Examkin

Yarım Açı Formülleri

69 soru

Tüm türler69Çoktan seçmeli37Sayısal32
Soru 21Soru →
Bir xx dar açısı için 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Kosinüs yarım açı form��lleri kullanılarak tan⁡x\tan x değeri 0.50.5 (veya 12\frac{1}{2}) olarak hesaplanır.
Verilen cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} eşitliğinde cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 yarım açı formülü uygulandığında cos⁡2x=45\cos^2 x = \frac{4}{5} bulunur. Birinci bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡x=25\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}} ve buradan sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} elde edilir. Tanjant tanımı gereği tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=12=0.5\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{2} = 0.5 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün yarım açı formülünü yazma
cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1
2x2x açısının trigonometrik oranından yararlanarak xx açısına geçiş yapabilmek.
2
Elde edilen denklemden cos⁡x\cos x değerini çekme
cos⁡x=25\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}
0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında kosinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir.
3
sin⁡x\sin x değerini bulup tan⁡x\tan x oranını hesaplama
sin⁡x=15  ⟹  tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=0.5\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} \implies \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 0.5
İstenen tan⁡x\tan x değerini elde etmek için temel trigonometrik özdeşlikleri uygulamak.

Anahtar Kavram

Kosinüsün yarım açı formülü yardımıyla bir açının iki katının değerinden açının kendisine ait trigonometrik oranların hesaplanması.
Soru 22Soru →
xinleft(fracpi2,frac3pi4right)x \\in \\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{4}\\right) olmak üzere,
sqrt1−sin(2x)+sqrt1+sin(2x)=frac2413\\sqrt{1 - \\sin(2x)} + \\sqrt{1 + \\sin(2x)} = \\frac{24}{13}
olduğuna göre, cos(2x)\\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −frac119169-\\frac{119}{169}

Cevap

−frac119169-\\frac{119}{169}
Verilen aralıkta kareköklü ifadeler mutlak değer dışına sırasıyla sinx−cosx\\sin x - \\cos x ve sinx+cosx\\sin x + \\cos x olarak çıkar. Bu iki ifadenin toplamı 2sinx2\\sin x değerine eşittir. Buradan sinx=frac1213\\sin x = \\frac{12}{13} ve ikinci bölgedeki işaret dikkate alınarak cosx=−frac513\\cos x = -\\frac{5}{13} bulunur. Kosinüs yarım açı formülüyle cos(2x)=cos2x−sin2x=−frac119169\\cos(2x) = \\cos^2 x - \\sin^2 x = -\\frac{119}{169} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadelerin içindeki trigonometrik ifadeleri tam kare formuna dönüştürün.
1−sin(2x)=sin2x+cos2x−2sinxcosx=(sinx−cosx)21 - \\sin(2x) = \\sin^2 x + \\cos^2 x - 2\\sin x\\cos x = (\\sin x - \\cos x)^2
1+sin(2x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx=(sinx+cosx)21 + \\sin(2x) = \\sin^2 x + \\cos^2 x + 2\\sin x\\cos x = (\\sin x + \\cos x)^2
Kareköklü ifadeleri sadeleştirmek ve mutlak değer dışına çıkarabilmek için tam kare açılımlarından yararlanılır.
2
İfadeleri kök dışına mutlak değer olarak çıkarın ve verilen açı aralığına göre işaretlerini belirleyin.
sqrt(sinx−cosx)2=∣sinx−cosx∣\\sqrt{(\\sin x - \\cos x)^2} = |\\sin x - \\cos x|
sqrt(sinx+cosx)2=∣sinx+cosx∣\\sqrt{(\\sin x + \\cos x)^2} = |\\sin x + \\cos x|

xinleft(fracpi2,frac3pi4right)x \\in \\left(\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{4}\\right) aralığında (II. bölge):
* sinx>0\\sin x > 0 ve cosx<0\\cos x < 0 değerlerini alır.
* Bu aralıktaki açılar için sinx>∣cosx∣\\sin x > |\\cos x| olduğundan, sinx>−cosx\\sin x > -\\cos x olur.

Buradan:
* sinx−cosx>0implies∣sinx−cosx∣=sinx−cosx\\sin x - \\cos x > 0 \\implies |\\sin x - \\cos x| = \\sin x - \\cos x
* sinx+cosx>0implies∣sinx+cosx∣=sinx+cosx\\sin x + \\cos x > 0 \\implies |\\sin x + \\cos x| = \\sin x + \\cos x

Toplam ifadesi:
(sinx−cosx)+(sinx+cosx)=2sinx(\\sin x - \\cos x) + (\\sin x + \\cos x) = 2\\sin x şeklinde sadeleşir.
II. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve büyüklük ilişkilerini doğru tayin ederek mutlak değer dışına çıkarma işlemini hatasız tamamlamak gerekir.
3
Elde edilen denklemi çözerek sinx\\sin x değerini bulun, ardından cosx\\cos x ve cos(2x)\\cos(2x) değerlerini hesaplayın.
2sinx=frac2413impliessinx=frac12132\\sin x = \\frac{24}{13} \\implies \\sin x = \\frac{12}{13}

II. bölgede cosx<0\\cos x < 0 olduğundan:
cosx=−sqrt1−sin2x=−sqrt1−left(frac1213right)2=−frac513\\cos x = -\\sqrt{1 - \\sin^2 x} = -\\sqrt{1 - \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2} = -\\frac{5}{13}

Kosinüs yarım açı formülünü uygulayarak cos(2x)\\cos(2x) değerini bulun:
cos(2x)=cos2x−sin2x=left(−frac513right)2−left(frac1213right)2\\cos(2x) = \\cos^2 x - \\sin^2 x = \\left(-\\frac{5}{13}\\right)^2 - \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2
cos(2x)=frac25169−frac144169=−frac119169\\cos(2x) = \\frac{25}{169} - \\frac{144}{169} = -\\frac{119}{169}
Yarım açı formülü yardımıyla tek bir açının trigonometrik değerinden iki katı olan açının kosinüs değerine geçiş yapılır.

Anahtar Kavram

Tam kare ifadelerin mutlak değer yardımıyla kök dışına çıkarılması ve kosinüs yarım açı formüllerinin uygulanması.
Soru 23Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x−cos⁡x=15\sin x - \cos x = \frac{1}{5}
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.96

Cevap

İfadenin karesi alınarak temel trigonometrik özdeşlikler uygulandığında sin⁡(2x)\sin(2x) değeri 0,960,96 (yani 2425\frac{24}{25}) olarak elde edilir.
Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında elde edilen sin⁡2x+cos⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x ifadesi 1'e eşittir. Karesel açılımdaki −2sin⁡xcos⁡x-2\sin x\cos x terimi ise −sin⁡(2x)-\sin(2x) yarım açı formülüne karşılık gelir. Buradan 1−sin⁡(2x)=1/251 - \sin(2x) = 1/25 denklemi çözülerek sin⁡(2x)=24/25=0,96\sin(2x) = 24/25 = 0,96 sonucuna doğrudan ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini almak
sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=125\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}
İfadedeki terimlerin çarpımını ve kareler toplamını ortaya çıkararak bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek için.
2
Trigonometrik özdeşlikleri uygulamak
1−sin⁡(2x)=1251 - \sin(2x) = \frac{1}{25}
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 temel özdeşliği ile yarım açı formülü olan 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) eşitliklerini yerine koymak için.
3
sin⁡(2x)\sin(2x) değerini yalnız bırakmak
sin⁡(2x)=1−125=2425=0,96\sin(2x) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} = 0,96
Soruda istenen yarım açı değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sinüs fonksiyonunun yarım açı formülü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x) ve temel trigonometrik özdeşliklerin (sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1) kullanımı.
Soru 24Soru →

x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2425\frac{24}{25}

Cevap

Yirmi dört bölü yirmi beş
Verilen açının sinüs değeri 45\frac{4}{5} olduğuna göre, dik üçgen çizilerek komşu kenar 33 birim bulunur ve açının birinci bölgede olmasından dolayı cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5} elde edilir. Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x bağıntısında değerler yerine konulduğunda, aranan değer 2425\frac{24}{25} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesi ve temel trigonometrik özdeşlikler kullanılarak cos⁡x\cos x değeri bulunur.
cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5}
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) aralığında olduğundan kosinüs değeri pozitiftir. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğinden cos⁡x=1−(45)2=35\cos x = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5} bulunur.
2
Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x ifadesinde bilinen değerler yerine yazılır.
sin⁡(2x)=2⋅45⋅35\sin(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}
Yarım açı ilişkisini kurarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplamak amaçlanır.
3
İfade çarpılarak sonuç elde edilir.
sin⁡(2x)=2425\sin(2x) = \frac{24}{25}
Çarpma işlemi tamamlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Formülü
Soru 25Soru →
cos⁡4(π8)−sin⁡4(π8)sin⁡(π8)⋅cos⁡(π8)\frac{\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin sadeleştirilmesi ve özel açı değerlerinin yerine konulması sonucunda elde edilen değer 2'dir.
Pay kısmında yer alan iki kare farkı açılımı yapıldığında cos⁡2(π/8)−sin⁡2(π/8)\cos^2(\pi/8) - \sin^2(\pi/8) çarpanı elde edilir ve bu ifade kosinüsün yarım açı formülünden cos⁡(π/4)\cos(\pi/4)'e eşittir. Paydadaki sin⁡(π/8)cos⁡(π/8)\sin(\pi/8)\cos(\pi/8) çarpımı ise sinüsün yarım açı formülünden 12sin⁡(π/4)\frac{1}{2}\sin(\pi/4)'e eşittir. İki değerin birbirine oranı ise cot⁡(π/4)=1\cot(\pi/4) = 1 değerinin iki katı olan 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü ile sadeleştirmek
cos⁡(π4)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
a4−b4=(a2−b2)(a2+b2)a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) özdeşliği ve cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ile cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x yarım açı formülü birlikte kullanılmıştır.
2
Payda kısmındaki ifadeyi sinüs yarım açı formülü ile düzenlemek
12sin⁡(π4)\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yarım açı formülünden yararlanılmıştır.
3
Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda oranını hesaplamak
22
cos⁡(π/4)12sin⁡(π/4)=2cot⁡(π/4)\frac{\cos(\pi/4)}{\frac{1}{2}\sin(\pi/4)} = 2\cot(\pi/4) elde edilir. cot⁡(π/4)=1\cot(\pi/4) = 1 olduğundan sonuç 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 26Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1+cos⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡x1+cos⁡x=3\sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}} + \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = 3

olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 454\sqrt{5}

Cevap

454\sqrt{5}
Verilen rasyonel köklü ifadelerin paydaları eşitlenip toplandığında ifade 2∣sin⁡x∣\frac{2}{|\sin x|} şekline sadeleşir. Açının üçüncü bölgede yer almasından dolayı sinüs fonksiyonu negatif değer alır ve mutlak değer dışına −sin⁡x-\sin x olarak çıkar. Buradan sin⁡x=−23\sin x = -\frac{2}{3} ve dik üçgen bağıntıları yardımıyla tan⁡x=25\tan x = \frac{2}{\sqrt{5}} elde edilir. Tanjant iki kat açı formülü uygulandığında doğru sonuç 454\sqrt{5} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen köklü ifadelerin paydaların�� eşitleyerek ortak paydada toplamak.
1+cos⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡x1+cos⁡x=(1+cos⁡x)+(1−cos⁡x)1−cos⁡2x=2sin⁡2x=2∣sin⁡x∣\frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1-\cos x}} + \frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}} = \frac{(1+\cos x) + (1-\cos x)}{\sqrt{1-\cos^2 x}} = \frac{2}{\sqrt{\sin^2 x}} = \frac{2}{|\sin x|}
Köklü ifadeleri ortak paydada birleştirerek sadeleştirmek amacıyla payda eşitleme işlemi yapılır.
2
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak mutlak değer dışına çıkarma işlemini tamamlamak ve sin⁡x\sin x değerini elde etmek.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında (üçüncü bölge) sinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olur. Bu durumda,
2−sin⁡x=3  ⟹  sin⁡x=−23\frac{2}{-\sin x} = 3 \implies \sin x = -\frac{2}{3} elde edilir.
Karekök dışına çıkan ifadelerin işaret belirlemesi, açının tanımlı olduğu koordinat düzlemi bölgesine göre yapılır.
3
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla cos⁡x\cos x ve tan⁡x\tan x değerlerini bulmak.
Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından,
cos⁡x=−1−sin⁡2x=−1−49=−53\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}
Buradan tanjant değeri,
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=−2/3−5/3=25\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}}
olarak bulunur.
İki kat açı formülünü uygulamak için gerekli olan tek kat açının tanjant değeri belirlenir.
4
Tanjant iki kat açı formülünü uygulayarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplamak.
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x=2⋅251−(25)2=451−45=4515=205=45\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5}
İki kat açıya geçiş yaparak soruda bizden istenen nihai değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri ve bölge özelliklerine göre trigonometrik ifadelerin mutlak değer yardımıyla sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 27Soru →
0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} olmak üzere,
cos⁡(2x)=1725\cos(2x) = \frac{17}{25}
olduğuna göre, sin⁡x\sin x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

0,4
Kosinüsün yarım açı açılımı olan cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x eşitliğinde cos⁡(2x)=17/25\cos(2x) = 17/25 yazıldığında sin⁡2x=4/25\sin^2 x = 4/25 bulunur. Birinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif olduğundan sin⁡x=2/5=0,4\sin x = 2/5 = 0,4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs yarım açı formülünü yazmak
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
Bilinen cos⁡(2x)\cos(2x) değeri üzerinden aranan sin⁡x\sin x değerini bulabilmek için uygun olan yarım açı formülü seçilir.
2
Denklemde verilen değeri yerine yerleştirmek ve çözmek
1725=1−2sin⁡2x  ⟹  2sin⁡2x=1−1725=825  ⟹  sin⁡2x=425\frac{17}{25} = 1 - 2\sin^2 x \implies 2\sin^2 x = 1 - \frac{17}{25} = \frac{8}{25} \implies \sin^2 x = \frac{4}{25}
sin⁡x\sin x değerini elde etmek amacıyla sin⁡2x\sin^2 x ifadesi yalnız bırakılır.
3
Açının bulunduğu bölgeye göre doğru işareti belirlemek
0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} aralığında sin⁡x\sin x pozitif olduğundan sin⁡x=25=0,4\sin x = \frac{2}{5} = 0,4 bulunur.
Birinci bölgede sinüs fonksiyonunun değeri pozitiftir.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 28Soru →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak ��zere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=16cos⁡2(2x)\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 16\cos^2(2x)

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2+22-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

Cevap

−2+22-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} değeri doğru cevaptır.
Verilen denklem payda eşitleme ve ardışık olarak sinüs yarım açı formülleri uygulandığında sin⁡2(4x)=1\sin^2(4x) = 1 denklemine dönüşür. Belirtilen x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında bu eşitliği sağlayan tek kök x=9π8x = \frac{9\pi}{8} açısıdır. Bu açının iki katı olan 2x=9π42x = \frac{9\pi}{4} açısının kosinüsü 22\frac{\sqrt{2}}{2} olup yarım açı formülü yardımıyla cos⁡2x=2+24\cos^2 x = \frac{2+\sqrt{2}}{4} elde edilir. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığından kosinüsü negatiftir ve karekök alındığında negatif olan değer doğru cevap olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde paydaları eşitleyerek sol taraftaki ifadeyi tek bir kesir haline getirin.
cos⁡2x+sin⁡2xsin⁡2x⋅cos⁡2x=1sin⁡2x⋅cos⁡2x\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cdot \cos^2 x} elde edilir.
Rasyonel ifadeleri sadeleştirmek ve bilinen trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
Sinüs yarım açı formülünü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x) kullanarak paydayı düzenleyin.
sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} olduğundan, paydadaki ifade sin⁡2xcos⁡2x=sin⁡2(2x)4\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2(2x)}{4} olur. Bu durumda denklemin sol tarafı 4sin⁡2(2x)\frac{4}{\sin^2(2x)} haline gelir.
Farklı açılardaki trigonometrik ifadeleri aynı açı cinsinden yazarak denklemi çözülebilir kılmak amaçlanmıştır.
3
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak içler dışlar çarpımı yapın ve sinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayın.
4sin⁡2(2x)=16cos⁡2(2x)  ⟹  4=16sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)  ⟹  sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)=14\frac{4}{\sin^2(2x)} = 16\cos^2(2x) \implies 4 = 16\sin^2(2x)\cos^2(2x) \implies \sin^2(2x)\cos^2(2x) = \frac{1}{4} elde edilir. sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) formülünün karesini alırsak, sin⁡2(2x)cos⁡2(2x)=sin⁡2(4x)4\sin^2(2x)\cos^2(2x) = \frac{\sin^2(4x)}{4} olur. Buradan sin⁡2(4x)4=14  ⟹  sin⁡2(4x)=1\frac{\sin^2(4x)}{4} = \frac{1}{4} \implies \sin^2(4x) = 1 bulunur.
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon (sin⁡4x\sin 4x) cinsinden yazarak kökleri bulmayı kolaylaştırmak hedeflenmiştir.
4
xx açısının tanım aralığından yararlanarak 4x4x açısının aralığını belirleyin ve sin⁡(4x)=1\sin(4x) = 1 denklemini çözün.
x∈(π,5π4)  ⟹  4x∈(4π,5π)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) \implies 4x \in (4\pi, 5\pi) olur. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu pozitif değerler aldığından, sin⁡2(4x)=1  ⟹  sin⁡(4x)=1\sin^2(4x) = 1 \implies \sin(4x) = 1 olmalıdır. Buradan 4x=4π+π2=9π2  ⟹  x=9π84x = 4\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} \implies x = \frac{9\pi}{8} bulunur.
Açının bulunduğu bölge, trigonometrik fonksiyonların işaretini ve tam değerini belirlemek için kritiktir.
5
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın ve ardından kosinüs yarım açı formülüyle (cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}) cos⁡x\cos x değerini bulun.
2x=9π4=2π+π42x = \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} olduğundan, cos⁡(2x)=cos⁡(π4)=22\cos(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} olur. Yarım açı formülünden: cos⁡2x=1+222=2+24\cos^2 x = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4} elde edilir. x=9π8x = \frac{9\pi}{8} açısı üçüncü bölgede yer aldığı için kosinüs değeri negatif olmalıdır. Dolayısıyla, cos⁡x=−2+22\cos x = -\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} bulunur.
2x2x açısının kosinüs değerini yarım açı formülüyle xx açısına indirgeyerek nihai sonuca ulaşmak ve bölgeye göre doğru işareti seçmek gerekir.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarında yarım açı formüllerinin uygulanması ve trigonometrik denklemlerde aralığa bağlı olarak bölge ve işaret analizinin yapılması.
Soru 29Soru →
sin⁡x≠0\sin x \neq 0 ve cos⁡x≠0\cos x \neq 0 olmak üzere,
sin⁡(2x)sin⁡x−cos⁡(2x)cos⁡x=4\frac{\sin(2x)}{\sin x} - \frac{\cos(2x)}{\cos x} = 4
olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14\frac{1}{4}

Cevap

14\frac{1}{4}
Verilen denklemde sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x ve cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülleri yerine yazılıp sadeleştirildiğinde 1cos⁡x=4\frac{1}{\cos x} = 4 eşitliği elde edilir. Buradan cos⁡x=14\cos x = \frac{1}{4} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısımlarındaki sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) ifadeleri için yarım açı formüllerini yazalım.
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x ve cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülleri elde edilir.
Verilen denklemdeki çift açılı ifadeleri tekil açılara indirgeyerek sadeleştirmek için.
2
Bu formülleri denklemde yerlerine yerleştirelim.
2sin⁡xcos⁡xsin⁡x−2cos⁡2x−1cos⁡x=4\frac{2\sin x \cos x}{\sin x} - \frac{2\cos^2 x - 1}{\cos x} = 4 denklemi elde edilir.
Denklemi sadeleştirilebilir bir forma getirmek için.
3
İlk terimdeki ortak olan sin⁡x\sin x çarpanlarını sadeleştirelim.
2cos⁡x−2cos⁡2x−1cos⁡x=42\cos x - \frac{2\cos^2 x - 1}{\cos x} = 4 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltmak ve ifadeyi basitleştirmek için.
4
Denklemde payda eşitlemesi yaparak çıkarma işlemini gerçekleştirelim.
2cos⁡2x−(2cos⁡2x−1)cos⁡x=4\frac{2\cos^2 x - (2\cos^2 x - 1)}{\cos x} = 4 ifadesi elde edilir.
İki terimli ifadeyi tek bir rasyonel ifadeye dönüştürmek için.
5
Pay kısmındaki parantezi açıp sadeleştirmeyi tamamlayarak cos⁡x\cos x değerini çekelim.
2cos⁡2x−2cos⁡2x+1cos⁡x=4  ⟹  1cos⁡x=4  ⟹  cos⁡x=14\frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 x + 1}{\cos x} = 4 \implies \frac{1}{\cos x} = 4 \implies \cos x = \frac{1}{4} olarak bulunur.
Bilinmeyen olan cos⁡x\cos x değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs ve kosinüs yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 30Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
2+2+2cos⁡(8x)cos⁡(2x)=3tan⁡(2x)\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(8x)}}}{\cos(2x)} = 3\tan(2x)
olduğuna göre, 13sin⁡(4x)13\sin(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İfadenin değeri 12 olarak bulunur.
Verilen aralıkta kosinüs değerleri pozitif olduğundan, kareköklü ifadeler mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar. Sadeleştirmeler sonucunda tan⁡(2x)=2/3\tan(2x) = 2/3 bulunur. Sinüsün yarım açı formülü kullanılarak sin⁡(4x)=12/13\sin(4x) = 12/13 elde edilir ve buradan 13sin⁡(4x)=1213\sin(4x) = 12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
En içteki kareköklü ifadeyi yarım açı formülü kullanarak basitleştirme
2+2cos⁡(8x)=2cos⁡(4x)\sqrt{2 + 2\cos(8x)} = 2\cos(4x)
1+cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta özdeşliği ve x∈(0,π/8)x \in (0, \pi/8) için 4x∈(0,π/2)4x \in (0, \pi/2) olduğundan cos⁡(4x)>0\cos(4x) > 0 olması.
2
Dıştaki kareköklü ifadeyi basitleştirme
2+2cos⁡(4x)=2cos⁡(2x)\sqrt{2 + 2\cos(4x)} = 2\cos(2x)
1+cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)1 + \cos(4x) = 2\cos^2(2x) özdeşliği ve 2x∈(0,π/4)2x \in (0, \pi/4) aralığında cos⁡(2x)>0\cos(2x) > 0 olması.
3
Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini bulma
tan⁡(2x)=23\tan(2x) = \frac{2}{3}
cos⁡(2x)≠0\cos(2x) \neq 0 olduğundan pay ve paydadaki cos⁡(2x)\cos(2x) terimlerinin sadeleşmesi.
4
sin⁡(4x)\sin(4x) değerini yarım açı formülüyle tan⁡(2x)\tan(2x) cinsinden hesaplama
sin⁡(4x)=1213\sin(4x) = \frac{12}{13}
sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} formülünde θ=2x\theta = 2x yazılması.
5
13sin⁡(4x)13\sin(4x) değerini hesaplama
12
13⋅1213=1213 \cdot \frac{12}{13} = 12 işleminin yapılması.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülleri ile kareköklü ifadelerin sadeleştirilmesi ve sinüs yarım açı formüllerinin uygulanması.
Soru 31Soru →

x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,

cos⁡(2x)=725\cos(2x) = \frac{7}{25}

olduğuna göre, tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İstenen değer -3 olarak bulunur.
Verilen aralıkta kosinüsün yarım açı formülü kullanılarak cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} ve buna bağlı olarak sin⁡x=−35\sin x = -\frac{3}{5} bulunur. tan⁡(x2)=sin⁡x1+cos⁡x\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} formülü uygulandığında sonuç -3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına göre, cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 yarım açı formülünü kullanarak cos⁡x\cos x değerini bulmak.
725=2cos⁡2x−1  ⟹  2cos⁡2x=3225  ⟹  cos⁡2x=1625\frac{7}{25} = 2\cos^2 x - 1 \implies 2\cos^2 x = \frac{32}{25} \implies \cos^2 x = \frac{16}{25} elde edilir. xx açısı 3. bölgede olduğundan cos⁡x\cos x değeri negatif olmalıdır. Dolayısıyla cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} olur.
xx açısının trigonometrik oranlarını bularak yarım açı formülüne hazırlık yapmak.
2
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini kullanarak sin⁡x\sin x değerini hesaplamak.
sin⁡2x=1−(−45)2=1−1625=925\sin^2 x = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} olur. xx açısı 3. bölgede olduğundan sin⁡x\sin x değeri de negatif olmalıdır. Buradan sin⁡x=−35\sin x = -\frac{3}{5} bulunur.
tan⁡(x2)\tan\left(\frac{x}{2}\right) değerini veren formülde kullanmak üzere sinüs değerini elde etmek.
3
tan⁡(x2)=sin⁡x1+cos⁡x\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} yarım açı formülünü uygulayarak sonucu hesaplamak.
tan⁡(x2)=−351−45=−3515=−3\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{-\frac{3}{5}}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{1}{5}} = -3 bulunur.
Yarım açı formülü ile doğrudan sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının yarım açı formülleri ile açıların bölgelerine göre işaret tayini.

Alternatif Yöntem

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=−3/5−4/5=34\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} bulunur. tan⁡x=2tan⁡(x/2)1−tan⁡2(x/2)\tan x = \frac{2\tan(x/2)}{1 - \tan^2(x/2)} formülünde tan⁡(x/2)=t\tan(x/2) = t denirse, 2t1−t2=34  ⟹  3t2+8t−3=0  ⟹  (3t−1)(t+3)=0\frac{2t}{1-t^2} = \frac{3}{4} \implies 3t^2 + 8t - 3 = 0 \implies (3t-1)(t+3) = 0 denkleminden t=13t = \frac{1}{3} veya t=−3t = -3 elde edilir. x2\frac{x}{2} açısı ikinci bölgede olduğundan tanjant negatif olmalıdır, bu nedenle tan⁡(x2)=−3\tan\left(\frac{x}{2}\right) = -3 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(4x)+sin⁡(4x)1+cos⁡(4x)+sin⁡(4x)=−247\frac{1 - \cos(4x) + \sin(4x)}{1 + \cos(4x) + \sin(4x)} = -\frac{24}{7}
olduğuna göre, tan⁡x\tan x ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Dört bölü ü�� (4/3)
Verilen ifade sadeleştirildiğinde tan⁡2x=−247\tan 2x = -\frac{24}{7} bulunur. Tanjant iki kat açı formülü kullanılarak elde edilen 12t2−7t−12=012t^2 - 7t - 12 = 0 denkleminin kökleri 43\frac{4}{3} ve −34-\frac{3}{4}'tür. x∈(π/4,π/2)x \in (\pi/4, \pi/2) aralığında tan⁡x>1\tan x > 1 olması gerektiğinden doğru değer 43\frac{4}{3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki terimleri yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirin.
1−cos⁡4x=2sin⁡22x1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x ve 1+cos⁡4x=2cos⁡22x1 + \cos 4x = 2\cos^2 2x eşitlikleri ile sin⁡4x=2sin⁡2xcos⁡2x\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x özdeşliği yerine yazıldığında pay ifadesi 2sin⁡2x(sin⁡2x+cos⁡2x)2\sin 2x(\sin 2x + \cos 2x) ve payda ifadesi 2cos⁡2x(sin⁡2x+cos⁡2x)2\cos 2x(\sin 2x + \cos 2x) olur. Buradan ifade tan⁡2x\tan 2x olarak sadeleşir.
Trigonometrik denklemi daha basit bir formda çözebilmek için yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapılması gerekir.
2
Elde edilen tan⁡2x=−247\tan 2x = -\frac{24}{7} eşitliğini tanjant yarım aç�� formülünde yerine koyun.
tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=t\tan x = t yazılarak 2t1−t2=−247\frac{2t}{1 - t^2} = -\frac{24}{7} denklemi kurulur.
tan⁡2x\tan 2x değerinden tan⁡x\tan x değerine geçiş yapabilmek için tanjantın yarım açı (iki kat açı) formülü kullanılır.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi düzenleyin ve çözün.
t1−t2=−127  ⟹  12t2−7t−12=0\frac{t}{1 - t^2} = -\frac{12}{7} \implies 12t^2 - 7t - 12 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına (4t+3)(3t−4)=0(4t + 3)(3t - 4) = 0 şeklinde ayrılır. Kökler t1=43t_1 = \frac{4}{3} ve t2=−34t_2 = -\frac{3}{4} olarak bulunur.
Rasyonel denklemi çözülebilir kılmak için içler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden denklem standart formuna getirilir.
4
Açının tanım kümesini kontrol ederek doğru tan⁡x\tan x değerini belirleyin.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında tanjant fonksiyonu pozitif değerler alır ve tan⁡x>1\tan x > 1 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan kök t=43t = \frac{4}{3}'tür.
Trigonometrik fonksiyonların değerleri bulunurken açının ait olduğu bölge (kadran) işaret ve büyüklük sınırlarını belirler.

Anahtar Kavram

Tanjant yarım açı formülü ve trigonometrik ifadelerin yarım açı formülleriyle sadeleştirilmesi
Soru 33Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)sin⁡(2x)−sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3\frac{\sin(4x)}{\sin(2x) - \sin(2x)\cos(2x)} = 3
olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Verilen ifade sadeleştirildiğinde cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} denklemine ulaşılır. Bu değerden yarım açı formülü yardımıyla, belirtilen aralıkta tan⁡x\tan x değeri 0.50.5 olarak bulunur.
Verilen denklemde pay sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) şeklinde açılıp payda sin⁡(2x)\sin(2x) parantezine alındığında, sin⁡(2x)\sin(2x) terimleri sadeleşerek 2cos⁡(2x)1−cos⁡(2x)=3\frac{2\cos(2x)}{1-\cos(2x)} = 3 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunur. x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) aralığı için cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x} özdeşliği kullanılarak tan⁡x=0.5\tan x = 0.5 değeri tek olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Payda bulunan sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine yarım açı formülünü uygulamak
2sin⁡(2x)cos⁡(2x)2\sin(2x)\cos(2x)
Değişkenlerin derecesini düşürmek ve paydadaki terimlerle sadeleştirme yapabilmek için yarım açı formülü kullanılmıştır.
2
Paydayı ortak çarpan parantezine almak
sin⁡(2x)(1−cos⁡(2x))\sin(2x)(1 - \cos(2x))
Payda kısmındaki ortak sin⁡(2x)\sin(2x) terimlerini gruplayarak sadeleştirmeye hazır hale getirmek hedeflenmiştir.
3
İfadeyi sadeleştirmek ve içler dışlar çarpımı yapmak
cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
Pay ve paydadaki sin⁡(2x)\sin(2x) terimleri sadeleştirilerek elde edilen basit rasyonel denklem çözülmüştür.
4
Kosinüs yarım açı formülü yardımıyla tanjant değerine geçiş yapmak
tan⁡x=0.5\tan x = 0.5
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} formülü uygulanıp x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) bölge koşulu dikkate alınarak pozitif kök bulunmuştur.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri yardımıyla trigonometrik denklemleri sadeleştirme ve çözme.
Soru 34Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
sin⁡x−cos⁡x=0,6\sin x - \cos x = 0,6
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.64

Cevap

0,64
sin⁡x−cos⁡x=0,6\sin x - \cos x = 0,6 eşitliğinin her iki tarafının karesi alındığında sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=0,36\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36 elde edilir. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) özdeşlikleri kullanılarak denklem 1−sin⁡(2x)=0,361 - \sin(2x) = 0,36 şekline dönüştürülür. Buradan sin⁡(2x)=0,64\sin(2x) = 0,64 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alma
sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=0,36\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36
sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x çarpım terimini ortaya çıkarmak için karesini alma işlemi uygulanır.
2
Temel trigonometrik özdeşliği yerine koyma
1−2sin⁡xcos⁡x=0,361 - 2\sin x\cos x = 0,36
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliği kullanılır.
3
Yarım açı formülünü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplama
sin⁡(2x)=0,64\sin(2x) = 0,64
2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) yarım açı formülü yerine yazılır ve 1−sin⁡(2x)=0,361 - \sin(2x) = 0,36 denkleminden sin⁡(2x)=0,64\sin(2x) = 0,64 elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Formülü
Soru 35Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=−34\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} = -\frac{3}{4}
olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −247-\frac{24}{7}

Cevap

−247-\frac{24}{7}
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirildiğinde tan⁡x=−34\tan x = -\frac{3}{4} elde edilir. Tanjant iki kat açı formülü olan tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} ifadesinde bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç −247-\frac{24}{7} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadedeki yarım açı formüllerini uygulayarak sadeleştirme yapınız.
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x ve 1+cos⁡(2x)=2cos⁡2x1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x özdeşliklerini kullanalım. Ayrıca sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğunu biliyoruz. Bu durumda pay: 2sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x) olur. Payda ise: 2cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)2\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x) olur.
İfadeyi daha sade ve çözülebilir bir biçime getirmek için yarım açı formülleriyle terimleri ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirerek tan⁡x\tan x değerini bulunuz.
İfade 2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x olarak sadeleşir. Bize bu ifadenin −34-\frac{3}{4} olduğu verildiğinden tan⁡x=−34\tan x = -\frac{3}{4} elde edilir.
Pay ve paydadaki (sin⁡x+cos⁡x)(\sin x + \cos x) ve 22 terimleri sadeleştiğinde geriye kalan oran tanjant fonksiyonunun tanımını verir.
3
Tanjant fonksiyonunun yarım açı formülünü kullanarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplayınız.
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=−34\tan x = -\frac{3}{4} değerini yerine yazalım: tan⁡(2x)=2⋅(−34)1−(−34)2=−321−916=−32716=−32⋅167=−247\tan(2x) = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{24}{7} bulunur.
tan⁡x\tan x değeri bilindiğinde, iki kat açı formülüyle doğrudan tan⁡(2x)\tan(2x) değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kosinüs fonksiyonlarının yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve iki kat açının trigonometrik değerlerinin hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 36Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x⋅cos⁡x=310\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10}
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

İfadenin değeri üç bölü beş olarak bulunur.
Sinüs yarım açı özdeşliği olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x formülünde, soruda verilen sin⁡x⋅cos⁡x=310\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10} değeri yerine yazıldığında 2⋅310=352 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{5} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs yarım açı formülünü yazınız.
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x
sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesini verilen sin⁡x⋅cos⁡x\sin x \cdot \cos x çarpımı cinsinden açmak için bu özdeşlik kullanılır.
2
Verilen sin⁡x⋅cos⁡x=310\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10} değerini formülde yerine koyunuz.
sin⁡(2x)=2⋅(310)\sin(2x) = 2 \cdot \left(\frac{3}{10}\right)
Bilinmeyen ifadeyi sayısal değere dönüştürmek için verilen eşitlik yerleştirilir.
3
Çarpma işlemini tamamlayıp kesri sadeleştiriniz.
sin⁡(2x)=610=35\sin(2x) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
En sade rasyonel sonuca ulaşmak için pay ve payda sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Özdeşliği
Tahmini Süre:45s
Soru 37Soru →
θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{3}
olduğuna göre, tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Tanjant yarım açı formülü kullanılarak elde edilen değer 0,75'tir.
Verilen açının tanjant değeri yarım açı formülünde yerine yazıldığında, elde edilen rasyonel ifadenin sadeleştirilmesiyle sonuç 3/4 yani ondalık olarak 0,75 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant yarım açı formülü yazılır.
tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
İki kat açının tanjant değerini tek kat açı cinsinden hesaplamak için bu formül gereklidir.
2
Verilen tanjant değeri formülde yerine konur.
tan⁡(2θ)=2⋅131−(13)2\tan(2\theta) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}
Verilen bilginin sayısal karşılığını kullanarak sonuca ulaşmak hedeflenir.
3
Rasyonel sayılarda işlemler ve sadeleştirmeler tamamlanır.
tan⁡(2θ)=2389=0,75\tan(2\theta) = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = 0,75
Pay ve payda kısımlarındaki işlemler yapılarak nihai oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Tanjant fonksiyonunda yarım açı (iki kat açı) formülünün doğrudan uygulanması.
Soru 38Soru →
A=cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘A = \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ olduğuna göre, 64⋅A64 \cdot A ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen sonuç 4'tür.
Verilen ifade sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpılıp bölündüğünde ve cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ dönüşümü yapıldığında, sinüsün yarım açı formülü ardışık olarak uygulanarak pay kısmında 116sin⁡24∘\frac{1}{16}\sin 24^\circ elde edilir. Paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleşen ifade A=116A = \frac{1}{16} değerini verir. Buradan 64⋅A=464 \cdot A = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi sin⁡24∘\sin 24^\circ ile çarpıp bölerek yarım açı formülü uygulanabilir hale getirmek.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡168∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 168^\circ}{\sin 24^\circ}
Zincirleme yarım açı formülü uygulaması için ilk terimi oluşturmak.
2
cos⁡168∘=cos⁡192∘\cos 168^\circ = \cos 192^\circ özdeşliğini kullanarak açı dizilimini iki katı olacak şekilde tamamlamak.
A=sin⁡24∘⋅cos⁡24∘⋅cos⁡48∘⋅cos⁡96∘⋅cos⁡192∘sin⁡24∘A = \frac{\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ \cdot \cos 48^\circ \cdot \cos 96^\circ \cdot \cos 192^\circ}{\sin 24^\circ}
cos⁡192∘\cos 192^\circ ve cos⁡168∘\cos 168^\circ değerlerinin her ikisi de −cos⁡12∘-\cos 12^\circ değerine eşit olduğundan zinciri bozmadan iki katı kuralını sürdürmek.
3
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x yarım açı formülünü pay kısmına sırayla uygulamak.
sin⁡24∘cos⁡24∘=12sin⁡48∘\sin 24^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{2}\sin 48^\circ
12sin⁡48∘cos⁡48∘=14sin⁡96∘\frac{1}{2}\sin 48^\circ \cos 48^\circ = \frac{1}{4}\sin 96^\circ
14sin⁡96∘cos⁡96∘=18sin⁡192∘\frac{1}{4}\sin 96^\circ \cos 96^\circ = \frac{1}{8}\sin 192^\circ
18sin⁡192∘cos⁡192∘=116sin⁡384∘\frac{1}{8}\sin 192^\circ \cos 192^\circ = \frac{1}{16}\sin 384^\circ
Pay kısmındaki kosinüs çarpımlarını tek bir sinüs terimine indirgemek.
4
sin⁡384∘\sin 384^\circ açısının esas ölçüsünü bularak paydadaki sin⁡24∘\sin 24^\circ ile sadeleştirmek.
sin⁡384∘=sin⁡(360∘+24∘)=sin⁡24∘\sin 384^\circ = \sin(360^\circ + 24^\circ) = \sin 24^\circ
A=116sin⁡24∘sin⁡24∘=116A = \frac{\frac{1}{16}\sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} = \frac{1}{16}
AA değerini rasyonel bir sayıya dönüştürmek.
5
64⋅A64 \cdot A ifadesini hesaplamak.
64⋅A=64⋅116=464 \cdot A = 64 \cdot \frac{1}{16} = 4
Soruda istenen nihai çarpım değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs yarım açı formülünün (sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x) ardışık kosinüs çarpımlarında zincirleme kullanımı ve indirgeme formülleri.
Soru 39Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ifadesinde sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} değeri yerine yazıldığında elde edilen 35\frac{3}{5} değeridir.
Doğru yanıt olan 35\frac{3}{5} ifadesi, cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x formülünde sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} değeri yerine yazılarak 1−2(15)=351 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5} şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün bilinen sinüs değerine bağlı yarım açı formülünü belirleyin.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
Verilen sinüs değerini doğrudan kullanabilmek için bu yarım açı formülü tercih edilir.
2
sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} değerini formülde yerine yazın.
cos⁡(2x)=1−2(15)2\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2
İfadenin sayısal değerini hesaplamak için yerine koyma işlemi yapılır.
3
Gerekli aritmetik işlemleri tamamlayın.
cos⁡(2x)=1−2(15)=1−25=35\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}
Çıkarma işlemini yaparak sonucu bulun.

Anahtar Kavram

Kosinüsün sinüs değerine bağlı yarım açı formülünü (1−2sin⁡2x1 - 2\sin^2 x) kullanarak açı küçültme ve hesaplama yapma.
Tahmini Süre:45s
Soru 40Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)1−sin⁡(2x)=3\frac{\cos(2x)}{1 - \sin(2x)} = 3

olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.28

Cevap

Doğru cevap −0.28-0.28 (veya −725-\frac{7}{25}) olmalıdır.
Verilen rasyonel trigonometrik denklem sadeleştirildiğinde tan⁡x=0.5\tan x = 0.5 eşitliği elde edilir. Bu değer yardımıyla iki kez yarım açı formülü uygulanarak sırasıyla cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 ve cos⁡(4x)=−0.28\cos(4x) = -0.28 değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleriyle düzenleyin.
cos⁡(2x)=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) ve 1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(cos⁡x−sin⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2 elde edilir.
Denklemi sadeleştirmek ve sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x arasındaki ilişkiyi bulmak için bu özdeşliklerin kullanılması gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak sadeleştirin ve tan⁡x\tan x değerini bulun.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x)2=3  ⟹  cos⁡x+sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=3  ⟹  cos⁡x+sin⁡x=3cos⁡x−3sin⁡x  ⟹  4sin⁡x=2cos⁡x  ⟹  tan⁡x=12\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)^2} = 3 \implies \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} = 3 \implies \cos x + \sin x = 3\cos x - 3\sin x \implies 4\sin x = 2\cos x \implies \tan x = \frac{1}{2} elde edilir.
x∈(0,π/2)x \in (0, \pi/2) aralığında ve denklemin sonucu pozitif olduğundan cos⁡x−sin⁡x>0\cos x - \sin x > 0 olup sadeleştirme yapılması uygundur.
3
tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} bilgisini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayın.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−1/41+1/4=35=0.6\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3}{5} = 0.6 elde edilir.
cos⁡(4x)\cos(4x) değerine geçiş yapabilmek için öncelikle cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin bulunması gerekmektedir.
4
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini kullanarak kosinüsün yarım açı formülüyle cos⁡(4x)\cos(4x) değerini hesaplayın.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1=2(0.6)2−1=0.72−1=−0.28\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(0.6)^2 - 1 = 0.72 - 1 = -0.28 bulunur.
cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 çift kat açı formülüyle nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik yarım açı formülleri ve özdeşliklerin sadeleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 4Sonraki
Yarım Açı Formülleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin