Examkin

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

230 soru

Tüm türler230Çoktan seçmeli134Doğru / Yanlış2Sayısal84Eşleştirme10
Soru 21Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,

* ff fonksiyonu pozitif değerli ve azalandır.
* gg fonksiyonu negatif değerli ve artandır.

bilgileri veriliyor.

Buna göre, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima artandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)

Cevap

Çarpım fonksiyonu olan f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)
Çarpım fonksiyonu incelendiğinde, x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 özellikleri kullanılarak yapılan eşitsizlik işlemlerinde (f⋅g)(x1)<(f⋅g)(x2)(f \cdot g)(x_1) < (f \cdot g)(x_2) sonucuna kesin olarak ulaşılır. Bu durum, çarpım fonksiyonunun daima artan olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlardan yola çıkarak x1<x2x_1 < x_2 için fonksiyonların değer aralıklarını ve yönlerini belirleme.
f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 eşitsizlikleri elde edilir.
ff fonksiyonunun pozitif değerli ve azalan, gg fonksiyonunun ise negatif değerli ve artan olarak tanımlanması.
2
f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) eşitsizliğinde her iki tarafı negatif değerli olan g(x1)g(x_1) ile çarpma.
f(x1)⋅g(x1)<f(x2)⋅g(x1)f(x_1) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_1) eşitsizliği elde edilir.
Negatif bir sayı ile çarpılan eşitsizliğin y��n değiştirmesi.
3
g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) eşitsizliğinde her iki tarafı pozitif değerli olan f(x2)f(x_2) ile çarpma.
f(x2)⋅g(x1)<f(x2)⋅g(x2)f(x_2) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_2) eşitsizliği elde edilir.
Pozitif bir sayı ile çarpılan eşitsizliğin yönünü koruması.
4
Elde edilen iki eşitsizliği geçişme özelliği yardımıyla birleştirme.
f(x1)⋅g(x1)<f(x2)⋅g(x2)f(x_1) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_2) yani (f⋅g)(x1)<(f⋅g)(x2)(f \cdot g)(x_1) < (f \cdot g)(x_2) eşitsizliği elde edilir.
Her iki eşitsizlikte de ortak olan f(x2)⋅g(x1)f(x_2) \cdot g(x_1) terimi üzerinden geçişme özelliğinin uygulanması.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların artanlık ve azalanlık tanımlarının eşitsizlik özellikleri kullanılarak analiz edilmesi
Soru 22Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için her x1,x2∈Rx_1, x_2 \in \mathbb{R} ve x1≠x2x_1 \neq x_2 olmak üzere,
f(x1)−f(x2)x1−x2<0\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0
eşitsizliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
g(x)=f(x2−6x+8)g(x) = f(x^2 - 6x + 8)
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,3](-\infty, 3]

Cevap

g fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
Verilen değişim oranı bağıntısı, ff fonksiyonunun gerçel sayılarda daima azalan olduğunu gösterir. g(x)=f(x2−6x+8)g(x) = f(x^2 - 6x + 8) bileşke fonksiyonunun artan olabilmesi için, azalan bir fonksiyonun içine yazılan u(x)=x2−6x+8u(x) = x^2 - 6x + 8 ifadesinin azalan olması gerekir. Başkatsayısı pozitif olan u(x)u(x) parabolünün tepe noktası x=3x = 3 olup, bu parabol (−∞,3](-\infty, 3] aralığında azalandır. Dolayısıyla g(x)g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun monotonluk (artan/azalan) durumunu belirleme.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde daima azalandır.
Her x1≠x2x_1 \neq x_2 için f(x1)−f(x2)x1−x2<0\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0 oranı verilmiştir. Bu oran fonksiyonun ortalama değişim hızı formülüdür. Değişim oranının daima negatif olması, fonksiyonun tanım kümesinde daima azalan olduğunu gösterir.
2
Bileşke fonksiyon yapısındaki g(x) fonksiyonunun artanlık koşulunu analiz etme.
g(x)=f(u(x))g(x) = f(u(x)) fonksiyonunun artan olması için u(x)=x2−6x+8u(x) = x^2 - 6x + 8 ifadesinin azalan olması gerekir.
ff azalan bir fonksiyon olduğundan, girdiler küçüldükçe çıktılar büyür. Yani u(x1)>u(x2)  ⟹  f(u(x1))<f(u(x2))u(x_1) > u(x_2) \implies f(u(x_1)) < f(u(x_2)) olur. g(x)g(x) fonksiyonunun artan olması (x1<x2  ⟹  g(x1)<g(x2)x_1 < x_2 \implies g(x_1) < g(x_2)) için, içteki u(x)u(x) fonksiyonunun azalan (x1<x2  ⟹  u(x1)>u(x2)x_1 < x_2 \implies u(x_1) > u(x_2)) olması gerekmektedir.
3
u(x) = x^2 - 6x + 8 parabolünün azalan olduğu en geniş aralığı bulma.
u(x)u(x) fonksiyonu (−∞,3](-\infty, 3] aralığında azalandır.
u(x)=x2−6x+8u(x) = x^2 - 6x + 8 parabolünün başkatsayısı 1>01 > 0 olduğu için kolları yukarı doğrudur. Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−62⋅1=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 olarak bulunur. Kolları yukarı doğru olan bir parabol tepe noktasına kadar azalandır. Bu nedenle azalan olduğu en geni�� aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
4
Elde edilen sonuçları birleştirerek g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı yazma.
g(x)g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
u(x)u(x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık, g(x)=f(u(x))g(x) = f(u(x)) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığa eşittir.

Anahtar Kavram

Değişim oranı yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi, bileşke fonksiyonların monotonluk analizi ve ikinci dereceden fonksiyonların (parabol) artan/azalan olduğu aralıkların bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 23Soru →
f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,4][1, 4] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Ortalama değişim hızı 77 olarak bulunur.
Ortalama değişim hızı formülü f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} şeklindedir. [1,4][1, 4] aralığı için f(4)=24f(4) = 24 ve f(1)=3f(1) = 3 değerleri formülde yerine yazıldığında 24−34−1=213=7\frac{24 - 3}{4 - 1} = \frac{21}{3} = 7 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Sınır noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(1)=3f(1) = 3 ve f(4)=24f(4) = 24
Ortalama değişim hızı formülünde kullanılacak f(a)f(a) ve f(b)f(b) değerlerini bulmak için
2
Ortalama değişim hızı formülünü uygulama
f(4)−f(1)4−1=24−33=7\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{24 - 3}{3} = 7
Belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızını bulmak için

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun verilen bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin farkının aralık genişliğine oranıdır.
Soru 24Soru →

Bir biyoloji laboratuvarında incelenen bakteri popülasyonunun tt. saatteki sayısının (bin adet olarak) zamana göre değişimi P(t)=a⋅bt+cP(t) = a \cdot b^t + c fonksiyonu ile modellenmektedir (burada aa, bb ve cc birer gerçek sayı olup b>1b > 1 ve a>0a > 0'dır).

Bu modelde bakteri popülasyonunun;
- İlk 2 saatteki ([0,2][0, 2] zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte 66 bin bakteri,
- 2. saat ile 4. saat arasındaki ([2,4][2, 4] zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte 2424 bin bakteridir.

Buna göre, bu bakteri popülasyonunun [1,3][1, 3] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte kaç bin bakteridir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Bakteri popülasyonunun [1,3][1, 3] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte 12 bin bakteridir.
Verilen iki farklı zaman aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözülerek modelin katsayıları olan a=4a = 4 ve b=2b = 2 değerlerine ulaşılır. Sonrasında istenen [1,3][1, 3] aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında sonucun 1212 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
[0,2][0, 2] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.
a(b2−1)=12a(b^2 - 1) = 12 elde edilir.
Ortalama değişim hızı formülü P(b)−P(a)b−a\frac{P(b) - P(a)}{b - a} şeklindedir. [0,2][0, 2] aralığı için P(2)−P(0)2−0=6\frac{P(2) - P(0)}{2 - 0} = 6 eşitliği kullanılır.
2
[2,4][2, 4] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.
a⋅b2(b2−1)=48a \cdot b^2(b^2 - 1) = 48 elde edilir.
[2,4][2, 4] aralığı için ortalama değişim hızı P(4)−P(2)4−2=24\frac{P(4) - P(2)}{4 - 2} = 24 olarak verilmiştir.
3
Elde edilen iki denklem birbirine oranlanarak bb taban değeri çözülür.
b2=4b^2 = 4 ve b>1b > 1 koşuluyla b=2b = 2 bulunur.
Her iki denklemde ortak olan a(b2−1)a(b^2 - 1) terimlerini sadeleştirmek için bölme işlemi yapılır.
4
b=2b = 2 değeri ilk denklemde yerine yazılarak aa katsayısı bulunur.
a=4a = 4 bulunur.
a(22−1)=12⇒3a=12⇒a=4a(2^2 - 1) = 12 \Rightarrow 3a = 12 \Rightarrow a = 4 elde edilir.
5
[1,3][1, 3] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı formülü kurularak hesaplama tamamlanır.
Ortalama değişim hızı 1212 olarak hesaplanır.
P(3)−P(1)3−1=4(23−2)2=12\frac{P(3) - P(1)}{3 - 1} = \frac{4(2^3 - 2)}{2} = 12 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralıktaki değişim miktarının bağımsız değişkendeki değişime oranıdır.
Soru 25Soru →
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 fonksiyonunun [2,5][2, 5] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 77'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Ortalama değişim hızı formülü uygulandığında pay kısmında f(5)−f(2)=21f(5) - f(2) = 21, payda kısmında 5−2=35 - 2 = 3 elde edilir. Bu değerlerin oranı olan 21/3=721 / 3 = 7 sayısı ifadedeki değerle birebir uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
[2,5][2, 5] aralığının sınır değerleri olan x=2x = 2 ve x=5x = 5 değerleri için fonksiyonun aldığı değerler hesaplanır.
f(2)=22+1=5f(2) = 2^2 + 1 = 5 ve f(5)=52+1=26f(5) = 5^2 + 1 = 26 bulunur.
Ortalama değişim hızı formülünün pay kısmındaki terimleri elde etmek amacıyla.
2
f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} ortalama değişim hızı formülü verilen aralık için uygulanır.
f(5)−f(2)5−2=26−55−2=213=7\frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{26 - 5}{5 - 2} = \frac{21}{3} = 7 olarak bulunur.
Fonksiyonun belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızını tespit etmek amacıyla.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı, bu aralığın uç noktalarından geçen kesen doğrusunun eğimine eşittir ve f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} bağıntısıyla hesaplanır.
Soru 26Soru →
Azalan bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu yardımıyla
g(x)=f(x2−6x+8)g(x) = f(x^2 - 6x + 8)
fonksiyonu tanımlanıyor.

gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,a](-\infty, a] olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür. Azalan bir fonksiyon altında bileşke fonksiyonun artan olabilmesi için içteki fonksiyonun azalan olması gerekir. Buna göre x^2 - 6x + 8 parabolü tepe noktası olan x = 3'ün solunda, yani (-∞, 3] aralığında azalandır. Bu nedenle g fonksiyonu bu aralıkta artan olur ve a = 3 bulunur.
g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için içteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir (çünkü f azalandır). u(x) parabolünün tepe noktası apsisi 3 olduğundan, bu parabolün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır. Buradan a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun artanlık koşulunu analiz etmek.
g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir.
f fonksiyonu azalan olduğundan, girdiler küçüldükçe çıktılar büyür. Bu yüzden, x arttıkça g(x) değerlerinin artması için girdisi olan u(x) değerlerinin azalması gerekir.
2
İçteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığı bulmak.
u(x) parabolünün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır.
Kolları yukarı doğru olan bir parabolün azalan olduğu bölge, tepe noktasının sol tarafıdır. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3 olduğundan, azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olur.
3
a değerini tespit etmek.
a = 3 bulunur.
g fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olarak elde edilir. Soruda bu aralık (-∞, a] olarak verildiğinden a = 3'tür.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonlarda Artanlık ve Azalanlık
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 27Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2(k+1)x+k2+2k−3f(x) = x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k - 3
parabolünün eksenleri kestiği farklı noktalar AA, BB ve CC olarak adlandırılıyor.

AA, BB ve CC noktalarından geçen çember, yy-eksenine CC noktasında teğet olduğuna göre, kk sayısının alabileceği farklı gerçel değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Çemberin teğetlik ve kiriş özellikleri kullanılarak elde edilen denklemin gerçel köklerinin çarpımı olan -4 sayısı doğru cevaptır.
Çemberin teğetlik ve kiriş özellikleri doğrultusunda merkezinin M(k+1,k2+2k−3)M(k+1, k^2+2k-3) ve yarıçapının R=∣k+1∣R = |k+1| olduğu tespit edilir. Merkezin A(k−1,0)A(k-1, 0) noktasına uzaklığından elde edilen k2+2k−4=0k^2+2k-4 = 0 denkleminin kökler çarpımı −4-4 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleyelim.
f(x)=x2−2(k+1)x+k2+2k−3=0f(x) = x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k - 3 = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Kökler x1,2=(k+1)±2x_{1,2} = (k+1) \pm 2 şeklinde bulunur. Böylece xx-eksenini kesim noktaları A(k−1,0)A(k-1, 0) ve B(k+3,0)B(k+3, 0) olur. yy-eksenini kesim noktası ise C(0,k2+2k−3)C(0, k^2+2k-3)'tür.
Çemberin geçeceği noktaların koordinatlarını elde etmek için parabolün eksenleri kestiği noktalar hesaplanır.
2
Çemberin merkezini ve yarıçapını belirleyelim.
Çember yy-eksenine C(0,yC)C(0, y_C) noktasında teğet olduğundan merkezinin yy-koordinatı yC=k2+2k−3y_C = k^2+2k-3 olur. Çember AA ve BB noktalarından geçtiği için merkezinin xx-koordinatı simetri ekseni üzerinde olmalıdır: x0=(k−1)+(k+3)2=k+1x_0 = \frac{(k-1)+(k+3)}{2} = k+1. Dolayısıyla merkez M(k+1,k2+2k−3)M(k+1, k^2+2k-3) ve yarıçap R=∣k+1∣R = |k+1| olur.
Teğetlik ve kiriş özelliklerini kullanarak çemberin geometrik denklemini kurmak için bu koordinatlar belirlenir.
3
Merkezin çember üzerindeki AA noktasına olan uzaklığını yarıçapa eşitleyelim.
((k+1)−(k−1))2+(k2+2k−3−0)2=R2  ⟹  4+(k2+2k−3)2=(k+1)2((k+1) - (k-1))^2 + (k^2+2k-3 - 0)^2 = R^2 \implies 4 + (k^2+2k-3)^2 = (k+1)^2 denklemi elde edilir.
Çemberin üzerindeki bir noktanın merkeze olan uzaklığı yarıçapa eşit olduğundan bu bağıntı yazılır.
4
Değişken değiştirme yöntemiyle denklemi çözelim.
t=k2+2k−3t = k^2+2k-3 dersek (k+1)2=k2+2k+1=t+4(k+1)^2 = k^2+2k+1 = t+4 olur. Buradan 4+t2=t+4  ⟹  t2−t=0  ⟹  t(t−1)=04 + t^2 = t + 4 \implies t^2 - t = 0 \implies t(t-1) = 0 bulunur. Buradan t=0t = 0 veya t=1t = 1 elde edilir.
İkinci dereceden denklemi basitleştirerek çözmek için değişken değiştirme uygulanır.
5
Noktaların farklı olması koşulunu inceleyerek kk değerlerini bulalım.
t=0  ⟹  k2+2k−3=0t = 0 \implies k^2+2k-3 = 0 durumunda C(0,0)C(0,0) olur, bu durumda parabol orijinden geçer ve kesim noktaları çakışır. Noktaların farklı olması gerektiğinden bu durum elenir. t=1  ⟹  k2+2k−3=1  ⟹  k2+2k−4=0t = 1 \implies k^2+2k-3 = 1 \implies k^2+2k-4 = 0 denklemi kalır. Bu denklemin diskriminantı Δ=20>0\Delta = 20 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Kökler çarpımı ise Vieta formülünden −41=−4\frac{-4}{1} = -4 olarak bulunur.
Soruda verilen koşullara uyan geçerli kk değerlerinin çarpımını bulmak için bu analiz tamamlanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar, simetri ekseni, çemberin analitik incelenmesi ve teğetlik özellikleri.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 28Soru →

Analitik düzlemde f(x)=(x−3)2−4f(x) = (x - 3)^2 - 4 fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatları toplamı 11'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek amacıyla sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir. x=0x=0 için y eksenini kesim noktası (0,5)(0, 5) olarak belirlenir. y=0y=0 için x eksenini kesim noktaları (1,0)(1, 0) ve (5,0)(5, 0) olarak hesaplanır. Bu üç noktanın tüm koordinatları toplandığında 11 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y eksenini kestiği noktayı bulunuz.
(0,5)(0, 5)
Parabolün y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x=0x = 0 yazılır: f(0)=(0−3)2−4=9−4=5f(0) = (0-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 elde edilir.
2
Parabolün x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
(1,0)(1, 0) ve (5,0)(5, 0)
Parabolün x eksenini kestiği noktaları bulmak için y=0y = 0 yazılıp denklem çözülür: (x−3)2−4=0⇒(x−3)2=4⇒x−3=2(x-3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 4 \Rightarrow x-3 = 2 veya x−3=−2x-3 = -2 olup buradan x1=5x_1 = 5 ve x2=1x_2 = 1 bulunur.
3
Bulunan tüm noktaların koordinatlarını toplayınız.
11
Eksenleri kesim noktaları (5,0)(5, 0), (1,0)(1, 0) ve (0,5)(0, 5) olduğuna göre, koordinatların toplam��: 5+0+1+0+0+5=115 + 0 + 1 + 0 + 0 + 5 = 11 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarının bulunması
Soru 29Soru →

Grafiği y=x2−4x−12y = x^2 - 4x - 12 denklemiyle verilen parabolün, xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Parabolün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 8 birimdir.
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaların apsisleri, x2−4x−12=0x^2 - 4x - 12 = 0 denkleminin kökleri olan 66 ve −2-2 sayılarıdır. Analitik düzlemde bu noktalar arasındaki mesafe ∣6−(−2)∣=8|6 - (-2)| = 8 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için y=0y = 0 denklemi kurulur.
x2−4x−12=0x^2 - 4x - 12 = 0 denklemi elde edilir.
Bir grafiğin xx-eksenini kestiği noktalarda ordinat (yy) değeri sıfırdır.
2
x2−4x−12=0x^2 - 4x - 12 = 0 ifadesi çarpanlarına ayrılır ve kökler belirlenir.
(x−6)(x+2)=0(x - 6)(x + 2) = 0 eşitliğinden kökler x1=6x_1 = 6 ve x2=−2x_2 = -2 olarak bulunur.
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaların apsisleri, fonksiyonu sıfır yapan kök değerleridir.
3
Elde edilen apsis değerleri arasındaki mutlak fark hesaplanır.
∣6−(−2)∣=8|6 - (-2)| = 8 birim bulunur.
Koordinat düzleminde xx-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların apsislerinin farkının mutlak değeridir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden bir ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri arasındaki uzaklık Δ∣a∣\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} formülüyle doğrudan hesaplanabilir. Δ=b2−4ac=(−4)2−4⋅1⋅(−12)=16+48=64\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 olur. Buradan uzaklık 64∣1∣=8\frac{\sqrt{64}}{|1|} = 8 birim olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 30Soru →
f(x)=∣x2−2x−3∣−2xf(x) = |x^2 - 2x - 3| - 2x

kuralıyla verilen ff fonksiyonunun [−4,4][-4, 4] kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeri 29, en küçük değeri ise -6 olup bu değerlerin toplamı 23'tür.
Fonksiyonun [−4,4][-4, 4] aralığındaki davranışı incelendiğinde, mutlak değerin tanımından ötürü fonksiyon parçalı bir yapıya bürünür. Bu aralıktaki yerel ekstremum noktaları ve sınır noktaları kontrol edildiğinde, fonksiyonun alabileceği en büyük değerin x=−4x = -4 için 2929, alabileceği en küçük değerin ise x=3x = 3 için −6-6 olduğu görülür. Bu iki değer toplandığında 2323 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli ifadenin kritik noktalarını (köklerini) bulma
x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0  ⟹  x=−1x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=3x = 3
Mutlak değerin dışına çıkış durumunu belirlemek amacıyla fonksiyonun kritik noktalarını tespit etmek gerekir.
2
Fonksiyonu tanımlı olduğu aralıklara göre parçalı fonksiyon biçiminde yazma
x≤−1x \le -1 veya x≥3x \ge 3 için f(x)=x2−4x−3f(x) = x^2 - 4x - 3; −1<x<3-1 < x < 3 için f(x)=−x2+3f(x) = -x^2 + 3
Farklı aralıklarda fonksiyonun farklı kurallarla davrandığını görerek analiz etmek gerekir.
3
Birinci parçanın (x≤−1x \le -1 veya x≥3x \ge 3) aralık uçlarındaki ve tepe noktasındaki değerlerini inceleme
f(−4)=29f(-4) = 29, f(−1)=2f(-1) = 2, f(3)=−6f(3) = -6, f(4)=−3f(4) = -3. Tepe noktası x=2x = 2 bu aralıklara ait değildir.
Sınır noktalarındaki değerleri hesaplayarak olası ekstremum adaylarını belirlemek gerekir.
4
İkinci parçanın (−1<x<3-1 < x < 3) tepe noktasını ve değerini inceleme
x=0x = 0 tepe noktası bu aralıktadır ve bu noktada en büyük yerel değer f(0)=3f(0) = 3 olur.
Aralık içinde kalan parabol tepe noktasının fonksiyon değerini hesaplayarak diğer aday ekstremum değerini bulmak gerekir.
5
Tüm aday değerler arasından mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri belirleyip toplama
En büyük değer 2929, en küçük değer −6-6 olup toplamları 29+(−6)=2329 + (-6) = 23 bulunur.
Belirlenen tüm aday değerleri kıyaslayarak en büyük ve en küçük değerlerin toplamını elde etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin belirlenmesi
Soru 31Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu daima artan, gg fonksiyonu ise daima azalandır.
f(3)=g(3)f(3) = g(3)
olduğuna göre,
I. f(4)>g(4)f(4) > g(4)
II. f(x)−g(x)f(x) - g(x) fonksiyonu daima artandır.
III. f(x)+g(x)f(x) + g(x) fonksiyonu daima artandır.
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri kesinlikle doğrudur.
Doğru seçenekte yer alan birinci öncül, artan ve azalan fonksiyonların tanımları gereği f(4)>f(3)=g(3)>g(4)f(4) > f(3) = g(3) > g(4) sıralamasıyla kesin olarak doğrulanır. İkinci öncül ise, herhangi x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) ve −g(x1)<−g(x2)-g(x_1) < -g(x_2) eşitsizliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla f(x)−g(x)f(x) - g(x) fark fonksiyonunun daima artan olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların artanlık ve azalanlık tanımlarını kullanarak birinci öncülü analiz edin.
ff fonksiyonu daima artan olduğundan, 4>34 > 3 için f(4)>f(3)f(4) > f(3) elde edilir. gg fonksiyonu daima azalan olduğundan, 4>34 > 3 için g(4)<g(3)g(4) < g(3) elde edilir.
Artan fonksiyonlarda tanım kümesindeki elemanlar büyüdükçe görüntüleri de büyür; azalan fonksiyonlarda ise elemanlar büyüdükçe görüntüleri küçülür.
2
Verilen eşitliği kullanarak elde edilen eşitsizlikleri birleştirin.
f(3)=g(3)f(3) = g(3) olduğundan, f(4)>f(3)=g(3)>g(4)  ⟹  f(4)>g(4)f(4) > f(3) = g(3) > g(4) \implies f(4) > g(4) elde edilir. Dolayısıyla birinci öncül kesinlikle doğrudur.
Her iki fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki değerlerinin eşit olması, bu noktadan sonraki değerlerin kıyaslanmasını sağlar.
3
İki fonksiyonun farkı olan h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) fonksiyonunun artanlığını tanım kullanarak inceleyin.
Herhangi x1<x2x_1 < x_2 gerçel sayıları için; ff artan olduğundan f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) olur. gg azalan olduğundan g(x1)>g(x2)  ⟹  −g(x1)<−g(x2)g(x_1) > g(x_2) \implies -g(x_1) < -g(x_2) olur. Bu iki eşitsizlik taraf tarafa toplandığında f(x1)−g(x1)<f(x2)−g(x2)  ⟹  h(x1)<h(x2)f(x_1) - g(x_1) < f(x_2) - g(x_2) \implies h(x_1) < h(x_2) elde edilir.
Eşitsizliklerin yönü aynı olduğundan taraf tarafa toplanabilirler ve bu durum h(x)h(x) fonksiyonunun daima artan olduğunu kanıtlar. Dolayısıyla ikinci öncül kesinlikle doğrudur.
4
İki fonksiyonun toplamı olan f(x)+g(x)f(x) + g(x) fonksiyonunun artanlığını bir karşıt örnekle inceleyin.
f(x)=2xf(x) = 2x (daima artan) ve g(x)=−3xg(x) = -3x (daima azalan) olsun. Bu durumda f(x)+g(x)=−xf(x) + g(x) = -x olur. Ancak −x-x fonksiyonu daima azalandır, artan değildir.
Bulunan karşıt örnek, artan ve azalan iki fonksiyonun toplamının daima artan olmak zorunda olmadığını gösterir. Dolayısıyla üçüncü öncül kesinlikle doğru değildir.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların tanımı ile eşitsizlik ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu daima artandır.
g(x)=f(x3−3x2−9x+12)g(x) = f(x^3 - 3x^2 - 9x + 12)
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [a,b][a, b] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen a+ba + b toplamı 22 değerine eşittir.
Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=f′(x3−3x2−9x+12)⋅(3x2−6x−9)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9) ifadesinde ff daima artan olduğundan ilk çarpan daima pozitiftir. Dolayısıyla g′(x)≤0g'(x) \le 0 olması için ikinci çarpanın 3x2−6x−9≤03x^2 - 6x - 9 \le 0 olması gerekir. Bu eşitsizlik [−1,3][-1, 3] aralığındaki gerçel sayılar için sağlandığından en geniş azalanlık aralığı [−1,3][-1, 3] olur. Buradan a=−1a = -1, b=3b = 3 bulunur ve toplamları 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak
g′(x)=f′(x3−3x2−9x+12)⋅(3x2−6x−9)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9)
Fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
Dış fonksiyonun türevinin işaretini belirlemek
f′(u)>0f'(u) > 0 (her uu gerçel sayısı için)
ff fonksiyonu daima artan olarak tanımlandığı için türevi daima pozitiftir.
3
İçteki fonksiyonun türevinin işaret tablosunu oluşturmak
3x2−6x−9≤0  ⟹  x∈[−1,3]3x^2 - 6x - 9 \le 0 \implies x \in [-1, 3]
g′(x)≤0g'(x) \le 0 olmasını sağlayan aralığı bulmak için bu eşitsizliği çözeriz.
4
aa ve bb değerlerini bulup toplamı hesaplamak
a=−1a = -1, b=3  ⟹  a+b=2b = 3 \implies a + b = 2
[−1,3][-1, 3] aralığının uç noktaları aa ve bb olarak tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevinin sıfırdan küçük veya eşit olması ve bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı uygulaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 33Soru →

Dik koordinat düzleminde, kolları yukarı doğru olan ve yy-eksenini negatif kısımda kesen bir f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,c)C(0, c) olarak adlandırılıyor. Bu parabolün tepe noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesindedir.

AA, BB ve CC noktalarından geçen çember, yy-eksenini CC noktası dışında D(0,1)D(0, 1) noktasında kesmektedir.

Bu çemberin yarıçapı 55 birim ve parabolün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 88 birim olduğuna göre, parabolün tepe noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -13

Cevap

Parabolün tepe noktasının koordinatları toplamı -13'tür.
Koordinat düzleminde çemberin geometrik özellikleri kullanılarak merkez koordinatları M(3,−3)M(3, -3) ve parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−1,0)A(-1, 0), B(7,0)B(7, 0), C(0,−7)C(0, -7) olarak belirlenir. Bu noktaları sağlayan başkatsayısı pozitif parabol denklemi f(x)=x2−6x−7f(x) = x^2 - 6x - 7 olarak kurulur. Tepe noktası T(3,−16)T(3, -16) olup, koordinatları toplamı −13-13 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin merkezinin ordinatını (yMy_M) belirleme.
yM=−3y_M = -3 ve c=−7c = -7
C(0,c)C(0, c) ve D(0,1)D(0, 1) noktaları çember üzerinde ve yy-eksenindedir. Bu iki noktanın orta noktası çemberin merkezinin ordinatını verir: yM=c+12y_M = \frac{c+1}{2}. ABAB kirişinin uzunluğu 88 birim olduğundan yarı uzunluğu 44 birimdir. Yarıçapı 55 birim olan çemberde merkezden xx-eksenine (kirişe) olan dik uzaklık Pisagor teoreminden yM2+42=52  ⟹  yM2=9  ⟹  yM=±3y_M^2 + 4^2 = 5^2 \implies y_M^2 = 9 \implies y_M = \pm 3 olur. Parabol yy-eksenini negatif kısımda kestiği için c<0c < 0 olmalıdır. yM=3  ⟹  c=5>0y_M = 3 \implies c = 5 > 0 (geçersiz) ve yM=−3  ⟹  c=−7<0y_M = -3 \implies c = -7 < 0 (geçerli) elde edilir.
2
Çemberin merkezinin apsisini (xMx_M) belirleme.
xM=3x_M = 3
Çemberin denklemi (x−xM)2+(y+3)2=25(x - x_M)^2 + (y + 3)^2 = 25 şeklindedir. D(0,1)D(0, 1) noktası çember üzerinde olduğundan (0−xM)2+(1+3)2=25  ⟹  xM2+16=25  ⟹  xM2=9  ⟹  xM=±3(0 - x_M)^2 + (1 + 3)^2 = 25 \implies x_M^2 + 16 = 25 \implies x_M^2 = 9 \implies x_M = \pm 3 bulunur. Parabolün tepe noktası dördüncü bölgede olduğundan simetri ekseninin apsisi r=xM>0r = x_M > 0 olmalıdır. Dolayısıyla xM=3x_M = 3 seçilir.
3
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları bulma.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=7x_2 = 7
Çemberin merkezi M(3,−3)M(3, -3) ve xx-eksenindeki kirişinin yarı uzunluğu 44 birim olduğundan, kesişim noktaları 3−4=−13 - 4 = -1 ve 3+4=73 + 4 = 7 olarak elde edilir.
4
Parabol denklemini kurma ve tepe noktasını bulma.
f(x)=x2−6x−7f(x) = x^2 - 6x - 7 ve T(3,−16)T(3, -16)
Kökleri −1-1 ve 77 olan parabol f(x)=a(x+1)(x−7)f(x) = a(x + 1)(x - 7) şeklindedir. f(0)=c=−7  ⟹  a(1)(−7)=−7  ⟹  a=1f(0) = c = -7 \implies a(1)(-7) = -7 \implies a = 1 bulunur. Buradan parabol f(x)=x2−6x−7f(x) = x^2 - 6x - 7 olarak elde edilir. Tepe noktası T(r,k)T(r, k) için r=3r = 3 ve k=f(3)=32−6(3)−7=−16k = f(3) = 3^2 - 6(3) - 7 = -16 olur.
5
Tepe noktasının koordinatları toplamını hesaplama.
3+(−16)=−133 + (-16) = -13
Soruda istenen tepe noktasının koordinatları toplamını elde etmek için apsis ve ordinat toplanır.

Anahtar Kavram

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Soru 34Soru →

Sol sütunda verilen parabol denklemlerini, sağ sütunda verilen ve bu parabollerin eksenleri kestiği noktalarla ilişkili olan geometrik özelliklerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 parabolü
g(x)=−x2+6x−8g(x) = -x^2 + 6x - 8 parabolü
h(x)=12x2−3x+4h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 parabolü

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x)f(x) parabolü eksenleri kestiği noktalardan geçen çemberin merkez koordinatları (2,−2)(2, -2) olan ifadeyle, g(x)g(x) parabolü tepe noktası, orijin ve yy eksenini kestiği noktanın oluşturduğu üçgenin alanı 1212 birimkare olan ifadeyle, h(x)h(x) parabolü ise eksenleri kestiği noktalardan geçen çemberin merkez koordinatları (3,3)(3, 3) olan ifadeyle eşleşir.
Sol sütundaki fonksiyonların eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktaları analitik yöntemlerle doğru bir şekilde belirlenip, sağ sütundaki çember merkez koordinatları ve üçgen alan bağıntılarıyla eşleştirildiğinde tam uyum sağlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve bu noktalardan geçen çemberin merkezini hesaplama.
Eksenleri kestiği noktalar A(−1,0)A(-1, 0), B(5,0)B(5, 0) ve C(0,−5)C(0, -5)'tir. Bu noktalardan geçen çemberin denklemi x2+y2−4x+4y−5=0x^2 + y^2 - 4x + 4y - 5 = 0 olup merkez koordinatları M(2,−2)M(2, -2)'dir.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için y=0y=0 ve x=0x=0 değerleri verilir. Üç noktadan geçen çemberin genel denklemi x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 kullanılarak katsayılar bulunur ve merkez koordinatları (−D2,−E2)(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) formülüyle elde edilir.
2
g(x)=−x2+6x−8g(x) = -x^2 + 6x - 8 parabolünün tepe noktasını, yy eksenini kestiği noktayı belirleme ve oluşan üçgenin alanını hesaplama.
yy eksenini kestiği nokta F(0,−8)F(0, -8) ve tepe noktası T(3,1)T(3, 1)'dir. O(0,0)O(0,0), T(3,1)T(3,1) ve F(0,−8)F(0,-8) noktalarından oluşan üçgenin alanı 1212 birimkaredir.
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=3r = -\frac{b}{2a} = 3 ve ordinatı k=g(3)=1k = g(3) = 1 olarak bulunur. Üçgenin tabanı yy ekseni üzerinde [0,−8][0, -8] aralığında olup 88 birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise tepe noktasının apsisi olan 33 birimdir. Buradan alan 12⋅8⋅3=12\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 birimkare çıkar.
3
h(x)=12x2−3x+4h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulma ve bu noktalardan geçen çemberin merkezini hesaplama.
Eksenleri kestiği noktalar K(2,0)K(2, 0), L(4,0)L(4, 0) ve M(0,4)M(0, 4)'tür. Bu noktalardan geçen çemberin denklemi x2+y2−6x−6y+8=0x^2 + y^2 - 6x - 6y + 8 = 0 olup merkez koordinatları M′(3,3)M'(3, 3)'tür.
Parabol denkleminde y=0y=0 yazılarak xx eksenini kestiği noktalar, x=0x=0 yazılarak yy eksenini kestiği nokta bulunur. Bu üç noktadan geçen çemberin denklemi çözülerek merkez koordinatları belirlenir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve analitik geometri uygulamaları

Alternatif Yöntem

Çemberlerin merkez koordinatlarını bulmak için çemberin genel denklemini yazmak yerine, eksenleri kestiği noktalar olan A,B,CA, B, C noktalarının orta dikmelerinin kesişim noktası bulunarak da çemberin merkezine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 35Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)=min⁡(x2−4x+6, x+2)f(x) = \min(x^2 - 4x + 6, \ x + 2)
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun [0,5][0, 5] kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Fonksiyonun alabileceği en büyük değer ile en küçük de��erin toplamı 9'dur.
Kesişim noktaları belirlendikten sonra [0,5][0, 5] aralığında fonksiyonun en küçük değerinin 22 (hem x=0x = 0 hem de x=2x = 2 için) ve en büyük değerinin 77 (x=5x = 5 için) olduğu tespit edilir. Bu iki değerin toplamı 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiklerin kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki ifadeyi birbirine eşitleyin.
x2−4x+6=x+2  ⟹  (x−1)(x−4)=0x^2 - 4x + 6 = x + 2 \implies (x - 1)(x - 4) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x=1x = 1 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Fonksiyonun hangi aralıklarda hangi kuralı takip edeceğini belirlemek için kesişim noktaları kritik sınırlardır.
2
Aralıkları parçalara ayırarak fonksiyonun kurallarını belirleyin.
[0,1][0, 1] aralığında f(x)=x+2f(x) = x + 2, [1,4][1, 4] aralığında f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6, [4,5][4, 5] aralığında f(x)=x+2f(x) = x + 2 olur.
Minimum fonksiyonunun tanımı gereği, her aralıkta görüntüsü daha küçük olan fonksiyon kuralı seçilir.
3
Her alt aralıkta en büyük ve en küçük değerleri inceleyin.
[0,1][0, 1] aralığında değerler 22 ile 33 arasındadır. [1,4][1, 4] aralığında tepe noktasında en küçük değer 22 olur. [4,5][4, 5] aralığında değerler 66 ile 77 arasındadır.
Alt aralıklardaki yerel ekstremumları ve sınır değerlerini belirlemek genel maksimum ve minimumu bulmayı sağlar.
4
Genel maksimum ve minimum değerleri belirleyip toplayın.
En büyük değer 77, en küçük değer 22 olup toplamları 7+2=97 + 2 = 9 bulunur.
Tüm alt aralıklardaki en büyük ve en küçük değerlerin karşılaştırılmasıyla mutlak ekstremum değerlerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlanan veya iki fonksiyonun minimumu/maksimumu şeklinde verilen fonksiyonların, sınır noktaları ve kritik noktaları (kesişim noktaları ve parabol tepe noktası) incelenerek en büyük ve en küçük değerlerinin bulunması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 36Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5
fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 15 birimkaredir.
Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(-1, 0), B(5, 0) ve C(0, -5) noktalarıdır. Taban uzunluğu 6 birim ve bu tabana ait yükseklik 5 birim olan üçgenin alanı 15 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün y-eksenini kestiği noktayı bulmak amacıyla fonksiyonda x yerine 0 yazılır.
f(0) = 0^2 - 4(0) - 5 = -5 olduğundan y-eksenini kestiği nokta C(0, -5) olarak bulunur.
Bir fonksiyonun grafiğinin y-eksenini kestiği noktada apsis değeri sıfırdır.
2
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları bulmak amacıyla f(x) = 0 denklemi çözülür.
x^2 - 4x - 5 = 0 denklemi (x - 5)(x + 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x = 5 ve x = -1 bulunur. Noktalar A(-1, 0) ve B(5, 0) olarak elde edilir.
Bir fonksiyonun grafiğinin x-eksenini kestiği noktalarda ordinat değeri sıfırdır.
3
Elde edilen A(-1, 0), B(5, 0) ve C(0, -5) noktalarını köşe kabul eden üçgenin alanı hesaplanır.
Üçgenin tabanı x-ekseni üzerinde olup uzunluğu |AB| = 5 - (-1) = 6 birimdir. Yüksekliği ise y-ekseni üzerinde olup uzunluğu |OC| = |-5| = 5 birimdir. Buradan alan = (6 * 5) / 2 = 15 birimkare bulunur.
Üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların bulunması ve bu noktalarla geometrik şekillerin alanlarının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Üçgenin köşe koordinatları bilindiğinde, analitik geometrideki koordinatları bilinen üçgenin alan formülü (determinant yöntemi) kullanılarak da alan doğrudan hesaplanabilir: Alan = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| formülünde noktalar yerine yazıldığında Alan = 0.5 * |-1(0 - (-5)) + 5(-5 - 0) + 0(0 - 0)| = 0.5 * |-5 - 25| = 15 birimkare elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 37Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 33 olarak verilmiştir.

gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
g(x)=f(2x−1)+x2g(x) = f(2x - 1) + x^2
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

g fonksiyonunun belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızı 10'dur.
Doğru cevap olan 10 değeri, ortalama değişim hızı tanımından yola çıkılarak bulunur. ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki hızı 3 olduğundan f(5)−f(1)=12f(5) - f(1) = 12 elde edilir. gg fonksiyonunun sınır değerleri farkı g(3)−g(1)=f(5)−f(1)+8=20g(3) - g(1) = f(5) - f(1) + 8 = 20 olur. Bu fark aralık boyu olan 2'ye bölündüğünde ortalama değişim hızı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı formülü yaz��lır ve verilen değer yerine konur.
f(5)−f(1)5−1=3  ⟹  f(5)−f(1)=12\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = 3 \implies f(5) - f(1) = 12
gg fonksiyonunun değişimini hesaplarken kullanılacak olan f(5)−f(1)f(5) - f(1) farkını bulmak için.
2
gg fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı form��lü yazılır.
Ortalama Deg˘is¸im Hızı=g(3)−g(1)3−1\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{g(3) - g(1)}{3 - 1}
İstenen aralıktaki ortalama değişim hızı tanımını uygulamak için.
3
g(3)g(3) ve g(1)g(1) değerleri tanımlanan fonksiyonda yerlerine yazılarak ff cinsinden elde edilir.
g(3)=f(2⋅3−1)+32=f(5)+9g(3) = f(2 \cdot 3 - 1) + 3^2 = f(5) + 9
g(1)=f(2⋅1−1)+12=f(1)+1g(1) = f(2 \cdot 1 - 1) + 1^2 = f(1) + 1
gg fonksiyonunun sınır değerlerini belirlemek için.
4
g(3)−g(1)g(3) - g(1) farkı hesaplanır ve f(5)−f(1)=12f(5) - f(1) = 12 eşitliği yerine yazıl��r.
g(3)−g(1)=(f(5)+9)−(f(1)+1)=f(5)−f(1)+8=12+8=20g(3) - g(1) = (f(5) + 9) - (f(1) + 1) = f(5) - f(1) + 8 = 12 + 8 = 20
gg fonksiyonunun bu aralıktaki toplam değişim miktarını belirlemek için.
5
Toplam değişim miktarı, aralık genişliği olan 3−1=23 - 1 = 2 değerine bölünerek ortalama değişim hızı hesaplanır.
Ortalama Deg˘is¸im Hızı=202=10\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{20}{2} = 10
Nihai ortalama değişim hızını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun [a,b][a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} formülüyle hesaplanır.

Alternatif Yöntem

Özel bir doğrusal fonksiyon seçilerek modelleme yapılabilir. f(x)f(x) fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki ortalama değişim hızı 33 olduğundan f(x)=3xf(x) = 3x alınabilir. Bu durumda g(x)=3(2x−1)+x2=x2+6x−3g(x) = 3(2x - 1) + x^2 = x^2 + 6x - 3 olur. g(x)g(x)'in [1,3][1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı ise g(3)−g(1)3−1=(9+18−3)−(1+6−3)2=24−42=10\frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = \frac{(9 + 18 - 3) - (1 + 6 - 3)}{2} = \frac{24 - 4}{2} = 10 olarak hızlıca hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 38Soru →

Sol sütunda verilen parabol denklemleri ile sağ sütunda verilen ve bu parabollerin eksenleri kestiği noktalarla ilgili olan özellikleri doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−9f(x) = x^2 - 9
g(x)=(x+2)2g(x) = (x + 2)^2
h(x)=x2−x−6h(x) = x^2 - x - 6

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sol sütundaki parabol denklemleri sırasıyla sağ sütundaki uygun kesim noktası özellikleri ile eşleştirilmiştir.
Verilen fonksiyonlarda sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri konularak eksenleri kestiği noktalar tespit edilmiş ve eşleştirmeler doğru yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci parabolün eksen kesim noktalarını hesaplama
f(x)=x2−9f(x) = x^2 - 9 parabolü için yy-keseni (0,−9)(0, -9) ve xx-kesenleri (−3,0)(-3, 0) ile (3,0)(3, 0)'dır.
x=0x = 0 verilerek yy-eksenini kestiği nokta, y=0y = 0 verilerek xx-eksenini kestiği noktalar bulunur.
2
İkinci parabolün eksen kesim noktalarını hesaplama
g(x)=(x+2)2g(x) = (x + 2)^2 parabolü için yy-keseni (0,4)(0, 4) ve teğet noktası (−2,0)(-2, 0)'dır.
Tam kare ifadelerin diskriminantı sıfır olduğundan xx-eksenine teğettirler.
3
Üçüncü parabolün eksen kesim noktalarını hesaplama
h(x)=(x−3)(x+2)h(x) = (x - 3)(x + 2) parabolü için xx-kesenleri (−2,0)(-2, 0) ve (3,0)(3, 0)'dır.
İkinci dereceden ifadenin kökleri çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunarak eksen kesişim koordinatları belirlenir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların analitik olarak bulunması ve yorumlanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 39Soru →
Dik koordinat düzleminde, bb ve cc gerçek sayılar ve c>0c > 0 olmak üzere,
f(x)=−12x2+bx+cf(x) = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c
fonksiyonunun grafiği olan parabol xx-eksenini farklı AA ve BB noktalarında, yy-eksenini ise CC noktasında kesmektedir.

AA, BB ve CC noktalarından geçen çember, yy-eksenini CC noktasından farklı bir DD noktasında daha kesmektedir.

CC ve DD noktaları arasındaki uzaklık 99 birim ve köşe noktaları AA, BB ve DD olan üçgenin alanı 1212 birimkare olduğuna göre, b2b^2 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Doğru yanıt 22'dir.
Çemberde kuvvet özelliği gereği, dik koordinat sisteminde eksenleri kesen çemberin kesim noktalarının koordinatları arasında x1x2=y1y2x_1 x_2 = y_1 y_2 bağıntısı vardır. Buradan ikinci kesim noktası D(0,−2)D(0, -2) bulunur. Uzaklık bağıntısından c=7c = 7 ve alan bağıntısından kökler farkı ∣x1−x2∣=12|x_1 - x_2| = 12 elde edilerek ikinci dereceden denklemin diskriminant bağıntısı çözüldüğünde b2=22b^2 = 22 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını belirlemek ve kök ilişkilerini yazmak.
C(0,c)C(0, c) noktası yy-eksenini kestiği noktadır. A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0) ise xx-eksenini kestiği noktalardır. Bu noktalar −12x2+bx+c=0  ⟹  x2−2bx−2c=0-\frac{1}{2}x^2 + bx + c = 0 \implies x^2 - 2bx - 2c = 0 denkleminin kökleridir. Buradan kökler çarpımı x1x2=−2cx_1 x_2 = -2c olur.
Parabolün eksenleri kestiği noktaların çember denklemiyle olan ilişkisini kurabilmek için.
2
Çemberin eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik bağıntıyı (kuvvet teoremini) uygulamak.
A,B,CA, B, C noktalarından geçen çemberin yy-eksenini kestiği diğer nokta D(0,d)D(0, d) olsun. Çemberin eksenleri kestiği noktalar için x1x2=c⋅dx_1 x_2 = c \cdot d eşitliği geçerlidir. Buradan −2c=c⋅d-2c = c \cdot d ve c>0c > 0 olduğu için d=−2d = -2 elde edilir. DD noktası (0,−2)(0, -2) olarak bulunur.
Çemberin yy-eksenini kestiği ikinci noktanın koordinatını bulmak için.
3
CC ve DD noktaları arasındaki uzaklığı kullanarak cc parametresini hesaplamak.
C(0,c)C(0, c) ve D(0,−2)D(0, -2) noktaları arasındaki uzaklık ∣c−(−2)∣=c+2|c - (-2)| = c + 2 birimdir. c+2=9  ⟹  c=7c + 2 = 9 \implies c = 7 olarak bulunur.
Parabolün sabit terimi olan cc değerini netleştirmek için.
4
Üçgenin alan bilgisini kullanarak kökler arasındaki mesafeyi bulmak.
ABDABD üçgeninin tabanı xx-ekseni üzerindeki ABAB doğru parçası olup uzunluğu ∣x1−x2∣|x_1 - x_2| birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise D(0,−2)D(0, -2) noktasının xx-eksenine uzaklığı olan 22 birimdir. Alan(ABD)=12⋅∣x1−x2∣⋅2=12  ⟹  ∣x1−x2∣=12\text{Alan}(ABD) = \frac{1}{2} \cdot |x_1 - x_2| \cdot 2 = 12 \implies |x_1 - x_2| = 12 olur.
xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı bulmak için.
5
Kökler farkı formülünü kullanarak b2b^2 değerini çekmek.
c=7c = 7 için denklemimiz x2−2bx−14=0x^2 - 2bx - 14 = 0 olur. Kökler farkı ∣x1−x2∣=Δ∣a∣=(−2b)2−4(1)(−14)=4b2+56=2b2+14|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{(-2b)^2 - 4(1)(-14)} = \sqrt{4b^2 + 56} = 2\sqrt{b^2 + 14} şeklindedir. 2b2+14=12  ⟹  b2+14=6  ⟹  b2+14=36  ⟹  b2=222\sqrt{b^2 + 14} = 12 \implies \sqrt{b^2 + 14} = 6 \implies b^2 + 14 = 36 \implies b^2 = 22 elde edilir.
Kökler farkı ile denklem katsayıları arasındaki ilişkiyi kurarak bilinmeyen b2b^2 değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile ikinci dereceden denklemlerin kök-katsayı ilişkilerinin ve çemberde kuvvet özelliğinin bir arada kullanılması.
Soru 40Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=(x−2)2−9f(x) = (x-2)^2 - 9 fonksiyonunun grafiği olan parabolün yy-eksenini kestiği nokta AA, xx-eksenini kestiği pozitif apsisli nokta ise BB'dir.

Buna göre, AA ve BB noktalarının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Koordinatlar toplamı 0 olan seçenek doğrudur.
Parabolün y-eksenini kestiği nokta x = 0 için A(0, -5) olarak hesaplanır. x-eksenini kestiği noktalar ise fonksiyon sıfıra eşitlenerek x = 5 ve x = -1 bulunur; pozitif apsisli olanı istendiği için B(5, 0) noktası alınır. Bu iki noktanın koordinatları toplamı 0 + (-5) + 5 + 0 = 0 olur.

Adım Adım Çözüm

1
y-eksenini kestiği A noktasını bulmak için fonksiyonda x yerine 0 yazılır.
f(0) = (0-2)^2 - 9 = 4 - 9 = -5 elde edilir. Buradan A(0, -5) noktası bulunur.
Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği noktada apsis her zaman sıfırdır.
2
x-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
(x-2)^2 - 9 = 0 ise (x-2)^2 = 9 elde edilir.
Bir fonksiyonun x-eksenini kestiği noktalarda ordinat sıf��ra eşittir.
3
Elde edilen karesel denklem çözülerek x değerleri bulunur.
x-2 = 3 veya x-2 = -3 eşitliklerinden x = 5 ve x = -1 bulunur.
Karesi 9 olan sayılar 3 ve -3'tür.
4
Pozitif apsisli olan nokta seçilerek B noktası belirlenir.
Pozitif kök 5 olduğundan B(5, 0) noktası elde edilir.
Soruda B noktasının pozitif apsisli olduğu belirtilmiştir.
5
A ve B noktalarının tüm koordinatları toplanır.
0 + (-5) + 5 + 0 = 0 bulunur.
İki noktanın koordinat değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için x = 0 (y-eksenini kestiği nokta) ve y = 0 (x-eksenini kestiği noktalar) eşitlikleri kullanılır.

Alternatif Yöntem

Parabolün denklemi açıldığında f(x)=x2−4x−5f(x) = x^2 - 4x - 5 biçiminde yazılabilir. Bu durumda sabit terim olan −5-5, parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatını doğrudan verir: A(0,−5)A(0, -5). x-eksenini kestiği noktaları bulmak için ise x2−4x−5=0⇒(x−5)(x+1)=0x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+1) = 0 çarpanlara ayırma yöntemiyle kökler kolayca 55 ve −1-1 olarak tespit edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 12Sonraki
Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin