Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 301Soru →

Bir turizm şirketi, düzenleyeceği bir kültür turu için kişi başı ücreti 3000 TL3000 \text{ TL} olarak belirlemiştir. Bu tura en fazla 150 kişi katılabilmektedir. Tura katılan kişi sayısı 80'den fazla olduğunda, 80'in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcılara ki��i başı 15 TL15 \text{ TL} indirim yapılacaktır.

Buna göre, bu tura kaç kişi katılırsa şirketin elde edeceği toplam gelir en fazla olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Toplam gelirin en fazla olması için tura 140 kişi katılmalıdır.
Toplam geliri modelleyen R(x)=4200x−15x2R(x) = 4200x - 15x^2 fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde elde edilen 140140 değeri, şirkete en yüksek geliri sağlayan katılımcı sayısıdır. Bu değer turun kapasite sınırı olan 150 değerini aşmadığından geçerli çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Katılımcı sayısına bağlı olarak kişi başı bilet fiyatını veren cebirsel ifadeyi oluşturun.
Tura katılan kişi sayısı xx olsun (80<x≤15080 < x \le 150). 80'in üzerindeki katılımcı sayısı x−80x - 80 olur. Bu durumda kişi başı bilet fiyatı 3000−15(x−80)=4200−15x TL3000 - 15(x - 80) = 4200 - 15x \text{ TL} olarak belirlenir.
Toplam geliri bulmak için öncelikle bilet fiyatının katılımcı sayısına bağlı denklemini yazmamız gerekir.
2
Toplam gelir fonksiyonunu (R(x)R(x)) kurun.
R(x)=x⋅(4200−15x)=4200x−15x2R(x) = x \cdot (4200 - 15x) = 4200x - 15x^2 elde edilir.
Toplam gelir, toplam katılımcı sayısı ile kişi başı bilet fiyatının çarpılmasına eşittir.
3
Gelir fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı hesaplayın.
R′(x)=4200−30xR'(x) = 4200 - 30x olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 4200−30x=0  ⟹  30x=4200  ⟹  x=1404200 - 30x = 0 \implies 30x = 4200 \implies x = 140 bulunur.
Fonksiyonun yerel maksimum değerini araştırmak için türevin sıfır olduğu kritik noktayı bulmalıyız.
4
Bulunan kritik noktanın sınır koşullarını sağladığını ve geliri maksimum yaptığını doğrulayın.
x=140x = 140 değeri 80<x≤15080 < x \le 150 tanım aralığındadır. R′′(x)=−30<0R''(x) = -30 < 0 olduğundan bu noktada fonksiyon maksimum değerini alır.
Kritik noktanın fiziksel sınırları aşmadığından ve yerel maksimum noktası olduğundan emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum-minimum problemlerinin modellenmesi ve çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Türev kullanmak yerine, elde edilen R(x)=−15x2+4200xR(x) = -15x^2 + 4200x fonksiyonunun kolları aşağı doğru olan bir parabol belirttiği görülebilir. Bu fonksiyonun maksimum değeri tepe noktasının apsisinde (rr) gerçekleşir. Buradan r=−b2a=−42002⋅(−15)=140r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4200}{2 \cdot (-15)} = 140 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 302Soru →

Bir afiş tasarımında, afişin ortasındaki dikdörtgen biçimindeki baskı alanının 50 cm250 \text{ cm}^2 olması planlanmaktadır. Afişin üst ve alt kısmında dörder cm\text{cm}, sağ ve sol yanlarında ise ikişer cm\text{cm} boşluk bırakılacaktır. Baskı alanı da dikdörtgen şeklinde olduğuna göre, bu afişin toplam alanının en küçük değeri kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 162

Cevap

Afişin toplam alanının alabileceği en küçük değer 162 cm2162 \text{ cm}^2 dir.
Baskı alanının boyutları xx ve yy olup çarpımları 50'dir. Kenar boşlukları eklendiğinde afişin boyutları x+4x+4 ve y+8y+8 olur. Toplam alan fonksiyonu A(x)=8x+200x+82A(x) = 8x + \frac{200}{x} + 82 şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde x=5x = 5 elde edilir. x=5x = 5 değeri fonksiyona yazıldığında en küçük alan 162 cm2162 \text{ cm}^2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Baskı alanının kenar uzunluklarını değişkenler cinsinden ifade etme ve aralarındaki ilişkiyi yazma
Baskı alanı dikdörtgen şeklinde olup kenarları xx ve yy ise, x⋅y=50  ⟹  y=50xx \cdot y = 50 \implies y = \frac{50}{x} olur.
Toplam alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için kenarlar arasındaki ilişkiyi kurmamız gerekir.
2
Afişin toplam boyutlarını belirleme ve toplam alan fonksiyonunu oluşturma
Genişlik x+4x + 4, yükseklik y+8y + 8 olup toplam alan A(x)=(x+4)(50x+8)=8x+200x+82A(x) = (x + 4)\left(\frac{50}{x} + 8\right) = 8x + \frac{200}{x} + 82 olarak elde edilir.
Tasarım gereği kenarlarda bırakılan boşlukları baskı alanının boyutlarına ekleyerek afişin toplam alan formülünü oluşturmalıyız.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp kritik noktayı bulma
A′(x)=8−200x2=0  ⟹  x2=25  ⟹  x=5A'(x) = 8 - \frac{200}{x^2} = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = 5 bulunur.
Bir fonksiyonun yerel minimum değerini bulmak için türevinin köklerini (kritik noktaları) incelememiz gerekir.
4
Bulunan kritik değer için minimum alanı hesaplama
A(5)=8(5)+2005+82=162 cm2A(5) = 8(5) + \frac{200}{5} + 82 = 162 \text{ cm}^2 elde edilir.
Elde edilen kritik nokta olan x=5x = 5 değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak minimum alan değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve optimizasyon problemlerinin çözümü

Alternatif Yöntem

Aritmetik-Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak da çözülebilir. 8x>08x > 0 ve 200x>0\frac{200}{x} > 0 olduğundan, 8x+200x≥28x⋅200x=21600=808x + \frac{200}{x} \geq 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}} = 2\sqrt{1600} = 80 olur. Buradan toplam alan en az 80+82=162 cm280 + 82 = 162 \text{ cm}^2 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 303Soru →

Bir teknoloji şirketi ürettiği bir yazılım lisansından elde edece��i kârı en üst düzeye çıkarmak istemektedir. Bu yazılımın xx bin adet satılması durumunda elde edilecek toplam gelir ve toplam maliyet fonksiyonları sırasıyla,

R(x)=−2x2+30x+10R(x) = -2x^2 + 30x + 10
C(x)=19(3x−3)3−11x2+48x−40C(x) = \frac{1}{9}(3x-3)^3 - 11x^2 + 48x - 40

bin TL olarak modellenmiştir. Buna göre, bu şirketin elde edebileceği maksimum kâr kaç bin TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

Maksimum kâr 53 bin TL'dir.
Toplam gelir fonksiyonundan toplam maliyet fonksiyonu çıkarılarak kâr fonksiyonu P(x)P(x) elde edilir. P(x)P(x) fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen köklerden yerel maksimum noktası olan x=3x = 3 değeri kâr fonksiyonunda yerine yazıldığında maksimum kâr 53 bin TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr fonksiyonunu (P(x)P(x)) toplam gelir fonksiyonundan (R(x)R(x)) toplam maliyet fonksiyonunu (C(x)C(x)) çıkararak elde ediniz.
P(x)=R(x)−C(x)=(−2x2+30x+10)−(19(3x−3)3−11x2+48x−40)=−19(3x−3)3+9x2−18x+50P(x) = R(x) - C(x) = (-2x^2 + 30x + 10) - (\frac{1}{9}(3x-3)^3 - 11x^2 + 48x - 40) = -\frac{1}{9}(3x-3)^3 + 9x^2 - 18x + 50
Kârı en üst düzeye çıkaran noktayı bulmak için öncelikle kâr fonksiyonunu tanımlamamız gerekir.
2
Kâr fonksiyonunun türevini (P′(x)P'(x)) zincir kuralını uygulayarak alınız.
P′(x)=−19⋅3(3x−3)2⋅3+18x−18=−(3x−3)2+18x−18=−9x2+36x−27P'(x) = -\frac{1}{9} \cdot 3(3x-3)^2 \cdot 3 + 18x - 18 = -(3x-3)^2 + 18x - 18 = -9x^2 + 36x - 27
Maksimum veya minimum değerlerin adaylarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan kritik noktaları bulmalıyız.
3
Türev fonksiyonunu sıfıra eşitleyip köklerini bulunuz.
−9x2+36x−27=0  ⟹  x2−4x+3=0  ⟹  (x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1-9x^2 + 36x - 27 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1 veya x=3x = 3
Türevin sıfır olduğu noktalar fonksiyonun yerel ekstremum noktalarıdır.
4
Türev işaret tablosunu inceleyerek hangi kritik noktanın yerel maksimum olduğunu belirleyiniz.
x=3x = 3 noktasında fonksiyon artanlıktan azalanlığa geçtiği için yerel maksimumdur.
Maksimum kârı elde etmek için yerel maksimum noktasını tespit etmeliyiz.
5
Belirlenen yerel maksimum noktasını kâr fonksiyonunda yerine yazıp maksimum kârı hesaplayınız.
P(3)=−19(9−3)3+9(3)2−18(3)+50=−24+81−54+50=53P(3) = -\frac{1}{9}(9-3)^3 + 9(3)^2 - 18(3) + 50 = -24 + 81 - 54 + 50 = 53 bin TL
Maksimum kâr miktarını bulmak için x=3x = 3 değerini kâr fonksiyonuna yerleştiririz.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü

Alternatif Yöntem

Kârın maksimum olması için marjinal gelirin marjinal maliyete eşit olması gerekir, yani R′(x)=C′(x)R'(x) = C'(x) eşitliği doğrudan çözülerek de x=3x = 3 kritik noktası bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 304Soru →

Yarıçapı 6 cm6\text{ cm} olan bir yarım çemberin içine, tabanlarından biri çemberin çapı olacak şekilde bir ikizkenar yamuk çiziliyor. Buna göre, alanı en büyük olan bu yamuğun üst taban uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6; altı; 6 cm; 6cm

Cevap

Alanı en büyük olan ikizkenar yamuğun üst taban uzunluğu 6 cm'dir.
Yamuğun alanı fonksiyon olarak ifade edilip türevi sıfıra eşitlendiğinde en büyük alanı veren x değeri 3 olarak bulunur. Üst taban uzunluğu 2x2x olduğu için cevap 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Yamuğun boyutlarını değişkenler cinsinden belirleme
Yarım çemberin yarıçapı R=6 cmR = 6\text{ cm} olduğundan, çapı (ve dolayısıyla yamu��un alt tabanı) AB=12 cmAB = 12\text{ cm}'dir. Yamuğun üst köşelerinden birini koordinat düzleminde çember üzerindeki C(x,y)C(x, y) noktası olarak alırsak, çember denklemi x2+y2=36x^2 + y^2 = 36 olduğundan yükseklik y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} olur. Yamuğun üst taban uzunluğu ise 2x2x olur.
Yamuğun alanını tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmek.
2
Alan fonksiyonunu oluşturma
Yamuğun alanı Alan=Alt Taban+U¨st Taban2⋅Yu¨kseklikAlan = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot \text{Yükseklik} formülüyle hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda: A(x)=12+2x2⋅36−x2=(6+x)36−x2A(x) = \frac{12 + 2x}{2} \cdot \sqrt{36 - x^2} = (6 + x)\sqrt{36 - x^2} fonksiyonu elde edilir.
Maksimum alan değerini veren x değerini türev yardımıyla bulmak.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleme
A(x)A(x) fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyelim. Kolaylık olması açısından fonksiyonun karesi olan f(x)=[A(x)]2=(6+x)2(36−x2)f(x) = [A(x)]^2 = (6+x)^2(36-x^2) fonksiyonunun türevini alabiliriz: f′(x)=2(6+x)(36−x2)+(6+x)2(−2x)=2(6+x)[(36−x2)−x(6+x)]=2(6+x)(36−6x−2x2)=0f'(x) = 2(6+x)(36-x^2) + (6+x)^2(-2x) = 2(6+x)[(36-x^2) - x(6+x)] = 2(6+x)(36 - 6x - 2x^2) = 0. Buradan 2x2+6x−36=0  ⟹  x2+3x−18=0  ⟹  (x+6)(x−3)=02x^2 + 6x - 36 = 0 \implies x^2 + 3x - 18 = 0 \implies (x+6)(x-3) = 0 bulunur. Uzunluk pozitif olacağından x=3x = 3 olmalıdır.
Fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum) noktasını belirlemek.
4
İstenen üst taban uzunluğunu hesaplama
Maksimum alan için x=3 cmx = 3\text{ cm} olmalıdır. Yamuğun üst taban uzunluğu 2x2x olarak tanımlandığı için üst taban uzunluğu 2⋅3=6 cm2 \cdot 3 = 6\text{ cm} olarak bulunur.
Soruda doğrudan üst taban uzunlu��u sorulduğu için sonucu bu değişkene göre hesaplamak.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve geometrik şekillerin optimizasyonu.

Alternatif Yöntem

Bir yarım çember içine çizilebilecek maksimum alanlı yamuk, çemberin içine çizilen düzgün altıgenin yarısıdır. Düzgün altıgende köşegenler yardımıyla oluşan tüm üçgenler eşkenar üçgen olup kenar uzunlukları çemberin yarıçapına eşittir. Dolayısıyla en büyük alanlı yamuğun üst taban uzunluğu doğrudan çemberin yarıçapına eşit olup 6 cm'dir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 305Soru →

Hacmi 24π cm324\pi \text{ cm}^3 olan dik dairesel silindir biçiminde üstü kapalı bir teneke kutu üretilecektir. Bu kutunun alt ve üst tabanlarında kullanılacak malzemenin birim kare maliyeti 3 TL/cm23 \text{ TL/cm}^2, yan yüzeyinde kullanılacak malzemenin birim kare maliyeti ise 2 TL/cm22 \text{ TL/cm}^2 dir.

Buna göre, bu kutunun toplam malzeme maliyetinin en az olması için yüksekliği kaç cm\text{cm} olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Malzeme maliyetini en aza indiren yükseklik değeri 6 cm'dir.
Toplam maliyet fonksiyonunun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen yarıçap değeri için yüksekliğin 6 cm olduğu bulunur. Bu değer maliyeti en aza indiren yüksekliktir.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin hacim formülünü yazarak yükseklik (hh) ile yarıçap (rr) arasındaki ilişkiyi belirleyin.
V=πr2h=24π  ⟹  h=24r2V = \pi r^2 h = 24\pi \implies h = \frac{24}{r^2}
Maliyet fonksiyonunu tek bir değişşkene (rr) bağlı olarak yazabilmek için bu ilişki gereklidir.
2
Tabanların ve yan yüzeyin alanlarını birim maliyetleriyle çarparak toplam maliyet fonksiyonunu oluşturun.
C(r)=3⋅(2πr2)+2⋅(2πrh)=6πr2+4πrhC(r) = 3 \cdot (2\pi r^2) + 2 \cdot (2\pi r h) = 6\pi r^2 + 4\pi r h. Buradan hh yerine 24r2\frac{24}{r^2} yazıldığında: C(r)=6πr2+96πrC(r) = 6\pi r^2 + \frac{96\pi}{r} elde edilir.
Maliyetin minimum olduğu noktayı türev yardımıyla bulmak için maliyet fonksiyonu oluşturulmalıdır.
3
Maliyet fonksiyonunun rr değişkenine göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.
C′(r)=12πr−96πr2=0  ⟹  12πr=96πr2  ⟹  r3=8  ⟹  r=2C'(r) = 12\pi r - \frac{96\pi}{r^2} = 0 \implies 12\pi r = \frac{96\pi}{r^2} \implies r^3 = 8 \implies r = 2 cm
Maliyet fonksiyonunu minimum yapan yarıçap değerini bulmak için birinci türevin kökü hesaplanır.
4
Bulunan r=2r = 2 cm değerini kullanarak silindirin yüksekliğini (hh) hesaplayın.
h=24r2=2422=6h = \frac{24}{r^2} = \frac{24}{2^2} = 6 cm
Soruda bizden minimum maliyeti sağlayan yükseklik (hh) değeri istenmektedir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum (optimizasyon) problemlerinin çözülmesi, kısıt denkleminin (hacim) hedef fonksiyonda (maliyet) yerine yazılması.
Soru 306Soru →

Taban yarıçapı 6 cm6\text{ cm} ve yüksekli��i 12 cm12\text{ cm} olan bir dik dairesel koninin içerisine, tabanı koninin tabanı ile çakışacak biçimde bir dik dairesel silindir yerleştirilecektir. Buna göre, bu silindirin hacmi en fazla kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

En büyük hacimli silindirin hacmi 64π cm364\pi\text{ cm}^3 olup aranan değer 64'tür.
Koninin içerisine yerleştirilebilecek en büyük hacimli silindirin boyutları benzerlik oranı kullanılarak h=12−2rh = 12 - 2r şeklinde yazılır. Hacim fonksiyonunun türevi yardımıyla maksimum hacmi veren yarıçap r=4 cmr = 4\text{ cm} olarak bulunur. Bu değer hacim formülünde yerine yazıldığında maksimum hacim 64π cm364\pi\text{ cm}^3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin yarıçapı rr ve yüksekliği hh değişkenleri arasında benzerlik yardımıyla bir bağıntı kurun.
h=12−2rh = 12 - 2r
Koninin ana doğrusu ve yüksekliği ile silindirin kesiti arasında oluşan benzer üçgenlerden 12−h12=r6\frac{12-h}{12} = \frac{r}{6} elde edilir.
2
Silindirin hacmini veren fonksiyonu rr değişkenine bağlı olarak yazın.
V(r)=12πr2−2πr3V(r) = 12\pi r^2 - 2\pi r^3
Silindirin hacmi V=πr2hV = \pi r^2 h formülüyle hesaplanır. Burada h=12−2rh = 12 - 2r ifadesi yerine yazılır.
3
Hacim fonksiyonunun maksimum noktasını bulmak için türevini al��p sıfıra eşitleyin.
r=4r = 4
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfırdır. V′(r)=24πr−6πr2=6πr(4−r)=0V'(r) = 24\pi r - 6\pi r^2 = 6\pi r(4-r) = 0 denkleminin kökleri r=0r=0 ve r=4r=4 olup, maksimum hacim r=4r=4 için gerçekleşir.
4
Maksimum hacmi hesaplayın.
V(4)=64πV(4) = 64\pi
r=4r = 4 için V(4)=π⋅42⋅(12−2⋅4)=64πV(4) = \pi \cdot 4^2 \cdot (12 - 2 \cdot 4) = 64\pi elde edilir. Hacmin π\pi cinsinden değeri sorulduğu için aranan sayı 64'tür.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması, geometrik şekillerde optimizasyon problemleri.
Soru 307Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f′(x)=x2−2(k−1)x+2k2−8kf'(x) = x^2 - 2(k-1)x + 2k^2 - 8k
eşitliğini sağlamaktadır.

ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [a,b][a, b] kapalı aralığıdır.

b−a=6b - a = 6 birim olduğuna göre, kk gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu aralığın uzunluğundan yola çıkılarak diskriminant 3636'ya eşitlenmiş ve buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek kk sayısının alabileceği en büyük değer 44 olarak bulunmuştur.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerdir. Bu aralığın uzunluğu olan b−a=6b-a = 6 birim ifadesi kökler farkı formülü olan Δ\sqrt{\Delta} değerine eşittir. Buradan diskriminantın 3636 olması gerektiği bulunur. Δ=−4k2+24k+4=36\Delta = -4k^2 + 24k + 4 = 36 eşitliği çözüldüğünde elde edilen k2−6k+8=0k^2-6k+8=0 denkleminin kökleri 22 ve 44 olup alabileceği en büyük değer 44 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin işareti ile azalanlık aralığı arasındaki ilişkiyi kurma
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [a,b][a, b] aralığının sınırları f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleridir.
Türevin negatif veya sıfır olduğu yerlerde fonksiyon azalandır.
2
Kökler farkı ile diskriminant arasındaki ilişkiyi kullanarak diskriminantın değerini bulma
b−a=Δ=6  ⟹  Δ=36b - a = \sqrt{\Delta} = 6 \implies \Delta = 36 olur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler farkı formülü kullanılır.
3
Diskriminantı kk parametresi cinsinden hesaplama
Δ=−4k2+24k+4\Delta = -4k^2 + 24k + 4 elde edilir.
Diskriminant formülü Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC şeklindedir.
4
kk değerlerini bulmak için elde edilen ifadeyi 3636'ya eşitleyip çözme
k2−6k+8=0  ⟹  k=4k^2 - 6k + 8 = 0 \implies k = 4 veya k=2k = 2 bulunur. En büyük değer 44'tür.
Elde edilen denklem çarpanlarına ayrılarak kökler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınırları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği kökleridir.
Soru 308Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun denklemi y=3x−4y = 3x - 4 olarak veriliyor.

Buna göre,

I. ff fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı 33'tür.
II. ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki anlık değişim oranı 33'tür.
III. lim⁡h→0f(2+h2+3h)−f(2−h)h=12\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h^2+3h) - f(2-h)}{h} = 12'dir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III öncülleri kesinlikle doğrudur.
Doğrunun eğimi olan 33, fonksiyonun x=2x=2 noktasındaki türevine yani anlık değişim oranına eşittir. Limit ifadesi paya f(2)f(2) eklenip çıkarılarak iki ayrı limit olarak düzenlendiğinde 3f′(2)+f′(2)=4f′(2)=123f'(2) + f'(2) = 4f'(2) = 12 elde edilir. Bu nedenle ikinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur. f(0)f(0) değeri bilinemediğinden ortalama değişim hızı hesaplanamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusundan yararlanarak teğet noktasındaki fonksiyon değerini ve türevi belirleme
f(2)=3(2)−4=2f(2) = 3(2) - 4 = 2 ve f′(2)=3f'(2) = 3
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine (anlık değişim oranına) eşittir.
2
Birinci öncülü ortalama değişim hızı tanımıyla değerlendirme
[0,2][0, 2] aralığındaki ortalama değişim hızı f(2)−f(0)2−0=2−f(0)2\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{2 - f(0)}{2} ifadesidir. f(0)f(0) bilinemediğinden bu de��er kesin olarak hesaplanamaz.
Teğet doğrusu fonksiyonun diğer noktalardaki değerleri hakkında bilgi vermez, bu sebeple f(0)f(0) değeri belirsizdir.
3
İkinci öncülü anlık değişim oranı tanımıyla değerlendirme
x=2x = 2 noktasındaki anlık değişim oranı f′(2)=3f'(2) = 3 olarak bulunur.
Anlık değişim oranı, türevin limit tanımına karşılık gelmektedir.
4
Üçüncü öncüldeki limit ifadesini düzenleme ve hesaplama
lim⁡h→0f(2+h2+3h)−f(2)+f(2)−f(2−h)h=lim⁡h→0f(2+h2+3h)−f(2)h2+3h⋅(h+3)+lim⁡h→0f(2−h)−f(2)−h=3f′(2)+f′(2)=4f′(2)=4×3=12\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h^2+3h) - f(2) + f(2) - f(2-h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h^2+3h) - f(2)}{h^2+3h} \cdot (h+3) + \lim_{h \to 0} \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} = 3f'(2) + f'(2) = 4f'(2) = 4 \times 3 = 12
Türevin limit tanımını uygulayabilmek için pay kısmına f(2)f(2) eklenip çıkarılmış ve limit değişken dönüşümleri yapılmıştır.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı, anlık değişim oranı ve teğet eğimi ilişkisi
Soru 309Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=13x3+a2x2+bx+5f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 + bx + 5
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İstenen çarpım değeri 16'dır.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olduğundan, birinci türevin kökleri −2-2 ve 44 olmalıdır. Buradan türev fonksiyonunun katsayıları a=−2a = -2 ve b=−8b = -8 olarak bulunur ve çarpımları 16 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=x2+ax+bf'(x) = x^2 + ax + b
Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Azalanlık şartı kullanılarak türevin kökleri belirlenir.
f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x1=−2x_1 = -2 ve x2=4x_2 = 4 olur.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] ise, türev fonksiyonu bu aralıkta negatif veya sıfır (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) değerler almalı ve uç noktalarda sıfıra eşit olmalıdır.
3
Kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler (Vieta formülleri) kullanılarak aa ve bb katsayıları bulunur.
a=−2a = -2 ve b=−8b = -8
x1+x2=−a  ⟹  −2+4=−a  ⟹  a=−2x_1 + x_2 = -a \implies -2 + 4 = -a \implies a = -2 ve x1⋅x2=b  ⟹  (−2)⋅4=b  ⟹  b=−8x_1 \cdot x_2 = b \implies (-2) \cdot 4 = b \implies b = -8 elde edilir.
4
a⋅ba \cdot b çarpımı hesaplanır.
a⋅b=(−2)⋅(−8)=16a \cdot b = (-2) \cdot (-8) = 16
Soruda bizden istenen katsayılar çarpımını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklarda türevi negatif veya sıfırdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 310Soru →
Her noktada türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
(f∘g)(x)=x2⋅g(x)(f \circ g)(x) = x^2 \cdot g(x)
eşitliği sağlanmaktadır.
g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=4g'(2) = 4 olduğuna göre, f′(3)f'(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Bileşke fonksiyonun t��revi ve çarpımın türevi kuralları uygulanarak f'(3) değeri 7 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması gerekir. Ayrıca eşitliğin sağ tarafındaki çarpım durumundaki ifadenin türevi çarpım kuralıyla alınmalıdır. x = 2 yazılıp g(2) = 3 ve g'(2) = 4 değerleri yerleştirildiğinde f'(3) değeri 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
f′(g(x))⋅g′(x)=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)f'(g(x)) \cdot g'(x) = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)
Sol tarafta bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı), sağ tarafta ise çarpımın türevi kural�� uygulanmıştır.
2
Elde edilen türev denkleminde x yerine 2 yazılır.
f′(g(2))⋅g′(2)=4⋅g(2)+4⋅g′(2)f'(g(2)) \cdot g'(2) = 4 \cdot g(2) + 4 \cdot g'(2)
Soruda g(2) = 3 ve g'(2) = 4 değerleri verildiği için bu değerleri kullanabilmek adına x = 2 noktası seçilmiştir.
3
g(2) ve g'(2) değerleri yerine yazılarak f'(3) değeri hesaplanır.
f′(3)⋅4=12+16  ⟹  4⋅f′(3)=28  ⟹  f′(3)=7f'(3) \cdot 4 = 12 + 16 \implies 4 \cdot f'(3) = 28 \implies f'(3) = 7
Temel cebirsel işlemlerle f'(3) yalnız bırakılmıştır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı ve çarpımın türevi kuralı bir arada uygulanır.
Soru 311Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} eğrisine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu ile g(x)=x2−3xg(x) = x^2 - 3x eğrisine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu birbirine diktir.

Buna göre, aa gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Doğru cevap -4 değeridir.
Teğet doğrularının eğimleri, çizildikleri noktalardaki türev değerlerine eşittir. f(x)=axf(x) = \frac{a}{x} türevi f′(x)=−ax2f'(x) = -\frac{a}{x^2} olup x=2x = 2 için eğim −a4-\frac{a}{4} olur. g(x)=x2−3xg(x) = x^2 - 3x türevi g′(x)=2x−3g'(x) = 2x - 3 olup x=1x = 1 için eğim −1-1 olur. Doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerinin çarpımı −1-1 olmalıdır. Buradan (−a4)⋅(−1)=−1\left(-\frac{a}{4}\right) \cdot (-1) = -1 eşitliği elde edilir ve a=−4a = -4 bulunur. Bu nedenle doğru yanıt −4-4 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonların türevlerini alın.
f′(x)=−ax2f'(x) = -\frac{a}{x^2} ve g′(x)=2x−3g'(x) = 2x - 3
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğetlerin çizildiği noktaların apsislerini türev fonksiyonlarında yerine yazarak teğet doğrularının eğimlerini bulun.
f(x)f(x) için x=2x = 2 noktasındaki teğet eğimi m1=f′(2)=−a4m_1 = f'(2) = -\frac{a}{4} ve g(x)g(x) için x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimi m2=g′(1)=−1m_2 = g'(1) = -1 olur.
Apsis değerleri türev fonksiyonuna yazılarak ilgili noktalardaki teğet doğrularının eğimleri elde edilir.
3
Teğet doğrularının birbirine dik olması koşulunu uygulayarak a parametresini hesaplayın.
m1⋅m2=−1  ⟹  (−a4)⋅(−1)=−1  ⟹  a4=−1  ⟹  a=−4m_1 \cdot m_2 = -1 \implies \left(-\frac{a}{4}\right) \cdot (-1) = -1 \implies \frac{a}{4} = -1 \implies a = -4 bulunur.
Dik kesişen iki doğrunun eğimlerinin çarpımı -1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değeridir. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 312Soru →

g(x)g(x) türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

f(x)=x2⋅g(x)+3x−1f(x) = \frac{x^2 \cdot g(x) + 3}{x - 1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=1g'(2) = 1 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

f'(2) değeri 1'dir.
Bölüm türevi kuralı paya uygulanan çarpım kuralıyla birleştirilip x=2x = 2 noktası için g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=1g'(2) = 1 değerleri yerlerine yerleştirildiğinde f′(2)f'(2) değeri tam sayı olarak 11 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralını yazma
f′(x)=(x2⋅g(x)+3)′⋅(x−1)−(x2⋅g(x)+3)⋅(x−1)′(x−1)2f'(x) = \frac{(x^2 \cdot g(x) + 3)' \cdot (x - 1) - (x^2 \cdot g(x) + 3) \cdot (x - 1)'}{(x - 1)^2}
f(x)f(x) fonksiyonu rasyonel bir ifade şeklinde verildiği için türevini bulmak amacıyla bölümün türevi kuralı uygulanır.
2
Pay kısmının türevini alma
(x2⋅g(x)+3)′=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)(x^2 \cdot g(x) + 3)' = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)
Payda yer alan x2⋅g(x)x^2 \cdot g(x) ifadesi iki fonksiyonun çarpımı durumunda olduğundan çarpım türevi kuralı uygulanır, sabit terim olan 3'ün türevi ise sıfırdır.
3
Türev ifadesinde x = 2 yazıp değerleri yerine yerleştirme
f′(2)=[2(2)⋅g(2)+22⋅g′(2)]⋅(2−1)−[22⋅g(2)+3]⋅1(2−1)2=[4(3)+4(1)]⋅1−[4(3)+3]⋅112=16−15=1f'(2) = \frac{[2(2) \cdot g(2) + 2^2 \cdot g'(2)] \cdot (2 - 1) - [2^2 \cdot g(2) + 3] \cdot 1}{(2 - 1)^2} = \frac{[4(3) + 4(1)] \cdot 1 - [4(3) + 3] \cdot 1}{1^2} = 16 - 15 = 1
Türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılarak verilen g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=1g'(2) = 1 değerleri yerine konur.

Anahtar Kavram

Bölüm ve Çarpım Türevi Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 16 / 16
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 16 | Examkin