Olasılık Teorisi

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde kullanılmak üzere belirlenen $6$ farklı siber güvenlik yazılımından $2$ tanesi, lisans satın alımı öncesinde teknik inceleme için seçilecektir. Buna göre, bu seçim işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

Bir kamu kurumunda, sisteme girilen verilerin doğruluğunu denetlemek amacıyla birbirinden bağımsız çalışan iki farklı kontrol mekanizması kullanılmaktadır. Birinci mekanizmanın hatalı bir veriyi tespit etme olasılığı $0,90$, ikinci mekanizmanın ise aynı hatayı tespit etme olasılığı $0,80$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, sisteme girilen hatalı bir verinin her iki mekanizma tarafından da tespit edilme olasılığı kaçtır?

Kamu İhale Kurumu'na (KİK) yapılan itirazen şikayet başvuruları; 'başvurunun reddi', 'düzeltici işlem belirlenmesi' ve 'ihalenin iptali' olmak üzere üç farklı kararla sonuçlanmaktadır. Bir inceleme döneminde yapılan başvurularda; 'başvurunun reddi' olasılığı $0,55$ ve 'düzeltici işlem belirlenmesi' olasılığı $0,25$ olarak hesaplanmıştır.

Bu sonuçlar birbirini dışlayan (ayrık) olaylar olduğuna göre, rastgele seçilen bir başvurunun 'ihalenin iptali' ile sonuçlanma olasılığı kaçtır?

Olasılık teorisinde iki olay veya rastgele değişkenin bağımsızlığı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

Bir kamu kurumunda görev yapan $5$ istatistikçi ve $6$ ekonomist arasından $5$ kişilik bir veri analizi proje ekibi kurulacaktır. Kurulacak bu ekipte bir başkan ve bir başkan yardımcısı belirlenecektir.

Görevlendirme ile ilgili şu şartlar bulunmaktadır:
- Ekip başkanı istatistikçiler arasından, başkan yardımcısı ise ekonomistler arasından seçilmelidir.
- Ekibin geriye kalan $3$ üyesi (özel bir unvanı olmayan normal üyeler) arasında en az $1$ istatistikçi ve en az $1$ ekonomist bulunmak zorundadır.

Buna göre, bu proje ekibi ve görev dağılımı kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Bir kamu kurumuna yapılan evrak kayıt başvurularının %50'si A, %30'u B ve %20'si C ofisi aracılığıyla gerçekleştirilmektedir. Yapılan kurum içi denetimler sonucunda, A ofisinden gelen başvuruların %4'ünün, B ofisinden gelen başvuruların %5'inin ve C ofisinden gelen başvuruların ise %10'unun eksik evrak içerdiği tespit edilmiştir.

Kurumun arşivinden rastgele seçilen bir başvurunun eksik evrak içerdiği bilindiğine göre, bu başvurunun B ofisinden yapılmış olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunda görev yapan $5$ istatistikçi, $4$ ekonomist ve $3$ hukukçu arasından $6$ kişilik bir denetim komisyonu oluşturulacaktır.

Komisyonun yapısı ve çalışma esaslarıyla ilgili şu kurallar belirlenmiştir:
- Komisyonda bir başkan ve bir başkan yardımcısı bulunacak, diğer $4$ üye ise normal üye statüsünde olacaktır.
- Komisyon başkanı hukukçular arasından, başkan yardımcısı ise ekonomistler arasından seçilmelidir.
- Normal üye statüsündeki $4$ kişinin en az ikisi istatistikçi olmalıdır.
- İstatistikçiler arasında bulunan Ayşe ve Burak isimli iki uzman, daha önceki bir projede yaşadıkları anlaşmazlık nedeniyle aynı komisyonda görev alamamaktadır (biri seçilirse diğeri seçilemez, ikisi birden de seçilmeyebilir).

Buna göre, bu denetim komisyonu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Bir $\Omega$ örnek uzayında tanımlanan $A_1, A_2$ ve $A_3$ olayları ile ilgili aşağıdaki özellikler bilinmektedir:

I. Deney sonucunda bu üç olaydan en az birinin gerçekleşmesi kesin olaydır.
II. Üç olayın da aynı anda gerçekleşmesi imkânsız olaydır.
III. Herhangi iki olay birbirini dışlamayan (ikişerli ayrık olmayan) olaylardır.

Buna göre, bu deney sonucunda "yalnızca bir" olayın gerçekleştiği durumu temsil eden küme aşağıdakilerden hangisidir?

$A$ ve $B$, bir $E$ örnek uzayında tanımlı iki olaydır.

$P(A \cup B) = 0,70$
$P(A \cap B') = 0,30$
$P(A' \cap B) = 0,20$

eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre $A$ ve $B$ olayları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Olasılık teorisi ve istatistiksel modellemede olaylar ile rastgele değişkenler arasındaki ilişkilerin analizi, bağımsızlık kavramının doğru yorumlanmasına dayanır.

Buna göre, rastgele değişkenler ve pozitif olasılıklı olaylar dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi olasılık kuralları açısından kesinlikle doğrudur?

Bir kamu kurumunun veri merkezinde çalışan $X$, $Y$ ve $Z$ sistemlerinin arıza durumları incelenmektedir. Her bir sistemin arıza yapma olasılığının sıfırdan büyük olduğu bilinmektedir. Kurumun istatistik birimi tarafından yapılan analiz sonucunda; bu üç sistemin arıza olaylarının ikişerli bağımsız (pairwise independent) olduğu, ancak karşılıklı bağımsız (mutually independent) olmadığı tespit edilmiştir. Öte yandan, sistemlerin işlemci sıcaklık değerlerini temsil eden $T_1$ ve $T_2$ sürekli rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değerinin sıfır ($Cov(T_1, T_2) = 0$) olduğu hesaplanmıştır.

Bu istatistiksel bulgulara göre, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir istatistik kurumu, finansal piyasalardaki risk faktörlerini modellemek amacıyla $A$ (Döviz kuru şoku), $B$ (Faiz oranı artışı) ve $C$ (Küresel tedarik krizi) olaylarının gerçekleşme olasılıklarına dair bir ön rapor yayımlamıştır. Raporda belirtilen olasılık değerleri ve olaylar arası ilişkiler aşağıda verilmiştir:

- $P(A) = 0,60$
- $P(B) = 0,50$
- $P(C) = 0,35$
- $P(A \cap B) = 0,20$
- $A$ ve $C$ olayları ayrık (mutually exclusive) olaylardır.
- $B$ ve $C$ olayları bağımsız (independent) olaylardır.

Bu raporun olasılık aksiyomları çerçevesinde değerlendirilmesiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Enerji Piyasası Düzenleme Kurumu (EPDK), ulusal bir şebeke projesini değerlendirmek üzere $5$ kişilik uzman bir komite kuracaktır. Komite; $1$ koordinatör, $1$ koordinatör yardımcısı ve $3$ saha analistinden oluşacaktır.

Kurulda bu görev için uygun donanıma sahip $6$ kıdemli mühendis ve $8$ uzman bulunmaktadır. Koordinatör ve koordinatör yardımcısı mutlak suretle kıdemli mühendisler arasından, saha analistleri ise uzmanlar arasından belirlenecektir.

Kıdemli mühendisler kadrosunda yer alan belirli iki personelin, projede koordinatör ve koordinatör yardımcısı olarak birlikte görev alması kurum politikası gereği uygun bulunmamaktadır.

Buna göre, bu değerlendirme komitesi kaç farklı biçimde oluşturulabilir?

Bir ülkenin makroekonomik risk modellemesini yapan bir istatistik uzmanı, piyasada oluşabilecek $A$, $B$ ve $C$ kriz olayları ile bu olayların gerçekleşme durumlarını gösteren (1: gerçekleşti, 0: gerçekleşmedi) sırasıyla $I_A$, $I_B$ ve $I_C$ gösterge (indicator) rastgele değişkenlerini tanımlamıştır.

Uzman, kurduğu modelin teorik yapısı gereği aşağıdaki matematiksel eşitliklerin ve koşulların sağlandığını raporlamıştır:
I. $Cov(I_A, I_B) = 0$
II. $A$ ve $C$ olayları birbirini dışlayan (ayrık) olaylardır ve her ikisinin de marjinal olasılığı sıfırdan büyüktür ($P(A) > 0$ ve $P(C) > 0$).
III. Üç kriz olayının birlikte gerçekleşme olasılığı için $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$ eşitliği geçerlidir.

Buna göre, risk modeli hakkında yapılan aşağıdaki çıkarımlardan hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir kamu kurumunun siber güvenlik birimi, özel bir veritabanına erişim için yeni bir erişim kodu formatı belirlemiştir. Bu formata göre oluşturulacak her bir erişim kodu $5$ haneli olacak; ilk iki hanesi $\{A, B, C, D, E, F\}$ kümesinden seçilen birbirinden farklı iki harften, son üç hanesi ise $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ kümesinden seçilen birbirinden farklı üç rakamdan oluşacaktır. Buna göre, bu kurallara uygun biçimde kaç farklı erişim kodu oluşturulabilir?

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde, birbiriyle yedekli çalışan iki ana sunucunun anlık durumları izlenmektedir. Her bir sunucu anlık olarak "Çalışıyor" ($Ç$) veya "Arızalı" ($A$) durumunda bulunabilmektedir. Bu sistemin durumunun gözlemlenmesi deneyi için örnek uzay $S = \{(Ç,Ç), (Ç,A), (A,Ç), (A,A)\}$ olarak tanımlanmıştır.

Bu örnek uzay üzerinde aşağıdaki olaylar tanımlanmıştır:
- $K$: En az bir sunucunun çalıştığı olay
- $L$: Sadece bir sunucunun arızalı olduğu olay
- $M$: İki sunucunun da aynı durumda olduğu olay

Buna göre, tanımlanan olaylar ve örnek uzay ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?