Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 11

Soru 201Soru →

Bir fincan sıcak içeceğin sıcaklığı, bulunduğu ortamın sıcaklığına bağlı olarak zamanla azalmaktadır. $t$ geçen süreyi (dakika cinsinden) göstermek üzere, içeceğin $t$ . dakikadaki sıcaklığı $T(t)$ ( $^\circ\text{C}$ ) fonksiyonu:

T(t) = T_e + (T_0 - T_e) \cdot 2^{-c \cdot t}

formülüyle modellenmektedir. Burada $T_e$ ortam sıcaklığı, $T_0$ içeceğin başlangıç sıcaklığı ve $c$ pozitif bir soğuma sabittir.

Ortam sıcaklığının $20^\circ\text{C}$ olduğu bir odada, başlangıç sıcaklığı $84^\circ\text{C}$ olan bir fincan çayın sıcaklığ�� $10$ dakika sonra $52^\circ\text{C}$ 'ye düşmektedir.

Buna göre, bu çayın sıcaklığının $28^\circ\text{C}$ 'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren kaç dakika geçmesi gerekir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Çayın sıcaklığının 28°C'ye düşmesi için başlangıçtan itibaren 30 dakika geçmesi gerekir.

Verilen başlangıç ve 10. dakika sıcaklık değerleri formülde yerine koyulduğunda soğuma sabiti

c = 0,1

olarak bulunur. Çayın sıcaklığının

28^\circ\text{C}

olması istenen denklemde bu katsayı kullanıldığında, geçen süre

30

dakika olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Ortam sıcaklığı

T_e = 20^\circ\text{C}

, başlangıç sıcaklığı

T_0 = 84^\circ\text{C}

ve

10

. dakikadaki s��caklık

T(10) = 52^\circ\text{C}

değerlerini formülde yerine yazmak.

52 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-c \cdot 10} \implies 32 = 64 \cdot 2^{-10c}

Soğuma sabiti

c

'yi bulmak için gerekli ilk denklemi kurmak.

2

32 = 64 \cdot 2^{-10c}

denklemini çözerek

c

katsayısını belirlemek.

2^{-10c} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} = 2^{-1} \implies -10c = -1 \implies c = 0,1

Üstel denklemi çözerek soğuma sabitini elde etmek.

3

Hedef sıcaklık

T(t) = 28^\circ\text{C}

değerini formülde yerine koyarak

t

süresini çözmek.

28 = 20 + (84 - 20) \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 8 = 64 \cdot 2^{-0,1 \cdot t} \implies 2^{-0,1 \cdot t} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \implies -0,1 \cdot t = -3 \implies t = 30

Bulunan

c

sabiti ile hedeflenen sıcaklığa ulaşma süresini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik modelleme yardımıyla gerçek hayat problemlerinin (Newton'ın Soğuma Kanunu) çözülmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 202Soru →

Bir çözeltinin asitlik derecesini belirleyen

pH

değeri ile çözeltideki hidrojen iyonu derişimi

[H^+]

(mol/L cinsinden) arasındaki ilişki

pH = -\log_{10}([H^+])

formülü ile modellenmektedir.

Bir kimyager, laboratuvarda $pH$ değeri $3,2$ olan bir çözeltiye saf su ekleyerek çözeltinin hacmini $10$ katına çıkarmıştır. Çözeltinin hacmi $10$ katına çıktığında hidrojen iyonu derişimi $[H^+]$ ilk derişiminin $\frac{1}{10}$ 'una düşmektedir.

Buna göre, su eklendikten sonra elde edilen yeni çözeltinin $pH$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2,2

3,3

4,2

0,32

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4,2$

Cevap

Yeni çözeltinin pH değeri

4,2

'dir.

Başlangıçtaki çözeltinin pH değeri

3,2

olduğundan

\log_{10}([H^+]_{eski}) = -3,2

olur. Hacim 10 katına çıkarıldığında derişim 10 kat azalır ve

[H^+]_{yeni} = 10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}

elde edilir. Yeni pH değeri

pH_{yeni} = -\log_{10}(10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}) = -(\log_{10}(10^{-1}) + \log_{10}([H^+]_{eski})) = -(-1 - 3,2) = 4,2

olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru yanıt

4,2

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk durumdaki pH değerini veren bağıntıyı kullanarak başlangıçtaki hidrojen iyonu derişiminin logaritmasını belirleyin.

\log_{10}([H^+]_{eski}) = -3,2

Başlangıçtaki pH değeri

3,2

olarak verilmiştir.

pH = -\log_{10}([H^+])

formülünden

-\log_{10}([H^+]_{eski}) = 3,2

elde edilir.

2

Su eklendikten sonraki yeni hidrojen iyonu derişimini eski derişim cinsinden ifade edin.

[H^+]_{yeni} = 10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}

Hacim 10 katına çıktığında derişim 10 kat azalır, yani ilk derişimin onda birine eşit olur.

3

Yeni derişimi pH formülünde yerine yazıp logaritma özelliklerini kullanarak yeni pH değerini hesaplayın.

pH_{yeni} = 4,2

pH_{yeni} = -\log_{10}(10^{-1} \cdot [H^+]_{eski}) = -(\log_{10}(10^{-1}) + \log_{10}([H^+]_{eski})) = -(-1 + (-3,2)) = -(-4,2) = 4,2

bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gerçek hayat durumlarında (pH hesabı ve seyreltme) uygulayabilme

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 203Soru →

\frac{1}{1 + \log_2 75} + \frac{1}{1 + \log_3 50} + \frac{2}{2 + \log_5 6}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.

İfadedeki tüm terimlerin paydaları uygun tabanlarda yazılıp birleştirildiğinde sırasıyla

\log_2 150

,

\log_3 150

ve

\log_5 150

elde edilir. Taban değiştirme kuralı kullanılarak ifadeler ters çevrildiğinde tabanları eşit olan

\log_{150} 2

,

\log_{150} 3

ve

\log_{150} 25

terimleri elde edilir. Bu terimlerin toplamı

\log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Paydalardaki 1 ve 2 tam sayılarını, yanlarında bulunan logaritma tabanlarına uygun olarak logaritmik biçimde yazalım.

1 = \log_2 2

,

1 = \log_3 3

ve

2 = 2\log_5 5 = \log_5 5^2 = \log_5 25

olur.

Logaritma toplama özelliğini kullanabilmek için tabanların aynı olması gerekir.

2

Paydalarda bulunan logaritmik ifadeleri ortak tabanda toplayarak tek bir logaritma halinde birleştirelim.

1 + \log_2 75 = \log_2 2 + \log_2 75 = \log_2 (2 \cdot 75) = \log_2 150

1 + \log_3 50 = \log_3 3 + \log_3 50 = \log_3 (3 \cdot 50) = \log_3 150

2 + \log_5 6 = \log_5 25 + \log_5 6 = \log_5 (25 \cdot 6) = \log_5 150

elde edilir.

Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımına eşittir:

\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)

.

3

Bulduğumuz birleştirilmiş ifadeleri orijinal denklemdeki paydalara yerleştirelim.

İfade şu şekle dönüşür:

\frac{1}{\log_2 150} + \frac{1}{\log_3 150} + \frac{2}{\log_5 150}

Paydalardaki ifadelerin yerine basitleştirilmiş halleri yazılmıştır.

4

Taban değiştirme kuralın�� (

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

) uygulayarak terimleri düzenleyelim.

\frac{1}{\log_2 150} = \log_{150} 2

\frac{1}{\log_3 150} = \log_{150} 3

\frac{2}{\log_5 150} = 2\log_{150} 5

olur.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritmaları pay kısmına taban ve argüman yer değiştirerek taşıyabiliriz.

5

Son terimdeki 2 katsayısını argümanın üzerine üs olarak taşıyalım ve ardından tüm logaritmaları ortak tabanda toplayalım.

2\log_{150} 5 = \log_{150} 5^2 = \log_{150} 25

olur.
Toplam ifade:

\log_{150} 2 + \log_{150} 3 + \log_{150} 25 = \log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

bulunur.

n\log_a b = \log_a (b^n)

özelliğinden katsayı üsse taşınır ve ortak tabandaki toplam logaritmalar çarpım kuralıyla birleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun özellikleri ve taban değiştirme kuralı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 204Soru →

x

ve

y

birden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

\log_2(x \cdot y) = 5

\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{5}{6}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $\log_x y + \log_y x$ ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{13}{6}

\frac{17}{4}

\frac{26}{5}

\frac{5}{2}

\frac{25}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{13}{6}$

Cevap

İstenen ifadenin değeri on üç bölü altı olarak bulunur.

Verilen denklemlerde çarpım özelliği ve taban değiştirme kuralları uygulandığında

\log_2 x + \log_2 y = 5

ve

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{5}{6}

elde edilir. Buradan

\log_2 x \cdot \log_2 y = 6

bulunur. Toplamları

5

, çarpımları

6

olan sayılar

2

ve

3

olduğundan, aranılan ifade

\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci denklemde çarpımın logaritması özelliğini uygulayalım.

\log_2 x + \log_2 y = 5

Çarpımın logaritması, logaritmaların toplamına eşittir:

\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c

.

2

İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini kullanalım.

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{5}{6}

Taban değiştirme kuralına göre

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

özelliğinden faydalanarak ifadeleri ortak tabana getiririz.

3

\log_2 x = u

ve

\log_2 y = v

değişken değiştirmesini uygulayarak denklem sistemini çözelim.

u + v = 5

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u+v}{uv} = \frac{5}{6} \implies \frac{5}{uv} = \frac{5}{6} \implies uv = 6

Değişken değiştirme yöntemi, denklem sistemini daha kolay çözülebilir bir hale getirir.

4

Toplamları

5

, çarpımları

6

olan

u

ve

v

değerlerini bulalım.

\{u, v\} = \{2, 3\}

t^2 - 5t + 6 = 0

denkleminin kökleri

2

ve

3

'tür.

5

İstenen ifadeyi taban değiştirme özelliği yardımıyla

u

ve

v

cinsinden yazıp hesaplayalım.

\log_x y + \log_y x = \frac{\log_2 y}{\log_2 x} + \frac{\log_2 x}{\log_2 y} = \frac{v}{u} + \frac{u}{v}

u=2

ve

v=3

değerleri için:

\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{9+4}{6} = \frac{13}{6}

Taban değiştirme kuralı yardımıyla aranılan ifadeyi bilinen değişkenler cinsinden ifade eder ve sonucu buluruz.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru 205Soru →

Deniz seviyesinden yüksekliği $h$ kilometre olan bir yerdeki açık hava basıncı $P(h)$ (mmHg cinsinden)

P(h) = P_0 \cdot e^{-k \cdot h}

formülüyle modellenmektedir. Burada $P_0$ deniz seviyesindeki açık hava basıncını, $k$ ise pozitif bir sabiti göstermektedir.

Deniz seviyesinde açık hava basıncı $760\text{ mmHg}$ olup deniz seviyesinden $4\text{ km}$ yükseklikteki bir dağın zirvesinde açık hava basıncı $380\text{ mmHg}$ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, açık hava basıncının $190\text{ mmHg}$ olarak ölçüldüğü bir yüksekliğin deniz seviyesinden kaç kilometre olduğunu bulunuz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Açık hava basıncının

190\text{ mmHg}

olduğu yükseklik deniz seviyesinden

8\text{ km}

'dir.

Verilen modelde deniz seviyesindeki basınç

P_0 = 760

olarak yerine yazılır. Ardından

P(4) = 380

bilgisiyle

e^{-4k} = \frac{1}{2}

elde edilir. Basıncın

190\text{ mmHg}

olması durumu ise

e^{-kh} = \frac{1}{4}

eşitliğini gerektirir.

\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2

ilişkisi kurulduğunda

e^{-kh} = e^{-8k}

elde edilir ve buradan aranan yükseklik

8\text{ km}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç değerini formülde yerine yazarak fonksiyonu sadeleştirmek

P(h) = 760 \cdot e^{-k \cdot h}

Deniz seviyesinde (

h = 0

) açık hava basıncı

760\text{ mmHg}

olarak verildiği için

P(0) = P_0 \cdot e^0 = P_0 = 760

olur.

2

4\text{ km}

yükseklikteki basınç değerini kullanarak üstel ifadenin değerini bulmak

e^{-4k} = \frac{1}{2}

P(4) = 380

olarak verildiği için

760 \cdot e^{-4k} = 380 \implies e^{-4k} = \frac{380}{760} = \frac{1}{2}

elde edilir.

3

Basıncın

190\text{ mmHg}

olduğu durum için üstel denklemi kurmak

e^{-k \cdot h} = \frac{1}{4}

P(h) = 190

olması istendiğinden

760 \cdot e^{-k \cdot h} = 190 \implies e^{-k \cdot h} = \frac{190}{760} = \frac{1}{4}

elde edilir.

4

Elde edilen iki üstel ifadeyi ilişkilendirerek bilinmeyen yüksekliği (

h

) hesaplamak

h = 8

\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2

olduğundan

e^{-k \cdot h} = \left(e^{-4k}\right)^2 = e^{-8k}

yazılır. Tabanlar aynı olduğundan üslerin eşitliğinden

-k \cdot h = -8k \implies h = 8

bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel azalış modellerinde başlangıç koşullarının kullanılması ve üs kuralları yardımıyla bilinmeyen değişkenin bulunması.

Alternatif Yöntem

Yarılanma mantığı kullanılarak da çözülebilir. Basınç her

4\text{ km}

'de bir yarıya (

760 \rightarrow 380

) inmektedir. Basıncın

190\text{ mmHg}

'ye inmesi için başlangıç değerinin iki kez yarıya inmesi gerekir (

760 \rightarrow 380 \rightarrow 190

). Bu durum iki kez

4\text{ km}

yükselmek anlamına gelir ve toplam yükseklik

4 + 4 = 8\text{ km}

olarak doğrudan bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 206Soru →

Bir göldeki alg (su yosunu) kaplı alanın büyüklüğü, göle kimyasal atık karışmaya başladıktan itibaren geçen süreye bağlı olarak üstel artış göstermektedir.

t

gün cinsinden geçen süreyi belirtmek üzere, göldeki alg kaplı alan

A(t)

(

m^2

cinsinden)

A(t) = A_0 \cdot (1{}5)^{k \cdot t}

formülüyle modellenmektedir. Bu formülde

A_0

başlangıçtaki alg kaplı alanı (

m^2

),

k

ise gölün kirlilik katsayısını temsil eden pozitif bir gerçel sayı sabitidir.

Kimyasal atık karışmaya başladığı anda alg kaplı alanı $80\text{ m}^2$ olan göldeki bu alan 4 gün sonra $180\text{ m}^2$ olduğuna göre, göldeki alg kaplı alanın $405\text{ m}^2$ olması için başlangıçtan itibaren toplam kaç gün geçmesi gerekir?

6

9

8

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Göldeki alg kaplı alanın 405 metrekare olması için başlangıçtan itibaren toplam 8 gün geçmesi gerekir.

Kimyasal atık miktarına bağlı büyüme modeli

A(t) = 80 \cdot (1{}5)^{0{}5t}

olarak elde edilir. Bu modelde alanın 405 metrekareye ulaşması için gereken süre

(1{}5)^{0{}5t} = 81/16

denkleminin çözülmesiyle bulunur.

81/16 = (1{}5)^4

olduğundan

0{}5t = 4

ve buradan

t = 8

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç anındaki (

t=0

) alg alanını formülde yerine yazarak modeli belirleyin.

A(0) = A_0 = 80

metrekaredir.

Başlangıç değeri A0 parametresini doğrudan belirlemektedir.

2

t=4

gün sonraki alg alanının

180\text{ m}^2

olduğu bilgisini kullanarak katsayı

k

değerini bulun.

A(4) = 80 \cdot (1{}5)^{4k} = 180 \Rightarrow (1{}5)^{4k} = \frac{180}{80} = \frac{9}{4} = (1{}5)^2 \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 0{}5

bulunur.

Gölün kirlilik katsayısı olan

k

değerinin hesaplanarak modelin tamamlanması gerekir.

3

Alg alanının

405\text{ m}^2

olmasını sağlayan

t

süresini

k=0{}5

değerini yerine yazarak bulun.

A(t) = 80 \cdot (1{}5)^{0{}5t} = 405 \Rightarrow (1{}5)^{0{}5t} = \frac{405}{80} = \frac{81}{16} = (1{}5)^4 \Rightarrow 0{}5t = 4 \Rightarrow t = 8

gün elde edilir.

Üstel denklem çözülerek hedef alana ulaşılması için gereken süre bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel büyüme modellerinde başlangıç değeri ve büyüme katsayısı kullanılarak üstel denklemlerin çözülmesi.

Soru 207Soru →

1'den büyük

x

gerçel sayısı için

\log_3 x \cdot \log_9 x \cdot \log_{27} x = \frac{9}{2}

eşitliği veriliyor.
Buna göre,

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen ifadenin değeri 2'dir.

Verilen denklemin tüm çarpanları taban değiştirme kuralları yardımıyla 3 tabanına çevrildiğinde

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

elde edilir. Buradan

(\log_3 x)^3 = 27

yani

\log_3 x = 3

bulunur. Bu durumda

x = 27

olur. Soruda istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesi

\log_{\sqrt{27}} 27 = \log_{27^{1/2}} 27 = 2

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemdeki tüm logaritma terimlerini ortak 3 tabanına dönüştürün.

\log_9 x = \frac{1}{2}\log_3 x

ve

\log_{27} x = \frac{1}{3}\log_3 x

ifadeleri elde edilir.

Tüm çarpanları aynı tabanda yazarak çarpım işlemini basitleştirmek.

2

Elde edilen 3 tabanındaki ifadeleri çarpım denkleminde yerine yazın ve sadeleştirin.

\frac{1}{6}(\log_3 x)^3 = \frac{9}{2}

denklemi elde edilir.

Logaritmaların çarpımından tek bilinmeyenli bir üslü denklem oluşturmak.

3

Denklemi çözerek

\log_3 x

ve

x

değerlerini bulun.

(\log_3 x)^3 = 27 \implies \log_3 x = 3

ve buradan

x = 27

bulunur.

İstenen ifadeyi hesaplamak için gerekli olan temel değişken değerini elde etmek.

4

Bulunan

x

değerini istenen

\log_{\sqrt{x}} 27

ifadesinde yerine yazarak hesaplayın.

\log_{\sqrt{27}} 27 = 2

bulunur.

Logaritmanın taban üssü özelliğini kullanarak nihai cevaba ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme ve Kuvvet Özellikleri

Soru 208Soru →

\log_2 3 = a

\log_3 5 = b

olduğuna göre, $\log_{20} 45$ ifadesinin $a$ ve $b$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3a+b}{a+b+2}

\frac{2a^2+b}{2a+b}

\frac{a(b+2)}{ab+2}

\frac{2a^2b}{ab+2}

\frac{b+2}{2a+b}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{a(b+2)}{ab+2}$

Cevap

a(b+2)/(ab+2)

Verilen logaritma ifadelerinde taban değiştirme kuralı ve logaritma özellikleri kullanılır. Öncelikle \log_2 5 ifadesinin değerini bulmak için zincir kuralı uygulanır: \log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b. Daha sonra \log_{20} 45 ifadesi 2 tabanında yazılır: \log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}. Pay ve paydadaki sayılar asal çarpanlarına ayrılıp çarpım kuralıyla toplam şeklinde açıldığında pay 2a + ab, payda ise 2 + ab olur. Bu değerler oranlandığında ve pay kısmı a parantezine alındığında \frac{a(b+2)}{ab+2} ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

log_2 5 ifadesini verilen a ve b cinsinden elde etmek için zincir kuralı uygulanır.

\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b

Verilen logaritma tabanlarını ortak bir tabanda (2 tabanında) birleştirmek için.

2

log_{20} 45 ifadesini 2 tabanında yazarak taban değiştirme kuralı uygulanır.

\log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}

Soruda verilen a ve b değişkenleri sırasıyla 2 ve 3 tabanlarına bağlı olduğu için ifadeyi 2 tabanına taşımak kolaylık sağlar.

3

Pay ve paydadaki ifadeleri asal çarpanlarına ayırıp logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak açalım.

\log_2 45 = \log_2(3^2 \cdot 5) = 2\log_2 3 + \log_2 5 = 2a + ab

ve

\log_2 20 = \log_2(2^2 \cdot 5) = 2\log_2 2 + \log_2 5 = 2 + ab

Çarpımın logaritmasını toplamın logaritmasına dönüştürerek a ve b cinsinden yazabilmek için.

4

Elde edilen ifadeleri oranlayıp ortak paranteze alarak sonucu bulalım.

\log_{20} 45 = \frac{2a + ab}{ab + 2} = \frac{a(b+2)}{ab + 2}

Sadeleştirilmiş en son cebirsel biçimi elde etmek için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım/bölüm özellikleri yardımıyla değişken dönüşümü yapma.

Soru 209Soru →

İnsan kulağının duyarlı olduğu en düşük ses şiddeti (referans ses şiddeti)

I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2

olarak kabul edilir. Bir ses kaynağının ses şiddeti

I

(

\text{W/m}^2

cinsinden) olmak üzere, bu kaynağın oluşturduğu ses düzeyi

L

(desibel, dB cinsinden)

L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)

formülü ile hesaplanır.

Bir iş yerinde çalışan bir makinenin tek başına çalışırken çıkardığı sesin şiddeti $I_1$ $\text{W/m}^2$ olup bu makinenin oluşturduğu ses düzeyi $75\text{ dB}$ olarak ölçülmüştür. Bu iş yerine aynı makineden 3 tane daha getirilerek toplamda 4 özdeş makine aynı anda çalıştırılmaya başlanmıştır.

Buna göre, 4 makine aynı anda çalıştırıldığında iş yerindeki toplam ses düzeyi kaç desibel (dB) olur?
(Logaritma tabanını 10 olarak alınız ve $\log 2 \approx 0.3$ kabul ediniz.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Yeni ses düzeyi 81 dB olarak bulunur.

Tek bir makinenin ses şiddeti

I_1

iken ses düzeyi

75\text{ dB}

'dir. 4 makine aynı anda çalıştığında toplam ses şiddeti

4I_1

olur. Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak ses düzeyi formülünü açtığımızda, yeni ses düzeyi

L_2 = 10 \log 4 + 10 \log(I_1/I_0) = 20 \log 2 + 75

halini alır. Verilen

\log 2 \approx 0.3

değeri yerine yazıldığında toplam ses düzeyi

81\text{ dB}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tek bir makinenin ses düzeyini veren formülden yararlanarak

\log(I_1 / I_0)

değerini belirlemek.

10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 75

olduğu için

\log(I_1 / I_0) = 7.5

olarak bulunur.

4 makinenin toplam ses şiddeti hesaplanırken bu değeri kullanmak gerekmektedir.

2

4 özdeş makinenin toplam ses şiddeti

4I_1

olacağından, yeni ses düzeyi formülünü yazmak.

L_2 = 10 \cdot \log(4I_1 / I_0)

elde edilir.

Toplam ses şiddetinin 4 katına çıkması nedeniyle yeni toplam ses düzeyini hesaplamak gerekmektedir.

3

Logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi açmak ve verilen

\log 2 \approx 0.3

değerini yerine koymak.

L_2 = 10 \cdot \log 4 + 10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 20 \cdot \log 2 + 75 = 20 \cdot (0.3) + 75 = 81\text{ dB}

bulunur.

Matematiksel işlemleri tamamlayarak nihai ses düzeyine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat uygulamalarındaki modellenmesi ve logaritma özelliklerinin kullanılması.

Soru 210Soru →

Bir göldeki su derinliğine bağlı olarak ışık şiddetinin değişimi araştırılmaktadır. Göle ulaşan güneş ışığının su yüzeyindeki şiddeti $I_0$ lümen olmak üzere, su yüzeyinden itibaren $d$ metre derinlikteki ışık şiddeti $I(d)$ lümen değeri

I(d) = I_0 \cdot e^{-0,2d}

formülüyle modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinlik, metre cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?

5 \ln 2

2 \ln 5

\frac{\ln 2}{5}

5 \ln(0,5)

-5 \ln 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5 \ln 2$

Cevap

Beş çarpı elen iki

Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinliği bulmak için

I(d) = 0,5 I_0

eşitliği kurulur. Burada

I_0

sadeleştirilerek

e^{-0,2d} = 0,5

denklemine ulaşılır. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında

-0,2d = \ln(0,5)

olur.

\ln(0,5) = -\ln 2

eşitliği kullanılarak

-0,2d = -\ln 2

yani

0,2d = \ln 2

elde edilir. Son olarak

0,2 = \frac{1}{5}

katsayısı karşıya çarpım olarak aktarıldığında derinlik

5 \ln 2

metre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Işık şiddeti modelini, yüzeydeki şiddetin yarısına eşit olacak şekilde denklem halinde yazın.

I_0 \cdot e^{-0,2d} = 0,5 \cdot I_0

Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin (

I_0

) yarısına düştü��ü derinliği bulmak için

I(d) = 0,5 I_0

eşitliği kurulur.

2

Her iki taraftaki

I_0

terimlerini sadeleştirip üstel denklemi yalnız bırakın ve her iki tarafın doğal logaritmasını (

\ln

) alın.

e^{-0,2d} = 0,5 \implies -0,2d = \ln(0,5)

Üstel ifadenin tabanı

e

olduğundan,

d

değişkenini çekebilmek için doğal logaritma fonksiyonu kullanılır.

3

Logaritma özelliklerini kullanarak negatif terimleri sadeleştirin ve

d

derinlik değerini bulun.

-0,2d = -\ln 2 \implies 0,2d = \ln 2 \implies d = 5 \ln 2

\ln(0,5) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2

özelliği yardımıyla denklem sadeleştirilir.

0,2 = \frac{1}{5}

olduğundan, içler dışlar çarpımıyla

d = 5 \ln 2

elde edilir.

Anahtar Kavram

Üstel azalış modellerinde üstel denklemi logaritmaya çevirerek bilinmeyen değişkeni yalnız bırakma

Soru 211Soru →

$\log_3 5 = a$ ve $\log_5 2 = b$ olduğuna göre, $\log_{15} 24$ ifadesinin $a$ ve $b$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3ab + 1}{a + 1}

\frac{3b + a}{a + 1}

\frac{ab + 3}{a + 1}

3ab + 1

\frac{3ab + a}{a + 1}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3ab + 1}{a + 1}$

Cevap

\frac{3ab + 1}{a + 1}

İstenen

\log_{15} 24

ifadesi 5 tabanına göre yazıldığında

\frac{\log_5 24}{\log_5 15}

elde edilir. Pay kısmındaki

\log_5 24

ifadesi

3\log_5 2 + \log_5 3

şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında

\frac{3ab + 1}{a}

olur. Payda kısmındaki

\log_5 15

ifadesi ise

\log_5 5 + \log_5 3

şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında

\frac{a+1}{a}

olur. Bu iki değerin birbirine oranlanmasıyla aranan doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen logaritma ifadelerinin tabanlarını incelemek ve uygun bir ortak taban seçmek.

Soruda verilen

\log_3 5 = a

ve

\log_5 2 = b

ifadelerinden ortak olan sayı 5'tir. Bu nedenle

\log_{15} 24

ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 5 tabanında yazmak kolaylık sağlayacaktır.

Taban değiştirme kuralı olan

\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}

özelliğini uygulamak için ortak taban belirlenir.

2

Verilen ifadeleri 5 tabanına göre düzenlemek.

\log_3 5 = a \implies \log_5 3 = \frac{1}{a}

olur. Diğer taraftan

\log_5 2 = b

olarak kalır.

\log_x y = \frac{1}{\log_y x}

özelliği kullanılarak bilinen değerler 5 tabanına dönüştürülür.

3

\log_{15} 24

ifadesine 5 tabanına göre taban değiştirme kuralı uygulamak.

\log_{15} 24 = \frac{\log_5 24}{\log_5 15}

elde edilir.

İstenen ifadeyi bilinen tabana dönüştürerek sadeleştirmek hedeflenir.

4

Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak logaritmanın özelliklerini uygulamak.

Pay için:

\log_5 24 = \log_5 (2^3 \cdot 3) = \log_5 (2^3) + \log_5 3 = 3\log_5 2 + \log_5 3 = 3b + \frac{1}{a} = \frac{3ab + 1}{a}

olur.
Payda için:

\log_5 15 = \log_5 (5 \cdot 3) = \log_5 5 + \log_5 3 = 1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a}

olur.

Logaritmanın çarpım özelliği (

\log (xy) = \log x + \log y

) ve üs özelliği (

\log x^n = n \log x

) uygulanır.

5

Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime getirmek.

\log_{15} 24 = \frac{\frac{3ab + 1}{a}}{\frac{a + 1}{a}} = \frac{3ab + 1}{a} \cdot \frac{a}{a + 1} = \frac{3ab + 1}{a + 1}

bulunur.

Bölme işlemi tamamlanarak ifade

a

ve

b

cinsinden en sade haline getirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Çarpım Özelliği

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 212Soru →

1'den farklı

a

,

b

ve

c

pozitif gerçel sayıları için,

\log_a b = 4

\log_c b = 6

olduğuna göre,

\log_{a^2 \cdot c} (b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.

Verilen ifadeler taban değiştirme kuralı kullanılarak ortak bir taban olan

b

tabanında yazıldığında

\log_b a = 1/4

ve

\log_b c = 1/6

elde edilir. İstenen ifade de aynı tabana dönüştürülüp sadeleştirildiğinde değerinin 3 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen logaritma ifadelerini taban değiştirme özelliğini kullanarak

b

tabanına dönüştürün.

\log_b a = \frac{1}{4}

ve

\log_b c = \frac{1}{6}

elde edilir.

İstenen ifadenin tabanındaki

a

ve

c

değişkenlerini ortak olan

b

tabanında yazarak tek bir tabanda işlem yapabilmek için.

2

İstenen

\log_{a^2 \cdot c} (b^2)

ifadesine taban değiştirme kuralını uygulayarak ifadeyi

b

tabanında yazın.

\log_{a^2 \cdot c} (b^2) = \frac{\log_b (b^2)}{\log_b (a^2 \cdot c)}

elde edilir.

Tüm terimleri aynı tabanda birleştirip sadeleştirebilmek için.

3

Pay ve paydadaki ifadeleri logaritmanın çarpım ve üs özelliklerini kullanarak düzenleyin.

Pay kısmı

\log_b (b^2) = 2

olur. Payda kısmı ise

\log_b (a^2 \cdot c) = \log_b (a^2) + \log_b c = 2\log_b a + \log_b c

şeklinde yazılır.

Çarpımın logaritması logaritmaların toplamına eşittir ve logaritması alınan sayının üssü başa katsayı olarak çarpan olarak geçer.

4

Birinci adımda elde edilen

\log_b a

ve

\log_b c

değerlerini yerlerine koyarak rasyonel işlemleri gerçekleştirin.

\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3

bulunur.

İfadenin en sade sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı (

\log_x y = \frac{1}{\log_y x}

ve

\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}

) ile çarpım ve üs özelliklerinin uygulanması.

Soru 213Soru →

Bir iletişim kanalının maksimum veri iletim kapasitesi

C

(bit/saniye) ve bu kanalın frekans genişliği

B

(Hertz) olmak üzere, sinyal gücünün gürültü gücüne oranı olan sinyal-gürültü oranı (

S/N

) ile kapasite arasındaki ilişki

C = B \cdot \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right)

formülüyle modellenmektedir.

Frekans genişliği $B = 3000\text{ Hz}$ olan bir iletişim kanalında, sinyal-gürültü oranı $\frac{S}{N} = 15$ iken veri iletim kapasitesi $C_1$ bit/saniyedir. Sinyal-gürültü oranı $x$ değerine çıkarıldığında veri iletim kapasitesi $C_2$ olmakta ve $C_2 - C_1 = 6000$ bit/saniye eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Sinyal-gürültü oranının yeni değeri olan

x

, 63 olmalıdır.

Verilen Shannon-Hartley formülüne göre ilk durumdaki kapasite

C_1 = 3000 \cdot \log_2(1+15) = 12000

olarak hesaplanır. Kapasitedeki 6000'lik artışla

C_2 = 18000

elde edilir. Buradan

18000 = 3000 \cdot \log_2(1+x)

denklemi kurularak

\log_2(1+x) = 6

ve dolayısıyla

1+x = 64

sonucundan

x=63

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk durumdaki

C_1

veri iletim kapasitesini hesaplama

C_1 = 12000

bit/saniye

Verilen

B = 3000

ve

\frac{S}{N} = 15

değerlerini formülde yerine koyarak başlangıçtaki kapasiteyi bulmak.

2

İkinci durumdaki

C_2

veri iletim kapasitesini bulma

C_2 = 18000

bit/saniye

Kapasiteler arasındaki farkın 6000 bit/saniye olduğu bilgisini kullanarak yeni kapasiteyi belirlemek.

3

Yeni sinyal-gürültü oranı olan

x

değerini çözme

x = 63

C_2

kapasitesini formüle eşitleyerek logaritma tanımı yardımıyla bilinmeyen

x

oranına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat problemlerine (bilgi teorisi ve veri iletim hızı) uygulanması ve logaritma özelliklerinin kullanılarak üstel denklemlerin çözülmesi.

Soru 214Soru →

\log_2 x - 2\log_x 8 = 5

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Eşitliği sağlayan

x

gerçel sayılarının çarpımı 32'dir.

Verilen denklemde taban değiştirme kuralı uygulanıp

\log_2 x = t

dönüşümü yapıldığında

t^2 - 5t - 6 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri

t = 6

ve

t = -1

olduğundan,

x

değerleri sırasıyla

2^6 = 64

ve

2^{-1} = 1/2

olur. Bu iki değerin çarpımı bize 32 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritmanın üs ve taban değiştirme özelliklerini uygulayarak denklemi tek bir değişken cinsinden ifade etmek.

\log_2 x - \frac{6}{\log_2 x} = 5

\log_x 8 = 3\log_x 2

eşitliği ve taban değiştirme kuralı olan

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

bağıntısı kullanılarak ortak bir

\log_2 x

terimi elde edilmiştir.

2

\log_2 x = t

dönüşümü yaparak ikinci dereceden denklemi kurmak ve çözmek.

t^2 - 5t - 6 = 0 \implies t_1 = 6, \quad t_2 = -1

Denklemi çözülebilir bir polinom formuna getirmek ve kök değerlerini saptamak amacıyla bu dönü��üm yapılmıştır.

3

Kökleri orijinal değişkene dönüştürmek, tanımlılık kontrolü yapmak ve köklerin çarpımını bulmak.

x_1 = 64, \quad x_2 = \frac{1}{2} \implies x_1 \cdot x_2 = 32

t

değerleri yerine yazılarak

x

değerleri bulunmuş ve bu değerlerin çarpımı elde edilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Denklemde taban değiştirme kuralı doğrudan uygulanmadan her iki taraf

\log_2 x

ile çarpılarak

(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x - 6 = 0

biçiminde de yazılabilir. Bu durumda doğrudan

\log_2 x

ifadesine bağlı çarpanlara ayırma yapılarak kökler bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 215Soru →

Sismologlar, bir depremin büyüklüğünü ölçmek için depremin odağından yayılan sismik enerjiyi kullanırlar. Bir depremin açığa çıkardığı enerji

E

(Joule cinsinden) ile depremin Richter ölçeğine göre büyüklüğü

M

arasındaki ilişki

\log E = 11,8 + 1,5M

formülüyle modellenmektedir.

Bir sismoloji istasyonunda kaydedilen X ve Y depremlerinden X depreminin açığa çıkardığı sismik enerji $10^{20,8}$ Joule, Y depreminin açığa çıkardığı sismik enerji ise $10^{17,8}$ Joule olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, X depreminin Richter ölçeğine göre büyüklüğü, Y depreminin Richter ölçeğine göre büyüklüğünden kaç fazladır?

1,5

2

3

4,5

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

X depreminin büyüklüğü, Y depreminin büyüklüğünden 2 fazladır.

X depreminin büyüklüğü 6, Y depreminin büyüklüğü ise 4 olarak hesaplanmıştır. İki depremin büyüklükleri arasındaki fark 6 - 4 = 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

X depreminin enerjisi olan

E_X = 10^{20,8}

değerini formülde yerine yazarak X depreminin büyükl��ğünü (

M_X

) hesaplayalım.

\log(10^{20,8}) = 11,8 + 1,5 M_X

20,8 = 11,8 + 1,5 M_X

1,5 M_X = 9 \implies M_X = 6

bulunur.

X depreminin Richter ölçeğindeki büyüklüğünü belirlemek amacıyla bu işlem yapılır.

2

Y depreminin enerjisi olan

E_Y = 10^{17,8}

değerini formülde yerine yazarak Y depreminin büyüklüğünü (

M_Y

) hesaplayalım.

\log(10^{17,8}) = 11,8 + 1,5 M_Y

17,8 = 11,8 + 1,5 M_Y

1,5 M_Y = 6 \implies M_Y = 4

bulunur.

Y depreminin Richter ölçeğindeki büyüklüğünü belirlemek amacıyla bu işlem yapılır.

3

İki depremin büyüklükleri arasındaki farkı bulmak için

M_X - M_Y

çıkarma işlemini uygulayalım.

M_X - M_Y = 6 - 4 = 2

elde edilir.

X depreminin Y depreminden kaç birim daha büyük olduğunu bulmak amacıyla bu işlem gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Gerçek hayat verilerini içeren logaritmik modellerde değişkenleri yerine yazarak denklemleri çözme ve üstel/logaritmik ifadeleri sadeleştirme.

Soru 216Soru →

$\log_{12} 3 = x$ olduğuna göre, $\log_{6} 8$ ifadesinin $x$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1-x}{1+x}

\frac{3+3x}{1-x}

\frac{3-3x}{1+x}

3-3x

\frac{2-2x}{1+x}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3-3x}{1+x}$

Cevap

İtenen ifadenin verilen değişken cinsinden değeri olan

\frac{3-3x}{1+x}

ifadesidir.

Verilen eşitlikten taban değiştirme kuralı yardımıyla

\log_3 2 = \frac{1-x}{2x}

değeri elde edilir. İstenen

\log_6 8

ifadesi de 3 tabanına dönüştürülüp bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç

\frac{3-3x}{1+x}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

\log_{12} 3 = x

ifadesine taban değiştirme kuralı uygulanarak 3 tabanında yazılır.

\log_3 12 = \frac{1}{x}

Değişkeni daha kolay çözümlenebilir bir tabana indirgemek amacıyla taban değiştirme yapılmıştır.

2

12 = 3 \cdot 2^2

çarpanlarına ayrılır ve logaritmanın çarpım özelliği kullanılarak ifade a��ılır.

\log_3 (3 \cdot 2^2) = \log_3 3 + \log_3 2^2 = 1 + 2\log_3 2 = \frac{1}{x}

İfadeyi

\log_3 2

cinsinden ifade edebilmek için logaritmanın ��arpım ve üs özellikleri kullanılmıştır.

3

Elde edilen denklemden

\log_3 2

ifadesi çekilir.

2\log_3 2 = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x} \implies \log_3 2 = \frac{1-x}{2x}

İstenen ifadenin hesaplanmasında kullanılmak üzere temel logaritmik değer

x

cinsinden yalnız bırakılmıştır.

4

İstenen

\log_6 8

ifadesi taban değiştirme kuralı uygulanarak 3 tabanına çevrilir.

\log_6 8 = \frac{\log_3 8}{\log_3 6} = \frac{\log_3 2^3}{\log_3 (2 \cdot 3)} = \frac{3\log_3 2}{\log_3 2 + 1}

İstenen ifadeyi, değeri bilinen

\log_3 2

cinsinden yazabilmek için uygun tabanda yeniden ifade edilmiştir.

5

Bulunan

\log_3 2 = \frac{1-x}{2x}

değeri yerine yazılarak rasyonel ifade sadeleştirilir.

\log_6 8 = \frac{3 \cdot \left(\frac{1-x}{2x}\right)}{\frac{1-x}{2x} + 1} = \frac{\frac{3(1-x)}{2x}}{\frac{1-x+2x}{2x}} = \frac{3(1-x)}{1+x} = \frac{3-3x}{1+x}

İfadenin en sade halini cebirsel işlemler yardımıyla bulmak için payda eşitleme ve sadeleştirme yapılmıştır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritmanın çarpım/üs kurallarının uygulanması.

Soru 217Soru →

1'den büyük

x

ve

y

gerçel sayıları için,

\log_x (y \cdot x^2) + \log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right)

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.

Verilen ifade logaritma özellikleri yardımıyla sadeleştirildiğinde

\log_x y + 9\log_y x

ifadesine ulaşılır.

\log_x y = t

değişken değiştirmesi yapıldığında,

x > 1

ve

y > 1

koşullarından ötürü

t > 0

olur. Bu durumda ifade

t + \frac{9}{t}

biçimini alır. Pozitif sayılar için Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (

a + b \ge 2\sqrt{ab}

) uygulandığında

t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6

elde edilir. Dolayısıyla ifadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Logaritmanın çarpım ve bölüm özelliklerini uygulayarak terimleri ayırın.

\log_x (y \cdot x^2) = \log_x y + 2

ve

\log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right) = 9\log_y x - 2

elde edilir.

Çarpım durumundaki argümanlar toplam, bölüm durumundakiler ise fark olarak yazılabilir.

2

Terimleri toplayarak ifadeyi sadeleştirin.

\log_x y + 9\log_y x

Sabit terimler olan

+2

ve

-2

birbirini götürür.

3

Taban değiştirme özelliğini uygulayarak değişken değiştirme yapın.

\log_x y = t

dersek,

\log_y x = \frac{1}{t}

olur. İfade

t + \frac{9}{t}

haline gelir.

x > 1

ve

y > 1

olduğu için

t > 0

'dır.

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

özelliği taban değiştirmede temel bir kuraldır.

4

Aritmetik ve Geometrik Ortalama eşitsizliğini (AGO) uygulayarak en küçük değeri bulun.

t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6

Pozitif gerçel sayılar için aritmetik ortalama her zaman geometrik ortalamadan büyük veya eşittir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun çarpım, bölüm ve taban değiştirme özelliklerinin aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ile birleştirilmesi.

Soru 218Soru →

1

'den farklı

a

ve

b

pozitif gerçel sayıları için

a \cdot b \neq 1

olmak üzere,

\log_a (a^2 \cdot b^3) = 8

olduğuna göre,

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{8}{3}

\frac{7}{2}

\frac{7}{3}

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{3}$

Cevap

İfadenin değeri

\frac{7}{3}

'tür.

Doğru cevap

\frac{7}{3}

'tür. Verilen

\log_a (a^2 \cdot b^3) = 8

eşitliği

\log_a a^2 + \log_a b^3 = 8 \Rightarrow 2 + 3\log_a b = 8

şeklinde açılır ve buradan

\log_a b = 2

elde edilir. İstenen

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesi

a

tabanında yazıldığında

\frac{\log_a (a^3 b^2)}{\log_a (ab)} = \frac{3 + 2\log_a b}{1 + \log_a b}

olur. Burada

\log_a b = 2

yazıldığında sonuç

\frac{3+2(2)}{1+2} = \frac{7}{3}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen logaritmik eşitliği logaritmanın çarpım ve üs özellikleri yardımıyla sadeleştirmek.

\log_a (a^2 \cdot b^3) = \log_a a^2 + \log_a b^3 = 2 \cdot \log_a a + 3 \cdot \log_a b = 2 + 3\log_a b = 8

elde edilir. Buradan

3\log_a b = 6

ve nihayetinde

\log_a b = 2

bulunur.

İstenen ifadeyi

a

tabanında yazıp hesaplayabilmek için

\log_a b

değerine ulaşmak gerekir.

2

İstenen

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2)

ifadesine

a

tabanına göre taban değiştirme kuralı uygulamak.

\log_{ab} (a^3 \cdot b^2) = \frac{\log_a (a^3 \cdot b^2)}{\log_a (ab)} = \frac{\log_a a^3 + \log_a b^2}{\log_a a + \log_a b} = \frac{3 \cdot \log_a a + 2 \cdot \log_a b}{\log_a a + \log_a b} = \frac{3 + 2\log_a b}{1 + \log_a b}

elde edilir.

Farklı tabandaki bir logaritmayı, değeri bilinen tabana dönüştürerek hesaplanabilir duruma getirmek.

3

Birinci adımda bulunan

\log_a b = 2

değerini ikinci adımda elde edilen rasyonel ifadede yerine yazmak.

\frac{3 + 2(2)}{1 + 2} = \frac{3 + 4}{3} = \frac{7}{3}

bulunur.

Logaritmik oranları sayısal sonuca ulaştırmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru 219Soru →

Bir nükleer reaktördeki güvenlik kalkanının kalınlığı $x$ santimetre olup, bu kalkandan dışarı sızan radyasyon miktarı $R(x)$ (milisievert/saat) olmak üzere,

R(x) = R_0 \cdot e^{-k \cdot x}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu formülde $R_0$ başlangıçtaki radyasyon miktarını, $k$ ise kalkanın yapıldığı malzemenin radyasyon soğurma katsayısını göstermektedir.

Bir güvenlik duvarı için $k = 0{}05 \text{ cm}^{-1}$ olan bir yalıtım malzemesi kullanılmıştır.

Buna göre, kalkan dışına sızan radyasyon miktarının başlangıçtaki radyasyon miktarına göre $\%80$ oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı kaç santimetre olmalıdır?

( $\ln 5 \approx 1{}6$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Radyasyon miktarının başlangıçtaki değerine göre %80 oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı 32 santimetre olmalıdır.

Kalkan dışına sızan radyasyon miktarının %80 azaltılması, geriye başlangıçtaki radyasyonun %20'sinin kalması anlamına gelir. Bu durumda

R(x) = 0{}2 \cdot R_0

olur. Formülde yerine yazıp sadeleştirdiğimizde

e^{-0{}05 x} = 0{}2

elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritmasını aldığımızda

0{}05 x = \ln 5

olur.

\ln 5 \approx 1{}6

alındığında,

0{}05 x = 1{}6 \Rightarrow x = 32

cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kalan radyasyon oranını belirleme.

Geriye kalan radyasyon miktarı başlangıç değerinin %20'sidir (

R(x) = 0{}20 \cdot R_0

).

Soruda radyasyonun %80 oranında azaltılması istendiği için geriye kalan radyasyon miktarı %20 olmalıdır.

2

Model denkleminde verileri yerine yazma.

0{}20 \cdot R_0 = R_0 \cdot e^{-0{}05 \cdot x}

Radyasyon miktarı

R(x)

ve soğurma katsayısı

k = 0{}05

formüle yerleştirilir.

3

Denklemi sadeleştirme ve e tabanında logaritma alma.

5^{-1} = e^{-0{}05 \cdot x} \Rightarrow -\ln 5 = -0{}05 \cdot x

R_0 terimleri sadeleştirilir,

0{}20 = 5^{-1}

olarak yazılır ve her iki tarafın doğal logaritması alınır.

4

Kalınlık değerini hesaplama.

x = 32

\ln 5 \approx 1{}6

değeri yerine yazıldığında

1{}6 = 0{}05 \cdot x

elde edilir, buradan

x = 32

bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların logaritma yardımıyla çözülmesi ve gerçek hayat problemlerine uygulanması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak,

0{}2 = e^{-0{}05 x}

denklemi

5 = e^{0{}05 x}

biçiminde yazılabilir. Her iki tarafın doğal logaritma tanımı kullanılarak doğrudan

0{}05 x = \ln 5

eşitliğine ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 220Soru →

Hermann Ebbinghaus’un unutma eğrisi modeline göre, yeni öğrenilen bir konunun

t

gün sonra hatırlanma yüzdesi

P(t)

olmak üzere,

P(t) = 90 + 40 \log_{\frac{1}{3}}(t + 1)

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, yeni öğrenilen bir konunun hatırlanma yüzdesinin %10 veya daha fazla olması için geçen süre ( $t$ gün) aşağıdaki aralıkların hangisinde yer almalıdır?

[8, \infty)

[0, 9]

[0, 8]

(-1, 8]

(-\infty, 8]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[0, 8]$

Cevap

Hatırlanma yüzdesinin %10 veya daha fazla olması için geçen süre

[0, 8]

aralığında yer almalıdır.

Doğru cevap olan

[0, 8]

aralığı,

P(t) \geq 10

eşitsizliğinin doğru çözülmesiyle elde edilir. Taban basit kesir olduğundan eşitsizlik yön değiştirir ve

t \leq 8

bulunur. Zaman negatif olamayacağı için alt sınır

0

olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitsizliği kurma ve düzenleme

\log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq -2

Hatırlanma yüzdesinin %10 veya daha fazla olması istendiğinden

P(t) \geq 10

yazılır.

90 + 40 \log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq 10 \implies 40 \log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq -80 \implies \log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq -2

elde edilir.

2

Eşitsizliği çözme ve taban özelliğini kullanma

t \leq 8

Logaritmanın tabanı olan

\frac{1}{3}

basit kesir olduğundan (

0 < \frac{1}{3} < 1

), logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir:

t + 1 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \implies t + 1 \leq 9 \implies t \leq 8

bulunur.

3

Tanım kümesi ve gerçek hayat kısıtlarını uygulama

0 \leq t \leq 8

Logaritmanın tanımlı olması için

t + 1 > 0 \implies t > -1

olmalıdır. Ayrıca gerçek hayat kısıtı olarak geçen zaman negatif olamayacağından

t \geq 0

olmalıdır. Bu koşullarla

t \leq 8

eşitsizliğinin kesişimi alınarak

[0, 8]

aralığı bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik modellerin gerçek hayat kısıtları ve basit kesir tabanlı eşitsizliklerin çözümü

Tahmini Süre:2m 0s

Logaritma ve Üstel Fonksiyonlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem