Examkin

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

67 soru

Tüm türler67Çoktan seçmeli33Sayısal34
Soru 41Soru →
Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−x2−2xf(x) = x^3 - x^2 - 2x eğrisine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir AA noktasında kesmektedir. Buna göre, AA noktasından f(x)f(x) eğrisine çizilen normal doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −13-\frac{1}{3}

Cevap

Normal doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı −13-\frac{1}{3} olarak bulunur.
Doğru cevap olan −13-\frac{1}{3} değeri, belirtilen noktadan çizilen teğet doğrusu ile eğrinin ortak çözümü yapılarak kesim noktası olan koordinat düzlemindeki diğer noktanın bulunması ve ardından bu noktadaki normal doğrusunun eğimi kullanılarak yazılan normal denklemi yardımıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasındaki fonksiyon değerini ve türevini (teğet eğimini) bulunuz.
f(1)=−2f(1) = -2 ve f′(1)=−1f'(1) = -1 bulunur.
x=1x=1 apsisli noktadaki teğet doğrusunun denklemini yazmak için eğim ve geçtiği nokta gereklidir.
2
x=1x=1 noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazınız.
y−(−2)=−1(x−1)  ⟹  y=−x−1y - (-2) = -1(x-1) \implies y = -x - 1 doğrusu elde edilir.
Teğetin denklemi y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) formülüyle bulunur.
3
Teğet doğrusu ile f(x)f(x) eğrisinin kesişim noktalarını bulmak için ortak çözüm yapınız.
x3−x2−2x=−x−1  ⟹  (x−1)2(x+1)=0x^3 - x^2 - 2x = -x - 1 \implies (x-1)^2(x+1) = 0 denkleminden diğer kesişim noktası x=−1x = -1 apsisli A(−1,0)A(-1, 0) noktası olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktayı bulmak için iki denklem birbirine eşitlenir.
4
A(−1,0)A(-1, 0) noktasındaki teğet ve normal doğrularının eğimlerini hesaplayınız.
f′(−1)=3f'(-1) = 3 olduğundan AA noktasındaki teğet eğimi mT=3m_T = 3 ve normal doğrusunun eğimi mN=−13m_N = -\frac{1}{3} olur.
Bir noktadaki normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimiyle çarpımı −1-1 olacak şekilde mN=−1mTm_N = -\frac{1}{m_T} formülüyle bulunur.
5
A(−1,0)A(-1, 0) noktasındaki normal doğrusunun denklemini yazıp yy eksenini kestiği noktayı bulunuz.
y−0=−13(x−(−1))  ⟹  y=−13x−13y - 0 = -\frac{1}{3}(x - (-1)) \implies y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3} doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı −13-\frac{1}{3} olarak elde edilir.
yy eksenini kestiği noktayı bulmak için normal doğrusunun denkleminde x=0x = 0 yazılır.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin negatif tersidir (mT⋅mN=−1m_T \cdot m_N = -1). Ayrıca teğet doğrusu ile eğrinin diğer kesim noktaları ortak çözüm yapılarak bulunur.
Soru 42Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
g(x)=x2−8x+23g(x) = x^2 - 8x + 23

fonksiyonları veriliyor. f(x)f(x) parabolü üzerindeki bir A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasından çizilen teğet doğrusu, g(x)g(x) parabolünün tepe noktasından geçmektedir.

a<4a < 4 olduğuna göre, bu teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Teğet doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı -1 değeridir.
Doğru cevap -1 değeridir. f(x) fonksiyonuna x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y = 2x - 1 olup, y-eksenini -1 ordinatlı noktada keser.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) parabolünün tepe noktasını bulalım.
g(x) = x^2 - 8x + 23 parabolünde tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) = -(-8)/(2*1) = 4 olur. Bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak ordinat k = g(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 16 - 32 + 23 = 7 bulunur. Dolayısıyla tepe noktası T(4, 7) noktasıdır.
Teğet doğrusunun geçeceği noktayı belirlemek için.
2
f(x) eğrisine x = a noktasından ��izilen teğet doğrusunun denklemini kuralım.
Teğet noktası (a, a^2 - 2a + 3) ve teğetin eğimi m = f'(a) = 2a - 2 olur. Teğet doğrusunun denklemi: y - (a^2 - 2a + 3) = (2a - 2)(x - a) şeklinde yazılır.
Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla oluşturmak için.
3
Teğet doğrusu T(4, 7) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine yazarak a değerini bulalım.
7 - (a^2 - 2a + 3) = (2a - 2)(4 - a) ifadesinden 4 - a^2 + 2a = -2a^2 + 10a - 8 elde edilir. Denklemi düzenlediğimizde a^2 - 8a + 12 = 0 olur. Bu denklem çarpanlarına ayrılırsa (a - 2)(a - 6) = 0 elde edilir. Buradan a = 2 veya a = 6 bulunur.
Teğet doğrusunun geçtiği bilinen noktayı kullanarak teğet noktalarının apsislerini belirlemek için.
4
a < 4 koşuluna uyan a değerini seçip teğet doğrusunun denklemini yazalım.
Sorudaki a < 4 koşulundan dolayı a = 2 değeri seçilir. a = 2 için teğet noktası (2, 3) ve eğim m = 2(2) - 2 = 2 olur. Teğet doğrusunun denklemi y - 3 = 2(x - 2) veya düzenlenmiş haliyle y = 2x - 1 olarak bulunur.
Koşulu sağlayan doğru denklemini tam olarak belirlemek için.
5
Teğet doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatını bulalım.
y = 2x - 1 denkleminde x = 0 yazılırsa y = -1 bulunur.
Doğrunun y-eksenini kestiği noktaya ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
Soru 43Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k fonksiyonunun grafiğine orijinden (başlangıç noktasından) çizilen teğet doğruları birbirine dik olduğuna göre, kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.25

Cevap

Teğet doğrularının birbirine dik olmasını sağlayan kk değeri 4,254,25 (veya 174\frac{17}{4}) olarak bulunur.
Orijinden çizilen teğet doğrularının değme noktaları A(x0,y0)A(x_0, y_0) olsun. Orijinden geçen doğruların denklemi y=mxy = mx formundadır. Bu doğrular parabol ile teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen teğet eğimleri çarpımının −1-1 olması koşuluyla k=4,25k = 4,25 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet değme noktasını A(x0,f(x0))A(x_0, f(x_0)) olarak tanımlayın.
Değme noktası A(x0,x02−4x0+k)A(x_0, x_0^2 - 4x_0 + k) olur.
Teğet denklemini türev yardımıyla kurabilmek için değme noktasını değişken cinsinden yazmamız gerekir.
2
Türev alarak değme noktasındaki teğetin eğimini bulun ve teğet doğrusunun denklemini yazın.
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 olduğundan teğet doğrusu y−(x02−4x0+k)=(2x0−4)(x−x0)y - (x_0^2 - 4x_0 + k) = (2x_0 - 4)(x - x_0) şeklindedir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet doğrusunun orijinden (0,0)(0,0) geçtiği bilgisini kullanarak değme noktalarının apsislerini belirleyin.
x02=kx_0^2 = k denklemi elde edilir, buradan x1=kx_1 = \sqrt{k} ve x2=−kx_2 = -\sqrt{k} bulunur.
Çizilen teğet doğruları orijinden geçtiği için orijin koordinatları teğet doğrusu denklemini sağlamalıdır.
4
Bulunan apsis değerlerini türevde yerine yazarak teğetlerin eğimlerini hesaplayın ve diklik koşulunu uygulayın.
m1⋅m2=−1  ⟹  (2k−4)(−2k−4)=−1  ⟹  4k−16=1  ⟹  k=4,25m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (2\sqrt{k} - 4)(-2\sqrt{k} - 4) = -1 \implies 4k - 16 = 1 \implies k = 4,25 elde edilir.
Birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemini bulma ve birbirine dik doğruların eğim ilişkisi
Soru 44Soru →

Dik koordinat düzleminde, A(1,−152)A\left(1, -\frac{15}{2}\right) noktasından f(x)=x2f(x) = x^2 parabolüne çizilen teğet doğrularının eğriye değme noktaları BB ve CC'dir.

Buna göre, bu parabolün BB ve CC noktalarındaki normal doğrularının kesim noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Normal doğrularının kesim noktasının ordinatı 12'dir.
Parabolün teğet noktalarındaki normal doğrularının kesişim noktasının ordinatı ortak çözümle y=t12+t1t2+t22+1/2y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + 1/2 olarak bulunur. Burada Vieta formülleri kullanılarak t1+t2=2t_1+t_2 = 2 ve t1t2=−15/2t_1 t_2 = -15/2 değerleri yerine yazıldığında ordinat 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini parametrik olarak ifade etme
Değme noktası T(t,t2)T(t, t^2) için teğet denklemi: y=2tx−t2y = 2tx - t^2
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=2xf'(x) = 2x ifadesi teğetin eğimini verir.
2
Verilen noktanın teğet denklemini sağlaması koşulunu uygulama
2t2−4t−15=02t^2 - 4t - 15 = 0 denklemi ve kök ilişkileri: t1+t2=2t_1 + t_2 = 2, t1t2=−152t_1 t_2 = -\frac{15}{2}
Teğet doğrusu dışarıdaki A(1,−15/2)A(1, -15/2) noktasından geçmektedir.
3
Değme noktalarındaki normal doğrularının denklemlerini bulma
y=−12t1x+t12+12y = -\frac{1}{2t_1}x + t_1^2 + \frac{1}{2} ve y=−12t2x+t22+12y = -\frac{1}{2t_2}x + t_2^2 + \frac{1}{2}
Teğet ve normal doğruları birbirine diktir, dolayısıyla eğimleri çarpımı −1-1'dir.
4
Normal doğrularının kesişim noktasının koordinat ilişkisini bulma
Kesişim noktasının apsisi x=−2t1t2(t1+t2)x = -2t_1 t_2(t_1 + t_2) ve ordinatı y=t12+t1t2+t22+12y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + \frac{1}{2}
İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözeriz.
5
Özdeşlikleri ve Vieta formüllerini kullanarak kesişim noktasının ordinatını hesaplama
y=12y = 12
t12+t1t2+t22=(t1+t2)2−t1t2t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - t_1 t_2 özdeşliğini ve elde edilen kök ilişkilerini yerine koyarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimiyle çarpıldığında -1 olur. Dışarıdaki bir noktadan çizilen teğetlerin kesim noktaları ve bu noktalardaki normallerin kesişim koordinatları Vieta formülleri (kök-katsayı ilişkileri) ile bulunabilir.
Soru 45Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+af(x) = x^2 - 3x + a
parabolüne üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusu,
g(x)=x3−2x2+bxg(x) = x^3 - 2x^2 + bx
eğrisine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktada da teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parametrelerin toplamı olan 6 değeri doğru cevaptır.
Parabolün teğet doğrusunun denklemi y=x+a−4y = x + a - 4 olarak elde edilir. Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimi olan b−1b - 1 değeri doğrunun eğimi olan 1'e eşitlenerek b=2b = 2 bulunur. Değme noktası (1,1)(1, 1) doğrunun üzerinde yerine yazılarak a=4a = 4 elde edilir. Buradan a+b=6a + b = 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün x=2x = 2 apsisli noktadaki teğetinin eğimini bulmak için fonksiyonun türevi alınır ve x=2x = 2 değeri yerine yazılır.
f′(x)=2x−3  ⟹  f′(2)=2(2)−3=1f'(x) = 2x - 3 \implies f'(2) = 2(2) - 3 = 1 olur. Teğet doğrusunun eğimi m=1m = 1'dir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Parabol üzerindeki teğet noktasının koordinatları belirlenir ve teğet doğrusunun denklemi yazılır.
x=2x = 2 için f(2)=22−3(2)+a=a−2f(2) = 2^2 - 3(2) + a = a - 2 olur. Nokta (2,a−2)(2, a - 2)'dir. Eğimi m=1m = 1 olan teğet doğrusunun denklemi: y−(a−2)=1⋅(x−2)  ⟹  y=x+a−4y - (a - 2) = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x + a - 4 olarak bulunur.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet doğrusu elde edilir.
3
Bu teğet doğrusu g(x)g(x) eğrisine x=1x = 1 noktasında da teğet olduğundan, g(x)g(x)'in x=1x = 1 noktasındaki türevi teğet doğrusunun eğimine eşitlenerek bb bulunur.
g′(x)=3x2−4x+b  ⟹  g′(1)=3(1)2−4(1)+b=b−1g'(x) = 3x^2 - 4x + b \implies g'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + b = b - 1 olur. Eğim 1 olduğundan b−1=1  ⟹  b=2b - 1 = 1 \implies b = 2 bulunur.
Aynı teğet doğrusunun eğimi her iki teğet noktasındaki türev değerine eşit olmalıdır.
4
Eğrinin teğet noktası teğet doğrusunu sağlamalıdır. Bu bilgi kullanılarak aa değeri bulunur.
b=2b = 2 için g(1)=13−2(1)2+2(1)=1g(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2(1) = 1 olur. Değme noktası (1,1)(1, 1)'dir. Bu nokta y=x+a−4y = x + a - 4 doğrusu üzerinde olduğundan 1=1+a−4  ⟹  a=41 = 1 + a - 4 \implies a = 4 bulunur.
Teğet noktası hem eğri denklemini hem de teğet doğrusunun denklemini sağlamak zorundadır.
5
Bulunan aa ve bb değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.
a+b=4+2=6a + b = 4 + 2 = 6 olarak elde edilir.
Soru bizden bu iki parametrenin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Ortak teğet doğrusu problemlerinde eğimlerin eşitliği ve teğet noktalarının doğrunun denklemini sağlaması koşulları kullanılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 46Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+ax+1f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 1
fonksiyonunun grafiğine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Aranan a değeri 1 olarak bulunur.
Fonksiyonun x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi türev yardımıyla f′(1)=a−3f'(1) = a - 3 olarak bulunur. Bu noktadaki normal doğrusunun eğimi ise mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3} olur. Normal doğrusunun dik olduğu belirtilen y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusunun eğimi −2-2 olduğundan, normal doğrusunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır. Buradan −1a−3=12  ⟹  a=1-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} \implies a = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türev kuralının bulunması
f′(x)=3x2−6x+af'(x) = 3x^2 - 6x + a
Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun birinci türevi alınır.
2
x=1x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğiminin (mtm_t) hesaplanması
mt=a−3m_t = a - 3
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet eğimi yardımıyla normal doğrusunun eğiminin (mnm_n) belirlenmesi
mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3}
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine diktir. Eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan mn=−1mtm_n = -\frac{1}{m_t} eşitliği kullanılır.
4
Verilen doğrunun eğiminden yararlanarak normal doğrusunun eğim değerinin bulunması
mn=12m_n = \frac{1}{2}
Normal doğrusu y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir. Eğimi −2-2 olan bir doğruya dik olan doğrunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır.
5
Elde edilen eğim değerlerinin eşitlenmesi ve aa parametresinin çözülmesi
a=1a = 1
−1a−3=12-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} denklemi çözülerek aa parametresinin değeri belirlenir.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal Doğrularının Eğimleri)
Soru 47Soru →
Orijinden geçen bir dd doğrusu,
f(x)=x2−2x+4f(x) = x^2 - 2x + 4
parabolüne üzerindeki bir A(x0,y0)A(x_0, y_0) noktasında teğettir.

Buna göre, AA noktasının koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

A noktasının koordinatları toplamı 6 olabilir.
Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemi y=mxy = mx şeklindedir. Teğet noktasındaki teğet eğimi türeve eşit olduğundan m=f′(x0)=2x0−2m = f'(x_0) = 2x_0 - 2 olur. y0=f(x0)y_0 = f(x_0) ve y0=m⋅x0y_0 = m \cdot x_0 eşitlikleri birleştirildiğinde x02=4x_0^2 = 4 elde edilir. Pozitif apsis değeri x0=2x_0 = 2 için teğet noktası ordinatı y0=4y_0 = 4 olur ve koordinatlar toplamı 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak teğet doğrusunun eğimini bulun.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan teğet noktasındaki eğim m=f′(x0)=2x0−2m = f'(x_0) = 2x_0 - 2 olur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemini yazın ve teğet noktasının koordinat ilişkisini kurun.
Orijinden geçen doğrunun denklemi y=mxy = mx olduğundan teğet noktası için y0=m⋅x0y_0 = m \cdot x_0 yani y0=(2x0−2)⋅x0y_0 = (2x_0 - 2) \cdot x_0 yazılır.
Teğet noktası hem parabolün hem de orijinden geçen teğet doğrusunun üzerinde yer alır.
3
Parabol denklemindeki y değerini teğet doğrusu denklemindeki y değeri ile eşitleyin.
x02−2x0+4=2x02−2x0⇒x02=4x_0^2 - 2x_0 + 4 = 2x_0^2 - 2x_0 \Rightarrow x_0^2 = 4 elde edilir. Buradan x0=2x_0 = 2 veya x0=−2x_0 = -2 bulunur.
Teğet noktasının koordinatlarını sağlayan ortak denklemi çözmek için.
4
Bulunan apsis değerleri için ordinat değerlerini hesaplayın ve koordinat toplamlarını bulun.
x0=2x_0 = 2 için y0=22−2(2)+4=4⇒y_0 = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 \Rightarrow Toplam: 2+4=62 + 4 = 6 olur. x0=−2x_0 = -2 için y0=(−2)2−2(−2)+4=12⇒y_0 = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 12 \Rightarrow Toplam: −2+12=10-2 + 12 = 10 olur.
İstenen koordinat toplamı alternatiflerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi ile türev arasındaki ilişki ve teğet denkleminin oluşturulması.

Alternatif Yöntem

Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemi y=mxy = mx şeklinde kurulup parabolün denklemi ile ortak çözülür. Ortak çözüm denklemi olan x2−2x+4=mx⇒x2−(m+2)x+4=0x^2 - 2x + 4 = mx \Rightarrow x^2 - (m+2)x + 4 = 0 denkleminin teğetlikten ötürü diskriminantı sıfıra eşitlenir: Δ=(m+2)2−16=0⇒m+2=±4⇒m=2\Delta = (m+2)^2 - 16 = 0 \Rightarrow m+2 = \pm 4 \Rightarrow m = 2 veya m=−6m = -6 bulunur. Bulunan eğim değerleri teğet noktasının apsis formülü olan x0=m+22x_0 = \frac{m+2}{2} ifadesinde yerine yazılarak teğet noktalarının apsisleri sırasıyla 2 ve -2 bulunur. Buradan da koordinat toplamlarına ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 48Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+3f(x) = x^2 - ax + 3
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=x3−3x2+4x−2g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2
eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusuna diktir.

Buna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a = 5 gerçel sayısıdır.
Parabolün ve eğrinin ilgili noktalardaki türevleri teğet doğrularının eğimlerini verir. Bu doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerin çarpımı -1'e eşitlenerek a = 5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−ax+3f(x) = x^2 - ax + 3 parabolünün x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla ifade etmek.
f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a olduğundan x=2x = 2 noktasındaki teğetin eğimi m1=f′(2)=4−am_1 = f'(2) = 4 - a olarak bulunur.
Bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)=x3−3x2+4x−2g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2 eğrisinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla bulmak.
g′(x)=3x2−6x+4g'(x) = 3x^2 - 6x + 4 olduğundan x=1x = 1 noktasındaki teğetin eğimi m2=g′(1)=3(1)2−6(1)+4=1m_2 = g'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 1 olarak bulunur.
Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi, g(x)g(x) fonksiyonunun bu noktadaki türevidir.
3
Teğet doğrularının birbirine dik olması şartını kullanarak aa değerini hesaplamak.
m1⋅m2=−1  ⟹  (4−a)⋅1=−1  ⟹  4−a=−1  ⟹  a=5m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (4 - a) \cdot 1 = -1 \implies 4 - a = -1 \implies a = 5 elde edilir.
Dik kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve dik doğruların eğimleri ilişkisi
Soru 49Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−5x+7f(x) = x^2 - 5x + 7
parabolünün üzerindeki bir AA noktasından çizilen normal doğrusu, x+y−3=0x + y - 3 = 0 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, AA noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Koordinatlar toplamı 4 olan seçenek doğrudur.
Parabolün üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, bu doğruya paralel olan x+y−3=0x + y - 3 = 0 doğrusunun eğimine eşittir. Buradan normal doğrusunun eğimi mn=−1m_n = -1 bulunur. Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir. Dolayısıyla teğet doğrusunun eğimi mt=1m_t = 1 olur. Fonksiyonun türevi alınıp teğet doğrusunun eğimine eşitlendiğinde değme noktasının apsisi x0=3x_0 = 3 olarak elde edilir. Bu değer fonksiyonda yerine yazılarak ordinat y0=1y_0 = 1 bulunur. Sonuç olarak koordinatlar toplamı 3+1=43 + 1 = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulma
x+y−3=0  ⟹  y=−x+3x + y - 3 = 0 \implies y = -x + 3 olduğundan bu doğrunun eğimi −1-1'dir.
Normal doğrusu bu doğruya paralel olduğu için normal doğrusunun eğimi de mn=−1m_n = -1 olacaktır.
2
Teğet doğrusunun eğimini bulma
mt⋅mn=−1  ⟹  mt⋅(−1)=−1  ⟹  mt=1m_t \cdot m_n = -1 \implies m_t \cdot (-1) = -1 \implies m_t = 1 olarak bulunur.
Aynı noktadaki teğet ve normal doğruları birbirine diktir ve eğimleri çarpımı −1-1'dir.
3
Teğet noktasının apsisini bulma
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 olur. Değme noktasının apsisi x0x_0 ise, 2x0−5=1  ⟹  x0=32x_0 - 5 = 1 \implies x_0 = 3 elde edilir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının ordinatını ve koordinatlar toplamını bulma
y0=f(3)=32−5(3)+7=1y_0 = f(3) = 3^2 - 5(3) + 7 = 1 olur. Koordinatlar toplamı: x0+y0=3+1=4x_0 + y_0 = 3 + 1 = 4 bulunur.
Değme noktası parabolün üzerinde olduğundan koordinatları parabol denklemini sağlar.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Normal doğrusunun eğimi ile teğet doğrusunun eğiminin çarpımı -1'dir.
Soru 50Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonunun x=3x = 3 apsisli noktasındaki normal doğrusu, g(x)=x3−2x2+ax+bg(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasında teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a + b toplamının değeri 5'tir.
f(x)f(x)'in x=3x=3 noktasındaki teğet eğimi 22 olduğundan normal doğrusunun eğimi −12-\frac{1}{2}'dir. A(3,3)A(3,3) noktasından geçen bu normal doğrusunun denklemi y=−12x+92y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olarak elde edilir. Bu doğru g(x)g(x)'e x=1x=1 noktasında teğet olduğu için türev değeri teğet eğimine eşit olmalıdır: g′(1)=a−1=−12  ⟹  a=12g'(1) = a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2}. Teğet noktası doğrunun üzerinde yer aldığından (1,4)(1, 4) noktasıdır. Bu nokta g(x)g(x) üzerinde de bulunduğundan g(1)=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies a+b-1 = 4 \implies a+b = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimini ve buna bağlı olarak normal doğrusunun eğimini hesaplayınız.
f′(x)=2x−4  ⟹  f′(3)=2f'(x) = 2x - 4 \implies f'(3) = 2 olur. Normal doğrusunun eğimi mn=−12m_n = -\frac{1}{2} olarak elde edilir.
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.
2
Parabol üzerindeki normal noktasını belirleyip normal doğrusunun denklemini kurunuz.
f(3)=3f(3) = 3 olduğundan normal doğrusu (3,3)(3, 3) noktasından geçer. Denklemi y−3=−12(x−3)  ⟹  y=−12x+92y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 3) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olur.
Bir doğrunun denklemini yazmak için eğimi ve geçtiği bir nokta kullanılır.
3
Normal doğrusunun g(x)g(x) eğrisine x=1x = 1 noktasında teğet olması bilgisini kullanarak aa parametresini bulunuz.
g′(x)=3x2−4x+a  ⟹  g′(1)=a−1g'(x) = 3x^2 - 4x + a \implies g'(1) = a - 1 olur. Eğim −12-\frac{1}{2} olduğundan a−1=−12  ⟹  a=12a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2} bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının koordinatlarını g(x)g(x) fonksiyonunda yerine yazarak a+ba + b değerini hesaplayınız.
x=1x = 1 için teğet doğrusunun ordinatı y=−12(1)+92=4y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{9}{2} = 4 olur. g(1)=4  ⟹  13−2(1)2+a+b=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies 1^3 - 2(1)^2 + a + b = 4 \implies a + b - 1 = 4 \implies a + b = 5 elde edilir.
Teğet noktası hem teğet doğrusunun hem de fonksiyon eğrisinin üzerinde yer alır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumunda teğet ve normal doğrularının eğimleri ile denklemlerinin oluşturulması ve ortak teğet ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 51Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+kf(x) = x^2 - 3x + k
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=x3−2x2+2g(x) = x^3 - 2x^2 + 2
eğrisini x=1x = 1 apsisli noktasında kesmektedir.

Buna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Parabolün belirtilen noktasındaki teğet doğrusunun denklemi kurulup kesişim noktası olan (1,1)(1, 1) yerine yazıldığında bilinmeyen parametre 4 olarak bulunur.
Parabolün x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi f′(2)=1f'(2) = 1 ve teğet noktası (2,k−2)(2, k-2)'dir. Buradan teğet doğrusunun denklemi y=x+k−4y = x + k - 4 olarak elde edilir. Bu doğru, g(x)g(x) eğrisini x=1x = 1 apsisli noktada kestiğine göre kesim noktası olan (1,g(1))=(1,1)(1, g(1)) = (1, 1) noktasını sağlamalıdır. Denklemde yerleştirildiğinde 1=1+k−41 = 1 + k - 4 eşitliğinden k=4k = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−3x+kf(x) = x^2 - 3x + k fonksiyonunun türevi alınır ve teğet noktasının apsisi olan x=2x = 2 değeri türevde yerine yazılarak teğet doğrusunun eğimi (mm) bulunur.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 ve m=f′(2)=2(2)−3=1m = f'(2) = 2(2) - 3 = 1 elde edilir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
f(x)f(x) parabolünün üzerindeki teğet noktasının koordinatları belirlenir.
x=2x = 2 için y0=f(2)=22−3(2)+k=k−2y_0 = f(2) = 2^2 - 3(2) + k = k - 2 olup teğet noktası (2,k−2)(2, k-2) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasının koordinatlarına ihtiyaç vardır.
3
Eğimi m=1m = 1 olan ve (2,k−2)(2, k-2) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi yazılır.
y−(k−2)=1⋅(x−2)  ⟹  y=x+k−4y - (k - 2) = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x + k - 4 elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü olan y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) uygulanır.
4
Teğet doğrusunun g(x)=x3−2x2+2g(x) = x^3 - 2x^2 + 2 eğrisini kestiği x=1x = 1 apsisli noktanın y-koordinatı hesaplanır ve bu nokta teğet doğrusunun denkleminde yerine yazılır.
g(1)=13−2(1)2+2=1g(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2 = 1 olduğundan kesişim noktası (1,1)(1, 1)'dir. Doğru denkleminde yerine yazıldığında 1=1+k−4  ⟹  k=41 = 1 + k - 4 \implies k = 4 bulunur.
Kesişim noktası hem teğet doğrusunun hem de g(x)g(x) eğrisinin üzerinde yer aldığından her iki denklemi de sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu kullanılarak bir eğriye teğet olan doğrunun eğimini ve denklemini bulma, ardından bu doğrunun başka bir eğriyle kesişim noktasını kullanarak bilinmeyen parametreyi hesaplama.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 52Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b parabolü ile g(x)=cxg(x) = \frac{c}{x} eğrisi x=1x = 1 apsisli ortak noktasında birbirine teğettir. Bu ortak teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 88 olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

a + b + c toplamının doğru değeri 7'dir.
Ortak teğet noktasında fonksiyonların değerleri ve türevleri eşittir. Buradan elde edilen denklemler ve teğet doğrusunun y-eksenini kestiği nokta kullanılarak a, b ve c değerleri sırasıyla -6, 9 ve 4 olarak bulunur. Toplamları ise 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin x=1x = 1 apsisli ortak noktadaki değerlerini eşitleyin.
f(1)=g(1)  ⟹  1+a+b=c  ⟹  a+b−c=−1f(1) = g(1) \implies 1 + a + b = c \implies a + b - c = -1
Teğet noktasında her iki fonksiyonun da y-değerleri birbirine eşit olmalıdır.
2
Fonksiyonların türevlerini alıp x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimlerini eşitleyin.
f′(x)=2x+a  ⟹  f′(1)=2+af'(x) = 2x + a \implies f'(1) = 2 + a ve g′(x)=−cx2  ⟹  g′(1)=−cg'(x) = -\frac{c}{x^2} \implies g'(1) = -c olur. Eğimler eşit olduğundan 2+a=−c  ⟹  a+c=−22 + a = -c \implies a + c = -2 elde edilir.
Eğriler teğet noktasında ortak teğet doğrusuna sahip olduklarından türev değerleri aynı olmalıdır.
3
Ortak teğet doğrusunun denklemini yazın ve yy eksenini kestiği noktayı bulun.
Teğet noktası (1,c)(1, c) ve eğim m=−cm = -c olduğundan teğet doğrusunun denklemi y−c=−c(x−1)  ⟹  y=−cx+2cy - c = -c(x - 1) \implies y = -cx + 2c olur. x=0x = 0 için y=2c=8  ⟹  c=4y = 2c = 8 \implies c = 4 bulunur.
Doğrunun y-eksenini kestiği nokta olan ordinat değerini (8) kullanarak c sabitini elde etmek için.
4
aa, bb ve istenen toplamı hesaplayın.
c=4c = 4 ise a+4=−2  ⟹  a=−6a + 4 = -2 \implies a = -6 olur. a+b−c=−1  ⟹  −6+b−4=−1  ⟹  b=9a + b - c = -1 \implies -6 + b - 4 = -1 \implies b = 9 bulunur. Buradan a+b+c=−6+9+4=7a + b + c = -6 + 9 + 4 = 7 elde edilir.
Bulunan parametreleri yerine koyarak nihai toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, iki eğrinin birbirine teğet olma koşulları ve teğet doğrusu denklemi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 53Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−5x+2f(x) = x^2 - 5x + 2
parabolünün x=ax = a apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile
g(x)=x3−3x2+x+2g(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2
eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu birbirine paraleldir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabolün teğet doğrusu ile eğrinin normal doğrusunun paralel olmasını sağlayan bilinmeyen apsis değeri 2'dir.
Verilen g(x)g(x) eğrisinin x=2x=2 noktasındaki teğetinin eğimi g′(2)=1g'(2) = 1 olarak hesaplanır. Teğet ile normal birbirine dik olduğundan normalin eğimi −1-1 olur. f(x)f(x) parabolünün x=ax=a noktasındaki teğetinin eğimi ise f′(a)=2a−5f'(a) = 2a - 5 değerine eşittir. Bu iki doğrunun paralel olması, eğimlerinin eşit olmasını gerektirir. Buradan 2a−5=−12a - 5 = -1 denklemi kurulur ve a=2a = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=x3−3x2+x+2g(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2 fonksiyonunun türevi alınarak x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi (mtm_t) hesaplanır.
g′(x)=3x2−6x+1g'(x) = 3x^2 - 6x + 1 olup, x=2x = 2 için g′(2)=3(2)2−6(2)+1=1g'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 1 = 1 bulunur.
Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) eğrisinin x=2x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimi (mnm_n) hesaplanır.
mn=−1g′(2)=−11=−1m_n = -\frac{1}{g'(2)} = -\frac{1}{1} = -1 olur.
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).
3
f(x)=x2−5x+2f(x) = x^2 - 5x + 2 parabolünün türevi alınarak x=ax = a noktasındaki teğetinin eğimi yazılır.
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 olup, x=ax = a noktasındaki teğet eğimi f′(a)=2a−5f'(a) = 2a - 5 olur.
Parabolün teğetinin eğimi, parabol denkleminin o noktadaki türev değeridir.
4
Paralel doğruların eğimlerinin eşitliği kullanılarak aa değeri hesaplanır.
f′(a)=mn  ⟹  2a−5=−1  ⟹  2a=4  ⟹  a=2f'(a) = m_n \implies 2a - 5 = -1 \implies 2a = 4 \implies a = 2 elde edilir.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, teğet ve normal doğrularının eğim ilişkileri ve paralel doğruların eğim eşitliği.
Soru 54Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=2x−1x+1f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}
eğrisine eğimi 33 olan teğet doğruları çiziliyor.
Buna göre, bu teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı 10'dur.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x+1)2f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} olarak hesaplanır. Türev fonksiyonu 3'e eşitlendiğinde teğet noktalarının apsisleri x=0x = 0 ve x=−2x = -2 bulunur. Bu apsis değerlerine karşılık gelen teğet noktaları sırasıyla (0,−1)(0, -1) ve (−2,5)(-2, 5) olur. Bu noktalardan çizilen ve eğimleri 3 olan teğet doğrularının denklemleri y=3x−1y = 3x - 1 ve y=3x+11y = 3x + 11 olarak elde edilir. Bu doğruların y eksenini kestiği noktaların ordinatları −1-1 ve 1111 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı kullanılarak hesaplanır.
f′(x)=2(x+1)−(2x−1)(1)(x+1)2=3(x+1)2f'(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}
Bir eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonu, verilen teğet eğimi olan 3'e eşitlenerek teğet noktalarının apsisleri (xx değerleri) bulunur.
3(x+1)2=3⇒(x+1)2=1⇒x+1=1\frac{3}{(x+1)^2} = 3 \Rightarrow (x+1)^2 = 1 \Rightarrow x+1 = 1 veya x+1=−1x+1 = -1 olup buradan x1=0x_1 = 0 ve x2=−2x_2 = -2 elde edilir.
Teğet doğrusunun eğiminin 3 olduğu noktaları tespit etmek için.
3
Bulunan apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılarak teğet noktalarının ordinatları bulunur.
y1=f(0)=2(0)−10+1=−1y_1 = f(0) = \frac{2(0)-1}{0+1} = -1 ve y2=f(−2)=2(−2)−1−2+1=5y_2 = f(-2) = \frac{2(-2)-1}{-2+1} = 5. Böylece teğet noktaları (0,−1)(0, -1) ve (−2,5)(-2, 5) olarak bulunur.
Teğet doğrularının denklemlerini yazabilmek için temas noktalarının koordinatlarına ihtiyaç duyulur.
4
Eğimi 3 olan ve teğet noktalarından geçen doğruların denklemleri yazılır.
Birinci teğet doğrusu: y−(−1)=3(x−0)⇒y=3x−1y - (-1) = 3(x - 0) \Rightarrow y = 3x - 1. İkinci teğet doğrusu: y−5=3(x−(−2))⇒y=3x+11y - 5 = 3(x - (-2)) \Rightarrow y = 3x + 11.
Doğruların y eksenini kestiği noktaları belirlemek için.
5
Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları belirlenir ve toplanır.
y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu y eksenini −1-1 noktasında, y=3x+11y = 3x + 11 doğrusu ise 1111 noktasında keser. Toplamları: −1+11=10-1 + 11 = 10.
Soruda teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu gereği, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Eğim ve teğet noktası kullanılarak teğet doğrusunun denklemi y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) formülüyle yazılır.
Soru 55Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+2f(x) = x^2 - ax + 2
parabolünün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun eğimi, tepe noktası T(r,k)T(r, k) olan
g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1
parabolünün tepe noktasının apsisi rr'ye eşittir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 değeridir.
Verilen g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1 parabolünün tepe noktasının apsisi r=−−42=2r = -\frac{-4}{2} = 2 olur. f(x)=x2−ax+2f(x) = x^2 - ax + 2 parabolünün x=3x=3 noktasındaki teğetinin eğimi ise türevin bu noktadaki değeridir. f′(x)=2x−af'(x) = 2x - a olduğundan f′(3)=6−af'(3) = 6 - a elde edilir. Bu iki değer birbirine eşit olduğundan 6−a=2  ⟹  a=46 - a = 2 \implies a = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci parabolün tepe noktasının apsisi olan rr değerini hesaplayalım.
g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1 parabolü için tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−42⋅1=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eğiminin eşit olduğu referans değeri belirlemek için.
2
İlk parabolün x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusunun eğimini türev yardımıyla bulalım.
f(x)=x2−ax+2  ⟹  f′(x)=2x−af(x) = x^2 - ax + 2 \implies f'(x) = 2x - a olur. x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimi mt=f′(3)=6−am_t = f'(3) = 6 - a olarak elde edilir.
Bir fonksiyonun bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet doğrusunun eğimini rr değerine eşitleyerek aa parametresini çözelim.
mt=r  ⟹  6−a=2  ⟹  a=4m_t = r \implies 6 - a = 2 \implies a = 4 bulunur.
Soruda verilen eğimlerin eşitliği koşulunu sağlamak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir. Parabollerin tepe noktasının apsisi ise r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülüyle hesaplanır.
Soru 56Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−3x2−5x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 5x + 2
eğrisinin teğet doğrularından biri y=4x−1y = 4x - 1 doğrusuna paraleldir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Teğet doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatının alabileceği pozitif değer 7'dir.
Teğet doğrusu y=4x−1y = 4x - 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimi m=4m = 4'tür. f′(x)=3x2−6x−5=4  ⟹  3x2−6x−9=0  ⟹  x2−2x−3=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 5 = 4 \implies 3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 denkleminin kökleri x=3x = 3 ve x=−1x = -1'dir. Bu noktalardaki teğet doğruları sırasıyla y=4x−25y = 4x - 25 ve y=4x+7y = 4x + 7 olup, yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları −25-25 ve 77'dir. Pozitif ordinat değeri sorulduğu için doğru cevap 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun eğimini belirleme
m=4m = 4
Teğet doğrusu y=4x−1y = 4x - 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimleri birbirine eşittir.
2
Fonksiyonun türevini alma
f′(x)=3x2−6x−5f'(x) = 3x^2 - 6x - 5
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet noktalarının apsislerini bulma
x1=3x_1 = 3 ve x2=−1x_2 = -1
Türev ifadesi teğet eğimi olan 4 değerine eşitlenerek oluşan ikinci dereceden denklem çözülür.
4
Teğet noktalarının koordinatlarını hesaplama
(3,−13)(3, -13) ve (−1,3)(-1, 3)
Bulunan apsis değerleri orijinal f(x)f(x) fonksiyonunda yerine yazılarak teğet noktalarının koordinatları belirlenir.
5
Teğet doğrularının denklemlerini elde edip y eksenini kestikleri noktaları bulma
y=4x−25y = 4x - 25 doğrusu için ordinat −25-25; y=4x+7y = 4x + 7 doğrusu için ordinat 77 bulunur. Pozitif değer 77 olarak seçilir.
Teğet doğrularının denklemleri yazıldıktan sonra x=0x = 0 verilerek doğruların yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları bulunur.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, teğet doğrusunun eğimi ve denklemi
Soru 57Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k parabolünün x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusu, g(x)=axg(x) = \frac{a}{x} eğrisinin x=2x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile dik kesişmektedir.

Buna göre, aa kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

a = -2
Verilen fonksiyonların türevleri alınarak teğet eğimleri sırasıyla -2 ve -a/4 olarak hesaplanır. Teğet doğruları dik kesiştiği için eğimler çarpımı -1 olmalıdır. Bu ilişkiden (-2) * (-a/4) = -1 denklemi kurularak a = -2 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınır ve x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi (m1m_1) hesaplanır.
f′(x)=2x−4  ⟹  m1=f′(1)=2(1)−4=−2f'(x) = 2x - 4 \implies m_1 = f'(1) = 2(1) - 4 = -2
Bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki birinci türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi alınır ve x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi (m2m_2) hesaplanır.
g′(x)=−ax2  ⟹  m2=g′(2)=−a22=−a4g'(x) = -\frac{a}{x^2} \implies m_2 = g'(2) = -\frac{a}{2^2} = -\frac{a}{4}
Teğet eğimini bulmak için fonksiyonun türevini alıp teğet noktasının apsisini yerine yazarız.
3
Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımının −1-1 olması kuralı uygulanarak aa değeri çözülür.
m1×m2=−1  ⟹  (−2)×(−a4)=−1  ⟹  a2=−1  ⟹  a=−2m_1 \times m_2 = -1 \implies (-2) \times \left(-\frac{a}{4}\right) = -1 \implies \frac{a}{2} = -1 \implies a = -2
Dik koordinat düzleminde birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve dik doğruların eğim ilişkisi
Soru 58Soru →

Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x+ax−2f(x) = \frac{x+a}{x-2}

eğrisinin x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğet doğrusu,
3y−x+6=03y - x + 6 = 0

doğrusuna diktir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Teğet doğrusunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 13'tür.
Teğet doğrusunun eğimi türev yardımıyla bulunur. Diklik koşulundan teğet doğrusunun eğimi -3 olarak elde edilir. Buradan a = 1 bulunur ve teğet noktası (3, 4) olarak belirlenir. Bu noktadan geçen ve eğimi -3 olan doğrunun denklemi y = -3x + 13 olup, y eksenini kestiği noktanın ordinatı 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen 3y−x+6=03y - x + 6 = 0 doğrusunun eğimini bulmak.
Eğim m2=13m_2 = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Doğru denklemi y=13x−2y = \frac{1}{3}x - 2 şeklinde düzenlendiğinde xx'in katsayısı doğrunun eğimini verir.
2
Teğet doğrusunun eğimini (m1m_1) diklik koşulunu kullanarak belirlemek.
Teğet doğrusunun e��imi m1=−3m_1 = -3 olarak bulunur.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir (m1⋅m2=−1⇒m1⋅13=−1m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_1 \cdot \frac{1}{3} = -1).
3
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alıp x=3x=3 noktasındaki türev değerini teğetin eğimine eşitlemek.
f′(x)=−2−a(x−2)2f'(x) = \frac{-2-a}{(x-2)^2} olup x=3x=3 için f′(3)=−2−a=−3⇒a=1f'(3) = -2-a = -3 \Rightarrow a = 1 bulunur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının koordinatlarını bulmak.
a=1a = 1 için f(3)=3+13−2=4f(3) = \frac{3+1}{3-2} = 4 olup teğet noktası (3,4)(3, 4)'tür.
Teğet noktası fonksiyon eğrisinin üzerinde olduğundan koordinatları fonksiyon denklemini sağlar.
5
Teğet doğrusunun denklemini yazmak ve yy eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak.
Doğru denklemi y−4=−3(x−3)⇒y=−3x+13y - 4 = -3(x - 3) \Rightarrow y = -3x + 13 olur. x=0x=0 için y=13y=13 bulunur.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü uygulanır. yy eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak için x=0x=0 yazılır.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 59Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+4f(x) = x^2 - 2x + 4 parabolünün y=2x−5y = 2x - 5 doğrusuna en yakın noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabolün doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı 6'dır.
Parabolün doğruya en yakın noktası, o doğruya paralel olan teğetin değme noktasıdır. Doğrunun eğimi 22 olduğundan teğetin eğimi de 22'dir. Parabolün türevi f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 eğime eşitlendiğinde değme noktasının apsisi x=2x = 2 bulunur. Parabolde yerine yazıldığında ordinatı y=4y = 4 elde edilir. Bu noktanın koordinatları toplamı ise 2+4=62 + 4 = 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eğimini belirleme
m=2m = 2
y=2x−5y = 2x - 5 doğrusunun eğimi xx'in katsayısı olan 22 sayısıdır. En yakın noktadaki teğet bu doğruya paralel olmalıdır.
2
Fonksiyonun türevini alma ve eğime eşitleme
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 ve x=2x = 2
Parabol üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi o noktadaki türev değerine eşittir. Eğim 22 olacağından 2x−2=22x - 2 = 2 denkleminden teğet noktasının apsisi x=2x = 2 olarak bulunur.
3
Teğet noktasının ordinatını bulma
y=4y = 4
Bulunan x=2x = 2 apsis değeri parabol denkleminde yerine yazılarak teğet noktas��nın ordinatı f(2)=22−2(2)+4=4f(2) = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 olarak elde edilir.
4
Koordinatlar toplamını hesaplama
66
En yakın nokta (2,4)(2, 4) olarak belirlenmiş olup koordinatlar toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olur.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin bir doğruya en yakın noktasında çizilen teğet doğrusu, verilen doğruya paraleldir.
Soru 60Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−ax2+3f(x) = x^3 - ax^2 + 3 eğrisine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi f′(1)f'(1) değerine eşittir. Bu teğet doğrusu orijinden (0,0)(0,0) geçtiği için teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) ile orijin arasındaki eğim formülü yazıldığında eğim fracf(1)−01−0=f(1)\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1) olur. Dolayısıyla f′(1)=f(1)f'(1) = f(1) eşitliği elde edilir. f(1)=4−af(1) = 4-a ve f′(1)=3−2af'(1) = 3-2a değerleri bu eşitlikte yerine konulduğunda 3−2a=4−a3-2a = 4-a denklemi elde edilir ve buradan a=−1a = -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun orijinden geçmesi şartını belirlemek.
f′(1)=f(1)f'(1) = f(1)
Orijinden ve (1,f(1))(1, f(1)) noktasından geçen doğrunun eğimi fracf(1)−01−0=f(1)\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1) olup bu değer teğet doğrusunun eğimi olan f′(1)f'(1) türev değerine eşit olmalıdır.
2
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki değerini bulmak.
f(1)=4−af(1) = 4 - a
f(x)=x3−ax2+3f(x) = x^3 - ax^2 + 3 fonksiyonunda xx yerine 11 yazılır.
3
Türev fonksiyonunu bulup x=1x = 1 noktasındaki türev (eğim) değerini hesaplamak.
f′(1)=3−2af'(1) = 3 - 2a
f′(x)=3x2−2axf'(x) = 3x^2 - 2ax türevinde xx yerine 11 yazılır.
4
Elde edilen ifadeleri eşitleyerek aa bilinmeyenini çözmek.
a=−1a = -1
3−2a=4−aimpliesa=−13 - 2a = 4 - a \\implies a = -1 denklemi düzenlenerek a=−1a = -1 bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevi olan f′(x0)f'(x_0) değerine eşittir.
ÖncekiSayfa 3 / 4Sonraki
Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal) Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin