Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 261Soru →
∫03xx2+16 dx\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \, dx belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İntegralin doğru değeri 1'dir.
Doğru değer 1'dir. x2+16=ux^2 + 16 = u dönüşümü ile x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. Sınırlar x=0x = 0 için u=16u = 16 ve x=3x = 3 için u=25u = 25 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫162512u du=[u]1625=5−4=1\int_{16}^{25} \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = 5 - 4 = 1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
x2+16=ux^2 + 16 = u dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.
2x dx=du  ⟹  x dx=du22x \, dx = du \implies x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içerisindeki x dxx \, dx ifadesini uu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+16=16x = 0 \implies u = 0^2 + 16 = 16. Üst sınır için: x=3  ⟹  u=32+16=25x = 3 \implies u = 3^2 + 16 = 25 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.
3
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılarak belirli integral hesaplanır.
∫16251u⋅du2=12∫1625u−1/2 du=12[2u]1625=[u]1625=25−16=5−4=1\int_{16}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{16}^{25} u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 bulunur.
İntegrali uu cinsinden çözüp belirli integralin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 262Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
- f(0)=2f(0) = 2
- f(1)=7f(1) = 7
- f(π/2)=9f(\pi/2) = 9

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,
∫0π/2sin⁡(2x)⋅f′(sin⁡2x) dx\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) \cdot f'(\sin^2 x) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Değeri 5 olan seçenektir.
Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak u=sin⁡2xu = \sin^2 x seçildiğinde du=sin⁡(2x) dxdu = \sin(2x) \, dx olur. İntegral sınırları x=0x = 0 için u=0u = 0 ve x=π/2x = \pi/2 için u=1u = 1 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫01f′(u) du=f(1)−f(0)\int_{0}^{1} f'(u) \, du = f(1) - f(0) haline gelir. Verilen değerler yerine yazıldığında 7−2=57 - 2 = 5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme uygulamak için uygun bir dönüşüm seçilir.
u=sin⁡2xu = \sin^2 x dönüşümü yapılır.
İntegralin içindeki f′(sin⁡2x)f'(\sin^2 x) ifadesini sadeleştirmek ve diferansiyelini dışarıdaki trigonometrik ifadeyle ilişkilendirmek için bu dönüşüm seçilir.
2
Seçilen dönüşümün diferansiyeli alınır.
du=2sin⁡xcos⁡x dxdu = 2 \sin x \cos x \, dx elde edilir. Yarım açı formülünden bu ifade du=sin⁡(2x) dxdu = \sin(2x) \, dx şekline dönüşür.
İntegraldeki sin⁡(2x) dx\sin(2x) \, dx teriminin yerine dudu yazabilmek için diferansiyel hesabı tamamlanır.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡2(0)=0x = 0 \implies u = \sin^2(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/2  ⟹  u=sin⁡2(π/2)=1x = \pi/2 \implies u = \sin^2(\pi/2) = 1 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Yeni değişkenler ve sınırlar integralde yerine yazılarak belirli integral hesaplanır.
∫01f′(u) du=[f(u)]01=f(1)−f(0)\int_{0}^{1} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1} = f(1) - f(0)
Verilen değerler yerine yazıldığında:
7−2=57 - 2 = 5
sonucu elde edilir.
İntegral alma kuralları ve Analizin Temel Teoremi uygulanarak integralin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel ilişkisinin kurulması ve sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi.
Soru 263Soru →
Belirli bir integral hesaplama sürecinde u=xu = \sqrt{x} değişken değiştirmesi yapıldığında, elde edilen yeni belirli integral
∫13f(u) du\int_{1}^{3} f(u) \, du
olmaktadır.
Buna göre, bu değişken değiştirme işlemi uygulanmadan önceki orijinal belirli integral aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫19f(x)2x dx\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \, dx

Cevap

İntegral sınırları 1 ile 9 arasında olan ve içinde f(kök(x)) bölü (2 kök(x)) ifadesini barındıran integral ifadesi doğrudur.
Doğru cevap, u=xu = \sqrt{x} dönüşümünün diferansiyeli olan du=12x dxdu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx bağıntısını ve sınırların u=1  ⟹  x=1u = 1 \implies x = 1 ile u=3  ⟹  x=9u = 3 \implies x = 9 şeklinde xx değişkenine göre doğru güncellendiği integral ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm bağıntısı ve diferansiyel ilişkisini belirlemek.
u=x  ⟹  du=12x dxu = \sqrt{x} \implies du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx elde edilir.
Orijinal integraldeki dxdx ifadesinin yeni integraldeki dudu ile ilişkisini kurabilmek için diferansiyel alınmalıdır.
2
İntegral sınırlarını uu değişkeninden xx değişkenine geri güncellemek.
Alt sınır için: u=1  ⟹  x=1  ⟹  x=1u = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1. Üst sınır için: u=3  ⟹  x=3  ⟹  x=9u = 3 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9.
Belirli integral sınırlarının, dönüşüm yapılan bağıntı kullanılarak orijinal xx değişkeni cinsinden değerleri bulunmalıdır.
3
Elde edilen ifadeleri yeni integralde yerine yazarak orijinal integrali oluşturmak.
∫13f(u) du=∫19f(x)⋅12x dx=∫19f(x)2x dx\int_{1}^{3} f(u) \, du = \int_{1}^{9} f(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \, dx
Dönüşüm ve sınır değerleri yerine konularak başlangıçtaki orijinal integral ifadesine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi

Alternatif Yöntem

Orijinal integral seçeneklerinde sırasıyla u=xu = \sqrt{x} dönüşümü uygulanarak hangisinin ∫13f(u) du\int_{1}^{3} f(u) \, du integralini verdiğine bakılabilir. Doğru seçenek olan integralde u=xu = \sqrt{x} denirse, du=12x dxdu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx olur. Sınırlar x=1  ⟹  u=1x=1 \implies u=1 ve x=9  ⟹  u=3x=9 \implies u=3 olacağından integral doğrudan ∫13f(u) du\int_{1}^{3} f(u) \, du biçimine dönüşür.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 264Soru →
∫0π2cos⁡x⋅(sin⁡x+1)3 dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot (\sin x + 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 154\frac{15}{4}

Cevap

15/4
Verilen integralde u=sin⁡x+1u = \sin x + 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx olur. Sınırlar ise x=0x = 0 için u=1u = 1 ve x=π2x = \frac{\pi}{2} için u=2u = 2 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫12u3 du\int_{1}^{2} u^3 \, du haline gelir. Bu integralin değeri hesaplandığında 15/4 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. u=sin⁡x+1u = \sin x + 1 dönüşümü seçilir.
Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx elde edilir.
İntegral içindeki cos⁡x dx\cos x \, dx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazabilmek için.
2
İntegral sınırları yeni değişken uu değerlerine göre güncellenir.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=sin⁡0+1=1x = 0 \implies u = \sin 0 + 1 = 1. Üst sınır için: x=π2  ⟹  u=sin⁡(π2)+1=2x = \frac{\pi}{2} \implies u = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 2 elde edilir.
Belirli integralde sınırların dönüşüm yapılan yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.
3
Yeni değişkenler ve sınırlar integralde yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
∫12u3 du=[u44]12=244−144=4−14=154\int_{1}^{2} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} bulunur.
Polinom kuvvet kuralı yardımıyla integralin belirli değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Alternatif Yöntem

İntegral u=sin⁡xu = \sin x dönüşümü yapılarak da çözülebilir. Bu durumda du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx olur ve sınırlar 0 ile 1 aralığına güncellenir. İntegral ise ∫01(u+1)3 du\int_{0}^{1} (u+1)^3 \, du şeklini alır. Burada t=u+1t = u+1 dönüşümü yapılarak integral ∫12t3 dt\int_{1}^{2} t^3 \, dt formuna getirilir ve aynı şekilde 15/4 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 265Soru →
∫124(x−1)3 dx\int_{1}^{2} 4(x-1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulandığında u=x−1u = x-1 dönüşümüyle sınırlar 00 ve 11 olarak güncellenir. İntegral ∫014u3 du=[u4]01=1\int_{0}^{1} 4u^3 \, du = [u^4]_0^1 = 1 olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru cevap 1 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme tanımlaması yapılır.
u=x−1u = x-1 dönüşümü seçilir. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=dxdu = dx elde edilir.
İntegrali daha kolay çözülebilir bir biçime getirmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları u değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için: x=1  ⟹  u=1−1=0x = 1 \implies u = 1 - 1 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=2−1=1x = 2 \implies u = 2 - 1 = 1 olur.
Değişken değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Dönüşümler integralde yerine yazılarak yeni integral hesaplanır.
∫014u3 du=[u4]01=14−04=1\int_{0}^{1} 4u^3 \, du = \left[ u^4 \right]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1 elde edilir.
Elde edilen u cinsinden kolay integralin değeri hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Soru 266Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=(y−1)2−4x = (y-1)^2 - 4 parabolünün grafiği verilmiştir. Buna göre; parabol, yy-ekseni, y=0y = 0 ve y=4y = 4 doğruları arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 343\frac{34}{3}

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 343\frac{34}{3} birimkaredir.
Doğru sonuca ulaşmak için integral sınırları parabolün yy-eksenini kestiği y=3y=3 noktasına göre bölünmelidir. [0,3][0, 3] aralığında parabol yy-ekseninin solunda yer aldığından integralin önüne eksi işareti getirilerek alan pozitif yapılır: ∫03(4−(y−1)2) dy=9\int_{0}^{3} (4 - (y-1)^2) \, dy = 9. [3,4][3, 4] aralığında ise parabol sağda olduğundan doğrudan entegre edilir: ∫34((y−1)2−4) dy=73\int_{3}^{4} ((y-1)^2 - 4) \, dy = \frac{7}{3}. Bu iki alan toplandığında 343\frac{34}{3} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün yy-eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemde x=0x = 0 yazılır.
x=(y−1)2−4=0⇒(y−1)2=4⇒y−1=2x = (y-1)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (y-1)^2 = 4 \Rightarrow y-1 = 2 veya y−1=−2⇒y=3y-1 = -2 \Rightarrow y = 3 veya y=−1y = -1 bulunur.
İntegral sınırları olan [0,4][0, 4] aralığında parabolün yy-ekseninin solundan sağına geçiş yaptığı geçiş noktasını belirlemek.
2
Boyalı bölgenin alanını hesaplamak için [0,4][0, 4] aralığı, fonksiyonun işaret değiştirdiği y=3y = 3 noktasına göre iki alt aralığa ayrılır.
Alan A=A1+A2A = A_1 + A_2 olur. Burada A1=∫03∣(y−1)2−4∣ dyA_1 = \int_{0}^{3} |(y-1)^2 - 4| \, dy ve A2=∫34∣(y−1)2−4∣ dyA_2 = \int_{3}^{4} |(y-1)^2 - 4| \, dy şeklindedir.
y∈[0,3]y \in [0, 3] aralığında parabolün kolları sol tarafta (x≤0x \leq 0), y∈[3,4]y \in [3, 4] aralığında ise sağ taraftadır (x≥0x \geq 0). Alan hesabı pozitif değerler gerektirdiğinden integral parçalanmalıdır.
3
y∈[0,3]y \in [0, 3] aralığındaki birinci bölgenin alanı (A1A_1) hesaplanır.
A1=∫03(4−(y−1)2) dy=[4y−(y−1)33]03=(12−83)−(0−−13)=283−13=9A_1 = \int_{0}^{3} (4 - (y-1)^2) \, dy = \left[ 4y - \frac{(y-1)^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(12 - \frac{8}{3}\right) - \left(0 - \frac{-1}{3}\right) = \frac{28}{3} - \frac{1}{3} = 9 birimkare.
yy-ekseninin solunda kalan bölgenin alanını pozitif olarak elde etmek.
4
y∈[3,4]y \in [3, 4] aralığındaki ikinci bölgenin alanı (A2A_2) hesaplanır.
A2=∫34((y−1)2−4) dy=[(y−1)33−4y]34=(9−16)−(83−12)=−7+283=73A_2 = \int_{3}^{4} ((y-1)^2 - 4) \, dy = \left[ \frac{(y-1)^3}{3} - 4y \right]_{3}^{4} = \left(9 - 16\right) - \left(\frac{8}{3} - 12\right) = -7 + \frac{28}{3} = \frac{7}{3} birimkare.
yy-ekseninin sağında kalan bölgenin alanını elde etmek.
5
Elde edilen alan değerleri toplanarak toplam alan bulunur.
A=A1+A2=9+73=343A = A_1 + A_2 = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3} birimkare.
Boyalı bölgenin toplam alanını bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak yy-eksenine göre sınırlanan bölgelerin alan hesabı yapılırken fonksiyonun işaretine dikkat edilerek integral sınırlarının parçalanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 267Soru →

Şekildeki analitik düzlemde, f(x)=−x2+4x−3f(x) = -x^2 + 4x - 3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafikteki boyalı bölge; y=f(x)y = f(x) eğrisi, koordinat eksenleri ve x=3x = 3 doğrusu ile sınırland��rılmıştır. Buna göre, boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 83\frac{8}{3}

Cevap

Boyalıbo¨lgeninalanı83birimkaredir.Boyalı bölgenin alanı \frac{8}{3} birimkaredir.
Boyalı bölgenin alanını bulmak için fonksiyonun x-eksenini kestiği noktalar incelenmelidir. f(x)=−x2+4x−3=0f(x) = -x^2 + 4x - 3 = 0 denkleminin kökleri x=1x=1 ve x=3x=3'tür. [0,3][0, 3] aralığındaki alan iki parçaya ayrılır: [0,1][0, 1] aralığında grafik x-ekseninin altında olduğundan bu bölgenin alanı −∫01f(x) dx-\int_0^1 f(x) \, dx ile, [1,3][1, 3] aralığında grafik x-ekseninin üstünde olduğundan bu bölgenin alanı ise ∫13f(x) dx\int_1^3 f(x) \, dx ile hesaplanır. Bu iki değer hesaplandığında A1=43A_1 = \frac{4}{3} ve A2=43A_2 = \frac{4}{3} bulunur. Toplam alan \frac{8}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemi çözülür.
−x2+4x−3=0  ⟹  (x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x=1 ve x=3x=3 bulunur. Boyalı bölge [0,1][0, 1] ve [1,3][1, 3] aralıkları olmak üzere iki parçaya ayrılır.
Fonksiyonun x-ekseninin altında ve üstünde kaldığı aralıkları belirlemek için kökler bulunur.
2
[0,1][0, 1] aralığında fonksiyon negatif değerler aldığından (f(x)≤0f(x) \le 0), bu aralıktaki alan integralin negatif değeri alınarak hesaplanır.
A1=−∫01(−x2+4x−3) dx=[x33−2x2+3x]01=13−2+3=43A_1 = -\int_0^1 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3} birimkare.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı integralin mutlak değeri alınarak hesaplanmalıdır.
3
[1,3][1, 3] aralığında fonksiyon pozitif değerler aldığından (f(x)≥0f(x) \ge 0), bu aralıktaki alan doğrudan integral ile hesaplanır.
A2=∫13(−x2+4x−3) dx=[−x33+2x2−3x]13=(−9+18−9)−(−13+2−3)=0−(−43)=43A_2 = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_1^3 = ( -9 + 18 - 9 ) - ( -\frac{1}{3} + 2 - 3 ) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} birimkare.
x-ekseninin üstünde kalan bölgelerin alanı doğrudan belirli integral değerine eşittir.
4
Elde edilen A1A_1 ve A2A_2 alanları toplanarak toplam boyalı alan bulunur.
Toplam Alan =A1+A2=43+43=83= A_1 + A_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} birimkare.
Boyalı bölge bu iki alt bölgenin birleşiminden oluşmaktadır.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanının hesaplanması ve x-ekseninin altında kalan bölgeler için integralin negatif değerinin alınması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 268Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=xy = \sqrt{x} eğrisi, yy-ekseni, y=1y = 1 ve y=3y = 3 doğruları arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 263\frac{26}{3}

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 263\frac{26}{3} birimkaredir.
Verilen bölge yy-eksenine dayalı olduğundan, eğri denklemi x=y2x = y^2 olarak yazılır ve y=1y=1 ile y=3y=3 sınırları arasında integral hesaplandığında 263\frac{26}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen y=xy = \sqrt{x} ifadesini yy-eksenine göre integral alabilmek için xx değişkeni cinsinden ifade edelim.
x=y2x = y^2 elde edilir.
Alan y-ekseniyle sınırlandırıldığı için integralin yy değişkenine göre kurulması kolaylık sağlar.
2
Alanı belirten belirli integrali sınırlar y=1y = 1 ve y=3y = 3 olacak şekilde kuralım.
Alan=∫13y2 dyAlan = \int_{1}^{3} y^2 \, dy
Belirli integral ile y-ekseni arasında kalan alan ∫cdg(y) dy\int_{c}^{d} g(y) \, dy formülüyle hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplayalım.
∫13y2 dy=[y33]13=333−133=9−13=263\int_{1}^{3} y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
İntegral alma kuralları uygulanarak üst sınırdan alt sınır çıkarılır.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin y-ekseni ile sınırladığı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Alanı x-eksenine göre iki bölgenin farkı olarak da bulabiliriz: y=3y=3 doğrusu, y-ekseni ve y=xy=\sqrt{x} eğrisi arasında kalan dikdörtgenin alanından (3×9=273 \times 9 = 27), alttaki boşlukları (1×1=11 \times 1 = 1 büyüklüğünde kare ve ∫19x dx=523\int_{1}^{9} \sqrt{x} \, dx = \frac{52}{3} alanı) çıkararak: 27−1−523=26−523=26327 - 1 - \frac{52}{3} = 26 - \frac{52}{3} = \frac{26}{3} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 269Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=(x−2)2−1f(x) = (x-2)^2 - 1 fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=2x = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 22 birimkaredir.
Fonksiyonun [0,2][0, 2] aralığındaki kökü olan x=1x=1 noktasında fonksiyon işaret değiştirmektedir. [0,1][0, 1] aralığında grafik xx-ekseninin üzerinde, [1,2][1, 2] aralığında ise altında kalır. Alan hesaplanırken xx-ekseninin altında kalan bölge için integralin negatif değeri mutlak değerce eklenerek toplam alan 22 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun [0,2][0, 2] aralığındaki köklerini bulma
x=1x = 1
Alan hesabında integral sınırlarının hangi noktalarda xx-eksenini kestiğini belirlemek için f(x)=0f(x) = 0 denklemi çözülür: (x−2)2−1=0  ⟹  (x−2)2=1  ⟹  x=1(x-2)^2 - 1 = 0 \implies (x-2)^2 = 1 \implies x = 1 veya x=3x = 3. Bu köklerden sadece x=1x = 1 verilen [0,2][0, 2] aralığındadır.
2
İntegral aralıklarında fonksiyonun işaretini inceleme
[0,1][0, 1] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0 ve [1,2][1, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \leq 0
Eğrinin xx-ekseninin altında kalan kısımlarında integral değeri negatif çıkacağı için alan hesaplanırken bu kısımlar eksi ile çarpılarak pozitife çevrilmelidir.
3
Belirli integralleri ayrı ayrı hesaplama
S1=43S_1 = \frac{4}{3} ve S2=23S_2 = \frac{2}{3}
S1=∫01(x2−4x+3) dx=[x33−2x2+3x]01=43S_1 = \int_0^1 (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_0^1 = \frac{4}{3} ve S2=−∫12(x2−4x+3) dx=−([x33−2x2+3x]12)=−(23−43)=23S_2 = -\int_1^2 (x^2 - 4x + 3) \, dx = -\left( \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^2 \right) = -\left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) = \frac{2}{3}
4
Bulunan alanları toplama
22
Toplam alan S1+S2S_1 + S_2 toplamına eşittir: 43+23=2\frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2 birimkare.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 270Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x eğrisi, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=3x = 3 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 414\frac{41}{4}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 414\frac{41}{4} birimkaredir.
Doğru cevap olan değer, fonksiyonun xx-ekseninin altında kalan kısmının alanı (44 birimkare) ile üstünde kalan kısmının alanının (254\frac{25}{4} birimkare) ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilen 414\frac{41}{4} değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun [0,3][0, 3] aralığındaki işaretini incelemek üzere köklerini bulalım.
x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0x^3 - 4x = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0 denkleminden kökler x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Bölgelerin alanlarını hesaplarken fonksiyonun xx-ekseninin altında ve üstünde kald��ğı aralıkları belirlemek gerekir.
2
[0,3][0, 3] aralığında fonksiyonun işaretini belirleyip alanı veren integralleri yazalım.
[0,2][0, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \leq 0 olduğundan alan A1=∫02−f(x) dxA_1 = \int_0^2 -f(x) \, dx ve [2,3][2, 3] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0 olduğundan alan A2=∫23f(x) dxA_2 = \int_2^3 f(x) \, dx olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgenin alanı, belirli integralin negatif işaretlisine eşittir.
3
A1A_1 alanını belirli integral ile hesaplayalım.
A1=∫02−(x3−4x) dx=[−x44+2x2]02=(−4+8)−0=4A_1 = \int_0^2 -(x^3 - 4x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_0^2 = (-4 + 8) - 0 = 4 birimkare bulunur.
İlk bölgenin alan değerini elde etmek için integral kurallarını uygularız.
4
A2A_2 alanını belirli integral ile hesaplayalım.
A2=∫23(x3−4x) dx=[x44−2x2]23=(814−18)−(4−8)=94−(−4)=254A_2 = \int_2^3 (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_2^3 = \left(\frac{81}{4} - 18\right) - (4 - 8) = \frac{9}{4} - (-4) = \frac{25}{4} birimkare bulunur.
İkinci bölgenin alan değerini elde etmek için integral kurallarını uygularız.
5
Toplam alanı bulmak için hesaplanan alanları toplayalım.
A1+A2=4+254=414A_1 + A_2 = 4 + \frac{25}{4} = \frac{41}{4} birimkaredir.
Soruda istenen, sınırlandırılan tüm bölgelerin alanlarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile eğri ve x-ekseni arasında kalan alanların hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 271Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre; y=f(x)y = f(x) eğrisi, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=4x = 4 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 343\frac{34}{3}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 343\frac{34}{3} birimkaredir.
İntegral sınırları [0,4][0, 4] aralığında fonksiyonun kökü olan x=3x=3 noktasına göre parçalanır. [0,3][0, 3] aralığında fonksiyon negatif değerler aldığından bu kısım için integralin önüne eksi işareti getirilir. [3,4][3, 4] aralığında ise fonksiyon pozitif değerler aldığından doğrudan belirli integral hesaplanır. Bu iki alanın toplamı olan 9+73=3439 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3} ifadesi doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun köklerini bularak integral sınırlarını belirlemek.
x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 denkleminden kökler x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. İntegral aralığımız [0,4][0, 4] olduğundan, bu aralıktaki tek kök x=3x = 3 noktasıdır.
Fonksiyonun x-eksenini kestiği noktalarda işaret değiştireceğinden, alan hesaplanırken bu noktalara göre integral parçalanmalıdır.
2
Aralıkları belirleyip alan integralini yazmak.
[0,3][0, 3] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan alan S1=∫03−f(x) dxS_1 = \int_0^3 -f(x)\,dx olur. [3,4][3, 4] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan alan S2=∫34f(x) dxS_2 = \int_3^4 f(x)\,dx olur. Toplam Alan = S1+S2S_1 + S_2.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı integralin negatif işaretlisine, üstünde kalan bölgelerin alanı ise integralin kendisine eşittir.
3
İlk bölgenin (S1S_1) alanını hesaplamak.
S1=∫03(−x2+2x+3) dx=[−x33+x2+3x]03=(−9+9+9)−0=9S_1 = \int_0^3 (-x^2 + 2x + 3)\,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_0^3 = (-9 + 9 + 9) - 0 = 9 birimkare.
Belirli integral kuralları uygulanarak [0,3][0, 3] aralığındaki alan değeri bulunur.
4
İkinci bölgenin (S2S_2) alanını hesaplamak.
S2=∫34(x2−2x−3) dx=[x33−x2−3x]34=(643−16−12)−(9−9−9)=(643−28)+9=73S_2 = \int_3^4 (x^2 - 2x - 3)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x \right]_3^4 = \left( \frac{64}{3} - 16 - 12 \right) - (9 - 9 - 9) = \left( \frac{64}{3} - 28 \right) + 9 = \frac{7}{3} birimkare.
Belirli integral kuralları uygulanarak [3,4][3, 4] aralığındaki alan değeri bulunur.
5
Toplam alanı bulmak.
S=S1+S2=9+73=343S = S_1 + S_2 = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3} birimkare.
Elde edilen iki alt bölgenin alanları toplanarak toplam alan bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanarak bir eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplarken, x-ekseninin altında kalan bölgeler için integral değerinin önüne eksi işareti konularak alanın pozitif çıkması sağlanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 272Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=y2−2yx = y^2 - 2y eğrisi, yy-ekseni, y=−1y = -1 ve y=3y = 3 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
İntegral sınırları eğrinin y-eksenini kestiği noktalara göre parçalandığında [−1,0][-1, 0], [0,2][0, 2] ve [2,3][2, 3] aralıkları elde edilir. Bu aralıklarda eğrinin y-ekseninin sağında ve solunda kalma durumuna göre integral değerlerinin mutlak değerleri toplanarak alan 44 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrinin y-eksenini kestiği noktaları bulmak için x=0x = 0 eşitliği kurulur.
Kesim noktaları y=0y = 0 ve y=2y = 2 olarak elde edilir.
Eğrinin y-ekseninin sağında ve solunda kalan bölgelerini belirlemek için kesim noktaları (kökler) bulunmalıdır.
2
İstenen alan [−1,3][-1, 3] aralığında olduğundan, kökler yardımıyla integral üç alt aralığa parçalanır: [−1,0][-1, 0], [0,2][0, 2] ve [2,3][2, 3]. Bu aralıklarda xx değerlerinin işaretleri incelenir.
y∈[−1,0]y \in [-1, 0] için x≥0x \ge 0, y∈[0,2]y \in [0, 2] için x≤0x \le 0 ve y∈[2,3]y \in [2, 3] için x≥0x \ge 0 olur.
Belirli integral ile alan hesabında, y-ekseninin solunda kalan bölgelerin integral değerleri negatif olduğundan alan hesabı için mutlak değerleri alınmalıdır.
3
Belirlenen aralıklarda integral hesabı yapılır. Fonksiyonun ilkel fonksiyonu F(y)=y33−y2F(y) = \frac{y^3}{3} - y^2 şeklindedir. Sınırlar yerine yazılır.
F(0)=0F(0) = 0, F(−1)=−43F(-1) = -\frac{4}{3}, F(2)=−43F(2) = -\frac{4}{3} ve F(3)=0F(3) = 0 değerleri elde edilir.
Belirli integral değerlerini bulmak için Newton-Leibniz teoremi uygulanır.
4
Her bir bölgenin alanı mutlak değerce toplanır.
Sınırlı alanlar: A1=F(0)−F(−1)=43A_1 = F(0) - F(-1) = \frac{4}{3}, A2=∣F(2)−F(0)∣=43A_2 = |F(2) - F(0)| = \frac{4}{3}, A3=F(3)−F(2)=43A_3 = F(3) - F(2) = \frac{4}{3} birimkaredir. Toplam alan A1+A2+A3=4A_1 + A_2 + A_3 = 4 birimkare bulunur.
Ayrı ayrı hesaplanan alan değerlerinin toplamı tüm sınırlı bölgenin alanını verir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla y-eksenine göre alan hesabı
Soru 273Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3x2−12x+9f(x) = 3x^2 - 12x + 9 fonksiyonu veriliyor. Buna göre; y=f(x)y = f(x) eğrisi, xx-ekseni ile x=0x = 0 ve x=4x = 4 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Toplam alan 12 birimkaredir.
Doğru cevap 12'dir. Fonksiyon [0,4][0, 4] aralığında sırasıyla [0,1][0, 1] aralığında pozitif, [1,3][1, 3] aralığında negatif ve [3,4][3, 4] aralığında pozitif değerler almaktadır. Alan hesabı yapılırken bu bölgelerin integral değerleri sırasıyla 44, −4-4 ve 44 olarak bulunur. Negatif olan bölgenin alanı mutlak değerce alınarak (∣−4∣=4|-4| = 4) tüm alanlar toplandığında 4+4+4=124 + 4 + 4 = 12 birimkare elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun xx-eksenini kestiği noktaları (kökleri) bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemi çözülür.
3x2−12x+9=0  ⟹  3(x−1)(x−3)=03x^2 - 12x + 9 = 0 \implies 3(x-1)(x-3) = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Verilen sınır değerleri (x=0x = 0 ve x=4x = 4) arasında fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları belirlemek gerekir.
2
Bulunan köklere göre [0,4][0, 4] aralığında fonksiyonun işaret tablosu incelenir.
[0,1][0, 1] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0, [1,3][1, 3] aralığında f(x)≤0f(x) \leq 0 ve [3,4][3, 4] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0 olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanlarını hesaplarken integral değerinin önüne eksi işareti koyulmalıdır.
3
Sınırlı bölgelerin alanları toplamını veren belirli integral ifadesi yazılır.
Alan=∫01(3x2−12x+9) dx−∫13(3x2−12x+9) dx+∫34(3x2−12x+9) dxAlan = \int_{0}^{1} (3x^2 - 12x + 9) \, dx - \int_{1}^{3} (3x^2 - 12x + 9) \, dx + \int_{3}^{4} (3x^2 - 12x + 9) \, dx
Belirli integralde eğrinin altında kalan alan pozitif bir değer olması gerektiğinden, negatif değerli bölgenin integrali eksi ile çarpılarak eklenir.
4
Belirsiz integral alınarak F(x)=x3−6x2+9xF(x) = x^3 - 6x^2 + 9x ilkel fonksiyonu yardımıyla her bir bölgenin belirli integral değeri hesaplanır.
F(1)−F(0)=4−0=4F(1) - F(0) = 4 - 0 = 4, F(3)−F(1)=0−4=−4F(3) - F(1) = 0 - 4 = -4 ve F(4)−F(3)=4−0=4F(4) - F(3) = 4 - 0 = 4 elde edilir.
Belirli integral sınırları yerlerine yazılıp sayısal değerler hesaplanır.
5
Hesaplanan değerler mutlak değerce toplanarak toplam alan bulunur.
Alan=4+∣−4∣+4=12Alan = 4 + |-4| + 4 = 12 birimkare.
Üç ayrı bölgenin alanları toplanarak toplam kapalı bölge alanı elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki sınır arasında kalan ve x-ekseniyle sınırlanan bölgelerin alanlarının hesabı.
Soru 274Soru →
f:[1,5]→Rf: [1, 5] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere, f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2 fonksiyonu veriliyor. [1,5][1, 5] kapalı aralığı eşit uzunlukta iki alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü elde ediliyor. Buna göre, ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne göre Riemann alt toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Riemann alt toplamı 32 olarak bulunur.
Doğru cevap 32'dir. f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2 fonksiyonu [1,5][1, 5] aralığında sürekli artandır. İki eşit alt aralık [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] olup genişlikleri 2'dir. Riemann alt toplamı için sol uç noktalar olan x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktalarındaki değerler kullanılır: 2⋅f(1)+2⋅f(3)=2⋅5+2⋅11=322 \cdot f(1) + 2 \cdot f(3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 32 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini hesaplama
Aralık genişliği Δx=2\Delta x = 2 olarak bulunur.
[1,5][1, 5] aralığı n=2n = 2 eşit alt aralığa bölündüğünden, her bir alt aralığın genişliği Δx=5−12=2\Delta x = \frac{5 - 1}{2} = 2 olur. Bu durumda alt aralıklar [1,3][1, 3] ve [3,5][3, 5] şeklindedir.
2
Alt aralıkların sol uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulma
f(1)=5f(1) = 5 ve f(3)=11f(3) = 11 değerleri elde edilir.
f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2 fonksiyonu [1,5][1, 5] aralığında sürekli artandır. Dolayısıyla her alt aralıktaki en küçük (minimum) değer, aralığın sol uç noktasında elde edilir. Bu noktalar x=1x = 1 ve x=3x = 3'tür.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
Riemann alt toplamı 32 olarak bulunur.
Her alt aralık için belirlenen sol uç noktalardaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliği çarpılıp toplanır: Alt Toplam=Δx⋅f(1)+Δx⋅f(3)=2⋅5+2⋅11=10+22=32\text{Alt Toplam} = \Delta x \cdot f(1) + \Delta x \cdot f(3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 11 = 10 + 22 = 32.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı, tanımlı aralıktaki fonksiyonun alt aralıklardaki en küçük değerlerinin aralık genişliğiyle çarpımlarının toplamıdır. Artan fonksiyonlar için bu en küçük değerler alt aralıkların sol uç noktalarında gerçekleşir.
Soru 275Soru →
Dik koordinat düzleminde, [0,6][0, 6] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli olan
f(x)=9−x24f(x) = 9 - \frac{x^2}{4}
fonksiyonunun grafiği verilmiştir. [0,6][0, 6] aralığı, 33 eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü elde ediliyor.

Buna göre, [0,6][0, 6] aralığında f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında kalan bölgenin alanı (belirli integral değeri) ile PP bölüntüsüne göre hesaplanan Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Belirli integral değeri eğri altındaki net alanı ifade eder ve bu soru için 36 birimkaredir. Riemann alt toplamı ise fonksiyon azalan olduğu için sağ uç noktalar (x=2,4,6x=2, 4, 6) kullanılarak 26 birimkare olarak bulunur. Bu iki değer arasındaki fark 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini (bölüntü genişliğini) hesaplayın.
Δx=6−03=2\Delta x = \frac{6-0}{3} = 2
[0,6][0, 6] kapalı aralığı 3 eş alt aralığa bölündüğü için her alt aralığın genişliği 2 birimdir.
2
Alt aralıkları belirleyin ve fonksiyonun monotonluğunu analiz edin.
Alt aralıklar [0,2][0, 2], [2,4][2, 4] ve [4,6][4, 6] şeklindedir. Fonksiyon [0,6][0, 6] aralığında azalandır.
f′(x)=−x2≤0f'(x) = -\frac{x}{2} \leq 0 olduğundan fonksiyon azalandır. Azalan bir fonksiyonun her alt aralıktaki minimum değeri sağ uç noktalarda gerçekleşir.
3
Sağ uç noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın ve Riemann alt toplamını bulun.
f(2)=8f(2) = 8, f(4)=5f(4) = 5, f(6)=0f(6) = 0 olup Riemann alt toplamı A=2⋅(8+5+0)=26A = 2 \cdot (8 + 5 + 0) = 26'dır.
Riemann alt toplamı, alt aralık genişliği ile aralıklardaki minimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
4
Belirli integralin değerini (eğri altında kalan alanı) hesaplayın.
I=∫06(9−x24)dx=[9x−x312]06=54−18=36I = \int_{0}^{6} \left(9 - \frac{x^2}{4}\right) dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{6} = 54 - 18 = 36'dır.
Grafik xx ekseninin üzerinde kaldığı için integral değeri doğrudan eğri altındaki alanı verir.
5
İntegral değeri ile Riemann alt toplamı arasındaki farkı bulun.
I−A=36−26=10I - A = 36 - 26 = 10
İstenen fark, integral değeri olan 36'dan Riemann alt toplamı olan 26 çıkarılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Riemann Alt Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 276Soru →

f(x)f(x) ve g(x)g(x) gerçel katsayılı birer polinom fonksiyonu olmak üzere,

f(x)=∫g(x) dx f(x) = \int g(x) \, dx
g(x)=∫(12x−6) dx g(x) = \int (12x - 6) \, dx

eşitlikleri veriliyor.

g(1)=6g(1) = 6 ve f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

İntegral sabitleri doğru hesaplandığında elde edilen kırk üç değeri
Doğru cevap olan kırk üç değeri, her iki belirsiz integral işleminde de sınır koşulları kullanılarak sırasıyla C1=6C_1 = 6 ve C2=−2C_2 = -2 integral sabitlerinin hatasız şekilde hesaplanmasıyla elde edilen f(x)=2x3−3x2+6x−2f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 2 fonksiyonunda x=3x=3 yazılarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunu bulmak için belirsiz integral alınır.
g(x)=∫(12x−6) dx=6x2−6x+C1g(x) = \int (12x - 6) \, dx = 6x^2 - 6x + C_1
Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel ifadesi bulunur.
2
g(1)=6g(1) = 6 sınır koşulu kullanılarak birinci integral sabiti C1C_1 hesaplanır.
g(1)=6(1)2−6(1)+C1=6  ⟹  C1=6g(1) = 6(1)^2 - 6(1) + C_1 = 6 \implies C_1 = 6. Böylece g(x)=6x2−6x+6g(x) = 6x^2 - 6x + 6 olur.
Verilen sınır değeriyle integral sabiti netleştirilir.
3
f(x)f(x) fonksiyonunu bulmak için g(x)g(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınır.
f(x)=∫(6x2−6x+6) dx=2x3−3x2+6x+C2f(x) = \int (6x^2 - 6x + 6) \, dx = 2x^3 - 3x^2 + 6x + C_2
f(x)f(x)'in tanımındaki integral işlemi gerçekleştirilir.
4
f(1)=3f(1) = 3 sınır koşulu kullanılarak ikinci integral sabiti C2C_2 hesaplanır.
f(1)=2(1)3−3(1)2+6(1)+C2=3  ⟹  5+C2=3  ⟹  C2=−2f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 6(1) + C_2 = 3 \implies 5 + C_2 = 3 \implies C_2 = -2. Böylece f(x)=2x3−3x2+6x−2f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 2 olur.
İkinci integral sabiti bulunarak f(x)f(x) fonksiyonunun kuralı tam olarak belirlenir.
5
f(3)f(3) değeri hesaplanır.
f(3)=2(3)3−3(3)2+6(3)−2=54−27+18−2=43f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 + 6(3) - 2 = 54 - 27 + 18 - 2 = 43
f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine 3 yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin sınır koşullarıyla belirlenmesi
Soru 277Soru →
f(x)=x3f(x) = x^3 fonksiyonunun [0,2][0, 2] kapalı aralığındaki grafiği ile xx ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin gerçek alanı SS birimkaredir.

Bu [0,2][0, 2] aralığı 4 eş alt aralığa bölünerek f(x)f(x) fonksiyonu için Riemann alt toplamı AA ve Riemann üst toplamı BB hesaplanıyor.

Buna göre, gerçek alan SS ile Riemann alt ve üst toplamlarının aritmetik ortalaması olan A+B2\frac{A+B}{2} değeri arasındaki fark ∣S−A+B2∣|S - \frac{A+B}{2}| kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14\frac{1}{4}

Cevap

Gerçek alan ile Riemann toplamlarının aritmetik ortalaması arasındaki fark 1/4 birimkaredir.
Gerçek alan belirli integral ile 4 olarak bulunur. Riemann alt toplamı 2,25 ve Riemann üst toplamı 6,25 olarak hesaplanır. Bu iki toplamın aritmetik ortalaması 4,25'tir. Gerçek alan ile ortalama arasındaki fark ise 0,25 yani 1/4 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini (\Delta x) hesaplayın.
\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2} = 0,5
Riemann toplamı hesabı için aralığın eş parçalara bölünmesi gerekir.
2
Alt aralıkları belirleyin ve Riemann alt toplamını (A) hesaplayın.
A = 0,5 \cdot (f(0) + f(0,5) + f(1) + f(1,5)) = 2,25
f(x) = x^3 artan bir fonksiyon olduğu için alt toplam sol uç noktalarda alınır.
3
Riemann üst toplamını (B) hesaplayın.
B = 0,5 \cdot (f(0,5) + f(1) + f(1,5) + f(2)) = 6,25
f(x) = x^3 artan bir fonksiyon olduğu için üst toplam sağ uç noktalarda alınır.
4
��ki toplamın aritmetik ortalamasını bulun.
\frac{A + B}{2} = \frac{2,25 + 6,25}{2} = 4,25
Soruda gerçek alan ile aritmetik ortalama arasındaki fark istendiği için.
5
Bölgenin gerçek alanını (S) belirli integral yardımıyla hesaplayın.
S = \int_{0}^{2} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4
Fonksiyon pozitif tanımlı olduğundan eğri altındaki gerçek alan belirli integrale eşittir.
6
Gerçek alan ile ortalama arasındaki mutlak farkı bulun.
|S - 4,25| = |4 - 4,25| = 0,25 = \frac{1}{4}
İstenen fark değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral (gerçek alan) ile ilişkisi ve hesaplanması.
Soru 278Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her xx gerçel sayısı için
f′(x)=3x2−2x+af'(x) = 3x^2 - 2x + a
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 ve f(2)=11f(2) = 11 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İntegral alma kuralları uygulanarak elde edilen fonksiyonun sabit terimi olan 1
Türev fonksiyonunun belirsiz integrali doğru bir şekilde alınıp integral sabiti eklendikten sonra, sınır koşullarıyla oluşturulan denklem sistemi çözülmüş ve fonksiyonun sabit terimi olan integral sabiti 1 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen türev fonksiyonunun belirsiz integralini alarak fonksiyonun genel ifadesini olu��turun.
f(x)=∫f′(x) dx=∫(3x2−2x+a) dx=x3−x2+ax+Cf(x) = \int f'(x) \, dx = \int (3x^2 - 2x + a) \, dx = x^3 - x^2 + ax + C (burada CC integral sabitidir)
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini elde etmek için belirsiz integral alma kuralı uygulanır.
2
Verilen sınır koşullarını fonksiyonda yerine yazarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturun.
f(1)=13−12+a(1)+C=4  ⟹  a+C=4f(1) = 1^3 - 1^2 + a(1) + C = 4 \implies a + C = 4 ve f(2)=23−22+a(2)+C=11  ⟹  4+2a+C=11  ⟹  2a+C=7f(2) = 2^3 - 2^2 + a(2) + C = 11 \implies 4 + 2a + C = 11 \implies 2a + C = 7
Fonksiyondaki bilinmeyen parametreyi ve integral sabitini belirlemek için bilinen noktalar kullanılır.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek bilinmeyenleri bulun.
2a+C=72a + C = 7 denkleminden a+C=4a + C = 4 denklemi taraf tarafa çıkarıldığında a=3a = 3 bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında 3+C=4  ⟹  C=13 + C = 4 \implies C = 1 elde edilir.
Doğrusal denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülerek parametre değerlerine ulaşılır.
4
f(0)f(0) değerini hesaplayın.
f(x)=x3−x2+3x+1f(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1 olduğundan f(0)=03−02+3(0)+1=1f(0) = 0^3 - 0^2 + 3(0) + 1 = 1 bulunur.
f(0)f(0) değeri doğrudan fonksiyonun sabit terimine, yani integral sabiti olan CC değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabiti yardımıyla fonksiyon bulma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 279Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−24f(x) dx=12\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 12
ve
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−10f(2x) dx\int_{-1}^{0} f(2x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

İstenen integralin değeri -2'dir.
Verilen integral eşitliklerinde uygun değişken değiştirmeler yapılarak integral sınırları doğru biçimde güncellenmiş ve belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak aranan integralin değeri -2 olarak doğru şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8 integralinde değişken değiştirme yapılması.
∫04f(u) du=16\int_{0}^{4} f(u) \, du = 16
u=2x−2u = 2x-2 dönüşümü yapıldığında du=2 dxdu = 2 \, dx ve buradan dx=du2dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=0u=0 ve x=3x=3 için u=4u=4 olarak güncellenir. Böylece ∫13f(2x−2) dx=12∫04f(u) du=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 8 elde edilir.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliğinden yararlanılması.
∫−20f(x) dx=−4\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = -4
∫−24f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫04f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{4} f(x) \, dx eşitliği yazılabilir. Değerler yerine konulduğunda 12=∫−20f(x) dx+1612 = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + 16 denklemi elde edilir.
3
İstenen integralde değişken değiştirme yapılarak sonucun hesaplanması.
∫−10f(2x) dx=−2\int_{-1}^{0} f(2x) \, dx = -2
v=2xv = 2x dönüşümü ile dv=2 dxdv = 2 \, dx ve dx=dv2dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar x=−1x=-1 için v=−2v=-2 ve x=0x=0 için v=0v=0 olur. Bu durumda integral 12∫−20f(v) dv=12⋅(−4)=−2\frac{1}{2} \int_{-2}^{0} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot (-4) = -2 değerini alır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların güncellenmesiyle değişken değiştirme yöntemi ve aralık bölme özelliği
ÖncekiSayfa 14 / 14
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 14 | Examkin