Examkin

Türev ve Uygulamaları

312 soru

Tüm türler312Çoktan seçmeli177Doğru / Yanlış9Sayısal118Kısa cevap8
Soru 281Soru →
Bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=x3−3ax2+3(a2−1)x+bf(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + b
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki fark 4'tür.
Fonksiyonun türevinin kökleri olan x=a−1x = a - 1 (yerel maksimum) ve x=a+1x = a + 1 (yerel minimum) noktaları fonksiyonda yerine yazıldığında, elde edilen yerel maksimum değeri a3−3a+2+ba^3 - 3a + 2 + b ve yerel minimum değeri a3−3a−2+ba^3 - 3a - 2 + b olmaktadır. Bu iki değerin farkı hesaplandığında parametreler sadeleşir ve sonuç 44 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları bulunuz.
f′(x)=3x2−6ax+3(a2−1)=3(x2−2ax+a2−1)=3(x−a+1)(x−a−1)=0  ⟹  x1=a−1f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 3(x^2 - 2ax + a^2 - 1) = 3(x - a + 1)(x - a - 1) = 0 \implies x_1 = a - 1 ve x2=a+1x_2 = a + 1
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası adaylarıdır.
2
Türevin işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum ve minimum noktalarını belirleyiniz.
x=a−1x = a - 1 yerel maksimum noktası, x=a+1x = a + 1 yerel minimum noktasıdır.
Türevin başkatsayısı pozitif olduğundan, türevin işareti x=a−1x = a - 1 noktasında artıdan eksiye, x=a+1x = a + 1 noktasında ise eksiden artıya geçmektedir.
3
Bulunan noktaları fonksiyonda yerine yazıp yerel ekstremum değerlerini hesaplayınız ve farkını bulunuz.
f(a−1)=a3−3a+2+bf(a - 1) = a^3 - 3a + 2 + b ve f(a+1)=a3−3a−2+bf(a + 1) = a^3 - 3a - 2 + b elde edilir. Bu iki değerin farkı: f(a−1)−f(a+1)=(a3−3a+2+b)−(a3−3a−2+b)=4f(a - 1) - f(a + 1) = (a^3 - 3a + 2 + b) - (a^3 - 3a - 2 + b) = 4 bulunur.
Soruda istenen yerel maksimum değeri ile yerel minimum değeri arasındaki farkı elde etmek için bu iki değer birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Soru 282Soru →

Bir tur şirketi, düzenleyeceği bir müze gezisi için kişi başı katılım ücretini 100 TL olarak belirlemiştir. Bu geziye en fazla 200 kişi katılabilecektir. Şirket, geziye 80 kişiden fazla katılım olması durumunda, 80'in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcıların bilet ücretinde 0,5 TL indirim uygulayacaktır.

Buna göre, tur şirketinin bu geziden elde edeceği toplam gelirin en fazla olması için geziye kaç kişi katılmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Toplam gelirin en fazla olması i��in geziye 140 kişi katılmalıdır.
Toplam geliri en yüksek yapan katılımcı sayısını bulmak için öncelikle katılımcı sayısı xx cinsinden gelir fonksiyonu yazılır. 80 kişinin üzerindeki her bir kişi için kişi başı ücret 0,50,5 TL azaldığından, kişi başı bilet fiyatı 100−0,5(x−80)=140−0,5x100 - 0,5(x - 80) = 140 - 0,5x olur. Toplam gelir ise R(x)=x(140−0,5x)=140x−0,5x2R(x) = x(140 - 0,5x) = 140x - 0,5x^2 şeklindedir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınır: R′(x)=140−xR'(x) = 140 - x. Türevin sıfır olduğu x=140x = 140 değeri, geliri maksimum yapan katılımcı sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Katılımcı sayısına bağlı olarak kişi başı bilet ücretini veren fonksiyonu yazalım.
Geziye katılan kişi sayısı xx olsun (x>80x > 80). 80'in üzerindeki kişi sayısı x−80x - 80 olur. Bu durumda kişi başı bilet ücreti 100−0,5(x−80)=140−0,5x100 - 0,5(x - 80) = 140 - 0,5x TL olur.
Toplam geliri hesaplayabilmek için öncelikle birim fiyatın katılımcı sayısına bağlı ifadesini bulmamız gerekir.
2
Toplam gelir fonksiyonunu (R(x)R(x)) oluşturalım.
R(x)=x⋅(140−0,5x)=140x−0,5x2R(x) = x \cdot (140 - 0,5x) = 140x - 0,5x^2 elde edilir.
Toplam gelir, katılımcı sayısı ile kişi başı bilet ücretinin çarpımına eşittir.
3
Gelir fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulalım.
R′(x)=140−xR'(x) = 140 - x olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 140−x=0  ⟹  x=140140 - x = 0 \implies x = 140 bulunur.
Bir fonksiyonun yerel maksimum değerini bulmak için birinci türevinin kökünü incelemeliyiz.
4
Bulunan değerin sınır koşullarını ve maksimumluk durumunu kontrol edelim.
R′′(x)=−1<0R''(x) = -1 < 0 olduğundan x=140x = 140 noktası bir yerel maksimum noktasıdır ve 80<140≤20080 < 140 \le 200 aralığındadır.
Kritik noktanın gerçekten maksimum noktası olduğunu ve tanımlı aralıkta yer aldığını doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde, optimize edilmek istenen büyüklük tek bir değişkene bağlı fonksiyon olarak yazılır ve bu fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktalar (kritik noktalar) incelenerek en büyük veya en küçük değer belirlenir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 283Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+4f(x) = x^2 - 2x + 4 parabolünün y=2x−5y = 2x - 5 doğrusuna en yakın noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabolün doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı 6'dır.
Parabolün doğruya en yakın noktası, o doğruya paralel olan teğetin değme noktasıdır. Doğrunun eğimi 22 olduğundan teğetin eğimi de 22'dir. Parabolün türevi f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 eğime eşitlendiğinde değme noktasının apsisi x=2x = 2 bulunur. Parabolde yerine yazıldığında ordinatı y=4y = 4 elde edilir. Bu noktanın koordinatları toplamı ise 2+4=62 + 4 = 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eğimini belirleme
m=2m = 2
y=2x−5y = 2x - 5 doğrusunun eğimi xx'in katsayısı olan 22 sayısıdır. En yakın noktadaki teğet bu doğruya paralel olmalıdır.
2
Fonksiyonun türevini alma ve eğime eşitleme
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 ve x=2x = 2
Parabol üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi o noktadaki türev değerine eşittir. Eğim 22 olacağından 2x−2=22x - 2 = 2 denkleminden teğet noktasının apsisi x=2x = 2 olarak bulunur.
3
Teğet noktasının ordinatını bulma
y=4y = 4
Bulunan x=2x = 2 apsis değeri parabol denkleminde yerine yazılarak teğet noktas��nın ordinatı f(2)=22−2(2)+4=4f(2) = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 olarak elde edilir.
4
Koordinatlar toplamını hesaplama
66
En yakın nokta (2,4)(2, 4) olarak belirlenmiş olup koordinatlar toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olur.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin bir doğruya en yakın noktasında çizilen teğet doğrusu, verilen doğruya paraleldir.
Soru 284Soru →

Tabanı kare, ��stü açık ve hacmi 48 m348\text{ m}^3 olan kare dik prizma biçimindeki bir su deposu inşa edilecektir. Bu deponun tabanını kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı 15 TL15\text{ TL}, yan yüzeylerini kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı ise 10 TL10\text{ TL}'dir. Buna göre, bu deponun kaplama maliyeti en az kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720

Cevap

Deponun kaplama maliyeti en az 720 TL'dir.
Maliyet fonksiyonu M(x)=15x2+1920xM(x) = 15x^2 + \frac{1920}{x} olarak elde edildikten sonra türevi alınarak sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x=4x = 4 değeri maliyeti minimum yapar. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük maliyet 720 TL720\text{ TL} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Taban kenar uzunluğunu xx ve yüksekliği hh olarak tanımlayıp hacim formülünü oluşturun.
V=x2⋅h=48  ⟹  h=48x2V = x^2 \cdot h = 48 \implies h = \frac{48}{x^2}
Deponun hacmi 48 m348\text{ m}^3 olarak verilmiştir ve prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin ��arpımına eşittir.
2
Taban ve yan yüzeylerin alanlarını bulup birim fiyatlarla çarparak toplam maliyet fonksiyonunu xx cinsinden yazın.
M(x)=15⋅x2+10⋅(4xh)=15x2+40x(48x2)=15x2+1920xM(x) = 15 \cdot x^2 + 10 \cdot (4xh) = 15x^2 + 40x \left(\frac{48}{x^2}\right) = 15x^2 + \frac{1920}{x}
Taban alanı x2x^2 olup metrekare maliyeti 15 TL15\text{ TL}'dir. Üstü açık olduğu için sadece 4 adet yan yüzey (xhxh) kaplanacaktır ve yan yüzeylerin metrekare maliyeti 10 TL10\text{ TL}'dir.
3
Maliyet fonksiyonunun türevini alın.
M′(x)=30x−1920x2M'(x) = 30x - \frac{1920}{x^2}
Maliyeti minimum yapan noktayı bulmak için fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşitlenmelidir.
4
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.
30x−1920x2=0  ⟹  30x3=1920  ⟹  x3=64  ⟹  x=430x - \frac{1920}{x^2} = 0 \implies 30x^3 = 1920 \implies x^3 = 64 \implies x = 4
Maliyetin minimum değeri, türevin sıfır olduğu yerel ekstremum noktasında gerçekleşir.
5
Bulunan x=4x = 4 değerini maliyet fonksiyonunda yerine yazarak minimum maliyeti hesaplayın.
M(4)=15(4)2+19204=240+480=720M(4) = 15(4)^2 + \frac{1920}{4} = 240 + 480 = 720
x=4x = 4 değeri için maliyet fonksiyonunun aldığı değer en küçük maliyeti verir.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde, kısıt denklemi yardımıyla hedef fonksiyon tek değişkene indirgenir ve türevi alınarak ekstremum noktası bulunur.
Soru 285Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−ax2+3f(x) = x^3 - ax^2 + 3 eğrisine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi f′(1)f'(1) değerine eşittir. Bu teğet doğrusu orijinden (0,0)(0,0) geçtiği için teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) ile orijin arasındaki eğim formülü yazıldığında eğim fracf(1)−01−0=f(1)\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1) olur. Dolayısıyla f′(1)=f(1)f'(1) = f(1) eşitliği elde edilir. f(1)=4−af(1) = 4-a ve f′(1)=3−2af'(1) = 3-2a değerleri bu eşitlikte yerine konulduğunda 3−2a=4−a3-2a = 4-a denklemi elde edilir ve buradan a=−1a = -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun orijinden geçmesi şartını belirlemek.
f′(1)=f(1)f'(1) = f(1)
Orijinden ve (1,f(1))(1, f(1)) noktasından geçen doğrunun eğimi fracf(1)−01−0=f(1)\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1) olup bu değer teğet doğrusunun eğimi olan f′(1)f'(1) türev değerine eşit olmalıdır.
2
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki değerini bulmak.
f(1)=4−af(1) = 4 - a
f(x)=x3−ax2+3f(x) = x^3 - ax^2 + 3 fonksiyonunda xx yerine 11 yazılır.
3
Türev fonksiyonunu bulup x=1x = 1 noktasındaki türev (eğim) değerini hesaplamak.
f′(1)=3−2af'(1) = 3 - 2a
f′(x)=3x2−2axf'(x) = 3x^2 - 2ax türevinde xx yerine 11 yazılır.
4
Elde edilen ifadeleri eşitleyerek aa bilinmeyenini çözmek.
a=−1a = -1
3−2a=4−aimpliesa=−13 - 2a = 4 - a \\implies a = -1 denklemi düzenlenerek a=−1a = -1 bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevi olan f′(x0)f'(x_0) değerine eşittir.
Soru 286Soru →
Bir teknoloji firması ürettiği xx adet akıllı cihaz için toplam maliyet fonksiyonunu (bin TL cinsinden)
C(x)=x3−5x2+12x+10C(x) = x^3 - 5x^2 + 12x + 10
ve bu cihazların adet başına satış fiyatını (bin TL cinsinden)
P(x)=36−2xP(x) = 36 - 2x
olarak belirlemiştir.

Buna göre, bu firmanın elde edebileceği maksimum kâr kaç bin TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

Maksimum kâr 70 bin TL'dir.
Toplam kâr fonksiyonu K(x)=−x3+3x2+24x−10K(x) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 10 olarak elde edilir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınır: K′(x)=−3x2+6x+24K'(x) = -3x^2 + 6x + 24. Türevin kökleri incelendiğinde x=4x = 4 (pozitif ürün miktarı) maksimum noktasıdır. x=4x = 4 değeri kâr fonksiyonunda yerine yazıldığında maksimum kâr 70 bin TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr fonksiyonunu (K(x)K(x)) oluşturmak için toplam gelir fonksiyonundan (R(x)R(x)) toplam maliyet fonksiyonu (C(x)C(x)) çıkarılır.
R(x)=x⋅P(x)=x(36−2x)=36x−2x2R(x) = x \cdot P(x) = x(36 - 2x) = 36x - 2x^2 bin TL.
K(x)=R(x)−C(x)=(36x−2x2)−(x3−5x2+12x+10)=−x3+3x2+24x−10K(x) = R(x) - C(x) = (36x - 2x^2) - (x^3 - 5x^2 + 12x + 10) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 10 olur.
Kâr, toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla hesaplanır.
2
Kâr fonksiyonunun türevi alınır ve sıfıra eşitlenerek kritik noktalar bulunur.
K′(x)=−3x2+6x+24=0K'(x) = -3x^2 + 6x + 24 = 0 denkleminden −3(x2−2x−8)=0-3(x^2 - 2x - 8) = 0 ve buradan −3(x−4)(x+2)=0-3(x-4)(x+2) = 0 elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevinin kökleri incelenmelidir.
3
Fiziksel kısıtlar göz önüne alınarak uygun kritik nokta belirlenir ve maksimum kâr hesaplanır.
Ürün miktarı x≥0x \ge 0 olmalıdır, bu nedenle x=4x = 4 kritik noktası seçilir. Maksimum kâr: K(4)=−(4)3+3(4)2+24(4)−10=−64+48+96−10=70K(4) = -(4)^3 + 3(4)^2 + 24(4) - 10 = -64 + 48 + 96 - 10 = 70 bin TL olarak bulunur.
Birinci türevin işaret tablosunda x=4x = 4 noktasında türev artıdan eksiye geçtiği için bu nokta yerel maksimum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Maksimum ve Minimum Problemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 287Soru →

Bir peyzaj mimarı, yarıçapı 66 metre olan yarım daire biçimindeki bir park alanının içine dikdörtgen şeklinde bir yeşil alan tasarlayacaktır. Bu dikdörtgenin bir kenarı yarım dairenin çapı üzerinde, diğer iki köşesi ise yarım daire yayı üzerindedir. Buna göre, bu yeşil alanın alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36; 36 metrekare

Cevap

Tasarlanabilecek yeşil alanın alanı en fazla 36 metrekare olabilir.
Yarım daire içine yerleştirilen dikdörtgenin alanı A(x)=2x36−x2A(x) = 2x\sqrt{36-x^2} fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun türevinin sıfır olduğu nokta x=32x = 3\sqrt{2} değeridir ve bu noktadaki alan en büyük değerine ulaşarak 3636 metrekare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin boyutlarını yarım dairenin yarıçapı cinsinden ifade etmek için bir koordinat sistemi kurun veya değişkenleri belirleyin.
Yarım dairenin yarıçapı R=6R = 6 metredir. Dikdörtgenin merkezini orijin kabul edersek, dikdörtgenin yatay kenarının yarısı xx olsun. Bu durumda dikdörtgenin taban köşeleri (−x,0)(-x, 0) ve (x,0)(x, 0) noktalarında olur. Dikdörtgenin yüksekliği ise yarım dairenin sınır eğrisi olan y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} fonksiyonu ile belirlenir.
Dikdörtgenin alanını tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazabilmek amacıyla değişken tanımlaması yapılır.
2
Dikdörtgenin alan fonksiyonunu xx değişkenine bağlı olarak yazın.
Dikdörtgenin taban uzunluğu 2x2x ve yüksekliği y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} olduğundan, alan fonksiyonu A(x)=2x⋅36−x2A(x) = 2x \cdot \sqrt{36 - x^2} olarak elde edilir.
Maksimum değeri bulabilmek amacıyla türevi alınacak alan fonksiyonunu oluşturmak gerekir.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulun.
Alan fonksiyonunun karesini alarak veya doğrudan çarpımın türevi kuralını uygulayarak türevi alabiliriz. Doğrudan türev alırsak: A′(x)=236−x2+2x⋅−2x236−x2=236−x2−2x236−x2=2(36−x2)−2x236−x2=72−4x236−x2A'(x) = 2\sqrt{36-x^2} + 2x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{36-x^2}} = 2\sqrt{36-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{36-x^2}} = \frac{2(36-x^2) - 2x^2}{\sqrt{36-x^2}} = \frac{72 - 4x^2}{\sqrt{36-x^2}} bulunur. Türevi sıfır yapan değer için pay sıfır olmalıdır: 72−4x2=0  ⟹  x2=18  ⟹  x=3272 - 4x^2 = 0 \implies x^2 = 18 \implies x = 3\sqrt{2} metre (genişlik pozitif olmalıdır).
Bir fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktalarda (yerel ekstremum) birinci türevi sıfırdır.
4
Bulunan xx değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı hesaplayın.
A(32)=2(32)36−(32)2=6218=62⋅32=36A(3\sqrt{2}) = 2(3\sqrt{2})\sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2} = 6\sqrt{2}\sqrt{18} = 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 36 metrekare olarak bulunur.
Soruda istenen en büyük alan değerini elde etmek için kritik nokta fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Soru 288Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+af(x) = x^2 - 3x + a
parabolüne üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusu,
g(x)=x3−bx2+1g(x) = x^3 - bx^2 + 1
eğrisine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktada teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Ortak teğet doğrusunun denkleminin yazılması ve her iki fonksiyonun teğet noktalarındaki türev değerlerinin eğime eşitlenmesiyle elde edilen parametreler toplamı 5'tir.
Verilen fonksiyonların teğet oldukları noktalardaki türevleri ortak teğet doğrusunun eğimine (m = 1) eşittir. Bu eğim kullanılarak b = 1 değeri bulunur. Elde edilen teğet noktası (1, 1) yardımıyla ortak teğet doğrusunun denklemi y = x olarak yazılır. Diğer teğet noktası da bu denklemi sağlamak zorunda olduğundan a = 4 ve dolayısıyla a + b = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla bulmak.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 türev fonksiyonu elde edilir. x=2x = 2 için f′(2)=2(2)−3=1f'(2) = 2(2) - 3 = 1 olur. Teğet doğrusunun eğimi m=1m = 1'dir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonuna x=1x = 1 noktasında teğet olan doğrunun eğimini kullanarak bb parametresini bulmak.
g′(x)=3x2−2bxg'(x) = 3x^2 - 2bx türev fonksiyonu elde edilir. x=1x = 1 için g′(1)=3−2bg'(1) = 3 - 2b olur. Ortak teğet doğrusunun eğimi 1 olduğundan, 3−2b=13 - 2b = 1 ise b=1b = 1 bulunur.
Aynı teğet doğrusu g(x)g(x) e��risine de teğet olduğundan, g(x)g(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi de teğet doğrusunun eğimi olan 1'e eşit olmalıdır.
3
Teğet noktasının koordinatlarını belirlemek ve ortak teğet doğrusunun denklemini yazmak.
b=1b = 1 için g(x)=x3−x2+1g(x) = x^3 - x^2 + 1 olur. g(1)=1g(1) = 1 olduğundan teğet noktası (1,1)(1, 1)'dir. Eğimi m=1m = 1 olan ve (1,1)(1, 1) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi y−1=1(x−1)y - 1 = 1(x - 1) yani y=xy = x olarak bulunur.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak ortak teğet doğrusunun denklemi elde edilir.
4
f(x)f(x) parabolü üzerindeki teğet noktasını bulup teğet doğrusu üzerinde olduğunu kullanarak aa parametresini ve ardından a+ba + b toplamını hesaplamak.
f(x)f(x) parabolü üzerindeki teğet noktası (2,f(2))(2, f(2))'dir. f(2)=22−3(2)+a=a−2f(2) = 2^2 - 3(2) + a = a - 2 olur. Bu nokta y=xy = x doğrusu üzerinde olduğundan a−2=2a - 2 = 2 ise a=4a = 4 bulunur. Buradan a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5 elde edilir.
Eğri üzerindeki teğet noktası aynı zamanda teğet doğrusunun da üzerinde yer almak zorundadır.

Anahtar Kavram

İki farklı fonksiyona teğet olan ortak doğrunun eğiminin türev yardımıyla hesaplanması ve teğet noktalarının doğru denklemini sağlaması prensibi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 289Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x3−3x2−6x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 2

eğrisinin teğetlerinden eğimi en küçük olan teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğriye çizilen teğetler arasında eğimi en küçük olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.
Verilen fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x−6f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 olarak bulunur. Bu fonksiyon teğetlerin eğimini temsil eden kolları yukarı doğru bir paraboldür ve minimum değerini tepe noktasında yani x=1x = 1 noktasında alır. x=1x = 1 için teğet noktası (1,−6)(1, -6) ve bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi m=−9m = -9 olur. Denklemi yazıldığında y−(−6)=−9(x−1)  ⟹  y=−9x+3y - (-6) = -9(x - 1) \implies y = -9x + 3 doğrusu elde edilir. Bu doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı ise 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrinin teğetlerinin eğimini veren türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=3x2−6x−6f'(x) = 3x^2 - 6x - 6
Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunun minimum değerini aldığı x apsis değerini tepe noktası formülüyle belirleyin.
x=1x = 1
f′(x)f'(x) fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiği için minimum değerini tepe noktasında (r=−b/2ar = -b / 2a) alır.
3
Teğet noktasının koordinatlarını ve teğet doğrusunun eğimini hesaplayın.
Teğet noktası (1,−6)(1, -6) ve teğet doğrusunun eğimi m=−9m = -9
Teğet noktasının y koordinatı orijinal fonksiyonda x=1x = 1 yazılarak, eğim ise türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazılarak bulunur.
4
Teğet doğrusunun denklemini oluşturun ve y eksenini kestiği ordinat değerini bulun.
Doğru denklemi y=−9x+3y = -9x + 3 ve y eksenini kestiği ordinat 33
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Bu denklemde x=0x = 0 yazıldığında doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı bulunur.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevidir. ��kinci dereceden türev fonksiyonunun en küçük değerini aldığı nokta tepe noktası yardımıyla bulunarak minimum eğimli teğet doğrusu belirlenir.
Soru 290Soru →

Dik koordinat düzleminde, A(5,0)A(5, 0) noktası ile y=2xy = \sqrt{2x} eğrisi üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktası veriliyor.

Buna göre, PP ile AA noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

En küçük uzaklık değeri 3 birimdir.
Uzaklık fonksiyonunu veren ifadenin karekökünün içi en küçük değerini x=4x = 4 noktasında alır ve bu noktadaki uzaklık 42−8(4)+25=3\sqrt{4^2 - 8(4) + 25} = 3 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri üzerindeki keyfi bir P(x,y)P(x, y) noktasının A(5,0)A(5, 0) noktasına olan uzaklık formülünü yazınız.
d=(x−5)2+y2d = \sqrt{(x-5)^2 + y^2}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} şeklindedir.
2
y=2xy = \sqrt{2x} bağıntısını kullanarak uzaklık formülünü tek bir değişkene bağlı hale getiriniz.
d(x)=(x−5)2+2x=x2−10x+25+2x=x2−8x+25d(x) = \sqrt{(x-5)^2 + 2x} = \sqrt{x^2 - 10x + 25 + 2x} = \sqrt{x^2 - 8x + 25}
Türev alabilmek için fonksiyonun tek bir değişkene (xx'e) bağlı olması gerekir.
3
Uzaklık fonksiyonunu minimum yapmak için karekökün içindeki ifadenin türevini alıp sıfıra eşitleyiniz.
f(x)=x2−8x+25  ⟹  f′(x)=2x−8=0  ⟹  x=4f(x) = x^2 - 8x + 25 \implies f'(x) = 2x - 8 = 0 \implies x = 4
Karekök fonksiyonu artan olduğundan, fonksiyonun en küçük değeri içindeki ifadenin en küçük olduğu noktada gerçekleşir.
4
Bulunan x=4x = 4 değerini uzaklık formülünde yerine yazarak en küçük uzaklığı hesaplayınız.
d(4)=42−8(4)+25=16−32+25=9=3d(4) = \sqrt{4^2 - 8(4) + 25} = \sqrt{16 - 32 + 25} = \sqrt{9} = 3 birim
Minimum değeri veren xx noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için yerine koyma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla tek değişkene indirgenen fonksiyonun türevi kullanılarak minimum değerinin bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 291Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−ax+5f(x) = x^2 - ax + 5

parabolünün üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eksenleri kestiği noktalar AA ve BB dir.

Köşeleri koordinat başlangıcı (OO), AA ve BB noktaları olan OABOAB üçgeninde ∣OA∣=2∣OB∣|OA| = 2|OB| olduğuna göre, aa sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru cevap 6 değeridir.
Doğru cevap olan 6 değeri için, normal doğrusunun eğimi 1/2 olur ve bu doğru eksenleri (8,0) ve (0,-4) noktalarında keser. Bu durumda üçgenin dik kenar uzunlukları 8 birim ve 4 birim olduğundan |OA| = 2|OB| eşitliği sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak teğet doğrusunun eğimini bulunuz.
f'(x) = 2x - a olduğundan x = 2 noktasındaki teğet eğimi m_t = 4 - a olur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet ve normal doğrularının dikliği ilişkisini kullanarak normal doğrusunun eğimini belirleyiniz.
m_t * m_n = -1 bağıntısından m_n = 1 / (a - 4) elde edilir.
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine diktir ve dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.
3
Eksenleri kesen bir doğrunun eksen kestiği noktaların orijine uzaklıkları oranı ile eğimi arasındaki ilişkiyi kurunuz.
y = mx + d doğrusu için |OA| = |d/m| ve |OB| = |d| olur. Buradan |OA| = 2|OB| eşitliği |d/m| = 2|d| yazılırsa, doğrunun orijinden geçmediği bilindiğinden (d ≠ 0) |m_n| = 1/2 bulunur.
Doğrunun eksenleri kestiği noktaların uzunluk oranları, doğrunun eğiminin mutlak değerinin çarpmaya göre tersi ile ilişkilidir.
4
Elde edilen eğim değerini a parametresine eşitleyerek olası a değerlerini hesaplayınız.
m_n = 1/2 için 1/(a-4) = 1/2 ise a = 6; m_n = -1/2 için 1/(a-4) = -1/2 ise a = 2 bulunur. a = 6 değeri seçeneklerde mevcuttur.
Eğimin mutlak değeri 1/2 olduğundan normal doğrusunun eğimi 1/2 veya -1/2 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin negatif tersidir ve doğrunun eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik oran doğrunun eğimini belirler.
Soru 292Soru →

Dik koordinat düzleminde, dik kenarları koordinat eksenleri üzerinde olan ve hipotenüsü P(1,8)P(1, 8) noktasından geçen birinci bölgedeki bir dik üçgenin alanı en az kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Doğru cevap 16 birimkaredir. Hipotenüsü P(1,8)P(1, 8) noktasından geçen ve dik kenarları koordinat eksenleri üzerinde olan dik üçgenin alan fonksiyonu A(a)=4a2a−1A(a) = \frac{4a^2}{a-1} şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde kritik nokta a=2a = 2 olarak bulunur. Fonksiyonda a=2a = 2 yazıldığında en küçük alan değeri 16 birimkare elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin eksenleri kestiği noktaları belirleyerek hipotenüs doğrusunun denklemini yazma
Dik üçgenin köşeleri A(a,0)A(a, 0) ve B(0,b)B(0, b) olsun (a>1,b>0a > 1, b > 0). Bu noktalardan geçen hipotenüs doğrusunun denklemi xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 olur.
Hipotenüs doğrusunun üzerindeki noktaları ilişkilendirmek için doğru denklemi yazılmalıdır.
2
P(1,8)P(1, 8) noktasını doğru denkleminde yerine yazarak bb değişkenini aa cinsinden ifade etme
1a+8b=1  ⟹  8b=1−1a=a−1a  ⟹  b=8aa−1\frac{1}{a} + \frac{8}{b} = 1 \implies \frac{8}{b} = 1 - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} \implies b = \frac{8a}{a-1} elde edilir.
Alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı hale getirmek için değişkenler arasında bağıntı kurulur.
3
Üçgenin alan fonksiyonunu oluşturma
Alan(a)=a⋅b2=a2⋅8aa−1=4a2a−1Alan(a) = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{8a}{a-1} = \frac{4a^2}{a-1} bulunur.
Türev yardımıyla en k��çük değeri bulmak için alan fonksiyonu tanımlanmalıdır.
4
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulma
Alan′(a)=8a(a−1)−4a2⋅1(a−1)2=4a2−8a(a−1)2=0  ⟹  4a(a−2)=0Alan'(a) = \frac{8a(a-1) - 4a^2 \cdot 1}{(a-1)^2} = \frac{4a^2 - 8a}{(a-1)^2} = 0 \implies 4a(a-2) = 0 olur. a>1a > 1 olduğu için a=2a = 2 bulunur.
Fonksiyonun yerel ekstremum (minimum) noktasını bulmak için türevinin kökleri incelenir.
5
Kritik noktayı alan fonksiyonunda yerine yazarak en küçük alan değerini hesaplama
Alan(2)=4(22)2−1=16Alan(2) = \frac{4(2^2)}{2-1} = 16 birimkare elde edilir.
Minimum alanın sayısal değerini bulmak için elde edilen a=2a = 2 değeri fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması

Alternatif Yöntem

Aritmetik ve Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AO-GO) kullanılarak da çözülebilir: 1a+8b=1≥28ab  ⟹  1≥32ab  ⟹  ab≥32\frac{1}{a} + \frac{8}{b} = 1 \geq 2\sqrt{\frac{8}{ab}} \implies 1 \geq \frac{32}{ab} \implies ab \geq 32 olur. Buradan üçgenin alanı Alan=ab2≥16\text{Alan} = \frac{ab}{2} \geq 16 olarak doğrudan elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 293Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=ax+bx−1f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}

eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu, y=−3x+5y = -3x + 5 doğrusuna paraleldir.

Bu teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 1111 olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Katsayıların çarpımı olan 2'dir.
Fonksiyonun türevi alındığında f′(x)=−a−b(x−1)2f'(x) = \frac{-a-b}{(x-1)^2} elde edilir. x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusu y=−3x+5y = -3x + 5 doğrusuna paralel olduğundan teğetin eğimi −3-3'tür. Buradan f′(2)=−a−b=−3  ⟹  a+b=3f'(2) = -a - b = -3 \implies a + b = 3 bağıntısına ulaşılır. Teğet doğrusunun denklemi y−f(2)=−3(x−2)  ⟹  y=−3x+6+f(2)y - f(2) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + f(2) olarak yazılır. Doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 1111 olduğuna göre 6+f(2)=11  ⟹  f(2)=56 + f(2) = 11 \implies f(2) = 5 olmalıdır. Fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak f(2)=2a+b=5f(2) = 2a + b = 5 elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden a=2a = 2, b=1b = 1 ve çarpımları 22 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=a(x−1)−(ax+b)(1)(x−1)2=−a−b(x−1)2f'(x) = \frac{a(x-1) - (ax+b)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-a - b}{(x-1)^2}
Teğet doğrusunun eğimi, teğet noktasındaki türev değerine eşit olduğundan fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
x=2x = 2 apsisli noktadaki teğetin eğimini, paralel olduğu doğrunun eğimine eşitleyin.
f′(2)=−a−b(2−1)2=−a−b=−3  ⟹  a+b=3f'(2) = \frac{-a - b}{(2-1)^2} = -a - b = -3 \implies a + b = 3
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir ve y=−3x+5y = -3x + 5 doğrusunun eğimi −3-3'tür.
3
x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun genel denklemini yazın.
y−f(2)=f′(2)(x−2)  ⟹  y−(2a+b)=−3(x−2)  ⟹  y=−3x+6+2a+by - f(2) = f'(2)(x - 2) \implies y - (2a + b) = -3(x - 2) \implies y = -3x + 6 + 2a + b
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi yazma kuralı uygulanır.
4
Teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatını kullanarak ikinci bir denklem elde edin.
x=0x = 0 için y=6+2a+b=11  ⟹  2a+b=5y = 6 + 2a + b = 11 \implies 2a + b = 5
Bir doğrunun yy eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde xx yerine 00 yazılır.
5
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek katsayıları ve çarpımlarını bulun.
a+b=3a + b = 3 ve 2a+b=52a + b = 5 denklem sisteminin ortak çözümünden a=2a = 2 ve b=1b = 1 elde edilir. Buradan çarpım a⋅b=2a \cdot b = 2 bulunur.
Sistemdeki birinci denklem ikinci denklemden çıkarılarak aa değeri, ardından yerine yazılarak bb değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Alternatif Yöntem

Teğet doğrusunun denklemini eğimi −3-3 ve yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 1111 olduğu için doğrudan y=−3x+11y = -3x + 11 olarak yazabiliriz. Teğet noktasının apsisi 22 olduğundan bu noktadaki ordinat değeri y=−3(2)+11=5y = -3(2) + 11 = 5 olur. Dolayısıyla teğet noktası (2,5)(2, 5)'tir. Bu nokta eğri üzerinde olduğundan f(2)=5f(2) = 5 ve bu noktadaki türev değeri teğet doğrusunun eğimine eşit olduğundan f′(2)=−3f'(2) = -3 olmalıdır. Buradan aa ve bb değerlerine ulaşılarak çarpımları hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 294Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi birinci bölgede y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü üzerinde olan bir dikdörtgen tasarlanıyor. Bu dikdörtgenin alanı en büyük değerini aldığında, parabol üzerindeki köşesinin koordinatları olan (x,y)(x, y) ikilisi nedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (2, 8); (2,8); 2,8; 2, 8

Cevap

Dikdörtgenin alanını maksimum yapan parabol üzerindeki köşenin koordinatları (2, 8) ikilisidir.
Alanı en büyük yapan x değeri, alan fonksiyonunun türevinin sıfır olduğu yerdir. Bu değer x = 2'dir ve parabole yerleştirildiğinde y = 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin alan fonksiyonunu oluşturun.
A(x)=x⋅(12−x2)=12x−x3A(x) = x \cdot (12 - x^2) = 12x - x^3
Birinci bölgedeki köşenin koordinatları (x,y)(x, y) ve y=12−x2y = 12 - x^2 olduğundan dikdörtgenin kenar uzunlukları xx ve 12−x212 - x^2 birimdir. Alan bu iki değerin çarpımıdır.
2
Alan fonksiyonunun birinci t��revini alıp sıfıra eşitleyin.
A′(x)=12−3x2=0  ⟹  x2=4A'(x) = 12 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 4
Bir fonksiyonun yerel maksimum değerini bulmak için türevinin sıfır olduğu kritik noktalar incelenmelidir.
3
Kritik noktayı ve buna karşılık gelen y değerini belirleyin.
x=2x = 2 için y=12−22=8y = 12 - 2^2 = 8
Dikdörtgen birinci bölgede olduğundan x>0x > 0 olmalıdır, bu yüzden x=2x = 2 kökü seçilir. Parabol denkleminde yerine yazılarak yy koordinatı bulunur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve optimizasyon problemleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 295Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x)

eşitliği sağlanmaktadır.

f(x)f(x) fonksiyonunun grafiğine x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=4x−3y = 4x - 3 olduğuna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −4-4

Cevap

g(x) fonksiyonunun grafiğine x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi -4'tür.
g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimi g′(1)g'(1) değeridir. Zincir kuralına göre g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) yazılır. x=1x = 1 için g′(1)=f′(−2)⋅(−1)g'(1) = f'(-2) \cdot (-1) elde edilir. f(x)f(x) fonksiyonuna x=−2x = -2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=4x−3y = 4x - 3 olarak verildiğinden, bu doğrunun eğimi olan 44, f′(−2)f'(-2) değerine eşittir. Buradan g′(1)=4⋅(−1)=−4g'(1) = 4 \cdot (-1) = -4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) eşitliğinin her iki tarafının xx'e göre türevini alalım.
g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: Dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Teğet doğrusunun eğimini bulmak istediğimiz x=1x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazalım.
g′(1)=f′(12−3⋅1)⋅(2⋅1−3)=f′(−2)⋅(−1)g'(1) = f'(1^2 - 3 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1 - 3) = f'(-2) \cdot (-1) bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
f(x)f(x) fonksiyonuna x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi yardımıyla f′(−2)f'(-2) değerini belirleyelim.
y=4x−3y = 4x - 3 doğrusunun eğimi 44 olduğundan, f′(−2)=4f'(-2) = 4 olur.
Teğet doğrusunun eğimi, doğrunun y=mx+ny = mx + n biçimindeki denkleminde xx'in katsayısı olan mm değeridir.
4
Bulduğumuz f′(−2)f'(-2) değerini Adım 2'de elde ettiğimiz eşitlikte yerine yazarak g′(1)g'(1) değerini hesaplayalım.
g′(1)=4⋅(−1)=−4g'(1) = 4 \cdot (-1) = -4 bulunur.
Elde edilen teğet eğimi ve iç türev değerleri çarpılarak nihai eğim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir. Bileşke fonksiyonların türevinde zincir kuralı [f(u(x))]′=f′(u(x))⋅u′(x)[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x) şeklinde uygulanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 296Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktasının A(0,174)A\left(0, \frac{17}{4}\right) noktasına olan uzaklığı en az kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

En kısa uzaklık 2 birimdir.
Parabol üzerindeki genel bir noktanın A noktasına uzaklık fonksiyonunun karesi olan d2=x4−152x2+28916d^2 = x^4 - \frac{15}{2}x^2 + \frac{289}{16} ifadesinin türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde en yakın noktanın apsisinin karesi x2=154x^2 = \frac{15}{4} bulunur. Bu değer uzaklık bağıntısında yerine yazıldığında uzaklığın karesinin minimum değeri 4, uzaklığın kendisi ise 2 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir P noktasının koordinatlarını tek bir değişken cinsinden ifade edin.
y=x2y = x^2 olduğu için parabol üzerindeki herhangi bir nokta P(x,x2)P(x, x^2) şeklinde yazılır.
İki nokta arasındaki uzaklık form��lünü tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürmek için.
2
P(x,x2)P(x, x^2) ile A(0,174)A\left(0, \frac{17}{4}\right) noktaları arasındaki uzaklığın karesini (d2d^2) veren fonksiyonu oluşturun.
d2=(x−0)2+(x2−174)2=x2+x4−172x2+28916=x4−152x2+28916d^2 = (x - 0)^2 + \left(x^2 - \frac{17}{4}\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{17}{2}x^2 + \frac{289}{16} = x^4 - \frac{15}{2}x^2 + \frac{289}{16}
Uzaklığı minimize etmek için önce uzaklığın karesini veren fonksiyonu türevlenebilir hale getirmek gerekir.
3
x2=yx^2 = y dönüşümü uygulayarak fonksiyonu basitleştirin ve türevini alarak kritik noktayı bulun.
g(y)=y2−152y+28916g(y) = y^2 - \frac{15}{2}y + \frac{289}{16} (y≥0y \ge 0) elde edilir. Türevi: g′(y)=2y−152g'(y) = 2y - \frac{15}{2}. Türevi sıfıra eşitlediğimizde y=154y = \frac{15}{4} bulunur.
Türevi sıfır yapan nokta, fonksiyonun yerel minimum noktasını verir.
4
Bulunan y=154y = \frac{15}{4} değerini fonksiyonda yerine yazarak en küçük d2d^2 değerini ve ardından karekökünü alarak en kısa uzaklığı bulun.
d2=g(154)=(154)2−152(154)+28916=225−450+28916=6416=4d^2 = g\left(\frac{15}{4}\right) = \left(\frac{15}{4}\right)^2 - \frac{15}{2}\left(\frac{15}{4}\right) + \frac{289}{16} = \frac{225 - 450 + 289}{16} = \frac{64}{16} = 4. Buradan d=4=2d = \sqrt{4} = 2 bulunur.
Uzaklığın karesinin minimum değeri 4 olduğuna göre, en kısa uzaklığın kendisi 2 birimdir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bir noktanın bir eğriye olan en kısa uzaklığını hesaplama
Soru 297Soru →

Dik koordinat d��zleminde, f(x)=x3−2x2+3f(x) = x^3 - 2x^2 + 3 eğrisine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, bu eğriyi x=1x = 1 dışındaki iki farklı noktada daha kesmektedir. Buna göre, bu kesim noktalarının apsislerinin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktaların apsisleri çarpımı -2'dir.
Eğrinin x = 1 noktasındaki normal doğrusunun denklemi y = x + 1 olarak bulunur. Bu doğru ile eğrinin ortak çözümü yapıldığında kesim noktalarının apsisleri 1, -1 ve 2 olarak elde edilir. x = 1 dışındaki noktaların apsisleri çarpımı (-1) * 2 = -2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasının ordinatını hesaplama
P(1, 2)
Teğet noktasının eğri üzerinde olduğunu bildiğimiz için x = 1 değerini fonksiyonda yerine yazarız.
2
Fonksiyonun türevini alma
f'(x) = 3x^2 - 4x
Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla türev fonksiyonuna ihtiyaç duyarız.
3
x = 1 noktasındaki teğet eğimini bulma
m_t = -1
x = 1 noktasındaki türev değeri teğet doğrusunun eğimini verir.
4
Normal doğrusunun eğimini bulma
m_n = 1
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.
5
Normal doğrusunun denklemini yazma
y = x + 1
Eğimi 1 olan ve P(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini oluştururuz.
6
Normal doğrusu ile eğrinin kesim noktalarını belirleme
x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0
Doğru ve eğrinin ortak noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleriz.
7
Denklemin köklerini bulma
x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 2
Elde edilen üçüncü dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kesim noktalarının apsislerini elde ederiz.
8
Diğer noktaların apsisleri çarpımını hesaplama
-2
x = 1 noktası dışındaki kesim noktalarının apsisleri olan -1 ve 2 değerlerini çarparız.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerinin negatif tersidir. Normal doğrusunun eğri ile ortak çözümü yapılarak kesim noktaları bulunur.
Soru 298Soru →

Bir çiftçi, bir kenarı düz bir nehir boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir araziyi tel örgüyle çevirmek istemektedir. Nehir kenar��ndaki kenar için tel örgü kullanılmayacaktır. Nehire dik olan iki kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı 10 TL10\text{ TL}, nehire paralel olan kenar için kullanılacak tel örgünün metre fiyatı ise 15 TL15\text{ TL}'dir. Bu iş için en fazla 1200 TL1200\text{ TL} bütçe ayıran çiftçinin çevirebileceği arazinin alanı en fazla kaç metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1200

Cevap

Çiftçinin çevirebileceği maksimum alan 1200 m21200\text{ m}^2 olarak bulunur.
Mali kısıt altında oluşturulan alan fonksiyonunun türevini sıfır yapan x=30x = 30 değeri için alan en büyük değerini alır ve bu değer 1200 m21200\text{ m}^2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıt denkleminden bir değişkeni diğeri cinsinden ifade etme
20x+15y=1200⇒y=80−43x20x + 15y = 1200 \Rightarrow y = 80 - \frac{4}{3}x
Bütçe kısıtını kullanarak alan fonksiyonunu tek değişkene indirgemek
2
Alan fonksiyonunu tek değişkenli olarak kurma
A(x)=80x−43x2A(x) = 80x - \frac{4}{3}x^2
Maksimum değeri türev yardımıyla bulabilmek için fonksiyonu tek değişkenli hale getirmek
3
Türevi sıfır yapan noktayı bulma ve maksimum alanı hesaplama
A′(x)=80−83x=0⇒x=30A'(x) = 80 - \frac{8}{3}x = 0 \Rightarrow x = 30 ve A(30)=1200A(30) = 1200
Birinci türevin sıfır olduğu nokta yerel maksimum noktasını verir

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde kısıt denklemini kullanarak tek değişkenli hedef fonksiyonu oluşturma ve türev yardımıyla optimizasyon yapma
Soru 299Soru →

Toplam uzunluğu 36 cm36\text{ cm} olan bir telin tamamı bükülerek bir daire dilimi oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu daire diliminin alanı en fazla kaç cm2\text{cm}^2 olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8181

Cevap

Oluşturulabilecek daire diliminin maksimum alanı 81 cm281\text{ cm}^2 olmalıdır.
Doğru seçenekte belirtilen 8181 değeri, çevre bağıntısından elde edilen a=36−2ra = 36 - 2r ifadesinin alan formülü olan A=12raA = \frac{1}{2}ra içinde yerine yazılmasıyla elde edilen A(r)=18r−r2A(r) = 18r - r^2 fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlenerek (r=9r = 9) hesaplanan maksimum alandır.

Adım Adım Çözüm

1
Daire diliminin geometrik elemanlarını tanımlama ve çevre bağıntısını oluşturma.
Daire diliminin yarıçapı rr ve yay uzunluğu aa olmak üzere, çevre 2r+a=362r + a = 36 olarak yazılır. Buradan yay uzunluğu a=36−2ra = 36 - 2r şeklinde elde edilir.
Değişken sayisini bire indirmek için yarıçap ile yay uzunluğu arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Alan fonksiyonunu tek değişkene bağlı olarak yazma.
Alan A(r)=12⋅r⋅a=12r(36−2r)=18r−r2A(r) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a = \frac{1}{2}r(36-2r) = 18r - r^2 olarak bulunur.
Türev alarak maksimum alanı veren yarıçap değerini bulabilmek için tek değişkenli bir alan fonksiyonu gereklidir.
3
Alan fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma.
A′(r)=18−2rA'(r) = 18 - 2r olur. 18−2r=0⇒r=918 - 2r = 0 \Rightarrow r = 9 bulunur.
Alan fonksiyonunun maksimum değerini aldığı noktada birinci türevi sıfırdır.
4
Maksimum alan değerini hesaplama.
A(9)=18(9)−92=162−81=81 cm2A(9) = 18(9) - 9^2 = 162 - 81 = 81\text{ cm}^2 elde edilir.
Kritik yarıçap değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak alabileceği en büyük değeri hesaplarız.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması (Maksimum-Minimum Problemleri)
Soru 300Soru →

Eni 10 cm10\text{ cm} ve boyu 16 cm16\text{ cm} olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun dört köşesinden birer kenar uzunluğu x cmx\text{ cm} olan eş kareler kesilerek çıkartılıyor. Kalan karton parçası katlanarak üstü açık bir dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu yapılıyor. Bu kutunun hacminin alabileceği en büyük değer kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Kutunun alabileceği en büyük hacim 144 cm³'tür.
Kutunun hacim fonksiyonu V(x)=4x3−52x2+160xV(x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x olup, tanım aralığı 0<x<50 < x < 5 şeklindedir. Fonksiyonun türevinin bu aralıktaki tek kökü x=2x = 2 olduğundan maksimum hacim V(2)=144 cm3V(2) = 144\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kutunun boyutlarını belirleyip hacim fonksiyonunu x cinsinden yazın.
Kutunun yüksekliği xx cm, taban kenarları ise 10−2x10 - 2x cm ve 16−2x16 - 2x cm olur. Hacim fonksiyonu V(x)=x(10−2x)(16−2x)=4x3−52x2+160xV(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x olarak elde edilir.
Kutunun hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
2
Kutunun boyutlarının fiziksel olarak tanımlı olabilmesi için x değişkeninin tanım kümesini belirleyin.
Kenar uzunlukları pozitif olmalıdır: x>0x > 0, 10−2x>0  ⟹  x<510 - 2x > 0 \implies x < 5 ve 16−2x>0  ⟹  x<816 - 2x > 0 \implies x < 8. Buradan tanım kümesi (0,5)(0, 5) aralığı olarak bulunur.
Uzunluk ölçüleri negatif veya sıfır olamaz.
3
Hacim fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulun.
V′(x)=12x2−104x+160=0  ⟹  3x2−26x+40=0V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 0 \implies 3x^2 - 26x + 40 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri x=2x = 2 ve x=203x = \frac{20}{3} olarak bulunur.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevin sıfır olduğu kritik noktalarda aranır.
4
Bulunan kritik noktaları tanım kümesi yönünden inceleyin ve maksimum hacmi hesaplayın.
x=203≈667x = \frac{20}{3} \approx 6{}67 değeri (0,5)(0, 5) tanım aralığının dışındadır. Bu nedenle tek geçerli kritik nokta x=2x = 2 olur. Hacim fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında maksimum hacim V(2)=2⋅(10−4)⋅(16−4)=144V(2) = 2 \cdot (10 - 4) \cdot (16 - 4) = 144 olarak bulunur.
Maksimum hacim, geçerli tanım kümesindeki tek yerel maksimum noktası olan x = 2 değerinde elde edilir.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde türev kullanılarak optimizasyon yapılması.
ÖncekiSayfa 15 / 16Sonraki
Türev ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 15 | Examkin