Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir meteorolojik analizde, belirli bir bölgeye düşen ardışık iki farklı yağış türünün etkili olma süreleri incelenmektedir. Birinci yağış türünün etkili olma süresi $X$ (saat), ikinci yağış türünün etkili olma süresi $Y$ (saat) rastgele değişkenleriyle ifade edilmekte olup bu iki değişken birbirinden bağımsızdır.

X

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f_X(x) = \begin{cases} e^{-(x-1)}, & x > 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Y

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < y < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

şeklinde modellenmiştir.

İki yağışın toplam etkili olma süresi $Z = X + Y$ olarak tanımlandığına göre, $Z$ rastgele değişkeninin $1 < z < 3$ aralığı için olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Z(z)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1 - e^{1-z}}{2}

\frac{1 - e^{-z}}{2}

\frac{e^2 - 1}{2} e^{1-z}

\frac{e^{1-z}}{2}

\frac{e - e^{1-z}}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1 - e^{1-z}}{2}$

Cevap

İstenilen aralık için olasılık yoğunluk fonksiyonu

\frac{1 - e^{1-z}}{2}

olarak hesaplanır.

Bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamının dağılımı evrişim integrali ile bulunur. Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının ortak çözüm bölgesinde

y

için

0 < y < 2

ve

y < z-1

koşullarının aynı anda sağlanması gerekir. Verilen

1 < z < 3

aralığında bu iki koşulun kesişimi

y \in (0, z-1)

bölgesidir. Belirtilen integrasyon işlemi uygulandığında sonuç

\frac{1 - e^{1-z}}{2}

olarak doğru şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Konvolüsyon integrali formülünü

Z = X + Y

için genel olarak yazmak.

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y) f_Y(y) dy

Sürekli ve bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının dağılımı evrişim (konvolüsyon) integrali ile hesaplanır.

2

f_X

ve

f_Y

fonksiyonlarının sıfırdan farklı olduğu aralıkları belirleyerek integralin alt ve üst sınırlarını tespit etmek.

f_Y(y) \neq 0

için

0 < y < 2

olmalıdır. Aynı zamanda

f_X(z-y) \neq 0

için

z-y > 1

, yani

y < z-1

olmalıdır.

İntegralin sonucu yalnızca iki olasılık yoğunluk fonksiyonunun ortak olarak tanımlı (sıfırdan farklı) olduğu aralıkta anlamlıdır.

3

Verilen

1 < z < 3

aralığı bağlamında

y

'nin entegrasyon sınırlarını kesinleştirmek.

1 < z < 3

koşulu sağlandığında

0 < z-1 < 2

eşitsizliği elde edilir. Bu durumda

y

'nin alt sınırı

0

, üst sınırı ise

z-1

olur.

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda konvolüsyon integrali,

z

'nin içinde bulunduğu aralığa göre farklı sınır değerleri üzerinden hesaplanır.

4

Belirlenen

(0, z-1)

sınırları ile konvolüsyon integralini hesaplamak.

f_Z(z) = \int_0^{z-1} e^{-(z-y-1)} \frac{1}{2} dy = \frac{1}{2} e^{1-z} \int_0^{z-1} e^y dy = \frac{1}{2} e^{1-z} (e^{z-1} - 1) = \frac{1 - e^{1-z}}{2}

Üstel fonksiyonun integrali alınarak istenen sonuca matematiksel olarak ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin konvolüsyonu ve parçalı fonksiyonlarda entegrasyon sınırlarının analizi

Soru 22Soru →

Bir endüstriyel malzemenin kırılma testinde uygulanan basınca karşı gösterdiği esneklik katsayısı, $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu malzemeden üretilen özel bir amortisörün enerji yutma kapasitesi, $Y = (X-1)^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

0 < y < 1

için

\frac{3(1+y)}{8\sqrt{y}}

0 < y < 1

için

\frac{3(1+\sqrt{y})^2}{16\sqrt{y}}

0 < y < 1

için

\frac{3}{16}\sqrt{y}

0 < y < 1

için

\frac{3(1+\sqrt{y})^2}{8}

0 < y < 1

için

\frac{3(1-y)}{8\sqrt{y}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0 < y < 1$ için $\frac{3(1+y)}{8\sqrt{y}}$

Cevap

0 < y < 1

aralığı için

\frac{3(1+y)}{8\sqrt{y}}

fonksiyonunu içeren seçenektir.

Dönüşüm

Y=(X-1)^2

olduğu için eşitsizlik

P(1-\sqrt{y} \le X \le 1+\sqrt{y})

şekline dönüşür. Bu aralıkta

f_X(x) = \frac{3}{8}x^2

fonksiyonunun integrali alınarak birikimli dağılım fonksiyonu

F_Y(y) = \frac{3}{4}\sqrt{y} + \frac{1}{4}y\sqrt{y}

olarak bulunur. Bu fonksiyonun

y

'ye göre türevi alındığında ise sonuç

\frac{3(1+y)}{8\sqrt{y}}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım Fonksiyonunu (CDF) tanımlayın ve eşitsizliği

X

için çözün.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P((X-1)^2 \le y) \implies P(-\sqrt{y} \le X-1 \le \sqrt{y}) \implies P(1-\sqrt{y} \le X \le 1+\sqrt{y})

Y=(X-1)^2

monoton bir fonksiyon olmadığı için mutlak değerli eşitsizlik çözümü gerektirir.

2

Elde edilen eşitsizlik aralığı için

F_Y(y)

integralini kurun.

y \in (0, 1)

için sınırların

(0, 2)

aralığında kaldığı görülür.

F_Y(y) = \int_{1-\sqrt{y}}^{1+\sqrt{y}} \frac{3}{8}x^2 dx

Olasılığı bulmak için

X

'in yoğunluk fonksiyonunun belirlenen sınırlar arasında integrali alınmalıdır.

3

İntegrali hesaplayarak birikimli dağılım fonksiyonunu bulun.

F_Y(y) = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \cdot 3 \right]_{1-\sqrt{y}}^{1+\sqrt{y}} = \frac{1}{8} [x^3]_{1-\sqrt{y}}^{1+\sqrt{y}}

. Fark alındığında:

\frac{1}{8} [(1+\sqrt{y})^3 - (1-\sqrt{y})^3] = \frac{3}{4}\sqrt{y} + \frac{1}{4}y\sqrt{y}

Küp açılımları farkı

[(1+3\sqrt{y}+3y+y\sqrt{y}) - (1-3\sqrt{y}+3y-y\sqrt{y})]

ile

6\sqrt{y} + 2y\sqrt{y}

sonucuna ulaşılır.

4

F_Y(y)

'nin

y

'ye göre türevini alarak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) elde edin.

f_Y(y) = \frac{d}{dy}(\frac{3}{4}y^{1/2} + \frac{1}{4}y^{3/2}) = \frac{3}{8}y^{-1/2} + \frac{3}{8}y^{1/2} = \frac{3(1+y)}{8\sqrt{y}}

Sürekli rastgele değişkenlerde yoğunluk fonksiyonu, birikimli dağılım fonksiyonunun türevidir.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme (Jakobiyen) yöntemi ile:

Y = (X-1)^2

fonksiyonunun

x_1 = 1-\sqrt{y}

ve

x_2 = 1+\sqrt{y}

olmak üzere iki kökü vardır. İki dal için mutlak türevler

|\frac{dx_1}{dy}| = |\frac{dx_2}{dy}| = \frac{1}{2\sqrt{y}}

'dir.

f_Y(y) = f_X(x_1)|\frac{dx_1}{dy}| + f_X(x_2)|\frac{dx_2}{dy}|

formülüne değerler konularak da aynı PDF elde edilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 23Soru →

Bir ulusal enerji dağıtım merkezinde, elektrik şebekesindeki anlık frekans sapmaları $X$ (mHz) kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	-2	-1	0	1	2	3
$P(X=x)$	0,10	0,15	0,20	0,25	0,20	0,10

Sistemdeki anlık dengeleme maliyeti, frekans sapmasına bağlı olarak $Y = (X-1)^2$ dönüşüm fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, sistemde sıfırdan farklı bir dengeleme maliyeti oluştuğu bilindiğine göre, bu maliyetin 2 birim veya daha yüksek olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{3}

\frac{7}{20}

\frac{7}{15}

\frac{7}{16}

\frac{6}{11}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{15}$

Cevap

Dönüştürülmüş değişkenin olasılık kütle fonksiyonu oluşturulup koşullu olasılık uygulandığında doğru sonuç

\frac{7}{15}

olarak bulunur.

Kesikli rastgele değişkenlerde

Y = g(X)

dönüşümü yapılırken, aynı

Y

değerine ulaşan farklı

X

değerlerinin olasılıkları toplanmalıdır.

Y=(X-1)^2

dönüşümünde

Y=4

sonucunu hem

X=-1

hem de

X=3

verir; bu nedenle

P(Y=4) = P(X=-1) + P(X=3) = 0,25

olur. Aynı şekilde

Y=9

sonucunu

X=-2

verir ve

P(Y=9) = 0,10

bulunur.

Y \geq 2

olma olasılığı

0,25 + 0,10 = 0,35

'tir. Soruda maliyetin sıfır olmadığı koşulu verildiğinden

P(Y > 0) = 1 - P(Y=0) = 0,75

hesaplanır. Koşullu olasılık formülü gereği

0,35 / 0,75 = 7/15

doğru değerdir.

Adım Adım Çözüm

1

Y = (X-1)^2

dönüşümü altındaki olası

Y

değerlerini belirleme

X=\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

için sırasıyla

Y=\{9, 4, 1, 0, 1, 4\}

değerleri elde edilir.

Yeni rastgele değişkenin alabileceği örnek uzay noktalarını tespit etmek.

2

Çakışan

Y

değerlerinin olasılıklarını toplayarak

Y

'nin olasılık kütle fonksiyonunu oluşturma

P(Y=0)=0,25

,

P(Y=1)=0,20+0,20=0,40

,

P(Y=4)=0,15+0,10=0,25

,

P(Y=9)=0,10

.

Bire-bir olmayan dönüşümlerde (karesel), aynı

Y

değerini veren farklı

X

olayları ayrık olduğundan olasılıkları toplanmalıdır.

3

Koşul olayının olasılığını (payda) hesaplama

Maliyetin sıfırdan farklı olma koşulu:

P(Y > 0) = 1 - P(Y=0) = 1 - 0,25 = 0,75

.

Koşullu olasılık formülünde kullanılacak olan payda değerini elde etmek.

4

İstenen olayın (

Y \geq 2

ve

Y > 0

) ortak olasılığını (pay) hesaplama

Kesişim kümesi

Y \geq 2

durumuna eşittir:

P(Y \geq 2) = P(Y=4) + P(Y=9) = 0,25 + 0,10 = 0,35

.

Koşullu olasılık formülündeki pay (kesişim) kısmını elde etmek.

5

Koşullu olasılık formülünü uygulama

P(Y \geq 2 \mid Y > 0) = \frac{0,35}{0,75} = \frac{35}{75} = \frac{7}{15}

.

Verilen koşul altında istenen olayın nihai gerçekleşme olasılığını bulmak.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Bire-bir Olmayan Dönüşümler ve Koşullu Olasılık

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 24Soru →

Bir sigorta şirketinin aktüerya birimi, poliçe sahiplerinin hasar bildirim sürelerini modellemek için sürekli bir $X$ rastgele değişkeni tanımlamıştır. Bu değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) $F_X(x)$ olarak verilmiş olup, kesinlikle artan ve sürekli bir fonksiyondur.

Birimin yaptığı yeni bir risk modellemesinde,

X

değişkeni kullanılarak

V = 3 \cdot F_X(X) + 1

ve

W = -2 \ln(1 - F_X(X))

şeklinde iki yeni performans göstergesi tanımlanmıştır.

Buna göre; $V$ değişkeninin varyansı, $W$ değişkeninin beklenen değeri ve $P(V = 2.5)$ nokta olasılığı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

\frac{3}{4}

,

2

ve

0

\frac{1}{4}

,

2

ve

0

\frac{3}{4}

,

2 \ln 2

ve

\frac{1}{3}

\frac{3}{4}

,

2

ve

\frac{1}{3}

\frac{3}{4}

,

0

ve

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{4}$ , $2$ ve $0$

Cevap

\frac{3}{4}

,

2

ve

0

değerlerini veren seçenektir.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre sürekli bir

X

değişkeni için

F_X(X) \sim Uniform(0,1)

'dir. Bu bilgi kullanılarak

V = 3U + 1

değişkeninin varyansı doğrusal dönüşüm kurallarıyla

9 \cdot (1/12) = 3/4

olarak bulunur.

W = -2\ln(1-U)

değişkeninin beklenen değeri ters dönüşüm prensibiyle parametresi

\lambda=1/2

olan üstel dağılıma eşit olduğundan (veya integral ile)

2

bulunur. Sürekli bir rastgele değişkenin tek bir noktadaki olasılığı sıfır olduğundan

P(V=2.5) = 0

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremini uygulama.

U = F_X(X)

dönüşümünün

(0,1)

aralığında standart sürekli düzgün dağılıma (

U \sim Uniform(0,1)

) sahip olduğu belirlenir.

X

sürekli bir rastgele değişken ve

F_X

onun artan birikimli dağılım fonksiyonudur.

2

V

değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(U) = \frac{1}{12}

olduğundan,

Var(V) = Var(3U + 1) = 3^2 \cdot Var(U) = 9 \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{4}

bulunur.

Varyansın doğrusal dönüşüm kuralı

Var(aX+b) = a^2 Var(X)

şeklindedir.

3

W

değişkeninin beklenen değerini bulma.

W = -2 \ln(1-U)

ifadesi ters dönüşüm (inverse transform) yöntemiyle

\lambda = 1/2

olan üstel dağılımı (Exponential) ifade eder. Beklenen değer

E[W] = \frac{1}{1/2} = 2

olarak bulunur. (Alternatif olarak

\int_0^1 -2\ln(1-u)du

integrali çözülerek

2

elde edilir).

W

'nin dağılım özelliklerini veya beklenen değer integralini kullanarak sonuca ulaşmak.

4

P(V = 2.5)

olasılığını belirleme.

P(V = 2.5) = 0

olarak bulunur.

V

rastgele değişkeni sürekli bir dağılıma (

Uniform(1,4)

) sahip olduğundan, sürekli değişkenlerde belirli bir tek noktadaki olasılık değeri her zaman sıfırdır.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Ters Dönüşüm Yöntemi

Soru 25Soru →

Bir malzeme mühendisliği laboratuvarında, özel bir kompozit alaşımın dayanıklılık testleri sırasında ölçülen iki farklı gerilim bileşeni (sırasıyla $X$ ve $Y$ ), sürekli rastgele değişkenler olarak modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x > 0, y > 0 \text{ ve } x + y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Mühendisler, malzemenin toplam gerilimini $U = X + Y$ ve gerilim oranını $V = \frac{X}{X + Y}$ dönüşümleriyle analiz etmek istemektedir.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u,v) = \begin{cases} 24u^3 v(1-v), & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 24u^2 v(1-v), & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 24u v(1-v), & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 24u^3 v(1-v), & u > 0 \text{ ve } v > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

h(u,v) = \begin{cases} 4u^3, & 0 < u < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $h(u,v) = \begin{cases} 24u^3 v(1-v), & 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}$

Cevap

Dönüşüm işlemleri ve Jakobiyen hesaplaması sonucunda doğru ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u,v) = 24u^3 v(1-v)

olarak (tanım aralığı

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

) bulunur.

Çok değişkenli dönüşümlerde, ortak PDF formülü

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|

şeklindedir.

x = uv

ve

y = u(1-v)

dönüşümleri yapıldığında, Jakobiyen determinantı

J = -u

bulunur ve mutlak değeri

|J| = u

olur. Orijinal fonksiyon

24xy

'ye yerleştirildiğinde

24(uv)(u(1-v)) = 24u^2v(1-v)

elde edilir. Bu ifade Jakobiyen mutlak değeri

u

ile çarpılınca

24u^3v(1-v)

sonucuna ulaşılır. Sınırlar incelendiğinde

x+y<1

şartı

u<1

olmasını gerektirir.

x>0

ve

y>0

koşullarından da

v

'nin

0

ile

1

arasında olduğu tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

1

U

ve

V

'nin denklemlerinden

X

ve

Y

'yi yalnız bırakarak ters dönüşümleri bulun.

U = X + Y

ve

V = \frac{X}{X+Y}

verildiğine göre,

V = \frac{X}{U} \implies X = UV

. Aynı şekilde

Y = U - X = U - UV = U(1-V)

elde edilir.

Jakobiyen determinantını hesaplayabilmek ve orijinal fonksiyondaki

x, y

yerine

u, v

cinsinden ifadeleri yazabilmek için.

2

Ters dönüşümler üzerinden Jakobiyen matrisini ve determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V} \\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} V & U \\ 1-V & -U \end{pmatrix} = (V)(-U) - (U)(1-V) = -UV - U + UV = -U

.

Çok değişkenli dönüşüm teoreminde ortak PDF'in alan ölçeklenmesini düzeltmek için determinant gereklidir.

3

Dönüşüm formülünü uygulayın:

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J|

.

X

ve

Y

pozitif olduğundan

U = X+Y > 0

olmalıdır, bu nedenle

|J| = |-U| = U

olur.

f(UV, U(1-V)) = 24(UV)(U(1-V)) = 24U^2V(1-V)

. Sonuç:

h(u,v) = 24U^2V(1-V) \cdot U = 24U^3V(1-V)

.

Yeni ortak yoğunluk fonksiyonunu matematiksel kurala uygun şekilde oluşturmak için.

4

U

ve

V

için yeni tanım sınırlarını belirleyin.

x > 0 \implies UV > 0

.

y > 0 \implies U(1-V) > 0

.

x+y < 1 \implies U < 1

.

U>0

olduğu için ilk iki eşitsizlikten

V > 0

ve

1-V > 0 \implies V < 1

çıkar. Tüm sınırlar birleştiğinde:

0 < U < 1

ve

0 < V < 1

bulunur.

Rastgele değişkenlerin tanımlı olduğu bölge dönüşümle birlikte değişir ve doğru destek kümesinin yazılması zorunludur.

Anahtar Kavram

Jakobiyen ve Çok Değişkenli Rastgele Değişken Dönüşümleri

Alternatif Yöntem

İkinci bir yol olarak; CDF yöntemi kullanılabilir, ancak çok değişkenli sistemlerde doğrudan alan hesabı zor olduğundan çok katlı integral işlemiyle aynı Jakobiyen sürecine dönülmesi kaçınılmazdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 26Soru →

Bir kamu kurumu çağrı merkezine gelen ardışık iki çağrı arasındaki süre (dakika cinsinden), olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 2(1-x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan sürekli bir

X

rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

Kurumun sistem analistleri, çağrı yoğunluğunu analiz etmek amacıyla bir simülasyon yazılımı kullanmaktadır. Yazılım, $(0,1)$ aralığında standart düzgün dağılımdan rastgele sayılar ( $u$ ) üreterek, Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm) yöntemiyle bu çağrı sürelerini simüle etmektedir.

Buna göre, yazılımın ürettiği $u = 0.64$ değeri için simüle edilecek çağrı süresi ( $x$ ) kaç dakikadır?

0.20

0.40

0.64

0.68

1.60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0.40$

Cevap

Simüle edilecek çağrı süresi

0.40

dakikadır.

Doğru yanıt

0.40

'tır. Ters dönüşüm yöntemi simülasyonlarında öncelikle sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun integrali alınarak birikimli dağılım fonksiyonu bulunur (

F(x) = 2x - x^2

). Sonrasında üretilen düzgün dağılımlı rastgele sayı bu fonksiyona eşitlenir (

F(x) = u

) ve

x

değişkeni yalnız bırakılır. Bu denklem çözüldüğünde

x = 1 \pm \sqrt{1-u}

kökleri elde edilir. Rastgele değişkenin tanım aralığı (

0 < x < 1

) dikkate alındığında sadece eksi işaretli olan

x = 1 - \sqrt{1-u}

kökü geçerli olur. Simülasyon yazılımı tarafından üretilen

u = 0.64

rastgele sayısı bu doğru formülde yerine konulduğunda

x = 1 - 0.60 = 0.40

simülasyon sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (

F(x)

) hesaplayın.

F(x) = \int_{0}^{x} 2(1-t) dt = [2t - t^2]_{0}^{x} = 2x - x^2

Olasılık integral dönüşümü yönteminde,

U = F(X)

bağıntısı gereği ters fonksiyon işleminin olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinden değil, birikimli dağılım fonksiyonu üzerinden yapılması gerekir.

2

Ters dönüşüm yöntemini uygulayarak

x

'i verilen

u

cinsinden ifade edin.

F(x) = u \Rightarrow 2x - x^2 = u \Rightarrow x^2 - 2x + u = 0

. İkinci dereceden denklemin kök formülü kullanıldığında:

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4u}}{2} = 1 \pm \sqrt{1-u}

bulunur.

Simülasyon modelinde üretilen her bir

u

rastgele değeri için, o dağılıma uygun

x

simülasyon değerini verecek ters fonksiyonun (

x = F^{-1}(u)

) matematiksel olarak elde edilmesi gerekir.

3

Değişkenin tanım aralığını dikkate alarak doğru kökü seçin ve verilen

u = 0.64

değerini formülde yerine koyun.

X

değişkeni

0 < x < 1

aralığında tanımlı olduğu için

x = 1 - \sqrt{1-u}

kökü alınmalıdır.

u = 0.64

değeri yerine konulduğunda:

x = 1 - \sqrt{1 - 0.64} = 1 - \sqrt{0.36} = 1 - 0.60 = 0.40

elde edilir.

Matematiksel olarak denklem iki farklı kök üretir ancak aranan değer rastgele değişkenin geçerli sınırları içinde kalmalıdır. Artılı kök seçilirse sonuç 1'den büyük çıkar ve bu durum olasılık kurallarına aykırıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi ile Simülasyon)

Soru 27Soru →

Bir telekomünikasyon ağında, iki farklı veri paketinin yönlendirici üzerindeki işlem süreleri (milisaniye cinsinden) $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-x}, & x > 0 \text{ ve } 0 < y < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Sistem performansını farklı bir ölçekte değerlendirmek için $U = e^X$ ve $V = X + Y$ şeklinde yeni rastgele değişkenler tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ (sıfırdan farklı olduğu bölge için) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{2u^2}, \quad u > 1 \text{ ve } \ln u < v < 2 + \ln u

\frac{1}{2u}, \quad u > 1 \text{ ve } \ln u < v < 2 + \ln u

\frac{1}{2u^2}, \quad u > 1 \text{ ve } 0 < v < 2

\frac{1}{2}, \quad u > 1 \text{ ve } \ln u < v < 2 + \ln u

\frac{1}{2u}, \quad u > 1 \text{ ve } 0 < v < 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2u^2}, \quad u > 1 \text{ ve } \ln u < v < 2 + \ln u$

Cevap

Doğru ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

\frac{1}{2u^2}

ve tanım aralığı

u > 1 \text{ ve } \ln u < v < 2 + \ln u

olan seçenektir.

Çok değişkenli dönüşüm kuralı gereği, ilk olarak

x

ve

y

değişkenleri

u

ve

v

cinsinden ifade edilir (

x = \ln u

ve

y = v - \ln u

). Daha sonra orijinal

f(x,y)

fonksiyonunda bu değerler yerine konulur ve dönüşümün Jakobiyen determinantının mutlak değeri (

|J| = 1/u

) ile çarpılır.

\frac{1}{2}e^{-\ln u} \cdot \frac{1}{u} = \frac{1}{2u^2}

elde edilir. Tanım kümeleri de benzer şekilde eşitsizliklerde yerine konulduğunda,

x>0

koşulundan

u>1

ve

0<y<2

koşulundan

\ln u < v < 2+\ln u

eşitsizlikleri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

U

ve

V

fonksiyonlarının tersini alarak

x

ve

y

değerlerini

u

ve

v

cinsinden ifade edin.

U = e^X \implies x = \ln u

ve

V = X + Y \implies y = v - x = v - \ln u

Değişken dönüşümü yapabilmek için eski değişkenleri yeni değişkenler cinsinden yazmalıyız.

2

Dönüşümün Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \frac{1}{u} & 0 \\ -\frac{1}{u} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{u}

Çok değişkenli dönüşümlerde, alan/hacim değişim oranını dengelemek için olasılık yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmalıdır.

3

Elde edilen ters fonksiyonları ve Jakobiyen determinantını orijinal PDF formülünde yerine koyun.

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = \frac{1}{2} e^{-\ln u} \cdot \left| \frac{1}{u} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{u} = \frac{1}{2u^2}

Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun analitik ifadesini elde etmek.

4

X

ve

Y

'nin mevcut tanım aralıklarını kullanarak

U

ve

V

'nin yeni sınırlarını belirleyin.

x > 0 \implies \ln u > 0 \implies u > 1

0 < y < 2 \implies 0 < v - \ln u < 2 \implies \ln u < v < 2 + \ln u

Yeni rastgele değişkenlerin hangi aralıklarda tanımlı ve geçerli olduğunu bulmak.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Dönüşüm ve Jakobiyen Metodu

Soru 28Soru →

Bir siber güvenlik merkezinde, bir ana sunucuya saniyede yapılan şüpheli erişim denemelerinin tarihsel referans değerden sapması $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$0,15$	$0,10$	$0,25$	$0,20$	$0,20$	$0,10$

Sistem, bu sapmaları analiz ederek her saniye için $Y = X^2 - 2X$ formülü ile bir 'tehdit endeksi' ( $Y$ ) hesaplamaktadır.

Buna göre, hesaplanan tehdit endeksinin sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olma olasılığı, $P(Y \le 0)$ kaçtır?

0,25

0,45

0,50

0,65

0,80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,65

Cevap

İstenen olasılık 0,65'tir.

Soruda hesaplanması istenen

P(Y \le 0)

olasılığı için,

Y = X^2 - 2X

dönüşümü kullanılır.

X^2 - 2X \le 0

eşitsizliği çözüldüğünde

X(X - 2) \le 0

elde edilir ve bu eşitsizliği sağlayan aralık

0 \le X \le 2

'dir.

X

kesikli bir rastgele değişken olduğu için bu aralığa düşen değerler yalnızca

X=0

,

X=1

ve

X=2

'dir. Son olarak, bu değerlere karşılık gelen olasılıklar toplanarak sonuca ulaşılır:

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,25 + 0,20 + 0,20 = 0,65

.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen koşulun X değişkeni cinsinden ifade edilmesi

X^2 - 2X \le 0

eşitsizliğinin kökleri bulunur ve

0 \le X \le 2

eşitsizliği elde edilir.

Y \le 0

şartını sağlayan temel

X

değerlerini belirlemek için dönüşüm formülü eşitsizlikte yerine konur.

2

Eşitsizliği sağlayan kesikli X değerlerinin belirlenmesi

X

değişkeni

0

,

1

ve

2

değerlerini alabilir.

Olasılık tablosunda verilen örnek uzaydaki değerlerden (

-2, -1, 0, 1, 2, 3

) sadece

0

,

1

ve

2

bu eşitsizliği sağlar.

3

İlgili ayrık noktaların olasılıklarının toplanması

P(Y \le 0) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,25 + 0,20 + 0,20 = 0,65

olarak bulunur.

Y

'nin

0

veya negatif olma olasılığı, bu şartı sağlayan tüm ayrık

X

olaylarının olasılıkları toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Alternatif Yöntem

Tüm X değerleri için tek tek Y değerlerini hesaplayıp (X=-2 için Y=8, X=-1 için Y=3, X=0 için Y=0, X=1 için Y=-1, X=2 için Y=0, X=3 için Y=3) yeni bir olasılık dağılım tablosu (Y tablosu) oluşturulabilir ve ardından sıfıra eşit veya küçük olan Y değerlerinin olasılıkları toplanabilir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 29Soru →

Bir akıllı şebeke sisteminde, anlık güç tüketimindeki dalgalanma miktarı $X$ (kilowatt cinsinden) rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} \frac{2(x+1)}{9}, & -1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sistemdeki aşırı yüklenme riskini analiz etmek için $Y = X^2$ dönüşümü ile yeni bir rastgele değişken tanımlanıyor.

Buna göre, Dağılım Fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılarak elde edilen $Y$ 'nin $1 < y < 4$ aralığındaki birikimli dağılım fonksiyonu $G(y) = P(Y \le y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{4\sqrt{y}}{9}

\frac{y + 2\sqrt{y}}{9}

\frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9}

\frac{(\sqrt{y}-1)^2}{9}

\frac{(y+1)^2}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9}$

Cevap

İstenen aralıktaki birikimli dağılım fonksiyonu

\frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9}

olarak hesaplanır.

Dağılım fonksiyonu yöntemiyle

G(y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

eşitsizliği elde edilir. Soru kökünde

1 < y < 4

şartı verildiğinden, alt sınır olan

-\sqrt{y}

,

-1

'den daha küçüktür (örneğin

y=2

için

-\sqrt{2} \approx -1.41

). Olasılık yoğunluk fonksiyonumuz ise ancak

x=-1

'den itibaren tanımlıdır. Bu fiziksel sınır nedeniyle integralin alt sınırının

-1

olarak kırpılması zorunludur.

\int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{2(x+1)}{9} dx

işlemi yürütüldüğünde sonuç

\frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Y = X^2 rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunun genel formülünü kurmak

G(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

elde edilir.

Dağılım fonksiyonu (CDF) yönteminin temel tanımı, yeni değişkenin olasılığını eski değişken cinsinden ifade etmektir.

2

Verilen

1 < y < 4

aralığı için entegrasyon sınırlarını,

X

'in tanım kümesine göre daraltmak

Bu aralıkta

-\sqrt{y} < -1

'dir. Ancak

f(x)

fonksiyonu en düşük

x = -1

noktasında tanımlıdır. Dolayısıyla geçerli eşitsizlik sınırı

-1 \le X \le \sqrt{y}

olur.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun sıfır olduğu alt bölgelerde integral alınmamalıdır;

X

'in fiziksel alt sınırı dikkate alınmalıdır.

3

Belirlenen sınırlar üzerinden yoğunluk fonksiyonunun integralini almak

G(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{2(x+1)}{9} dx = \left[ \frac{1}{9}(x+1)^2 \right]_{-1}^{\sqrt{y}}

integrali kurulur.

Belirli aralıktaki olasılığı bulmak için o aralıkta PDF fonksiyonunun integrali alınır.

4

İntegral sınırlarını yerine koyarak nihai sonucu hesaplamak

G(y) = \frac{1}{9}(\sqrt{y}+1)^2 - \frac{1}{9}(-1+1)^2 = \frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9}

bulunur.

Üst sınırdan alt sınırın değerlendirilmesi çıkarılarak birikimli dağılım fonksiyonu elde edilir.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu (CDF) Yöntemi ile Değişken Dönüşümü

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak da çözülebilir: Önce

1 < y < 4

aralığı için

y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu

g(y)

bulunur. Formül

g(y) = f(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} + f(-\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}

şeklindedir. Ancak bu aralıkta

x = -\sqrt{y}

noktası tanım kümesinin (

-1 < x

) dışındadır. Bu nedenle sadece ilk terim hayatta kalır:

g(y) = f(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{2(\sqrt{y}+1)}{9} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}+1}{9\sqrt{y}}

. Ardından bu fonksiyon integrali alınarak birikimli dağılıma geçilir:

G(y) = G(1) + \int_1^y \frac{\sqrt{t}+1}{9\sqrt{t}} dt

. Sınır koşulu olan

G(1) = 4/9

değeri ve integral işlemi eklendiğinde aynı

\frac{(\sqrt{y}+1)^2}{9}

sonucuna kusursuzca ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 30Soru →

Bir otonom aracın şerit takip algoritmalarının test aşamasında, aracın ideal rotadan yanal sapma miktarı $X$ (metre cinsinden) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Yapılan ölçümlere göre $X$ , $(-1, 2)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma (uniform distribution) sahiptir. Aracın şeritten sapma kaynaklı algoritmik risk skoru ise sapma miktarının karesi alınarak $Y = X^2$ fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, risk skoru $Y$ 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt{y}}, & 0 < y < 1 \\ \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 1 \le y < 4 \end{cases}

f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}, \quad 0 < y < 4

f_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}, \quad 0 < y < 4

f_Y(y) = \frac{1}{3}, \quad 0 < y < 4

f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 0 < y < 1 \\ \frac{1}{3\sqrt{y}}, & 1 \le y < 4 \end{cases}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt{y}}, & 0 < y < 1 \\ \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 1 \le y < 4 \end{cases}$

Cevap

Doğru yoğunluk fonksiyonu,

0 < y < 1

aralığında

1/(3\sqrt{y})

ve

1 \le y < 4

aralığında

1/(6\sqrt{y})

değerini alan parçalı fonksiyondur.

Karesel dönüşüm

Y = X^2

bire-bir olmadığı için dağılım fonksiyonu

P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

olarak ifade edilmelidir.

X

'in alt sınırı

-1

olduğundan,

\sqrt{y} > 1

(yani

y > 1

) durumunda integralin alt sınırı

-\sqrt{y}

değil,

-1

olmalıdır. Bu nedenle

0 < y < 1

aralığında iki taraflı simetrik integral,

1 \le y < 4

aralığında ise tek taraflı (alt sınırı sabit) olasılık hesaplanarak türev alınması doğru olan parçalı fonksiyonu verir.

Adım Adım Çözüm

1

X

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirleme.

X \sim U(-1, 2)

olduğundan,

f_X(x) = \frac{1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}

(sınırlar:

-1 < x < 2

) olarak yazılır.

Y

'nin dağılım fonksiyonunu bulurken integrali alınacak olasılık yoğunluk fonksiyonunu netleştirmek için.

2

Y = X^2

dönüşümü için Dağılım Fonksiyonu (CDF) eşitliğini kurma.

F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y})

.

Y

'nin tanım kümesi

X \in (-1, 2)

olduğundan

0 \le y < 4

olarak belirlenir.

Karesel dönüşümlerde bire-bir olmayan yapıyı hesaba katmak ve aralık hesabına geçmek için.

3

0 < y < 1

aralığı için CDF hesaplama ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma.

Bu aralıkta

-\sqrt{y}

değeri

-1

'den büyüktür. Dolayısıyla her iki sınır da

X

'in tanım kümesindedir.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} dx = \frac{2\sqrt{y}}{3}

olur. Y'ye göre türevi alınarak

f_Y(y) = \frac{1}{3\sqrt{y}}

bulunur.

Tanım kümesinin her iki yönde de sınırlar içinde kaldığı bölgedeki fonksiyon davranışını elde etmek için.

4

1 \le y < 4

aralığı için CDF hesaplama ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma.

Bu aralıkta

-\sqrt{y}

değeri

-1

'den küçüktür, bu yüzden alt sınır

-1

ile kesilir.

F_Y(y) = \int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac{1}{3} dx = \frac{\sqrt{y} - (-1)}{3} = \frac{\sqrt{y} + 1}{3}

olur. Türevi alınarak

f_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}}

bulunur.

X

'in negatif bölgedeki tanım aralığının sınırını hesaba katarak doğru olasılık değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde CDF Yöntemi ile Karesel Dönüşüm

Soru 31Soru →

Bir tedarik zinciri yönetim sisteminde, günlük stok uyuşmazlık miktarı (koli sayısı cinsinden) $X$ kesikli rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$0,10$	$0,15$	$0,30$	$0,20$	$0,15$	$0,10$

Sistem, stok uyuşmazlıklarından kaynaklanan günlük düzeltme maliyetini $Y = X^2 - 2X$ fonksiyonu ile puanlamaktadır.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde düzeltme maliyet puanının sıfır ( $Y = 0$ ) olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,15

0,25

0,30

0,45

0,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,45$

Cevap

Düzeltme maliyet puanının sıfır olma olasılığı 0,45'tir.

Dönüştürülmüş rastgele değişkenin sıfır değerini alması için

Y = X^2 - 2X = 0

olmalıdır. Çarpanlarına ayırırsak

X(X-2) = 0

denkleminin kökleri

X=0

ve

X=2

'dir. Bir fonksiyonun belli bir değeri alma olasılığı, o değeri üreten tüm bağımsız orijinal çıktıların olasılıklarının toplamına eşittir. Bu nedenle

P(Y=0) = P(X=0) + P(X=2) = 0,30 + 0,15 = 0,45

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Y = 0

koşulunu sağlayan orijinal

X

değerlerini belirleme.

X^2 - 2X = 0 \Rightarrow X(X-2) = 0

denkleminden

X = 0

veya

X = 2

değerleri elde edilir.

Dönüştürülmüş

Y

değişkeninin belirli bir değere eşit olma olasılığı, bu değeri veren tüm orijinal

X

değerlerinin olasılıklarının toplamıdır.

2

Belirlenen

X

değerlerinin olasılıklarını tablodan bularak toplama.

P(Y = 0) = P(X = 0) + P(X = 2) = 0,30 + 0,15 = 0,45

bulunur.

X = 0

ve

X = 2

kesişmeyen (ayrık) olaylar olduğu için olasılıkları doğrudan toplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Olasılık Toplamı ve Dönüşüm

Alternatif Yöntem

Y

'nin olabileceği tüm değerler (

Y=-1, 0, 3, 8

) için yeni bir

Y

dağılım tablosu oluşturulup, ilgili sütundan

P(Y=0)

olasılığı doğrudan okunarak soru çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 32Soru →

Bir hidroelektrik santralindeki iki farklı türbinin günlük aşınma paylarını modelleyen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = e^{-(x+y)}, \quad x > 0, y > 0

Mühendisler, sistemin toplam aşınmasını $U = X + Y$ ve birinci türbinin toplam aşınma içindeki payını $V = \frac{X}{X+Y}$ dönüşümleriyle analiz etmektedir.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1

h(u,v) = e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1

h(u,v) = \frac{1}{u} e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1

h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ v > 0

h(u,v) = e^{-u}, \quad u > 0, \ v > 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1$

Cevap

Doğru fonksiyon

h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1

şeklindedir.

Dönüşüm teoremine göre

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) |J|

formülü uygulanmalıdır. Ters dönüşümler

x = uv

ve

y = u(1-v)

olarak bulunur. Buradan Jakobiyen determinantı

J = -u

ve

|J| = u

çıkar. Fonksiyonda yerine yazıldığında

e^{-u} \cdot u

elde edilir. Sınırlar ise

x,y > 0

koşullarından

u>0

ve

0<v<1

olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

U

ve

V

denklemlerini kullanarak ters dönüşümleri (

X

ve

Y

) elde etme.

U = X + Y

ve

V = \frac{X}{U}

eşitliklerinden

X = U V

ve

Y = U - X = U(1 - V)

bulunur.

Çok değişkenli dönüşümlerde yeni yoğunluk fonksiyonunu bulmak için öncelikle eski değişkenlerin yeni değişkenler cinsinden yazılması gerekir.

2

Dönüşümün Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplama.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v & u \\ 1-v & -u \end{vmatrix} = -uv - u(1-v) = -u

elde edilir. Mutlak değeri

|J| = u

olur.

Çok katlı integrallerde alan/hacim değişim oranını dengelemek için olasılık yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmalıdır.

3

U

ve

V

değişkenlerinin yeni tanım sınırlarını belirleme.

x > 0 \implies uv > 0

ve

y > 0 \implies u(1-v) > 0

.

u > 0

olduğu için

v > 0

ve

1-v > 0 \implies v < 1

olmalıdır. Sınırlar:

u > 0, \ 0 < v < 1

.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu destek bölgesi (tanım aralığı), başlangıçtaki koşullara göre yeniden şekillendirilmelidir.

4

Ters dönüşümleri ve Jakobiyen determinantını başlangıçtaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine yazma.

h(u,v) = f(uv, u(1-v)) \cdot |J| = e^{-(uv + u - uv)} \cdot u = u e^{-u}

bulunur.

Rastgele değişkenlerin dönüşüm teoreminin son adımı olarak formül uygulanır.

Anahtar Kavram

İki rastgele değişkenin sürekli fonksiyonlarının ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu Jakobiyen determinantı yöntemiyle bulma.

Soru 33Soru →

Bir yenilenebilir enerji tesisinde güneş panellerinin yüzeyine düşen saatlik normalize edilmiş radyasyon şiddeti $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Panellerin ürettiği anlık güç miktarı (kW) ise $Y = X^2$ dönüşümü kullanılarak elde edilmektedir.

Buna göre, üretilen gücü ifade eden $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{3}{16}\sqrt{y}, \quad 0 < y < 4

f_Y(y) = \frac{3}{8}y, \quad 0 < y < 4

f_Y(y) = \frac{3}{16}\sqrt{y}, \quad 0 < y < 2

f_Y(y) = \frac{3}{4}y\sqrt{y}, \quad 0 < y < 4

f_Y(y) = \frac{3}{8}y, \quad 0 < y < 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_Y(y) = \frac{3}{16}\sqrt{y}, \quad 0 < y < 4$

Cevap

Dönüşüm sonrasında elde edilen yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{3}{16}\sqrt{y}, \quad 0 < y < 4

olarak bulunur.

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde temel formül

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |\frac{dx}{dy}|

şeklindedir. Ters fonksiyon

x = \sqrt{y}

, Jakobiyen

|\frac{dx}{dy}| = \frac{1}{2\sqrt{y}}

olur. Fonksiyonda yerine konduğunda elde edilen çarpım

\frac{3}{16}\sqrt{y}

'yi verir.

x

'in

(0, 2)

aralığına karesi alınarak dönüştürülen sınır değerleri de

Y

için

(0, 4)

aralığını doğru şekilde belirler.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşüm fonksiyonunun tersini bulmak.

Y = X^2

dönüşümü verildiğinden ve

X

'in tanım aralığı pozitif (

0 < x < 2

) olduğundan, ters fonksiyon

X = g^{-1}(y) = \sqrt{y}

olur.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu dönüşümünde orijinal değişkene ait PDF içine yazılacak olan ters fonksiyonu belirlemek.

2

Jakobiyen determinantını (ters fonksiyonun türevi) hesaplamak.

J = \frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(\sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}}

. Mutlak değeri de

|J| = \frac{1}{2\sqrt{y}}

şeklindedir.

Dönüşüm yönteminin (değişken değiştirme) temel formülündeki integrasyon çarpanını elde etmek.

3

Yeni rastgele değişkenin (

Y

) tanım sınırlarını belirlemek.

X

'in sınırları

0 < x < 2

olduğuna göre ve

Y = X^2

olduğundan,

Y

'nin sınırları

0^2 < y < 2^2

, yani

0 < y < 4

olur.

Rastgele değişkenin tanımlı olduğu ve PDF'in geçerli olduğu yeni bölgeyi belirlemek.

4

Dönüşüm formülünü uygulamak.

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J| = \frac{3}{8}(\sqrt{y})^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{3}{8}y \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{3}{16}\sqrt{y}

.

Tek değişkenli dönüşüm kuralını tamamlayarak

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu nihai haline getirmek.

Anahtar Kavram

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Soru 34Soru →

Bir orman bölge müdürlüğünün yürüttüğü ekolojik bir çalışmada, belirli bir ağaç türünün yıllık gövde çapı büyüme oranı $X$ (yüzde olarak) sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Araştırmacılar, bu büyüme oranını baz alarak yeni bir "Biyokütle Gelişim İndeksi" ( $Y$ ) tanımlamışlardır. Bu indeks, $Y = e^{2X}$ dönüşümü ile elde edilmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{1}{y^2}, \quad y > 1

f_Y(y) = \frac{2}{y}, \quad y > 1

f_Y(y) = \frac{1}{y^2}, \quad y > 0

f_Y(y) = 4, \quad y > 1

f_Y(y) = \frac{4}{y^2}, \quad y > 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_Y(y) = \frac{1}{y^2}, \quad y > 1$

Cevap

f_Y(y) = \frac{1}{y^2}, \quad y > 1

Tek değişkenli dönüşüm teoremine göre, kesin monoton bir

Y=g(X)

dönüşümünde yeni PDF,

f_Y(y) = f_X(x) \cdot |dx/dy|

formülüyle bulunur.

x = \frac{1}{2}\ln(y)

ifadesi fonksiyona yerleştirildiğinde

2e^{-\ln(y)} = \frac{2}{y}

elde edilir. Bu ifade, Jakobiyen olan

|dx/dy| = \frac{1}{2y}

ile çarpıldığında sonuç

\frac{1}{y^2}

olur.

x > 0

aralığı da dönüştürüldüğünde

y > e^0 = 1

sınırı doğru bir şekilde bulunmuş olur.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşümün ters fonksiyonunu bulunuz.

Y = e^{2X} \implies \ln(Y) = 2X \implies X = \frac{1}{2}\ln(Y)

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde,

f_X

fonksiyonunda

x

yerine yazılacak

y

cinsinden ifadeyi elde etmek için.

2

Y

rastgele değişkeninin tanım aralığını (sınırlarını) belirleyiniz.

x > 0

olduğundan,

X = \frac{1}{2}\ln(Y) > 0 \implies \ln(Y) > 0 \implies Y > 1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu aralığı, yeni değişkene göre güncellemek zorunludur.

3

Jakobiyen değerini (ters fonksiyonun türevinin mutlak değerini) hesaplayınız.

J = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \left| \frac{d}{dy} \left( \frac{1}{2}\ln(y) \right) \right| = \left| \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} \right| = \frac{1}{2y}

Dönüşüm formülünde olasılık kütlesinin korunması için değişim oranının mutlak değeri ile çarpılması gerekir.

4

Tek değişkenli dönüşüm formülünü uygulayınız:

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|

f_Y(y) = 2e^{-2\left(\frac{1}{2}\ln(y)\right)} \cdot \frac{1}{2y}

Orijinal PDF'te

x

yerine

y

'li ifadeyi yazıp, Jakobiyen ile çarparak yeni PDF'i oluşturmak için.

5

Elde edilen fonksiyonu sadeleştiriniz.

2e^{-\ln(y)} \cdot \frac{1}{2y} = 2\left(\frac{1}{y}\right) \cdot \frac{1}{2y} = \frac{1}{y^2}

(Sınır:

y > 1

)

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun en yalın ve matematiksel olarak işlenebilir halini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Soru 35Soru →

Bir otomobil fabrikasındaki boyahane bölümünde, iki farklı robot kolunun bir saat içinde yaptığı boya hatası sayıları bağımsız $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Bu değişkenlere ait moment çıkaran fonksiyonlar sırasıyla;

M_X(t) = e^{2(e^t - 1)}

M_Y(t) = e^{3(e^t - 1)}

olarak verilmiştir.

Bu bölümdeki hataların neden olduğu bir saatlik toplam düzeltme maliyeti (TL cinsinden) $W = 4X + 4Y + 10$ fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, düzeltme maliyetini gösteren $W$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_W(t)$ ve varyansı $Var(W)$ aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

M_W(t) = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}

ve

Var(W) = 80

M_W(t) = e^{10t + 20(e^t-1)}

ve

Var(W) = 20

M_W(t) = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}

ve

Var(W) = 20

M_W(t) = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}

ve

Var(W) = 90

M_W(t) = e^{5(e^{4t}-1)}

ve

Var(W) = 80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $M_W(t) = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}$ ve $Var(W) = 80$

Cevap

Doğru MGF

M_W(t) = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}

ve varyans değeri

Var(W) = 80

olmalıdır.

Verilen

M_X(t)

ve

M_Y(t)

fonksiyonları, sırasıyla ortalaması 2 ve 3 olan Poisson dağılımlarına aittir. Değişkenler bağımsız olduğundan, toplamları olan

Z = X+Y

değişkeni parametresi

\lambda = 5

olan bir Poisson dağılımına sahip olur. Bu durumda

Var(Z) = 5

ve

M_Z(t) = e^{5(e^t-1)}

'dir. Maliyet fonksiyonu

W = 4Z + 10

şeklinde doğrusal bir dönüşümdür. Moment çıkaran fonksiyon kuralına göre

M_{aZ+b}(t) = e^{bt}M_Z(at)

uygulanarak

M_W(t) = e^{10t}e^{5(e^{4t}-1)}

elde edilir. Varyans özelliklerinden

Var(aZ+b) = a^2Var(Z)

kullanılarak

Var(W) = 16 \cdot 5 = 80

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

değişkenlerinin dağılımlarını belirleme.

X \sim Poisson(\lambda=2)

ve

Y \sim Poisson(\lambda=3)

dağılımına sahiptir.

MGF teklik teoremine (uniqueness theorem) göre,

e^{\lambda(e^t-1)}

formu Poisson dağılımına aittir.

2

Toplam hatayı temsil eden

Z = X + Y

değişkeninin dağılımını ve moment çıkaran fonksiyonunu bulma.

Bağımsız iki Poisson değişkeninin toplamı da Poisson dağılır:

Z \sim Poisson(5)

. Bu nedenle

M_Z(t) = e^{5(e^t - 1)}

ve

Var(Z) = 5

olur.

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının MGF'si, bireysel MGF'lerin çarpımına eşittir:

M_Z(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)

.

3

W = 4Z + 10

doğrusal dönüşümü için MGF hesaplama.

M_W(t) = e^{10t} \cdot M_Z(4t) = e^{10t} \cdot e^{5(e^{4t}-1)} = e^{10t + 5(e^{4t}-1)}

bulunur.

W = aZ + b

doğrusal dönüşüm kuralına göre

M_{aZ+b}(t) = e^{bt} M_Z(at)

formülü uygulanır.

4

W

değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(W) = Var(4Z + 10) = 4^2 \cdot Var(Z) = 16 \cdot 5 = 80

elde edilir.

Varyans özelliklerine göre, bir değişkenin bir sabitle çarpımının varyansı o katsayının karesi ile çarpılır; toplama halindeki sabitler varyansı etkilemez.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyon ile Doğrusal Dönüşümler ve Dağılım Belirleme

Soru 36Soru →

Bir orman ekosisteminde incelenen belirli bir alandaki çam ağacı sayısı

X

ve meşe ağacı sayısı

Y

bağımsız rastgele değişkenlerdir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibidir:

M_X(t) = e^{3(e^t - 1)}

M_Y(t) = e^{4(e^t - 1)}

Bir araştırmacı, bu alandaki ağaç yoğunluğunu değerlendirmek için

W = 2(X + Y) + 10

formülüyle hesaplanan bir ekolojik skor (

W

) tanımlamıştır.

Buna göre, $W$ skorunun moment çıkaran fonksiyonu $M_W(t)$ aşağıdakilerden hangisidir?

e^{10t + 7(e^{2t} - 1)}

e^{10t + 14(e^t - 1)}

e^{10t + 7(e^t - 1)}

e^{7(e^{2t + 10} - 1)}

e^{10t + 28(e^t - 1)}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $e^{10t + 7(e^{2t} - 1)}$

Cevap

İşlemlerin doğru sırayla uygulanması sonucu elde edilen

e^{10t + 7(e^{2t} - 1)}

formülüdür.

Bağımsız

X

ve

Y

değişkenleri sırasıyla

\lambda = 3

ve

\lambda = 4

olan Poisson dağılımına sahiptir. Toplamları olan

Z = X + Y

ise

\lambda = 7

parametreli Poisson dağılımına sahip olur ve moment çıkaran fonksiyonu

M_Z(t) = e^{7(e^t - 1)}

olarak bulunur.

W = 2Z + 10

dönüşümü MGF özelliklerine göre

M_W(t) = e^{10t}M_Z(2t)

kuralı ile hesaplanır.

M_Z

formülünde

t

yerine

2t

konulduğunda doğru sonuç

e^{10t}e^{7(e^{2t} - 1)} = e^{10t + 7(e^{2t} - 1)}

olarak karşımıza çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Z = X + Y

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunu hesaplayın.

M_Z(t) = e^{3(e^t - 1)} \cdot e^{4(e^t - 1)} = e^{7(e^t - 1)}

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının moment çıkaran fonksiyonu, bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonlarının çarpımına eşittir.

2

W = 2Z + 10

için doğrusal dönüşüm kuralı olan

M_{aZ+b}(t) = e^{bt}M_Z(at)

formülünü uygulayın.

M_W(t) = e^{10t} \cdot M_Z(2t)

Moment çıkaran fonksiyonların en temel özelliklerinden biri,

aX+b

formundaki doğrusal dönüşümlerin

e^{bt}M_X(at)

kuralına tabi olmasıdır.

3

M_Z(t)

fonksiyonunda

t

yerine

2t

yazıp denklemi düzenleyin.

M_W(t) = e^{10t} \cdot e^{7(e^{2t} - 1)} = e^{10t + 7(e^{2t} - 1)}

Çarpım durumundaki üstel ifadelerin üsleri toplanır ve nihai formül elde edilir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonların Özellikleri ve Doğrusal Dönüşümü

Soru 37Soru →

Bir siber güvenlik uzmanı, kritik bir ağa yapılan yetkisiz erişim girişimlerinin sistem tarafından tespit edilme süresini (saniye cinsinden) analiz etmektedir. Tespit süresini modelleyen sürekli $X$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{6}, & 2 \le x \le 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Uzman, sistemin stres kapasitesini ölçmek amacıyla sentetik veriler üretmek için bir simülasyon programı hazırlamaktadır. Bu programda $(0, 1)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform) sahip rastgele $u$ sayıları üretilmektedir.

Buna göre, olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm yöntemi) prensibi dikkate alındığında, üretilen $u$ sayılarından simülasyona ait $x$ tespit sürelerini elde etmek için aşağıdaki matematiksel dönüşümlerden hangisi uygulanmalıdır?

\sqrt{12u + 4}

\sqrt{12u}

6u

-\sqrt{12u + 4}

\frac{u^2 - 4}{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{12u + 4}$

Cevap

\sqrt{12u + 4}

dönüşümü uygulanmalıdır.

Olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm yöntemi), rastgele sürekli değişken simülasyonu için

U = F(X)

prensibini kullanır. Sorudaki PDF fonksiyonu için ilk olarak

\int_2^x \frac{t}{6} dt

işlemiyle

F(x) = \frac{x^2 - 4}{12}

birikimli dağılım fonksiyonu elde edilir. Ardından bu ifade

u

'ya eşitlenip simülasyon algoritmasında kullanılacak olan

x

formülü yalnız bırakıldığında

x = \sqrt{12u + 4}

ters dönüşüm denklemi elde edilir. X'in tanım aralığı

[2, 4]

olduğundan karekök işlemi pozitif sonuç vermelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan (PDF) birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) hesaplayın.

F(x) = \int_2^x \frac{t}{6} dt = \left[ \frac{t^2}{12} \right]_2^x = \frac{x^2}{12} - \frac{4}{12} = \frac{x^2 - 4}{12}

Ters dönüşüm yöntemi (olasılık integral dönüşümü) için fonksiyonun CDF formuna geçilmesi gereklidir.

2

Bulunan birikimli dağılım fonksiyonunu standart düzgün dağılımdan gelen

u

değerine eşitleyin.

u = \frac{x^2 - 4}{12}

Olasılık integral dönüşümü kuralına göre rastgele

U

değişkeni

F(X)

'e eşittir.

3

Eşitlikte

x

'i

u

cinsinden yalnız bırakarak ters fonksiyonu (

x = F^{-1}(u)

) elde edin.

12u = x^2 - 4 \implies x^2 = 12u + 4 \implies x = \sqrt{12u + 4}

(Tanım aralığı pozitif olduğundan pozitif kök alınır).

Simülasyon sisteminin rastgele

u

sayılarından anlamlı

x

sürelerini üretebilmesi için dönüşüm kuralının açık haline ihtiyacı vardır.

Anahtar Kavram

Olasılık integral dönüşümü kullanılarak herhangi bir sürekli dağılımdan,

U(0,1)

düzgün dağılımı yardımıyla rastgele sayı üretilmesi (Ters dönüşüm yöntemi).

Soru 38Soru →

Bir akıllı şehir uygulamasında, belirli bir kavşaktan sabah saatlerinde geçen otobüs sayısı $X$ ve kamyon sayısı $Y$ bağımsız rastgele değişkenlerdir. Bu araç türlerine ait moment çıkaran fonksiyonlar sırasıyla $M_X(t) = e^{3(e^t - 1)}$ ve $M_Y(t) = e^{5(e^t - 1)}$ olarak verilmiştir.

Kavşaktaki trafik yoğunluğunu ölçen bir algoritma, bir yoğunluk skoru olan $W$ değişkenini $W = 4X - 2Y + 15$ şeklinde hesaplamaktadır.

Buna göre, $W$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_W(t)$ aşağıdakilerden hangisidir?

e^{15t + 3(e^{4t} - 1) + 5(e^{-2t} - 1)}

e^{15t + 2(e^t - 1)}

e^{15t + 68(e^t - 1)}

e^{15t + 3(e^{4t} - 1) + 5(e^{2t} - 1)}

e^{3(e^{4t} - 1) + 5(e^{-2t} - 1)}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $e^{15t + 3(e^{4t} - 1) + 5(e^{-2t} - 1)}$

Cevap

W

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu

e^{15t + 3(e^{4t} - 1) + 5(e^{-2t} - 1)}

ifadesidir.

Bağımsız rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun moment çıkaran fonksiyonu

M_{aX+bY+c}(t) = e^{ct} \cdot M_X(at) \cdot M_Y(bt)

kuralı ile bulunur.

W = 4X - 2Y + 15

için bu kural uygulandığında

e^{15t} \cdot M_X(4t) \cdot M_Y(-2t)

elde edilir.

M_X(t)

fonksiyonunda

t

yerine

4t

,

M_Y(t)

fonksiyonunda ise

t

yerine

-2t

yazılarak ifadeler çarpıldığında ve üsler toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

W

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunun tanımını yazın.

M_W(t) = E[e^{tW}] = E[e^{t(4X - 2Y + 15)}]

Yeni değişkenin MGF'sini bulmak için temel moment çıkaran fonksiyon tanımı kullanılır.

2

Bağımsızlık özelliğini ve üstel fonksiyon kurallarını kullanarak ifadeyi çarpanlara ayırın.

M_W(t) = e^{15t} \cdot E[e^{4tX}] \cdot E[e^{-2tY}] = e^{15t} \cdot M_X(4t) \cdot M_Y(-2t)

X

ve

Y

bağımsız olduğundan, çarpımın beklenen değeri beklenen değerlerin çarpımına eşittir ve sabit terim dışarı alınabilir.

3

Verilen

M_X(t)

fonksiyonunda

t

yerine

4t

yazarak

M_X(4t)

değerini hesaplayın.

M_X(4t) = e^{3(e^{4t} - 1)}

Doğrusal dönüşüm kuralı (

Y=aX \Rightarrow M_Y(t)=M_X(at)

) gereği denklemdeki

4

katsayısı

t

ile çarpılır.

4

Verilen

M_Y(t)

fonksiyonunda

t

yerine

-2t

yazarak

M_Y(-2t)

değerini hesaplayın.

M_Y(-2t) = e^{5(e^{-2t} - 1)}

Çıkarma işlemindeki

-2

katsayısı, işaretiyle birlikte

t

yerine yazılarak fonksiyona dahil edilir.

5

Bulunan ifadeleri birleştirerek nihai

M_W(t)

fonksiyonunu oluşturun.

M_W(t) = e^{15t} \cdot e^{3(e^{4t} - 1)} \cdot e^{5(e^{-2t} - 1)} = e^{15t + 3(e^{4t} - 1) + 5(e^{-2t} - 1)}

Üslü ifadeler çarpılırken tabanlar aynı olduğu için üsler toplanarak en sade hal elde edilir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonlarda Doğrusal Dönüşüm ve Bağımsızlık

Soru 39Soru →

Bir tarımsal araştırma enstitüsü, iki farklı buğday türünün hektar başına verim miktarlarını (ton cinsinden) incelemektedir. A türünün verimi $X$ ve B türünün verimi $Y$ bağımsız rastgele değişkenler olmak üzere, bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

M_X(t) = e^{20t + 2t^2}

M_Y(t) = e^{15t + \frac{9}{2}t^2}

Enstitü, genetik melezleme çalışmaları kapsamında $W = 2X - Y + 5$ dönüşümü ile tanımlanan yeni bir $W$ rastgele değişkeninin dağılımını elde etmiştir.

Buna göre, $W$ rastgele değişkeninin standart sapması kaçtır?

5

7

\sqrt{13}

\sqrt{17}

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dönüşüm sonucu elde edilen rastgele değişkenin standart sapması 5'tir.

Doğru cevapta

W

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu

M_W(t) = e^{5t} M_X(2t) M_Y(-t)

eşitliğinden yararlanılarak bulunur. Normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu

M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

formundadır.

M_X(t)

ve

M_Y(t)

ifadelerinden

X

'in varyansı 4,

Y

'nin varyansı 9 olarak elde edilir.

W = 2X - Y + 5

dönüşümü sonucunda elde edilen

M_W(t) = e^{30t + 12{}5t^2}

fonksiyonundan

W

'nin varyansı 25, standart sapması ise

\sqrt{25} = 5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

değişkenlerinin varyanslarını MGF formülünden tespit etme

Normal dağılımın MGF'si

e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

şeklindedir. Buna göre

X

için

\frac{1}{2}\sigma_X^2 = 2 \implies \sigma_X^2 = 4

,

Y

için

\frac{1}{2}\sigma_Y^2 = \frac{9}{2} \implies \sigma_Y^2 = 9

bulunur.

MGF içerisindeki

t^2

'nin katsayısı

\frac{\sigma^2}{2}

'ye eşittir.

2

W = 2X - Y + 5

için moment çıkaran fonksiyonu oluşturma

X

ve

Y

bağımsız olduğundan,

M_W(t) = e^{5t} \cdot M_X(2t) \cdot M_Y(-t)

eşitliği yazılır.

Bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun MGF'si, bireysel MGF'lerin çarpımı şeklinde türetilir.

3

M_W(t)

fonksiyonunu açıkça yazarak parametrelerini belirleme

M_X(2t) = e^{20(2t) + 2(2t)^2} = e^{40t + 8t^2}

ve

M_Y(-t) = e^{15(-t) + \frac{9}{2}(-t)^2} = e^{-15t + \frac{9}{2}t^2}

olur. Çarpıldığında

M_W(t) = e^{(5+40-15)t + (8+4{}5)t^2} = e^{30t + 12{}5t^2}

elde edilir.

Doğrusal dönüşüm özellikleri MGF'nin içerisindeki

t

parametresine doğrudan yansıtılır.

4

W

'nin standart sapmasını elde edilen yeni MGF üzerinden hesaplama

M_W(t) = e^{30t + 12{}5t^2}

ifadesinde

\frac{1}{2}\sigma_W^2 = 12{}5

olduğundan

\sigma_W^2 = 25

bulunur. Standart sapma

\sigma_W = \sqrt{25} = 5

'tir.

Soruda varyans değil, standart sapma istenmektedir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşüm Altındaki Davranışı

Soru 40Soru →

Bir tarım arazisinin akıllı sulama sisteminde, iki farklı su pompası valfi ardışık olarak çalışmaktadır. Suyun birinci valften geçiş süresi $X$ (dakika) ve ikinci valften geçiş süresi $Y$ (dakika) rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

$X$ rastgele değişkeni beklenen değeri $\frac{1}{2}$ olan üstel dağılıma, $Y$ rastgele değişkeni ise $(0, 2)$ aralığında sürekli düzgün dağılıma sahiptir.

$X$ ve $Y$ 'nin birbirinden bağımsız rastgele değişkenler olduğu bilindiğine göre, suyun sistemden toplam geçiş süresini ifade eden $Z = X + Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Z(z)$ 'nin $0 < z < 2$ aralığındaki denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{2}(1 - e^{-2z})

1 - e^{-2z}

e^{-2z}

2(1 - e^{-2z})

\frac{1}{2}e^{-2z}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2}(1 - e^{-2z})$

Cevap

Toplam geçiş süresi Z'nin verilen aralıktaki olasılık yoğunluk fonksiyonu

\frac{1}{2}(1 - e^{-2z})

denklemine eşittir.

Doğru yanıt, bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamı için konvolüsyon integralinin

f_Z(z) = \int_0^z f_X(x) f_Y(z-x) dx

formülüyle işletilmesinden elde edilir. Üstel dağılımın fonksiyonu

2e^{-2x}

ve düzgün dağılımın fonksiyonu

1/2

'dir. Verilen

0 < z < 2

aralığı için bu integral hesaplandığında sonuç

\frac{1}{2}(1 - e^{-2z})

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X

ve

Y

rastgele değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) belirleme

f_X(x) = 2e^{-2x}

(

x > 0

) ve

f_Y(y) = \frac{1}{2}

(

0 < y < 2

)

X

, ortalaması

1/2

olan üstel dağılımdır (

\lambda = 1 / (1/2) = 2

).

Y

ise

(0, 2)

aralığında düzgün dağılımdır ve yoğunluğu

1 / (2-0) = 1/2

'dir.

2

Z = X + Y

için konvolüsyon (evrişim) integralini kurma

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx

İki bağımsız sürekli rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu konvolüsyon integrali yardımıyla bulunur.

3

0 < z < 2

aralığı için uygun integral sınırlarını tespit etme

f_X(x) > 0

için

x > 0

olmalı,

f_Y(z-x) > 0

için

0 < z-x < 2

(yani

z-2 < x < z

) olmalıdır.

0 < z < 2

verildiğinden

z-2

değeri negatiftir. Bu nedenle kesişim aralığı

0 < x < z

olarak belirlenir ve integralin alt sınırı

0

, üst sınırı

z

olur.

Her iki yoğunluk fonksiyonunun da sıfırdan büyük olduğu geçerli tanım aralığının bulunması gerekir.

4

İntegrali matematiksel olarak ifade etme ve sadeleştirme

\int_0^z 2e^{-2x} \cdot \frac{1}{2} dx = \int_0^z e^{-2x} dx

Bulunan fonksiyonlar konvolüsyon formülünde yerine yazılır ve sabit katsayılar sadeleştirilir.

5

Belirli integrali çözme ve alt sınırı uygulama

[ -\frac{1}{2} e^{-2x} ]_0^z = -\frac{1}{2} e^{-2z} - (-\frac{1}{2} e^0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2z} = \frac{1}{2}(1 - e^{-2z})

Üstel fonksiyonun integrali kuralına göre alınır ve

x=z

ile

x=0

sınır değerleri yerine konularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının (Z = X + Y) olasılık yoğunluk fonksiyonunun konvolüsyon integrali yöntemiyle belirlenmesi

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm