('ya hep ya hiç' kuralı), bu yüzden bu iki özel kişi için şartlar sabitlenerek kalan seçimler yapılmalıdır.

2

1. Durumu (Ahmet ve Canan HEYETTE) hesapla. Geriye kalan 5 diplomat ve 4 tercüman arasından, heyet tamamlanacak (toplam 5 kişi) ve diplomat > tercüman şartı sağlanacak.

Ahmet (D) ve Canan (T) seçildiği için heyette şu an 1 Diplomat, 1 Tercüman var. Kalan 3 kişi için olası senaryolar:
- 3 Diplomat (Toplam: 4D, 1T) -> C(5,3) = 10 durum.
- 2 Diplomat, 1 Tercüman (Toplam: 3D, 2T) -> C(5,2) × C(4,1) = 10 × 4 = 40 durum.
Toplam: 10 + 40 = 50.

Heyette çoğunluğun diplomat olması şartı (D > T) sağlanmalıdır. (4D, 1T) ve (3D, 2T) bu şartı sağlar.

3

2. Durumu (Ahmet ve Canan HEYETTE YOK) hesapla. Geriye kalan 5 diplomat ve 4 tercüman arasından 5 kişi seçilecek ve diplomat > tercüman şartı sağlanacak.

Ahmet ve Canan havuzdan çıkarıldı. Kalanlardan D > T şartını sağlayan senaryolar:
- 5 Diplomat, 0 Tercüman -> C(5,5) = 1 durum.
- 4 Diplomat, 1 Tercüman -> C(5,4) × C(4,1) = 5 × 4 = 20 durum.
- 3 Diplomat, 2 Tercüman -> C(5,3) × C(4,2) = 10 × 6 = 60 durum.
Toplam: 1 + 20 + 60 = 81.

Havuz daraldığı için seçimler kalan 5 diplomat ve 4 tercüman üzerinden yapılır.

4

İki durumun sonuçlarını topla.

50 (1. Durum) + 81 (2. Durum) = 131.

Bu iki durum ayrık olaylardır (bir durum diğerini kapsamaz), bu yüzden toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Durum Analizi

İpuçları

1

Soruda 'ya birlikte bulunmaları ya da hiç bulunmamaları' ifadesi, problemi iki ayrı senaryo halinde çözmeniz gerektiğini gösterir.

2

Birinci senaryoda Ahmet ve Canan'ı heyete koyun, kalan kontenjanı (3 kişi) belirleyin. İkinci senaryoda Ahmet ve Canan'ı havuzdan tamamen çıkarın, tüm heyeti (5 kişi) kalanlardan seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla; 'En az 2 diplomat bulunmak şartıyla' gibi alt sınır içeren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarma yöntemi de kullanılabilir ancak bu soruda 'D > T' şartı da olduğu için doğrudan durumları (Case Analysis) toplamak daha az hata riski taşır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 22Soru →

Bir kamu kurumunun teknik dairesinde görevli $6$ mühendis ve $5$ mimar arasından $4$ kişilik bir proje değerlendirme komisyonu oluşturulacaktır. Oluşturulacak bu komisyonda en az $2$ mühendis bulunması koşuluyla, seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

250

265

330

540

600

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 265

Cevap

Komisyon 265 farklı şekilde seçilebilir.

İstenen koşul 'en az 2 mühendis' olduğundan, komisyon yapısı üç farklı senaryoda gerçekleşebilir: 2 mühendis ve 2 mimar, 3 mühendis ve 1 mimar veya tamamı mühendis (4 mühendis). Her bir senaryo için kombinasyon hesabı yapılıp elde edilen sonuçlar toplandığında doğru sayıya ulaşılır (

150 + 100 + 15 = 265

).

Adım Adım Çözüm

1

Problemin koşullarını ve olası durumları belirle.

Toplam 4 kişi seçilecek. Havuz: 6 Mühendis, 5 Mimar. Koşul: En az 2 mühendis. Durumlar: (2 Müh, 2 Mim), (3 Müh, 1 Mim), (4 Müh, 0 Mim).

'En az 2 mühendis' ifadesi, mühendis sayısının 2, 3 veya 4 olabileceği alternatif durumları kapsar.

2

Birinci durumu (2 Mühendis, 2 Mimar) hesapla.

C(6,2) \times C(5,2) = 15 \times 10 = 150

6 mühendisten 2'si ve 5 mimardan 2'si seçilir. Olaylar bağımlı olduğu için çarpılır.

3

İkinci durumu (3 Mühendis, 1 Mimar) hesapla.

C(6,3) \times C(5,1) = 20 \times 5 = 100

6 mühendisten 3'ü ve 5 mimardan 1'i seçilir.

4

Üçüncü durumu (4 Mühendis, 0 Mimar) hesapla.

C(6,4) \times C(5,0) = 15 \times 1 = 15

Komisyonun tamamı mühendislerden oluşur.

5

Tüm durumları topla.

150 + 100 + 15 = 265

Farklı durumlar birbirine alternatiftir (veya bağlacı), bu yüzden toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Toplama Kuralı

Soru 23Soru →

Bir belediyenin bütçe planlama komisyonunda görevlendirilmek üzere; $4$ ekonomist ve $6$ maliye uzmanı arasından $3$ kişilik bir teknik çalışma grubu seçilecektir.

Grupta en az bir ekonomistin bulunması şartıyla bu seçimin kaç farklı şekilde yapılabileceği aşağıdakilerden hangisidir?

20

60

96

100

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $100$

Cevap

En az bir ekonomistin bulunduğu seçimler

100

farklı şekilde yapılabilir.

Soru bizden en az bir ekonomistin bulunduğu durumları istemektedir. Bu tür kısıtlamalı kombinasyon sorularında en pratik çözüm yolu, yapılabilecek tüm

3

kişilik seçimlerin sayısından (

120

), içinde hiç ekonomist bulunmayan (yani tamamı maliye uzmanı olan) seçimlerin sayısını (

20

) çıkarmaktır. Yapılan

120 - 20 = 100

işlemi bizi doğrudan doğru sonuca ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam aday sayısını ve seçilecek grup büyüklüğünü belirleyin.

4

ekonomist +

6

maliye uzmanı =

10

aday; seçilecek kişi sayısı =

3

.

Kombinasyon hesabı için toplam eleman sayısını ve seçim sayısını bilmemiz gerekir.

2

Hiçbir kısıtlama olmaksızın yapılabilecek tüm seçimlerin sayısını hesaplayın.

C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120

.

Tüm durumlar yöntemini (tüm durumlar - istenmeyen durumlar) kullanmak için toplam olasılıkları bulmalıyız.

3

İstenmeyen durumu (hiç ekonomist seçilmemesi, yani grubun tamamının maliye uzmanı olması) hesaplayın.

C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

.

'En az bir' koşulunun sağlanmadığı tek durum, o grupta hiç ekonomist olmamasıdır.

4

Tüm durumlardan istenmeyen durum sayısını çıkarın.

120 - 20 = 100

.

Tamamlayıcı sayma ilkesine göre, tüm seçimlerden sadece maliye uzmanlarının olduğu seçimleri çıkardığımızda geriye en az bir ekonomistin olduğu seçimler kalır.

Anahtar Kavram

Tamamlayıcı Sayma Yöntemi (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum)

İpuçları

1

'En az bir' kısıtlaması olan sorularda 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum' yöntemini kullanmak sizi daha hızlı sonuca götürür.

2

Buradaki istenmeyen durum, grupta hiç ekonomist bulunmaması; yani

3

kişilik grubun sadece

6

maliye uzmanı arasından seçilmesidir.

3

10

kişi arasından

3

kişiyi seçin (

120

), sonra

6

maliye uzmanı arasından

3

kişiyi seçin (

20

) ve bu iki sonucu birbirinden çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Eğer grupta 'en fazla bir' ekonomist bulunması istenseydi, çözüm için hangi durumları toplamanız gerekirdi?

Alternatif Yöntem

İstenen durumları ayrı ayrı hesaplayarak da sonuca ulaşabilirsiniz: (

1

Ekonomist ve

2

Maliye Uzmanı) + (

2

Ekonomist ve

1

Maliye Uzmanı) + (

3

Ekonomist ve

0

Maliye Uzmanı). Hesaplama:

C(4,1) \times C(6,2) + C(4,2) \times C(6,1) + C(4,3) \times C(6,0) = 4 \times 15 + 6 \times 6 + 4 \times 1 = 60 + 36 + 4 = 100

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 24Soru →

Bir kamu kurumunun teknik hizmetler biriminde görev yapan $5$ mühendis ve $4$ mimar arasından $4$ kişilik bir proje denetim komisyonu oluşturulacaktır. Komisyonun seçiminde aşağıdaki şartlara uyulması zorunludur:

1. Komisyonda en az $2$ mühendis bulunmalıdır.
2. Mühendislerden Elif Hanım ile Mimarlardan Kemal Bey, kurum içi çalışma prensipleri gereği aynı komisyonda birlikte görev almamalıdır.

Buna göre, bu denetim komisyonu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

75

84

87

105

126

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 87

Cevap

Komisyon

87

farklı şekilde oluşturulabilir.

Problemin çözümü için 'Tüm Geçerli Durumlar' kümesinden 'Kısıtlamaya Uymayan Durumlar' alt kümesinin çıkarılması gerekir. Öncelikle 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan tüm gruplar hesaplanır (105). Daha sonra bu grupların içinden Elif ve Kemal'in birlikte bulunduğu durumlar (18) çıkarılır. Sonuç

105 - 18 = 87

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci şartı (en az 2 mühendis) sağlayan tüm olası grupların sayısını hesapla.

\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2} + \binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1} + \binom{5}{4}\cdot\binom{4}{0} = (10\cdot6) + (10\cdot4) + (5\cdot1) = 60 + 40 + 5 = 105

Komisyonda 2 mühendis, 3 mühendis veya 4 mühendis bulunabilir.

2

Birinci şartı sağlayan gruplar içinden, ikinci şarta uymayan (Elif ve Kemal'in birlikte olduğu) durumları tespit et.

Elif (Mühendis) ve Kemal (Mimar) seçildiğinde, geriye kalan 2 kişi için kalan havuzdan (

4

Mühendis,

3

Mimar) seçim yapılır. Toplam mühendis sayısının en az 2 olması gerektiğinden, kalan 2 kişiden en az biri daha mühendis olmalıdır:

1 \text{ Müh} + 1 \text{ Mim: } \binom{4}{1}\cdot\binom{3}{1} = 12

2 \text{ Müh} + 0 \text{ Mim: } \binom{4}{2}\cdot\binom{3}{0} = 6

Toplam İstenmeyen Durum:

12 + 6 = 18

Elif ve Kemal birlikteyken toplam mühendis sayısının 2'nin altına düşmemesi gerekir. (Sadece 2 mimar seçilirse toplam 1 mühendis olur, bu durum zaten Adım 1'deki 105 sayısına dahil değildir, o yüzden çıkarılmaz).

3

Tüm geçerli durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

105 - 18 = 87

Genel kümeden kısıtlamayı ihlal eden alt küme çıkarılır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon Problemleri (Tüm Durum - İstenmeyen Durum)

İpuçları

1

Problemi iki aşamada düşünün: Önce yasaklı ikili şartını yok sayarak 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan tüm durumları hesaplayın.

2

Bulduğunuz tüm durumlardan, 'hem en az 2 mühendis şartını sağlayan hem de Elif ve Kemal'in birlikte olduğu' istenmeyen durumları çıkarın.

3

İstenmeyen durumda Elif ve Kemal zaten seçilidir. Yanlarına seçilecek 2 kişinin, grubun toplam mühendis sayısını 2 veya üzerine tamamlaması gerektiğini unutmayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 25Soru →

Bir kamu kurumu, envanterindeki $9$ farklı bilişim cihazından $3$ tanesini yenilemek üzere teknik birime gönderecektir. Ancak, aynı seriye ait olan $2$ cihazın her ikisinin birden aynı anda teknik birime gönderilmesi operasyonel aksaklık yaratacağı için uygun bulunmamıştır.

Buna göre, yenilenmek üzere gönderilecek $3$ cihaz kaç farklı şekilde seçilebilir?

84

77

70

42

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $77$

Cevap

Yenilenecek cihazlar

77

farklı şekilde seçilebilir.

Doğru yanıt olan yetmiş yedi, tüm olası üçlü seçimlerden (

84

durum), aynı serideki iki cihazın bir arada bulunduğu durumların (

7

durum) çıkarılmasıyla elde edilir. Bu yaklaşım, 'ikisi birden seçilemez' kısıtlamasını tam olarak karşılar.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam seçim sayısını hesapla

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

Hiçbir kısıtlama olmasaydı

9

cihaz arasından

3

tanesi bu kadar farklı şekilde seçilebilirdi.

2

İstenmeyen durum sayısını (iki özel cihazın birlikte seçilmesi) hesapla

\binom{2}{2} \times \binom{7}{1} = 1 \times 7 = 7

Aynı serideki

2

cihazın ikisi de seçildiğinde, kalan

1

cihaz diğer

7

cihaz arasından seçilir.

3

İstenen durum sayısını bulmak için çıkarma işlemini yap

84 - 7 = 77

Toplam durumlardan kısıtlamaya uymayan durumlar çıkarılarak geçerli seçimlerin sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Kısıtlı Seçim Problemleri

İpuçları

1

Soruda istenen durumu bulmak için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemini kullanabilirsin.

2

İstenmeyen durum, aynı serideki 2 cihazın her ikisinin de seçildiği durumdur. Bu 2 cihazı seçtikten sonra yanına 1 cihaz daha seçmen gerekir.

3

9'un 3'lü kombinasyonundan, 2'nin 2'li kombinasyonu ile 7'nin 1'li kombinasyonunun çarpımını çıkarmalısın.

Daha Fazla Pratik

Eğer 3 cihaz değil de 4 cihaz seçilseydi ve kısıtlama aynı kalsaydı sonuç nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Soruyu durumları ayrı ayrı toplayarak da çözebilirsin: (Özel cihazlardan hiç seçilmeyen durumlar:

\binom{2}{0} \times \binom{7}{3} = 35

) + (Özel cihazlardan sadece biri seçilen durumlar:

\binom{2}{1} \times \binom{7}{2} = 2 \times 21 = 42

). Toplam:

35 + 42 = 77

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 26Soru →

Bir devlet arşivi bünyesinde restorasyon çalışmaları tamamlanan birbirinden farklı $5$ adet tarihi belge arasından $3$ tanesi geçici bir sergi ünitesinde sergilenmek üzere seçilecektir.

Buna göre, bu sergi için kaç farklı belge grubu oluşturulabilir?

10

60

15

20

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Sergi için oluşturulabilecek farklı belge grubu sayısı 10'dur.

Seçilen nesnelerin sırasının önemli olmadığı gruplandırma problemlerinde kombinasyon kullanılır.

5

farklı belge arasından

3

tanesi

C(5, 3)

kadar farklı şekilde seçilebilir. Matematiksel olarak

C(5, 3) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirleyin.

Kombinasyon (Seçme)

Belgelerin kendi içindeki sıralaması değil, sadece hangi belgelerin seçildiği (grup oluşturulması) sorulduğu için kombinasyon kullanılır.

2

Kombinasyon formülünü uygulayın.

C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!}

n

farklı nesne arasından

r

tanesinin seçimi

C(n, r)

formülü ile hesaplanır.

3

Faktöriyel işlemlerini sadeleştirerek hesaplayın.

\frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{20}{2} = 10

Pay ve paydadaki

3!

ifadeleri birbirini sadeleştirir, geriye kalan

20/2

işlemi sonucu verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) Mantığı

İpuçları

1

Soruda belgelerin diziliş sırası belirtilmemiş, sadece hangi belgelerin seçileceği sorulmuştur. Bu durum bizi kombinasyona yönlendirir.

2

n

elemanlı bir kümeden

r

eleman seçmek için kullanılan

C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}

formülünü hatırlayın.

3

C(5, 3)

ifadesini hesaplarken, bunun

C(5, 2)

ifadesine eşit olduğunu bilmek işleminizi kolaylaştırabilir:

\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}

Daha Fazla Pratik

Bir kümenin alt kümelerini bulma ile kombinasyon arasındaki ilişkiyi inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kombinasyonun özelliklerinden biri olan

C(n, r) = C(n, n-r)

eşitliği kullanılabilir.

5

belge arasından

3

tanesini seçmek, sergiye katılmayacak

2

belgeyi seçmekle aynıdır.

C(5, 2) = (5 \times 4) / 2 = 10

olarak daha hızlı hesaplanabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 27Soru →

Bir kütüphanede bulunan birbirinden farklı 6 roman arasından, bir hafta sonu tatilinde okunmak üzere 2 roman seçilecektir. Bu seçim işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

12

15

30

36

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Kitap seçimi işlemi 15 farklı şekilde yapılabilir.

On beş sonucu doğrudur çünkü 6 farklı nesne arasından 2 tanesinin sırasız seçimi

C(6, 2)

kombinasyonu ile hesaplanır. Bu hesaplama

\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin çözüm yöntemini belirleme

Kombinasyon (Seçme)

Soruda kitapların sıralanması değil, sadece belirli bir grup içinden seçilmesi istendiği için kombinasyon yöntemi kullanılır.

2

Kombinasyon formülünü kurma

C(6, 2) = \binom{6}{2}

6 farklı öğe arasından 2 tanesinin seçilmesi matematiksel olarak bu şekilde ifade edilir.

3

Hesaplama işlemini gerçekleştirme

\frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

C(n, r) = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}

formülüne göre sadeleştirme yapılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon, bir nesne topluluğu içerisinden sıra gözetmeksizin yapılan seçimlerdir.

İpuçları

1

Bu soruda kitapları hangi sırayla seçtiğinizin bir önemi var mı? (Örneğin A ve B kitaplarını seçmek ile B ve A kitaplarını seçmek farklı mıdır?)

2

Sıralama önemli değilse 'Kombinasyon' formülünü kullanmalısınız.

3

6'nın 2'li kombinasyonu için

\frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}

işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Seçilen kitap sayısı 2 yerine 4 olsaydı sonuç değişir miydi? (İpucu:

C(n, r) = C(n, n-r)

özelliğini düşünün.)

Alternatif Yöntem

Kombinasyonun temel özelliğini hatırlayarak:

C(n, r)

ifadesini hesaplarken n'den geriye doğru r tane sayıyı çarpıp r! değerine bölebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 28Soru →

Bir İl Özel İdaresinde görevli $8$ teknik personel arasından, bir altyapı projesini denetlemek üzere $4$ kişilik bir "Geçici Kabul Komisyonu" oluşturulacaktır. Bu personeller arasında yer alan Müdür ve Müdür Yardımcısının idari sebeplerle aynı komisyonda bulunmamaları gerekmektedir.

Buna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

40

55

60

70

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Komisyon 55 farklı şekilde oluşturulabilir

Problemi çözmek için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en pratik yoldur. Toplam 8 kişi arasından 4 kişi

C(8,4)=70

farklı şekilde seçilebilir. İstenmeyen durum, Müdür ve Müdür Yardımcısının birlikte seçilmesidir. Bu iki kişi seçildiğinde, geriye kalan 6 kişiden 2 kişi daha seçilmelidir:

C(6,2)=15

. Sonuç olarak

70 - 15 = 55

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm durumların sayısını hesapla (koşulsuz seçim).

C(8, 4) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70

Toplam 8 personelden 4'ü seçilecektir.

2

İstenmeyen durumların sayısını hesapla (Müdür ve Müdür Yardımcısının birlikte olduğu durumlar).

C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15

Müdür ve Müdür Yardımcısı seçilirse, geriye kalan 6 kişiden 2 kişi daha seçilmelidir.

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

70 - 15 = 55

Toplam olasılıklardan kısıtlamaya uymayanlar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Yöntemi ile Kombinasyon Hesabı

İpuçları

1

Doğrudan istenen durumları saymak yerine, tüm olasılıklardan istenmeyen durumu çıkarmayı deneyin.

2

İstenmeyen durum: Müdür ve Müdür Yardımcısının aynı anda ekipte olmasıdır. Bu durumda geriye kalan 2 üyeyi kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?

3

Tüm seçimler

C(8,4)

'tür. İkisinin birlikte olduğu durum

C(6,2)

'dir. Farkı alın.

Alternatif Yöntem

Ayrık durumları toplama yöntemi: (İkisi de yok:

C(6,4)=15

) + (Sadece Müdür var:

C(6,3)=20

) + (Sadece Yrd. var:

C(6,3)=20

) =

15 + 20 + 20 = 55

.

Soru 29Soru →

Bir hastanenin acil servis bölümünde görev yapan 4 doktor ve 4 hemşire bulunmaktadır. Bu 8 sağlık personeli arasından 4 kişilik bir nöbet ekibi oluşturulacaktır.

Oluşturulacak bu ekip için aşağıdaki şartlar belirlenmiştir:
1. Ekipte en az 2 doktor bulunmalıdır.
2. Doktorlardan Ali Bey ile hemşirelerden Ayşe Hanım, aralarındaki akrabalık bağı nedeniyle aynı ekipte yer almamalıdır.

Buna göre, bu nöbet ekibi kaç farklı şekilde seçilebilir?

36

41

53

65

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

Ekipte en az 2 doktor bulunması ve belirtilen iki kişinin aynı anda bulunmaması şartıyla toplam 41 farklı seçim yapılabilir.

Bu soru iki aşamada çözülmelidir. Önce 'en az 2 doktor' şartını sağlayan tüm durumları bulalım, sonra bu durumlardan Ali Bey ve Ayşe Hanım'ın birlikte olduğu istenmeyen durumları çıkaralım.

1. Adım: Ali ve Ayşe kısıtlaması olmadan 'En az 2 Doktor' durumları:
- 2 Doktor, 2 Hemşire:

C(4,2) \times C(4,2) = 6 \times 6 = 36

- 3 Doktor, 1 Hemşire:

C(4,3) \times C(4,1) = 4 \times 4 = 16

- 4 Doktor, 0 Hemşire:

C(4,4) \times C(4,0) = 1 \times 1 = 1

- Toplam:

36 + 16 + 1 = 53

durum.

2. Adım: Ali ve Ayşe'nin BİRLİKTE olduğu ve 'En az 2 Doktor' şartını sağlayan (istenmeyen) durumlar:
Ekipte Ali (Doktor) ve Ayşe (Hemşire) kesinlikle var. Geriye 2 kişi seçmeliyiz. Toplam doktor sayısının en az 2 olması için, kalan 2 kişiden en az 1'i daha doktor olmalı (çünkü Ali zaten 1 doktor).
- Kalanlardan 1 Doktor, 1 Hemşire seçimi:

C(3,1) \times C(3,1) = 3 \times 3 = 9

(Toplamda 2 Dr, 2 Hemşire olur)
- Kalanlardan 2 Doktor seçimi:

C(3,2) = 3

(Toplamda 3 Dr, 1 Hemşire olur)
- İstenmeyen Toplam:

9 + 3 = 12

durum.

Sonuç:

53 - 12 = 41

farklı seçim yapılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıtlamasız (Ali Bey ve Ayşe Hanım şartı olmadan) 'en az 2 doktor' bulunan durumların sayısını hesapla.

53 durum

Olası durumlar: (2 Doktor, 2 Hemşire), (3 Doktor, 1 Hemşire) veya (4 Doktor).

2

Ali Bey ve Ayşe Hanım'ın BİRLİKTE olduğu ve 'en az 2 doktor' şartını sağlayan istenmeyen durumları hesapla.

12 durum

Ali ve Ayşe ekipteyken, kalan 2 kişilik kontenjan için gereken doktor şartı kontrol edilmelidir.

3

Toplam geçerli durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

53 - 12 = 41

Tüm durumlar kümesinden kısıtlamaya uymayan alt kümeyi çıkarmak işlemi kolaylaştırır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon Problemleri

İpuçları

1

Soruyu iki parça halinde düşünün: Önce kişi kısıtlaması (Ali/Ayşe) olmadan tüm geçerli ekipleri bulun.

2

'En az 2 doktor' demek; 2 doktor, 3 doktor veya 4 doktorun olduğu durumların toplamıdır.

3

Tüm geçerli durumlardan (En az 2 doktor olan), Ali ve Ayşe'nin 'birlikte' olduğu durumları çıkararak sonuca ulaşabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ali ve Ayşe'nin durumlarına göre 3 ayrı senaryoyu toplayabilirsiniz: 1) İkisinin de olmadığı durumlar, 2) Sadece Ali'nin olduğu durumlar, 3) Sadece Ayşe'nin olduğu durumlar.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 30Soru →

Bir İl Milli Eğitim Müdürlüğü bünyesinde kurulacak bir denetim komisyonu için $6$ şube müdürü ve $5$ müfettiş arasından $4$ kişilik bir ekip seçilecektir. Oluşturulacak bu ekipte en az $3$ şube müdürünün bulunması zorunlu olduğuna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

100

115

125

175

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 115

Cevap

Komisyon en az 3 şube müdürü içerecek şekilde 115 farklı şekilde oluşturulabilir.

Komisyonun en az 3 şube müdüründen oluşması, ekibin ya (3 Şube Müdürü + 1 Müfettiş) ya da (4 Şube Müdürü + 0 Müfettiş) şeklinde kurulmasını gerektirir. İlk durum

C(6,3) \times C(5,1) = 100

farklı şekilde, ikinci durum ise

C(6,4) \times C(5,0) = 15

farklı şekilde gerçekleşir. Bu iki bağımsız durumun toplamı olan 115, toplam farklı komisyon sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Şartlara uygun durumları belirleme

Durum 1: 3 Şube Müdürü ve 1 Müfettiş seçilmesi; Durum 2: 4 Şube Müdürü ve 0 Müfettiş seçilmesi.

'En az 3 şube müdürü' ifadesi, seçilecek 4 kişiden 3'ünün veya tamamının şube müdürü olması gerektiğini belirtir.

2

1. Durum için kombinasyon hesabı yapma

C(6, 3) \times C(5, 1) = 20 \times 5 = 100

6 şube müdürü arasından 3 kişi ve 5 müfettiş arasından 1 kişi seçilmelidir.

3

2. Durum için kombinasyon hesabı yapma

C(6, 4) \times C(5, 0) = 15 \times 1 = 15

6 şube müdürü arasından 4 kişi ve 5 müfettiş arasından hiç kimse seçilmemelidir.

4

Durumların toplamını bulma

100 + 15 = 115

Ayrı durumlar toplama kuralı gereği toplanarak toplam olasılık sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Gruplandırma Kuralları

İpuçları

1

'En az 3' ifadesi, seçilecek 4 kişinin 3 veya 4 tanesinin şube müdürü olabileceğini gösterir.

2

Her iki durumu (3 müdür + 1 müfettiş ve 4 müdür + 0 müfettiş) ayrı ayrı hesaplayıp toplamanız gerekir.

3

C(6,3) = 20

ve

C(6,4) = 15

değerlerini kullanarak gruplar arası çarpma, gruplar içi toplama yapmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'en çok' ifadesi kullanıldığında izlenecek yolu pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da çözülebilir. Ancak bu soruda istenen durum sayısı az olduğu için doğrudan hesaplama daha hızlıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Bir kütüphane görevlisi, kütüphaneye yeni gelen birbirinden farklı $7$ adet güncel dergi arasından $3$ tanesini seçerek süreli yayınlar masasına koyacaktır. Buna göre, bu $3$ dergi kaç farklı şekilde seçilebilir?

21

210

35

42

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $35$

Cevap

Dergilerin seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır ve sonuç

35

bulunur.

Verilen problemde

7

farklı nesne arasından

3

nesnenin seçilmesi istenmektedir. Nesnelerin diziliş sırası belirtilmediği için kombinasyon formülü uygulanır.

C(7,3)

hesaplandığında

\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirle.

Seçme işlemi yapıldığı ve sıralama önemli olmadığı için kombinasyon (

C(n, r)

) kullanılmalıdır.

Bir gruptan belirli sayıda eleman seçilirken diziliş değil, sadece hangi elemanların grupta olduğu önemlidir.

2

Kombinasyon formülünü uygula.

C(7, 3) = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}

n=7

(toplam dergi) ve

r=3

(seçilecek dergi) değerleri formülde yerine yazılır.

3

Hesaplamayı sadeleştirerek tamamla.

\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35

3! = 6

olduğu için paydaki

6

ile paydadaki

6

sadeleşir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme)

İpuçları

1

Bu soruda seçtiğin dergileri hangi sırayla masaya koyduğun sonucu değiştirir mi?

2

Sadece 'seçme' işlemi yapıldığına göre permütasyon değil, kombinasyon formülünü kullanmalısın.

3

7

elemandan

3

eleman seçmek için

C(7,3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}

işlemini yapabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu dergiler seçildikten sonra masaya yan yana dizilseydi sonuç nasıl değişirdi? (Permütasyon konusuna hazırlık).

Alternatif Yöntem

Pascal üçgenindeki 7. satırın 3. elemanına (0'dan başlayarak) bakarak da sonuca ulaşabilirsin: 1, 7, 21, 35...

Tahmini Süre:45s

Soru 32Soru →

Kültür ve Turizm Bakanlığı bünyesinde oluşturulacak olan bir 'Kazı Denetim Komisyonu' için görevli 5 arkeolog ve 6 sanat tarihçisi arasından 3 kişilik bir ekip seçilecektir.

Oluşturulacak bu ekipte en çok 1 arkeolog bulunması şartıyla kaç farklı seçim yapılabilir?

70

75

95

145

165

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 95

Cevap

Komisyon, verilen şartlar altında 95 farklı şekilde seçilebilir.

Soruda 'en çok 1 arkeolog' istendiği için iki ihtimal vardır: Ekipte ya 1 arkeolog ve 2 sanat tarihçisi bulunur ya da hiç arkeolog bulunmaz (hepsi sanat tarihçisi olur). İlk durum için

C(5,1) \times C(6,2) = 75

, ikinci durum için

C(5,0) \times C(6,3) = 20

hesaplanır. Bu iki ayrık durumun toplamı

75 + 20 = 95

'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin kısıtlarını ve durumlarını belirle.

Toplam 5 Arkeolog ve 6 Sanat Tarihçisi var. 3 kişi seçilecek. Şart: En çok 1 arkeolog olacak. Bu şartı sağlayan iki durum vardır: Ya '1 Arkeolog ve 2 Sanat Tarihçisi' ya da '0 Arkeolog ve 3 Sanat Tarihçisi' seçilmelidir.

'En çok 1' ifadesi, belirtilen sayıya eşit veya ondan daha azını kapsar.

2

Birinci durumu (1 Arkeolog, 2 Sanat Tarihçisi) hesapla.

C(5,1) \times C(6,2) = 5 \times \frac{6 \times 5}{2} = 5 \times 15 = 75

farklı seçim.

5 arkeologdan 1'ini ve 6 sanat tarihçisinden 2'sini seçiyoruz. 'Ve' bağlacı olduğu için çarpılır.

3

İkinci durumu (0 Arkeolog, 3 Sanat Tarihçisi) hesapla.

C(5,0) \times C(6,3) = 1 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 1 \times 20 = 20

farklı seçim.

Hiç arkeolog seçilmeyecek (veya 5'in 0'lısı) ve tamamı sanat tarihçilerinden seçilecek.

4

Tüm geçerli durumları topla.

75 + 20 = 95

İki durum birbirinden bağımsız alternatifler olduğu için ('veya' mantığı) toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon problemlerinde 'en çok' veya 'en az' gibi ifadeler kullanıldığında, şartı sağlayan tüm ayrık durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanmalıdır.

İpuçları

1

'En çok 1 arkeolog' ifadesi, seçilen 3 kişilik grupta arkeolog sayısının 1 veya 0 olabileceği anlamına gelir.

2

Problemi iki ayrı duruma ayırın: 1) 1 Arkeolog ve 2 Sanat Tarihçisi seçimi. 2) 0 Arkeolog ve 3 Sanat Tarihçisi seçimi.

3

Birinci durum için

C(5,1) \times C(6,2)

işlemini, ikinci durum için

C(6,3)

işlemini yapın ve çıkan sonuçları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az 2 sanat tarihçisi' şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tüm Durumlardan İstenmeyenleri Çıkarma Yöntemi: Tüm 3'lü seçimlerden (

C(11,3)

), içinde 2 veya 3 arkeolog bulunan seçimleri (

C(5,2)\times C(6,1) + C(5,3)\times C(6,0)

) çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz:

165 - (60 + 10) = 95

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 33Soru →

Bir kamu kurumunun Ar-Ge Daire Başkanlığında görevli 5 yüksek mühendis ve 3 mimar arasından, yürütülecek stratejik bir proje için 4 kişilik bir çalışma grubu oluşturulacaktır.

Oluşturulacak bu grupta en az 2 yüksek mühendis bulunması gerekmektedir. Ancak, yüksek mühendisler arasındaki (A) kişisi ile mimarlar arasındaki (B) kişisinin, geçmişte yaşadıkları idari bir husumet nedeniyle aynı çalışma grubunda yer almamaları kararlaştırılmıştır.

Buna göre, bu çalışma grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

45

50

51

60

65

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51

Cevap

Çalışma grubu 51 farklı şekilde oluşturulabilir.

Problemi çözmek için önce 'en az 2 yüksek mühendis' şartını sağlayan tüm olası grupları hesaplarız, ardından bu gruplar içinden (A) ve (B) kişilerinin birlikte bulunduğu istenmeyen durumları çıkarırız.

1. Tüm Geçerli Durumlar (Kişi kısıtı olmadan):
- 2 Müh, 2 Mim:

C(5,2) \times C(3,2) = 10 \times 3 = 30

- 3 Müh, 1 Mim:

C(5,3) \times C(3,1) = 10 \times 3 = 30

- 4 Müh:

C(5,4) \times C(3,0) = 5 \times 1 = 5

- Toplam =

30 + 30 + 5 = 65

2. İstenmeyen Durumlar (A ve B birlikte):
Grupta A (Müh) ve B (Mim) kesinlikle varsa, geriye 2 kişi seçilmelidir. Kalan havuz: 4 Müh, 2 Mim.
Grupta toplam en az 2 mühendis olmalı. A zaten grupta, dolayısıyla kalan 2 kişiden en az 1'i mühendis olmalı.
- 1 Müh, 1 Mim seçimi:

C(4,1) \times C(2,1) = 4 \times 2 = 8

(Toplam Müh: A + 1 = 2, uygun)
- 2 Müh seçimi:

C(4,2) \times C(2,0) = 6 \times 1 = 6

(Toplam Müh: A + 2 = 3, uygun)
- (Dikkat: 2 Mimar seçersek toplam Müh sayısı 1 olur, bu durum zaten 65'in içinde yoktu, çıkarmaya gerek yok.)
- İstenmeyen Toplam =

8 + 6 = 14

3. Sonuç:

65 - 14 = 51

Adım Adım Çözüm

1

Tüm kısıtlamalar olmadan, sadece 'en az 2 yüksek mühendis' şartını sağlayan durum sayısını hesapla.

30 + 30 + 5 = 65 durum

Grupta 2, 3 veya 4 mühendis olabilir. (2 Müh, 2 Mim) + (3 Müh, 1 Mim) + (4 Müh, 0 Mim) kombinasyonları toplanır: C(5,2)*C(3,2) + C(5,3)*C(3,1) + C(5,4)*C(3,0).

2

Yasaklı olan (A) ve (B) kişilerinin birlikte bulunduğu ve aynı zamanda 'en az 2 mühendis' şartını sağlayan istenmeyen durumları hesapla.

8 + 6 = 14 durum

(A) ve (B) gruptaysa, kalan 2 kişi için 4 Mühendis ve 2 Mimar kalır. Toplamda en az 2 mühendis olması gerektiği ve (A) zaten mühendis olduğu için, kalan 2 kişiden en az 1'i mühendis olmalıdır. Olasılıklar: (1 Müh, 1 Mim) veya (2 Müh, 0 Mim).

3

Birinci adımdaki toplam geçerli durum sayısından, ikinci adımdaki yasaklı durum sayısını çıkar.

65 - 14 = 51

Genel kümeden istenmeyen alt kümeyi çıkararak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve İçerme-Dışlama Prensibi

İpuçları

1

Önce kişi kısıtlamasını (A ve B durumu) görmezden gelerek, sadece 'en az 2 mühendis' kuralına uyan kaç farklı grup oluşturulabileceğini hesaplayınız.

2

Bulduğunuz bu toplam sayıdan, hem 'en az 2 mühendis' kuralına uyan hem de A ve B'nin birlikte olduğu istenmeyen durumları çıkarınız.

Alternatif Yöntem

Durumları ayrık kümeler halinde toplayarak da çözebilirsiniz: 1) A var, B yok; 2) A yok, B var; 3) A yok, B yok. Bu üç durumu ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 34Soru →

Bir kamu kurumunun hizmet içi eğitim programı kapsamında personele sunulan toplam $8$ farklı eğitim semineri bulunmaktadır. Bu seminerlerden $3$ tanesi aynı gün ve saatte verilmektedir, dolayısıyla bu $3$ seminerden en fazla $1$ tanesi seçilebilmektedir.

Eğitim programını tamamlamak için toplam $4$ seminer seçmek zorunda olan bir personel, seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

30

35

40

56

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Personel seçimini 35 farklı şekilde yapabilir.

Seçim işlemi iki alternatif durumda gerçekleşebilir: Ya çakışan 3 dersten 1'i ve diğerlerinden 3'ü seçilir (

30

yol), ya da çakışanlardan hiçbiri seçilmez ve diğerlerinden 4'ü seçilir (

5

yol). Toplamda

30+5=35

farklı seçim mümkündür.

Adım Adım Çözüm

1

Seminerleri gruplandır

Grup A (Aynı saatte olanlar): 3 seminer. Grup B (Farklı saatte olanlar): 5 seminer. Hedef: Toplam 4 seminer seçmek.

Seçim kısıtlarını belirlemek için kümeleri ayırmak gerekir.

2

1. Durumu Hesapla (Aynı saatte olanlardan 1 tane seçilmesi)

\binom{3}{1} \times \binom{5}{3} = 3 \times 10 = 30

farklı seçim.

Aynı saatte olan 3 seminerden sadece 1'i seçilebilir. Geriye kalan 3 seminer, diğer 5 seminer arasından seçilmelidir.

3

2. Durumu Hesapla (Aynı saatte olanlardan hiç seçilmemesi)

\binom{3}{0} \times \binom{5}{4} = 1 \times 5 = 5

farklı seçim.

Aynı saatte olanlardan hiçbiri seçilmeyebilir. Bu durumda 4 seminerin tamamı diğer 5 seminer arasından seçilmelidir.

4

Tüm durumları topla

30 + 5 = 35

Bu iki durum birbirinden bağımsızdır (ayrık olaylar), bu yüzden sayma kurallarından toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı Kombinasyon Problemleri (Ayrık Durumların Toplanması)

İpuçları

1

Aynı saatte olan 3 seminerden aynı anda birden fazla seçim yapılamaz. Ya 1 tane seçmelisiniz ya da hiç seçmemelisiniz.

2

Problemi iki duruma ayırın: 1) Çakışanlardan 1 tane seçilen durum. 2) Çakışanlardan hiç seçilmeyen durum.

3

1. Durum:

\binom{3}{1} \times \binom{5}{3}

. 2. Durum:

\binom{3}{0} \times \binom{5}{4}

. Bu iki sonucu toplayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 35Soru →

Bir Büyükşehir Belediyesi Ulaşım Daire Başkanlığı bünyesinde yürütülecek yeni bir metro hattı projesi için 4 kişilik bir teknik heyet oluşturulacaktır. Aday havuzunda proje deneyimine sahip 4 şehir plancısı ve 5 inşaat mühendisi bulunmaktadır. Teknik heyetin; 2 şehir plancısı ve 2 inşaat mühendisinden oluşması planlanmaktadır. Ancak, adaylar arasında bulunan Şehir Plancısı Ahmet Bey ile İnşaat Mühendisi Burak Bey'in, teknik görüş ayrılıkları nedeniyle aynı heyette yer almamaları kararlaştırılmıştır.

Buna göre, bu teknik heyet kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

36

42

48

54

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Teknik heyet 48 farklı şekilde oluşturulabilir.

Doğru cevap, kısıtlamasız tüm olası seçimlerden, kısıtlamayı ihlal eden durumların çıkarılmasıyla bulunur. Toplamda 4 şehir plancısı ve 5 inşaat mühendisi arasından 2'şer kişi seçilecektir: C(4,2) × C(5,2) = 6 × 10 = 60 farklı heyet oluşturulabilir. Ancak Ahmet Bey ve Burak Bey'in birlikte olduğu durumlar istenmemektedir. İkisi seçildiğinde, yanlarına 1 plancı (kalan 3 kişiden) ve 1 mühendis (kalan 4 kişiden) seçilmelidir: 1 × 1 × C(3,1) × C(4,1) = 12 durum. Sonuç: 60 - 12 = 48.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıtlama (ikisinin aynı anda bulunmaması) olmadan tüm olası heyet seçimlerini hesapla.

C(4,2) × C(5,2) = 6 × 10 = 60

4 şehir plancısından 2'si ve 5 inşaat mühendisinden 2'si seçilerek genel kombinasyon sayısı bulunur.

2

Ahmet Bey ve Burak Bey'in aynı anda heyette bulunduğu (istenmeyen) durumu hesapla.

C(3,1) × C(4,1) = 3 × 4 = 12

Ahmet Bey (Şehir Plancısı) ve Burak Bey (İnşaat Mühendisi) seçildiğinde, geriye kalan 3 plancıdan 1 kişi ve 4 mühendisten 1 kişi daha seçilmelidir.

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkararak sonuca ulaş.

60 - 12 = 48

'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum' yöntemi, bu tür dışlama sorularında en pratik yoldur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon problemlerinde 'veya' / 'hariç tutma' mantığı ile seçim yapma.

Alternatif Yöntem

Doğrudan toplama yöntemi:
1. Durum (Ahmet var, Burak yok): Ahmet seçildi, yanına 3 plancıdan 1'i; Burak yok, 4 mühendisten 2'si seçilir. (C(3,1) × C(4,2) = 3 × 6 = 18)
2. Durum (Ahmet yok, Burak var): Ahmet yok, 3 plancıdan 2'si; Burak seçildi, yanına 4 mühendisten 1'i seçilir. (C(3,2) × C(4,1) = 3 × 4 = 12)
3. Durum (İkisi de yok): Ahmet yok, 3 plancıdan 2'si; Burak yok, 4 mühendisten 2'si seçilir. (C(3,2) × C(4,2) = 3 × 6 = 18)
Toplam: 18 + 12 + 18 = 48.

Tahmini Süre:2m 30s

Kombinasyon (Seçme)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm