Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 241Soru →

Genişliği 8 metre8\text{ metre} olan bir koridor, genişliği 27 metre27\text{ metre} olan başka bir koridorla dik kesişmektedir. Bu koridorların birleştiği köşeden yatay konumda tutularak geçebilecek en uzun demir borunun boyu kaç metredir? (Borunun kalınlığı ihmal edilecektir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 131313\sqrt{13}

Cevap

Demir borunun geçebileceği maksimum uzunluk 131313\sqrt{13} metredir.
Doğru yanıt olan 131313\sqrt{13} değeri, borunun geçiş geometrisinden elde edilen L(θ)=8csc⁡θ+27sec⁡θL(\theta) = 8\csc\theta + 27\sec\theta fonksiyonunun türevi alınıp minimum noktası hesaplandığında tan⁡θ=23\tan\theta = \frac{2}{3} değeri için doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Koridorların kesişim bölgesini dik koordinat düzlemine yerleştirelim.
Dikey koridorun dış duvarı yy ekseni (x=0x=0), yatay koridorun dış duvarı xx ekseni (y=0y=0) ve iç köşe K(8,27)K(8, 27) noktası olur.
Geometrik problemi analitik yöntemlerle modellemek için koordinat sistemi kurulur.
2
İç köşeden geçen borunun uçlarının eksenlerle yaptığı açıyı θ\theta olarak tanımlayalım ve boru boyunu veren fonksiyonu yazalım.
Borunun dikey koridorda kalan kısmı L1=8sin⁡θL_1 = \frac{8}{\sin\theta} ve yatay koridorda kalan kısmı L2=27cos⁡θL_2 = \frac{27}{\cos\theta} olup, toplam boru boyu L(θ)=8sin⁡θ+27cos⁡θL(\theta) = \frac{8}{\sin\theta} + \frac{27}{\cos\theta} şeklinde bir fonksiyon oluşturur.
Borunun köşeden geçebilmesi için bu uzunluğun alabileceği minimum değeri bulmamız gerekir.
3
Toplam uzunluk fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik açıyı belirleyelim.
L′(θ)=−8cos⁡θsin⁡2θ+27sin⁡θcos⁡2θ=0  ⟹  27sin⁡3θ=8cos⁡3θ  ⟹  tan⁡3θ=827  ⟹  tan⁡θ=23L'(\theta) = -\frac{8\cos\theta}{\sin^2\theta} + \frac{27\sin\theta}{\cos^2\theta} = 0 \implies 27\sin^3\theta = 8\cos^3\theta \implies \tan^3\theta = \frac{8}{27} \implies \tan\theta = \frac{2}{3} bulunur.
Fonksiyonun minimum değerine ulaştığı kritik nokta türevin sıfır olduğu yerde oluşur.
4
Elde edilen kritik açının trigonometrik oranlarını boru boyu fonksiyonunda yerine koyalım.
tan⁡θ=23\tan\theta = \frac{2}{3} ise sin⁡θ=213\sin\theta = \frac{2}{\sqrt{13}} ve cos⁡θ=313\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{13}} olur. Buradan Lmin=8213+27313=413+913=1313L_{min} = \frac{8}{\frac{2}{\sqrt{13}}} + \frac{27}{\frac{3}{\sqrt{13}}} = 4\sqrt{13} + 9\sqrt{13} = 13\sqrt{13} elde edilir.
Bulunan minimum geçiş uzunluğu, bu virajdan geçebilecek maksimum boru boyuna karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla trigonometrik maksimum ve minimum problemlerinin çözümü.
Soru 242Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+ax+1f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 1
fonksiyonunun grafiğine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Aranan a değeri 1 olarak bulunur.
Fonksiyonun x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi türev yardımıyla f′(1)=a−3f'(1) = a - 3 olarak bulunur. Bu noktadaki normal doğrusunun eğimi ise mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3} olur. Normal doğrusunun dik olduğu belirtilen y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusunun eğimi −2-2 olduğundan, normal doğrusunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır. Buradan −1a−3=12  ⟹  a=1-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} \implies a = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türev kuralının bulunması
f′(x)=3x2−6x+af'(x) = 3x^2 - 6x + a
Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun birinci türevi alınır.
2
x=1x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğiminin (mtm_t) hesaplanması
mt=a−3m_t = a - 3
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet eğimi yardımıyla normal doğrusunun eğiminin (mnm_n) belirlenmesi
mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3}
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine diktir. Eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan mn=−1mtm_n = -\frac{1}{m_t} eşitliği kullanılır.
4
Verilen doğrunun eğiminden yararlanarak normal doğrusunun eğim değerinin bulunması
mn=12m_n = \frac{1}{2}
Normal doğrusu y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir. Eğimi −2-2 olan bir doğruya dik olan doğrunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır.
5
Elde edilen eğim değerlerinin eşitlenmesi ve aa parametresinin çözülmesi
a=1a = 1
−1a−3=12-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} denklemi çözülerek aa parametresinin değeri belirlenir.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal Doğrularının Eğimleri)
Soru 243Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonunun sadece bir tane yerel ekstremum noktası vardır ve bu noktanın apsisi −2-2'dir.

Buna göre, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x)
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri çarpım�� 3'tür.
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile f′(x)=(2x−3)g′(x2−3x)f'(x) = (2x - 3)g'(x^2 - 3x) olarak bulunur. gg fonksiyonunun yerel ekstremum noktası yalnızca −2-2 olduğundan g′(−2)=0g'(-2) = 0 olur. Dolayısıyla f′(x)=0f'(x) = 0 denklemini sağlayan değerler 2x−3=0  ⟹  x=1,52x - 3 = 0 \implies x = 1,5 ile x2−3x=−2  ⟹  x=1x^2 - 3x = -2 \implies x = 1 ve x=2x = 2 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde bu üç değerin de tek katlı kök olduğu ve türevin işaretini değiştirdiği görülür. Bu nedenle her üçü de yerel ekstremum noktalarının apsisleridir. Çarpımları ise 1⋅1,5⋅2=31 \cdot 1,5 \cdot 2 = 3 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
f′(x)=(2x−3)⋅g′(x2−3x)f'(x) = (2x - 3) \cdot g'(x^2 - 3x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (g(u))′=u′⋅g′(u)(g(u))' = u' \cdot g'(u) şeklindedir.
2
Türevi sıfır yapan kritik noktaları belirleyin.
2x−3=0  ⟹  x=322x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} ve g′(x2−3x)=0g'(x^2 - 3x) = 0 denklemleri elde edilir.
Yerel ekstremum noktaları türevi sıfır yapan veya türevin tanımlı olmadığı noktalarda aranır.
3
gg fonksiyonunun tek yerel ekstremum noktasının apsisi olan −2-2 değerini kullanarak g′(x2−3x)=0g'(x^2 - 3x) = 0 denklemini çözün.
x2−3x=−2  ⟹  x2−3x+2=0  ⟹  (x−1)(x−2)=0  ⟹  x=1x^2 - 3x = -2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0 \implies x = 1 veya x=2x = 2 elde edilir.
gg fonksiyonunun türevlenebilir olduğu ve tek yerel ekstremum noktasının apsisinin −2-2 olduğu bilgisi, g′(u)=0  ⟺  u=−2g'(u) = 0 \iff u = -2 olduğunu gösterir.
4
Kritik noktaların türevin işaretini değiştirip değiştirmediğini kontrol edin ve apsislerin çarpımını hesaplayın.
x=1x = 1, x=32x = \frac{3}{2} ve x=2x = 2 noktalarının her birinde f′(x)f'(x) işaret değiştirir. Apsisler çarpımı: 1⋅32⋅2=31 \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 bulunur.
Türevin tek katlı köklerinde fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanlıktan artanlığa geçişi gerçekleştiği için bu noktaların tümü yerel ekstremum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi ve yerel ekstremum noktalarının bulunması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 244Soru →

gg ve hh, x=2x = 2 noktasında türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,

g(2)=5h(2)=6h′(2)=−1\begin{aligned} g(2) &= 5 \\ h(2) &= 6 \\ h'(2) &= -1 \end{aligned}

eşitlikleri verilmektedir.
f(x)=(x2−2x)⋅g(x)+h(x)xf(x) = (x^2 - 2x) \cdot g(x) + \frac{h(x)}{x}

şeklinde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Türevlenebilir iki fonksiyonun toplam, çarpım ve bölüm türev kuralları kullanılarak x = 2 noktasındaki türevi hesaplandığında sonuç 8 olarak bulunur.
Toplam, çarpım ve bölüm kuralları yardımıyla f'(x) türev fonksiyonu oluşturulup x = 2 değeri yazıldığında, g'(2) ifadesinin katsayısı 0 olduğundan bu terim elenir ve verilen diğer değerlerle f'(2) değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevini almak için toplam, çarpım ve bölüm kurallarını uygulayal��m.
f'(x) = (2x - 2) * g(x) + (x^2 - 2x) * g'(x) + (h'(x) * x - h(x)) / x^2
Toplamın türevi türevlerin toplamına eşittir. Birinci terim için çarpım kuralı (u * v)' = u' * v + u * v', ikinci terim için ise bölüm kuralı (u / v)' = (u' * v - u * v') / v^2 uygulanır.
2
Elde ettiğimiz türev fonksiyonunda x yerine 2 yazalım.
f'(2) = (2*2 - 2) * g(2) + (2^2 - 2*2) * g'(2) + (h'(2) * 2 - h(2)) / 2^2
f'(2) değerini elde etmek için türev fonksiyonunun kuralında x değişkeni yerine 2 sayısı yazılır.
3
Verilen g(2) = 5, h(2) = 6 ve h'(2) = -1 değerlerini yerine koyarak hesaplamayı tamamlayalım.
f'(2) = 2 * 5 + 0 * g'(2) + (-1 * 2 - 6) / 4 = 10 - 2 = 8
x = 2 noktasında x^2 - 2x ifadesi 0 değerini aldığından g'(2) değerine ihtiyaç duyulmaz. Bölüm türevi kısmından gelen terim -2, çarpım türevi kısmından gelen terim 10 olur ve toplamları 8'i verir.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları kullanılarak çarpım ve bölüm durumundaki fonksiyonların türevlerinin hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 245Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=8xy = \frac{8}{x} eğrisine üzerindeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının uzunluğu en az kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının en kısa uzunluğu 8 birimdir.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uzunluğunu veren fonksiyon L(a)=4a2+256a2L(a) = \sqrt{4a^2 + \frac{256}{a^2}} şeklindedir. Bu fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen a=22a = 2\sqrt{2} değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en kısa uzunluk 64=8\sqrt{64} = 8 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasını belirleme ve türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini bulma
Teğet noktası P(a,8a)P(a, \frac{8}{a}) ve teğet doğrusunun eğimi m=−8a2m = -\frac{8}{a^2} olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini oluşturabilmek için öncelikle eğrinin üzerindeki bir noktayı ve bu noktadaki türev değerini kullanarak eğimi bulmamız gerekir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazma
Doğru denklemi y=−8a2x+16ay = -\frac{8}{a^2}x + \frac{16}{a} şeklinde elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü olan y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) kullanılarak teğetin denklemi oluşturulur.
3
Teğet doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulma
y-eksenini kestiği nokta A(0,16a)A(0, \frac{16}{a}) ve x-eksenini kestiği nokta B(2a,0)B(2a, 0) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uç noktalarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Eksenler arasında kalan parçanın uzunluk fonksiyonunu tanımlama
Uzunluğun karesi L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} olarak ifade edilir.
A ve B noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülü (Pisagor teoremi) uygulanır.
5
Uzunluk fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma
8a−512a3=08a - \frac{512}{a^3} = 0 denklemi çözülerek a=22a = 2\sqrt{2} kritik noktası elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) değerlerini bulmak için türevi sıfıra eşitlenir.
6
Kritik noktayı fonksiyon yerine yazarak en küçük uzunluk değerini hesaplama
L2=64  ⟹  L=8L^2 = 64 \implies L = 8 olarak hesaplanır.
Bulunan kritik değer fonksiyon yerine yazılarak en küçük uzunluk değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü ve türevin geometrik yorumu

Alternatif Yöntem

Aritmetik ve Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak türev almadan da bu problem çözülebilir. L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} ifadesinde terimlerin her ikisi de pozitif olduğundan AGO eşitsizliğine göre: 4a2+256a2≥24a2⋅256a2=21024=644a^2 + \frac{256}{a^2} \geq 2\sqrt{4a^2 \cdot \frac{256}{a^2}} = 2\sqrt{1024} = 64 olur. Buradan L2≥64  ⟹  L≥8L^2 \geq 64 \implies L \geq 8 bulunur. Eşitlik durumu 4a2=256a2  ⟹  a4=64  ⟹  a=224a^2 = \frac{256}{a^2} \implies a^4 = 64 \implies a = 2\sqrt{2} için sağlanır. Dolayısıyla en küçük uzunluk 8 birimdir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 246Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(1)=3g(1) = 3
g′(1)=−2g'(1) = -2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
f(x)=x2⋅g(x)x−2f(x) = \frac{x^2 \cdot g(x)}{x - 2}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(1)f'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

-7
Verilen fonksiyonun türevini hesaplamak için bölüm türevi formülü uygulanır. Pay kısmındaki çarpım ifadesi için de çarpım türevi kuralı kullanılarak payın türevi 2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) olarak belirlenir. x=1x = 1 noktasında bu ifadeler ve g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=−2g'(1) = -2 değerleri yerine yazıldığında payın türevi 44, paydanın türevi 11 ve paydanın kendisi −1-1 olur. Buradan bölüm türevi formülü uygulandığında doğru sonuç −7-7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak f′(x)f'(x) ifadesini genel formda yazalım.
f′(x)=[x2⋅g(x)]′⋅(x−2)−[x2⋅g(x)]⋅(x−2)′(x−2)2f'(x) = \frac{[x^2 \cdot g(x)]' \cdot (x - 2) - [x^2 \cdot g(x)] \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi alınırken (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} kuralı uygulanmalıdır.
2
Pay kısmında yer alan çarpım durumundaki x2⋅g(x)x^2 \cdot g(x) ifadesinin türevini çarpım kuralını kullanarak hesaplayalım.
[x2⋅g(x)]′=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)[x^2 \cdot g(x)]' = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)
İki fonksiyonun çarpımının türevi (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv' kuralı ile bulunur.
3
Elde edilen türev ifadesinde x=1x = 1 değerini ve verilen g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=−2g'(1) = -2 değerlerini yerine yazarak f′(1)f'(1) değerini hesaplayalım.
f′(1)=[2(1)g(1)+12g′(1)]⋅(1−2)−[12g(1)]⋅1(1−2)2=[2(3)+(−2)]⋅(−1)−3(−1)2=4⋅(−1)−31=−7f'(1) = \frac{[2(1)g(1) + 1^2 g'(1)] \cdot (1 - 2) - [1^2 g(1)] \cdot 1}{(1 - 2)^2} = \frac{[2(3) + (-2)] \cdot (-1) - 3}{(-1)^2} = \frac{4 \cdot (-1) - 3}{1} = -7
Tüm türev bileşenleri bulunduktan sonra aranan noktadaki türev değerine ulaşmak için değerler yerine yazılıp aritmetik işlemler tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bölüm ve Çarpım Türev Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 247Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=2x3−3(a+2)x2+12ax+1f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax + 1
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 44 olduğuna göre, bu fonksiyonun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

Yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı 43'tür.
Türevin işaret tablosundan yerel minimum apsisinin 4 olması için parametrenin 4 olması gerektiği bulunur. Bu durumda yerel maksimum noktası (2, 41) olur ve koordinatları toplamı 43 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=6x2−6(a+2)x+12af'(x) = 6x^2 - 6(a+2)x + 12a
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaların�� bulmak için öncelikle fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
Türevi sıfıra eşitleyen kritik noktaları çarpanlara ayırarak bulalım.
6(x2−(a+2)x+2a)=0  ⟹  6(x−2)(x−a)=06(x^2 - (a+2)x + 2a) = 0 \implies 6(x-2)(x-a) = 0. Kökler x=2x = 2 ve x=ax = a olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan noktalar fonksiyonun yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyerek yerel minimum noktasının apsisini belirleyelim.
Soruda yerel minimum noktasının apsisi 44 olarak verilmiştir. Eğer a<2a < 2 olsaydı, yerel minimum noktası x=2x = 2 olurdu. Dolayısıyla a>2a > 2 olmalıdır ve yerel minimum noktası x=a=4x = a = 4 olur. Bu durumda yerel maksimum noktası x=2x = 2 apsisli noktadır.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır ve işaretin eksiye geçip sonra artıya döndüğü yer yerel minimumdur.
4
a=4a = 4 değerini fonksiyonda yerine yazarak fonksiyonun denklemini güncelleyelim.
f(x)=2x3−18x2+48x+1f(x) = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 1
Fonksiyonun yerel maksimum noktasının ordinatını hesaplayabilmek için fonksiyonun tam denklemini elde etmemiz gerekir.
5
Yerel maksimum noktasının ordinatını ve koordinatları toplamını bulalım.
Yerel maksimum apsisi x=2x = 2 olduğuna göre ordinat f(2)=2(8)−18(4)+48(2)+1=41f(2) = 2(8) - 18(4) + 48(2) + 1 = 41 olur. Koordinatlar toplamı ise 2+41=432 + 41 = 43 olarak hesaplanır.
Yerel maksimum noktasının koordinatları (2,41)(2, 41) şeklindedir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının bulunması ve türevin işaret tablosunun yorumlanması.
Soru 248Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2+1y = x^2 + 1 parabolü üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktasının A(3,1)A(3, 1) noktasına olan uzaklığı en küçük değerini almaktadır. Buna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

En yakın noktanın koordinatları toplamı 3'tür.
Uzaklık fonksiyonunun karesi olan f(x)=x4+x2−6x+9f(x) = x^4 + x^2 - 6x + 9 ifadesinin türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen 2x3+x−3=02x^3 + x - 3 = 0 denkleminin tek gerçel kökü olan x=1x=1 değeri, parabol üzerindeki en yakın noktanın apsisidir. Bu değer parabol denkleminde yerine yazıldığında ordinat y=2y=2 bulunur ve bu koordinatların toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki herhangi bir PP noktasını temsil eden koordinatları belirleme ve bu noktanın A(3,1)A(3, 1) noktasına olan uzaklık fonksiyonunu kurma.
P(x,x2+1)P(x, x^2 + 1) noktası için uzaklığın karesini veren fonksiyon: f(x)=(x−3)2+(x2+1−1)2=x4+x2−6x+9f(x) = (x - 3)^2 + (x^2 + 1 - 1)^2 = x^4 + x^2 - 6x + 9
Uzaklığı minimize etmek için öncelikle uzaklık (veya kolaylık olması açısından uzaklığın karesi) fonksiyonunun tek değişkene bağlı ifadesini elde etmeliyiz.
2
Uzaklık fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma.
f′(x)=4x3+2x−6=0  ⟹  2x3+x−3=0f'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 0 \implies 2x^3 + x - 3 = 0
Fonksiyonun yerel ekstremum (minimum) değerlerini bulmak için birinci türevinin sıfır olduğu noktaları belirlemeliyiz.
3
2x3+x−3=02x^3 + x - 3 = 0 denkleminin kökünü bulma ve tekliğini inceleme.
x=1x = 1 denklemin köküdür. g(x)=2x3+x−3g(x) = 2x^3 + x - 3 fonksiyonunun türevi g′(x)=6x2+1>0g'(x) = 6x^2 + 1 > 0 olduğundan fonksiyon daima artandır ve başka gerçel kökü yoktur.
Türevin sıfır olduğu tek gerçel noktanın x=1x = 1 olduğunu doğrulamak için.
4
En yakın noktanın koordinatlarını bulma ve koordinatlar toplamını hesaplama.
x=1x = 1 için y=12+1=2y = 1^2 + 1 = 2 olur. Nokta P(1,2)P(1, 2)'dir. Koordinatlar toplamı 1+2=31 + 2 = 3 bulunur.
Soruda bizden istenen en yakın noktanın koordinatları toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü ve geometrik optimizasyon.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, parabol üzerindeki en yakın PP noktasından çizilen normal doğrusu (teğete dik olan doğru) A(3,1)A(3, 1) noktasından geçmek zorundadır. P(x0,x02+1)P(x_0, x_0^2 + 1) noktasındaki teğetin eğimi mt=2x0m_t = 2x_0 olduğundan, normalin eğimi mn=−12x0m_n = -\frac{1}{2x_0} olur. Normal doğrusunun denklemi y−(x02+1)=−12x0(x−x0)y - (x_0^2 + 1) = -\frac{1}{2x_0}(x - x_0) şeklindedir. Bu doğrunun A(3,1)A(3, 1) noktasından geçmesi gerektiğinden 1−x02−1=−12x0(3−x0)1 - x_0^2 - 1 = -\frac{1}{2x_0}(3 - x_0) yazılır ve düzenlendiğinde 2x03+x0−3=02x_0^3 + x_0 - 3 = 0 elde edilir. Buradan en yakın noktanın apsisi yine x0=1x_0 = 1 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 249Soru →
Orijinden geçen bir dd doğrusu,
f(x)=x2−2x+4f(x) = x^2 - 2x + 4
parabolüne üzerindeki bir A(x0,y0)A(x_0, y_0) noktasında teğettir.

Buna göre, AA noktasının koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

A noktasının koordinatları toplamı 6 olabilir.
Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemi y=mxy = mx şeklindedir. Teğet noktasındaki teğet eğimi türeve eşit olduğundan m=f′(x0)=2x0−2m = f'(x_0) = 2x_0 - 2 olur. y0=f(x0)y_0 = f(x_0) ve y0=m⋅x0y_0 = m \cdot x_0 eşitlikleri birleştirildiğinde x02=4x_0^2 = 4 elde edilir. Pozitif apsis değeri x0=2x_0 = 2 için teğet noktası ordinatı y0=4y_0 = 4 olur ve koordinatlar toplamı 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak teğet doğrusunun eğimini bulun.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan teğet noktasındaki eğim m=f′(x0)=2x0−2m = f'(x_0) = 2x_0 - 2 olur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemini yazın ve teğet noktasının koordinat ilişkisini kurun.
Orijinden geçen doğrunun denklemi y=mxy = mx olduğundan teğet noktası için y0=m⋅x0y_0 = m \cdot x_0 yani y0=(2x0−2)⋅x0y_0 = (2x_0 - 2) \cdot x_0 yazılır.
Teğet noktası hem parabolün hem de orijinden geçen teğet doğrusunun üzerinde yer alır.
3
Parabol denklemindeki y değerini teğet doğrusu denklemindeki y değeri ile eşitleyin.
x02−2x0+4=2x02−2x0⇒x02=4x_0^2 - 2x_0 + 4 = 2x_0^2 - 2x_0 \Rightarrow x_0^2 = 4 elde edilir. Buradan x0=2x_0 = 2 veya x0=−2x_0 = -2 bulunur.
Teğet noktasının koordinatlarını sağlayan ortak denklemi çözmek için.
4
Bulunan apsis değerleri için ordinat değerlerini hesaplayın ve koordinat toplamlarını bulun.
x0=2x_0 = 2 için y0=22−2(2)+4=4⇒y_0 = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 \Rightarrow Toplam: 2+4=62 + 4 = 6 olur. x0=−2x_0 = -2 için y0=(−2)2−2(−2)+4=12⇒y_0 = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 12 \Rightarrow Toplam: −2+12=10-2 + 12 = 10 olur.
İstenen koordinat toplamı alternatiflerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi ile türev arasındaki ilişki ve teğet denkleminin oluşturulması.

Alternatif Yöntem

Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemi y=mxy = mx şeklinde kurulup parabolün denklemi ile ortak çözülür. Ortak çözüm denklemi olan x2−2x+4=mx⇒x2−(m+2)x+4=0x^2 - 2x + 4 = mx \Rightarrow x^2 - (m+2)x + 4 = 0 denkleminin teğetlikten ötürü diskriminantı sıfıra eşitlenir: Δ=(m+2)2−16=0⇒m+2=±4⇒m=2\Delta = (m+2)^2 - 16 = 0 \Rightarrow m+2 = \pm 4 \Rightarrow m = 2 veya m=−6m = -6 bulunur. Bulunan eğim değerleri teğet noktasının apsis formülü olan x0=m+22x_0 = \frac{m+2}{2} ifadesinde yerine yazılarak teğet noktalarının apsisleri sırasıyla 2 ve -2 bulunur. Buradan da koordinat toplamlarına ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 250Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+3f(x) = x^2 - ax + 3
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=x3−3x2+4x−2g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2
eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusuna diktir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a = 5 gerçel sayısıdır.
Parabolün ve eğrinin ilgili noktalardaki türevleri teğet doğrularının eğimlerini verir. Bu doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerin çarpımı -1'e eşitlenerek a = 5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−ax+3f(x) = x^2 - ax + 3 parabolünün x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla ifade etmek.
f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a olduğundan x=2x = 2 noktasındaki teğetin eğimi m1=f′(2)=4−am_1 = f'(2) = 4 - a olarak bulunur.
Bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)=x3−3x2+4x−2g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2 eğrisinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla bulmak.
g′(x)=3x2−6x+4g'(x) = 3x^2 - 6x + 4 olduğundan x=1x = 1 noktasındaki teğetin eğimi m2=g′(1)=3(1)2−6(1)+4=1m_2 = g'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 1 olarak bulunur.
Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi, g(x)g(x) fonksiyonunun bu noktadaki türevidir.
3
Teğet doğrularının birbirine dik olması şartını kullanarak aa değerini hesaplamak.
m1⋅m2=−1  ⟹  (4−a)⋅1=−1  ⟹  4−a=−1  ⟹  a=5m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (4 - a) \cdot 1 = -1 \implies 4 - a = -1 \implies a = 5 elde edilir.
Dik kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve dik doğruların eğimleri ilişkisi
Soru 251Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(2)=2g′(2)=3\begin{aligned} g(2) &= 2 \\ g'(2) &= 3 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
f(x)=g(x)x2+g(x)f(x) = \frac{g(x)}{x^2 + g(x)}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevi olan f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19\frac{1}{9}

Cevap

Türevin doğru değeri 19\frac{1}{9} olarak bulunur.
Bölümün türevi kuralı (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} doğru bir şekilde uygulanıp x=2x=2 için verilen g(2)=2g(2)=2 ve g′(2)=3g'(2)=3 değerleri yerine konulduğunda sonuç 19\frac{1}{9} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm kuralını uygulayarak f(x)f(x) fonksiyonunun türev ifadesini yazalım.
f′(x)=g′(x)⋅(x2+g(x))−g(x)⋅(2x+g′(x))(x2+g(x))2f'(x) = \frac{g'(x) \cdot (x^2 + g(x)) - g(x) \cdot (2x + g'(x))}{(x^2 + g(x))^2}
Bölümün türevi formülü (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} şeklindedir.
2
Türev ifadesinde x=2x = 2 yazalım.
f′(2)=g′(2)⋅(22+g(2))−g(2)⋅(2(2)+g′(2))(22+g(2))2f'(2) = \frac{g'(2) \cdot (2^2 + g(2)) - g(2) \cdot (2(2) + g'(2))}{(2^2 + g(2))^2}
x=2x = 2 noktasındaki türev değerini bulmak için değişken yerine 2 yazarız.
3
Verilen g(2)=2g(2) = 2 ve g′(2)=3g'(2) = 3 değerlerini yerleştirip işlemleri yapalım.
f′(2)=3⋅(4+2)−2⋅(4+3)(4+2)2=18−1436=436=19f'(2) = \frac{3 \cdot (4 + 2) - 2 \cdot (4 + 3)}{(4 + 2)^2} = \frac{18 - 14}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}
Sayısal değerleri yerine koyarak sadeleştirme yaparız.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı
Soru 252Soru →
Tanım kümesi R∖{3}\mathbb{R} \setminus \{3\} olan
f(x)=x2+axx−3f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 3}
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 99'dur.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Yerel maksimum noktas��nın koordinatları toplamı 00'dır.
Fonksiyonun türevi alınıp yerel minimum noktasının apsisi olan 99 yerine yazıldığında a=9a = 9 bulunur. Buradan türevin diğer kökü olan yerel maksimum noktasının apsisi x=−3x = -3 olarak elde edilir. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında yerel maksimum noktasının koordinatları (−3,3)(-3, 3) olur. Bu koordinatların toplamı −3+3=0-3 + 3 = 0 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini elde ederiz.
f′(x)=(2x+a)(x−3)−(x2+ax)(x−3)2=x2−6x−3a(x−3)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x-3) - (x^2+ax)}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 3a}{(x-3)^2}
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türev fonksiyonunun işaretini incelememiz gerekir.
2
Yerel minimum noktasının apsisi 99 olduğuna göre, bu noktada türev sıfıra eşit olmalıdır (f′(9)=0f'(9) = 0).
92−6(9)−3a=0  ⟹  81−54−3a=0  ⟹  3a=27  ⟹  a=99^2 - 6(9) - 3a = 0 \implies 81 - 54 - 3a = 0 \implies 3a = 27 \implies a = 9
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıf��rdır.
3
a=9a = 9 değerini türev fonksiyonunda yerine yazıp türevi sıfır yapan diğer kritik noktayı buluruz.
f′(x)=x2−6x−27(x−3)2=(x−9)(x+3)(x−3)2=0  ⟹  x=9 veya x=−3f'(x) = \frac{x^2 - 6x - 27}{(x-3)^2} = \frac{(x-9)(x+3)}{(x-3)^2} = 0 \implies x = 9 \text{ veya } x = -3
Türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek için türevin tüm köklerini bulmamız gerekir.
4
f′(x)f'(x) türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum noktasını tespit ederiz.
x<−3x < -3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −3<x<3-3 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), 3<x<93 < x < 9 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x>9x > 9 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Buna göre, x=−3x = -3 noktası yerel maksimum noktasıdır.
Türevin işareti pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.
5
Yerel maksimum noktasının ordinatını ve koordinatları toplamını hesaplarız.
y=f(−3)=(−3)2+9(−3)−3−3=−18−6=3y = f(-3) = \frac{(-3)^2 + 9(-3)}{-3 - 3} = \frac{-18}{-6} = 3 olur. Koordinatlar toplamı: x+y=−3+3=0x + y = -3 + 3 = 0 bulunur.
Bizden yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı istendiği için apsis ve elde ettiğimiz ordinat değerini toplarız.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi yardımıyla yerel ekstremum noktalarının bulunması ve koordinat analizi.
Soru 253Soru →
Türevlenebilir gg fonksiyonu ve x≠0x \neq 0 olmak üzere, ff fonksiyonu
f(x)=x⋅g(x)−g(x)xf(x) = x \cdot g(x) - \frac{g(x)}{x}
kuralıyla verilmiştir.

g(2)=4g(2) = 4 ve g′(2)=6g'(2) = 6 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Çarpım ve bölüm türev kuralları uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında doğru yanıt 14 olarak bulunur.
Çarpım ve bölüm türevi kuralları sırasıyla uygulanıp türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında ve verilen g(2)=4g(2) = 4, g′(2)=6g'(2) = 6 değerleri yerleştirildiğinde f′(2)f'(2) değeri 1414 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x⋅g(x)−g(x)xf(x) = x \cdot g(x) - \frac{g(x)}{x} fonksiyonunun türevini alalım.
f′(x)=[g(x)+x⋅g′(x)]−g′(x)⋅x−g(x)x2f'(x) = [g(x) + x \cdot g'(x)] - \frac{g'(x) \cdot x - g(x)}{x^2}
İlk terimde çarpım kuralı, ikinci terimde ise bölüm kuralı uygulanmıştır.
2
Elde edilen türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazalım.
f′(2)=[g(2)+2⋅g′(2)]−2⋅g′(2)−g(2)4f'(2) = [g(2) + 2 \cdot g'(2)] - \frac{2 \cdot g'(2) - g(2)}{4}
f′(2)f'(2) değerini hesaplamak için xx yerine 22 yazılır.
3
g(2)=4g(2) = 4 ve g′(2)=6g'(2) = 6 değerlerini yerleştirip işlemi tamamlayalım.
f′(2)=[4+2(6)]−2(6)−44=16−2=14f'(2) = [4 + 2(6)] - \frac{2(6) - 4}{4} = 16 - 2 = 14
Verilen sayısal değerler yerine konulur ve temel aritmetik işlemler yapılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kuralları
Soru 254Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=9−x2y = 9 - x^2 parabolü üzerindeki bir P(t,9−t2)P(t, 9-t^2) noktasından parabole bir teğet doğrusu çiziliyor. Bu teğet doğrusunun koordinat eksenleriyle sınırladığı birinci bölgedeki dik üçgenin alanı en az kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12312\sqrt{3}

Cevap

12312\sqrt{3}
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar türev yardımıyla belirlenip alan fonksiyonu oluşturulduğunda, alanın minimum değeri 12312\sqrt{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir teğet noktasını belirleme ve türev yardımıyla teğetin eğimini bulma.
P(t,9−t2)P(t, 9-t^2) noktası için teğetin eğimi m=f′(t)=−2tm = f'(t) = -2t olur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasındaki türev değerine yani eğime ihtiyaç vardır.
2
Noktası ve eğimi bilinen teğet doğrusunun denklemini oluşturma.
y−(9−t2)=−2t(x−t)  ⟹  y=−2tx+t2+9y - (9-t^2) = -2t(x-t) \implies y = -2tx + t^2 + 9 doğrusu elde edilir.
Eksenleri kesen noktaları bulmak için teğet doğrusunun genel denklemi yazılmalıdır.
3
Teğet doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatlarını hesaplama.
x=0x=0 için B(0,t2+9)B(0, t^2+9) ve y=0y=0 için A(t2+92t,0)A\left(\frac{t^2+9}{2t}, 0\right) noktaları bulunur.
Eksenlerle oluşturulan dik üçgenin dik kenar uzunluklarını belirlemek için kesim noktaları gereklidir.
4
Üçgenin alan fonksiyonunu tt değişkenine bağlı olarak yazma ve sadeleştirme.
S(t)=12⋅t2+92t⋅(t2+9)=14t3+92t+814tS(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2+9}{2t} \cdot (t^2+9) = \frac{1}{4}t^3 + \frac{9}{2}t + \frac{81}{4t} fonksiyonu elde edilir.
Minimum alan değerini bulmak i��in optimize edilecek tek değişkenli alan fonksiyonu kurulmalıdır.
5
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulma.
S′(t)=34t2+92−814t−2=0  ⟹  3t4+18t2−81=0  ⟹  t4+6t2−27=0  ⟹  t=3S'(t) = \frac{3}{4}t^2 + \frac{9}{2} - \frac{81}{4}t^{-2} = 0 \implies 3t^4 + 18t^2 - 81 = 0 \implies t^4 + 6t^2 - 27 = 0 \implies t = \sqrt{3} bulunur.
Fonksiyonun yerel minimum noktasını veren tt değerini saptamak için türevin kökü bulunur.
6
Bulunan kritik tt değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak minimum alanı hesaplama.
S(3)=(3+9)243=123S(\sqrt{3}) = \frac{(3+9)^2}{4\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} birimkare bulunur.
Problemde istenen en küçük alan değerine ulaşmak için kritik nokta fonksiyonda yerine konur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü, teğet doğrusu denklemi ve geometrik optimizasyon.
Soru 255Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−5x+7f(x) = x^2 - 5x + 7
parabolünün üzerindeki bir AA noktasından çizilen normal doğrusu, x+y−3=0x + y - 3 = 0 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, AA noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Koordinatlar toplamı 4 olan seçenek doğrudur.
Parabolün üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, bu doğruya paralel olan x+y−3=0x + y - 3 = 0 doğrusunun eğimine eşittir. Buradan normal doğrusunun eğimi mn=−1m_n = -1 bulunur. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir. Dolayısıyla teğet doğrusunun eğimi mt=1m_t = 1 olur. Fonksiyonun türevi alınıp teğet doğrusunun eğimine eşitlendiğinde değme noktasının apsisi x0=3x_0 = 3 olarak elde edilir. Bu değer fonksiyonda yerine yazılarak ordinat y0=1y_0 = 1 bulunur. Sonuç olarak koordinatlar toplamı 3+1=43 + 1 = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulma
x+y−3=0  ⟹  y=−x+3x + y - 3 = 0 \implies y = -x + 3 olduğundan bu doğrunun eğimi −1-1'dir.
Normal doğrusu bu doğruya paralel olduğu için normal doğrusunun eğimi de mn=−1m_n = -1 olacaktır.
2
Teğet doğrusunun eğimini bulma
mt⋅mn=−1  ⟹  mt⋅(−1)=−1  ⟹  mt=1m_t \cdot m_n = -1 \implies m_t \cdot (-1) = -1 \implies m_t = 1 olarak bulunur.
Aynı noktadaki teğet ve normal doğruları birbirine diktir ve eğimleri çarpımı −1-1'dir.
3
Teğet noktasının apsisini bulma
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 olur. Değme noktasının apsisi x0x_0 ise, 2x0−5=1  ⟹  x0=32x_0 - 5 = 1 \implies x_0 = 3 elde edilir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının ordinatını ve koordinatlar toplamını bulma
y0=f(3)=32−5(3)+7=1y_0 = f(3) = 3^2 - 5(3) + 7 = 1 olur. Koordinatlar toplamı: x0+y0=3+1=4x_0 + y_0 = 3 + 1 = 4 bulunur.
Değme noktası parabolün üzerinde olduğundan koordinatları parabol denklemini sağlar.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Normal doğrusunun eğimi ile teğet doğrusunun eğiminin çarpımı -1'dir.
Soru 256Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b
fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları koordinat düzleminde y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusu üzerindedir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5'tir.
Türev alınarak elde edilen yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir. Bu noktalar doğru denklemi üzerinde yer aldığından ordinatları toplamı 6 olur. Fonksiyon tanımından elde edilen ordinat toplamı ifadesi 2a + 2b - 4 olup bu ifade 6'ya eşitlendiğinde a + b = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak yerel ekstremum noktalarının apsislerinin sağladığı denklemi belirlemek.
f′(x)=3x2−6x+a=0f'(x) = 3x^2 - 6x + a = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleridir.
Bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu noktalarda yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
2
Kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkilerini yazmak.
x1+x2=2x_1 + x_2 = 2 ve x1⋅x2=a3x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{3}
İkinci dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri kullanmak gerekir.
3
Yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamını doğrunun denklemini kullanarak ifade etmek.
y1+y2=−2(x1+x2)+10=−2(2)+10=6y_1 + y_2 = -2(x_1 + x_2) + 10 = -2(2) + 10 = 6 elde edilir.
Ekstremum noktaları doğru üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Fonksiyon tanımını kullanarak yerel ekstremum noktalarının ordinatları toplamını a ve b cinsinden yazıp eşitlemek.
y1+y2=(x13+x23)−3(x12+x22)+a(x1+x2)+2b=(8−2a)−3(4−2a3)+2a+2b=2a+2b−4y_1 + y_2 = (x_1^3 + x_2^3) - 3(x_1^2 + x_2^2) + a(x_1 + x_2) + 2b = (8 - 2a) - 3(4 - \frac{2a}{3}) + 2a + 2b = 2a + 2b - 4. Buradan 2a+2b−4=6  ⟹  a+b=52a + 2b - 4 = 6 \implies a + b = 5 bulunur.
Ordinatların fonksiyon tanımıyla elde edilen değeri ile doğru denklemiyle elde edilen değerinin eşitlenmesiyle a + b toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının koordinatları, hem fonksiyonun kendisini hem de noktaların üzerinde bulunduğu doğrunun denklemini sağlar.
Soru 257Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonunun x=3x = 3 apsisli noktasındaki normal doğrusu, g(x)=x3−2x2+ax+bg(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasında teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a + b toplamının değeri 5'tir.
f(x)f(x)'in x=3x=3 noktasındaki teğet eğimi 22 olduğundan normal doğrusunun eğimi −12-\frac{1}{2}'dir. A(3,3)A(3,3) noktasından geçen bu normal doğrusunun denklemi y=−12x+92y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olarak elde edilir. Bu doğru g(x)g(x)'e x=1x=1 noktasında teğet olduğu için türev değeri teğet eğimine eşit olmalıdır: g′(1)=a−1=−12  ⟹  a=12g'(1) = a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2}. Teğet noktası doğrunun üzerinde yer aldığından (1,4)(1, 4) noktasıdır. Bu nokta g(x)g(x) üzerinde de bulunduğundan g(1)=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies a+b-1 = 4 \implies a+b = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimini ve buna bağlı olarak normal doğrusunun eğimini hesaplayınız.
f′(x)=2x−4  ⟹  f′(3)=2f'(x) = 2x - 4 \implies f'(3) = 2 olur. Normal doğrusunun eğimi mn=−12m_n = -\frac{1}{2} olarak elde edilir.
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.
2
Parabol üzerindeki normal noktasını belirleyip normal doğrusunun denklemini kurunuz.
f(3)=3f(3) = 3 olduğundan normal doğrusu (3,3)(3, 3) noktasından geçer. Denklemi y−3=−12(x−3)  ⟹  y=−12x+92y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 3) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olur.
Bir doğrunun denklemini yazmak için eğimi ve geçtiği bir nokta kullanılır.
3
Normal doğrusunun g(x)g(x) eğrisine x=1x = 1 noktasında teğet olması bilgisini kullanarak aa parametresini bulunuz.
g′(x)=3x2−4x+a  ⟹  g′(1)=a−1g'(x) = 3x^2 - 4x + a \implies g'(1) = a - 1 olur. Eğim −12-\frac{1}{2} olduğundan a−1=−12  ⟹  a=12a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2} bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının koordinatlarını g(x)g(x) fonksiyonunda yerine yazarak a+ba + b değerini hesaplayınız.
x=1x = 1 için teğet doğrusunun ordinatı y=−12(1)+92=4y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{9}{2} = 4 olur. g(1)=4  ⟹  13−2(1)2+a+b=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies 1^3 - 2(1)^2 + a + b = 4 \implies a + b - 1 = 4 \implies a + b = 5 elde edilir.
Teğet noktası hem teğet doğrusunun hem de fonksiyon eğrisinin üzerinde yer alır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumunda teğet ve normal doğrularının eğimleri ile denklemlerinin oluşturulması ve ortak teğet ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 258Soru →

Gerçel sayılar kümesinin −1-1 dışındaki tüm elemanları üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu, aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere

f(x)=x2+ax+bx+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x + 1}

kuralıyla verilmektedir.

f(1)=2f(1) = 2
f′(1)=2f'(1) = 2

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Doğru cevap −4-4 olarak bulunur.
Doğru cevap −4-4 değeridir. Fonksiyonun verilen noktadaki değeri ve bölüm türevi yardımıyla elde edilen türev değeri kullanılarak a=4a = 4 ve b=−1b = -1 olarak bulunur. Bu iki değerin çarpımı −4-4 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)=2f(1) = 2 eşitliğini kullanarak aa ve bb arasındaki ilk denklemi elde etmek.
a+b=3a + b = 3
Fonksiyonun tanımından f(1)=1+a+b2=2  ⟹  a+b=3f(1) = \frac{1 + a + b}{2} = 2 \implies a + b = 3 olur.
2
Bölümün türevi kuralını uygulayarak f′(x)f'(x) türev fonksiyonunu bulmak ve x=1x = 1 yazarak ikinci denklemi elde etmek.
a−b=5a - b = 5
f′(x)=(2x+a)(x+1)−(x2+ax+b)(x+1)2f'(x) = \frac{(2x + a)(x + 1) - (x^2 + ax + b)}{(x + 1)^2} olup x=1x = 1 için f′(1)=(2+a)(2)−(1+a+b)4=2  ⟹  4+2a−(1+a+b)=8  ⟹  3+a−b=8  ⟹  a−b=5f'(1) = \frac{(2 + a)(2) - (1 + a + b)}{4} = 2 \implies 4 + 2a - (1 + a + b) = 8 \implies 3 + a - b = 8 \implies a - b = 5 elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb değerlerini bulmak.
a=4a = 4 ve b=−1b = -1
a+b=3a + b = 3 ve a−b=5a - b = 5 denklemleri taraf tarafa toplanarak 2a=8  ⟹  a=42a = 8 \implies a = 4 bulunur. Bu değer birinci denklemde yerine yazıldığında b=−1b = -1 elde edilir.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
−4-4
a=4a = 4 ve b=−1b = -1 olduğundan, çarpımları 4⋅(−1)=−44 \cdot (-1) = -4 olur.

Anahtar Kavram

Bölümün türevi kuralı ve fonksiyonlarda türev uygulamaları.
Soru 259Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+kf(x) = x^2 - 3x + k
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=x3−2x2+2g(x) = x^3 - 2x^2 + 2
eğrisini x=1x = 1 apsisli noktasında kesmektedir.

Buna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Parabolün belirtilen noktasındaki teğet doğrusunun denklemi kurulup kesişim noktası olan (1,1)(1, 1) yerine yazıldığında bilinmeyen parametre 4 olarak bulunur.
Parabolün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi f′(2)=1f'(2) = 1 ve teğet noktası (2,k−2)(2, k-2)'dir. Buradan teğet doğrusunun denklemi y=x+k−4y = x + k - 4 olarak elde edilir. Bu doğru, g(x)g(x) eğrisini x=1x = 1 apsisli noktada kestiğine göre kesim noktası olan (1,g(1))=(1,1)(1, g(1)) = (1, 1) noktasını sağlamalıdır. Denklemde yerleştirildiğinde 1=1+k−41 = 1 + k - 4 eşitliğinden k=4k = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−3x+kf(x) = x^2 - 3x + k fonksiyonunun türevi alınır ve teğet noktasının apsisi olan x=2x = 2 değeri türevde yerine yazılarak teğet doğrusunun eğimi (mm) bulunur.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 ve m=f′(2)=2(2)−3=1m = f'(2) = 2(2) - 3 = 1 elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
f(x)f(x) parabolünün üzerindeki teğet noktasının koordinatları belirlenir.
x=2x = 2 için y0=f(2)=22−3(2)+k=k−2y_0 = f(2) = 2^2 - 3(2) + k = k - 2 olup teğet noktası (2,k−2)(2, k-2) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasının koordinatlarına ihtiyaç vardır.
3
Eğimi m=1m = 1 olan ve (2,k−2)(2, k-2) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi yazılır.
y−(k−2)=1⋅(x−2)  ⟹  y=x+k−4y - (k - 2) = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x + k - 4 elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü olan y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) uygulanır.
4
Teğet doğrusunun g(x)=x3−2x2+2g(x) = x^3 - 2x^2 + 2 eğrisini kestiği x=1x = 1 apsisli noktanın y-koordinatı hesaplanır ve bu nokta teğet doğrusunun denkleminde yerine yazılır.
g(1)=13−2(1)2+2=1g(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2 = 1 olduğundan kesişim noktası (1,1)(1, 1)'dir. Doğru denkleminde yerine yazıldığında 1=1+k−4  ⟹  k=41 = 1 + k - 4 \implies k = 4 bulunur.
Kesişim noktası hem teğet doğrusunun hem de g(x)g(x) eğrisinin üzerinde yer aldığından her iki denklemi de sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu kullanılarak bir eğriye teğet olan doğrunun eğimini ve denklemini bulma, ardından bu doğrunun başka bir eğriyle kesişim noktasını kullanarak bilinmeyen parametreyi hesaplama.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 260Soru →
Tanım kümesi R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} olan ve bu tanım kümesinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} için
f′(x)=(x−2)2(x+3)(x−5)x−1f'(x) = \frac{(x - 2)^2(x + 3)(x - 5)}{x - 1}
olarak verilmiştir.
Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 2'dir.
Türevin tek katlı kökleri olan ve fonksiyonun tanım kümesinde yer alan x=−3x = -3 ve x=5x = 5 noktalarında türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Bunların toplamı ise 22 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin sıfır olduğu kritik noktaları ve tanımsız olduğu noktaları belirlemek.
Türevi sıfır yapan noktalar x=−3x = -3, x=2x = 2 ve x=5x = 5'dir. Türevin tanımsız olduğu tek nokta ise paydanın kökü olan x=1x = 1'dir.
Yerel ekstremum noktaları adayları, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki türevin sıfır olduğu (kritik) veya türevin var olmadığı noktalardır.
2
Tanım kümesini kontrol ederek aday noktaları elemek.
Fonksiyonun tanım kümesi R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} olarak verildiğinden, x=1x = 1 noktası tanım kümesinde değildir. Dolayısıyla x=1x = 1 bir ekstremum noktası olamaz. Diğer noktalar (x=−3x = -3, x=2x = 2, x=5x = 5) tanım kümesindedir.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktada tanımlı olması şarttır.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturmak ve işaret değişimlerini incelemek.
İşaret tablosu yapıldığında:

Aralık(−∞,−3)(-\infty, -3)−3-3(−3,1)(-3, 1)11(1,2)(1, 2)22(2,5)(2, 5)55(5,∞)(5, \infty)
f′(x)f'(x)−-00++tanımsız−-00−-00++
f(x)f(x)↘\searrowYerel Min↗\nearrowtanımsız↘\searrowEkstremum yok↘\searrowYerel Min↗\nearrow
Buradan, x=−3x = -3 noktasında türev eksiden artıya geçerek yerel minimum oluşturur. x=2x = 2 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez (ekstremum yoktur). x=5x = 5 noktasında türev eksiden artıya geçerek yerel minimum oluşturur.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır. Çift katlı köklerde işaret değişmediği için bu noktalarda ekstremum oluşmaz.
4
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini toplayarak sonuca ulaşmak.
Belirlenen yerel ekstremum noktalarının apsisleri x=−3x = -3 ve x=5x = 5 olup, bunların toplamı −3+5=2-3 + 5 = 2 olarak hesaplanır.
Soru, yerel ekstremum noktalarının apsislerinin toplamını sormaktadır.

Anahtar Kavram

Türevin işaret tablosu yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi, çift katlı köklerin ve tanım kümesi sınırlarının ekstremum üzerindeki etkisi.
ÖncekiSayfa 13 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 13 | Examkin