Examkin

Permütasyon (Sıralama)

37 soru

Soru 21Soru →

A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 4 basamaklı ve 30003000'den büyük kaç farklı çift sayı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

96
Sayı 3000'den büyük olacağı için binler basamağı {3, 4, 5} olabilir. Sayı çift olacağı için birler basamağı {0, 2, 4} olabilir. 4 rakamı her iki koşulu da etkilediği için problem iki parça halinde çözülmelidir: 1) Binler basamağı tek sayı olanlar (3, 5) ve 2) Binler basamağı çift sayı olanlar (4). Birinci durumda 2×4×3×3=722 \times 4 \times 3 \times 3 = 72 sayı, ikinci durumda 1×4×3×2=241 \times 4 \times 3 \times 2 = 24 sayı elde edilir. Toplam 72+24=9672 + 24 = 96 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları Belirleme
Sayı 4 basamaklı, rakamları farklı, >3000 ve çift olmalı.
Binler basamağı {3, 4, 5} olabilir. Birler basamağı {0, 2, 4} olabilir. '4' rakamı her iki kümede de olduğu için inceleme iki ayrı durumda yapılmalıdır.
2
1. Durum: Sayının tek rakamla (3 veya 5) başlaması
72 sayı
Binler basamağına {3, 5} (2 seçenek) gelir. Birler basamağına {0, 2, 4} (3 seçenek) gelebilir. Kalan 2 basamak için kalan 4 rakamdan 2'si seçilip sıralanır (4×3=124 \times 3 = 12). İşlem: 2×12×3=722 \times 12 \times 3 = 72.
3
2. Durum: Sayının çift rakamla (4) başlaması
24 sayı
Binler basamağına {4} (1 seçenek) gelir. Birler basamağına {0, 2} (2 seçenek) kalır (4 kullanıldığı için). Kalan 2 basamak için yine 4×3=124 \times 3 = 12 seçenek vardır. İşlem: 1×12×2=241 \times 12 \times 2 = 24.
4
Toplam Durum Sayısını Hesaplama
96
İki ayrık durum toplanır: 72+24=9672 + 24 = 96.

Anahtar Kavram

Koşullu Permütasyon ve Kesişim Kümesi

İpuçları

1
Sayının 3000'den büyük olması için binler basamağı hangi rakamlar olabilir? Sayının çift olması için birler basamağı hangi rakamlar olabilir?
2
'4' rakamına dikkat edin. 4 hem binler basamağına (büyüklük şartı) hem de birler basamağına (çiftlik şartı) adaydır. Bu çakışmayı çözmek için durumu ikiye ayırın.
3
İki ayrı durumu toplayın: 1) Binler basamağının {3, 5} olduğu durumlar. 2) Binler basamağının {4} olduğu durumlar.

Alternatif Yöntem

Tüm >3000 olan sayıları bulup, bunlardan tek sayı olanları çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →

Bir halk eğitim merkezinde yıl sonu etkinlikleri kapsamında düzenlenen bir sergide; 33 farklı ebru sanatı tablosu ve 33 farklı hat sanatı tablosu bir duvar boyunca tek sıra halinde yan yana asılacaktır. Ebru sanatı tablolarının tamamının bir arada (yan yana) olması şartıyla, bu tablolar kaç farklı şekilde sergilenebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Ebru sanatı tablolarının bir arada olduğu toplam sıralama sayısı 144'tür.
Doğru yanıt olan seçenek, ebru tablolarını tek bir paket olarak görüp 4 birimin sıralanışını (4!4!) hesapladıktan sonra, ebru tablolarının kendi içindeki yer değişimini (3!3!) çarpan olarak ekleyen mantığa dayanmaktadır (24×6=14424 \times 6 = 144).

Adım Adım Çözüm

1
Yan yana olması istenen nesneleri gruplandırın.
3 farklı ebru tablosu tek bir paket (1 birim) olarak kabul edilir.
Sorudaki 'bir arada olma' şartını sağlamak için bu nesneler birbirinden ayrılmaz bir bütün gibi düşünülmelidir.
2
Toplam birim sayısını belirleyin ve sıralayın.
1 ebru paketi + 3 ayrı hat tablosu = 4 birim. Bunlar 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır.
Paket artık diğer nesnelerle birlikte hareket eden tek bir nesne gibidir.
3
Paket içindeki nesnelerin kendi aralarındaki sıralanışını hesaplayın.
3 farklı ebru tablosu paket içinde 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanır.
Ebru tabloları bir arada kalmak kaydıyla kendi içlerinde yer değiştirebilirler.
4
Çarpma kuralını uygulayarak sonucu bulun.
24×6=14424 \times 6 = 144.
Genel sıralama ile grup içi sıralama bağımsız olaylar olduğu için sonuçlar çarpılır.

Anahtar Kavram

Bağımlı permütasyonda (nesnelerin yan yana olması), yan yana gelecek nesneler tek bir birim kabul edilir ve toplam sıralama sayısı bu birimin kendi içindeki yer değişimiyle çarpılır.

İpuçları

1
Yan yana olması istenen 3 ebru tablosunu sanki birbirine bağlı tek bir büyük tabloymuş gibi düşünün.
2
Elinizde artık 1 adet 'ebru bloğu' ve 3 adet ayrı hat tablosu var. Toplam kaç nesneyi sıralamanız gerektiğini bulun.
3
Bulduğunuz genel sıralama sonucunu, ebru bloğunun içindeki tabloların kendi aralarındaki 3!3! kadar farklı dizilişi ile çarpmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı soruyu 'hiçbir ebru tablosunun yan yana olmaması' veya 'iki ebru tablosunun uçlarda olması' gibi farklı kısıtlamalarla çözerek permütasyon mantığını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 23Soru →

Bir Büyükşehir Belediye Meclisi gündeminde görüşülecek olan, birbirinden farklı içeriklere sahip 3 İmar, 2 Bütçe ve 2 Hukuk dosyası sıraya konulacaktır.

Dosyaların sıralanmasıyla ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
* Bütçe dosyaları art arda (peş peşe) görüşülecektir.
* Gündemin ilk ve son sırasında görüşülecek dosyalar aynı türden olacaktır.

Buna göre, bu 7 dosya gündem listesine kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 384

Cevap

Dosyalar toplam 384 farklı şekilde sıralanabilir.
Doğru cevap, problemin gerektirdiği tüm mantıksal durumların (İmar-İmar ve Hukuk-Hukuk uçları) ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla bulunur. Bütçe-Bütçe uç durumu, yan yana olma koşuluna aykırı olduğu için elenir. Her bir geçerli durumda, 'yan yana olma' koşulu için blok yöntemi (paketleme) ve uçlardaki elemanların kendi aralarındaki permütasyonu doğru şekilde uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Olası durumları belirle.
Gündemin ilk ve son sırasında aynı tür dosyalar olmalıdır. Bu durum 3 farklı senaryo oluşturur: 1) Uçlarda İmar dosyaları, 2) Uçlarda Hukuk dosyaları, 3) Uçlarda Bütçe dosyaları.
Problemde 'ilk ve son sırada görüşülecek dosyalar aynı türden olacaktır' koşulu verilmiştir.
2
Durum 1'i (Uçlarda İmar) incele ve hesapla.
Uçlara 3 İmar dosyasından 2'si seçilip sıralanır: P(3,2) = 6. Ortaya kalanlar: 1 İmar, 2 Bütçe, 2 Hukuk. Bütçe dosyaları yan yana olmalı, tek bir paket [BB] gibi düşünülür. Ortada sıralanacak nesneler: {İ, [BB], H, H} (4 nesne). Sıralama: 4! = 24. [BB] kendi içinde 2! = 2 yer değiştirir. Toplam: 6 x 24 x 2 = 288.
İmar dosyaları uçlara yerleştirildikten sonra kalanlar ve 'Bütçe yan yana' koşulu için blok yöntemi kullanılır.
3
Durum 2'yi (Uçlarda Hukuk) incele ve hesapla.
Uçlara 2 Hukuk dosyasından 2'si seçilip sıralanır: P(2,2) = 2. Ortaya kalanlar: 3 İmar, 2 Bütçe. Bütçe dosyaları yine [BB] paketi olarak düşünülür. Ortada sıralanacak nesneler: {İ, İ, İ, [BB]} (4 nesne). Sıralama: 4! = 24. [BB] kendi içinde 2! = 2 yer değiştirir. Toplam: 2 x 24 x 2 = 96.
Hukuk dosyaları uçlara yerleştirildikten sonra kalanlar ve blok yöntemi uygulanır.
4
Durum 3'ü (Uçlarda Bütçe) incele.
Uçlara Bütçe dosyaları gelirse (1. ve 7. sıra), bu dosyalar yan yana olamaz. Ancak soruda 'Bütçe dosyaları art arda görüşülecektir' koşulu vardır. Bu durum çelişki yaratır, bu yüzden gerçekleşme sayısı 0'dır.
Bütçe dosyalarının hem uçlarda (aralarında 5 dosya var) hem de yan yana olması imkansızdır.
5
Tüm geçerli durumları topla.
Toplam = Durum 1 + Durum 2 = 288 + 96 = 384.
Farklı ve ayrık durumların toplam sayısı permütasyonların toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Bu soru, kısıtlı permütasyon (tekrarsız sıralama), bloklama yöntemi (yan yana olma koşulu) ve durum analizi (ayrık olayların toplanması) becerilerini ölçmektedir.

İpuçları

1
Problemi parçalara ayırın: İlk ve son dosyanın aynı türden olması kaç farklı durumda gerçekleşebilir? (İmar-İmar, Bütçe-Bütçe, Hukuk-Hukuk)
2
Bütçe dosyalarının uçlarda (1. ve 7. sırada) olması durumunda, 'art arda olma' kuralı sağlanabilir mi? Bunu düşünerek olası durumları eleyin.
3
İki ana durumu hesaplayın: 1) Uçlarda İmar varken ortadaki 5 nesneyi (Bütçeler birleşik tek nesne sayılır) sıralayın. 2) Uçlarda Hukuk varken aynısını yapın. Bütçelerin kendi içindeki yer değişimini (2!) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, '3 doktor ve 4 hemşirenin, uçlarda hemşireler olmak şartıyla yan yana sıralanması' sorusunu çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 24Soru →

Bir kamu kurumu giriş sınavı mülakatı için bekleyen 22 müfettiş ve 33 uzman yardımcısı, mülakat salonu önündeki yan yana bulunan 55 sandalyeye oturacaktır. Müfettişlerin yan yana oturmaması istendiğine göre, bu 55 kişi kaç farklı şekilde oturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7272

Cevap

Müfettişlerin yan yana oturmadığı toplam 7272 farklı oturma düzeni mevcuttur.
Toplam 55 kişinin herhangi bir kural olmadan sıralanışı 5!=1205! = 120 farklı yolla gerçekleşir. Müfettişlerin yan yana olduğu durumları bulmak için onları bir bütün olarak kabul ederiz; bu durumda 33 uzman yardımcısı ve 11 grup müfettiş toplam 44 birim eder. Bu birimlerin sıralanışı 4!=244! = 24 ve müfettişlerin kendi aralarındaki yer değişimi 2!=22! = 2 olduğundan, yan yana oldukları 24×2=4824 \times 2 = 48 durum vardır. Tüm durumlardan bu istenmeyen durum çıkarıldığında (120−48120 - 48) geriye müfettişlerin yan yana olmadığı 7272 durum kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın toplam diziliş sayısını hesaplayın.
5!=1205! = 120
55 farklı kişinin bir sıraya dizilme sayısı n!n! formülü ile hesaplanır.
2
Müfettişlerin yan yana olduğu durumların sayısını hesaplayın.
4!×2!=24×2=484! \times 2! = 24 \times 2 = 48
22 müfettiş tek bir kişi gibi düşünülürse toplam 44 birim oluşur (4!4!). Müfettişler de kendi aralarında yer değiştirebilir (2!2!).
3
İstenmeyen durumları (yan yana olma) tüm durumlardan çıkarın.
120−48=72120 - 48 = 72
Tamamlayıcı sayma ilkesi gereği: İstenen Durum = Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar.

Anahtar Kavram

Permütasyonda 'Yan Yana Gelmeme' problemleri genellikle tüm durumlardan 'Yan Yana Gelme' durumlarının çıkarılmasıyla (Tamamlayıcı Sayma) çözülür.

İpuçları

1
Bu tür sorularda 'tüm durumlardan, istenmeyen durumları çıkarmak' genellikle en kısa yoldur.
2
Toplam sıralama sayısını (5!5!) bulun ve ardından müfettişleri 'bir kişiymiş gibi' düşünerek yan yana oldukları durumları hesaplayın.
3
Müfettişleri bir paket yaparsanız, toplam 44 kişi sıralıyormuş gibi oluruz (4!4!). Paketin içindeki müfettişlerin kendi aralarında yer değiştirmesini (2!2!) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Eğer 33 müfettiş olsaydı ve hiçbirinin yan yana gelmemesi istenseydi 'Ayraç Metodu'nu kullanmak daha güvenli olurdu.

Alternatif Yöntem

Ayraç (Boşluk) Metodu: Önce 3 uzman yardımcısı yan yana dizilir (3!=63! = 6). Ardından bu kişilerin arasında ve yanlarında oluşan 4 boşluğa 2 müfettiş yerleştirilir (P(4,2)=12P(4,2) = 12). Sonuç: 6×12=726 \times 12 = 72.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 25Soru →

Bir bakanlığın teftiş kurulunda görevli 6 müfettiş arasından; Ankara, İstanbul ve İzmir illerinde görevlendirilmek üzere birer temsilci seçilecektir. Her il için farklı bir müfettişin görevlendirileceği bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Seçim 120 farklı şekilde yapılabilir.
Bu soruda 6 farklı müfettiş arasından 3 farklı şehre (Ankara, İstanbul, İzmir) atama yapılacaktır. Şehirler birbirinden farklı olduğu için seçilen kişilerin hangi şehre gittiği sonucu değiştirir, yani sıralama önemlidir.

Çözüm için çarpma yoluyla sayma ilkesi veya permütasyon formülü kullanılır:
- Ankara için: 6 seçenek
- İstanbul için: 5 seçenek (biri atandı)
- İzmir için: 4 seçenek (ikisi atandı)

Toplam durum: 6×5×4=1206 \times 5 \times 4 = 120 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin türünü belirle
Permütasyon (Sıralama)
Ankara, İstanbul ve İzmir birbirinden farklı görev yerleri olduğu için seçilen kişilerin hangi şehre gideceği önemlidir (Sıra önemlidir).
2
Olasılıkları hesapla
6 × 5 × 4
Ankara için 6 aday, İstanbul için kalan 5 aday, İzmir için kalan 4 aday vardır.
3
Sonucu bul
120
6 × 5 × 4 = 120 farklı görevlendirme yapılabilir.

Anahtar Kavram

Permütasyon (P(n,r) formülü veya Çarpma Yoluyla Sayma)

İpuçları

1
Şehirlerin isimlerinin farklı olması (Ankara, İstanbul, İzmir), seçilen kişilerin sırasının önemli olduğu anlamına gelir.
2
Birinci şehir için kaç müfettiş adayı var? Biri seçildikten sonra ikinci şehir için kaç aday kalır? Bu sayıları çarpmalısın.
3
P(6, 3) permütasyonunu veya 6×5×46 \times 5 \times 4 işlemini hesapla.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 10 atletin katıldığı bir yarışta ilk 3 derecenin kaç farklı şekilde oluşabileceğini hesaplayınız.
Tahmini Süre:45s
Soru 26Soru →

Bir devlet arşivi uzmanı, restore edilen 33 farklı Osmanlı dönemi fermanı ile 33 farklı Cumhuriyet dönemi kararnamesini sergilemek amacıyla tek bir vitrin rafına yan yana dizecektir. Aynı döneme ait belgelerin yan yana gelmemesi koşuluyla, bu 66 belge kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7272

Cevap

Belgeler, aynı türden olanlar yan yana gelmeyecek şekilde 7272 farklı biçimde sıralanabilir.
Doğru cevap olan 7272 değeri, belgelerin önce türlerine göre dizilim şablonlarının (O-C-O-C-O-C veya C-O-C-O-C-O olmak üzere 22 şablon) belirlenmesi ve ardından her türün kendi içindeki farklı sıralanışlarının (3!×3!=363! \times 3! = 36) bu şablon sayısıyla çarpılması (36×236 \times 2) sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olası dizilim kalıplarını belirleyin.
O (Osmanlı) ve C (Cumhuriyet) olmak üzere iki ana kalıp vardır: 1) O-C-O-C-O-C ve 2) C-O-C-O-C-O.
Toplamda 3'er adet belge olduğu için, aynı türden olanların yan yana gelmemesi ancak bu şekilde ardışık (münavebeli) dizilmeleriyle mümkündür.
2
Birinci kalıp (O-C-O-C-O-C) için sıralama sayısını hesaplayın.
3!×3!=6×6=363! \times 3! = 6 \times 6 = 36.
3 farklı Osmanlı fermanı kendi arasında 3!3! kadar, 3 farklı Cumhuriyet kararnamesi kendi arasında 3!3! kadar farklı şekilde sıralanabilir.
3
Toplam sıralama sayısını hesaplayın.
36×2=7236 \times 2 = 72.
Aynı durum Cumhuriyet kararnamesi ile başlayan ikinci kalıp (C-O-C-O-C-O) için de geçerlidir (3636 durum).

Anahtar Kavram

Koşullu Permütasyon (Nesnelerin Belirli Bir Düzende Sıralanması)

İpuçları

1
Belgelerin aynı türden olanlarının yan yana gelmemesi için 'bir Osmanlı, bir Cumhuriyet' şeklinde ardışık dizilmeleri gerekir.
2
Dizilimin Osmanlı fermanıyla mı yoksa Cumhuriyet kararnamesiyle mi başladığını kontrol edin; iki farklı başlangıç durumu mevcuttur.
3
Her bir tür için 3!3! farklı sıralama olduğunu ve toplamda iki ana kalıp (O-C... ve C-O...) olduğunu kullanarak 2×3!×3!2 \times 3! \times 3! işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Nesne sayıları eşit olmadığında (örneğin 4 ferman ve 3 kararname) dizilimin nasıl değişeceğini ve neden sadece tek bir ana kalıbın mümkün olacağını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce 3 Osmanlı fermanını aralarında boşluk kalacak şekilde sıralayın (3!3!). Oluşan 4 boşluğa (baş, aralar ve son) 3 Cumhuriyet kararnamesini, aralarda boşluk kalmayacak ve sadece fermanların arasına/uçlarına gelecek şekilde kaç farklı biçimde yerleşebileceğini düşünün. Ancak bu durumda ferman ve kararnamelerin sayıları eşit olduğu için sadece iki tam kalıp oluşacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 27Soru →

Bir kurumun belge kayıt sisteminde, dosyalar {0,2,3,4,5,7}\{0, 2, 3, 4, 5, 7\} kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan rakamları birbirinden farklı dört basamaklı sayılarla kodlanmaktadır.

Sisteme kaydedilecek bir dosya kodunun 3000'den büyük ve tek sayı olması gerekmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı dosya kodu oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Verilen koşullara uygun 108 farklı dosya kodu oluşturulabilir.
Soruda hem '3000'den büyük olma' hem de 'tek sayı olma' şartı verildiği için, bu iki şartı sağlayan rakam kümeleri ({3,5,7}\{3, 5, 7\}) kesişmektedir. Bu tür sorularda binler basamağının bu kesişim kümesinden seçilip seçilmediğine göre iki ayrı durum incelenmelidir. İlk durumda binler basamağı 4 seçilir (tek seçenek), birler basamağına 3 seçenek kalır (1×3×4×3=361 \times 3 \times 4 \times 3 = 36). İkinci durumda binler basamağı 3, 5, 7'den biri seçilir (3 seçenek), birler basamağına kalan 2 tek sayıdan biri gelir (3×2×4×3=723 \times 2 \times 4 \times 3 = 72). Toplam 36+72=10836 + 72 = 108 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlamaları ve kümeyi analiz et
Küme: {0,2,3,4,5,7}\{0, 2, 3, 4, 5, 7\}. İstenen kod 4 basamaklı, rakamları farklı, 30003000'den büyük ve tek sayı olmalıdır. Binler basamağı {3,4,5,7}\{3, 4, 5, 7\} olabilir. Birler basamağı {3,5,7}\{3, 5, 7\} olabilir.
Sayının değeri binler basamağına, tekliği ise birler basamağına bağlıdır.
2
Durumları belirle (Çakışma analizi)
Binler basamağı ve birler basamağı için aday kümeler kesiştiği ({3,5,7}\{3, 5, 7\}) için hesaplama iki durumda yapılmalıdır: 1. Binler basamağının ÇİFT olduğu durum (4). 2. Binler basamağının TEK olduğu durum (3, 5, 7).
Eğer binler basamağına tek sayı koyarsak, birler basamağı için kullanılabilecek tek sayı adedi azalır. Bu yüzden durumlar ayrılmalıdır.
3
1. Durumu Hesapla (Binler basamağı 4)
Binler basamağı: {4}\{4\} (1 seçenek). Birler basamağı: {3,5,7}\{3, 5, 7\} (3 seçenek). Aradaki 2 basamak: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir (4×3=124 \times 3 = 12). Toplam: 1×12×3=361 \times 12 \times 3 = 36.
İlk basamak çift olduğu için birler basamağındaki tüm tek sayı adayları kullanılabilir.
4
2. Durumu Hesapla (Binler basamağı 3, 5 veya 7)
Binler basamağı: {3,5,7}\{3, 5, 7\} (3 seçenek). Birler basamağı: Kalan tek sayılar (2 seçenek). Aradaki 2 basamak: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir (4×3=124 \times 3 = 12). Toplam: 3×12×2=723 \times 12 \times 2 = 72.
Binler basamağında kullanılan tek sayı, birler basamağında tekrar kullanılamaz.
5
Toplamı bul
36+72=10836 + 72 = 108
Ayrık durumların sonuçları toplanır.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Kısıtlı Sıralama)
Soru 28Soru →

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilecek protokol töreninde; 1 Vali, 3 Kaymakam ve 4 Belediye Başkanı yan yana dizilerek fotoğraf çektirecektir. Protokol kuralları gereği;

* Vali sıranın en sağında veya en solunda yer almalıdır.
* Kaymakamların üçü de mutlaka yan yana bulunmalıdır.

Buna göre, bu 8 kişilik protokol heyeti kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1440

Cevap

Protokol heyeti kurallara uygun olarak 1440 farklı şekilde sıralanabilir.
Soru iki temel kısıt içerir: Vali uçta olmalı ve Kaymakamlar ayrılmamalıdır.
1. Vali için 2 ihtimal vardır (Sağ baş veya Sol baş).
2. Kaymakamlar (K1,K2,K3K_1, K_2, K_3) bir paket yapılır. Geriye kalan 4 Belediye Başkanı ile birlikte, araya girebilecek toplam 5 nesne oluşur (4+14 + 1 paket). Bu 5 nesne 5!=1205! = 120 şekilde sıralanır.
3. Kaymakamlar paket içinde kendi aralarında 3!=63! = 6 şekilde yer değiştirir.
Sonuç: 2×120×6=14402 \times 120 \times 6 = 1440.

Adım Adım Çözüm

1
Vali'nin konumunu belirle.
2 Durum
Vali sıranın en sağında veya en solunda olabilir. Bu nedenle 2 farklı durum vardır.
2
Kaymakamları gruplandır ve Belediye Başkanları ile birlikte sıralanacak nesne sayısını bul.
5 Nesne (5!)
3 Kaymakam yan yana olacağından onları tek bir blok (KblokK_{blok}) gibi düşünürüz. Geriye 4 Belediye Başkanı (B1,B2,B3,B4B_1, B_2, B_3, B_4) kalır. Vali zaten uçta sabittir. Sıralanacak elemanlar: {Kblok,B1,B2,B3,B4K_{blok}, B_1, B_2, B_3, B_4}. Toplam 5 nesne 5!5! şekilde sıralanır.
3
Kaymakamların kendi arasındaki yer değişimini hesapla.
6 Durum (3!)
Kaymakamlar kendi aralarında yer değiştirebilirler. 3 kişi 3!3! farklı şekilde sıralanır.
4
Tüm durumları çarpma kuralına göre hesapla.
2×120×6=14402 \times 120 \times 6 = 1440
Toplam Durum = (Vali'nin Durumu) ×\times (Blok ve Diğerlerinin Sıralanışı) ×\times (Blok İçi Sıralanış) = 2×5!×3!2 \times 5! \times 3!

Anahtar Kavram

Bu soru, 'bağlama/blok yöntemi' (yan yana olma şartı) ile 'sabit konum' (uçlarda olma şartı) prensiplerinin permütasyonda birlikte uygulanmasını ölçmektedir.

İpuçları

1
Önce yan yana olması gereken kişileri (Kaymakamlar) tek bir kişiymiş gibi (paketleyerek) düşünün.
2
Vali'nin sıranın başında olması ile sonunda olması simetrik durumlardır; birini hesaplayıp 2 ile çarpabilirsiniz.
3
Sıralama formülü: (Vali'nin Durum Sayısı) x (Paket + Belediye Başkanlarının Sıralaması) x (Paket İçi Sıralama).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'Dairesel Permütasyon' (yuvarlak masa) kuralıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tüm durumları hesaplayıp kısıtlamalara uymayanları çıkarmak yerine, doğrudan istenen durumu inşa etmek (çarpma kuralı) bu tip sorularda daha güvenlidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 29Soru →

Bir belediyenin yürüttüğü sosyal sorumluluk projesinde görevli 11 proje koordinatörü, 22 teknik personel ve 33 saha görevlisi; projenin tanıtım faaliyetleri kapsamında yan yana dizilerek fotoğraf çektirecektir.

Proje koordinatörünün her iki teknik personele de komşu olması ve tam ortalarında bulunması şartıyla, bu 66 kişi kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4848

Cevap

Proje koordinatörü ve teknik personellerin oluşturduğu grubun bir blok olarak kabul edilip, diğer kişilerle birlikte sıralanması sonucu elde edilen 4848 farklı dizilim mevcuttur.
Proje koordinatörü ve iki teknik personeli tek bir paket olarak düşündüğümüzde, bu paketin içinde koordinatör ortada sabit kalırken teknik personeller 2!2! kadar yer değiştirebilir. Bu paketle birlikte geriye kalan 33 saha görevlisi toplam 44 birim eder ve 4!4! kadar sıralanır. Sonuç 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula uygun bir blok (paket) oluşturulması
Blok yapısı: (Teknik Personel - Proje Koordinatörü - Teknik Personel)
Proje koordinatörünün her iki teknik personele komşu olması ve ortada yer alması gerektiği için bu üç kişi birbirinden ayrılamaz.
2
Blok içi yer değişimlerinin hesaplanması
2!=22! = 2 farklı durum
Proje koordinatörü ortada sabit kalmak zorundadır, ancak iki teknik personel kendi aralarında yer değiştirebilir.
3
Toplam birim sayısının belirlenmesi ve sıralanması
11 blok + 33 saha görevlisi = 44 birim. Sıralama: 4!=244! = 24
Oluşturulan blok tek bir kişi gibi düşünülür ve toplamda 4 birim yan yana sıralanır.
4
Toplam sıralama sayısının bulunması
24×2=4824 \times 2 = 48
Dış sıralama ile blok içi sıralama çarpılarak tüm durumlar elde edilir.

Anahtar Kavram

Permütasyon problemlerinde 'yan yana olma' veya 'belirli bir düzen içinde olma' şartı verildiğinde, bu kişiler tek bir birim (blok) olarak kabul edilir.

İpuçları

1
Birbirinden ayrılmaması gereken kişileri bir kutu içerisine koyarak tek bir kişi gibi düşünün.
2
Kutunun içinde koordinatörün sabit olduğunu, ancak diğer iki personelin yer değiştirebileceğini unutmayın.
3
Toplam 44 birimi (11 kutu + 33 saha görevlisi) sıralayıp, bulduğunuz sonucu kutu içindeki 22 farklı durumla çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'saha görevlilerinin hiçbirinin yan yana gelmediği' durumu ekleyerek çözmeyi deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 30Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezi, yeni bir veri giriş sistemi için her biri 5 karakterden oluşan giriş kodları tasarlamıştır. Bu kodlar oluşturulurken {A,B,C}\{A, B, C\} harfleri ve {1,2}\{1, 2\} rakamları kümesindeki elemanların her biri tam bir kez kullanılmaktadır.

Buna göre, bir harf ile başlayıp bir rakam ile biten kaç farklı giriş kodu oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Bir harf ile başlayıp bir rakam ile biten 36 farklı giriş kodu oluşturulabilir.
Doğru cevap, başlangıç için mevcut olan 3 harf seçeneği ile bitiş için mevcut olan 2 rakam seçeneğinin belirlenmesi ve ardından geriye kalan 3 farklı karakterin boşta kalan 3 yere kaç farklı şekilde (3!) sıralanabileceğinin hesaplanmasıyla bulunur. Bu işlemlerin sonucu olan 3×6×2=363 \times 6 \times 2 = 36 ifadesi doğru sıralama sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Şifre yapısını ve kısıtlamaları belirleme
5 haneli bir sıralama yapılacak: [Başlangıç] [2. Hane] [3. Hane] [4. Hane] [Bitiş]
Soruda belirtilen 'harf ile başlama' ve 'rakam ile bitme' koşullarını yerleştirmek için yapı belirlenir.
2
Birinci ve sonuncu haneler için seçenek sayılarını hesaplama
1. hane (Harf): 3 seçenek (A, B, C). 5. hane (Rakam): 2 seçenek (1, 2).
Kısıtlamanın olduğu öncelikli basamakların doluluk oranları belirlenir.
3
Kalan haneler için sıralama yapma
Geriye kalan 3 karakter (1 harf, 1 rakam, 1 harf/rakam karışık), ortadaki 3 haneye 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6 farklı şekilde dizilir.
Her karakter bir kez kullanılacağı için kalan elemanların permütasyonu hesaplanır.
4
Çarpma kuralını uygulayarak toplam durumu bulma
3×3!×2=3×6×2=363 \times 3! \times 2 = 3 \times 6 \times 2 = 36
Birbirine bağlı olayların (basamak seçimlerinin) toplam kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini bulmak için seçenekler çarpılır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı Permütasyon (Sıralama)

İpuçları

1
Şifrenin ilk ve son hanesine gelebilecek karakter sayılarını ayrı ayrı düşünün.
2
Birinci hane için 3 farklı harf seçeneğiniz, son hane için ise 2 farklı rakam seçeneğiniz olduğunu unutmayın.
3
Uç haneleri belirledikten sonra, geriye kalan 3 karakterin kendi aralarında kaç farklı şekilde yer değiştirebileceğini (3!) hesaplayın ve tüm seçenekleri çarpın.

Daha Fazla Pratik

Eğer şifrenin her zaman bir rakamla başlayıp bir rakamla bitmesi istenseydi sonuç nasıl değişirdi?
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 31Soru →

Bir belediye personeli, kurumun girişindeki bilgilendirme panosuna asılmak üzere hazırlanan birbirinden farklı 4 adet kurumsal logoyu yan yana dizecektir. Buna göre, bu personel logoları panoya kaç farklı şekilde sıralayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Logolar panoya 24 farklı şekilde sıralanabilir.
4 farklı nesnenin tamamının yan yana dizilmesi durumu n!n! formülü ile hesaplanır. Burada n=4n=4 olduğu için sonuç 4×3×2×1=244 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sıralanacak nesne sayısını ve kuralı belirleyin.
Nesne sayısı n=4n = 4 ve işlem bir 'sıralama' (permütasyon) işlemidir.
Birbirinden farklı nesnelerin yan yana dizilimi permütasyon prensibi ile çözülür.
2
Permütasyon formülünü uygulayın (n!n!).
4!=4×3×2×14! = 4 \times 3 \times 2 \times 1
Birinci sıra için 4, ikinci sıra için kalan 3, üçüncü sıra için kalan 2 ve son sıra için 1 seçenek vardır.
3
Çarpma işlemini gerçekleştirin.
4×3×2×1=244 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
Çarpma yoluyla sayma prensibi gereği tüm seçenekler çarpılır.

Anahtar Kavram

Birbirinden farklı n nesnenin yan yana sıralanış sayısı n! (n faktöriyel) kadardır.

İpuçları

1
Bu bir sıralama problemidir. Sıralama problemlerinde faktöriyel kavramını kullanırız.
2
Elinizde 4 farklı logo var. Birinci sıraya kaç farklı logo gelebilir? Peki ya ikinci sıraya?
3
Sonuç, 4 nesnenin yan yana dizilişi olan 4! (4 faktöriyel) işlemine eşittir.

Daha Fazla Pratik

5 farklı kitabın bir rafa sıralanması sorusunu çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çizgi (kutu) yöntemini kullanabilirsiniz: Panodaki 4 yer için 4 çizgi çekin. Birinci çizgiye 4, ikinciye 3, üçüncüye 2 ve dördüncüye 1 yazıp bu sayıları çarpın.
Tahmini Süre:45s
Soru 32Soru →

Bir üniversite hastanesinin açılış töreninde; 33 profesör, 22 doçent ve 22 asistan yan yana dizilmiş 77 sandalyeye oturacaklardır. Asistanların sıranın en başında ve en sonunda oturması, doçentlerin ise yan yana gelmemesi gerekmektedir.

Buna göre, bu oturma düzeni kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Bu oturma düzeni 144 farklı şekilde oluşturulabilir.
Problemi adım adım çözeriz:
1. Sabit Uçlar: 2 asistan sıranın en başına ve en sonuna 2!=22! = 2 farklı şekilde oturabilir.
2. İç Yerleşim: Kalan 5 koltuğa 3 profesör ve 2 doçent oturacaktır. Doçentlerin yan yana gelmemesi istendiği için önce kısıtlamasız olan profesörler yerleştirilir.
3. Profesörlerin Dizilimi: 3 profesör 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanır.
4. Doçentlerin Yerleşimi: Profesörlerin aralarında oluşan boşluklara bakılır: _ P _ P _ P _. Burada 4 adet uygun boşluk vardır (en uçlar asistanlar tarafından kapatılmıştır). 2 doçent bu 4 boşluğa P(4,2)=4×3=12P(4,2) = 4 \times 3 = 12 farklı şekilde oturabilir.

Toplam durum sayısı çarpma kuralı gereği: 2×6×12=1442 \times 6 \times 12 = 144 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Asistanların (A) yerleşimini hesapla.
2! = 2 farklı durum
Asistanlar en baş ve en sonda olmak zorundadır (A _ _ _ _ _ A). Kendi aralarında 2! şekilde yer değiştirebilirler.
2
Aradaki 5 boşluğa yerleşecek Profesörlerin (P) dizilimini hesapla.
3! = 6 farklı durum
3 Profesör, doçentler için 'ayırıcı' görevi görecektir. Önce profesörler yerleştirilir.
3
Doçentlerin (D) yerleşebileceği boşlukları belirle ve hesapla.
P(4, 2) = 4 × 3 = 12 farklı durum
Profesörler yerleştiğinde (_ P _ P _ P _) oluşan 4 boşluğa (uçlar asistanlarla kapalı olduğu için sadece aralar) 2 Doçent, yan yana gelmemek şartıyla P(4,2) şeklinde yerleşir.
4
Tüm ihtimalleri çarpma kuralına göre birleştir.
2 × 6 × 12 = 144
Asistanlar, profesörler ve doçentlerin yerleşimleri birbirine bağlı olaylar dizisidir.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama) ve Ayıraç/Boşluk Yöntemi

İpuçları

1
Önce özel şartı olan 'sabit' elemanları (Asistanları) yerleştirin, sonra diğer kısıtlamalara geçin.
2
Doçentlerin yan yana gelmemesi için, önce profesörleri dizip onların arasında oluşan boşlukları kullanın.
3
Asistanlar uçlarda 2! durum oluşturur. İçerideki 3 profesör 3! durum oluşturur. Profesörlerin arasında oluşan 4 boşluğa 2 doçent P(4,2) şeklinde yerleşir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'sesli harflerin yan yana gelmediği kelime sayısı' sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm Durum - İstenmeyen Durum Yöntemi:
1. Asistanlar uçta iken içerideki 5 kişinin tüm sıralanışı: 5!=1205! = 120. Asistanlarla birlikte: 2!×120=2402! \times 120 = 240.
2. İstenmeyen durum (Doçentlerin yan yana olması): (DD) paketlenir. İçerisi { (DD), P, P, P } olur. 4 nesne 4!=244! = 24 şekilde sıralanır. (DD) kendi içinde 2!=22! = 2. Toplam istenmeyen iç dizilim: 24×2=4824 \times 2 = 48. Asistanlarla birlikte: 2!×48=962! \times 48 = 96.
3. Sonuç: 240−96=144240 - 96 = 144.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 33Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv bölümünde çalışan bir memur, üzerinde farklı birim kodları bulunan 55 farklı dosyayı bir rafa yan yana dizecektir. Bu dosyalardan "Personel" ve "Eğitim" birimlerine ait olan iki dosyanın daima yan yana olması istendiğine göre, bu 55 dosya kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Yan yana gelmesi istenen dosyalar bir bütün olarak kabul edildiğinde toplamda 4848 farklı sıralama yapılabilir.
Personel ve Eğitim dosyaları bir arada tutulup tek bir dosya gibi düşünüldüğünde, geriye kalan 3 dosya ile birlikte toplam 4 nesne sıralanır (4!4!). Bu sıralamanın ardından, paket içindeki 2 dosyanın kendi arasındaki yer değişimi (2!2!) de hesaba katılarak 24×2=4824 \times 2 = 48 sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1
Yan yana olması istenen dosyaları paketleme
"Personel" ve "Eğitim" dosyaları bir bütün (1 nesne) olarak kabul edilir.
Belirli nesnelerin yan yana olması istendiğinde, bu nesneler ayrılmaz bir grup gibi düşünülür.
2
Toplam nesne sayısını belirleme
11 (paket) + 33 (diğer dosyalar) = 44 nesne.
Sıralanacak toplam birim sayısını bulmak için paketlenen grubu tek bir nesne sayarız.
3
Dış sıralamayı hesaplama
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.
44 farklı nesnenin kendi aralarındaki diziliş sayısı faktöriyel ile hesaplanır.
4
İç sıralamayı (paket içi) hesaplama
2!=2×1=22! = 2 \times 1 = 2.
Paket içindeki iki dosya kendi arasında yer değiştirebilir.
5
Çarpma yoluyla toplam sonucu bulma
24×2=4824 \times 2 = 48.
Çarpma yoluyla sayma ilkesine göre tüm durumların sayısı, her bir adımın sonuçlarının çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Bağımlı Nesnelerin Sıralanması (Bloklama Yöntemi)

İpuçları

1
Birlikte olması gereken nesneleri (Personel ve Eğitim dosyalarını) tek bir 'blok' gibi düşünerek toplam kaç şeyi sıralayacağınızı bulun.
2
4 nesneyi (1 blok + 3 bağımsız dosya) sıraladıktan sonra, bloğun içindeki iki dosyanın kendi arasında yer değiştirebileceğini hatırlayın.
3
4!4! ile paket içindeki 2!2! değerini çarparak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer dosyalar yan yana 'olmamak' şartıyla dizilseydi, tüm durumlardan (120120) yan yana oldukları durumları (4848) çıkararak sonucu bulabilirdiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 34Soru →

Bir devlet dairesinde çalışan bir arşiv memuru; elindeki mavi, kırmızı, sarı ve yeşil renkli 44 farklı klasörü bir raf üzerine yan yana dizecektir.

Buna göre, memur bu klasörleri kaç farklı şekilde sıralayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2424

Cevap

Dört farklı klasör bir raf üzerine 2424 farklı şekilde sıralanabilir.
44 farklı nesnenin yan yana dizilimi 44 faktöriyel (4!4!) ile bulunur. Bu işlem, her bir pozisyon için kalan seçeneklerin çarpılması prensibine dayanır: 4×3×2×1=244 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sıralanacak nesne sayısını (nn) belirleyin.
n=4n = 4 (mavi, kırmızı, sarı, yeşil)
Permütasyon problemlerinde kaç farklı nesnenin sıralanacağı ilk adımdır.
2
Yan yana sıralama (permütasyon) formülünü hatırlayın.
P(n,n)=n!P(n,n) = n!
nn farklı nesnenin tamamı yan yana n!n! kadar farklı şekilde dizilir.
3
Formülü soruya uygulayarak hesaplamayı yapın.
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
4 farklı klasörün her biri için bir sonraki konumda azalan seçenek sayısı çarpılır.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Faktöriyel Sıralama)

İpuçları

1
Nesnelerin yan yana dizilme (sıralanma) durumlarında permütasyon (faktöriyel) kullanılır.
2
nn tane farklı nesne yan yana n!n! kadar farklı şekilde sıralanır. Burada n=4n=4 almalısınız.
3
4!4! işlemini yapmak için 44 sayısından başlayarak 11'e kadar olan tüm tam sayıları birbiriyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Eğer klasörlerden ikisi aynı renk (özdeş) olsaydı, sıralama sayısı nasıl değişirdi? (Tekrarlı permütasyon konusuna göz atabilirsiniz.)

Alternatif Yöntem

Çarpma yoluyla sayma yöntemini düşünebilirsiniz: Rafın 1. sırasına 4 farklı klasörden biri, 2. sırasına kalan 3 klasörden biri, 3. sırasına kalan 2 klasörden biri ve son sıraya kalan 1 klasör gelebilir. Bu durum 4×3×2×1=244 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 sonucunu verir.
Tahmini Süre:45s
Soru 35Soru →

Bir kamu kurumunun hukuk kütüphanesinde 44 farklı kanun kitabı ve 22 farklı yönetmelik kitabı tek bir rafa yan yana dizilecektir. Yönetmelik kitaplarının yan yana gelmemesi şartıyla bu kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 480480

Cevap

Kitaplar, yönetmeliklerin yan yana gelmemesi şartıyla 480480 farklı şekilde dizilebilir.
Doğru yanıt olan seçenek, toplam 66 kitabın tüm diziliş sayısından (720720), iki yönetmeliğin bir blok kabul edilerek yan yana olduğu durumların (240240) çıkarılmasıyla elde edilir (720−240=480720 - 240 = 480).

Adım Adım Çözüm

1
Tüm dizilişlerin sayısını hesapla
6!=7206! = 720
Toplamda 4+2=64 + 2 = 6 farklı kitap herhangi bir şart olmaksızın 6!6! kadar sıralanır.
2
Yönetmeliklerin yan yana olduğu durum sayısını hesapla
5!×2!=120×2=2405! \times 2! = 120 \times 2 = 240
İki yönetmelik tek bir paket kabul edilirse toplam 55 birim oluşur (5!5!). Yönetmelikler kendi aralarında 2!2! yer değiştirir.
3
Yan yana gelmeme durumunu bulmak için çıkarma yap
720−240=480720 - 240 = 480
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar (yan yana olma).

Anahtar Kavram

Permütasyonda belirli nesnelerin yan yana gelmeme durumunu hesaplamak için tüm durumlardan yan yana gelme durumları çıkarılır veya boşluklara yerleştirme yöntemi kullanılır.

İpuçları

1
Önce tüm kitapların hiçbir kısıtlama olmadan kaç farklı şekilde dizilebileceğini düşünün.
2
Yönetmeliklerin yan yana geldiği durumları 'tüm durumlar - istenmeyen durumlar' mantığıyla hesaplayıp çıkarabilirsiniz.
3
Veya alternatif olarak; kanun kitaplarını dizip aralarındaki ve uçlardaki boşluklara yönetmelikleri yerleştirebilirsiniz. 4!4! kanun dizilişi için 55 boşluk vardır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 3 farklı branş öğretmeni ve 4 öğrencinin yan yana dizildiği, öğretmenlerin yan yana gelmediği durum sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kanun kitaplarını (K) dizelim: _ K _ K _ K _ K _ . 4 kanun kitabı 4!=244! = 24 şekilde dizilir. Bu kitapların arasında ve uçlarında toplam 55 boşluk vardır. 22 yönetmelik bu 55 boşluğa P(5,2)=5×4=20P(5, 2) = 5 \times 4 = 20 farklı şekilde yerleşebilir. Sonuç: 24×20=48024 \times 20 = 480 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 36Soru →

Bir İl Planlama ve Koordinasyon toplantısında, değerlendirilmek üzere gündeme alınan projeler şunlardır:

* 3 farklı tarım projesi,
* 3 farklı sanayi projesi,
* 2 farklı hizmet projesi.

Bu projelerin tamamı, toplantı gündeminde sırayla görüşülecektir. Gündem sıralaması oluşturulurken;

1. Toplantının açılışında ve kapanışında (ilk ve son sırada) birer hizmet projesinin yer alması,
2. Tüm sanayi projelerinin arka arkaya (hiç araya başka proje girmeden) görüşülmesi,

kurallarına uyulacaktır.

Buna göre, projelerin görüşülme sıralaması kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Projeler, verilen kısıtlamalara göre 288 farklı şekilde sıralanabilir.
Sıralama şu şekilde kurgulanır: [Hizmet] - [Aradaki 6 Proje] - [Hizmet].
1. Adım: İki uç noktaya 2 Hizmet projesi 2!=22! = 2 farklı şekilde gelir.
2. Adım: Aradaki boşluğa 3 Tarım ve 3 Sanayi projesi gelecektir. Ancak Sanayi projeleri ayrılmayacağı için onları tek bir paket (S1S2S3)(S_1S_2S_3) gibi düşünürüz. Böylece elimizde sıralanacak 3 Tarım + 1 Sanayi Paketi = 4 birim olur. Bunlar 4!=244! = 24 şekilde sıralanır.
3. Adım: Sanayi paketinin içindeki 3 proje de kendi arasında 3!=63! = 6 şekilde yer değiştirebilir.
Sonuç: 2×24×6=2882 \times 24 \times 6 = 288.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam proje sayısını ve kısıtlamaları belirle.
Toplam 8 proje var (3 Tarım, 3 Sanayi, 2 Hizmet). Hizmetler uçlarda olacak, Sanayiler bir blok olacak.
Sıralama mantığını kurmak için elemanları tanımlamak gerekir.
2
Uç noktalara (1. ve 8. sıra) Hizmet projelerini yerleştir.
2 farklı Hizmet projesi, 2 farklı yere P(2,2) = 2! = 2 farklı şekilde yerleşebilir.
Hizmet projeleri için ayrılan yerler sabittir ancak kendi aralarında yer değiştirebilirler.
3
Sanayi projelerini tek bir blok olarak düşün ve orta kısmı düzenle.
3 Sanayi projesini [S] tek bir paket kabul edelim. Geriye kalan 3 Tarım projesi ile birlikte orta kısımda sıralanacak toplam nesne sayısı: 3 (Tarım) + 1 (Sanayi Bloğu) = 4 nesne. Bu 4 nesne 4! = 24 şekilde sıralanır.
Birlikte olma şartı (blok yöntemi), grubu tek bir eleman gibi düşünmeyi gerektirir.
4
Sanayi projelerinin kendi içindeki sıralamasını hesapla.
3 farklı Sanayi projesi, oluşturulan blok içerisinde kendi aralarında 3! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Blok içindeki elemanlar da yer değiştirebilir (iç permütasyon).
5
Tüm durumları çarpma kuralına göre birleştir.
2! (Hizmetler) x 4! (Orta Sıralama) x 3! (Sanayi İçi) = 2 x 24 x 6 = 288.
Olaylar birbirine bağlı ve ardışık gerçekleştiği için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kısıtlamalı Permütasyon (Bloklama ve Sabit Yerleştirme Yöntemi)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 37Soru →

Bir valilik binası girişindeki güvenlik noktasında görevli, aralarında Ahmet, Burak, Cem ve Deniz'in de bulunduğu 6 polis memuru, sabah içtiması için yan yana sıraya girecektir. Protokol gereği Ahmet ile Burak'ın kesinlikle yan yana olması, ancak aralarında husumet bulunan Cem ile Deniz'in kesinlikle yan yana olmaması istenmektedir. Buna göre, bu sıralama kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

144 farklı sıralama
Soruda iki koşul aynı anda istenmektedir: Ahmet-Burak bir arada OLSUN, Cem-Deniz bir arada OLMASIN. Bu tür sorularda en güvenli yöntem, 'Olsun' kümesinden 'İkisi de Olsun' kümesini çıkarmaktır.

1. Adım: Ahmet ve Burak'ı bir paket (X) gibi düşünelim. Elimizde {X, C, D, E, F} var. Bunlar 5! şekilde sıralanır. Ahmet ve Burak kendi arasında 2! yer değiştirir. Toplam: 5! × 2! = 240.
2. Adım: Şimdi bu 240 durumun içinden, Cem ve Deniz'in de yan yana geldiği (istenmeyen) durumları bulalım. Cem ve Deniz'i de bir paket (Y) yapalım. Elimizde {X, Y, E, F} var. Bunlar 4! şekilde sıralanır. Her iki paket de kendi içinde 2! yer değiştirir. İstenmeyen durum: 4! × 2! × 2! = 96.
3. Adım: Sonuç = 240 - 96 = 144 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet ve Burak'ın yan yana olduğu (AB) paket kabul edilerek tüm durumları hesapla.
Sıralanacak birimler: (AB), C, D, E, F → 5 birim. Sıralama: 5! × 2! (AB kendi içinde) = 120 × 2 = 240.
İlk şartı (Ahmet-Burak beraber) sağlayan evrensel kümeyi bulmak için.
2
Bu durumların içinden, istenmeyen durumu (Cem ve Deniz'in de yan yana olduğu) hesapla.
Sıralanacak birimler: (AB), (CD), E, F → 4 birim. Sıralama: 4! × 2! (AB) × 2! (CD) = 24 × 2 × 2 = 96.
İkinci şartı (Cem-Deniz ayrı) sağlamak için 'Tüm Durum - İstenmeyen Durum' yöntemini uygulamak.
3
Birinci adımdan ikinci adımı çıkar.
240 - 96 = 144.
Ahmet ve Burak'ın yan yana olduğu durumlardan, Cem ve Deniz'in de yan yana olduğu istenmeyen durumları atmak.

Anahtar Kavram

Permütasyonda kısıtlı sıralama (Bağlama ve Çıkarma Yöntemi)

İpuçları

1
Önce Ahmet ve Burak'ı birbirine bağlanmış tek bir kişi gibi düşünerek toplam sıralama sayısını bulun.
2
Cem ve Deniz'in yan yana olmama şartını sağlamak için; Ahmet ve Burak'ın yan yana olduğu 'tüm' durumlardan, Cem ve Deniz'in de yan yana olduğu 'istenmeyen' durumları çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'A ve B yan yana, C ve D ise uçlarda olmak şartıyla' şeklinde kurgulayarak çözmeyi deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Permütasyon (Sıralama) Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 2 | Examkin