Examkin

Problemler

889 soru

Tüm türler889Çoktan seçmeli593Sayısal232Eşleştirme29Sıralama35
Soru 741Soru →

Bir sınıftaki iki basamaklı abab sayıda öğrencinin her birine aa adet kalem verilmesi planlanmıştır. Planlanan bu dağıtım sonunda öğrencilere verilen toplam kalem sayısı 96 olmuştur. Buna göre, bu sınıftaki toplam öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Toplam öğrenci sayısı 32'dir.
Öğrenci sayısı iki basamaklı abab sayısı olduğunda, her bir öğrenciye aa adet kalem verilirse toplam kalem sayısı ab⋅a=(10a+b)⋅a=96ab \cdot a = (10a + b) \cdot a = 96 şeklinde gösterilir. aa ve bb değerlerinin birer rakam olması gerektiği göz önüne alındığında, bu denklemi sağlayan tek rakam çifti a=3a=3 ve b=2b=2 değerleridir. Buradan öğrenci sayısı 32 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi matematiksel olarak ifade etmek
Öğrenci sayısı iki basamaklı ab=10a+bab = 10a + b sayısıdır. Her öğrenciye aa adet kalem verildiğinde toplam kalem sayısı ab⋅a=(10a+b)⋅a=96ab \cdot a = (10a + b) \cdot a = 96 olur.
Verilen sözel ifadeleri çözülebilir bir denkleme dönüştürmek amacıyla.
2
Rakam olma şartını kullanarak değerleri belirlemek
aa ve bb birer rakam olmak üzere a∈{1,2,…,9}a \in \{1, 2, \dots, 9\} ve b∈{0,1,…,9}b \in \{0, 1, \dots, 9\} olmalıdır. a=3a = 3 için (30+2)⋅3=96(30 + 2) \cdot 3 = 96 eşitliği tam olarak sağlanır. aa için diğer rakam değerleri denendiğinde bb değeri bir rakam olmamaktadır (örneğin a=2a=2 için b=28b=28 olur).
Denklemi sağlayan uygun rakam çiftini tespit etmek amacıyla.
3
Öğrenci sayısını hesaplamak
Bulunan a=3a = 3 ve b=2b = 2 değerleri ile iki basamaklı abab öğrenci sayısı 3232 olarak elde edilir.
Soruda bizden istenen sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sözel ifadeleri doğru matematiksel denklemlere dönüştürmek, iki basamaklı sayıları çözümlemek ve bilinmeyenlerin dahil olduğu sayı kümelerinin (rakam olma şartı vb.) sınırlarını gözetmek.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 742Soru →

Bir metro hattında çalışan trenler, bu trenlerin vagon sayıları ve vagonların yolcu kapasiteleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Bu hatta sadece 4 vagonlu ve 6 vagonlu olmak üzere toplam 30 adet tren hizmet vermektedir.
* 4 vagonlu trenlerin her bir vagonunun yolcu kapasitesi eşit ve xx kişidir.
* 6 vagonlu trenlerin her bir vagonunun yolcu kapasitesi eşit ve yy kişidir.
* Bu hatta çalışan 4 vagonlu tren sayısı, 6 vagonlu tren sayısının 2 katıdır.

Tüm trenler tam kapasiteyle doluyken bu metro hattında aynı anda toplam 2200 yolcu taşınabilmektedir.

4 vagonlu trenlerin her birinden birer vagon sökülüp bu vagonlar 6 vagonlu trenlerin her birine ikişer vagon olacak şekilde eklendiğinde; 4 vagonlu trenler 3 vagonlu, 6 vagonlu trenler ise 8 vagonlu hâle gelmektedir.

Son durumda vagon kapasiteleri değişmeden tüm trenler yine tam kapasiteyle doldurulduğunda ta��ınabilen toplam yolcu sayısı 2000 olmaktadır.

Buna göre, başlangıçta bu metro hattında hizmet veren trenlerin toplam vagon sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Başlangıçtaki trenlerin toplam vagon sayısı 140'tır.
Başlangıçtaki tren sayıları oranına göre 20 adet 4 vagonlu ve 10 adet 6 vagonlu tren olduğu belirlenir. Vagon transferi sonrası oluşan yeni vagon sayıları ile kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi çözüldüğünde vagon kapasiteleri sırasıyla 20 ve 10 olarak bulunur. Buradan başlangıçtaki toplam vagon sayısı 140 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tren sayılarının belirlenmesi ve değişkenlerin tanımlanması
6 vagonlu tren sayısı nn ise 4 vagonlu tren sayısı 2n2n olur. Toplam tren sayısı 3n=303n = 30 olduğundan n=10n = 10 bulunur. Buradan hatta 20 adet 4 vagonlu tren ve 10 adet 6 vagonlu tren olduğu tespit edilir.
Soruda verilen oran ve toplam tren sayısından hareketle her iki tren türünün miktarını bulmak gerekir.
2
Yolcu kapasitesi denklemlerinin kurulması
İlk durum için toplam kapasite denklemi: 20⋅4x+10⋅6y=2200  ⟹  80x+60y=2200  ⟹  8x+6y=22020 \cdot 4x + 10 \cdot 6y = 2200 \implies 80x + 60y = 2200 \implies 8x + 6y = 220'dir.

İkinci durumda 4 vagonlu 20 trenin her birinden 1 vagon sökülür (trenler 3 vagonlu olur) ve toplam 20⋅1=2020 \cdot 1 = 20 vagon elde edilir. Bu vagonlar 10 adet 6 vagonlu trene ikişer adet eklenerek trenler 8 vagonlu hâle getirilir. İkinci durum kapasite denklemi: 20⋅3x+10⋅8y=2000  ⟹  60x+80y=2000  ⟹  6x+8y=20020 \cdot 3x + 10 \cdot 8y = 2000 \implies 60x + 80y = 2000 \implies 6x + 8y = 200 olur.
Wagon transferi öncesi ve sonrası durumları matematiksel denklemlere dökmek için bu adım uygulanır.
3
Elde edilen denklem sisteminin çözülmesi
4x+3y=1104x + 3y = 110
3x+4y=1003x + 4y = 100

İlk denklem 4 ile, ikinci denklem 3 ile çarpılıp taraf tarafa çıkarılırsa:
16x+12y=44016x + 12y = 440
9x+12y=3009x + 12y = 300
7x=140  ⟹  x=207x = 140 \implies x = 20 bulunur.

x=20x = 20 değeri yerine yazıldığında:
3(20)+4y=100  ⟹  4y=40  ⟹  y=103(20) + 4y = 100 \implies 4y = 40 \implies y = 10 elde edilir.
Bilinmeyen vagon kapasitesi değerlerini bulmak için denklem sistemi çözülür.
4
Başlangıçtaki toplam vagon sayısının hesaplanması
Başlangıçta 20 adet 4 vagonlu tren (20⋅4=8020 \cdot 4 = 80 vagon) ve 10 adet 6 vagonlu tren (10⋅6=6010 \cdot 6 = 60 vagon) vardır. Toplam vagon sayısı: 80+60=14080 + 60 = 140 olarak hesaplanır.
Soruda istenen başlangıçtaki toplam vagon sayısını hesaplamak için tren sayıları ile başlangıçtaki vagon sayıları çarpılarak toplanır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Soru 743Soru →

Bir okul kütüphanesindeki roman ve ansiklopediler, hacimleri farklı küçük ve büyük boy kolilerle taşınacaktır.

* Küçük boy koliye sadece roman konulursa 1212 adet, sadece ansiklopedi konulursa 88 adet sığmaktadır.
* Büyük boy koliye sadece roman konulursa 2020 adet, sadece ansiklopedi konulursa 1515 adet sığmaktadır.

Bu taşıma işleminde koliler tamamen doldurulmuş ve her iki koli tipi de hem roman hem de ansiklopedi taşımak için en az birer kez kullanılmıştır.

Taşıma işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Sadece ansiklopedi taşınan koli sayısı, sadece roman taşınan koli sayısının 22 katıdır.
* Taşınan toplam roman sayısı, taşınan toplam ansiklopedi sayısına eşittir.

Buna göre, bu taşıma işleminde kullanılan toplam koli sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Toplam koli sayısı en az 27 olmalıdır.
Denklemler doğru kurulup yerine koyma metodu uygulandığında 4(y−x)=7w4(y - x) = 7w elde edilir. Değişkenlerin pozitif tam sayı olması kısıtıyla w=4w = 4, x=1x = 1, y=8y = 8 ve z=14z = 14 bulunur. Bu değerlerin toplamı en az 27 koli yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Koli sayılarını değişkenlerle ifade edip kısıtları belirleme
Roman taşınan küçük koli sayısı xx, büyük koli sayısı yy; ansiklopedi taşınan küçük koli sayısı zz, büyük koli sayısı ww olsun. Soruda verilen kısıt gereği x,y,z,w≥1x, y, z, w \geq 1 tam sayılardır.
Soruda her iki koli tipinin de hem roman hem de ansiklopedi taşımak için en az bir kez kullanıldığı belirtilmiştir.
2
Verilen bilgilere göre denklemleri kurma
Ansiklopedi taşınan koli sayısı, roman taşınan koli sayısının 2 katı olduğundan: z+w=2(x+y)z + w = 2(x + y) olur. Toplam roman sayısı toplam ansiklopedi sayısına eşit olduğundan: 12x+20y=8z+15w12x + 20y = 8z + 15w olur.
Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dönüştürmek gerekir.
3
Denklem sistemini çözme ve değişkenler arasındaki ilişkiyi bulma
Birinci denklemden z=2x+2y−wz = 2x + 2y - w çekilip ikinci denklemde yerine yazılırsa: 12x+20y=8(2x+2y−w)+15w⇒12x+20y=16x+16y+7w12x + 20y = 8(2x + 2y - w) + 15w \Rightarrow 12x + 20y = 16x + 16y + 7w elde edilir. Buradan 20y−16y=16x−12x+7w⇒4(y−x)=7w20y - 16y = 16x - 12x + 7w \Rightarrow 4(y - x) = 7w bulunur.
Farklı koli sayıları arasındaki ilişkiyi tek bir eşitlikte birleştirmek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
4
En küçük tam sayı değerlerini belirleme
4(y−x)=7w4(y - x) = 7w eşitliğinde ww sayısı 4'ün katı olmalıdır. En az koli sayısı için w=4w = 4 seçilir. Buradan y−x=7⇒y=x+7y - x = 7 \Rightarrow y = x + 7 olur. x≥1x \geq 1 kısıtından dolayı en az koli için x=1x = 1 alınırsa y=8y = 8 olur. Bu değerler zz denkleminde yerine yazılırsa z=2(1)+2(8)−4=14z = 2(1) + 2(8) - 4 = 14 bulunur.
Koli sayılarının pozitif tam sayı olması gerektiğinden, minimum toplam koli sayısını verecek en küçük değerler seçilir.
5
Toplam koli sayısını hesaplama
T=x+y+z+w=1+8+14+4=27T = x + y + z + w = 1 + 8 + 14 + 4 = 27 bulunur.
Kullanılan tüm kolilerin toplam sayısı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen kısıtlar altında doğrusal denklem ve diofant denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi.
Soru 744Soru →

Bir çiftçi, bahçesindeki elma ve armut ağaçlarını sulamak için bir sistem kurmuştur. Bu sistemde elma ağaçları 3 günde bir, armut ağaçları ise 4 günde bir sulanmaktadır. Çiftçi, 30 günlük bir sürenin ilk günü her iki ağaç türünü de sulayarak sistemi başlatmıştır.

Buna göre, 30 günlük bu süre boyunca her iki ağaç türü aynı gün toplam kaç kez sulanmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Her iki ağaç türü aynı gün toplam 3 kez sulanmıştır.
İlk ortak sulama 1. günde gerçekleşir. Sonraki ortak sulamalar 12 günde bir olacağı için 13. ve 25. günlerde yapılır ve toplam 3 gün ortak sulama yapılmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ortak sulama gününü belirleme
İlk ortak sulama 1. günde yapılmıştır.
Soruda çift��inin ilk gün her iki ağaç türünü de sulayarak sistemi başlattığı belirtilmiştir.
2
Sonraki ortak sulama periyodunu bulma
Ortak sulama periyodu EKOK(3,4)=12\text{EKOK}(3, 4) = 12 gündür.
Elma ağaçları 3 günde bir, armut ağaçları 4 günde bir sulandığı için her ikisi birlikte 3 ve 4'ün en küçük ortak katı olan günlerde sulanır.
3
30 günlük süre içindeki ortak sulama günlerini listeleme ve sayma
Ortak sulama günleri 1., 13. ve 25. günlerdir. Toplam 3 kez sulanmışlardır.
İlk güne 12'şer gün ekleyerek 30 günlük sınır aşılmadan ortak sulama günleri bulunur (1+12=131 + 12 = 13 ve 13+12=2513 + 12 = 25).

Anahtar Kavram

En Küçük Ortak Kat (EKOK) yardımıyla periyodik sayı problemleri çözme
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 745Soru →

Bir sinema salonunda A, B ve C olmak üzere üç farklı bilet kategorisi bulunmaktadır. Bu kategorilerdeki birer biletin satış fiyatları s��rasıyla 120 TL, 160 TL ve 200 TL'dir. Bu sinema salonunda belirli bir seans için satılan biletlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Toplam 180 adet bilet satılmıştır.
* A kategorisinde satılan bilet sayısı, C kategorisinde satılan bilet sayısının 2 katından 10 eksiktir.
* B kategorisindeki biletlerin satışından elde edilen toplam gelir, A ve C kategorilerindeki biletlerin satışından elde edilen toplam gelirin 43\frac{4}{3} katına eşittir.

Buna göre, bu seansta B kategorisinde kaç adet bilet satılmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

B kategorisinde satılan bilet sayısı 100'dür.
Bilet adetleri ve bilet fiyatları kullanılarak elde edilen gelir eşitliği çözüldüğünde, B kategorisinde satılan bilet sayısı 100 olarak bulunur. Doğru seçenek 100 değerini belirten seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Bilet sayılarını değişkenler cinsinden ifade etme
A, B ve C kategorilerinde satılan bilet sayıları sırasıyla aa, bb ve cc olsun. Toplam satılan bilet sayısı a+b+c=180a + b + c = 180 olur. Soruda verilen bilgilere göre A kategorisindeki biletlerin sayısı, C kategorisindekilerin 2 katından 10 eksiktir. Buradan a=2c−10a = 2c - 10 denklemi elde edilir. Bu ifade toplam bilet denkleminde yerine yazılırsa: (2c−10)+b+c=180  ⟹  3c+b=190  ⟹  b=190−3c(2c - 10) + b + c = 180 \implies 3c + b = 190 \implies b = 190 - 3c elde edilir.
Bilinmeyen sayısını tek değişkene indirgemek amacıyla bilet sayılarını cc değişkeni cinsinden tanımlamak için.
2
Gelir denklemini kurma
Biletlerin birim fiyatları sırasıyla 120 TL, 160 TL ve 200 TL'dir. Kategorilerden elde edilen toplam gelirler:
* RA=120×a=120(2c−10)=240c−1200R_A = 120 \times a = 120(2c - 10) = 240c - 1200 TL
* RC=200×c=200cR_C = 200 \times c = 200c TL
* RA+RC=440c−1200R_A + R_C = 440c - 1200 TL
* RB=160×b=160(190−3c)=30400−480cR_B = 160 \times b = 160(190 - 3c) = 30400 - 480c TL olur.
B kategorisinin geliri, A ve C'nin toplam gelirinin 43\frac{4}{3} katı olduğuna göre denklem şu şekilde kurulur:
160(190−3c)=43(440c−1200)160(190 - 3c) = \frac{4}{3}(440c - 1200)
Soruda verilen gelirler arasındaki oranı cebirsel denkleme dökmek için.
3
Denklemi çözerek C kategorisi bilet sayısını (cc) bulma
Kurulan denklemi çözelim:
160(190−3c)=43(440c−1200)160(190 - 3c) = \frac{4}{3}(440c - 1200)
Eşitliğin her iki tarafını 80'e bölelim:
2(190−3c)=43(5.5c−15)2(190 - 3c) = \frac{4}{3}(5.5c - 15)
Eşitliği 3 ile genişletelim:
6(190−3c)=4(5.5c−15)  ⟹  1140−18c=22c−606(190 - 3c) = 4(5.5c - 15) \implies 1140 - 18c = 22c - 60
1140+60=22c+18c  ⟹  1200=40c  ⟹  c=301140 + 60 = 22c + 18c \implies 1200 = 40c \implies c = 30 bulunur.
C kategorisinde satılan bilet adedine ulaşmak için.
4
B kategorisinde satılan bilet sayısını hesaplama
c=30c = 30 değeri b=190−3cb = 190 - 3c denkleminde yerine yazılırsa:
b=190−3(30)=190−90=100b = 190 - 3(30) = 190 - 90 = 100 bulunur.
Soru kökünde istenen B kategorisi bilet adedini bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden denklemler kurarak çok değişkenli sözel problemleri modelleme ve çözme
Soru 746Soru →

Bir metro istasyonundaki bilet yükleme otomatı yalnızca 1010 TL, 2020 TL ve 5050 TL değerindeki kağıt paraları kabul etmekte ve para üstü vermemektedir. Bir gün boyunca bu otomattan yapılan yükleme işlemleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Otomata toplam 140140 adet kağıt para atılmıştır.
* Otomata atılan 1010 TL'lik kağıt paraların toplam değeri, 2020 TL'lik kağıt paraların toplam değerine eşittir.
* Otomata atılan 5050 TL'lik kağıt paraların sayısı, 1010 TL'lik kağıt paraların sayısının 22 katıdır.

Buna göre, gün boyunca bu otomat kullanılarak kartlara yüklenen toplam tutar kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4800

Cevap

Kartlara yüklenen toplam tutar 4800 TL'dir.
Soruda verilen bilgilere göre, 1010 TL'lik banknot sayısı xx olarak seçilirse, toplam değerlerinin eşitliğinden 2020 TL'lik banknot sayısı 0,5x0,5x olur. 5050 TL'lik banknot sayısı ise 1010 TL'liklerin 22 katı olduğundan 2x2x olarak bulunur. Tüm banknotların toplam sayısı x+0,5x+2x=3,5x=140x + 0,5x + 2x = 3,5x = 140 eşitliğinden x=40x=40 olarak hesaplanır. Bu durumda 1010 TL'liklerden 4040 adet (400400 TL), 2020 TL'liklerden 2020 adet (400400 TL) ve 5050 TL'liklerden 8080 adet (40004000 TL) olduğu görülür. Toplam yüklenen tutar 400+400+4000=4800400 + 400 + 4000 = 4800 TL yapar ve bu değer doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Banknot adetlerini temsil edecek değişkenleri belirlemek.
Otomata atılan 1010 TL'lik banknot sayısı xx, 2020 TL'lik banknot sayısı yy ve 5050 TL'lik banknot sayısı zz olsun.
Değişkenler yardımıyla sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek gerekir.
2
Verilen oranlara göre değişkenler arasında ilişkiler kurmak.
1010 TL'lik banknotların toplam değeri 10x10x, 2020 TL'lik banknotların toplam değeri 20y20y'dir. Değerler eşit olduğuna göre 10x=20y⇒y=0,5x10x = 20y \Rightarrow y = 0,5x olur. 5050 TL'lik banknot sayısı 1010 TL'liklerin 22 katı olduğundan z=2xz = 2x olur.
Tüm değişkenleri tek bir bilinmeyen (xx) cinsinden yazarak denklem çözülebilir hale getirilir.
3
Toplam banknot sayısı eşitliğini kullanarak bilinmeyeni bulmak.
Toplam banknot sayısı x+y+z=140x + y + z = 140 olarak verilmiştir. Buradan x+0,5x+2x=140⇒3,5x=140x + 0,5x + 2x = 140 \Rightarrow 3,5x = 140 ve buradan x=40x = 40 bulunur.
Bilinmeyen xx değeri bulunduğunda her bir banknot türünün adedi tek tek hesaplanabilir.
4
Her banknot türünden kaçar adet olduğunu belirlemek ve toplam tutarı hesaplamak.
1010 TL'lik banknot sayısı: x=40x = 40 adet (Değeri: 40×10=40040 \times 10 = 400 TL)
2020 TL'lik banknot sayısı: 0,5x=200,5x = 20 adet (Değeri: 20×20=40020 \times 20 = 400 TL)
5050 TL'lik banknot sayısı: 2x=802x = 80 adet (Değeri: 80×50=400080 \times 50 = 4000 TL)
Toplam tutar: 400+400+4000=4800400 + 400 + 4000 = 4800 TL olur.
Soruda bizden istenen toplam kart yükleme tutarına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri tek bilinmeyenli birinci dereceden denklem sistemine dönüştürerek çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 747Soru →

Bir yazılım şirketi, geliştirdiği bir programın lisanslarını gruplar halinde satmaktadır. Satış tarifesi aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Satın Alınan Lisans Sayısı (kk)Lisans Başına Birim Ücret (TL)
k≤20k \le 20120120
k>20k > 20En az 6060 TL olmak üzere, 2020'yi aşan her bir lisans için birim fiyattan 11 TL indirim yapılır.

Bu yazılımı satın alan iki farklı şirketin her birinin aldığı lisans sayısı 2020'den fazladır. Bu şirketlerden daha az lisans satın alanın lisans sayısı 4040'tan azdır.

Şirketlerden birinin satın aldığı lisans sayısı, diğerinin satın aldığı lisans sayısının 22 katıdır.

Daha fazla lisans satın alan şirketin ödediği toplam tutar, diğer şirketin ödediği toplam tutardan 15001500 TL fazla olduğuna göre, bu iki şirketin satın aldığı toplam lisans sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Toplam lisans sayısı 90 adettir.
Doğru cevap, iki şirketin satın aldığı lisans sayılarının sırasıyla 30 ve 60 olduğu durumdur. Bu durumda birinci şirket 30 lisans için birim başına 110 TL ödeyerek toplam 3300 TL, ikinci şirket ise 60 lisans için birim başına 80 TL ödeyerek toplam 4800 TL öder. Ödenen tutarlar arasındaki fark 1500 TL olup tüm koşullar sağlanmaktadır. Toplam lisans sayısı 30 + 60 = 90 adet olur.

Adım Adım Çözüm

1
Şirketlerin satın aldığı lisans sayılarını değişkenlerle ifade etme.
Daha az lisans alan şirketin lisans sayısı xx ise diğer şirketin lisans sayısı 2x2x olur. Koşullar: x>20x > 20 ve x<40x < 40 olarak belirlenir.
Problemdeki oran ve sınır koşullarını matematiksel modele aktarmak.
2
Lisans sayılarına göre birim fiyat fonksiyonunu oluşturma.
k>20k > 20 için birim fiyat P(k)=120−(k−20)=140−kP(k) = 120 - (k - 20) = 140 - k TL olur. x<40x < 40 olduğundan 2x<802x < 80 olur ve birim fiyat 60 TL alt sınırına takılmaz.
Her iki şirketin ödeyeceği birim fiyatları lisans sayıları cinsinden bulmak.
3
Şirketlerin ödediği toplam tutarları ve aralarındaki farkı veren denklemi kurma.
Birinci şirketin ödediği tutar: C1=x(140−x)=140x−x2C_1 = x(140 - x) = 140x - x^2 TL. İkinci şirketin ödediği tutar: C2=2x(140−2x)=280x−4x2C_2 = 2x(140 - 2x) = 280x - 4x^2 TL. Fark denklemi: (280x−4x2)−(140x−x2)=1500  ⟹  3x2−140x+1500=0(280x - 4x^2) - (140x - x^2) = 1500 \implies 3x^2 - 140x + 1500 = 0 elde edilir.
Ödenen toplam tutarlar arasındaki fark ilişkisini kullanarak bilinmeyen xx değerini bulmak.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözme ve koşulları sağlayan kökü bulma.
Diskriminant Δ=(−140)2−4⋅3⋅1500=19600−18000=1600=402\Delta = (-140)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1500 = 19600 - 18000 = 1600 = 40^2. Kökler x=140±406x = \frac{140 \pm 40}{6} formülünden x=30x = 30 veya x=1006x = \frac{100}{6} bulunur. Lisans sayısı tam sayı olacağından x=30x = 30 seçilir.
Şirketlerin satın aldığı gerçek lisans sayılarını tespit etmek.
5
Şirketlerin satın aldığı toplam lisans sayısını hesaplama.
x+2x=30+60=90x + 2x = 30 + 60 = 90 bulunur.
Soruda istenen toplam lisans sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemlere Dönüştürülebilen Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 748Soru →

Bir öğrenci, bir doğal sayıyı 1515 ile çarpmak istiyor. Ancak say��nın onlar basamağındaki rakamı 33 eksik görerek işlemi yapıyor.

Buna göre, öğrencinin bulduğu hatalı sonuç, doğru sonuçtan kaç eksiktir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 450450

Cevap

Hatalı sonuç, doğru sonuçtan 450 eksiktir.
Çarpılan sayının onlar basamağındaki rakamın 33 eksik görülmesi, sayının değerini 3×10=303 \times 10 = 30 eksiltir. Bu sayı 1515 ile çarpıldığında, elde edilen hatalı sonuç doğru sonuçtan 15×30=45015 \times 30 = 450 eksik olur.

Adım Adım Çözüm

1
Onlar basamağındaki rakamın 3 eksik görülmesinin sayı üzerindeki etkisini belirlemek.
Sayının değeri 3×10=303 \times 10 = 30 azalır.
Onlar basamağının basamak değeri 10 olduğundan, bu basamaktaki 3 birimlik azalış sayının kendi değerini 30 azaltacaktır.
2
Çarpma işleminin sonucundaki değişimi hesaplamak.
Çarpım sonucu 15×30=45015 \times 30 = 450 azalır.
Çarpanlardan biri 30 azaldığı için, elde edilen çarpım sonucu da diğer çarpanın 30 katı olan 15×3015 \times 30 kadar azalacaktır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde basamak değerindeki değişimin işlem sonucuna etkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 749Soru →

Bir serada yetiştirilen güller, her birinde e��it sayıda gül olacak şekilde demetler hâline getirilerek satılacaktır. Bu seradaki güllerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Güller onarlı demetler yapıldığında elde edilen demet sayısı, on ikişerli demetler yapıldığında elde edilen demet sayısından 88 fazladır.
* Bu güllerin yarısı sekizerli, diğer yarısı ise on beşerli demetler yapıldığında toplam NN adet demet elde edilmektedir.

Buna göre, NN kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Toplam demet sayısı 46'dır.
Toplam gül sayısı 480 olarak hesaplandıktan sonra, bu güllerin yarısı olan 240 gül sekizerli gruplandığında 30 demet, diğer yarısı olan 240 gül ise on beşerli gruplandığında 16 demet oluşturur. Bu iki grup birleştirildiğinde toplam demet sayısı 46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam gül sayısına xx diyerek başlangıçtaki demet sayıları arasındaki farkı veren denklemi kurmak.
x10−x12=8\frac{x}{10} - \frac{x}{12} = 8 denklemi elde edilir.
Onarlı demet sayısının on ikişerli demet sayısından 8 fazla olduğu bilgisi kullanılmıştır.
2
Elde edilen denklemi çözerek toplam gül sayısı xx'i bulmak.
Paydalar 60'ta eşitlendiğinde 6x−5x60=8  ⟹  x60=8  ⟹  x=480\frac{6x - 5x}{60} = 8 \implies \frac{x}{60} = 8 \implies x = 480 olarak bulunur.
Rasyonel ifadelerde payda eşitleme ve içler dışlar çarpımı kuralları uygulanmıştır.
3
Güllerin yarısını (240 gül) sekizerli, diğer yarısını (240 gül) on beşerli demetlere ayırıp toplam demet sayısını bulmak.
2408+24015=30+16=46\frac{240}{8} + \frac{240}{15} = 30 + 16 = 46 demet elde edilir.
Soruda belirtilen yeni gruplandırma koşulu toplam gül sayısının yarısı üzerinden uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir bilinmeyenli rasyonel denklemler kurma ve çözme yoluyla sayı problemleri çözümü.
Soru 750Soru →

Bir kafede bulunan iki farklı boyuttaki masalardan küçük olanlara 44'er kişi, büyük olanlara ise 66'şar kişi oturabilmektedir. Bu kafede toplam 1515 masa bulunmakta ve tüm masalar tam kapasite dolduğunda kafede 7070 kişi oturabilmektedir. Buna göre, kafedeki büyük masa sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Kafedeki büyük masa sayısı 5'tir.
Büyük masa sayısı xx olduğunda küçük masa sayısı 15−x15 - x olur. Masalara oturan toplam kişi sayısı 6x+4(15−x)=706x + 4(15 - x) = 70 eşitliği ile gösterilir. Bu denklem çözüldüğünde 2x+60=70⇒2x=10⇒x=52x + 60 = 70 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kafedeki büyük masa sayısı xx olarak belirlenir. Toplam masa sayısı 1515 olduğundan, küçük masa sayısı 15−x15 - x şeklinde ifade edilir.
Büyük masa sayısı: xx, Küçük masa sayısı: 15−x15 - x
Problemi tek bilinmeyenli denklem olarak modellemek için değişken tanımlanır.
2
Masaların kapasiteleri ile sayıları çarpılarak toplam kişi sayısı olan 7070'e eşitlenir: 6×x+4×(15−x)=706 \times x + 4 \times (15 - x) = 70.
6x+60−4x=706x + 60 - 4x = 70
Masaların toplam kapasitesini veren denklem kurulur.
3
Elde edilen birinci dereceden denklem çözülür: 2x+60=70⇒2x=10⇒x=52x + 60 = 70 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5 bulunur.
x=5x = 5
İstenen büyük masa sayısına ulaşmak için denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme

Alternatif Yöntem

Büyük masa sayısı seçeneklerden denenebilir. Örneğin büyük masa sayısı 55 ise, küçük masa sayısı 15−5=1015 - 5 = 10 olur. Toplam kişi sayısı 5×6+10×4=30+40=705 \times 6 + 10 \times 4 = 30 + 40 = 70 olarak elde edilir ve koşul sağlanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 751Soru →

Bir kırtasiyeci; A, B ve C marka defterlerden sırasıyla xyxy, yxyx ve xxxx iki basamaklı doğal sayıları adetlerince satın almıştır. Bu alışverişle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- A marka defterin birim satış fiyatı 1212 TL, B marka defterin birim satış fiyatı 1515 TL'dir.
- Kırtasiyeci, satın aldığı tüm A ve B marka defterler için toplam 14311431 TL ödemiştir.
- Satın alınan A marka defter sayısı, B marka defter sayısından fazladır.
- C marka defterin birim satış fiyatı, A ve B marka defterlerin birim satış fiyatlarının toplamına eşittir.

Buna göre, kırtasiyecinin satın aldığı C marka defterler için ödediği toplam tutar kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2079

Cevap

Doğru yanıt 2079 TL'dir.
Doğru yanıt olan 2079 TL, satın alınan defter adetlerinin doğru basamak çözümlemesiyle elde edilen 5x+6y=535x + 6y = 53 denkleminin, rakam olma ve x>yx > y olma koşullarını sağlayan tek çözüm kümesi (x=7,y=3x = 7, y = 3) üzerinden hesaplanmıştır. Bu doğrultuda C marka defter sayısı 7777, birim fiyatı ise 2727 TL olup toplam tutar 77×27=207977 \times 27 = 2079 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B marka defterlerin adetlerini çözümleyerek toplam ödenen tutar denklemini kurmak.
12⋅(10x+y)+15⋅(10y+x)=143112 \cdot (10x + y) + 15 \cdot (10y + x) = 1431 denklemi kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde 135x+162y=1431135x + 162y = 1431 elde edilir.
Defterlerin birim fiyatları ile iki basamaklı sayı adetlerinin çarpımının toplam tutara eşitliğini ifade etmek için.
2
Denklemi sadeleştirerek incelenebilir duruma getirmek.
Denklemin her iki tarafı 2727 ile bölündüğünde 5x+6y=535x + 6y = 53 bağıntısı elde edilir. Burada xx ve yy sıfırdan farklı birer rakam olmak zorundadır.
İşlem kolaylığı sağlamak ve rakam kıs��tlamalarını uygulamak için.
3
Rakam ve eşitsizlik koşullarına uygun olan çözümü belirlemek.
5x+6y=535x + 6y = 53 denklemini sağlayan rakam ikilileri (x=1,y=8)(x = 1, y = 8) ve (x=7,y=3)(x = 7, y = 3)'tür. Soruda A marka defter sayısının B marka defter sayısından fazla olduğu belirtildiğinden xy>yxxy > yx yani x>yx > y olmalıdır. Bu koşulu sağlayan tek çözüm x=7x = 7 ve y=3y = 3 ikilisidir.
Verilen koşullara uygun benzersiz xx ve yy değerlerini saptamak için.
4
C marka defterlerin adet ve fiyat bilgilerini kullanarak toplam tutarı hesaplamak.
C marka defterlerin sayısı xx=77xx = 77 adettir. C marka defterin birim fiyatı 12+15=2712 + 15 = 27 TL'dir. Toplam ödenen tutar 77×27=207977 \times 27 = 2079 TL olarak hesaplanır.
Soruda istenen C marka defterlerin toplam maliyetini belirlemek için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ve sayı problemlerinde denklem kurma/çözme.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 752Soru →

Bir kitap fuarında satılan A ve B marka kitapların adet fiyatları sırasıyla 50 TL ve 80 TL'dir. Bu fuarda uygulanan kampanya şu şekildedir:

* A marka kitaplarda, satın alınan her 3 kitap için ayrıca 1 kitap hediye edilmektedir.
* B marka kitaplarda, satın alınan her 4 kitap için bu kitaplardan birinin fiyatına %50 indirim uygulanmaktadır.

Kerem bu kitapçıdan her iki markadan da dörderli gruplar halinde (4, 8, 12... adet) kitap almış ve toplam 20 kitapla fuardan ayrılmıştır.

Kerem aldığı tüm kitaplar için toplam 1010 TL ödediğine göre, Kerem'e hediye edilen A marka kitap sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Kerem'e hediye edilen A marka kitap sayısı 3'tür.
Kerem'e hediye edilen A marka kitap sayısının 3 olduğunu belirten seçenek doğrudur. Kerem 3 grup A marka kitap (12 adet) ve 2 grup B marka kitap (8 adet) almıştır. Toplam ödediği tutar 150 * 3 + 280 * 2 = 1010 TL'dir ve toplam kitap sayısı 20'dir. Her A grubunda 1 adet hediye kitap olduğundan toplamda 3 adet hediye kitap almıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir kitap grubunun (paketinin) maliyetini hesaplayalım.
A marka kitaptan oluşan 4'lü bir grubun maliyeti 150 TL, B marka kitaptan oluşan 4'lü bir grubun maliyeti ise 280 TL'dir.
A markasında 3 kitap parasına 4 kitap alınırken, B markasında 4 kitaptan birine %50 indirim uygulanıp 3 tam ve 1 yarım kitap ücreti ödenir.
2
Kerem'in aldığı paket sayılarını değişkenlerle ifade edip denklem kuralım.
A marka kitap grubu sayısı a, B marka kitap grubu sayısı b olsun. a + b = 5 ve 150a + 280b = 1010 denklemleri elde edilir.
Toplam kitap sayısı 20 olduğundan dörderli gruplardan toplam 5 grup alınmıştır. Toplam ödenen tutar ise grupların maliyetleri toplamına eşittir.
3
Elde edilen denklem sistemini çözelim.
b = 2 ve a = 3 bulunur.
a + b = 5 denklemini 150 ile çarpıp diğer denklemden çıkardığımızda 130b = 260 elde edilir.
4
Hediye edilen A marka kitap sayısını bulalım.
Toplam hediye kitap sayısı 3'tür.
Her A grubu paketinde 1 adet hediye kitap bulunduğundan, 3 grupta toplam 3 hediye kitap bulunur.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürerek çözme.
Soru 753Soru →

Bir sınıftaki öğrenciler, her grupta eşit sayıda öğrenci olacak şekilde 88 gruba ayrılıyor. Bu sınıfa 66 yeni öğrenci katıldıktan sonra öğrenciler yeniden gruplandırıldığında, grup sayısı 66 oluyor ve her gruptaki öğrenci sayısı başlangıçtaki duruma göre 22 artıyor.

Buna göre, başlangıçta bu sınıfta kaç öğrenci vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Başlangıçta sınıfta bulunan öğrenci sayısı 24'tür.
Başlangıçtaki öğrenci sayısına SS dersek, her grupta S8\frac{S}{8} öğrenci bulunur. Sınıfa 66 kişi katılıp 66 gruba ayrıldığında ise her grupta S+66\frac{S+6}{6} öğrenci olur. Yeni durumda gruptaki kişi sayısı 22 arttığı için S+66−S8=2\frac{S+6}{6} - \frac{S}{8} = 2 denklemi elde edilir. Bu denklemin her iki tarafı paydaların en küçük ortak katı olan 2424 ile çarpıldığında 4(S+6)−3S=48  ⟹  4S+24−3S=48  ⟹  S=244(S+6) - 3S = 48 \implies 4S + 24 - 3S = 48 \implies S = 24 olarak bulunur. Bu nedenle doğru cevap 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki öğrenci say��sına SS diyelim. Sınıftaki öğrenciler 88 gruba eşit olarak ayrıldığından, grup başına düşen öğrenci sayısı S8\frac{S}{8} olur.
Grup başına düşen başlangıçtaki öğrenci sayısı: S8\frac{S}{8}
Sınıftaki toplam öğrenci sayısını başlangıçtaki grup sayısı olan 88'e bölerek her gruptaki öğrenci sayısını ifade etmek için.
2
Sınıfa 66 yeni öğrenci katıldığında toplam öğrenci sayısı S+6S + 6 olur. Bu öğrenciler 66 gruba eşit olarak ayrıldığında yeni durumda grup başına düşen öğrenci sayısı S+66\frac{S + 6}{6} olur.
Grup başına düşen yeni öğrenci sayısı: S+66\frac{S + 6}{6}
Yeni öğrenci sayısı ile yeni grup sayısı olan 66'yı kullanarak son durumdaki grup başına düşen öğrenci sayısını ifade etmek için.
3
Yeni durumda her gruptaki öğrenci sayısının başlangıca göre 22 arttığı belirtilmiştir. Buna göre S+66−S8=2\frac{S + 6}{6} - \frac{S}{8} = 2 denklemini kurup çözelim. Paydaları 2424'te eşitlemek için birinci kesri 44 ile, ikinci kesri 33 ile genişletelim: 4(S+6)−3S=48  ⟹  4S+24−3S=48  ⟹  S=244(S + 6) - 3S = 48 \implies 4S + 24 - 3S = 48 \implies S = 24 bulunur.
S=24S = 24
Kurulan rasyonel denklemi payda eşitleyerek çözmek ve başlangıçtaki öğrenci sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri birinci dereceden bir bilinmeyenli rasyonel denklemlere dönüştürme ve çözme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 754Soru →

Bir müze girişindeki bilet kuyruğunda bekleyen kişi sayısı iki basamaklı abab doğal sayısıdır. Bu kuyruktaki kişi sayısı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kuyruktaki kişi sayısının onlar basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın 33 katından 11 eksiktir.
* Kuyruktaki kişi sayısının −2-2 katının 120120 fazlası, en fazla 5050’dir.
* Kuyruktaki kişi sayısı en fazla 6060’tır.

Buna göre, bu bilet kuyruğunda bekleyen toplam kişi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52

Cevap

Kuyruktaki toplam kişi sayısı 52'dir.
Kuyruktaki kişi sayısı olan abab iki basamaklı doğal sayısının rakamları arasındaki a=3b−1a = 3b-1 ilişkisini sağlayan aday değerler 2121, 5252 ve 8383'tür. Kuyruktaki kişi sayısı xx ile temsil edildiğinde, −2x+120≤50-2x + 120 \leq 50 eşitsizliğinin her iki tarafı −2-2'ye bölündüğünde yön değiştirme kuralı gereği x≥35x \geq 35 elde edilir. Üst sınır koşulu olan x≤60x \leq 60 ile bu bilgi birleştirildiğinde kişi sayısının 35≤x≤6035 \leq x \leq 60 aralığında olması gerektiği anlaşılır. Bu aralığa uyan tek aday değer 52 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kuyruktaki kişi sayısı olan iki basamaklı abab sayısının basamak analizini yaparak basamaklar arasındaki ilişkiyi belirlemek.
a=3b−1a = 3b - 1 eşitliğinde aa ve bb birer rakam ve a≠0a \neq 0 olmalıdır. Bu ko��ulu sağlayan değerler:
* b=1  ⟹  a=2  ⟹  ab=21b = 1 \implies a = 2 \implies ab = 21
* b=2  ⟹  a=5  ⟹  ab=52b = 2 \implies a = 5 \implies ab = 52
* b=3  ⟹  a=8  ⟹  ab=83b = 3 \implies a = 8 \implies ab = 83
olmak üzere aday sayılar 2121, 5252 ve 8383 olarak bulunur.
Kişi sayısı iki basamaklı bir doğal sayı olduğundan basamakları rakam olmak zorundadır.
2
Kişi sayısına xx diyerek verilen eşitsizlik durumunu kurmak ve çözmek.
−2x+120≤50  ⟹  −2x≤−70  ⟹  x≥35-2x + 120 \leq 50 \implies -2x \leq -70 \implies x \geq 35 elde edilir.
Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
3
Kişi sayısı için verilen üst sınır koşulu ile çözülen eşitsizliği birleştirip aday sayıları test etmek.
35≤x≤6035 \leq x \leq 60 aralığı elde edilir. Aday sayılarımızdan (21,52,8321, 52, 83) bu aralıkta yer alan tek sayı 5252'dir.
Kişi say��sının en fazla 60 olduğu bilgisi ile en az 35 olması gerektiği bilgisi birleştirilerek ortak bir çözüm kümesi oluşturulur.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayı çözümlemesi ve negatif sayıyla bölmede eşitsizliğin yön değiştirmesi kurallarının sayı problemlerine uygulanması.

Alternatif Yöntem

Olası aday sayılar olan 21, 52 ve 83 değerleri doğrudan verilen koşullarda yerine yazılarak test edilebilir. Örneğin, 52 sayısı için −2(52)+120=16-2(52) + 120 = 16 olup bu değer en fazla 50 koşulunu sağlar ve 52 sayısı en fazla 60 koşuluna da uyar.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 755Soru →

Bir kargo firması, sadece 22 kg ve 55 kg ağırlığındaki paketleri taşımaktadır. Bu kargo firması ile toplam 3636 kg ağırlığında paket gönderen bir müşterinin gönderdiği 55 kg'lık paketlerin sayısı, 22 kg'lık paketlerin sayısının 22 katıdır.

Buna göre, bu müşteri toplam kaç adet paket göndermiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Müşterinin gönderdiği toplam paket sayısı 9'dur.
Toplam paket sayısını bulmak için 2 kg'lık paket sayısına xx denilirse, 5 kg'lık paket sayısı 2x2x olur. Toplam ağırlık 2⋅x+5⋅2x=12x2 \cdot x + 5 \cdot 2x = 12x olarak ifade edilir. Toplam ağırlık 36 kg olduğuna göre 12x=3612x = 36 denkleminden x=3x = 3 bulunur. Toplam paket sayısı x+2x=3xx + 2x = 3x olduğundan, 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinmeyenleri tanımlama ve değişken atama
2 kg'lık paket sayısı xx ise 5 kg'lık paket sayısı 2x2x olur.
Soruda 5 kg'lık paketlerin sayısının, 2 kg'lık paketlerin sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir.
2
Toplam ağırlık denklemini oluşturma ve çözme
2⋅x+5⋅(2x)=36  ⟹  12x=36  ⟹  x=32 \cdot x + 5 \cdot (2x) = 36 \implies 12x = 36 \implies x = 3
Paketlerin adetleri ile birer adetlerinin ağırlıkları çarpımının toplamı toplam ağırlığı (36 kg) vermelidir.
3
Toplam paket sayısını hesaplama
Toplam paket sayısı x+2x=3x  ⟹  3⋅3=9x + 2x = 3x \implies 3 \cdot 3 = 9 olur.
Müşterinin gönderdiği toplam paket adedi her iki paket türünün adetleri toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen oranlara göre değişken tanımlama ve toplam miktar üzerinden denklem kurma.
Soru 756Soru →

Bir kırtasiyeci, tanesi 44 TL olan kalemlerden iki basamaklı abab adet satın almıştır. Bu kırtasiyecinin kalemler için ödediği toplam tutar; tanesi 1010 TL olan defterlerden iki basamaklı baba adet satın aldığında ödeyeceği toplam tutardan daha azdır. Buna göre, bu koşulu sağlayan en küçük abab sayısı için a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

En küçük ab sayısı olan 11 için rakamların toplamı olan 2'dir.
Doğru cevap olan 2 değeri, en küçük iki basamaklı ab sayısı olan 11 için a + b = 1 + 1 = 2 olarak elde edilir. Eşitsizlik sadeleştirildiğinde 5a < 16b elde edilir. ab ve ba iki basamaklı olduğundan a ve b sıfır olamaz. a = 1 için 5 < 16b koşulunu sağlayan en küçük b rakamı 1'dir. Dolayısıyla en küçük sayı 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ab ve ba sayılarının çözümlenmesi ve değişkenlerin sınırlarının belirlenmesi.
ab=10a+bab = 10a + b ve ba=10b+aba = 10b + a (burada a,b∈{1,2,...,9}a, b \in \{1, 2, ..., 9\})
ab ve ba say��ları iki basamaklı doğal sayılar olduğundan, hem onlar hem de birler basamağındaki rakamlar sıfırdan farklı olmalıdır.
2
Kalem ve defterlerin toplam tutarlarını veren eşitsizliğin kurulması ve sadeleştirilmesi.
4(10a+b)<10(10b+a)  ⟹  40a+4b<100b+10a  ⟹  30a<96b  ⟹  5a<16b4(10a + b) < 10(10b + a) \implies 40a + 4b < 100b + 10a \implies 30a < 96b \implies 5a < 16b
Kalemlerin toplam maliyetinin defterlerin toplam maliyetinden az olduğu belirtilmiştir. Eşitsizliğin her iki tarafı 6 ile bölünerek sadeleştirilir.
3
Koşulu sağlayan en küçük ab sayısının belirlenmesi.
a=1a = 1 ve b=1b = 1 için en küçük ab=11ab = 11 ve a+b=2a+b = 2 bulunur.
ab sayısını en küçük yapmak için onlar basamağındaki a rakamı en küçük seçilmelidir (a = 1). Bu durumda 5 < 16b eşitsizliğini sağlayan en küçük b rakamı da 1 olur.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve doğrusal eşitsizlik sistemlerinde en küçük değerin belirlenmesi.
Soru 757Soru →

Bir kırtasiyeci, elindeki tüm kalemleri her birinde 55 adet kalem olacak şekilde paketlerse elde ettiği paket sayısı 1212'den fazla oluyor. Eğer aynı kalemleri her birinde 88 adet kalem olacak şekilde paketlerse elde ettiği paket sayısı 99'dan az oluyor.

Buna göre, kırtasiyecinin elindeki kalem sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Kalem sayısı 64 olabilir.
Kalem sayısı xx olmak üzere, 55'erli paketlendiğinde paket sayısı x5\frac{x}{5} olur. Bu sayının 1212'den fazla olması x>60x > 60 eşitsizliğini verir. 88'erli paketlendiğinde paket sayısı x8\frac{x}{8} olur ve bunun 99'dan az olması x<72x < 72 eşitsizliğini verir. İki eşitsizlik birleştirildiğinde 60<x<7260 < x < 72 aralığı elde edilir. Seçenekler arasında bu aralığa uyan tek değer 64'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Kırtasiyecinin elindeki toplam kalem sayısına xx diyelim. Kalemler 55'erli paketlendiğinde paket sayısı x5\frac{x}{5} olur. Bu değerin 1212'den fazla olduğu belirtildiğine göre ilgili eşitsizliği yazalım.
x5>12⇒x>60\frac{x}{5} > 12 \Rightarrow x > 60 elde edilir.
Kalem sayısının alt sınırını belirlemek için.
2
Kalemler 88'erli paketlendiğinde paket sayısı x8\frac{x}{8} olur. Bu değerin 99'dan az olduğu belirtildiğine göre ilgili eşitsizliği yazalım.
x8<9⇒x<72\frac{x}{8} < 9 \Rightarrow x < 72 elde edilir.
Kalem sayısının üst sınırını belirlemek için.
3
Elde edilen iki eşitsizliği birleştirerek kalem sayısının değer aralığını bulalım ve seçeneklerdeki değerlerle karşılaştıralım.
60<x<7260 < x < 72 aralığı elde edilir. Seçenekler incelendiğinde bu aralığa uyan tek değer 6464'tür.
Kırtasiyecinin sahip olabileceği kalem sayısını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde eşitsizlik kurma ve değer aralığı belirleme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 758Soru →

Bir fabrikada bulunan otomatik paketleme makinesi, A ve B türündeki ürünlerin kutularını şeritler kullanarak ambalajlamaktadır. Bu makineyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Makine, her bir A türü kutuyu ambalajlamak için 44 metre şerit kullanmaktadır.
* Makine, her bir B türü kutuyu ambalajlamak için 77 metre şerit kullanmaktadır.
* Makineye takılan her bir rulo şeridin uzunluğu 120120 metredir ve rulo tamamen bitmeden yeni rulo takılmamaktadır.

Bu makinede, toplam 33 rulo şeridin tamamı hiçbir şerit artmayacak şekilde kullanılarak belirli sayılarda A ve B türü kutu ambalajlanmıştır.

Ambalajlanan B türü kutuların sayısı, A türü kutuların sayısının 22 katından fazla olduğuna göre, ambalajlanan toplam kutu sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 57

Cevap

Maksimum toplam kutu sayısı 57'dir.
Toplam şerit miktarı olan 360 metre kullanılarak 4x + 7y = 360 denklemi oluşturulur. y = 4k yazıldığında x = 90 - 7k elde edilir. Pozitif tam sayı koşulu gereği k en fazla 12 olabilir. y > 2x koşulu ise k > 10 sonucunu doğurur. Buradan k değeri 11 veya 12 olabilir. Toplam kutu sayısı olan 90 - 3k ifadesini en büyük yapmak için k = 11 seçildiğinde toplam kutu sayısı 57 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kullanılan toplam şerit miktarını hesaplama ve temel denklemi kurma
Toplam şerit miktarı 3×120=3603 \times 120 = 360 metredir. A türü kutu sayısı xx, B türü kutu sayısı yy olmak üzere denklem: 4x+7y=3604x + 7y = 360 olarak bulunur.
Her bir A kutusu için 4 metre, her bir B kutusu için 7 metre şerit harcandığı bilgisi verilmiştir.
2
Değişkenleri parametreye bağlı olarak ifade etme ve sınır şartlarını belirleme
x=90−74yx = 90 - \frac{7}{4}y elde edilir. xx ve yy pozitif tam sayılar olduğundan yy değeri 44'ün katı olmalıdır. y=4ky = 4k (k∈Z+k \in \mathbb{Z}^+) için x=90−7kx = 90 - 7k olur. x>0x > 0 koşulundan 90−7k>0  ⟹  k≤1290 - 7k > 0 \implies k \leq 12 bulunur.
Kutu adetlerinin pozitif tam sayı olması gerektiğinden parametrik çözüm uygulanır.
3
Eşitsizlik kısıtını parametreye uygulama
y>2x  ⟹  4k>2(90−7k)  ⟹  4k>180−14k  ⟹  18k>180  ⟹  k>10y > 2x \implies 4k > 2(90 - 7k) \implies 4k > 180 - 14k \implies 18k > 180 \implies k > 10 elde edilir.
B türü kutuların sayısının, A türü kutuların sayısının 2 katından fazla olduğu koşulunu değerlendirmek için.
4
Toplam kutu sayısını veren ifadeyi bulma ve maksimize etme
10<k≤1210 < k \leq 12 aralığında kk tam sayısı 1111 veya 1212 olabilir. Toplam kutu sayısı S=x+y=(90−7k)+4k=90−3kS = x + y = (90 - 7k) + 4k = 90 - 3k ifadesidir. SS değerini en büyük yapmak için en küçük kk değeri olan 1111 seçilir. Bu durumda toplam kutu sayısı 90−3(11)=5790 - 3(11) = 57 olur.
90−3k90 - 3k ifadesinde kk küçüldükçe toplam değer büyüyeceğinden, tanımlı aralıktaki en küçük kk tam sayısı seçilmiştir.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Diophantus Denklemleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 759Soru →

Bir su deposunda başlangıçta 100100 litre su bulunmaktadır. Bu depodan her gün düzenli olarak 66 litre su tüketilmektedir. Buna göre, depodaki su miktarının 4040 litreden az olması için en az kaç gün geçmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Depodaki su miktarının 40 litreden az olması için en az 11 gün geçmelidir.
Doğru seçenekte belirtilen 11 değeri, depoda kalan su miktarının 40 litreden az olması koşulunu sağlayan en küçük tam sayıdır. 11. günde depodaki su miktarı 100−6×11=34100 - 6 \times 11 = 34 litreye düşerek 40 litrenin altına iner.

Adım Adım Çözüm

1
Geçen gün sayısına xx diyerek depoda kalan su miktarını veren matematiksel ifadeyi yazmak.
Günde 6 litre su tüketildiğinden, xx gün sonra kalan su miktarı 100−6x100 - 6x litre olur.
Günlük su tüketim miktarı ile gün sayısını çarparak toplam tüketilen suyu bulup başlangıçtaki miktardan çıkarmak gerekir.
2
Kalan su miktarının 40 litreden az olması koşulunu eşitsizlik olarak kurup çözmek.
100−6x<40  ⟹  −6x<−60  ⟹  x>10100 - 6x < 40 \implies -6x < -60 \implies x > 10
Az olması istendiği için '< 40' eşitsizliği kurulur. Eşitsizliğin her iki tarafı −6-6 ile bölünürken eşitsizlik yön değiştirerek '>' olur.
3
Eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı değerini belirlemek.
x>10x > 10 koşulunu sağlayan en küçük tam sayı x=11x = 11'dir.
Gün sayısı tam sayı olmalıdır ve 10'dan büyük en küçük tam sayı 11'dir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik kurma ve çözme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 760Soru →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda A ve B olmak üzere iki farklı tip şarj ünitesi bulunmaktadır. Bu istasyondaki şarj süreçleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A ünitesine bağlanan bir araç saatte 1212 kWh, B ünitesine bağlanan bir araç ise saatte 1818 kWh elektrik enerjisi çekmektedir.
* Bir gün boyunca bu istasyona gelen toplam 3030 aracın bir kısmı sadece A ünitesinde eşit sürede, kalan kısmı ise sadece B ünitesinde eşit sürede şarj edilmiştir.
* A ünitesinde şarj olan her bir aracın şarj süresi, B ünitesinde şarj olan her bir aracın şarj süresinden 11 saat fazladır.
* Araçların şarj süreleri saat cinsinden birer pozitif tam sayıdır.
* Gün boyunca tüm araçların istasyonda şarj oldukları sürelerin toplamı 7878 saattir.

Buna göre, gün boyunca bu araçların istasyondan çektiği toplam elektrik enerjisi kaç kWh'tir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1080

Cevap

Toplam elektrik enerjisi 1080 kWh'tir.
Doğru olan 1080 değeri, şarj sürelerinin pozitif tam sayı kısıtlaması altında 30t+x=7830t + x = 78 denklemini sağlayan tek değer olan t=2t = 2 ve buna bağlı olarak x=18x = 18, y=12y = 12 araç sayılarının belirlenmesi ve ünitelerin saatlik tüketim miktarlarıyla şarj sürelerinin çarpılıp toplanması sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B ünitelerinde şarj olan araç sayıları ile şarj süreleri arasındaki ilişkileri belirten denklemleri kurmak.
A ünitesini kullanan araç sayısı xx, B ünitesini kullanan araç sayısı yy olsun. Bu durumda x+y=30x + y = 30 olur. B ünitesinde şarj olan araçların süresi tt saat (pozitif tam sayı) ise, A ünitesindekilerin süresi t+1t + 1 saat olur. Toplam şarj süresi denklemi: x⋅(t+1)+y⋅t=78x \cdot (t + 1) + y \cdot t = 78 olarak yazılır.
Problemdeki sözel verileri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
Toplam süre denklemini sadeleştirerek bilinmeyenleri sınırlandırmak.
x⋅t+x+y⋅t=78  ⟹  (x+y)⋅t+x=78x \cdot t + x + y \cdot t = 78 \implies (x + y) \cdot t + x = 78 elde edilir. x+y=30x + y = 30 değeri yerine yazıldığında 30t+x=7830t + x = 78 denklemine ulaşılır.
İki bilinmeyenli ortak bir denklem yapısı elde ederek tam sayı çözümlerini araştırmak için.
3
Tam sayı kısıtlamalarını kullanarak tt ve xx değerlerini tespit etmek.
30t+x=7830t + x = 78 denkleminde tt pozitif bir tam sayıdır. Ayrıca x<30x < 30 olmalıdır (çünkü x+y=30x + y = 30 ve her iki grupta da araç vardır). t=1t = 1 için x=48x = 48 olur (çelişki). t≥3t \ge 3 için 30t≥9030t \ge 90 olur ve xx negatif çıkar (çelişki). Bu durumda tek geçerli çözüm t=2t = 2 ve x=18x = 18 olarak bulunur. Buradan y=30−18=12y = 30 - 18 = 12 elde edilir.
Değişkenlerin tam sayı ve pozitif olması kısıtını kullanarak tekil çözüme ulaşmak için.
4
Araçların çektiği toplam elektrik enerjisini hesaplamak.
Toplam enerji E=12⋅x⋅(t+1)+18⋅y⋅tE = 12 \cdot x \cdot (t+1) + 18 \cdot y \cdot t şeklindedir. Bulunan değerler yerine yazıldığında: E=12⋅18⋅3+18⋅12⋅2=648+432=1080E = 12 \cdot 18 \cdot 3 + 18 \cdot 12 \cdot 2 = 648 + 432 = 1080 kWh bulunur. Alternatif olarak, E=36x+36y=36(x+y)=36⋅30=1080E = 36x + 36y = 36(x+y) = 36 \cdot 30 = 1080 kWh olarak da hesaplanabilir.
Çekilen enerji miktarını ünitelerin saatlik tüketim değerleri ve şarj süreleriyle çarparak toplamı bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri (Denklem Kurma, Değişken Kısıtlama ve Tam Sayı Analizi)
ÖncekiSayfa 38 / 45Sonraki
Problemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 38 | Examkin