Examkin

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

36 soru

Tüm türler36Çoktan seçmeli18Sayısal18
Soru 21Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her noktada türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Grafik, xx-eksenini x=−3x = -3 ve x=4x = 4 noktalarında kesmektedir.
* Grafik, x=1x = 1 noktasında xx-eksenine teğettir.
* x∈(−∞,−3)∪(4,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty) için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x∈(−3,1)∪(1,4)x \in (-3, 1) \cup (1, 4) için f′(x)>0f'(x) > 0 dır.

Buna göre,

I. ff fonksiyonu [−3,4][-3, 4] aralığında artandır.
II. g(x)=f(2−x)g(x) = f(2-x) fonksiyonu [3,5][3, 5] aralığında artandır.
III. h(x)=f(x2)h(x) = f(x^2) fonksiyonu (0,2)(0, 2) aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Doğru seçenek I ve III. öncüllerin doğru olduğunu belirtmektedir. ff fonksiyonunun türevi [−3,4][-3, 4] aralığında (sadece x=1x=1 noktasında sıfır olmak üzere) pozitif değerli olduğundan ff bu aralıkta artandır. h(x)=f(x2)h(x) = f(x^2) fonksiyonunun türevi h′(x)=2x⋅f′(x2)h'(x) = 2x \cdot f'(x^2) olup, (0,2)(0, 2) aralığındaki tüm xx değerleri için bu türev pozitif olduğundan hh fonksiyonu da bu aralıkta artandır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin işaret tablosunu oluşturarak birinci öncülü değerlendirme
f′(x)f'(x) fonksiyonu [−3,4][-3, 4] aralığında (yalnızca x=1x=1 noktasında sıfır olmak üzere) pozitif değerlidir.
Bir fonksiyonun türevi bir aralıkta sıfırdan büyük veya eşitse ve türevi sıfır yapan noktalar ayrık ise fonksiyon o aralıkta strictly artandır. Dolayısıyla birinci ��ncül doğrudur.
2
İkinci öncüldeki composite fonksiyonun türevini alarak artanlığını inceleme
g′(x)=−f′(2−x)g'(x) = -f'(2-x) olur. x∈[3,5]x \in [3, 5] için 2−x∈[−3,−1]2-x \in [-3, -1] aralığındadır. Bu aralıkta f′(2−x)≥0f'(2-x) \ge 0 olduğundan g′(x)≤0g'(x) \le 0 elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken içteki 2−x2-x ifadesinin türevi olan −1-1 çarpanı gelir. g′(x)≤0g'(x) \le 0 olduğundan g(x)g(x) fonksiyonu bu aralıkta azalandır, dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.
3
Üçüncü öncüldeki composite fonksiyonun türevini alarak artanlığını inceleme
h′(x)=2x⋅f′(x2)h'(x) = 2x \cdot f'(x^2) olur. x∈(0,2)x \in (0, 2) için 2x>02x > 0 ve x2∈(0,4)x^2 \in (0, 4) aralığındadır. Bu aralıkta f′(x2)≥0f'(x^2) \ge 0 olduğundan h′(x)≥0h'(x) \ge 0 elde edilir.
x∈(0,2)x \in (0, 2) aralığında türev pozitif (sadece x=1x=1 noktasında sıfır) olduğundan h(x)h(x) bu aralıkta artandır, dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve bileşke fonksiyonların türevi

Alternatif Yöntem

Öncüller incelenirken uzun uzun işaret tablosu çizmek yerine, türevin grafik üzerindeki pozitif ve negatif olduğu bölgeler zihinden takip edilebilir. Örneğin g(x)=f(2−x)g(x) = f(2-x) için xx değerleri 33 ile 55 arasında artarken, 2−x2-x değerleri −1-1 ile −3-3 arasında azalır. Bu aralıkta f′f' pozitif olduğundan, ff fonksiyonu azalan yönde hareket eder. Dolayısıyla gg fonksiyonu azalandır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 22Soru →
f′(x)=(x−3)2(x2−ax+16)f'(x) = (x-3)^2(x^2 - ax + 16) türev fonksiyonuna sahip f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonunun azalan olduğu herhangi bir aralık bulunmamaktadır.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin en geniş kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−8,8][-8, 8]

Cevap

[−8,8][-8, 8] kapalı aralığı
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması koşulundan elde edilen x2−ax+16≥0x^2 - ax + 16 \geq 0 eşitsizliğinin her xx için sağlanması gerekir. Bu da diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olmasıyla mümkündür. Buradan elde edilen a2−64≤0a^2 - 64 \leq 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [−8,8][-8, 8] kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Azalanlık durumunun türev ile ilişkisini kurma.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 olmalıdır.
Bir fonksiyonun azalan olduğu bir aralığının bulunmaması, o fonksiyonun hiçbir yerde negatif türeve sahip olmaması gerektiği, yani türevin daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği anlamına gelir.
2
Türev ifadesindeki çarpanları analiz etme.
x2−ax+16≥0x^2 - ax + 16 \geq 0 olmalıdır.
f′(x)=(x−3)2(x2−ax+16)f'(x) = (x-3)^2(x^2 - ax + 16) ifadesinde, (x−3)2(x-3)^2 terimi her xx gerçel sayısı için tam kare olduğundan sıfırdan büyük veya eşittir. Çarpımın daima sıfırdan büyük veya eşit kalabilmesi için diğer çarpan olan x2−ax+16x^2 - ax + 16 ifadesinin de daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
İkinci dereceden ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit olma koşulunu (diskriminantı) inceleme.
Δ=a2−64≤0  ⟹  a∈[−8,8]\Delta = a^2 - 64 \leq 0 \implies a \in [-8, 8]
Baş katsayısı pozitif olan bir ikinci dereceden ifadenin her xx gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olması, grafiğinin xx eksenini kesmemesi veya teğet olması anlamına gelir. Bu durum Δ≤0\Delta \leq 0 eşitsizliği ile sağlanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi ve tekil noktalarda türevin sıfır olma durumunun incelenmesi
Soru 23Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu

f(x)=x33−4x2+5f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 5

olarak veriliyor.

Buna göre, pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Verilen f(x) fonksiyonunun türevi alınıp g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonuna zincir kuralı uygulandığında g'(x) = 2x(x - 2)(x - 4)(x + 2)(x - 1) türev fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun işaret tablosu oluşturulduğunda pozitif gerçel sayılar kümesindeki azalan aralıklar [0, 1] ve [2, 4] olarak belirlenir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4 olup toplamları 10 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun birinci türevini bulma
f′(x)=x2−8xf'(x) = x^2 - 8x
Bileşke fonksiyonun türevini alırken dıştaki fonksiyonun türevi kullanılacaktır.
2
g(x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama
g′(x)=2(x2−2x)(x2−2x−8)(x−1)g'(x) = 2(x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 8)(x - 1)
Bileşke fonksiyon türevlenirken içteki fonksiyonun türevi olan (2x - 2) terimi çarpan olarak eklenmelidir.
3
g'(x) = 0 denkleminin köklerini bularak kritik noktaları belirleme
x1=−2x_1 = -2, x2=0x_2 = 0, x3=1x_3 = 1, x4=2x_4 = 2, x5=4x_5 = 4
İşaret tablosunda kullanılacak sınır değerleri ve tek/çift katlı kök durumları bu noktalar üzerinden incelenir.
4
g'(x) için işaret tablosu oluşturarak türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeleri belirleme
Azalan olduğu bölgeler: (−∞,−2]∪[0,1]∪[2,4](-\infty, -2] \cup [0, 1] \cup [2, 4]
Bir fonksiyon türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda azalandır.
5
Tanım kümesine uygun pozitif tam sayıları seçip toplama
1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10
g(x) fonksiyonu pozitif gerçel sayılarda tanımlı olduğundan, azalan aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4'tür. 0 sayısı pozitif olmadığından işleme dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda türev yardımıyla artanlık ve azalanlık durumunun incelenmesi.
Soru 24Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu yalnızca (−∞,−8](-\infty, -8] aralığında azalandır.

Buna g��re,
g(x)=f(x2−6x)g(x) = f(x^2 - 6x)
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,3]∪[4,∞)[2, 3] \cup [4, \infty)

Cevap

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi [2,3]∪[4,∞)[2, 3] \cup [4, \infty) kümesidir.
Artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi [2,3]∪[4,∞)[2, 3] \cup [4, \infty) kümesidir. Fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−3)f′(x2−6x)g'(x) = 2(x - 3) f'(x^2 - 6x) ifadesinin işaret tablosu yapıldığında; x−3x - 3 ve f′(x2−6x)f'(x^2 - 6x) çarpanlarının işaretlerinin çarpımı (2,3)(2, 3) ve (4,∞)(4, \infty) aralıklarında pozitif (++) olmaktadır. Dolayısıyla bu aralıklar fonksiyonun artan olduğu bölgelerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun türevi alınır.
g′(x)=(2x−6)⋅f′(x2−6x)=2(x−3)⋅f′(x2−6x)g'(x) = (2x - 6) \cdot f'(x^2 - 6x) = 2(x - 3) \cdot f'(x^2 - 6x)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu kritik noktalar belirlenir.
x−3=0  ⟹  x=3x - 3 = 0 \implies x = 3 ve f′(x2−6x)=0  ⟹  x2−6x=−8  ⟹  (x−2)(x−4)=0  ⟹  x=2f'(x^2 - 6x) = 0 \implies x^2 - 6x = -8 \implies (x - 2)(x - 4) = 0 \implies x = 2 veya x=4x = 4 kritik noktalardır.
ff fonksiyonu yalnızca (−∞,−8](-\infty, -8] aralığında azalan olduğundan, f′(u)=0f'(u) = 0 eşitliğini sağlayan sınır değer u=−8u = -8 olur.
3
Kritik noktalara göre işaret tablosu oluşturulur ve g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan bölgeler belirlenir.
x<2x < 2 için g′(x)<0g'(x) < 0, 2<x<32 < x < 3 için g′(x)>0g'(x) > 0, 3<x<43 < x < 4 için g′(x)<0g'(x) < 0, x>4x > 4 için g′(x)>0g'(x) > 0 bulunur. Buradan artan olan aralıklar [2,3][2, 3] ve [4,∞)[4, \infty) olarak elde edilir.
Çarpanların her aralıktaki işareti belirlenerek çarpılır. x>4x > 4 için x−3>0x-3 > 0 ve x2−6x>−8  ⟹  f′(x2−6x)>0x^2-6x > -8 \implies f'(x^2-6x) > 0 olduğundan çarpım pozitif olur. Diğer aralıklar da benzer şekilde test edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların belirlenmesi
Soru 25Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−5)2(x+3)f'(x) = (x-5)^2(x+3)
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,1]∪[2,3](-\infty, 1] \cup [2, 3]

Cevap

(−∞,1]∪[2,3](-\infty, 1] \cup [2, 3]
Bileşke fonksiyonun türevi alındığında g′(x)=2(x−2)(x−5)2(x+1)2(x−3)(x−1)g'(x) = 2(x-2)(x-5)^2(x+1)^2(x-3)(x-1) elde edilir. İşaret tablosu yapıldığında x=−1x = -1 ve x=5x = 5 çift katlı kökler olduğu için bu noktalarda işaret değişmez. Türevin negatif veya sıfır olduğu bölge (−∞,1]∪[2,3](-\infty, 1] \cup [2, 3] olur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun türevini zincir kuralını kullanarak alalım.
g′(x)=(2x−4)⋅f′(x2−4x)g'(x) = (2x - 4) \cdot f'(x^2 - 4x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.
2
Verilen f′(x)=(x−5)2(x+3)f'(x) = (x-5)^2(x+3) ifadesinde xx yerine x2−4xx^2 - 4x yazarak f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesini elde edip çarpanlarına ayıralım.
f′(x2−4x)=(x2−4x−5)2(x2−4x+3)f'(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x - 5)^2 (x^2 - 4x + 3) olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak: f′(x2−4x)=(x−5)2(x+1)2(x−3)(x−1)f'(x^2 - 4x) = (x-5)^2 (x+1)^2 (x-3)(x-1) elde edilir.
Türev fonksiyonunun köklerini ve işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm çarpanları en sade biçimde yazmamız gerekir.
3
g′(x)=2(x−2)(x−5)2(x+1)2(x−3)(x−1)g'(x) = 2(x-2)(x-5)^2(x+1)^2(x-3)(x-1) fonksiyonunun tüm köklerini ve bu köklerin katlılık (tek/çift) durumlarını belirleyelim.
Kökler küçükten büyüğe: x=−1x = -1 (çift katlı), x=1x = 1 (tek katlı), x=2x = 2 (tek katlı), x=3x = 3 (tek katlı), x=5x = 5 (çift katlı) olarak bulunur.
İşaret tablosunda hangi kritik noktalardan geçerken işaretin değişip değişmeyeceğini doğru tespit etmek için köklerin katları belirlenmelidir.
4
g′(x)g'(x) için işaret tablosu hazırlayarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları bulalım.
En sağdaki aralıkta derecesi en büyük terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için (+) ile başlanır. Çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo tamamlanır: x>5x > 5 için (+), 3<x<53 < x < 5 için (+), 2<x<32 < x < 3 için (-), 1<x<21 < x < 2 için (+), −1<x<1-1 < x < 1 için (-), x<−1x < -1 için (-). Dolayısıyla g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olan en geniş aralıklar (−∞,1](-\infty, 1] ve [2,3][2, 3] aralıklarıdır.
Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıklarda fonksiyon azalandır. Sürekli fonksiyonlarda türevin sıfır olduğu izole noktalar azalanlık aralığını bölmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artan ve azalan aralıkların belirlenmesi
Soru 26Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x3−9x2+ax+12f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12

fonksiyonu yalnızca [x1,x2][x_1, x_2] kapalı aralı��ında azalandır.

x2−x1=4x_2 - x_1 = 4 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

a gerçek sayısı 15'tir.
Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif olduğu için fonksiyon yalnızca kökler arasında azalandır. Kökler toplamı ve farkı ortak çözülerek kökler 1 ve 5 olarak bulunur. Bu kökler türev denklemini sağlayacağından x = 1 için türev sıfıra eşitlenerek a = 15 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−9x2+ax+12f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12 fonksiyonunun türevini alırız.
f′(x)=3x2−18x+af'(x) = 3x^2 - 18x + a
Bir fonksiyonun artış ve azalış durumlarını belirlemek için fonksiyonun birinci türevi incelenmelidir.
2
Fonksiyonun azalan olduğu aralık ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurarız.
x1x_1 ve x2x_2 değerleri 3x2−18x+a=03x^2 - 18x + a = 0 denkleminin kökleridir. Kökler toplamı x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 olur.
Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, türev kökler arasında negatif değerler alır ve fonksiyon bu kapalı aralıkta azalandır. İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı −b/a-b/a formülü ile hesaplanır.
3
Kökler toplamı ve verilen kökler farkı bilgisini ortak çözerek kökleri elde ederiz.
x1=1x_1 = 1 ve x2=5x_2 = 5
x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 ve x2−x1=4x_2 - x_1 = 4 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2x2=10  ⟹  x2=52x_2 = 10 \implies x_2 = 5 ve buradan x1=1x_1 = 1 bulunur.
4
x1=1x_1 = 1 kökünü türev fonksiyonunda yerine yazarak a değerini buluruz.
f′(1)=3(1)2−18(1)+a=0  ⟹  a=15f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + a = 0 \implies a = 15
Kökler, türev fonksiyonunu sıfır yapan değerler olduğundan denklemi sağlamak zorundadır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan oldu��u aralıkların belirlenmesi
Soru 27Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff fonksiyonu
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x
olarak veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(x2−x)g(x) = f(x^2 - x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,1−52]∪[12,1+52]\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]

Cevap

(−∞,1−52]∪[12,1+52]\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]
Zincir kuralı uygulanarak elde edilen g′(x)=3(x2−x−1)(x2−x+1)(2x−1)g'(x) = 3(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1)(2x - 1) türev fonksiyonunun gerçel kökleri 1−52\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 12\frac{1}{2} ve 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2} olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde, türevin negatif olduğu en geniş aralıklar (−∞,1−52](-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}] ve [12,1+52][\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}] birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak g(x)=f(x2−x)g(x) = f(x^2 - x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak alalım.
g′(x)=f′(x2−x)⋅(2x−1)g'(x) = f'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevinin içine içteki fonksiyon yazılır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
2
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini bulalım ve g′(x)g'(x) türev fonksiyonunda yerine yazalım.
f′(x)=3x2−3⇒f′(x2−x)=3(x2−x)2−3f'(x) = 3x^2 - 3 \Rightarrow f'(x^2 - x) = 3(x^2 - x)^2 - 3
Buradan g′(x)=3[(x2−x)2−1]⋅(2x−1)g'(x) = 3[(x^2 - x)^2 - 1] \cdot (2x - 1) elde edilir.
g′(x)g'(x) fonksiyonunun işaretini incelemek için çarpanlarına ayrılmış halini bulmamız gerekir.
3
g′(x)g'(x) ifadesini çarpanlarına ayırarak tüm köklerini bulalım.
g′(x)=3(x2−x−1)(x2−x+1)(2x−1)=0g'(x) = 3(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1)(2x - 1) = 0
x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=−3<0\Delta = -3 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur ve daima pozitiftir.
Diğer çarpanların kökleri:
2x−1=0⇒x=122x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
x2−x−1=0⇒x=1±52x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
Türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm gerçel kökleri bulmalıyız.
4
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak g′(x)g'(x) fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturalım.
Sıralama: 1−52<12<1+52\frac{1-\sqrt{5}}{2} < \frac{1}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} şeklindedir.
En büyük dereceli terimin katsayısı pozitif olduğundan tabloya en sağdan ++ ile başlanır. Tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir:
(−∞,1−52)(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) aralığında −-
(1−52,12)(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2}) aralığında ++
(12,1+52)(\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}) aralığında −-
(1+52,∞)(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty) aralığında ++
Buna göre azalan aralıklar türevin negatif veya sıfır olduğu yerlerdir: (−∞,1−52]∪[12,1+52]\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]
Türevin negatif veya sıfır olduğu kapalı aralıklarda sürekli ve türevlenebilir fonksiyon azalandır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların belirlenmesi.
Soru 28Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=x2−5x+4f'(x) = x^2 - 5x + 4
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [0,1][0, 1]

Cevap

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıklardan biri [0, 1] aralığıdır.
Doğru seçenekte sunulan [0, 1] aralığı, g′(x)=2x(x2−4)(x2−1)≥0g'(x) = 2x(x^2-4)(x^2-1) \ge 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer alan artanlık aralıklarından biridir. Yapılan türev analizi ve işaret tablosu sonucunda bu aralıkta türevin pozitif veya sıfır olduğu doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.
g′(x)=2x⋅f′(x2)g'(x) = 2x \cdot f'(x^2)
g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunun türevi zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevinin çarpımına eşittir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunda xx yerine x2x^2 yazarak f′(x2)f'(x^2) ifadesini bulunuz ve çarpanlarına ayırınız.
f′(x2)=(x2)2−5(x2)+4=(x2−4)(x2−1)=(x−2)(x+2)(x−1)(x+1)f'(x^2) = (x^2)^2 - 5(x^2) + 4 = (x^2-4)(x^2-1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)
g′(x)g'(x) ifadesini tamamen çarpanlarına ayrılmış biçimde yazıp kökleri bulmak için.
3
g′(x)=0g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturunuz.
Kökler küçükten büyüğe: −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 olup işaret tablosunda en sağ aralık (x>2x > 2) pozitif (+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir.
Türevin işaretini belirleyerek fonksiyonun artan (g′(x)≥0g'(x) \ge 0) ve azalan (g′(x)≤0g'(x) \le 0) olduğu aralıkları tespit etmek için.
4
g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan aralıkları belirleyiniz.
Fonksiyonun artan olduğu aralıklar [−2,−1]∪[0,1]∪[2,∞)[-2, -1] \cup [0, 1] \cup [2, \infty) olarak bulunur.
Türevin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar fonksiyonun artan olduğu aralıklardır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artanlık ve azalanlık aralıklarının belirlenmesi.
Soru 29Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği, xx-eksenini yalnızca x=−2x = -2 ve x=3x = 3 noktalarında kesen kolları yukarı doğru bir paraboldür.

g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x)

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−1,1][-1, 1]

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin işaret tablosu oluşturulduğunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardan biri [−1,1][-1, 1] kapalı aralığıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin işaret tablosu incelendiğinde; x=−1x = -1, x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktaları kritik noktalardır. Bu tablonun pozitif işaretli olduğu en geniş aralıklardan biri [−1,1][-1, 1] kapalı aralığıdır. Dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artandır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi zincir kuralı kullanılarak alınır.
g′(x)=(2x−2)⋅f′(x2−2x)g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)
Bileşke fonksiyonun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.
x=1x = 1, x=−1x = -1 ve x=3x = 3
2(x−1)=0⇒x=12(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1 olur. Grafik kolları yukarı doğru olan ve xx-eksenini sadece −2-2 ve 33 noktalarında kesen bir parabol olduğundan, f′(u)=0⇒u=−2f'(u) = 0 \Rightarrow u = -2 veya u=3u = 3 olmalıdır. Buradan x2−2x=−2⇒x2−2x+2=0x^2 - 2x = -2 \Rightarrow x^2 - 2x + 2 = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur (Δ<0\Delta < 0). Diğer taraftan x2−2x=3⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 denkleminden x=−1x = -1 ve x=3x = 3 kökleri bulunur.
3
g′(x)g'(x) için işaret tablosu hazırlanır.
x<−1x < -1 için g′(x)<0g'(x) < 0, −1<x<1-1 < x < 1 için g′(x)>0g'(x) > 0, 1<x<31 < x < 3 için g′(x)<0g'(x) < 0 ve x>3x > 3 için g′(x)>0g'(x) > 0 bulunur.
f′(t)f'(t) fonksiyonu, kolları yukarı doğru olan ve kökleri −2-2 ile 33 olan bir parabol olduğundan t>3t > 3 için pozitif, −2<t<3-2 < t < 3 için negatiftir. Buradan x>3x > 3 için x2−2x>3⇒f′(x2−2x)>0x^2-2x > 3 \Rightarrow f'(x^2-2x) > 0 ve 2(x−1)>02(x-1) > 0 olup türev pozitiftir. Diğer aralıklar da benzer şekilde çarpanların işaretleri incelenerek doldurulur.
4
Türevin pozitif veya sıfır oldu��u aralıklar artan aralıklar olarak belirlenir.
gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklar [−1,1][-1, 1] ve [3,∞)[3, \infty) olarak tespit edilir.
Bir fonksiyon türevinin pozitif olduğu aralıklarda artandır. Seçeneklerde verilen aralıklardan [−1,1][-1, 1] bu aralıklardan biridir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.
Soru 30Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi

f′(x)=(x−3)2(x+2)(x−4)f'(x) = (x-3)^2(x+2)(x-4)

olarak verilmiştir. Buna göre, ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

f fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 6 birimdir.
Türev fonksiyonunun işaret tablosunda, x=3x = 3 çift katlı kökünde işaret değişimi olmaması nedeniyle türevin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu da 4−(−2)=64 - (-2) = 6 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun köklerinin belirlenmesi
x=−2x = -2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı) ve x=4x = 4 (tek katlı) kökleri elde edilir.
f′(x)=0f'(x) = 0 eşitliğini sağlayan kritik noktalar bulunarak işaret değişim sınırları belirlenir.
2
Türevin işaret tablosunun oluşturulması
x∈(4,∞)x \in (4, \infty) için f′(x)>0f'(x) > 0, x∈(3,4)x \in (3, 4) için f′(x)<0f'(x) < 0, x∈(−2,3)x \in (-2, 3) için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2) için f′(x)>0f'(x) > 0 bulunur.
x=3x = 3 çift katlı kökünde işaretin korunacağı göz önünde bulundurularak işaret tablosu doldurulur.
3
En geniş azalanlık aralığının tespit edilmesi
Azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olarak belirlenir.
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 koşulunu sağlayan aralıklar sürekli fonksiyonlarda uç noktaları da kapsayacak şekilde birleştirilir.
4
Aralık uzunluğunun hesaplanması
4−(−2)=64 - (-2) = 6
Belirlenen aralığın uç noktaları arasındaki fark hesaplanarak uzunluk elde edilir.

Anahtar Kavram

Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerin birleşimiyle elde edilir. Çift katlı köklerde türev işaret değiştirmez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 31Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir olan ff fonksiyonu
f(x)=x3+3x2+(m−2)x+1f(x) = x^3 + 3x^2 + (m-2)x + 1
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonu daima artan olduğuna göre, mm gerçel sayısının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [5,∞)[5, \infty)

Cevap

m gerçel sayısının değer aralığı 5 kapalı, sonsuz açık aralığıdır.
Verilen fonksiyonun daima artan olması için türevi olan ikinci dereceden ifadenin her yerde sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Başkatsayısı pozitif olan bu ifadenin her yerde negatif olmayan değerler alması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır. Yapılan hesaplamalar sonucunda diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan aralığın 5 kapalı, sonsuz açık aralığı olduğu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevinin alınması
f′(x)=3x2+6x+m−2f'(x) = 3x^2 + 6x + m - 2
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevi incelenir. Fonksiyonun her xx gerçel sayısı için daima artan olması, birinci türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olması (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) anlamına gelir.
2
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olma koşulunun diskriminant (delta) yardımıyla analiz edilmesi
Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
f′(x)=3x2+6x+(m−2)f'(x) = 3x^2 + 6x + (m-2) ikinci dereceden bir ifadedir. Başkatsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, bu ifadenin her xx gerçel sayısı için negatif olmaması (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) ancak ve ancak diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit olması ile mümkündür. Δ=0\Delta = 0 durumunda oluşan çift katlı kök, türevin işaretini değiştirmediği için fonksiyonun artanlığını bozmaz.
3
Diskriminant eşitsizliğinin çözülerek m parametresinin aralığının bulunması
m≥5m \geq 5 yani [5,∞)[5, \infty)
f′(x)=3x2+6x+(m−2)f'(x) = 3x^2 + 6x + (m-2) ifadesinde Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır:
Δ=62−4⋅3⋅(m−2)≤0\Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m-2) \leq 0
36−12(m−2)≤036 - 12(m-2) \leq 0
Her iki taraf 12 ile sadeleştirilirse:
3−(m−2)≤0  ⟹  3−m+2≤0  ⟹  5≤m3 - (m-2) \leq 0 \implies 3 - m + 2 \leq 0 \implies 5 \leq m elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her noktada sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. İkinci dereceden türev fonksiyonlarında bu durum diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olması koşuluna bağlıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 32Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=12x2−4xf(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

g(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
g(x) fonksiyonunun türevi sıfırdan küçük veya eşitlendiğinde elde edilen eşitsizliğin çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4 olup toplamları 9 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.
g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3)
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulun ve türev denkleminde yerine yazın.
f′(x)=x−4  ⟹  f′(x2−3x)=x2−3x−4f'(x) = x - 4 \implies f'(x^2 - 3x) = x^2 - 3x - 4 ve g′(x)=(x2−3x−4)(2x−3)g'(x) = (x^2 - 3x - 4)(2x - 3)
Türevin işaret incelemesini yapabilmek için fonksiyonun açık ifadesine ulaşmamız gerekir.
3
g′(x)g'(x) ifadesini çarpanlarına ayırıp köklerini belirleyin.
g′(x)=(x−4)(x+1)(2x−3)=0  ⟹  x1=−1,x2=1.5,x3=4g'(x) = (x-4)(x+1)(2x-3) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 1.5, x_3 = 4
İşaret tablosu oluşturabilmek için türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.
4
g′(x)≤0g'(x) \leq 0 eşitsizliği için işaret tablosu oluşturarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları belirleyin.
Azalan olduğu aralıklar: (−∞,−1](-\infty, -1] ve [1.5,4][1.5, 4]
Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklar, fonksiyonun azalan olduğu aralıklardır.
5
Belirlenen aralıklarda yer alan pozitif tam sayıları bulun ve toplayın.
Pozitif tam sayılar: 2,3,42, 3, 4 ve toplamları 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9
(−∞,−1](-\infty, -1] aralığında pozitif tam sayı yoktur. [1.5,4][1.5, 4] aralığındaki pozitif tam sayılar ise 2,32, 3 ve 44'tür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevinin işareti incelenir. Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 33Soru →
f(x)=x33−9x2+45x+4f(x) = \frac{x^3}{3} - 9x^2 + 45x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Verilen fonksiyonun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 13'tür.
Zincir kuralı yardımıyla g'(x) fonksiyonunun türevi alınıp çarpanlarına ayrıldığında kökler -3, -1, 1, 3, 5 olarak bulunur. İşaret tablosunda g'(x)'in negatif olduğu bölgelerdeki pozitif tam sayılar 1, 3, 4, 5'tir ve toplamları 13 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevini alıp çarpanlarına ayırın.
f′(x)=x2−18x+45=(x−3)(x−15)f'(x) = x^2 - 18x + 45 = (x - 3)(x - 15)
Bileşke fonksiyonun türevinde kullanmak üzere f' fonksiyonunun kuralını elde etmek.
2
Zincir kuralını uygulayarak g'(x) türevini yazın.
g′(x)=(2x−2)⋅f′(x2−2x)g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)
g(x) fonksiyonunun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonunu bulmak.
3
f' fonksiyonunda x yerine x^2 - 2x yazarak g'(x) ifadesini tamamen çarpanlarına ayır��n.
g′(x)=2(x−1)(x2−2x−3)(x2−2x−15)=2(x−1)(x−3)(x+1)(x−5)(x+3)g'(x) = 2(x - 1)(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 15) = 2(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x - 5)(x + 3)
Türev fonksiyonunun köklerini bulmak için ifadeyi doğrusal çarpanlarına ayırmak.
4
g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulun ve küçükten büyüğe sıralayın.
Kökler: −3,−1,1,3,5-3, -1, 1, 3, 5
İşaret tablosundaki sınır noktalarını belirlemek.
5
g'(x) için işaret tablosu oluşturarak azalanlık (g′(x)≤0g'(x) \leq 0) aralıklarını belirleyin.
Azalan aralıklar: (−∞,−3]∪[−1,1]∪[3,5](-\infty, -3] \cup [-1, 1] \cup [3, 5]
Türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler fonksiyonun azalan olduğu bölgelerdir.
6
Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları toplayın.
1+3+4+5=131 + 3 + 4 + 5 = 13
Soruda istenen pozitif tam sayıların toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalıdır.
Soru 34Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için türevi negatiftir.

Buna göre,
g(x)=f(x2−8x+12)g(x) = f(x^2 - 8x + 12)
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,4](-\infty, 4]

Cevap

(−∞,4](-\infty, 4] aralığı
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı gereğince g′(x)=(2x−8)⋅f′(x2−8x+12)g'(x) = (2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12) şeklindedir. Soruda ff fonksiyonunun türevinin daima negatif olduğu belirtildiğinden f′(x2−8x+12)<0f'(x^2 - 8x + 12) < 0 olur. Fonksiyonun artan olması için türevinin sıfırdan büyük veya eşit olması (g′(x)≥0g'(x) \geq 0) gerekir. Negatif bir çarpanla çarpıldığında sonucun sıfırdan büyük veya eşit olması için diğer çarpanın sıfırdan küçük veya eşit olması (2x−8≤02x - 8 \leq 0) şarttır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde x≤4x \leq 4 elde edilir ve en geniş aralık (−∞,4](-\infty, 4] olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
g′(x)=(2x−8)⋅f′(x2−8x+12)g'(x) = (2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretinin incelenmesi gerekir.
2
Soruda verilen ff fonksiyonunun türevinin daima negatif olduğu bilgisini kullanarak türev çarpanlarının işaretini belirleyin.
f′(x2−8x+12)<0f'(x^2 - 8x + 12) < 0
Her xx gerçel sayısı için f′(x)<0f'(x) < 0 olduğundan, bileşke fonksiyon türevindeki f′f' terimi daima negatiftir.
3
Fonksiyonun artan olması için türevinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği koşulunu (g′(x)≥0g'(x) \geq 0) çözün.
(2x−8)⋅f′(x2−8x+12)≥0  ⟹  2x−8≤0  ⟹  x≤4(2x - 8) \cdot f'(x^2 - 8x + 12) \geq 0 \implies 2x - 8 \leq 0 \implies x \leq 4
Çarpanlardan biri daima negatif (f′<0f' < 0) olduğundan, çarpımın sonucunun pozitif veya sıfır olması için diğer çarpan olan (2x−8)(2x - 8) ifadesinin negatif veya sıfır olması şarttır. Buradan en geniş aralık (−∞,4](-\infty, 4] olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık analizi ve bileşke fonksiyonların türevi.
Soru 35Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f′(x)=x2−2(k−1)x+2k2−8kf'(x) = x^2 - 2(k-1)x + 2k^2 - 8k
eşitliğini sağlamaktadır.

ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [a,b][a, b] kapalı aralığıdır.

b−a=6b - a = 6 birim olduğuna göre, kk gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu aralığın uzunluğundan yola çıkılarak diskriminant 3636'ya eşitlenmiş ve buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek kk sayısının alabileceği en büyük değer 44 olarak bulunmuştur.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu yerlerdir. Bu aralığın uzunluğu olan b−a=6b-a = 6 birim ifadesi kökler farkı formülü olan Δ\sqrt{\Delta} değerine eşittir. Buradan diskriminantın 3636 olması gerektiği bulunur. Δ=−4k2+24k+4=36\Delta = -4k^2 + 24k + 4 = 36 eşitliği çözüldüğünde elde edilen k2−6k+8=0k^2-6k+8=0 denkleminin kökleri 22 ve 44 olup alabileceği en büyük değer 44 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin işareti ile azalanlık aralığı arasındaki ilişkiyi kurma
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [a,b][a, b] aralığının sınırları f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleridir.
Türevin negatif veya sıfır olduğu yerlerde fonksiyon azalandır.
2
Kökler farkı ile diskriminant arasındaki ilişkiyi kullanarak diskriminantın değerini bulma
b−a=Δ=6  ⟹  Δ=36b - a = \sqrt{\Delta} = 6 \implies \Delta = 36 olur.
İkinci dereceden denklemlerde kökler farkı formülü kullanılır.
3
Diskriminantı kk parametresi cinsinden hesaplama
Δ=−4k2+24k+4\Delta = -4k^2 + 24k + 4 elde edilir.
Diskriminant formülü Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC şeklindedir.
4
kk değerlerini bulmak için elde edilen ifadeyi 3636'ya eşitleyip çözme
k2−6k+8=0  ⟹  k=4k^2 - 6k + 8 = 0 \implies k = 4 veya k=2k = 2 bulunur. En büyük değer 44'tür.
Elde edilen denklem çarpanlarına ayrılarak kökler tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınırları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği kökleridir.
Soru 36Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=13x3+a2x2+bx+5f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 + bx + 5
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İstenen çarpım değeri 16'dır.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] olduğundan, birinci türevin kökleri −2-2 ve 44 olmalıdır. Buradan türev fonksiyonunun katsayıları a=−2a = -2 ve b=−8b = -8 olarak bulunur ve çarpımları 16 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=x2+ax+bf'(x) = x^2 + ax + b
Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Azalanlık şartı kullanılarak türevin kökleri belirlenir.
f′(x)=0f'(x) = 0 denkleminin kökleri x1=−2x_1 = -2 ve x2=4x_2 = 4 olur.
Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık [−2,4][-2, 4] ise, türev fonksiyonu bu aralıkta negatif veya sıfır (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) değerler almalı ve uç noktalarda sıfıra eşit olmalıdır.
3
Kökler ile katsayılar arasındaki ilişkiler (Vieta formülleri) kullanılarak aa ve bb katsayıları bulunur.
a=−2a = -2 ve b=−8b = -8
x1+x2=−a  ⟹  −2+4=−a  ⟹  a=−2x_1 + x_2 = -a \implies -2 + 4 = -a \implies a = -2 ve x1⋅x2=b  ⟹  (−2)⋅4=b  ⟹  b=−8x_1 \cdot x_2 = b \implies (-2) \cdot 4 = b \implies b = -8 elde edilir.
4
a⋅ba \cdot b çarpımı hesaplanır.
a⋅b=(−2)⋅(−8)=16a \cdot b = (-2) \cdot (-8) = 16
Soruda bizden istenen katsayılar çarpımını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklarda türevi negatif veya sıfırdır.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Artan ve Azalan Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin