Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 381Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere, tan⁡(x)+cot⁡(x)=43\tan(x) + \cot(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı π2\frac{\pi}{2} radyandır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen matematiksel ifade doğrudur.
Verilen denklem çözüldüğünde [0,π][0, \pi] aralığındaki gerçel köklerin π6\frac{\pi}{6} ve π3\frac{\pi}{3} olduğu görülür. Bu köklerin toplamı π2\frac{\pi}{2} radyan olduğundan ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
tan⁡(x)+cot⁡(x)\tan(x) + \cot(x) ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak paydaları eşitleyin.
sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} elde edilir.
Trigonometrik denklemleri çözmek için öncelikle ifadeleri daha sade bir forma dönüşt��rmek gerekir.
2
Paydadaki sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(x)\cos(x) ifadesi için sinüs yarım açı formül��nü (sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)) uygulayarak denklemi yeniden düzenleyin.
1sin⁡(x)cos⁡(x)=2sin⁡(2x)\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{\sin(2x)} olur. Buradan denklemi 2sin⁡(2x)=43\frac{2}{\sin(2x)} = \frac{4}{\sqrt{3}} şeklinde yazıp içler dışlar çarpımı yaparsak sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Farklı trigonometrik fonksiyonlar içeren ifadeyi tek bir sinüs fonksiyonu cinsinden yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek amaçlanır.
3
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x∈[0,2π]2x \in [0, 2\pi] olduğunu göz önünde bulundurarak sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} denkleminin köklerini bulun.
2x=π3  ⟹  x1=π62x = \frac{\pi}{3} \implies x_1 = \frac{\pi}{6} ve 2x=2π3  ⟹  x2=π32x = \frac{2\pi}{3} \implies x_2 = \frac{\pi}{3} bulunur.
Belirlenen aralıkta sinüs değerini 32\frac{\sqrt{3}}{2} yapan tüm açı değerlerini tespit etmek gerekir.
4
Bulunan köklerin toplamını hesaplayarak ifadedeki değerle karşılaştırın.
x1+x2=π6+π3=3π6=π2x_1 + x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} radyandır.
İfadenin doğruluğunu kesin olarak teyit etmek için kökler toplamı kontrol edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde özdeşlikler ve yarım açı formülleri yardımıyla kök bulma

Alternatif Yöntem

tan⁡(x)+cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ifadesinde paydalar eşitlendiğinde pay kısmında sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 özdeşliği elde edilir. Buradan doğrudan paydanın sin⁡(x)cos⁡(x)=34\sin(x)\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} olması gerektiği görülür. Bu eşitliğin her iki tarafı 2 ile çarpılarak yarım açı formülünden sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} denklemine daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 382Soru →

Bir ABCDABCD dikdörtgeninde, [AB][AB] kenarı üzerinde bir EE noktası, [BC][BC] kenarı üzerinde bir FF noktası işaretleniyor.

∣AE∣=2 birim|AE| = 2\text{ birim}, ∣EB∣=3 birim|EB| = 3\text{ birim}, ∣BF∣=1 birim|BF| = 1\text{ birim} ve ∣FC∣=3 birim|FC| = 3\text{ birim} olduğuna göre, tan⁡(m(EDF^))\tan(m(\widehat{EDF})) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 711\frac{7}{11}

Cevap

7/11 değeri doğrudur.
Doğru cevap olan 7/11 değeri, D köşesindeki dik açıdan yararlanılarak m(EDF^)=90∘−(a+b)m(\widehat{EDF}) = 90^\circ - (a+b) bağıntısının kurulması, dik üçgenlerden tan⁡a=1/2\tan a = 1/2 ve tan⁡b=3/5\tan b = 3/5 oranlarının elde edilmesi, tanjant toplam formülüyle tan⁡(a+b)=11/7\tan(a+b) = 11/7 bulunması ve tümler açılarda tan⁡(90∘−θ)=cot⁡θ\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta eşitliği kullanılarak kotanjant değerine geçilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin tüm kenar uzunluklarını belirleyelim.
∣AD∣=∣BC∣=∣BF∣+∣FC∣=1+3=4 birim|AD| = |BC| = |BF| + |FC| = 1 + 3 = 4\text{ birim} ve ∣CD∣=∣AB∣=∣AE∣+∣EB∣=2+3=5 birim|CD| = |AB| = |AE| + |EB| = 2 + 3 = 5\text{ birim} olur.
Dikdörtgenin karşılıklı kenar uzunlukları eşittir.
2
m(ADE^)=am(\widehat{ADE}) = a ve m(CDF^)=bm(\widehat{CDF}) = b açılarını tanımlayıp hedef açıyla ilişkilendirelim.
m(EDF^)=xm(\widehat{EDF}) = x olsun. Dikdörtgenin DD köşesi dik açı (90∘90^\circ) olduğundan a+x+b=90∘⇒x=90∘−(a+b)a + x + b = 90^\circ \Rightarrow x = 90^\circ - (a+b) elde edilir.
D köşesindeki açıların toplamı dik açıyı oluşturur.
3
DAEDAE ve DCFDCF dik ��çgenlerini kullanarak aa ve bb açılarının tanjant değerlerini bulalım.
tan⁡a=∣AE∣∣AD∣=24=12\tan a = \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ve tan⁡b=∣FC∣∣CD∣=35\tan b = \frac{|FC|}{|CD|} = \frac{3}{5} bulunur.
Dik üçgende tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
4
Tanjant toplam formülünü kullanarak tan⁡(a+b)\tan(a+b) değerini hesaplayalım.
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b=12+351−12⋅35=1110710=117\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{11}{10}}{\frac{7}{10}} = \frac{11}{7}
Toplam formülü yardımıyla iki açının toplamının tanjantını hesaplamak için.
5
İndirgeme formülü yardımıyla tan⁡x\tan x değerini bulalım.
tan⁡x=tan⁡(90∘−(a+b))=cot⁡(a+b)=1tan⁡(a+b)=711\tan x = \tan(90^\circ - (a+b)) = \cot(a+b) = \frac{1}{\tan(a+b)} = \frac{7}{11}
Birbirini 90∘90^\circ'ye tamamlayan açılardan birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına eşittir.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjant formülü ve tümler açılarda trigonometrik fonksiyonların indirgenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 383Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
tan⁡(x)⋅cos⁡(3π2−2x)=−sin⁡(x)\tan(x) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin(x)
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2π2\pi

Cevap

Denklemi sa��layan köklerin toplamı 2π2\pi radyandır.
Denklem düzenlendiğinde elde edilen sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 eşitliğinin [0,π][0, \pi] aralığındaki ve tanjantı tanımlı yapan kökleri 00, π6\frac{\pi}{6}, 5π6\frac{5\pi}{6} ve π\pi sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 2π2\pi radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant fonksiyonunun tanımlı olması için kosinüsün sıfırdan farklı olması gerektiği belirlenir ve kosinüs indirgeme formülü uygulanır.
cos⁡(x)≠0⇒x≠π2\cos(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} ve cos⁡(3π2−2x)=−sin⁡(2x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin(2x) olarak bulunur.
İndirgeme yaparak denklemi sadeleştirmek ve tanımsızlık oluşturan değerleri baştan dışarıda bırakmak için.
2
Elde edilen indirgenmiş ifade denklemde yerine yazılır, tanjant ve yarım açı formülleri açılarak sadeleştirilir.
sin⁡(x)cos⁡(x)⋅(−sin⁡(2x))=−sin⁡(x)⇒sin⁡(x)cos⁡(x)⋅(2sin⁡(x)cos⁡(x))=sin⁡(x)⇒2sin⁡2(x)=sin⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot (-\sin(2x)) = -\sin(x) \Rightarrow \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot (2\sin(x)\cos(x)) = \sin(x) \Rightarrow 2\sin^2(x) = \sin(x) elde edilir.
Tüm ifadeleri ortak çarpan parantezine alabilmek amacıyla tek bir fonksiyon türüne dönüştürmek için.
3
Elde edilen denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
2sin⁡2(x)−sin⁡(x)=0⇒sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=02\sin^2(x) - \sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 elde edilir.
Sadeleştirme yapıp kök kaybetmemek için tüm terimler tek tarafta toplanarak ortak çarpan parantezine alınır.
4
Çarpanların her biri sıfıra eşitlenerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökler tespit edilir.
sin⁡(x)=0⇒x=0\sin(x) = 0 \Rightarrow x = 0 veya x=πx = \pi. 2sin⁡(x)−1=0⇒sin⁡(x)=12⇒x=π62\sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} veya x=5π6x = \frac{5\pi}{6} kökleri bulunur.
Her bir çarpanı sıfır yapan açı değerlerinin verilen sınırlı aralıktaki karşılıklarını bulmak için.
5
Bulunan tüm kökler toplanır.
0+π6+5π6+π=2π0 + \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi = 2\pi elde edilir.
Denklemin farklı gerçel köklerinin toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözümünde indirgeme formülleri, yarım açı özdeşlikleri, ortak çarpan parantezine alma yöntemi ve tanım kümesi kontrolü.
Soru 384Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
2sin⁡2(x)−sin⁡(2x)−cos⁡(2x)=02\sin^2(x) - \sin(2x) - \cos(2x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin verilen aralıkta 2 farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin düzenlenmesiyle elde edilen 3tan⁡2(x)−2tan⁡(x)−1=03\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0 denkleminin kökleri tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 ve tan⁡(x)=−1/3\tan(x) = -1/3 şeklindedir. [0,π][0, \pi] aralığında tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 için bir kök, tan⁡(x)=−1/3\tan(x) = -1/3 için ikinci bölgede bir kök olmak üzere tam 2 adet kök mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik denklemdeki çift katlı açıl�� terimleri yarım açı formülleri kullanarak tek açı cinsinden yazın.
2sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−(1−2sin⁡2(x))=02\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (1 - 2\sin^2(x)) = 0 elde edilir. Düzenlendiğinde denklem 4sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1=04\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0 biçimini alır.
Farklı açılardaki trigonometrik ifadeleri ortak bir açıya indirgemek denklemin çözümünü mümkün kılar.
2
Denklemdeki sabit terim olan 11 yerine sin⁡2(x)+cos⁡2(x)\sin^2(x) + \cos^2(x) temel özdeşliğini yazın.
4sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=0⇒3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)=04\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - (\sin^2(x) + \cos^2(x)) = 0 \Rightarrow 3\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0 elde edilir.
Denklemi ikinci dereceden homojen bir forma getirerek çarpanlara ayırma yöntemini uygulamak.
3
Elde edilen homojen denklemin her iki tarafını da cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölerek denklemi tanjant cinsinden yazın (burada cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 denklemi sağlamadığı için bölme işlemi tanımlıdır).
3tan⁡2(x)−2tan⁡(x)−1=03\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (3tan⁡(x)+1)(tan⁡(x)−1)=0(3\tan(x) + 1)(\tan(x) - 1) = 0 olur.
Homojen denklemleri çözmek için en standart yöntem tanjant fonksiyonuna dönüştürmektir.
4
Elde edilen tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 ve tan⁡(x)=−13\tan(x) = -\frac{1}{3} denklemlerinin [0,π][0, \pi] aralığındaki köklerini bulun.
tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 için birinci bölgedeki kök x=π4x = \frac{\pi}{4} olur. tan⁡(x)=−13\tan(x) = -\frac{1}{3} için ikinci bölgedeki kök x=π−arctan⁡(13)x = \pi - \arctan\left(\frac{1}{3}\right) olur. Toplam kök sayısı 2'dir.
Verilen kapalı aralıkta tanjant fonksiyonunun işaretlerine göre köklerin bulunması ve sayılması.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri ve homojen trigonometrik denklemlerin çözümü

Alternatif Yöntem

Denklem 3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)=03\sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0 olarak elde edildikten sonra doğrudan (3sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡(x)−cos⁡(x))=0(3\sin(x) + \cos(x))(\sin(x) - \cos(x)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Buradan her bir parantez sıfıra eşitlenerek kök sayılarına ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 385Soru →
tan⁡x+tan⁡y=3\tan x + \tan y = 3
cot⁡x+cot⁡y=32\cot x + \cot y = \frac{3}{2}

olduğuna göre, tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3; - 3

Cevap

tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin değeri −3-3 olarak bulunur.
Kotanjant toplamı ifadesi ortak paydada yazıldığında tan⁡x+tan⁡ytan⁡x⋅tan⁡y=32\frac{\tan x + \tan y}{\tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{2} elde edilir. tan⁡x+tan⁡y=3\tan x + \tan y = 3 eşitliği kullanılarak tan⁡x⋅tan⁡y=2\tan x \cdot \tan y = 2 olarak bulunur. Tanjant toplam formülü uygulandığında ise 31−2=−3\frac{3}{1 - 2} = -3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kotanjant fonksiyonlarının tanjant fonksiyonu cinsinden eşitini yazarak paydaları eşitleyelim.
1tan⁡x+1tan⁡y=tan⁡x+tan⁡ytan⁡x⋅tan⁡y=32\frac{1}{\tan x} + \frac{1}{\tan y} = \frac{\tan x + \tan y}{\tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{2}
Kotanjant ve tanjant arasındaki cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} ilişkisini kullanarak tüm terimleri tanjant cinsinden ifade etmek için.
2
Elde edilen denklemde pay kısmındaki tan⁡x+tan⁡y\tan x + \tan y toplamı yerine 33 yazarak tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımını bulalım.
3tan⁡x⋅tan⁡y=32  ⟹  tan⁡x⋅tan⁡y=2\frac{3}{\tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{2} \implies \tan x \cdot \tan y = 2
Tanjant toplam formülünün paydasında yer alan çarpım terimini hesaplamak için.
3
Tanjant toplam formülünü uygulayarak tan⁡(x+y)\tan(x+y) değerini hesaplayalım.
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡x⋅tan⁡y=31−2=−3\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} = \frac{3}{1 - 2} = -3
Tanjant toplam formülü olan tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} eşitliğini kullanmak için.

Anahtar Kavram

Tanjant toplam formülü ve temel trigonometrik özdeşlikler
Soru 386Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−3cos⁡(2x)=3\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(2x) = \sqrt{3}
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π6\frac{5\pi}{6}

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı \frac{5\pi}{6} radyandır.
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel kökleri x=π3x = \frac{\pi}{3} ve x=π2x = \frac{\pi}{2} olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı olan 5π6\frac{5\pi}{6} değerini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemdeki çift açı formüllerini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırma formatına getirelim.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ve cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 özdeşliklerini denklemde yerine yazalım:
2sin⁡(x)cos⁡(x)−3(2cos⁡2(x)−1)=32\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3}(2\cos^2(x) - 1) = \sqrt{3}
2sin⁡(x)cos⁡(x)−23cos⁡2(x)+3=32\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos^2(x) + \sqrt{3} = \sqrt{3}
2sin⁡(x)cos⁡(x)−23cos⁡2(x)=02\sin(x)\cos(x) - 2\sqrt{3}\cos^2(x) = 0
Trigonometrik denklemleri çözmek için ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırmak en temel yöntemlerden biridir.
2
Elde edilen denklemi ortak çarpan parantezine alalım.
2cos⁡(x)(sin⁡(x)−3cos⁡(x))=02\cos(x)(\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)) = 0
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım.
1) 2cos⁡(x)=0  ⟹  cos⁡(x)=02\cos(x) = 0 \implies \cos(x) = 0. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitliği sağlayan tek değer x=π2x = \frac{\pi}{2}'dir.

2) sin⁡(x)−3cos⁡(x)=0  ⟹  sin⁡(x)=3cos⁡(x)\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \implies \sin(x) = \sqrt{3}\cos(x). Her iki tarafı cos⁡(x)\cos(x)'e bölersek (çünkü cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 durumunu ayrı inceledik) tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} elde ederiz. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitliği sağlayan tek değer x=π3x = \frac{\pi}{3}'tür.
Belirtilen [0,π][0, \pi] tanım aralığındaki tüm gerçel kökleri eksiksiz belirlemek gerekir.
4
Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplayalım.
Ko¨kler toplamı=π3+π2=2π+3π6=5π6\text{Kökler toplamı} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi + 3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Soruda bizden istenen kökler toplamı değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çarpanlara ayırma ve yarım açı formülleri yardımıyla çözülmesi
Soru 387Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve y∈(π2,π)y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5}
cos⁡y=−513\cos y = -\frac{5}{13}
olduğuna göre, cos⁡(x−y)\cos(x - y) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1665\frac{16}{65}

Cevap

On altı bölü altmış beş
Doğru seçenekte verilen ifade, kosinüs fark formülü kullanılarak ve açıların bulundukları bölgelere göre trigonometrik değerlerinin işaretleri doğru belirlenerek hesaplanmıştır. xx açısı birinci bölgede olduğu için kosinüs değeri pozitif, yy açısı ikinci bölgede olduğu için sinüs değeri pozitiftir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
xx açısının trigonometrik değerlerini belirlemek.
cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan birinci bölgededir ve tüm trigonometrik fonksiyonları pozitiftir. 3−4−53-4-5 dik üçgeninden cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5} elde edilir.
2
yy açısının trigonometrik değerlerini belirlemek.
sin⁡y=1213\sin y = \frac{12}{13}
y∈(π2,π)y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olduğundan ikinci bölgededir. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir. 5−12−135-12-13 dik üçgeninden sin⁡y=1213\sin y = \frac{12}{13} elde edilir.
3
Kosinüs fark formülünü yazıp değerleri yerine koymak.
cos⁡(x−y)=1665\cos(x - y) = \frac{16}{65}
cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y formülünde bulduğumuz değerleri yerine yazarsak: cos⁡(x−y)=(45)⋅(−513)+(35)⋅(1213)=−2065+3665=1665\cos(x - y) = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{12}{13}\right) = -\frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{16}{65} bulunur.

Anahtar Kavram

İki açının farkının kosinüsü, bu açıların kosinüslerinin çarpımı ile sinüslerinin çarpımının toplamına eşittir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 388Soru →
x∈[0,3π2]x \in \left[0, \frac{3\pi}{2}\right] olmak üzere, cos⁡(2x)+sin⁡(x)=0\cos(2x) + \sin(x) = 0 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Denkleminin verilen aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3 değil, 2'dir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü denklemin sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 eşitliğinden gelen iki kökünden biri olan x=11π6x = \frac{11\pi}{6} açısı [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığının dışında kalır. Bu nedenle aralıktaki gerçek kök sayısı 3 değil, 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
cos⁡(2x)\cos(2x) yerine yarım açı formülü olan 1−2sin⁡2(x)1 - 2\sin^2(x) ifadesini yazarak denklemi tek değişkenli hale getirin.
1−2sin⁡2(x)+sin⁡(x)=0⇒2sin⁡2(x)−sin⁡(x)−1=01 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 0 \Rightarrow 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0
İkinci dereceden bir denklem yapısı elde ederek çarpanlara ayırma yöntemini uygulayabilmek.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak sin⁡(x)\sin(x) için olası değerleri bulun.
(2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)−1)=0⇒sin⁡(x)=1 veya sin⁡(x)=−1/2(2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \text{ veya } \sin(x) = -1/2
Çarpımın sonucunun sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir.
3
sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 denkleminin verilen [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındaki kökünü bulun.
x=π2x = \frac{\pi}{2}
Verilen aralıkta sinüs değeri 1 olan tek açı π2\frac{\pi}{2} radyandır.
4
sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denkleminin [0,2π]\left[0, 2\pi\right] aralığındaki genel köklerini belirleyin ve hangilerinin verilen [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığının içinde kaldığını denetleyin.
x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6} (aralıkta) ve x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} (aralık dışında)
3π2=9π6\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} olduğundan, x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} kökü 3π2\frac{3\pi}{2} üst sınırını aşar ve bu nedenle çözüm kümesine alınmaz.
5
Aralığa dahil olan kökleri bir araya getirerek denklemin toplam kök sayısını tespit edin.
Çözüm kümesi C\c={π2,7π6}Ç = \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}\right\} olup denklemin 2 farklı gerçel kökü vardır.
Tanımlı aralık içerisindeki geçerli köklerin sayılması gerekir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde yarım açı formülleri yardımıyla ikinci dereceden denklemlere dönüşüm yapılması ve köklerin verilen sınırlı bir aralığa göre elenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 389Soru →
x+y=π4x + y = \frac{\pi}{4} ve tan⁡x\tan x, tan⁡y\tan y tanımlı olduğuna göre,
(1+tan⁡x)⋅(1+tan⁡y)(1 + \tan x) \cdot (1 + \tan y)

çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.
Verilen x+y=π4x+y = \frac{\pi}{4} eşitliğinden faydalanarak tan⁡(x+y)=1\tan(x+y) = 1 olduğu görülür. Tanjant toplam formülü olan tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y=1\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1 eşitliğinden tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y=1\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1 bağıntısı elde edilir. Sorulan çarpım ifadesi dağıtıldığında 1+tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y elde edilir ve elde edilen bağıntı burada yerine yazıldığında sonuç 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant toplam formülünü yazma
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}
Açıların toplamı ile tanjant değerleri arasındaki bağlantıyı kurmak amacıyla formül yazılır.
2
x+y=π4x+y = \frac{\pi}{4} bilgisini kullanma ve içler dışlar çarpımı yapma
tan⁡(π4)=1  ⟹  tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y=1  ⟹  tan⁡x+tan⁡y=1−tan⁡xtan⁡y  ⟹  tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1 \implies \tan x + \tan y = 1 - \tan x \tan y \implies \tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1
Tanjant terimlerinin toplamı ve çarpımı arasındaki cebirsel ilişkiyi elde etmek için.
3
İstenen çarpım ifadesini parantezleri açarak genişletme
(1+tan⁡x)(1+tan⁡y)=1+tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y(1 + \tan x)(1 + \tan y) = 1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y
Elde edilen cebirsel ilişkiyi sorulan ifade içerisinde yerine yazabilmek için.
4
Elde edilen bağıntıyı yerine yazarak sonucu bulma
1+(tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y)=1+1=21 + (\tan x + \tan y + \tan x \tan y) = 1 + 1 = 2
tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y=1\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1 eşitliği yerine koyularak sayısal değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjantı formülü: tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
Soru 390Soru →
α\alpha ve β\beta birer dar açı olmak üzere,
tan⁡α=12\tan \alpha = \frac{1}{2}
cot⁡β=3\cot \beta = 3
olduğuna göre, cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22\frac{\sqrt{2}}{2}

Cevap

Kosinüs toplam formülü kullanılarak elde edilen değer kök iki bölü ikidir.
Verilen dar açılar için sinüs ve kosinüs değerleri hesaplandıktan sonra, kosinüs toplam formülü olan cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta uygulanarak doğru değer kök iki bölü iki olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik oranlardan yararlanarak α\alpha ve β\beta açılarının diğer trigonometrik değerlerini bulmak için dik üçgenler çizilir.
α\alpha açısı için karşı kenar 11, komşu kenar 22 birim olduğundan hipotenüs 12+22=5\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} birimdir. Buradan sin⁡α=15\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} ve cos⁡α=25\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} elde edilir. β\beta açısı için cot⁡β=3\cot \beta = 3 olduğundan komşu kenar 33, karşı kenar 11 birimdir. Hipotenüs 32+12=10\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} birimdir. Buradan sin⁡β=110\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}} ve cos⁡β=310\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{10}} elde edilir.
Kosinüs toplam formülünde ihtiyaç duyulan sinüs ve kosinüs değerlerini elde etmek.
2
Kosinüs toplam formülü olan cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ifadesi yazılır.
Formül: cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
İki açının toplamının kosinüsünü açarak hesaplamak.
3
Bulunan değerler formülde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılır.
cos⁡(α+β)=(25)⋅(310)−(15)⋅(110)\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)
cos⁡(α+β)=650−150=550=552=12=22\cos(\alpha + \beta) = \frac{6}{\sqrt{50}} - \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Rasyonel ifadeleri sadeleştirerek sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının kosinüs değerini bulmak için kosinüs toplam formülü kullanılır.
Soru 391Soru →
a−b=π3a - b = \frac{\pi}{3} olmak üzere,
(cos⁡a+cos⁡b)2+(sin⁡a+sin⁡b)2(\cos a + \cos b)^2 + (\sin a + \sin b)^2

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3; 3.0

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.
Parantez kareler açılıp toplandığında sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliği ve kosinüs fark formülü olan cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b kullanılarak ifade 2+2cos⁡(a−b)2 + 2\cos(a-b) şeklinde sadeleşir. a−b=π/3a-b = \pi/3 için cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3) = 1/2 olduğundan sonuç 2+2(1/2)=32 + 2(1/2) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez kareleri a��ılır.
(cos⁡a+cos⁡b)2=cos⁡2a+2cos⁡acos⁡b+cos⁡2b(\cos a + \cos b)^2 = \cos^2 a + 2\cos a\cos b + \cos^2 b ve (sin⁡a+sin⁡b)2=sin⁡2a+2sin⁡asin⁡b+sin⁡2b(\sin a + \sin b)^2 = \sin^2 a + 2\sin a\sin b + \sin^2 b ifadeleri elde edilir.
İfadeleri sadeleştirebilmek için öncelikle parantez açılımını yapmalıyız.
2
Elde edilen ifadeler taraf tarafa toplanır ve aynı açıya sahip terimler gruplandırılır.
(cos⁡2a+sin⁡2a)+(cos⁡2b+sin⁡2b)+2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)(\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 b + \sin^2 b) + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) ifadesi elde edilir.
Trigonometrinin temel özdeşliklerini ve toplam-fark formüllerini kullanabilmek için.
3
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 temel özdeşliği uygulanır.
1+1+2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)=2+2(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)1 + 1 + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) = 2 + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) elde edilir.
Aynı açıya sahip sinüs ve kosinüs karelerinin toplamını sadeleştirmek için.
4
Kosinüs fark formülü uygulanır.
cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=cos⁡(a−b)\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos(a-b) olduğundan, ifade 2+2cos⁡(a−b)2 + 2\cos(a-b) haline gelir.
Toplam ve fark formüllerini kullanarak iki değişkenli ifadeyi tek bir açı cinsinden yazmak için.
5
Verilen a−b=π3a-b = \frac{\pi}{3} değeri yerine yazılır.
2+2cos⁡(π3)=2+2⋅12=32 + 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 bulunur.
Sonuca ulaşmak için bilinen açı değerini yerine yerleştiririz.

Anahtar Kavram

Kosinüs Fark Formülü

Alternatif Yöntem

İfadeyi karmaşık sayılar veya vektörlerin skaler çarpımı yardımıyla da modellemek mümkündür; ancak parantez kare açılımı ve fark formülü en doğrudan çözümdür.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 392Soru →
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−2sin⁡(x)+cos⁡(x)−1=0\sin(2x) - 2\sin(x) + \cos(x) - 1 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π5\pi

Cevap

Denklemin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki farklı köklerinin toplamı 5π5\pi radyandır.
Denklem yarım açı formülüyle açılıp (2sin⁡(x)+1)(cos⁡(x)−1)=0(2\sin(x) + 1)(\cos(x) - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 ve sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denklemleri elde edilir. Belirtilen [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığında cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 denklemini sağlayan değerler 00 ve 2π2\pi; sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denklemini sağlayan değerler ise 7π6\frac{7\pi}{6} ve 11π6\frac{11\pi}{6}'dır. Bu değerlerin toplamı 0+2π+7π6+11π6=5π0 + 2\pi + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 5\pi olduğundan doğru yanıt 5π5\pi değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesini açın.
Denklem 2sin⁡(x)cos⁡(x)−2sin⁡(x)+cos⁡(x)−1=02\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x) + \cos(x) - 1 = 0 şekline dönüşür.
Denklemi ortak çarpan parantezine alabilmek için tüm terimleri benzer trigonometrik ifadeler cinsinden yazmalıyız.
2
İfadeyi gruplandırarak ortak çarpan parantezine alın.
2sin⁡(x)(cos⁡(x)−1)+1(cos⁡(x)−1)=0⇒(2sin⁡(x)+1)(cos⁡(x)−1)=02\sin(x)(\cos(x) - 1) + 1(\cos(x) - 1) = 0 \Rightarrow (2\sin(x) + 1)(\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Çarpım durumuna getirilen denklemin köklerini ayrı ayrı bulmak kolaylaşır.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek temel trigonometrik denklemleri elde edin.
2sin⁡(x)+1=0⇒sin⁡(x)=−122\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\frac{1}{2} ve cos⁡(x)−1=0⇒cos⁡(x)=1\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = 1 denklemleri bulunur.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
4
Elde edilen denklemlerin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki köklerini bulun.
cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 için x=0x = 0 ve x=2πx = 2\pi; sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} için x=7π6x = \frac{7\pi}{6} ve x=11π6x = \frac{11\pi}{6} elde edilir.
Belirtilen kapalı aralıkta bu fonksiyonların aldığı değerlere karşılık gelen açıları belirlememiz gerekir.
5
Bulunan tüm farklı kökleri toplayın.
0+2π+7π6+11π6=2π+3π=5π0 + 2\pi + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 2\pi + 3\pi = 5\pi bulunur.
Soruda denklemi sağlayan tüm farklı gerçel sayıların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin yarım açı ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözülmesi, belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.
Soru 393Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
3sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=1\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 1
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen denklemin bu aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklem sadeleştirildiğinde cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} haline gelir. Bu denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümleri 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi değerleridir. Dolayısıyla kök sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafını 2'ye bölün.
32sin⁡(2x)+12cos⁡(2x)=12\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{1}{2}
Sol taraftaki ifadeyi kosinüs fark formülüne dönüştürmek amacıyla uygun katsayıları elde etmek.
2
sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} değerlerini yerlerine yazarak kosin��s fark formülünü uygulayın.
cos⁡(2x)cos⁡(π3)+sin⁡(2x)sin⁡(π3)=12  ⟹  cos⁡(2x−π3)=12\cos(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) özdeşliğinden faydalanarak ifadeyi tek bir fonksiyona indirgemek.
3
cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} denkleminin genel çözümlerini yazın.
2x−π3=π3+2kπ  ⟹  2x=2π3+2kπ  ⟹  x=π3+kπ2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi
veya
2x−π3=−π3+2kπ  ⟹  2x=2kπ  ⟹  x=kπ2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = 2k\pi \implies x = k\pi
(burada k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin çözüm kümesinin periyodik yapısını uygulamak.
4
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığına uyan kökleri seçin.
x=π3+kπx = \frac{\pi}{3} + k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=π3k = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}.
x=kπx = k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=0k = 0 \implies x = 0 ve k=1  ⟹  x=πk = 1 \implies x = \pi.
Sadece belirtilen kapalı aralığa düşen gerçel sayı çözümlerini filtrelemek.
5
Elde edilen farklı köklerin sayısını belirleyin.
Kökler: 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi olmak üzere toplam 3 tanedir.
Aralıktaki tüm farklı çözümlerin sayısını netleştirmek.

Anahtar Kavram

Lineer trigonometrik denklemlerin yardımcı açılar yardımıyla tek bir fonksiyona dönüştürülerek çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması.
Soru 394Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡2(x)−(1+3)sin⁡(x)cos⁡(x)+3cos⁡2(x)=0\sin^2(x) - (1 + \sqrt{3})\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}\cos^2(x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7π12\frac{7\pi}{12}

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı 7π12\frac{7\pi}{12} radyandır.
Denklemin her iki tarafı cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölündüğünde elde edilen tan⁡2(x)−(1+3)tan⁡(x)+3=0\tan^2(x) - (1 + \sqrt{3})\tan(x) + \sqrt{3} = 0 denklemi (tan⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\tan(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan elde edilen kökler [0,π][0, \pi] aralığında π4\frac{\pi}{4} ve π3\frac{\pi}{3} olup toplamları 7π12\frac{7\pi}{12} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemin her iki tarafı cos⁡2(x)\cos^2(x) ile bölünerek denklem tan⁡(x)\tan(x) cinsinden yazılır.
tan⁡2(x)−(1+3)tan⁡(x)+3=0\tan^2(x) - (1 + \sqrt{3})\tan(x) + \sqrt{3} = 0
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon türünden ifade ederek çarpanlara ayırmayı kolaylaştırmak.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılır.
(tan⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\tan(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0
Denklemi sağlayan tan⁡(x)\tan(x) değerlerini ayrı ayrı belirlemek.
3
Çarpanlar sıfıra eşitlenerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökler bulunur.
tan⁡(x)=1  ⟹  x1=π4\tan(x) = 1 \implies x_1 = \frac{\pi}{4}
tan⁡(x)=3  ⟹  x2=π3\tan(x) = \sqrt{3} \implies x_2 = \frac{\pi}{3}
Tanjant değerleri pozitif olduğundan, belirtilen aralıktaki I. bölge açılarını tespit etmek.
4
Bulunan köklerin toplamı hesaplanır.
x1+x2=π4+π3=7π12x_1 + x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12}
Soruda istenen toplam kök değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Homojen trigonometrik denklemleri tanjant fonksiyonuna dönüştürerek çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme
Soru 395Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere, sin⁡(3x)+cos⁡(x)=0\sin(3x) + \cos(x) = 0 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Doğru
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümü yapıldığında, bölge dönüşümü doğru uygulanarak elde edilen genel çözümlerden üç farklı gerçel kök elde edilir. Bu nedenle önermede belirtilen kök sayısının 3 olduğu bilgisi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak denklemi tek bir fonksiyon türüne dönüştürme
sin⁡(3x)=−cos⁡(x)\sin(3x) = -\cos(x) ve ardından −cos⁡(x)=sin⁡(x−π2)-\cos(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) eşitliği elde edilir.
Denklemi çözebilmek için her iki tarafı da aynı trigonometrik fonksiyon (bu durumda sinüs) cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Sinüs denkleminin genel çözüm formülünü uygulama
İki durum ortaya çıkar:
1) 3x=x−π2+2kπ3x = x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi
2) 3x=π−(x−π2)+2kπ3x = \pi - \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
sin⁡(f(x))=sin⁡(g(x))\sin(f(x)) = \sin(g(x)) denkleminin genel çözümü f(x)=g(x)+2kπf(x) = g(x) + 2k\pi veya f(x)=π−g(x)+2kπf(x) = \pi - g(x) + 2k\pi şeklindedir.
3
Birinci durum için çözümü sadeleştirme ve kökleri bulma
2x=−π2+2kπ⇒x=−π4+kπ2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi
[0,π][0, \pi] aralığı için:
k=1k = 1 için x1=3π4x_1 = \frac{3\pi}{4} bulunur.
Birinci genel çözümden elde edilen açıların verilen [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri belirlenir.
4
İkinci durum için çözümü sadeleştirme ve kökleri bulma
3x=3π2−x+2kπ⇒4x=3π2+2kπ⇒x=3π8+kπ23x = \frac{3\pi}{2} - x + 2k\pi \Rightarrow 4x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
[0,π][0, \pi] aralığı için:
k=0k = 0 için x2=3π8x_2 = \frac{3\pi}{8}
k=1k = 1 için x3=7π8x_3 = \frac{7\pi}{8} bulunur.
İkinci genel çözümden elde edilen açıların verilen [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri belirlenir.
5
Köklerin birleşimini alarak toplam kök sayısını belirleme
[0,π][0, \pi] aralığındaki çözüm kümesi C\c={3π8,3π4,7π8}Ç = \left\{\frac{3\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}\right\} olup eleman sayısı 3'tür.
Her iki durumdan gelen tüm farklı kökler birleştirilerek nihai çözüm kümesi oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin genel çözüm kümesinin bulunması ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 396Soru →
x−y=π4x - y = \frac{\pi}{4} olmak üzere, tan⁡x=3\tan x = 3 olduğuna göre, cot⁡y\cot y değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen cot y değeri 2'dir.
Verilen x−y=π4x - y = \frac{\pi}{4} eşitliğinden yararlanarak tan⁡(x−y)=1\tan(x - y) = 1 olduğu bulunur. Tanjant fark formülü açılıp tan⁡x=3\tan x = 3 değeri yerine yazıldığında tan⁡y=12\tan y = \frac{1}{2} elde edilir. Kotanjant, tanjantın çarpmaya göre tersi olduğundan cot⁡y=2\cot y = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x−y=π4x - y = \frac{\pi}{4} eşitliğinin her iki tarafının tanjantını alarak tanjant fark formülünü uygulayınız.
tan⁡(x−y)=tan⁡(π4)=1\tan(x - y) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 elde edilir.
xx ve yy açıları arasındaki ilişkiyi tanjant değerlerine aktarabilmek için.
2
Tanjant fark formülü olan tan⁡(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} ifadesinde bilinen değerleri yerine yazınız.
1=3−tan⁡y1+3tan⁡y1 = \frac{3 - \tan y}{1 + 3\tan y} denklemi elde edilir.
Verilen tan⁡x=3\tan x = 3 değerini kullanarak tan⁡y\tan y değerini bulmak için.
3
Elde edilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak tan⁡y\tan y için çözünüz.
1+3tan⁡y=3−tan⁡y  ⟹  4tan⁡y=2  ⟹  tan⁡y=121 + 3\tan y = 3 - \tan y \implies 4\tan y = 2 \implies \tan y = \frac{1}{2} bulunur.
tan⁡y\tan y değerini belirlemek için.
4
cot⁡y=1tan⁡y\cot y = \frac{1}{\tan y} özdeşliğini kullanarak cot⁡y\cot y değerini hesaplayınız.
cot⁡y=11/2=2\cot y = \frac{1}{1/2} = 2 bulunur.
Soruda istenen kotanjant değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Tanjant fark formülü ve tanjant ile kotanjant arasındaki çarpmaya göre terslik ilişkisi.
Soru 397Soru →
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
cos⁡(2x)−5sin⁡(x)−3=0\cos(2x) - 5\sin(x) - 3 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3π3\pi

Cevap

3π3\pi (Kökler toplamı 3π3\pi radyandır)
Denklemde yarım açı formülü uygulanıp düzenleme yapıldığında 2sin⁡2(x)+5sin⁡(x)+2=02\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 denklemine ulaşıl��r. Bu denklem çarpanlarına (2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)+2)=0(2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0 şeklinde ayrılır. Sinüs fonksiyonunun değer kümesi [−1,1][-1, 1] olduğundan, sin⁡(x)=−2\sin(x) = -2 eşitliğini sağlayan bir gerçel sayı yoktur. Buradan sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 elde edilir. Bu eşitliği [0,2π][0, 2\pi] aralığında sağlayan açılar 7π6\frac{7\pi}{6} ve 11π6\frac{11\pi}{6} radyan olup, bu değerlerin toplamı 3π3\pi radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanılarak denklemdeki tüm trigonometrik ifadeler aynı türden yazılır.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) dönüşümü yapılarak denklem 1−2sin⁡2(x)−5sin⁡(x)−3=01 - 2\sin^2(x) - 5\sin(x) - 3 = 0 hâline getirilir.
Denklemi çözebilmek için tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Denklem düzenlenerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna dönüştürülür ve çarpanlarına ayrılır.
2sin⁡2(x)+5sin⁡(x)+2=0  ⟹  (2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)+2)=02\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 \implies (2\sin(x) + 1)(\sin(x) + 2) = 0 elde edilir.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
3
Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek olası sin⁡(x)\sin(x) değerleri belirlenir ve fonksiyonun değer kümesi sınırlarına göre kontrol edilir.
sin⁡(x)=−2\sin(x) = -2 için reel kök yoktur (−1≤sin⁡(x)≤1-1 \leq \sin(x) \leq 1 olduğundan). sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} denkleminin ise gerçel kökleri vardır.
Sinüs fonksiyonunun değer aralığı dışındaki değerler için reel kök oluşmayacağını belirlemek gerekir.
4
[0,2π][0, 2\pi] aralığında sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} denklemini sağlayan kökler bulunur ve bu köklerin toplamı hesaplanır.
Kökler x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6} ve x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} olup, toplamları 7π6+11π6=3π\frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 3\pi radyandır.
İstenen aralıktaki tüm kökleri bulup toplam değerine ulaşmak hedeflenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 398Soru →
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−2cos⁡(x)=0\sin(2x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Verilen denklem yarım açı formülü yardımıyla çarpanlarına ayrıldığında kosinüsü sıfır veya sinüsü kök iki bölü iki olan değerler aranır. [0,π][0, \pi] aralğında bu şartları sağlayan üç farklı gerçel sayı değeri mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
2sin⁡(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)=02\sin(x)\cos(x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) yarım açı özdeşliğini denklemde yerine koyarak ortak çarpan parantezine alabilmek için.
2
Denklem ortak çarpan parantezine alınır.
cos⁡(x)(2sin⁡(x)−2)=0\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{2}) = 0
Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanların ayrı ayrı sıfıra eşitlenmesi gerekir.
3
Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
cos⁡(x)=0⇒x=π2\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} ve sin⁡(x)=22⇒x=π4\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} veya x=3π4x = \frac{3\pi}{4}
[0,π][0, \pi] aralığındaki kosinüsü sıfır ve sinüsü 22\frac{\sqrt{2}}{2} olan değerleri belirlemek için.
4
Köklerin aralıkta olup olmadığı kontrol edilir ve toplam kök sayısı bulunur.
x1=π4,x2=π2,x3=3π4x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{\pi}{2}, x_3 = \frac{3\pi}{4} olmak üzere 3 farklı gerçel kök vardır.
Bulunan tüm köklerin verilen [0,π][0, \pi] aralığına ait ve birbirinden farklı olduğunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 399Soru →
x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi) olmak üzere,
cos⁡(2x)−3sin⁡(x)−1=0\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(x) - 1 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4π4\pi

Cevap

Denklemin farklı gerçel köklerinin toplamı 4π4\pi radyandır.
Denklemde cos(2x) yerine yarım açı formülüyle 1 - 2sin²(x) yazılıp sadeleştirme yapıldığında, -sin(x)(2sin(x) + √3) = 0 elde edilir. (0, 2π) açık aralığında sin(x) = 0 eşitliğini sadece x = π değeri sağlar. sin(x) = -√3/2 eşitliğini ise sinüsün negatif olduğu üçüncü ve dördüncü bölgelerdeki x = 4π/3 ve x = 5π/3 değerleri sağlar. Bu köklerin toplamı π + 4π/3 + 5π/3 = 4π radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak denklemi tek bir fonksiyon cinsinden yazma
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) özdeşliği denklemde yerine yazıldığında 1−2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)−1=01 - 2\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) - 1 = 0 yani −2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)=0-2\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) = 0 elde edilir.
Denklemi çözebilmek için farklı trigonometrik fonksiyonları tek bir değişken cinsine indirgemek gerekir.
2
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırma
−sin⁡(x)(2sin⁡(x)+3)=0-\sin(x)(2\sin(x) + \sqrt{3}) = 0 elde edilir. Buradan denklemin kökleri için sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya sin⁡(x)=−32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olmalıdır.
Çarpım durumundaki ifadelerin sıfıra eşit olması, çarpanlardan en az birinin sıfır olmasını gerektirir.
3
Verilen (0,2π)(0, 2\pi) aralığındaki kökleri bulma
sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 için x=πx = \pi'dir (0 ve 2π2\pi açık aralığa dahil değildir).
sin⁡(x)=−32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} için ise üçüncü ve dördüncü bölgedeki açılar olan x=4π3x = \frac{4\pi}{3} ve x=5π3x = \frac{5\pi}{3} kökleri elde edilir.
Belirtilen sınırlı aralıktaki tüm olası kökleri belirlemek gerekir.
4
Köklerin toplamını hesaplama
π+4π3+5π3=π+3π=4π\pi + \frac{4\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \pi + 3\pi = 4\pi bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için tüm kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri kullanarak çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 400Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < b < c şeklindedir.
Verilen üçüncü bölge aralığında sinüs ve kosinüs fonksiyonları negatif, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise pozitiftir. Bu doğrultuda iki negatif değerin çarpımı olan üçüncü ifade pozitif; negatif ve pozitif değerlerin çarpımları olan birinci ve ikinci ifadeler ise negatif olur. Negatif ifadelerin mutlak değerleri karşılaştırıldığında, sinüsün mutlak değerinin kosinüsün mutlak değerinden büyük olmasından ötürü birinci ifade mutlak değerce daha büyük ve dolayısıyla daha küçüktür. Bu durum sıralamayı birinci ifade < ikinci ifade < üçüncü ifade biçiminde belirler.

Adım Adım Çözüm

1
Aralığa göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme.
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde ��çüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 değerlerini alır.
Birim çember üzerinde üçüncü bölgedeki noktaların apsisleri (kosinüs) ve ordinatları (sinüs) negatif; bu değerlerin oranları olan tanjant ve kotanjant ise pozitiftir.
2
Tanımlanan a, b ve c ifadelerinin işaretlerini analiz etme.
a=sin⁡x⋅tan⁡x<0a = \sin x \cdot \tan x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), b=cos⁡x⋅cot⁡x<0b = \cos x \cdot \cot x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), c=sin⁡x⋅cos⁡x>0c = \sin x \cdot \cos x > 0 (iki negatifin çarpımı) olarak bulunur.
İşaret kurallarına göre zıt işaretli sayıların çarpımı negatif, aynı işaretli sayıların çarpımı ise pozitiftir.
3
Negatif olan a ve b ifadelerini mutlak değerce karşılaştırma.
5π4<x<3π2\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} aralığında ∣sin⁡x∣>∣cos⁡x∣|\sin x| > |\cos x| olduğundan, ∣a∣=sin⁡2x∣cos⁡x∣|a| = \frac{\sin^2 x}{|\cos x|} ifadesinin payı daha büyük, paydası daha küçüktür. Dolayısıyla ∣a∣>∣b∣|a| > |b| elde edilir. Sayılar negatif olduğundan a<ba < b olur.
Negatif iki sayıdan mutlak değerce büyük olan sayı sayı doğrusunda daha solda yer alacağı için daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve büyüklüklerinin karşılaştırılması.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 20 / 21Sonraki
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 20 | Examkin