Doğrusal Programlama Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir yerel kalkınma kooperatifi, üyelerinden topladığı malzemelerle "Tarhana" ( $x_1$ ) ve "Erişte" ( $x_2$ ) üretmektedir. Bir kilogram tarhananın satışından elde edilen kâr $50$ TL, bir kilogram eriştenin satışından elde edilen kâr ise $40$ TL'dir. Üretim sürecine ilişkin teknik veriler ve kısıtlar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Kaynak / Kısıt	Tarhana ( $x_1$ )	Erişte ( $x_2$ )	Toplam Kapasite
Un (kg/kg)	$0,8$	$0,6$	En çok $240$ kg
İşgücü (saat/kg)	$2$	$1$	En çok $500$ saat

Kooperatif, sosyal sorumluluk projesi kapsamında toplam üretimin (tarhana ve erişte toplamı) en az $100$ kg olmasını hedeflemektedir. Kooperatifin toplam kârını enbüyüklemek amacıyla kurulan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \text{maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{min } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\geq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\geq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{maks } Z &= 40x_1 + 50x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \text{maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Maksimum kârı hedefleyen, kaynak kısıtlarını küçük-eşit (<=) ve üretim alt sınırını büyük-eşit (>=) olarak tanımlayan model doğrudur.

Doğru modelde, kârın enbüyüklenmesi istendiği için amaç fonksiyonu 'maks Z' olarak kurulmuştur. Kaynaklar (un ve işgücü) birer üst sınır teşkil ettiği için kısıtlar küçük-eşit (

\leq

) yönündedir. Üretim hedefi olan 'en az 100 kg' şartı ise bir alt sınır olduğu için büyük-eşit (

\geq

) işaretiyle gösterilmiştir. Ayrıca tüm değişkenlerin negatif olamayacağı belirtilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunu belirleme

Z = 50x_1 + 40x_2

Tarhana başına 50 TL, erişte başına 40 TL kâr elde edildiği için kâr maksimizasyonu bu denklemle ifade edilir.

2

Un kullanım kısıtını oluşturma

0,8x_1 + 0,6x_2 \leq 240

Mevcut un stoku 240 kg ile sınırlıdır (en çok), dolayısıyla toplam kullanım bu değeri aşamaz.

3

İşgücü kapasite kısıtını oluşturma

2x_1 + 1x_2 \leq 500

Toplam işgücü kapasitesi 500 saat olarak sınırlıdır, bu yüzden toplam çalışma süresi 500'e eşit veya küçük olmalıdır.

4

Üretim miktarı (sosyal sorumluluk) kısıtını oluşturma

x_1 + x_2 \geq 100

"En az 100 kg" ifadesi, toplam üretimin 100'den büyük veya eşit olması gerektiğini (alt sınır) belirtir.

5

İşaret kısıtlarını ekleme

x_1, x_2 \geq 0

Üretim miktarları fiziksel olarak negatif değerler alamaz.

Anahtar Kavram

Sözel bir optimizasyon probleminin amaç fonksiyonu, teknik kısıtlar ve işaret kısıtları çerçevesinde matematiksel modele dönüştürülmesi.

Soru 42Soru →

Doğrusal programlama problemlerinin Simpleks yöntemi ile çözümünde, optimal tabloya ulaşıldığında temel dışı (karar) değişkenlerinden en az birinin amaç fonksiyonu satırındaki ( $Z_j - C_j$ ) katsayısının sıfır olması durumu aşağıdakilerden hangisini ifade eder?

Problemin birden fazla (çoklu) optimal çözümünün olduğunu

Problemin çözüm kümesinin sınırsız (unbounded) olduğunu

Problemin uygun bir çözümünün bulunmadığını (uygunsuzluk)

Problemin dejenereliğe (bozulmaya) uğradığını

Problemin tek bir benzersiz optimal çözüme sahip olduğunu

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Problemin birden fazla (çoklu) optimal çözümünün olduğunu

Cevap

Optimal tabloda temel dışı bir değişkenin amaç fonksiyonu satırı katsayısının sıfır olması, problemin birden fazla (çoklu) optimal çözüme sahip olduğu anlamına gelir.

Optimal tabloda temel değişken olmayan bir değişkenin amaç satırındaki maliyet farkı (

Z_j - C_j

) sıfır ise, bu değişken çözüme dahil edildiğinde amaç fonksiyonunun değeri değişmez ancak değişkenlerin aldığı değerler değişir. Bu durum, problemin sonsuz sayıda optimal çözümü (çoklu çözüm) olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Optimal tablo koşulunu kontrol et.

Tüm

Z_j - C_j \geq 0

(maksimizasyon için) sağlandığında optimal çözüme ulaşılmıştır.

Simpleks yönteminde iyileştirme yapılamayacak noktaya gelindiğini doğrulamak gerekir.

2

Temel dışı değişkenlerin katsayılarını analiz et.

Temel dışı bir

x_i

değişkeni için

Z_i - C_i = 0

olduğu belirlenmiştir.

Bu durum, bu değişken temele girdiğinde amaç fonksiyonu değerinin (

Z

) değişmeyeceğini gösterir.

3

Sonucu yorumla.

Değişken değerleri değiştiği halde amaç değeri sabit kalıyorsa, çözüm uzayında aynı optimal değere sahip farklı noktalar mevcuttur.

Bu durumun tanımı çoklu optimal çözümdür.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlamada çoklu optimal çözüm, amaç fonksiyonu doğrusunun (veya düzleminin) sınırlandırıcı kısıtlardan biriyle çakışması (paralel olması) durumunda ortaya çıkar.

Daha Fazla Pratik

Dejenerelik durumunda Simpleks algoritmasının sonsuz döngüye (cycling) girme riskini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 43Soru →

Aşağıdaki doğrusal programlama modeli verilmiştir:

\text{Minimize } Z = 6x_1 + 4x_2

\text{Kısıtlar:}

3x_1 + 2x_2 \geq 12

x_1, x_2 \geq 0

Bu model Büyük-M (Big-M) yöntemi kullanılarak çözülmek istendiğinde, artık değişken ( $s_1$ ) ve yapay değişken ( $a_1$ ) eklendikten sonra oluşturulan **amaç fonksiyonu ( $Z$ )** aşağıdakilerden hangisidir?

Z = 6x_1 + 4x_2 + 0s_1 + Ma_1

Z = 6x_1 + 4x_2 + 0s_1 - Ma_1

Z = 6x_1 + 4x_2 - s_1 + Ma_1

Z = 6x_1 + 4x_2 + Ms_1 + Ma_1

Z = 6x_1 + 4x_2 + 0s_1 + 0a_1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Z = 6x_1 + 4x_2 + 0s_1 + Ma_1$

Cevap

Minimizasyon amaçlı bir modelde Büyük-M yöntemi uygulanırken, amaç fonksiyonu değişken katsayıları korunarak yapay değişken için pozitif ceza katsayısı (+M) ve artık değişken için sıfır katsayısı eklenerek oluşturulur.

Doğrusal programlama problemlerinde minimizasyon amaçlandığında, Büyük-M yönteminin mantığı yapay değişkenin maliyetini 'çok büyük' yaparak onu temel çözümdür dışına itmektir. Bu nedenle amaç fonksiyonunda yapay değişkenin önüne pozitif M (

+M

) katsayısı gelir. Artık değişkenler ise amaç fonksiyonuna katkı sağlamadıkları için katsayıları sıfır olarak kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıt türünü belirleyin

Kısıt

\geq

(büyük eşit) formundadır.

Hangi değişkenlerin ekleneceğini belirlemek için kısıt yönü incelenmelidir.

2

Değişkenleri ekleyin

3x_1 + 2x_2 - s_1 + a_1 = 12

Büyük eşit kısıtlarında bir artık değişken (çıkarılır) ve bir yapay değişken (eklenir) kullanılır.

3

Amaç fonksiyonunu (Z) oluşturun

Z = 6x_1 + 4x_2 + 0s_1 + Ma_1

Minimizasyon problemlerinde yapay değişkenler, modelin uygun çözüm bölgesine zorlanması için amaç fonksiyonuna +M katsayısı ile ceza olarak eklenir.

Anahtar Kavram

Büyük-M Yönteminde Ceza Katsayıları

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi maksimizasyon amacı için çözerek ceza katsayısının işaret değişimini gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 44Soru →

Bir halk kütüphanesinin restorasyon biriminde "Roman" ( $x_1$ ) ve "Tarih" ( $x_2$ ) türündeki eski kitaplar yeniden ciltlenmektedir. Kitapların ciltlenme süreci ve kullanılan malzemelere ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Kaynak	Roman ( $x_1$ )	Tarih ( $x_2$ )	Toplam Kapasite
Emek (saat/kitap)	$3$	$4$	$120$ saat
Malzeme (birim/kitap)	$2$	$1$	$60$ birim

Kütüphane yönetimi, mevcut kaynakları aşmadan ciltlenen toplam kitap sayısını en üst düzeye çıkarmayı amaçlamaktadır. Buna göre, bu problemin çözümünü veren doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \text{Maks } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Min } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\geq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\geq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } z &= 3x_1 + 4x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \text{Maks } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Maksimum

z = x_1 + x_2

amaç fonksiyonu ile birlikte, her iki kaynağın kapasitesini küçük eşit (

\\leq

) kısıtlarıyla ve non-negatiflik şartıyla ifade eden model doğrudur.

Toplam kitap sayısını en büyüklemeyi hedefleyen modelde amaç fonksiyonu

x_1 + x_2

toplamının maksimizasyonu olmalıdır. Emek ve malzeme kaynakları birer üst sınıra (kapasiteye) sahip olduğu için kısıtlar 'küçük eşit' (

\leq

) sembolüyle gösterilmelidir. Ayrıca fiziksel bir büyüklük olan kitap sayısı negatif olamayacağı için işaret kısıtları modele dahil edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerini belirle.

x_1

(Roman sayısı) ve

x_2

(Tarih kitabı sayısı).

Modelin temel bileşenlerini tanımlamak için gereklidir.

2

Amaç fonksiyonunu oluştur.

Maks

z = x_1 + x_2

.

Problemde 'toplam kitap sayısının en üst düzeye çıkarılması' istendiği için katsayılar

1

olmalı ve yön 'Maks' olmalıdır.

3

Kısıt denklemlerini yaz.

3x_1 + 4x_2 \leq 120

(Emek) ve

2x_1 + x_2 \leq 60

(Malzeme).

Kaynaklar sınırlı olduğundan toplam kullanım kapasiteyi aşmamalıdır (

\\leq

).

4

İşaret kısıtlarını ekle.

x_1, x_2 \geq 0

.

Kitap sayısı negatif bir değer alamaz.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlama modelinde amaç fonksiyonu yönü (Maks/Min) ile kısıt yönlerinin (<=, >=, =) sözel ifadeden matematiksel forma doğru aktarılması.

Tahmini Süre:45s

Soru 45Soru →

Bir üretim işletmesinin kâr maksimizasyonu problemi için hazırlanan başlangıç simpleks tablosu aşağıda verilmiştir:

Temel Değişkenler	$Z$	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm (RHS)
$Z$	$1$	$-50$	$-35$	$0$	$0$	$0$
$s_1$	$0$	$2$	$3$	$1$	$0$	$120$
$s_2$	$0$	$4$	$1$	$0$	$1$	$160$

Simpleks algoritması kurallarına göre, bu tablodaki 'temele girecek değişken' (anahtar sütun) aşağıdakilerden hangisidir?

x_1

x_2

s_1

s_2

Z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_1$

Cevap

Temele giren değişken

x_1

olarak belirlenir.

x_1

değişkeni, amaç fonksiyonu (

Z

) satırında

-50

ile en negatif katsayıya sahip olan değişkendir. Maksimizasyon problemlerinde basit simpleks kuralı gereği, amaç satırındaki katsayılar arasında en küçük (mutlak değerce en büyük negatif) olan sütun anahtar sütun olarak seçilir ve bu sütundaki değişken temele girer.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türü ve amaç satırı katsayıları incelenir.

Problem bir maksimizasyon problemidir ve

Z

satırındaki katsayılar

-50

ve

-35

'dir.

Simpleks yönteminde iterasyona başlamak için anahtar sütunun belirlenmesi gerekir.

2

Amaç satırındaki en negatif (en küçük) katsayı belirlenir.

-50 < -35

olduğu için en negatif katsayı

-50

olarak bulunur.

Maksimizasyon problemlerinde en negatif katsayı, amaç fonksiyonunu en hızlı artıracak değişkeni gösterir.

3

Belirlenen katsayıya karşılık gelen değişken seçilir.

-50

katsayısına karşılık gelen

x_1

değişkeni 'temele giren değişken' olur.

Anahtar sütun seçimi bu kurala göre yapılır.

Anahtar Kavram

Simpleks yönteminde maksimizasyon amaçlı modellerde temele giren değişkenin belirlenmesi

Tahmini Süre:45s

Soru 46Soru →

Bir doğrusal programlama maksimizasyon problemine ait başlangıç simpleks tablosu aşağıda verilmiştir:

Temel Değişkenler	$Z$	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm
$Z$	$1$	$-4$	$-7$	$0$	$0$	$0$
$s_1$	$0$	$2$	$1$	$1$	$0$	$10$
$s_2$	$0$	$3$	$2$	$0$	$1$	$18$

Bu tabloya göre, simpleks yönteminin ilk iterasyonunda temele girecek değişken (anahtar sütun) aşağıdakilerden hangisidir?

x_2

x_1

s_1

s_2

Z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_2$

Cevap

Temele girecek değişken

x_2

olarak belirlenir.

Maksimizasyon problemlerinde simpleks algoritması uygulanırken,

Z

satırındaki temel olmayan değişkenlerin katsayıları incelenir. Bu katsayılar arasından en küçük (yani negatif yönde en büyük) olan değer anahtar sütunu belirler. Verilen tabloda

x_1

değişkeninin katsayısı

-4

ve

x_2

değişkeninin katsayısı

-7

olduğundan,

-7 < -4

kuralı gereği

x_2

değişkeni temele girer.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonu satırındaki (

Z

satırı) katsayıları kontrol et.

x_1

katsayısı:

-4

,

x_2

katsayısı:

-7

.

Maksimizasyon problemlerinde temele girecek değişken bu katsayılara göre seçilir.

2

En küçük (en büyük negatif) katsayıyı belirle.

-7 < -4

olduğu için en küçük değer

-7

'dir.

Simpleks yönteminde kârı en hızlı artıracak değişken, negatif katsayısı en büyük olandır.

3

Anahtar sütunu seç.

x_2

değişkeni anahtar sütun olarak belirlenir.

-7

katsayısı

x_2

sütununa aittir.

Anahtar Kavram

Simpleks yönteminde maksimizasyon problemleri için temele girecek değişkenin (anahtar sütun) seçimi.

Tahmini Süre:45s

Soru 47Soru →

Bir işletmede üretilen iki farklı ürünün toplam kârının, her bir ürünün tek başına üretilmesi durumunda elde edilecek kârların basit bir toplamına eşit olduğu ve ürünlerin aynı anda üretilmesinin ek bir sinerji veya verimlilik kaybı yaratmadığı varsayılmaktadır. Doğrusal programlama modellerinde faaliyetlerin toplam etkisinin, her bir faaliyetin tekil etkilerinin toplamına eşit olduğunu ifade eden bu temel varsayım aşağıdakilerden hangisidir?

Oransallık

Toplanabilirlik

Bölünebilirlik

Belirlilik

Negatif Olmama

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Toplanabilirlik

Cevap

Toplanabilirlik varsayımı, doğrusal programlama modellerinde faaliyetlerin toplam etkisinin tekil etkilerin toplamına eşit olduğunu ve faaliyetler arasında etkileşim bulunmadığını ifade eder.

Toplanabilirlik (Additivity) varsayımı, doğrusal programlamada amaç fonksiyonu katsayılarının ve kaynak kullanımlarının, karar değişkenlerinin değerleriyle çarpılıp toplanmasıyla elde edilmesini sağlar. Bu varsayıma göre, bir faaliyetin gerçekleştirilmesi diğer bir faaliyetin katkısını artırmaz veya azaltmaz (sinerji veya zıt etki yoktur).

Adım Adım Çözüm

1

Sorudaki senaryoyu analiz edin.

Senaryoda 'toplam kârın, tekil kârların toplamına eşit olması' ve 'sinerji veya etkileşim bulunmaması' ifadeleri vurgulanmaktadır.

Doğrusal programlama modelinin temel varsayımlarından hangisinin toplamsal yapıyı ve etkileşimsizliği tanımladığını belirlemek gerekir.

2

Doğrusal programlamanın dört temel varsayımını (aksiyomunu) hatırlayın.

Bu varsayımlar: Oransallık (proportionality), Toplanabilirlik (additivity), Bölünebilirlik (divisibility) ve Belirlilik (certainty) şeklindedir.

Her bir varsayımın DP modelinin matematiksel yapısı üzerindeki farklı bir kısıtlamayı/kabulu temsil ettiğini ayırt etmek önemlidir.

3

Tanımı doğru kavramla eşleştirin.

Toplamın parçaların toplamına eşit olması ve

x_1

ile

x_2

arasında çapraz bir etkinin bulunmaması durumu 'Toplanabilirlik' varsayımıdır.

Toplanabilirlik, faaliyetler arasındaki bağımsızlığı garanti eden aksiyomdur.

Anahtar Kavram

Toplanabilirlik (Additivity) Varsayımı

Tahmini Süre:45s

Soru 48Soru →

Aşağıda bir doğrusal programlama modeli verilmiştir:

Maksimum \ Z = 3x_1 + 4x_2

Kısıtlar:

x_1 + x_2 \leq 8

x_1 \geq 2

x_2 \geq 1

Bu model grafik çözüm yöntemi ile çözüldüğünde, uygun çözüm bölgesinin köşe noktaları üzerinden elde edilebilecek en büyük amaç fonksiyonu ( $Z$ ) değeri kaçtır?

30

32

24

10

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Modelin en büyük amaç fonksiyonu değeri 30'dur.

Modelin kısıtları tarafından belirlenen uygun çözüm bölgesinin köşe noktaları

(2, 1)

,

(7, 1)

ve

(2, 6)

noktalarıdır. Bu noktalar amaç fonksiyonunda (

Z = 3x_1 + 4x_2

) yerine konulduğunda, en yüksek değer olan 30 sonucu

(2, 6)

noktasında elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıt doğrularını belirleme ve uygun çözüm bölgesini çizme

x_1 + x_2 = 8

,

x_1 = 2

ve

x_2 = 1

doğruları çizilir. Kısıtların yönlerine (

x_1+x_2 \leq 8, x_1 \geq 2, x_2 \geq 1

) göre ortak bölge belirlenir.

Grafik yöntemde ilk adım, kısıtların sınırlarını belirleyerek tüm kısıtları aynı anda sağlayan uygun çözüm alanını bulmaktır.

2

Uygun çözüm bölgesinin köşe noktalarını hesaplama

Doğruların kesişimlerinden köşe noktaları

(2, 1)

,

(7, 1)

ve

(2, 6)

olarak bulunur.

Doğrusal programlama teorisine göre optimum çözüm, uygun çözüm bölgesinin uç (köşe) noktalarından birinde gerçekleşir.

3

Her bir köşe noktası için amaç fonksiyonu (

Z

) değerini hesaplama

Z(2, 1) = 3(2) + 4(1) = 10

;

Z(7, 1) = 3(7) + 4(1) = 25

;

Z(2, 6) = 3(2) + 4(6) = 30

.

Hesaplanan değerler arasında en büyük olanı, maksimizasyon probleminin optimum sonucudur.

Anahtar Kavram

Grafik Çözüm Yönteminde Köşe Noktaları Analizi

İpuçları

1

Kısıtları grafik üzerinde çizerek üçgen şeklindeki uygun çözüm bölgesini belirleyin.

2

Belirlediğiniz uygun bölgenin köşe noktalarını (kesişim noktalarını) bulun.

3

(2,1)

,

(7,1)

ve

(2,6)

noktalarını amaç fonksiyonunda deneyerek en büyük sonucu bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer problem bir minimizasyon problemi olsaydı, hangi değerin doğru cevap olacağını düşününüz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 49Soru →

Simpleks algoritması kullanılarak çözülen bir doğrusal programlama modelinde, iterasyonlar sırasında ulaşılan bir temel çözümde en az bir temel değişkenin değerinin sıfıra ( $0$ ) eşit olması durumu aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

Dejenerelik (Bozulma)

Sınırsızlık (Unboundedness)

Uygunsuzluk (Infeasibility)

Çoklu Optimal Çözüm

Artıklık (Redundancy)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Dejenerelik (Bozulma)

Cevap

Temel değişkenlerden en az birinin değerinin sıfır olması durumu dejenerelik (bozulma) olarak adlandırılır.

Doğrusal programlamada bir temel çözümde yer alan temel değişkenlerden bir veya daha fazlasının sıfır değerini alması durumuna dejenerelik (bozulma) denir. Bu durum genellikle Simpleks yönteminde anahtar satır seçimi için yapılan oran testinde en küçük değerin birden fazla satırda çıkması (beraberlik) sonucu oluşur.

Adım Adım Çözüm

1

Simpleks tablosundaki temel çözüm değerlerini (sağ taraf sabitlerini) incelemek.

Temel değişkenler sütununda yer alan bir değişkenin karşısındaki çözüm değerinin

0

olduğu tespit edilir.

Özel durumların tespiti için çözüm değerlerinin ve amaç fonksiyonu katsayılarının analizi gereklidir.

2

Elde edilen bulguyu doğrusal programlama özel durum tanımlarıyla eşleştirmek.

Temel çözümde sıfır değerli değişken bulunması 'Dejenerelik' tanımına karşılık gelir.

Dejenerelik, pivot seçimi sırasında oran testinde bir bağ (eşitlik) oluşması sonucu ortaya çıkan yapısal bir durumdur.

Anahtar Kavram

Dejenerelik (Bozulma) Durumu

Daha Fazla Pratik

Dejenerelik durumunun Simpleks algoritmasında döngüye (cycling) neden olup olmayacağını araştırınız.

Alternatif Yöntem

Grafik yöntemde dejenerelik, ikiden fazla kısıt doğrusunun aynı uç noktada (köşede) kesişmesi olarak gözlemlenebilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 50Soru →

Bir kamu fidanlığında "Çam" ( $x_1$ ) ve "Sedir" ( $x_2$ ) olmak üzere iki tür fidan yetiştirilmektedir. Bir adet çam fidanının satışından elde edilen kâr $10$ TL, bir adet sedir fidanının satışından elde edilen kâr ise $12$ TL'dir. Fidanların yetiştirilmesi için gerekli olan kaynaklar ve kapasiteler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kaynak	Çam ( $x_1$ )	Sedir ( $x_2$ )	Kapasite
Alan ( $m^2$ )	$2$	$1$	$500$
İş Gücü (saat)	$1$	$1$	$300$

Buna göre, fidanlıktaki toplam kârı en üst düzeye çıkarmayı amaçlayan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \max Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\geq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 12x_1 + 10x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \max Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Kâr maksimizasyonunu hedefleyen, kaynak sınırlarını küçük-eşit (<=) işaretleriyle gösteren ve negatif olmama kısıtını içeren model doğru modeldir.

Kârın maksimize edilmesi hedeflendiği için amaç fonksiyonu

\max

yönünde kurulmuş, birim kârlar katsayı olarak atanmış ve sınırlı kaynaklar olan alan ve iş gücü kısıtları 'en fazla' ifadesine uygun olarak

\leq

işaretiyle modellenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerinin belirlenmesi

x_1

= Yetiştirilen Çam fidanı sayısı,

x_2

= Yetiştirilen Sedir fidanı sayısı

Modelin temel bileşenlerini tanımlamak için değişkenler atanmalıdır.

2

Amaç fonksiyonunun oluşturulması

\max Z = 10x_1 + 12x_2

Toplam kârın en üst düzeye çıkarılması (maksimizasyon) hedeflenmektedir.

3

Kısıt denklemlerinin yazılması

Alan:

2x_1 + 1x_2 \leq 500

; İş Gücü:

1x_1 + 1x_2 \leq 300

Kaynaklar sınırlı (en fazla) olduğu için kısıtlar üst sınır belirtir.

4

Negatif olmama kısıtının eklenmesi

x_1, x_2 \geq 0

Üretim miktarları fiziksel olarak negatif değer alamaz.

Anahtar Kavram

Doğrusal Programlama Modeli Kurma

İpuçları

1

Problemin kâr maksimizasyonu mu yoksa maliyet minimizasyonu mu olduğunu belirleyin.

2

'En fazla' (üst sınır) ve 'en az' (alt sınır) ifadelerinin eşitsizlik yönlerini nasıl etkilediğine dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi maliyet minimizasyonu ve 'en az karşılanması gereken' kısıtlar üzerinden kurgulayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 51Soru →

Aşağıda iki karar değişkenli bir doğrusal programlama modeli verilmiştir:

\text{Minimize } Z = 4x_1 + 3x_2

Kısıtlayıcı Şartlar:

x_1 + x_2 \geq 5

x_1 \geq 2

x_1, x_2 \geq 0

Grafik çözüm yöntemine göre, bu modelin optimum (en küçük) amaç fonksiyonu değeri kaçtır?

8

15

17

20

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Modelin optimum değeri 17'dir.

Verilen modelde

x_1 + x_2 \geq 5

ve

x_1 \geq 2

kısıtlarının oluşturduğu sınırsız uygun çözüm bölgesinin iki uç noktası vardır:

(2, 3)

ve

(5, 0)

. Amaç fonksiyonu olan

Z = 4x_1 + 3x_2

ifadesi

(2, 3)

noktasında

17

değerini,

(5, 0)

noktasında ise

20

değerini alır. Problem bir minimizasyon problemi olduğu için daha küçük olan

17

değeri optimum sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıt doğrularını koordinat düzleminde çizin.

x_1 + x_2 = 5

doğrusu

(5,0)

ve

(0,5)

noktalarından geçer.

x_1 = 2

doğrusu ise düşey bir doğrudur.

Grafik çözümünde ilk adım uygun çözüm bölgesini belirlemek için sınır doğrularını çizmektir.

2

Eşitsizlik yönlerine göre uygun çözüm bölgesini belirleyin.

x_1 + x_2 \geq 5

ve

x_1 \geq 2

olduğu için her iki doğrunun sağ/üst tarafında kalan ortak bölge taranır.

Büyük-eşit kısıtları, doğruların orijinden uzak olan tarafını işaret eder.

3

Uygun çözüm bölgesinin köşe noktalarını tespit edin.

İki kısıtın kesişim noktası:

x_1 = 2

ise

2 + x_2 = 5 \Rightarrow x_2 = 3

. Köşe:

(2, 3)

. Diğer köşe:

x_2=0

ve

x_1+x_2=5

kesişimi olan

(5, 0)

.

Optimum çözüm her zaman uygun çözüm bölgesinin uç (köşe) noktalarından birindedir.

4

Köşe noktalarını amaç fonksiyonunda (

Z = 4x_1 + 3x_2

) yerine koyun.

Z(2, 3) = 4(2) + 3(3) = 8 + 9 = 17

ve

Z(5, 0) = 4(5) + 3(0) = 20

.

Minimizasyon probleminde en küçük değeri veren nokta optimum çözümdür.

Anahtar Kavram

Grafik yöntemde uygun çözüm bölgesinin köşe noktalarının analizi

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemde kısıt yönlerini değiştirerek uygun çözüm bölgesinin nasıl kapalı bir alan haline gelebileceğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 52Soru →

Doğrusal programlama problemlerinin Simpleks algoritması ile çözümü sürecinde, bir iterasyondan diğerine geçişte anahtar satırın belirlenmesi amacıyla yapılan oran testi ( $min \{ b_i / a_{ij} \mid a_{ij} > 0 \}$ ) sonucunda, en küçük oran değerinin birden fazla kısıt satırı için aynı olduğu saptanmıştır. Bu durum, bir sonraki iterasyonda elde edilecek temel uygun çözüm ile ilgili aşağıdakilerden hangisine neden olur?

Problemin uygun bir çözümünün bulunmamasına (Uygunsuzluk)

Temel değişkenlerden en az birinin değerinin sıfıra eşit olmasına (Dejenerelik)

Amaç fonksiyonu değerinin sonsuza gitmesine (Sınırsızlık)

Problemin birden fazla alternatif optimal çözüme sahip olmasına

Algoritmanın çözüm sürecinin sonlanarak optimal tabloya ulaşılmasına

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Temel değişkenlerden en az birinin değerinin sıfıra eşit olmasına (Dejenerelik)

Cevap

Oran testindeki eşitlik durumu, bir sonraki çözümde en az bir temel değişkenin değerinin sıfır olmasına (dejenerelik) neden olur.

Simpleks yönteminde anahtar satır seçimi için yapılan oran testinde birden fazla satırın aynı minimum değeri vermesi, bir sonraki iterasyonda temel değişkenlerden en az birinin sıfır değerini alacağını gösterir. Bu durum literatürde 'dejenerelik' veya 'bozulma' (degeneracy) olarak adlandırılır.

Adım Adım Çözüm

1

Oran testinin amacını değerlendir

Oran testi, çözüm kümesinin (uygun bölge) sınırları dışına çıkmadan temelden ayrılacak olan değişkeni (anahtar satır) belirler.

Anahtar satır, uygun çözüm bölgesinin sınırlarını belirleyen kısıtları temsil eder.

2

Eşitlik (tie) durumunun etkisini incele

Birden fazla satırda aynı minimum oran çıktığında, giren değişken tabana girdiğinde bu satırlardaki tüm değişkenler aynı anda sıfıra ulaşır.

Değişkenlerin değişim hızları (katsayıları) ve mevcut değerleri arasındaki oran aynı olduğu için aynı anda sınır değerine ulaşırlar.

3

Sonuç aşamasını belirle

Yalnızca bir değişken temelden çıkabilirken, sıfıra düşen diğer değişkenler temel değişken olarak kalmaya devam eder (dejenerelik oluşur).

Temel çözümde sıfır değerli bir değişkenin bulunması, problemin dejenereliğe (bozulmaya) uğradığını tanımlar.

Anahtar Kavram

Simpleks Oran Testi ve Dejenerelik (Bozulma)

Tahmini Süre:45s

Soru 53Soru →

Bir işletmenin kâr maksimizasyonu amacıyla kurduğu doğrusal programlama modelinin başlangıç simpleks tablosu aşağıda sunulmuştur:

Temel Değişkenler	$Z$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$s_1$	$s_2$	Sağ Taraf
$Z$	1	-4	-6	-2	0	0	0
$s_1$	0	1	2	1	1	0	8
$s_2$	0	3	1	2	0	1	15

Buna göre, Simpleks algoritması kuralları çerçevesinde ilk iterasyonda temele giren değişken (anahtar sütun) aşağıdakilerden hangisidir?

x_2

x_1

x_3

s_1

s_2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x_2$

Cevap

İlk iterasyonda temele giren değişken

x_2

olmalıdır.

Doğrusal programlama maksimizasyon problemlerinde Simpleks tablosu okunurken, amaç fonksiyonu satırında (

Z

satırı) negatif katsayısı bulunan temel dışı değişkenlerden en küçük olanı (mutlak değerce en büyüğü) temele giren değişken (anahtar sütun) olarak seçilir. Tabloda

x_1

için

-4

,

x_2

için

-6

ve

x_3

için

-2

değerleri görülmektedir. En küçük değer

-6

olduğu için

x_2

değişkeni temele girer.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonu (

Z

) satırındaki katsayıları inceleyin.

Katsayılar:

x_1: -4

,

x_2: -6

,

x_3: -2

,

s_1: 0

,

s_2: 0

.

Maksimizasyon problemlerinde en yüksek kâr artışını sağlayacak değişkeni bulmak için

Z

satırına bakılır.

2

Z

satırındaki en küçük negatif katsayıyı belirleyin.

-6

değeri en küçük katsayıdır.

Mutlak değerce en büyük olan negatif katsayı, birim başına amaç fonksiyonu değerini en çok artıran değişkeni gösterir.

3

Seçilen katsayının hangi değişkene ait olduğunu bulun.

-6

katsayısı

x_2

sütununda yer almaktadır.

Seçilen sütun anahtar sütun olarak adlandırılır ve bu sütunun temsil ettiği değişken temele giren değişkendir.

Anahtar Kavram

Simpleks yönteminde anahtar sütun (temele giren değişken) seçimi, maksimizasyon problemlerinde amaç fonksiyonu satırındaki en küçük negatif katsayılı değişkenin belirlenmesi esasına dayanır.

Tahmini Süre:45s

Soru 54Soru →

Endüstriyel bir üretim sürecinin optimizasyonu için kurgulanan matematiksel model aşağıda verilmiştir:

\text{Maksimum } Z = 50x_1 + 80x_2

\text{Kısıtlar:}

x_1 + 2x_2 \leq 30

3x_1 + x_2 \geq 24

x_1 + x_2 = 18

x_1, x_2 \geq 0

Bu problemin başlangıç temel uygun çözümünü bulmak amacıyla Büyük-M (Big-M) yöntemi uygulanacaktır. Model standart forma getirilip ilk simpleks tablosu oluşturulduğunda ve yapay değişkenler amaç fonksiyonu satırından yok edilerek tablo iterasyona hazır hale getirildiğinde; $x_1$ , $x_2$ ve ikinci kısıta ait fazlalık (artık) değişkeni olan $e_1$ 'in ** $Z_j - C_j$ (net değerlendirme)** satırındaki değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

-4M - 50

,

\quad -2M - 80

,

\quad M

-3M - 50

,

\quad -M - 80

,

\quad M

4M + 50

,

\quad 2M + 80

,

\quad -M

4M - 50

,

\quad 2M - 80

,

\quad -M

-4M - 50

,

\quad -2M - 80

,

\quad -M

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-4M - 50$ , $\quad -2M - 80$ , $\quad M$

Cevap

Standart formda

Z_j - C_j

hesaplamaları sonucunda

x_1

için

-4M - 50

,

x_2

için

-2M - 80

ve

e_1

için

M

değerleri elde edilir.

Doğrusal programlama modelinin başlangıç temel uygun çözümü oluşturulurken

s_1

,

a_1

ve

a_2

temel değişkenler olarak seçilir.

C_B

vektörü maksimizasyon problemi olduğu için

[0, -M, -M]

olur.

Z_j - C_j

formülü her değişkenin sütun vektörü ile

C_B

çarpılıp kendisinin amaç fonksiyonundaki katsayısı çıkarılarak (

C_j

) bulunur.

x_1

için

0(1)-M(3)-M(1)-50 = -4M-50

;

x_2

için

0(2)-M(1)-M(1)-80 = -2M-80

;

e_1

için

0(0)-M(-1)-M(0)-0 = M

doğru sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Modeli standart forma dönüştürün ve maksimizasyon problemi için amaç fonksiyonunu güncelleyin.

Kısıt 1:

x_1 + 2x_2 + s_1 = 30

Kısıt 2:

3x_1 + x_2 - e_1 + a_1 = 24

Kısıt 3:

x_1 + x_2 + a_2 = 18

Amaç: Maks.

Z = 50x_1 + 80x_2 + 0s_1 + 0e_1 - Ma_1 - Ma_2

Eşitsizlikleri ve eşitlikleri denklem haline getirmek ve Büyük-M mantığıyla yapay değişkenleri cezalandırmak (-M) gereklidir.

2

Başlangıç temel çözümünü ve bu değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayı vektörünü (

C_B

) belirleyin.

Temel değişkenler:

s_1

,

a_1

,

a_2

. Bunların katsayıları sırasıyla

C_B = [0, -M, -M]

şeklindedir.

Orijine en yakın ilk geçerli kimlik matrisini oluşturan değişkenler başlangıç temelini oluşturur.

3

x_1

değişkeni için

Z_j - C_j

değerini hesaplayın.

Z_1 - C_1 = [0, -M, -M] \cdot [1, 3, 1]^T - 50 = (0\cdot1) + (-M\cdot3) + (-M\cdot1) - 50 = -4M - 50

Net değerlendirme satırı formülü:

Z_j - C_j = \sum (C_{Bi} \cdot y_{ij}) - c_j

4

x_2

değişkeni için

Z_j - C_j

değerini hesaplayın.

Z_2 - C_2 = [0, -M, -M] \cdot [2, 1, 1]^T - 80 = (0\cdot2) + (-M\cdot1) + (-M\cdot1) - 80 = -2M - 80

Aynı formül

x_2

'nin sütun vektörü ve amaç fonksiyonu katsayısı kullanılarak uygulanır.

5

e_1

(fazlalık) değişkeni için

Z_j - C_j

değerini hesaplayın.

Z_{e1} - C_{e1} = [0, -M, -M] \cdot [0, -1, 0]^T - 0 = (0\cdot0) + (-M\cdot-1) + (-M\cdot0) - 0 = M

Fazlalık değişkenleri kısıt denkleminden çıkarıldığı için sütun vektöründe ilgili satırda -1 değerini alır.

Anahtar Kavram

Büyük-M (Big-M) Yönteminde Başlangıç Tablosu Net Değerlendirme (

Z_j - C_j

) Hesaplamaları

Soru 55Soru →

Bir tarım müdürlüğü, çiftçilere dağıtılacak tohum ve gübre destek paketlerini planlamak için aşağıdaki doğrusal programlama modelini kurmuştur:

\min Z = 10x_1 + 15x_2

Kısıtlar:

x_1 + x_2 \geq 10 \quad \text{(Minimum destek kotası)}

2x_1 + x_2 = 12 \quad \text{(Bütçe denklik kısıtı)}

x_1 \leq 8 \quad \text{(Stok sınırı)}

x_1, x_2 \geq 0

Bu model, başlangıç uygun temel çözümü bulmak amacıyla İki Evreli (Two-Phase) yöntem kullanılarak çözülecektir. Karar verici, birinci evre (Phase 1) için modeli standart forma dönüştürürken; birinci kısıt için $s_1$ artık (surplus) ve $a_1$ yapay değişkenini, ikinci kısıt için $a_2$ yapay değişkenini, üçüncü kısıt için ise $s_2$ aylak (slack) değişkenini modele eklemiştir.

Birinci evrenin amacı yapay değişkenlerin toplamını minimize etmek ( $\min W$ ) olarak belirlenmiştir.

Buna göre, birinci evrenin başlangıç simpleks tablosu oluşturulurken temel değişkenlerin ( $a_1$ ve $a_2$ ) sıfırıncı satırdaki ( $W$ amaç fonksiyonu satırı) katsayılarını sıfırlamak için yapılan cebirsel işlemler sonucunda, tabloya yazılacak olan ** $W$ satırı denklemi** aşağıdakilerden hangisidir?

W + 3x_1 + 2x_2 - s_1 = 22

W + 3x_1 + 2x_2 + s_1 = 22

W - 3x_1 - 2x_2 + s_1 = 22

W - 3x_1 - 2x_2 + s_1 = -22

W + 10x_1 + 15x_2 = 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $W + 3x_1 + 2x_2 - s_1 = 22$

Cevap

İki evreli yöntemin birinci evresi için hazırlanan başlangıç simpleks tablosunda doğru W satırı denklemi

W + 3x_1 + 2x_2 - s_1 = 22

şeklinde olmalıdır.

İki evreli yöntemin birinci evresinde amaç, eklenen yapay değişkenlerin toplamını minimize etmektir (min W = a_1 + a_2). Kısıtlardan yapay değişkenler çekildiğinde a_1 = 10 - x_1 - x_2 + s_1 ve a_2 = 12 - 2x_1 - x_2 bulunur. Bunlar W fonksiyonunda yerine yazıldığında W = 22 - 3x_1 - 2x_2 + s_1 elde edilir. Simpleks tablosuna aktarım için tüm değişkenler eşitliğin sol tarafına taşındığında işaretleri değişir ve doğru denklem olan W + 3x_1 + 2x_2 - s_1 = 22 denklemi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıtları standart forma dönüştür.

1. Kısıt:

x_1 + x_2 - s_1 + a_1 = 10

2. Kısıt:

2x_1 + x_2 + a_2 = 12

3. Kısıt:

x_1 + s_2 = 8

Yapay değişkenler (a_1 ve a_2), büyük eşit ve eşitlik kısıtlarında başlangıç temel çözümünü sağlamak için eklenir. Büyük eşit kısıtından ayrıca artık değişken (-s_1) çıkarılır.

2

Birinci evre amaç fonksiyonunu (W) tanımla ve yapay değişkenleri yalnız bırak.

Amacımız:

\min W = a_1 + a_2

Kısıtlardan:

a_1 = 10 - x_1 - x_2 + s_1

a_2 = 12 - 2x_1 - x_2

Simpleks tablosunda temel değişkenlerin sıfırıncı satırdaki katsayıları sıfır olmalıdır. Bu yüzden W fonksiyonundaki a_1 ve a_2 yerine kısıtlardaki eşitlikleri yazılmalıdır.

3

Yalnız bırakılan ifadeleri W fonksiyonunda yerine koy.

W = (10 - x_1 - x_2 + s_1) + (12 - 2x_1 - x_2)

W = 22 - 3x_1 - 2x_2 + s_1

Bu işlem, W amaç fonksiyonunu temel olmayan değişkenler (

x_1, x_2, s_1

) cinsinden ifade etmemizi sağlar.

4

Denklemi simpleks tablosu formatına uygun hale getir.

Tüm değişkenleri sol tarafa, sabit sayıyı sağ tarafa alarak:

W + 3x_1 + 2x_2 - s_1 = 22

elde edilir.

Simpleks tablosu sıfırıncı satırına katsayıları aktarabilmek için tüm değişkenlerin eşitliğin aynı tarafında toplanması standart prosedürdür.

Anahtar Kavram

İki Evreli Yöntemde (Two-Phase Method) birinci evre amaç fonksiyonunun (W) kurulması ve temel değişkenlerin sıfırıncı satırdan yok edilerek başlangıç tablosuna aktarılması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 56Soru →

Bir işletmenin kârını maksimize etmek amacıyla kurduğu, tüm kısıtları " $\leq$ " şeklinde olan bir doğrusal programlama modelinin optimal simpleks tablosu aşağıda verilmiştir. Başlangıç modelinde $s_1$ ve $s_2$ sırasıyla birinci ve ikinci kısıtların aylak (gevşek) değişkenlerini temsil etmektedir.

Temel Değişken	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm
$x_2$	$0$	$1$	$1$	$-1$	$10$
$x_1$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$20$
$Z_j - C_j$	$0$	$0$	$3$	$4$	$240$

Buna göre, bu modelin başlangıç amaç fonksiyonundaki $c_1$ ( $x_1$ 'in katsayısı) ve $c_2$ ( $x_2$ 'nin katsayısı) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

7

ve

10

10

ve

7

3

ve

4

-1

ve

5

10

ve

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7$ ve $10$

Cevap

c_1

değeri

7

,

c_2

değeri

10

'dur.

Doğru cevap

7

ve

10

'dur. Simpleks yönteminin temel teorisine göre, başlangıçta birim matris altında olan aylak değişkenlerin optimal tablodaki konumları bize ters matrisi (

B^{-1}

) ve gölge fiyatları (

y

) verir.

B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

ve

y = (3, 4)

'tür. Temel değişkenler tablodaki sırasıyla

x_2

ve

x_1

olduğu için

c_B = (c_2, c_1)

olur.

y = c_B \cdot B^{-1}

formülünden kurulan denklem sistemi çözüldüğünde

c_1 = 7

ve

c_2 = 10

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Optimal tablodan ters temel matrisi (

B^{-1}

) ve gölge fiyatlar vektörünü (

y

) belirleyin.

Aylak değişkenler olan

s_1

ve

s_2

'nin altındaki değerler

B^{-1}

matrisini verir:

B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

. Aynı sütunların

Z_j - C_j

satırındaki değerleri gölge fiyatlarıdır:

y = (3, 4)

.

Simpleks yönteminin matrisyel gösteriminde, başlangıçta birim matris oluşturan aylak değişkenlerin optimal tablodaki katsayıları doğrudan

B^{-1}

'i, amaç satırındaki değerleri ise dual çözüm değerlerini (

y

) gösterir.

2

Temel değişken vektörünü (

c_B

) tablodaki sıraya göre tanımlayın.

Tabloda 1. satırda

x_2

, 2. satırda

x_1

bulunmaktadır. Bu nedenle

c_B

vektörü

(c_2, c_1)

şeklindedir.

Matris çarpımlarında sıralama esastır. Hangi değişken hangi satırda temel değişkense, amaç fonksiyonundaki katsayısı da o sırada yazılmalıdır.

3

y = c_B \cdot B^{-1}

temel ilişkisini kullanarak denklem sistemini kurun.

(3, 4) = (c_2, c_1) \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

eşitliği yazılır.

Optimal çözümde gölge fiyatlar vektörü (

y

), temel değişkenlerin amaç fonksiyonu katsayıları (

c_B

) ile ters temel matrisin (

B^{-1}

) çarpımına eşittir.

4

Oluşan denklem sistemini çözerek

c_1

ve

c_2

değerlerini bulun.

Denklemler:

c_2 - c_1 = 3

ve

-c_2 + 2c_1 = 4

. Taraf tarafa toplandığında

c_1 = 7

bulunur. İlk denklemde yerine konduğunda

c_2 - 7 = 3 \Rightarrow c_2 = 10

elde edilir.

Doğrusal denklem sistemi çözülerek orijinal amaç fonksiyonundaki

x_1

ve

x_2

katsayılarına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Simpleks Tablosunda Matrisyel İlişkiler ve Gölge Fiyatlar

Soru 57Soru →

Bir endüstri mühendisi, bir üretim sürecini optimize etmek amacıyla karar değişkenlerinden birinin miktar, diğerinin ise pozitif veya negatif değer alabilen bir kalite sapması olduğu aşağıdaki doğrusal programlama modelini kurmuştur:

\text{Maksimum } Z = 12x_1 + 8x_2

Kısıtlar:

3x_1 + 2x_2 \leq 24

4x_1 - x_2 \geq 10

x_1 \geq 0, x_2 \text{ işaretsiz}

Bu modelin duali alındığında, birinci kısıta karşılık gelen dual karar değişkeni $y_1$ ve ikinci kısıta karşılık gelen dual karar değişkeni $y_2$ olmak üzere, elde edilecek doğru dual model aşağıdakilerden hangisidir?

\text{Min } W = 24y_1 + 10y_2

Kısıtlar:

3y_1 + 4y_2 \geq 12

2y_1 - y_2 = 8

y_1 \geq 0, y_2 \leq 0

\text{Min } W = 24y_1 + 10y_2

Kısıtlar:

3y_1 + 4y_2 \geq 12

2y_1 - y_2 \geq 8

y_1 \geq 0, y_2 \geq 0

\text{Maks } W = 24y_1 + 10y_2

Kısıtlar:

3y_1 + 4y_2 \leq 12

2y_1 - y_2 \leq 8

y_1 \geq 0, y_2 \leq 0

\text{Min } W = 24y_1 + 10y_2

Kısıtlar:

3y_1 + 4y_2 \leq 12

2y_1 - y_2 = 8

y_1 \text{ işaretsiz}, y_2 \geq 0

\text{Min } W = 24y_1 + 10y_2

Kısıtlar:

3y_1 + 4y_2 \geq 12

2y_1 - y_2 \leq 8

y_1 \geq 0, y_2 \text{ işaretsiz}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{Min } W = 24y_1 + 10y_2$
Kısıtlar:
$3y_1 + 4y_2 \geq 12$
$2y_1 - y_2 = 8$
$y_1 \geq 0, y_2 \leq 0$

Cevap

Doğru dual model, amaç fonksiyonunun Minimum olduğu, birinci kısıt yönünden dolayı y1 >= 0 ve ikinci kısıt yönünden dolayı y2 <= 0 sınır koşullarına sahip, x2'nin işaretsiz olmasından dolayı da ikinci dual kısıtın eşitlik olduğu modeldir.

Primal model Maksimum yapısında olduğundan duali Minimum olur. Birinci kısıt

\leq

yönünde olduğu için

y_1 \geq 0

, ikinci kısıt

\geq

yönünde olduğu için

y_2 \leq 0

sınır koşuluna sahiptir. Ayrıca primaldeki

x_2

değişkeni işaretsiz (unrestricted) olduğundan, buna karşılık gelen ikinci dual kısıt bir eşitlik (

=

) olmalıdır. Doğru model, tüm bu simetrik dualite kurallarının eksiksiz uygulandığı modeldir.

Adım Adım Çözüm

1

Primal modelin amaç fonksiyonu ve kısıt yönleri incelenir.

Amaç fonksiyonu Maksimum olduğundan, dual model Minimum olmalıdır. Birinci kısıt (<=) ve ikinci kısıt (>=) yapısındadır.

Dualite kurallarına göre optimizasyon yönü değişir ve kısıt tipleri dual değişkenlerin işaret sınırlarını belirler.

2

Kısıt işaretlerine göre dual değişkenlerin sınır koşulları belirlenir.

1. kısıt (<=) Maksimum model için standart olduğundan

y_1 \geq 0

olur. 2. kısıt (>=) standart dışı olduğundan

y_2 \leq 0

olur.

Maksimum modelde standart kısıt yönü pozitif dual değişkene, ters kısıt yönü negatif dual değişkene karşılık gelir.

3

Primal değişkenlerin işaretlerine göre dual kısıtların yönleri belirlenir.

x_1 \geq 0

olduğundan 1. dual kısıt (>=) olmalıdır (Minimum için standart).

x_2

işaretsiz olduğundan 2. dual kısıt (=) eşitlik olmalıdır.

Primalde standart pozitif değişken standart kısıt yönü üretirken, işaretsiz değişken daima eşitlik kısıtı oluşturur.

4

Katsayılar transpoze edilerek model yazılır.

Amaç:

\text{Min } W = 24y_1 + 10y_2

. 1. Kısıt:

3y_1 + 4y_2 \geq 12

. 2. Kısıt:

2y_1 - y_2 = 8

.

Sağ taraf sabitleri dualin amaç katsayılarını, amaç katsayıları ise dualin sağ taraf kısıt sınırlarını oluşturur.

Anahtar Kavram

Dualite Dönüşüm Kuralları ve İşaretsiz Değişkenler

Alternatif Yöntem

Primal modeldeki ikinci kısıtı eksi (-1) ile çarparak (

-4x_1 + x_2 \leq -10

) tüm kısıtları Maksimum model için standart olan

\leq

formuna getirebilirsiniz. Bu durumda dual değişken

y_2' \geq 0

olur ve dual amaç fonksiyonu

\text{Min } W = 24y_1 - 10y_2'

şeklini alır. Bu yöntem,

y_2 = -y_2'

dönüşümü yapıldığında, verilen doğru formülasyon ile tamamen aynıdır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 58Soru →

Bir üretim işletmesi için oluşturulan doğrusal programlama primal modeli aşağıda verilmiştir:

\text{Maks } Z = 7x_1 + 3x_2 - 5x_3

Kısıtlar:

2x_1 - x_2 + 4x_3 \leq 25

x_1 + 3x_2 - x_3 \geq 12

x_1 \geq 0, \ x_2 \text{ işaretsiz}, \ x_3 \leq 0

Buna göre, bu primal modele ait dual (ikil) model aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 = 3 \\ 4y_1 - y_2 \leq -5 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 \leq 0 \end{array}

\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 = 3 \\ 4y_1 - y_2 \leq -5 \\ y_1, y_2 \geq 0 \end{array}

\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 \geq 3 \\ 4y_1 - y_2 \geq -5 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 \leq 0 \end{array}

\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 \geq 3 \\ 4y_1 - y_2 \leq -5 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 \text{ işaretsiz} \end{array}

\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 = 3 \\ 4y_1 - y_2 \geq -5 \\ y_1, y_2 \geq 0 \end{array}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{array}{l} \text{Min } W = 25y_1 + 12y_2 \\ 2y_1 + y_2 \geq 7 \\ -y_1 + 3y_2 = 3 \\ 4y_1 - y_2 \leq -5 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 \leq 0 \end{array}$

Cevap

Doğru dual modelde amaç fonksiyonu Min W = 25y₁ + 12y₂, kısıtlar 2y₁ + y₂ ≥ 7, -y₁ + 3y₂ = 3, 4y₁ - y₂ ≤ -5 şeklinde olmalı ve değişken işaretleri y₁ ≥ 0, y₂ ≤ 0 olarak belirlenmelidir.

Primal model Maksimum yapısında olduğundan dual model Minimum olur. Primal kısıtlarındaki (≤) yönü y₁ ≥ 0, (≥) yönü ise y₂ ≤ 0 olmasını gerektirir. Primal değişkenlerden x₁ ≥ 0 olduğu için birinci dual kısıt (≥), x₂ işaretsiz olduğu için ikinci dual kısıt (=), x₃ ≤ 0 olduğu için üçüncü dual kısıt (≤) olmalıdır. Verilen katsayılarla kısıtlar transpoze edilerek oluşturulduğunda doğru yapı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunu dönüştür.

Min W = 25y₁ + 12y₂ elde edilir.

Primal model 'Maksimum' olduğundan dual model 'Minimum' olur. Primal kısıtların sağ taraf sabitleri (25 ve 12), dual amaç fonksiyonunun katsayılarına dönüşür.

2

Dual değişkenlerin işaretlerini belirle.

y₁ ≥ 0 ve y₂ ≤ 0 olarak bulunur.

Maksimum primal modelde (≤) yönlü kısıt ≥ 0 değerli dual değişken, (≥) yönlü kısıt ise ≤ 0 değerli dual değişken üretir.

3

Dual kısıtların yönlerini belirle.

1. kısıt (≥), 2. kısıt (=) ve 3. kısıt (≤) olur.

Primal değişken x₁ ≥ 0 olduğundan 1. kısıt (≥), x₂ işaretsiz olduğundan 2. kısıt (=), x₃ ≤ 0 olduğundan 3. kısıt (≤) olarak kurgulanır.

4

Dual kısıt denklemlerini katsayı matrisinin transpozu ile oluştur.

2y₁ + y₂ ≥ 7, -y₁ + 3y₂ = 3 ve 4y₁ - y₂ ≤ -5 eşitsizlikleri yazılır.

Primal modelin x₁, x₂ ve x₃ sütun katsayıları sırasıyla dual modelin 1., 2. ve 3. satır katsayılarına dönüşür. Eşitsizliklerin sağ taraf sabitleri ise primal amaç fonksiyonunun katsayılarından (7, 3, -5) alınır.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlamada primal (Maksimum) modelden dual (Minimum) modele geçiş kuralları şöyledir:

Primal Model (Maksimum)	Dual Model (Minimum)
$i.$ Kısıt $\leq$	$y_i \geq 0$
$i.$ Kısıt $\geq$	$y_i \leq 0$
$i.$ Kısıt $=$	$y_i$ işaretsiz
$x_j \geq 0$	$j.$ Kısıt $\geq$
$x_j \leq 0$	$j.$ Kısıt $\leq$
$x_j$ işaretsiz	$j.$ Kısıt $=$

Soru 59Soru →

Bir işletmenin üretim planlama süreci için oluşturulan doğrusal programlama modeli aşağıda verilmiştir:

\text{Maksimum } Z = 7x_1 + 4x_2 - 2x_3

Kısıtlar:

3x_1 + x_2 + 5x_3 \leq 40

2x_1 - 4x_2 + x_3 \geq 12

x_1 \geq 0, \ x_3 \geq 0

x_2 \text{ işaretsizdir.}

Buna göre, verilen primal modelin dual (ikil) modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \text{Min } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\geq 7 \\ y_1 - 4y_2 &= 4 \\ 5y_1 + y_2 &\geq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\leq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Min } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\geq 7 \\ y_1 - 4y_2 &\geq 4 \\ 5y_1 + y_2 &\geq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Min } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\geq 7 \\ y_1 - 4y_2 &= 4 \\ 5y_1 + y_2 &\geq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\leq 7 \\ y_1 - 4y_2 &= 4 \\ 5y_1 + y_2 &\leq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\leq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Min } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\geq 7 \\ y_1 - 4y_2 &\leq 4 \\ 5y_1 + y_2 &\geq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\text{ işaretsiz} \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \text{Min } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\geq 7 \\ y_1 - 4y_2 &= 4 \\ 5y_1 + y_2 &\geq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\leq 0 \end{aligned}$

Cevap

Min W = 40y_1 + 12y_2 amaç fonksiyonuna sahip olan, y_2 <= 0 şartını ve x_2'den kaynaklı y_1 - 4y_2 = 4 eşitlik kısıtını barındıran seçenektir.

Primal model bir maksimizasyon problemi olduğundan dual model minimizasyon olmalıdır. Sağ taraf sabitleri (40 ve 12) dual amaç fonksiyonunun katsayıları olur. Maksimizasyon probleminde normal kısıt (<=) sıfırdan büyük eşit dual değişken (y_1 >= 0), anormal kısıt (>=) ise sıfırdan küçük eşit dual değişken (y_2 <= 0) üretir. Primal değişkenlerden x_1 ve x_3 pozitif tanımlı olduğundan bunlara karşılık gelen 1. ve 3. dual kısıtlar normal yönde (>=), x_2 işaretsiz olduğundan 2. dual kısıt eşitlik (=) şeklinde olmalıdır. Doğru seçenek tüm bu koşulları tam olarak sağlayan modeldir.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunu dönüştürme

Min W = 40y_1 + 12y_2

Primal model Maksimum olduğundan Dual model Minimum olmalıdır. Primal modelin kısıtlarındaki sağ taraf sabitleri (40 ve 12), dual modelin amaç fonksiyonu katsayıları olur.

2

Dual değişkenlerin işaretlerini belirleme

y_1 >= 0 ve y_2 <= 0

Maksimizasyon probleminde normal kısıt (<=) yönündedir ve >= 0 dual değişken üretir (y_1 >= 0). Anormal kısıt (>=) yönündedir ve <= 0 dual değişken üretir (y_2 <= 0).

3

Dual kısıtların yönlerini belirleme

1. kısıt (>=), 2. kısıt (=), 3. kısıt (>=)

Minimizasyon probleminde normal dual kısıt (>=) yönündedir. x_1 ve x_3 pozitif (>= 0) olduğundan ilgili dual kısıtlar (>=) olur. x_2 işaretsiz olduğundan 2. dual kısıt eşitlik (=) şeklinde olmalıdır.

4

Dual kısıtları oluşturma

3y_1 + 2y_2 >= 7
y_1 - 4y_2 = 4
5y_1 + y_2 >= -2

Primal amaç fonksiyonu katsayıları (7, 4, -2) dual kısıtların sağ taraf sabitleri olur. Karar değişkenlerinin sütun katsayıları sırasıyla dual modelin kısıt denklemlerini oluşturur.

Anahtar Kavram

Primal-Dual Dönüşüm Kuralları

Soru 60Soru →

Bir devlet araştırma enstitüsü, laboratuvar test kitlerinin üretim sürecini optimize etmek amacıyla bir matematiksel model kurmayı planlamaktadır. Süreç analizi sırasında elde edilen aşağıdaki iki bulgu, standart bir doğrusal programlama modelinin kurgulanmasını zorlaştırmaktadır:

I. Üretimde kullanılacak temel bileşenlerin tedarik sürelerinin ve birim reaksiyon zamanlarının kesin olmadığı; ortam koşullarına bağlı olarak $\pm \%5$ aralığında rassallık içerdiği saptanmıştır.
II. X ve Y türü kitlerin aynı üretim bandında ardışık olarak üretilmesi durumunda, bant hazırlık sürelerinde sinerji oluştuğu ve bu iki ürünün birlikte üretilmesinin sisteme sağladığı toplam katkının, ayrı ayrı üretildiklerindeki katkılarının toplamından daha büyük olduğu gözlemlenmiştir.

Buna göre, belirtilen bulgular standart doğrusal programlamanın sırasıyla hangi temel varsayımları ile doğrudan çelişmektedir?

Belirlilik - Toplanabilirlik

Belirlilik - Oransallık

Oransallık - Toplanabilirlik

Bölünebilirlik - Oransallık

Bölünebilirlik - Belirlilik

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Belirlilik - Toplanabilirlik

Cevap

Belirlilik - Toplanabilirlik

I. bulguda ifade edilen değerlerin tahmini ve sapmaya açık olması durumu, standart doğrusal programlamada tüm parametrelerin sabit ve biliniyor olduğu 'Belirlilik' varsayımını ortadan kaldırır. II. bulguda ifade edilen iki ürünün birlikte üretilmesinden doğan sinerji (etkileşim) durumu ise, her bir faaliyetin modele katkısının diğer faaliyetlerden bağımsız olduğunu savunan 'Toplanabilirlik' varsayımını geçersiz kılar. Bu nedenle doğru eşleştirme Belirlilik - Toplanabilirlik şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

I. bulgudaki durumun analiz edilmesi.

Parametrelerin (sürelerin) kesin olarak bilinmeyip

\pm \%5

oranında sapma göstermesi, model katsayılarının sabit ve biliniyor olması gerektiği kuralına aykırıdır.

Bu durum doğrudan 'Belirlilik (Certainty)' varsayımının ihlal edildiğini gösterir.

2

II. bulgudaki durumun analiz edilmesi.

X ve Y kitlerinin birlikte üretilmesinin sağladığı katkının, bireysel katkıların toplamından büyük olması (sinerji), değişkenler arasında etkileşim olduğunu gösterir.

Değişkenlerin fonksiyon değerine katkılarının birbirinden bağımsız olması kuralına 'Toplanabilirlik (Additivity)' denir. Bu kural ihlal edilmiştir.

3

Bulguların eşleştirilmesi.

Sırasıyla Belirlilik ve Toplanabilirlik varsayımları ihlal edilmiştir.

Her iki bulgunun tanımı, standart doğrusal programlama varsayımlarının teorik çerçevesine uymaktadır.

Anahtar Kavram

Doğrusal Programlama Temel Varsayımları (Belirlilik ve Toplanabilirlik)

Doğrusal Programlama

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap