Examkin

Değişken Değiştirme Yöntemi

64 soru

Soru 1Soru →
∫01(2x+1)(x2+x+1)2 dx\int_{0}^{1} (2x + 1)(x^2 + x + 1)^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 263\frac{26}{3}

Cevap

İntegralin doğru değeri 263\frac{26}{3} olarak bulunur.
Doğru cevap olan 263\frac{26}{3} değeri, u=x2+x+1u = x^2 + x + 1 dönüşümü yapılarak sınırların 11 ve 33 olarak güncellenmesi ve integralin kurallara uygun olarak hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x2+x+1u = x^2 + x + 1 dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=(2x+1) dxdu = (2x + 1) \, dx elde edilir.
İntegral içindeki (2x+1) dx(2x + 1) \, dx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+0+1=1x = 0 \implies u = 0^2 + 0 + 1 = 1
Üst sınır için: x=1  ⟹  u=12+1+1=3x = 1 \implies u = 1^2 + 1 + 1 = 3
İntegral değişkeni xx yerine uu olduğunda, sınırların da uu değişkenine uygun hale getirilmesi gerekir.
3
Yeni sınırlar ve değişkenler integralde yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
∫13u2 du=[u33]13=333−133=9−13=263\int_{1}^{3} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
Belirli integralin değerini bulmak için integral alma kuralı uygulanır ve sınırlar yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Soru 2Soru →
∫0112x2(x3+1)3 dx\int_{0}^{1} 12x^2 (x^3 + 1)^3 \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Dönüşüm sonrasında integral sınırları 1 ve 2 olarak güncellenir. İntegral içi ise 4u³ du ifadesine eşit olur. Bu ifadenin integrali alındığında u⁴ elde edilir ve sınırlar yerine konulduğunda 16 - 1 = 15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümünü belirleme
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx elde edilir. Buradan 12x2 dx=4 du12x^2 \, dx = 4 \, du bulunur.
İntegrali daha basit bir biçimde ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=0x = 0 yazıldığında u=03+1=1u = 0^3 + 1 = 1 elde edilir. Üst sınır için x=1x = 1 yaz��ldığında u=13+1=2u = 1^3 + 1 = 2 elde edilir.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Yeni integrali oluşturma ve hesaplama
∫124u3 du=[u4]12=24−14=16−1=15\int_{1}^{2} 4u^3 \, du = \left[ u^4 \right]_{1}^{2} = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15 olarak bulunur.
Elde edilen yeni integral u değişkenine göre entegre edilerek belirli integral kurallarına göre hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi kullanılarak sınırların güncellenmesi ve integralin hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13x⋅f(x2+1) dx=40\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 40
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
∫23f(8x−14) dx\int_{2}^{3} f(8x - 14) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İntegralin doğru değeri 10'dur.
Değişken değiştirme yöntemi adımları doğru uygulandığında, birinci integralden ∫210f(x) dx=80\int_{2}^{10} f(x) \, dx = 80 elde edilir. İkinci integralde yapılan dönüşüm ve sınır güncellemesiyle aranan değer 18∫210f(t) dt\frac{1}{8} \int_{2}^{10} f(t) \, dt olarak bulunur. Bu değer ise 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=x2+1  ⟹  du=2x dx  ⟹  x dx=du2u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içindeki x⋅f(x2+1)x \cdot f(x^2 + 1) ifadesini sadeleştirmek ve değişkeni değiştirmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Birinci integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 ve x=3  ⟹  u=32+1=10x = 3 \implies u = 3^2 + 1 = 10 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Birinci integral yeni değişken cinsinden yazılarak değeri hesaplanır.
∫210f(u)⋅du2=40  ⟹  ∫210f(u) du=80\int_{2}^{10} f(u) \cdot \frac{du}{2} = 40 \implies \int_{2}^{10} f(u) \, du = 80 bulunur.
İkinci integralde kullanılabilecek ∫210f(x) dx\int_{2}^{10} f(x) \, dx integralinin değerini elde etmek için bu işlem gerçekleştirilir.
4
İkinci integralde uygun değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
t=8x−14  ⟹  dt=8 dx  ⟹  dx=dt8t = 8x - 14 \implies dt = 8 \, dx \implies dx = \frac{dt}{8} elde edilir.
İkinci integrali bilinen integral biçimine dönüştürmek amacıyla bu dönüşüm uygulanır.
5
İkinci integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=2  ⟹  t=8(2)−14=2x = 2 \implies t = 8(2) - 14 = 2 ve x=3  ⟹  t=8(3)−14=10x = 3 \implies t = 8(3) - 14 = 10 olur.
İkinci integralin sınırlarını tt değişkenine göre ayarlamak için sınırlar güncellenir.
6
İkinci integral yeni değişken cinsinden yazılır ve birinci adımdan elde edilen değer yerine konarak sonuç bulunur.
∫23f(8x−14) dx=∫210f(t)⋅dt8=18∫210f(t) dt=808=10\int_{2}^{3} f(8x - 14) \, dx = \int_{2}^{10} f(t) \cdot \frac{dt}{8} = \frac{1}{8} \int_{2}^{10} f(t) \, dt = \frac{80}{8} = 10 bulunur.
İntegralin nihai değerini hesaplamak için bu adımlar tamamlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →
∫022x(x2+1)3 dx\int_{0}^{2} 2x(x^2+1)^3 \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

İntegralin değeri 156 olarak bulunur.
İntegral, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılarak 11 ile 55 sınırları arasında u3u^3 integraline dönüştürülür. Bu integral hesaplandığında doğru değer olan 156 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=x2+1u = x^2 + 1 olsun. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir.
İntegralin içindeki 2x dx2x \, dx ifadesini dudu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0x = 0 iken u=02+1=1u = 0^2 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=2x = 2 iken u=22+1=5u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Yeni değişkene göre integral kurulur ve hesaplanır.
∫15u3 du=[u44]15=544−144=625−14=156\int_{1}^{5} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{5^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{625 - 1}{4} = 156 elde edilir.
Basit üs integrali kuralı uygulanarak belirli integralin sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫03f(x) dx=12\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 12
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
∫12f(x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(x+1) \, dx = 3
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(2−x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(2 - x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

Beş bölü iki
Verilen integrallerde gerekli değişken değiştirmeler yapılıp sınırlar doğru güncellendiğinde ∫01f(x) dx=5\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 değeri elde edilir. Sorulan integralde u=2−x2u = 2 - x^2 dönüşümü uygulandığında integral 12∫01f(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesine eşit olur. Bu değer de beş bölü ikiye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
∫12f(x+1) dx=3\int_{1}^{2} f(x+1) \, dx = 3 integralinde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫23f(u) du=3\int_{2}^{3} f(u) \, du = 3 elde edilir.
u=x+1u = x+1 dönüşümü için du=dxdu = dx olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=3u=3 olarak güncellenir.
2
Belirli integralin sınır parçalama özelliği kullanılarak ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx değeri bulunur.
∫01f(x) dx=5\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 olur.
∫03f(x) dx=∫01f(x) dx+∫12f(x) dx+∫23f(x) dx\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx yazılabilir. Verilen değerler yerine konduğunda 12=∫01f(x) dx+4+3  ⟹  ∫01f(x) dx=512 = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + 4 + 3 \implies \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 5 bulunur.
3
İstenen integralde değişken değiştirme uygulanır.
12∫01f(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesi elde edilir.
u=2−x2u = 2 - x^2 dönüşümü yapılırsa du=−2x dx  ⟹  x dx=−12 dudu = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=1u=1 ve x=2x=\sqrt{2} için u=0u=0 olur. Buradan ∫10f(u)(−12)du=12∫01f(u) du\int_{1}^{0} f(u) \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du elde edilir.
4
Ende edilen son ifadede ∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du değeri yerine yazılır.
52\frac{5}{2} bulunur.
12∫01f(u) du=12⋅5=52\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi
Soru 6Soru →
∫24f(x−3) dx\int_{2}^{4} f(x - 3) \, dx

belirli integrali veriliyor.

Buna göre, bu integralde u=x−3u = x - 3 dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫−11f(u) du\int_{-1}^{1} f(u) \, du

Cevap

∫−11f(u) du\int_{-1}^{1} f(u) \, du
Verilen integralde u=x−3u = x - 3 dönüşümü yapıldığında du=dxdu = dx olur. Alt sınır olan x=2x = 2 için u=−1u = -1, üst sınır olan x=4x = 4 için u=1u = 1 elde edilir. Bu değerler integralde yerine yazıldığında integralin yeni biçimi sınırları −1-1 ve 11 olacak şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkenini belirleme ve diferansiyel alma
u=x−3u = x - 3 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=dxdu = dx elde edilir.
İntegraldeki dxdx terimini dudu cinsinden yazmak için diferansiyel alınmalıdır.
2
İntegral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=2  ⟹  u=2−3=−1x = 2 \implies u = 2 - 3 = -1 ve üst sınır için x=4  ⟹  u=4−3=1x = 4 \implies u = 4 - 3 = 1 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Elde edilen ifadeleri orijinal integralde yerine yazma
∫24f(x−3) dx=∫−11f(u) du\int_{2}^{4} f(x - 3) \, dx = \int_{-1}^{1} f(u) \, du elde edilir.
Yeni değişken uu, diferansiyel dudu ve yeni sınırlar yerleştirilerek dönüşüm tamamlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisinin kurulması.
Soru 7Soru →
∫ee2ln⁡(x)⋅ln⁡(ln⁡(x))+1xln⁡(x) dx\int_{e}^{e^2} \frac{\ln(x) \cdot \ln(\ln(x)) + 1}{x \ln(x)} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ln⁡(8)−1\ln(8) - 1

Cevap

ln⁡(8)−1\ln(8) - 1
Doğru yanıt olan değer, u=ln⁡(x)u = \ln(x) dönüşümüyle elde edilen ∫12(ln⁡(u)+1/u) du\int_{1}^{2} (\ln(u) + 1/u) \, du integralinin adım adım çözülmesi ve sınırların 11 ve 22 olarak doğru uygulanması sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali sadeleştirmek için u=ln⁡(x)u = \ln(x) değişken değiştirmesini uygulayın.
u=ln⁡(x)u = \ln(x) ise diferansiyel alırsak du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur.
İntegral içindeki ln⁡(x)\ln(x) ve 1x\frac{1}{x} ifadeleri arasındaki türev ilişkisini kullanarak integrali daha basit bir forma dönüştürmek.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu'ya göre güncelleyin.
Alt sınır: x=e⇒u=ln⁡(e)=1x = e \Rightarrow u = \ln(e) = 1. Üst sınır: x=e2⇒u=ln⁡(e2)=2x = e^2 \Rightarrow u = \ln(e^2) = 2.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni integrali uu cinsinden yazın ve sadeleştirin.
∫12u⋅ln⁡(u)+1u du=∫12(ln⁡(u)+1u) du\int_{1}^{2} \frac{u \cdot \ln(u) + 1}{u} \, du = \int_{1}^{2} \left(\ln(u) + \frac{1}{u}\right) \, du
Payı paydaya bölerek integrali alınabilir iki basit terimin toplamı şeklinde yazmak.
4
Her bir terimin integralini alarak antiderivatifini bulun.
∫ln⁡(u) du=uln⁡(u)−u\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u ve ∫1u du=ln⁡(u)\int \frac{1}{u} \, du = \ln(u). Birleştirildiğinde: F(u)=uln⁡(u)−u+ln⁡(u)F(u) = u \ln(u) - u + \ln(u) olur.
Temel integral alma kurallarını uygulayarak integralin belirsiz formunu bulmak.
5
Sınır değerlerini yerine yazarak belirli integralin sonucunu hesaplayın.
F(2)−F(1)=(2ln⁡(2)−2+ln⁡(2))−(1ln⁡(1)−1+ln⁡(1))=(3ln⁡(2)−2)−(−1)=3ln⁡(2)−1=ln⁡(8)−1F(2) - F(1) = (2 \ln(2) - 2 + \ln(2)) - (1 \ln(1) - 1 + \ln(1)) = (3 \ln(2) - 2) - (-1) = 3 \ln(2) - 1 = \ln(8) - 1
Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integralin sayısal değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir. Ayrıca ∫ln⁡(u) du=uln⁡(u)−u+C\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u + C temel integral formülü kullanılır.
Soru 8Soru →

Bir ff fonksiyonu için

∫12x⋅f(x2+1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx

belirli integrali veriliyor. Bu integralde u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

Cevap

12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du
Doğrulanan dönüşümde, u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesi yapıldığında sınırlar x=1x = 1 için u=2u = 2 ve x=2x = 2 için u=5u = 5 olur. Ayrıca x dxx \, dx ifadesi 12 du\frac{1}{2} \, du haline gelir. Bu iki durum birleştirildiğinde integral 12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkenini belirleme ve diferansiyel alma
u=x2+1  ⟹  du=2x dx  ⟹  x dx=du2u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}
İntegral içindeki x dxx \, dx terimini yeni değişken cinsinden yazabilmek için her iki tarafın diferansiyeli hesaplanır.
2
Belirli integral sınırlarını yeni değişkene göre güncelleme
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2; üst sınır için x=2  ⟹  u=22+1=5x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Dönüşümleri integralde yerine yazıp yeni integral ifadesini elde etme
∫12f(x2+1)⋅(x dx)=∫25f(u)⋅du2=12∫25f(u) du\int_{1}^{2} f(x^2 + 1) \cdot (x \, dx) = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du
Elde edilen yeni sınırlar ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yerleştirilerek sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel (dudu) katsayısının doğru hesaplanması.
Soru 9Soru →
∫13f(2x+3) dx\int_{1}^{3} f(2x + 3) \, dx

belirli integrali veriliyor.

Buna göre, bu integralde u=2x+3u = 2x + 3 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du

Cevap

12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du
Dönüşüm kuralları gereği, u=2x+3u = 2x + 3 seçildiğinde diferansiyel dx=du2dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise alt sınır için 2(1)+3=52(1)+3=5, üst sınır için 2(3)+3=92(3)+3=9 olarak güncellenir. Bu değerler integralde yerine yazıldığında integralin eş değer hali 12∫59f(u) du\frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=2x+3u = 2x + 3 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alınır.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazmak amacıyla bu adım uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
x=1x = 1 alt sınırı için u=2(1)+3=5u = 2(1) + 3 = 5 ve x=3x = 3 üst sınırı için u=2(3)+3=9u = 2(3) + 3 = 9 olur.
Değişken değiştirme yöntemi uygulandığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılır.
∫13f(2x+3) dx=∫59f(u)⋅du2=12∫59f(u) du\int_{1}^{3} f(2x + 3) \, dx = \int_{5}^{9} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{5}^{9} f(u) \, du elde edilir.
Değişken değiştirme işlemini tamamlayıp integralin yeni halini yazmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesi (dxdx) hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 10Soru →
∫01(3x+1)4 dx\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx

belirli integralinde u=3x+1u = 3x + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du

Cevap

13∫14u4 du\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du
Doğru seçenekte integral sınırları alt sınır için 3(0)+1=13(0)+1=1 ve üst sınır için 3(1)+1=43(1)+1=4 olarak güncellenmiş ve diferansiyel ifadesi dx=du3dx = \frac{du}{3} şeklinde doğru yazılarak integralin dışına 13\frac{1}{3} çarpanı getirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel hesabı yapılır.
u=3x+1  ⟹  du=3 dx  ⟹  dx=du3u = 3x + 1 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken uu cinsinden ifade etmek için her iki tarafın diferansiyeli alınır.
2
İntegral sınırları güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=3(0)+1=1x = 0 \implies u = 3(0) + 1 = 1 ve üst sınır için x=1  ⟹  u=3(1)+1=4x = 1 \implies u = 3(1) + 1 = 4 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre hesaplanması gerekir.
3
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılır.
∫01(3x+1)4 dx=∫14u4⋅du3=13∫14u4 du\int_{0}^{1} (3x + 1)^4 \, dx = \int_{1}^{4} u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^4 \, du elde edilir.
Tüm terimler yeni uu değişkenine göre düzenlenerek integral yeniden yazılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesi (dxdx) yeni değişken cinsinden yazılmalı hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Soru 11Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12x⋅f(x2) dx+∫12f(5−2x) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx + \int_{1}^{2} f(5 - 2x) \, dx = 10
ve
∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 83\frac{8}{3}

Cevap

Doğru cevap 83\frac{8}{3} değeridir.
Doğru değer olan 83\frac{8}{3}, her bir integral terimine sırasıyla uygun değişken değiştirmeleri uygulanıp sınırlar güncellendikten ve elde edilen doğrusal denklem sistemi çözüldükten sonra elde edilen değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral teriminde u=x2u = x^2 dönüşümü yapılır.
du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 olur. Bu durumda terim 12∫14f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
İntegrali daha basit bir formda ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
İkinci integral teriminde v=5−2xv = 5 - 2x dönüşümü yapılır.
dv=−2 dx  ⟹  dx=−dv2dv = -2 \, dx \implies dx = -\frac{dv}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  v=3x = 1 \implies v = 3 ve x=2  ⟹  v=1x = 2 \implies v = 1 olur. Bu durumda terim ∫31f(v)(−dv2)=12∫13f(v) dv\int_{3}^{1} f(v) \left(-\frac{dv}{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(v) \, dv haline gelir.
İkinci terimi de tek değişkenli integral biçiminde ifade edebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
3
Dönüşümler ilk denklemde yerine yazılır ve denklem düzenlenir.
12∫14f(x) dx+12∫13f(x) dx=10  ⟹  ∫14f(x) dx+∫13f(x) dx=20\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 elde edilir.
Denklemdeki katsayıları sadeleştirerek integraller arasındaki doğrusal bağıntı bulunur.
4
Belirli integralin parçalama özelliği ve verilen ∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4 bilgisi kullanılarak denklem sistemi çözülür.
∫14f(x) dx=∫13f(x) dx+∫34f(x) dx=∫13f(x) dx+4\int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4 yazılır. Bu ifade ortak denklemde yerine yazıldığında: (∫13f(x) dx+4)+∫13f(x) dx=20  ⟹  2∫13f(x) dx=16  ⟹  ∫13f(x) dx=8\left(\int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4\right) + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 \implies 2\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 16 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 bulunur.
Sistemdeki bilinmeyen integral değerleri belirlenir.
5
Sorulan ∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx integralinde w=x3+2w = x^3 + 2 dönüşümü yapılır.
dw=3x2 dx  ⟹  x2 dx=dw3dw = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{dw}{3} olur. Sınırlar: x=−1  ⟹  w=1x = -1 \implies w = 1 ve x=1  ⟹  w=3x = 1 \implies w = 3 olur. İntegral 13∫13f(w) dw=13⋅8=83\frac{1}{3} \int_{1}^{3} f(w) \, dw = \frac{1}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3} olarak hesaplanır.
Hedef integral ifadesi değişken değiştirme ile hesaplanabilir hale getirilir.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, dönüşüm formüllerini açıkça yazmak yerine diferansiyel terimlerini doğrudan içeriye taşıyarak (x dx=12d(x2)x \, dx = \frac{1}{2} d(x^2) ve dx=−12d(5−2x)dx = -\frac{1}{2} d(5-2x) vb.) integral doğrudan diferansiyel formunda da düzenlenebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 12Soru →
∫12x(x2−1)3 dx\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 818\frac{81}{8}

Cevap

İntegralin doğru değeri 81/8'dir.
u=x2−1u = x^2 - 1 dönüşümü yapıldığında du=2x dxdu = 2x \, dx olur ve buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. Sınırlar x=1x = 1 için u=0u = 0 ve x=2x = 2 için u=3u = 3 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫03u3 du\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^3 \, du haline gelir ve hesaplandığında 818\frac{81}{8} sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme için dönüşüm tanımlanır ve diferansiyel hesabı yapılır.
u=x2−1u = x^2 - 1 ve du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}
İntegral içindeki x(x2−1)3 dxx(x^2 - 1)^3 \, dx ifadesini uu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12−1=0x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0, üst sınır için x=2  ⟹  u=22−1=3x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3
İntegral değişkeni xx'ten uu'ya geçtiği için sınırların da uu değişkeninin aldığı değerlerle değiştirilmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral hesaplanır.
∫03u3du2=12[u44]03=12(814−0)=818\int_{0}^{3} u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{2} \left( \frac{81}{4} - 0 \right) = \frac{81}{8}
Belirli integralin değerini bulmak için integral alma kuralları uygulanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem integralin içi hem de integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Soru 13Soru →
∫12(3x−2)2 dx\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 77

Cevap

Belirli integralin değeri 7'dir.
Doğru seçenekte verilen değer, u=3x−2u = 3x - 2 dönüşümü yapılarak sınırların u=1u=1 ve u=4u=4 olarak güncellenmesi ve dx=du3dx = \frac{du}{3} diferansiyeli kullanılarak integralin 13∫14u2 du=7\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^2 \, du = 7 olarak hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. u=3x−2u = 3x - 2 dönüşümü yapılır.
Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=3 dxdu = 3 \, dx ve buradan dx=du3dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegrali daha kolay hesaplanabilir bir değişkene dönüştürmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=3(1)−2=1x = 1 \implies u = 3(1) - 2 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=3(2)−2=4x = 2 \implies u = 3(2) - 2 = 4 olur.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.
3
Yeni değişken ve sınırlar integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫12(3x−2)2 dx=∫14u2⋅du3=13[u33]14=19(43−13)=639=7\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx = \int_{1}^{4} u^2 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{9} (4^3 - 1^3) = \frac{63}{9} = 7 elde edilir.
Belirli integralin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ifadesinin doğru yazılması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →
∫023x2(x3+1)2 dx\int_{0}^{2} 3x^2 (x^3 + 1)^2 \, dx belirli integralinde u=x3+1u = x^3 + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du

Cevap

∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du ifadesidir.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx olur. İntegralin sınırları ise alt sınır için x=0  ⟹  u=1x = 0 \implies u = 1 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=9x = 2 \implies u = 9 şeklinde güncellenir. Bu dönüşümler integralde yerine yazıldığında integralin yeni biçimi ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme bağıntısını belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü için du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx elde edilir.
İntegral içindeki x'e bağlı ifadeleri ve diferansiyeli u cinsinden yazmak için.
2
İntegralin belirli sınırlarını yeni u değişkenine göre hesaplayıp güncelleyiniz.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=03+1=1x = 0 \implies u = 0^3 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=23+1=9x = 2 \implies u = 2^3 + 1 = 9 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınır değerlerinin de yeni değişkene uygun hale getirilmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni sınırları ve diferansiyel dönüşümünü integralde yerine yazarak yeni integrali oluşturunuz.
∫02(x3+1)2⋅(3x2 dx)=∫19u2 du\int_{0}^{2} (x^3 + 1)^2 \cdot (3x^2 \, dx) = \int_{1}^{9} u^2 \, du elde edilir.
Tüm dönüşüm adımlarını birleştirerek u değişkenine bağlı eşdeğer belirli integrali yazmak için.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫12f(x2) dx=8\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
∫0π/2sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2f(11+cos⁡2x) dx+∫ee21xln⁡2xf(1ln⁡x) dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegraller sırasıyla değişken değiştirme yöntemiyle sadeleştirildiğinde toplamın sonucu 8 olarak bulunur.
Verilen integralde yapılan değişken değiştirme ile temel integralin değeri 4 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki her iki integral de uygun trigonometrik ve logaritmik dönüşümler yardımıyla aynı sınırlara sahip integrallere indirgenir ve her birinin değeri 4 olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı 8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ilk integralde değişken değiştirme uygulanması
∫1/21f(w) dw=4\int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4
∫12f(x2) dx=8\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8 ifadesinde w=x2w = \frac{x}{2} dönüşümü yapılırsa dw=dx2  ⟹  dx=2 dwdw = \frac{dx}{2} \implies dx = 2 \, dw olur. Sınırlar x=1  ⟹  w=1/2x = 1 \implies w = 1/2 ve x=2  ⟹  w=1x = 2 \implies w = 1 olur. Buradan 2∫1/21f(w) dw=8  ⟹  ∫1/21f(w) dw=42 \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 8 \implies \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4 elde edilir.
2
Sorulan ifadedeki trigonometrik integralin hesaplanması
∫1/21f(u) du=4\int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4
I1=∫0π/2sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2f(11+cos⁡2x) dxI_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx integralinde u=11+cos⁡2x=(1+cos⁡2x)−1u = \frac{1}{1 + \cos^2 x} = (1 + \cos^2 x)^{-1} dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında du=−(1+cos⁡2x)−2⋅2cos⁡x⋅(−sin⁡x) dx=sin⁡(2x)(1+cos⁡2x)2 dxdu = -(1 + \cos^2 x)^{-2} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} \, dx olur. Sınırlar x=0  ⟹  u=1/2x = 0 \implies u = 1/2 ve x=π/2  ⟹  u=1x = \pi/2 \implies u = 1 olarak güncellenir. Böylece I1=∫1/21f(u) du=4I_1 = \int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4 bulunur.
3
Sorulan ifadedeki logaritmik integralin hesaplanması
∫1/21f(v) dv=4\int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4
I2=∫ee21xln⁡2xf(1ln⁡x) dxI_2 = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx integralinde v=1ln⁡x=(ln⁡x)−1v = \frac{1}{\ln x} = (\ln x)^{-1} dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında dv=−(ln⁡x)−2⋅1x dx=−1xln⁡2x dx  ⟹  1xln⁡2x dx=−dvdv = -(\ln x)^{-2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = -\frac{1}{x \ln^2 x} \, dx \implies \frac{1}{x \ln^2 x} \, dx = -dv olur. Sınırlar x=e  ⟹  v=1x = e \implies v = 1 ve x=e2  ⟹  v=1/2x = e^2 \implies v = 1/2 olur. Buradan I2=∫11/2f(v) (−dv)=∫1/21f(v) dv=4I_2 = \int_{1}^{1/2} f(v) \, (-dv) = \int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4 elde edilir.
4
Elde edilen integral değerlerinin toplanması
I1+I2=4+4=8I_1 + I_2 = 4 + 4 = 8
Her iki integralin de değeri 4 olarak hesaplandığından, toplam ifadenin değeri 8 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyel katsayılarının doğru güncellenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 16Soru →
∫0π/2cos⁡(x)⋅f(sin⁡(x)) dx\int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \cdot f(\sin(x)) \, dx belirli integralinde u=sin⁡(x)u = \sin(x) değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du

Cevap

∫01f(u) du\int_{0}^{1} f(u) \, du ifadesi
Doğru seçenekte belirtilen integral, u=sin⁡(x)u = \sin(x) dönüşümüyle elde edilen sınırların (00 ve 11) ve diferansiyelin (du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx) doğru şekilde yerleştirilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm değişkenini belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.
u=sin⁡(x)u = \sin(x) ise du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx olur.
İntegral içindeki dxdx terimini yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu cinsinden güncelleyiniz.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡(0)=0x = 0 \implies u = \sin(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/2  ⟹  u=sin⁡(π/2)=1x = \pi/2 \implies u = \sin(\pi/2) = 1 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Bulunan diferansiyel ve sınır değerlerini orijinal integralde yerine yazınız.
∫0π/2f(sin⁡(x))⋅cos⁡(x) dx=∫01f(u) du\int_{0}^{\pi/2} f(\sin(x)) \cdot \cos(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(u) \, du elde edilir.
Tüm bileşenler yeni değişken uu cinsinden ifade edilerek dönüşüm tamamlanır.

Anahtar Kavram

Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak belirli integralin sınırlarının ve diferansiyelinin güncellenmesi.
Soru 17Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫14f(x) dx=18\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18
∫15f(x) dx=24\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 24
∫810f(x) dx=10\int_{8}^{10} f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫810f(x2) dx+∫45f(9−x) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{4}^{5} f(9-x) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Doğru seçenekte, her iki integralde de değişken değiştirme kuralları eksiksiz uygulanmıştır. İlk integralde u=x/2u = x/2 dönüşümüyle sınırlar [4, 5] aralığına güncellenmiş ve diferansiyelden gelen 2 çarpanı ile integral değeri 12 bulunmuştur. İkinci integralde v=9−xv = 9-x dönüşümüyle sınırlar [5, 4] olmuş, diferansiyeldeki eksi işareti sınırların sırasını düzelterek [4, 5] aralığında integral değeri olan 6'yı vermiştir. İki değerin toplamından 18 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral sınırlarını ilişkilendirmek için öncelikle verilen ilk iki integrali kullanarak [4, 5] aralığındaki integral değerini bulalım.
∫45f(x) dx=∫15f(x) dx−∫14f(x) dx=24−18=6\int_{4}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 24 - 18 = 6
Belirli integralin aralık ekleme özelliği kullanılarak [4, 5] aralığı elde edilmiştir.
2
Sorulan ifadedeki birinci integral olan ∫810f(x2) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx ifadesinde u=x2u = \frac{x}{2} değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=12dx  ⟹  dx=2 dudu = \frac{1}{2} dx \implies dx = 2 \, du
Sınırlar:
x=8  ⟹  u=4x = 8 \implies u = 4
x=10  ⟹  u=5x = 10 \implies u = 5
Yeni integral:
2∫45f(u) du=2⋅6=122 \int_{4}^{5} f(u) \, du = 2 \cdot 6 = 12
Değişken değiştirme yöntemi uygulanarak integral bilinen [4, 5] aralığına taşınmış ve diferansiyel ile sınırlar güncellenmiştir.
3
Sorulan ifadedeki ikinci integral olan ∫45f(9−x) dx\int_{4}^{5} f(9-x) \, dx ifadesinde v=9−xv = 9-x değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=−dx  ⟹  dx=−dvdv = -dx \implies dx = -dv
Sınırlar:
x=4  ⟹  v=5x = 4 \implies v = 5
x=5  ⟹  v=4x = 5 \implies v = 4
Yeni integral:
∫54f(v) (−dv)=∫45f(v) dv=6\int_{5}^{4} f(v) \, (-dv) = \int_{4}^{5} f(v) \, dv = 6
Eksi işareti integral sınırlarının yerini değiştirerek yönü düzeltir ve yine bilinen [4, 5] aralığındaki integral elde edilir.
4
Bulunan iki integral değerini toplayalım.
12+6=1812 + 6 = 18
İki integralin değerlerinin toplamı sorulan ifadenin nihai sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyelin doğru şekilde güncellenmesi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral aralıklarını ve dönüşümleri grafiksel veya alan kaydırma (öteleme/genişletme) mantığıyla da düşünebilirsiniz. Örneğin f(9−x)f(9-x) ifadesi f(x)f(x) fonksiyonunun x=4.5x = 4.5 doğrusuna göre simetriğidir, dolayısıyla [4, 5] aralığındaki integral değeri f(x)f(x)'in [4, 5] aralığındaki integral değerine eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →

Diferansiyellenebilir bir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu için f(1)=0f(1) = 0 ve f(2)=3f(2) = \sqrt{3} eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,
∫ee2f(ln⁡x)⋅f′(ln⁡x)x1+f2(ln⁡x) dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x) \cdot f'(\ln x)}{x \sqrt{1 + f^2(\ln x)}} \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İntegralin değeri 1'dir.
İntegral sırasıyla u=ln⁡xu = \ln x ve t=1+f2(u)t = 1 + f^2(u) değişken değiştirmeleriyle çözülür. İlk adımda sınırlar [1,2][1, 2] aralığına, ikinci adımda ise [1,4][1, 4] aralığına güncellenir. Diferansiyel geçişinde oluşan yarım katsayısı ile integralin integrali olan 2t2\sqrt{t} terimi çarpıldığında t\sqrt{t} elde edilir. Sınırlar yerine yazıldığında doğru sonuç 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk değişken değiştirmeyi uygulayalım.
u=ln⁡xu = \ln x dönüşümü yapılırsa du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx olur.
İntegral içindeki ln⁡x\ln x ifadesini sadeleştirmek ve diferansiyel terimini elde etmek için.
2
��lk dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için x=e  ⟹  u=ln⁡(e)=1x = e \implies u = \ln(e) = 1 ve üst sınır için x=e2  ⟹  u=ln⁡(e2)=2x = e^2 \implies u = \ln(e^2) = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İntegrali yeni değişken cinsinden yeniden yazalım.
İntegralimiz ∫12f(u)⋅f′(u)1+f2(u) du\int_{1}^{2} \frac{f(u) \cdot f'(u)}{\sqrt{1 + f^2(u)}} \, du şekline dönüşür.
Elde edilen tüm terimleri yerine koymak için.
4
İkinci değişken değiştirmeyi uygulayalım.
t=1+f2(u)t = 1 + f^2(u) dönüşümü yapılırsa, diferansiyel dt=2f(u)f′(u)du  ⟹  f(u)f′(u)du=12dtdt = 2f(u)f'(u)du \implies f(u)f'(u)du = \frac{1}{2} dt olur.
Kareköklü ifadeyi ve pay kısmını sadeleştirmek için.
5
İkinci dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için u=1  ⟹  t=1+f2(1)=1+02=1u = 1 \implies t = 1 + f^2(1) = 1 + 0^2 = 1 ve üst sınır için u=2  ⟹  t=1+f2(2)=1+(3)2=4u = 2 \implies t = 1 + f^2(2) = 1 + (\sqrt{3})^2 = 4 olur.
Yeni değişken tt için sınırları belirlemek amacıyla.
6
İntegrali tt değişkenine göre hesaplayalım.
∫1412dtt=12∫14t−1/2dt=12[2t]14=[t]14=4−1=2−1=1\int_{1}^{4} \frac{\frac{1}{2} dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \left[ \sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1 bulunur.
Belirli integralin değerini nihai olarak hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde ardışık değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının her adımda doğru şekilde güncellenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 19Soru →
∫13f(2x−1) dx\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx belirli integraline u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında elde edilen yeni integral ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫15f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni integral ifadesi ön katsayıs�� yarım olan ve 1 ile 5 sınırları arasında yer alan integraldir.
Verilen integralde u = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında, diferansiyel hesabı dx = du/2 sonucunu verir. İntegralin alt sınırı olan x = 1 değeri için u = 1, üst sınırı olan x = 3 değeri için u = 5 elde edilir. Bu değerler integralde yerine yazılıp 1/2 katsayısı integralin dışına alındığında, aranan yeni ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm ifadesinin diferansiyeli alınır.
u=2x−1⇒du=2 dxu = 2x - 1 \Rightarrow du = 2 \, dx elde edilir. Buradan dx=du2dx = \frac{du}{2} bulunur.
İntegral içerisindeki dx ifadesini yeni değişken u cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integral sınırları güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=2(1)−1=1x = 1 \Rightarrow u = 2(1) - 1 = 1 olur. Üst sınır için x=3⇒u=2(3)−1=5x = 3 \Rightarrow u = 2(3) - 1 = 5 olur.
Değişken değiştiği için entegrasyon sınırlarının da yeni u değişkenine göre ayarlanması gerekir.
3
Elde edilen veriler orijinal integralde yerine yazılır.
∫13f(2x−1) dx=∫15f(u)⋅du2=12∫15f(u) du\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du elde edilir.
Tüm bileşenler yeni değişken u cinsine çevrilerek dönüşüm işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 20Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
A=∫12x3f(x2+1) dxA = \int_{1}^{\sqrt{2}} x^3 f(x^2 + 1) \, dx
eşitliği veriliyor.

Buna göre, AA ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \int_{2}^{3} \frac{x - 1}{2} f(x) \, dx

Cevap

∫23x−12f(x) dx\int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx ifadesidir.
Doğru seçenekte, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümüyle x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} ve x2=u−1x^2 = u - 1 eşitlikleri kullanılmış, integral sınırları da alt sınır 22 ve üst sınır 33 olacak şekilde güncellenerek ∫23x−12f(x) dx\int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx ifadesine ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır ve u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü seçilir.
du=2x dxdu = 2x \, dx diferansiyeli elde edilir ve buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} bulunur.
İntegral içindeki x3x^3 ifadesi, diferansiyel çarpanını elde etmek amacıyla x2⋅xx^2 \cdot x olarak parçalanır.
2
x2x^2 terimi uu cinsinden yazılır.
u=x2+1u = x^2 + 1 eşitliğinden x2=u−1x^2 = u - 1 elde edilir.
İntegral içindeki tüm değişkenlerin yeni değişken olan uu türünden ifade edilmesi zorunludur.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=(2)2+1=3x = \sqrt{2} \implies u = (\sqrt{2})^2 + 1 = 3 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Bulunan tüm ifadeler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak integral sadeleştirilir.
A=∫23(u−1)f(u)du2=∫23u−12f(u) duA = \int_{2}^{3} (u - 1) f(u) \frac{du}{2} = \int_{2}^{3} \frac{u - 1}{2} f(u) \, du elde edilir. Belirli integralde değişken ismi sonucu değiştirmediğinden uu yerine xx yazılarak A=∫23x−12f(x) dxA = \int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx bulunur.
Değişken değiştirme tamamlanarak integralin eşiti olan ifade belirlenmiş olur.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi
Sayfa 1 / 4Sonraki
Değişken Değiştirme Yöntemi Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin