Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 12

Her

x > 1

gerçel sayısı için pozitif değerli ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları

f(x) \cdot g(x) = x^3 + 4

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x+1}{x-1}

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

-5

1

2

\frac{5}{2}

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

Aranan türev değeri

1

olarak bulunur.

Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm ilişkilerinden hareketle, çarpım ve bölüm türevi kuralları uygulanarak

x=2

noktasındaki türev değerleri için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur. Bu sistem çözüldüğünde türev değeri

1

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x = 2

noktasındaki

f(2)

ve

g(2)

değerlerini bulmak için verilen eşitlikleri kullanırız.

f(2) \cdot g(2) = 2^3 + 4 = 12

ve

\frac{f(2)}{g(2)} = \frac{2+1}{2-1} = 3

elde edilir. Buradan

f(2) = 3g(2)

yazılabilir. Çarpım eşitliğinde yerine yazıldığında

3[g(2)]^2 = 12 \implies [g(2)]^2 = 4

olur. Fonksiyonlar pozitif değerli olduğundan

g(2) = 2

ve

f(2) = 6

bulunur.

Türev kurallarını uyguladıktan sonra fonksiyonların o noktadaki değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.

2

Çarpım eşitliğinin her iki tarafının türevini alırız.

(f(x) \cdot g(x))' = (x^3 + 4)' \implies f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2

olur.

x = 2

için

f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 12 \implies 2f'(2) + 6g'(2) = 12 \implies f'(2) + 3g'(2) = 6

denklemi elde edilir.

f'(2)

ve

g'(2)

değerleri arasında birinci bağıntıyı kurmak için.

3

Bölüm eşitliğinin her iki tarafının türevini alırız.

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)' \implies \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{1(x-1) - (x+1)1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}

olur.

x = 2

için

\frac{2f'(2) - 6g'(2)}{4} = -2 \implies f'(2) - 3g'(2) = -4

denklemi elde edilir.

f'(2)

ve

g'(2)

değerleri arasında ikinci bağıntıyı kurmak için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözeriz.

f'(2) + 3g'(2) = 6

ve

f'(2) - 3g'(2) = -4

denklemleri taraf tarafa toplandığında

2f'(2) = 2 \implies f'(2) = 1

bulunur.

f'(2)

değerini yalnız bırakıp sonucu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm kuralları kullanılarak türev alma ve türev değerlerini içeren denklem sistemlerini çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 222Soru →

Alt kısmı dikdörtgen, üst kısmı ise bu dikdörtgenin bir kenarını çap kabul eden yarım daire biçiminde tasarlanan bir pencerenin dış çevre uzunluğu $12$ metredir. Pencereden içeri giren ışık miktarının maksimum olması için pencerenin toplam alanının en büyük olması gerekmektedir. Buna göre, pencerenin alanını maksimum yapan yarım dairenin yarıçapı kaç metredir?

\frac{12}{8+\pi}

\frac{12}{4+\pi}

\frac{24}{4+\pi}

\frac{6}{2+\pi}

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{12}{4+\pi}$

Cevap

Pencerenin alanını maksimum yapan yarım dairenin yarıçapı \frac{12}{4+\pi} metredir.

Pencerenin alanını veren fonksiyon

A(r) = 12r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2

olarak kurulduğunda, bu fonksiyonun türevi

A'(r) = 12 - (4+\pi)r

olur. Türevi sıfıra eşitleyen yarıçap değeri ise doğrudan bölme işlemiyle bulunarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Pencerenin boyutlarını değişkenler cinsinden tanımlayalım.

Yarım dairenin yarıçapı

r

metre olsun. Bu durumda dairenin çapı ve dolayısıyla dikdörtgenin yatay kenar uzunluğu

2r

metre olur. Dikdörtgenin dikey kenar uzunluğunu ise

h

metre olarak belirleyelim.

Pencerenin dış çevre ve alan formüllerini tek bir değişken cinsinden ifade edebilmek için temel boyutları tanımlamamız gerekir.

2

Dış çevre uzunluğunu veren denklemi kuralım ve

h

değişkenini

r

cinsinden yazalım.

Pencerenin dış çevre uzunluğu, dikdörtgenin alt ve iki yan kenarı ile yarım dairenin yay uzunluğunun toplamıdır:

P = 2r + 2h + \pi r = 12

olur. Buradan

2h = 12 - (2+\pi)r \implies h = 6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r

elde edilir.

Çevre sınırlamasını kullanarak iki değişkenli alan fonksiyonunu tek değişkene indirgemek amacıyla

h

değerini

r

cinsinden ifade etmeliyiz.

3

Pencerenin toplam alan fonksiyonunu

r

cinsinden oluşturalım.

Toplam alan

A(r) = \text{Dikdörtgenin Alanı} + \text{Yarım Dairenin Alanı} = 2r \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2

olur.

h

yerine bulduğumuz ifadeyi yazarsak:

A(r) = 2r\left(6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r\right) + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2

elde edilir.

Maksimum yapmak istediğimiz alan ifadesini tek bir değişken (

r

) cinsinden fonksiyon olarak tanımlamalıyız.

4

Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek maksimum alanı veren

r

değerini bulalım.

A'(r) = 12 - 2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r = 12 - (4+\pi)r = 0 \implies (4+\pi)r = 12 \implies r = \frac{12}{4+\pi}

bulunur.

Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum) noktasını bulmak için birinci türevinin kökünü hesaplamamız gerekir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü, geometrik şekillerin çevre ve alan ilişkilerinin modellenmesi.

Soru 223Soru →

\mathbb{R} \setminus \{3\}

kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi her

x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}

için

f'(x) = \frac{(x-1)^2(x-5)}{x-3}

olarak verilmiştir.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

9

8

5

6

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5'tir.

Türev fonksiyonunun işaret tablosu incelendiğinde,

x = 5

noktasında türevin işareti negatiften pozitife dönmektedir ve fonksiyon bu noktada tanımlıdır. Bu nedenle

x = 5

noktası yerel minimum (yerel ekstremum) noktasıdır. Diğer taraftan,

x = 1

noktasında türev çift katlı köke sahip olduğundan işaret değiştirmemiştir;

x = 3

noktasında ise fonksiyon tanımlı değildir. Dolayısıyla, tek yerel ekstremum noktasının apsisi 5'tir ve apsisler toplamı da 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Türevin kritik noktalarını belirlemek için payı ve paydayı sıfır yapan noktaları bulalım.

Payın kökleri:

(x-1)^2 = 0 \implies x = 1

(çift katlı kök) ve

x-5 = 0 \implies x = 5

(tek katlı kök). Paydanın kökü:

x-3 = 0 \implies x = 3

(tek katlı kök, tanımsızlık noktası).

Yerel ekstremum noktaları türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur; bu noktaları belirlemek için işaret tablosu oluşturulmalıdır.

2

Bulunan kritik noktalara göre türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturalım.

x < 1

için

f'(x) > 0

(fonksiyon artan),

1 < x < 3

için

f'(x) > 0

(fonksiyon artan),

3 < x < 5

için

f'(x) < 0

(fonksiyon azalan),

x > 5

için

f'(x) > 0

(fonksiyon artan).

İşaret tablosu yardımıyla türevin hangi noktalarda işaret değiştirdiğini belirleyebiliriz.

3

Türevin işaret değiştirdiği noktaları ve bu noktaların tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edelim.

x = 1

noktasında türev işaret değiştirmemiştir (

+

iken

+

kalmıştır), dolayısıyla bu nokta yerel ekstremum değildir.

x = 3

noktasında türev işaret değiştirmiştir ancak fonksiyon bu noktada tanımlı değildir (

3 \notin \mathbb{R} \setminus \{3\}

), bu yüzden bu nokta da yerel ekstremum olamaz.

x = 5

noktasında türev

-

işaretinden

+

işaretine geçerek işaret değiştirmiştir ve fonksiyon bu noktada tanımlıdır. Dolayısıyla

x = 5

noktası fonksiyonun yerel minimum (yerel ekstremum) noktasıdır.

Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için o noktada fonksiyonun tanımlı olması ve türevinin işaret değiştirmesi şarttır.

4

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamını bulalım.

Tek yerel ekstremum noktasının apsisi

x = 5

olduğundan, apsisler toplamı

5

olur.

Soruda istenen toplam değerini elde etmek için bulduğumuz apsis değerlerini toplarız.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Türevin çift katlı köklerinde veya fonksiyonun tanımsız olduğu noktalarda yerel ekstremum noktası bulunmaz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 224Soru →

Doğrusal bir kıyı şeridine sahip bir denizde, kıyıdan $4\text{ km}$ açıkta bulunan bir $A$ noktasındaki yüzücü, kıyı üzerinde yer alan ve kendisine en yakın kıyı noktasına $12\text{ km}$ uzaklıktaki bir $B$ noktasına ulaşmak istemektedir. Yüzücünün sudaki hızı saatte $3\text{ km}$ , kıyıdaki yürüyüş hızı ise saatte $5\text{ km}$ 'dir. Buna göre, yüzücünün $B$ noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe kaç $\text{km}$ olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Yüzücünün kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe 9 km'dir.

Yüzücünün A noktasından C noktasına yüzme süresi ile C noktasından B noktasına yürüme süresinin toplamını veren fonksiyon

T(x) = \frac{\sqrt{x^2+16}}{3} + \frac{12-x}{5}

şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde

x = 3

elde edilir. Yüzücünün karada yürümesi gereken mesafe ise

12 - x = 9

km olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yüzücünün kıyıya ulaştığı noktan��n en yakın kıyı noktasına olan uzaklığını

x

olarak değişken tanımlayarak yolların uzunluklarını ifade etmek.

Denizde kat edilen mesafe

AC = \sqrt{x^2 + 16}

km, karada kat edilen mesafe

CB = 12 - x

km'dir.

Yüzücünün toplam süresini tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazabilmek için.

2

Zaman = Yol / Hız formülünü kullanarak toplam süreyi veren

T(x)

fonksiyonunu oluşturmak.

T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{3} + \frac{12 - x}{5}

saat.

Minimize etmek istediğimiz toplam süreyi matematiksel olarak modellemek.

3

Oluşturulan

T(x)

fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulmak.

T'(x) = \frac{x}{3\sqrt{x^2+16}} - \frac{1}{5} = 0 \implies 5x = 3\sqrt{x^2+16} \implies x = 3

km.

Fonksiyonun yerel minimum noktasını türev yardımıyla tespit etmek.

4

Bulunan

x = 3

değerini kullanarak yüzücünün karada yürümesi gereken mesafeyi (

12 - x

) hesaplamak.

12 - 3 = 9

km.

Soruda bizden yüzücünün kıyıya çıktığı noktadan itibaren karada yürümesi gereken mesafe istendiği için.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum (optimizasyon) problemlerinin çözümü

Soru 225Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2

eğrisinin

A(1, f(1))

noktasındaki teğet doğrusu,

g(x) = -x^2 + bx - 5

parabolüne

B

noktasında teğettir.

Buna göre, $b > 0$ olmak üzere, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklığın karesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

A(1, 1) ve B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi 5'tir.

f(x) eğrisine x = 1 noktasında teğet olan doğru y = 2x - 1 doğrusudur. Bu doğrunun g(x) = -x^2 + bx - 5 parabolüne teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen b = 6 (b > 0 şartıyla) değeri için teğet noktası B(2, 3) olarak bulunur. A(1, 1) ile B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi ise 5 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

A noktasının koordinatlarının belirlenmesi

A(1, 1)

Teğet doğrusunun değme noktasının y-koordinatını bulmak için f(1) hesaplanır.

2

Teğet doğrusunun eğiminin bulunması

m = 2

Fonksiyonun x = 1 noktasındaki birinci türevi, o noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.

3

Teğet doğrusunun denkleminin kurulması

y = 2x - 1

Eğimi 2 olan ve A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi yazılır.

4

g(x) parabolü ile doğrunun teğetlik durumunun incelenmesi

b = 6

Doğru ile parabolün ortak çözüm denkleminin çift katlı kökü olmalıdır, bu yüzden diskriminant sıfıra eşitlenir. Pozitif b değeri seçilir.

5

Teğet noktası B'nin koordinatlarının bulunması

B(2, 3)

Ortak çözüm denkleminin kökü olan x = 2 değeri teğet doğrusunda yerine yazılarak y-koordinatı belirlenir.

6

Noktalar arasındaki uzaklığın karesinin hesaplanması

5

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak |AB|^2 değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ise ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.

Alternatif Yöntem

Teğet noktası B(x₀, y₀) noktasındaki türev yardımıyla da çözülebilir. g'(x) = -2x + b olup B noktasındaki teğet eğimi 2 olmalıdır. Buradan -2x₀ + b = 2 ve b = 2x₀ + 2 yazılır. B noktası hem parabolün hem de y = 2x - 1 doğrusunun üzerinde olduğundan, -x₀² + (2x₀ + 2)x₀ - 5 = 2x₀ - 1 denklemi elde edilir. Düzenlendiğinde x₀² = 4 bulunur. b > 0 olması için b = 2x₀ + 2 ifadesinden x₀ = 2 olmalıdır. Buradan B(2, 3) noktasına doğrudan ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 226Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $g$ fonksiyonunun grafiğine $x = 1$ noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi $y = 6x - 2$ olarak verilmiştir.

Buna göre,

f(x) = \frac{g(x^2)}{x+1}

fonksiyonu için

f'(1)

değeri kaçt��r?

2

-3

5

7

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Türev kuralının doğru uygulanmasıyla elde edilen sonuç 5 sayısıdır.

Verilen teğet doğrusu yardımıyla

g(1) = 4

ve

g'(1) = 6

değerleri bulunur. Bölümün türevi ve zincir kuralları doğru bir biçimde uygulanarak elde edilen türev fonksiyonunda

x = 1

yazıldığında pay kısmındaki değer

20

, payda kısmındaki değer ise

4

olur. Bu iki değerin oranı bize doğru cevap olan 5 sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusunun denkleminden fonksiyonun o noktadaki değerini ve türevini bulunuz.

g(1) = 4

ve

g'(1) = 6

Teğet noktasının koordinatları teğet doğrusunu sağlar, dolayısıyla

x=1

için

g(1) = 6(1) - 2 = 4

olur. Teğet doğrusunun eğimi o noktadaki türev değerine eşit olduğundan

g'(1) = 6

elde edilir.

2

f(x)

fonksiyonunun türevini almak için bölüm türevi ve zincir kuralını uygulayınız.

f'(x) = \frac{2x \cdot g'(x^2) \cdot (x+1) - g(x^2)}{(x+1)^2}

Bölümün türevi kuralına göre payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi uygulanır. Paydaki

g(x^2)

fonksiyonunun türevi alınırken zincir kuralı gereği içinin türevi olan

2x

çarpanı başa gelir.

3

Türev ifadesinde

x = 1

yazarak hesaplamayı tamamlayınız.

f'(1) = 5

f'(1) = \frac{2(1) \cdot g'(1) \cdot (1+1) - g(1)}{(1+1)^2} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 2 - 4}{4} = \frac{24 - 4}{4} = 5

bulunur.

Anahtar Kavram

Bölüm türevi kuralı, zincir kuralı ve teğet eğimi-türev ilişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 227Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 5

eğrisine çizilen ve

y = 3x + 1

doğrusuna paralel olan teğet doğrularının

y

-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Teğet doğrularının y-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 32 birimdir.

Teğet doğrularının eğimi, paralel oldukları y = 3x + 1 doğrusunun eğimi olan 3'tür. f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 3 denklemi çözüldüğünde teğet noktalarının apsisleri x = 3 ve x = -1 bulunur. Bu noktalardaki ordinatlar f(3) = -13 ve f(-1) = 7 olur. Bu noktalardan çizilen y = 3x + n formundaki teğetlerin y-kesenleri sırasıyla n = -22 ve n = 10 olarak bulunur. Bu iki y-keseni arasındaki uzaklık |10 - (-22)| = 32 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1

Paralel doğrunun eğimini belirleme

Teğet doğrularının eğimi m = 3'tür.

Teğet doğruları y = 3x + 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimleri bu doğrunun eğimine eşittir.

2

Teğet noktalarının apsislerini bulma

Apsisler x = 3 ve x = -1 olarak bulunur.

Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. f'(x) = 3 denklemi çözülür.

3

Teğet noktalarının ordinatlarını hesaplama

Noktalar (3, -13) ve (-1, 7) olarak elde edilir.

Apsis değerleri f(x) fonksiyonunda yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.

4

Teğet doğrularının y-kesenlerini bulma

y-kesenleri -22 ve 10 olarak bulunur.

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemleri yazılır ve x = 0 için y değerleri belirlenir.

5

y-kesenleri arasındaki uzaklığı hesaplama

Uzaklık 32 birimdir.

İki y-keseni arasındaki mutlak fark hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Soru 228Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

g(2) = 4

g'(2) = 3

f'(2) = 5

eşitlikleri verilmektedir.

h(x) = f\left( \frac{g(x)}{x} \right)

biçiminde tanımlanan $h$ fonksiyonu için $h'(2)$ değeri kaçtır?

5

15

-\frac{5}{4}

\frac{5}{2}

\frac{25}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{2}$

Cevap

Beş bölü iki

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralı ve içteki fonksiyon için bölümün türev kuralı eksiksiz uygulandığında

h'(2) = f'(2) \cdot \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{4}

ifadesine ulaşılır. Verilen değerler yerleştirildiğinde doğru değer beş bölü iki olur.

Adım Adım Çözüm

1

h(x) = f\left( \frac{g(x)}{x} \right)

fonksiyonunun türevi zincir kuralı yardımıyla yazılır.

h'(x) = f'\left( \frac{g(x)}{x} \right) \cdot \left( \frac{g(x)}{x} \right)'

elde edilir.

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi alınarak içi aynen yazılır ve bu ifade içinin türevi ile çarpılır.

2

İçteki

\frac{g(x)}{x}

ifadesinin türevi bölümün türev kuralı kullanılarak bulunur.

\left( \frac{g(x)}{x} \right)' = \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot 1}{x^2}

olur.

İki fonksiyonun bölümünün türevi alınırken payın türevi ile paydanın çarpımından, pay ile paydanın türevinin çarpımı çıkarılır ve sonuç paydanın karesine bölünür.

3

x = 2

değeri türev denkleminde yerine yazılarak verilen fonksiyon ve türev değerleri yerine konur.

h'(2) = f'\left( \frac{g(2)}{2} \right) \cdot \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{2^2}

ifadesinde değerler yazıldığında

h'(2) = f'(2) \cdot \frac{3 \cdot 2 - 4}{4} = 5 \cdot \frac{2}{4} = \frac{5}{2}

bulunur.

g(2) = 4

,

g'(2) = 3

ve

f'(2) = 5

bilgileri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Bölüm Fonksiyonlarının Türev Kuralları

Soru 229Soru →

Gerçel sayılar kümesinin

x \neq 4

koşulunu sağlayan elemanları üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu

f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}

biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,

f

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

2

4

6

8

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 8'dir.

Fonksiyonun türevi olan

f'(x) = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2}

ifadesini sıfır yapan ve fonksiyonun tanımlı olduğu noktaların apsisleri

2

ve

6

olup, bu noktaların her ikisinde de türev işaret değiştirmektedir. Bu nedenle yerel ekstremum apsisleri toplamı

2 + 6 = 8

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini bölümün türevi kuralını kullanarak hesaplayın.

f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2}

Yerel ekstremum noktalarının adaylarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun birinci türevini bulmamız gerekir.

2

Türevi sıfıra eşitleyen noktaları bulun.

x^2 - 8x + 12 = 0 \implies (x - 2)(x - 6) = 0

denkleminden

x = 2

ve

x = 6

bulunur.

Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.

3

Bulunan kritik noktaların tanım kümesinde olup olmadığını ve türevin bu noktalarda işaret değiştirip değiştirmediğini inceleyin.

x = 2

ve

x = 6

noktaları tanım kümesindedir (

2 \neq 4

ve

6 \neq 4

).

f'(x)

'in paydası

(x-4)^2 > 0

olduğundan işaret değişimi sadece payın köklerinde olur. Tabloya göre

x = 2

yerel maksimum,

x = 6

ise yerel minimum noktasıdır.

Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktada tanımlı olması ve türevinin o noktada işaret değiştirmesi şarttır.

4

Yerel ekstremum noktalarının apsislerini toplayın.

2 + 6 = 8

bulunur.

Bizden yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun türevi alınır, türevi sıfır yapan noktalar belirlenir ve bu noktalarda türevin işaret değiştirip değiştirmediği (ekstremum olma koşulu) kontrol edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 230Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - x^2 - 2x

eğrisine

x = 1

apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir

A

noktasında kesmektedir. Buna göre,

A

noktasından

f(x)

eğrisine çizilen normal doğrusunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

-\frac{13}{3}

-3

-\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-\frac{1}{3}$

Cevap

Normal doğrusunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı

-\frac{1}{3}

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

-\frac{1}{3}

değeri, belirtilen noktadan çizilen teğet doğrusu ile eğrinin ortak çözümü yapılarak kesim noktası olan koordinat düzlemindeki diğer noktanın bulunması ve ardından bu noktadaki normal doğrusunun eğimi kullanılarak yazılan normal denklemi yardımıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet noktasındaki fonksiyon değerini ve türevini (teğet eğimini) bulunuz.

f(1) = -2

ve

f'(1) = -1

bulunur.

x=1

apsisli noktadaki teğet doğrusunun denklemini yazmak için eğim ve geçtiği nokta gereklidir.

2

x=1

noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazınız.

y - (-2) = -1(x-1) \implies y = -x - 1

doğrusu elde edilir.

Teğetin denklemi

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

formülüyle bulunur.

3

Teğet doğrusu ile

f(x)

eğrisinin kesişim noktalarını bulmak için ortak çözüm yapınız.

x^3 - x^2 - 2x = -x - 1 \implies (x-1)^2(x+1) = 0

denkleminden diğer kesişim noktası

x = -1

apsisli

A(-1, 0)

noktası olarak bulunur.

Teğet doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktayı bulmak için iki denklem birbirine eşitlenir.

4

A(-1, 0)

noktasındaki teğet ve normal doğrularının eğimlerini hesaplayınız.

f'(-1) = 3

olduğundan

A

noktasındaki teğet eğimi

m_T = 3

ve normal doğrusunun eğimi

m_N = -\frac{1}{3}

olur.

Bir noktadaki normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimiyle çarpımı

-1

olacak şekilde

m_N = -\frac{1}{m_T}

formülüyle bulunur.

5

A(-1, 0)

noktasındaki normal doğrusunun denklemini yazıp

y

eksenini kestiği noktayı bulunuz.

y - 0 = -\frac{1}{3}(x - (-1)) \implies y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}

doğrusunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı

-\frac{1}{3}

olarak elde edilir.

y

eksenini kestiği noktayı bulmak için normal doğrusunun denkleminde

x = 0

yazılır.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin negatif tersidir (

m_T \cdot m_N = -1

). Ayrıca teğet doğrusu ile eğrinin diğer kesim noktaları ortak çözüm yapılarak bulunur.

Soru 231Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - 2x + 3

g(x) = x^2 - 8x + 23

fonksiyonları veriliyor. $f(x)$ parabolü üzerindeki bir $A(a, f(a))$ noktasından çizilen teğet doğrusu, $g(x)$ parabolünün tepe noktasından geçmektedir.

$a < 4$ olduğuna göre, bu teğet doğrusunun $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

-33

-7

-3

-1

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Teğet doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı -1 değeridir.

Doğru cevap -1 değeridir. f(x) fonksiyonuna x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y = 2x - 1 olup, y-eksenini -1 ordinatlı noktada keser.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) parabolünün tepe noktasını bulalım.

g(x) = x^2 - 8x + 23 parabolünde tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) = -(-8)/(2*1) = 4 olur. Bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak ordinat k = g(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 16 - 32 + 23 = 7 bulunur. Dolayısıyla tepe noktası T(4, 7) noktasıdır.

Teğet doğrusunun geçeceği noktayı belirlemek için.

2

f(x) eğrisine x = a noktasından ��izilen teğet doğrusunun denklemini kuralım.

Teğet noktası (a, a^2 - 2a + 3) ve teğetin eğimi m = f'(a) = 2a - 2 olur. Teğet doğrusunun denklemi: y - (a^2 - 2a + 3) = (2a - 2)(x - a) şeklinde yazılır.

Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla oluşturmak için.

3

Teğet doğrusu T(4, 7) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine yazarak a değerini bulalım.

7 - (a^2 - 2a + 3) = (2a - 2)(4 - a) ifadesinden 4 - a^2 + 2a = -2a^2 + 10a - 8 elde edilir. Denklemi düzenlediğimizde a^2 - 8a + 12 = 0 olur. Bu denklem çarpanlarına ayrılırsa (a - 2)(a - 6) = 0 elde edilir. Buradan a = 2 veya a = 6 bulunur.

Teğet doğrusunun geçtiği bilinen noktayı kullanarak teğet noktalarının apsislerini belirlemek için.

4

a < 4 koşuluna uyan a değerini seçip teğet doğrusunun denklemini yazalım.

Sorudaki a < 4 koşulundan dolayı a = 2 değeri seçilir. a = 2 için teğet noktası (2, 3) ve eğim m = 2(2) - 2 = 2 olur. Teğet doğrusunun denklemi y - 3 = 2(x - 2) veya düzenlenmiş haliyle y = 2x - 1 olarak bulunur.

Koşulu sağlayan doğru denklemini tam olarak belirlemek için.

5

Teğet doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatını bulalım.

y = 2x - 1 denkleminde x = 0 yazılırsa y = -1 bulunur.

Doğrunun y-eksenini kestiği noktaya ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.

Soru 232Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 1, & x < 1 \\ bx^3 - 2x, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$g(x) = f(x^2 + x - 1)$ olduğuna göre, $g'(1)$ değeri kaçtır?

-2

-4

-6

4

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6

Doğru cevap, süreklilik ve türevlenebilirlik şartlarının her ikisi de sağlanarak

f'(1) = -2

bulunduktan sonra, zincir kuralı ile

g'(1) = 3 \cdot f'(1) = -6

olarak hesaplanan değerdir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunun

x = 1

noktasında türevlenebilir olması için bu noktada sürekli olması gerekir. Sol ve sağ limitleri eşitleyerek

a

ve

b

arasındaki ilişkiyi bulalım.

a + 2 = b - 2 \implies b - a = 4

Türevlenebilir her fonksiyon tanımlı olduğu noktada sürekli olmak zorundadır.

2

f(x)

fonksiyonunun

x = 1

noktasındaki sol ve sağ türevlerini eşitleyerek

a

ve

b

arasındaki ikinci ilişkiyi bulalım.

a + 2 = 3b - 2 \implies 3b - a = 4

x = 1

kritik noktasında türevin var olması için sağ ve sol türevlerin birbirine eşit olması gerekir.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek

a

ve

b

değerlerini, ardından

f'(1)

değerini bulalım.

b = 0

,

a = -4

ve

f'(1) = -2

Denklemleri ortak çözdüğümüzde

2b = 0 \implies b = 0

bulunur. Buradan

a = -4

elde edilir. Sol veya sağ türev fonksiyonunda yerine yazarak

f'(1) = -2

bulunur.

4

g(x) = f(x^2 + x - 1)

fonksiyonunun türevini zincir kuralı yardımıyla alıp

x = 1

değerini yerine yazalım.

g'(1) = 3 \cdot f'(1) = 3 \cdot (-2) = -6

Bileşke fonksiyon türevi kuralına göre

g'(x) = f'(x^2 + x - 1) \cdot (2x + 1)

olur.

x = 1

için

g'(1) = f'(1) \cdot 3

elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları, parçalı fonksiyonların türevlenebilirliği ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı)

Soru 233Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun yerel minimum noktası $A(3, 4)$ ve yerel maksimum noktası $B(1, k)$ olarak verilmiştir.

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

olduğuna göre, $a + b + c + k$ toplamı kaçtır?

11

15

27

111

-105

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

a + b + c + k toplamı 15 olarak bulunur.

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarında türevi sıfırdır. Bu kuraldan yararlanarak oluşturulan türev denklemlerinin ortak çözümünden

a = -6

ve

b = 9

elde edilir. Verilen yerel minimum noktası

A(3, 4)

fonksiyon kuralında yerine yazılarak

c = 4

bulunur. Son olarak yerel maksimum noktası

B(1, k)

fonksiyon denkleminde yerine yazıldığında yerel maksimum değeri

k = 8

olarak hesaplanır. Bu dört değer toplandığında elde edilen sonuç 15 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

elde edilir.

Yerel ekstremum noktalarında türevin değerini incelemek için birinci türeve ihtiyaç vardır.

2

Yerel ekstremum noktalarında türevin sıfır olması koşulunu kullanarak a ve b değerlerini bulun.

f'(3) = 0 \Rightarrow 27 + 6a + b = 0 \Rightarrow 6a + b = -27

ve

f'(1) = 0 \Rightarrow 3 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = -3

denklem sistemi çözüldüğünde

a = -6

ve

b = 9

elde edilir.

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.

3

A(3, 4) noktasının fonksiyon denklemini sağladığı bilgisinden c sabitini hesaplayın.

f(3) = 27 + 9a + 3b + c = 4 \Rightarrow 27 + 9(-6) + 3(9) + c = 4 \Rightarrow 27 - 54 + 27 + c = 4 \Rightarrow c = 4

bulunur.

Fonksiyon grafiği üzerindeki her nokta, fonksiyonun kuralını sağlamak zorundadır.

4

B(1, k) noktasını kullanarak k değerini hesaplayın.

f(1) = 1 + a + b + c = k \Rightarrow 1 - 6 + 9 + 4 = k \Rightarrow k = 8

bulunur.

Yerel maksimum noktası da fonksiyon grafiği üzerinde yer aldığından fonksiyon denklemini sağlar.

5

Bulunan a, b, c ve k değerlerini toplayarak sonuca ulaşın.

a + b + c + k = -6 + 9 + 4 + 8 = 15

elde edilir.

Soruda istenen toplam ifadesinin değerini bulmak için tüm değişkenler toplanır.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevinin sıfır olması ve bu noktaların fonksiyon denklemini sağlaması.

Soru 234Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f(x) = x^2 - 4x + k$ fonksiyonunun grafiğine orijinden (başlangıç noktasından) çizilen teğet doğruları birbirine dik olduğuna göre, $k$ kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.25

Cevap

Teğet doğrularının birbirine dik olmasını sağlayan

k

değeri

4,25

(veya

\frac{17}{4}

) olarak bulunur.

Orijinden çizilen teğet doğrularının değme noktaları

A(x_0, y_0)

olsun. Orijinden geçen doğruların denklemi

y = mx

formundadır. Bu doğrular parabol ile teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen teğet eğimleri çarpımının

-1

olması koşuluyla

k = 4,25

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet değme noktasını

A(x_0, f(x_0))

olarak tanımlayın.

Değme noktası

A(x_0, x_0^2 - 4x_0 + k)

olur.

Teğet denklemini türev yardımıyla kurabilmek için değme noktasını değişken cinsinden yazmamız gerekir.

2

Türev alarak değme noktasındaki teğetin eğimini bulun ve teğet doğrusunun denklemini yazın.

f'(x) = 2x - 4

olduğundan teğet doğrusu

y - (x_0^2 - 4x_0 + k) = (2x_0 - 4)(x - x_0)

şeklindedir.

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

3

Teğet doğrusunun orijinden

(0,0)

geçtiği bilgisini kullanarak değme noktalarının apsislerini belirleyin.

x_0^2 = k

denklemi elde edilir, buradan

x_1 = \sqrt{k}

ve

x_2 = -\sqrt{k}

bulunur.

Çizilen teğet doğruları orijinden geçtiği için orijin koordinatları teğet doğrusu denklemini sağlamalıdır.

4

Bulunan apsis değerlerini türevde yerine yazarak teğetlerin eğimlerini hesaplayın ve diklik koşulunu uygulayın.

m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (2\sqrt{k} - 4)(-2\sqrt{k} - 4) = -1 \implies 4k - 16 = 1 \implies k = 4,25

elde edilir.

Birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı

-1

'dir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemini bulma ve birbirine dik doğruların eğim ilişkisi

Soru 235Soru →

Her

x

gerçel sayısı için türevlenebilir bir

f

fonksiyonu

f(x) = \frac{kx - 3}{x^2 + 2}

kuralıyla tanımlanmıştır.

f'(1) = 1

olduğuna göre,

k

sabit sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k sabit sayısı 3'tür.

Fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralıyla

f'(x) = \frac{k(x^2 + 2) - 2x(kx - 3)}{(x^2 + 2)^2}

olarak elde edilir.

x = 1

için türev değeri

f'(1) = \frac{k + 6}{9}

olur. Soruda verilen

f'(1) = 1

bilgisi kullanıldığında

\frac{k + 6}{9} = 1

denklemi çözülerek

k = 3

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.

f'(x) = \frac{k(x^2 + 2) - 2x(kx - 3)}{(x^2 + 2)^2}

f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}

biçimindeki bir bölümün türevi

f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}

formülüyle hesaplanır.

2

x = 1

değerini türev fonksiyonunda yerine yazınız.

f'(1) = \frac{k + 6}{9}

Türev fonksiyonunda

x = 1

yazıldığında

f'(1) = \frac{k(1^2 + 2) - 2(1)(k(1) - 3)}{(1^2 + 2)^2} = \frac{3k - 2k + 6}{9} = \frac{k + 6}{9}

elde edilir.

3

f'(1) = 1

eşitliğini çözerek

k

değerini bulunuz.

k = 3

\frac{k + 6}{9} = 1

ise

k + 6 = 9

olur. Buradan

k = 3

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün Türev Kuralı

Soru 236Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan $y = \sqrt{12 - 2x}$ eğrisi üzerindeki bir $P(x, y)$ noktası; orijin $O(0,0)$ ve pozitif $x$ -ekseni üzerindeki bir $B(b, 0)$ noktası ile birleştirilerek tepe açısı $P$ olan bir $OPB$ dik üçgeni oluşturuluyor.

Pozitif $a$ ve $b$ tam sayıları için $[OB]$ hipotenüsünün uzunluğunun alabileceği en küçük değer $a\sqrt{3} - b$ birim olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6; altı

Cevap

En küçük hipotenüs uzunluğu

4\sqrt{3} - 2

birim olup buradan

a = 4

ve

b = 2

bulunur. Dolayısıyla

a + b = 6

'dır.

Dik üçgenin diklik şartından yola çıkarak hipotenüs uzunluğunu veren

b(x) = x - 2 + \frac{12}{x}

fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde minimumu veren değer

x = 2\sqrt{3}

olarak bulunur. Bu değer fonksiyona yazıldığında en küçük hipotenüs uzunluğu

4\sqrt{3} - 2

birim elde edilir. Buradan katsayılar

a = 4

ve

b = 2

olarak bulunup toplamları

6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Dik üçgenin köşe koordinatlarını belirleyip diklik şartını yazmak.

Orijin

O(0,0)

,

P(x, y)

ve

B(b,0)

noktaları için

OP \perp PB

olmalıd��r. Buradan eğimler çarpımı

m_{OP} \cdot m_{PB} = -1 \implies \frac{y}{x} \cdot \frac{-y}{b-x} = -1 \implies y^2 = x(b-x)

elde edilir.

OPB

üçgeninin tepe açısı

P

olan bir dik üçgen olduğu belirtilmiştir.

2

Hipotenüs uzunluğu olan

b

değişkenini

x

cinsinden ifade etmek.

b - x = \frac{y^2}{x} \implies b(x) = x + \frac{y^2}{x}

bulunur.

P(x,y)

noktası

y = \sqrt{12-2x}

eğrisi üzerinde olduğundan

y^2 = 12-2x

eşitliği yerine yazılır:

b(x) = x + \frac{12-2x}{x} = x - 2 + \frac{12}{x}

elde edilir.

Elde edilen geometrik bağıntıyı tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon haline getirmek gerekir.

3

Türev yardımıyla fonksiyonu minimize etmek.

b'(x) = 1 - \frac{12}{x^2}

olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde

1 - \frac{12}{x^2} = 0 \implies x^2 = 12 \implies x = 2\sqrt{3}

(birinci bölgede olduğundan

x > 0

alınır) kritik noktası elde edilir. Bu nokta yerel minimum noktasıdır.

Bir fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevinin işaret değiştirdiği kritik noktalar incelenir.

4

En küçük hipotenüs uzunluğunu hesaplamak ve istenen toplamı bulmak.

x = 2\sqrt{3}

değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük uzunluk

b(2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 2 + \frac{12}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} - 2

birim olarak bulunur.

a\sqrt{3} - b

biçimiyle karşılaştırıldığında

a = 4

ve

b = 2

olup

a + b = 6

elde edilir.

Kritik değer fonksiyona yazılarak minimum uzunluk hesaplanır ve soru kökündeki katsayılar belirlenir.

Anahtar Kavram

Türevin maksimum ve minimum problemlerine uygulanması, geometrik optimizasyon.

Soru 237Soru →

Dik koordinat düzleminde, $A\left(1, -\frac{15}{2}\right)$ noktasından $f(x) = x^2$ parabolüne çizilen teğet doğrularının eğriye değme noktaları $B$ ve $C$ 'dir.

Buna göre, bu parabolün $B$ ve $C$ noktalarındaki normal doğrularının kesim noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Normal doğrularının kesim noktasının ordinatı 12'dir.

Parabolün teğet noktalarındaki normal doğrularının kesişim noktasının ordinatı ortak çözümle

y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + 1/2

olarak bulunur. Burada Vieta formülleri kullanılarak

t_1+t_2 = 2

ve

t_1 t_2 = -15/2

değerleri yerine yazıldığında ordinat 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusunun denklemini parametrik olarak ifade etme

Değme noktası

T(t, t^2)

için teğet denklemi:

y = 2tx - t^2

Fonksiyonun türevi olan

f'(x) = 2x

ifadesi teğetin eğimini verir.

2

Verilen noktanın teğet denklemini sağlaması koşulunu uygulama

2t^2 - 4t - 15 = 0

denklemi ve kök ilişkileri:

t_1 + t_2 = 2

,

t_1 t_2 = -\frac{15}{2}

Teğet doğrusu dışarıdaki

A(1, -15/2)

noktasından geçmektedir.

3

Değme noktalarındaki normal doğrularının denklemlerini bulma

y = -\frac{1}{2t_1}x + t_1^2 + \frac{1}{2}

ve

y = -\frac{1}{2t_2}x + t_2^2 + \frac{1}{2}

Teğet ve normal doğruları birbirine diktir, dolayısıyla eğimleri çarpımı

-1

'dir.

4

Normal doğrularının kesişim noktasının koordinat ilişkisini bulma

Kesişim noktasının apsisi

x = -2t_1 t_2(t_1 + t_2)

ve ordinatı

y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + \frac{1}{2}

İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözeriz.

5

Özdeşlikleri ve Vieta formüllerini kullanarak kesişim noktasının ordinatını hesaplama

y = 12

t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - t_1 t_2

özdeşliğini ve elde edilen kök ilişkilerini yerine koyarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimiyle çarpıldığında -1 olur. Dışarıdaki bir noktadan çizilen teğetlerin kesim noktaları ve bu noktalardaki normallerin kesişim koordinatları Vieta formülleri (kök-katsayı ilişkileri) ile bulunabilir.

Soru 238Soru →

f(x) = \frac{x^2 + ax + 1}{x^2 + 2}

fonksiyonu için $f'(1) = 1$ olduğuna göre, $f'(0)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Türev fonksiyonunda a = 7 değeri yerine yazılarak f'(0) değeri 3,5 olarak bulunur.

Bölümün türevi kuralı uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir. x = 1 yazılıp ifadenin değeri 1'e eşitlenerek a = 7 bulunur. Türev fonksiyonunda a yerine 7 ve x yerine 0 yazıldığında pay 14, payda ise 4 gelmekte olup f'(0) = 3,5 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Bölüm türevi kuralın�� uygulayarak f'(x) ifadesini elde edin.

f'(x) = \frac{(2x + a)(x^2 + 2) - (x^2 + ax + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2}

Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralı ile hesaplanır.

2

f'(1) = 1 eşitliğini kullanarak a değerini çözün.

a = 7

x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazıp 1'e eşitleyerek a parametresi elde edilir.

3

a = 7 değerini yerine yazarak f'(0) değerini hesaplayın.

f'(0) = 3,5

Türev fonksiyonunda a yerine 7 ve x yerine 0 yazarak f'(0) değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı

Soru 239Soru →

f: [-2, 6] \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5

fonksiyonunun mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı kaçtır?

9

-12

37

53

62

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı 37'dir.

Fonksiyonun verilen kapalı aralıktaki mutlak maksimum değeri uç nokta olan 6 için 59, mutlak minimum değeri ise kritik nokta olan 3 için -22 olup, bu değerlerin toplamı 37 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları (türevin sıfır olduğu yerleri) bulunuz.

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1) = 0

denkleminin kökleri

x = -1

ve

x = 3

olarak bulunur. Her iki nokta da

[-2, 6]

tanım aralığındadır.

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum adayları, türevin sıfır olduğu kritik noktalardır.

2

Kritik noktalardaki ve tanım aralığının uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplayınız.

Uç noktalardaki değerler:

f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3

f(6) = 6^3 - 3(6^2) - 9(6) + 5 = 216 - 108 - 54 + 5 = 59

Kritik noktalardaki değerler:

f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10

f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22

olarak bulunur.

Sürekli bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerleri, yerel ekstremum noktalarında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.

3

Hesaplanan değerleri karşılaştırarak mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini belirleyip toplayınız.

Hesaplanan değerler arasından en büyüğü

59

(mutlak maksimum), en küçüğü ise

-22

(mutlak minimum) olur. Bu değerlerin toplamı:

59 + (-22) = 37

olarak elde edilir.

Soru kökünde bizden mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerlerini bulmak için, fonksiyonun aralıktaki kritik noktalarında aldığı değerler ile aralığın uç noktalarında aldığı değerler hesaplanıp karşılaştırılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 240Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - 3x + a

parabolüne üzerindeki

x = 2

apsisli noktadan çizilen teğet doğrusu,

g(x) = x^3 - 2x^2 + bx

eğrisine üzerindeki

x = 1

apsisli noktada da teğettir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

0

4

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parametrelerin toplamı olan 6 değeri doğru cevaptır.

Parabolün teğet doğrusunun denklemi

y = x + a - 4

olarak elde edilir. Eğrinin

x = 1

noktasındaki teğet eğimi olan

b - 1

değeri doğrunun eğimi olan 1'e eşitlenerek

b = 2

bulunur. Değme noktası

(1, 1)

doğrunun üzerinde yerine yazılarak

a = 4

elde edilir. Buradan

a + b = 6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün

x = 2

apsisli noktadaki teğetinin eğimini bulmak için fonksiyonun türevi alınır ve

x = 2

değeri yerine yazılır.

f'(x) = 2x - 3 \implies f'(2) = 2(2) - 3 = 1

olur. Teğet doğrusunun eğimi

m = 1

'dir.

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

2

Parabol üzerindeki teğet noktasının koordinatları belirlenir ve teğet doğrusunun denklemi yazılır.

x = 2

için

f(2) = 2^2 - 3(2) + a = a - 2

olur. Nokta

(2, a - 2)

'dir. Eğimi

m = 1

olan teğet doğrusunun denklemi:

y - (a - 2) = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x + a - 4

olarak bulunur.

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet doğrusu elde edilir.

3

Bu teğet doğrusu

g(x)

eğrisine

x = 1

noktasında da teğet olduğundan,

g(x)

'in

x = 1

noktasındaki türevi teğet doğrusunun eğimine eşitlenerek

b

bulunur.

g'(x) = 3x^2 - 4x + b \implies g'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + b = b - 1

olur. Eğim 1 olduğundan

b - 1 = 1 \implies b = 2

bulunur.

Aynı teğet doğrusunun eğimi her iki teğet noktasındaki türev değerine eşit olmalıdır.

4

Eğrinin teğet noktası teğet doğrusunu sağlamalıdır. Bu bilgi kullanılarak

a

değeri bulunur.

b = 2

için

g(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2(1) = 1

olur. Değme noktası

(1, 1)

'dir. Bu nokta

y = x + a - 4

doğrusu üzerinde olduğundan

1 = 1 + a - 4 \implies a = 4

bulunur.

Teğet noktası hem eğri denklemini hem de teğet doğrusunun denklemini sağlamak zorundadır.

5

Bulunan

a

ve

b

değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

a + b = 4 + 2 = 6

olarak elde edilir.

Soru bizden bu iki parametrenin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Ortak teğet doğrusu problemlerinde eğimlerin eşitliği ve teğet noktalarının doğrunun denklemini sağlaması koşulları kullanılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Türev ve Uygulamaları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm