Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 19

Soru 361Soru →

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} - \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} = -\frac{6}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $\cot x - \csc x$ ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{31}{12}

3

\frac{1}{3}

-\frac{1}{3}

-3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.

Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde

2\sin x = -\frac{6}{5}

elde edilir. Buradan

\sin x = -\frac{3}{5}

bulunur.

x

açısı üçüncü bölgede yer aldığı için

\cos x = -\frac{4}{5}

olur. Bu değerler yardımıyla üçüncü bölgede

\cot x = \frac{4}{3}

ve

\csc x = -\frac{5}{3}

olarak hesaplanır. Farkları alındığında ise doğru değer olan

3

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen rasyonel ifadeleri ortak paydada buluşturarak çıkarma işlemini uygulayalım.

\frac{\cos^2 x(1 + \sin x) - \cos^2 x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = -\frac{6}{5}

Rasyonel ifadelerde çıkarma işlemi yapabilmek için paydaları eşitlemek gerekir.

2

Payı dağıtıp düzenleyelim ve paydadaki

1 - \sin^2 x

yerine temel kimlik olan

\cos^2 x

yazarak ifadeyi sadeleştirelim.

\frac{2\cos^2 x \sin x}{\cos^2 x} = 2\sin x = -\frac{6}{5} \implies \sin x = -\frac{3}{5}

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla bilinmeyen fonksiyon değerini yalnız bırakmak hedeflenmiştir.

3

x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

tanım aralığına göre açının üçüncü bölgede olduğunu belirleyip

\cos x

,

\cot x

ve

\csc x

değerlerini bulalım.

\cos x = -\frac{4}{5}, \quad \cot x = \frac{4}{3}, \quad \csc x = -\frac{5}{3}

Üçüncü bölgede sinüs, kosinüs ve kosekant fonksiyonları negatif, kotanjant fonksiyonu ise pozitif değerler alır.

4

Bulduğumuz değerleri soruda istenen

\cot x - \csc x

ifadesinde yerine yazarak hesaplayalım.

\cot x - \csc x = \frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3

İstenen cebirsel ifadenin nihai sonucuna ulaşmak amaçlanmıştır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Analizi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 362Soru →

x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos^4 x - \sin^4 x \\ b &= \tan^2 x - \cot^2 x \\ c &= \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x} \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

b < c < a sıralaması doğrudur.

Verilen aralıkta

b

ifadesi negatif bir değer alırken,

a

ve

c

ifadeleri pozitif değerler alır.

a = \cos(2x)

değeri bu aralıkta

0.5

ile

1

arasında,

c = \frac{1}{2}\sin(2x)

değeri ise

0

ile yaklaşık

0.433

arasında olduğundan doğru sıralama en küçükten büyüğe doğru

b < c < a

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

a ifadesini çarpanlarına ayırarak sadeleştiriniz.

a = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)

özdeşliği yazılır.

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

olduğundan

a = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)

elde edilir.

Dördüncü dereceden terimleri iki kare farkı özdeşliğiyle daha kolay analiz edilebilir yarım açı formülüne dönüştürmek için.

2

b ifadesinin değer aralığını belirleyiniz.

x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right)

aralığında

\tan x

artan bir fonksiyondur ve

0 < \tan x < \frac{1}{\sqrt{3}}

aralığındadır. Bu durumda

\tan^2 x < \frac{1}{3}

olur. Benzer şekilde

\cot x > \sqrt{3}

olduğundan

\cot^2 x > 3

elde edilir. Buradan

b = \tan^2 x - \cot^2 x < \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}

bulunur.

Terimin negatif bir değer aldığını ve sayısal sınırını belirlemek için.

3

c ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirip aralığını bulunuz.

1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

özdeşliği kullanıldığında;

c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)

elde edilir.

2x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right)

aralığında sinüs fonksiyonu pozitif değerler alır ve

\sin(2x) \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

olduğundan

c \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)

aralığındadır.

Rasyonel trigonometrik ifadeyi sadeleştirip değer kümesini netleştirmek için.

4

Sadeleşen ifadelerin değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapınız.

b < -2.67

,

0 < c < 0.433

ve

0.5 < a < 1

aralıkları elde edilmiştir. Bu aralıklar birbirleriyle kesişmediği için

b < c < a

sıralaması bulunur.

Her bir değişken için bulunan kesin eşitsizlik aralıklarını birleştirmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama

Soru 363Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ birimdir.

Bu üçgende,

a \cdot \cos B + b \cdot \cos A = 8

ve

\sin C = 0{}8

olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarı��apı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 5 birimdir.

Üçgende kenar uzunlukları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki incelendiğinde,

a \cos B + b \cos A = c

bağıntısı elde edilir. Buradan

c = 8

bulunur. Sinüs teoremine göre

\frac{c}{\sin C} = 2R

olduğundan,

\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 2R = 10

ve yarıçap

R = 5

birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin kenar projeksiyon ilişkisini kullanarak

c

kenarının uzunluğunu belirleyelim.

c = 8

birimdir.

Herhangi bir üçgende

a \cdot \cos B + b \cdot \cos A = c

eşitliği geçerlidir. Bu durum sinüs teoremi ve sinüs toplam formülü yardımıyla da

2R(\sin A \cos B + \sin B \cos A) = 2R \sin(A+B) = 2R \sin C = c

şeklinde ispatlanabilir.

2

Sinüs teoremini kullanarak çevrel çemberin yarıçapını hesaplayalım.

R = 5

birimdir.

Sinüs teoremine göre

\frac{c}{\sin C} = 2R

yazılabilir. Değerleri yerine koyduğumuzda

\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 10 = 2R \implies R = 5

bulunur.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Üçgende Kenar-Açı İlişkileri

Soru 364Soru →

\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) = 1

denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

\frac{5\pi}{3}

\frac{4\pi}{3}

\frac{2\pi}{3}

\pi

\frac{7\pi}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5\pi}{3}$

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı olan

\frac{5\pi}{3}

radyandır.

Verilen denklem, her iki tarafı

2

'ye bölünerek kosinüsün toplam formülü yardımıyla

\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}

haline getirilir.

x \in [0, \pi]

aralığı için

2x + \frac{\pi}{3}

açısının alabileceği ve kosinüsü

\frac{1}{2}

olan değerler

\frac{\pi}{3}

,

\frac{5\pi}{3}

ve

\frac{7\pi}{3}

olarak bulunur. Buradan

x

değerleri sırasıyla

0

,

\frac{2\pi}{3}

ve

\pi

elde edilir. Bu köklerin toplamı ise

\frac{5\pi}{3}

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemin her iki tarafı

2

'ye bölünerek

a\cos(u) + b\sin(u) = c

biçimine getirilir.

\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2}

Toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için katsayıları bilinen trigonometrik değerlerle eşleştirmek gerekir.

2

\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}

ve

\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

değerleri denklemde yerine yazılarak kosinüs toplam formülü uygulanır.

\cos(2x)\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \implies \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}

Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.

3

x \in [0, \pi]

aralığı için

2x + \frac{\pi}{3}

açısının değer aralığı belirlenir.

2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]

Belirtilen sınırlardaki köklerin doğru tespit edilebilmesi için açı aralığının güncellenmesi gerekir.

4

Kosinüsü

\frac{1}{2}

olan ve belirlenen aralıkta yer alan açılar bulunarak

x

değerleri çekilir.

2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \implies x = 0

2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3}

2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \implies x = \pi

Trigonometrik denklemin çözüm kümesindeki elemanları tespit etmek.

5

Elde edilen farklı kökler toplanır.

0 + \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}

Soruda istenen kökler toplamı değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Toplam-Fark Formülleri ile Çözümü

Alternatif Yöntem

Denklem

\cos(2x) - 1 = \sqrt{3}\sin(2x)

şeklinde düzenlenip her iki tarafın karesi alınarak da çözülebilir. Ancak kare alma işlemi yalancı kökler üretebileceğinden, bulunan değerlerin orijinal denklemde sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmelidir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 365Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{C}) > 90^\circ$ olup bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birimdir.

Üçgenin alanı ile çevrel çemberinin yarıçapı arasında,

\text{Alan}(ABC) = R^2 \cdot \sin A \cdot \sin B

bağıntısı sağlandığına g��re,

C

açısının ölçüsü kaç derecedir?

30

90

150

120

135

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

150

Üçgenin alan formülünde Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen kenar uzunlukları yerine yazıldığında

\text{Alan}(ABC) = 2R^2 \sin A \sin B \sin C

eşitliğine ulaşılır. Bu genel bağıntı soruda verilen

R^2 \sin A \sin B

ifadesine eşitlendiğinde

\sin C = \frac{1}{2}

elde edilir.

m(\widehat{C}) > 90^\circ

koşulunu sağlayan tek açı

150^\circ

olduğundan doğru cevap bu değeri içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin alan formülünü ve Sinüs Teoremi bağıntılarını yazalım.

Alan formülü:

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} a b \sin C

. Sinüs Teoremi'ne göre:

a = 2R \sin A

ve

b = 2R \sin B

.

Kenar uzunluklarını çevrel çemberin yarıçapı ve açılar cinsinden ifade etmek için.

2

Sinüs Teoremi'nden elde ettiğimiz kenar uzunluğu ifadelerini alan formülünde yerine koyalım.

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} (2R \sin A) (2R \sin B) \sin C = 2 R^2 \sin A \sin B \sin C

Alan formülünü

R

ve açıların sinüsleri cinsinden tek bir eşitlikte birleştirmek için.

3

Elde ettiğimiz genel alan bağıntısını, soruda verilen alan bağıntısıyla eşitleyelim.

2 R^2 \sin A \sin B \sin C = R^2 \sin A \sin B \implies 2 \sin C = 1 \implies \sin C = \frac{1}{2}

C

açısının sinüs değerini belirlemek için.

4

\sin C = \frac{1}{2}

denklemini

m(\widehat{C}) > 90^\circ

koşulunu göz önünde bulundurarak çözelim.

Sinüsü

\frac{1}{2}

olan açılar

30^\circ

ve

180^​​^\circ - 30^\circ = 150^\circ

derecedir. Soruda

m(\widehat{C}) > 90^\circ

(geniş açı) olduğu belirtildiğinden

C = 150^\circ

olmalıdır.

Geniş açılı üçgen tanımına uyan açıyı bulmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Üçgende Alan İlişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 366Soru →

x \in [0, 2\pi]

olmak üzere,

2\sin^2(x) + 3\cos(x) - 3 = 0

denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı

4\pi

radyandır.

Bu ifade doğru mudur?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin [0, 2π] aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı 4π radyandır.

Denklemin çözümü sonucunda kosinüs değerleri

\frac{1}{2}

ve

1

olarak elde edilir. Bu değerleri

[0, 2\pi]

kapalı aralığında sağlayan kökler sırasıyla

\left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\right\}

şeklindedir. Bu köklerin toplamı

4\pi

radyan yaptığından verilen ifade tamamen doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Trigonometrik özdeşlik kullanarak denklemi tek bir fonksiyona bağlı yazma.

\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)

yazılarak denklem

2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) - 3 = 0

şeklinde düzenlenir.

Denklemi çözebilmek için tüm terimleri aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenleme ve çarpanlarına ayırma.

-2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 1 = 0 \implies 2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0

olur. Çarpanlarına ayrıldığında

(2\cos(x) - 1)(\cos(x) - 1) = 0

elde edilir.

Kosinüs cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde edip köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulmak için.

3

Kosinüs değerlerini belirleme ve bu değerleri sağlayan kökleri bulma.

\cos(x) = \frac{1}{2} \implies x_1 = \frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{5\pi}{3}

ve

\cos(x) = 1 \implies x_3 = 0, x_4 = 2\pi

bulunur.

[0, 2\pi]

kapalı aralığındaki tüm gerçel kökleri eksiksiz tespit etmek için.

4

Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplama.

\text{Toplam} = 0 + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} + 2\pi = 4\pi

radyandır.

Soru kökündeki ifadenin doğruluğunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen trigonometrik denklemlerin çözümü ve belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.

Alternatif Yöntem

Denklemi ortak çarpan parantezine alma yöntemiyle de çözebiliriz:

2(1-\cos^2(x)) + 3\cos(x) - 3 = 0 \implies 2(1-\cos(x))(1+\cos(x)) - 3(1-\cos(x)) = 0 \implies (1-\cos(x))(2+2\cos(x)-3) = 0 \implies (1-\cos(x))(2\cos(x)-1) = 0

elde edilir ve buradan yine aynı köklere ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 367Soru →

Tanımlı olduğu

x

ve

y

değerleri için,

\frac{\cos(x + y) + \sin x \sin y}{\sin(x + y) - \sin x \cos y}

ifadesinin en sade hali nedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cot y; cot(y); \cot y; \cot(y)

Cevap

Verilen ifadenin en sade hali kotanjant y olarak bulunur.

Verilen ifadenin payındaki kosinüs toplam açılımı ile paydasındaki sinüs toplam açılımı yazılıp gerekli terimler birbirini götürdüğünde, geriye kalan

\frac{\cos x \cos y}{\cos x \sin y}

ifadesinde

\cos x

terimleri sadeleşir. Sonuç olarak kalan

\frac{\cos y}{\sin y}

oranı kotanjant tanımı gereği

\cot y

ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmında yer alan

\cos(x+y)

ifadesini toplam formülü yardımıyla açın.

\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y

elde edilir.

Kosinüs fonksiyonunun toplam formülünü uygulamak için.

2

Payda kısmında yer alan

\sin(x+y)

ifadesini toplam formülü yardımıyla açın.

\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y

elde edilir.

Sinüs fonksiyonunun toplam formülünü uygulamak için.

3

Elde edilen açılımları ana kesirli ifadede yerlerine yazarak sadeleştirmeleri yapın.

Pay kısmı:

(\cos x \cos y - \sin x \sin y) + \sin x \sin y = \cos x \cos y

olur. Payda kısmı:

(\sin x \cos y + \cos x \sin y) - \sin x \cos y = \cos x \sin y

olur.

Ters işaretli olan benzer terimleri sadeleştirerek ifadeyi basitleştirmek için.

4

Sadeleşmiş payı paydaya oranlayarak nihai sonuca ulaşın.

\frac{\cos x \cos y}{\cos x \sin y} = \frac{\cos y}{\sin y} = \cot y

elde edilir.

Pay ve paydadaki ortak

\cos x

terimlerini sadeleştirmek ve kotanjant tanımını kullanmak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs toplam formüllerinin cebirsel sadeleştirmelerde uygulanması.

Soru 368Soru →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \sin x \cdot \cos x \\ c &= \tan x + \cot x \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

c < b < a

b < c < a

b < a < c

c < a < b

a < b < c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c < b < a

Cevap

c < b < a sıralaması doğrudur.

İkinci bölgenin belirtilen aralığında

\sin x

pozitif,

\cos x

negatiftir.

\sin x

değeri mutlak değerce

\cos x

değerinden büyük olduğu için toplamları olan

a

pozitif bir değer alır. Sinüs ve kosinüsün çarpımı olan

b

negatif olup

[-1/2, 0)

aralığındadır.

c = \tan x + \cot x

ifadesi

\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b}

olarak yazıldığında, negatif basit kesir olan

b

değerinin çarpmaya göre tersi

-2

veya daha küçük olur. Bu durumda negatif olan değerlerden

c

,

b

'den daha küçüktür; pozitif olan

a

ise en büyüktür. Dolayısıyla doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip, trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz edelim.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta

\sin x > 0

ve

\cos x < 0

olur. Ayrıca

x

açısı

90^\circ

ile

135^\circ

arasında olduğundan, birim çemberde sinüs eksenine daha yakındır ve

\sin x > |\cos x|

eşitsizliği sağlanır. Buradan

a = \sin x + \cos x > 0

elde edilir.

Değişkenlerin işaretlerini ve büyüklük ilişkilerini belirlemek için.

2

b değerinin işaretini ve aralığını bulalım.

b = \sin x \cdot \cos x

ifadesi pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (

b < 0

). Yarım açı formülünü kullanarak

b = \frac{\sin(2x)}{2}

yazabiliriz.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

ise

2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olur. Bu üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu

[-1, 0)

aralığında değer aldığından,

b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right)

aralığındadır.

Çarpımın değer sınırlarını belirlemek için.

3

c değerini özdeşlikler yardımıyla düzenleyelim ve b değeri ile ilişkilendirelim.

c = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b}

olur.

b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right)

olduğundan, çarpmaya göre tersi olan

c = \frac{1}{b} \le -2

olur.

c ve b arasındaki büyüklük ilişkisini kurmak için.

4

Elde edilen tüm değer aralıklarını birleştirerek doğru sıralamayı bulalım.

c \le -2

,

-\frac{1}{2} \le b < 0

ve

a > 0

olduğundan, doğru sıralama

c < b < a

şeklindedir.

Sıralamayı nihayete erdirmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri,

\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}

özdeşliği ve basit kesirlerin çarpmaya göre tersinin sıralamadaki etkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 369Soru →

Bir kenar uzunluğu $12$ birim olan $ABCD$ karesinde, $E$ noktası $[BC]$ kenarı üzerinde ve $F$ noktası $[CD]$ kenarı üzerindedir.

$|BE| = 3\text{ birim}$
$|EC| = 9\text{ birim}$
$|DF| = 4\text{ birim}$
$|FC| = 8\text{ birim}$

olduğuna göre, $\tan(\widehat{EAF})$ değeri kaçtır?

\frac{7}{11}

\frac{11}{7}

-\frac{11}{7}

\frac{13}{7}

\frac{7}{13}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{11}{7}$

Cevap

\frac{11}{7}

Karenin köşesindeki

90^\circ

lik açıdan komşu iki dar açının toplamı çıkarıldığında hedef açı elde edilir. Komşu açıların tanjantları

\frac{1}{3}

ve

\frac{1}{4}

olarak hesaplanır. Toplam formülüyle bu iki açının toplamının tanjantı

\frac{7}{11}

bulunur. Aranan açı tümler açı olduğundan, tanjant değeri toplamın kotanjantına, yani

\frac{7}{11}

değerinin çarpmaya göre tersi olan

\frac{11}{7}

sayısına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Karenin kenar uzunluğu ve verilen parça uzunlukları yardımıyla komşu dik üçgenlerdeki tanjant değerlerini hesaplama.

\tan(\widehat{DAF}) = \frac{|DF|}{|AD|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

ve

\tan(\widehat{BAE}) = \frac{|BE|}{|AB|} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

elde edilir.

Hedef açıyı karenin

90^\circ

lik köşe açısını tamamlayan diğer iki dar açının trigonometrik oranları cinsinden ifade edebilmek.

2

\widehat{DAF} = \alpha

ve

\widehat{BAE} = \beta

değişkenlerini tanımlayıp hedef açıyı bu açılar cinsinden yazma.

\widehat{EAF} = 90^\circ - (\alpha + \beta)

olur.

Karenin köşe açısı dik açı (

90^\circ

) olduğu için

\alpha + \widehat{EAF} + \beta = 90^\circ

eşitliği geçerlidir.

3

Tanjant toplam formülü yardımıyla

\tan(\alpha + \beta)

değerini hesaplama.

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11}

bulunur.

İki komşu açının toplamının tanjant değerini elde etmek.

4

Trigonometrik indirgeme özelliğini kullanarak hedef açının tanjant değerini bulma.

\tan(\widehat{EAF}) = \tan(90^\circ - (\alpha + \beta)) = \cot(\alpha + \beta) = \frac{1}{\tan(\alpha + \beta)} = \frac{11}{7}

olarak elde edilir.

Tümler açıların tanjantı ile kotanjantı arasındaki

\tan(90^\circ - x) = \cot x

ilişkisini uygulamak.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjant formülü ve tümler açılar için trigonometrik indirgeme.

Soru 370Soru →

x \in [0, 2\pi]

olmak üzere,

\cos(2x) + 3\sin(x) - 2 = 0

denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

\frac{2\pi}{3}

\pi

\frac{4\pi}{3}

\frac{3\pi}{2}

2\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3\pi}{2}$

Cevap

Verilen denklemin farklı gerçel köklerinin toplamı

\frac{3\pi}{2}

radyandır.

Denklemin doğru çözümü için

\cos(2x)

yerine

1 - 2\sin^2(x)

yazılarak ikinci dereceden

2\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali

(2\sin(x) - 1)(\sin(x) - 1) = 0

olup kökleri

\sin(x) = 1/2

ve

\sin(x) = 1

değerleridir.

[0, 2\pi]

aralığında bu değerleri sağlayan açılar sırasıyla

\frac{\pi}{6}

,

\frac{5\pi}{6}

ve

\frac{\pi}{2}

radyandır. Köklerin toplamı ise

\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Yarım açı formülü kullanılarak

\cos(2x)

ifadesini

\sin(x)

cinsinden yazın.

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)

yazıldığında denklem

1 - 2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 2 = 0

haline gelir. Düzenlendiğinde

2\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0

elde edilir.

Denklemdeki tüm trigonometrik ifadeleri aynı değişkene dönüştürerek çözülebilir bir ikinci dereceden denklem elde etmek.

2

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırın.

2\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0 \implies (2\sin(x) - 1)(\sin(x) - 1) = 0

elde edilir. Buradan

\sin(x) = \frac{1}{2}

veya

\sin(x) = 1

bulunur.

Denklemin köklerini bulmak için çarpanların her birini sıfıra eşitlemek.

3

Belirtilen

[0, 2\pi]

aralığındaki kökleri tespit edin.

\sin(x) = \frac{1}{2}

için

x = \frac{\pi}{6}

ve

x = \frac{5\pi}{6}

bulunur.

\sin(x) = 1

için

x = \frac{\pi}{2}

bulunur.

Tanım kümesi aralığında denklemi sağlayan tüm x değerlerini bulmak.

4

Bulunan farklı gerçel köklerin toplamını hesaplayın.

\text{Toplam} = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}

radyan elde edilir.

Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri yardımıyla ikinci dereceden denklemlere dönüştürerek belirli bir aralıktaki köklerini bulma.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 371Soru →

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sin x + \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büy��ğe doğru sıralama

a < c < b

şeklindedir.

İkinci bölgenin

\left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

kısmında kosinüs negatif, sinüs ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı negatif olur. Kosinüs ile sinüsün farkı ise negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için daha da küçük bir negatif sayı verir. Tanjant ve kotanjant değerleri negatif olmakla birlikte, bu aralıkta kotanjant

-1

'den küçük, tanjant ise

-1

'den büyüktür. Dolayısıyla tanjant ile kotanjantın farkı pozitif bir değer üretir. Bu durum, kosinüs ile sinüsün farkını en küçük, tanjant ile kotanjantın farkını ise en büyük yapar. Sonuç olarak sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla kosinüs ve sinüsün farkı, sinüs ve kosinüsün toplamı, tanjant ve kotanjantın farkı şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen aralıktaki trigonometrik değerlerin işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.

x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

aralığı ikinci bölgenin ikinci yarısını temsil eder. Bu aralıkta;
-

\sin x > 0

ve

\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}

-

\cos x < 0

ve

\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}

-

\tan x \in (-1, 0)

-

\cot x < -1

olur.

Birim çember üzerindeki ikinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. Açı

\frac{3\pi}{4}

değerini aştığında kosinüsün mutlak değeri büyürken sinüsün mutlak de��eri küçülür.

2

a

,

b

ve

c

ifadelerinin işaretlerini ve büyüklüklerini analiz etmek.

-

a = \cos x - \sin x \rightarrow

(Negatif) - (Pozitif) = Negatif bir değer alır.
-

b = \tan x - \cot x \rightarrow

\tan x > -1

ve

-\cot x > 1

olduğundan toplamları pozitif bir değer alır (

b > 0

).
-

c = \sin x + \cos x \rightarrow

Bu aralıkta

|\cos x| > \sin x

olduğundan, toplamları negatif bir değer alır (

c < 0

).

İfadelerin genel işaret yapıları sıralamanın ana hatlarını belirler. Pozitif olan

b

ifadesi en büyük değere sahiptir.

3

Negatif olan

a

ve

c

değerlerini kıyaslayarak tam sıralamayı oluşturmak.

c - a = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2\sin x

elde edilir. Bu aralıkta

\sin x > 0

olduğundan

2\sin x > 0

olur, yani

c > a

bağıntısı bulunur.

İki negatif değer arasındaki farkın işareti incelenerek hangisinin daha büyük olduğu belirlenir.

c > a

ve

b > 0

olduğundan, nihai sıralama

a < c < b

olarak kesinleşir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların ikinci bölgedeki işaretleri, değer aralıkları ve mutlak değerce büyüklük kıyaslamaları.

Soru 372Soru →

Bir

ABC

üçgeninde

a

,

b

ve

c

sırasıyla

A

,

B

ve

C

açılarının karşılarındaki kenar uzunluklarıdır.
Bu üçgende,

b \cdot \cos C + c \cdot \cos B = 6\sqrt{3}

bağıntısı sağlanmaktadır.
Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı

6

birim olduğuna göre,

A

dar açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

A dar açısının ölçüsü 60 derecedir.

Üçgende kenarlar arasındaki projeksiyon bağıntısı gereği

b \cos C + c \cos B = a

eşitliği yazılabilir. Buradan

a = 6\sqrt{3}

birim elde edilir. Sinüs teoremine göre

\frac{a}{\sin A} = 2R

olduğundan, yarıçap

R = 6

için

\frac{6\sqrt{3}}{\sin A} = 12

eşitliği kurulur. Buradan

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}

elde edilir.

A

açısı dar açı olarak belirtildiği için ölçüsü 60 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

Projeksiyon formülünü kullanarak a kenar uzunluğunu belirleyin.

a = 6\sqrt{3}

Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın komşu açılarla olan kosinüs bileşenlerinin toplamına eşittir (

a = b \cos C + c \cos B

).

2

Sinüs teoreminde bilinen değerleri yerine yazarak sin A değerini elde edin.

\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}

Sinüs teoremine göre bir üçgenin kenar uzunluğu, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine bölündüğünde çevrel çemberin çapına (

2R

) eşit olur.

3

Sinüs değeri

\frac{\sqrt{3}}{2}

olan dar açının ölçüsün�� derece cinsinden bulun.

A = 60^\circ

0^\circ < A < 90^\circ

aralığında sinüsü

\frac{\sqrt{3}}{2}

olan açı 60 derecedir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Kenar Projeksiyon Bağıntıları

Soru 373Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $D \in [BC]$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor.

3|BD| = 2|DC|

m(\widehat{BAD}) = 30^\circ

m(\widehat{DAC}) = 45^\circ

olduğuna göre, $\frac{|AB|}{|AC|}$ oranı kaçtır?

\frac{\sqrt{2}}{3}

\frac{2\sqrt{2}}{3}

\frac{3\sqrt{2}}{4}

\sqrt{2}

\frac{3\sqrt{2}}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Cevap

\frac{2\sqrt{2}}{3}

Ortak kenara ve bütünler açılara sahip iki üçgende Sinüs Teoremi uygulandığında, kenarların oranı taban parçalarının oranı ile açıların sinüs değerlerinin oranının çarpımına eşittir. Verilen oranlar yerine yazıldığında sonuç

\frac{2\sqrt{2}}{3}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Komşu iki üçgende Sinüs Teoremi bağıntılarını yazma

ABD

üçgeninde:

\frac{|AB|}{\sin(\widehat{ADB})} = \frac{|BD|}{\sin 30^\circ} \implies \sin(\widehat{ADB}) = \frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|}

ADC

üçgeninde:

\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ADC})} = \frac{|DC|}{\sin 45^\circ} \implies \sin(\widehat{ADC}) = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

Her iki üçgenin ortak olan kenarı ve bütünler açılarından yararlanmak için Sinüs Teoremi uygulanır.

2

Bütünler açıların sinüs eşitliğini kullanarak bağıntıları birleştirme

\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180^\circ

olduğundan

\sin(\widehat{ADB}) = \sin(\widehat{ADC})

olur. Buradan:

\frac{|AB| \cdot \sin 30^\circ}{|BD|} = \frac{|AC| \cdot \sin 45^\circ}{|DC|}

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}

Birbirini

180^\circ

ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşittir.

3

Verilen oranları ve trigonometrik değerleri yerine yazarak sonucu bulma

3|BD| = 2|DC| \implies \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{2}{3}

değerini ve

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

,

\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}

değerlerini denklemde yerine koyalım:

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Soruda verilen sayısal veriler ve standart açıların sinüs değerleri oranlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ortak kenara sahip komşu üçgenlerde Sinüs Teoremi uygulamaları

Soru 374Soru →

x \in (0, \pi)

olmak üzere,

\sin(3x) + \sin(x) = \sin(2x)

denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin

(0, \pi)

açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.

Verilen denklem toplam-çarpım dönüşümü yardımıyla

\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0

şeklinde yazılır.

(0, \pi)

açık aralığında

\sin(2x) = 0

denklemini sağlayan tek kök

x = \frac{\pi}{2}

'dir (

0

ve

\pi

açık aralıkta değildir). Aynı aralıkta

\cos(x) = \frac{1}{2}

denklemini sağlayan tek kök

x = \frac{\pi}{3}

'tür. Bu durumda denklemin bu aralıkta toplam 2 farklı kökü bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

\sin(3x) + \sin(x)

ifadesine toplam-çarpım dönüşüm formülünü uygulayın.

2\sin(2x)\cos(x)

Trigonometrik denklemleri çarpanlarına ayırabilmek için toplam şeklindeki ifadeleri çarpım şekline dönüştürmek gerekir.

2

Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazıp tüm terimleri sol tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alın.

\sin(2x)(2\cos(x) - 1) = 0

Kök kaybını önlemek amacıyla her iki tarafı sadeleştirmek yerine ortak paranteze alma yöntemi kullanılır.

3

\sin(2x) = 0

denkleminin

(0, \pi)

açık aralığındaki köklerini inceleyin.

x = \frac{\pi}{2}

2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}

genel çözümünden,

(0, \pi)

açık aralığına sadece

x = \frac{\pi}{2}

düşer. Sınır değerleri olan

0

ve

\pi

açık aralığa dahil değildir.

4

2\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2}

denkleminin

(0, \pi)

açık aralığındaki köklerini bulun.

x = \frac{\pi}{3}

Kosinüs fonksiyonunun birinci bölgede

\frac{1}{2}

değerini aldığı açı

\frac{\pi}{3}

radyandır.

5

Bulunan farklı kök sayılarını toplayarak sonuca ulaşın.

\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right\}

kümesinden 2 farklı kök elde edilir.

Bulunan köklerin her ikisi de verilen açık aralıkta yer alan ve birbirinden farklı olan geçerli gerçel köklerdir.

Anahtar Kavram

Toplam-çarpım formülleri yardımıyla trigonometrik denklemlerin çarpanlarına ayrılması ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.

Soru 375Soru →

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

olmak üzere,

\frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \cos^2 x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\tan x - \cot x

\tan x + \cot x

\cot x - \tan x

-\tan x - \cot x

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\tan x - \cot x$

Cevap

tan x - cot x

Dördüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif, sinüs fonksiyonunun işareti negatiftir. Karekök içindeki tam kare ifadeler dışarıya mutlak değer ile çıkarılır. Buna göre,

\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| = \cos x

ve

\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| = -\sin x

olur. Bu değerler yerlerine yazıldığında ifade

\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}

haline gelir. Tanjant ve kotanjant tanımlarından faydalanılarak bu ifade

\tan x - \cot x

şeklinde sadeleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Kök içerisindeki ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla düzenleme.

1 - \sin^2 x = \cos^2 x

ve

1 - \cos^2 x = \sin^2 x

özdeşlikleri kullanılarak ifade

\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x}}

şeklinde yazılır.

Kök dışına çıkarma işlemini gerçekleştirmek için temel özdeşliklerden yararlanılır.

2

Kareköklü ifadeleri mutlak değer kullanarak kök dışına çıkarma.

\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|

ve

\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|

olduğundan ifade

\frac{\sin x}{|\cos x|} + \frac{\cos x}{|\sin x|}

haline gelir.

Çift dereceli köklerin dışına çıkan ifadelerin işaretini doğru belirlemek için mutlak değer kullanılır.

3

Verilen aralığa göre mutlak değerlerin işaretini belirleyip sadeleştirme yapma.

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

aralığı 4. bölgede olduğundan bu bölgede

\cos x > 0

ve

\sin x < 0

olur. Dolayısıyla

|\cos x| = \cos x

ve

|\sin x| = -\sin x

olarak çıkar. İfade

\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{-\sin x} = \tan x - \cot x

şeklinde sadeleşir.

4. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret kuralları uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Belirleme

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 376Soru →

x \in [0, \pi]

olmak üzere,

\cos(4x) + \sin(3x) = \cos(2x)

denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemin

[0, \pi]

aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 6'dır.

Denklemin çözümü için öncelikle kosinüs fark formülü uygulanarak ifade

\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0

biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan

\sin(3x) = 0

ve

\sin(x) = \frac{1}{2}

denklemleri elde edilir. İlk denklemin

[0, \pi]

aralığında 4 farklı kökü, ikinci denklemin ise 2 farklı kökü vardır. Bu köklerin tamamı birbirinden farklı olduğundan denklemin toplam 6 farklı gerçel kökü bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemin terimleri tek bir tarafa toplanır.

\cos(4x) - \cos(2x) + \sin(3x) = 0

Dönüşüm formüllerini uygulayabilmek için terimleri gruplandırmak gerekir.

2

\cos(4x) - \cos(2x)

ifadesine dönüşüm formülü uygulanır.

-2\sin(3x)\sin(x) + \sin(3x) = 0

\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)

özdeşliği kullanılır.

3

Ortak çarpan olan

\sin(3x)

parantezine alınır.

\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0

Çarpanlarına ayırarak her bir çarpanın sıfır olabileceği durumlar incelenir.

4

\sin(3x) = 0

denkleminin

[0, \pi]

aralığındaki kökleri bulunur.

x \in \left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\right\}

3x \in [0, 3\pi]

olduğundan

3x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi

değerlerini alabilir.

5

1 - 2\sin(x) = 0

yani

\sin(x) = \frac{1}{2}

denkleminin

[0, \pi]

aralığındaki kökleri bulunur.

x \in \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}

[0, \pi]

aralığında sinüsü

\frac{1}{2}

olan açılar

\frac{\pi}{6}

ve

\frac{5\pi}{6}

'dır.

6

Tüm farklı kökler birleştirilerek toplam kök sayısı hesaplanır.

x \in \left\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\right\}

olmak üzere 6 farklı kök vardır.

Bulunan tüm kökler birbirinden farklıdır ve verilen aralığın içindedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri dönüşüm formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.

Soru 377Soru →

\arctan(2) + \arctan(3)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{4}

\frac{3\pi}{4}

\frac{5\pi}{4}

\frac{7\pi}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3\pi}{4}$

Cevap

Üç pi bölü dört ifadesi doğru cevaptır.

Ters tanjant fonksiyonlarının tanımından dolayı elde edilen dar açılar sırasıyla pi bölü dörtten büyüktür. Bu iki açının toplamı ikinci bölgede bulunmalıdır. Tanjant toplam formülü kullanılarak toplamın tanjant değeri eksi bir olarak hesaplanır. İkinci bölgede tanjantı eksi bir olan tek açı üç pi bölü dört olduğundan doğru yanıt bu değerdir.

Adım Adım Çözüm

1

Ters trigonometrik ifadeleri değişkenlere atayarak tanjant değerlerini bulalım.

x = \arctan(2) \Rightarrow \tan x = 2

y = \arctan(3) \Rightarrow \tan y = 3

elde edilir. Bizden istenen değer

x + y

toplamıdır.

Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlem yapabilmek için bilinen trigonometrik oranlara dönüştürmek gerekir.

2

Açıların hangi bölgede yer aldığını belirleyerek toplam açının sınırlarını bulalım.

2 > 1 \Rightarrow \arctan(2) > \frac{\pi}{4}

3 > 1 \Rightarrow \arctan(3) > \frac{\pi}{4}

olduğundan,

x + y > \frac{\pi}{2}

olur. Ayrıca

x < \frac{\pi}{2}

ve

y < \frac{\pi}{2}

olduğundan,

x + y < \pi

elde edilir. Yani

x + y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

aralığındadır (2. bölge).

Ters fonksiyonların görüntü kümeleri sınırlı olduğundan, toplam açının hangi bölgeye düştüğünü bilmek doğru açıyı seçmek için kritiktir.

3

Tanjant toplam formülünü uygulayarak toplamın tanjant değerini hesaplayalım.

\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}

\tan(x + y) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1

bulunur.

Toplam açının tanjant değerini elde etmek için toplam formülünden yararlanırız.

4

Bulunan tanjant değerine ve bölgeye uygun olan açıyı tespit edelim.

Tanjantı

-1

olan ve ikinci bölgede

\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

yer alan açı

x + y = \frac{3\pi}{4}

radyandır.

Tanjant değeri ve açı bölgesi birleştirilerek tekil çözüme ulaşılır.

Anahtar Kavram

Toplam ve Fark Formülleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 378Soru →

x \in [0, 2\pi)

olmak üzere,

\tan(x)\cdot\sin(x) - \sqrt{3}\sin(x) - \tan(x) + \sqrt{3} = 0

denklemi veriliyor.

Buna göre, bu denklemin $[0, 2\pi)$ aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

\frac{13\pi}{6}

\frac{5\pi}{3}

\frac{7\pi}{3}

\frac{\pi}{2}

\frac{17\pi}{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5\pi}{3}$

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı

\frac{5\pi}{3}

radyandır.

Denklem çarpanlarına ayrıldığında

(\sin(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0

elde edilir. Ancak

\tan(x)

fonksiyonu

x = \frac{\pi}{2}

değerinde tanımlı olmadığından,

\sin(x) = 1

eşitliğinden gelen

x = \frac{\pi}{2}

kökü elenir. Sadece

\tan(x) = \sqrt{3}

eşitliğini sağlayan

x = \frac{\pi}{3}

ve

x = \frac{4\pi}{3}

kökleri geçerlidir. Bu köklerin toplamı

\frac{5\pi}{3}

radyandır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen denklemde ortak terimleri gruplandırarak çarpanlara ayırın.

\sin(x)(\tan(x) - \sqrt{3}) - (\tan(x) - \sqrt{3}) = 0

ifadesinden

(\sin(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0

elde edilir.

Çarpım halindeki ifadelerin köklerini bulmak için her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyebilmek amacıyla gruplandırma yapılır.

2

Çarpanları sıfıra eşitleyerek olası kök adaylarını belirleyin.

\sin(x) = 1

veya

\tan(x) = \sqrt{3}

denklem parçaları elde edilir.

İki ifadenin çarpımının sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

3

Denklemdeki fonksiyonların tanım kümesini kontrol edin.

\tan(x)

fonksiyonu

x = \frac{\pi}{2}

değerinde tanımsızdır. Bu nedenle

\sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}

değeri çözüm kümesine alınamaz.

Orijinal denklemde yer alan tanjant fonksiyonunun tanımlı olmadığı değerler denklemi de tanımsız yapacağından kök olamaz.

4

\tan(x) = \sqrt{3}

denkleminin verilen aralıktaki köklerini bulun.

[0, 2\pi)

aralığında tanjantı

\sqrt{3}

olan açılar

x_1 = \frac{\pi}{3}

ve

x_2 = \frac{4\pi}{3}

olarak bulunur.

Tanjant fonksiyonu birinci ve üçüncü bölgelerde pozitif değer alır.

5

Bulunan geçerli kökleri toplayın.

\text{Toplam} = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}

radyandır.

Soruda bizden istenen geçerli tüm farklı gerçel köklerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde çarpanlara ayırma yöntemi ve tanım kümesi sınırlamalarına dikkat edilmesi.

Alternatif Yöntem

Denklemdeki

\tan(x)

ifadesi

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

olarak yazılıp payda eşitlenirse,

\frac{\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x)\cos(x) - \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x)}{\cos(x)} = 0

denklemi elde edilir. Pay kısmındaki ifade

\sin(x)(\sin(x) - 1) - \sqrt{3}\cos(x)(\sin(x) - 1) = 0 \implies (\sin(x) - 1)(\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydanın sıfır olamayacağı (yani

\cos(x) \neq 0

koşulu) göz önünde bulundurulduğunda,

\sin(x) = 1

için

\cos(x) = 0

olacağından bu kök elenir. Diğer taraftan

\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \implies \sin(x) = \sqrt{3}\cos(x) \implies \tan(x) = \sqrt{3}

elde edilerek aynı köklere ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 379Soru →

Tanımlı olduğu

x

ve

y

gerçel sayıları için,

\frac{\sin(x - y) \cdot \cos y + \cos(x - y) \cdot \sin y}{\cos(x + y) \cdot \cos y + \sin(x + y) \cdot \sin y}

ifadesinin en sade şekli nedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan(x); tan x; \tan(x); \tan x

Cevap

\tan x

Verilen rasyonel ifadenin payı sinüs toplam formülüyle

\sin(x-y+y) = \sin x

olarak, paydası ise kosinüs fark formülüyle

\cos(x+y-y) = \cos x

olarak sadeleşir. Bu iki değerin birbirine oranı olan

\frac{\sin x}{\cos x}

ifadesi

\tan x

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Pay kısmındaki ifadeyi sinüs toplam formülü kullanarak sadeleştirmek.

\sin(x - y + y) = \sin x

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

toplam formülünde

A = x - y

ve

B = y

alındığında paydaki ifade elde edilir.

2

Payda kısmındaki ifadeyi kosinüs fark formülü kullanarak sadeleştirmek.

\cos(x + y - y) = \cos x

\cos(C - D) = \cos C \cos D + \sin C \sin D

fark formülünde

C = x + y

ve

D = y

alındığında paydadaki ifade elde edilir.

3

Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade hali bulmak.

\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

temel trigonometrik özdeşliği kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Sinüs toplam ve kosinüs fark formülleri kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.

Soru 380Soru →

a

,

b

ve

c

dar açılar olmak üzere,

\tan a = \frac{1}{2}

\tan b = \frac{1}{5}

\tan c = \frac{1}{8}

olduğuna göre,

a + b + c

toplamı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

a + b + c

toplamı

45

derecedir.

Tanjant toplam formülü ardışık olarak iki kez uygulandığında

\tan(a+b+c) = 1

elde edilir. Açılar dar açı olduğundan, toplamları

135^\circ

değerinden küçük olmalıdır. Tanjantı

1

olan ve bu sınırı aşmayan tek pozitif açı

45^\circ

olduğundan doğru yanıt

45

derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

a

ve

b

açılarının toplamının tanjant değerini hesaplamak

\tan(a+b) = \frac{7}{9}

Toplam formülü olan

\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}

ifadesinde verilen değerleri yerine yazmak

2

a + b + c

toplamının tanjant değerini hesaplamak

\tan(a+b+c) = 1

(a+b)

ve

c

açılarının toplamına tanjant toplam formülünü uygulamak

3

Dar açı sınırlarını kullanarak toplam açının değerini derece cinsinden belirlemek

a + b + c = 45^\circ

0 < a+b+c < 135^\circ

aralığında tanjantı

1

olan açıyı bulmak

Anahtar Kavram

Tanjant toplam formülü ve dar açılarda trigonometrik oranların yorumlanması

Trigonometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar