Examkin

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

67 soru

Tüm türler67Çoktan seçmeli33Sayısal34
Soru 21Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=14x2+6f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 6
g(x)=−14x2+4g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.

ff fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir AA noktasından çizilen teğet doğrusu ile gg fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir BB noktasından çizilen teğet doğrusu dik kesişmektedir.

Bu teğet doğruları yy ekseni üzerindeki bir PP noktasında kesi��tiğine göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kesişim noktasının ordinat�� 5'tir.
Soruda verilen fonksiyonların türevleri alınıp teğet eğimleri çarpımı −1-1'e eşitlendiğinde ab=4ab=4 elde edilir. Teğetlerin yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları eşitlenirse a2+b2=8a^2+b^2=8 denklemine ulaşılır. Buradan a2=4a^2=4 bulunur ve kesişim noktasının ordinatı 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktalarını değişkenler cinsinden yazma
A(a,14a2+6)A\left(a, \frac{1}{4}a^2+6\right) ve B(b,−14b2+4)B\left(b, -\frac{1}{4}b^2+4\right)
Teğet noktalarının koordinatlarını belirlemek i��in genel formüller yazılır.
2
Türev yardımıyla teğet eğimlerini hesaplama
m1=a2m_1 = \frac{a}{2} ve m2=−b2m_2 = -\frac{b}{2}
Teğet doğrusunun eğimi, değme noktasındaki türev değerine eşittir.
3
Doğruların diklik şartını uygulama
ab=4ab = 4
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.
4
Kesişim noktasının y ekseni üzerinde olma şartını kullanma
a2+b2=8a^2 + b^2 = 8
Teğetlerin yy eksenini kestikleri noktaların ordinatları birbirine eşit olmalıdır.
5
Elde edilen denklem sisteminden teğet noktalarının apsislerinin karelerini bulma
a2=4a^2 = 4 ve b2=4b^2 = 4
a2+b2=8a^2+b^2=8 ve a2b2=16a^2b^2=16 eşitlikleri çözüldüğünde tam kare ifade elde edilir.
6
Kesişim noktasının ordinatını bulma
5
a2=4a^2=4 değeri teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinat ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, dik kesişen doğruların eğimleri ilişkisi ve analitik geometri uygulamaları.
Soru 22Soru →

f(x)=x2+5x+1f(x) = x^2 + 5x + 1 fonksiyonunun grafiğine üzerindeki x=−1x = -1 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o nokmadaki türev değerine eşit olduğundan doğru cevap 3'tür.
Verilen f(x)=x2+5x+1f(x) = x^2 + 5x + 1 fonksiyonunun türevi alındığında f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5 elde edilir. Teğet doğrusunun eğimi, eğrinin teğet noktasındaki türevine eşit olduğundan, x=−1x = -1 apsisli noktadaki teğetin eğimi m=f′(−1)m = f'(-1) olur. Buradan m=2(−1)+5=3m = 2(-1) + 5 = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=2x+5f'(x) = 2x + 5
Bir fonksiyonun grafiğine herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimini bulmak için öncelikle fonksiyonun türev kuralı elde edilmelidir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine −1-1 yazılır.
f′(−1)=2(−1)+5=3f'(-1) = 2(-1) + 5 = 3
Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasının apsisindeki türev değeridir. Bu nedenle türevde x=−1x = -1 yazılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 23Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=x3−3ax2+bx+1f(x) = x^3 - 3ax^2 + bx + 1
eğrisinin x=1x = 1 ve x=3x = 3 apsisli noktalarındaki teğetleri birbirine paraleldir.

Bu paralel doğrular arasındaki uzaklık 455\frac{4\sqrt{5}}{5} birim olduğuna göre, bb gerçel sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

b gerçel sayısının alabileceği en küçük değer 7'dir.
Teğetlerin paralel olması eğimlerinin (türevlerinin) eşit olmasını gerektirir. Bu eşitlikten a=2a = 2 bulunur. Daha sonra teğet noktaları belirlenerek iki teğet doğrusunun denklemleri genel formda yazılır. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü kullanılarak elde edilen denklem çözüldüğünde bb için 77 ve 1111 değerleri bulunur. En küçük değer sorulduğundan doğru yanıt 77 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır ve teğetlerin paralel olma koşulu kurulur.
f′(x)=3x2−6ax+bf'(x) = 3x^2 - 6ax + b elde edilir. Teğetler paralel olduğundan eğimleri eşittir, yani f′(1)=f′(3)f'(1) = f'(3) olur.
Bir eğrinin üzerindeki noktalardan çizilen teğetlerin eğimleri, o noktalardaki türev değerlerine eşittir.
2
f′(1)=f′(3)f'(1) = f'(3) eşitli��i çözülerek aa parametresi bulunur.
3(1)2−6a(1)+b=3(3)2−6a(3)+b  ⟹  3−6a=27−18a  ⟹  12a=24  ⟹  a=23(1)^2 - 6a(1) + b = 3(3)^2 - 6a(3) + b \implies 3 - 6a = 27 - 18a \implies 12a = 24 \implies a = 2 bulunur.
Teğetlerin eğim eşitliğinden bilinmeyen parametrelerden biri belirlenir.
3
a=2a = 2 değeri yerine yazılarak teğet doğrularının denklemleri oluşturulur.
Eğim m=f′(1)=b−9m = f'(1) = b - 9 olur. x=1x = 1 için teğet noktası (1,f(1))=(1,b−4)(1, f(1)) = (1, b-4)'tür. Teğet denklemi: y−(b−4)=(b−9)(x−1)  ⟹  (b−9)x−y+5=0y - (b-4) = (b-9)(x-1) \implies (b-9)x - y + 5 = 0 olur. x=3x = 3 için teğet noktası (3,f(3))=(3,3b−26)(3, f(3)) = (3, 3b-26)'dır. Teğet denklemi: y−(3b−26)=(b−9)(x−3)  ⟹  (b−9)x−y+1=0y - (3b-26) = (b-9)(x-3) \implies (b-9)x - y + 1 = 0 olur.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü kullanabilmek için her iki doğrunun genel denklemi yazılır.
4
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü uygulanarak bb değerleri bulunur ve en küçüğü seçilir.
d=∣5−1∣(b−9)2+(−1)2=4(b−9)2+1=45  ⟹  (b−9)2+1=5  ⟹  (b−9)2=4  ⟹  b−9=±2d = \frac{|5 - 1|}{\sqrt{(b-9)^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{(b-9)^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \implies (b-9)^2 + 1 = 5 \implies (b-9)^2 = 4 \implies b - 9 = \pm 2 olur. Buradan b=11b = 11 veya b=7b = 7 bulunur. En küçük değer 77 olur.
Verilen uzaklık değeri kullanılarak bb parametresinin alabileceği değerler hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu kullanılarak teğet doğrularının eğimlerinin bulunması ve analitik geometrideki paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülüyle ilişkilendirilmesi.
Soru 24Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
parabolüne dışındaki bir P(a,b)P(a, b) noktasından çizilen teğet doğruları birbirine diktir.
PP noktası
g(x)=−x2+4x+kg(x) = -x^2 + 4x + k
parabolünün tepe noktası olduğuna göre, kk kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −94-\frac{9}{4}

Cevap

k sayısının de��eri -9/4 olmalıdır.
Doğru cevap olan seçenekteki değer, parabole dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin dik kesişme şartı olan eğimler çarpımının −1-1 olması kuralı ve parabolün tepe noktası koordinatları eksiksiz uygulanarak elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 fonksiyonunun türevi alınır.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2
Parabol üzerindeki herhangi bir teğet noktasındaki teğet doğrusunun eğimini veren fonksiyonu bulmak için türev alınır.
2
Parabol üzerindeki genel bir T(t,t2−2t+3)T(t, t^2 - 2t + 3) teğet noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi yazılır.
y−(t2−2t+3)=(2t−2)(x−t)⇒y=(2t−2)x−t2+3y - (t^2 - 2t + 3) = (2t - 2)(x - t) \Rightarrow y = (2t - 2)x - t^2 + 3
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü uygulanarak teğet doğrusunun genel denklemi oluşturulur.
3
Teğet doğrusunun dışındaki P(a,b)P(a, b) noktasından geçtiği bilgisi kullanılarak tt değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
b=(2t−2)a−t2+3⇒t2−2at+2a+b−3=0b = (2t - 2)a - t^2 + 3 \Rightarrow t^2 - 2at + 2a + b - 3 = 0
P(a,b)P(a, b) noktası teğet doğrusunun üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.
4
Çizilen teğet doğrularının birbirine dik olması koşulu kökler cinsinden ifade edilir.
m1⋅m2=−1⇒(2t1−2)(2t2−2)=−1⇒4(t1t2−(t1+t2)+1)=−1m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow (2t_1 - 2)(2t_2 - 2) = -1 \Rightarrow 4(t_1 t_2 - (t_1 + t_2) + 1) = -1
Teğet noktalarının apsisleri t1t_1 ve t2t_2, teğetlerin eğimleri ise m1=2t1−2m_1 = 2t_1 - 2 ve m2=2t2−2m_2 = 2t_2 - 2 olup, dik doğruların eğimler çarpımı −1-1'dir.
5
Elde edilen tt değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemden kökler toplamı ve kökler çarpımı çekilerek diklik bağıntısında yerine yazılır ve bb değeri bulunur.
t1+t2=2at_1 + t_2 = 2a ve t1t2=2a+b−3t_1 t_2 = 2a + b - 3 değerleri yerine yazıldığında: 4(2a+b−3−2a+1)=−1⇒4(b−2)=−1⇒b=744(2a + b - 3 - 2a + 1) = -1 \Rightarrow 4(b - 2) = -1 \Rightarrow b = \frac{7}{4}
İkinci dereceden denklemin kök-katsayı ilişkileri kullanılarak teğetlerin geçtiği noktanın ordinatı bb doğrudan hesaplanır.
6
P(a,b)P(a, b) noktasının g(x)=−x2+4x+kg(x) = -x^2 + 4x + k parabolünün tepe noktası olduğu bilgisi kullanılarak kk değeri hesaplanır.
r=−42(−1)=2⇒Pr = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \Rightarrow P noktasının apsisi a=2a = 2'dir. Tepe noktasının ordinatı g(2)=b=74⇒−(2)2+4(2)+k=74⇒4+k=74⇒k=−94g(2) = b = \frac{7}{4} \Rightarrow -(2)^2 + 4(2) + k = \frac{7}{4} \Rightarrow 4 + k = \frac{7}{4} \Rightarrow k = -\frac{9}{4}
PP noktasının koordinatları, tepe noktasının koordinat formülleri kullanılarak g(x)g(x) parabolüyle eşleştirilir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemleri, teğetlerin dik kesişmesi koşulu ve parabolün tepe noktası ilişkisi.
Soru 25Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+5x+cf(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + c
fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet doğruları arasında eğimi en küçük olan doğrunun denklemi y=2x−3y = 2x - 3 olarak veriliyor.

Buna göre, cc gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İstenen c gerçel sayısı -4 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 olarak elde edilir. Bu ifadenin en küçük değeri, tepe noktası apsisi olan x=1x = 1 noktasında gerçekleşir. Teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) olup, bu nokta aynı zamanda y=2x−3y = 2x - 3 teğet doğrusu üzerinde bulunduğundan ordinatı y=2(1)−3=−1y = 2(1) - 3 = -1 olur. Grafiğin de bu noktadan geçmesi gerektiğinden f(1)=−1f(1) = -1 eşitliği kurulur ve 3+c=−13 + c = -1 den c=−4c = -4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak herhangi bir xx noktasındaki teğetinin eğimini veren fonksiyonu bulun.
f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
2
Teğet eğiminin en küçük olduğu noktayı bulmak için f′(x)f'(x) parabolünün tepe noktasını hesaplayın.
r=−−62⋅3=1r = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1
f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiğinden, en küçük değerini tepe noktasında (x=rx = r) alır.
3
Eğimi en küçük olan teğet doğrusunun değme noktasının apsisi x=1x = 1 olduğuna göre, bu noktadaki teğet eğimini bulun.
m=f′(1)=3(1)2−6(1)+5=2m = f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 2
Bu eğim değeri, verilen y=2x−3y = 2x - 3 teğet doğrusunun eğimiyle (yani 2 ile) de uyuşmaktadır.
4
Değme noktasının yy koordinatını bulmak için x=1x = 1 değerini teğet doğrusunun denkleminde yerine yazın.
y=2(1)−3=−1y = 2(1) - 3 = -1
Teğet doğrusu ile eğri, değme noktasında çakışırlar; bu nedenle değme noktası olan (1,−1)(1, -1) her iki denklemi de sağlar.
5
(1,−1)(1, -1) noktası f(x)f(x) eğrisi üzerinde olduğundan, bu noktayı fonksiyon denkleminde yerine yazarak cc değerini çözün.
f(1)=−1  ⟹  13−3(1)2+5(1)+c=−1  ⟹  3+c=−1  ⟹  c=−4f(1) = -1 \implies 1^3 - 3(1)^2 + 5(1) + c = -1 \implies 3 + c = -1 \implies c = -4
Fonksiyonun kuralını sağlayan değme noktası yardımıyla bilinmeyen cc sabiti bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Eğim fonksiyonunun minimum değeri parabolün tepe noktası yardımıyla bulunur.
Soru 26Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−ax+2f(x) = x^2 - ax + 2
g(x)=x3−3x2+bx+1g(x) = x^3 - 3x^2 + bx + 1
fonksiyonları veriliyor. ff fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu ile gg fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Aranan a⋅ba \cdot b çarpımının değeri 3 olarak bulunur.
Verilen iki doğrunun çakışık olması, eğimlerinin ve y-eksenini kestikleri noktaların aynı olmasını gerektirir. Eğimlerin eşitliğinden 2−a=−1/b2 - a = -1/b elde edilir. y-kesim noktalarının eşitliğinden ise 2b−3+2/b=12b - 3 + 2/b = 1 denklemi çözülerek b=1b=1 bulunur. Bu değer eğim eşitliğinde yerine yazıldığında a=3a=3 bulunur ve çarpımları 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki teğet denklemini elde etmek.
y=(2−a)x+1y = (2 - a)x + 1 doğrusu.
Teğet doğrusunun denklemi y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) formülü kullanılarak bulunur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki normal denklemini elde etmek.
y=−1bx+(2b−3+2b)y = -\frac{1}{b}x + \left(2b - 3 + \frac{2}{b}\right) doğrusu.
Normal doğrusunun eğimi, teğet doğrusunun eğiminin çarpmaya göre tersinin ters işaretlisidir (mn=−1/mtm_n = -1 / m_t).
3
Doğruların çakışık olması şartını kullanarak denklem sistemini çözmek.
a=3a = 3 ve b=1b = 1 değerleri.
İki doğrunun çakışık olmas�� için eğimleri ve sabit terimleri (y-kesim noktaları) eşit olmalıdır.
4
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
3
Soru kökünde istenen ifade a⋅ba \cdot b çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin teğet ve normal doğrularının denklemlerinin türev yardımıyla bulunması ve doğruların analitik incelenmesi.

Alternatif Yöntem

Teğet ve normal doğrularının çakışık olması, aslında her iki doğrunun da aynı doğruyu temsil ettiği anlamına gelir. Bu doğrunun y=mx+ny = mx + n formundaki gösterimi düşünüldüğünde, f′(1)=mf'(1) = m ve −1/g′(2)=m-1/g'(2) = m eşitliği kurulabilir. Aynı zamanda, doğrunun üzerindeki teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) ve normal noktası (2,g(2))(2, g(2)) bu doğrunun denklemini sağlamalıdır. Buradan hareketle eğim formülünden m=g(2)−f(1)2−1m = \frac{g(2) - f(1)}{2 - 1} yazılarak da çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 27Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2f(x) = x^2 parabolüne dışındaki bir P(1,−3)P(1, -3) noktasından çizilen teğet doğrularının parabole değme noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor. Buna göre, AA ve BB noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Değme noktalarından geçen doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.
Teğet değme noktaları olan A(3, 9) ve B(-1, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemi y = 2x + 3 olup y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir teğet noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla ifade etmek.
Teğet noktası T(t,t2)T(t, t^2) olsun. Fonksiyonun türevi f′(x)=2xf'(x) = 2x olduğundan bu noktadaki teğet eğimi m=2tm = 2t olur. Teğet doğrusunun denklemi: y−t2=2t(x−t)⇒y=2tx−t2y - t^2 = 2t(x - t) \Rightarrow y = 2tx - t^2 olarak bulunur.
Türevin geometrik yorumu gereği, teğet doğrusunun eğimi o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Teğet doğrusunun dışındaki P(1,−3)P(1, -3) noktasından geçtiğini kullanarak teğet noktalarının apsislerini bulmak.
−3=2t(1)−t2⇒t2−2t−3=0⇒(t−3)(t+1)=0-3 = 2t(1) - t^2 \Rightarrow t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 1) = 0 denkleminden t1=3t_1 = 3 ve t2=−1t_2 = -1 bulunur.
P(1,−3)P(1, -3) noktası teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.
3
Teğet değme noktaları olan AA ve BB noktalarının koordinatlarını hesaplamak.
t1=3t_1 = 3 için A(3,9)A(3, 9) ve t2=−1t_2 = -1 için B(−1,1)B(-1, 1) elde edilir.
Apsis değerleri f(x)=x2f(x) = x^2 kuralında yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
4
A(3,9)A(3, 9) ve B(−1,1)B(-1, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulup y-eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplamak.
Doğrunun eğimi mAB=9−13−(−1)=2m_{AB} = \frac{9 - 1}{3 - (-1)} = 2 olup denklemi y−1=2(x+1)⇒y=2x+3y - 1 = 2(x + 1) \Rightarrow y = 2x + 3 olur. x=0x = 0 için ordinat y=3y = 3 olarak bulunur.
İki noktası bilinen doğrunun denklemi yazıldıktan sonra y-eksenini kestiği noktayı bulmak için apsis sıfır alınır.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal Denklemleri)

Alternatif Yöntem

Pratik Yol (Kutup Doğrusu): y = x^2 parabolüne dışındaki bir P(x0, y0) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarından geçen doğrunun (kutup doğrusu) denklemi (y + y0) / 2 = x * x0 formülü ile bulunur. P(1, -3) noktası için bu denklem (y - 3) / 2 = x * 1 => y = 2x + 3 olur. Bu doğrunun y-keseni x = 0 için y = 3 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 28Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−ax2+4xf(x) = x^3 - ax^2 + 4x
eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğet doğrusu ile
g(x)=x2−bx+cg(x) = x^2 - bx + c
parabolünün x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu çakışıktır.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

a + b + c toplamının değeri 17'dir.
Verilen f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusu ile g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun çakışık (aynı doğru) olması, bu iki doğrunun eğimlerinin eşit olmasını ve her iki noktanın da bu doğru üzerinde bulunmasını gerektirir. Buradan elde edilen denklemler çözüldüğünde a = 3, b = 5 ve c = 9 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin toplamı ise 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğimini ve denklemini a cinsinden bulma.
f'(1) = 7 - 2a (eğim) ve teğet noktası P(1, 5-a). Teğet doğrusu: y - (5-a) = (7-2a)(x-1)
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
g(x) parabolünün x = 2 noktasındaki normal doğrusunun eğimini b cinsinden ve normal noktasını b ile c cinsinden bulma.
g'(2) = 4 - b (teğet eğimi), normal doğrusunun eğimi m_N = -1/(4-b) ve normal noktası Q(2, 4-2b+c).
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı -1'dir.
3
Doğruların çakışık olması şartını kullanarak a, b ve c bilinmeyenlerini çözme.
Eğimlerin eşitliğinden 7 - 2a = -1/(4-b) elde edilir. Ortak eğimin 1 olması durumunda a = 3, b = 5 bulunur. Ortak doğru denklemi y = x + 1 olur. Q(2, g(2)) noktası bu doğru üzerinde olduğundan g(2) = 3 olmalıdır. Buradan c = 9 bulunur.
Çakışık doğruların eğimleri ve geçtikleri noktalar aynı olmalıdır.
4
a, b ve c değerlerinin toplamını hesaplama.
a + b + c = 3 + 5 + 9 = 17
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının denklemleri ile bu doğruların eğimleri arasındaki ilişki (m_teget * m_normal = -1).
Soru 29Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x+1x−1f(x) = \frac{x+1}{x-1}
fonksiyonunun x=2x = 2 apsisli noktasındaki normal doğrusu,
g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3
parabolüne teğettir.

Buna göre, kk gerçel sayısın��n alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

−1-1 değeri doğrudur.
Normal doğrusunun denklemi y=12x+2y = \frac{1}{2}x + 2 olarak elde edilir. Bu doğrunun g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3 parabolü ile teğet olması, ortak çözüm denklemi olan x2−(4k+2)x+4=0x^2 - (4k+2)x + 4 = 0 ifadesinin diskriminantının sıfır olmasını gerektirir. Buradan elde edilen k=12k = \frac{1}{2} ve k=−32k = -\frac{3}{2} değerlerinin toplamı −1-1 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyon üzerindeki teğet ve normal noktasının koordinatlarını bulma.
x=2x = 2 için f(2)=2+12−1=3f(2) = \frac{2+1}{2-1} = 3 bulunur. Dolayısıyla normal doğrusunun geçtiği nokta P(2,3)P(2, 3) koordinatlarına sahiptir.
Normal doğrusunun denklemini yazabilmek için geçtiği noktayı belirlememiz gerekir.
2
Türev yard��mıyla teğet ve normal doğrularının eğimlerini hesaplama.
f′(x)=1⋅(x−1)−(x+1)⋅1(x−1)2=−2(x−1)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} olarak bulunur. x=2x=2 yaz��ldığında teğet eğimi mt=f′(2)=−2m_t = f'(2) = -2 olur. Teğet ile normal birbirine dik olduğundan normal eğimi mn=−1mt=12m_n = \frac{-1}{m_t} = \frac{1}{2} elde edilir.
Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi o noktadaki türev değerine eşittir; normal doğrusunun eğimi ise teğet eğimiyle çarpımı −1-1 olacak şekilde bulunur.
3
Normal doğrusunun denklemini oluşturma.
Eğimi mn=12m_n = \frac{1}{2} olan ve P(2,3)P(2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi: y−3=12(x−2)⇒y=12x+2y - 3 = \frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 2 olarak elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak normal doğrusunun denklemi bulunur.
4
Normal doğrusunun parabole teğetlik şartını uygulama.
Normal doğrusu ile g(x)=14x2−kx+3g(x) = \frac{1}{4}x^2 - kx + 3 parabolü teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır:
14x2−kx+3=12x+2⇒14x2−(k+12)x+1=0\frac{1}{4}x^2 - kx + 3 = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow \frac{1}{4}x^2 - \left(k + \frac{1}{2}\right)x + 1 = 0
Denklemi 44 ile genişlettiğimizde:
x2−(4k+2)x+4=0x^2 - (4k + 2)x + 4 = 0
Teğetlik şartı için Δ=0\Delta = 0 olmalıdır:
Δ=[−(4k+2)]2−4⋅1⋅4=0⇒(4k+2)2=16\Delta = [-(4k + 2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0 \Rightarrow (4k + 2)^2 = 16
Buradan:
4k+2=4⇒k=124k + 2 = 4 \Rightarrow k = \frac{1}{2}
veya
4k+2=−4⇒k=−324k + 2 = -4 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}
değerleri bulunur.
Bir doğru ile bir parabolün birbirine teğet olması, ortak kesim denkleminin çift katlı köke sahip olmasını, yani diskriminantının sıfıra eşit olmasını gerektirir.
5
kk değerlerinin toplamını hesaplama.
Alınabilecek değerlerin toplamı: 12+(−32)=−1\frac{1}{2} + \left(-\frac{3}{2}\right) = -1 olarak bulunur.
Soruda kk sayısının alabileceği tüm gerçel değerlerin toplamı istendiği için hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktadan çizilen normal doğrusunun denklemini yazma ve bu doğrunun bir parabole teğet olması durumunu ortak çözüm denkleminin diskriminantı yardımıyla analiz etme.
Soru 30Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x eğrisine x=ax = a ve x=bx = b (a≠ba \neq b) apsisli noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir. Bu paralel doğrular arasındaki uzaklık 252\sqrt{5} birim olduğuna göre, 4⋅a⋅b4 \cdot a \cdot b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Doğru cevap -5'tir.
Türev fonksiyonu yardımıyla teğetlerin paralel olma koşulu kullanılarak teğet noktalarının apsisleri arasında b = -a ilişkisi bulunmuştur. Bu noktalar üzerinden çizilen teğet doğrularının genel denklemleri oluşturulmuş ve paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü uygulanarak a^2 = 5/4 değerine ulaşılmıştır. Buradan, a * b = -5/4 ve 4 * a * b = -5 sonucu elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrularının paralel olmasından yararlanarak a ve b arasındaki bağıntıyı bulun.
f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 e��rinin türev fonksiyonudur. x=ax = a ve x=bx = b noktalarındaki teğet doğruları paralel olduğundan eğimleri eşittir: f′(a)=f′(b)⇒3a2−3=3b2−3⇒a2=b2f'(a) = f'(b) \Rightarrow 3a^2 - 3 = 3b^2 - 3 \Rightarrow a^2 = b^2. Soruda a≠ba \neq b verildiği için b=−ab = -a olmalıdır.
Paralel teğet doğrularının eğimleri birbirine eşittir.
2
Teğet doğrularının denklemlerini genel formda yazın.
x=ax = a noktasındaki teğet doğrusunun eğimi m=3a2−3m = 3a^2 - 3 ve geçtiği nokta (a,a3−3a)(a, a^3 - 3a)'dır. Doğru denklemi: y−(a3−3a)=(3a2−3)(x−a)⇒(3a2−3)x−y−2a3=0y - (a^3 - 3a) = (3a^2 - 3)(x - a) \Rightarrow (3a^2 - 3)x - y - 2a^3 = 0 olarak elde edilir. Benzer şekilde, x=−ax = -a noktasındaki teğet doğrusunun denklemi de (3a2−3)x−y+2a3=0(3a^2 - 3)x - y + 2a^3 = 0 olur.
Doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayabilmek için doğru denklemlerinin genel formda yazılması gerekir.
3
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak a değerini hesaplayın.
İki paralel doğru arasındaki uzaklık d=∣2a3−(−2a3)∣(3a2−3)2+(−1)2=4∣a∣39a4−18a2+10d = \frac{|2a^3 - (-2a^3)|}{\sqrt{(3a^2 - 3)^2 + (-1)^2}} = \frac{4|a|^3}{\sqrt{9a^4 - 18a^2 + 10}} formülü ile bulunur. Bu uzaklık 252\sqrt{5} birim olarak verilmiştir. Her iki tarafın karesi alınarak düzenleme yapıldığında: 16a69a4−18a2+10=20⇒4a6−45a4+90a2−50=0\frac{16a^6}{9a^4 - 18a^2 + 10} = 20 \Rightarrow 4a^6 - 45a^4 + 90a^2 - 50 = 0 denklemi elde edilir. u=a2u = a^2 dönüşümü ile 4u3−45u2+90u−50=04u^3 - 45u^2 + 90u - 50 = 0 kübik denklemi yazılır. Denklemin köklerinden biri u=54u = \frac{5}{4} olarak bulunur.
Teğet noktalarının apsislerinin karesini belirlemek.
4
İstenen 4 * a * b ifadesini hesaplayın.
a2=54a^2 = \frac{5}{4} ve b=−ab = -a olduğundan, a⋅b=−a2=−54a \cdot b = -a^2 = -\frac{5}{4} bulunur. Buradan 4⋅a⋅b=4⋅(−54)=−54 \cdot a \cdot b = 4 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -5 elde edilir.
Soru kökündeki ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumunda teğet doğrusunun denkleminin yazılması, paralel teğetlerin eğim eşitliği ve analitik düzlemde paralel doğrular arasındaki uzaklık bağıntısı.
Soru 31Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+x+2f(x) = x^2 + x + 2
g(x)=−x2+3x+1g(x) = -x^2 + 3x + 1

eğrilerinin her ikisine de teğet olan doğrulardan birinin yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak teğet doğrularından birinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2 olabilir.
Ortak teğet doğrularının denklemleri y=x+2y = x + 2 ve y=3x+1y = 3x + 1 olarak elde edilir. Bu doğruların y-eksenini kestiği noktaların ordinatları sırasıyla 2 ve 1'dir. Seçeneklerde verilen 2 değeri, bu ortak teğetlerden birinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak teğet doğrusunun denklemini y=mx+ny = mx + n olarak kabul edip, bu doğrunun f(x)=x2+x+2f(x) = x^2 + x + 2 parabolüne teğet olma koşulunu yazalım.
x2+(1−m)x+2−n=0x^2 + (1-m)x + 2-n = 0 denkleminin diskriminantı Δ1=0\Delta_1 = 0 olmalıdır. Buradan 4n=−m2+2m+74n = -m^2 + 2m + 7 elde edilir.
Bir doğrunun parabole teğet olması için ortak çözüm denkleminin çift katlı kökü olmalı, yani diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır.
2
y=mx+ny = mx + n doğrunun g(x)=−x2+3x+1g(x) = -x^2 + 3x + 1 parabolüne teğet olma koşulunu yazalım.
x2+(m−3)x+n−1=0x^2 + (m-3)x + n-1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ2=0\Delta_2 = 0 olmalıdır. Buradan 4n=m2−6m+134n = m^2 - 6m + 13 elde edilir.
Aynı teğet doğrusunun ikinci parabole de teğet olması için bu ortak çözümün de diskriminantı sıfır olmalıdır.
3
Elde edilen iki 4n4n ifadesini birbirine eşitleyerek ortak teğet doğrularının eğimleri olan mm değerlerini bulalım.
−m2+2m+7=m2−6m+13  ⟹  2m2−8m+6=0  ⟹  m2−4m+3=0  ⟹  m=1-m^2 + 2m + 7 = m^2 - 6m + 13 \implies 2m^2 - 8m + 6 = 0 \implies m^2 - 4m + 3 = 0 \implies m = 1 veya m=3m = 3 bulunur.
Her iki teğet koşulunu da sağlayan ortak eğim değerlerini bulmak amacıyla denklemler ortak çözülür.
4
Bulunan mm değerlerini kullanarak teğet doğrularının y-eksenini kestiği noktaların ordinatları olan nn değerlerini hesaplayalım.
m=1m = 1 için 4n=−(1)2+2(1)+7=8  ⟹  n=24n = -(1)^2 + 2(1) + 7 = 8 \implies n = 2 bulunur. m=3m = 3 için 4n=−(3)2+2(3)+7=4  ⟹  n=14n = -(3)^2 + 2(3) + 7 = 4 \implies n = 1 bulunur.
nn değeri, doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. Seçeneklerde 2 değeri yer almaktadır.

Anahtar Kavram

İki eğrinin ortak teğet doğrularının bulunması ve türevin geometrik yorumu
Soru 32Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx parabolünün üzerindeki A(1,3)A(1, 3) noktasından çizilen teğet doğrusu xx-eksenini x=−2x = -2 noktasında kesmektedir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Doğru cevap -10'dur.
Teğet doğrusunun geçtiği bilinen iki nokta olan (1, 3) ve (-2, 0) kullanılarak doğrunun eğimi 1 olarak hesaplanır. Fonksiyonun x = 1 noktasındaki türevi f'(1) = 2a + b bu eğime eşitlenerek 2a + b = 1 denklemi bulunur. Ayrıca A(1, 3) noktası fonksiyonun üzerinde olduğu için a + b = 3 eşitliği sağlanır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a = -2 ve b = 5 elde edilir, çarpımları ise -10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A(1, 3) noktasının parabol üzerinde bulunması bilgisini kullanmak.
f(1)=a(1)2+b(1)=a+b=3f(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b = 3 denklemi elde edilir.
Bir eğri üzerindeki nokta, o eğrinin denklemini sağlamak zorundadır.
2
Teğet doğrusunun eğimini iki noktası bilinen doğrunun eğim formülüyle hesaplamak.
Teğet doğrusu A(1,3)A(1, 3) ve (−2,0)(-2, 0) noktalarından geçtiği için eğimi m=3−01−(−2)=1m = \frac{3 - 0}{1 - (-2)} = 1 olur.
Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin e��imini belirlemek için doğrunun geçtiği diğer nokta olan xx-eksenini kestiği nokta kullanılır.
3
Fonksiyonun türevini alıp teğet noktasındaki eğime eşitlemek.
f′(x)=2ax+b⇒f′(1)=2a+b=1f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(1) = 2a + b = 1 denklemi elde edilir.
Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek ve parametrelerin çarpımını bulmak.
a+b=3a + b = 3 ve 2a+b=12a + b = 1 denklemlerinden a=−2a = -2 ve b=5b = 5 bulunur. Buradan a⋅b=−10a \cdot b = -10 elde edilir.
Bilinmeyen aa ve bb değerlerini bulup bizden istenen çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Soru 33Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−2x2+3f(x) = x^3 - 2x^2 + 3
eğrisinin A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir B(b,f(b))B(b, f(b)) noktasında dik kesmektedir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.5

Cevap

Teğet doğrusunun eğimi -0.5'tir.
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri kökler toplamı ilişkisinden b=2−2ab = 2-2a olarak bulunur. AA noktasındaki teğet eğimi m=3a2−4am = 3a^2 - 4a iken, BB noktasındaki türev f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m+1) olur. Doğrunun BB noktasında eğriyi dik kesmesi m⋅f′(b)=−1m \cdot f'(b) = -1 şartını gerektirir. Bu denklemin çözümü (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 olup, teğet doğrusunun eğimi -0.5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
b=2−2ab = 2 - 2a
Teğet doğrusunun denklemi ile eğrinin denkleminin ortak çözümünden elde edilen kübik denklemin kökleri aa (çift katlı) ve bb olup, kökler toplamı formülünden 2a+b=22a + b = 2 olur.
2
AA noktasındaki teğet eğimini aa parametresine bağlı olarak yazmak.
m=3a2−4am = 3a^2 - 4a
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
BB noktasındaki türev değerini mm cinsinden ifade etmek.
f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m + 1)
b=2−2ab = 2 - 2a değeri f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x fonksiyonunda yerine yazılarak sadeleştirme yapılır.
4
Teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımının −1-1 olmasından yararlanarak mm değerini bulmak.
m=−0.5m = -0.5
f′(a)⋅f′(b)=−1⇒m⋅4(m+1)=−1f'(a) \cdot f'(b) = -1 \Rightarrow m \cdot 4(m+1) = -1 denklemi çözüldüğünde elde edilen (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 tam kare ifadesinden tek bir reel mm değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu, teğet ve normal doğrularının eğimleri arasındaki ilişki ve eğrilerin kesişim noktalarının analizi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 34Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2
parabolünün üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusu,
y+3x−5=0y + 3x - 5 = 0
doğrusuna diktir.

Buna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 139\frac{13}{9}

Cevap

Teğet noktasının koordinatları toplamı olan 139\frac{13}{9} seçeneğidir.
Teğet doğrusunun eğimi, dik olduğu doğrunun eğiminin negatif tersidir. Buradan teğet noktasının apsisi x0=53x_0 = \frac{5}{3} ve ordinatı y0=−29y_0 = -\frac{2}{9} olarak bulunur. Koordinatlar toplamı 139\frac{13}{9} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini bulunuz.
y+3x−5=0  ⟹  y=−3x+5y + 3x - 5 = 0 \implies y = -3x + 5 olduğundan bu doğrunun eğimi m=−3m = -3 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun bu doğruya dik olduğu bilgisiyle teğet doğrusunun eğimini bulmak için.
2
Teğet doğrusunun eğimini (mtm_t) hesaplayınız.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan, mt⋅(−3)=−1  ⟹  mt=13m_t \cdot (-3) = -1 \implies m_t = \frac{1}{3} elde edilir.
Bir noktadaki türev değerinin o noktadaki teğetin eğimine eşit olması kuralını uygulamak için.
3
Türev alma kurallarını kullanarak teğet noktasının apsisini (x0x_0) bulunuz.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 olup, f′(x0)=mt  ⟹  2x0−3=13  ⟹  2x0=103  ⟹  x0=53f'(x_0) = m_t \implies 2x_0 - 3 = \frac{1}{3} \implies 2x_0 = \frac{10}{3} \implies x_0 = \frac{5}{3} bulunur.
Teğet noktasının parabol üzerindeki konumunu belirlemek için.
4
Teğet noktasının ordinatını (y0y_0) ve koordinatları toplamını hesaplayınız.
y0=f(53)=(53)2−3(53)+2=259−5+2=−29y_0 = f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 3\left(\frac{5}{3}\right) + 2 = \frac{25}{9} - 5 + 2 = -\frac{2}{9} bulunur. Buradan koordinatlar toplamı: x0+y0=53−29=15−29=139x_0 + y_0 = \frac{5}{3} - \frac{2}{9} = \frac{15 - 2}{9} = \frac{13}{9} elde edilir.
İstenen toplamı bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir. Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.
Soru 35Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−6x2+10x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x - 4
eğrisinin A(1,f(1))A(1, f(1)) noktasındaki normal doğrusu, bu eğriyi AA noktasından farklı, apsisleri xB<xCx_B < x_C olan BB ve CC noktalarında kesmektedir.

Buna göre, eğrinin CC noktasındaki teğetinin eğimi ile BB noktasındaki normalinin eğiminin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Eğrinin CC noktasındaki teğetinin eğimi ile BB noktasındaki normalinin eğiminin çarpımı 12\frac{1}{2}'dir.
Doğru seçenekte sunulan 1/2 değeri, C noktasındaki teğetin eğimi olan 1 ile B noktasındaki normalin eğimi olan 1/2'nin çarpılmasıyla elde edilmiştir. Bu değerler, eğrinin ilgili noktalardaki türev değerlerinin diklik kuralı (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1) ile işlenmesi sonucu doğru şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
AA noktasının koordinatlarını ve fonksiyonun bu noktadaki türev değerini hesaplayın.
f(1)=13−6(1)2+10(1)−4=1f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 10(1) - 4 = 1 olduğundan teğet noktası A(1,1)A(1, 1)'dir. f′(x)=3x2−12x+10f'(x) = 3x^2 - 12x + 10 türev fonksiyonundan f′(1)=1f'(1) = 1 bulunur.
Normal doğrusunun eğimini bulabilmek için teğet noktasındaki türev değerine ihtiyaç duyulur.
2
A(1,1)A(1, 1) noktasındaki normal doğrusunun denklemini yazın.
Normal doğrusunun eğimi mn=−1f′(1)=−1m_n = -\frac{1}{f'(1)} = -1 olur. Eğimi −1-1 olan ve A(1,1)A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi y−1=−1(x−1)  ⟹  y=−x+2y - 1 = -1(x - 1) \implies y = -x + 2 olarak elde edilir.
Eğriyi kesen diğer noktaları bulmak için normal doğrusunun denklemi gereklidir.
3
Normal doğrusu ile eğrinin ortak çözümünü yaparak BB ve CC noktalarının apsislerini belirleyin.
x3−6x2+10x−4=−x+2  ⟹  x3−6x2+11x−6=0x^3 - 6x^2 + 10x - 4 = -x + 2 \implies x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (x−1)(x−2)(x−3)=0(x-1)(x-2)(x-3) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Apsisler xA=1x_A = 1, xB=2x_B = 2 ve xC=3x_C = 3 olur (xB<xCx_B < x_C).
Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer iki noktanın apsislerini bulmak için ortak çözüm yapılır.
4
C(3,f(3))C(3, f(3)) noktasındaki teğet doğrusunun eğimini bulun.
CC noktasındaki teğet eğimi f′(3)=3(3)2−12(3)+10=1f'(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 10 = 1 olarak hesaplanır.
İstenen çarpımın ilk bileşeni olan teğet eğimini bulmak için türev fonksiyonunda xC=3x_C = 3 yazılır.
5
B(2,f(2))B(2, f(2)) noktasındaki normal doğrusunun eğimini bulun.
BB noktasındaki teğet eğimi f′(2)=3(2)2−12(2)+10=−2f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 10 = -2 olduğundan, normal doğrusunun eğimi mn,B=−1f′(2)=12m_{n, B} = -\frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{2} olur.
İstenen çarpımın ikinci bileşeni olan normal doğrusu eğimini bulmak için diklik koşulu kullanılır.
6
Bulunan eğim değerlerini çarpın.
f′(3)×mn,B=1×12=12f'(3) \times m_{n, B} = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} bulunur.
Soru kökünde bizden istenen çarpım değerini elde etmek için hesaplanan iki eğim çarpılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ile normal doğrularının eğimleri çarpımı -1'dir. Normal doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktalardaki teğet ve normal eğimleri, o noktalardaki türev değerleri yardımıyla bulunur.
Soru 36Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 parabolüne dışındaki P(0,−1)P(0, -1) noktasından çizilen teğet doğrularının parabole değme noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri PP, AA ve BB noktaları olan PABPAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan PABPAB üçgeninin alanı 16 birimkaredir.
Parabolün dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin değme noktaları, teğet doğrusu denkleminin P(0,−1)P(0, -1) noktasını sağlaması koşuluyla belirlenir. Bu koşuldan elde edilen A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları ile P(0,−1)P(0, -1) noktasının oluşturduğu üçgenin alanı koordinat geometrisi kurallarıyla hesaplandığında 1616 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğim ifadesini belirlemek.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan, T(x0,y0)T(x_0, y_0) noktasındaki teğet eğimi m=2x0−2m = 2x_0 - 2 olarak bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazmak ve dışarıdaki P(0,−1)P(0, -1) noktasını bu denklemde yerine koyarak değme noktalarının apsislerini bulmak.
x02=4x_0^2 = 4 denklemi elde edilir ve buradan x0=2x_0 = 2 veya x0=−2x_0 = -2 bulunur.
Teğet doğrusu P(0,−1)P(0, -1) noktasından geçti��i için bu noktanın koordinatları teğet denklemini sağlamalıdır.
3
Bulunan apsis değerlerini parabol denkleminde yerine yazarak değme noktaları olan AA ve BB noktalarının koordinatlarını belirlemek.
A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları elde edilir.
Değme noktaları parabolün üzerinde yer aldığı için parabol denklemini sağlar.
4
Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan üçgenin alanını hesaplamak.
Alan 1616 birimkare olarak bulunur.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı determinant yöntemi veya taban ve yükseklik hesaplanarak bulunabilir.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetler)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 37Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir P(a,a2)P(a, a^2) noktasından çizilen teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta TT, normal doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta ise NN olarak adlandırılıyor.

PP noktası koordinat düzleminin birinci bölgesinde yer almaktadır.

TT ve NN noktaları arasındaki uzaklık 172\frac{17}{2} birim olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabol üzerindeki birinci bölgede bulunan noktanın apsisi 2'dir.
Doğru cevap 2'dir. y=x2y = x^2 parabolünün türevi y′=2xy' = 2x olduğundan teğet eğimi 2a2a, normal eğimi ise −12a-\frac{1}{2a} olur. Bu doğruların denkleminden yy-kesenleri sırasıyla T(0,−a2)T(0, -a^2) ve N(0,a2+12)N(0, a^2 + \frac{1}{2}) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık 2a2+12=172  ⟹  2a2=8  ⟹  a2=42a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 elde edilir. Birinci bölgede a>0a > 0 olduğu için a=2a = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet doğrusunun eğimini belirleyiniz.
y′=2x  ⟹  mt=2ay' = 2x \implies m_t = 2a
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazıp yy-eksenini kestiği TT noktasının koordinatlarını bulunuz.
y−a2=2a(x−a)  ⟹  y=2ax−a2  ⟹  T(0,−a2)y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2 \implies T(0, -a^2)
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Doğrunun yy-eksenini kestiği noktayı bulmak için x=0x = 0 yazılır.
3
Normal doğrusunun eğimini ve denklemini bulup yy-eksenini kestiği NN noktasının koordinatlarını hesaplayınız.
mn=−12a  ⟹  y−a2=−12a(x−a)  ⟹  N(0,a2+12)m_n = -\frac{1}{2a} \implies y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) \implies N\left(0, a^2 + \frac{1}{2}\right)
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir. Buradan normal doğrusunun eğimi bulunarak denklem yazılır ve x=0x = 0 için yy-keseni belirlenir.
4
TT ve NN noktaları arasındaki uzaklığı veren denklemi kurarak aa değerini bulunuz.
∣yN−yT∣=2a2+12=172  ⟹  2a2=8  ⟹  a2=4  ⟹  a=2|y_N - y_T| = 2a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = 2
yy-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir. PP noktası birinci bölgede yer aldığından a>0a > 0 olmalıdır, bu yüzden pozitif kök seçilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu yardımıyla teğet ve normal doğrularının denklemlerinin yazılması ve bu doğruların eksenleri kestiği noktaların bulunması.
Soru 38Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+af(x) = x^2 + a
g(x)=x3−3x2+4x+bg(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + b
eğrileri P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasında birbirine teğettir.

Bu eğrilerin ortak teğet doğrusunun denklemi y=4x−5y = 4x - 5 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Ortak teğet noktası belirlenip fonksiyonlarda yerine yazıldığında a=−1a = -1 ve b=−1b = -1 bulunur, buradan a+b=−2a + b = -2 elde edilir.
Ortak teğet doğrusunun eğimi 44 olup, f′(x0)=4f'(x_0) = 4 eşitliğinden teğet noktasının apsisi x0=2x_0 = 2 olarak bulunur. Bu nokta teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğruyu sağlar ve y0=3y_0 = 3 elde edilir. P(2,3)P(2,3) noktası her iki eğri denklemini de sağladığından a=−1a = -1 ve b=−1b = -1 bulunur, toplamları ise −2-2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak teğet doğrusunun eğimini belirleyip fonksiyonların teğet noktasındaki türevleriyle ilişkilendirelim.
Teğet doğrusu y=4x−5y = 4x - 5 olduğundan eğim m=4m = 4'tür. Dolayısıyla, f′(x0)=4f'(x_0) = 4 ve g′(x0)=4g'(x_0) = 4 olmalıdır.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak teğet noktasının apsisini (x0x_0) hesaplayalım.
f′(x)=2x⇒2x0=4⇒x0=2f'(x) = 2x \Rightarrow 2x_0 = 4 \Rightarrow x_0 = 2
Teğet noktasının apsisini bulmak için fonksiyonun türevini teğetin eğimine eşitleriz.
3
x0=2x_0 = 2 apsis değerinin g(x)g(x) eğrisi için de aynı eğimi verip vermediğini doğrulayalım.
g′(x)=3x2−6x+4⇒g′(2)=3(2)2−6(2)+4=12−12+4=4g'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \Rightarrow g'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 4 = 12 - 12 + 4 = 4
Eğriler aynı noktada birbirine teğet olduğu için bu noktada türev değerleri eşit olmalıdır.
4
Teğet noktasının ordinatını (y0y_0) bulmak için x0=2x_0 = 2 değerini ortak teğet doğrusunun denkleminde yerine yazalım.
y0=4(2)−5=3y_0 = 4(2) - 5 = 3
Teğet noktası ortak teğet doğrusu üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlamalıdır.
5
P(2,3)P(2, 3) noktasının koordinatlarını f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarında yerine yazarak aa ve bb değerlerini bulalım.
f(2)=4+a=3⇒a=−1f(2) = 4 + a = 3 \Rightarrow a = -1 ve g(2)=8−12+8+b=3⇒4+b=3⇒b=−1g(2) = 8 - 12 + 8 + b = 3 \Rightarrow 4 + b = 3 \Rightarrow b = -1
Teğet noktası her iki eğrinin de üzerinde bulunduğundan eğri denklemlerini sağlamak zorundadır.
6
Bulunan aa ve bb değerlerini toplayarak sonucu bulalım.
a+b=(−1)+(−1)=−2a + b = (-1) + (-1) = -2
Soru bizden aa ve bb katsayılarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

İki eğrinin ortak teğet doğrusu yardımıyla teğet noktasının apsis ve ordinatının belirlenmesi ve türev-eğim ilişkisi.
Soru 39Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−3x2+5x−2f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2
eğrisinin A(1,f(1))A(1, f(1)) noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=−x2+bx−5g(x) = -x^2 + bx - 5
parabolüne BB noktasında teğettir.

Buna göre, b>0b > 0 olmak üzere, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklığın karesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

A(1, 1) ve B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi 5'tir.
f(x) eğrisine x = 1 noktasında teğet olan doğru y = 2x - 1 doğrusudur. Bu doğrunun g(x) = -x^2 + bx - 5 parabolüne teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen b = 6 (b > 0 şartıyla) değeri için teğet noktası B(2, 3) olarak bulunur. A(1, 1) ile B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi ise 5 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
A noktasının koordinatlarının belirlenmesi
A(1, 1)
Teğet doğrusunun değme noktasının y-koordinatını bulmak için f(1) hesaplanır.
2
Teğet doğrusunun eğiminin bulunması
m = 2
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki birinci türevi, o noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.
3
Teğet doğrusunun denkleminin kurulması
y = 2x - 1
Eğimi 2 olan ve A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi yazılır.
4
g(x) parabolü ile doğrunun teğetlik durumunun incelenmesi
b = 6
Doğru ile parabolün ortak çözüm denkleminin çift katlı kökü olmalıdır, bu yüzden diskriminant sıfıra eşitlenir. Pozitif b değeri seçilir.
5
Teğet noktası B'nin koordinatlarının bulunması
B(2, 3)
Ortak çözüm denkleminin kökü olan x = 2 değeri teğet doğrusunda yerine yazılarak y-koordinatı belirlenir.
6
Noktalar arasındaki uzaklığın karesinin hesaplanması
5
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak |AB|^2 değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ise ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.

Alternatif Yöntem

Teğet noktası B(x₀, y₀) noktasındaki türev yardımıyla da çözülebilir. g'(x) = -2x + b olup B noktasındaki teğet eğimi 2 olmalıdır. Buradan -2x₀ + b = 2 ve b = 2x₀ + 2 yazılır. B noktası hem parabolün hem de y = 2x - 1 doğrusunun üzerinde olduğundan, -x₀² + (2x₀ + 2)x₀ - 5 = 2x₀ - 1 denklemi elde edilir. Düzenlendiğinde x₀² = 4 bulunur. b > 0 olması için b = 2x₀ + 2 ifadesinden x₀ = 2 olmalıdır. Buradan B(2, 3) noktasına doğrudan ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 40Soru →
Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3x2−6x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 5 eğrisine çizilen ve y=3x+1y = 3x + 1 doğrusuna paralel olan teğet doğrularının yy-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Teğet doğrularının y-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 32 birimdir.
Teğet doğrularının eğimi, paralel oldukları y = 3x + 1 doğrusunun eğimi olan 3'tür. f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 3 denklemi çözüldüğünde teğet noktalarının apsisleri x = 3 ve x = -1 bulunur. Bu noktalardaki ordinatlar f(3) = -13 ve f(-1) = 7 olur. Bu noktalardan çizilen y = 3x + n formundaki teğetlerin y-kesenleri sırasıyla n = -22 ve n = 10 olarak bulunur. Bu iki y-keseni arasındaki uzaklık |10 - (-22)| = 32 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Paralel doğrunun eğimini belirleme
Teğet doğrularının eğimi m = 3'tür.
Teğet doğruları y = 3x + 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimleri bu doğrunun eğimine eşittir.
2
Teğet noktalarının apsislerini bulma
Apsisler x = 3 ve x = -1 olarak bulunur.
Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. f'(x) = 3 denklemi çözülür.
3
Teğet noktalarının ordinatlarını hesaplama
Noktalar (3, -13) ve (-1, 7) olarak elde edilir.
Apsis değerleri f(x) fonksiyonunda yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
4
Teğet doğrularının y-kesenlerini bulma
y-kesenleri -22 ve 10 olarak bulunur.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemleri yazılır ve x = 0 için y değerleri belirlenir.
5
y-kesenleri arasındaki uzaklığı hesaplama
Uzaklık 32 birimdir.
İki y-keseni arasındaki mutlak fark hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
ÖncekiSayfa 2 / 4Sonraki
Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal) Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin