Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 questions

Question 101Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+1)!+n!(n−1)!−3n=72 \frac{(n+1)! + n!}{(n-1)!} - 3n = 72

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 9'dur.
Verilen ifadede faktöriyeller en küçük terim olan (n−1)!(n-1)! parantezine alınarak sadeleştirildiğinde n2+2nn^2 + 2n elde edilir. Bu ifadeden 3n3n çıkarıldığında oluşan n2−n−72=0n^2 - n - 72 = 0 denkleminin pozitif kökü 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Kesirli ifadenin pay kısmındaki faktöriyelleri en küçük olan (n−1)!(n-1)! cinsinden ifade et.
(n+1)!=(n+1)⋅n⋅(n−1)! (n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!
ve
n!=n⋅(n−1)! n! = n \cdot (n-1)!
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Payı (n−1)!(n-1)! ortak parantezine al ve ifadeyi sadeleştir.
(n−1)!⋅[(n+1)n+n](n−1)!=(n+1)n+n \frac{(n-1)! \cdot [(n+1)n + n]}{(n-1)!} = (n+1)n + n
Pay ve paydadaki (n−1)!(n-1)! çarpanları birbirini götürür.
3
Elde edilen cebirsel ifadeyi düzenle.
(n2+n)+n=n2+2n (n^2 + n) + n = n^2 + 2n
Parantez dağıtılarak benzer terimler toplanır.
4
Ana denklemde yerine yaz ve oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.
(n2+2n)−3n=72⇒n2−n−72=0 (n^2 + 2n) - 3n = 72 \Rightarrow n^2 - n - 72 = 0
Elde edilen ifade sorudaki yerine yazılır ve denklem sıfıra eşitlenir.
5
Denklemin köklerini bul ve doğal sayı olanı seç.
(n−9)(n+8)=0⇒n=9 veya n=−8 (n-9)(n+8) = 0 \Rightarrow n=9 \text{ veya } n=-8
. nn doğal sayı olduğu için
n=9 n=9
Negatif sayıların faktöriyeli tanımlı değildir (ve soruda n doğal sayı denmiştir).

Key Concept

Faktöriyel Sadeleştirme ve İkinci Dereceden Denklemler

Hints

1
Pay kısmındaki (n+1)!(n+1)! ve n!n! ifadelerini, paydadaki (n−1)!(n-1)! cinsinden yazmayı dene.
2
(n+1)!=(n+1)⋅n⋅(n−1)!(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! eşitliğini kullanarak payı (n−1)!(n-1)! parantezine al.
3
Sadeleştirme sonrası elde edeceğin n2−n−72=0n^2 - n - 72 = 0 denklemini çöz.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, paydasında (n−2)!(n-2)! bulunan sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 102Question →

Pozitif ve negatif tam sayılarla dört işlem konusunu çalışan bir öğrenci, defterine aşağıdaki işlemi yazmıştır:

(−24)÷(−6)+(−3)⋅(+5)(-24) \div (-6) + (-3) \cdot (+5)

Buna göre, bu işlemin doğru sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: -11

Answer

İşlemin doğru sonucu -11 olarak bulunur.
Verilen işlemde öncelikle bölme ve çarpma işlemleri yapılır. (−24)÷(−6)=+4(-24) \div (-6) = +4 ve (−3)⋅(+5)=−15(-3) \cdot (+5) = -15 sonuçları elde edilir. Bu iki sonucun toplamı olan 4+(−15)4 + (-15) işlemi ise −11-11 sonucunu verir. Bu nedenle doğru cevap -11 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
(−24)÷(−6)(-24) \div (-6)
bölme işlemini yapınız.
+4+4
Aynı işaretli iki sayının birbirine bölümü daima pozitiftir. 24÷6=424 \div 6 = 4 olduğundan sonuç +4+4 olur.
2
(−3)⋅(+5)(-3) \cdot (+5)
çarpma işlemini yapınız.
−15-15
Zıt işaretli iki sayının çarpımı daima negatiftir. 3×5=153 \times 5 = 15 olduğundan sonuç −15-15 olur.
3
Bulunan sonuçları toplayınız:
(+4)+(−15)(+4) + (-15)
−11-11
Farklı işaretli iki sayı toplanırken, mutlak değerce büyük olan sayıdan (15) küçük olan sayı (4) çıkarılır ve mutlak değerce büyük olanın işareti verilir.

Key Concept

Tam sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde işaret kuralları ile işlem önceliği.

Hints

1
İşlem önceliğine dikkat ederek önce bölme ve çarpma işlemlerini yapmalısın.
2
Aynı işaretli sayıların bölümünün pozitif (+), farklı işaretli sayıların çarpımının ise negatif (-) olduğunu hatırla.
3
İşlem şu hale gelecektir: (+4)+(−15)(+4) + (-15). Şimdi bu iki tam sayıyı toplayarak sonuca ulaşabilirsin.

Practice More

İşaret kurallarını pekiştirmek için benzer bir soruyu bölme yerine çıkarma işlemi içeren bir ifadeyle çözmeyi deneyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 103Question →
6!−5!4!+0! \frac{6! - 5!}{4! + 0!}


işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İşlemin sonucu 24'tür.
İşlemdeki tüm faktöriyel değerleri (6!=720,5!=120,4!=24,0!=16! = 720, 5! = 120, 4! = 24, 0! = 1) yerlerine yazıldığında pay kısmı 600600, payda kısmı ise 2525 olmaktadır. 600600 sayısının 2525 ile bölümü sonucunda elde edilen 24 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki faktöriyel değerlerini hesaplayın.
6!=7206! = 720 ve 5!=1205! = 120
Çıkarma işlemini gerçekleştirmek için önce ifadelerin sayısal değerleri bulunur.
2
Payda kısmındaki faktöriyel değerlerini hesaplayın.
4!=244! = 24 ve 0!=10! = 1
Sıfır faktöriyelin özel bir tanım olarak 1'e eşit olduğu unutulmamalıdır.
3
Pay ve paydadaki işlemleri tamamlayın.
Pay: 720−120=600720 - 120 = 600; Payda: 24+1=2524 + 1 = 25
Kesirli ifadeyi sadeleştirmek için gruplandırılmış işlemler yapılır.
4
Elde edilen değerleri birbirine bölün.
600/25=24600 / 25 = 24
Bölme işlemi sonucunda nihai cevaba ulaşılır.

Key Concept

Faktöriyel tanımı ve 0!=10! = 1 özel durumu

Hints

1
İşleme başlamadan önce pay ve paydadaki faktöriyellerin (6!,5!,4!6!, 5!, 4! ve 0!0!) değerlerini ayrı ayrı hesaplayın.
2
0!0! değerinin her zaman 11 olduğunu hatırlayın; bu, faktöriyel konusundaki en önemli kurallardan biridir.
3
Pay kısmını 600600, payda kısmını 2525 bulduğunuzdan emin olun ve ardından bölme işlemini yapın.

Practice More

Benzer şekilde 0!0! ve 1!1! değerlerinin toplamını içeren bölme işlemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pay kısmını ortak çarpan parantezine alarak da çözebilirsiniz: 6!−5!=5!(6−1)=120×5=6006! - 5! = 5!(6-1) = 120 \times 5 = 600.
Estimated Time:1m 30s
Question 104Question →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde dosyalar, 11'den başlayarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Yapılan bir denetim sırasında, dosyalardan birinin kaybolduğu tespit edilmiştir. Mevcut (kalan) dosyaların numaralarının aritmetik ortalaması 31,231,2 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kaybolan dosyanın numarası aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Kaybolan dosyanın numarası 19'dur.
Bu soruda iki bilinmeyen (nn ve kayıp sayı kk) varmış gibi görünse de, ortalamanın sınırları ve tam sayı olma şartı nn'yi tek bir değere sabitler. 1'den nn'ye kadar olan sayılardan biri çıkarıldığında, yeni ortalama (Ayeni)(A_{yeni}), teorik ortalama olan n+12\frac{n+1}{2} değerine çok yakındır. Kesin sınırlar: n2≤Ayeni≤n2+1\frac{n}{2} \le A_{yeni} \le \frac{n}{2} + 1. Verilen 31,231,2 değeri için bu eşitsizlik 60,4≤n≤62,460,4 \le n \le 62,4 sonucunu verir. Ayrıca kalan dosya sayısı ile 31,231,2 çarpıldığında tam sayı (kalanların toplamı) elde edilmelidir. 31,2=156531,2 = \frac{156}{5} olduğundan kalan dosya sayısı 5'in katı olmalıdır. Bu aralıkta bu şartı sağlayan tek sayı n=61n=61'dir. Toplam farkından kayıp sayı 19 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kalan dosyaların ortalamasının sınırlarını kullanarak toplam dosya sayısı nn'yi sınırla.
nn değeri 60,460,4 ile 62,462,4 arasındadır.
1'den nn'ye kadar olan sayılardan en büyüğü (nn) çıkarılırsa ortalama en az (n/2n/2), en küçüğü (11) çıkarılırsa ortalama en çok (n/2+1n/2 + 1) olur.
2
Ortalamanın kesirli kısmına bakarak nn'nin tam sayı değerini belirle.
n=61n = 61 olmalıdır.
Ortalama 31,2=156/531,2 = 156/5 olduğundan, kalan dosya sayısı (n−1n-1) 5'in katı olmalıdır. Aralıktaki tam sayılardan (61, 62) sadece 61 bu şartı sağlar (61−1=6061-1=60).
3
Toplam formülünü kullanarak kaybolan sayıyı (kk) hesapla.
k=1891−1872=19k = 1891 - 1872 = 19.
Tüm toplam 61×622=1891\frac{61 \times 62}{2} = 1891. Kalanların toplamı 60×31,2=187260 \times 31,2 = 1872. Fark kaybolan sayıdır.

Key Concept

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik ortalama sınırları arasındaki ilişki.

Hints

1
1'den n'ye kadar olan sayıların ortalaması yaklaşık n/2'dir. Verilen 31,2 ortalamasını kullanarak n için bir aralık tahmin edebilirsiniz.
2
Bir sayı çıkarıldığında ortalama en fazla 0,5 artar veya azalır. Yani n değeri 2 * 31,2 = 62,4 civarındadır.
3
Kalan dosya sayısı (n-1) ile 31,2 çarpıldığında sonuç bir tam sayı olmalıdır. 31,2 = 312/10 = 156/5 kesrini düşünün.

Alternative Method

Ortalama değişimi üzerinden çözüm: Orijinal ortalama (n+1)/2'dir. n=61 için ortalama 31'dir. Yeni ortalama 31,2 olduğuna göre artış 0,2'dir. Ortalama artışı (Çıkan Sayı Farkı / Kalan Sayı) formülüyle de ilişkilendirilebilir.
Estimated Time:4m 0s
Question 105Question →

İki basamaklı bir ABAB asal sayısının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde elde edilen iki basamaklı BABA sayısı da bir asal sayı oluyorsa ABAB sayısına "simetrik asal sayı" denir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bir simetrik asal sayı değildir?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

19 sayısı bir simetrik asal sayı değildir çünkü rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen 91 sayısı asal değildir.
Simetrik asal sayı tanımına göre, bir sayının kendisi ve rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen sayı asal olmalıdır. 19 sayısı asaldır, ancak rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen 91 sayısı 7×137 \times 13 işleminin sonucu olduğu için asal değildir. Bu durum, 19'u simetrik asal sayı olmaktan çıkarır.

Step-by-Step Solution

1
Tanımı analiz et ve sayıların terslerini bul.
13 → 31, 17 → 71, 37 → 73, 79 → 97, 19 → 91
Simetrik asal sayı olması için hem sayının kendisinin hem de tersinin asal olması gerekir.
2
Ters çevrilen sayıların asallığını kontrol et.
31, 71, 73 ve 97 sayıları sadece 1'e ve kendilerine bölündükleri için asaldır.
Seçeneklerdeki ilk dört sayının simetrik asal olup olmadığını belirlemek için terslerinin asallığı teyit edilmelidir.
3
91 sayısının asallığını incele.
91=7×1391 = 7 \times 13 olduğu için 91 asal bir sayı değildir.
Bir sayının asal olması için 1'den büyük olması ve kendisi ile 1 dışında hiçbir sayıya bölünmemesi gerekir. 91 sayısı 7 ve 13'e tam bölündüğü için bu tanıma uymaz.

Key Concept

Asal sayıların tanımı ve 91 sayısının çarpanlarına ayrılması (7×137 \times 13).

Hints

1
Seçeneklerdeki sayıların rakamlarını yer değiştirerek yeni sayılar oluşturun.
2
Oluşan yeni sayılardan (31, 71, 73, 97, 91) hangisinin başka çarpanları olduğunu düşünün.
3
91 sayısının 7'ye bölünüp bölünmediğini kontrol edin (91=70+2191 = 70 + 21).

Practice More

İki basamaklı tüm simetrik asal sayıları (tersel asalları) listeleyerek bu sayıların özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Bölünebilme kurallarını kullanarak her sayının tersini hızlıca test edebilirsiniz. Özellikle 7 ile bölünebilme, 91 gibi 'yalancı asal' sayılar için kritiktir.
Estimated Time:1m 15s
Question 106Question →
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
EKOK(a,b)+EBOB(a,b)=121 \text{EKOK}(a, b) + \text{EBOB}(a, b) = 121

eşitliği veriliyor. Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 216

Answer

Toplamın alabileceği farklı değerlerin toplamı 216'dır.
Aralarında asal sayıların çarpımı EKOK'a, 1 sayısı ise EBOB'a eşittir. Bu kuraldan a⋅b=120a \cdot b = 120 bulunur. 120'nin çarpanlarından aralarında asal olanlar (1,120), (3,40), (5,24) ve (8,15) çiftleridir. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 121, 43, 29 ve 23'tür. Hepsinin toplamı 216 eder.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asal sayıların özelliklerini hatırla ve denkleme uygula.
aa ve bb aralarında asal ise EKOK(a,b)=a⋅b\text{EKOK}(a,b) = a \cdot b ve EBOB(a,b)=1\text{EBOB}(a,b) = 1 olur. Denklem a⋅b+1=121a \cdot b + 1 = 121 haline gelir.
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı çarpımlarına, en büyük ortak böleni ise 1'e eşittir.
2
Çarpım değerini bul ve çarpan çiftlerini listele.
a⋅b=120a \cdot b = 120 bulunur. 120'nin çarpan çiftleri: (1,120), (2,60), (3,40), (4,30), (5,24), (6,20), (8,15), (10,12).
aa ve bb tam sayı olduğu için 120'yi veren tüm ikililer incelenmelidir.
3
Bu çiftlerden aralarında asal olanları belirle.
Aralarında asal olan çiftler: (1, 120), (3, 40), (5, 24), (8, 15).
Ortak böleni 1'den büyük olan çiftler (örneğin 2 ve 60, EBOB=2) elenmelidir.
4
Seçilen çiftler için a+ba+b değerlerini hesapla ve topla.
1+120=1211+120=121, 3+40=433+40=43, 5+24=295+24=29, 8+15=238+15=23. Toplam: 121+43+29+23=216121 + 43 + 29 + 23 = 216.
Soruda istenen, bu farklı toplam değerlerinin genel toplamıdır.

Key Concept

Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına, EBOB'u 1'e eşittir.

Hints

1
Aralarında asal iki sayının EBOB'u daima 1'dir. Bunu denklemde yerine koyarak EKOK değerini, dolayısıyla sayıların çarpımını bulabilirsiniz.
2
Çarpımları bulunan sayı (120) için tüm çarpan çiftlerini (1.120, 2.60...) listeleyin.
3
Listelediğiniz çiftlerden sadece ortak böleni 1 olanları (aralarında asal olanları) seçin. 1 sayısının her sayıyla aralarında asal olduğunu unutmayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 107Question →
Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x3⋅y4<0x^3 \cdot y^4 < 0

x−z>0x - z > 0

y+z=0y + z = 0

ifadeleri veriliyor.

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: z<x<yz < x < y

Answer

Doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.
Verilen ifadeler adım adım analiz edildiğinde; birinci ifadeden xx'in negatif olduğu, üçüncü ifadeden yy ve zz'nin zıt işaretli olduğu, ikinci ifadeden ise xx'in zz'den büyük olduğu anlaşılır. xx negatif ve x>zx > z olduğu için zz de negatiftir. zz negatif ise yy pozitiftir. Negatif sayılar arasında z<xz < x ilişkisi vardır ve pozitif olan yy hepsinden büyüktür. Sonuç olarak sıralama z<x<yz < x < y olur.

Step-by-Step Solution

1
xx sayısının işaretini belirle.
x<0x < 0 (Negatif)
y4y^4 çift kuvvet olduğu için kesinlikle pozitiftir. Çarpımın (x3⋅y4x^3 \cdot y^4) negatif olabilmesi için x3x^3 negatif olmalıdır, bu da xx'in negatif olduğunu gösterir.
2
xx ve zz arasındaki ilişkiyi incele.
z<x<0z < x < 0
x−z>0x - z > 0 eşitsizliği x>zx > z anlamına gelir. xx negatif olduğuna göre, xx'ten daha küçük olan zz sayısı da kesinlikle negatif olmalıdır.
3
yy sayısının işaretini ve konumunu belirle.
y>0y > 0 (Pozitif)
y+z=0y + z = 0 eşitliğinden y=−zy = -z bulunur. zz negatif bir sayı olduğuna göre, ters işaretlisi olan yy pozitif olmalıdır.
4
Tüm sayıları sırala.
z<x<yz < x < y
zz ve xx negatif sayılardır ve z<xz < x ilişkisi vardır. yy pozitif olduğu için en büyüktür. Birleştirildiğinde z<x<yz < x < y elde edilir.

Key Concept

Negatif sayılarda sıralama yapılırken sayı sıfırdan uzaklaştıkça küçülür. Tek kuvvetler işareti korurken, çift kuvvetler sonucu daima pozitif yapar.

Hints

1
Önce x3⋅y4<0x^3 \cdot y^4 < 0 eşitsizliğini kullanarak xx'in işaretini belirleyiniz. Çift kuvvetlerin (y4y^4) sonucu daima pozitiftir.
2
xx'in negatif olduğunu bulduktan sonra, x−z>0x - z > 0 eşitsizliğinden x>zx > z olduğunu hatırlayınız. Negatif bir sayıdan daha küçük olan bir sayı da negatiftir.
3
zz negatif ise, y+z=0y + z = 0 eşitliğinden yy'nin pozitif olduğunu görebilirsiniz. Pozitif sayılar negatiflerden daima büyüktür.

Practice More

Mutlak değerli eşitsizliklerde sıralama sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek değerler seçin. Örneğin x=−2x=-2 olsun. x3x^3 negatiftir, uygundur. x>zx > z olmalı, z=−5z=-5 seçelim (−2>−5-2 > -5 sağlar). y+z=0y+z=0 ise y=5y=5 olur. Elde edilen değerler: z=−5,x=−2,y=5z=-5, x=-2, y=5. Sıralama: −5<−2<5-5 < -2 < 5 yani z<x<yz < x < y.
Estimated Time:2m 0s
Question 108Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a + b ve a - b rasyonel sayılar ise a · b rasyonel bir sayıdır

Answer

Toplamları ve farkları rasyonel olan iki sayının çarpımı daima rasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi dört işleme göre kapalıdır. a+ba+b ve a−ba-b rasyonel ise, bu iki ifadenin toplamının yarısı olan aa ve farkının yarısı olan bb de rasyonel olmak zorundadır. İki rasyonel sayının çarpımı da rasyonel olacağından, bu ifade daima doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Yanlış seçenekleri elemek için 'aksine örnek verme' (counter-example) yöntemini kullanın.
Örneğin, irrasyonel sayıların toplamı için 2+(−2)=0\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 örneği verilebilir; 0 rasyoneldir.
Daima doğru ifadeleri bulmak için tek bir istisna yeterlidir.
2
Doğru seçeneği cebirsel olarak kanıtlayın. a+b=xa+b = x ve a−b=ya-b = y olsun, burada x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} (Rasyonel).
Taraf tarafa toplama yapılırsa: 2a=x+y  ⟹  a=x+y22a = x+y \implies a = \frac{x+y}{2}.
Rasyonel sayılar kümesi toplama ve bölme işlemine göre kapalıdır, yani aa rasyoneldir.
3
bb sayısını bulmak için taraf tarafa çıkarma yapın.
Q\mathbb{Q} kümesinde işlem yapıldığından b=x−y2b = \frac{x-y}{2} de rasyoneldir.
Rasyonel sayıların farkı ve bölümü de rasyoneldir.
4
Bulunan aa ve bb değerlerini çarpın.
İki rasyonel sayının çarpımı (a⋅ba \cdot b) rasyonel olmak zorundadır.
Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

Key Concept

Sayı Kümelerinde Kapalılık Özellikleri

Hints

1
Seçeneklerin doğruluğunu test etmek için 'ters örnek' (aksine örnek) bulmaya çalışın. Özellikle 2\sqrt{2} ve −2-\sqrt{2} gibi birbirini yok eden sayıları kullanın.
2
Bir sayının rasyonel olması için, rasyonel iki sayının toplamı, farkı, çarpımı veya bölümü (sıfıra bölme hariç) şeklinde ifade edilebilmesi yeterlidir.
3
Toplamları ve farkları rasyonel olan iki denklemi taraf tarafa toplayarak aa'yı yalnız bırakın. aa'nın rasyonel sayılardan oluşup oluşmadığını kontrol edin.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi: a+b=4a+b=4 ve a−b=2a-b=2 olsun. Bu durumda 2a=6  ⟹  a=32a=6 \implies a=3 ve b=1b=1 bulunur. Çarpımları 33 (rasyonel) olur. Sadece bir örnek doğruluğu kanıtlamaz ancak eleme yapmanızı sağlar.
Estimated Time:2m 0s
Question 109Question →

a=−6a = -6 ve b=9b = 9 tam sayıları veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu bir tek sayıdır?

Show answer & explanation

Answer: a+ba + b

Answer

Verilen sayılar yerine konulduğunda sonucu tek olan ifade a+ba + b toplamıdır.
Verilen ifadede a=−6a = -6 çift, b=9b = 9 ise tek bir sayıdır. Temel matematik kurallarına göre bir çift sayı ile bir tek sayının toplamı (Ç + T) her zaman tektir. Bu durumda −6+9=3-6 + 9 = 3 sonucu bir tek sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu belirleme
a=−6a = -6 (çift sayı), b=9b = 9 (tek sayı)
Bir sayının 2 ile tam bölünüp bölünmediğine bakılır.
2
a+ba + b işlemini gerçekleştirme
−6+9=3-6 + 9 = 3
Zıt işaretli sayılar toplanırken büyük olanın işareti alınır ve fark bulunur.
3
Sonucun türünü kontrol etme
3 bir tek sayıdır.
Birler basamağı {1, 3, 5, 7, 9} olan sayılar tektir.

Key Concept

Tek ve Çift Sayıların Toplama ve Çarpma Özellikleri

Hints

1
Bir tam sayının son basamağına bakarak tek mi çift mi olduğunu belirleyebilirsin. Negatif olması bu durumu değiştirmez.
2
Temel kuralları hatırla: Çift + Tek = Tek, Çift × Tek = Çift.
3
a=−6a = -6 ve b=9b = 9 değerlerini seçeneklerde yerine koyarak basitçe hesaplama yapabilirsin.

Practice More

Ardışık iki tam sayının çarpımının her zaman çift olduğunu fark ettin mi? Bunu bir sonraki sorularda kullanabilirsin.

Alternative Method

Genel kuralı kullanarak hesaplama yapmadan da sonuca ulaşabilirsin: aa (Çift) ve bb (Tek) için, a+b=C\c+T=Ta+b = Ç+T = T kuralı gereği sonuç her zaman tektir.
Estimated Time:45s
Question 110Question →

AA, BB ve CC sıfırdan farklı, birbirinden farklı rakamlar ve A>B>CA > B > C olmak üzere; üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları ile iki basamaklı ABAB, BCBC ve CACA doğal sayıları arasında

ABC−CBA=AB+BC+CAABC - CBA = AB + BC + CA


eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 210

Answer

Verilen şartları sağlayan ABCABC sayısı 765765 olup rakamları çarpımı 210210 olur.
Verilen denklemin çözümlenmiş hali 9(A−C)=A+B+C9(A-C) = A+B+C şeklindedir. Buradan 8A−10C=B8A - 10C = B bağıntısı elde edilir. A>B>CA > B > C şartını sağlayan tek rakam üçlüsü A=7A=7, B=6B=6 ve C=5C=5 olup çarpımları 210210 eder.

Step-by-Step Solution

1
Sayıların basamak çözümlemesinin yapılması
99(A−C)=11(A+B+C)99(A - C) = 11(A + B + C)
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99A−99CABC - CBA = (100A+10B+C) - (100C+10B+A) = 99A - 99C ve AB+BC+CA=(10A+B)+(10B+C)+(10C+A)=11A+11B+11CAB+BC+CA = (10A+B) + (10B+C) + (10C+A) = 11A+11B+11C şeklindedir.
2
Eşitliğin sadeleştirilmesi ve düzenlenmesi
8A−10C=B8A - 10C = B
99(A−C)=11(A+B+C)99(A-C) = 11(A+B+C) ifadesi 11 ile sadeleşince 9A−9C=A+B+C9A - 9C = A+B+C olur, buradan BB yalnız bırakılır.
3
Rakam ve büyüklük şartlarına (A>B>CA > B > C) göre değerlerin denenmesi
A=7,B=6,C=5A=7, B=6, C=5
A−C=2A-C=2 için 16−2C=B16-2C=B denkleminde C=5C=5 yazıldığında B=6B=6 ve A=7A=7 bulunur. Bu durumda 7>6>57 > 6 > 5 şartı sağlanır.
4
İstenen çarpımın hesaplanması
7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210
Soruda rakamların çarpımı istenmiştir.

Key Concept

Basamak analizi sorularında çözümleme yapıldıktan sonra elde edilen denklemde rakamların kısıtları (sıfırdan farklı olma, birbirinden farklı olma, büyüklük sıralaması) mutlaka kontrol edilmelidir.
Question 111Question →

aa ve bb aralarında asal iki pozitif tam sayıdır.

a⋅b=60a \cdot b = 60

olduğuna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Aralarında asal olan ve çarpımları 60 eden pozitif tam sayı çiftleri arasında toplamı en küçük olan 5 ve 12 çiftidir, bu nedenle cevap 17'dir.
Çarpımları 60 olan ve aralarında asal olma şartını sağlayan çiftler incelendiğinde; (1, 60), (3, 20), (4, 15) ve (5, 12) çiftleri bulunur. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 61, 23, 19 ve 17'dir. Birbirine en yakın olan 5 ve 12 çifti, toplamın en küçük olduğu 17 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Çarpımları 60 olan pozitif tam sayı çiftlerini listeleyelim.
(1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10)
Tüm olası çarpan çiftlerini bularak aralarından uygun olanları seçeceğiz.
2
Bu çiftlerin aralarında asal (ortak bölenleri sadece 1) olup olmadığını kontrol edelim.
Aralarında asal olanlar: (1, 60), (3, 20), (4, 15), (5, 12). Aralarında asal olmayanlar: (2, 30) → EBOB 2, (6, 10) → EBOB 2.
Soruda a ve b sayılarının aralarında asal olması şartı verilmiştir.
3
Aralarında asal olan çiftlerin toplamlarını hesaplayalım.
1 + 60 = 61, 3 + 20 = 23, 4 + 15 = 19, 5 + 12 = 17.
İstenen en küçük toplamı bulmak için adayların değerlerini karşılaştıracağız.
4
Hesaplanan toplamlar arasından en küçük olanı belirleyelim.
En küçük değer 17'dir.
61, 23, 19 ve 17 değerleri arasında sayısal olarak en küçük olan 17'dir.

Key Concept

Aralarında asal sayılar, 1'den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılardır. İki sayının çarpımı sabitken, toplamın en küçük olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir.

Hints

1
Çarpımları 60 olan sayı çiftlerini bir liste halinde yazarak işe başlayın.
2
Yazdığınız çiftlerden, her ikisini de bölen 1'den büyük bir sayı (örneğin 2, 3 veya 5) olup olmadığını kontrol edin.
3
Toplamın küçük olması için sayıların birbirine sayısal olarak yakın olması gerektiğini unutmayın. 5 ve 12 çiftini inceleyin.

Practice More

Toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların aralarında asal seçilmesi gerekip gerekmediğini tartışan benzer sorular çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 112Question →

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

xy<0 \frac{x}{y} < 0

x−y>0 x - y > 0

x<z x < z

y+z<0 y + z < 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x+y<0x + y < 0

Answer

x+y<0x + y < 0 ifadesi daima doğrudur.
Verilen öncüllerden xx ve zz'nin pozitif, yy'nin negatif olduğu anlaşılır. y+z<0y+z<0 bilgisi, negatif olan yy'nin mutlak değerce zz'den (ve dolayısıyla zz'den küçük olan xx'ten) daha büyük olduğunu kanıtlar. Bu yüzden x+yx+y toplamı kesinlikle negatif olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
xx ve yy sayılarının işaretlerini belirle.
xy<0\frac{x}{y} < 0 olduğu için xx ve yy zıt işaretlidir. x−y>0x - y > 0 ise x>yx > y demektir. Bu durumda pozitif olan büyük sayı xx, negatif olan küçük sayı yy'dir (x>0,y<0x > 0, y < 0).
Zıt işaretli iki sayıdan büyük olanı pozitif olmak zorundadır.
2
zz sayısının işaretini ve xx ile ilişkisini belirle.
x<zx < z verilmiştir. xx pozitif olduğu için, xx'ten büyük olan zz sayısı da kesinlikle pozitiftir (z>x>0z > x > 0).
Pozitif bir sayıdan daha büyük olan sayı da pozitiftir.
3
yy ve zz arasındaki mutlak değer ilişkisini incele.
y+z<0y + z < 0 verilmiştir. yy negatif, zz pozitiftir. Toplamın negatif olması için negatif sayının mutlak değerinin pozitif sayıdan büyük olması gerekir. Yani ∣y∣>∣z∣|y| > |z|'dir.
Zıt işaretli sayıların toplamı, mutlak değerce büyük olan sayının işaretini alır.
4
xx ve yy toplamının işaretini belirle.
Sıralamamız ∣y∣>∣z∣|y| > |z| ve z>xz > x şeklindedir. Bu durumda ∣y∣>x|y| > x olur. yy negatif ve xx pozitif olduğundan, mutlak değerce büyük olanın işareti geçerlidir. Sonuç: x+y<0x + y < 0.
Negatif sayının büyüklüğü (şiddeti), pozitif sayının büyüklüğünden fazlaysa toplam negatif olur.

Key Concept

Eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değerce büyüklük yorumu.

Hints

1
Önce xy<0\frac{x}{y} < 0 ve x−y>0x - y > 0 eşitsizliklerini kullanarak xx ve yy'nin işaretlerini belirleyin.
2
xx pozitif ve yy negatiftir. x<zx < z olduğuna göre zz'nin işareti ne olmalıdır? Sonrasında y+z<0y+z < 0 ifadesini mutlak değer cinsinden düşünün.
3
y+z<0y+z < 0 olması, negatif olan yy'nin mutlak değerinin pozitif olan zz'den büyük olduğu anlamına gelir (∣y∣>z|y| > z). zz de xx'ten büyüktür. Bu durumda yy ile xx'i toplarsanız sonuç ne olur?

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin z=5z=5 olsun. x<zx < z olduğundan x=2x=2 olsun (pozitif olmak zorunda). x/y<0x/y < 0 için yy negatif olmalı. y+z<0y+z < 0 olması için yy'nin -5'ten küçük olması gerekir, örneğin y=−8y=-8. Bu değerler için şıklar test edilebilir: x+y=2+(−8)=−6<0x+y = 2 + (-8) = -6 < 0.
Estimated Time:1m 30s
Question 113Question →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
43!=24x⋅y 43! = 24^x \cdot y

eşitliği veriliyor. Buna göre, xx'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.
Doğru cevap 13'tür çünkü 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğundan, 43! içindeki 232^3 ve 33 çarpanlarının sayısı karşılaştırılmalıdır. 3 çarpanı 19 adet bulunurken, 2 çarpanı 39 adet bulunur. Ancak her 24 sayısı için üç adet 2 gerektiğinden (232^3), elimizdeki 2'ler sadece ⌊39/3⌋=13\lfloor 39/3 \rfloor = 13 adet grup oluşturabilir. 13 < 19 olduğu için kısıtlayıcı faktör 2'lerdir ve en çok 13 adet 24 sayısı elde edilebilir.

Step-by-Step Solution

1
Taban sayısını asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1 olarak yazılır. Bu, her bir 24 sayısı elde etmek için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyacımız olduğu anlamına gelir.
Bileşik sayı tabanlı sorularda işlem her zaman asal çarpanlar üzerinden yapılmalıdır.
2
43! içindeki 3 çarpanının sayısını bul (Legendre Yöntemi).
43÷3=1443 \div 3 = 14, 14÷3=414 \div 3 = 4, 4÷3=14 \div 3 = 1. Bölümler toplamı: 14+4+1=1914 + 4 + 1 = 19.
Bu sonuç, elimizde 19 adet 24 oluşturmaya yetecek kadar 3 çarpanı olduğunu gösterir.
3
43! içindeki 2 çarpanının sayısını bul.
43÷2=2143 \div 2 = 21, 21÷2=1021 \div 2 = 10, 10÷2=510 \div 2 = 5, 5÷2=25 \div 2 = 2, 2÷2=12 \div 2 = 1. Bölümler toplamı: 21+10+5+2+1=3921 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39.
Toplamda 39 adet 2 çarpanı vardır.
4
2 çarpanlarını gruplayarak kaç adet 232^3 oluşturulabileceğini hesapla.
Her grup için 3 adet 2 gerektiğinden: ⌊39/3⌋=13\lfloor 39 / 3 \rfloor = 13.
Toplam 2 sayısı, tabandaki 2'nin üssüne bölünerek kaç tam grup oluştuğu bulunur.
5
Kısıtlayıcı (küçük) olan değeri belirle.
3 çarpanları ile 19 tane, 232^3 grupları ile 13 tane 24 sayısı oluşturulabilir. Küçük olan değer (13) geçerlidir.
Bir ürünü oluşturmak için tüm bileşenler gereklidir; en az sayıda olan bileşen toplam üretim miktarını belirler.

Key Concept

Faktöriyelde Asal Çarpan Hesabı (Legendre Formülü)

Hints

1
Önce taban olan 24 sayısını asal çarpanlarına (2a⋅3b2^a \cdot 3^b) ayırmalısınız.
2
43! içinde kaç tane 3 çarpanı olduğunu ve kaç tane 2 çarpanı olduğunu ayrı ayrı hesaplayın (sürekli bölme yöntemi ile).
3
Taban 23⋅32^3 \cdot 3 olduğu için, bulduğunuz toplam 2 sayısını 3'e bölerek kaç tane 232^3 grubu oluştuğunu bulun ve bunu 3 çarpanı sayısı ile kıyaslayın.

Practice More

Benzer mantıkla 40!=12x⋅y40! = 12^x \cdot y sorusunu çözerek bu sefer hangi asalın kısıtlayıcı olduğunu kontrol edebilirsiniz.

Alternative Method

Sadece 2 çarpanlarını kontrol etmek yeterli olabilir mi? Genellikle büyük asal sayı belirleyicidir ama taban kuvvetli ise (232^3) küçük asal sayı darboğaz yaratabilir. Emin olmak için ikisini de hesaplayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 114Question →

nn elemanlı ardışık tek tam sayılardan oluşan bir AA kümesi ile nn elemanlı ardışık çift tam sayılardan oluşan bir BB kümesi veriliyor. BB kümesinin en küçük elemanı, AA kümesinin en büyük elemanından 55 fazladır. Bu iki kümedeki tüm elemanların toplamı 10701070 ve BB kümesinin elemanları toplamı, AA kümesinin elemanları toplamından 230230 fazladır. Buna göre, nn kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Kümelerin her birinde bulunan eleman sayısı 10'dur.
Verilen bilgilere göre AA kümesinin toplamı SA=n(a+n−1)S_A = n(a+n-1) ve BB kümesinin toplamı SB=n(b+n−1)S_B = n(b+n-1) olarak yazılabilir. b−a=2n+3b-a = 2n+3 ilişkisi kullanıldığında toplamlar farkı SB−SA=n(2n+3)S_B - S_A = n(2n+3) olur. n(2n+3)=230n(2n+3) = 230 denklemini sağlayan tek pozitif tam sayı 10'dur. Ayrıca n=10n=10 değeri toplamın 1070 olması şartını da sağlar (SA=420,SB=650S_A=420, S_B=650).

Step-by-Step Solution

1
AA ve BB kümelerinin elemanlarını ve toplamlarını temsil eden değişkenleri tanımlayın.
A={a,a+2,…,a+2n−2}A = \{a, a+2, \dots, a+2n-2\} ve B={b,b+2,…,b+2n−2}B = \{b, b+2, \dots, b+2n-2\} olsun.
Ardışık tek ve çift sayılar arasındaki fark 2 olduğu için terimler bu şekilde ifade edilir.
2
BB kümesinin en küçük elemanı ile AA kümesinin en büyük elemanı arasındaki ilişkiyi kurun.
b=(a+2n−2)+5⇒b=a+2n+3b = (a + 2n - 2) + 5 \Rightarrow b = a + 2n + 3
Soruda BB'nin en küçüğünün (bb), AA'nın en büyüğünden (a+2n−2a+2n-2) 5 fazla olduğu belirtilmiştir.
3
Kümelerin toplamları arasındaki farkı nn cinsinden ifade edin.
SB−SA=n×(b−a)=n×(a+2n+3−a)=n(2n+3)S_B - S_A = n \times (b - a) = n \times (a + 2n + 3 - a) = n(2n + 3)
Terim sayıları aynı olan iki aritmetik dizinin toplamları farkı, karşılıklı terimlerin farklarının toplamına eşittir.
4
n(2n+3)=230n(2n + 3) = 230 denklemini çözün.
2n2+3n−230=0⇒(2n+23)(n−10)=0⇒n=102n^2 + 3n - 230 = 0 \Rightarrow (2n + 23)(n - 10) = 0 \Rightarrow n = 10
Eleman sayısı negatif olamayacağı için n=10n=10 kökü seçilir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri arasındaki ilişkinin cebirsel yöntemlerle çözülmesi.
Question 115Question →

K={−14,−9,0,15,22}K = \{-14, -9, 0, 15, 22\} kümesi veriliyor. Buna göre, bu kümenin elemanları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: Kümede 3 tane çift sayı bulunmaktadır.

Answer

Kümede 3 tane çift sayı bulunmaktadır.
Kümedeki elemanlar incelendiğinde; -14 (çift), -9 (tek), 0 (çift), 15 (tek) ve 22 (çift) olduğu görülür. Bu durumda kümede toplam 3 tane çift sayı bulunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Kümedeki her bir elemanın teklik-çiftlik durumunu belirlemek
-14: Çift, -9: Tek, 0: Çift, 15: Tek, 22: Çift
Bir sayının 2 ile tam bölünüp bölünmediğine bakılır (0 çift bir sayıdır).
2
Seçenekleri bu bilgilere göre değerlendirmek
Çift sayılar (-14, 0, 22) toplam 3 tanedir.
Doğru seçeneği bulmak için verilerle şıklar karşılaştırılır.

Key Concept

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri (0 sayısının çift olması dahil)

Hints

1
0 sayısının çift bir sayı olduğunu unutmayın.
2
Negatif sayıların teklik-çiftlik durumu, pozitif karşılıkları ile aynıdır.
3
Kümedeki elemanları tek tek listeleyip yanlarına 'Tek' veya 'Çift' yazarak şıkları kontrol edin.

Practice More

Farklı işaretli sayıların toplamının tek mi çift mi olduğunu belirlemek için 'Tek + Tek = Çift' gibi temel kuralları tekrar edin.
Estimated Time:1m 15s
Question 116Question →

Bir inşaat ustası, her basamağında bir önceki basamaktan 11 adet fazla tuğla kullanarak 1010 basamaklı bir merdiven yapacaktır. İlk (en üst) basamakta 11 tuğla kullandığına göre, merdivenin tamamı için toplam kaç tuğla kullanılmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

Merdiven için toplamda 55 adet tuğla kullanılmıştır.
Doğru cevap olan 55 değeri, ardışık tam sayıların toplam formülü olan n(n+1)/2n(n+1)/2 ifadesinde n=10n=10 yazılarak elde edilir. Bu durum, merdiven basamaklarındaki tuğla sayılarının toplamını (1+2+3+4+5+6+7+8+9+101+2+3+4+5+6+7+8+9+10) tam olarak karşılamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Problemin matematiksel modelini kurma
1+2+3+⋯+101 + 2 + 3 + \dots + 10
Her basamakta bir öncekinden 1 fazla tuğla kullanıldığı ve 10 basamak olduğu için toplam tuğla sayısı 1'den 10'a kadar olan sayıların toplamıdır.
2
Gauss toplam formülünü uygulama
10×(10+1)2=10×112\frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2}
1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülü ile pratik şekilde hesaplanır.
3
İşlemi sonuçlandırma
5×11=555 \times 11 = 55
Sadeleştirme ve çarpma işlemleri yapılarak toplam tuğla sayısı bulunur.

Key Concept

Ardışık tam sayıların toplamı (Gauss Toplamı)

Hints

1
Bu bir ardışık sayı toplamı problemidir. 11'den başlayarak her adımda 11 artan sayıları toplamanız gerekiyor.
2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+101 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 işlemini tek tek toplamak yerine bir formül kullanabilirsiniz.
3
11'den nn'ye kadar olan sayıların toplamı için kullanılan n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülünde nn yerine 1010 koyun.

Practice More

Eğer ilk basamakta 1 yerine 2 tuğla olsaydı ve ardışık çift sayılar şeklinde devam etseydi toplam nasıl değişirdi?

Alternative Method

Sayıları baştan ve sondan eşleştirerek de toplayabilirsiniz: (1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6). Her bir parantezin içi 11 olur ve toplamda 5 adet 11 elde edilir. 5×11=555 \times 11 = 55 bulunur.
Estimated Time:45s
Question 117Question →

a,ba, b ve cc tam sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

I. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi bir tek sayıdır.
II. a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a+ca + c toplamı tek sayıdır

Answer

a+ca + c toplamı tek sayıdır ifadesi doğrudur.
Verilen iki denklem sistemi analiz edildiğinde, sağlanan tek koşul aa ve bb sayılarının çift, cc sayısının ise tek olmasıdır. Bu durumda çift bir sayı (aa) ile tek bir sayının (cc) toplamı her zaman tek sayı sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci öncülü analiz et
a⋅b+ca \cdot b + c tek sayıdır. Bu durumda iki olasılık vardır: (1) a⋅ba \cdot b çift, cc tek; veya (2) a⋅ba \cdot b tek, cc çift.
İki tam sayının toplamının tek olması için, toplananlardan biri tek, diğeri çift olmalıdır.
2
İkinci öncülü analiz et ve durumları sına
a+b⋅ca + b \cdot c çift sayıdır. 1. Durumu (a⋅ba \cdot b çift, cc tek) deneyelim. cc tek ise b⋅cb \cdot c ifadesinin paritesi bb'ye bağlıdır. Ancak a⋅ba \cdot b çift olduğu için aa veya bb çifttir.
Olası durumları eleyerek tek doğru senaryoyu bulmak gerekir.
3
Mantıksal çıkarımı tamamla
Eğer aa ve bb her ikisi de tek olsaydı (Durum 2), cc çift olurdu. Bu durumda a+b⋅c=Tek+C¸ift=Teka + b \cdot c = \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek} olurdu. Ancak sonucun çift olması gerektiği verildiği için bu durum elenir. Geriye kalan tek geçerli durum: aa çift, bb çift ve cc tektir. Sağlaması: I. C\c⋅C\c+T=TÇ \cdot Ç + T = T (Doğru), II. C\c+C\c⋅T=C\cÇ + Ç \cdot T = Ç (Doğru).
Çelişki yaratmayan tek sayı kümesi belirlenmelidir.
4
Seçenekleri değerlendir
Bulduğumuz (aa: Çift, bb: Çift, cc: Tek) durumu için seçeneklere bakalım. a+c=C¸ift+Tek=Teka + c = \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek} ifadesi kesinlikle doğrudur.
Belirlenen parite değerleri şıklarda yerine konularak doğru cevap bulunur.

Key Concept

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

Hints

1
Her iki ifadenin sonucunu (tek/çift) sağlayan a,b,ca, b, c değerlerini deneme-yanılma yoluyla veya mantıksal çıkarımla belirlemeye çalışın.
2
Eğer cc çift olsaydı, birinci ifade (a⋅b+ca \cdot b + c) tek olabilir miydi? Bunu düşünerek cc'nin kesin paritesini bulun.
3
cc mutlaka tek sayı olmalıdır. cc tek ise, ikinci ifadenin (a+b⋅ca + b \cdot c) çift olması için aa ve bb'nin ne olması gerektiğini inceleyin.

Practice More

Üç bilinmeyenli parite sorularında, çarpım durumundaki ifadelerden başlamak genellikle daha hızlı sonuç verir.
Estimated Time:1m 30s
Question 118Question →

İki basamaklı abab doğal sayısı, rakamları toplamının 7 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı abab doğal sayısı vardır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Koşulu sağlayan 4 farklı sayı vardır
Verilen ab=7(a+b)ab = 7(a+b) eşitliği çözümlendiğinde a=2ba = 2b bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıyı sağlayan (a,b)(a,b) ikilileri (2,1),(4,2),(6,3)(2,1), (4,2), (6,3) ve (8,4)(8,4) olmak üzere 4 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.
ab=7⋅(a+b)ab = 7 \cdot (a + b)
Soruda sayının, rakamları toplamının 7 katına eşit olduğu belirtilmiştir.
2
Sayının basamaklarını çözümleyerek denklemi düzenleyin.
10a+b=7a+7b⇒3a=6b⇒a=2b10a + b = 7a + 7b \Rightarrow 3a = 6b \Rightarrow a = 2b
Basamak analizi kuralına göre ab=10a+bab = 10a + b şeklinde yazılır. Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimler bir araya toplanır.
3
Bulunan a=2ba = 2b bağıntısına uygun rakamları deneyerek sayıları listeleyin.
b=1⇒a=2b=1 \Rightarrow a=2 (Sayı: 21)
b=2⇒a=4b=2 \Rightarrow a=4 (Sayı: 42)
b=3⇒a=6b=3 \Rightarrow a=6 (Sayı: 63)
b=4⇒a=8b=4 \Rightarrow a=8 (Sayı: 84)
aa ve bb birer rakam olduğu için (0≤a,b≤90 \le a,b \le 9 ve a≠0a \neq 0), bu şartı sağlayan değerler bulunur. b=5b=5 için a=10a=10 olur ki bu bir rakam değildir.
4
Bulunan değerlerin sayısını belirleyin.
Toplam 4 farklı sayı vardır: 21, 42, 63, 84.
Olası tüm durumlar listelenmiştir.

Key Concept

Doğal sayıların basamaklarına ayrılarak (ab=10a+bab = 10a + b) denklemlerin çözülmesi.
Question 119Question →

İki basamaklı bir ABAB doğal sayısının sağına 3 rakamı yazılarak üç basamaklı bir sayı, soluna 3 rakamı yazılarak başka bir üç basamaklı sayı elde ediliyor.

Elde edilen bu iki sayının farkı 288 olduğuna göre, A+BA+B toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

A+BA+B toplamı 11'dir.
İki basamaklı ABAB sayısının sağına 3 yazıldığında oluşan sayı 100A+10B+3100A+10B+3, soluna 3 yazıldığında oluşan sayı ise 300+10A+B300+10A+B olur. Bu iki ifadenin farkı alındığında (100A+10B+3)−(300+10A+B)=90A+9B−297=288(100A+10B+3) - (300+10A+B) = 90A+9B-297 = 288 eşitliği elde edilir. Denklemi sadeleştirdiğimizde 9(10A+B)=5859(10A+B) = 585 ve buradan 10A+B=6510A+B = 65 bulunur. Dolayısıyla ABAB sayısı 65'tir ve rakamları toplamı 6+5=116+5=11 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen bilgilere göre üç basamaklı sayıları ABAB sayısı cinsinden ifade edelim.
Sağına 3 yazıldığında oluşan sayı: 10⋅(AB)+310 \cdot (AB) + 3
Soluna 3 yazıldığında oluşan sayı: 300+(AB)300 + (AB)
Bir sayının sağına rakam eklemek sayıyı 10 ile çarpıp rakamı eklemek (basamak kaydırma), soluna eklemek ise o rakamı yüzler basamağına (300) yerleştirmektir.
2
Sayıların farkını 288'e eşitleyen denklemi kuralım.
(10⋅AB+3)−(300+AB)=288(10 \cdot AB + 3) - (300 + AB) = 288
Soruda oluşturulan iki sayının farkının 288 olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi düzenleyerek ABAB sayısını bulalım.
9⋅AB−297=288⇒9⋅AB=585⇒AB=659 \cdot AB - 297 = 288 \Rightarrow 9 \cdot AB = 585 \Rightarrow AB = 65
Benzer terimler sadeleştirilerek bilinmeyen sayı olan ABAB yalnız bırakılır.
4
Bulunan ABAB sayısının rakamları toplamını hesaplayalım.
A=6,B=5A = 6, B = 5 olduğundan A+B=6+5=11A+B = 6+5 = 11
Soru kökünde bizden AA ve BB rakamlarının toplamı istenmektedir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1
ABAB sayısını 10A+B10A + B şeklinde çözümleyerek her iki yeni sayıyı da AA ve BB rakamları cinsinden yazmayı deneyin.
2
Oluşan sayılar 100A+10B+3100A+10B+3 ve 300+10A+B300+10A+B şeklindedir. Bunların farkını alırken eksi işaretini parantez içine dağıtmaya dikkat edin.
3
Elde ettiğiniz 90A+9B=58590A+9B = 585 denklemini 9 parantezine alıp her iki tarafı 9'a bölerek 10A+B10A+B (yani ABAB) değerini bulun.

Practice More

Benzer basamak analizi sorularında sayının rakamlarının yer değiştirmesi veya belirli bir rakamla çarpılması durumlarını inceleyerek yetkinliğinizi artırabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 120Question →
Aralarında asal olan xx ve yy pozitif tam sayıları için
2x+3y=842x + 3y = 84
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 78

Answer

x'in alabileceği değerler toplamı 78'dir.
Doğru cevap, xx ve yy'nin aralarında asal olma şartını sağlayan tüm kk değerlerinin dikkatlice belirlenmesiyle bulunur. 2x+3y=842x + 3y = 84 denklemi parametrik olarak x=3k,y=28−2kx=3k, y=28-2k şeklinde çözüldüğünde, EBOB(3k,28−2k)=1EBOB(3k, 28-2k)=1 şartını sağlayan kk değerleri sadece 1,3,91, 3, 9 ve 1313'tür. Bu değerlere karşılık gelen xx değerleri sırasıyla 3,9,273, 9, 27 ve 3939 olup toplamları 7878'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenleyerek değişkenler arasındaki bağıntıyı kur.
2x=84−3y⇒2x=3(28−y)2x = 84 - 3y \Rightarrow 2x = 3(28 - y). Bu eşitlikten xx'in 3'ün katı olması gerektiği anlaşılır (x=3kx=3k).
x ve y tam sayı olduğu için katsayılar arası bölünebilme ilişkisi kurulmalıdır.
2
x yerine 3k yazarak y'yi k cinsinden ifade et ve k'nın alabileceği aralığı bul.
2(3k)+3y=84⇒2k+y=28⇒y=28−2k2(3k) + 3y = 84 \Rightarrow 2k + y = 28 \Rightarrow y = 28 - 2k. y>0y > 0 olduğu için 28−2k>0⇒k<1428 - 2k > 0 \Rightarrow k < 14. Yani k∈{1,2,...,13}k \in \{1, 2, ..., 13\}.
Pozitif tam sayı şartını sağlamak için çözüm aralığı sınırlandırılmalıdır.
3
Aralarında asallık şartını (EBOB(x,y)=1EBOB(x, y) = 1) her k değeri için test et.
İncelenen çiftler: k=1→(3,26)k=1 \rightarrow (3, 26) (OK), k=3→(9,22)k=3 \rightarrow (9, 22) (OK), k=9→(27,10)k=9 \rightarrow (27, 10) (OK), k=13→(39,2)k=13 \rightarrow (39, 2) (OK). Diğerleri elenir.
x ve y aralarında asal olmalıdır. Çift sayılar (k çift ise), 3'ün katları (k=5, 11) ve 7'nin katları (k=7) elenmelidir.
4
Geçerli x değerlerini topla.
Geçerli x değerleri: 3, 9, 27, 39. Toplam: 3+9+27+39=783 + 9 + 27 + 39 = 78.
Sonuç istenen toplamı verir.

Key Concept

Bu soru, doğrusal Diophantine denklemlerinin çözümü ile aralarında asallık kavramının sentezini gerektirir. Sadece denklem çözmek yetmez, bulunan köklerin ortak bölen analizi (sieve/eleme yöntemi) yapılmalıdır.

Hints

1
Denklemi 2x=84−3y2x = 84 - 3y şeklinde yazarak xx'in hangi sayının katı olması gerektiğini düşünün.
2
x=3kx = 3k dönüşümü yaparak yy'yi kk cinsinden ifade edin ve kk'nın alabileceği en büyük değeri bulun.
3
x=3kx=3k ve y=28−2ky=28-2k bulduktan sonra, kk'nın 1'den 13'e kadar olan değerleri için xx ve yy'nin ortak böleni olup olmadığını tek tek kontrol edin (örneğin k=7 için x=21, y=14 olur).

Practice More

Benzer bir mantıkla 3x−4y=603x - 4y = 60 denkleminde x+yx+y toplamının en küçük değerini soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Modüler aritmetik kullanarak: 2x≡−3y(modp)2x \equiv -3y \pmod p analiziyle hangi asal çarpanların (2, 3, 7) xx ve yy'yi aynı anda bölebileceğini baştan belirleyip o kk değerlerini eleyebilirsiniz.
Estimated Time:4m 0s
PreviousPage 6 / 16Next