Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 241Soru →

Dik koordinat düzleminde; y=4−x2y = 4 - x^2 parabolü, y=x+2y = x + 2 doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan ve koordinat düzleminin ikinci bölgesinde yer alan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 103\frac{10}{3}

Cevap

İkinci bölgede sınırlandırılmış bölgenin alanı olan \frac{10}{3} birimkaredir.
İkinci bölgede sınırlanan bölgenin alanı, üstte yer alan parabolün denkleminden alttaki doğrunun denklemi çıkarılarak elde edilen ifadenin x=−2x = -2 ile x=0x = 0 sınırları arasındaki belirli integrali ile bulunur. Yapılan hesaplamalar sonucunda alan değeri 103\frac{10}{3} birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesim noktalarını belirlemek amacıyla denklemleri birbirine eşitleyin.
4−x2=x+2  ⟹  x2+x−2=0  ⟹  (x+2)(x−1)=04 - x^2 = x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0 elde edilir. Buradan kesim noktalarının apsisleri x=−2x = -2 ve x=1x = 1 olarak bulunur.
İntegral sınırlarını ve bölgenin başlangıç noktasını tespit etmek için kesim noktaları bulunmalıdır.
2
İkinci bölgedeki sınır değerlerini ve hangi fonksiyonun üstte yer aldığını tespit edin.
İkinci bölgede x≤0x \le 0 ve y≥0y \ge 0 olmalıdır. Dolayısıyla sol sınır kesim noktası olan x=−2x = -2, sağ sınır ise yy-ekseni yani x=0x = 0 olur. Bu aralıkta (örneğin x=−1x = -1 için) parabolün değeri 33, doğrunun değeri ise 11 olduğundan parabol (y=4−x2y = 4 - x^2) doğrunun (y=x+2y = x + 2) üstündedir.
İntegral sınırlarını belirlemek ve alan ifadesini üstteki fonksiyondan alttakini çıkaracak şekilde kurmak için bu analiz gereklidir.
3
Belirli integral yardımıyla alan bağıntısını kurun ve integrali alın.
Alan=∫−20((4−x2)−(x+2))dx=∫−20(2−x−x2)dxAlan = \int_{-2}^0 \left( (4 - x^2) - (x + 2) \right) dx = \int_{-2}^0 (2 - x - x^2) dx integral ifadesi elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali: [2x−x22−x33]−20\left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^0 olarak bulunur.
Sınırlandırılmış bölgenin alanı, üstteki fonksiyon ile alttaki fonksiyonun farkının belirli integrali ile hesaplanır.
4
Bulunan integral ifadesinde sınırları yerine yazarak alanı hesaplayın.
0−(2(−2)−(−2)22−(−2)33)=−(−4−2+83)=−(−6+83)=1030 - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = - \left( -4 - 2 + \frac{8}{3} \right) = - \left( -6 + \frac{8}{3} \right) = \frac{10}{3} birimkare elde edilir.
Belirli integralin değerini bulmak için üst sınırın fonksiyon değerinden alt sınırın fonksiyon değeri çıkarılır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Alternatif Yöntem

İstenen alan, parabolün altında kalan alan ile doğrunun altında kalan alanların geometrik farkı olarak da hesaplanabilir. [−2,0][-2, 0] aralığında y=4−x2y = 4 - x^2 parabolünün altında kalan alan: ∫−20(4−x2)dx=163\int_{-2}^0 (4 - x^2) dx = \frac{16}{3} birimkaredir. Aynı aralıkta y=x+2y = x+2 doğrusu, koordinat eksenleriyle köşeleri (−2,0)(-2,0), (0,0)(0,0) ve (0,2)(0,2) olan bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin alanı 2×22=2\frac{2 \times 2}{2} = 2 birimkaredir. İstenen bölge bu iki alanın farkı olduğundan: 163−2=103\frac{16}{3} - 2 = \frac{10}{3} birimkare bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 242Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2f(x) = x^2 parabolü ile bu parabolün xx ekseni boyunca sağa 22 birim ötelenmesiyle elde edilen g(x)g(x) parabolü verilmiştir.

Buna göre; ff ve gg parabolleri ile yy ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 2 birimkaredir.
Verilen f(x)=x2f(x) = x^2 parabolünün sağa 22 birim ötelenmesiyle g(x)=(x−2)2g(x) = (x-2)^2 parabolü elde edilir. Bu iki parabolün kesişim noktası x=1x=1 apsisli noktadır. İstenen bölge sol taraftan yy ekseni (x=0x=0) ve sağ taraftan kesişim noktası (x=1x=1) ile sınırlandırılmıştır. Bu aralıkta g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) olduğundan alan integral yardımıyla ∫01(g(x)−f(x)) dx=2\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sa��a ötelenmiş parabol denklemini elde etme
g(x)=f(x−2)=(x−2)2=x2−4x+4g(x) = f(x - 2) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
Bir fonksiyonun grafiği xx ekseni boyunca sağa aa birim ötelendiğinde yeni fonksiyon f(x−a)f(x-a) olur.
2
Parabollerin kesişim noktasını bulma
x2=x2−4x+4⇒4x=4⇒x=1x^2 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1
İki eğrinin kesişim noktasının apsisi, denklemlerinin ortak çözümü ile belirlenir.
3
İntegral sınırlarını belirleme ve alanı hesaplama
Alan = ∫01(g(x)−f(x)) dx=∫01(4−4x) dx=[4x−2x2]01=4(1)−2(1)2−0=2\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (4 - 4x) \, dx = [4x - 2x^2]_0^1 = 4(1) - 2(1)^2 - 0 = 2
yy ekseni x=0x = 0 doğrusudur. [0,1][0, 1] aralığında g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) olduğundan üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak integral hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesabı ve fonksiyonların yatay ötelenmesi.
Soru 243Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4
∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8
∫23f(x) dx=16\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 16
∫1ef(x) dx=12\int_{1}^{e} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫1ef(ln⁡x+1)x dx\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin değeri 8'dir.
İntegralde u=ln⁡x+1u = \ln x + 1 dönüşümü yapıldığında du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur. Sınırlar güncellendiğinde alt sınır x=1x = 1 için u=1u = 1, üst sınır x=ex = e için u=2u = 2 olur. Böylece integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du şekline dönüşür. Verilen ∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8 eşitliği kullanılarak doğru cevap 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. u=ln⁡x+1u = \ln x + 1 dönüşümü yapılır.
du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx elde edilir. Bu durumda integraldeki 1x dx\frac{1}{x} \, dx ifadesi dudu olur.
İntegral değişkenini xx değişkeninden uu değişkenine dönüştürmek için.
2
İntegralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=ln⁡1+1=1x = 1 \implies u = \ln 1 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=e  ⟹  u=ln⁡e+1=2x = e \implies u = \ln e + 1 = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen değerler kullanılarak hesaplanır.
Yeni integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du haline gelir. Soruda ∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8 olarak verildiğinden integralin değeri 8 olarak bulunur.
Dönüşüm tamamlandıktan sonra integralin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral ∫1ef(ln⁡x+1)x dx\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx ifadesinde t=ln⁡xt = \ln x dönüşümü yapılırsa, integral ∫01f(t+1) dt\int_{0}^{1} f(t+1) \, dt olur. Daha sonra u=t+1u = t+1 dönüşümü yapılarak yine ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du integraline ulaşılır ve sonuç 8 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 244Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=2f(0) = 2
f(1)=5f(1) = 5
f(2)=11f(2) = 11
f(7)=17f(7) = 17
eşitlikleri verilmektedir.
Buna göre,
∫12x2⋅f′(x3−1) dx\int_{1}^{2} x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İntegralin doğru değeri 5'tir.
İntegralde u=x3−1u = x^3 - 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel x2 dx=du3x^2 \, dx = \frac{du}{3} olur. Sınırlar x=1x=1 için u=0u=0, x=2x=2 için u=7u=7 olarak güncellenir. Bu durumda integral 13∫07f′(u) du=13[f(7)−f(0)]\frac{1}{3} \int_{0}^{7} f'(u) \, du = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)] haline gelir. Verilen değerler yerine yazıldığında 13(17−2)=5\frac{1}{3} (17 - 2) = 5 sonucu bulunur. Bu nedenle doğru yanıt 5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral ifadesinde u=x3−1u = x^3 - 1 değişken değiştirmesi tanımlanır ve diferansiyeli alınır.
du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=du3du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegrali yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için diferansiyel ifadesinin dönüştürülmesi gerekir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7 bulunur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınır değerlerinin de yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınırlar ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yazılarak integral değeri hesaplanır.
∫12x2⋅f′(x3−1) dx=∫07f′(u)⋅du3=13[f(7)−f(0)]\int_{1}^{2} x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx = \int_{0}^{7} f'(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)] ifadesinden 13[17−2]=5\frac{1}{3} [17 - 2] = 5 elde edilir.
Temel analiz teoremi kullanılarak türevi verilen fonksiyonun integral değeri hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru bir şekilde güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının hesaba katılması.

Alternatif Yöntem

İntegral içindeki ifade, bileşke fonksiyonun türev kuralı yardımıyla doğrudan fark edilebilir. d(f(x3−1))=3x2⋅f′(x3−1) dxd(f(x^3 - 1)) = 3x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx olduğundan, integral içerisindeki terim 13d(f(x3−1))\frac{1}{3} d(f(x^3 - 1)) şeklinde yazılabilir. Buradan belirli integral doğrudan [13f(x3−1)]12=13[f(7)−f(0)]\left[ \frac{1}{3} f(x^3 - 1) \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)] olarak çözülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 245Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x3y = \sqrt[3]{x} eğrisi, yy-ekseni, y=−1y = -1 ve y=2y = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 174\frac{17}{4}

Cevap

Sınırlıbo¨lgeninalanı174birimkaredir.Sınırlı bölgenin alanı \frac{17}{4} birimkaredir.
Verilen bölge y-ekseni ile sınırlandırıldığı için alan formülü ∫−12∣g(y)∣dy\int_{-1}^{2} |g(y)| dy şeklindedir. y=x3  ⟹  x=g(y)=y3y = \sqrt[3]{x} \implies x = g(y) = y^3 olduğundan, y∈[−1,0]y \in [-1, 0] aralığında g(y)≤0g(y) \le 0 ve y∈[0,2]y \in [0, 2] aralığında g(y)≥0g(y) \ge 0 olur. Bu durumda alan, ∫−10−y3dy+∫02y3dy=14+4=174\int_{-1}^{0} -y^3 dy + \int_{0}^{2} y^3 dy = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri denklemini y cinsinden ifade etme
y=x3  ⟹  x=y3y = \sqrt[3]{x} \implies x = y^3 elde edilir.
y-ekseni ve y=−1,y=2y = -1, y = 2 doğruları ile sınırlı alanı y değişkenine göre entegre etmek için fonksiyonu x=g(y)x = g(y) biçiminde yazmalıyız.
2
Bölgelerin y-eksenine göre konumunu belirleme ve integral sınırlarını ayırma
y∈[−1,0]y \in [-1, 0] için y3≤0y^3 \le 0 (y-ekseninin solunda) ve y∈[0,2]y \in [0, 2] için y3≥0y^3 \ge 0 (y-ekseninin sağında) olduğu belirlenir.
y-ekseninin solunda kalan bölgenin alanı için integralin önüne eksi işareti koyulmalıdır.
3
Alan formülünü yazma ve belirli integralleri hesaplama
Alan=∫−10−y3dy+∫02y3dy=[−y44]−10+[y44]02=(0−(−14))+(4−0)=14+4=174Alan = \int_{-1}^{0} -y^3 dy + \int_{0}^{2} y^3 dy = \left[ -\frac{y^4}{4} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left( 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) \right) + (4 - 0) = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} bulunur.
Belirli integrallerin ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla toplam alan elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir eğri ile y-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplamak için integral sınırları içerisinde fonksiyonun işaretine dikkat edilerek mutlak değer integrali alınır.
Soru 246Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=3f(1) = 3
f(2)=5f(2) = 5
f(4)=11f(4) = 11
f(9)=7f(9) = 7
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f′(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f'(x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İntegralin doğru değeri 4'tür.
Doğru seçenekte, u=x2u = x^2 dönüşümü kurallara uygun olarak yapılmış, sınırlar sırasıyla 11 ve 44 olarak güncellenmiş, diferansiyel katsayısı 12\frac{1}{2} olarak integralin önüne getirilmiş ve verilen değerler kullanılarak integralin değeri 44 olarak doğru bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
u=x2u = x^2 dönüşümü yapılırsa her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=2x dx  ⟹  x dx=12 dudu = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki x⋅f′(x2) dxx \cdot f'(x^2) \, dx ifadesini uu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12=1x = 1 \implies u = 1^2 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=22=4x = 2 \implies u = 2^2 = 4 olur.
Değişken değiştirildikten sonra sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integrali kurup hesaplayalım.
∫12x⋅f′(x2) dx=∫14f′(u)⋅12 du=12∫14f′(u) du\int_{1}^{2} x \cdot f'(x^2) \, dx = \int_{1}^{4} f'(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f'(u) \, du elde edilir. Bu integralin sonucu ise 12[f(u)]14=12[f(4)−f(1)]\frac{1}{2} [f(u)]_{1}^{4} = \frac{1}{2} [f(4) - f(1)] olur.
f′(u)f'(u) fonksiyonunun integrali f(u)f(u) fonksiyonudur.
4
Verilen fonksiyon değerlerini yerine yazalım.
f(4)=11f(4) = 11 ve f(1)=3f(1) = 3 değerleri yerine yazıldığında, 12[11−3]=82=4\frac{1}{2} [11 - 3] = \frac{8}{2} = 4 bulunur.
İntegralin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması gerekir.
Soru 247Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 parabolü, x=0x = 0 ve x=4x = 4 doğruları ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 343\frac{34}{3}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 343\frac{34}{3} birimkaredir.
Toplam alan, fonksiyonun xx-ekseninin altında kalan kısmının alanı (99) ile üstünde kalan kısmının alanının (73\frac{7}{3}) toplanmasıyla 343\frac{34}{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Soruda verilen [0,4][0, 4] aralığ��nda parabolün xx-eksenini kestiği nokta x=3x = 3 noktasıdır.
Fonksiyonun bu aralıkta işaret değiştirdiği noktayı bulmak, integral sınırlarını doğru parçalara ayırmak için gereklidir.
2
[0,3][0, 3] aralığında xx-ekseninin altında kalan bölgenin alanı hesaplanır.
Bu aralıkta f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan alan: A1=∫03−f(x) dx=∫03(−x2+2x+3) dx=[−x33+x2+3x]03=(−9+9+9)−0=9A_1 = \int_{0}^{3} -f(x) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{0}^{3} = (-9 + 9 + 9) - 0 = 9 birimkaredir.
Eğrinin xx-ekseninin altında kalan kısımlarında integral değeri negatif çıkacağından, alanın pozitif değerini elde etmek için integral eksi ile çarpılır.
3
[3,4][3, 4] aralığında xx-ekseninin üstünde kalan bölgenin alanı hesaplanır.
Bu aralıkta f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan alan: A2=∫34f(x) dx=∫34(x2−2x−3) dx=[x33−x2−3x]34=(643−16−12)−(9−9−9)=(643−28)−(−9)=−203+9=73A_2 = \int_{3}^{4} f(x) \, dx = \int_{3}^{4} (x^2 - 2x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x \right]_{3}^{4} = \left( \frac{64}{3} - 16 - 12 \right) - (9 - 9 - 9) = \left( \frac{64}{3} - 28 \right) - (-9) = -\frac{20}{3} + 9 = \frac{7}{3} birimkaredir.
Eğrinin xx-ekseninin üstünde kalan kısımlarında integral değeri doğrudan alanı verir.
4
Elde edilen alan değerleri toplanarak toplam alan bulunur.
Toplam Alan =A1+A2=9+73=343= A_1 + A_2 = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3} birimkare bulunur.
Toplam sınırlı bölgenin alanını bulmak için her iki bölgenin alanları toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan hesabında, fonksiyonun xx-ekseninin altında kaldığı aralıklarda integral değerinin negatif olduğu dikkate alınarak alanın pozitif çıkması için integralin önüne eksi işareti konur veya mutlak değeri alınır.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, parabolün grafiği çizilip tepe noktası (1,−4)(1, -4) ve kesim noktaları belirlenerek alanların koordinat düzlemindeki dağılımı görsel olarak incelenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 248Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02(x−1)f(x) dx=8\int_{0}^{2} (x - 1) f(x) \, dx = 8
∫15(x−1)f(x) dx=12\int_{1}^{5} (x - 1) f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫02x3f(x2+1) dx\int_{0}^{2} x^3 f(x^2 + 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İntegralin doğru değeri 6'dır.
Değişken değiştirme yapılıp sınırlar güncellendiğinde integral 12∫15(u−1)f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{5} (u-1)f(u) \, du şekline gelir. Verilen ∫15(x−1)f(x) dx=12\int_{1}^{5} (x-1)f(x) \, dx = 12 değeri kullanılarak doğru yanıt 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde de��işken değiştirme yöntemi uygulanır. u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılır.
Diferansiyel alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir. Buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} ve x2=u−1x^2 = u - 1 bulunur.
İntegrali uu değişkenine bağlı olarak ifade etmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır x=0x = 0 için u=02+1=1u = 0^2 + 1 = 1, üst sınır x=2x = 2 için u=22+1=5u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da güncellenmesi gerektiği için.
3
Dönüşümler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak ifade düzenlenir.
∫02x3f(x2+1) dx=∫15(u−1)f(u)du2=12∫15(u−1)f(u) du\int_{0}^{2} x^3 f(x^2 + 1) \, dx = \int_{1}^{5} (u - 1) f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} (u - 1) f(u) \, du elde edilir.
Verilen integral ifadesini bilinen integral biçimine dönüştürmek için.
4
Soruda verilen ∫15(x−1)f(x) dx=12\int_{1}^{5} (x - 1) f(x) \, dx = 12 eşitliği kullanılarak integral hesaplanır.
12⋅12=6\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 bulunur.
Doğru sınırlar altındaki integral değeri yerine yazılarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyel ifadesinin doğru güncellenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 249Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,

∫12f(x) dx=6\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6
∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

∫12f(3x−1) dx\int_{1}^{2} f(3x - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Değeri 4 olan seçenek doğrudur.
Doğru cevap 4 değerini içeren seçenektir. u=3x−1u = 3x - 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyelden gelen 13\frac{1}{3} katsayısı ve sınırların 22 ile 55 olarak güncellenmesiyle integral 13∫25f(u) du\frac{1}{3} \int_{2}^{5} f(u) \, du haline gelir. Bu ifade, verilen ikinci integralin 13\frac{1}{3} katına eşittir ve sonucu 4 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır: u=3x−1u = 3x - 1 dönüşümü yapılır.
Bu dönüşümün her iki tarafının diferansiyeli alındığında du=3 dxdu = 3 \, dx elde edilir. Buradan dx=13 dudx = \frac{1}{3} \, du bulunur.
İntegral değişkenini x'ten u'ya çevirmek için diferansiyeller arasındaki ilişki kurulmalıdır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan u değerlerine göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=3(1)−1=2x = 1 \Rightarrow u = 3(1) - 1 = 2 olur. Üst sınır için x=2⇒u=3(2)−1=5x = 2 \Rightarrow u = 3(2) - 1 = 5 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen değer yerine konularak hesaplama tamamlanır.
∫12f(3x−1) dx=∫25f(u)⋅13 du=13∫25f(u) du\int_{1}^{2} f(3x - 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{2}^{5} f(u) \, du elde edilir. Soruda verilen ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 değeri yerine yazıldığında sonuç 13⋅12=4\frac{1}{3} \cdot 12 = 4 olarak bulunur.
Yeni integralin değeri, sınırları güncellenmiş ve diferansiyel katsayısı eklenmiş haliyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 250Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3x2−6xf(x) = 3x^2 - 6x fonksiyonunun grafiği verilmiştir. ff fonksiyonunun grafiğinin xx-ekseni boyunca sağa 11 birim ötelenmesiyle gg fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre; gg eğrisi, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=4x = 4 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

��telenen fonksiyonun bölgelere göre alanları toplamı 12 birimkaredir.
Doğru cevap olan 12 değeri, sağa ötelenmiş fonksiyon olan g(x) ifadesinin sıfır ile dört aralığında x-ekseniyle sınırladığı üç farklı bölgenin alanlarının tek tek mutlak değerce hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir. Fonksiyonun x-ekseninin altında kalan [1, 3] aralığındaki integral değeri negatif olduğundan, bu bölgenin alanı integral değerinin önüne eksi işareti konularak pozitif olarak hesaba katılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Ötelenen fonksiyonun denklemini bulma
g(x)=f(x−1)=3(x−1)2−6(x−1)=3x2−12x+9g(x) = f(x-1) = 3(x-1)^2 - 6(x-1) = 3x^2 - 12x + 9
f(x)f(x) fonksiyonunun xx-ekseni boyunca sağa 11 birim ötelenmesiyle f(x−1)f(x-1) fonksiyonu elde edilir.
2
Fonksiyonun xx-eksenini kestiği noktaları (köklerini) belirleme
x=1x = 1 ve x=3x = 3
Alan sınırlarını belirlemek amacıyla g(x)=0g(x) = 0 denklemi çözülür: 3(x2−4x+3)=0  ⟹  3(x−1)(x−3)=03(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies 3(x-1)(x-3) = 0.
3
İntegral sınırlarını belirleme ve bölgelerin işaretlerini inceleme
[0,1][0, 1] aralığında g(x)≥0g(x) \ge 0, [1,3][1, 3] aralığında g(x)≤0g(x) \le 0, [3,4][3, 4] aralığında g(x)≥0g(x) \ge 0
x=1x=1 ve x=3x=3 kökleri [0,4][0, 4] aralığında yer aldığı için alan integralini bu noktalarda parçalamamız gerekir.
4
Bölgelerin alanlarını integral yardımıyla ayrı ayrı hesaplama
A1=4A_1 = 4, A2=4A_2 = 4, A3=4A_3 = 4
g(x)g(x) fonksiyonunun belirsiz integrali G(x)=x3−6x2+9xG(x) = x^3 - 6x^2 + 9x şeklindedir. Buna göre:
- A1=∫01g(x)dx=G(1)−G(0)=4−0=4A_1 = \int_0^1 g(x) dx = G(1) - G(0) = 4 - 0 = 4
- A2=∫13−g(x)dx=−(G(3)−G(1))=−(0−4)=4A_2 = \int_1^3 -g(x) dx = -(G(3) - G(1)) = -(0 - 4) = 4
- A3=∫34g(x)dx=G(4)−G(3)=4−0=4A_3 = \int_3^4 g(x) dx = G(4) - G(3) = 4 - 0 = 4
5
Toplam alanı hesaplama
Toplam Alan =A1+A2+A3=4+4+4=12= A_1 + A_2 + A_3 = 4 + 4 + 4 = 12
Sınırlı bölgelerin alanları toplamı, her bir alt aralıktaki alanların mutlak de��erlerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak eğri ile x-ekseni arasında kalan alanların hesaplanması.
Soru 251Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫0π4tan⁡(x)⋅sec⁡2(x)⋅f′(tan⁡2(x)) dx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \cdot \sec^2(x) \cdot f'(\tan^2(x)) \, dx
integrali veriliyor. Bu integralde u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫01f′(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du

Cevap

Önünde bir bölü iki katsayısı bulunan, sıfırdan bire f türev u du integralidir.
Verilen integralde u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) dönüşümü uygulandığında, diferansiyel du=2tan⁡(x)sec⁡2(x) dxdu = 2\tan(x)\sec^2(x)\,dx olur ve buradan tan⁡(x)sec⁡2(x) dx=12 du\tan(x)\sec^2(x)\,dx = \frac{1}{2}\,du elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x=0 için u=0u=0 ve x=π4x=\frac{\pi}{4} için u=1u=1 olarak güncellenir. Bu değerler yerlerine yazıldığında integralin eş değeri önünde bir bölü iki katsayısı bulunan sıfırdan bire f türev u du şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme
u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) olarak seçildiğinde diferansiyel alınırsa du=2tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dxdu = 2 \tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx elde edilir. Buradan tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dx=12 du\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \, du bulunur.
İntegral içindeki ifadenin uu cinsinden yazılabilmesi için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.
2
Belirli integral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=0x = 0 iken u=tan⁡2(0)=0u = \tan^2(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π4x = \frac{\pi}{4} iken u=tan⁡2(π4)=12=1u = \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^2 = 1 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Dönüşümleri integralde yerine yazma
∫0π4f′(tan⁡2(x))⋅(tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dx)=∫01f′(u)⋅(12 du)=12∫01f′(u) du\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(\tan^2(x)) \cdot \left(\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx\right) = \int_{0}^{1} f'(u) \cdot \left(\frac{1}{2} \, du\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du elde edilir.
Bulunan diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak uu cinsinden eş değer integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Soru 252Soru →

Aşağıdaki grafikte, f(x)=(x−1)3f(x) = (x-1)^3 fonksiyonunun eğrisi ile koordinat eksenleri ve x=3x = 3 doğrusu arasında kalan iki farkl�� sınırlı bölge boyanarak gösterilmiştir.

Buna göre, boyalı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 174\frac{17}{4}

Cevap

Boyalı bölgelerin alanlarının toplamı 17/4 birimkaredir.
Toplam alan, fonksiyonun x-ekseninin altında kalan [0, 1] aralığındaki kısmının integralinin negatifi ile x-ekseninin üstünde kalan [1, 3] aralığındaki kısmının integralinin toplamına eşittir. Bu iki alan sırasıyla 1/4 ve 4 birimkare olup, toplamları 17/4 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrinin xx-eksenini kestiği noktayı ve işaret durumunu belirleme
x=1x = 1 kökü bulunur. Fonksiyon [0,1][0, 1] aralığında negatif (f(x)≤0f(x) \le 0), [1,3][1, 3] aralığında ise pozitif (f(x)≥0f(x) \ge 0) değerler alır.
Alan hesabında xx-ekseninin altında kalan bölgelerin integralinin önüne eksi işareti koyulması gerektiğinden, fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları bulmak gerekir.
2
Bölgelerin alanlarını integral cinsinden ifade etme
Toplam Alan = S1+S2=∫01−(x−1)3 dx+∫13(x−1)3 dxS_1 + S_2 = \int_0^1 -(x-1)^3 \, dx + \int_1^3 (x-1)^3 \, dx
Eğri ile xx-ekseni arasındaki alan formülünü parçalı olarak uygulamak için.
3
Belirli integralleri ayrı ayrı hesaplama
S1=14S_1 = \frac{1}{4} ve S2=4S_2 = 4 bulunur.
u=x−1  ⟹  du=dxu = x-1 \implies du = dx değişken değiştirmesi uygulanarak integral değerleri hesaplanır.
4
Bölge alanlarını toplayarak sonuca ulaşma
Toplam Alan = 14+4=174\frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}
Elde edilen alt alanların toplanmasıyla toplam boyalı alan bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanarak eğri altında kalan alanların hesabı ve x-ekseninin altında kalan alanlar için integral değerinin işaretine dikkat edilmesi
Soru 253Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫25x⋅f(x2−4) dx\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx
integrali veriliyor.

Buna göre, bu integral aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫021f(x) dx\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

Cevap

12∫021f(x) dx\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx
İntegralde u=x2−4u = x^2 - 4 dönüşümü yapıldığında diferansiyel x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar ise x=2x=2 için u=0u=0 ve x=5x=5 için u=21u=21 değerlerine güncellenir. Bu ifadeler yerine koyulup düzenlendiğinde, doğru integral ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel hesaplanır.
u=x2−4u = x^2 - 4 dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx ve buradan x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki x dxx \, dx ifadesini yeni değişken uu türünden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=2  ⟹  u=22−4=0x = 2 \implies u = 2^2 - 4 = 0 olur. Üst sınır için x=5  ⟹  u=52−4=21x = 5 \implies u = 5^2 - 4 = 21 olur.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.
3
Bulunan ifadeler integralde yerine yazılır.
∫25x⋅f(x2−4) dx=∫021f(u)⋅12 du=12∫021f(u) du\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx = \int_{0}^{21} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(u) \, du elde edilir. Belirli integralde değişkenin ismi sonucu etkilemediği için bu ifade 12∫021f(x) dx\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx şeklinde yazılabilir.
İntegralin değerini en sade biçimde ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Soru 254Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonunun grafiği, xx-eksenini [−2,5][-2, 5] aralığında yalnızca apsisleri −2-2 ve 33 olan noktalarda kesmektedir.

ff fonksiyonu;
* [−2,3][-2, 3] aralığındaki tüm xx değerleri için f(x)≤0f(x) \le 0
* [3,5][3, 5] aralığındaki tüm xx değerleri için f(x)≥0f(x) \ge 0

koşullarını sağlamaktadır. Bu fonksiyon için,
∫−25f(x) dx=4\int_{-2}^{5} f(x) \, dx = 4
∫−25∣f(x)∣ dx=12\int_{-2}^{5} |f(x)| \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=−2x = -2 ve x=3x = 3 doğruları ile sınırlanan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen sınırlı bölgenin alanı 4 birimkaredir.
Belirli integral ile alan arasındaki ilişki kurulurken, fonksiyonun negatif değerli olduğu aralıkta integral değerinin alanın negatif işaretlisine eşit olduğu, pozitif değerli olduğu aralıkta ise doğrudan alana eşit olduğu bilgisi kullanılır. [−2,3][-2, 3] aralığındaki alana S1S_1 ve [3,5][3, 5] aralığındaki alana S2S_2 denilirse, integral değerleri sırasıyla −S1-S_1 ve S2S_2 olur. Verilen denklemlerden −S1+S2=4-S_1 + S_2 = 4 ve S1+S2=12S_1 + S_2 = 12 elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında 2S1=82S_1 = 8 buradan da aranan alan S1=4S_1 = 4 birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
[−2,3][-2, 3] ve [3,5][3, 5] aralıklarında fonksiyonun işaretini belirlemek.
[−2,3][-2, 3] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 ve [3,5][3, 5] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğu verilmiştir.
Belirli integral ile alan arasındaki ilişkiyi kurmak için fonksiyonun xx-ekseninin altında mı üstünde mi kaldığını bilmemiz gerekir.
2
Alanları S1S_1 ve S2S_2 olarak tanımlayıp belirli integralleri alan cinsinden yazmak.
xx-ekseninin altında kalan bölge için ∫−23f(x) dx=−S1\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = -S_1 ve üstünde kalan bölge için ∫35f(x) dx=S2\int_{3}^{5} f(x) \, dx = S_2 olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değeri negatif, alan değeri ise daima pozitif olduğundan integral değeri alanın eksi işaretlisine eşittir.
3
Verilen belirli integral denklemlerini S1S_1 ve S2S_2 cinsinden yazıp bir denklem sistemi oluşturmak.
∫−25f(x) dx=−S1+S2=4\int_{-2}^{5} f(x) \, dx = -S_1 + S_2 = 4 ve ∫−25∣f(x)∣ dx=S1+S2=12\int_{-2}^{5} |f(x)| \, dx = S_1 + S_2 = 12 denklemleri elde edilir.
[−2,5][-2, 5] aralığındaki belirli integral, fonksiyonun işaret değiştirdiği sınır noktası olan x=3x = 3 temel alınarak parçalanmıştır.
4
Oluşan denklem sistemini çözerek aranan S1S_1 alanını hesaplamak.
İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında (S1+S2)−(−S1+S2)=12−4  ⟹  2S1=8  ⟹  S1=4(S_1 + S_2) - (-S_1 + S_2) = 12 - 4 \implies 2S_1 = 8 \implies S_1 = 4 bulunur.
Soru bizden [−2,3][-2, 3] aralığında f(x)f(x) eğrisi ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanını (S1S_1) istemektedir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin geometrik yorumu ve eğri altında kalan alan ile integral işareti arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 255Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=5\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5
∫14f(x) dx=12\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫14f(x)x dx\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Doğru cevap 10 değeridir.
Verilen integralde u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapıldığında diferansiyel ifadesi dxx=2 du\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=1u=1 ve x=4x=4 için u=2u=2 olarak güncellenir. Böylece integral 2∫12f(u) du2 \int_{1}^{2} f(u) \, du şekline gelir. Bu integralin değeri, soruda verilen ∫12f(x) dx=5\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5 değeri yardımıyla 2×5=102 \times 5 = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
u=xu = \sqrt{x} değişken değiştirmesi yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.
du=12x dx  ⟹  dxx=2 dudu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du elde edilir.
İntegraldeki dxx\frac{dx}{\sqrt{x}} ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları u=xu = \sqrt{x} dönüşümüne göre güncellenir.
Alt sınır: x=1  ⟹  u=1=1x = 1 \implies u = \sqrt{1} = 1. Üst sınır: x=4  ⟹  u=4=2x = 4 \implies u = \sqrt{4} = 2 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre tanımlanması gerektiği için.
3
Yeni sınırları ve diferansiyel ifadesini integralde yerine yazarak sonucu hesaplanır.
∫14f(x)x dx=∫122f(u) du=2∫12f(u) du=2×5=10\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} 2f(u) \, du = 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du = 2 \times 5 = 10 bulunur.
Verilen ∫12f(x) dx=5\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5 bilgisini kullanarak integralin sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral içerisinde x=u2x = u^2 dönüşümü yapılabilir. Bu durumda dx=2u dudx = 2u \, du olur. Sınırlar x=1  ⟹  u=1x=1 \implies u=1 ve x=4  ⟹  u=2x=4 \implies u=2 olur. İntegral ∫12f(u)u⋅2u du=2∫12f(u) du\int_{1}^{2} \frac{f(u)}{u} \cdot 2u \, du = 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du olarak elde edilir ve aynı sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 256Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫07f(x) dx=24\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 24
∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12
∫17f(x) dx=15\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x2⋅f(x3−1) dx\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x^3 - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin doğru değeri 8'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, u=x3−1u = x^3 - 1 dönüşümüyle diferansiyelin x2 dx=du3x^2 \, dx = \frac{du}{3} şeklinde yazılması ve sınırların 00 ile 77 olarak güncellenmesiyle elde edilen 13∫07f(u) du=243=8\frac{1}{3} \int_{0}^{7} f(u) \, du = \frac{24}{3} = 8 hesabına dayanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
u=x3−1u = x^3 - 1 dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.
du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=du3du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegral içindeki x2 dxx^2 \, dx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7 bulunur.
İntegrasyon değişkeni değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da bu dönüşüme uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Dönüşümler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫12x2⋅f(x3−1) dx=∫07f(u)⋅du3=13∫07f(u) du\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x^3 - 1) \, dx = \int_{0}^{7} f(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{0}^{7} f(u) \, du elde edilir. Soruda verilen ∫07f(x) dx=24\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 24 değeri yerine yazıldığında, sonuç 13⋅24=8\frac{1}{3} \cdot 24 = 8 olarak bulunur.
Değişken değiştirme işlemi tamamlandıktan sonra verilen integral değerini kullanarak nihai sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında, integrali alınan ifadenin diferansiyeli ile birlikte integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 257Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, g(x)=f(x−1)g(x) = f(x-1) fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=2x = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 3 birimkaredir.
Doğru cevap olan 3 değeri; g(x)=f(x−1)=x2−5x+4g(x) = f(x-1) = x^2 - 5x + 4 fonksiyonunun x=1x = 1 köküne göre [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] aralıklarındaki integral mutlak değerlerinin toplamından elde edilir. [0,1][0, 1] aralığında integral 116\frac{11}{6} iken [1,2][1, 2] aralığında integral −76-\frac{7}{6} olur. Bu bölge xx-ekseninin altında kaldığından alan değeri pozitif alınarak 76\frac{7}{6} olur. Toplam alan ise 116+76=3\frac{11}{6} + \frac{7}{6} = 3 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x−1)g(x) = f(x-1) fonksiyonunun denklemini elde etmek için f(x)f(x) denkleminde xx yerine x−1x-1 yazarız.
g(x)=(x−1)2−3(x−1)=x2−5x+4g(x) = (x-1)^2 - 3(x-1) = x^2 - 5x + 4 elde edilir.
Alanı hesaplanacak olan sınırlayıcı eğrinin denklemini bulmak için.
2
g(x)=x2−5x+4g(x) = x^2 - 5x + 4 fonksiyonunun xx-eksenini kestiği noktaları (köklerini) buluruz.
x2−5x+4=0  ⟹  (x−1)(x−4)=0x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0 denkleminden kökler x=1x = 1 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
[0,2][0, 2] integral sınırları içinde fonksiyonun işaret değiştirdiği noktayı tespit etmek için.
3
[0,2][0, 2] aralığını x=1x = 1 noktasından bölerek integral sınırlarını belirleriz ve her bölgenin alanını ayrı ayrı entegre ederiz.
[0,1][0, 1] aralığında g(x)≥0g(x) \ge 0 olduğundan alan A1=∫01(x2−5x+4) dx=116A_1 = \int_0^1 (x^2 - 5x + 4) \, dx = \frac{11}{6} olur. [1,2][1, 2] aralığında g(x)≤0g(x) \le 0 olduğundan alan A2=−∫12(x2−5x+4) dx=76A_2 = -\int_1^2 (x^2 - 5x + 4) \, dx = \frac{7}{6} olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgedeki integralin negatif değer vermesini engellemek ve alan değerini pozitif almak için.
4
Elde edilen A1A_1 ve A2A_2 alan değerlerini toplarız.
A1+A2=116+76=186=3A_1 + A_2 = \frac{11}{6} + \frac{7}{6} = \frac{18}{6} = 3 birimkaredir.
Toplam sınırlı alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki sınır arasında ve eğri ile eksen arasında kalan alanın hesaplanması.
Soru 258Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
- f(0)=2f(0) = 2
- f(3)=4f(3) = 4
- f(4)=7f(4) = 7
- f(5)=10f(5) = 10

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,
∫04xx2+9⋅f′(x2+9) dx\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Verilen integralde u=x2+9u = \sqrt{x^2 + 9} dönüşümü uygulandığında du=xx2+9 dxdu = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx elde edilir. İntegral sınırları alt sınır için 33 ve üst sınır için 55 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫35f′(u) du=f(5)−f(3)\int_{3}^{5} f'(u) \, du = f(5) - f(3) şekline dönüşür. Verilen değerler yerine yazıldığında 10−4=610 - 4 = 6 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme için uygun dönüşüm belirlenir ve diferansiyeli alınır.
u=x2+9u = \sqrt{x^2 + 9} dönüşümü yapılırsa her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=xx2+9 dxdu = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx elde edilir.
İntegral içindeki ifadenin türevi ile ilişkisini kurarak integrali daha basit bir forma getirmek amacıyla bu dönüşüm tercih edilir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=02+9=3x = 0 \implies u = \sqrt{0^2 + 9} = 3 ve üst sınır için x=4  ⟹  u=42+9=5x = 4 \implies u = \sqrt{4^2 + 9} = 5 olur.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınırlar ve değişkenler integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫04xx2+9⋅f′(x2+9) dx=∫35f′(u) du=[f(u)]35=f(5)−f(3)\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx = \int_{3}^{5} f'(u) \, du = [f(u)]_{3}^{5} = f(5) - f(3) elde edilir.
Değişken değiştirme sonrası elde edilen integral temel integral alma kuralları yardımıyla çözülür.
4
Soruda verilen fonksiyon değerleri yerine yazılarak nihai sonuca ulaşılır.
f(5)−f(3)=10−4=6f(5) - f(3) = 10 - 4 = 6 bulunur.
İntegralin sonucunu sayısal bir değere dönüştürmek için verilen fonksiyon değerleri kullanılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin temel teoremi yardımıyla hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 259Soru →
∫03x3x2+1 dx\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx

belirli integralinde u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫14u−12u du\int_{1}^{4} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du

Cevap

Değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesiyle elde edilen doğru integral ifadesi, sınırları 1'den 4'e kadar olan ve paydasında 2\sqrt{u} bulunan integraldir.
Dönüşüm yapıldığında sınırların güncellenmesiyle alt sınır 1, üst sınır 4 olur. Ayrıca x^3 dx = x^2 * x dx yazılarak x^2 = u - 1 ve x dx = du/2 ifadeleri yerine konduğunda doğru integral elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme
u=x2+1  ⟹  du=2x dx  ⟹  x dx=du2u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}
İntegral içindeki x3 dxx^3 \, dx ifadesini x2⋅(x dx)x^2 \cdot (x \, dx) şeklinde yazarak yeni değişken cinsinden ifade etmek için.
2
Belirli integralin sınırlarını güncelleme
Alt sınır: x=0  ⟹  u=02+1=1x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1, Üst sınır: x=3  ⟹  u=(3)2+1=4x = \sqrt{3} \implies u = (\sqrt{3})^2 + 1 = 4
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da bu değişime uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
İfadeleri integralde yerine yazarak yeni integrali elde etme
∫14u−1u⋅du2=∫14u−12u du\int_{1}^{4} \frac{u-1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \int_{1}^{4} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du
Tüm terimleri ve sınırları uu cinsinden yazıp integral ifadesini tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ifadesinin doğru biçimde yazılması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 260Soru →
∫02x(x2+1)3 dx\int_{0}^{2} x(x^2 + 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 78

Cevap

İntegralin doğru değeri 78'dir.
Değişken değiştirme yöntemiyle u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılıp diferansiyel ve sınırlar doğru şekilde uyarlandığında belirli integralin değeri 78 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir.
u=x2+1u = x^2 + 1 seçilirse her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx olur. Buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegrali alınacak ifadeyi bilinen temel integral formuna indirgemek için parantez içi uu değişkenine eşitlenir.
2
Belirli integral sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+1=1x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1. Üst sınır için: x=2  ⟹  u=22+1=5x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, sınır değerlerinin de yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerekir.
3
İntegral yeni değişken ve sınırlar cinsinden yazılıp hesaplanır.
∫15u3⋅du2=12∫15u3 du=12[u44]15=18(54−14)=625−18=78\int_{1}^{5} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^3 \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{1}{8} (5^4 - 1^4) = \frac{625 - 1}{8} = 78
Kuvvet kuralı kullanılarak integral alınır ve üst ile alt sınır değerleri yerine koyularak farkı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
ÖncekiSayfa 13 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 13 | Examkin