Examkin

Trigonometri

420 soru

Tüm türler420Çoktan seçmeli209Doğru / Yanlış17Sayısal121Sıralama56Kısa cevap17
Soru 401Soru →
π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=cos⁡x−cot⁡xc=sin⁡x−tan⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \tan x \end{aligned}

sayılarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

b < c < a sıralaması doğrudur.
Doğru sıralama olan b < c < a ilişkisi, üçüncü bölgede kosinüsün sinüsten daha küçük negatif değer alması, kotanjantın tanjanttan büyük pozitif değer alması ve pozitif-negatif değerlerin kendi aralarında kıyaslanmasıyla kesin olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleyip fonksiyonların işaret ve büyüklüklerini analiz etme
π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} aralığı birim çemberde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede:
- sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0
- tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0
- Açı 5π4\frac{5\pi}{4} değerinden küçük oldu��undan, bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Dolayısıyla cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ilişkisi vardır.
- Yine bu aralıkta tanjant değeri 11'den küçük, kotanjant değeri ise 11'den büyüktür: 0<tan⁡x<1<cot⁡x0 < \tan x < 1 < \cot x.
Sıralama yapılacak ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizine ihtiyaç duyulur.
2
a, b ve c sayılarının işaretlerini belirleme
- a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x: sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan (örneğin −0.5>−0.866-0.5 > -0.866), bu fark pozitif bir değer üretir (a>0a > 0).
- b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (b<0b < 0).
- c=sin⁡x−tan⁡xc = \sin x - \tan x: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (c<0c < 0).
İfadelerin pozitiflik ve negatiflik durumları belirlenerek sıralamada genel bir taslak oluşturulur.
3
Negatif olan b ve c değerlerini kendi aralarında kıyaslama
bb ve cc değerlerinin farkına bakalım: b−c=(cos⁡x−cot⁡x)−(sin⁡x−tan⁡x)=(cos⁡x−sin⁡x)+(tan⁡x−cot⁡x)b - c = (\cos x - \cot x) - (\sin x - \tan x) = (\cos x - \sin x) + (\tan x - \cot x)
- cos⁡x<sin⁡x  ⟹  cos⁡x−sin⁡x<0\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0 (negatif)
- tan⁡x<cot⁡x  ⟹  tan⁡x−cot⁡x<0\tan x < \cot x \implies \tan x - \cot x < 0 (negatif)
İki negatif değerin toplamı da negatif olacağından b−c<0b - c < 0 yani b<cb < c elde edilir.
Her ikisi de negatif olan iki değerin hangisinin daha küçük olduğunu bulmak için farkları analiz edilir.
4
Genel sıralamayı birleştirme
b<c<0<ab < c < 0 < a olduğundan doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Elde edilen tüm büyüklük ilişkileri bir araya getirilerek nihai sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İşaretleri ve Sıralaması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 402Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa ve bb birim, bu kenarların karşılarındaki açılar sırasıyla AA ve BB, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ise RR birimdir.

Bu üçgende,
a2−b2=12a^2 - b^2 = 12
sin⁡2A−sin⁡2B=316\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{3}{16}

olduğuna göre, çevrel çemberin yarıçapı RR kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir.
Çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir. Çünkü Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen karesel ilişkide kenarların kareleri farkı ile sinüslerin kareleri farkı oranlandığında yarıçapın karesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs teoremini kullanarak kenar uzunlukları ile açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi yazalım.
a=2Rsin⁡Aa = 2R \sin A ve b=2Rsin⁡Bb = 2R \sin B
Sinüs teoremine göre bir üçgende her kenar uzunluğu, karşı açısının sinüs değeri ve çevrel çemberin çapı (2R2R) ile orantılıdir.
2
Elde ettiğimiz eşitlikleri sin⁡A\sin A ve sin⁡B\sin B ifadelerini yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.
sin⁡A=a2R\sin A = \frac{a}{2R} ve sin⁡B=b2R\sin B = \frac{b}{2R}
Soruda verilen sinüslü ifadelerin yerine kenar uzunluklarını yazabilmek için.
3
Bulduğumuz ifadelerin karesini alarak sin⁡2A−sin⁡2B\sin^2 A - \sin^2 B denkleminde yerine yazalım.
sin⁡2A−sin⁡2B=a24R2−b24R2=a2−b24R2=316\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{a^2}{4R^2} - \frac{b^2}{4R^2} = \frac{a^2 - b^2}{4R^2} = \frac{3}{16}
Verilen iki denklem arasında ilişki kurarak RR değerini bulabilmek için.
4
a2−b2=12a^2 - b^2 = 12 bilgisini denklemde yerine koyup RR değerini hesaplayalım.
124R2=316  ⟹  3R2=316  ⟹  R2=16  ⟹  R=4\frac{12}{4R^2} = \frac{3}{16} \implies \frac{3}{R^2} = \frac{3}{16} \implies R^2 = 16 \implies R = 4
Bilinmeyen RR değerini yalnız bırakıp çözüme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin çapına (2R2R) eşittir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 403Soru →
a=sin⁡160∘b=cos⁡250∘c=tan⁡310∘d=cot⁡70∘\begin{aligned} a &= \sin 160^\circ \\ b &= \cos 250^\circ \\ c &= \tan 310^\circ \\ d &= \cot 70^\circ \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb, cc ve dd değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<b<a<dc < b < a < d

Cevap

c<b<a<dc < b < a < d
Verilen ifadeler dar açıya indirgendiğinde a=sin⁡20∘a = \sin 20^\circ, b=−sin⁡20∘b = -\sin 20^\circ, c=−tan⁡50∘c = -\tan 50^\circ ve d=tan⁡20∘d = \tan 20^\circ değerleri elde edilir. Negatif değerlerden −tan⁡50∘-\tan 50^\circ değeri −1-1'den küçükken, −sin⁡20∘-\sin 20^\circ değeri −1-1 ile 00 arasındadır; bu nedenle en küçük değer −tan⁡50∘-\tan 50^\circ (cc), ardından −sin⁡20∘-\sin 20^\circ (bb) gelir. Pozitif değerlerden ise birinci bölgede aynı açının tanjantı sinüsünden büyük olduğu için sin⁡20∘\sin 20^\circ (aa) değeri tan⁡20∘\tan 20^\circ (dd) değerinden küçüktür. Bu analiz birleştirildiğinde doğru sıralamanın c<b<a<dc < b < a < d olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeleri dar açılar cinsinden ve uygun işaretlerle ifade etmek.
a=sin⁡20∘a = \sin 20^\circ, b=−sin⁡20∘b = -\sin 20^\circ, c=−tan⁡50∘c = -\tan 50^\circ ve d=tan⁡20∘d = \tan 20^\circ
İfadeleri kolayca karşılaştırabilmek amacıyla hepsini birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazmak gerekir.
2
Elde edilen değerleri pozitif ve negatif olarak gruplandırıp kendi aralarında sıralamak.
Pozitifler: d>a>0d > a > 0, Negatifler: c<b<0c < b < 0
Birinci bölgede 0<α<90∘0 < \alpha < 90^\circ için tan⁡α>sin⁡α\tan \alpha > \sin \alpha olduğundan tan⁡20∘>sin⁡20∘\tan 20^\circ > \sin 20^\circ olur. Ayrıca tan⁡50∘>1\tan 50^\circ > 1 olduğundan −tan⁡50∘<−1-\tan 50^\circ < -1 ve −1<−sin⁡20∘<0-1 < -\sin 20^\circ < 0 olur.
3
Grupları birleştirerek nihai sıralamayı yazmak.
c<b<a<dc < b < a < d
Negatif değerler pozitif değerlerden her zaman küçük olduğundan iki grubun sıralaması birleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açıya indirgenerek sıralanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 404Soru →
a=sin⁡(19π12)b=cos⁡(11π10)c=tan⁡(13π9)d=cot⁡(23π18)\begin{aligned} a &= \sin\left(\frac{19\pi}{12}\right) \\ b &= \cos\left(\frac{11\pi}{10}\right) \\ c &= \tan\left(\frac{13\pi}{9}\right) \\ d &= \cot\left(\frac{23\pi}{18}\right) \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb, cc ve dd değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı a<b<d<ca < b < d < c şeklindedir.
Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde negatif olanlar a=−cos⁡(15∘)a = -\cos(15^\circ) ve b=−cos⁡(18∘)b = -\cos(18^\circ) olarak elde edilir. Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan cos⁡(15∘)>cos⁡(18∘)\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ) olur. Buradan negatif halleri kıyaslandığında a<ba < b sonucu çıkar. Pozitif olan ifadeler ise d=tan⁡(40∘)d = \tan(40^\circ) ve c=tan⁡(80∘)c = \tan(80^\circ) şeklindedir. Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artan olduğundan ve tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1 referans alındığında d<1<cd < 1 < c bulunur. Negatif değerler pozitiflerden daima küçük olduğundan sıralama a<b<d<ca < b < d < c olarak netleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyiniz.
19π12\frac{19\pi}{12} açısı 4. bölgededir, sinüs değeri negatiftir (a<0a < 0). 11π10\frac{11\pi}{10} açısı 3. bölgededir, kosinüs değeri negatiftir (b<0b < 0). 13π9\frac{13\pi}{9} açısı 3. bölgededir, tanjant değeri pozitiftir (c>0c > 0). 23π18\frac{23\pi}{18} açısı 3. bölgededir, kotanjant değeri pozitiftir (d>0d > 0).
Sıralama yaparken negatif ve pozitif değerleri kendi aralarında gruplandırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazınız.
a=sin⁡(3π2+π12)=−cos⁡(π12)=−cos⁡(15∘)a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\cos(15^\circ),
b=cos⁡(π+π10)=−cos⁡(π10)=−cos⁡(18∘)b = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{10}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = -\cos(18^\circ),
c=tan⁡(π+4π9)=tan⁡(4π9)=tan⁡(80∘)c = \tan\left(\pi + \frac{4\pi}{9}\right) = \tan\left(\frac{4\pi}{9}\right) = \tan(80^\circ),
d=cot⁡(π+5π18)=cot⁡(5π18)=cot⁡(50∘)=tan⁡(40∘)d = \cot\left(\pi + \frac{5\pi}{18}\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{18}\right) = \cot(50^\circ) = \tan(40^\circ).
Tüm ifadeleri birinci bölgeye taşımak, büyüklük kıyaslaması yapmayı standartlaştırır.
3
Elde edilen dar açılı değerleri negatif ve pozitif gruplar halinde kendi aralarında sıralayınız.
Birinci bölgede açılar büyüdükçe kosinüs azaldığından cos⁡(15∘)>cos⁡(18∘)\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ) olur. Eksi ile çarptığımızda −cos⁡(15∘)<−cos⁡(18∘)-\cos(15^\circ) < -\cos(18^\circ) elde edilir, yani a<ba < b'dir.
Pozitif değerler için, birinci bölgede açılar büyüdükçe tanjant değeri artar. tan⁡(40∘)<tan⁡(45∘)=1<tan⁡(80∘)\tan(40^\circ) < \tan(45^\circ) = 1 < \tan(80^\circ) olduğundan d<1<cd < 1 < c elde edilir.
Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanının daha küçük olduğu gerçeği ile birinci bölgedeki artan/azalan fonksiyon özelliklerini birleştirerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve açıların indirgenerek birinci bölgede sıralanması
Soru 405Soru →

Bir çemberin üzerine sırasıyla AA, BB, CC ve DD noktaları işaretlenerek bir ABCDABCD kirişler dörtgeni oluşturuluyor. Bu dörtgende,
* ∣AB∣=6 cm|AB| = 6\text{ cm}
* ∣CD∣=8 cm|CD| = 8\text{ cm}
* m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha
* m(CAD^)=βm(\widehat{CAD}) = \beta

α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Çemberin yar��çapı 55 cm'dir.
Çember üzerine çizilen kirişler dörtgeninde ABCABC ve ACDACD üçgenlerinin çevrel çemberi aynı çemberdir. Sinüs Teoremi yardımıyla sin⁡α=3R\sin \alpha = \frac{3}{R} ve sin⁡β=4R\sin \beta = \frac{4}{R} bağıntıları kurulur. α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ olduğundan sin⁡β=cos⁡α=4R\sin \beta = \cos \alpha = \frac{4}{R} yazılabilir. sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 temel özdeşliği kullanıldığında 9R2+16R2=1  ⟹  R=5\frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies R = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin yarıçapını RR kabul ederek, ABCABC ve ACDACD üçgenlerinde Sinüs Teoremi'ni uygulayalım.
ABCABC ��çgeninde ABAB kenarı için: ∣AB∣sin⁡α=2R  ⟹  sin⁡α=62R=3R\frac{|AB|}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{6}{2R} = \frac{3}{R}
ACDACD üçgeninde CDCD kenarı için: ∣CD∣sin⁡β=2R  ⟹  sin⁡β=82R=4R\frac{|CD|}{\sin \beta} = 2R \implies \sin \beta = \frac{8}{2R} = \frac{4}{R} elde edilir.
Sinüs Teoremi gereği, bir üçgenin kenar uzunluğunun karşı açısının sinüsüne oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (2R2R) eşittir.
2
α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ bilgisini kullanarak sin⁡β\sin \beta ifadesini α\alpha açısının kosinüsü cinsinden yazalım.
sin⁡β=sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha olur. Buradan cos⁡α=4R\cos \alpha = \frac{4}{R} elde edilir.
Toplamları 90∘90^\circ olan iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
3
sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 temel trigonometrik özdeşliğini uygulayarak RR değerini bulalım.
(3R)2+(4R)2=1  ⟹  9R2+16R2=1  ⟹  25R2=1  ⟹  R2=25  ⟹  R=5\left(\frac{3}{R}\right)^2 + \left(\frac{4}{R}\right)^2 = 1 \implies \frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies \frac{25}{R^2} = 1 \implies R^2 = 25 \implies R = 5 cm bulunur.
Aynı açının sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı daima 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi
Soru 406Soru →
π2<x<π\frac{\pi}{2} < x < \pi

olmak üzere,

a=cos⁡xb=cot⁡xc=csc⁡x\begin{aligned} a &= \cos x \\ b &= \cot x \\ c &= \csc x \end{aligned}

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<a<cb < a < c

Cevap

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.
İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs ve kotanjant negatiftir. 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 aralığında olduğundan, kosekant değeri olan 1/sin⁡x1/\sin x daima 1'den büyüktür ve pozitiftir, yani en büyük terimdir. Kosinüs ve kotanjant negatif değerlerdir. Negatif olan kosinüs değeri, 0 ile 1 arasındaki pozitif sinüs değerine bölündüğünde daha da negatifleşerek küçülür ve kotanjant değerini verir. Bu nedenle kotanjant kosinüsten daha küçüktür. Sıralama küçükten büyüğe doğru kotanjant, kosinüs, kosekant şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleme ve temel trigonometrik oranların işaretlerini analiz etme.
x∈(π2,π)x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) olduğundan, açı koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 değerlerini alır.
Sıralama işlemine başlamadan önce değerlerin pozitiflik-negatiflik durumunu belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.
2
Kosekant (cc) değerinin işaretini ve değer aralığ��nı belirleme.
c=csc⁡x=1sin⁡xc = \csc x = \frac{1}{\sin x} olarak tanımlıdır. İkinci bölgede 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 aralığında değer aldığından, bu değerin çarpmaya göre tersi olan kosekant değeri c>1c > 1 olur. Pozitif olan tek terim cc olduğundan en büyük değerdir.
Kosekantın ikinci bölgedeki değer aralığını bularak en büyük elemanı tespit etmek için.
3
Kosinüs (aa) ve kotanjant (bb) değerlerini karşılaştırma.
b=cot⁡x=cos⁡xsin⁡xb = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} şeklindedir. İkinci bölgede 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 olduğundan, 1sin⁡x>1\frac{1}{\sin x} > 1 eşitsizliği geçerlidir. Negatif bir sayı olan cos⁡x\cos x ile bu eşitsizliğin her iki tarafı çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir: cos⁡xsin⁡x<cos⁡x  ⟹  b<a\frac{\cos x}{\sin x} < \cos x \implies b < a elde edilir. Sonuç olarak b<a<cb < a < c sıralaması bulunur.
Negatif iki değerin mutlak değerce büyüklükleri ile negatif sıralama kurallarını birleştirerek nihai sıralamayı elde etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret ve değer aralıkları kullanılarak sıralanması.
Soru 407Soru →

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birim, bu kenarların karşılarındaki açılarının ölçüleri ise sırasıyla AA, BB ve CC'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olmak üzere,

a+bsin⁡A+sin⁡B=R2−3\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = R^2 - 3

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin alanı kaç π\pi birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Çevrel çemberin alanı 9π9\pi birimkaredir, dolayısıyla aranan değer 9'dur.
Sinüs Teoremi gereği asin⁡A=bsin⁡B=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R eşitliği mevcuttur. Orantı özelliklerine göre payların toplamının paydaların toplamına oranı da bu sabit orana (2R2R) eşit olacaktır. Buradan denklem 2R=R2−32R = R^2 - 3 biçimine dönüşür. İkinci dereceden denklemin pozitif kökü R=3R = 3 olarak elde edilir. Çevrel çemberin alanı πR2\pi R^2 formülünden 9π9\pi bulunur, bu nedenle cevap 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi bağıntılarını ifade etmek
asin⁡A=bsin⁡B=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R
Üçgenin kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri ve çevrel çemberin yarıçapı arasındaki temel ilişkiyi kurmak.
2
Orantı toplama özelliğini uygulamak
a+bsin⁡A+sin⁡B=2R\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = 2R
Verilen denklemdeki pay ve payda toplamını içeren kesirli ifadeyi tek bir terime indirgemek.
3
Elde edilen terimi denklemde yerine yazarak çözmek
2R=R2−3  ⟹  R2−2R−3=0  ⟹  (R−3)(R+1)=0  ⟹  R=32R = R^2 - 3 \implies R^2 - 2R - 3 = 0 \implies (R - 3)(R + 1) = 0 \implies R = 3
Çevrel çemberin yarıçapını bulmak (yarıçap uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kök olan 3 alınır).
4
Dairenin alan formülünü uygulamak
Alan = πR2=π⋅32=9π\pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi
Çevrel ��emberin alanını hesaplayarak soruda istenen katsayıyı bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi oranının çevrel çemberin çapına eşit olması ve orantı özelliklerinin uygulanması.
Soru 408Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=cos⁡x−cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \cos x - \cot x \end{aligned}
ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Verilen aralık ikinci bölgede yer aldığından tanjant değeri kotanjant değerinden daha küçüktür, bu yüzden farkları olan ikinci ifade negatiftir. Üçüncü ifade çarpanlarına ayrıldığında iki negatif ifadenin çarpımı olarak pozitif fakat 1'den küçük bir değer verir. Birinci ifade ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için pozitif ve 1'den büyüktür. Bu durumda en küçük ikinci ifade, ardından üçüncü ifade ve en büyük birinci ifade şeklinde sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralığa göre temel fonksiyonların işaretlerini ve sınır değerlerini belirleyin.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 olur.
Sıralama yapılacak ifadelerdeki bileşenlerin sınırlarını saptamak için.
2
b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x ifadesinin işaretini belirleyin.
tan⁡x<−1\tan x < -1 ve cot⁡x>−1\cot x > -1 olduğundan tan⁡x<cot⁡x\tan x < \cot x yazılır. Dolayısıyla b=tan⁡x−cot⁡x<0b = \tan x - \cot x < 0 bulunur.
Küçük değerden büyük değer çıkarıldığında sonucun negatif olduğunu belirlemek için.
3
c=cos⁡x−cot⁡xc = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını çarpanlara ayırma yöntemiyle analiz edin.
c=cos⁡x−cos⁡xsin⁡x=cos⁡x(1−1sin⁡x)c = \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \left(1 - \frac{1}{\sin x}\right) olarak yazılır. sin⁡x∈(22,1)\sin x \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olduğundan 1sin⁡x>1\frac{1}{\sin x} > 1 ve 1−1sin⁡x<01 - \frac{1}{\sin x} < 0 olur. Negatif olan cos⁡x\cos x ile bu negatif ifadenin çarpımı pozitif sonuç verir: c>0c > 0. Çarpanların sınırlarından c<2−22≈0.293c < \frac{2-\sqrt{2}}{2} \approx 0.293 olduğu görülür.
cc değerinin işaretini ve üst sınırını belirlemek için.
4
a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x ifadesini analiz edip cc değeriyle karşılaştırın.
a=sin⁡x−cos⁡x=2sin⁡(x−π4)a = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) şeklinde yazılabilir. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) için (x−π4)∈(π4,π2)\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olur. Bu aralıkta sinüs değeri 22\frac{\sqrt{2}}{2}'den büyük olduğundan a>1a > 1 elde edilir. Bu durumda b<0<c<1<ab < 0 < c < 1 < a sıralaması kesinleşir.
Pozitif olan iki değerden hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 409Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)
olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama c, a, b şeklindedir.
Verilen aralıkta terimlerin değer aralıkları sırasıyla c∈(0,0,5)c \in (0, 0,5), a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) ve b∈(2,∞)b \in (2, \infty) olarak belirlenir. Bu aralıkların karşılaştırılması sonucunda doğru sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla cc, aa ve bb şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
cc ifadesinin değer aralığını bulmak için yarım açı formülü kullanılır.
c=sin⁡2x2c = \frac{\sin 2x}{2} olur. x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) ise 2x∈(π2,π)2x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olur. İkinci bölgede sinüs pozitif olduğundan 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 aralığındadır. Buradan 0<c<0,50 < c < 0,5 elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyona dönüştürmek sınır analizini kolaylaştırır.
2
aa ifadesinin sınırlarını belirlemek için ifadenin karesi alınır.
a2=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=1+sin⁡2xa^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x elde edilir. 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 aralığında olduğundan 1<a2<21 < a^2 < 2 olur. Karekök alındığında ise 1<a<21 < a < \sqrt{2} aralığı bulunur.
Toplam şeklindeki sinüs ve kosinüs ifadelerinin değer aralığı kare alma yöntemiyle tespit edilebilir.
3
bb ifadesi temel özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilir.
b=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2xb = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} bulunur. 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 olduğundan b>2b > 2 elde edilir.
Tanjant ve kotanjant toplamını sinüs cinsinden tek bir rasyonel ifadeye dönüştürmek sınır değerini bulmayı sağlar.
4
Elde edilen üç değer aralığı karşılaştırılarak sıralama tamamlanır.
c∈(0,0,5)c \in (0, 0,5), a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) ve b∈(2,∞)b \in (2, \infty) olduğundan sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Değer aralıkları ayrık kümeler oluşturduğu için kesin bir sıralama yapılabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 410Soru →

Ortak [AC][AC] kenarına sahip olan ABCABC ve ACDACD üçgenlerinde;
* ∣AB∣=∣AD∣=6 birim|AB| = |AD| = 6\text{ birim},
* m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ,
* m(ACD^)=45∘m(\widehat{ACD}) = 45^\circ,
* m(ABC^)=αm(\widehat{ABC}) = \alpha ve
* m(ADC^)=90∘+αm(\widehat{ADC}) = 90^\circ + \alpha
olarak veriliyor.

Buna göre, cot⁡α\cot \alpha değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2\sqrt{2}

Cevap

2\sqrt{2} olan seçenektir.
Sinüs Teoremi adımları doğru takip edilerek ortak olan [AC][AC] kenarı her iki üçgen için ayrı ayrı ifade edilmiş ve ikinci bölgede sinüsün işareti pozitif (+) olduğu için sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha indirgemesi kullanılarak cot⁡α=2\cot \alpha = \sqrt{2} değeri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣sin⁡α=∣AB∣sin⁡30∘  ⟹  ∣AC∣sin⁡α=61/2=12  ⟹  ∣AC∣=12sin⁡α\frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{|AB|}{\sin 30^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin \alpha} = \frac{6}{1/2} = 12 \implies |AC| = 12 \sin \alpha
Ortak kenar olan ∣AC∣|AC| uzunluğunu sin⁡α\sin \alpha cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
ACDACD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣sin⁡(90∘+α)=∣AD∣sin⁡45∘  ⟹  ∣AC∣sin⁡(90∘+α)=62/2=62  ⟹  ∣AC∣=62sin⁡(90∘+α)\frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{|AD|}{\sin 45^\circ} \implies \frac{|AC|}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2} \implies |AC| = 6\sqrt{2} \sin(90^\circ + \alpha)
Ortak kenar olan ∣AC∣|AC| uzunluğunu ikinci üçgendeki açılar cinsinden ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
3
Trigonometrik indirgeme formülü kullanılarak ikinci adımdaki ifade sadeleştirilir.
sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha olduğundan, ∣AC∣=62cos⁡α|AC| = 6\sqrt{2} \cos \alpha elde edilir.
İkinci bölgedeki sinüs değerinin pozitif olduğu bilgisi kullanılarak ifade sadeleştirilir.
4
Her iki üçgenden elde edilen ∣AC∣|AC| ifadeleri birbirine eşitlenerek cot⁡α\cot \alpha hesaplanır.
12sin⁡α=62cos⁡α  ⟹  cos⁡αsin⁡α=1262  ⟹  cot⁡α=22=212 \sin \alpha = 6\sqrt{2} \cos \alpha \implies \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{12}{6\sqrt{2}} \implies \cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
Aynı ortak kenara ait iki farklı ifadenin eşitliğinden yararlanılarak trigonometrik oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve trigonometrik indirgeme formüllerinin birlikte uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 411Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−sin⁡x1+sin⁡x−1+sin⁡x1−sin⁡x\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} - \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2tan⁡x2\tan x

Cevap

2tan⁡x2\tan x
Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğu için kök dışına çıkarılırken eksi ile çarpılarak çıkar. Paylar ortak paydada sadeleştirildiğinde pay kısmında −2sin⁡x-2\sin x, paydada ise −cos⁡x-\cos x kalır ve oranlandığında 2tan⁡x2\tan x elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesirlerin paydalarını rasyonel yapmak için her iki köklü ifadeyi paydalarının eşlenikleriyle genişletelim.
(1−sin⁡x)21−sin⁡2x−(1+sin⁡x)21−sin⁡2x\sqrt{\frac{(1-\sin x)^2}{1-\sin^2 x}} - \sqrt{\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}}
Ortak payda elde etmek ve kök dışına çıkarmayı kolaylaştırmak.
2
1−sin⁡2x=cos⁡2x1-\sin^2 x = \cos^2 x özdeşliğini yazıp ifadeleri kök dışına mutlak değerli olarak çıkaralım.
∣1−sin⁡x∣∣cos⁡x∣−∣1+sin⁡x∣∣cos⁡x∣\frac{|1-\sin x|}{|\cos x|} - \frac{|1+\sin x|}{|\cos x|}
A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A| kuralını uygulamak.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında (3. bölgede) trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleyelim.
∣cos⁡x∣=−cos⁡x|\cos x| = -\cos x, ∣1−sin⁡x∣=1−sin⁡x|1-\sin x| = 1-\sin x ve ∣1+sin⁡x∣=1+sin⁡x|1+\sin x| = 1+\sin x olduğundan ifade 1−sin⁡x−cos⁡x−1+sin⁡x−cos⁡x\frac{1-\sin x}{-\cos x} - \frac{1+\sin x}{-\cos x} olur.
3. bölgede kosinüs negatif, sinüs ise −1-1 ile 00 arasında değer aldığından mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek.
4
Elde edilen rasyonel ifadeleri ortak paydada birleştirip sadeleştirelim.
1−sin⁡x−(1+sin⁡x)−cos⁡x=−2sin⁡x−cos⁡x=2tan⁡x\frac{1-\sin x - (1+\sin x)}{-\cos x} = \frac{-2\sin x}{-\cos x} = 2\tan x
İşlemleri tamamlayarak en sade biçime ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret İncelemesi
Soru 412Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

m(BAD^)=30∘m(\widehat{BAD}) = 30^\circ,
m(DAC^)=90∘m(\widehat{DAC}) = 90^\circ ve
∣CD∣=4∣BD∣|CD| = 4|BD|

olduğuna göre, sin⁡(ABC^)sin⁡(ACB^)\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi uygulandığında ∣AD∣=2∣BD∣sin⁡(ABC^)|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC}) elde edilir. ADCADC dik üçgeninde sinüs tanımından ∣AD∣=∣CD∣sin⁡(ACB^)|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB}) bulunur. Bu iki eşitlik birleştirilip ∣CD∣=4∣BD∣|CD| = 4|BD| yazıldığında 2∣BD∣sin⁡(ABC^)=4∣BD∣sin⁡(ACB^)2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB}) olur. Buradan sadeleştirmeler yapıldığında oran 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Sinüs Teoremi'ni uygulamak
∣AD∣=2∣BD∣sin⁡(ABC^)|AD| = 2|BD|\sin(\widehat{ABC})
ADAD ortak kenarını BDBD ve BB açısı cinsinden ifade etmek için
2
ADCADC dik üçgeninde sinüs oranını yazmak
∣AD∣=∣CD∣sin⁡(ACB^)|AD| = |CD|\sin(\widehat{ACB})
ADAD ortak kenarını CDCD ve CC açısı cinsinden ifade etmek için
3
İki üçgenden elde edilen ADAD uzunluklarını eşitlemek ve verilen oranı yerine yazmak
2∣BD∣sin⁡(ABC^)=4∣BD∣sin⁡(ACB^)2|BD|\sin(\widehat{ABC}) = 4|BD|\sin(\widehat{ACB})
BDBD ve CDCD arasındaki ilişkiyi kullanarak denklemdeki değişken sayısını azaltmak için
4
∣BD∣|BD| terimlerini sadeleştirip istenen oranı bulmak
sin⁡(ABC^)sin⁡(ACB^)=2\frac{\sin(\widehat{ABC})}{\sin(\widehat{ACB})} = 2
İstenen trigonometrik oranı yalnız bırakmak için

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve dik üçgende trigonometrik oranların geometrik uygulamaları
Soru 413Soru →
0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} olmak üzere,
cos⁡(11π2+x)⋅tan⁡(900∘−x)sin⁡(270∘+x)⋅cot⁡(15π2−x)\frac{\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) \cdot \tan(900^\circ - x)}{\sin(270^\circ + x) \cdot \cot\left(\frac{15\pi}{2} - x\right)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡(x)\tan(x)

Cevap

İfadenin en sade biçimi tan⁡(x)\tan(x) ifadesidir.
Verilen ifadelerin her biri esas ölçüleri bulunarak indirgendiğinde pay sin⁡(x)⋅(−tan⁡(x))\sin(x) \cdot (-\tan(x)), payda ise −cos⁡(x)⋅tan⁡(x)-\cos(x) \cdot \tan(x) olur. Bölme işleminde ortak çarpanlar sadeleştirildiğinde geriye tan⁡(x)\tan(x) kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki birinci ifadenin esas ölçüsünü bulup indirgemesini yapmak
cos⁡(11π2+x)=cos⁡(3π2+x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin(x)
11π2\frac{11\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. 3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı 4. bölgede yer alır ve bu bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif (+) değerdedir. Dikey eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi sinüse dönüşür.
2
Paydaki ikinci ifadenin esas ölçüsünü bulup indirgemesini yapmak
tan⁡(900∘−x)=tan⁡(180∘−x)=−tan⁡(x)\tan(900^\circ - x) = \tan(180^\circ - x) = -\tan(x)
900∘900^\circ açısının esas ölçüsü 180∘180^\circ derecedir. 180∘−x180^\circ - x açısı 2. bölgede yer alır ve bu bölgede tanjant fonksiyonu negatif (-) işaretlidir. Yatay eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi değişmez.
3
Paydadaki birinci ifadenin indirgemesini yapmak
sin⁡(270∘+x)=−cos⁡(x)\sin(270^\circ + x) = -\cos(x)
270∘+x270^\circ + x açısı 4. bölgede yer alır ve bu bölgede sinüs fonksiyonu negatif (-) işaretlidir. Dikey eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi kosinüse dönüşür.
4
Paydadaki ikinci ifadenin esas ölçüsünü bulup indirgemesini yapmak
cot⁡(15π2−x)=cot⁡(3π2−x)=tan⁡(x)\cot\left(\frac{15\pi}{2} - x\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \tan(x)
15π2\frac{15\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. 3π2−x\frac{3\pi}{2} - x açısı 3. bölgede yer alır ve bu bölgede kotanjant fonksiyonu pozitif (+) işaretlidir. Dikey eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi tanjanta dönüşür.
5
Elde edilen indirgenmiş değerleri ana kesirde yerine koyup sadeleştirmek
sin⁡(x)⋅(−tan⁡(x))−cos⁡(x)⋅tan⁡(x)=−sin⁡(x)tan⁡(x)−cos⁡(x)tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{\sin(x) \cdot (-\tan(x))}{-\cos(x) \cdot \tan(x)} = \frac{-\sin(x)\tan(x)}{-\cos(x)\tan(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)
Pay ve paydada ortak olan −tan⁡(x)-\tan(x) çarpanları sadeleşir. Kalan sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} oranı tanjant fonksiyonunun tanımı gereği tan⁡(x)\tan(x) değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve dikey/yatay eksenlere göre bölge dönüşümlerinde işaret ve isim değiştirme kurallarının uygulanması.
Soru 414Soru →

Gerçel say��lar kümesinin, her k∈Zk \in \mathbb{Z} için x≠π+2kπx \neq \pi + 2k\pi ve x≠3kπx \neq 3k\pi koşullarını sağlayan en geniş alt kümesinde tanımlı f(x)=tan⁡(x2)−cot⁡(x3)f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunun esas periyodu 6π6\pi radyandır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ifade, tanım kümesini ve fonksiyonun esas periyodunu doğru bir şekilde belirtmektedir. Tanjant ve kotanjant terimlerinin ayrı ayrı periyotları 2π2\pi ve 3π3\pi olup, bu periyotların en küçük ortak katı olan 6π6\pi fonksiyonun esas periyodudur. Ayrıca asimptotlar (tanımsızlık noktaları) da doğru belirlenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek için f(x)=tan⁡(x2)−cot⁡(x3)f(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) - \cot\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunu olu��turan terimlerin tanımsız olduğu noktaları bulun.
tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right) terimi x2=π2+kπ  ⟹  x=π+2kπ\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \pi + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) noktalarında; cot⁡(x3)\cot\left(\frac{x}{3}\right) terimi ise x3=kπ  ⟹  x=3kπ\frac{x}{3} = k\pi \implies x = 3k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) noktalarında tanımsızdır.
Tanjant fonksiyonu, açının kosinüsünü sıfır yapan noktalarda; kotanjant fonksiyonu ise açının sinüsünü sıfır yapan noktalarda tanımsızdır.
2
Her iki terimin esas periyodunu ayrı ayrı hesaplayın.
tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right) fonksiyonunun periyodu T1=π1/2=2πT_1 = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi ve cot⁡(x3)\cot\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunun periyodu T2=π1/3=3πT_2 = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi olarak bulunur.
a≠0a \neq 0 olmak üzere, y=tan⁡(ax+b)y = \tan(ax+b) ve y=cot⁡(ax+b)y = \cot(ax+b) fonksiyonlarının esas periyodu π∣a∣\frac{\pi}{|a|} formülü ile hesaplanır.
3
İki fonksiyonun farkı ile tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonunun esas periyodunu belirlemek için bireysel periyotların en küçük ortak katını (EKOK) alın.
T=EKOK(T1,T2)=EKOK(2π,3π)=6πT = \text{EKOK}(T_1, T_2) = \text{EKOK}(2\pi, 3\pi) = 6\pi radyandır.
Tanımlı iki periyodik fonksiyonun toplamı veya farkı şeklinde yazılan fonksiyonların periyodu, ayrı ayrı periyotlarının en küçük ortak katıdır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının tanım kümeleri (düşey asimptotları) ile periyotlarının hesaplanması ve birleştirilmesi.
Soru 415Soru →

Birim çember üzerindeki ikinci bölgede yer alan bir PP noktasından çembere teğet olan doğru, koordinat eksenlerini sırasıyla A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(0,y1)B(0, y_1) noktalarında kesmektedir. OPOP doğru parçasının xx-ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı α\alpha olduğuna göre, köşeleri orijin, AA ve BB noktaları olan AOBAOB üçgeninin alanının α\alpha türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −12sin⁡αcos⁡α-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha}

Cevap

AOB üçgeninin alanının α\alpha türünden eşiti −12sin⁡αcos⁡α-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha} ifadesidir.
İkinci bölgedeki P(cos⁡α,sin⁡α)P(\cos\alpha, \sin\alpha) noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusunun denklemi xcos⁡α+ysin⁡α=1x\cos\alpha + y\sin\alpha = 1 dir. Bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar A(sec⁡α,0)A(\sec\alpha, 0) ve B(0,csc⁡α)B(0, \csc\alpha) dır. İkinci bölgede cos⁡α\cos\alpha negatif, sin⁡α\sin\alpha pozitif olduğundan ∣OA∣=−sec⁡α|OA| = -\sec\alpha ve ∣OB∣=csc⁡α|OB| = \csc\alpha uzunlukları elde edilir. AOBAOB dik üçgeninin alanı ise dik kenarların çarpımının yarısı olan −12sin⁡αcos⁡α-\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha} ifadesine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki PP noktasının koordinatlarını belirlemek.
PP noktasının koordinatları (cos⁡α,sin⁡α)(\cos\alpha, \sin\alpha) olur.
Teğet noktası kullanılarak teğet doğrusunun denklemini kurmak.
2
PP noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazmak ve eksenleri kestiği noktaları bulmak.
Teğet doğrusunun denklemi xcos⁡α+ysin⁡α=1x\cos\alpha + y\sin\alpha = 1 şeklindedir. y=0y=0 için A(sec⁡α,0)A(\sec\alpha, 0) ve x=0x=0 için B(0,csc⁡α)B(0, \csc\alpha) elde edilir.
Üçgenin dik kenarlarının koordinatlarını belirlemek.
3
Eksenlerin kesişimiyle oluşan AOBAOB üçgeninin alanını hesaplamak.
α\alpha açısı ikinci bölgede yer aldığından cos⁡α<0\cos\alpha < 0 ve sin⁡α>0\sin\alpha > 0 dır. Buradan ∣OA∣=−1cos⁡α|OA| = -\frac{1}{\cos\alpha} ve ∣OB∣=1sin⁡α|OB| = \frac{1}{\sin\alpha} elde edilir. Alan = 12⋅∣OA∣⋅∣OB∣=−12sin⁡αcos⁡α\frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = -\frac{1}{2\sin\alpha\cos\alpha} bulunur.
Uzunlukların pozitif olması zorunluluğunu göz önüne alarak dik üçgenin alan formülünü uygulamak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik temsilleri ve teğet doğrularının geometrik uygulamaları.
Soru 416Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin doğru sıralanışı b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen trigonometrik ifadeler indirgendiğinde a=−cos⁡(40∘)a = -\cos(40^\circ), b=−cos⁡(20∘)b = -\cos(20^\circ) ve c=−tan⁡(40∘)c = -\tan(40^\circ) elde edilir. Birinci bölgede cos⁡(20∘)>tan⁡(40∘)>cos⁡(40∘)>0\cos(20^\circ) > \tan(40^\circ) > \cos(40^\circ) > 0 olduğu bilinmektedir. Negatif işaretli bu değerlerin sıralaması tersine döneceğinden en küçük değer bb, ortanca değer cc ve en büyük değer aa olur.

Adım Adım Çözüm

1
a=cos⁡(220∘)a = \cos(220^\circ) ifadesinin bölgesini belirleyip birinci bölgedeki karşılığını bulunuz.
220∘220^\circ açısı III. bölgededir. Bu bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan a=cos⁡(180∘+40∘)=−cos⁡(40∘)a = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos(40^\circ) elde edilir.
Karşılaştırma yapabilmek amacıyla tüm açıları birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade etmek gerekir.
2
b=sin⁡(−7π18)b = \sin\left(-\frac{7\pi}{18}\right) ifadesinin esas ölçüsünü bularak veya tek fonksiyon özelliğini kullanarak birinci bölgeye indirgeyiniz.
−7π18=−70∘-\frac{7\pi}{18} = -70^\circ açısı için sinüs fonksiyonunun tekliği kullanıldığında sin⁡(−70∘)=−sin⁡(70∘)\sin(-70^\circ) = -\sin(70^\circ) olur. Birbirini 90∘90^\circ'ye tamamlayan açıların sinüs ve kosinüs değerleri eşit olduğundan b=−cos⁡(20∘)b = -\cos(20^\circ) bulunur.
Farklı trigonometrik fonksiyonları kıyaslarken aynı cinsten (örneğin kosinüs cinsinden) yazmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
c=tan⁡(1220∘)c = \tan(1220^\circ) ifadesinin esas ölçüsünü bulup birinci bölgeye indirgeyiniz.
1220∘1220^\circ açısının 360∘360^\circ ile bölümünden kalan 140∘140^\circ'dir. 140∘140^\circ açısı II. bölgede yer alır ve bu bölgede tanjant negatiftir. Buradan c=tan⁡(140∘)=tan⁡(180∘−40∘)=−tan⁡(40∘)c = \tan(140^\circ) = \tan(180^\circ - 40^\circ) = -\tan(40^\circ) elde edilir.
360∘360^\circ'den büyük açıların birim çember üzerindeki konumunu belirlemek için esas ölçü kullanılır.
4
Elde edilen birinci bölgedeki değerleri mutlak değerlerine göre karşılaştırıp ardından negatif sıralamasını yapınız.
Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalandır, dolayısıyla cos⁡(20∘)>cos⁡(40∘)\cos(20^\circ) > \cos(40^\circ) olur.
Tanjant değeri için tan⁡(40∘)=sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)} ifadesinde sin⁡(40∘)>cos⁡2(40∘)\sin(40^\circ) > \cos^2(40^\circ) olduğundan tan⁡(40∘)>cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) > \cos(40^\circ) bulunur. Ayrıca cos⁡(20∘)>tan⁡(40∘)\cos(20^\circ) > \tan(40^\circ)'dir.
Böylece mutlak değerce sıralama 0<cos⁡(40∘)<tan⁡(40∘)<cos⁡(20∘)0 < \cos(40^\circ) < \tan(40^\circ) < \cos(20^\circ) şeklindedir.
İfadeler negatif olduğundan sıralama yön değiştirir: −cos⁡(20∘)<−tan⁡(40∘)<−cos⁡(40∘)-\cos(20^\circ) < -\tan(40^\circ) < -\cos(40^\circ) yani b<c<ab < c < a bulunur.
Negatif gerçel sayılarda mutlak değerce büyük olan sayı sıfırdan daha uzak olduğundan daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelerine göre indirgenmesi ve sıralanması
Soru 417Soru →
a+b=π3a + b = \frac{\pi}{3} olmak üzere,
(1+3tan⁡(a))(1+3tan⁡(b))(1 + \sqrt{3}\tan(a))(1 + \sqrt{3}\tan(b))
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin değeri 4'tür.
Verilen a+b=π3a+b=\frac{\pi}{3} toplamından elde edilen tan⁡(a)+tan⁡(b)=3(1−tan⁡(a)tan⁡(b))\tan(a)+\tan(b) = \sqrt{3}(1-\tan(a)\tan(b)) ilişkisi, çarpım ifadesi açıldığında yerine yazıldığında değişken terimler sadeleşmekte ve ifadenin değeri 4 olarak bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
a+b=π3a + b = \frac{\pi}{3} eşitliğinin her iki tarafının tanjantı alınarak tan⁡(a+b)=tan⁡(π3)\tan(a+b) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) değeri bulunur.
tan⁡(a+b)=3\tan(a + b) = \sqrt{3}
Toplam formülünü uygulayabilmek için verilen açı toplamının tanjant değeri belirlenir.
2
Tanjant toplam formülü tan⁡(a+b)=tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} eşitliğinde adım 1'de bulunan değer yerine yazılır ve içler dışlar çarpımı yapılır.
tan⁡(a)+tan⁡(b)=3(1−tan⁡(a)tan⁡(b))\tan(a) + \tan(b) = \sqrt{3}(1 - \tan(a)\tan(b))
İki açının tanjantları toplamı ile çarpımı arasındaki cebirsel ilişki elde edilir.
3
Soruda sorulan (1+3tan⁡(a))(1+3tan⁡(b))(1 + \sqrt{3}\tan(a))(1 + \sqrt{3}\tan(b)) çarpım ifadesi dağıtılarak açılır.
1+3(tan⁡(a)+tan⁡(b))+3tan⁡(a)tan⁡(b)1 + \sqrt{3}(\tan(a) + \tan(b)) + 3\tan(a)\tan(b)
Çarpım durumundaki ifadeyi sadeleştirebilmek için terimler tek tek çarpılır.
4
Adım 2'de elde edilen tan⁡(a)+tan⁡(b)=3(1−tan⁡(a)tan⁡(b))\tan(a) + \tan(b) = \sqrt{3}(1 - \tan(a)\tan(b)) eşitliği, adım 3'te açılan ifadede yerine yazılır ve sadeleştirme yapılır.
1+3[3(1−tan⁡(a)tan⁡(b))]+3tan⁡(a)tan⁡(b)=1+3(1−tan⁡(a)tan⁡(b))+3tan⁡(a)tan⁡(b)=1+3−3tan⁡(a)tan⁡(b)+3tan⁡(a)tan⁡(b)=41 + \sqrt{3}\left[\sqrt{3}(1 - \tan(a)\tan(b))\right] + 3\tan(a)\tan(b) = 1 + 3(1 - \tan(a)\tan(b)) + 3\tan(a)\tan(b) = 1 + 3 - 3\tan(a)\tan(b) + 3\tan(a)\tan(b) = 4
Değişken terimlerin birbirini sadeleştirmesiyle sabit sayısal sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Toplam ve Fark Formülleri

Alternatif Yöntem

aa ve bb değerleri toplamı π3\frac{\pi}{3} (60∘60^\circ) olacak şekilde herhangi iki özel açı seçilerek de sonuç bulunabilir. Örneğin, a=30circa = 30^circ (yani π6\frac{\pi}{6}) ve b=30∘b = 30^\circ seçilirse; tan⁡(30∘)=13\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} olur. Bu değerler ifadede yerine yazılırsa: (1+3⋅13)(1+3⋅13)=(1+1)(1+1)=4(1 + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}})(1 + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}) = (1 + 1)(1 + 1) = 4 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 418Soru →
Bir ABCABC üçgeninin iç açılarından iki tanesi AA ve BB olmak üzere,
tan⁡(A)=2\tan(A) = 2
tan⁡(B)=3\tan(B) = 3
olduğuna göre, CC iç açısının kotanjant değeri olan cot⁡(C)\cot(C) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

C açısının kotanjant değeri 1'dir.
Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisinden C=180∘−(A+B)C = 180^\circ - (A+B) yazılır. İkinci bölgede tanjant fonksiyonunun işareti negatif olduğundan tan⁡(C)=−tan⁡(A+B)\tan(C) = -\tan(A+B) olur. Tanjant toplam formülü kullanılarak tan⁡(A+B)=2+31−2⋅3=−1\tan(A+B) = \frac{2+3}{1-2\cdot3} = -1 bulunur. Buradan tan⁡(C)=1\tan(C) = 1 elde edilir. Tanjant ile kotanjantın çarpımsal terslik ilişkisinden cot⁡(C)=1tan⁡(C)=1\cot(C) = \frac{1}{\tan(C)} = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisini kurma
C=180∘−(A+B)C = 180^\circ - (A+B)
Bir üçgenin iç açıların��n toplamı her zaman 180∘180^\circ olduğundan A,BA, B ve CC açıları arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Tanjant toplam formülünü yazma ve değerleri yerine koyma
tan⁡(A+B)=−1\tan(A+B) = -1
tan⁡(A+B)=tan⁡(A)+tan⁡(B)1−tan⁡(A)tan⁡(B)\tan(A+B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A)\tan(B)} formülünde tan⁡(A)=2\tan(A) = 2 ve tan⁡(B)=3\tan(B) = 3 yazılır.
3
C açısının tanjantını bulma
tan⁡(C)=1\tan(C) = 1
tan⁡(C)=tan⁡(180∘−(A+B))=−tan⁡(A+B)\tan(C) = \tan(180^\circ - (A+B)) = -\tan(A+B) indirgeme kuralı uygulanır.
4
C açısının kotanjantını hesaplama
cot⁡(C)=1\cot(C) = 1
Kotanjant ve tanjant arasındaki cot⁡(C)=1tan⁡(C)\cot(C) = \frac{1}{\tan(C)} ilişkisi kullanılır.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjantı ve bütünler açıların trigonometrik oranları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 419Soru →
Bir ABCABC üçgeninin iç açıları AA, BB ve CC'dir.
tan⁡A=2\tan A = 2
tan⁡B=3\tan B = 3
olduğuna göre, CC açısının derece cinsinden değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

C açısının derece cinsinden değeri 45'tir.
Üçgenin iç açılar toplamından elde edilen A+B=180∘−CA + B = 180^\circ - C eşitliğinin her iki tarafının tanjantı alındığında tan⁡(A+B)=−tan⁡C\tan(A+B) = -\tan C bağıntısına ulaşılır. Tanjant toplam formülüyle tan⁡(A+B)=−1\tan(A+B) = -1 bulunur. Dolayısıyla −tan⁡C=−1-\tan C = -1 yani tan⁡C=1\tan C = 1 elde edilir. Bu koşulu sağlayan üçgen iç açısı 45 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılar toplamı ilişkisini yazmak.
A+B=180∘−CA + B = 180^\circ - C
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180∘180^\circ olduğundan A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ bağıntısı geçerlidir.
2
İki tarafın tanjantını alıp indirgeme formülü uygulamak.
tan⁡(A+B)=−tan⁡C\tan(A + B) = -\tan C
tan⁡(180∘−x)=−tan⁡x\tan(180^\circ - x) = -\tan x trigonometrik indirgeme özdeşliğinden dolayı büt��nler açıların tanjantları zıt işaretlidir.
3
Tanjant toplam formülünü kullanarak tan⁡(A+B)\tan(A + B) değerini hesaplamak.
tan⁡(A+B)=−1\tan(A + B) = -1
tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡A⋅tan⁡B\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B} formülünde verilen tan⁡A=2\tan A = 2 ve tan⁡B=3\tan B = 3 değerleri yerine yazılarak hesaplama yapılır.
4
tan⁡C=1\tan C = 1 eşitliğinden CC açısını bulmak.
C=45∘C = 45^\circ
Tanjantı 11 olan ve bir üçgenin iç açısı olabilecek değer 45∘45^\circ olduğundan C=45C = 45 bulunur.

Anahtar Kavram

Tanjant toplam formülü ve bütünler açıların trigonometrik oranları
Soru 420Soru →
tan⁡(arcsin⁡(25)−arccos⁡(310))\tan \left( \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) - \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Verilen ifadenin değeri 1'dir.
Verilen ifadeyi xx ve yy açıları cinsinden yazıp tanjant fark formülünü uyguladığımızda tan⁡(x−y)=1\tan(x - y) = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x=arcsin⁡(25)x = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) ve y=arccos⁡(310)y = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) değişkenleri tanımlanır.
sin⁡x=25\sin x = \frac{2}{\sqrt{5}} ve cos⁡y=310\cos y = \frac{3}{\sqrt{10}} elde edilir.
Ters trigonometrik fonksiyonları açılara dönüştürerek toplam-fark formülünü uygulayabilmek için bu dönüşüm yapılır.
2
Dik üçgen yardımıyla tan⁡x\tan x ve tan⁡y\tan y değerleri hesaplanır.
tan⁡x=2\tan x = 2 ve tan⁡y=13\tan y = \frac{1}{3} bulunur.
Tanjant fark formülünde kullanılacak olan tanjant değerlerini elde etmek için.
3
Tanjant fark formülü olan tan⁡(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} uygulanır.
tan⁡(x−y)=2−131+2⋅13=5353=1\tan(x - y) = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1 bulunur.
İstenen ifadenin nihai değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyon içeren ifadelerde açılara dönüşüm yapılarak tanjant fark formülünün uygulanması.
ÖncekiSayfa 21 / 21
Trigonometri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 21 | Examkin