Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 questions

Question 81Question →

a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,

I. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek sayı,
II. b⋅c+ab \cdot c + a ifadesinin çift sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: a2+b2+ca^2 + b^2 + c

Answer

a2+b2+ca^2 + b^2 + c ifadesi daima tek sayıdır.
Verilen iki denklem sistemini aynı anda sağlayan tek durum; aa ve bb sayılarının çift, cc sayısının ise tek olmasıdır. Bu durumda a2a^2 ve b2b^2 çift olacağından toplamları da çifttir. Bu toplama tek sayı olan cc eklendiğinde sonuç (C\c+TÇ+T) daima tek sayı olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeleri analiz et
I. a⋅b+c=Teka \cdot b + c = Tek
II. b⋅c+a=C\ciftb \cdot c + a = Çift
Soru kökündeki öncüllerden yola çıkarak a,b,ca, b, c sayılarının tek veya çift olma durumlarını (paritelerini) belirlememiz gerekir.
2
II. ifadeden başlayarak durum analizi yap
b⋅c+a=C\ciftb \cdot c + a = Çift olması için iki durum vardır:
Durum 1: b⋅cb \cdot c Tek ve aa Tek
Durum 2: b⋅cb \cdot c Çift ve aa Çift
Toplamın çift olması için terimlerin ikisi de tek veya ikisi de çift olmalıdır.
3
Durum 1'i (T, T) I. ifadede test et
Eğer b⋅cb \cdot c Tek ise (b=T,c=Tb=T, c=T) ve a=Ta=T ise;
I. ifade: a⋅b+c=T⋅T+T=T+T=C\cifta \cdot b + c = T \cdot T + T = T + T = Çift olur.
Fakat soruda I. ifadenin Tek olduğu verilmiş. Bu yüzden Durum 1 GEÇERSİZDİR.
Çelişki bulma yöntemiyle hatalı senaryoları eliyoruz.
4
Durum 2'yi (Ç, Ç) analiz et ve kesin yargıya var
Geriye kalan tek ihtimal: aa Çifttir.
b⋅cb \cdot c Çift ve aa Çift ise I. ifadeye bakalım:
a⋅b+c=C\c⋅b+c=C\c+ca \cdot b + c = Ç \cdot b + c = Ç + c. Sonucun Tek olması için cc Tek olmalıdır.
cc Tek olduğuna göre, b⋅cb \cdot c çarpımının Çift olması için bb Çift olmalıdır.
Bu adımda a,b,ca, b, c değerlerinin türlerini kesinleştirdik: aa=Çift, bb=Çift, cc=Tek.
5
Bulunan değerleri (a:C\c,b:C\c,c:Ta:Ç, b:Ç, c:T) şıklarda dene
Doğru şık: a2+b2+c=C\c2+C\c2+T=C\c+C\c+T=Teka^2 + b^2 + c = Ç^2 + Ç^2 + T = Ç + Ç + T = Tek.
Daima tek sayı olan seçeneği belirliyoruz.

Key Concept

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin tek/çift (parite) özellikleri.

Hints

1
İkinci ifadeden (b⋅c+a=C\ciftb \cdot c + a = Çift) başlayarak aa ve b⋅cb \cdot c için olası Tek/Çift durumlarını yazın.
2
Birinci ifade (a⋅b+c=Teka \cdot b + c = Tek) yardımıyla, yazdığınız durumlardan hangisinin çelişki yarattığını bulun ve eleyin.
3
Tek geçerli durum: aa çift, bb çift ve cc tek olmalıdır. Bunu şıklarda yerine koyun.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış fakat negatif sayıların kuvvetlerini içeren (işaret incelemesi gerektiren) sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan en küçük sayıları seçin. Örneğin a=2a=2 (çift), c=1c=1 (tek) olsun. I. denklem 2b+1=Tek2b+1=Tek ise 2b2b çifttir, bu her bb için sağlanır. II. denklem b⋅1+2=C\cift⇒b+2=C\cift⇒bb\cdot1 + 2 = Çift \Rightarrow b+2=Çift \Rightarrow b Çift olmalıdır. Öyleyse a=2,b=2,c=1a=2, b=2, c=1 değerlerini şıklarda deneyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 82Question →

Aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı olduğu hâlde, tam sayılar kümesinin bir elemanı değildir?

Show answer & explanation

Answer: −2,4-2,4

Answer

Rasyonel olup tam sayı olmayan seçenek −2,4-2,4 değeridir.
Doğru seçenek, rasyonel sayılar kümesinde (Q\mathbb{Q}) yer almasına rağmen tam sayılar kümesine (Z\mathbb{Z}) dahil olmayan bir ondalık sayıdır. −2,4-2,4 sayısı −2410=−125-\frac{24}{10} = -\frac{12}{5} şeklinde kesir olarak yazılabilir, bu yüzden rasyoneldir. Ancak paydası 1 olacak şekilde tam bölünebilir bir sayı olmadığı için tam sayı değildir.

Step-by-Step Solution

1
Seçeneklerin sayısal değerlerini hesapla ve sadeleştir.
A) -5, B) 7, C) 0, D) ≈2,23...\approx 2,23..., E) −2,4-2,4
Her bir sayının hangi sayı kümesine ait olduğunu belirlemek için en sade hallerini veya değerlerini bulmamız gerekir.
2
Her sayıyı Rasyonel Sayılar (Q\mathbb{Q}) ve Tam Sayılar (Z\mathbb{Z}) kümelerine göre sınıflandır.
A, B ve C hem rasyonel hem tam sayıdır. D irrasyoneldir. E rasyoneldir fakat tam sayı değildir.
Soruda istenen 'Rasyonel olacak AMA Tam Sayı olmayacak' koşulunu sağlayan tek seçeneği tespit etmek için.

Key Concept

Sayı Kümeleri Arasındaki İlişki (Z⊂Q\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q})
Question 83Question →

Matematikte sayılar, ondalık gösterimlerine ve kök dışına çıkabilme durumlarına göre sınıflandırılır. Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayılar kümesinin (Q\mathbb{Q}) bir elemanıdır?

Show answer & explanation

Answer: 1,44\sqrt{1,44}

Answer

Kök içindeki ondalık ifade rasyonel sayıya dönüşebildiği için doğru cevap 1,44\sqrt{1,44} ifadesidir.
İstenen cevap, rasyonel (Q\mathbb{Q}) olan sayıdır. Seçeneklerdeki 1,44\sqrt{1,44} sayısı 144100=1210=1,2\sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1,2 şeklinde yazılabildiği için rasyonel bir sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen köklü ifadenin içindeki ondalık sayıyı kesirli hale getirin.
1,44=144100\sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}}
Ondalık sayıyı rasyonel kesre çevirmek kök dışına çıkarmayı kolaylaştırır.
2
Pay ve paydanın ayrı ayrı karekökünü alın.
144100=1210\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \frac{12}{10}
144 sayısı 12'nin, 100 sayısı 10'un karesidir.
3
Sonucu ondalık sayıya çevirin ve küme üyeliğini kontrol edin.
1,21,2. Bu sayı sonlu bir ondalık sayı olduğu için rasyoneldir (Q\mathbb{Q}).
ab\frac{a}{b} şeklinde yazılabilen sayılar rasyoneldir.

Key Concept

Köklü sayılarda, kök içindeki ifade tam kare bir rasyonel sayı ise sonuç rasyoneldir; aksi takdirde irrasyoneldir.

Hints

1
Seçeneklerdeki köklü sayıların kök dışına tam çıkıp çıkamadığını kontrol edin.
2
1,44\sqrt{1,44} sayısını kesirli olarak 144100\sqrt{\frac{144}{100}} biçiminde yazmayı deneyin.
3
144 sayısı 12'nin karesidir, 100 sayısı 10'un karesidir. Bu, sayının kökten kurtulmasını sağlar.
Estimated Time:45s
Question 84Question →

aa bir tam sayıdır.

a+(−7)a + (-7)

işleminin sonucu bir çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu her zaman bir çift sayıdır?
Show answer & explanation

Answer: a+5a + 5

Answer

a+5a + 5 ifadesinin sonucu
Verilen a+(−7)a + (-7) ifadesinin çift olması, aa ve 7 sayılarının her ikisinin de tek veya her ikisinin de çift olmasını gerektirir. 7 bir tek sayı olduğuna göre aa kesinlikle bir tek sayıdır. Tek bir sayı olan aa ile yine tek bir sayı olan 5'in toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift bir sayı verecektir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi düzenleme
a−7a - 7 ifadesinin çift olması
a+(−7)a + (-7) işlemi, aa sayısından 7 çıkarmakla aynıdır.
2
aa sayısının türünü (tek/çift) belirleme
aa bir tek sayıdır
İki sayının farkı çift ise, bu sayılar aynı türdedir. 7 sayısı tek olduğu için aa da tek olmalıdır (Tek−Tek=C\ciftTek - Tek = Çift).
3
Seçenekleri test etme
a+5a + 5 işleminin çift çıkması
aa tek bir sayı olduğuna göre, a=1a = 1 alırsak 1+5=61 + 5 = 6 (Çift) olur. Diğer seçeneklerde sonuç her zaman tek çıkmaktadır.

Key Concept

Tek ve çift sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri

Hints

1
a+(−7)a + (-7) ifadesini a−7a - 7 olarak düşünebilirsiniz.
2
İki sayının farkı çift ise, bu sayıların her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir.
3
77 sayısı tek olduğuna göre aa sayısının ne olması gerektiğini bulun ve bu değeri seçeneklerde yerine koyarak hangisinin çift çıktığını kontrol edin.

Practice More

Tek ve çift sayıların çarpma kurallarını (örneğin Tek×C\cift=C\ciftTek \times Çift = Çift) hatırlayarak benzer soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemini kullanabilirsiniz. a+(−7)a + (-7) sonucunun çift olması için aa yerine rastgele bir tek sayı (örneğin a=1a = 1) verin. 1−7=−61 - 7 = -6 (çifttir). Şimdi seçeneklerde aa yerine 1 yazarak hangisinin çift sonuç verdiğine bakın.
Estimated Time:45s
Question 85Question →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,

x⋅y<0 x \cdot y < 0
x<y x < y
x+z=0 x + z = 0
y−zx>0 \frac{y - z}{x} > 0

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: x+y<0x + y < 0

Answer

x+y<0x + y < 0 eşitsizliği daima doğrudur.
Verilen x+z=0x + z = 0 eşitliğinden xx ve zz'nin mutlak değerce eşit ve zıt işaretli olduğu (x=−zx = -z) anlaşılır. x<yx < y ve x⋅y<0x \cdot y < 0 şartlarından xx'in negatif, yy'nin pozitif olduğu belirlenir. y−zx>0\frac{y - z}{x} > 0 eşitsizliğinde payda (xx) negatif olduğundan pay (y−zy - z) da negatif olmalıdır, bu da y<zy < z sonucunu verir. Sonuç olarak z>yz > y ve x=−zx = -z olduğundan, x+y=−z+yx + y = -z + y ifadesi negatif bir sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1
x⋅y<0x \cdot y < 0 ve x<yx < y eşitsizliklerini incele.
xx ve yy zıt işaretlidir. x<yx < y olduğu için xx negatif (x<0x < 0), yy pozitif (y>0y > 0) olmalıdır.
Zıt işaretli iki sayıdan küçük olan negatiftir.
2
x+z=0x + z = 0 eşitliğini kullanarak zz'nin işaretini ve büyüklüğünü belirle.
z=−xz = -x olur. xx negatif olduğu için zz pozitif (z>0z > 0) bir sayıdır. Ayrıca ∣x∣=z|x| = z eşitliği vardır.
Toplamları sıfır olan sayılar zıt işaretlidir ve mutlak değerce eşittir.
3
y−zx>0\frac{y - z}{x} > 0 eşitsizliğini çöz.
Kesrin paydası (xx) negatiftir. Sonucun pozitif olması için payın (y−zy - z) da negatif olması gerekir. Yani y−z<0  ⟹  y<zy - z < 0 \implies y < z.
Bölümün pozitif olması için pay ve payda aynı işaretli olmalıdır.
4
Bulunan tüm ilişkileri birleştir (x<0x < 0, 0<y<z0 < y < z, ∣x∣=z|x| = z).
Sıralama x<0<y<zx < 0 < y < z şeklindedir ve xx'in mutlak değeri (zz), yy'den büyüktür.
Değişkenler arasındaki büyüklük ilişkisini kesinleştirmek.
5
Seçenekleri bu bilgilere göre değerlendir.
x+yx + y ifadesinde x=−zx = -z yazılırsa −z+y-z + y elde edilir. y<zy < z olduğu için bu toplam negatiftir (x+y<0x + y < 0).
Doğru seçeneği belirlemek.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

Hints

1
x⋅y<0x \cdot y < 0 ve x<yx < y bilgilerini kullanarak xx ve yy'nin işaretlerini belirleyerek başla.
2
x+z=0x + z = 0 eşitliği, xx ve zz'nin büyüklükleri hakkında ne söyler? Bu bilgiyi xx'in işaretiyle birleştir.
3
Kesirli eşitsizlikte paydanın (xx) işareti negatiftir. Sonucun pozitif olması için payın (y−zy-z) işareti ne olmalıdır?

Practice More

Mutlak değer içeren eşitsizlik sistemlerinde sıralama soruları çöz.
Estimated Time:2m 30s
Question 86Question →
abab ve baba iki basamaklı doğal sayılardır. ab−ba=54ab - ba = 54 olduğuna göre, a−ba - b farkı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

Verilen iki basamaklı sayıların farkı alındığında a−ba - b farkı 66 olarak bulunur.
Doğru cevap olan seçenek, basamak analizi kurallarına göre abab sayısını 10a+b10a + b ve baba sayısını 10b+a10b + a şeklinde çözümledikten sonra farklarını alıp 9(a−b)=549(a - b) = 54 denklemini doğru çözen seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
abab ve baba sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyin.
ab=10a+bab = 10a + b ve ba=10b+aba = 10b + a
İki basamaklı sayıların içindeki rakamların değerini belirlemek için çözümleme yapılması gerekir.
2
Çözümlenmiş hallerini verilen denklemde yerine koyun ve çıkarma işlemini yapın.
(10a+b)−(10b+a)=54⇒9a−9b=54(10a + b) - (10b + a) = 54 \Rightarrow 9a - 9b = 54
Eksi işareti parantez içindeki her iki terime de etki eder (10a−a10a - a ve b−10bb - 10b).
3
İfadeyi 99 ortak parantezine alarak her iki tarafı 99'a bölün.
9(a−b)=54⇒a−b=69(a - b) = 54 \Rightarrow a - b = 6
Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya bölünerek bilinmeyen fark yalnız bırakılır.

Key Concept

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi (ab=10a+bab = 10a + b)

Hints

1
İki basamaklı bir sayıyı basamak değerlerine göre yazmaya 'çözümleme' denir. Örneğin; xy=10x+yxy = 10x + y şeklindedir.
2
Sorudaki abab ve baba sayılarını çözümleyerek yerlerine koyun: (10a+b)−(10b+a)=54(10a + b) - (10b + a) = 54.
3
Elde ettiğiniz ifadede benzer terimleri birbirinden çıkardığınızda 9a−9b=549a - 9b = 54 eşitliğine ulaşırsınız. Her iki tarafı 99'a bölmeyi deneyin.

Practice More

Üç basamaklı abcabc ve cbacba sayılarının farkı üzerine benzer bir soru çözerek basamak analizi mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pratik bir yol olarak, iki basamaklı iki sayının farkı her zaman 99'un katıdır (ab−ba=9(a−b)ab - ba = 9(a-b)). Bu bilgiyi kullanarak doğrudan 54/9=654 / 9 = 6 diyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 87Question →
4!+3!3!+0! \frac{4! + 3!}{3!} + 0!

işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İşlemin sonucu 6'dır.
Verilen ifadede 4!=244! = 24 ve 3!=63! = 6 olarak hesaplanır. Kesirli kısım 24+66=306=5\frac{24 + 6}{6} = \frac{30}{6} = 5 sonucunu verir. Bu sonuca 0!=10! = 1 değeri eklendiğinde 5+1=65 + 1 = 6 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayalım.
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24, 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ve özel durum olarak 0!=10! = 1.
İşlemi yapabilmek için temel faktöriyel tanımlarını kullanmamız gerekir.
2
Hesapladığımız değerleri kesirli ifadede yerine koyalım.
24+66\frac{24 + 6}{6}
Kesrin payındaki toplama işlemini tamamlamak için değerleri yerleştiriyoruz.
3
Kesir işlemini sonuçlandıralım.
306=5\frac{30}{6} = 5
Paydaki toplama yapıldıktan sonra paydaya bölme işlemi gerçekleştirilir.
4
Elde edilen sonuca 0!0! değerini ekleyelim.
5+1=65 + 1 = 6
İfadenin tamamı kesirli kısım ile 0!0! değerinin toplamından oluşmaktadır.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve 0! Özel Durumu

Hints

1
Faktöriyel (!!), bir sayının 1'e kadar olan çarpımıdır. Örneğin 3!=3×2×13! = 3 \times 2 \times 1.
2
İşlemdeki en kritik nokta 0!0! değeridir. 0!0! her zaman 1'e eşittir.
3
Önce 4!4! ve 3!3! değerlerini bulun, kesrin payını toplayıp paydaya bölün, en son 0!0! değerini ekleyin.

Practice More

Faktöriyel değerlerini 6!6! değerine kadar ezbere bilmek hız kazandıracaktır.

Alternative Method

Kesri 4!3!+3!3!\frac{4!}{3!} + \frac{3!}{3!} şeklinde parçalayarak da çözebilirsiniz. Bu durumda 4+1=54 + 1 = 5 olur. Sonra 0!=10! = 1 ekleyerek 5+1=65 + 1 = 6 sonucuna ulaşırsınız.
Estimated Time:45s
Question 88Question →

Pozitif tam sayılar kümesindeki 3'ün katı olan sayılar (3,6,9,…3, 6, 9, \dots) küçükten büyüğe doğru sıralanarak aşağıdaki kurala göre gruplara ayrılıyor:

- 1. grup: {3}\{3\}
- 2. grup: {6,9}\{6, 9\}
- 3. grup: {12,15,18}\{12, 15, 18\}

Her gruptaki sayı adedi grup numarasına eşittir (örneğin nn. grupta nn adet sayı bulunmaktadır). Bu kurala göre oluşturulan gruplardan birinin elemanları toplamı 12.03012.030 olduğuna göre, bu grup kaçıncı gruptur?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Elemanları toplamı 12.030 olan grup 20. gruptur.
Soru, ardışık sayı grupları içindeki bir örüntüyü ve toplam formülünü kurmayı gerektirir. n. gruptan önce toplam n(n-1)/2 adet sayı kullanılmıştır. n. grup n adet 3'ün katı olan sayıdan oluşur. Bu grubun toplamı formülize edildiğinde S = (3/2)(n³ + n) elde edilir. Bu ifade 12.030'a eşitlendiğinde n³ + n = 8020 denklemi bulunur. 20 sayısının küpü 8000 olduğundan, n=20 değeri denklemi tam olarak sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Grupların yapısını ve terim sayılarını analiz et.
1. grupta 1, 2. grupta 2, ..., (n-1). grupta (n-1) adet sayı vardır. n. gruptan önceki toplam terim sayısı: 1 + 2 + ... + (n-1) = n(n-1)/2'dir.
Her grubun ilk terimini bulmak için önceki gruplarda kaç terim kullanıldığını bilmemiz gerekir.
2
n. grubun ilk terimini ve terimler dizisini belirle.
Dizi 3'ün katlarıdır (3k). n. grubun ilk terimi, [n(n-1)/2 + 1]. sıradaki terimdir. Değeri: 3 * [ (n²-n)/2 + 1 ].
n. grup, önceki tüm sayıların bittiği yerden başlar.
3
n. grubun elemanları toplamı formülünü oluştur.
n. grupta n terim vardır. Bu bir aritmetik dizidir. Ortanca terim yaklaşık 3 * (n²/2)'dir. Kesin toplam formülü: S_n = (3n(n² + 1)) / 2.
Ardışık sayıların toplamı = Terim Sayısı * Ortanca Terim formülünden türetilir.
4
Denklemi kur ve n değerini bul.
3n(n² + 1) / 2 = 12030 => n(n² + 1) = 8020. n=20 için 20 * (400 + 1) = 8020 sağlar.
Verilen toplam değerini formüle eşitleyerek n tam sayısını buluruz.

Key Concept

Ardışık Sayı Gruplarının Toplamı

Hints

1
n. gruptan önce kaç tane sayı kullanıldığını (1'den n-1'e kadar olan sayıların toplamı) bularak n. grubun kaçıncı sayıyla başladığını hesaplayın.
2
n. grubun ilk terimini bulduktan sonra, bu grubun n tane 3'ün katı olan ardışık sayıdan oluştuğunu (3k, 3(k+1)...) hatırlayın ve ardışık toplam formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurulan 'Ardışık tek sayıların oluşturduğu piramitte n. satırın toplamı' sorusunu inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Yaklaşık değer yöntemi: n. gruptaki sayıların ortalaması yaklaşık olarak 3 * (toplam terim sayısı) civarındadır. Toplam terim sayısı ~n²/2 olduğundan, ortalama ~3n²/2'dir. Grup toplamı = n * Ortalama ≈ 3n³/2. Buradan 12030 ≈ 1.5 n³ => n³ ≈ 8020 tahmini ile n=20 hızlıca denenebilir.
Estimated Time:3m 0s
Question 89Question →

Rakamları sıfırdan farklı, üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamları toplamının 2121 katına eşittir. Buna göre, A+B+CA+B+C toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Doğru cevap 18 değeridir.
Denklem 79A=11B+20C79A = 11B + 20C şeklinde sadeleştirilir. Rakam kısıtlamaları (1-9 arası) dikkate alındığında, bu eşitliği sağlayan tek çözüm kümesi A=3A=3, B=7B=7, C=8C=8 olarak bulunur. Bu rakamların toplamı 3+7+8=183+7+8=18 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.
ABC=21⋅(A+B+C)ABC = 21 \cdot (A + B + C)
Soruda sayının, rakamları toplamının 21 katı olduğu belirtilmiştir.
2
ABCABC sayısını basamak değerlerine göre çözümleyin.
100A+10B+C=21A+21B+21C100A + 10B + C = 21A + 21B + 21C
Üç basamaklı sayıyı çözümleyerek rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
3
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirin.
79A=11B+20C79A = 11B + 20C
100A−21A=79A100A - 21A = 79A, 21B−10B=11B21B - 10B = 11B, 21C−C=20C21C - C = 20C.
4
AA, BB ve CC birer rakam olduğu için (0<A,B,C≤90 < A,B,C \le 9), AA için olası değerleri test edin.
Eşitliğin sağ tarafının maksimum değeri 11(9)+20(9)=27911(9) + 20(9) = 279 olduğundan, 79A≤27979A \le 279 olmalıdır. Bu durumda AA sadece 1, 2 veya 3 olabilir.
Rakamlar 9'dan büyük olamayacağı için A'nın alabileceği değerler sınırlıdır.
5
A=3A=3 değerini denklemde yerine koyarak BB ve CC'yi bulun.
79(3)=23779(3) = 237. 237=11B+20C237 = 11B + 20C. Bu eşitliği sağlayan tek rakam ikilisi B=7B=7 ve C=8C=8'dir (11⋅7+20⋅8=77+160=23711 \cdot 7 + 20 \cdot 8 = 77 + 160 = 237).
A=1A=1 ve A=2A=2 için tamsayı çözüm bulunamaz. A=3A=3 için çözüm ABC=378ABC = 378 sayısıdır.
6
Bulunan rakamların toplamını hesaplayın.
A+B+C=3+7+8=18A+B+C = 3 + 7 + 8 = 18
Sonuç istenmektedir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek verilen eşitliği yazınız.
2
Eşitliği sadeleştirdiğinizde 79A=11B+20C79A = 11B + 20C denklemini elde edeceksiniz. Burada AA'nın alabileceği maksimum değeri bulmaya çalışın.
3
BB ve CC en fazla 9 olabilir, bu nedenle 79A79A sayısı 279'dan büyük olamaz. A=3A=3 değerini deneyerek BB ve CC'yi bulun.

Alternative Method

Denklem 79A−11B=20C79A - 11B = 20C şeklinde yazılabilir. Sağ taraf 10'un katı olduğu için sol tarafın da birler basamağı 0 olmalıdır. 79A79A'nın birler basamağı ile 11B11B'nin birler basamağı aynı olmalıdır. A=3A=3 için 79⋅3=23779 \cdot 3 = 237 (sonu 7), B=7B=7 için 11⋅7=7711 \cdot 7 = 77 (sonu 7). Farkları 237−77=160237-77=160, buradan C=8C=8 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Question 90Question →

Bir matematik yazılımı, girilen kk pozitif çift tam sayısından başlayarak nn tane ardışık çift tam sayıyı toplamakta ve sonucu ekrana yansıtmaktadır. Yazılıma aynı kk değeri girilip terim sayısı n+3n+3 olarak ayarlandığında, hesaplanan toplamın ilk duruma göre 192192 arttığı görülmüştür. Buna göre, yazılımın ilk durumda topladığı sayı dizisinin en büyük elemanı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

İlk dizinin en büyük elemanı 60'tır.
Verilen iki durum arasındaki fark denklemi kurulduğunda 2n+k=622n + k = 62 eşitliği elde edilir. İlk dizinin en büyük elemanı (son terim), k+(n−1)2k + (n-1)2 formülü ile bulunur. Bu ifade k+2n−2k + 2n - 2 şeklinde düzenlenip elde edilen eşitlik yerine yazıldığında sonuç 62−2=6062 - 2 = 60 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk durumdaki toplamı (S1S_1) formüle dök.
S1=n2(2k+(n−1)2)=n(k+n−1)S_1 = \frac{n}{2}(2k + (n-1)2) = n(k + n - 1)
Ardışık çift sayıların toplam formülü: Terim Sayısı2(I˙lk+Son)\frac{\text{Terim Sayısı}}{2}(\text{İlk} + \text{Son}) veya n2(2a1+(n−1)d)\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).
2
İkinci durumdaki toplamı (S2S_2) formüle dök (n+3n+3 terim için).
S2=n+32(2k+(n+3−1)2)=(n+3)(k+n+2)S_2 = \frac{n+3}{2}(2k + (n+3-1)2) = (n+3)(k + n + 2)
Terim sayısı 3 artmıştır, başlangıç sayısı kk aynıdır.
3
İki toplam arasındaki farkı verilen değere eşitle ve denklemi çöz.
(n+3)(k+n+2)−n(k+n−1)=192  ⟹  6n+3k+6=192  ⟹  2n+k=62(n+3)(k+n+2) - n(k+n-1) = 192 \implies 6n + 3k + 6 = 192 \implies 2n + k = 62
Parantezler açılıp sadeleştirme yapıldığında nk+n2+2n+3k+3n+6−nk−n2+n=192nk + n^2 + 2n + 3k + 3n + 6 - nk - n^2 + n = 192 elde edilir.
4
İlk dizinin en büyük elemanını bul.
Son Terim = k+(n−1)2=k+2n−2k + (n-1)2 = k + 2n - 2. 2n+k=622n+k=62 olduğuna göre, Son Terim = 62−2=6062 - 2 = 60.
Ardışık dizilerde son terim an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d formülüyle bulunur.

Key Concept

Ardışık çift sayıların toplamı ve genel terim formülü arasındaki cebirsel ilişki.

Hints

1
Ardışık çift sayıların toplam formülünü hatırlayın: Terim Sayısı ×\times Ortanca Terim veya n2(2a1+(n−1)d)\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d).

Practice More

Ardışık tek sayılar için benzer bir fark problemi çözerek (n)2(n)^2 kuralını pekiştirin.
Estimated Time:2m 30s
Question 91Question →

A=43!+44!A = 43! + 44! olduğuna göre, AA sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

A sayısının sondan 10 basamağı sıfırdır.
Verilen ifade çarpım haline getirildiğinde 43!⋅4543! \cdot 45 elde edilir. 43!43! içinde 9 adet, 4545 sayısında ise 1 adet 5 çarpanı vardır. Toplam 10 adet 5 çarpanı olduğu için sondan 10 basamak sıfırdır.

Step-by-Step Solution

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpım durumuna getir.
A=43!+44!=43!(1+44)=43!⋅45A = 43! + 44! = 43!(1 + 44) = 43! \cdot 45
Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için ifadenin içindeki 10 (yani 2 ve 5) çarpanlarının sayısına bakılmalıdır. Toplam durumundaki ifadeler önce çarpım haline getirilmelidir.
2
43!43! içindeki 5 çarpanlarının sayısını ardışık bölme yöntemiyle bul.
43÷5=843 \div 5 = 8 (Bölüm), 8÷5=18 \div 5 = 1 (Bölüm). Toplam: 8+1=98 + 1 = 9 adet.
Bir faktöriyel ifadesinde sondan gelen sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısına eşittir (çünkü 2 çarpanı her zaman daha fazladır).
3
Diğer çarpan olan 45 sayısının içindeki 5 çarpanlarını bul ve topla.
45=9×5=32×5145 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5^1. Buradan 1 adet 5 çarpanı gelir. Toplam 5 çarpanı: 9+1=109 + 1 = 10.
Çarpım durumundaki ifadelerin 5 çarpanları toplanır.

Key Concept

Bir doğal sayının faktöriyelinin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için, o sayının içindeki 5 asal çarpanlarının sayısı (ardışık bölme ile) hesaplanır.

Hints

1
Faktöriyeller toplam halindeyken işlem yapmak zordur. Küçük olan faktöriyel (43!43!) parantezine alarak ifadeyi çarpım durumuna getirin.
2
43!+44!=43!(1+44)=43!⋅4543! + 44! = 43!(1 + 44) = 43! \cdot 45. Şimdi her iki çarpanın içindeki 5 asallarını saymanız gerekir.
3
43!43! içinde ardışık bölme ile 5 çarpanlarını bulun. 4545 sayısı da 9×59 \times 5 olduğu için buradan da bir tane 5 geleceğini unutmayın.

Practice More

23!+24!23! + 24! toplamının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu hesaplayarak pratiğinizi pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 92Question →

Sıfırdan ve birbirinden farklı AA, BB ve CC rakamları kullanılarak oluşturulan üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları için aşağıdaki eşitlikler verilmiştir:

ABC−CBA=594ABC - CBA = 594
B2=A⋅CB^2 = A \cdot C

Buna göre, bu koşulları sağlayan ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Koşulları sağlayan ABC sayısının rakamları toplamı 14'tür.
Verilen ABC−CBA=594ABC - CBA = 594 eşitliği çözümlendiğinde A−C=6A - C = 6 bulunur. B2=A⋅CB^2 = A \cdot C şartını sağlayan tek rakam çifti A=8A=8 ve C=2C=2 olduğunda B=4B=4 olur. Rakamlar toplamı 14'tür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ilk eşitlikte basamak çözümlemesi yap.
(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)=594(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) = 594
Üç basamaklı sayıların değerini rakamları cinsinden ifade ederek denklemi sadeleştirmek için.
2
Sadeleşmiş denklemden A ve C arasındaki farkı bul.
A−C=59499=6A - C = \frac{594}{99} = 6
Rakamlar arasındaki ilişkiyi netleştirmek için.
3
Farkı 6 olan (A, C) rakam çiftlerini belirle (C sıfırdan farklı olduğu için 0 hariç tutulur).
Olası çiftler: (7,1),(8,2),(9,3)(7, 1), (8, 2), (9, 3)
A ve C birer rakam olduğu için sadece bu değerler farkı 6 şartını sağlar.
4
İkinci eşitlik olan B2=A⋅CB^2 = A \cdot C şartını sağlayan çifti kontrol et.
(7,1)→B2=7(7, 1) \rightarrow B^2 = 7 (tam sayı değil)
(8,2)→B2=16→B=4(8, 2) \rightarrow B^2 = 16 \rightarrow B = 4 (uygun)
(9,3)→B2=27(9, 3) \rightarrow B^2 = 27 (tam sayı değil)
B bir rakam olduğu için karesi tam kare olmalıdır.
5
Bulunan A, B, C değerlerini topla.
A=8,B=4,C=2  ⟹  8+4+2=14A=8, B=4, C=2 \implies 8 + 4 + 2 = 14
Soruda istenen nihai sonucu bulmak için.

Key Concept

Basamak analizi, sayıların çözümlenmesi ve rakamların özelliklerinin (geometrik ortalama) birlikte kullanılması.

Hints

1
Önce ABC−CBAABC - CBA ifadesini basamak değerlerini kullanarak açın (örneğin 100A+10B+C...100A+10B+C...). Sadeleştirme yapın.
2
A−CA - C farkını bulduktan sonra, bu farkı sağlayan rakam çiftlerini listeleyin.
3
Bulduğunuz (A,C)(A, C) çiftlerinden hangisinin çarpımı bir tam sayının (BB'nin) karesine eşittir?

Practice More

Benzer mantıkla ABC+CBAABC + CBA toplamının belirli bir kurala uyduğu durumları inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 93Question →

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* xx ile yy sayılarının toplamı sıfırdır.
* xx ile zz sayılarının çarpımı negatiftir.
* yy sayısı zz sayısından büyüktür.
* yy sayısının mutlak değeri, zz sayısının mutlak değerinden küçüktür.

Buna göre, bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: z<y<xz < y < x

Answer

Sayıların doğru sıralaması z<y<xz < y < x şeklindedir.
Verilen bilgiler ışığında; y ve z sayılarının her ikisinin de negatif olduğu, z'nin mutlak değerce daha büyük olduğu (yani daha küçük olduğu), x'in ise bu sayılarla zıt işaretli olduğu için pozitif olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle en küçük z, sonra y, en büyük ise x sayısıdır.

Step-by-Step Solution

1
x+y=0x + y = 0 bilgisini analiz et.
y=−xy = -x sonucuna ulaşılır. Bu, xx ve yy'nin mutlak değerce eşit ancak zıt işaretli olduğunu gösterir.
Zıt işaretli sayıların tespiti için ilk adımdır.
2
x⋅z<0x \cdot z < 0 bilgisini ve işaret durumlarını incele.
xx ile zz zıt işaretlidir. 1. adımdan xx ile yy de zıt işaretliydi. O halde yy ile zz AYNI işaretlidir.
Üç sayının işaret gruplarını belirlemek için gereklidir.
3
y>zy > z ve ∣y∣<∣z∣|y| < |z| eşitsizliklerini birlikte değerlendirerek sayıların işaretini kesinleştir.
Eğer yy ve zz pozitif olsaydı, ∣y∣<∣z∣|y| < |z| durumu y<zy < z sonucunu verirdi, ancak y>zy > z verilmiş. Çelişki var. Demek ki yy ve zz NEGATİF sayılardır. Bu durumda ∣y∣<∣z∣|y| < |z| iken y>zy > z (sıfıra daha yakın olan büyüktür) kuralı sağlanır.
Sayıların pozitif mi negatif mi olduğunu kesin olarak belirleyen kritik mantık adımıdır.
4
Tüm işaretleri ve büyüklükleri birleştirerek sıralama yap.
yy ve zz negatiftir. y>zy > z olduğu için zz en küçüktür (z<yz < y). xx ve yy zıt işaretli olduğundan ve yy negatif olduğundan, xx pozitiftir. Pozitif sayı negatiflerden büyüktür.
Sonuç sıralamasını oluşturmak için.

Key Concept

Negatif sayılarda sıralama yapılırken mutlak değer büyüdükçe sayının değeri küçülür (Sıfırdan uzaklaşır).

Hints

1
Toplamları sıfır olan iki sayı (xx ve yy) zıt işaretlidir (biri pozitif, diğeri negatiftir).
2
yy ile zz'nin işaretini bulmak için şu mantığı kullanın: Eğer ikisi de pozitif olsaydı, mutlak değeri küçük olan (yy) diğerinden (zz) daha küçük olurdu (y<zy < z). Ancak soruda y>zy > z verilmiş.
3
Çelişkiyi gidermek için yy ve zz'nin negatif olması gerekir. Negatif sayılarda 'sıfıra yakın olan büyüktür' kuralını hatırlayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 94Question →

Sayı kümeleri arasındaki hiyerarşiyi ve kapsam ilişkilerini çalışan bir öğrenci, tahtadaki şu listeyi incelemektedir:

SayıTürü
00?
23\frac{2}{3}?
2\sqrt{2}?
−5-5?
2,16‾2,1\overline{6}?

Buna göre, tabloda verilen sayılardan hangisi rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q}) kümesinin bir elemanı değildir?

Show answer & explanation

Answer: 2\sqrt{2}

Answer

İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan ve kök dışına tam çıkamayan karekök iki sayısı rasyonel bir sayı değildir.
Karekök iki (2\sqrt{2}) sayısı, ondalık basamakları belli bir düzen içerisinde (devir) devam etmeyen ve iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilemeyen bir sayıdır. Bu özelliği nedeniyle rasyonel sayılar kümesine değil, irrasyonel sayılar kümesine aittir.

Step-by-Step Solution

1
Rasyonel sayı tanımını hatırla.
Rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q}), aa ve bb tam sayı ve b≠0b \neq 0 olmak üzere ab\frac{a}{b} biçiminde yazılabilen sayılardır.
Bir sayının rasyonel olup olmadığını belirlemek için temel tanım kullanılır.
2
Seçeneklerdeki sayıları bu tanıma göre değerlendir.
0=010 = \frac{0}{1}, −5=−51-5 = \frac{-5}{1} ve 23\frac{2}{3} rasyoneldir. Devirli sayılar da rasyoneldir.
Tam sayıların ve devirli sayıların rasyonel sayı özelliğini taşıdığını teyit etmek gerekir.
3
İrrasyonel sayıları belirle.
2\sqrt{2} sayısı tam olarak hesaplanamaz ve rasyonel biçimde yazılamaz.
Karekök dışına tam çıkamayan sayılar irrasyonel (Q′\mathbb{Q}') sayılardır.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Ayrımı

Hints

1
Rasyonel sayılar iki tam sayının bölümü olarak yazılabilir. Hangisinin yazılamayacağını düşün.
2
Tam sayılar ve devirli sayılar aslında rasyonel sayılardır. Kök dışına çıkamayan ifadelere odaklan.
3
2\sqrt{2} sayısı yaklaşık olarak 1,414...1,414... şeklinde devam eder ve hiçbir devir kuralına uymaz.

Practice More

Diğer köklü ifadelerin (örneğin 4\sqrt{4} ile 5\sqrt{5}) hangi kümelere ait olduğunu karşılaştırarak öğrenmeni pekiştirebilirsin.

Alternative Method

Sayıları rasyonel forma (a/b) çevirmeyi dene. Karekök iki (2\sqrt{2}) için bunu yapamayacağını göreceksin.
Estimated Time:45s
Question 95Question →

a,ba, b ve cc birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,

(a−2)⋅(b+4)=c(a-2) \cdot (b+4) = c

eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

a + b + c toplamının en küçük değeri 21'dir.
Verilen eşitlikte cc asal olduğundan çarpanlardan biri 1 olmalıdır. bb asal olduğu için b+4b+4 1 olamaz, dolayısıyla a−2=1a-2=1 olur ve buradan a=3a=3 bulunur. Geriye c=b+4c = b+4 kalır. bb değerleri denenerek a,b,ca, b, c'nin birbirinden farklı asal sayılar olduğu en küçük durum a=3,b=7,c=11a=3, b=7, c=11 olarak bulunur. Toplamları 21'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin yapısını ve asal sayı tanımını analiz et.
cc bir asal sayı olduğundan, çarpanlarından biri mutlaka 1, diğeri kendisi (cc) olmalıdır.
Asal sayıların 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni yoktur.
2
Hangi çarpanın 1 olabileceğini belirle.
bb bir asal sayı olduğundan en az 2'dir. Dolayısıyla b+4≥6b+4 \ge 6 olur. Bu durumda b+4b+4 çarpanı 1 olamaz. O halde zorunlu olarak a−2=1a-2 = 1 olmalıdır.
Pozitif tam sayılarda çarpan analizi.
3
aa değerini bul.
a−2=1⇒a=3a - 2 = 1 \Rightarrow a = 3.
Birinci çarpanın 1'e eşitlenmesi.
4
Denklemi sadeleştir ve b,cb, c ilişkisini kur.
1⋅(b+4)=c⇒c=b+41 \cdot (b+4) = c \Rightarrow c = b + 4. Yani aradaki farkı 4 olan iki asal sayı aranmalıdır.
Bulunan aa değerini yerine koyma.
5
bb değerlerini deneyerek en küçük toplamı sağlayan farklı asal sayıları bul.
1. Deneme: b=3b=3 için c=7c=7. Ancak a=3a=3 olduğundan aa ve bb farklı değildir. (Elenir)
2. Deneme: b=5b=5 için c=9c=9. 9 asal değildir. (Elenir)
3. Deneme: b=7b=7 için c=11c=11. a=3,b=7,c=11a=3, b=7, c=11 hepsi asaldır ve birbirinden farklıdır. (Geçerli)
Asal sayı değerlerini sırayla deneyerek hem asallık hem de 'birbirinden farklı olma' şartını kontrol etme.
6
Toplamı hesapla.
a+b+c=3+7+11=21a + b + c = 3 + 7 + 11 = 21.
Bulunan değerlerin toplanması.

Key Concept

Asal sayıların çarpan özelliği ve temel tanımı.
Question 96Question →
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için,
∣a∣a+∣b∣b=0 \frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0
a−b<0 a - b < 0
a2<b2 a^2 < b^2
eşitsizlikleri ve eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a+ba<0 \frac{a + b}{a} < 0

Answer

Daima doğru olan ifade: a+ba<0\frac{a + b}{a} < 0
Verilen şartlar altında aa negatif, bb pozitiftir ve bb'nin mutlak değeri aa'dan büyüktür (∣b∣>∣a∣|b| > |a|). Bu durumda a+ba+b toplamı pozitif olur. aa sayısı negatif olduğundan, pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü (a+ba\frac{a+b}{a}) daima negatif çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitliği analiz et: ∣a∣a+∣b∣b=0\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0
Bu toplamın 0 olması için terimlerden biri 1, diğeri -1 olmalıdır. Bu, aa ve bb sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.
Bir sayının mutlak değerine bölümü, sayı pozitifse 1, negatifse -1'dir.
2
İkinci eşitsizliği analiz et: a−b<0⇒a<ba - b < 0 \Rightarrow a < b
Zıt işaretli iki sayıdan küçük olanı negatif, büyük olanı pozitif olmak zorundadır. Yani a<0a < 0 ve b>0b > 0.
Eğer aa pozitif olsaydı, bb negatif olurdu ve a>ba > b çıkardı ki bu eşitsizlikle çelişirdi.
3
Üçüncü eşitsizliği analiz et: a2<b2a^2 < b^2
Her iki tarafın karekökü alınırsa ∣a∣<∣b∣|a| < |b| elde edilir. Yani pozitif olan bb sayısı, negatif olan aa sayısından mutlak değerce daha büyüktür (Sıfıra daha uzaktır).
Kare alma işlemi işaretleri yok eder ve büyüklük kıyaslaması sağlar.
4
Doğru seçeneği test et: a+ba\frac{a + b}{a}
Pay (a+ba+b): ∣b∣>∣a∣|b| > |a| ve bb pozitif olduğu için toplam pozitiftir (++). Payda (aa): Negatiftir (−-). Sonuç: (+)/(−)=(−)(+) / (-) = (-). Bu ifade daima sıfırdan küçüktür.
İşaret incelemesi sonucu kesinlik kazanır.

Key Concept

Zıt işaretli sayılarda mutlak değerce büyük olanın işareti, toplamın işaretini belirler.

Hints

1
∣x∣x\frac{|x|}{x} ifadesi, xx pozitifse 1, negatifse -1 değerini alır. Toplamın 0 olması için sayılardan biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.
2
aa ve bb zıt işaretli ise, a−b<0a - b < 0 (yani a<ba < b) eşitsizliği hangisinin negatif, hangisinin pozitif olduğunu kesinleştirir.
3
a2<b2a^2 < b^2 eşitsizliği ∣a∣<∣b∣|a| < |b| anlamına gelir. Yani pozitif olan sayı (b), negatif olanın (a) büyüklüğünden fazladır. Buna göre a+ba+b toplamının işaretini bulun.
Estimated Time:2m 30s
Question 97Question →

ABCABC üç basamaklı ve ABAB iki basamaklı birer doğal sayıdır.

ABC+AB+A=458ABC + AB + A = 458

olduğuna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Verilen şartları sağlayan ABCABC sayısı 413'tür ve rakamları toplamı 8'dir.
Verilen denklem çözümlendiğinde 111A+11B+C=458111A + 11B + C = 458 eşitliğine ulaşılır. Burada en büyük katsayıya sahip olan AA için deneme yapıldığında, 458'e en yakın ve geçmeyen değerin A=4A=4 (444444) olduğu görülür. Kalan 14 değerini sağlamak için 11B+C11B + C ifadesinde B=1B=1 alınmalıdır (zira B=0B=0 olsa C=14C=14 olur ki bu bir rakam değildir). Buradan B=1B=1 ve C=3C=3 bulunur. Rakamların toplamı 4+1+3=84+1+3=8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyin.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve AB=10A+BAB = 10A + B
Çok basamaklı sayılar arasındaki toplama işlemlerini tek bir değişkenli denkleme dönüştürmek için çözümleme yapılır.
2
Çözümlenmiş ifadeleri ana denklemde yerine yazarak düzenleyin.
(100A+10B+C)+(10A+B)+A=458(100A + 10B + C) + (10A + B) + A = 458
111A+11B+C=458111A + 11B + C = 458
Aynı türden basamakların (yüzler, onlar, birler) katsayılarını birleştirerek denklemi basitleştiririz.
3
AA rakamının değerini katsayı analizi ile belirleyin.
A=4A = 4
Eğer A=5A=5 olsaydı 111×5=555>458111 \times 5 = 555 > 458 olurdu. Eğer A=3A=3 olsaydı 111×3=333111 \times 3 = 333 olurdu ve kalan 458−333=125458 - 333 = 125 değeri 11B+C11B + C (maksimum 11×9+9=10811 \times 9 + 9 = 108) ile sağlanamazdı.
4
A=4A=4 değerini yerine koyarak BB ve CC rakamlarını bulun.
111×4+11B+C=458⇒444+11B+C=458111 \times 4 + 11B + C = 458 \Rightarrow 444 + 11B + C = 458
11B+C=14⇒B=1,C=311B + C = 14 \Rightarrow B = 1, C = 3
11B+C=1411B + C = 14 eşitliğinde B=1B=1 dışında bir rakam değeri (0 veya 2) verildiğinde CC rakam olma özelliğini kaybeder.
5
Bulunan rakamların toplamını hesaplayın.
4+1+3=84 + 1 + 3 = 8
Soruda istenen nihai değer rakamların toplamıdır.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
Denklemi düzenledikten sonra 111A+11B+C=458111A + 11B + C = 458 ifadesini elde edeceksiniz. Burada AA rakamının alabileceği tek bir değer vardır.
3
A=4A=4 için 11B+C=1411B + C = 14 olur. CC bir rakam olduğuna göre BB kaç olmalıdır?

Practice More

Benzer bir mantıkla AB+BA=132AB + BA = 132 ve A−B=2A - B = 2 şartlarını sağlayan ABAB sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 98Question →

Sıfırdan farklı bir aa rasyonel sayısı ile bir bb irrasyonel sayısı veriliyor.

Buna göre;
I. a⋅ba \cdot b
II. b2b^{2}
III. a+ba + b

ifadelerinden hangileri her zaman bir irrasyonel sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı ve toplamı her zaman irrasyoneldir; dolayısıyla I ve III numaralı ifadeler doğrudur.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı (a⋅ba \cdot b) ve toplamı (a+ba + b) her zaman irrasyonel bir sayı kümesinin elemanıdır. Bu temel bir matematiksel özelliktir.

Step-by-Step Solution

1
Sayı kümelerinin tanımlarını yapma
a∈Q∖{0}a \in \mathbb{Q} \setminus \{0\} ve b∈Ib \in \mathbb{I} (veya R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})
Soruda verilen öncülleri sayı kümesi kurallarına göre test etmek için değişkenlerin sınırlarını belirlemek gerekir.
2
I. öncülün (a⋅ba \cdot b) incelenmesi
İrrasyonel sonuç
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel bir sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. Eğer sonuç rasyonel olsaydı, bb sayısının rasyonel olması gerekirdi.
3
II. öncülün (b2b^{2}) incelenmesi
Belirsiz (Rasyonel veya İrrasyonel olabilir)
b=2b = \sqrt{2} (irrasyonel) ise b2=2b^2 = 2 (rasyonel) olur. b=24b = \sqrt[4]{2} (irrasyonel) ise b2=2b^2 = \sqrt{2} (irrasyonel) olur. Bu nedenle her zaman irrasyonel değildir.
4
III. öncülün (a+ba + b) incelenmesi
İrrasyonel sonuç
Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Rasyonel bir sayıdan rasyonel bir sayı çıkarıldığında sonuç rasyonel kalacağı için toplam rasyonel olamaz.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar Arasındaki İşlemler

Hints

1
Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamının neden rasyonel olamayacağını, çelişki yöntemini düşünerek değerlendirin.
2
İrrasyonel sayı olarak 2\sqrt{2}'yi örnek alarak öncülleri test etmeyi deneyin.
3
2\sqrt{2}'nin karesinin bir tam sayı (ve dolayısıyla rasyonel) olduğunu hatırlayın; bu durum II. öncülü eler.

Practice More

Benzer bir soruda 'iki irrasyonel sayının toplamı'nın durumunu inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Öncülleri test ederken a=1a = 1 (rasyonel) ve b=2b = \sqrt{2} (irrasyonel) değerlerini vererek hangi sonuçların irrasyonel kalıp hangilerinin rasyonel olabildiğini hızlıca görebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 99Question →

x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılardır.

x⋅y=11z+20x \cdot y = 11z + 20

olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 61

Answer

Doğru cevap 61'dir (x=3,y=47,z=11x=3, y=47, z=11).
Verilen x⋅y=11z+20x \cdot y = 11z + 20 eşitliğinde, z=11z=11 değeri denendiğinde eşitlik x⋅y=141x \cdot y = 141 olur. 141141 sayısı 3⋅473 \cdot 47 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 3, 47 ve 11 sayıları birbirinden farklı asal sayılar olduğu için şartlar sağlanır. Bu sayıların toplamı 3+47+11=613 + 47 + 11 = 61 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin teklik-çiftlik durumunu analiz et.
x⋅y=11z+20x \cdot y = 11z + 20. Eğer z=2z=2 olursa xy=22+20=42xy = 22+20=42. 42'nin asal çarpanları (2,3,7) iki asal sayının çarpımı şeklinde yazılamaz (6⋅76\cdot7 veya 2⋅212\cdot21 asal değil). Bu nedenle z≠2z \neq 2, yani zz tektir.
Asal sayılarda çift olan tek sayı 2'dir. Diğer tüm asallar tektir.
2
xx ve yy'nin durumunu belirle.
zz tek olduğuna göre 11z11z tektir. 11z+2011z + 20 (Tek + Çift) işlemi sonucunda x⋅yx \cdot y tek sayı olmalıdır. Bu durumda xx ve yy de tek asal sayılardır.
İki sayının çarpımı tek ise, çarpanların her ikisi de tek olmalıdır.
3
zz için küçük tek asal sayıları deneyerek xx ve yy'yi bul.
- z=3z=3 için: x⋅y=33+20=53x \cdot y = 33 + 20 = 53. 53 asaldır, çarpanları 1 ve 53'tür. 1 asal olmadığından çözüm yok.
- z=5z=5 için: x⋅y=55+20=75x \cdot y = 55 + 20 = 75. 75=3⋅2575 = 3 \cdot 25 veya 5⋅155 \cdot 15 (çarpanlar asal değil).
- z=7z=7 için: x⋅y=77+20=97x \cdot y = 77 + 20 = 97. 97 asaldır, çözüm yok.
- z=11z=11 için: x⋅y=121+20=141x \cdot y = 121 + 20 = 141. 141=3⋅47141 = 3 \cdot 47. Hem 3 hem 47 asaldır. Bu geçerli bir çözümdür.
Deneme yanılma yoluyla şartları sağlayan en küçük asal sayıları tespit etmek gerekir.
4
Bulunan değerleri topla.
x=3,y=47,z=11x=3, y=47, z=11 (veya x=47,y=3x=47, y=3). Hepsi birbirinden farklı asallardır. Toplam: 3+47+11=613 + 47 + 11 = 61.
Sonuç hesabı.

Key Concept

Asal Sayıların Özellikleri ve Teklik-Çiftlik Analizi

Hints

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 11z+2011z + 20 ifadesinin tek mi yoksa çift mi olabileceğini düşünün. Asal sayılar içinde sadece 2 çifttir.
2
z=2z=2 olduğunda eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin. Sağlanmıyorsa zz'nin tek sayı olduğu durumlara (z=3,5,7,…z=3, 5, 7, \dots) odaklanın.
3
141 sayısının rakamları toplamına bakarak 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol edin.

Alternative Method

Modüler aritmetik kullanarak: xy≡20≡9(mod11)xy \equiv 20 \equiv 9 \pmod{11}. Eğer x=3x=3 denersek 3y≡9(mod11)  ⟹  y≡3(mod11)3y \equiv 9 \pmod{11} \implies y \equiv 3 \pmod{11}. yy'nin 3, 14, 25, 36, 47... değerleri için asallık kontrolü yapılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 100Question →

xx ve yy birer pozitif tam sayı olmak üzere,

x=8!+7!6! x = \frac{8! + 7!}{6!}
y=6!−5!4! y = \frac{6! - 5!}{4!}

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, x+yx + y toplamının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 88

Answer

Verilen işlemlere göre x ve y değerlerinin toplamı 88'dir.
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde x=63x = 63 ve y=25y = 25 değerleri elde edilir. Bu iki değerin toplamı 88 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
xx ifadesindeki payı 7!7! parantezine alarak sadeleştirme yapınız.
x=7!(8+1)6!=9⋅7⋅6!6!=63x = \frac{7!(8 + 1)}{6!} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 63
Faktöriyelli ifadelerde toplama işlemi yapılırken en küçük faktöriyel parantezine almak işlemi kolaylaştırır.
2
yy ifadesindeki payı 5!5! parantezine alarak sadeleştirme yapınız.
y=5!(6−1)4!=5⋅5⋅4!4!=25y = \frac{5!(6 - 1)}{4!} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 25
Pay kısmındaki çıkarma işlemini yaparak sadeleştirme sağlamak için en küçük terim olan 5! parantezi kullanılır.
3
Bulunan xx ve yy değerlerini toplayınız.
63+25=8863 + 25 = 88
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için bulunan sonuçlar birleştirilir.

Key Concept

Faktöriyel İfadelerde Ortak Paranteze Alma ve Sadeleştirme

Hints

1
Pay kısmındaki ifadeleri en küçük faktöriyel teriminin parantezine almayı deneyin.
2
8!=8⋅7⋅6!8! = 8 \cdot 7 \cdot 6! ve 7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! olduğunu kullanarak sadeleştirme yapabilirsiniz.
3
xx ifadesinde payı 6!6! cinsinden yazıp sadeleştirdiğinizde tam sayı bir sonuç elde etmelisiniz.

Practice More

Faktöriyelli denklemlerde içler dışlar çarpımı gerektiren sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Her bir faktöriyeli açıp çarpmak yerine, rasyonel ifadeleri parçalayarak da çözebilirsiniz: x=8!6!+7!6!x = \frac{8!}{6!} + \frac{7!}{6!} ve y=6!4!−5!4!y = \frac{6!}{4!} - \frac{5!}{4!}. Bu durumda x=(8⋅7)+7=56+7=63x = (8 \cdot 7) + 7 = 56 + 7 = 63 ve y=(6⋅5)−5=30−5=25y = (6 \cdot 5) - 5 = 30 - 5 = 25 bulunur.
Estimated Time:1m 15s
PreviousPage 5 / 16Next