Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 3

Bir $n$ pozitif tam sayısının en büyük asal çarpanı $P(n)$ ile gösterilmektedir.

n

iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,

P(n) + P(n+1) = 18

eşitliğini sağlayan kaç farklı

n

değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı 6 farklı n doğal sayısı vardır.

Toplamları 18 olan asal sayı ikilileri {5, 13} veya {7, 11} olabilir. Bu durumlara uyan ve n ile n+1 ardışık sayılarının en büyük asal çarpan koşullarını sağlayan iki basamaklı n sayıları sırasıyla 21, 25, 39, 55, 90 ve 98 olmak üzere 6 adettir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplamları 18 olan asal sayı çiftlerinin belirlenmesi

Asal sayılar kümesi düşünüldüğünde, toplamları 18 olan asal sayı ikilileri sadece {5, 13} ve {7, 11} olabilir.

P(n) ve P(n+1) değerleri birer asal sayı olmak zorundadır.

2

P(n) = 5 ve P(n+1) = 13 durumunun çözülmesi

n = 25 ve n = 90 elde edilir.

n+1 sayısının 100'den küçük ve en büyük asal çarpanı 13 olan katları incelenir: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91. Bu sayıların 1 eksiği olan n değerleri içinden en büyük asal çarpanı 5 olanlar (25 ve 90) seçilir.

3

P(n) = 13 ve P(n+1) = 5 durumunun çözülmesi

n = 39 elde edilir.

n sayısının en büyük asal çarpanı 13 olmalıdır. İki basamaklı 13'ün katları içinden n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 5 olan durum n = 39 (n+1 = 40) olarak bulunur.

4

P(n) = 7 ve P(n+1) = 11 durumunun çözülmesi

n = 21 ve n = 98 elde edilir.

n+1 sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 eksiği olan n sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 21 (n+1 = 22) ve n = 98 (n+1 = 99) değerleri bulunur.

5

P(n) = 11 ve P(n+1) = 7 durumunun çözülmesi

n = 55 elde edilir.

n sayısının en büyük asal çarpanı 11 olmalıdır. İki basamaklı 11'in katları incelenip, 1 fazlası olan n+1 sayısının en büyük asal çarpanının 7 olduğu n = 55 (n+1 = 56) değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Asal sayılar ve asal çarpanlar yardımıyla denklem çözme

Soru 42Soru →

En az iki farklı asal çarpanı olan bir pozitif tam sayının asal çarpanlarına ayrılmış biçiminde, asal çarpanlardan yalnızca birinin üssü $2$ , diğer tüm asal çarpanların üssü ise $1$ ise bu sayıya asal-katlı sayı denir.

Buna göre, üç basamaklı en küçük asal-katlı sayı ile iki basamaklı en büyük asal-katlı sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 215

Cevap

Üç basamaklı en küçük asal-katlı sayı ile iki basamaklı en büyük asal-katlı sayının toplamı 215'tir.

Üç basamaklı en küçük asal-katlı sayı

2^2 \cdot 29 = 116

ve iki basamaklı en büyük asal-katlı sayı

3^2 \cdot 11 = 99

olduğundan, bu iki sayının toplamı

116 + 99 = 215

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Tanımın analiz edilmesi

Asal-katlı sayıların asal çarpan açılımında yalnızca bir tane üssü 2 olan çarpan, diğerlerinin üslerinin ise 1 olması gerektiği tespit edildi.

Soruda verilen kuralın matematiksel modelini oluşturmak amacıyla.

2

Üç basamaklı en küçük sayının bulunması

2^2 \cdot 29 = 116

sayısı en küçük üç basamaklı asal-katlı sayı olarak belirlendi.

Olası diğer asal çarpan kombinasyonları ile kıyaslandığında en küçük değere ulaşmak için.

3

İki basamaklı en büyük sayının bulunması

3^2 \cdot 11 = 99

sayısı en büyük iki basamaklı asal-katlı sayı olarak belirlendi.

100'den küçük sayılar arasından tanıma uyan en büyük değeri bulmak için.

4

Toplam işleminin yapılması

116 + 99 = 215

Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Asal Çarpanlara Ayırma ve Üs Analizi

Soru 43Soru →

Kaan, elindeki kartları her gün bir önceki günden 1 kart fazla olacak şekilde belirli sayıda gün boyunca gruplandırmıştır. Kaan 1. gün $a$ tane, 2. gün $a+1$ tane ve bu şekilde devam ederek son gün $a+n-1$ tane kart gruplandırmış ve toplamda 180 kart elde etmiştir. Eğer Kaan her gün bir önceki günden 2 kart fazla olacak şekilde kartları gruplandırsaydı (yani 1. gün $a$ tane, 2. gün $a+2$ tane, ..., son gün $a+2n-2$ tane), yine aynı sürede (yani $n$ günde) toplamda 216 kart elde edecekti. Buna göre, Kaan kartları toplam kaç gün boyunca gruplandırm��ştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Kaan kartları toplam 9 gün boyunca gruplandırmıştır.

İkinci durumda her gün bir önceki güne göre fazladan yapılan artışların toplamı, birinci durumdaki toplam artışların tam iki katıdır. Bu iki durum arasındaki fark alındığında,

\frac{n(n-1)}{2} = 36

denklemi elde edilir. Buradan

n(n-1) = 72

olur ve ardışık iki sayının çarpımı şeklinde yazıldığında

9 \cdot 8 = 72

olduğundan toplam gün sayısı 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci durumdaki kartların toplam sayısını veren cebirsel ifadeyi kurmak

n \cdot a + \frac{n(n-1)}{2} = 180

1'den

n-1

'e kadar olan ardışık tam sayıların toplamı

\frac{n(n-1)}{2}

formülü ile hesaplanır.

2

İkinci durumdaki kartların toplam sayısını veren cebirsel ifadeyi kurmak

n \cdot a + n(n-1) = 216

2'den

2n-2

'ye kadar olan çift ardışık tam sayıların toplamı

2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)

formülü ile hesaplanır.

3

İki durumu taraf tarafa çıkararak ortak terimleri yok etmek ve

n

değerini hesaplamak

n = 9

Elde edilen denklemlerin farkı

\frac{n(n-1)}{2} = 36

sonucunu verir. Pozitif tam sayılarda bu eşitliği sağlayan değer 9'dur.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik dizi toplam formülleri

Alternatif Yöntem

Birinci durumda her gün eklenen fazlalıklar

0, 1, 2, \dots, n-1

iken ikinci durumda

0, 2, 4, \dots, 2n-2

'dir. Gün gün farkları aldığımızda farklar sırasıyla

0, 1, 2, \dots, n-1

olur. Bu farkların toplamı doğrudan iki toplamın farkına eşit olmalıdır:

0 + 1 + 2 + \dots + (n-1) = 216 - 180 \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} = 36 \Rightarrow n = 9

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 44Soru →

Bir $x$ pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı $P(x)$ ile gösterilmektedir.

Örneğin; $P(12) = 2 \cdot 3 = 6$ ve $P(25) = 5$ ’tir.

Buna göre,

P(n^2 - 1) = 6

eşitliğini sağlayan tüm

n

pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

12

15

24

29

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Eşitliği sağlayan tüm

n

pozitif tam sayılarının toplamı 29'dur.

Denklemi sağlayan

n

pozitif tam sayı değerleri 5, 7 ve 17'dir. Bu sayıların toplamı 29'dur.

Adım Adım Çözüm

1

P(x) = 6

ifadesinin matematiksel karşılığını belirleme.

n^2 - 1

ifadesinin asal çarpanları sadece 2 ve 3 olmalıdır.

Çarpımı 6 olan asal sayılar yalnızca 2 ve 3'tür. Dolayısıyla

n^2 - 1 = 2^a \cdot 3^b

(

a \ge 1, b \ge 1

) olmalıdır.

2

n

sayısının teklik-çiftlik durumunu inceleme.

n

bir tek sayı olmalıdır.

n^2 - 1

çift bir sayı olmak zorundadır (en az bir tane 2 asal çarpanı içerir). Bu yüzden

n^2

tek, dolayısıyla

n

tek sayıdır.

3

n^2 - 1

ifadesini çarpanlarına ayırma ve ardışık sayı analizi yapma.

n-1

ve

n+1

ardışık çift sayılardır ve en büyük ortak bölenleri 2'dir.

n

tek sayı olduğundan

n-1

ve

n+1

ardışık iki çift sayıdır. Bu iki sayının en büyük ortak böleni 2 olduğundan, ortak olmayan asal çarpanları birbirinden farklı olmak zorundadır.

4

Ardışık çift sayıları ortak çarpan parantezine alarak ardışık tam sayılara dönüştürme.

Y - X = 1

olacak şekilde asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan

X

ve

Y

tam sayıları bulunmalıdır.

n-1 = 2X

ve

n+1 = 2Y

yazıldığında

Y - X = 1

olur. Burada

X

ve

Y

'nin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3 kümesinin elemanları olabilir.

5

Koşula uygun ardışık

(X, Y)

çiftlerini belirleme.

Uygun çiftler

(1,2)

,

(2,3)

,

(3,4)

ve

(8,9)

'dur.

Asal çarpanları

\{2, 3\}

kümesinde kalan ve aralarında 1 fark olan ardışık tam sayı çiftleri bunlardır.

6

Bulunan çiftlerden

n

değerlerini elde etme ve denklemi sağladıklarını kontrol etme.

n = 5

,

n = 7

ve

n = 17

değerleri denklemi sağlarken,

n = 3

değeri sağlamaz.

n-1 = 2X \implies n = 2X + 1

formülünden:
-

(1,2) \implies n=3

. Ancak

n^2-1 = 8

olup

P(8)=2 \neq 6

(sağlamaz).
-

(2,3) \implies n=5

.

n^2-1 = 24

olup

P(24)=6

(sağlar).
-

(3,4) \implies n=7

.

n^2-1 = 48

olup

P(48)=6

(sağlar).
-

(8,9) \implies n=17

.

n^2-1 = 288

olup

P(288)=6

(sağlar).

7

Geçerli

n

değerlerini toplama.

5 + 7 + 17 = 29

Soruda istenen, eşitliği sağlayan tüm pozitif

n

tam sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlarına ayırma ve ardışık tam sayıların asal çarpan özellikleri.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 45Soru →

En küçük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının çarpımı kaçtır?

11

20

22

33

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

En küçük asal sayı olan 2 ile iki basamaklı en küçük asal sayı olan 11'in çarpımı olan 22'dir.

En küçük asal sayı 2'dir. İki basamaklı en küçük asal sayı ise 11'dir. Bu iki sayının çarpımı 22 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

En küçük asal sayıyı belirleme

2

Asal sayılar 2'den başlar ve en küçük asal sayı 2'dir.

2

İki basamaklı en küçük asal sayıyı belirleme

11

İki basamaklı sayılar 10'dan başlar. 10 sayısı 2 ve 5'e bölündüğü için asal değildir. Bu nedenle iki basamaklı en küçük asal sayı 11'dir.

3

Bulunan bu iki asal sayıyı çarpma

2 * 11 = 22

Soru kökünde bu iki sayının çarpımı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Asal sayıların tanımı ve en küçük asal sayıların belirlenmesi

Tahmini Süre:45s

Soru 46Soru →

İki basamaklı $AB$ doğal sayısının onlar basamağı 3 artırılıp, birler basamağı 4 azaltıldığında elde edilen yeni sayı ile $AB$ sayısının toplamı 116 olmaktadır. Buna göre, $AB$ sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

İki basamaklı

AB

doğal sayısı 45'tir.

Onlar basamağı 3 artan ve birler basamağı 4 azalan bir sayının değeri

30 - 4 = 26

artar. Sayının ilk hâli

AB

ise, yeni hâli

AB + 26

olur. Bu iki sayının toplamı

AB + (AB + 26) = 116

denklemine eşittir. Denklem çözüldüğünde

2 \cdot AB = 90

ve buradan

AB = 45

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Basamaklarındaki değişimlerin sayının değerine olan net etkisini hesaplama

Yeni sayı, başlangıçtaki

AB

sayısından 26 fazladır (

AB + 26

).

Onlar basamağının basamak değeri 10 olduğundan 3 artış sayıyı 30 artırır. Birler basamağının basamak değeri 1 olduğundan 4 azalış sayıyı 4 azaltır. Net değişim

+30 - 4 = +26

olur.

2

Verilen toplam ilişkisini kullanarak denklem kurma

2 \cdot AB + 26 = 116

denklemi elde edilir.

AB

sayısı ile yeni elde edilen

AB + 26

sayısının toplamı 116 olarak verilmiştir.

3

Denklemi çözerek başlangıçtaki sayıyı bulma

AB = 45

olarak bulunur.

2 \cdot AB = 90

eşitliğinde her iki taraf 2'ye bölünerek bilinmeyen sayı yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Basamak değeri kavramı ve basamaklar üzerindeki değişimlerin sayı değerine etkisinin çözümlenerek denkleme aktarılmas��.

Soru 47Soru →

Birer tam sayı olan

a

,

b

ve

c

için

(a + b) \cdot c

ifadesi bir tek sayıya,

b + c

ifadesi ise bir çift sayıya eşittir.

Buna göre;

I. $a + b + c$
II. $b \cdot (a + c)$
III. $a \cdot (b + c)$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri her zaman çift sayıdır.

(a + b) \cdot c

tek sayı olduğundan hem

a + b

hem de

c

tek sayıdır.

b + c

çift sayı ve

c

tek sayı olduğundan

b

tek sayıdır.

a + b

tek sayı ve

b

tek sayı olduğundan

a

çift sayıdır. Bu duruma göre, I. öncüldeki

a + b + c

ifadesi çift + tek + tek = çift sayı olur. III. öncüldeki

a \cdot (b + c)

ifadesinde

a

çift sayı olduğundan sonuç her zaman çift sayı olur. Dolayısıyla I ve III ifadeleri her zaman çift sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1

(a + b) \cdot c

ifadesinin tek sayı olmasından yararlanarak çarpanların teklik-çiftlik durumlarını belirlemek.

(a + b)

ifadesi tek sayı ve

c

ifadesi tek sayı olmalıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

b + c

ifadesinin çift sayı olmasından yararlanarak

b

sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.

c

tek sayı olduğundan,

b

sayısının da tek sayı olması gerekir.

Tek bir sayı ile ancak başka bir tek sayının toplamı çift sayı sonucunu verir.

3

a + b

ifadesinin tek sayı olmasından yararlanarak

a

sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.

b

tek sayı olduğundan,

a

sayısının çift sayı olması gerekir.

Tek bir sayı ile ancak bir çift sayının toplamı tek sayı sonucunu verir. Böylece

a

çift,

b

tek ve

c

tek sayı olarak bulunmuştur.

4

Belirlenen teklik-çiftlik durumlarını öncüllerde yerine yazarak incelemek.

I. öncül: çift + tek + tek = çift sayı olur (Doğru). II. öncül: tek * (çift + tek) = tek * tek = tek sayı olur (Yanlış). III. öncül: çift * (tek + tek) = çift * çift = çift sayı olur (Doğru).

Her bir öncülün teklik-çiftlik kurallarına göre sonucunu kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik durumlarının toplama ve çarpma işlemlerindeki özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 48Soru →

x

bir tam sayı olmak üzere,

(x^2 - 4) \cdot (x - 3)^3 \cdot x \le 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı pozitif

x

tam sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların sayısı 2'dir.

Eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi

\{-2, -1, 0, 2, 3\}

olarak bulunur. Bu sayılardan pozitif olanlar yalnızca 2 ve 3 sayılarıdır. Sıfır sayısı nötr olduğu için pozitif sayı sınıfına girmez. Dolayısıyla doğru cevap 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Çarpanların köklerini bulmak

x = -2, 0, 2, 3

Eşitsizlik sınırlarını ve işaret değişim noktalarını belirlemek için her bir çarpanı sıfıra eşitlemeliyiz.

2

İşaret tablosunu oluşturmak

[-2, 0] \cup [2, 3]

aralığı negatif veya sıfırdır.

Kökler yardımıyla oluşturulan işaret tablosunda, en büyük kök olan 3'ün sağında ifadenin işareti (+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişerek ilerler.

3

Aralıklardaki tam sayı değerlerini belirlemek

x \in \{-2, -1, 0, 2, 3\}

[-2, 0]

ve

[2, 3]

kapalı aralıklarında yer alan tam sayıları listelememiz gerekir.

4

Sıfırın nötr olma özelliğini kullanarak pozitif sayıları seçmek

x \in \{2, 3\}

(toplam 2 adet)

Sıfır sayısı pozitif veya negatif değildir, işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Bu nedenle çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar sadece 2 ve 3'tür.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar ile Sıfırın İşaretsiz (Nötr) Olma Özelliği

Soru 49Soru →

Bir kırtasiyeci; elindeki $a$ adet kalemi, her bir kutuda $b$ adet kalem olacak şekilde paketlediğinde geriye $c$ adet kalem kalmaktadır. Bu kırtasiyeci daha sonra paketlediği kutulardan $c$ tanesini açıp bu kutulardaki tüm kalemleri paketlenmeyen $c$ adet kalemle birleştirdiğinde elde ettiği toplam kalem sayısının tek sayı olduğunu görüyor.

$a$ , $b$ ve $c$ sayıları pozitif tam sayılar olduğuna göre,
I. $a + c$
II. $c^b$
III. $a \cdot b + c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I

Yalnız I öncülü her zaman çift sayıdır. Çünkü

a

ve

c

sayılarının her ikisi de tek sayıdır. İki tek sayının toplamı her zaman çift sayı olduğundan

a + c

ifadesi her zaman çifttir.

Adım Adım Çözüm

1

Kutulardan çıkarılan kalemler ile kalan kalemlerin birleştirilmesiyle elde edilen toplam kalem sayısını cebirsel olarak ifade etme.

Açılan

c

adet kutunun her birinde

b

adet kalem olduğu için bu kutulardan toplam

c \cdot b

adet kalem gelir. Kalan

c

adet kalemle birleştirildiğinde toplam kalem sayısı

c \cdot b + c = c(b + 1)

olur.

Soruda verilen birleştirme işleminin sonucunu teklik-çiftlik yönünden inceleyebilmek i��in toplam kalem miktarını belirlemeliyiz.

2

c(b + 1)

ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak

b

ve

c

değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını belirleme.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan

c

tek sayı ve

b + 1

tek sayı olarak bulunur.

b + 1

tek ise

b

çift sayıdır.

Çarpma işleminin teklik-çiftlik kurallarına göre, sonucun tek olması yalnızca tüm çarpanların tek olması durumunda mümkündür.

3

a = k \cdot b + c

eşitliğini kullanarak

a

sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleme.

b

çift sayı olduğundan, kutu sayısı olan

k

pozitif tam sayısı ile çarpımı

k \cdot b

her zaman çift sayıdır.

c

tek sayı olduğundan,

a = k \cdot b + c = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek}

sayı bulunur.

Başlangıçtaki toplam kalem sayısı

a

'nın teklik-çiftlik durumunu bulmak için kutulardaki toplam kalem sayısı ile kalan kalem sayısının toplamını analiz etmeliyiz.

4

Öncülleri elde edilen

a

(tek),

b

(çift) ve

c

(tek) değerlerine göre değerlendirme.

I.

a + c = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

sayıdır (Her zaman çift).
II.

c^b = \text{tek}^{\text{çift}} = \text{tek}

sayıdır (

c

tek ve

b

pozitif tam sayı olduğundan).
III.

a \cdot b + c = \text{tek} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek}

sayıdır.

Öncüllerin hangilerinin her zaman çift sayı olduğunu belirlemek için bulduğumuz teklik-çiftlik özelliklerini ifadelerde yerlerine koyarız.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemlerinde teklik ve çiftlik durumlarının belirlenmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 50Soru →

$x$ ve $y$ birden büyük birer tam sayı olmak üzere,

x! \cdot (x+1)! = y!

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x + y$ toplam��nın değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İstenen toplamın değeri 16'dır.

Denklemin her iki tarafı

(x+1)!

ile bölündüğünde

x! = \frac{y!}{(x+1)!}

elde edilir. Sağ taraf ardışık çarpım olarak yazıldığında

x! = (x+2) \cdot (x+3) \dots y

olur.

x > 1

için bu eşitliği sağlayan tek değer

x = 6

olup,

6! = 720 = 8 \cdot 9 \cdot 10

eşitliğinden

y = 10

bulunur. Buradan

x + y = 16

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Denklemi sadeleştirme için düzenleme

x! = \frac{y!}{(x+1)!}

Faktöriyel terimlerini bölme biçiminde yazarak ardışık sayıların çarpımı ilişkisini kurmak.

2

Sağ tarafı ardışık çarpanlarına ayırma

x! = (x+2) \cdot (x+3) \cdot \dots \cdot y

Faktöriyel tanımı gereği ardışık iki faktöriyelin bölümü, aradaki sayıların çarpımına eşittir.

3

Eşitliği sağlayan x ve y değerlerini bulma

x = 6

ve

y = 10

x=6

için

6! = 720

ve

x+2=8

ile başlayan ardışık çarpım

8 \cdot 9 \cdot 10 = 720

olduğundan eşitlik sağlanır. Buradan

y=10

elde edilir.

4

Değişkenlerin toplamını hesaplama

x + y = 16

Soruda istenen

x + y

değerini bulmak için elde edilen tam sayı değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve ardışık çarpım ilişkisi

Soru 51Soru →

Bir

A

doğal sayısı

A = \frac{10! + 9!}{8!} - \frac{7! - 6!}{5!}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre, $A$ sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

7

8

10

16

31

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İfadeler sadeleştirildiğinde elde edilen 63 sayısının asal çarpanlarının toplamı 10'dur.

Verilen A sayısı ifadesinde faktöriyelli terimler ortak paranteze alınarak sadeleştirilir. Birinci terim 99, ikinci terim 36 olarak bulunur. Buradan A = 63 elde edilir. 63 sayısının asal çarpanları 3 ve 7 olduğundan, bu çarpanların toplamı 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1

İfadenin birinci terimi olan

\frac{10! + 9!}{8!}

kısmını sadeleştirmek için payı

9!

parantezine alalım.

\frac{9!(10 + 1)}{8!} = \frac{9! \cdot 11}{8!}

elde edilir.

Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayı küçük olan sayı cinsinden yazılarak ortak çarpan parantezine alınır.

2

Bulunan ifadede

9! = 9 \cdot 8!

açılımını yazarak paydadaki

8!

ile sadeleştirelim.

9 \cdot 11 = 99

bulunur.

Pay ve paydadaki ortak

8!

terimleri birbirini sadeleştirir.

3

İfadenin ikinci terimi olan

\frac{7! - 6!}{5!}

kısmını sadeleştirmek için payı

6!

parantezine alalım ve

6! = 6 \cdot 5!

açılımını kullanarak sadeleştirelim.

\frac{6!(7 - 1)}{5!} = \frac{6 \cdot 5! \cdot 6}{5!} = 6 \cdot 6 = 36

bulunur.

Benzer şekilde büyük terimler küçük terim cinsinden yazılarak sadeleştirme tamamlanır.

4

A

sayısını bulmak için elde edilen sadeleşmiş değerleri birbirinden çıkaralım.

A = 99 - 36 = 63

elde edilir.

Denklemdeki çıkarma işlemi uygulanır.

5

63

sayısını asal çarpanlarına ayıralım ve asal çarpanlarını toplayalım.

63 = 3^2 \cdot 7

olduğundan asal çarpanlar 3 ve 7'dir. Toplamları ise

3 + 7 = 10

olur.

A

sayısının asal çarpanlarının toplamı sorulduğu için asal çarpan analizi yapılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel İfadelerde Ortak Çarpan Parantezine Alma ve Sadeleştirme

Alternatif Yöntem

İfadeler tek tek açılmak yerine, faktöriyel tanımı gereği küçük olan terim cinsinden yazılarak doğrudan sadeleştirilebilir. Örneğin, 10! + 9! = 9! * (10 + 1) = 11 * 9! şeklinde yazılıp 8! ile sadeleştirildiğinde 11 * 9 = 99 sonucu daha hızlı elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 52Soru →

İki basamaklı $AB$ doğal sayısının onlar basamağındaki rakam 3 azaltılıp, birler basamağındaki rakam 5 artırılarak iki basamaklı yeni bir sayı elde ediliyor.

Buna göre, başlangıçtaki $AB$ sayısı elde edilen yeni sayıdan kaç fazladır?

2

15

25

35

47

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Başlangıçtaki sayı yeni sayıdan 25 fazladır.

Onlar basamağındaki 3 azalış sayıyı 30 azaltırken, birler basamağındaki 5 artış sayıyı 5 artırır. Bu durumda sayı net olarak 25 azalır. Dolayısıyla başlangıçtaki sayı, yeni sayıdan 25 fazladır.

Adım Adım Çözüm

1

Onlar basamağındaki değişimin sayının değerine etkisini hesaplamak

Onlar basamağının basamak değeri 10 olduğundan, bu basamaktaki 3 azalış sayının değerini

3 \times 10 = 30

azaltır.

Bir basamaktaki rakamın değişimi, o basamağın basamak değeriyle çarpılarak sayının değerindeki toplam değişime yansıtılır.

2

Birler basamağındaki değişimin sayının değerine etkisini hesaplamak

Birler basamağının basamak değeri 1 olduğundan, bu basamaktaki 5 artış sayının değerini

5 \times 1 = 5

artırır.

Birler basamağının basamak değeri 1 olduğundan, rakamdaki artış miktarının kendisi kadar sayının değerine eklenir.

3

Sayıdaki net değişimi bulmak ve farkı belirlemek

Net değişim

-30 + 5 = -25

olarak bulunur. Yani yeni sayı, başlangıçtaki sayıdan 25 eksiktir. Bu da başlangıçtaki sayının yeni sayıdan 25 fazla olduğunu gösterir.

Azalma ve artış miktarları toplanarak sayının son durumdaki net değişimi tespit edilir.

Anahtar Kavram

İki basamaklı bir sayının basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle basamak değerlerinin belirlenmesi.

Soru 53Soru →

Birer gerçel sayı olan $x$ , $y$ ve $z$ için,

* $-x^2$ ve $(-x)^2$ ifadeleri farklı işaretlidir.
* $x \cdot y^2 = 0$
* $y - z > 0$
* $x^3 \cdot z < 0$

bilgileri veriliyor.

Buna göre; $x$ , $y$ ve $z$ sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

+, işaretsiz, -

+, -, -

-, işaretsiz, -

+, işaretsiz, +

-, +, -

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: +, işaretsiz, -

Cevap

Birinci bileşenin pozitif, ikinci bileşenin işaretsiz ve üçüncü bileşenin negatif olduğu durum

Verilen öncüllere göre,

-x^2

ile

(-x)^2

ifadelerinin farklı işaretli olması

x

sayısının sıfır olmamasını gerektirir. Bu durumda

x \cdot y^2 = 0

eşitliğinden

y = 0

(işaretsiz) sonucu çıkar.

y - z > 0

eşitsizliğinden

z

sayısının negatif olduğu,

x^3 \cdot z < 0

eşitsizliğinden ise

x

sayısının pozitif olduğu tespit edilir. Dolayısıyla sırasıyla pozitif, işaretsiz, negatif sıralaması doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

-x^2

ve

(-x)^2

ifadelerinin işaretlerini inceleyerek

x

sayısı hakkında çıkar��m yapma.

x \neq 0

olmalıdır.

Herhangi bir

x

gerçel sayısı için

-x^2 \le 0

ve

(-x)^2 \ge 0

olur. Eğer

x = 0

olsaydı, her iki ifade de

0

(i��aretsiz) olurdu ve farklı işaretli olamazlardı. Farklı işaretli olabilmeleri için

x

sıfırdan farklı olmalıdır. Bu durumda

-x^2

negatif,

(-x)^2

ise pozitif işaretli olur.

2

x \cdot y^2 = 0

eşitliğini kullanarak

y

sayısının değerini ve işaretini belirleme.

y = 0

olup işaretsizdir.

İlk adımda

x \neq 0

olarak bulunmuştu. Çarpımın sıfır olabilmesi için

y^2 = 0 \implies y = 0

olmalıdır. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır.

3

y - z > 0

eşitsizliğini kullanarak

z

sayısının işaretini belirleme.

z < 0

(negatif) olmalıdır.

y = 0

değeri eşitsizlikte yerine yazılırsa

0 - z > 0 \implies -z > 0 \implies z < 0

elde edilir. Bu da

z

sayısının negatif olduğunu gösterir.

4

x^3 \cdot z < 0

eşitsizliğini kullanarak

x

sayısının işaretini belirleme.

x > 0

(pozitif) olmalıdır.

z < 0

(negatif) olduğundan,

x^3 \cdot z < 0

eşitsizliğinin sağlanması için

x^3

ifadesinin pozitif olması gerekir. Gerçel sayılarda

x^3 > 0 \implies x > 0

olur. Dolayısıyla

x

sayısı pozitif işaretlidir.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olması ve negatif sayıların parantezli çift kuvvetlerinin pozitif, parantezsiz önünde eksi olan çift kuvvetlerin negatif olması özelliklerinin analiz edilmesi.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerde verilen işaret sıralamaları sırasıyla

x

,

y

ve

z

yerine yazılarak öncüllerin doğruluğu test edilebilir. Örneğin, ikinci bileşenin sıfırdan farklı olduğu seçenekler elenerek doğrudan işaretsiz olan seçeneklere odaklanılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 54Soru →

n

bir doğal sayı olmak üzere,

(n+2)! - (n+1)! - n! = 48 \cdot n!

eşitliğini sağlayan

n

değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan

n

doğal sayısı 6'dır.

Verilen denklemde sol taraf

n!

ortak parantezine alındığında

n! \cdot n(n+2) = 48 \cdot n!

elde edilir. Her iki taraf

n!

ile sadeleştirildiğinde ardışık iki çift sayının çarpımı 48 olan tek pozitif tam sayı değerinin 6 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Faktöriyel ifadelerini ortak terim cinsinden yazma

(n+2)! = (n+2)(n+1)n!

ve

(n+1)! = (n+1)n!

Sol taraftaki tüm terimleri en küçük faktöriyelli ifade olan

n!

ortak parantezine alabilmek için.

2

Ortak paranteze alma ve sadeleştirme

n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n)

Sol taraftaki ifadeyi tek bir terim haline getirmek için.

3

Eşitliğin her iki tarafını

n!

ile sadeleştirme

n(n+2) = 48

n

bir doğal sayı olduğundan

n!

değeri sıfırdan büyüktür ve sadeleştirilebilir.

4

İkinci dereceden denklemi çözme

n^2 + 2n - 48 = 0 \implies (n-6)(n+8) = 0 \implies n = 6

n

doğal sayı olmak zorunda olduğundan negatif kök olan

-8

elenir ve

n = 6

bulunur.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerde ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yapılması ve elde edilen denklemin çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Denklem

n(n+2) = 48

aşamasına geldikten sonra, aralarında 2 fark bulunan ve çarpımları 48 olan iki pozitif tam sayının

6

ve

8

olduğu doğrudan görülerek

n=6

bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 55Soru →

Birer tam sayı olan

x

,

y

ve

z

sayıları arasında

x + 2y = 3z + 1

eşitliği bulunmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

x^z

x + z

x \cdot z

y \cdot z

x + y + z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x \cdot z$

Cevap

x \cdot z

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Biri tek, diğeri çift olan iki tam sayının çarpımı (

x \cdot z

), çarpanlardan biri kesinlikle çift sayı olacağından her zaman çift sayı olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitlikteki terimlerin teklik-çiftlik durumlarını analiz etmek.

x + 2y = 3z + 1

eşitliğinde,

2y

terimi

y

bir tam sayı olduğu için her zaman çift bir sayıdır. Dolayısıyla eşitlik

x + \text{Çift} = 3z + 1

biçimini alır.

Bir tam sayının 2 ile çarpımı daima çifttir.

2

x

ve

z

değişkenleri arasındaki ilişkiyi belirlemek.

x

ile

3z + 1

ifadelerinin teklik-çiftlik durumları aynı olmalıdır. Bu durumda

x

tek sayı ise

3z

çift (yani

z

çift) olur;

x

çift sayı ise

3z

tek (yani

z

tek) olur. Sonuç olarak,

x

ile

z

sayılarının teklik-çiftlik durumları terstir.

Eşitliğin sol tarafındaki çift sayı toplama işleminin paritesini değiştirmez, bu nedenle sol tarafın paritesi

x

ile aynıdır.

3

Her zaman çift olan ifadeyi bulmak.

x

ve

z

sayılarından biri çift, diğeri tek olduğundan çarpımları olan

x \cdot z

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Çarpanlardan en az birinin çift sayı olması, çarpımın sonucunu daima çift sayı yapar.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayı özellikleri ile tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin paritesi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 56Soru →

Üç basamaklı bir

ABC

doğal sayısı için

K(ABC)

işlemi,

K(ABC) = AB + BC + CA

biçiminde tanımlanıyor. Burada

AB

,

BC

ve

CA

iki basamaklı doğal sayılardır.

Üç basamaklı $ABC$ doğal sayısı, rakamlarının toplamının 35 katına eşittir.

Buna göre, $K(ABC)$ işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Doğru yanıt 99'dur.

Çözümleme sonucunda elde edilen

65A = 25B + 34C

eşitliğinde 5 ile bölünebilme kuralı uygulandığında

C = 5

olmalıdır. Buradan elde edilen

13A = 5B + 34

eşitliğini sağlayan rakamlar

A=3

ve

B=1

'dir. Bu rakamlarla oluşturulan iki basamaklı sayıların toplamı

31 + 15 + 53 = 99

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sayıyı basamaklarına çözümleyerek verilen bağıntıyı denkleme dönüştürmek

65A = 25B + 34C

100A + 10B + C = 35(A + B + C)

denklemindeki terimler bir araya toplanarak sadeleştirilmiştir.

2

Bölünebilme analizini kullanarak birler basamağını tespit etmek

C = 5

65A

ve

25B

sayıları 5'in tam katı olduğundan

34C

sayısı da 5'in katı olmalıdır.

C

bir rakam olduğundan

0

veya

5

olabilir, ancak

C = 0

durumu rakam sınırlarını aşan değerler üretir.

3

Denklemde

C

yerine yazarak diğer rakamları elde etmek

A = 3

ve

B = 1

13A = 5B + 34

eşitliğini sağlayan tek rakam çifti

A = 3

ve

B = 1

değerleridir. Sayımız böylelikle

315

olarak bulunur.

4

İşlem tanımına göre iki basamaklı sayıları toplayıp sonuca ulaşmak

31 + 15 + 53 = 99

Rakamlar yerlerine yerleştirilerek

AB = 31

,

BC = 15

ve

CA = 53

sayıları toplanmıştır.

Anahtar Kavram

Sayı Basamakları Çözümleme ve Bölünebilme Yardımıyla Rakam Denklemi Çözme

Alternatif Yöntem

ABC = 35(A+B+C)

eşitliğinde

35

çarpanından dolayı

ABC

sayısının 5'in katı olması gerektiği doğrudan görülür. Bu nedenle birler basamağı

C = 0

veya

C = 5

olmalıdır.

C = 0

için

ABC = AB0

olup

10 \cdot AB = 35(A+B) \implies 20A + 2B = 7A + 7B \implies 13A = 5B

olur ki bunu sağlayan bir

B

rakamı bulunamaz. Böylelikle doğrudan

C = 5

durumu incelenerek çözüm süresi kısaltılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 57Soru →

$a$ ve $b$ birer irrasyonel sayı olmak üzere,
* $a + b$ toplamı bir rasyonel sayıdır.
* $a \cdot b$ çarpımı bir irrasyonel sayıdır.
bilgileri veriliyor.

Buna göre,
I. $a - b$
II. $a^2 - b^2$
III. $a^2 + b^2$

ifadelerinden hangileri her zaman bir irrasyonel sayıdır?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü ifadeler her zaman bir irrasyonel sayıdır.

Verilen koşullara göre, birinci ifade (

a - b

) ve üçüncü ifade (

a^2 + b^2

) her zaman irrasyonel sayı belirtmek zorundadır. Bu durum rasyonel sayıların işlemsel kapalılık özellikleri kullanılarak çelişki yöntemiyle kanıtlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1

a - b

ifadesinin her zaman irrasyonel olduğunu çelişki yöntemiyle ispatlamak.

a - b = q

olacak şekilde bir

q

rasyonel sayısı olduğunu varsayalım. Bize verilen

a + b = r

rasyonel sayısı ile bu ifadeyi taraf tarafa toplarsak:

(a - b) + (a + b) = q + r \Rightarrow 2a = q + r \Rightarrow a = \frac{q + r}{2}

elde edilir. Rasyonel sayılar kümesi toplama ve bölme işlemleri altında kapalı olduğundan

a

sayısı rasyonel olmalıdır. Bu durum

a

'nın irrasyonel bir sayı olmasıyla çelişir. Dolayısıyla,

a - b

her zaman irrasyoneldir.

İki sayının farkının karakterini belirlemek amacıyla, verilen toplam değerinin rasyonel olmasından yararlanarak çelişki yöntemi kurmak.

2

a^2 - b^2

ifadesinin her zaman irrasyonel olup olmadığını bir karşıt örnek ile incelemek.

a = \sqrt[4]{2}

ve

b = -\sqrt[4]{2}

irrasyonel sayılarını seçelim. Bu durumda

a + b = 0

(rasyonel) ve

a \cdot b = -\sqrt{2}

(irrasyonel) koşulları sağlanır. Ancak bu değerler için

a^2 - b^2 = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0

bulunur.

0

sayısı bir rasyonel sayı olduğundan,

a^2 - b^2

her zaman irrasyonel olmak zorunda değildir.

Bir önermenin genel geçerliliğini test etmek için koşulları sağlayan fakat sonucu rasyonel yapan bir uç durum (karşıt örnek) araştırmak.

3

a^2 + b^2

ifadesinin her zaman irrasyonel olduğunu özdeşlikler yardımıyla çelişki yöntemiyle ispatlamak.

a^2 + b^2 = k

olacak şekilde bir

k

rasyonel sayısı olduğunu varsayalım. Tam kare özdeşliğini kullanarak

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab

yazabiliriz.

a + b = r

rasyonel sayısı yerine yazılırsa:

k = r^2 - 2ab \Rightarrow 2ab = r^2 - k \Rightarrow ab = \frac{r^2 - k}{2}

elde edilir.

r

ve

k

rasyonel olduğundan,

\frac{r^2 - k}{2}

ifadesi de rasyonel olmalıdır. Bu durum,

a \cdot b

çarpımının irrasyonel olmasıyla çelişir. Dolayısıyla,

a^2 + b^2

her zaman irrasyoneldir.

Kareler toplamını, rasyonellik özellikleri bilinen toplam ve çarpım terimleri cinsinden ifade ederek tutarlılığını sorgulamak.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinde cebirsel işlemlerin kapalılığı ve çelişki yöntemi ile analiz

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 58Soru →

Doğal sayılar kümesi

\mathbb{N}

, tam sayılar kümesi

\mathbb{Z}

ve rasyonel sayılar kümesi

\mathbb{Q}

ile gösterilmektedir.

A = \left\{ \frac{x - 5}{3} : x \text{ bir rakam} \right\}

kümesi tanımlanıyor.
Buna göre,

A

kümesinin elemanlarından kaç tanesi

\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}

kümesinin bir elemanıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

A kümesinin elemanlarından rasyonel sayı olup tam sayı olmayanların sayısı 7'dir.

Rakamlar kümesi olan

\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

elemanları

x

yerine yazıldığında

A

kümesi

10

elemanlı bir küme olur. Bu kümenin elemanlarından tam sayı olan

\{-1, 0, 1\}

kümesi çıkarıldığında geriye kalan

7

elemanın tamamı rasyonel olup tam sayı değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Rakamlar kümesini belirlemek.

Rakamlar kümesi

\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

elemanlarından oluşur.

Kümedeki değişkenin alabileceği değerleri doğru tespit etmek için.

2

A kümesinin tüm elemanlarını hesaplamak.

A = \left\{ -\frac{5}{3}, -\frac{4}{3}, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3} \right\}

kümesi elde edilir.

Her bir

x

rakamı için fonksiyonun ürettiği değerleri görmek için.

3

Rasyonel olup tam sayı olmayan elemanları saptamak.

-1, 0

ve

1

tam sayıları elendiğinde geriye kalan

7

adet kesirli sayı

\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}

kümesine aittir.

Fark kümesinin tanımına uyan elemanları saymak için.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Fark İşlemi

Soru 59Soru →

a

,

b

ve

c

tam sayıları için

a \cdot (b + c)

ve

b \cdot (a + c)

ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. $a + b + c$
II. $a \cdot b + c$
III. $a \cdot c + b$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız II

Yalnız I

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I

Doğru cevap 'Yalnız I' ifadesidir. Yapılan ayrıntılı durum analizlerinde, her iki senaryoda da üçüncü değişkenin tek sayı olduğu, ilk iki değişkenden birinin tek, diğerinin ise çift sayı olduğu görülmüştür. Bu durumda, üç sayının toplamı bir çift sayı ile iki tek sayının toplamı olmaktadır. İki tek sayının toplamı çift olduğundan, sonuçta iki çift sayının toplamından elde edilen değer her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen iki çarpım ifadesinin teklik-çiftlik durumlarına göre olası iki senaryoyu belirleme.

Durum 1:

a \cdot (b + c)

ifadesinin tek,

b \cdot (a + c)

ifadesinin çift olması. Durum 2:

a \cdot (b + c)

ifadesinin çift,

b \cdot (a + c)

ifadesinin tek olması.

Soruda ifadelerden birinin tek, diğerinin çift olduğu belirtilmiştir.

2

Durum 1'i (

a \cdot (b + c)

tek ve

b \cdot (a + c)

��ift) analiz ederek değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını bulma.

a \cdot (b + c)

tek ise

a

tek ve

b + c

tek olmalıdır.

b + c

tek ise

b

ve

c

zıt paritededir (biri tek, diğeri çift). Eğer

b

tek olsaydı,

c

çift olurdu. Bu durumda

a + c

toplamı tek olacağından

b \cdot (a + c)

çarpımı tek olurdu. Ancak bu çarpımın çift olduğu bilindiğinden çelişki doğar. Demek ki

b

çift ve

c

tek olmalıdır. Sonuç olarak:

a

tek,

b

çift,

c

tektir.

Çarpımın tek olması için her iki çarpanın da tek olması gerektiği bilgisinden başlanarak çelişkisiz durum elde edilir.

3

Durum 2'yi (

a \cdot (b + c)

çift ve

b \cdot (a + c)

tek) analiz ederek değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını bulma.

b \cdot (a + c)

tek ise

b

tek ve

a + c

tek olmalıdır.

a + c

tek ise

a

ve

c

zıt paritededir. Eğer

a

tek olsaydı,

c

çift olurdu. Bu durumda

b + c

toplamı tek olacağından

a \cdot (b + c)

çarpımı tek olurdu. Ancak bu çarpımın çift olduğu bilindiğinden çelişki doğar. Demek ki

a

çift ve

c

tek olmalıdır. Sonuç olarak:

a

çift,

b

tek,

c

tektir.

İkinci durumda tek olan çarpımın çarpanlarının analizi ile tutarlı değişken değerleri belirlenir.

4

Her iki durumun ortak sonuçlarını çıkararak öncülleri değerlendirme.

Her iki durumda da

c

tek sayıdır;

a

ve

b

sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır. Buna göre:
- I.

a + b + c

toplamı: Biri çift, ikisi tek olan üç sayının toplamı her zaman çift sayıdır (T + Ç + T = Ç).
- II.

a \cdot b + c

ifadesi:

a

ve

b

sayılarından biri çift olduğundan

a \cdot b

çarpımı çift olup, buna tek olan

c

eklendiğinde sonuç her zaman tek sayıdır (Ç + T = T).
- III.

a \cdot c + b

ifadesi: Durum 1 için T · T + Ç = T, Durum 2 için Ç · T + T = T olup her iki durumda da tek sayıdır.

Her iki durumdan elde edilen ortak özellikler yardımıyla öncüllerin teklik-çiftlik durumları kesinleştirilir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin özellikleri, çarpımın teklik şartı.

Soru 60Soru →

K = \left\{-4, \; -2,5, \; 0, \; \sqrt{3}, \; 3, \; \frac{5}{2}\right\}

kümesi veriliyor. Buna göre, bu kümenin elemanlarından kaç tanesi hem bir tam sayı hem de pozitif olmayan bir sayıdır?

1

4

2

3

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Bu kümenin elemanlarından hem bir tam sayı hem de pozitif olmayan 2 eleman vardır.

Kümedeki elemanlardan -4 sayısı negatif bir tam sayı, 0 sayısı ise nötr bir tam sayıdır. Her ikisi de hem tam sayı kümenin elemanıdır hem de pozitif değildir. Dolayısıyla bu özellikleri sağlayan 2 eleman bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kümedeki tüm elemanların tam sayı olup olmadığını belirleyelim.

-4, 0 ve 3 birer tam sayıdır. -2,5 ve 5/2 sayıları rasyonel sayıdır fakat tam sayı değildir. √3 sayısı ise irrasyoneldir.

İstenen şartın ilk k��smı elemanın bir tam sayı olmasıdır.

2

Belirlenen tam sayılar arasından pozitif olmayanları seçelim.

-4 negatif bir tam sayıdır (pozitif değildir). 0 nötr bir tam sayıdır (pozitif değildir). 3 ise pozitif bir tam sayıdır.

İstenen şartın ikinci kısmı elemanın pozitif olmamasıdır. Sıfır sayısının pozitif veya negatif olmadığına, dolayısıyla pozitif olmayan bir sayı olduğuna dikkat edilmelidir.

3

Şartı sağlayan eleman sayısını bulalım.

Şartları sağlayan elemanlar -4 ve 0 olup toplamda 2 tanedir.

Soruda istenen koşula uyan elemanların adedi sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin eleman özellikleri ile sayıların pozitiflik, negatiflik ve nötrlük durumlarının incelenmesi.

Alternatif Yöntem

Kümedeki her bir elemanı sırayla ele alıp iki koşulu birden sağlayıp sağlamadığını kontrol edebilirsiniz: Eleman tam sayı mı? Pozitif değil mi? Bu iki sorunun her ikisine de 'Evet' yanıtı veren elemanları sayarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Sayılar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm