Examkin

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

235 soru

Tüm türler235Çoktan seçmeli119Doğru / Yanlış24Sayısal92
Soru 221Soru →
2log⁡x5+5log⁡x2=50 2^{\log_x 5} + 5^{\log_x 2} = 50

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı için x6x^6 değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Verilen logaritmik denklemi sağlayan xx gerçel sayısı için x6x^6 değeri 8'dir.
Verilen denklemde alog⁡cb=blog⁡caa^{\log_c b} = b^{\log_c a} kuralı uyarınca 2log⁡x52^{\log_x 5} ile 5log⁡x25^{\log_x 2} birbirine eşittir. Bu iki ifadenin toplamı 2⋅5log⁡x2=502 \cdot 5^{\log_x 2} = 50 eşitliğini verir. Buradan 5log⁡x2=25=525^{\log_x 2} = 25 = 5^2 olur. Dolayısıyla log⁡x2=2\log_x 2 = 2 olup logaritma tanımından x2=2x^2 = 2 bulunur. Bizden istenen x6x^6 ifadesi (x2)3(x^2)^3 şeklinde yazılabileceğinden, 23=82^3 = 8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
alog⁡cb=blog⁡caa^{\log_c b} = b^{\log_c a} özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri ortak tabanda düzenleyin.
2log⁡x5=5log⁡x22^{\log_x 5} = 5^{\log_x 2} olduğundan denklem 5log⁡x2+5log⁡x2=50⇒2⋅5log⁡x2=505^{\log_x 2} + 5^{\log_x 2} = 50 \Rightarrow 2 \cdot 5^{\log_x 2} = 50 biçimine dönüşür.
Denklemin sol tarafındaki iki farklı üslü ifadeyi tek bir bilinmeyen cinsinden yazıp sadeleştirebilmek için.
2
Elde edilen üslü denklemi çözerek logaritmalı üs ifadesini bulun.
5log⁡x2=25⇒5log⁡x2=52⇒log⁡x2=25^{\log_x 2} = 25 \Rightarrow 5^{\log_x 2} = 5^2 \Rightarrow \log_x 2 = 2
Üslü sayıların tabanları eşit olduğunda üslerin de eşit olması kuralını uygulamak için.
3
Logaritma tanımını kullanarak taban ile argüman arasındaki ilişkiyi kurun.
x2=2x^2 = 2 (Logaritma taban tanımı gereği x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 koşulu sağlanmalıdır, bu nedenle x=2x = \sqrt{2} olur).
log⁡ba=c⇔bc=a\log_b a = c \Leftrightarrow b^c = a tanımını uygulamak için.
4
İstenen x6x^6 değerini elde edilen x2x^2 değeri cinsinden hesaplayın.
x6=(x2)3=23=8x^6 = (x^2)^3 = 2^3 = 8
xx değerini bulup üssünü almak yerine doğrudan x2x^2 değerini yerine yazarak işlem kolaylığı sağlamak için.

Anahtar Kavram

Logaritmanın alog⁡cb=blog⁡caa^{\log_c b} = b^{\log_c a} özelliği ve logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları.
Soru 222Soru →
log⁡35=x \log_3 5 = x
log⁡25=y \log_2 5 = y

olduğuna göre, log⁡3018\log_{30} 18 ifadesinin xx ve yy türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x+2yxy+x+y\frac{x + 2y}{xy + x + y}

Cevap

x+2yxy+x+y\frac{x + 2y}{xy + x + y}
Verilen ifadelerde ortak olan 5 sayısı taban olarak seçilip taban değiştirme kuralı uygulandığında log⁡53=1x\log_5 3 = \frac{1}{x} ve log⁡52=1y\log_5 2 = \frac{1}{y} değerleri elde edilir. İstenen log⁡3018\log_{30} 18 ifadesi 5 tabanında log⁡518log⁡530\frac{\log_5 18}{\log_5 30} şeklinde yazıldıktan sonra asal çarpanlarına ayrılarak açılırsa log⁡52+2log⁡53log⁡52+log⁡53+1\frac{\log_5 2 + 2\log_5 3}{\log_5 2 + \log_5 3 + 1} ifadesine ulaşılır. Buradan değişkenler yerine yazılıp payda eşitlendiğinde doğru cevap x+2yxy+x+y\frac{x + 2y}{xy + x + y} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritma ifadelerinin argümanlarının ortak olmasından yararlanarak taban değiştirme kuralı yardımıyla ifadeleri 5 tabanında yazmak.
log⁡53=1x\log_5 3 = \frac{1}{x} ve log⁡52=1y\log_5 2 = \frac{1}{y}
Soruda verilen log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} özelliğini kullanarak tüm verileri tek bir tabanda (5 tabanında) toplamak işlemlerimizi kolaylaştıracaktır.
2
Aranan log⁡3018\log_{30} 18 ifadesini de taban değiştirme kuralını kullanarak 5 tabanında oran şeklinde ifade etmek.
log⁡3018=log⁡518log⁡530\log_{30} 18 = \frac{\log_5 18}{\log_5 30}
Eldeki veriler 5 tabanında olduğundan, aranan ifadeyi de 5 tabanında yazarak değişkenleri yerine koyabilmeyi sağlamak.
3
Pay ve paydadaki sayıları asal çarpanlarına ayırarak logaritmanın çarpma ve üs özelliklerini uygulamak.
log⁡518=log⁡5(2⋅32)=log⁡52+2log⁡53\log_5 18 = \log_5 (2 \cdot 3^2) = \log_5 2 + 2\log_5 3 ve log⁡530=log⁡5(2⋅3⋅5)=log⁡52+log⁡53+1\log_5 30 = \log_5 (2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_5 2 + \log_5 3 + 1
Logaritmanın çarpım özelliğini (log⁡a(m⋅n)=log⁡am+log⁡an\log_a (m \cdot n) = \log_a m + \log_a n) ve üs özelliğini (log⁡amp=p⋅log⁡am\log_a m^p = p \cdot \log_a m) kullanarak ifadeleri log⁡52\log_5 2 ve log⁡53\log_5 3 cinsinden açmak.
4
Elde edilen ifadede log⁡53=1x\log_5 3 = \frac{1}{x} ve log⁡52=1y\log_5 2 = \frac{1}{y} değerlerini yerine yazıp paydaları eşitleyerek ifadeyi sadeleştirmek.
1y+2x1y+1x+1=x+2yxyx+y+xyxy=x+2yxy+x+y\frac{\frac{1}{y} + \frac{2}{x}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{x} + 1} = \frac{\frac{x + 2y}{xy}}{\frac{x + y + xy}{xy}} = \frac{x + 2y}{xy + x + y}
Rasyonel ifadede payda eşitleme ve sadeleştirme işlemlerini tamamlayarak xx ve yy türünden nihai sonucu elde etmek.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Özellikler

Alternatif Yöntem

Verilen ifadeleri 5 tabanına dönüştürmek yerine, her iki ifadeyi doğrudan taraf tarafa bölerek log⁡32=yx\log_3 2 = \frac{y}{x} ilişkisi elde edilebilir. Ardından aranan log⁡3018\log_{30} 18 ifadesi 3 tabanında yazılıp bu değerler yerine konularak da aynı sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 223Soru →
1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡2x+log⁡2y=5\log_2 x + \log_2 y = 5
log⁡x2+log⁡y2=56\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{5}{6}
olduğuna göre, 6(log⁡xy+log⁡yx)6(\log_x y + \log_y x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Verilen denklem sisteminden taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemleriyle u=log⁡2xu = \log_2 x ve v=log⁡2yv = \log_2 y için u+v=5u+v=5 ve u⋅v=6u\cdot v=6 elde edilir. İstenen 6(log⁡xy+log⁡yx)6(\log_x y + \log_y x) ifadesi 6(u2+v2uv)6\left(\frac{u^2+v^2}{uv}\right) şeklinde yazılabilir. u2+v2=(u+v)2−2uv=25−12=13u^2+v^2 = (u+v)^2-2uv = 25-12=13 olduğundan, ifadenin değeri 6⋅136=136\cdot \frac{13}{6} = 13 bulunur.
Logaritmanın taban değiştirme özelliği kullanılarak verilen denklemler ortak tabana dönüştürüldüğünde, değişkenler arasında u+v=5u+v=5 ve uv=6uv=6 ilişkileri bulunur. İstenen ifade de taban değiştirme kuralı ile uu ve vv cinsinden yazıldığında, iki kare toplamı özdeşliği yardımıyla ifadenin değerinin 13 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini uygulama
log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} ve log⁡y2=1log⁡2y\log_y 2 = \frac{1}{\log_2 y} eşitlikleri elde edilir.
Denklemleri ortak tabanda (taban 2) ifade etmek için.
2
Değişken tanımlama
u=log⁡2xu = \log_2 x ve v=log⁡2yv = \log_2 y tanımlaması ile u+v=5u + v = 5 ve 1u+1v=56\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{5}{6} denklemleri yazılır.
Cebirsel işlemleri sadeleştirmek ve çözümü kolaylaştırmak için.
3
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözme
u⋅v=6u \cdot v = 6 elde edilir.
1u+1v=u+vuv\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u+v}{uv} ifadesinde u+v=5u+v=5 yazılarak çarpım değerini bulmak için.
4
İstenen ifadeyi yeni değişkenler cinsinden yazma ve özdeşlik kullanma
6(log⁡xy+log⁡yx)=6(u2+v2uv)=6((u+v)2−2uvuv)6(\log_x y + \log_y x) = 6\left(\frac{u^2+v^2}{uv}\right) = 6\left(\frac{(u+v)^2-2uv}{uv}\right) elde edilir.
Taban değiştirme kuralı yardımıyla istenen ifadeyi uu ve vv cinsinden ifade edip özdeşlikler yardımıyla değerini hesaplamak için.
5
Değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama
İfadenin değeri 13 olarak bulunur.
u+v=5u+v=5 ve uv=6uv=6 değerlerini formülde yerine yazarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme Özelliği ve Özdeşlikler
Soru 224Soru →
a=log⁡1218 a = \log_{12} 18

olduğuna göre, log⁡1824\log_{18} 24 ifadesinin aa türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5−a3a\frac{5 - a}{3a}

Cevap

Doğru cevap 5−a3a\frac{5 - a}{3a} ifadesidir.
Taban değiştirme kuralı ve logaritma özellikleri sırasıyla uygulanıp log⁡23\log_2 3 ifadesi çekildiğinde ve istenen ifadede yerine yazıldığında doğru sonuç 5−a3a\frac{5 - a}{3a} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a=log⁡1218a = \log_{12} 18 ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 2 tabanına çevirelim.
a=log⁡218log⁡212a = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} elde edilir.
Soruda verilen taban ile istenen ifadenin tabanı farkl�� olduğundan, ortak bir tabanda (bu durumda 2 tabanında) yazmak işlemleri kolaylaştırır.
2
18 ve 12 sayılarını asal çarpanlarına ayırıp logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak ifadeleri açalım.
log⁡218=log⁡2(2⋅32)=1+2log⁡23\log_2 18 = \log_2 (2 \cdot 3^2) = 1 + 2\log_2 3 ve log⁡212=log⁡2(22⋅3)=2+log⁡23\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = 2 + \log_2 3 olur.
Logaritmanın çarpım özelliği olan log⁡b(x⋅y)=log⁡bx+log⁡by\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y ve üs özelliği olan log⁡b(xn)=nlog⁡bx\log_b (x^n) = n\log_b x kurallarını uygulamak için.
3
log⁡23=u\log_2 3 = u değişken değiştirmesini yaparak uu değerini aa türünden çekelim.
a=1+2u2+u  ⟹  2a+au=1+2u  ⟹  u(a−2)=1−2a  ⟹  u=2a−12−aa = \frac{1 + 2u}{2 + u} \implies 2a + au = 1 + 2u \implies u(a - 2) = 1 - 2a \implies u = \frac{2a - 1}{2 - a} elde edilir.
İfadeleri tek bir bilinmeyene indirgeyip cebirsel olarak çözmek için.
4
İstenen log⁡1824\log_{18} 24 ifadesini de 2 tabanında yazalım ve çarpanlarına ayırarak uu cinsinden ifade edelim.
log⁡1824=log⁡224log⁡218=log⁡2(23⋅3)log⁡2(2⋅32)=3+log⁡231+2log⁡23=3+u1+2u\log_{18} 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 18} = \frac{\log_2 (2^3 \cdot 3)}{\log_2 (2 \cdot 3^2)} = \frac{3 + \log_2 3}{1 + 2\log_2 3} = \frac{3 + u}{1 + 2u} olur.
İstenen ifadeyi bulduğumuz uu değişkeni cinsinden yazıp yerine koyabilmek için.
5
Bulduğumuz u=2a−12−au = \frac{2a - 1}{2 - a} değerini 3+u1+2u\frac{3 + u}{1 + 2u} ifadesinde yerine yazarak sadeleştirelim.
3+2a−12−a1+2(2a−12−a)=6−3a+2a−12−a2−a+4a−22−a=5−a3a\frac{3 + \frac{2a - 1}{2 - a}}{1 + 2\left(\frac{2a - 1}{2 - a}\right)} = \frac{\frac{6 - 3a + 2a - 1}{2 - a}}{\frac{2 - a + 4a - 2}{2 - a}} = \frac{5 - a}{3a} elde edilir.
İstenen ifadenin aa türünden en sade halini bulmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Cebirsel Sadeleştirme

Alternatif Yöntem

Verilen a=log⁡1218a = \log_{12} 18 ifadesi 12a=1812^a = 18 şeklinde üslü biçimde yazılabilir. Buradan her iki tarafın 3 tabanında logaritması alınarak log⁡32\log_3 2 ifadesi yalnız bırakılabilir. Benzer şekilde, istenen log⁡1824\log_{18} 24 ifadesi 3 tabanına göre açılarak bulunan değer yerine yerleştirilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 225Soru →
log⁡3(x−2)+1log⁡x+43=3\log_3 (x-2) + \frac{1}{\log_{x+4} 3} = 3

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 5'tir.
Taban değiştirme kuralı yardımıyla 1log⁡x+43\frac{1}{\log_{x+4} 3} ifadesi log⁡3(x+4)\log_3 (x+4) şeklinde yazılır. Denklemin sol tarafı log⁡3[(x−2)(x+4)]\log_3 [(x-2)(x+4)] haline getirilir. Logaritma tanımı gereği (x−2)(x+4)=27(x-2)(x+4) = 27 olur. Bu denklemin kökleri 55 ve −7-7 olarak bulunur. Ancak logaritma fonksiyonunun tanım kümesinden dolayı logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır (x>2x > 2). Bu nedenle yalnızca 55 değeri denklemi sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini uygulayın.
1log⁡x+43=log⁡3(x+4)\frac{1}{\log_{x+4} 3} = \log_3 (x+4) elde edilir.
Logaritmik ifadeleri ortak 3 tabanında birleştirmek amacıyla log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} özelliği kullanılır.
2
Logaritma toplam özelliğini kullanarak ifadeleri birleştirin.
log⁡3(x−2)+log⁡3(x+4)=log⁡3((x−2)(x+4))=3\log_3 (x-2) + \log_3 (x+4) = \log_3 ((x-2)(x+4)) = 3 olur.
Aynı tabana sahip logaritmaların toplamı, argümanlarının çarpımına eşittir: log⁡ay+log⁡az=log⁡a(y⋅z)\log_a y + \log_a z = \log_a (y \cdot z).
3
Logaritma tanımını kullanarak ifadeyi üstel denkleme dönüştürün.
(x−2)(x+4)=33⇒(x−2)(x+4)=27(x-2)(x+4) = 3^3 \Rightarrow (x-2)(x+4) = 27 olur.
log⁡af(x)=b⇒f(x)=ab\log_a f(x) = b \Rightarrow f(x) = a^b logaritma tanımı uygulanır.
4
Denklemi düzenleyip çarpanlarına ayırarak kökleri bulun.
x2+2x−8=27⇒x2+2x−35=0⇒(x−5)(x+7)=0x^2 + 2x - 8 = 27 \Rightarrow x^2 + 2x - 35 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+7) = 0 elde edilir. Buradan kökler x=5x = 5 ve x=−7x = -7 bulunur.
İkinci dereceden denklemin çözüm kümesini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
5
Bulunan köklerin logaritmanın tanım kümesine uygunluğunu denetleyin.
x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 ve x+4>0⇒x>−4x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4 olmalıdır. Dolayısıyla x=−7x = -7 değeri elenir ve geriye sadece x=5x = 5 kalır.
Logaritmanın argümanı her zaman sıfırdan büyük olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Logaritma Taban Değiştirme ve Özellikleri
Soru 226Soru →
log⁡23=x\log_2 3 = x olduğuna göre, 2log⁡612−1log⁡1812\frac{2}{\log_6 12} - \frac{1}{\log_{18} 12} ifadesinin xx türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1x+2\frac{1}{x+2}

Cevap

İfadenin x türünden eşiti payında 1, paydasında x + 2 olan rasyonel ifadedir.
Verilen ifadeler taban değiştirme kuralı kullanılarak 12 tabanına çevrildiğinde, elde edilen fark ifadesi logaritmanın bölme kuralı gereğince logaritma 12 tabanında 2 değerine eşit olur. Bu değer de 2 tabanına göre yazılıp çözümlendiğinde payında 1, paydasında x + 2 olan rasyonel ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini kullanarak paydadaki logaritmik ifadeleri 12 tabanına dönüştürmek.
2log⁡612=2log⁡126=log⁡1262=log⁡1236\frac{2}{\log_6 12} = 2\log_{12} 6 = \log_{12} 6^2 = \log_{12} 36 ve 1log⁡1812=log⁡1218\frac{1}{\log_{18} 12} = \log_{12} 18 elde edilir.
Logaritmik terimlerin tabanlarını eşitleyerek aralarındaki çıkarma işlemini yapabilmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Elde edilen ifadeler arasındaki çıkarma işlemini logaritmanın bölme özelliğini kullanarak gerçekleştirmek.
log⁡1236−log⁡1218=log⁡12(3618)=log⁡122\log_{12} 36 - \log_{12} 18 = \log_{12} \left(\frac{36}{18}\right) = \log_{12} 2 bulunur.
Aynı tabandaki logaritmaların farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir.
3
log⁡122\log_{12} 2 ifadesini taban değiştirme kuralı ile 2 tabanına göre yazmak ve verilen log⁡23=x\log_2 3 = x değerini yerine koymak.
log⁡122=1log⁡212=1log⁡2(22⋅3)=1log⁡24+log⁡23=12+x\log_{12} 2 = \frac{1}{\log_2 12} = \frac{1}{\log_2 (2^2 \cdot 3)} = \frac{1}{\log_2 4 + \log_2 3} = \frac{1}{2 + x} olarak bulunur.
Sonucu verilen değişken türünden ifade edebilmek için taban değiştirme uygulanır.

Anahtar Kavram

Logaritmada taban değiştirme kuralı ve logaritmaların farkı kuralının uygulanması.
Soru 227Soru →
Bir AA gerçel sayısı
A=(2)log⁡35−5log⁡92+log⁡36−log⁡34A = (\sqrt{2})^{\log_3 5} - 5^{\log_9 2} + \log_{\sqrt{3}} 6 - \log_3 4
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, AA sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi sonucunda elde edilen sayısal değer 2'dir.
Verilen matematiksel ifadede yer alan üslü logaritmik terimler düzenlendiğinde birbirine eşit oldukları ve çıkarma işlemi nedeniyle birbirlerini sadeleştirerek sıfır sonucunu verdikleri görülür. Geriye kalan logaritmalı ifadeler ise ortak 3 tabanına getirilip çıkarma-bölme kuralı uygulandığında 2 değerine ulaşılır. Bu iki kısmın toplamı olan doğru cevap 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
(2)log⁡35(\sqrt{2})^{\log_3 5} ve 5log⁡925^{\log_9 2} üslü logaritmik ifadelerini aynı tabana indirgeyerek karşılaştırmak.
(2)log⁡35=5log⁡92=5log⁡32(\sqrt{2})^{\log_3 5} = 5^{\log_9 2} = \sqrt{5}^{\log_3 2}
alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliği ile taban üslerinin başa katsayı olarak atılması kurallarını uygulamak.
2
log⁡36\log_{\sqrt{3}} 6 ifadesinin taban��nı 3 yapmak.
log⁡36=log⁡336\log_{\sqrt{3}} 6 = \log_3 36
Logaritma tabanındaki köklü sayıyı üslü biçimde yazıp log⁡bna=1nlog⁡ba\log_{b^n} a = \frac{1}{n}\log_b a kuralını uygulamak.
3
Tabanları eşitlenen logaritmik ifadeler arasındaki çıkarma işlemini bölme özelliğini kullanarak hesaplamak.
log⁡336−log⁡34=log⁡39=2\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 9 = 2
log⁡bx−log⁡by=log⁡b(x/y)\log_b x - \log_b y = \log_b (x/y) özelliğini uygulamak ve elde edilen sayının logaritmasını almak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 228Soru →
1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡x(x2⋅y3)=8\log_x (x^2 \cdot y^3) = 8
olduğuna göre,
log⁡y(x4⋅y3)\log_y (x^4 \cdot y^3)
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İfadenin değeri 5'tir.
Verilen log⁡x(x2⋅y3)=8\log_x (x^2 \cdot y^3) = 8 eşitliği log⁡xx2+log⁡xy3=8\log_x x^2 + \log_x y^3 = 8 şeklinde açıldığında 2+3log⁡xy=82 + 3\log_x y = 8 denklemi elde edilir. Buradan log⁡xy=2\log_x y = 2 bulunur. Logaritmanın taban değiştirme kuralı gereği, taban ve argüman yer değiştirdiğinde ifadenin çarpmaya göre tersi alınır, dolayısıyla log⁡yx=12\log_y x = \frac{1}{2} olur. İstenen log⁡y(x4⋅y3)\log_y (x^4 \cdot y^3) ifadesi ise 4log⁡yx+3log⁡yy4\log_y x + 3\log_y y olarak açılır. Burada log⁡yx=12\log_y x = \frac{1}{2} ve log⁡yy=1\log_y y = 1 değerleri yerine konulduğunda 4⋅12+3=54 \cdot \frac{1}{2} + 3 = 5 sonucu bulunur. Bu nedenle doğru cevap 5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen logaritma ifadesini logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak bileşenlerine ayırın.
log⁡x(x2⋅y3)=log⁡x(x2)+log⁡x(y3)=2log⁡xx+3log⁡xy=2+3log⁡xy\log_x(x^2 \cdot y^3) = \log_x(x^2) + \log_x(y^3) = 2\log_x x + 3\log_x y = 2 + 3\log_x y
Logaritmanın log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c ve log⁡a(bn)=nlog⁡ab\log_a(b^n) = n\log_a b özelliklerini uygulamak için.
2
Elde edilen ifadeyi verilen değere eşitleyerek log⁡xy\log_x y değerini çözün.
2+3log⁡xy=8  ⟹  3log⁡xy=6  ⟹  log⁡xy=22 + 3\log_x y = 8 \implies 3\log_x y = 6 \implies \log_x y = 2
log⁡xy\log_x y değerini bulup taban değiştirme kuralında kullanmak için.
3
Taban değiştirme özelliğini kullanarak log⁡yx\log_y x değerini elde edin.
log⁡yx=1log⁡xy=12\log_y x = \frac{1}{\log_x y} = \frac{1}{2}
log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} özelliğini kullanarak sorulan ifadedeki tabana geçiş yapmak için.
4
İkinci logaritma ifadesini çarpım ve üs özelliklerini kullanarak açın ve bulduğunuz değeri yerine yazın.
log⁡y(x4⋅y3)=4log⁡yx+3log⁡yy=4(12)+3=2+3=5\log_y (x^4 \cdot y^3) = 4\log_y x + 3\log_y y = 4\left(\frac{1}{2}\right) + 3 = 2 + 3 = 5
İstenen ifadenin nihai değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 229Soru →
log⁡65=a\log_6 5 = a
log⁡52=b\log_5 2 = b
olduğuna göre, log⁡1524\log_{15} 24 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2ab+1a−ab+1\frac{2ab + 1}{a - ab + 1}

Cevap

2ab+1a−ab+1\frac{2ab + 1}{a - ab + 1} ifadesidir.
Doğru seçenekteki ifade, taban değiştirme kuralı uygulanıp tüm logaritma terimleri 5 tabanına çevrildiğinde elde edilen cebirsel sadeleştirme adımlarını eksiksiz ve doğru bir şekilde takip eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritma ifadelerini taban değiştirme kuralı kullanarak 5 tabanına dönüştürmek.
log⁡56=1a\log_5 6 = \frac{1}{a} ve log⁡52=b\log_5 2 = b elde edilir.
Tüm ifadeleri ortak bir tabanda yazarak işlemleri kolaylaştırmak.
2
log⁡56\log_5 6 ifadesini log⁡5(2⋅3)=log⁡52+log⁡53\log_5 (2 \cdot 3) = \log_5 2 + \log_5 3 şeklinde yazarak log⁡53\log_5 3 değerini yalnız bırakmak.
b+log⁡53=1a  ⟹  log⁡53=1a−b=1−abab + \log_5 3 = \frac{1}{a} \implies \log_5 3 = \frac{1}{a} - b = \frac{1 - ab}{a} bulunur.
Bulunan log⁡52\log_5 2 ve log⁡53\log_5 3 değerlerini aranan ifadede yerine koyabilmek.
3
Aranan log⁡1524\log_{15} 24 ifadesini taban değiştirme kuralı ile 5 tabanında yazmak.
log⁡1524=log⁡524log⁡515=log⁡5(23⋅3)log⁡5(3⋅5)=3log⁡52+log⁡53log⁡53+1\log_{15} 24 = \frac{\log_5 24}{\log_5 15} = \frac{\log_5 (2^3 \cdot 3)}{\log_5 (3 \cdot 5)} = \frac{3\log_5 2 + \log_5 3}{\log_5 3 + 1} elde edilir.
Taban değiştirme kuralını uygulayarak ifadeyi bilinen terimler cinsinden ifade etmek.
4
Elde edilen log⁡52=b\log_5 2 = b ve log⁡53=1−aba\log_5 3 = \frac{1 - ab}{a} değerlerini yerine yazıp ifadeyi sadeleştirmek.
3b+1−aba1−aba+1=3ab+1−aba1−ab+aa=2ab+1a−ab+1\frac{3b + \frac{1-ab}{a}}{\frac{1-ab}{a} + 1} = \frac{\frac{3ab + 1 - ab}{a}}{\frac{1 - ab + a}{a}} = \frac{2ab + 1}{a - ab + 1} bulunur.
En sade aa ve bb cinsinden ifadeyi bulmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme özelliği ve logaritma fonksiyonunun temel özellikleri kullanılarak cebirsel ifadelerin sadeleştirilmesi.
Soru 230Soru →
1'den farklı bir xx pozitif gerçel sayısı için,
log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3x⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2x=log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x = \log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Verilen logaritmik denklemin çözümü sonucunda elde edilen xx değeri 30'dur.
Verilen denklemin her iki tarafı log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x ifadesine bölündüğünde 1log⁡5x+1log⁡2x+1log⁡3x=1\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1 eşitliği elde edilir. Taban değiştirme kuralı uygulandığında bu ifade log⁡x5+log⁡x2+log⁡x3=1\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1 şekline dönüşür. Logaritma özellikleri gereği sol taraf log⁡x(5⋅2⋅3)=log⁡x30\log_x(5 \cdot 2 \cdot 3) = \log_x 30 olur. Buradan log⁡x30=1\log_x 30 = 1 eşitliği elde edilir ki bu da x=30x = 30 anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafını log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x ifadesine bölün.
1log⁡5x+1log⁡2x+1log⁡3x=1\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1
Logaritmik çarpımları daha basit ifadelere dönüştürmek için her iki taraf sıfırdan farklı olan ortak çarpıma b��lünür.
2
Taban değiştirme özelliğini uygulayın.
log⁡x5+log⁡x2+log⁡x3=1\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1
1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a kuralı kullanılarak tüm terimler aynı tabanda (xx tabanında) yazılır.
3
Logaritma toplama kuralını uygulayın ve logaritma tan��mından xx'i bulun.
log⁡x(5⋅2⋅3)=1⇒log⁡x30=1⇒x1=30⇒x=30\log_x (5 \cdot 2 \cdot 3) = 1 \Rightarrow \log_x 30 = 1 \Rightarrow x^1 = 30 \Rightarrow x = 30
Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımına eşittir. Buradan elde edilen log⁡x30=1\log_x 30 = 1 ifadesi x=30x = 30 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritma toplam-çarpım özelliği
Soru 231Soru →
xx ve yy birden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡3x⋅log⁡y3=2\log_3 x \cdot \log_y 3 = 2
x⋅y3=243x \cdot y^3 = 243
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, log⁡x(y4)+log⁡y(x3)\log_x(y^4) + \log_y(x^3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İstenen logaritmik ifadenin değeri 8'dir.
Taban değiştirme kuralına göre log⁡3x⋅log⁡y3=log⁡yx=2\log_3 x \cdot \log_y 3 = \log_y x = 2 elde edilir. Bu durumda x=y2x = y^2 olur. İkinci denklemde yerine yazıldığında y2⋅y3=y5=243y^2 \cdot y^3 = y^5 = 243 bağıntısından y=3y = 3 ve x=9x = 9 bulunur. İstenen ifadede değerler yerine yazıldığında log⁡9(34)+log⁡3(93)=log⁡32(34)+log⁡3(36)=2+6=8\log_9(3^4) + \log_3(9^3) = \log_{3^2}(3^4) + \log_3(3^6) = 2 + 6 = 8 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde taban değiştirme özelliğini kullanarak xx ile yy arasındaki ilişkiyi belirleyin.
log⁡yx=2  ⟹  x=y2\log_y x = 2 \implies x = y^2 elde edilir.
log⁡ab⋅log⁡ca=log⁡cb\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b özelliğinden yararlanarak çarpım durumundaki ifadeleri sadeleştirmek için.
2
x=y2x = y^2 eşitliğini ikinci denklemde yerine yazarak yy ve xx değerlerini bulun.
y5=243  ⟹  y=3y^5 = 243 \implies y = 3 ve buradan x=9x = 9 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli üslü denkleme dönüştürüp çözmek için.
3
Bulunan değerleri log⁡x(y4)+log⁡y(x3)\log_x(y^4) + \log_y(x^3) ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
log⁡9(81)+log⁡3(729)=2+6=8\log_9(81) + \log_3(729) = 2 + 6 = 8 bulunur.
Logaritmanın üs özelliklerini kullanarak terimleri sayısal değerlere dönüştürmek için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 232Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, pozitif gerçel sayılarda tanımlı
3log⁡5x+xlog⁡53=183^{\log_5 x} + x^{\log_5 3} = 18
eşitliği veriliyor.

Buna göre, log⁡x125\log_x 125 ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

32\frac{3}{2}
Verilen denklemde logaritmanın alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliği kullanılarak xlog⁡53x^{\log_5 3} terimi 3log⁡5x3^{\log_5 x} olarak yazılır. Denklem 2⋅3log⁡5x=182 \cdot 3^{\log_5 x} = 18 haline gelir ve buradan 3log⁡5x=93^{\log_5 x} = 9 elde edilir. Üstel ifadenin çözümünden log⁡5x=2\log_5 x = 2 bulunur. Son olarak, taban değiştirme kuralı uygulanarak log⁡x125=log⁡5125log⁡5x=32\log_x 125 = \frac{\log_5 125}{\log_5 x} = \frac{3}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri düzenlemek.
xlog⁡53=3log⁡5xx^{\log_5 3} = 3^{\log_5 x} eşitliği elde edilir.
Denklemi tek bilinmeyenli üstel bir ifadeye dönüştürmek amacıyla bu kuraldan yararlan��lır.
2
Düzenlenen terimi denklemde yerine koyarak denklemi sadeleştirmek.
3log⁡5x+3log⁡5x=18  ⟹  2⋅3log⁡5x=18  ⟹  3log⁡5x=93^{\log_5 x} + 3^{\log_5 x} = 18 \implies 2 \cdot 3^{\log_5 x} = 18 \implies 3^{\log_5 x} = 9 elde edilir.
Bilinmeyen içeren üstel ifadenin tek başına bırakılması ve değerinin bulunması hedeflenir.
3
Elde edilen üstel denklemi çözerek log⁡5x\log_5 x değerine ulaşmak.
3log⁡5x=32  ⟹  log⁡5x=23^{\log_5 x} = 3^2 \implies \log_5 x = 2 bulunur.
İstenen logaritmik ifadeyi hesaplamak için gerekli olan temel logaritma değerine ulaşılması gerekir.
4
Taban değiştirme özelliğini kullanarak log⁡x125\log_x 125 ifadesini log⁡5\log_5 tabanında yazmak ve hesaplamak.
log⁡x125=log⁡5125log⁡5x=32\log_x 125 = \frac{\log_5 125}{\log_5 x} = \frac{3}{2} elde edilir.
Soru kökünde bizden istenen ifadenin nihai değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 233Soru →
f(x)=log⁡5(x−39−x)f(x) = \log_{5}\left(\frac{x - 3}{9 - x}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 30'dur.
Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken taban pozitif ve 1'den farklı, logaritmanın içi ise sıfırdan büyük olmalıdır. Verilen fonksiyonda taban 5 olup bu şartları sağlar. Logaritmanın içinin pozitif olması koşuluyla \frac{x-3}{9-x} > 0 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesi (3, 9) açık aralığı olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların (4, 5, 6, 7, 8) toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım şartları belirlenir.
Taban 5 sayısı olduğundan taban şartı (5>05 > 0 ve 5≠15 \neq 1) sağlanmaktadır. Bu durumda yalnızca logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması yani x−39−x>0\frac{x-3}{9-x} > 0 şartı incelenmelidir.
Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Eşitsizliğin kökleri bulunur.
Payın kökü x−3=0⇒x=3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 ve paydanın kökü 9−x=0⇒x=99 - x = 0 \Rightarrow x = 9 olarak bulunur.
İşaret tablosu oluşturmak için rasyonel ifadenin pay ve paydasının köklerinin bulunması gerekir.
3
İşaret tablosu oluşturulur ve eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenir.
Payın en yüksek dereceli teriminin işareti pozitif (+), paydanın en yüksek dereceli teriminin işareti negatiftir (-). Oranları negatif (-) olduğundan tablonun en sağından eksi (-) işareti ile başlanır. Köklerden geçerken işaret değiştirilerek tablo tamamlanır: x<3x < 3 için (-), 3<x<93 < x < 9 için (+), x>9x > 9 için (-) olur. Dolayısıyla eşitsizliğin çözüm kümesi (3, 9) açık aralığıdır.
Eşitsizliğin pozitif olduğu aralığı bulmak için işaret incelemesi yapılmalıdır.
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı hesaplanır.
(3, 9) açık aralığındaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 ve 8'dir. Bu sayıların toplamı 4+5+6+7+8=304 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 olarak bulunur.
Soruda istenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı değerine ulaşmak için bu aralıktaki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın (logaritmanın içinin) ise sıfırdan büyük olması şartları birlikte sağlanmalıdır.
Soru 234Soru →
f(x)=(m+210−m)xf(x) = \left(\frac{m+2}{10-m}\right)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, mm'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Azalan üstel fonksiyon tanımına göre taban 00 ile 11 arasında olmalıdır. Buradan elde edilen −2<m<4-2 < m < 4 aralığındaki tam sayıların toplamı 55 olur.
Azalan bir üstel fonksiyonun tabanı 00 ile 11 arasında yer almalıdır. 0<m+210−m<10 < \frac{m+2}{10-m} < 1 eşitsizlik zincirinden mm için −2<m<4-2 < m < 4 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun azalan olması için gerekli koşulun belirlenmesi
f(x)=bxf(x) = b^x biçimindeki bir üstel fonksiyonun azalan olması için tabanın 0<b<10 < b < 1 koşulunu sağlaması gerekir. Bu soruda taban b=m+210−mb = \frac{m+2}{10-m} olduğundan, 0<m+210−m<10 < \frac{m+2}{10-m} < 1 eşitsizlik sistemi kurulur.
Üstel fonksiyonların genel tanımı ve artanlık/azalanlık özelliklerinin doğrudan bir sonucudur.
2
Tabanın pozitif olması koşulunun çözülmesi
m+210−m>0\frac{m+2}{10-m} > 0 eşitsizliğinde kökler m=−2m = -2 ve m=10m = 10'dur. İşaret tablosu incelendiğinde, ifadenin pozitif olduğu aralık (−2,10)(-2, 10) olarak bulunur.
Tabanın pozitif bir gerçel sayı olması üstel fonksiyon tanımlanabilmesi için zorunludur.
3
Tabanın 11'den küçük olması koşulunun çözülmesi
m∈(−2,10)m \in (-2, 10) aralığında 10−m>010-m > 0 olduğundan, m+210−m<1\frac{m+2}{10-m} < 1 eşitsizliğinde her iki taraf 10−m10-m ile çarpılabilir: m+2<10−m  ⟹  2m<8  ⟹  m<4m + 2 < 10 - m \implies 2m < 8 \implies m < 4 elde edilir.
Fonksiyonun azalanlık özelliğini sağlayan üst sınırı belirlemek için bu eşitsizlik çözülmelidir.
4
Koşulların kesişiminin alınması ve tam sayıların toplanması
Her iki koşulu da sağlayan aralık (−2,10)∩(−∞,4)=(−2,4)(-2, 10) \cap (-\infty, 4) = (-2, 4) aralığıdır. Bu aralıktaki mm tam sayıları −1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3 olup, toplamları: (−1)+0+1+2+3=5(-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 bulunur.
Soruda istenen mm tam sayılarının toplamını bulmak için elde edilen ortak çözüm kümesindeki değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif gerçel sayı ve 1'den farklı olması (b>0,b≠1b > 0, b \neq 1) ile azalanlık durumunda tabanın 1'den küçük olması (0<b<10 < b < 1) kuralı.
Soru 235Soru →

Bir ses kaynağının ses gücü düzeyi LL desibel (dB) cinsinden,

L=10⋅log⁡10(II0)L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)

formülüyle hesaplanır. Burada II ses şiddetini (W/m2\text{W/m}^2), I0I_0 ise eşik ses şiddeti olan 10−12 W/m210^{-12} \text{ W/m}^2 değerini temsil etmektedir.

Buna g��re, ses şiddeti I=10−8 W/m2I = 10^{-8} \text{ W/m}^2 olan bir ses kaynağının ses gücü düzeyi kaç desibeldir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Ses şiddeti 10−8 W/m210^{-8} \text{ W/m}^2 olan ses kaynağının ses gücü düzeyi 4040 desibeldir.
Ses şiddeti 10−8 W/m210^{-8} \text{ W/m}^2 ve eşik ses şiddeti 10−12 W/m210^{-12} \text{ W/m}^2 değerleri desibel formülünde yerine konulduğunda logaritma içindeki oran 10410^4 olur. 10 tabanında 10410^4 sayısı 4'e eşittir. Bu değer 10 katsayısı ile çarpıldığında ses gücü düzeyi 4040 desibel olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen değerleri ses gücü düzeyi formülünde yerine koymak
L=10⋅log⁡10(10−810−12)L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{10^{-8}}{10^{-12}}\right)
Ses gücü düzeyini hesaplamak amacıyla formüldeki II ve I0I_0 değişkenlerine verilen sayısal değerleri yerleştiririz.
2
Oranlama işlemini üslü sayı bölme kuralına göre sadeleştirmek
10−810−12=10−8−(−12)=104\frac{10^{-8}}{10^{-12}} = 10^{-8 - (-12)} = 10^4
Pay ve paydanın tabanları 10 olduğu için payın üssünden paydan��n üssü çıkarılarak sadeleştirme yapılır.
3
10 tabanındaki logaritma işlemini çözmek
log⁡10(104)=4\log_{10}(10^4) = 4
log⁡a(an)=n\log_a(a^n) = n kuralı gereğince log⁡10(104)\log_{10}(10^4) ifadesinin eşiti 44'tür.
4
Logaritma sonucunu formüldeki katsayı ile çarparak nihai sonuca ulaşmak
L=10⋅4=40L = 10 \cdot 4 = 40
Bulunan logaritma değeri desibel katsayısı olan 10 ile çarpılarak nihai ses gücü düzeyine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik modellerin gerçek hayat problemlerinde uygulanması
ÖncekiSayfa 12 / 12
Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 12 | Examkin