Examkin

Değişken Değiştirme Yöntemi

64 soru

Soru 21Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=4f(2)=1f(3)=5f(32)=2\begin{aligned} f(1) &= 4 \\ f(2) &= 1 \\ f(3) &= 5 \\ f\left(\frac{3}{2}\right) &= 2 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f′(3x)⋅f(3x)x2 dx\int_{1}^{2} \frac{f'\left(\frac{3}{x}\right) \cdot f\left(\frac{3}{x}\right)}{x^2} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

İntegralin doğru değeri yedi bölü iki olarak bulunur.
Doğru seçenekte sunulan yedi bölü iki değeri; u=3/xu = 3/x dönüşümü sonrasında sınırların alt sınır üç ve üst sınır üç bölü iki olarak güncellenmesi, diferansiyel hesabından gelen katsayıların integral dışına doğru aktarılması ve nihayetinde f(u)f′(u)f(u)f'(u) ifadesinin ters türevinin doğru hesaplanmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral ifadesinde değişken değiştirme uygulanır.
u=3xu = \frac{3}{x} dönüşümü seçildiğinde her iki tarafın diferansiyeli alınırsa du=−3x2 dx  ⟹  dxx2=−du3du = -\frac{3}{x^2} \, dx \implies \frac{dx}{x^2} = -\frac{du}{3} eşitliği elde edilir.
İntegral içindeki karmaşık rasyonel ifadeyi basitleştirmek ve integralin kurallara uygun biçimde alınmasını sağlamak için değişken değiştirme yöntemi tercih edilir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu değerlerine göre dönüştürülür.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=31=3x = 1 \implies u = \frac{3}{1} = 3 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=32x = 2 \implies u = \frac{3}{2} olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınır değerleri, değişkenler ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yazılır.
∫33/2f′(u)⋅f(u)⋅(−du3)=13∫3/23f(u)⋅f′(u) du\int_{3}^{3/2} f'(u) \cdot f(u) \cdot \left(-\frac{du}{3}\right) = \frac{1}{3} \int_{3/2}^{3} f(u) \cdot f'(u) \, du integral ifadesi elde edilir.
Diferansiyelden gelen eksi işareti, integralin alt ve üst sınırlarının yerini değiştirerek yönü düzeltmek amacıyla kullanılmıştır.
4
İntegral alma işlemi tamamlanır ve verilen fonksiyon değerleri yerlerine konularak sonuç hesaplanır.
v=f(u)  ⟹  dv=f′(u) duv = f(u) \implies dv = f'(u) \, du dönüşümü altında integral 13∫f(u)⋅f′(u) du=13⋅(f(u))22=(f(u))26\frac{1}{3} \int f(u) \cdot f'(u) \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{(f(u))^2}{2} = \frac{(f(u))^2}{6} haline gelir. Sınırlar yerine yazıldığında: 16[(f(3))2−(f(32))2]=16(52−22)=216=72\frac{1}{6} \left[ (f(3))^2 - \left(f\left(\frac{3}{2}\right)\right)^2 \right] = \frac{1}{6} (5^2 - 2^2) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} bulunur.
Bulunan ters türev ifadesinde üst sınır olan üç değeri ile alt sınır olan üç bölü iki değeri yerlerine yazılarak belirli integral hesabı tamamlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisindeki katsayıların doğru biçimde integral dışına taşınması gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
eşitliği verilmiştir.
Buna göre,
∫ee2f(ln⁡x)+f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x) + f(3 - \ln x)}{x} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen integral iki parçaya ayrılıp sırasıyla u=ln⁡xu = \ln x ve v=3−ln⁡xv = 3 - \ln x dönüşümleri yapıldığında, her iki integralin de sınırları güncellenerek ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx ifadesine dönüşür. Dolayısıyla her iki integralin değeri de 4 olur ve toplamları 8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen integral ifadesini daha rahat incelemek için iki ayrı integralin toplamı şeklinde yazın.
∫ee2f(ln⁡x)x dx+∫ee2f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{f(3 - \ln x)}{x} \, dx elde edilir.
Her bir terimde yapılacak değişken değiştirme adımlarını bağımsız olarak yönetebilmek için.
2
Birinci integral olan ∫ee2f(ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} \, dx ifadesi için u=ln⁡xu = \ln x değişken değiştirmesini uygulayın.
du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur. Sınırlar ise x=ex = e için u=1u = 1 ve x=e2x = e^2 için u=2u = 2 olarak güncellenir. Bu durumda birinci integral ∫12f(u) du=4\int_{1}^{2} f(u) \, du = 4 haline gelir.
Logaritmik ifadeyi doğrusal bir değişkene dönüştürmek ve soruda verilen integral değerini kullanabilmek için.
3
İkinci integral olan ∫ee2f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(3 - \ln x)}{x} \, dx ifadesi için v=3−ln⁡xv = 3 - \ln x değişken değiştirmesini uygulayın.
dv=−1x dx⇒1x dx=−dvdv = -\frac{1}{x} \, dx \Rightarrow \frac{1}{x} \, dx = -dv olur. Sınırlar ise x=ex = e için v=3−1=2v = 3 - 1 = 2 ve x=e2x = e^2 için v=3−2=1v = 3 - 2 = 1 olarak güncellenir.
İkinci terimdeki bileşke fonksiyon yapısını çözerek integrali hesaplanabilir hale getirmek için.
4
Elde edilen yeni sınırları ve diferansiyeli ikinci integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayın.
∫21f(v) (−dv)=∫12f(v) dv=4\int_{2}^{1} f(v) \, (-dv) = \int_{1}^{2} f(v) \, dv = 4 olarak bulunur.
Belirli integralde sınırların yer değiştirmesinin integrali eksi ile çarptığı özelliğini kullanarak integral değerini bulmak için.
5
Bulunan iki integral değerini toplayarak toplam integralin sonucuna ulaşın.
4+4=84 + 4 = 8 elde edilir.
İntegral toplam özelliğine göre parçalanan kısımların toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi
Soru 23Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(2x) dx=8\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 8
∫13f(x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(x-1) \, dx = 6

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫24f(x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 değerini içeren seçenek doğrudur.
Verilen integrallerde gerekli değişken değiştirmeleri yapılıp sınırlar doğru şekilde güncellendiğinde sırasıyla ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 ve ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 değerleri elde edilir. İstenen integral, bu iki integralin farkı olan ∫24f(x) dx=16−6=10\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 16 - 6 = 10 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} ve sınırlar x=0  ⟹  u=0x=0 \implies u=0, x=2  ⟹  u=4x=2 \implies u=4 olur. İntegral: ∫04f(u)du2=8  ⟹  ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 olarak bulunur.
Verilen integrali f(x) cinsinden ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi kullanılır.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
t=x−1  ⟹  dt=dxt = x-1 \implies dt = dx ve sınırlar x=1  ⟹  t=0x=1 \implies t=0, x=3  ⟹  t=2x=3 \implies t=2 olur. İntegral: ∫02f(t) dt=6  ⟹  ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(t) \, dt = 6 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 olarak bulunur.
İkinci integral ifadesini f(x) cinsinden sadeleştirmek için değişken değiştirme yapılır.
3
Elde edilen integral alanlarını sınır parçalama özelliğine göre birleştirmek.
∫24f(x) dx=∫04f(x) dx−∫02f(x) dx=16−6=10\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 16 - 6 = 10 bulunur.
İstenen integralin sınırları olan [2, 4] aralığı, [0, 4] ve [0, 2] aralıklarının farkı şeklinde ifade edilebilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi ve belirli integralin toplamsal/parçalama özelliğinin kullanılması.
Soru 24Soru →
∫13x3−x(x2+1)3 dx\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x}{(x^2 + 1)^3} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 225\frac{2}{25}

Cevap

225\frac{2}{25}
İntegral ifadesinde pay kısmındaki x3−xx^3 - x ifadesi x(x2−1)x(x^2 - 1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydadaki x2+1x^2 + 1 ifadesine uu denilirse, diferansiyel x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du olarak elde edilir. Bu durumda paydaki x2−1x^2 - 1 terimi u−2u - 2 haline gelir. İntegralin sınırları da x=1x=1 için u=2u=2 ve x=3x=3 için u=10u=10 olarak güncellenir. Bu dönüşümler altında integral 12∫210(u−2−2u−3) du\frac{1}{2} \int_{2}^{10} (u^{-2} - 2u^{-3}) \, du biçimine dönüşür. İntegral hesaplandığında doğru sonuç 225\frac{2}{25} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali daha kolay hesaplayabilmek amacıyla u=x2+1u = x^2 + 1 değişken değiştirmesini yapalım.
Diferansiyel alındığında du=2x dx⇒x dx=12 dudu = 2x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
Paydadaki ifadeyi tek bir değişkenin kuvvetine dönüştürmek ve pay kısmındaki x3−x=x(x2−1)x^3 - x = x(x^2 - 1) ifadesindeki xx çarpanı ile diferansiyel ilişkisi kurmak amacıyla bu dönüşüm seçilmiştir.
2
x2−1x^2 - 1 ifadesini uu türünden yazalım.
u=x2+1⇒x2=u−1u = x^2 + 1 \Rightarrow x^2 = u - 1 olduğundan, x2−1=(u−1)−1=u−2x^2 - 1 = (u - 1) - 1 = u - 2 olur.
İntegral içindeki tüm xx terimlerinin yeni değişken olan uu türünden ifade edilmesi zorunludur.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken olan uu değerlerine göre güncelleyelim.
Alt sınır için x=1⇒u=12+1=2x = 1 \Rightarrow u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=3⇒u=32+1=10x = 3 \Rightarrow u = 3^2 + 1 = 10 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir, aksi takdirde yanlış sonuç elde edilir.
4
Dönüşümleri ve yeni sınırları integralde yerine yazarak hesaplamayı tamamlayalım.
∫210u−2u3⋅12 du=12∫210(u−2−2u−3) du=12[−u−1+u−2]210=12[−1u+1u2]210\int_{2}^{10} \frac{u - 2}{u^3} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{2}^{10} \left( u^{-2} - 2u^{-3} \right) \, du = \frac{1}{2} \left[ -u^{-1} + u^{-2} \right]_2^{10} = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} + \frac{1}{u^2} \right]_2^{10}

Sınırları yerine yazarsak:
12[(−110+1100)−(−12+14)]=12[−9100−(−14)]=12[−9100+25100]=12⋅16100=225\frac{1}{2} \left[ \left( -\frac{1}{10} + \frac{1}{100} \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{9}{100} - \left( -\frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{9}{100} + \frac{25}{100} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{100} = \frac{2}{25} elde edilir.
Elde edilen basit rasyonel fonksiyonların integralleri alınır ve sınırlar yerine konur.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Soru 25Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
I=∫12x5f(x3−1) dxI = \int_{1}^{2} x^5 f(x^3 - 1) \, dx
integrali veriliyor. Buna göre, bu integralde u=x3−1u = x^3 - 1 değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13∫07(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du

Cevap

Yapılan değişken değiştirme sonucunda 13∫07(u+1)f(u) du\frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du ifadesi elde edilir.
Doğru değişken değiştirme adımları uygulandığında; x5 dxx^5 \, dx ifadesi x3⋅x2 dxx^3 \cdot x^2 \, dx şeklinde parçalanır, u=x3−1u = x^3 - 1 eşitliğinden x3=u+1x^3 = u + 1 ve x2 dx=13 dux^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du bulunur. Sınırlar ise x=1x=1 için 00 ve x=2x=2 için 77 olarak güncellenir. Bu değerler yerine yazıldığında doğru integral ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel hesabı yapılması
u=x3−1  ⟹  du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=13 duu = x^3 - 1 \implies du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki dxdx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazmak için diferansiyel alınır.
2
İntegral altındaki ifadenin düzenlenmesi
x5 f(x3−1) dx=x3⋅f(x3−1)⋅x2 dxx^5 \, f(x^3 - 1) \, dx = x^3 \cdot f(x^3 - 1) \cdot x^2 \, dx olarak yazılır. Buradan x3=u+1x^3 = u + 1 ve x2 dx=13 dux^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du değerleri yerlerine yazıldığında, integral içi (u+1)f(u)⋅13 du(u + 1) f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du haline gelir.
İntegral değişkenlerini tamamen uu cinsine dönüştürmek için x5x^5 terimi x3x^3 ve x2x^2 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
3
İntegral sınırlarının güncellenmesi
Alt sınır için: x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7
Yeni sınırlar [0,7][0, 7] aralığı olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde, integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
4
Yeni integralin yazılması
I=∫07(u+1)f(u)⋅13 du=13∫07(u+1)f(u) duI = \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{0}^{7} (u + 1) f(u) \, du
Tüm dönüşümler ve yeni sınırlar birleştirilerek nihai integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel ilişkisine, fonksiyonel dönüşümlere ve sınırların doğru güncellenmesine dikkat edilmelidir.
Soru 26Soru →
∫01x5(x3+1)4 dx\int_{0}^{1} x^5 (x^3 + 1)^4 \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4330\frac{43}{30}

Cevap

İntegralin değeri 4330\frac{43}{30} olarak bulunur.
İntegral u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümüyle çözüldüğünde sınırların x=0x = 0 için u=1u = 1 ve x=1x = 1 için u=2u = 2 olarak güncellenmesiyle integralin değeri 4330\frac{43}{30} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapıldığında du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=du3du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3} elde edilir. Ayrıca x3=u−1x^3 = u - 1 olur.
İntegral içindeki x5x^5 ifadesini x3⋅x2x^3 \cdot x^2 şeklinde ayırarak dönüşümü tamamlamak amacıyla bu işlem yapılır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=03+1=1x = 0 \implies u = 0^3 + 1 = 1, üst sınır için x=1  ⟹  u=13+1=2x = 1 \implies u = 1^3 + 1 = 2 olur.
xx de��işkeninden uu değişkenine geçerken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Yeni değişkenlere göre integral oluşturulur ve hesaplanır.
∫12(u−1)⋅u4⋅du3=13∫12(u5−u4) du\int_{1}^{2} (u - 1) \cdot u^4 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} (u^5 - u^4) \, du elde edilir.
Değişken ve sınır dönüşümleri integrale yerleştirilir.
4
Elde edilen integralin değeri hesaplanır.
13[u66−u55]12=13[(646−325)−(16−15)]=13[6415−(−130)]=13(12930)=4330\frac{1}{3} \left[ \frac{u^6}{6} - \frac{u^5}{5} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{64}{6} - \frac{32}{5} \right) - \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{5} \right) \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{64}{15} - \left( -\frac{1}{30} \right) \right] = \frac{1}{3} \left( \frac{129}{30} \right) = \frac{43}{30} bulunur.
Temel integral alma ve yerine koyma kuralları uygulanır.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi ile Belirli İntegral Hesabı
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12xf(x) dx=5\int_1^2 x f(x) \, dx = 5
∫26xf(x) dx=16\int_2^6 x f(x) \, dx = 16
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12(2x3+3x2+x)f(x2+x) dx\int_1^2 (2x^3 + 3x^2 + x) f(x^2 + x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İntegralin değeri 16'dır.
İntegral içindeki 2x3+3x2+x2x^3 + 3x^2 + x ifadesi (x2+x)(2x+1)(x^2+x)(2x+1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. u=x2+xu = x^2+x dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=(2x+1)dxdu = (2x+1)dx olur. İntegral sınırları x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=6u=6 olarak güncellenir. Bu dönüşümler uygulandığında integral ∫26uf(u) du\int_2^6 u f(u) \, du haline gelir. Soruda verilen ∫26xf(x) dx=16\int_2^6 x f(x) \, dx = 16 bilgisi kullanılarak doğru sonuç 16 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak ifadedeki (2x3+3x2+x)(2x^3 + 3x^2 + x) terimini ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
2x3+3x2+x=x(2x2+3x+1)=x(x+1)(2x+1)=(x2+x)(2x+1)2x^3 + 3x^2 + x = x(2x^2 + 3x + 1) = x(x+1)(2x+1) = (x^2+x)(2x+1) elde edilir.
Bu sayede integral içindeki ifade u=x2+xu = x^2 + x değişken değiştirmesine uygun hale getirilir.
2
u=x2+xu = x^2 + x dönüşümü uygulayarak diferansiyeli bulun.
du=(2x+1)dxdu = (2x+1)dx olur.
Değişken değiştirme yönteminde diferansiyellerin doğru eşleştirilmesi gerekir.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu'ya göre güncelleyin.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=22+2=6x = 2 \implies u = 2^2 + 2 = 6 bulunur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Dönüşümü integralde yerine yazın ve verilen eşitlikleri kullanarak sonucu hesaplayın.
∫12(x2+x)f(x2+x)⋅(2x+1) dx=∫26uf(u) du=16\int_1^2 (x^2+x) f(x^2+x) \cdot (2x+1) \, dx = \int_2^6 u f(u) \, du = 16 bulunur.
İntegral değişkeni yapay bir değişken olduğundan ∫26uf(u) du\int_2^6 u f(u) \, du değeri ile ∫26xf(x) dx\int_2^6 x f(x) \, dx değeri aynıdır ve 16'ya eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem integrandın hem de sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 28Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(x) dx=4\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4
∫06f(x) dx=15\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫02(4x+2)f(x2+x) dx\int_{0}^{2} (4x+2) f(x^2+x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

30
İntegral içerisinde u=x2+xu = x^2+x dönüşümü yapıldığında du=(2x+1) dxdu = (2x+1) \, dx elde edilir. İntegralin başındaki 4x+24x+2 ifadesi 2(2x+1)2(2x+1) olarak yazılabildiğinden integral 2f(u) du2 f(u) \, du şekline dönüşür. Belirli integral sınırları x=0x=0 için u=0u=0 ve x=2x=2 için u=6u=6 olarak güncellenir. Böylece integral 2∫06f(u) du2 \int_{0}^{6} f(u) \, du halini alır. Soruda verilen ∫06f(x) dx=15\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15 eşitliği yerine yazıldığında doğru yanıt 30 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali alınacak ifadeyi değişken değiştirme yöntemine uygun hale getirmek için düzenleyelim.
∫02(4x+2)f(x2+x) dx=∫022(2x+1)f(x2+x) dx\int_{0}^{2} (4x+2) f(x^2+x) \, dx = \int_{0}^{2} 2(2x+1) f(x^2+x) \, dx
x2+xx^2+x ifadesinin türevi olan 2x+12x+1 terimini belirginleştirmek için ifadeyi 2 parantezine alırız.
2
u=x2+xu = x^2+x dönüşümü uygulayalım ve her iki tarafın diferansiyelini alalım.
du=(2x+1) dx  ⟹  2 du=2(2x+1) dxdu = (2x+1) \, dx \implies 2 \, du = 2(2x+1) \, dx
İntegraldeki değişkenleri ve diferansiyel terimini yeni değişken olan uu cinsinden yazabilmek için.
3
Belirli integralin sınırlarını yeni değişken uu'ya göre güncelleyelim.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+0=0x = 0 \implies u = 0^2 + 0 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=22+2=6x = 2 \implies u = 2^2 + 2 = 6
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.
4
Elde ettiğimiz yeni sınırları ve diferansiyel ifadelerini integralde yerine yazalım.
∫062f(u) du=2∫06f(u) du\int_{0}^{6} 2 f(u) \, du = 2 \int_{0}^{6} f(u) \, du
İntegrali, değeri soruda verilen bilinen integral biçimine dönüştürmek için.
5
Soruda verilen bilinen integral değerini yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
∫06f(x) dx=15  ⟹  2×15=30\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15 \implies 2 \times 15 = 30
İntegralin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisinin doğru kurulması gerekir.
Soru 29Soru →
∫0π2sin⁡(2x)⋅(sin⁡2x+1)3 dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \cdot (\sin^2 x + 1)^3 \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 154\frac{15}{4}

Cevap

İntegralin değeri 15/4 olarak bulunur.
Doğru seçenekteki değer, u=sin⁡2x+1u = \sin^2 x + 1 dönüşümü ile sınırların [1,2][1, 2] aralığına güncellenmesi ve ∫12u3 du\int_{1}^{2} u^3 \, du integralinin integral kuralları çerçevesinde hesaplanmasıyla elde edilen 154\frac{15}{4} ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme ba��ıntısını ve diferansiyelini belirleme
u=sin⁡2x+1u = \sin^2 x + 1 dönüşümü yapılırsa, diferansiyel du=2sin⁡xcos⁡x dxdu = 2\sin x \cos x \, dx olur. Yarım açı formülünden 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \sin(2x) olduğu için du=sin⁡(2x) dxdu = \sin(2x) \, dx elde edilir.
İntegral içindeki bileşke fonksiyonu basitleştirmek ve diferansiyel terimi u cinsinden ifade etmek için.
2
Belirli integralin sınırlarını u değişkenine göre güncelleme
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=sin⁡2(0)+1=1x = 0 \implies u = \sin^2(0) + 1 = 1 olur. Üst sınır için: x=π2  ⟹  u=sin⁡2(π2)+1=1+1=2x = \frac{\pi}{2} \implies u = \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 1 + 1 = 2 olur.
Değişken değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Yeni sınırları ve u değişkenini integralde yerine yazıp hesaplama
∫12u3 du=[u44]12=244−144=4−14=154\int_{1}^{2} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_1^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} olarak hesaplanır.
Elde edilen u cinsinden basit integrali temel integral alma kuralları yardımıyla nihai sonuca ulaştırmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru biçimde güncellenmesi ve diferansiyel hesabında zincir kuralına dikkat edilmesi.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yapıldıktan sonra belirsiz integral F(u)=u44+CF(u) = \frac{u^4}{4} + C olarak bulunur. Burada u yerine sin⁡2x+1\sin^2 x + 1 yazılarak ifade orijinal x değişkenine dönüştürülür: F(x)=(sin⁡2x+1)44+CF(x) = \frac{(\sin^2 x + 1)^4}{4} + C. Daha sonra bu fonksiyona orijinal sınırlar olan 0 ve π2\frac{\pi}{2} değerleri yazılarak [(sin⁡2(π/2)+1)44]−[(sin⁡2(0)+1)44]=164−14=154\left[\frac{(\sin^2(\pi/2) + 1)^4}{4}\right] - \left[\frac{(\sin^2(0) + 1)^4}{4}\right] = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} sonucu elde edilebilir. Ancak bu yol trigonometric terimlerin üslerini hesaplarken daha fazla işlem yükü ve hata riski barındırır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 30Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(2x−1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x - 1) \, dx = 3
∫12x⋅f(x2+1) dx=6\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 6
∫15f(x) dx=15\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x−1) dx\int_{2}^{3} f(2x - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

Dokuz bölü iki
Dokuz bölü iki değeri doğrudur. İlk integralde u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümü yapılarak ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 ve ikinci integralde t=x2+1t = x^2 + 1 dönüşümü yapılarak ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 elde edilir. ∫15f(x) dx=15\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 15 olduğundan, aralık parçalama özelliğiyle ∫35f(x) dx=15−6=9\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 15 - 6 = 9 bulunur. Son olarak, istenen integralde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında 12∫35f(v) dv=92\frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(v) \, dv = \frac{9}{2} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral olan ∫12f(2x−1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x - 1) \, dx = 3 ifadesinde u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümü yapılır.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar için; x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=2  ⟹  u=3x = 2 \implies u = 3 elde edilir. Böylece ∫13f(u)du2=3  ⟹  ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(u) \frac{du}{2} = 3 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 bulunur.
Verilen integral ifadesini daha basit bir formda yazmak ve integral sınırlarını değişken cinsinden belirlemek için.
2
İkinci integral olan ∫12x⋅f(x2+1) dx=6\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 6 ifadesinde t=x2+1t = x^2 + 1 dönüşümü yapılır.
dt=2x dx  ⟹  x dx=dt2dt = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{2} olur. Sınırlar için; x=1  ⟹  t=2x = 1 \implies t = 2 ve x=2  ⟹  t=5x = 2 \implies t = 5 elde edilir. Böylece ∫25f(t)dt2=6  ⟹  ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(t) \frac{dt}{2} = 6 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 bulunur.
x⋅dxx \cdot dx ifadesini dtdt cinsinden yazıp integral sınırlarını güncellemek için.
3
Elde edilen integral değerleri ve belirli integralin parçalama özelliği kullanılarak ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx hesaplanır.
∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx yazılır. Buradan 15=6+∫35f(x) dx  ⟹  ∫35f(x) dx=915 = 6 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9 bulunur.
Sınırları [3,5][3, 5] olan integralin değerini bulmak için aralık toplamsal özelliğinden yararlanılır.
4
Bizden istenen ∫23f(2x−1) dx\int_{2}^{3} f(2x - 1) \, dx integralinde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü uygulanır.
dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar için; x=2  ⟹  v=3x = 2 \implies v = 3 ve x=3  ⟹  v=5x = 3 \implies v = 5 elde edilir. Bu durumda istenen integral 12∫35f(v) dv=12⋅9=92\frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2} olarak hesaplanır.
İstenen integrali, değeri bilinen integral cinsine dönüştürmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi
Soru 31Soru →
Her xx gerçel sayısı için sürekli olan bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12(x⋅f(x2)+f(3−x)) dx\int_{1}^{2} \left( x \cdot f(x^2) + f(3 - x) \right) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İntegralin doğru değeri 9'dur.
Soruda verilen integral iki ayrı integralin toplamı olarak yazılabilir. İlk kısımda u=x2u = x^2 dönüşümü ile sınırlar 1'den 4'e güncellenir ve 12∫14f(u) du=5\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = 5 değeri elde edilir. İkinci kısımda ise v=3−xv = 3 - x dönüşümüyle sınırlar 1'den 2'ye güncellenir ve ∫12f(v) dv=4\int_{1}^{2} f(v) \, dv = 4 değeri elde edilir. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral olan ∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx ifadesinde u=x2u = x^2 değişken değiştirmesi yapılır.
Diferansiyel alındığında du=2x dx⇒x dx=12dudu = 2x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{1}{2} du olur. Sınırlar güncellendiğinde x=1⇒u=1x = 1 \Rightarrow u = 1 ve x=2⇒u=4x = 2 \Rightarrow u = 4 elde edilir. Bu durumda integral 12∫14f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
İntegrali bilinen bir sınır aralığında ff fonksiyonu cinsinden yazabilmek.
2
İlk integralin değeri verilen ∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10 bilgisi kullanılarak hesaplanır.
12∫14f(u) du=12⋅10=5\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 bulunur.
Soruda verilen belirli integral değerini yerine yerleştirmek.
3
İkinci integral olan ∫12f(3−x) dx\int_{1}^{2} f(3 - x) \, dx ifadesinde v=3−xv = 3 - x değişken değiştirmesi yapılır.
Diferansiyel alındığında dv=−dx⇒dx=−dvdv = -dx \Rightarrow dx = -dv olur. Sınırlar güncellendiğinde x=1⇒v=2x = 1 \Rightarrow v = 2 ve x=2⇒v=1x = 2 \Rightarrow v = 1 elde edilir. İntegral ∫21f(v)⋅(−dv)=∫12f(v) dv\int_{2}^{1} f(v) \cdot (-dv) = \int_{1}^{2} f(v) \, dv biçimine dönüşür.
İkinci integrali de bilinen integral sınırları cinsinden ifade etmek.
4
İkinci integralin değeri hesaplanır ve iki integralin sonuçları toplanır.
Verilen ∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4 bilgisine göre ikinci integralin değeri 4'tür. Toplam sonuç ise 5+4=95 + 4 = 9 olarak bulunur.
Sorulan ifadenin nihai değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=2f(1) = 2
f(3)=6f(3) = 6
olarak veriliyor.
Buna göre,
∫13x⋅f′(x2)⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{3}} x \cdot f'(x^2) \cdot f(x^2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen belirli integralde sırasıyla u=x2u = x^2 ve v=f(u)v = f(u) dönüşümleri yapıldığında integral sınırları sırasıyla [1,3][1, 3] ve [2,6][2, 6] olarak güncellenir. Bu adımlarla integral 12∫26v dv\frac{1}{2} \int_{2}^{6} v \, dv biçimine dönüşür ve integralin değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk değişken değiştirme dönüşümünü tanımlayınız.
u=x2u = x^2 dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir. Buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} olur.
İntegral içindeki ifadeleri basitleştirmek ve x değişkeninden kurtulmak amacıyla bu substitution yapılır.
2
Belirli integral sınırlarını birinci değişkene göre güncelleyiniz.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12=1x = 1 \implies u = 1^2 = 1 olur. Üst sınır için x=3  ⟹  u=(3)2=3x = \sqrt{3} \implies u = (\sqrt{3})^2 = 3 olur. İntegral bu aşamada ∫13f′(u)⋅f(u)⋅du2\int_{1}^{3} f'(u) \cdot f(u) \cdot \frac{du}{2} biçimine gelir.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da o değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
İkinci değişken değiştirme adımını uygulayınız.
v=f(u)v = f(u) dönüşümü yapılırsa, diferansiyel dv=f′(u) dudv = f'(u) \, du olur. Sınırlar ise alt sınır için u=1  ⟹  v=f(1)=2u = 1 \implies v = f(1) = 2 ve üst sınır için u=3  ⟹  v=f(3)=6u = 3 \implies v = f(3) = 6 şeklinde güncellenir. Yeni integral 12∫26v dv\frac{1}{2} \int_{2}^{6} v \, dv olur.
f(u) ve f'(u) çarpımını integrali alınabilir temel bir fonksiyona dönüştürmek için.
4
Belirli integrali hesaplayarak nihai sonuca ulaşınız.
12[v22]26=14(62−22)=14(36−4)=324=8\frac{1}{2} \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{2}^{6} = \frac{1}{4} (6^2 - 2^2) = \frac{1}{4} (36 - 4) = \frac{32}{4} = 8 bulunur.
İntegral alma kuralı uygulanarak belirli integralin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde ardışık değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 33Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12x⋅f(x2+1) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4
Verilen iki integralde sırasıyla x2+1=ux^2 + 1 = u ve 2x−1=v2x - 1 = v değişken değiştirmeleri yapılıp sınırlar doğru güncellendiğinde ∫25f(x) dx=20\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20 ve ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 elde edilir. Buradan sınır parçalama özelliğiyle ∫12f(x) dx=−8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8 bulunur. İstenen integralde x2=wx^2 = w dönüşümü yapılıp sınır güncellemesiyle elde edilen 12∫12f(w) dw\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw ifadesinde yerine yazıldığında sonuç −4-4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
∫12x⋅f(x2+1) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10 integralinde u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılırsa du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 ve x=2  ⟹  u=5x = 2 \implies u = 5 elde edilir. Böylece integral 12∫25f(u) du=10  ⟹  ∫25f(x) dx=20\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du = 10 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20 olarak bulunur.
Verilen ilk integrali f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali cinsinden ifade etmek.
2
İkinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6 integralinde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü yapılırsa dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  v=1x = 1 \implies v = 1 ve x=3  ⟹  v=5x = 3 \implies v = 5 elde edilir. Böylece integral 12∫15f(v) dv=6  ⟹  ∫15f(x) dx=12\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(v) \, dv = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 olarak bulunur.
İkinci integrali de f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali şeklinde yazarak ilk adımla ilişkilendirmek.
3
Belirli integralin sınır parçalama özelliği kullanılır.
∫15f(x) dx=∫12f(x) dx+∫25f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx eşitliğinden yararlanarak; 12=∫12f(x) dx+20  ⟹  ∫12f(x) dx=−812 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 20 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8 bulunur.
İstenen integralin sınırlarına (1 ve 2) ulaşmak amacıyla elde edilen integral değerlerini birleştirmek.
4
İstenen integralde değişken değiştirme yapılarak sonuca ulaşılır.
∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx integralinde w=x2w = x^2 dönüşümü yapılırsa dw=2x dx  ⟹  x dx=dw2dw = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dw}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  w=1x = 1 \implies w = 1 ve x=2  ⟹  w=2x = \sqrt{2} \implies w = 2 elde edilir. Buradan integral 12∫12f(w) dw=12⋅(−8)=−4\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw = \frac{1}{2} \cdot (-8) = -4 olarak hesaplanır.
Elde edilen integral değerini kullanarak aranan integralin sonucunu bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve belirli integralin sınır parçalama özelliği.
Soru 34Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=4f(0) = 4
f(1)=3f(1) = 3
f(2)=9f(2) = 9
f(3)=11f(3) = 11
f(4)=5f(4) = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫14f′(x)x dx\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12 olan seçenektir.
Dönüşüm u=xu = \sqrt{x} olarak yapıldığında, sınırlar 11 ve 22 olur. Diferansiyel ifadesi 2 du2 \, du olarak yerine konur ve integral 2[f(2)−f(1)]2[f(2) - f(1)] haline gelir. Verilen değerler kullanıldığında 2[9−3]=122[9 - 3] = 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapılır.
du=12x dxdu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx elde edilir. Buradan 1x dx=2 du\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, du olur.
İntegral içindeki ifadeyi sadeleştirmek ve değişken değiştirme yöntemini uygulamak için.
2
Belirli integralin sınırları uu değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=1=1x = 1 \Rightarrow u = \sqrt{1} = 1 olur. Üst sınır için x=4⇒u=4=2x = 4 \Rightarrow u = \sqrt{4} = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre yeniden belirlenmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi hesaplanır.
∫14f′(x)x dx=∫12f′(u)⋅2 du=2∫12f′(u) du=2[f(2)−f(1)]\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} f'(u) \cdot 2 \, du = 2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du = 2 [f(2) - f(1)]
Türevin integrali kendisidir, bu nedenle temel integral alma kuralı uygulanır.
4
Verilen fonksiyon değerleri yerine yazılır.
2[f(2)−f(1)]=2[9−3]=2⋅6=122 [f(2) - f(1)] = 2 [9 - 3] = 2 \cdot 6 = 12
Soruda verilen fonksiyon değerlerini kullanarak nihai sayısal sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel hesabındaki katsayılara dikkat edilmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 35Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−11f(3x+1) dx=8\int_{-1}^{1} f(3x + 1) \, dx = 8
∫12f(5−3x) dx=2\int_{1}^{2} f(5 - 3x) \, dx = 2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen toplamın değeri 18'dir.
Doğru cevaba ulaşmak için verilen integral ifadelerinde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. İlk integralde u=3x+1u = 3x + 1 dönüşümü yapılarak sınırlar [−2,4][-2, 4] aralığına güncellenir ve ∫−24f(x) dx=24\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 24 bulunur. İkinci integralde v=5−3xv = 5 - 3x dönüşümü yapılarak sınırlar [−1,2][-1, 2] aralığına güncellenir ve ∫−12f(x) dx=6\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 6 bulunur. Son olarak, belirli integralin aralık toplama özelliği kullanılarak [−2,4][-2, 4] aralığındaki integral [−2,−1][-2, -1], [−1,2][-1, 2] ve [2,4][2, 4] alt aralıklarına ayrıştırılır. Değerler yerine yazıldığında aranan toplamın 18 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral ifadesinde değişken değiştirme yöntemini uygulayarak sınırları güncelleyin.
u=3x+1  ⟹  du=3 dx  ⟹  dx=du3u = 3x + 1 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3} olur.
Sınırlar:
x=−1  ⟹  u=3(−1)+1=−2x = -1 \implies u = 3(-1) + 1 = -2
x=1  ⟹  u=3(1)+1=4x = 1 \implies u = 3(1) + 1 = 4
Bu durumda integral:
∫−24f(u)du3=8  ⟹  ∫−24f(u) du=24\int_{-2}^{4} f(u) \frac{du}{3} = 8 \implies \int_{-2}^{4} f(u) \, du = 24 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) türünden yazabilmek ve [−2,4][-2, 4] aralığındaki toplam integral değerini elde etmek için.
2
İkinci integral ifadesinde değişken değiştirme yöntemini uygulayarak sınırları güncelleyin.
v=5−3x  ⟹  dv=−3 dx  ⟹  dx=−dv3v = 5 - 3x \implies dv = -3 \, dx \implies dx = -\frac{dv}{3} olur.
Sınırlar:
x=1  ⟹  v=5−3(1)=2x = 1 \implies v = 5 - 3(1) = 2
x=2  ⟹  v=5−3(2)=−1x = 2 \implies v = 5 - 3(2) = -1
Bu durumda integral:
∫2−1f(v)(−dv3)=2  ⟹  13∫−12f(v) dv=2  ⟹  ∫−12f(v) dv=6\int_{2}^{-1} f(v) \left(-\frac{dv}{3}\right) = 2 \implies \frac{1}{3} \int_{-1}^{2} f(v) \, dv = 2 \implies \int_{-1}^{2} f(v) \, dv = 6 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) türünden yazabilmek ve [−1,2][-1, 2] aralığındaki integral değerini bulmak için.
3
Belirli integralin aralık toplama özelliğini kullanarak aranan integral toplamını hesaplayın.
Belirli integralin sınır özellikleri gereği:
∫−24f(x) dx=∫−2−1f(x) dx+∫−12f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx
yazılabilir. Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
24=(∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx)+624 = \left( \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx \right) + 6
Buradan,
∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx=24−6=18\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 24 - 6 = 18 bulunur.
Bulunan [−2,4][-2, 4] ve [−1,2][-1, 2] aralıklarındaki integral değerleri yardımıyla istenen parçalı integral toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi ve Belirli İntegralin Aralık Parçalama Özelliği
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 36Soru →
∫124x(x2+1)2 dx\int_{1}^{2} \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

İntegralin değeri 35\frac{3}{5} olarak bulunur.
Doğru yanıt olan değer, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü ve güncellenmiş [2,5][2, 5] sınırları ile integrasyon kuralları hatasız uygulandığında elde edilen 35\frac{3}{5} ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü belirleme ve diferansiyel alma
u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir. Buradan 2 du=4x dx2 \, du = 4x \, dx olur.
İntegral içindeki ifadenin daha kolay entegre edilebilir bir forma dönüştürülmesi için bu dönüşüm gereklidir.
2
Belirli integral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=22+1=5x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Değişken değiştirildiğinde, belirli integralin sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Yeni integrali oluşturma ve hesaplama
İntegral ∫252u2 du\int_{2}^{5} \frac{2}{u^2} \, du halini alır. Bu integralin ters türevi [−2u]25\left[ -\frac{2}{u} \right]_{2}^{5} şeklindedir. Sınırlar yerine yazıldığında: −25−(−22)=−25+1=35-\frac{2}{5} - (-\frac{2}{2}) = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5} elde edilir.
Belirli integralin değerini bulmak için elde edilen yeni integral sınırları kullanılarak fonksiyonun ters türevi hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 37Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫24f(2x−3) dx=8\int_{2}^{4} f(2x - 3) \, dx = 8
ve
∫12f(3x−2) dx=5\int_{1}^{2} f(3x - 2) \, dx = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫45f(x) dx\int_{4}^{5} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Doğru seçenekte, her iki integral için de değişken değiştirme kuralları tam uygulanmış, sınırlar yeni değişkene göre doğru hesaplanmış ve integralin parçalanabilirliği kullanılarak 1 değeri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
u=2x−3  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x - 3 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} sınırları güncellersek; x=2  ⟹  u=1x = 2 \implies u = 1 ve x=4  ⟹  u=5x = 4 \implies u = 5 olur. Bu durumda, ∫15f(u)du2=8  ⟹  ∫15f(x) dx=16\int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 16 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) cinsinden yazarak sınırları belirlemek için.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
v=3x−2  ⟹  dv=3 dx  ⟹  dx=dv3v = 3x - 2 \implies dv = 3 \, dx \implies dx = \frac{dv}{3} sınırları güncellersek; x=1  ⟹  v=1x = 1 \implies v = 1 ve x=2  ⟹  v=4x = 2 \implies v = 4 olur. Bu durumda, ∫14f(v)dv3=5  ⟹  ∫14f(x) dx=15\int_{1}^{4} f(v) \frac{dv}{3} = 5 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 15 elde edilir.
İkinci integrali de f(x)f(x) cinsinden yazarak sınırları belirlemek için.
3
Elde edilen belirli integralleri kullanarak istenen integral değerini hesaplamak.
∫15f(x) dx=∫14f(x) dx+∫45f(x) dx \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx olduğundan, 16=15+∫45f(x) dx  ⟹  ∫45f(x) dx=1 16 = 15 + \int_{4}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{4}^{5} f(x) \, dx = 1 bulunur.
Belirli integralin aralık parçalama özelliğini kullanarak hedeflenen integrali bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 38Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8
ve
∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2+1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İntegralin doğru değeri 6'dır.
Değişken değiştirme yöntemiyle u=x2+1u = x^2 + 1 seçildiğinde x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=5u=5 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du şekline dönüşür. Verilen ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 bilgisi kullanılarak sonuç 12⋅12=6\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen integralde değişken değiştirme uygulamak için uygun dönüşümü belirleyin.
u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir. Buradan x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du bulunur.
İntegral içerisindeki x2+1x^2 + 1 ifadesinin türevi olan 2x2x ifadesi (sabit katsayı farkıyla) integralin içinde çarpan olarak bulunmaktadır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni de��işken olan uu'ya göre güncelleyin.
Alt sınır için: x=1⇒u=12+1=2x = 1 \Rightarrow u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için: x=2⇒u=22+1=5x = 2 \Rightarrow u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene uyarlanması gerekir.
3
Dönüşümü integralde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
∫12x⋅f(x2+1) dx=∫25f(u)⋅12 du=12∫25f(u) du\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du elde edilir. Verilen ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 değeri yerine yazıldığında: 12⋅12=6\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 bulunur.
Elde edilen yeni belirli integral, verilen ikinci integralin değerine bağlıdır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Soru 39Soru →
f:[1,2]→Rf: [1, 2] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫128x2⋅f(2x) dx\int_{1}^{2} \frac{8}{x^2} \cdot f\left(\frac{2}{x}\right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

İntegralin değeri 48 olarak bulunur.
Dönüşüm kurallarına göre u=2xu = \frac{2}{x} seçildiğinde integral sınırları 22 ve 11 olur. Diferansiyel ifadesindeki eksi işareti sınırların sırasını tersine çevirmek için kullanıldığında integral pozitif 4 katına çıkar ve verilen değerle çarpılarak 48 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=2xu = \frac{2}{x} dönüşümü seçilir.
İntegral içindeki ff fonksiyonunun argümanını sadeleştirmek için bu dönüşüm gereklidir.
2
Dönü��ümün diferansiyeli hesaplanır.
du=−2x2 dx  ⟹  1x2 dx=−12 dudu = -\frac{2}{x^2} \, dx \implies \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegraldeki 1x2 dx\frac{1}{x^2} \, dx ifadesinin yerine uu cinsinden ne yazılacağını bulmak için diferansiyel alınır.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=1  ⟹  u=21=2x = 1 \implies u = \frac{2}{1} = 2 ve x=2  ⟹  u=22=1x = 2 \implies u = \frac{2}{2} = 1 olur.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
4
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılır ve hesaplanır.
∫128x2⋅f(2x) dx=8∫21f(u)⋅(−12 du)=−4∫21f(u) du=4∫12f(u) du\int_{1}^{2} \frac{8}{x^2} \cdot f\left(\frac{2}{x}\right) \, dx = 8 \int_{2}^{1} f(u) \cdot \left(-\frac{1}{2} \, du\right) = -4 \int_{2}^{1} f(u) \, du = 4 \int_{1}^{2} f(u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarının yer değiştirmesi integralin işaretini değiştirir.
5
Verilen integral değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.
4∫12f(u) du=4⋅12=484 \int_{1}^{2} f(u) \, du = 4 \cdot 12 = 48 bulunur.
Soruda verilen ∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12 eşitliği kullanılarak nihai değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 40Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫0ln⁡2f(x) dx=4\int_{0}^{\ln 2} f(x) \, dx = 4
ve
∫12f(x) dx=10\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫0ln⁡2ex⋅f(ex) dx\int_{0}^{\ln 2} e^x \cdot f(e^x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Doğru cevap, u=exu = e^x dönüşümü yapılarak sınırların güncellenmesiyle elde edilen ifadedir. x=0x = 0 için u=1u = 1 ve x=ln⁡2x = \ln 2 için u=2u = 2 sınırları elde edilir. Böylece integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du şekline dönüşür ve bu değer soruda 10 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulamak için dönüşüm tanımlanır.
u=exu = e^x dönüşümü seçilir ve her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=ex dxdu = e^x \, dx elde edilir.
İntegral içindeki ex dxe^x \, dx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır: x=0  ⟹  u=e0=1x = 0 \implies u = e^0 = 1. Üst sınır: x=ln⁡2  ⟹  u=eln⁡2=2x = \ln 2 \implies u = e^{\ln 2} = 2.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre değiştirilmesi gerektiği için.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen bilgi kullanılarak sonuç hesaplanır.
∫0ln⁡2ex⋅f(ex) dx=∫12f(u) du=10\int_{0}^{\ln 2} e^x \cdot f(e^x) \, dx = \int_{1}^{2} f(u) \, du = 10
Dönüşüm sonrasında integralin ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx ifadesine eşit olduğu görülür ve bu değer soruda 10 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesinin hem de integral sınırlarının doğru bir şekilde güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 4Sonraki
Değişken Değiştirme Yöntemi Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin