Examkin

Geometrik Dizi ve Özellikleri

39 soru

Tüm türler39Çoktan seçmeli21Sayısal9Boşluk doldurma9
Soru 21Soru →
Tüm terimleri pozitif olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde
a5−a3=12a4+a3=6\begin{aligned} a_5 - a_3 &= 12 \\ a_4 + a_3 &= 6 \end{aligned}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16\frac{1}{6}

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri 16\frac{1}{6} olarak bulunur.
Dizinin terimleri üçüncü terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında ortak çarpan 3 olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında üçüncü terim 3/2 elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi 1/6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini üçüncü terim (a3a_3) ve ortak çarpan (rr) cinsinden ifade etmek.
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 ve a4=a3⋅ra_4 = a_3 \cdot r ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler verilen denklemlerde yerine yazıldığında a3(r2−1)=12a_3(r^2 - 1) = 12 ve a3(r+1)=6a_3(r + 1) = 6 denklemleri elde edilir.
Denklemleri ortak terimler cinsinden yazıp sadeleştirebilmek için.
2
Elde edilen denklemleri taraf tarafa oranlamak.
a3(r2−1)a3(r+1)=126⇒r−1=2⇒r=3\frac{a_3(r^2 - 1)}{a_3(r + 1)} = \frac{12}{6} \Rightarrow r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3 olarak bulunur.
Dizinin ortak çarpanını (rr) elde etmek için.
3
Bulunan rr değerini ikinci denklemde yerine yazarak a3a_3 değerini hesaplamak.
a3(3+1)=6⇒4a3=6⇒a3=32a_3(3 + 1) = 6 \Rightarrow 4a_3 = 6 \Rightarrow a_3 = \frac{3}{2} bulunur.
Dizinin üçüncü terimine ulaşıp ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak için.
4
Geometrik dizinin genel terim ilişkisini kullanarak birinci terimi (a1a_1) bulmak.
a1=a3r2⇒a1=3/29=16a_1 = \frac{a_3}{r^2} \Rightarrow a_1 = \frac{3/2}{9} = \frac{1}{6} olarak hesaplanır.
Soruda istenen birinci terim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik Dizilerde Terimler Arasındaki İlişki ve Ortak Çarpan Bulma

Alternatif Yöntem

Dizinin terimlerini doğrudan birinci terim ve ortak çarpan cinsinden yazarak denklemleri taraf tarafa oranlayıp ortak çarpana ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 22Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
log⁡2(a1)+log⁡2(a15)=12\log_2(a_1) + \log_2(a_{15}) = 12
log⁡2(a5)⋅log⁡2(a11)=32\log_2(a_5) \cdot \log_2(a_{11}) = 32
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ikinci terimi (a2a_2) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ikinci terimi 4'tür.
Geometrik dizinin terimlerinin 2 tabanındaki logaritması alındığında ortak farkı d=log⁡2(r)d = \log_2(r) olan bir aritmetik dizi elde edilir. Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşit olduğundan x1+x15=x5+x11=12x_1 + x_{15} = x_5 + x_{11} = 12 olur. Çarpımları da 32 olarak verildiğinden, bu iki terim t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için x5=4x_5 = 4 ve x11=8x_{11} = 8 bulunur. Buradan ortak fark d=2/3d = 2/3 ve dizinin ikinci teriminin logaritması x2=x5−3d=2x_2 = x_5 - 3d = 2 elde edilir. Sonuç olarak a2=22=4a_2 = 2^2 = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma dönüşümü ile geometrik diziyi aritmetik diziye dönüştürme
xn=log⁡2(an)x_n = \log_2(a_n) tanımlanırsa, (xn)(x_n) dizisi bir aritmetik dizi belirtir. Dizinin ortak farkı d=log⁡2(r)d = \log_2(r) olur. (an)(a_n) dizisi pozitif terimli ve artan olduğundan r>1r > 1 ve dolayısıyla d>0d > 0'dır.
Geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklindedir. Her iki tarafın 2 tabanında logaritması alındığında log⁡2(an)=log⁡2(a1)+(n−1)log⁡2(r)\log_2(a_n) = \log_2(a_1) + (n-1)\log_2(r) elde edilir. Bu da aritmetik dizi formülüdür.
2
Aritmetik dizi özelliklerini kullanarak terimler arası ilişkileri belirleme
x1+x15=12x_1 + x_{15} = 12 eşitliği kullanılarak x5+x11=12x_5 + x_{11} = 12 elde edilir.
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (1+15=5+11=161 + 15 = 5 + 11 = 16 olduğundan x1+x15=x5+x11x_1 + x_{15} = x_5 + x_{11} olur).
3
İkinci dereceden denklem kurup çözerek x5x_5 ve x11x_{11} terimlerini bulma
x5+x11=12x_5 + x_{11} = 12 ve x5⋅x11=32x_5 \cdot x_{11} = 32 denklemlerinden x5=4x_5 = 4 ve x11=8x_{11} = 8 bulunur.
Toplamları 12 ve çarpımları 32 olan sayılar, t2−12t+32=0t^2 - 12t + 32 = 0 denkleminin kökleridir. Bu denklem (t−4)(t−8)=0(t-4)(t-8) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Dizi artan olduğundan x5<x11x_5 < x_{11} olmalıdır.
4
Aritmetik dizinin ortak farkını (dd) ve hedef terim x2x_2'yi bulma
d=23d = \frac{2}{3} ve x2=2x_2 = 2 bulunur.
x11=x5+6d  ⟹  8=4+6d  ⟹  6d=4  ⟹  d=23x_{11} = x_5 + 6d \implies 8 = 4 + 6d \implies 6d = 4 \implies d = \frac{2}{3} olur. Buradan x2=x5−3d=4−3(23)=2x_2 = x_5 - 3d = 4 - 3\left(\frac{2}{3}\right) = 2 elde edilir.
5
Bulunan değeri geometrik dizi terimine geri dönüştürme
a2=4a_2 = 4 olarak bulunur.
x2=log⁡2(a2)=2  ⟹  a2=22=4x_2 = \log_2(a_2) = 2 \implies a_2 = 2^2 = 4 olur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin logaritmasının aritmetik dizi oluşturması ve aritmetik dizi terimlerinin simetri özelliği
Soru 23Soru →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri doğru değerlerle doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−2x - 2, x+1x + 1 ve 2x+22x + 2 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı ve xx değeri olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2, x değeri ise 5'tir.
Dizinin terimlerinin pozitif gerçel sayılar olabilmesi için x değerinin 5 olması gerekir. Bu durumda ardışık terimler 3, 6, 12 olup ortak çarpan 2'ye eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç terim arasındaki geometrik dizi özelliğini kurma
(x+1)2=(x−2)(2x+2)(x + 1)^2 = (x - 2)(2x + 2) denklemi elde edilir.
Bir geometrik dizide ardışık üç terimden ortadakinin karesi, diğer iki terimin çarpımına eşittir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi sadeleştirip çözme
(x+1)2=2(x−2)(x+1)  ⟹  x+1=0(x + 1)^2 = 2(x - 2)(x + 1) \implies x + 1 = 0 veya x+1=2(x−2)x + 1 = 2(x - 2) olur. Buradan x=−1x = -1 veya x=5x = 5 değerleri bulunur.
Denklemin her iki tarafında bulunan (x+1)(x + 1) ��arpanını sadeleştirmeden önce sıfıra eşitleyerek köklerden birini buluruz, ardından sadeleştirme yaparak diğer köke ulaşırız.
3
Dizi terimlerinin pozitif olma koşulunu kontrol etme ve ortak çarpanı hesaplama
x=5x = 5 için terimler 3,6,123, 6, 12 olur. Ortak çarpan ise r=63=2r = \frac{6}{3} = 2 olarak bulunur.
x=−1x = -1 değeri için dizi terimleri pozitif olamayacağından bu değer elenir. x=5x = 5 değeriyle ardışık terimlerin oranı alınarak ortak çarpan bulunur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ardışık terimleri arasındaki oran sabiti ve terimler arası ilişki formülü
Soru 24Soru →
Bütün terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a52−a32=15a_5^2 - a_3^2 = 15
a4−a3=1a_4 - a_3 = 1
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi (a6a_6) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Dizinin ortak çarpanı r=2r = 2 ve üçüncü terimi a3=1a_3 = 1 olarak elde edildiğinde, a6=a3⋅r3a_6 = a_3 \cdot r^3 formülünden altıncı terim 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak, a4a_4 ve a5a_5 terimlerini a3a_3 ve ortak çarpan rr cinsinden ifade edelim.
a4=a3⋅ra_4 = a_3 \cdot r ve a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 elde edilir.
Tüm terimleri tek bir terim (a3a_3) ve ortak çarpan (rr) cinsinden yazarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.
2
Bulduğumuz ifadeleri verilen denklemlerde yerine koyalım.
a4−a3=1  ⟹  a3(r−1)=1  ⟹  a3=1r−1a_4 - a_3 = 1 \implies a_3(r-1) = 1 \implies a_3 = \frac{1}{r-1} ve a52−a32=15  ⟹  a32(r4−1)=15a_5^2 - a_3^2 = 15 \implies a_3^2(r^4-1) = 15 elde edilir.
Denklemleri tek bir değişkene bağlı hale getirip ortak çözebilmek için.
3
a3=1r−1a_3 = \frac{1}{r-1} ifadesini ikinci denklemde yerine yazarak iki kare farkı yardımıyla sadeleştirme yapalım.
(1r−1)2(r2−1)(r2+1)=15  ⟹  (r−1)(r+1)(r2+1)(r−1)2=15  ⟹  (r+1)(r2+1)r−1=15\left(\frac{1}{r-1}\right)^2 (r^2-1)(r^2+1) = 15 \implies \frac{(r-1)(r+1)(r^2+1)}{(r-1)^2} = 15 \implies \frac{(r+1)(r^2+1)}{r-1} = 15 elde edilir.
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirip çözülebilir bir r denklemi elde etmek için.
4
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenleyelim ve çözelim.
(r+1)(r2+1)=15(r−1)  ⟹  r3+r2+r+1=15r−15  ⟹  r3+r2−14r+16=0(r+1)(r^2+1) = 15(r-1) \implies r^3 + r^2 + r + 1 = 15r - 15 \implies r^3 + r^2 - 14r + 16 = 0 olur. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü r=2r = 2 olarak bulunur.
Dizinin ortak çarpanı olan r değerini belirlemek için.
5
r=2r = 2 değerini kullanarak dizinin üçüncü terimini (a3a_3) ve ardından bizden istenen altıncı terimini (a6a_6) hesaplayalım.
a3=12−1=1a_3 = \frac{1}{2-1} = 1 olur. Buradan a6=a3⋅r3=1⋅23=8a_6 = a_3 \cdot r^3 = 1 \cdot 2^3 = 8 bulunur.
Dizinin 6. teriminin değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terimi ve ardışık terimleri arasındaki ilişkiler
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 25Soru →

Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için an>0a_n > 0 olan ve ortak çarpanı 1'den büyük olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,

a1+a2+a3=7a_1 + a_2 + a_3 = 7
a12+a22+a32=21a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 21

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡4(a11)\log_4(a_{11}) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.
Doğru cevap 5 değeridir. Çarpanlara ayırma ve denklem sisteminin çözümünden dizinin ilk terimi 1, ortak çarpanı ise 2 olarak bulunur. Buradan dizinin 11. terimi 2102^{10} olur ve bunun 4 tabanındaki logaritması 5'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ilk terim a1=aa_1 = a ve ortak çarpan rr cinsinden ifade etmek.
a(1+r+r2)=7a(1 + r + r^2) = 7 ve a2(1+r2+r4)=21a^2(1 + r^2 + r^4) = 21 denklemleri elde edilir.
Terimleri ortak parametrelere bağlayarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.
2
1+r2+r41 + r^2 + r^4 ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla çarpanlarına ayırmak.
1+r2+r4=(1+r+r2)(1−r+r2)1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2) özdeşliği kullanılarak ikinci denklem a2(1+r+r2)(1−r+r2)=21a^2(1 + r + r^2)(1 - r + r^2) = 21 şeklinde yazılır.
Birinci denklemde verilen toplam ifadesini ikinci denklem içinde bulup yerine yazabilmek.
3
Birinci denklemdeki a(1+r+r2)=7a(1 + r + r^2) = 7 değerini ikinci denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
7⋅a(1−r+r2)=21  ⟹  a(1−r+r2)=37 \cdot a(1 - r + r^2) = 21 \implies a(1 - r + r^2) = 3 denklemi elde edilir.
Denklem sistemini daha sade ve çözülebilir bir doğrusal forma getirmek.
4
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak ve çıkararak aa ve rr değerlerini belirlemek.
Taraf tarafa çıkarma ile 2ar=4  ⟹  ar=22ar = 4 \implies ar = 2 ve toplama ile a(1+r2)=5a(1+r^2) = 5 bulunur. Buradan r=2r=2 ve a1=1a_1=1 elde edilir.
Dizinin temel parametreleri olan ilk terim ve ortak çarpanı bularak diziyi tamamen tanımlamak.
5
Dizinin genel terim formülünü oluşturup a11a_{11} terimini hesaplamak.
an=2n−1a_n = 2^{n-1} genel teriminden a11=210a_{11} = 2^{10} olarak bulunur.
Logaritması alınacak terimin değerini üslü biçimde elde etmek.
6
İstenen log⁡4(a11)\log_4(a_{11}) ifadesini hesaplamak.
log⁡4(210)=log⁡22(210)=5\log_4(2^{10}) = \log_{2^2}(2^{10}) = 5 sonucu bulunur.
Soruda sorulan nihai değeri belirlemek.

Anahtar Kavram

Geometrik dizi terimleri arasındaki ilişkiler ve çarpanlara ayırma yöntemlerinin uygulanması
Soru 26Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a5−a1=15a_5 - a_1 = 15
a4+a2=10a_4 + a_2 = 10

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin altıncı terimi (a6a_6) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Dizinin altıncı terimi 32'dir.
Verilen denklem sisteminde terimler geometrik dizi tanımına uygun olarak ilk terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında, ortak çarpan r=2r = 2 ve ilk terim a1=1a_1 = 1 olarak elde edilir. Bu bilgilerle dizinin altıncı terimi a6=a1⋅r5=32a_6 = a_1 \cdot r^5 = 32 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ilk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) cinsinden yazalım.
a5=a1⋅r4a_5 = a_1 \cdot r^4, a4=a1⋅r3a_4 = a_1 \cdot r^3, a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r ifadelerini elde ederiz.
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklindedir.
2
Verilen denklemleri ortak çarpan parantezine alarak taraf tarafa oranlayalım.
Taraf tarafa oranlama sonucunda a1(r4−1)a1r(r2+1)=1510  ⟹  (r2−1)(r2+1)r(r2+1)=32\frac{a_1(r^4-1)}{a_1 r(r^2+1)} = \frac{15}{10} \implies \frac{(r^2-1)(r^2+1)}{r(r^2+1)} = \frac{3}{2} elde edilir. Buradan r2−1r=32\frac{r^2-1}{r} = \frac{3}{2} olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek a1a_1 terimini yok etmek ama��lanır.
3
Elde edilen r'ye bağlı denklemi çözelim.
2r2−3r−2=0  ⟹  (2r+1)(r−2)=02r^2 - 3r - 2 = 0 \implies (2r + 1)(r - 2) = 0 olur. Terimler pozitif olduğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır, dolayısıyla r=2r = 2 seçilir.
Geometrik dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılardan oluştuğu belirtilmiştir.
4
İlk terim olan a1a_1 değerini hesaplayalım.
a1⋅2⋅(22+1)=10  ⟹  10a1=10  ⟹  a1=1a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 10 \implies 10 a_1 = 10 \implies a_1 = 1 bulunur.
a4+a2=10a_4 + a_2 = 10 denkleminde r=2r = 2 yazılarak a1a_1 değeri çekilir.
5
Dizinin altıncı terimi olan a6a_6 değerini bulalım.
a6=a1⋅r5=1⋅25=32a_6 = a_1 \cdot r^5 = 1 \cdot 2^5 = 32 elde edilir.
Bulunan ilk terim ve ortak çarpan değerleri genel terim formülünde yerine yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terim özellikleri ve terimler arasındaki cebirsel ilişkiler.
Soru 27Soru →

Pozitif terimli ve artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için aşağıdaki eşitlikler verilmektedir:

a2+a6=102a_2 + a_6 = 102
a2⋅a6=576a_2 \cdot a_6 = 576

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanını ve ilk terimini bularak aşağıdaki boşlukları doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Dizinin ortak çarpanı ve ilk terimi olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2 ve ilk terimi 3 olarak bulunur.
Verilen toplam ve çarpım değerleri kullanılarak kurulan x2−102x+576=0x^2 - 102x + 576 = 0 denkleminin çözümüyle a2=6a_2 = 6 ve a6=96a_6 = 96 terimleri belirlenir. Bu değerler geometrik dizi formülünde yerine yazıldığında ortak çarpan 2 ve ilk terim 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen toplam ve çarpım eşitliklerini kullanarak a2a_2 ve a6a_6 terimlerini bulmak üzere ikinci dereceden bir denklem kuralım.
x2−102x+576=0x^2 - 102x + 576 = 0 denkleminin kökleri a2a_2 ve a6a_6 değerlerini verir.
Toplamları SS ve çarpımları PP olan iki sayı x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 denkleminin kökleridir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım.
(x−96)(x−6)=0  ⟹  x1=96(x - 96)(x - 6) = 0 \implies x_1 = 96 ve x2=6x_2 = 6 elde edilir. Dizi artan olduğundan a2=6a_2 = 6 ve a6=96a_6 = 96 olur.
Artan dizilerde indis büyüdükçe terimlerin değeri de artar, bu nedenle a2<a6a_2 < a_6 olmalıdır.
3
Geometrik dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplayalım.
a6=a2⋅r4  ⟹  96=6⋅r4  ⟹  r4=16  ⟹  r=2a_6 = a_2 \cdot r^4 \implies 96 = 6 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 \implies r = 2 bulunur.
Dizinin terimleri pozitif olduğundan ortak çarpan pozitif olmalıdır (r>0r > 0).
4
İlk terim olan a1a_1 değerini bulalım.
a2=a1⋅r  ⟹  6=a1⋅2  ⟹  a1=3a_2 = a_1 \cdot r \implies 6 = a_1 \cdot 2 \implies a_1 = 3 elde edilir.
Geometrik dizide her terim, bir önceki terimin ortak çarpanla çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} olup, dizinin herhangi iki terimi arasındaki ilişki an=ak⋅rn−ka_n = a_k \cdot r^{n-k} formülü ile ifade edilir.
Soru 28Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a5−a1=30a_5 - a_1 = 30
a4+a2=20a_4 + a_2 = 20
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Dizinin 6. terimi 64 olarak bulunur.
Verilen geometrik dizi denklemleri ortak paranteze alınıp birbirine oranlandığında ortak çarpan r=2r = 2 ve ilk terim a1=2a_1 = 2 olarak elde edilir. Bu değerlerle dizinin 6. terimi a6=a1r5=2⋅32=64a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 32 = 64 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimlerini ilk terim a1a_1 ve ortak çarpan rr cinsinden yazma
a5=a1r4a_5 = a_1 r^4, a4=a1r3a_4 = a_1 r^3 ve a2=a1ra_2 = a_1 r
Tüm terimleri aynı değişkenler türünden ifade ederek ortak çarpanı ve ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Terimleri denklemlerde yerine koyup ortak paranteze alarak oranlama
a1(r4−1)=30a_1(r^4 - 1) = 30 ve a1r(r2+1)=20a_1 r(r^2 + 1) = 20 ifadeleri oranlandığında r2−1r=32\frac{r^2 - 1}{r} = \frac{3}{2} elde edilir. Buradan 2r2−3r−2=02r^2 - 3r - 2 = 0 denkleminin pozitif kökü r=2r = 2 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek tek değişkenli bir denkleme indirgemek ve pozitif terimli dizi koşuluna uygun olan pozitif rr değerini belirlemek için bu işlem gerçekleştirilir.
3
Ortak çarpan r=2r = 2 değerini kullanarak ilk terim a1a_1'i bulma
a1⋅2⋅(22+1)=20  ⟹  10a1=20  ⟹  a1=2a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 20 \implies 10a_1 = 20 \implies a_1 = 2
Elde edilen ortak çarpan değerini ikinci denklemde yerine yazarak dizinin başlangıç terimini hesaplarız.
4
Geometrik dizinin genel terim formülü yardımıyla 6. terimi hesaplama
a6=a1r5=2⋅25=64a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 2^5 = 64
Genel terim formülü olan an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} bağıntısında n=6n = 6 yazılarak istenen terimin değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terim formülü ve terimler arası cebirsel ilişkiler
Soru 29Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için
a4⋅a9a7=12\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = 12
a4+a6=15a_4 + a_6 = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, bu dizinin beşinci terimi (a5a_5) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizinin beşinci terimi 6'dır.
Birinci eşitlik sadeleştirildiğinde dizinin altıncı terimi olan 12 elde edilir. Bu değer ikinci eşitlikte yerine yazıldığında dördüncü terim 3 olarak bulunur. Geometrik dizinin özelliği gereği, beşinci terimin karesi dördüncü terim ile altıncı terimin çarpımına eşittir. Buradan beşinci terim 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak ilk eşitlikteki terimler düzenlenir.
a4⋅a9a7=(a1r3)⋅(a1r8)a1r6=a1r5=a6=12\frac{a_4 \cdot a_9}{a_7} = \frac{(a_1 r^3) \cdot (a_1 r^8)}{a_1 r^6} = a_1 r^5 = a_6 = 12 elde edilir.
Birinci eşitliği daha sade bir terim cinsinden ifade etmek amacıyla sadeleştirme yapılmıştır.
2
Bulunan a6=12a_6 = 12 değeri, ikinci eşitlik olan a4+a6=15a_4 + a_6 = 15 ifadesinde yerine yazılır.
a4+12=15⇒a4=3a_4 + 12 = 15 \Rightarrow a_4 = 3 bulunur.
Dizinin dördüncü terimini (a4a_4) elde etmek için.
3
Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki geometrik ortalama özelliği (a52=a4⋅a6a_5^2 = a_4 \cdot a_6) kullanılır.
a52=3⋅12=36⇒a5=6a_5^2 = 3 \cdot 12 = 36 \Rightarrow a_5 = 6 (dizi pozitif terimli olduğundan a5>0a_5 > 0 olmalıdır) bulunur.
Beşinci terimi (a5a_5) hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} veya ardışık terimler için an2=an−1⋅an+1a_{n}^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}).
Soru 30Soru →
Ortak ��arpanı 11'den büyük ve tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a4⋅a10=36a_4 \cdot a_{10} = 36
a5+a9=15a_5 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin 1313. terimi olan a13a_{13} kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Dizinin 13. terimi olan a13a_{13} değeri 48'dir.
Verilen a4⋅a10=36a_4 \cdot a_{10} = 36 eşitliğinden a72=36  ⟹  a7=6a_7^2 = 36 \implies a_7 = 6 bulunur. Buradan a5⋅a9=a72=36a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36 ve a5+a9=15a_5 + a_9 = 15 denklemleri çözüldüğünde, ortak çarpanı 1'den büyük olan bu artan dizi için a5=3a_5 = 3 ve a9=12a_9 = 12 olarak bulunur. a9=a5⋅r4  ⟹  r4=4a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies r^4 = 4 olur. Dizinin 13. terimi a13=a9⋅r4=12⋅4=48a_{13} = a_9 \cdot r^4 = 12 \cdot 4 = 48 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisini kullanarak a7a_7 terimini bulun.
a7=6a_7 = 6
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir: a4⋅a10=a72=36a_4 \cdot a_{10} = a_7^2 = 36. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=6a_7 = 6 olur.
2
a5⋅a9a_5 \cdot a_9 çarpımını a7a_7 cinsinden yazın.
a5⋅a9=36a_5 \cdot a_9 = 36
5+9=7+75 + 9 = 7 + 7 olduğundan geometrik dizinin özelliğinden a5⋅a9=a72=36a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36 elde edilir.
3
Verilen toplam ve çarpım bilgilerini kullanarak a5a_5 ve a9a_9 terimlerini belirleyin.
a5=3a_5 = 3 ve a9=12a_9 = 12
Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar 3 ve 12'dir. Ortak çarpan 11'den büyük olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim olan a5=3a_5 = 3 ve büyük indisli terim olan a9=12a_9 = 12 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanının dördüncü kuvvetini (r4r^4) bulun.
r4=4r^4 = 4
a9=a5⋅r4  ⟹  12=3⋅r4  ⟹  r4=4a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies 12 = 3 \cdot r^4 \implies r^4 = 4 olarak bulunur.
5
a13a_{13} terimini ortak çarpan yardımıyla hesaplayın.
a13=48a_{13} = 48
a13=a9⋅r4a_{13} = a_9 \cdot r^4 bağıntısından a13=12⋅4=48a_{13} = 12 \cdot 4 = 48 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası ilişkiler
Soru 31Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a7−a5a4−a2=8\frac{a_7 - a_5}{a_4 - a_2} = 8
a1+a3=30a_1 + a_3 = 30

eşitlikleri veriliyor.

Buna g��re, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizinin ilk terimi 6'dır.
Ortak çarpanı r=2r = 2 olan pozitif terimli geometrik dizide a1+a3=30a_1 + a_3 = 30 eşitliği a1+a1⋅22=30⇒5a1=30⇒a1=6a_1 + a_1 \cdot 2^2 = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6 sonucunu verir. Bu nedenle ilk terim 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} ifadesini kullanarak verilen ilk eşitlikteki terimleri a1a_1 ve rr cinsinden yazıp sadeleştirelim.
a7=a1⋅r6a_7 = a_1 \cdot r^6, a5=a1⋅r4a_5 = a_1 \cdot r^4, a4=a1⋅r3a_4 = a_1 \cdot r^3 ve a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r yazılır. Buradan oran a1⋅r6−a1⋅r4a1⋅r3−a1⋅r=a1⋅r4(r2−1)a1⋅r(r2−1)=r3\frac{a_1 \cdot r^6 - a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^3 - a_1 \cdot r} = \frac{a_1 \cdot r^4 (r^2 - 1)}{a_1 \cdot r (r^2 - 1)} = r^3 olarak elde edilir.
Eşitlikteki terimleri ortak çarpan cinsinden sadeleştirerek ortak çarpan rr değerini bulmak için.
2
Bulunan r3=8r^3 = 8 eşitliğinden dizinin ortak çarpanı olan rr değerini hesaplayalım.
r3=8⇒r=2r^3 = 8 \Rightarrow r = 2 bulunur. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan pozitif bir gerçel sayıdır (r=2r = 2).
İkinci denklemde yerine yazarak ilk terimi bulabilmek için ortak çarpan değerine ihtiyacımız vardır.
3
İkinci denklemde a3a_3 terimini a1a_1 ve rr cinsinden yazıp, r=2r = 2 değerini yerine koyarak a1a_1 değerini hesaplayalım.
a1+a3=30⇒a1+a1⋅r2=30⇒a1(1+r2)=30⇒a1(1+22)=30⇒5a1=30⇒a1=6a_1 + a_3 = 30 \Rightarrow a_1 + a_1 \cdot r^2 = 30 \Rightarrow a_1(1 + r^2) = 30 \Rightarrow a_1(1 + 2^2) = 30 \Rightarrow 5a_1 = 30 \Rightarrow a_1 = 6 elde edilir.
Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki oran sabittir ve genel terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle bulunur.
Soru 32Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,

a1⋅a9=64a_1 \cdot a_9 = 64
a3+a7=34a_3 + a_7 = 34

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıda boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Bu geometrik dizinin ortak çarpanının alabileceği değerlerden küçük olanı , büyük olanı ise dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Ortak çarpanın alabileceği değerlerden küçük olanı 1/2, büyük olanı ise 2'dir.
Ortak çarpanın alabileceği değerler 1/21/2 ve 22 olup, küçük olan değer 1/21/2 (veya 0.5), büyük olan değer ise 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin indis özelliklerini kullanarak terimlerin çarpımları arasında ilişki kurmak.
a3⋅a7=a1⋅a9=64a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = 64 olarak elde edilir.
Bir geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (3+7=1+9=103 + 7 = 1 + 9 = 10).
2
Toplamları 34 ve çarpımları 64 olan a3a_3 ve a7a_7 terimlerini bulmak için ikinci dereceden bir denklem oluşturmak.
t2−34t+64=0  ⟹  (t−2)(t−32)=0t^2 - 34t + 64 = 0 \implies (t-2)(t-32) = 0 denkleminin kökleri 22 ve 3232 olarak bulunur. Dolayısıyla {a3,a7}={2,32}\{a_3, a_7\} = \{2, 32\} kümesi elde edilir.
Toplamları SS ve çarpımları PP olan sayılar, t2−St+P=0t^2 - St + P = 0 denkleminin kökleridir.
3
Her iki durum için ortak çarpan rr değerlerini hesaplamak.
1. Durum: a3=2a_3 = 2 ve a7=32a_7 = 32 ise r4=32/2=16  ⟹  r=2r^4 = 32/2 = 16 \implies r = 2 bulunur. 2. Durum: a3=32a_3 = 32 ve a7=2a_7 = 2 ise r4=2/32=1/16  ⟹  r=1/2r^4 = 2/32 = 1/16 \implies r = 1/2 bulunur.
Dizinin ardışık olmayan terimleri arasında a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 ilişkisi vardır. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan rr pozitif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde indis toplamı eşit olan terimlerin çarpım özelliği ve terimler arası oran yardımıyla ortak çarpan bulma.
Soru 33Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a7=a5+6a3a_7 = a_5 + 6a_3
a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2\sqrt{2}

Cevap

2\sqrt{2}
Dizinin terimleri an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} şeklinde yazıldığında, birinci denklemden r2=3r^2 = 3 elde edilir. İkinci denklemdeki a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 ifadesi, geometrik dizi özelliği gereği a32=18a_3^2 = 18 eşitliğini verir. Buradan pozitif terimli dizi için a3=32a_3 = 3\sqrt{2} olur. Son olarak a1=a3/r2a_1 = a_3 / r^2 bağıntısından a1=2a_1 = \sqrt{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen eşitliği ortak çarpan (rr) cinsinden yazalım.
a7=a5+6a3  ⟹  a1r6=a1r4+6a1r2a_7 = a_5 + 6a_3 \implies a_1 r^6 = a_1 r^4 + 6 a_1 r^2
Dizinin terimlerini ilk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulmak.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirip rr değerini bulalım.
a1>0a_1 > 0 ve r>0r > 0 olduğundan denklemin her iki tarafını a1r2a_1 r^2 ile bölebiliriz:
r4=r2+6  ⟹  r4−r2−6=0r^4 = r^2 + 6 \implies r^4 - r^2 - 6 = 0
Bu denklem (r2−3)(r2+2)=0(r^2 - 3)(r^2 + 2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan r2>0r^2 > 0 olmalıdır. Buradan r2=3r^2 = 3 bulunur.
Ortak çarpanın karesini (r2r^2) belirlemek.
3
İkinci eşitliği kullanarak üçüncü terimi (a3a_3) bulalım.
Geometrik dizide ardışık terimlerin özelliğinden a2⋅a4=a32a_2 \cdot a_4 = a_3^2 olur. Verilen a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 eşitliğinden:
a32=18  ⟹  a3=18=32a_3^2 = 18 \implies a_3 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
(Dizinin terimleri pozitif olduğundan pozitif kök alınır.)
İkinci denklemden dizinin üçüncü terimini elde etmek.
4
İlk terimi (a1a_1) hesaplayalım.
a3=a1⋅r2  ⟹  32=a1⋅3  ⟹  a1=2a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 3\sqrt{2} = a_1 \cdot 3 \implies a_1 = \sqrt{2}
Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki ilişkiyi kullanarak a1a_1 değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide her terim kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasıdır (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}) ve genel terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle bulunur.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ikinci denklemdeki a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 ifadesi doğrudan a1r⋅a1r3=a12r4=18a_1 r \cdot a_1 r^3 = a_1^2 r^4 = 18 şeklinde yazılabilir. İlk denklemden elde edilen r2=3r^2 = 3 değeri burada yerine konulursa: a12⋅32=18  ⟹  9a12=18  ⟹  a12=2a_1^2 \cdot 3^2 = 18 \implies 9 a_1^2 = 18 \implies a_1^2 = 2 olur. Dizi pozitif terimli olduğundan a1=2a_1 = \sqrt{2} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 34Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçek sayılardır ve bu dizi artandır. Dizinin terimleri arasında,

a4⋅a8=1600a_4 \cdot a_8 = 1600
1a5+1a7=116\frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_7} = \frac{1}{16}

bağıntıları bulunmaktadır. Buna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 5'tir.
Dizi terimlerinin indis ilişkisinden a5⋅a7=1600a_5 \cdot a_7 = 1600 bulunur. Rasyonel denklemde payda eşitlendiğinde a5+a7=100a_5 + a_7 = 100 elde edilir. Bu iki eşitlikten, dizinin artan olduğu da dikkate alınarak a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80 olarak bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 ve üçüncü terim a3=5a_3 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin indis ilişkisini kullanarak a5⋅a7a_5 \cdot a_7 çarpımını bulma.
a5⋅a7=1600a_5 \cdot a_7 = 1600
Geometrik dizilerde i+j=k+li+j=k+l ise ai⋅aj=ak⋅ala_i \cdot a_j = a_k \cdot a_l özelliğinden dolayı 4+8=5+7=124+8 = 5+7 = 12 olup a5⋅a7=a4⋅a8=1600a_5 \cdot a_7 = a_4 \cdot a_8 = 1600 olur.
2
Verilen rasyonel denklemi düzenleyerek terimlerin toplam��nı bulma.
a5+a7=100a_5 + a_7 = 100
Payda eşitleme yapıldığında a5+a7a5⋅a7=116\frac{a_5 + a_7}{a_5 \cdot a_7} = \frac{1}{16} elde edilir. Çarpım yerine 16001600 yazıldığında toplam 100100 olarak bulunur.
3
Toplamları ve çarpımları bilinen terimleri bulmak için ikinci dereceden denklem çözme.
a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80
Kökleri a5a_5 ve a7a_7 olan denklem x2−100x+1600=0x^2 - 100x + 1600 = 0 şeklindedir. Çarpanlara ayırma ile (x−20)(x−80)=0(x-20)(x-80) = 0 elde edilir. Dizi artan olduğundan a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) bulma.
r=2r = 2
a7=a5⋅r2a_7 = a_5 \cdot r^2 eşitliğinden 80=20⋅r2  ⟹  r2=480 = 20 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 ve terimler pozitif olduğu için r=2r = 2 bulunur.
5
Dizinin üçüncü terimini (a3a_3) hesaplama.
a3=5a_3 = 5
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 eşitliğinde değerler yerine yazıldığında 20=a3⋅4  ⟹  a3=520 = a_3 \cdot 4 \implies a_3 = 5 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve terimler arası ilişkiler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 35Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk üç terimi sırasıyla x−1x - 1, x+3x + 3 ve 3x+13x + 1 olduğuna göre, bu dizinin 5. terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

64
Ardışık üç terimi sırasıyla x−1x-1, x+3x+3 ve 3x+13x+1 olan geometrik dizide ortadaki terimin karesi diğer iki terimin çarpımına eşittir. Buradan (x+3)2=(x−1)(3x+1)(x+3)^2 = (x-1)(3x+1) denklemi çözüldüğünde x=5x=5 veya x=−1x=-1 bulunur. Seçeneklerde yer alan değerleri bulmak adına x=5x=5 durumu incelenirse; dizinin ilk terimi a1=4a_1=4, ikinci terimi a2=8a_2=8 ve ortak çarpanı r=2r=2 olur. Buradan dizinin 5. terimi a5=a1⋅r4=4⋅16=64a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 16 = 64 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizi tanımına göre ardışık üç terim arasındaki ilişkiyi kurma
(x+3)2=(x−1)(3x+1)(x + 3)^2 = (x - 1)(3x + 1)
Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir (a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3).
2
Elde edilen denklemi açıp düzenleyerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturma
x2+6x+9=3x2−2x−1⇒2x2−8x−10=0⇒x2−4x−5=0x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1 \Rightarrow 2x^2 - 8x - 10 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0
Kökleri bulabilmek için tüm terimleri bir tarafa toplayıp sadeleştirme yapmamız gerekir.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak x değerlerini bulma
(x−5)(x+1)=0⇒x=5(x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 5 veya x=−1x = -1
Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemi sağlayan x değerlerini elde ederiz.
4
x=5x = 5 değeri için dizinin ilk üç terimini ve ortak çarpanı hesaplama
a1=4a_1 = 4, a2=8a_2 = 8, a3=16a_3 = 16 ve ortak çarpan r=a2a1=2r = \frac{a_2}{a_1} = 2
Bulunan x değerini yerine yazarak dizinin terimlerine ve ortak çarpanına ulaşırız.
5
Genel terim formülüyle dizinin 5. terimini bulma
a5=a1⋅r4=4⋅24=4⋅16=64a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 2^4 = 4 \cdot 16 = 64
Geometrik dizilerde an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülü kullanılarak 5. terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide ardışık terimler arasındaki ilişki (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}) ve genel terim formülü (an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1})
Soru 36Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde a1⋅a9=256a_1 \cdot a_9 = 256 ve a3⋅a5=64a_3 \cdot a_5 = 64 eşitlikleri verilmektedir. Buna göre, aşağıdaki boşlukları uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Bu dizinin ortak çarpanı ve altıncı terimi (a6a_6) olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Ortak çarpan 2 ve altıncı terim 32'dir.
Verilen geometrik dizide a1⋅a9=a52=256a_1 \cdot a_9 = a_5^2 = 256 eşitliğinden a5=16a_5 = 16 bulunur. a3⋅a5=64a_3 \cdot a_5 = 64 eşitliğinden a3=4a_3 = 4 elde edilir. Buradan ortak çarpan r2=a5/a3=4r^2 = a_5 / a_3 = 4 olup pozitif terimli olduğu için r=2r = 2 bulunur. Son olarak altıncı terim a6=a5⋅r=16⋅2=32a_6 = a_5 \cdot r = 16 \cdot 2 = 32 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin indis özelliklerini kullanarak a5a_5 terimini bulma.
a5=16a_5 = 16
Bir geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Bu nedenle a1⋅a9=a5⋅a5=a52a_1 \cdot a_9 = a_5 \cdot a_5 = a_5^2 yazılabilir. a52=256a_5^2 = 256 olduğundan ve dizi pozitif terimli verildiğinden a5=16a_5 = 16 olur.
2
a3⋅a5=64a_3 \cdot a_5 = 64 eşitliğini kullanarak a3a_3 terimini bulma.
a3=4a_3 = 4
a5=16a_5 = 16 değeri eşitlikte yerine yazıldığında a3⋅16=64a_3 \cdot 16 = 64 elde edilir, buradan a3=4a_3 = 4 bulunur.
3
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 bağınt��sını kullanarak ortak çarpanı (rr) bulma.
r=2r = 2
16=4⋅r216 = 4 \cdot r^2 eşitliğinden r2=4r^2 = 4 bulunur. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan pozitif olmalıdır, bu yüzden r=2r = 2 alınır.
4
a6=a5⋅ra_6 = a_5 \cdot r bağıntısıyla altıncı terimi bulma.
a6=32a_6 = 32
a5=16a_5 = 16 ve r=2r = 2 değerleri yerine yazılarak a6=16⋅2=32a_6 = 16 \cdot 2 = 32 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arası çarpım ilişkileri ve genel terim özellikleri
Soru 37Soru →

Bir (an)(a_n) pozitif terimli geometrik dizisi için,

a5⋅a11⋅a17=512a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = 512
a3+a19=56a_3 + a_{19} = 56

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, a7+a15a_7 + a_{15} toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2424

Cevap

Dizinin istenen terimlerinin toplamı 24 olur.
Dizinin geometrik dizi olmasından ötürü a5⋅a17=a112a_5 \cdot a_{17} = a_{11}^2 yazılabilir. Bu sayede a11=8a_{11} = 8 bulunur. Daha sonra terimler a11a_{11} ve ortak çarpan rr cinsinden yazılıp oranlanarak r8+1r8=7r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 elde edilir. İstenen a7+a15a_7 + a_{15} toplamı 8(r4+1r4)8(r^4 + \frac{1}{r^4}) ifadesine eşittir. Tam kare özdeşliği yardımıyla (r4+1r4)2=r8+1r8+2=9(r^4 + \frac{1}{r^4})^2 = r^8 + \frac{1}{r^8} + 2 = 9 olduğundan r4+1r4=3r^4 + \frac{1}{r^4} = 3 bulunur. Buradan istenen toplam 8⋅3=248 \cdot 3 = 24 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin a5⋅a11⋅a17=512a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = 512 eşitliğini geometrik dizi özelliklerini kullanarak düzenleyelim.
a11=8a_{11} = 8 olarak bulunur.
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. 5+17=2⋅115 + 17 = 2 \cdot 11 olduğundan a5⋅a17=a112a_5 \cdot a_{17} = a_{11}^2 olur. Buradan a5⋅a11⋅a17=a113=512a_5 \cdot a_{11} \cdot a_{17} = a_{11}^3 = 512 elde edilir. Her iki tarafın küp kökü alınırsa, terimler pozitif olduğundan a11=8a_{11} = 8 bulunur.
2
Verilen ikinci eşitlik olan a3+a19=56a_3 + a_{19} = 56 ifadesini ortak çarpan rr ve a11a_{11} cinsinden yazalım.
r8+1r8=7r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 elde edilir.
Geometrik dizinin genel terim özelliğinden a3=a11⋅r−8a_3 = a_{11} \cdot r^{-8} ve a19=a11⋅r8a_{19} = a_{11} \cdot r^8 yazılabilir. Bu ifadeler denklemde yerine yazılırsa: 8⋅r−8+8⋅r8=56  ⟹  8(r−8+r8)=56  ⟹  r8+1r8=78 \cdot r^{-8} + 8 \cdot r^8 = 56 \implies 8(r^{-8} + r^8) = 56 \implies r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 bulunur.
3
İstenen a7+a15a_7 + a_{15} toplamını ortak çarpan rr ve a11a_{11} cinsinden ifade edelim.
a7+a15=8(r4+1r4)a_7 + a_{15} = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) olur.
Genel terim özelliğinden a7=a11⋅r−4a_7 = a_{11} \cdot r^{-4} ve a15=a11⋅r4a_{15} = a_{11} \cdot r^4 yazılır. Buradan a7+a15=8⋅r−4+8⋅r4=8(r4+1r4)a_7 + a_{15} = 8 \cdot r^{-4} + 8 \cdot r^4 = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) elde edilir.
4
r4+1r4r^4 + \frac{1}{r^4} ifadesinin değerini bulmak için tam kare özdeşliğini kullanalım.
r4+1r4=3r^4 + \frac{1}{r^4} = 3 olarak bulunur.
x=r4+1r4x = r^4 + \frac{1}{r^4} olsun. Her iki tarafın karesi alınırsa: x2=(r4+1r4)2=r8+2⋅r4⋅1r4+1r8=r8+1r8+2x^2 = (r^4 + \frac{1}{r^4})^2 = r^8 + 2 \cdot r^4 \cdot \frac{1}{r^4} + \frac{1}{r^8} = r^8 + \frac{1}{r^8} + 2 olur. r8+1r8=7r^8 + \frac{1}{r^8} = 7 değeri yerine yazılırsa: x2=7+2=9x^2 = 7 + 2 = 9 elde edilir. Dizi terimleri pozitif gerçek sayılar olduğundan r>0r > 0 ve dolayısıyla x>0x > 0 olmalıdır. Buradan x=3x = 3 bulunur.
5
Bulduğumuz x=3x = 3 değerini a7+a15a_7 + a_{15} ifadesinde yerine yazarak sonucu bulalım.
a7+a15=24a_7 + a_{15} = 24 olarak bulunur.
a7+a15=8(r4+1r4)=8⋅3=24a_7 + a_{15} = 8(r^4 + \frac{1}{r^4}) = 8 \cdot 3 = 24 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizide terimlerin indisleri arasındaki simetri özellikleri ve terimlerin ortak çarpan cinsinden kuvvet ilişkileri.

Alternatif Yöntem

Geometrik dizide a3⋅a19=a7⋅a15=a112=64a_3 \cdot a_{19} = a_7 \cdot a_{15} = a_{11}^2 = 64 olduğu görülebilir. Buradan a7+a15a_7 + a_{15} toplamına SS dersek, a7a_7 ve a15a_{15} terimleri çarpımı 64 olan iki sayıdır. Diğer taraftan, a3+a19=56a_3 + a_{19} = 56 ve a3⋅a19=64a_3 \cdot a_{19} = 64 olduğundan bu terimlerin ortak çarpan kuvvetleri üzerinden S2=(a7+a15)2=a72+a152+2a7a15=a3a11+a11a19+2(64)=a11(a3+a19)+128=8(56)+128=448+128=576S^2 = (a_7+a_{15})^2 = a_7^2 + a_{15}^2 + 2a_7a_{15} = a_3 a_{11} + a_{11} a_{19} + 2(64) = a_{11}(a_3 + a_{19}) + 128 = 8(56) + 128 = 448 + 128 = 576 elde edilir. Terimler pozitif olduğundan S=576=24S = \sqrt{576} = 24 bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 38Soru →
Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin terimleri arasında
a8⋅a12a7⋅a10=8\frac{a_8 \cdot a_{12}}{a_7 \cdot a_{10}} = 8
ve
a5−a2=14a_5 - a_2 = 14
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Bu geometrik dizinin ilk terimi 1'dir.
Dizinin genel terim formülünden yola çıkarak birinci eşitliği sadeleştirdiğimizde r3=8r^3 = 8 ve dolayısıyla ortak çarpan r=2r = 2 bulunur. İkinci eşitlikte terimleri a1a_1 ve rr cinsinden yazıp ortak paranteze aldığımızda a1(r4−r)=14a_1(r^4 - r) = 14 denklemini elde ederiz. Burada r=2r = 2 değerini yerine yazdığımızda 14a1=1414a_1 = 14 eşitliğinden dizinin ilk terimi olan a1=1a_1 = 1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitlikteki terimlerin yerine genel terim formülünü yazıp sadeleştirmek
r3=8  ⟹  r=2r^3 = 8 \implies r = 2 bulunur.
Geometrik dizide her terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadeler oranda yerine koyulursa a1r7⋅a1r11a1r6⋅a1r9=a12r18a12r15=r3\frac{a_1 r^7 \cdot a_1 r^{11}}{a_1 r^6 \cdot a_1 r^9} = \frac{a_1^2 r^{18}}{a_1^2 r^{15}} = r^3 olur. r3=8r^3 = 8 olduğundan r=2r = 2 bulunur.
2
Bulunan r=2r = 2 ortak çarpanını ikinci denklemde yerine yazarak a1a_1 değerini hesaplamak
14a1=14  ⟹  a1=114 a_1 = 14 \implies a_1 = 1 bulunur.
a5−a2=14  ⟹  a1r4−a1r=14  ⟹  a1(24−2)=14  ⟹  a1(16−2)=14a_5 - a_2 = 14 \implies a_1 r^4 - a_1 r = 14 \implies a_1(2^4 - 2) = 14 \implies a_1(16 - 2) = 14 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide genel terim formülü ve terimler arası bölme ile ortak çarpan elde etme
Soru 39Soru →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a2⋅a6=64a_2 \cdot a_6 = 64
a3⋅a4=32a_3 \cdot a_4 = 32
eşitlikleri sağlanmaktad��r. Buna göre, bu geometrik dizinin ortak çarpanı ve ilk terimi olarak bulunur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2 ve ilk terimi 1'dir.
Dizinin terimleri pozitif olduğundan a2⋅a6=a42=64a_2 \cdot a_6 = a_4^2 = 64 bağıntısından a4=8a_4 = 8 bulunur. a3⋅a4=32a_3 \cdot a_4 = 32 eşitliğinde bu değer yerine yazıldığında a3=4a_3 = 4 elde edilir. Ortak çarpan ardışık terimlerin oranı olan r=8/4=2r = 8 / 4 = 2 değerine eşit olup, a1=a3/r2=4/4=1a_1 = a_3 / r^2 = 4 / 4 = 1 ilk terimine ulaşılmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin indisler arasındaki çarpım özelliğini kullanarak dördüncü terimi bulun.
Bir geometrik dizide a2⋅a6=a42a_2 \cdot a_6 = a_4^2 bağıntısı geçerlidir. Buradan a42=64a_4^2 = 64 elde edilir. Tüm terimler pozitif gerçel sayı olduğundan a4=8a_4 = 8 olarak bulunur.
Geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (2+6=4+42 + 6 = 4 + 4).
2
Bulunan dördüncü terim yardımıyla üçüncü terimi hesaplayın.
a3⋅a4=32  ⟹  a3⋅8=32  ⟹  a3=4a_3 \cdot a_4 = 32 \implies a_3 \cdot 8 = 32 \implies a_3 = 4 elde edilir.
Soruda verilen ikinci eşitlikte bilinen a4a_4 değeri yerine yazılmıştır.
3
Ardışık terimlerin oranından ortak çarpanı ve ardından ilk terimi bulun.
Ortak çarpan r=a4a3=84=2r = \frac{a_4}{a_3} = \frac{8}{4} = 2 olur. İlk terim ise a3=a1⋅r2  ⟹  4=a1⋅22  ⟹  4=4a1  ⟹  a1=1a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 4 = a_1 \cdot 2^2 \implies 4 = 4a_1 \implies a_1 = 1 olarak hesaplanır.
Geometrik dizinin genel terim tanımı ve ardışık terimler arası oran bağıntısı kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arası çarpım ve ortak çarpan bağıntıları
ÖncekiSayfa 2 / 2
Geometrik Dizi ve Özellikleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin