Examkin

Geometrik Dizi ve Özellikleri

39 soru

Tüm türler39Çoktan seçmeli21Sayısal9Boşluk doldurma9
Soru 1Soru →

Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,

a2⋅a10=36a_2 \cdot a_{10} = 36

olduğuna göre, bu dizinin 6. terimi (a6a_6) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizinin 6. terimi 6'dır.
Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği vardır. Burada n=6n=6 ve k=4k=4 seçilirse a62=a2⋅a10a_6^2 = a_2 \cdot a_{10} olur. a2⋅a10=36a_2 \cdot a_{10} = 36 olduğuna göre a62=36a_6^2 = 36 elde edilir. Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bu dizide a6=6a_6 = 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a2⋅a10=a62a_2 \cdot a_{10} = a_6^2 eşitliğini kurun.
a62=36a_6^2 = 36
Geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Burada 2+10=2⋅62 + 10 = 2 \cdot 6 olduğundan terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir.
2
a6a_6 değerini bulun.
a6=6a_6 = 6
a62=36a_6^2 = 36 denkleminin kökleri 66 ve −6-6'dır. Dizinin terimleri pozitif gerçek sayılar olarak tanımlandığı için pozitif olan kök alınır.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Özel olarak, ak⋅am=ak+m22a_k \cdot a_m = a_{\frac{k+m}{2}}^2 bağıntısı vardır.
Soru 2Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinde ortak çarpan r=3r = 3 ve dördüncü terim a4=54a_4 = 54 olarak verilmektedir.

Buna göre, bu geometrik dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İlk terimi 2 olan seçenektir.
Bir geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle bulunur. Soruda verilen a4=54a_4 = 54 ve r=3r = 3 değerleri formülde yerine yazılırsa:
54=a1⋅34−154 = a_1 \cdot 3^{4-1}
54=a1⋅3354 = a_1 \cdot 3^3
54=a1⋅2754 = a_1 \cdot 27
Buradan a1=2a_1 = 2 olarak bulunur. Dolayısıyla ilk terimi 2 olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Bir geometrik dizinin genel terim formülün�� yazmak.
an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Dizinin verilen dördüncü terimi ve ortak çarpanı yardımıyla ilk terimine ulaşmak için genel terim formülü kullanılmalıdır.
2
Formülde verilen değerleri (n=4n = 4, r=3r = 3 ve a4=54a_4 = 54) yerine yazıp a1a_1 değerini çekmek.
54=a1⋅34−1  ⟹  54=a1⋅33  ⟹  54=27⋅a1  ⟹  a1=254 = a_1 \cdot 3^{4-1} \implies 54 = a_1 \cdot 3^3 \implies 54 = 27 \cdot a_1 \implies a_1 = 2
Verilen terim ve ortak çarpan değerleri yerine konularak ilk terim cebirsel olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} bağıntısının uygulanması.
Soru 3Soru →
Tüm elemanları pozitif olan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde
a4⋅a6=144a_4 \cdot a_6 = 144
a3+a7=51a_3 + a_7 = 51
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2'dir.
Geometrik dizinin an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği kullanılarak a5=12a_5 = 12 ve ardından a3⋅a7=144a_3 \cdot a_7 = 144 olarak bulunur. Toplamları 51 ve çarpımları 144 olan pozitif sayılar 3 ve 48'dir. Dizi artan olduğu için a3=3a_3 = 3 ve a7=48a_7 = 48 olmalıdır. a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 eşitliğinden r4=16r^4 = 16 elde edilir ve pozitif terimli dizi şartından dolayı ortak çarpan 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a4⋅a6=a52a_4 \cdot a_6 = a_5^2 eşitliğini kullanarak a5a_5 terimini hesaplama.
a52=144⇒a5=12a_5^2 = 144 \Rightarrow a_5 = 12 (tüm terimler pozitif olduğu için a5>0a_5 > 0 olmalıdır).
Geometrik dizide ardışık terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir.
2
a3⋅a7a_3 \cdot a_7 çarpımını a5a_5 cinsinden yazarak değerini bulma.
a3⋅a7=a52=144a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 144
Geometrik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (3+7=5+53+7 = 5+5 olduğundan a3⋅a7=a52a_3 \cdot a_7 = a_5^2 olur).
3
a3+a7=51a_3 + a_7 = 51 ve a3⋅a7=144a_3 \cdot a_7 = 144 bilgilerini kullanarak a3a_3 ve a7a_7 değerlerini belirleme.
t2−51t+144=0⇒(t−48)(t−3)=0t^2 - 51t + 144 = 0 \Rightarrow (t - 48)(t - 3) = 0 denkleminin kökleri 33 ve 4848'dir.
Toplamları ve çarpımları bilinen iki sayıyı bulmak için kökleri bu sayılar olan ikinci dereceden denklem çözülür.
4
Dizinin artan olma koşulunu uygulayarak a3a_3 ve a7a_7 değerlerini atama.
a3=3a_3 = 3 ve a7=48a_7 = 48 olmalıdır.
Dizi artan ve tüm terimleri pozitif olduğundan, indisi daha büyük olan terim daha büyük olmalıdır (a3<a7a_3 < a_7).
5
a7=a3⋅r4a_7 = a_3 \cdot r^4 ilişkisini kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplama.
48=3⋅r4⇒r4=16⇒r=248 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = 16 \Rightarrow r = 2 (terimler pozitif olduğundan r>0r > 0 olmalıdır).
Geometrik dizinin genel terim tanımından a7=a3⋅r7−3a_7 = a_3 \cdot r^{7-3} yazılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve genel terim formülü.
Soru 4Soru →

Aşağıdaki cümlede boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde a3=2a_3 = 2 ve a9=128a_9 = 128 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı ve dizinin altıncı terimi a6a_6 değeri olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Ortak çarpan 2, altıncı terim 16'dır.
Verilen geometrik dizide a3=2a_3 = 2 ve a9=128a_9 = 128 değerleri kullanılarak a9=a3⋅r6a_9 = a_3 \cdot r^6 eşitliğinden r6=64r^6 = 64 ve pozitif terimlilik şartından r=2r = 2 elde edilir. Altıncı terim olan a6a_6 ise a3a_3 ile a9a_9 terimlerine eşit uzaklıkta bulunduğundan geometrik ortalama özelliğinden a6=2⋅128=16a_6 = \sqrt{2 \cdot 128} = 16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiden ortak çarpan (r) belirlenir.
a9=a3⋅r6⇒128=2⋅r6⇒r6=64⇒r=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \Rightarrow 128 = 2 \cdot r^6 \Rightarrow r^6 = 64 \Rightarrow r = 2 bulunur.
Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki oran sabit olup an=ak⋅rn−ka_n = a_k \cdot r^{n-k} ilişkisi geçerlidir. Dizinin tüm terimlerinin pozitif olduğu belirtildiğinden ortak çarpan pozitif seçilir (r=2r = 2).
2
Dizinin altıncı terimi (a6a_6) hesaplanır.
a6=a3⋅r3=2⋅23=16a_6 = a_3 \cdot r^3 = 2 \cdot 2^3 = 16 veya terimlerin simetrik konumda bulunmasından hareketle a6=a3⋅a9=2⋅128=16a_6 = \sqrt{a_3 \cdot a_9} = \sqrt{2 \cdot 128} = 16 bulunur.
Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasına eşittir (a62=a3⋅a9a_6^2 = a_3 \cdot a_9).

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arasındaki ortak çarpan ilişkisi ve indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpım özelliklerinin uygulanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a4=3a_4 = 3
a10=27a_{10} = 27
olduğuna göre, bu dizinin yedinci terimi (a7a_7) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Dokuz
Doğru cevap dokuzdur. Geometrik dizinin an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği gereğince, a7a_7 terimi a4a_4 ve a10a_{10} terimlerine eşit uzaklıkta olduğundan a72=a4⋅a10=3⋅27=81a_7^2 = a_4 \cdot a_{10} = 3 \cdot 27 = 81 olur. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=9a_7 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizilerde eşit uzaklıktaki terimlerin çarpım özelliğini belirleyelim.
Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir. Formül olarak: an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}
Dizinin verilen a4a_4 ve a10a_{10} terimleri ile istenen a7a_7 terimi arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Verilen terimlerin indislerinin ortalamasını bularak a7a_7 terimi ile ilişkisini kuralım.
4 ve 10 indislerinin aritmetik ortalaması (4+10)/2=7(4 + 10)/2 = 7 olduğundan, a7a_7 terimi a4a_4 ve a10a_{10} terimlerine eşit uzaklıktadır. Dolayısıyla a72=a4⋅a10a_7^2 = a_4 \cdot a_{10} eşitliği yazılır.
a7a_7 teriminin karesinin diğer iki terimin çarpımına eşit olduğunu göstermek için.
3
Verilen değerleri formülde yerine yazarak a7a_7 terimini hesaplayalım.
a72=3⋅27=81a_7^2 = 3 \cdot 27 = 81 bulunur. Buradan a7=9a_7 = 9 veya a7=−9a_7 = -9 elde edilir. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=9a_7 = 9 olmalıdır.
Yedinci terimin değerini bulmak ve pozitif terimli olma şartını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide bir terimin kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalaması olması özelliği (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k})
Soru 6Soru →

Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−3x-3, x+1x+1 ve x+9x+9 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak ��arpanı 2 olan seçenektir.
Dizinin ardışık terimleri arasındaki oran sabit olduğundan ortadaki terimin karesi komşu terimlerin çarpımına eşittir. (x+1)2=(x−3)(x+9)(x+1)^2 = (x-3)(x+9) denklemi çözüldüğünde x=7x = 7 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında terimler 4, 8 ve 16 olarak elde edilir. Ortak çarpan ise ardışık iki terimin oranı olan 8/4 = 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin ardışık üç terimi a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 için geçerli olan a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3 özelliğini kullanarak bir denklem kurarız.
(x+1)2=(x−3)⋅(x+9)(x+1)^2 = (x-3) \cdot (x+9) denklemi elde edilir.
Geometrik dizide ardış��k terimlerin oranları birbirine eşittir.
2
Elde edilen denklemdeki ifadeleri açarak xx değerini buluruz.
x2+2x+1=x2+6x−27  ⟹  2x+1=6x−27  ⟹  4x=28  ⟹  x=7x^2 + 2x + 1 = x^2 + 6x - 27 \implies 2x + 1 = 6x - 27 \implies 4x = 28 \implies x = 7 bulunur.
Dizinin terimlerini sayısal olarak belirlemek için xx bilinmeyeninin çözülmesi gerekir.
3
Bulunan x=7x = 7 değerini terimlerin formüllerinde yerine yazarak dizinin ardışık üç terimini elde ederiz.
Terimler sırasıyla 7−3=47 - 3 = 4, 7+1=87 + 1 = 8 ve 7+9=167 + 9 = 16 olur.
Ortak çarpanı hesaplamak için terimlerin değerlerinin bilinmesi gerekir.
4
Ardışık terimlerden ikincisini birincisine bölerek dizinin ortak çarpanını (rr) hesaplarız.
r=84=2r = \frac{8}{4} = 2 elde edilir.
Geometrik dizide ortak çarpan, ardışık herhangi iki terimden sonrakinin öncekine bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin ardışık terimlerinin oranı sabittir. Dizinin ardışık üç terimi için ortadaki terimin karesi, komşu terimlerin çarpımına eşittir.

Alternatif Yöntem

Geometrik dizinin tanımı gereği ardışık terimlerin oranı eşit olduğundan doğrudan x+1x−3=x+9x+1\frac{x+1}{x-3} = \frac{x+9}{x+1} eşitliği yazılıp içler dışlar çarpımı yapılarak da aynı denklem elde edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →

Bir geometrik dizinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 ve beşinci terimi a5=162a_5 = 162 olduğuna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 18'dir.
Geometrik dizilerde her terimin karesi, kendisine eşit uzaklıkta bulunan iki terimin çarpımına eşittir. Buradan a32=a1⋅a5=324a_3^2 = a_1 \cdot a_5 = 324 bulunur. a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 olduğundan ve a1=2a_1 = 2 pozitif, r2r^2 negatif olamayacağından üçüncü terim 18 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin terimleri arasındaki geometrik ortalama özelliğini uygulayın.
a32=a1⋅a5a_3^2 = a_1 \cdot a_5 eşitliği kurulur.
Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir.
2
Verilen terim değerlerini denklemde yerine yazarak a32a_3^2 değerini hesaplayın.
a32=2⋅162=324a_3^2 = 2 \cdot 162 = 324 elde edilir.
Bilinmeyen terimin karesini bulmak için sayısal değerler çarpılır.
3
Karekök alıp terimin işaretini belirleyin.
a3=18a_3 = 18 bulunur.
a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 eşitliğinde a1=2>0a_1 = 2 > 0 ve r2≥0r^2 \ge 0 olduğundan a3a_3 pozitif olmalıdır, bu yüzden −18-18 değeri elenir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve terimlerin işaret analizi.
Soru 8Soru →

Terimleri pozitif gerçek sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

log⁡2(a1)+log⁡2(a9)=10\log_2(a_1) + \log_2(a_9) = 10
a3+a7=136a_3 + a_7 = 136

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

a62−a42a5−a3\frac{a_6^2 - a_4^2}{a_5 - a_3}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

160 değeri doğru cevaptır.
Dizinin artan olduğu koşulundan yola çıkılarak a3=8a_3 = 8 ve a7=128a_7 = 128 bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 ve beşinci terim a5=32a_5 = 32 elde edilir. İstenen ifadede terimlerin değerleri yerine yazıldığında veya cebirsel sadeleştirme yapıldığında sonuç 160 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma özelliğini kullanarak birinci ve dokuzuncu terimlerin çarpımını bulalım.
a1⋅a9=210=1024a_1 \cdot a_9 = 2^{10} = 1024
log⁡2(a1)+log⁡2(a9)=log⁡2(a1⋅a9)=10\log_2(a_1) + \log_2(a_9) = \log_2(a_1 \cdot a_9) = 10 özelliğinden dolayı.
2
Geometrik dizinin terimleri arasındaki simetri özelliğini kullanarak beşinci terimi ve üçüncü ile yedinci terimlerin çarpımını bulalım.
a5=32a_5 = 32 ve a3⋅a7=1024a_3 \cdot a_7 = 1024
a1⋅a9=a3⋅a7=a52=1024a_1 \cdot a_9 = a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 1024 eşitliği geometrik dizinin tanımından gelir.
3
Toplamları ve çarpımları bilinen üçüncü ve yedinci terimleri elde edelim.
a3=8a_3 = 8 ve a7=128a_7 = 128
x2−136x+1024=0  ⟹  (x−8)(x−128)=0x^2 - 136x + 1024 = 0 \implies (x - 8)(x - 128) = 0 denkleminin kökleri incelenir. Dizi artan olduğundan a3<a7a_3 < a_7 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanı olan rr değerini hesaplayalım.
r=2r = 2
a7=a3⋅r4  ⟹  128=8⋅r4  ⟹  r4=16a_7 = a_3 \cdot r^4 \implies 128 = 8 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 olur. Pozitif terimli artan dizi için r=2r = 2 bulunur.
5
İstenen ifadeyi sadeleştirerek veya terimlerin değerlerini yerine yazarak hesaplayalım.
160
a4=16a_4 = 16, a5=32a_5 = 32, a6=64a_6 = 64 değerleri yerine yazıldığında 642−16232−8=4096−25624=160\frac{64^2 - 16^2}{32 - 8} = \frac{4096 - 256}{24} = 160 elde edilir. (Alternatif olarak ifade a5(r2+1)a_5(r^2+1) şeklinde sadeleştirilebilir, buradan da 32⋅5=16032 \cdot 5 = 160 bulunur.)

Anahtar Kavram

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşit olması (ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s burada p+q=r+sp+q = r+s) ve terimler arası cebirsel sadeleştirmeler.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 9Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin tüm terimleri pozitif gerçek sayılardır. Bu dizinin ilk beş teriminin toplamı 3131 ve bu beş terimin her birinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 3116\frac{31}{16} olarak veriliyor.

Dizi artan olduğuna ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 eşitliği sağlandığına göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Dizinin sekizinci terimi 128'dir.
Çözüm adımları takip edildiğinde, geometrik dizinin terimleri ile terslerinin toplamı arasındaki ilişkiden a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir. Verilen a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 bilgisi ve dizinin artan olması kullanılarak a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 olarak belirlenir. Bu değerler kullanılarak dizinin sekizinci terimi a8=a1⋅r7=128a_8 = a_1 \cdot r^7 = 128 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 5 terimin toplamı (S5S_5) ile bu terimlerin çarpmaya göre terslerinin toplamı (T5T_5) arasındaki genel ili��kiyi kurmak.
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 elde edilir.
Bir geometrik dizide terimler toplamı Sn=a1rn−1r−1S_n = a_1 \frac{r^n-1}{r-1} ve tersleri toplam�� Tn=1a11−(1/r)n1−(1/r)=Sna1⋅anT_n = \frac{1}{a_1} \frac{1-(1/r)^n}{1-(1/r)} = \frac{S_n}{a_1 \cdot a_n} şeklindedir. Buradan T5=S5a1⋅a5  ⟹  3116=31a1⋅a5  ⟹  a1⋅a5=16T_5 = \frac{S_5}{a_1 \cdot a_5} \implies \frac{31}{16} = \frac{31}{a_1 \cdot a_5} \implies a_1 \cdot a_5 = 16 bulunur.
2
Ortadaki terim olan a3a_3 değerini bulmak.
a3=4a_3 = 4 bulunur.
Geometrik dizilerde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşittir, yani a1⋅a5=a32a_1 \cdot a_5 = a_3^2. Buradan a32=16a_3^2 = 16 ve terimler pozitif olduğu için a3=4a_3 = 4 olur.
3
a1⋅a5=16a_1 \cdot a_5 = 16 ve a1+a5=17a_1 + a_5 = 17 denklem sistemini çözerek birinci ve beşinci terimleri belirlemek.
a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 bulunur.
Çarpımları 16, toplamları 17 olan sayılar 1 ve 16'dır. Dizi artan olduğu için küçük olan terim birinci terim, büyük olan ise beşinci terim olmalıdır. Dolayısıyla a1=1a_1 = 1 ve a5=16a_5 = 16 olur.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) bulmak.
r=2r = 2 bulunur.
a5=a1⋅r4  ⟹  16=1⋅r4  ⟹  r4=16a_5 = a_1 \cdot r^4 \implies 16 = 1 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 olur. Terimler pozitif olduğundan ortak çarpan r=2r = 2 olarak elde edilir.
5
Dizinin sekizinci terimini (a8a_8) hesaplamak.
a8=128a_8 = 128 bulunur.
a8=a1⋅r7a_8 = a_1 \cdot r^7 formülü kullanılarak a8=1⋅27=128a_8 = 1 \cdot 2^7 = 128 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler toplamı ile çarpmaya göre terslerinin toplamı arasındaki ilişki ve genel terim özellikleri.
Soru 10Soru →

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Her terimi pozitif olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ortak çarpanı r>1r > 1'dir. Bu dizide
a7−a1a5−a3=72\frac{a_7 - a_1}{a_5 - a_3} = \frac{7}{2}
a2⋅a8=32a_2 \cdot a_8 = 32
olduğuna göre, dizinin ortak çarpanının karesi r2=r^2 = ve dördüncü terimi a4=a_4 = olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak ��arpanının karesi r2=2r^2 = 2 ve dördüncü terimi a4=4a_4 = 4'tür.
Dizinin terimleri genel terim formülüyle ifade edilip oranlandığında r2+1+1/r2=7/2r^2 + 1 + 1/r^2 = 7/2 denklemi elde edilir. Bu denklemin r>1r > 1 koşulunu sağlayan kökü r2=2r^2 = 2'dir. Ardından a2⋅a8=a42⋅r2=32a_2 \cdot a_8 = a_4^2 \cdot r^2 = 32 eşitliğinde r2r^2 yerine 2 yazılarak a42=16a_4^2 = 16 ve terimler pozitif olduğu için a4=4a_4 = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Terimleri genel terim formülü kullanarak a1a_1 ve rr cinsinden yazma.
a7−a1=a1(r6−1)a_7 - a_1 = a_1(r^6 - 1) ve a5−a3=a1(r4−r2)=a1r2(r2−1)a_5 - a_3 = a_1(r^4 - r^2) = a_1 r^2(r^2 - 1) elde edilir.
Orandaki terimleri sadeleştirebilmek için hepsini ortak bir tabanda ifade etmeliyiz.
2
Elde edilen ifadeleri oranlama ve çarpanlara ayırma yöntemiyle sadeleştirme.
a1(r6−1)a1r2(r2−1)=r6−1r2(r2−1)=(r2−1)(r4+r2+1)r2(r2−1)=r4+r2+1r2=r2+1+1r2\frac{a_1(r^6 - 1)}{a_1 r^2(r^2 - 1)} = \frac{r^6 - 1}{r^2(r^2 - 1)} = \frac{(r^2 - 1)(r^4 + r^2 + 1)}{r^2(r^2 - 1)} = \frac{r^4 + r^2 + 1}{r^2} = r^2 + 1 + \frac{1}{r^2} bulunur.
r6−1r^6 - 1 ifadesini iki kare farkı veya iki küp farkı mantığıyla (r2−1)(r4+r2+1)(r^2 - 1)(r^4 + r^2 + 1) olarak çarpanlarına ayırarak paydadaki (r2−1)(r^2 - 1) ile sadeleştiririz.
3
Sadeleşmiş ifadeyi 72\frac{7}{2}'ye eşitleyip r2r^2 değerini bulma.
r2+1+1r2=72  ⟹  r2+1r2=52r^2 + 1 + \frac{1}{r^2} = \frac{7}{2} \implies r^2 + \frac{1}{r^2} = \frac{5}{2} olur. Buradan r2=2r^2 = 2 veya r2=12r^2 = \frac{1}{2} elde edilir.
u=r2u = r^2 değişken değiştirmesi yapıldığında u+1u=52  ⟹  2u2−5u+2=0  ⟹  (2u−1)(u−2)=0u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2} \implies 2u^2 - 5u + 2 = 0 \implies (2u - 1)(u - 2) = 0 denklemi çözülür.
4
r>1r > 1 koşulunu kullanarak uygun r2r^2 değerini seçme.
r2=2r^2 = 2 olur.
r>1r > 1 ise r2>1r^2 > 1 olmalıdır. Dolayısıyla r2=2r^2 = 2 değeri seçilir, 12\frac{1}{2} elenir.
5
İkinci denklem yardımıyla a4a_4 terimini hesaplama.
a2⋅a8=(a4⋅r−2)⋅(a4⋅r4)=a42⋅r2=32a_2 \cdot a_8 = (a_4 \cdot r^{-2}) \cdot (a_4 \cdot r^4) = a_4^2 \cdot r^2 = 32 olur. r2=2r^2 = 2 yazıldığında a42⋅2=32  ⟹  a42=16  ⟹  a4=4a_4^2 \cdot 2 = 32 \implies a_4^2 = 16 \implies a_4 = 4 bulunur.
Geometrik dizinin indis özellikleri gereği a2⋅a8=a4⋅a6=a42⋅r2a_2 \cdot a_8 = a_4 \cdot a_6 = a_4^2 \cdot r^2 yazılabilir. Tüm terimler pozitif olduğundan a4=4a_4 = 4 olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin genel terim cinsinden yazılması, oranlanması ve indis özelliklerinin uygulanması
Soru 11Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a1⋅a11=128a3+a9=36 \begin{aligned} a_1 \cdot a_{11} &= 128 \\ a_3 + a_9 &= 36 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Bu dizinin ortak çarpanı r>1r > 1 olduğuna göre, a5+a7a_5 + a_7 toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24
Geometrik dizinin terim çarpımı özelliğinden a3⋅a9=a1⋅a11=128a_3 \cdot a_9 = a_1 \cdot a_{11} = 128 bulunur. Toplamları 36 ve çarpımları 128 olan pozitif terimler 4 ve 32'dir. Ortak çarpan r>1r > 1 olduğundan dizi artandır, bu yüzden a3=4a_3 = 4 ve a9=32a_9 = 32 olmalıdır. Buradan a9=a3⋅r6  ⟹  32=4⋅r6  ⟹  r6=8  ⟹  r2=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2 bulunur. İstenen terimler a5=a3⋅r2=8a_5 = a_3 \cdot r^2 = 8 ve a7=a3⋅r4=16a_7 = a_3 \cdot r^4 = 16 olup, bu terimlerin toplamı 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İndisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği özelliğini uygulamak.
a1⋅a11=a3⋅a9=128a_1 \cdot a_{11} = a_3 \cdot a_9 = 128
Bir geometrik dizide p+q=r+sp + q = r + s ise ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s eşitliği geçerlidir.
2
a3a_3 ve a9a_9 terimlerini bulmak için toplam ve çarpım değerlerini kullanarak ikinci dereceden denklem kurmak.
x2−36x+128=0  ⟹  (x−4)(x−32)=0  ⟹  {a3,a9}={4,32}x^2 - 36x + 128 = 0 \implies (x-4)(x-32) = 0 \implies \{a_3, a_9\} = \{4, 32\}
Çarpımları 128 ve toplamları 36 olan terimleri bulmak için kökleri bu sayılar olan denklem çözülür.
3
Ortak çarpanın r>1r > 1 olma ko��ulunu kullanarak dizinin artan olduğunu belirlemek ve r2r^2 değerini hesaplamak.
a3=4a_3 = 4, a9=32a_9 = 32 ve a9=a3⋅r6  ⟹  32=4⋅r6  ⟹  r6=8  ⟹  r2=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2
Dizi artan olduğundan a3<a9a_3 < a_9 olmalıdır ve terimler arasındaki oran ortak çarpanın kuvvetini verir.
4
İstenen a5+a7a_5 + a_7 toplamını a3a_3 ve r2r^2 cinsinden yazıp hesaplamak.
a5=a3⋅r2=4⋅2=8a_5 = a_3 \cdot r^2 = 4 \cdot 2 = 8 ve a7=a3⋅r4=4⋅4=16  ⟹  a5+a7=8+16=24a_7 = a_3 \cdot r^4 = 4 \cdot 4 = 16 \implies a_5 + a_7 = 8 + 16 = 24
Geometrik dizinin genel terim formülü kullanılarak istenen terimler bilinen terimler cinsinden ifade edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin indisleri toplamı eşit olduğunda çarpımlarının eşit olması ve terimler arası oranların ortak çarpanın kuvvetlerine bağlı olması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 12Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisi ile ortak farkı sıfırdan farklı olan bir (bn)(b_n) aritmetik dizisi için
a3=b3a5=b7a7=b15\begin{aligned} a_3 &= b_3 \\ a_5 &= b_7 \\ a_7 &= b_{15} \end{aligned}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu diziler için b1+b17=20b_1 + b_{17} = 20 olduğuna göre, a11−b35a_{11} - b_{35} farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Dizilerin genel terimleri üzerinden yapılan hesaplamalar sonucu elde edilen 28 değeri doğrudur.
Doğru seçenek olan 28 değeri; geometrik dizide ortak çarpan karesinin r2=2r^2 = 2 ve aritmetik dizide ortak farkın d=1d = 1 bulunmasıyla, a11=64a_{11} = 64 ile b35=36b_{35} = 36 değerlerinin farkı alınarak doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin verilen eşitlikleri arasındaki fark ilişkisini kuralım.
a5−a3=b7−b3a_5 - a_3 = b_7 - b_3 ve a7−a5=b15−b7a_7 - a_5 = b_{15} - b_7 eşitlikleri yazılır.
Geometrik dizi terimleri ile aritmetik dizi terimleri arasındaki farkları ilişkilendirmek.
2
Aritmetik dizinin ortak farkını dd kabul edip indis farkları üzerinden oranlama yapalım.
b7−b3=4db_7 - b_3 = 4d ve b15−b7=8db_{15} - b_7 = 8d olur. Buradan a7−a5a5−a3=8d4d=2\frac{a_7 - a_5}{a_5 - a_3} = \frac{8d}{4d} = 2 elde edilir.
Ortak fark sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirme yaparak geometrik dizinin terimleri arasında bir bağıntı kurmak.
3
Geometrik dizinin terimlerini ortak çarpan rr cinsinden yazıp r2r^2 değerini bulalım.
a3r4−a3r2a3r2−a3=2  ⟹  a3r2(r2−1)a3(r2−1)=2\frac{a_3 r^4 - a_3 r^2}{a_3 r^2 - a_3} = 2 \implies \frac{a_3 r^2(r^2 - 1)}{a_3(r^2 - 1)} = 2 olur. r2≠1r^2 \neq 1 ve a3≠0a_3 \neq 0 olduğundan sadeleştirme ile r2=2r^2 = 2 bulunur.
Geometrik dizinin ardışık iki çift indisli terimi arasındaki oran ilişkisini çözmek.
4
b1+b17=20b_1 + b_{17} = 20 bilgisini kullanarak dizilerin terim değerlerini bulalım.
Aritmetik dizide b1+b17=b3+b15=20b_1 + b_{17} = b_3 + b_{15} = 20 olur. a3=b3a_3 = b_3 ve a7=b15a_7 = b_{15} olduğundan a3+a7=20a_3 + a_7 = 20 elde edilir. a7=a3r4=4a3a_7 = a_3 r^4 = 4a_3 yazılırsa, 5a3=20  ⟹  a3=45a_3 = 20 \implies a_3 = 4 ve a7=16a_7 = 16 bulunur.
Dizilerin başlangıç ve belirli indisli terimlerinin sayısal değerlerini tespit etmek.
5
Dizilerin ortak farkı dd ve aritmetik dizinin genel terimini elde edelim.
b3=4b_3 = 4, b7=a5=a3r2=8b_7 = a_5 = a_3 r^2 = 8 olur. b7−b3=4d  ⟹  8−4=4d  ⟹  d=1b_7 - b_3 = 4d \implies 8 - 4 = 4d \implies d = 1 bulunur. Buradan bn=n+1b_n = n + 1 genel terimi yazılır.
Soruda istenen aritmetik dizi teriminin sayısal değerini hesaplayabilmek.
6
a11a_{11} ve b35b_{35} terimlerini hesaplayıp farklarını alalım.
a11=a3r8=4×(r2)4=4×24=64a_{11} = a_3 r^8 = 4 \times (r^2)^4 = 4 \times 2^4 = 64 ve b35=35+1=36b_{35} = 35 + 1 = 36 olur. Farkları ise 64−36=2864 - 36 = 28 olarak bulunur.
Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Geometrik ve Aritmetik Dizilerin Terimleri Arasındaki İndis İlişkileri
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 13Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,
a2⋅a10=64a_2 \cdot a_{10} = 64
a53+a73a5+a7=208\frac{a_5^3 + a_7^3}{a_5 + a_7} = 208
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, a3+a9a_3 + a_9 toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 65

Cevap

İstenen toplamın değeri 65'tir.
Verilen geometrik dizide a2⋅a10=a5⋅a7=64a_2 \cdot a_{10} = a_5 \cdot a_7 = 64 ilişkisinden ve iki küp toplamı açılımından a52+a72=272a_5^2 + a_7^2 = 272 bulunur. Tam kare tamamlama yöntemiyle a5+a7=20a_5 + a_7 = 20 elde edilir. Çarpımları 64, toplamları 20 olan pozitif sayılar 4 ve 16'dır. Dizi artan olduğu için a5=4a_5 = 4 ve a7=16a_7 = 16 olur. Buradan ortak çarpanın karesi r2=4r^2 = 4 olarak bulunur. İstenen terimler a3=a5/r2=1a_3 = a_5 / r^2 = 1 ve a9=a7⋅r2=64a_9 = a_7 \cdot r^2 = 64 olduğundan, bunların toplamı 65 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin indis özelliklerini kullanarak terimlerin çarpımını ilişkilendirmek.
a5⋅a7=64a_5 \cdot a_7 = 64
Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (2+10=5+7=122 + 10 = 5 + 7 = 12).
2
Verilen rasyonel ifadeyi iki küp toplamı özdeşliği ile sadeleştirmek.
a52+a72=272a_5^2 + a_7^2 = 272
a53+a73=(a5+a7)(a52−a5a7+a72)a_5^3 + a_7^3 = (a_5 + a_7)(a_5^2 - a_5 a_7 + a_7^2) özdeşliği kullanılarak payda sadeleştirilir ve a5⋅a7=64a_5 \cdot a_7 = 64 değeri yerine yazılır.
3
Tam kare özdeşliğinden yararlanarak terimlerin toplamını bulmak.
a5+a7=20a_5 + a_7 = 20
(a5+a7)2=a52+a72+2a5a7(a_5 + a_7)^2 = a_5^2 + a_7^2 + 2a_5 a_7 eşitliğinde değerler yerine yazılıp karekök alınır.
4
Çarpımları 64 ve toplamları 20 olan terimleri belirlemek.
a5=4a_5 = 4 ve a7=16a_7 = 16
Dizi artan olduğundan küçük olan terim a5=4a_5 = 4, büyük olan terim a7=16a_7 = 16 olmalıdır.
5
Ortak çarpan rr'yi bularak a3a_3 ve a9a_9 terimlerini elde etmek.
a3=1a_3 = 1, a9=64a_9 = 64 ve toplamları 65
a7=a5⋅r2  ⟹  r2=4a_7 = a_5 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 bulunur. Buradan a3=a5/r2=1a_3 = a_5 / r^2 = 1 ve a9=a7⋅r2=64a_9 = a_7 \cdot r^2 = 64 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arası çarpım ilişkisi ve ortak çarpan yardımıyla terimler arası geçiş yapılması.
Soru 14Soru →
Tüm terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve ortak çarpanı 11'den büyük olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a3⋅a9=1024a_3 \cdot a_9 = 1024
a5+a7=80a_5 + a_7 = 80
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin dördüncü terimi (a4a_4) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Geometrik dizilerde a3⋅a9=a62a_3 \cdot a_9 = a_6^2 özelliği kullanılarak a6=32a_6 = 32 elde edilir. Daha sonra a5+a7=80a_5 + a_7 = 80 denklemi a6r+a6⋅r=80\frac{a_6}{r} + a_6 \cdot r = 80 şeklinde yazılarak r=2r = 2 (veya r=1/2r = 1/2) bulunur. Ortak çarpan 1'den büyük dendiği için r=2r = 2 seçilir ve dördüncü terim a4=a6/r2=32/4=8a_4 = a_6 / r^2 = 32 / 4 = 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi kurma
a3⋅a9=a62=1024  ⟹  a6=32a_3 \cdot a_9 = a_6^2 = 1024 \implies a_6 = 32
Geometrik dizide terimlerin indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (an−k⋅an+k=an2a_{n-k} \cdot a_{n+k} = a_n^2). Terimler pozitif olduğu için pozitif kök alınır.
2
Diğer terimleri altıncı terim ve ortak çarpan cinsinden yazma
a5=32ra_5 = \frac{32}{r} ve a7=32ra_7 = 32r
Geometrik dizinin tanımı gereği ardışık terimler arasındaki oran ortak çarpana (rr) eşittir.
3
Verilen toplam eşitliğini kullanarak ortak çarpanı bulma
32r+32r=80  ⟹  2r2−5r+2=0  ⟹  r=2\frac{32}{r} + 32r = 80 \implies 2r^2 - 5r + 2 = 0 \implies r = 2 veya r=12r = \frac{1}{2}
Toplam eşitliği düzenlendiğinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir ve bu denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
4
Ortak çarpanı seçme ve dördüncü terimi hesaplama
r=2r = 2 seçilir. a4=a6r2=324=8a_4 = \frac{a_6}{r^2} = \frac{32}{4} = 8
Soruda ortak çarpanın 1'den büyük olduğu belirtildiğinden r=2r = 2 alınır. Altıncı terimden iki adım geriye gidilerek dördüncü terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler arası bağıntılar ve ortak çarpanın belirlenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 15Soru →

Aşağıda verilen geometrik dizi özelliklerine göre boş bırak��lan yeri uygun sayı ile doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin çarpımı PnP_n olmak üzere, P5=2432P_5 = 243^2 ve P9=2712P_9 = 27^{12} eşitlikleri veriliyor. Buna göre, bu dizinin ortak çarpanı olmalıdır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 3'tür.
Geometrik dizideki indis simetrisi gereği tek sayıda terimin çarpımı, ortadaki terimin terim sayısı kadar kuvvetine eşittir. Buradan P5=a35P_5 = a_3^5 ve P9=a59P_9 = a_5^9 yazılır. Verilen değerler 3'ün kuvveti cinsinden düzenlendiğinde a3=9a_3 = 9 ve a5=81a_5 = 81 bulunur. İki terim arasındaki oran a5/a3=r2=9a_5 / a_3 = r^2 = 9 olduğundan ve terimler pozitif tanımlandığından ortak çarpan r=3r = 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim çarpımı formülünü geometrik dizinin indis simetrisi özelliğini kullanarak ifade edelim.
P5=a35P_5 = a_3^5 ve P9=a59P_9 = a_5^9 eşitlikleri elde edilir.
Geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir (terim sayısı tek ise). Bu durumda 5 terim için ortadaki terim a3a_3, 9 terim için ise a5a_5 olur.
2
Verilen P5=2432P_5 = 243^2 ve P9=2712P_9 = 27^{12} değerlerini 3 tabanında yazarak a3a_3 ve a5a_5 terimlerini bulalım.
a3=9a_3 = 9 ve a5=81a_5 = 81 bulunur.
P5=(35)2=310=(32)5=95P_5 = (3^5)^2 = 3^{10} = (3^2)^5 = 9^5 olduğundan a3=9a_3 = 9 olur. P9=(33)12=336=(34)9=819P_9 = (3^3)^{12} = 3^{36} = (3^4)^9 = 81^9 olduğundan a5=81a_5 = 81 olur.
3
Geometrik dizinin terimleri arasındaki genel ilişkiyi kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplayalım.
r=3r = 3 elde edilir.
a5=a3⋅r2  ⟹  81=9⋅r2  ⟹  r2=9a_5 = a_3 \cdot r^2 \implies 81 = 9 \cdot r^2 \implies r^2 = 9 olur. Dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayılardan oluştuğu için ortak çarpan pozitif olmalı, dolayısıyla r=3r = 3 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin çarpım özellikleri ve indis ilişkileri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşmaktadır.

a3⋅a7=16a4+a6=10\begin{aligned} a_3 \cdot a_7 &= 16 \\ a_4 + a_6 &= 10 \end{aligned}

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

22
Verilen soruda a3⋅a7=a52=16a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 16 bağıntısından dizinin 5. terimi a5=4a_5 = 4 olarak bulunur. Aynı özellik yardımıyla a4⋅a6=a52=16a_4 \cdot a_6 = a_5^2 = 16 elde edilir. Toplamları 1010, çarpımları 1616 olan a4a_4 ve a6a_6 terimleri 22 ve 88 sayılarıdır. Eğer a4=2a_4 = 2 ve a6=8a_6 = 8 ise a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 eşitliğinden 8=2⋅r2  ⟹  r2=4  ⟹  r=28 = 2 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2 bulunur. Dolayısıyla ortak çarpan 22 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin indis özellikleri kullanılarak a3⋅a7a_3 \cdot a_7 ifadesinin eşitini bulun.
a3⋅a7=a52=16a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 16 elde edilir. Terimler pozitif gerçel sayı olduğundan a5=4a_5 = 4 bulunur.
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (3+7=5+53 + 7 = 5 + 5).
2
a4a_4 ve a6a_6 terimlerinin çarpımını a5a_5 cinsinden yazın.
a4⋅a6=a52=16a_4 \cdot a_6 = a_5^2 = 16 bulunur.
Yine aynı indis özelliğinden dolayı 4+6=5+54 + 6 = 5 + 5 olduğundan a4⋅a6=a52a_4 \cdot a_6 = a_5^2 eşitliği geçerlidir.
3
a4a_4 ve a6a_6 terimlerini bulmak için denklem sistemini kurun ve çözün.
a4+a6=10a_4 + a_6 = 10 ve a4⋅a6=16a_4 \cdot a_6 = 16 denklemlerini sağlayan değerler 22 ve 88'dir. Dolayısıyla, (a4,a6)=(2,8)(a_4, a_6) = (2, 8) veya (a4,a6)=(8,2)(a_4, a_6) = (8, 2) olur.
Toplamları 1010, çarpımları 1616 olan iki sayı x2−10x+16=0x^2 - 10x + 16 = 0 denkleminin kökleridir.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) hesaplayın.
a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 formülünden:
- Birinci durumda: 8=2⋅r2  ⟹  r2=4  ⟹  r=28 = 2 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2 (terimler pozitif olduğundan r>0r > 0).
- İkinci durumda: 2=8⋅r2  ⟹  r2=14  ⟹  r=122 = 8 \cdot r^2 \implies r^2 = \frac{1}{4} \implies r = \frac{1}{2} elde edilir.
Ardışık olmayan iki terim arasındaki oran, ortak çarpanın indis farkı kadar kuvvetine eşittir.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizide an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği ve terimler arasındaki geometrik ilişki.
Soru 17Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için
a2⋅a6=36a1+a7=15\begin{aligned} a_2 \cdot a_6 &= 36 \\ a_1 + a_7 &= 15 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, a10a_{10} teriminin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Artan geometrik dizinin özellikleri kullanılarak yapılan hesaplamalar sonucunda onuncu terim olan a10a_{10} değeri 24 olarak bulunur.
Dizinin artan özelliğinden yola çıkılarak birinci terim 3, yedinci terim 12 olarak bulunur. Ortak çarpanın küpü r3=2r^3 = 2 elde edilir ve buradan onuncu terim a7⋅r3=12⋅2=24a_7 \cdot r^3 = 12 \cdot 2 = 24 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
a2⋅a6=36a_2 \cdot a_6 = 36 eşitliğini kullanarak a4a_4 terimini bulma.
a4=6a_4 = 6
Bir geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir: a2⋅a6=a4⋅a4=a42a_2 \cdot a_6 = a_4 \cdot a_4 = a_4^2.
2
a1⋅a7a_1 \cdot a_7 çarpımını bulma.
a1⋅a7=36a_1 \cdot a_7 = 36
Aynı indis özelliği gereği a1⋅a7=a42a_1 \cdot a_7 = a_4^2 eşitliği geçerlidir.
3
a1+a7=15a_1 + a_7 = 15 ve a1⋅a7=36a_1 \cdot a_7 = 36 denklem sistemini çözme.
{a1,a7}={3,12}\{a_1, a_7\} = \{3, 12\}
Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar kök bulma yöntemi veya çarpanlara ayırma ile 3 ve 12 olarak elde edilir.
4
Artan dizi şartına göre a1a_1 ve a7a_7 değerlerini atama.
a1=3a_1 = 3 ve a7=12a_7 = 12
Dizi artan olduğundan ilk terim yedinci terimden küçük olmalıdır.
5
Dizinin ortak çarpanının küpünü (r3r^3) hesaplama.
r3=2r^3 = 2
a7=a1⋅r6  ⟹  12=3⋅r6  ⟹  r6=4  ⟹  r3=2a_7 = a_1 \cdot r^6 \implies 12 = 3 \cdot r^6 \implies r^6 = 4 \implies r^3 = 2 olur.
6
a10a_{10} teriminin değerini hesaplama.
a10=24a_{10} = 24
a10=a7⋅r3a_{10} = a_7 \cdot r^3 eşitliği kullanılarak 12⋅2=2412 \cdot 2 = 24 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin indis özellikleri (ap⋅aq=ar⋅asa_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s burada p+q=r+sp+q = r+s) ve genel terim formülü.
Soru 18Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a3⋅a7=36a_3 \cdot a_7 = 36
a1+a9=15a_1 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, a32+a72a_3^2 + a_7^2 toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

90
Dizinin artan olma özelliği ve geometrik dizi kuralları doğru uygulandığında a1=3a_1=3, a9=12a_9=12 ve r2=2r^2=\sqrt{2} bulunur. Buradan a32+a72=18+72=90a_3^2 + a_7^2 = 18 + 72 = 90 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin simetri özelliğini kullanarak ortanca terimi bulma.
a5=6a_5 = 6 ve a1⋅a9=36a_1 \cdot a_9 = 36
Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir. 3+7=1+9=103+7 = 1+9 = 10 olduğundan a3⋅a7=a1⋅a9=a52=36a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = a_5^2 = 36 olur.
2
İlk ve dokuzuncu terimleri bulmak için denklem sistemini çözme.
a1=3a_1 = 3 ve a9=12a_9 = 12
Çarpımları 36 ve toplamları 15 olan pozitif sayılar 3 ve 12'dir. Dizi artan olduğu için a1<a9a_1 < a_9 olmalıdır. Dolayısıyla a1=3a_1 = 3 ve a9=12a_9 = 12 bulunur.
3
Dizinin ortak çarpanının karesini (r2r^2) elde etme.
r2=2r^2 = \sqrt{2}
a9=a1⋅r8a_9 = a_1 \cdot r^8 bağıntısından 12=3⋅r8⇒r8=4⇒r2=212 = 3 \cdot r^8 \Rightarrow r^8 = 4 \Rightarrow r^2 = \sqrt{2} elde edilir.
4
İstenen üçüncü ve yedinci terimlerin değerlerini hesaplama.
a3=32a_3 = 3\sqrt{2} ve a7=62a_7 = 6\sqrt{2}
a3=a1⋅r2=32a_3 = a_1 \cdot r^2 = 3\sqrt{2} ve a7=a9/r2=12/2=62a_7 = a_9 / r^2 = 12 / \sqrt{2} = 6\sqrt{2} olarak bulunur.
5
Kareler toplamını hesaplama.
a32+a72=90a_3^2 + a_7^2 = 90
a32+a72=(32)2+(62)2=18+72=90a_3^2 + a_7^2 = (3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 18 + 72 = 90 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimler arası çarpım simetrisi ve indis ilişkileri.
Soru 19Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisi için dik koordinat düzleminde Pn(n,log⁡2(an))P_n(n, \log_2(a_n)) noktaları tanımlanıyor. Bu noktaların tamamı aynı doğru üzerinde olup P2P_2 ve P5P_5 noktalarından geçen doğrunun eğimi 22'dir. a1⋅a3=64a_1 \cdot a_3 = 64 olduğuna göre, aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Aşağıdaki boşlukları doldurun

Bu geometrik dizinin ortak çarpanı ve altıncı terimi olan a6a_6 değeri olur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 4, altıncı terimi ise 2048'dir.
Koordinat düzlemindeki noktaların doğrusallığı ve eğim formülü kullanılarak log⁡2(r)=2\log_2(r) = 2 elde edilir ve ortak çarpan r=4r=4 bulunur. Geometrik dizinin ardışık terim özelliği gereği a22=a1⋅a3=64a_2^2 = a_1 \cdot a_3 = 64 bağıntısından a2=8a_2 = 8 ve dolayısıyla a1=2a_1 = 2 bulunur. Genel terim formülüyle a6=a1⋅r5=2048a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2048 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eğimi ile ortak çarpan arasındaki ilişkiyi kurma
m=log⁡2(r)=2m = \log_2(r) = 2 olup buradan dizinin ortak çarpanı r=4r = 4 olarak bulunur.
Pn(n,log⁡2(an))P_n(n, \log_2(a_n)) noktalarının doğrusal olması, yn=log⁡2(an)y_n = \log_2(a_n) dizisinin bir aritmetik dizi olduğunu gösterir. İki nokta arasındaki doğrunun eğimi, bu aritmetik dizinin ortak farkına eşittir: m=log⁡2(a5)−log⁡2(a2)5−2=log⁡2(a5/a2)3=log⁡2(r3)3=log⁡2(r)m = \frac{\log_2(a_5) - \log_2(a_2)}{5 - 2} = \frac{\log_2(a_5 / a_2)}{3} = \frac{\log_2(r^3)}{3} = \log_2(r).
2
Dizinin terimleri arasındaki geometrik ortalama özelliğini kullanma
a2=8a_2 = 8 olarak bulunur.
Geometrik dizilerde birbirine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı özelliğinden dolayı a1⋅a3=a22a_1 \cdot a_3 = a_2^2 olur. a22=64a_2^2 = 64 ve dizi pozitif terimli olduğundan a2=8a_2 = 8 elde edilir.
3
Dizinin ilk terimini bulma
a1=2a_1 = 2 olarak bulunur.
a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r bağıntısı kullanılarak 8=a1⋅4⇒a1=28 = a_1 \cdot 4 \Rightarrow a_1 = 2 bulunur.
4
Altıncı terimi (a6a_6) hesaplama
a6=2048a_6 = 2048 olarak bulunur.
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} kullanılarak a6=a1⋅r5=2⋅45=2⋅1024=2048a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2 \cdot 4^5 = 2 \cdot 1024 = 2048 hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin tanımı, terimleri arasındaki oran ve logaritma ile ilişkisi
Soru 20Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk 15 teriminin çarpımı 121512^{15}'tir.

Bu dizinin birinci ve on beşinci terimlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 518\frac{5}{18} olduğuna göre, dizinin yirmi ikinci terimi (a22a_{22}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Dizinin yirmi ikinci terimi 108'dir.
Dizinin ilk 15 teriminin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşit olup a8=12a_8 = 12 bulunur. Simetrik terimlerin çarpımı özelliğinden a1⋅a15=a82=144a_1 \cdot a_{15} = a_8^2 = 144 elde edilir. Çarpmaya göre terslerin toplamı payda eşitlenerek yazıldığında a1+a15144=518\frac{a_1 + a_{15}}{144} = \frac{5}{18} eşitliğinden a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40 bulunur. Toplamları 40, çarpımları 144 olan sayılar 4 ve 36'dır. Artan dizi şartıyla a1=4a_1 = 4, a15=36a_{15} = 36 olur. a15=a1⋅r14  ⟹  r14=9  ⟹  r7=3a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 \implies r^7 = 3 elde edilir. Buradan a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 15 terimin çarpımını tek bir terim cinsinden yazarak a8a_8 ve a1⋅a15a_1 \cdot a_{15} değerlerini hesaplamak.
a8=12a_8 = 12 ve a1⋅a15=144a_1 \cdot a_{15} = 144
Bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı sabittir. İlk 15 terimin çarpımı ortadaki terim olan a8a_8'in 15. kuvvetine eşittir.
2
Verilen çarpmaya göre terslerin toplamı denkleminde payda eşitlemek ve toplam değerini bulmak.
a1+a15=40a_1 + a_{15} = 40
1a1+1a15=a1+a15a1⋅a15=518\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_{15}} = \frac{a_1 + a_{15}}{a_1 \cdot a_{15}} = \frac{5}{18} eşitliğinde payda kısmındaki çarpım yerine 144 yazılarak toplam çekilir.
3
Toplamları ve ��arpımları bilinen iki terimi bulmak için ikinci dereceden denklem kurup çözmek.
a1=4a_1 = 4 ve a15=36a_{15} = 36
Toplamları 40 ve çarpımları 144 olan sayılar (x−4)(x−36)=0(x-4)(x-36) = 0 denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için küçük olan değer birinci terime, büyük olan değer on beşinci terime eşittir.
4
Ortak çarpanın kuvvetini bulup istenen terimi hesaplamak.
a22=108a_{22} = 108
a15=a1⋅r14  ⟹  36=4⋅r14  ⟹  r14=9a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies 36 = 4 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 olur. Buradan r7=3r^7 = 3 bulunur. İstenen terim a22=a15⋅r7=36⋅3=108a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108 şeklinde elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası geçiş kuralları.
Sayfa 1 / 2Sonraki
Geometrik Dizi ve Özellikleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin