Examkin

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

36 soru

Tüm türler36Çoktan seçmeli18Sayısal18
Soru 1Soru →
f(x)=14x4−x3+5f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

fonksiyonunun azalan olduğu en geni�� aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,3](-\infty, 3]

Cevap

Azalan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
Fonksiyonun türevi f′(x)=x2(x−3)f'(x) = x^2(x-3) olarak bulunur. x=0x=0 çift katlı kök olduğundan bu noktada türevin işareti değişmez ve türev (−∞,3)(-\infty, 3) aralığında negatiftir. Süreklilikten dolayı fonksiyon (−∞,3](-\infty, 3] aralığında azalandır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=x3−3x2f'(x) = x^3 - 3x^2 elde edilir.
Bir fonksiyonun artanlık veya azalanlık durumunu incelemek için türevinin işaretine bakılması gerekir.
2
Türevin kökleri bulunur.
x2(x−3)=0⇒x=0x^2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0 (çift katlı kök) ve x=3x = 3 (tek katlı kök) olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirebileceği kritik noktaları ve köklerin katlılık durumunu belirlemek için kökler bulunur.
3
Türevin işaret tablosu oluşturulur.
(−∞,3](-\infty, 3] aralığında f′(x)≤0f'(x) \leq 0 ve [3,∞)[3, \infty) aralığında f′(x)≥0f'(x) \geq 0 olduğu görülür.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığı belirlemek için türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıkta o fonksiyon azalandır. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →
Her xx gerçek sayısı için artan olan
f(x)=x3−3(a−2)x2+12x+1f(x) = x^3 - 3(a-2)x^2 + 12x + 1
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

a sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Fonksiyonun her gerçek sayı için artan olması, birinci türevinin daima sıfırdan büyük ya da eşit (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) olmasını gerektirir. Türev fonksiyonu olan f′(x)=3x2−6(a−2)x+12f'(x) = 3x^2 - 6(a-2)x + 12 ifadesi 3 ile sadeleştirildiğinde x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 elde edilir. Bu ifadenin daima sağlanması için diskriminantının sıfırdan küçük ya da eşit olması gerekir (Δ≤0\Delta \leq 0). Buradan 4(a−2)2−16≤0  ⟹  (a−2)2≤4  ⟹  −2≤a−2≤2  ⟹  0≤a≤44(a-2)^2 - 16 \leq 0 \implies (a-2)^2 \leq 4 \implies -2 \leq a-2 \leq 2 \implies 0 \leq a \leq 4 bulunur. Bu aralıktaki tam sayı değerleri 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−3(a−2)x2+12x+1f(x) = x^3 - 3(a-2)x^2 + 12x + 1 fonksiyonunun türevini alınız.
f′(x)=3x2−6(a−2)x+12f'(x) = 3x^2 - 6(a-2)x + 12 elde edilir.
Bir fonksiyonun artanlık veya azalanlık durumu, birinci türevinin işareti incelenerek belirlenir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun her xx gerçek sayısı için artan olma koşulunu yazınız.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 yani 3x2−6(a−2)x+12≥03x^2 - 6(a-2)x + 12 \geq 0 olmalıdır. Bu eşitsizlik 3 ile sadeleştirildiğinde x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 elde edilir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun bir aralıkta artan olması için türevinin o aralıkta sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
x2−2(a−2)x+4≥0x^2 - 2(a-2)x + 4 \geq 0 eşitsizliğinin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanması koşulunu uygulayınız.
Baş katsayısı pozitif (1>01 > 0) olan ikinci dereceden bir ifadenin her x∈Rx \in \mathbb{R} için sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır: Δ≤0\Delta \leq 0.
Δ=[−2(a−2)]2−4⋅1⋅4=4(a−2)2−16≤0\Delta = [-2(a-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4(a-2)^2 - 16 \leq 0 olur.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği (parabol) daima xx ekseninin üzerinde veya teğet olmalıdır, bu da reel kökün olmaması veya çift katl�� kök olması (diskriminantın sıfıra eşit veya küçük olması) anlamına gelir.
4
4(a−2)2−16≤04(a-2)^2 - 16 \leq 0 eşitsizliğini çözerek aa değerlerinin aralığını ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını bulunuz.
(a−2)2≤4  ⟹  ∣a−2∣≤2  ⟹  −2≤a−2≤2  ⟹  0≤a≤4(a-2)^2 \leq 4 \implies |a-2| \leq 2 \implies -2 \leq a-2 \leq 2 \implies 0 \leq a \leq 4 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 0+1+2+3+4=100+1+2+3+4=10 olarak bulunur.
Eşitsizlik çözüldükten sonra sınır değerler dahil edilerek tam sayı değerleri listelenir ve toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. İkinci dereceden türev fonksiyonları için bu durum diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olması (Δ≤0\Delta \leq 0) şartına denk gelir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →
f(x)=(x−3)3+2f(x) = (x - 3)^3 + 2

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: R\mathbb{R}

Cevap

Tüm gerçek sayılar kümesi (R\mathbb{R})
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3(x−3)2f'(x) = 3(x - 3)^2 ifadesi, tüm gerçek sayılar için sıfırdan büyük veya eşittir (f′(x)≥0f'(x) \geq 0). Türevin sıfır olduğu tek nokta x=3x = 3 olup bu nokta izole bir noktadır. Dolayısıyla, fonksiyon tüm gerçek sayılar kümesinde artandır. Bu nedenle doğru cevap tüm gerçek sayılar kümesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3(x−3)2f'(x) = 3(x - 3)^2 elde edilir.
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu noktalar (kökler) bulunur ve işaret tablosu oluşturulur.
3(x−3)2=0⇒x=33(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 çift katlı köktür. x=3x = 3 dışındaki tüm gerçek sayılar için f′(x)>0f'(x) > 0 olur.
(x−3)2(x - 3)^2 ifadesi bir tam kare olduğundan x≠3x \neq 3 için daima pozitiftir. Çift katlı köklerde işaret değişmez.
3
Türevin işaretine göre fonksiyonun artan olduğu en geniş aralık belirlenir.
f′(x)≥0f'(x) \geq 0 koşulu tüm x∈Rx \in \mathbb{R} için sağlanır ve f′(x)=0f'(x) = 0 yapan x=3x = 3 noktası izole bir noktadır. Dolayısıyla fonksiyon tüm gerçek sayılarda artandır.
Türevin sıfır olduğu izole noktalar sürekli fonksiyonlarda artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işareti incelenir. Sürekli bir fonksiyon için türevi sıfır yapan izole noktalar artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.
Soru 4Soru →
f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,a](-\infty, a] olduğuna göre, aa sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen aa değeri 2'dir.
Verilen fonksiyonun türevi f′(x)=6x−12f'(x) = 6x - 12 olarak bulunur. Fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevi sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır. Buradan 6x−12≤0  ⟹  x≤26x - 12 \leq 0 \implies x \leq 2 elde edilir. Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,2](-\infty, 2] olduğundan, sınır değeri olan aa sayısı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=6x−12f'(x) = 6x - 12
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevi sıfır veya sıfırdan küçük yapan değerler için eşitsizlik kurulur.
6x−12≤06x - 12 \leq 0
Sürekli bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.
3
Kurulan birinci dereceden eşitsizlik çözülür.
x≤2x \leq 2 yani (−∞,2](-\infty, 2]
Eşitsizliğin çözüm kümesi fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığı verir. Bu aralık (−∞,a](-\infty, a] olarak tanımlandığı için a=2a = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.
Soru 5Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin gerçek sayılardaki köklerinin kümesi {−1,3,8}\{-1, 3, 8\}'dir.
* f′f' fonksiyonunun grafiği, x=3x = 3 noktasında xx eksenine teğet olup bu noktanın civarında xx ekseninin üst tarafındadır.
* x>8x > 8 için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x<−1x < -1 için f′(x)<0f'(x) < 0'dır.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,−2]∪[1,4](-\infty, -2] \cup [1, 4]

Cevap

(−∞,−2]∪[1,4](-\infty, -2] \cup [1, 4] aralığıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) şeklinde elde edilir. Bu ifadenin kökleri ve katlılık durumları incelendiğinde; x=−2x = -2 ve x=4x = 4 tek katlı, x=−1x = -1 ve x=3x = 3 çift katlı, x=1x = 1 ise tek katlı (3. dereceden) kök olarak bulunur. İşaret tablosu en sağdan negatif işaretle başlanarak doldurulduğunda, türevin pozitif veya sıfır olduğu bölgelerin (−∞,−2](-\infty, -2] ve [1,4][1, 4] aralıkları olduğu görülür. Dolayısıyla en geniş artanlık aralığı bu iki aralığın birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini alma
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2 - 2x)
Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar�� bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu kritik noktaları (kökleri) bulma
g′(x)=0  ⟹  2(x−1)=0g'(x) = 0 \implies 2(x-1) = 0 veya f′(x2−2x)=0f'(x^2 - 2x) = 0

1) 2(x−1)=0  ⟹  x=12(x-1) = 0 \implies x = 1 (1. dereceden/tek katlı kök)

2) f′(t)=0f'(t) = 0 denkleminin kökleri t=−1t = -1 (tek katlı), t=3t = 3 (çift katlı) ve t=8t = 8 (tek katlı) olarak verilmiştir. Buradan t=x2−2xt = x^2 - 2x yazarak kökleri bulalım:

* x2−2x=−1  ⟹  (x−1)2=0  ⟹  x=1x^2 - 2x = -1 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 (çift katlı denklem kökü)
* x2−2x=3  ⟹  x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0  ⟹  x=3x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x = 3 ve x=−1x = -1
* x2−2x=8  ⟹  x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0  ⟹  x=4x^2 - 2x = 8 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4 ve x=−2x = -2
İşaret tablosu oluşturmak için türevin tüm köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirlemeliyiz.
3
K��klerin toplam katlılık derecelerini belirleme
* x=−2x = -2 ve x=4x = 4 noktaları tek katlı köklerdir (toplam katları 1).
* x=−1x = -1 ve x=3x = 3 noktaları çift katlı köklerdir. Çünkü t=3t = 3, f′(t)f'(t) fonksiyonunun çift katlı kökü olduğundan, buradan gelen x=3x = 3 ve x=−1x = -1 kökleri g′(x)g'(x) için de çift katlı olur.
* x=1x = 1 noktası için: 2(x−1)2(x-1) çarpanından tek katlı kök (üs 1) gelirken, f′(x2−2x)f'(x^2 - 2x) kısmından (x−1)2(x-1)^2 çarpanından dolayı çift katlı kök (üs 2) gelmektedir. Toplamda x=1x = 1 kökünün derecesi 1+2=31 + 2 = 3 (tek katlı) olur.
Hangi noktalarda türevin işaret değiştireceğini belirlemek için köklerin tek veya çift katlı olduğunu netleştirmeliyiz.
4
Türevin işaret tablosunu oluşturma
Kökler küçükten büyüğe: −2,−1,1,3,4-2, -1, 1, 3, 4

En sağdaki bölgeyi (x>4x > 4 için) inceleyelim:
x>4  ⟹  x−1>0x > 4 \implies x-1 > 0 ve t=x2−2x>8t = x^2 - 2x > 8 olur. Soruda t>8t > 8 için f′(t)<0f'(t) < 0 verildiğinden f′(x2−2x)<0f'(x^2-2x) < 0 olur. Dolayısıyla g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)<0g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) < 0 (negatif) olur.

İşaret tablosu sağdan sola:
* (4,∞)(4, \infty) aralığında: −-
* x=4x = 4 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir: ++
* (3,4)(3, 4) aralığında: ++
* x=3x = 3 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez: ++
* (1,3)(1, 3) aralığında: ++
* x=1x = 1 tek katlı (3. derece) kökünden geçerken işaret değişir: −-
* (−1,1)(-1, 1) aralığında: −-
* x=−1x = -1 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez: −-
* (−2,−1)(-2, -1) aralığında: −-
* x=−2x = -2 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir: ++
Türevin işaret tablosunu oluşturarak fonksiyonun artan (g′(x)≥0g'(x) \geq 0) ve azalan (g′(x)≤0g'(x) \leq 0) olduğu aralıkları tam olarak belirleriz.
5
Artan aralıkların birleşimini yazma
Türevin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar: (−∞,−2](-\infty, -2] ve [1,4][1, 4] (Burada x=3x = 3 noktasında türev sıfırdır ancak işaret değiştirmediği için aralık bölünmez ve [1,4][1, 4] olarak birleştirilir).

En geniş artanlık aralığı: (−∞,−2]∪[1,4](-\infty, -2] \cup [1, 4]
Sürekli bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon artandır. Uç noktalar kapalı aralık olarak dahil edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması, işaret tablosunda tek ve çift katlı köklerin analizi.
Soru 6Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f′f' fonksiyonu ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her x∈(−∞,−3)∪(8,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (8, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0'dır.
* Her x∈(−3,8)∖{0}x \in (-3, 8) \setminus \{0\} için f′(x)<0f'(x) < 0'dır.
* f′(−3)=f′(0)=f′(8)=0f'(-3) = f'(0) = f'(8) = 0'dır.

g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) olmak üzere,

I. gg fonksiyonu [1,4][1, 4] aralığında azalandır.
II. g(0)>g(−1)g(0) > g(-1)'dir.
III. g(2)>g(1)g(2) > g(1)'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Doğru yanıt olan ifadeler I ve II'dir. Türev tablosu yapıldığında g′(x)g'(x)'in [−2,1][-2, 1] aralığında pozitif veya sıfır olduğu ve sadece izole noktalarda sıfırlandığı görülür. Bu yüzden g(x)g(x) bu aralıkta kesin artandır, dolayısıyla g(0)>g(−1)g(0) > g(-1) eşitsizliği sağlanır. Benzer şekilde, g′(x)g'(x)'in [1,4][1, 4] aralığında negatif veya sıfır olması fonksiyonun bu aralıkta azalan olduğunu gösterir. Bu durumda birinci öncül doğru olurken, azalanlık tanımı gereği g(2)<g(1)g(2) < g(1) olması gerektiğinden üçüncü öncül yanlış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) yardımıyla g(x)g(x) fonksiyonunun türevi bulunur.
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2-2x)
g(x)=f(h(x))g(x) = f(h(x)) ise g′(x)=h′(x)⋅f′(h(x))g'(x) = h'(x) \cdot f'(h(x)) kuralını uygulamak gerekir.
2
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin kökleri belirlenir.
2x−2=0  ⟹  x=12x-2 = 0 \implies x=1 (tek katlı kök) ve f′(x2−2x)=0  ⟹  x2−2x∈{−3,0,8}f'(x^2-2x) = 0 \implies x^2-2x \in \{-3, 0, 8\}. Bunlardan;
* x2−2x=−3  ⟹  x2−2x+3=0x^2-2x = -3 \implies x^2-2x+3=0 denkleminin diskriminantı Δ<0\Delta < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur. Her xx için x2−2x>−3x^2-2x > -3 sağlanır.
* x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0  ⟹  x=0x^2-2x = 0 \implies x(x-2)=0 \implies x=0 ve x=2x=2 kökleri bulunur. Grafikte f′(u)f'(u) fonksiyonu u=0u=0'da işaret değiştirmediği (x-eksenine teğet olduğu) için bu kökler g′(x)g'(x) için işaret değiştirmeyen (çift katlı) köklerdir.
* x2−2x=8  ⟹  x2−2x−8=0  ⟹  x=−2x^2-2x = 8 \implies x^2-2x-8=0 \implies x=-2 ve x=4x=4 tek katlı kökleri bulunur.
İşaret tablosu yapmak için türevi sıfır yapan tüm kritik noktaların ve köklerin türünün (tek/çift katlı) bilinmesi gerekir.
3
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturulur.
* x<−2x < -2 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* −2<x<0-2 < x < 0 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
* 0<x<10 < x < 1 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
* 1<x<21 < x < 2 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* 2<x<42 < x < 4 için g′(x)<0g'(x) < 0 (azalan)
* x>4x > 4 için g′(x)>0g'(x) > 0 (artan)
g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin her bir çarpanının işaretleri çarpılarak toplam türevin işareti bulunur.
4
Monotonluk aralıkları birleştirilerek öncüller incelenir.
gg fonksiyonu sürekli olduğundan, artan olduğu aralıklar birleştirilerek [−2,1][-2, 1] aralığında artan, azalan olduğu aralıklar birleştirilerek [1,4][1, 4] aralığında azalan olduğu görülür. Buradan;
* I. öncül: [1,4][1, 4] aralığında azalandır ifadesi doğrudur.
* II. öncül: [−2,1][-2, 1] aralığında artan olduğundan ve −1<0-1 < 0 olduğundan g(−1)<g(0)g(-1) < g(0), yani g(0)>g(−1)g(0) > g(-1) ifadesi doğrudur.
* III. öncül: [1,4][1, 4] aralığında azalan olduğundan ve 1<21 < 2 olduğundan g(1)>g(2)g(1) > g(2), yani g(2)>g(1)g(2) > g(1) ifadesi yanlıştır.
Öncüllerdeki eşitsizliklerin doğruluğu tanımlı oldukları monotonluk aralıklarındaki davranışlara göre test edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi ve türev yardımıyla artan/azalan aralıkların bulunması
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →
f(x)=x3−ax2+bx+4f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [1,5][1, 5] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktaları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği sıfır noktalarıdır. Dolayısıyla x=1x = 1 ve x=5x = 5 değerleri f′(x)=3x2−2ax+b=0f'(x) = 3x^2 - 2ax + b = 0 denkleminin kökleridir. Vieta formülleri kullanılarak kökler toplamı 1+5=2a/3  ⟹  a=91+5 = 2a/3 \implies a = 9 ve kökler çarpımı 1⋅5=b/3  ⟹  b=151 \cdot 5 = b/3 \implies b = 15 bulunur. Buradan a+b=24a+b = 24 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3x2−2ax+bf'(x) = 3x^2 - 2ax + b
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Azalanlık aralığının sınırları ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurun.
f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x1=1x_1 = 1 ve x2=5x_2 = 5 olmalıdır.
Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [1,5][1, 5] ise, bu aralığın uç noktalarında türev sıfıra eşittir ve bu aralıkta türev negatif değerler alır.
3
Kökler toplamı ve çarpımı bağıntılarını kullanarak aa ve bb değerlerini bulun ve toplayın.
a=9a = 9, b=15b = 15 ve buradan a+b=24a + b = 24 elde edilir.
Kökler toplamı formülünden 1+5=2a3  ⟹  a=91 + 5 = \frac{2a}{3} \implies a = 9 ve kökler çarpımı formülünden 1⋅5=b3  ⟹  b=151 \cdot 5 = \frac{b}{3} \implies b = 15 bulunur.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonlarının azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktalarında birinci türevinin sıfıra eşit olması.

Alternatif Yöntem

Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini kullanmak yerine, f′(1)=0f'(1) = 0 ve f′(5)=0f'(5) = 0 eşitlikleri doğrudan yazılabilir. Buradan 3−2a+b=03 - 2a + b = 0 ve 75−10a+b=075 - 10a + b = 0 denklemleri elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa çıkararak 72−8a=0  ⟹  a=972 - 8a = 0 \implies a = 9 bulunur. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında da b=15b = 15 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →
Her xx gerçel sayısı için tanımlı olan
f(x)=ln⁡(x2−2x+k)−13xf(x) = \ln(x^2 - 2x + k) - \frac{1}{3}x
fonksiyonu her xx gerçel sayısı için azalandır.

Buna göre, kk gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 10'dur.
Fonksiyonun tanımlı ve azalan olması için k>1k > 1 ve k≥10k \ge 10 şartlarının birlikte sağlanması gerekir. Bu iki koşulu da sağlayan en küçük tam sayı değeri 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlılık şartını belirleme
k>1k > 1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif olması gerekir. x2−2x+k>0x^2 - 2x + k > 0 ifadesinin her xx için sağlanması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir.
2
Türev fonksiyonunu hesaplama ve azalanlık eşitsizliğini kurma
f′(x)=2x−2x2−2x+k−13≤0f'(x) = \frac{2x-2}{x^2-2x+k} - \frac{1}{3} \le 0
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta daima azalan olması, türevinin o aralıkta daima sıfırdan küçük veya eşit olmasını gerektirir.
3
Türev eşitsizliğini ikinci dereceden bir eşitsizliğe d��nüştürme
x2−8x+k+6≥0x^2 - 8x + k + 6 \ge 0
Paydanın daima pozitif olduğu birinci adımdan bilindiği için, içler dışlar çarpımı yapılarak eşitsizlik yön değiştirmeden düzenlenebilir.
4
İkinci dereceden eşitsizliğin daima sağlanma şartını uygulama ve ortak çözümü bulma
k≥10k \ge 10
x2−8x+k+6≥0x^2 - 8x + k + 6 \ge 0 eşitsizliğinin her xx gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır (Δ2≤0\Delta_2 \le 0). Buradan k≥10k \ge 10 bulunur. Tanımlılık şartı olan k>1k > 1 ile kesişim alındığında en küçük tam sayı değeri 10 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi ile türev yardımıyla fonksiyonların artanlık/azalanlık incelemesi.
Soru 9Soru →
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−1,3][-1, 3]

Cevap

[−1,3][-1, 3] aralığıdır.
Verilen fonksiyonun birinci türevi olan f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x - 3)(x + 1) ifadesinin işaret tablosu yapıldığında, türevin [−1,3][-1, 3] aralığında negatif değerler aldığı görülür. Bu nedenle fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−1,3][-1, 3] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin köklerini bulmak için türev ifadesi sıfıra eşitlenir.
3x2−6x−9=0  ⟹  3(x2−2x−3)=0  ⟹  3(x−3)(x+1)=03x^2 - 6x - 9 = 0 \implies 3(x^2 - 2x - 3) = 0 \implies 3(x - 3)(x + 1) = 0 Denklemden kökler x1=−1x_1 = -1 ve x2=3x_2 = 3 olarak bulunur.
Türevin işaret değiştirebileceği kritik noktaları belirlemek amacıyla kökler hesaplanır.
3
Birinci türev için işaret tablosu oluşturulur.
x<−1x < -1 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), −1<x<3-1 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Buna göre, fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−1,3][-1, 3] kapalı aralığıdır.
Türevin negatif (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) olduğu aralıklar fonksiyonun azalan olduğu bölgeleri gösterir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →
f(x)=x3−3x2+kx+5f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 5 fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde daima artan olması için kk gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'tür.
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesi üzerinde daima artan olması, birinci türevinin her gerçel sayı için sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirir. f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması için baş katsayısı pozitif olduğundan diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit (Δ≤0\Delta \leq 0) olması gerekir. Buradan 36−12k≤036 - 12k \leq 0 eşitsizliğinden k≥3k \geq 3 bulunur. Bu koşulu sağlayan en küçük kk tam sayısı 33'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun birinci türevini hesaplayın.
f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k
Bir fonksiyonun artan veya azalan oldu��u aralıklar birinci türevinin işaretiyle belirlenir.
2
Fonksiyonun daima artan olması için gerekli türev koşulunu yazın.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 olmalıdır.
Türevin negatif olmadığı (sıfırdan büyük veya eşit olduğu) aralıklarda fonksiyon artandır.
3
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminant koşulunu uygulayın.
f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k ikinci dereceden ifadesinin baş katsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, daima pozitif veya sıfır olması için Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir ifadenin işaret tablosunda işaret değiştirmemesi ve daima pozitif kalması için gerçek kökünün olmaması ya da yalnızca çift katlı kökünün olması gerekir.
4
Diskriminant (Δ\Delta) ifadesini hesaplayıp sıfırdan küçük veya eşit olacak şekilde eşitsizliği çözün.
Δ=(−6)2−4⋅3⋅k≤0⇒36−12k≤0⇒12k≥36⇒k≥3\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot k \leq 0 \Rightarrow 36 - 12k \leq 0 \Rightarrow 12k \geq 36 \Rightarrow k \geq 3
kk değerlerinin aralığını bulmak için eşitsizlik çözülür.
5
k≥3k \geq 3 şartını sağlayan en küçük tam sayı değerini belirleyin.
k=3k = 3
33 veya 33'ten büyük tam sayılar arasından en küçüğü seçilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her noktada sıfırdan büyük veya eşit olması ve türevin sıfır olduğu noktaların ayrık (tekil) olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →
f(x)=x3−12x+5f(x) = x^3 - 12x + 5

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 4 birimdir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12 ifadesinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralık [−2,2][-2, 2] aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu ise 2−(−2)=42 - (-2) = 4 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için fonksiyonun birinci türevinin i��aretinin incelenmesi gerekir.
2
Türev fonksiyonunun sıfır veya sıfırdan küçük olduğu aralık (f′(x)≤0f'(x) \le 0) belirlenir.
[−2,2][-2, 2] aralığı
Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklar fonksiyonun azalan olduğu aralıkları verir.
3
Azalan olunan en geniş aralığın uzunluğu hesaplanır.
4
[−2,2][-2, 2] aralığının uzunluğunu bulmak için sağ uç noktadan sol uç nokta çıkarılır: 2−(−2)=42 - (-2) = 4.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda o fonksiyon azalandır.
Soru 12Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x2−4x+3)(x2−2x−8)f'(x) = (x^2 - 4x + 3)(x^2 - 2x - 8)
olarak verilmektedir.
Buna göre, g(x)=f(2x−x2)g(x) = f(2x - x^2) fonksiyonunun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşaret tablosu analizi sonucunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 3'tür.
Fonksiyonun türevi alınıp zincir kuralı uygulandığında elde edilen türev fonksiyonunun işaret tablosu incelenir. Pozitif olduğu aralıklar belirlenerek bu aralıklardaki pozitif tam sayılar toplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(2x−x2)g(x) = f(2x - x^2) fonksiyonunun türevini zincir kuralını kullanarak alınız.
g′(x)=(2−2x)⋅f′(2x−x2)=2(1−x)⋅f′(2x−x2)g'(x) = (2 - 2x) \cdot f'(2x - x^2) = 2(1-x) \cdot f'(2x - x^2)
Bileşke fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türev fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine 2x−x22x - x^2 yazarak f′(2x−x2)f'(2x - x^2) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
f′(u)=(u−1)(u−3)(u−4)(u+2)f'(u) = (u-1)(u-3)(u-4)(u+2) ifadesinde u=2x−x2u = 2x - x^2 yazıldığında; f′(2x−x2)=−(x−1)2⋅[−(x2−2x+3)]⋅[−(x2−2x+4)]⋅[−(x2−2x−2)]f'(2x-x^2) = -(x-1)^2 \cdot [-(x^2 - 2x + 3)] \cdot [-(x^2 - 2x + 4)] \cdot [-(x^2 - 2x - 2)] elde edilir.
g′(x)g'(x) ifadesinin işaretini belirleyebilmek için f′(2x−x2)f'(2x - x^2) bileşeninin tüm çarpanlarını analiz etmeliyiz.
3
Tüm çarpanlar�� birleştirerek g′(x)g'(x) türev fonksiyonunun işaretini belirleyen sadeleşmiş ifadeyi yazınız.
g′(x)=−2(x−1)3(x2−2x+3)(x2−2x+4)(x2−2x−2)g'(x) = -2 (x-1)^3 (x^2 - 2x + 3) (x^2 - 2x + 4) (x^2 - 2x - 2) olur. Burada x2−2x+3>0x^2 - 2x + 3 > 0 ve x2−2x+4>0x^2 - 2x + 4 > 0 daima pozitif olduğundan, işaret yalnızca −2(x−1)3(x2−2x−2)-2(x-1)^3(x^2-2x-2) ifadesine bağlıdır.
Daima pozitif olan çarpanlar işaret tablosundaki işaret değişimini etkilemezler, bu nedenle kökleri ve işaret değişimini belirleyen kritik çarpanlara odaklanılır.
4
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulunuz ve işaret tablosunu oluşturunuz.
Kökler x=1x = 1 (tek katlı), x=1−3x = 1 - \sqrt{3} (tek katlı) ve x=1+3x = 1 + \sqrt{3} (tek katlı) şeklindedir. İşaret tablosunda g′(x)g'(x)'in işareti sağdan sola sırasıyla −-, ++, −-, ++ şeklinde değişir. Böylece artan olduğu aralıklar (−∞,1−3](-\infty, 1 - \sqrt{3}] ve [1,1+3][1, 1 + \sqrt{3}] olarak bulunur.
Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar, fonksiyonun artan olduğu aralıklara karşılık gelir.
5
Artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıları belirleyip toplamını bulunuz.
1−3≈−0.731 - \sqrt{3} \approx -0.73 olduğundan birinci aralıkta pozitif tam sayı yoktur. İkinci aralık olan [1,1+3][1, 1 + \sqrt{3}] aralığında 1+3≈2.731 + \sqrt{3} \approx 2.73 olduğundan bu aralıktaki pozitif tam sayılar 11 ve 22'dir. Toplamları ise 1+2=31 + 2 = 3 olur.
Soru bizden artan olunan aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.
Soru 13Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=13x3−a+12x2+ax+7f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax + 7
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 66 birim olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Pozitif a değeri 7'dir.
Verilen fonksiyonun türevi f'(x) = x^2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a) şeklindedir. Türevin işaret tablosunda negatif olduğu bölge azalanlığı belirler ve bu bölge 1 ile a kökleri arasındadır. Kökler arası mesafe aralığın uzunluğuna eşit olup |a-1| = 6 denkleminden a'nın pozitif değeri 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun bulunması
f'(x) = x^2 - (a+1)x + a
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için öncelikle fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
Türevin köklerinin bulunması
x_1 = 1 ve x_2 = a
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktaları belirlemek için türev fonksiyonu sıfıra eşitlenir.
3
Azalanlık aralığı ve uzunluğunun ifadesi
Aralık uzunluğu = |a - 1|
Baş katsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir türev fonksiyonu kökler arasında negatif değer alır. Bu nedenle azalan olduğu en geniş aralığın sınırları türevin kökleridir.
4
a parametresinin alabileceği değerlerin hesabı
a = 7 veya a = -5
|a - 1| = 6 mutlak değer eşitliği çözülerek a'nın olası değerleri bulunur.
5
Pozitif değerin seçilmesi
a = 7
Soruda a gerçel sayısının pozitif değeri istendiği için negatif olan -5 değeri elenerek 7 değeri seçilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f'(x) <= 0) olduğu aralıktır. İkinci dereceden türev fonksiyonlarında bu aralığın uzunluğu kökler arasındaki farkın mutlak değerine eşittir.
Soru 14Soru →
Tanımlı olduğu gerçel sayılar kümesinde
f(x)=x2+3xx+4f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\}

Cevap

Azalan olduğu en geniş küme [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\} kümesidir.
Türevin işaret tablosu yapıldığında [−6,−2][-6, -2] aralığında türev işaretinin negatif olduğu görülür. Ancak fonksiyon x=−4x = -4 noktasında tanımsız olduğu için bu nokta çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş küme [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=(2x+3)(x+4)−(x2+3x)(x+4)2=x2+8x+12(x+4)2f'(x) = \frac{(2x+3)(x+4) - (x^2+3x)}{(x+4)^2} = \frac{x^2+8x+12}{(x+4)^2}
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretinin incelenmesi gerekir.
2
Türevin kökleri ve tanımsızlık noktaları belirlenir.
Payın kökleri: x2+8x+12=0  ⟹  (x+6)(x+2)=0  ⟹  x=−6x^2 + 8x + 12 = 0 \implies (x+6)(x+2) = 0 \implies x = -6 ve x=−2x = -2. Paydanın kökü (tanımsızlık noktası): x=−4x = -4.
İşaret tablosunda kullanılacak kritik noktaları bulmak için türevin pay ve paydasının kökleri tespit edilir.
3
İşaret tablosu oluşturulur ve yorumlanır.
x∈(−∞,−6)x \in (-\infty, -6) için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), x∈(−6,−4)x \in (-6, -4) için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x∈(−4,−2)x \in (-4, -2) için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan) ve x∈(−2,∞)x \in (-2, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan).
Türevin işaretine göre fonksiyonun artanlık ve azalanlık bölgeleri belirlenir.
4
Tanım kümesi dikkate alınarak en geniş azalanlık kümesi yazılır.
Fonksiyon x=−4x = -4 noktasında tanımsız olduğundan bu değer kümeden çıkarılır. Sonuç: [−6,−2]∖{−4}[-6, -2] \setminus \{-4\}
Bir fonksiyonun tanımsız olduğu bir noktada artan veya azalan olmasından bahsedilemez.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir aralıkta azalan olması için o aralıktaki her nokta için türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f′(x)≤0f'(x) \le 0) olması gerekir. Tanımsız noktalar bu kümeye dahil edilmez.
Soru 15Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi, her u∈Ru \in \mathbb{R} için
f′(u)=(u−4)2+1f'(u) = (u-4)^2 + 1
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
g(x)=f(x3−3x2+4)−(x3−3x2+4)g(x) = f(x^3 - 3x^2 + 4) - (x^3 - 3x^2 + 4)
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu ile ilgili,
I. (−∞,0](-\infty, 0] aralığında artandır.
II. [2,∞)[2, \infty) aralığında artandır.
III. x=3x = 3 noktası gg fonksiyonunun bir yerel ekstremum noktasıdır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri doğrudur.
Türev fonksiyonunun işaret analizi yapıldığında, türevin kökleri olan 0 (tek katlı) ve 2 (tek katlı) noktalarında işaret değişirken, çift katlı kök olan 3 noktasında işaret değişmez. Bu durum, fonksiyonun sırasıyla (−∞,0](-\infty, 0] ve [2,∞)[2, \infty) aralıklarında artan olduğunu gösterir. Çift katlı kökte işaret değişmediği için de bu nokta ekstremum olamaz. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevini alarak g′(x)g'(x) ifadesini elde etmek.
g′(x)=f′(x3−3x2+4)⋅(3x2−6x)−(3x2−6x)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 + 4) \cdot (3x^2 - 6x) - (3x^2 - 6x)
Bu ifadeyi ortak çarpan parantezine alırsak:
g′(x)=3x(x−2)[f′(x3−3x2+4)−1]g'(x) = 3x(x-2) \left[ f'(x^3 - 3x^2 + 4) - 1 \right]
Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları türevinin işaretini inceleyerek belirlemek gerekir.
2
f′(u)=(u−4)2+1f'(u) = (u-4)^2 + 1 tanımını kullanarak köşeli parantez içindeki ifadeyi basitleştirmek.
u=x3−3x2+4u = x^3 - 3x^2 + 4 yazıldığında:
f′(x3−3x2+4)−1=(x3−3x2+4−4)2=(x3−3x2)2=[x2(x−3)]2=x4(x−3)2f'(x^3 - 3x^2 + 4) - 1 = (x^3 - 3x^2 + 4 - 4)^2 = (x^3 - 3x^2)^2 = [x^2(x-3)]^2 = x^4(x-3)^2
Türev fonksiyonunun tüm çarpanlarını elde edip köklerini bulmak.
3
g′(x)g'(x) fonksiyonunu çarpanlarına ayrılmış biçimde yazıp köklerinin katlılık durumunu incelemek.
g′(x)=3x(x−2)⋅x4(x−3)2=3x5(x−2)(x−3)2g'(x) = 3x(x-2) \cdot x^4(x-3)^2 = 3x^5(x-2)(x-3)^2
Buradan elde edilen kökler:
- x=0x = 0 noktası 1+4=51 + 4 = 5 katlı kök (tek katlı kök)
- x=2x = 2 noktası 1 katlı kök (tek katlı kök)
- x=3x = 3 noktası 2 katlı kök (çift katlı kök)
İşaret tablosunda köklerden geçerken işaret değişim kurallarını doğru uygulamak.
4
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturarak öncülleri değerlendirmek.
Türevin işaret tablosu incelendiğinde:
- (−∞,0)(-\infty, 0) aralığında g′(x)>0g'(x) > 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta artandır (I. öncül doğru).
- (0,2)(0, 2) aralığında g′(x)<0g'(x) < 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta azalandır.
- (2,3)(2, 3) ve (3,∞)(3, \infty) aralıklarında g′(x)>0g'(x) > 0 olup g′(x)≥0g'(x) \geq 0 şartı [2,∞)[2, \infty) aralığında sağlandığından fonksiyon bu aralıkta artandır (II. öncül doğru).
- x=3x = 3 noktası çift katlı kök olduğundan bu noktada türevin işareti yön değiştirmez (artandan artana devam eder), dolayısıyla yerel ekstremum noktası değildir (III. öncül yanlış).
Türevin işaretine göre fonksiyonun artanlık/azalanlık bölgelerini ve yerel ekstremum varlığını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi, bileşke fonksiyon türevi ve türev işaret tablosunda çift katlı kök analizi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, g′(x)g'(x) fonksiyonunun işaretini incelerken, (x−3)2(x-3)^2 ve x4x^4 terimlerinin x=3x=3 ve x=0x=0 dışındaki tüm gerçel sayılar için kesinlikle pozitif olduğu gerçeğinden hareket edilebilir. Bu durumda g′(x)g'(x) ifadesinin işareti (bu kök noktaları hariç tutulmak üzere) doğrudan 3x(x−2)3x(x-2) ifadesinin işaretiyle aynı olur. 3x(x−2)3x(x-2) parabolünün kökleri 0 ve 2 olup, bu parabol (−∞,0)(-\infty, 0) ve (2,∞)(2, \infty) aralıklarında pozitif, (0,2)(0, 2) aralığında negatiftir. Süreklilik ve izole kök özellikleri kullanılarak aralıklar birleştirildiğinde aynı sonuca pratik yoldan ulaşılır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 16Soru →
f(x)=x3−6x2−15x+12f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 12

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkta bulunan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x−5)(x+1)f'(x) = 3(x-5)(x+1) olup, türevin negatif veya sıfır olduğu [−1,5][-1, 5] aralığı fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini hesaplayın.
f′(x)=3x2−12x−15f'(x) = 3x^2 - 12x - 15
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar, birinci türevinin işareti incelenerek bulunur.
2
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 eşitsizliğini çözmek için türev fonksiyonunun köklerini bulun.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=5x_2 = 5
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktalar türevin kökleridir.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturarak azalan olduğu en geniş aralığı belirleyin.
[−1,5][-1, 5] aralığı
[−1,5][-1, 5] aralığında f′(x)≤0f'(x) \leq 0 olduğu için fonksiyon bu aralıkta azalandır.
4
Belirlenen aralıktaki xx tam sayılarını toplayın.
−1+0+1+2+3+4+5=14-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14
[−1,5][-1, 5] aralığındaki tam sayılar sırasıyla −1,0,1,2,3,4,5-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5'tir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, fonksiyonun birinci türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) olduğu aralıktır.
Soru 17Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−2)2(x−5)f'(x) = (x - 2)^2 (x - 5)
olarak verilmektedir.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,5][2, 5]

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıklardan biri [2,5][2, 5] aralığıdır.
Zincir kuralı doğru uygulanıp çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo yapıldığında, türevin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıklardan biri [2,5][2, 5] olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralı kullanarak yazın.
g′(x)=f′(x2−4x)⋅(2x−4)g'(x) = f'(x^2 - 4x) \cdot (2x - 4)
Türevde zincir kuralı gereği dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi çarpılır.
2
f′(x)=(x−2)2(x−5)f'(x) = (x - 2)^2 (x - 5) ifadesinde xx yerine x2−4xx^2 - 4x yazarak f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesini elde edin.
f′(x2−4x)=(x2−4x−2)2(x2−4x−5)f'(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x - 2)^2 (x^2 - 4x - 5)
Bileşke fonksiyonun dıştaki bileşeninin türevine içteki fonksiyon yerleştirilir.
3
g′(x)=2(x−2)(x2−4x−2)2(x2−4x−5)g'(x) = 2(x - 2)(x^2 - 4x - 2)^2 (x^2 - 4x - 5) ifadesinin köklerini bulun.
x=−1x = -1 (tek katlı kök), x=2−6x = 2-\sqrt{6} (çift katlı kök), x=2x = 2 (tek katlı kök), x=2+6x = 2+\sqrt{6} (çift katlı kök) ve x=5x = 5 (tek katlı kök).
Türevin işaret tablosunu oluşturmak için tüm kökler ve katları belirlenir.
4
Elde edilen kökler yardımıyla g′(x)g'(x)'in işaret tablosunu oluşturun ve g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olan aralıkları belirleyin.
x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1] ve x∈[2,5]x \in [2, 5] aralıklarında g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olur. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş aralıklar (−∞,−1](-\infty, -1] ve [2,5][2, 5] olarak bulunur.
Çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo oluşturulduğunda türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler sürekli fonksiyonun azalanlık aralığını verir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bileşke fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve çift katlı kök içeren eşitsizliklerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f′(x)=(x−8)(x−3)2f'(x) = (x-8)(x-3)^2
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x)
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş sınırlı aralık [a,b][a, b] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile alınıp çarpanlarına ayrıldığında g′(x)=2(x−1)(x−4)(x+2)(x−3)2(x+1)2g'(x) = 2(x-1)(x-4)(x+2)(x-3)^2(x+1)^2 fonksiyonu elde edilir. Bu ifadenin kökleri küçükten büyüğe sıralanıp işaret tablosu yapıldığında çift katlı kökler olan −1-1 ve 33 noktalarında işaret değişimi yaşanmaz. Türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeler incelendiğinde azalanlığın geçerli olduğu sınırlı en geniş aralığın [1,4][1, 4] olduğu görülür. Buradan sınır değerlerin toplamı 1+4=51+4=5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralı) uygulama
g′(x)=f′(x2−2x)⋅(x2−2x)′=f′(x2−2x)⋅(2x−2)g'(x) = f'(x^2 - 2x) \cdot (x^2 - 2x)' = f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)
g(x)=f(u(x))g(x) = f(u(x)) biçimindeki bir bileşke fonksiyonun türevi g′(x)=f′(u(x))⋅u′(x)g'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x) kuralı ile hesaplanır.
2
f′(x)f'(x) ifadesinde değişken dönüşümü yaparak g′(x)g'(x) fonksiyonunu açıkça yazma
g′(x)=2(x−1)⋅(x2−2x−8)⋅(x2−2x−3)2g'(x) = 2(x - 1) \cdot (x^2 - 2x - 8) \cdot (x^2 - 2x - 3)^2
f′(x)=(x−8)(x−3)2f'(x) = (x-8)(x-3)^2 olarak verildiği için, girdiyi x2−2xx^2-2x yaparak türev çarpanlarına ulaşılır.
3
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin tüm gerçel köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını bulma
Kökler: x=1x = 1 (tek katlı), x=4x = 4 (tek katlı), x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı), x=−1x = -1 (çift katlı)
x−1=0⇒x=1x-1=0 \Rightarrow x=1, x2−2x−8=(x−4)(x+2)=0⇒x=4,−2x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4, -2 ve (x2−2x−3)2=((x−3)(x+1))2=0⇒x=3,−1(x^2-2x-3)^2 = ((x-3)(x+1))^2=0 \Rightarrow x=3, -1 (çift katlı) elde edilir.
4
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturma ve fonksiyonun azalan olduğu bölgeleri belirleme
İşaret tablosu: (−∞,−2)(-\infty, -2) için −-, (−2,−1)(-2, -1) için ++, (−1,1)(-1, 1) için ++, (1,3)(1, 3) için −-, (3,4)(3, 4) için −-, (4,∞)(4, \infty) için ++. Azalan aralıklar: (−∞,−2](-\infty, -2] ve [1,4][1, 4]
En sağdaki aralıkta (x>4x > 4) türev pozitif işaretlidir. Çift katlı köklerde (x=3x = 3 ve x=−1x = -1) işaret yön değiştirmezken tek katlı köklerde yön değiştirir. Süreklilikten dolayı [1,3][1, 3] ve [3,4][3, 4] aralıkları birleştirilerek [1,4][1, 4] elde edilir.
5
Bulunan azalan aralıklardan sınırlı olan en geniş aralığı seçip aralığın uç değerlerinin toplamın�� hesaplama
[a,b]=[1,4][a, b] = [1, 4] olup buradan a=1a = 1, b=4b = 4 ve a+b=5a + b = 5 bulunur.
(−∞,−2](-\infty, -2] aralığı sınırsız bir aralık olduğundan, soruda istenen en geniş sınırlı aralık koşulunu yalnızca [1,4][1, 4] aralığı sağlar.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artanlık ve azalanlık incelemesi yapılması, türevin köklerinin katlılık durumlarına göre işaret tablosunun oluşturulması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=f(x3−12x)g(x) = f(x^3 - 12x)
eşitliği sağlanmaktadır.

ff fonksiyonunun türevi f′(x)=x2−256f'(x) = x^2 - 256 olduğuna göre, gg fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

g fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
g(x) fonksiyonunun türevi alındığında g′(x)=3(x−4)(x+4)(x−2)3(x+2)3g'(x) = 3(x-4)(x+4)(x-2)^3(x+2)^3 elde edilir. Kökler −4,−2,2,4-4, -2, 2, 4 olup tamamı tek katlı köktür. İşaret tablosu yapıldığında fonksiyonun azalan olduğu (g′(x)≤0g'(x) \le 0) en geniş aralıklar [−4,−2][-4, -2] ve [2,4][2, 4] olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4'tür. Toplamları ise 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama.
g′(x)=f′(x3−12x)⋅(3x2−12)g'(x) = f'(x^3 - 12x) \cdot (3x^2 - 12)
g(x) fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine x3−12xx^3 - 12x yazarak bileşke ifadenin değerini bulma.
f′(x3−12x)=(x3−12x)2−256f'(x^3 - 12x) = (x^3 - 12x)^2 - 256
Zincir kuralında yerine koyarak g′(x)g'(x)'in çarpanlarını elde etmek.
3
g′(x)g'(x) türev fonksiyonunu çarpanlarına ayırma ve kökleri bulma.
g′(x)=3(x2−4)[(x3−12x)2−162]=3(x−2)(x+2)(x3−12x−16)(x3−12x+16)g'(x) = 3(x^2 - 4)[(x^3 - 12x)^2 - 16^2] = 3(x-2)(x+2)(x^3 - 12x - 16)(x^3 - 12x + 16)
İşaret tablosu oluşturabilmek i��in fonksiyonun tüm köklerini ve katlılık derecelerini bulmamız gerekir.
4
Kübik ifadeleri çarpanlarına ayırma.
x3−12x−16=(x−4)(x+2)2x^3 - 12x - 16 = (x-4)(x+2)^2 ve x3−12x+16=(x+4)(x−2)2x^3 - 12x + 16 = (x+4)(x-2)^2
Kübik polinomların köklerini bulmak için rasyonel kök testini uygulayarak çarpanlarına ayırırız.
5
Tüm çarpanları birleştirerek köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirleme.
g′(x)=3(x−4)(x+4)(x−2)3(x+2)3g'(x) = 3(x-4)(x+4)(x-2)^3(x+2)^3
x=2x = 2 ve x=−2x = -2 kökleri hem kübik ifadelerden hem de zincir kuralından geldiği için toplamda 3'er adet (tek katlı) kök olurlar.
6
g′(x)g'(x) için işaret tablosu oluşturma ve g′(x)≤0g'(x) \le 0 olan azalanlık aralıklarını belirleme.
Azalanlık aralıkları: [−4,−2]∪[2,4][-4, -2] \cup [2, 4]
g′(x)g'(x)'in kökleri −4,−2,2,4-4, -2, 2, 4 olup hepsi tek katlı köktür. En sağdan pozitif işaretle başlanarak işaret tablosu oluşturulur.
7
Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları bulup toplama.
Pozitif tam sayılar: 2,3,42, 3, 4. Toplamları: 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9.
Soru bizden azalanlık aralığındaki pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu (f′(x)≤0f'(x) \le 0) aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalı ve köklerin katlılık dereceleri işaret tablosunda doğru incelenmelidir.
Soru 20Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonu yalnızca (−3,5)(-3, 5) açık aralığında pozitif değerler almaktadır.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun artan olduğu sınırlı aralıklarda yer alan farklı tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Sınırlı artanlık aralıklarında yer alan tam sayıların toplamı 15'tir.
Fonksiyonun artan olduğu sınırlı aralıklar [1,2][1, 2] ve [3,5][3, 5] aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla {1, 2} ve {3, 4, 5} olup toplamları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun türevi alınır.
g′(x)=2(x−2)⋅f′(x2−4x)g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesinin pozitif olduğu xx değerleri belirlenir.
x∈(−1,1)∪(3,5)x \in (-1, 1) \cup (3, 5) için f′(x2−4x)>0f'(x^2 - 4x) > 0 ve diğer durumlarda f′(x2−4x)≤0f'(x^2 - 4x) \le 0 olur.
f′(u)f'(u) fonksiyonu yalnızca u∈(−3,5)u \in (-3, 5) için pozitif olduğundan −3<x2−4x<5-3 < x^2 - 4x < 5 eşitsizlik sistemi çözülür.
3
g′(x)=2(x−2)⋅f′(x2−4x)≥0g'(x) = 2(x - 2) \cdot f'(x^2 - 4x) \ge 0 eşitsizliği için işaret tablosu oluşturulur.
İşaret tablosu incelendiğinde g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan aralıklar (−∞,−1]∪[1,2]∪[3,5](-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, 5] olarak bulunur.
Çarpanların işaret de��işimleri x=−1,1,2,3,5x = -1, 1, 2, 3, 5 noktalarında gerçekleşir.
4
Sınırlı artanlık aralıklarındaki tam sayılar belirlenip toplanır.
[1,2][1, 2] aralığından 1,21, 2 ve [3,5][3, 5] aralığından 3,4,53, 4, 5 sayıları alınarak toplam 1+2+3+4+5=151+2+3+4+5=15 bulunur.
Soru sınırlı aralıkları istediğinden (−∞,−1](-\infty, -1] aralığı dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Artan ve Azalan Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin