All practice questions

Question 2561Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = -x^2 + kx + 12$ parabolünün $x$ -eksenini kestiği noktalar $A$ ve $B$ , $y$ -eksenini kestiği nokta ise $C$ 'dir.

$A$ ve $B$ noktalarının orijine olan uzaklıkları arasında $|OB| = 3|OA|$ bağıntısı vardır.

$D$ noktası, bu parabol üzerinde bulunan, ordinatı $C$ noktasının ordinatına eşit ve apsisi sıfırdan farklı olan bir noktadır.

Buna göre, köşeleri $A$ , $B$ , $D$ ve $C$ noktaları olan $ACDB$ yamuğunun alanı kaç birimkaredir?

48

60

72

80

96

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Yamuğun alanı 72 birimkaredir.

Yamuğun alt taban uzunluğu |AB| = 8 birim, üst taban uzunluğu |CD| = 4 birim ve yüksekliği h = 12 birimdir. Alan formülü uygulandığında ((8 + 4) / 2) * 12 = 72 birimkare bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme

A(-2, 0) ve B(6, 0) noktaları elde edilir.

f(x) = -x^2 + kx + 12 parabolünün y-eksenini kestiği nokta C(0, 12) olup, x-eksenini kestiği noktaların çarpımı x_1 * x_2 = -12'dir. Kökler zıt işaretlidir. Uzaklık ilişkisi |OB| = 3|OA| olduğundan pozitif kök, negatif kökün mutlak değerinin 3 katıdır. Buradan x_1 = -2 ve x_2 = 6 bulunur.

2

Parabolün k katsayısını ve D noktasını bulma

k = 4 ve D(4, 12) elde edilir.

Kökler toplamı x_1 + x_2 = -2 + 6 = 4'tür. Denklemden kökler toplamı k olduğundan k = 4 bulunur. D noktasının ordinatı C(0,12) ile aynı ve apsisi sıfırdan farklıdır. -x^2 + 4x + 12 = 12 denklemi çözüldüğünde x = 0 veya x = 4 bulunur. Apsisi sıfırdan farklı olduğu için D(4, 12) noktası elde edilir.

3

ACDB yamuğunun alanını hesaplama

Yamuğun alanı 72 birimkare olarak bulunur.

Yamuğun alt tabanı x-ekseni üzerinde olup [AB] segmentinin uzunluğu 6 - (-2) = 8 birimdir. Üst tabanı y = 12 doğrusu üzerinde olup [CD] segmentinin uzunluğu 4 - 0 = 4 birimdir. Yamuğun yüksekliği, iki paralel doğru arasındaki mesafe olan 12 birimdir. Yamuk alanı formülünden Alan = ((8 + 4) / 2) * 12 = 72 birimkaredir.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve parabolün simetri özelliği kullanılarak koordinat düzleminde geometrik alan hesabı.

Question 2562Question →

Bir çemberin üzerine sırasıyla $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ noktaları işaretlenerek bir $ABCD$ kirişler dörtgeni oluşturuluyor. Bu dörtgende,
* $|AB| = 6\text{ cm}$
* $|CD| = 8\text{ cm}$
* $m(\widehat{ACB}) = \alpha$
* $m(\widehat{CAD}) = \beta$

$\alpha + \beta = 90^\circ$ olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

10

7

5

\frac{12}{5}

\frac{5}{2}

Show answer & explanation

Answer: $5$

Answer

Çemberin yar��çapı

5

cm'dir.

Çember üzerine çizilen kirişler dörtgeninde

ABC

ve

ACD

üçgenlerinin çevrel çemberi aynı çemberdir. Sinüs Teoremi yardımıyla

\sin \alpha = \frac{3}{R}

ve

\sin \beta = \frac{4}{R}

bağıntıları kurulur.

\alpha + \beta = 90^\circ

olduğundan

\sin \beta = \cos \alpha = \frac{4}{R}

yazılabilir.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

temel özdeşliği kullanıldığında

\frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies R = 5

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Çemberin yarıçapını

R

kabul ederek,

ABC

ve

ACD

üçgenlerinde Sinüs Teoremi'ni uygulayalım.

ABC

��çgeninde

AB

kenarı için:

\frac{|AB|}{\sin \alpha} = 2R \implies \sin \alpha = \frac{6}{2R} = \frac{3}{R}

ACD

üçgeninde

CD

kenarı için:

\frac{|CD|}{\sin \beta} = 2R \implies \sin \beta = \frac{8}{2R} = \frac{4}{R}

elde edilir.

Sinüs Teoremi gereği, bir üçgenin kenar uzunluğunun karşı açısının sinüsüne oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına (

2R

) eşittir.

2

\alpha + \beta = 90^\circ

bilgisini kullanarak

\sin \beta

ifadesini

\alpha

açısının kosinüsü cinsinden yazalım.

\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha

olur. Buradan

\cos \alpha = \frac{4}{R}

elde edilir.

Toplamları

90^\circ

olan iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.

3

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

temel trigonometrik özdeşliğini uygulayarak

R

değerini bulalım.

\left(\frac{3}{R}\right)^2 + \left(\frac{4}{R}\right)^2 = 1 \implies \frac{9}{R^2} + \frac{16}{R^2} = 1 \implies \frac{25}{R^2} = 1 \implies R^2 = 25 \implies R = 5

cm bulunur.

Aynı açının sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı daima 1'e eşittir.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Çevrel Çember İlişkisi

Question 2563Question →

Bir fabrikada yeni işe başlayan bir işçinin günlük ürettiği ürün sayısı, işe başlamasından itibaren geçen $t$ (gün) süresine bağlı olarak

P(t) = L - (L - P_0)e^{-k \cdot t}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu modelde;
* $L$ , işçinin ulaşabileceği maksimum günlük ürün sayısını,
* $P_0$ , işçinin işe başladığı andaki (başlangıçtaki) günlük ürün sayısını,
* $k$ ise öğrenme katsayısı olan pozitif bir sabiti

temsil etmektedir. Bu fabrikada işe yeni başlayan bir işçinin maksimum kapasitesi günlük 80 ürün, başlangıçtaki günlük ürün sayısı ise 20 üründür.

İşe başladıktan 5 gün sonra günlük 50 ürün üretebilen bu işçinin, günlük 70 ürün üretebilecek duruma gelmesi için işe başlamasından itibaren toplam kaç gün geçmelidir?

5 \log_2 3

5 + \log_2 3

5 \log_2 6

10 \log_2 3

5 \log_6 2

Show answer & explanation

Answer: $5 \log_2 6$

Answer

İşçinin günlük 70 ürün üretebilmesi için işe başlamasından itibaren geçmesi gereken toplam süre

5 \log_2 6

gündür.

Model denklemleri adım adım uygulandığında, işçinin üretim kapasitesinin 70'e ulaşması için geçen sürenin üstel denklemi

2^{t/5} = 6

olarak bulunur. Bu denklemin çözümü logaritma tanımı gereği

t = 5 \log_2 6

gün değerini verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen başlangıç ve maksimum kapasite değerlerini modele yerleştirmek.

L = 80

ve

P_0 = 20

değerleri fonksiyonda yerine yazıldığında model

P(t) = 80 - (80 - 20)e^{-k \cdot t} = 80 - 60e^{-k \cdot t}

halini alır.

Problemin sayısal verilerini modele uygulayarak fonksiyonu sadeleştirmek.

2

İşe başladıktan 5 gün sonraki kapasite değerini kullanarak modelin taban sabitini bulmak.

P(5) = 50 \implies 80 - 60e^{-5k} = 50 \implies 60e^{-5k} = 30 \implies e^{-5k} = \frac{1}{2} \implies e^{-k} = 2^{-1/5}

elde edilir.

Zamana bağlı üstel değişimi sağlayan temel sabiti belirlemek.

3

İşçinin günlük 70 ürün üreteceği hedef süreyi veren denklemi kurmak.

P(t) = 70 \implies 80 - 60e^{-k \cdot t} = 70 \implies 60e^{-k \cdot t} = 10 \implies e^{-k \cdot t} = \frac{1}{6}

bulunur.

İstenen hedef durumu matematiksel eşitliğe dökmek.

4

İkinci adımda bulunan

e^{-k}

değerini yerine yazarak üstel denklemi logaritma yardımıyla çözmek.

(2^{-1/5})^t = 6^{-1} \implies 2^{-t/5} = 6^{-1} \implies 2^{t/5} = 6 \implies \frac{t}{5} = \log_2 6 \implies t = 5 \log_2 6

olarak hesaplanır.

Bilinmeyen süre değişkenini logaritma kurallarıyla yalnız bırakıp sonuca ulaşmak.

Key Concept

Üstel büyüme ve azalış modellerinde bilinmeyen süreyi logaritma kullanarak çözme

Question 2564Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir $(a_n)$ geometrik dizisi için,

a_3 \cdot a_7 = 36

a_1 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $a_3^2 + a_7^2$ toplamının değeri kaçtır?

45

72

153

90

612

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

90

Dizinin artan olma özelliği ve geometrik dizi kuralları doğru uygulandığında

a_1=3

,

a_9=12

ve

r^2=\sqrt{2}

bulunur. Buradan

a_3^2 + a_7^2 = 18 + 72 = 90

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Geometrik dizinin simetri özelliğini kullanarak ortanca terimi bulma.

a_5 = 6

ve

a_1 \cdot a_9 = 36

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları eşittir.

3+7 = 1+9 = 10

olduğundan

a_3 \cdot a_7 = a_1 \cdot a_9 = a_5^2 = 36

olur.

2

İlk ve dokuzuncu terimleri bulmak için denklem sistemini çözme.

a_1 = 3

ve

a_9 = 12

Çarpımları 36 ve toplamları 15 olan pozitif sayılar 3 ve 12'dir. Dizi artan olduğu için

a_1 < a_9

olmalıdır. Dolayısıyla

a_1 = 3

ve

a_9 = 12

bulunur.

3

Dizinin ortak çarpanının karesini (

r^2

) elde etme.

r^2 = \sqrt{2}

a_9 = a_1 \cdot r^8

bağıntısından

12 = 3 \cdot r^8 \Rightarrow r^8 = 4 \Rightarrow r^2 = \sqrt{2}

elde edilir.

4

İstenen üçüncü ve yedinci terimlerin değerlerini hesaplama.

a_3 = 3\sqrt{2}

ve

a_7 = 6\sqrt{2}

a_3 = a_1 \cdot r^2 = 3\sqrt{2}

ve

a_7 = a_9 / r^2 = 12 / \sqrt{2} = 6\sqrt{2}

olarak bulunur.

5

Kareler toplamını hesaplama.

a_3^2 + a_7^2 = 90

a_3^2 + a_7^2 = (3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 18 + 72 = 90

elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizilerde terimler arası çarpım simetrisi ve indis ilişkileri.

Question 2565Question →

Pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisi için dik koordinat düzleminde $P_n(n, \log_2(a_n))$ noktaları tanımlanıyor. Bu noktaların tamamı aynı doğru üzerinde olup $P_2$ ve $P_5$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $2$ 'dir. $a_1 \cdot a_3 = 64$ olduğuna göre, aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Fill in the blanks below

Bu geometrik dizinin ortak çarpanı ve altıncı terimi olan

a_6

değeri olur.

Show answer & explanation

Answer

Dizinin ortak çarpanı 4, altıncı terimi ise 2048'dir.

Koordinat düzlemindeki noktaların doğrusallığı ve eğim formülü kullanılarak

\log_2(r) = 2

elde edilir ve ortak çarpan

r=4

bulunur. Geometrik dizinin ardışık terim özelliği gereği

a_2^2 = a_1 \cdot a_3 = 64

bağıntısından

a_2 = 8

ve dolayısıyla

a_1 = 2

bulunur. Genel terim formülüyle

a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2048

hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Doğrunun eğimi ile ortak çarpan arasındaki ilişkiyi kurma

m = \log_2(r) = 2

olup buradan dizinin ortak çarpanı

r = 4

olarak bulunur.

P_n(n, \log_2(a_n))

noktalarının doğrusal olması,

y_n = \log_2(a_n)

dizisinin bir aritmetik dizi olduğunu gösterir. İki nokta arasındaki doğrunun eğimi, bu aritmetik dizinin ortak farkına eşittir:

m = \frac{\log_2(a_5) - \log_2(a_2)}{5 - 2} = \frac{\log_2(a_5 / a_2)}{3} = \frac{\log_2(r^3)}{3} = \log_2(r)

.

2

Dizinin terimleri arasındaki geometrik ortalama özelliğini kullanma

a_2 = 8

olarak bulunur.

Geometrik dizilerde birbirine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı özelliğinden dolayı

a_1 \cdot a_3 = a_2^2

olur.

a_2^2 = 64

ve dizi pozitif terimli olduğundan

a_2 = 8

elde edilir.

3

Dizinin ilk terimini bulma

a_1 = 2

olarak bulunur.

a_2 = a_1 \cdot r

bağıntısı kullanılarak

8 = a_1 \cdot 4 \Rightarrow a_1 = 2

bulunur.

4

Altıncı terimi (

a_6

) hesaplama

a_6 = 2048

olarak bulunur.

Geometrik dizinin genel terim formülü olan

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

kullanılarak

a_6 = a_1 \cdot r^5 = 2 \cdot 4^5 = 2 \cdot 1024 = 2048

hesaplanır.

Key Concept

Geometrik dizinin tanımı, terimleri arasındaki oran ve logaritma ile ilişkisi

Question 2566Question →

Bir $(a_n)$ dizisinde, $a_1 = 5$ ve her $n \geq 1$ tam sayısı için

a_{n+1} - a_n = n \cdot n!

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi olan $a_6$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 724

Answer

İndirgemeli dizinin ardışık farkları toplanarak elde edilen teleskopik toplam sonucunda dizinin 6. terimi 724 olarak bulunur.

Ardışık terimlerin farkları olan

a_{n+1} - a_n = n \cdot n!

bağıntısı

n = 1, 2, 3, 4, 5

için taraf tarafa toplandığında

a_6 - a_1 = 719

elde edilir. Buradan

a_1 = 5

değeri eklenerek

a_6 = 724

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İndirgeme bağıntısını

n = 1

ile

n = 5

arasındaki tam sayılar için tek tek yazın.

a_2 - a_1 = 1 \cdot 1!

,

a_3 - a_2 = 2 \cdot 2!

,

a_4 - a_3 = 3 \cdot 3!

,

a_5 - a_4 = 4 \cdot 4!

,

a_6 - a_5 = 5 \cdot 5!

a_6

değerini elde edebilmek için son indirgeme adımında sol tarafta

a_6

teriminin oluşması gerekir.

2

Elde edilen 5 adet denklemi taraf tarafa toplayın.

a_6 - a_1 = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + 4 \cdot 4! + 5 \cdot 5!

Taraf tarafa toplama yapıldığında

a_2, a_3, a_4, a_5

terimleri birbirini sadeleştirir.

3

Sağ taraftaki faktöriyelli çarpımların değerlerini hesaplayıp toplayın.

1 \cdot 1 = 1

,

2 \cdot 2 = 4

,

3 \cdot 6 = 18

,

4 \cdot 24 = 96

,

5 \cdot 120 = 600

olup toplam

1 + 4 + 18 + 96 + 600 = 719

bulunur.

Her bir terimin sayısal değerini bulup toplayarak ardışık terimlerin farklarının toplamını belirleriz.

4

a_1 = 5

başlangıç koşulunu kullanarak

a_6

değerini hesaplayın.

a_6 - 5 = 719 \implies a_6 = 724

Teleskopik toplam denkleminde bilinen

a_1

değerini yerine yazarak bilinmeyen

a_6

terimini yalnız bırakırız.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam ve faktöriyel içeren terimlerin sadeleştirilmesi

Question 2567Question →

\frac{\pi}{2} < x < \pi

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \cos x \\ b &= \cot x \\ c &= \csc x \end{aligned}

olarak veriliyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

b < a < c

a < b < c

c < b < a

b < c < a

a < c < b

Show answer & explanation

Answer: $b < a < c$

Answer

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.

İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs ve kotanjant negatiftir.

0 < \sin x < 1

aralığında olduğundan, kosekant değeri olan

1/\sin x

daima 1'den büyüktür ve pozitiftir, yani en büyük terimdir. Kosinüs ve kotanjant negatif değerlerdir. Negatif olan kosinüs değeri, 0 ile 1 arasındaki pozitif sinüs değerine bölündüğünde daha da negatifleşerek küçülür ve kotanjant değerini verir. Bu nedenle kotanjant kosinüsten daha küçüktür. Sıralama küçükten büyüğe doğru kotanjant, kosinüs, kosekant şeklinde olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Açının bölgesini belirleme ve temel trigonometrik oranların işaretlerini analiz etme.

x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)

olduğundan, açı koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. İkinci bölgede

\sin x > 0

,

\cos x < 0

ve

\cot x < 0

değerlerini alır.

Sıralama işlemine başlamadan önce değerlerin pozitiflik-negatiflik durumunu belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.

2

Kosekant (

c

) değerinin işaretini ve değer aralığ��nı belirleme.

c = \csc x = \frac{1}{\sin x}

olarak tanımlıdır. İkinci bölgede

0 < \sin x < 1

aralığında değer aldığından, bu değerin çarpmaya göre tersi olan kosekant değeri

c > 1

olur. Pozitif olan tek terim

c

olduğundan en büyük değerdir.

Kosekantın ikinci bölgedeki değer aralığını bularak en büyük elemanı tespit etmek için.

3

Kosinüs (

a

) ve kotanjant (

b

) değerlerini karşılaştırma.

b = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

şeklindedir. İkinci bölgede

0 < \sin x < 1

olduğundan,

\frac{1}{\sin x} > 1

eşitsizliği geçerlidir. Negatif bir sayı olan

\cos x

ile bu eşitsizliğin her iki tarafı çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{\cos x}{\sin x} < \cos x \implies b < a

elde edilir. Sonuç olarak

b < a < c

sıralaması bulunur.

Negatif iki değerin mutlak değerce büyüklükleri ile negatif sıralama kurallarını birleştirerek nihai sıralamayı elde etmek için.

Key Concept

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret ve değer aralıkları kullanılarak sıralanması.

Question 2568Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan ve artan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde,

a_1 \cdot a_7 - a_4^2 = -36

a_2 \cdot a_4 = 45

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi ( $a_8$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Dizinin sekizinci terimi 17'dir.

Dizinin genel terim formülü kullanılarak birinci denklemden ortak fark

r = 2

olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında ilk terim

a_1 = 3

elde edilir. Bu değerlerle dizinin sekizinci terimi

a_8 = a_1 + 7r = 17

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci denklemdeki terimleri ilk terim (

a_1

) ve ortak fark (

r

) cinsinden ifade etmek.

-9r^2 = -36

eşitliği elde edilir.

Değişken sayısını azaltmak ve ortak farkı doğrudan bulabilmek için.

2

Elde edilen denklemden ortak farkı (

r

) bulmak.

r = 2

bulunur.

Dizinin artan olduğu belirtildiğinden

r > 0

olmalıdır (

r = -2

elenir).

3

İkinci denklemde terimleri

a_1

ve

r

cinsinden yazıp

r = 2

değerini yerine koymak.

(a_1 + 2)(a_1 + 6) = 45

denklemi elde edilir.

İlk terim olan

a_1

değerini belirlemek için.

4

İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözmek.

a_1 = 3

bulunur.

Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan negatif kök olan

a_1 = -11

elenir.

5

Bulunan

a_1

ve

r

değerleriyle sekizinci terimi (

a_8

) hesaplamak.

a_8 = 3 + 7 \cdot 2 = 17

bulunur.

Aritmetik dizinin genel terim formülü olan

a_8 = a_1 + 7r

bağıntısını uygulamak için.

Key Concept

Aritmetik dizide terimlerin genel terim formülü kullanılarak ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen denklemlerin çözülmesi.

Alternative Method

Birinci denklemde

a_1 = a_4 - 3r

ve

a_7 = a_4 + 3r

yazılarak

(a_4 - 3r)(a_4 + 3r) - a_4^2 = -36 \implies a_4^2 - 9r^2 - a_4^2 = -36 \implies 9r^2 = 36 \implies r = 2

şeklinde daha hızlı bir sadeleştirme yapılabilir. Benzer şekilde ikinci denklemde

a_2 = a_3 - 2

ve

a_4 = a_3 + 2

yazılarak

a_3^2 - 4 = 45 \implies a_3 = 7

bulunur. Buradan da

a_8 = a_3 + 5r = 7 + 10 = 17

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 2569Question →

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ birim, bu kenarların karşılarındaki açılarının ölçüleri ise sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ 'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birim olmak üzere,

\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = R^2 - 3

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin alanı kaç $\pi$ birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Çevrel çemberin alanı

9\pi

birimkaredir, dolayısıyla aranan değer 9'dur.

Sinüs Teoremi gereği

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R

eşitliği mevcuttur. Orantı özelliklerine göre payların toplamının paydaların toplamına oranı da bu sabit orana (

2R

) eşit olacaktır. Buradan denklem

2R = R^2 - 3

biçimine dönüşür. İkinci dereceden denklemin pozitif kökü

R = 3

olarak elde edilir. Çevrel çemberin alanı

\pi R^2

formülünden

9\pi

bulunur, bu nedenle cevap 9'dur.

Step-by-Step Solution

1

Sinüs Teoremi bağıntılarını ifade etmek

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R

Üçgenin kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri ve çevrel çemberin yarıçapı arasındaki temel ilişkiyi kurmak.

2

Orantı toplama özelliğini uygulamak

\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = 2R

Verilen denklemdeki pay ve payda toplamını içeren kesirli ifadeyi tek bir terime indirgemek.

3

Elde edilen terimi denklemde yerine yazarak çözmek

2R = R^2 - 3 \implies R^2 - 2R - 3 = 0 \implies (R - 3)(R + 1) = 0 \implies R = 3

Çevrel çemberin yarıçapını bulmak (yarıçap uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kök olan 3 alınır).

4

Dairenin alan formülünü uygulamak

Alan =

\pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi

Çevrel ��emberin alanını hesaplayarak soruda istenen katsayıyı bulmak.

Key Concept

Sinüs Teoremi oranının çevrel çemberin çapına eşit olması ve orantı özelliklerinin uygulanması.

Question 2570Question →

\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x - 3) \geq -5 + \log_{\frac{1}{2}}(x - 3)

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı

x

tam sayı değeri vardır?

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

Eşitsizliği sağlayan 28 farklı x tam sayı değeri vardır.

Logaritmanın tanım kümesi olan x > 3 koşulu ile azalan fonksiyondan kaynaklanan yön değiştirme sonucu elde edilen 3 <= x <= 31 eşitsizliğinin kesişimi 3 < x <= 31 aralığını verir. Bu aralıkta 28 adet tam sayı bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlikteki logaritma ifadelerinin tanım kümelerini belirlemek.

x > 3

Logaritması alınan ifadelerin (x^2 - 2x - 3 ve x - 3) sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bu iki koşulun kesişimi x > 3 aralığını verir.

2

Eşitsizliğin sağ tarafını tek bir logaritma altında birleştirmek.

-5 + \log_{\frac{1}{2}}(x-3) = \log_{\frac{1}{2}}(32(x-3))

-5 sayısı \log_{\frac{1}{2}}(32) olarak yazılabileceğinden logaritma toplama özelliği kullanılarak birleştirme yapılır.

3

Logaritma tabanının 1/2 olmasını dikkate alarak eşitsizliği çözmek.

3 \leq x \leq 31

Taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmalar kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir: x^2 - 2x - 3 \leq 32(x-3). Bu eşitsizlik düzenlendiğinde (x-3)(x-31) \leq 0 elde edilir.

4

Tan��m kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesini kesiştirmek.

3 < x \leq 31 aralığındaki tam sayılar (28 tane)

Tanım kümesi olan x > 3 ile elde edilen 3 \leq x \leq 31 aralığının kesişimi 3 < x \leq 31 aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların adedi 31 - 4 + 1 = 28 olarak hesaplanır.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Question 2571Question →

Bir video paylaşım platformuna aynı anda yüklenen A ve B videolarının $t$ saat sonraki toplam izlenme sayıları sırasıyla $V_A(t)$ ve $V_B(t)$ fonksiyonları ile modellenmiştir:

V_A(t) = \frac{40000}{1 + 3 \cdot 2^{-0.1 \cdot t}}

V_B(t) = \frac{14000}{1 + 5 \cdot 3^{-0.1 \cdot t}}

A videosunun izlenme sayısı 16000 olduğunda geçen süre $t_1$ saat, B videosunun izlenme sayısı 9000 olduğunda geçen süre $t_2$ saattir.

Buna göre, $t_1 + t_2$ toplamı kaç saattir?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

A videosunun izlenme sayısının 16000'e ulaştığı süre olan 10 saat ile B videosunun izlenme sayısının 9000'e ulaştığı süre olan 20 saatin toplamı 30'dur.

Verilen fonksiyonlarda izlenme sayıları sırasıyla 16000 ve 9000 değerlerine eşitlenerek

t_1

ve

t_2

süreleri sırasıyla 10 ve 20 olarak bulunur. Bu iki sürenin toplamı olan 30 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

A videosunun izlenme sayısını veren denklemde

V_A(t_1) = 16000

yazarak

t_1

süresini hesaplamak.

t_1 = 10

saat

A videosunun 16000 izlenmeye ulaştığı anı bulmak için.

2

B videosunun izlenme sayısını veren denklemde

V_B(t_2) = 9000

yazarak

t_2

süresini hesaplamak.

t_2 = 20

saat

B videosunun 9000 izlenmeye ulaştığı anı bulmak için.

3

t_1

ve

t_2

sürelerini toplamak.

t_1 + t_2 = 30

saat

İstenen toplam süreyi bulmak için.

Key Concept

Lojistik büyüme modelleri ve üstel/logaritmik denklemlerin çözümü.

Estimated Time:2m 30s

Question 2572Question →

Dünya'nın homojen özkütleli ve kusursuz bir küre olduğu kabul edildiğinde; yüzeyden yerin merkezine doğru radyal doğrultuda açılmış çok derin düşey bir tünelin içine yerleştirilen, homojen ve düzgün yapılı çok uzun bir direğin ağırlık merkezi, kütle merkezine göre Dünya'nın merkezine daha yakın bir konumda yer alır.

True

False

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Ağırlık merkezinin, kütle merkezine göre Dünya'nın merkezinden daha uzak bir konumda (yüzeye daha yakın) olması nedeniyle bu önerme yanlıştır.

Dünya'nın iç kısımlarında yer çekimi ivmesi merkezden olan uzaklıkla doğru orantılı olarak arttığı için tüneldeki direğin üst kısımları daha güçlü bir kütle çekim alanındadır. Bu nedenle ağırlık merkezi, kütle merkezinin üzerinde (yani Dünya yüzeyine daha yakın, merkezden daha uzak) bulunur. Dolayısıyla önermede belirtilen ağırlık merkezinin kütle merkezine göre Dünya merkezine daha yakın olduğu iddiası yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1

Dünya'nın iç kısımlarındaki yer çekimi ivmesinin merkezden olan uzaklığa göre değişim karakterini tespit etmek.

Homojen bir kürenin içinde, merkezden

r

kadar uzaklıktaki çekim ivmesi

g(r) = \frac{4}{3}\pi G \rho r

bağıntısıyla doğrusal olarak değişir. Yani yüzeyden merkeze gidildikçe yer çekimi ivmesi azalır.

Küre içerisindeki bir noktada yer çekimi ivmesi, sadece o noktanın merkezle arasında kalan kütlenin çekim etkisiyle belirlenir.

2

Tünel içindeki direğin farklı kısımlarına etki eden yer çekimi kuvvetlerini karşılaştırmak.

Direğin üst kısımları (yüzeye yakın taraf) daha büyük yer çekimi ivmesine (

g

) maruz kalırken, alt kısımları (merkeze yakın taraf) daha küçük bir yer çekimi ivmesinin etkisindedir.

Yer çekimi ivmesi yüzeye doğru artarken merkeze doğru sıfıra yaklaşmaktadır.

3

Kütle ve ağırlık merkezlerinin konumlarını belirleyip karşılaştırmak.

Direğin kütle merkezi homojenlikten dolayı tam geometrik orta noktadadır. Ağırlık merkezi ise yer çekimi kuvvetinin daha büyük olduğu üst tarafa (yüzeye yakın kısma) doğru kayar. Dolayısıyla ağırlık merkezi kütle merkezinin üzerindedir.

Ağırlık merkezi, sisteme etki eden kütle çekim kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktasıdır ve yer çekimi ivmesinin daha şiddetli olduğu tarafta yer alır.

4

Bulguları sorudaki önermeyle karşılaştırıp doğruluk değerini saptamak.

Ağırlık merkezi kütle merkezinin üzerinde (yani Dünya merkezine daha uzak) olduğu için, ağırlık merkezinin kütle merkezine göre Dünya merkezine daha yakın olduğunu iddia eden önerme yanlıştır.

Fiziksel çıkarımlar, önermede sunulan durumun tam tersi bir dağılımı doğrulamaktadır.

Key Concept

Kütle merkezi ile ağırlık merkezi arasındaki farkın homojen olmayan çekim alanlarındaki tezahürü

Question 2573Question →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk 15 teriminin çarpımı $12^{15}$ 'tir.

Bu dizinin birinci ve on beşinci terimlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı $\frac{5}{18}$ olduğuna göre, dizinin yirmi ikinci terimi ( $a_{22}$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Dizinin yirmi ikinci terimi 108'dir.

Dizinin ilk 15 teriminin çarpımı ortadaki terim olan

a_8

'in 15. kuvvetine eşit olup

a_8 = 12

bulunur. Simetrik terimlerin çarpımı özelliğinden

a_1 \cdot a_{15} = a_8^2 = 144

elde edilir. Çarpmaya göre terslerin toplamı payda eşitlenerek yazıldığında

\frac{a_1 + a_{15}}{144} = \frac{5}{18}

eşitliğinden

a_1 + a_{15} = 40

bulunur. Toplamları 40, çarpımları 144 olan sayılar 4 ve 36'dır. Artan dizi şartıyla

a_1 = 4

,

a_{15} = 36

olur.

a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9 \implies r^7 = 3

elde edilir. Buradan

a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk 15 terimin çarpımını tek bir terim cinsinden yazarak

a_8

ve

a_1 \cdot a_{15}

değerlerini hesaplamak.

a_8 = 12

ve

a_1 \cdot a_{15} = 144

Bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı sabittir. İlk 15 terimin çarpımı ortadaki terim olan

a_8

'in 15. kuvvetine eşittir.

2

Verilen çarpmaya göre terslerin toplamı denkleminde payda eşitlemek ve toplam değerini bulmak.

a_1 + a_{15} = 40

\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_{15}} = \frac{a_1 + a_{15}}{a_1 \cdot a_{15}} = \frac{5}{18}

eşitliğinde payda kısmındaki çarpım yerine 144 yazılarak toplam çekilir.

3

Toplamları ve ��arpımları bilinen iki terimi bulmak için ikinci dereceden denklem kurup çözmek.

a_1 = 4

ve

a_{15} = 36

Toplamları 40 ve çarpımları 144 olan sayılar

(x-4)(x-36) = 0

denkleminin kökleridir. Dizi artan olduğu için küçük olan değer birinci terime, büyük olan değer on beşinci terime eşittir.

4

Ortak çarpanın kuvvetini bulup istenen terimi hesaplamak.

a_{22} = 108

a_{15} = a_1 \cdot r^{14} \implies 36 = 4 \cdot r^{14} \implies r^{14} = 9

olur. Buradan

r^7 = 3

bulunur. İstenen terim

a_{22} = a_{15} \cdot r^7 = 36 \cdot 3 = 108

şeklinde elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası geçiş kuralları.

Question 2574Question →

1'den büyük

a

,

b

ve

c

gerçel sayıları için

a < b < c

olmak üzere,

\log_a b + \log_b c = \frac{9}{2}

\log_b a + 4\log_c b = 3

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\log_b(a^3 \cdot c)

ifadesinin değeri kaçtır?

10

4

\frac{5}{2}

\frac{3}{2}

\frac{21}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{5}{2}$

Answer

\frac{5}{2}

değeri doğrudur.

Verilen denklem sisteminde

a < b < c

sıralama koşulunu sağlayan tek çözüm

x = \log_a b = 3

ve

y = \log_b c = \frac{3}{2}

'dir. Bu değerler yardımıyla

\log_b(a^3 \cdot c) = 3\log_b a + \log_b c

ifadesi hesaplandığında

3(1/3) + 3/2 = 5/2

elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Logaritma özelliklerini kullanarak değişken dönüşümü yapılması

\log_a b = x

ve

\log_b c = y

dönüşümleri yapıldığında, taban değiştirme kuralı gereği

\log_b a = \frac{1}{x}

ve

\log_c b = \frac{1}{y}

olur. Böylece verilen denklemler

x + y = \frac{9}{2}

ve

\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 3

şeklinde iki bilinmeyenli bir sisteme dönüşür.

Logaritmik ifadeleri cebirsel olarak daha kolay çözebilmek için.

2

Elde edilen denklem sisteminin çözülmesi

y = \frac{9}{2} - x

ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında

\frac{1}{x} + \frac{8}{9-2x} = 3

elde edilir. Paydalar eşlenip düzenlenirse

2x^2 - 7x + 3 = 0

ikinci dereceden denklemi bulunur. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali

(2x - 1)(x - 3) = 0

olup kökleri

x = 3

veya

x = \frac{1}{2}

'dir.

x

değişkeninin alabileceği değerleri bulmak için.

3

Sıralama koşuluna göre geçerli durumun belirlenmesi

x = 3

için

\log_a b = 3 \implies b = a^3

ve

y = \frac{3}{2} \implies c = b^{3/2} = a^{9/2}

olur.

a > 1

olduğundan

a < a^3 < a^{9/2}

yani

a < b < c

sıralaması sağlanır.

x = \frac{1}{2}

için ise

b = \sqrt{a}

olur ve

a > 1

iken

b < a

olacağından verilen

a < b < c

koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla

x = 3

ve

y = \frac{3}{2}

olmalıdır.

Soruda verilen sıralama kısıtının hangi kök için geçerli olduğunu saptamak için.

4

İstenen logaritmik ifadenin hesaplanması

\log_b(a^3 \cdot c) = \log_b(a^3) + \log_b c = 3\log_b a + \log_b c

şeklinde ayrıştırılır.

\log_a b = 3 \implies \log_b a = \frac{1}{3}

ve

\log_b c = \frac{3}{2}

değerleri yerine yazıldığında,

3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

bulunur.

Bizden istenen nihai ifadeye ulaşmak için.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Estimated Time:2m 30s

Question 2575Question →

Bir

(a_n)

gerçel sayı dizisinde,

a_1 = 2

ve her

n \geq 1

pozitif tam sayısı için

a_{n+1} - a_n = (-1)^n (2n + 1)

indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.
Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan

a_{20}

değeri kaçtır?

-21

-19

-17

21

23

Show answer & explanation

Answer: $-19$

Answer

-19

Verilen indirgeme bağıntısı n = 1'den n = 19'a kadar yazılıp taraf tarafa toplandığında teleskopik toplam elde edilir. Bu toplamda terimler ikişerli gruplandırılarak toplamın değeri -21 olarak bulunur. Başlangıç terimi olan 2 eklendiğinde dizinin 20. terimi -19 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İndirgeme bağıntısında n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., 19 yazılır.

a_2 - a_1 = -3

,

a_3 - a_2 = 5

,

a_4 - a_3 = -7

, ...,

a_{20} - a_{19} = -39

eşitlikleri elde edilir.

a_{20} terimine ulaşmak için ardışık terimlerin farklarını listeleyip toplamak gerekir.

2

Elde edilen 19 adet eşitlik taraf tarafa toplanır.

a_{20} - a_1 = -3 + 5 - 7 + 9 - 11 + 13 - \dots - 39

eşitliği elde edilir.

Sol taraftaki terimler teleskopik olarak birbirini sadeleştirir.

3

Sağ taraftaki ardışık toplama işlemini kolaylaştırmak için terimler ikişerli gruplandırılır.

(-3 + 5) + (-7 + 9) + \dots + (-35 + 37) - 39 = 9 \times 2 - 39 = 18 - 39 = -21

bulunur.

Her ardışık çiftin toplamı sabit 2 değerini verir ve toplamda 9 adet çift ile bir adet tek terim (-39) kalır.

4

Bulunan fark toplamına dizinin ilk terimi olan

a_1 = 2

eklenir.

a_{20} - 2 = -21 \implies a_{20} = -19

olarak bulunur.

İndirgemeli dizinin 20. teriminin gerçek değerini elde etmek için başlangıç koşulu uygulanmalıdır.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak belirli bir terimin bulunması.

Question 2576Question →

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \cos x - \cot x \end{aligned}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.

Verilen aralık ikinci bölgede yer aldığından tanjant değeri kotanjant değerinden daha küçüktür, bu yüzden farkları olan ikinci ifade negatiftir. Üçüncü ifade çarpanlarına ayrıldığında iki negatif ifadenin çarpımı olarak pozitif fakat 1'den küçük bir değer verir. Birinci ifade ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için pozitif ve 1'den büyüktür. Bu durumda en küçük ikinci ifade, ardından üçüncü ifade ve en büyük birinci ifade şeklinde sıralanır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen aralığa göre temel fonksiyonların işaretlerini ve sınır değerlerini belirleyin.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta

\sin x > 0

,

\cos x < 0

,

\tan x < -1

ve

-1 < \cot x < 0

olur.

Sıralama yapılacak ifadelerdeki bileşenlerin sınırlarını saptamak için.

2

b = \tan x - \cot x

ifadesinin işaretini belirleyin.

\tan x < -1

ve

\cot x > -1

olduğundan

\tan x < \cot x

yazılır. Dolayısıyla

b = \tan x - \cot x < 0

bulunur.

Küçük değerden büyük değer çıkarıldığında sonucun negatif olduğunu belirlemek için.

3

c = \cos x - \cot x

ifadesinin değer aralığını çarpanlara ayırma yöntemiyle analiz edin.

c = \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \left(1 - \frac{1}{\sin x}\right)

olarak yazılır.

\sin x \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)

olduğundan

\frac{1}{\sin x} > 1

ve

1 - \frac{1}{\sin x} < 0

olur. Negatif olan

\cos x

ile bu negatif ifadenin çarpımı pozitif sonuç verir:

c > 0

. Çarpanların sınırlarından

c < \frac{2-\sqrt{2}}{2} \approx 0.293

olduğu görülür.

c

değerinin işaretini ve üst sınırını belirlemek için.

4

a = \sin x - \cos x

ifadesini analiz edip

c

değeriyle karşılaştırın.

a = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

şeklinde yazılabilir.

x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right)

için

\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

olur. Bu aralıkta sinüs değeri

\frac{\sqrt{2}}{2}

'den büyük olduğundan

a > 1

elde edilir. Bu durumda

b < 0 < c < 1 < a

sıralaması kesinleşir.

Pozitif olan iki değerden hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için.

Key Concept

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması

Estimated Time:2m 0s

Question 2577Question →

Tüm terimleri pozitif olan bir

(a_n)

geometrik dizisinde

\begin{aligned} a_5 - a_3 &= 12 \\ a_4 + a_3 &= 6 \end{aligned}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, dizinin ilk terimi olan $a_1$ değeri kaçtır?

3

-12

\frac{1}{2}

\frac{1}{6}

\frac{3}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{6}$

Answer

Dizinin ilk terimi olan

a_1

değeri

\frac{1}{6}

olarak bulunur.

Dizinin terimleri üçüncü terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında ortak çarpan 3 olarak bulunur. İkinci denklemde yerine yazıldığında üçüncü terim 3/2 elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi 1/6 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin terimlerini üçüncü terim (

a_3

) ve ortak çarpan (

r

) cinsinden ifade etmek.

a_5 = a_3 \cdot r^2

ve

a_4 = a_3 \cdot r

ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler verilen denklemlerde yerine yazıldığında

a_3(r^2 - 1) = 12

ve

a_3(r + 1) = 6

denklemleri elde edilir.

Denklemleri ortak terimler cinsinden yazıp sadeleştirebilmek için.

2

Elde edilen denklemleri taraf tarafa oranlamak.

\frac{a_3(r^2 - 1)}{a_3(r + 1)} = \frac{12}{6} \Rightarrow r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3

olarak bulunur.

Dizinin ortak çarpanını (

r

) elde etmek için.

3

Bulunan

r

değerini ikinci denklemde yerine yazarak

a_3

değerini hesaplamak.

a_3(3 + 1) = 6 \Rightarrow 4a_3 = 6 \Rightarrow a_3 = \frac{3}{2}

bulunur.

Dizinin üçüncü terimine ulaşıp ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak için.

4

Geometrik dizinin genel terim ilişkisini kullanarak birinci terimi (

a_1

) bulmak.

a_1 = \frac{a_3}{r^2} \Rightarrow a_1 = \frac{3/2}{9} = \frac{1}{6}

olarak hesaplanır.

Soruda istenen birinci terim değerine ulaşmak için.

Key Concept

Geometrik Dizilerde Terimler Arasındaki İlişki ve Ortak Çarpan Bulma

Alternative Method

Dizinin terimlerini doğrudan birinci terim ve ortak çarpan cinsinden yazarak denklemleri taraf tarafa oranlayıp ortak çarpana ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 2578Question →

x

bir gerçel sayı ve

m

bir parametre olmak üzere,

\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - mx + m + 3} \leq 0

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki en geniş çözüm kümesi

[-2, 4]

kapalı aralığıdır.

Buna göre, $m$ parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-6, 2)

[-2, 6]

(-2, 6)

[-6, 2]

(-3, 6)

Show answer & explanation

Answer: $(-2, 6)$

Answer

(-2, 6)

açık aralığı

Doğru cevap olan

(-2, 6)

açık aralığıdır. Payda olan

x^2 - mx + m + 3

ifadesinin reel kökü olmaması (yani \Delta < 0 olması) durumunda payda daima pozitif olur. Bu durumda rasyonel ifadenin işareti sadece pay kısmındaki

x^2 - 2x - 8

ifadesine bağlı kalır ve çözüm kümesi tam olarak

[-2, 4]

olur. \Delta < 0 koşulundan

m^2 - 4m - 12 < 0

elde edilir, bu eşitsizliğin çözümü de

(-2, 6)

açık aralığıdır.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmındaki ifadenin köklerini bulmak ve işaretini incelemek.

x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0

denkleminden kökler

x_1 = -2

ve

x_2 = 4

olarak bulunur. Bu ifade

[-2, 4]

aralığında sıfırdan küçük veya eşittir, bu aralığın dışındaki gerçel sayılar için ise pozitiftir.

Rasyonel ifadenin tamamının \leq 0 olabilmesi için pay ve paydanın işaret durumlarını belirlememiz gerekir.

2

Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin

[-2, 4]

kapalı aralığı olması koşulunu değerlendirmek.

Çözüm kümesinin tam olarak

[-2, 4]

olabilmesi için, payda olan

x^2 - mx + m + 3

ifadesinin her

x

gerçel sayısı için daima pozitif (> 0) olması gerekir.

Eğer payda herhangi bir noktada sıfır veya negatif değer alsaydı, bu nokta çözüm kümesini daraltır (payda sıfır ise tanımsızlık) ya da

[-2, 4]

aralığı dışındaki bazı noktaların da çözüm kümesine dahil olmasına yol açardı.

3

Paydanın daima pozitif olma koşulunu matematiksel olarak uygulamak.

x^2 - mx + m + 3 > 0

ifadesinde başkatsayı

1 > 0

olduğundan, ifadenin daima pozitif olması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir: \Delta < 0.

\Delta = (-m)^2 - 4(1)(m + 3) < 0 \implies m^2 - 4m - 12 < 0

İkinci dereceden bir ifadenin her x gerçel sayısı için daima pozitif olması, grafiğinin (parabolün) x eksenini kesmemesi ve kollarının yukarı doğru olması anlamına gelir. Bu da reel kök olmaması (\Delta < 0) ile sağlanır.

4

Elde edilen m'ye bağlı ikinci dereceden eşitsizliği çözmek.

m^2 - 4m - 12 < 0 \implies (m - 6)(m + 2) < 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kökler

m = -2

ve

m = 6

olup, işaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan en geniş aralık

(-2, 6)

açık aralığıdır.

Çözüm kümesinde tanımsızlık yaratacak herhangi bir reel kök bulunmaması için sınır değerleri olan -2 ve 6 aralığa dahil edilmemelidir.

Key Concept

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde paydanın daima pozitif olma (reel kökünün olmama) koşulunun incelenmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 2579Question →

Aşağıda verilen parabol denklemleri ile bu parabollerin koordinat eksenlerini kestiği noktalarla ilgili özellikleri doğru şekilde eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

Birinci parabol alanı 3 birimkare olan üçgenle, ikinci parabol alanı 24 birimkare olan üçgenle, üçüncü parabol ise eksenleri yalnızca iki noktada kesme özelliğiyle eşleşir.

Verilen parabollerin her biri için eksenleri kestiği noktalar sırasıyla

x=0

ve

y=0

yazarak bulunmuş, bu noktalar kullanılarak alan ve kesim noktası sayısı özellikleri doğru şekilde eşleştirilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme

f(x) = x^2 - 4x + 3

için

y

-eksenini kestiği nokta

(0,3)

,

x

-eksenini kestiği noktalar ise

(1,0)

ve

(3,0)

'dır. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı

2

birim, yüksekliği

3

birim olup alanı

\frac{2 \times 3}{2} = 3

birimkaredir. Dolayısıyla ilk parabol birinci özellikle eşleşir.

Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla

x=0

ve

y=0

değerleri verilir.

2

İkinci parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme

g(x) = -x^2 - 2x + 8

için

y

-eksenini kestiği nokta

(0,8)

,

x

-eksenini kestiği noktalar ise

(-4,0)

ve

(2,0)

'dır. Bu noktaların oluşturduğu üçgenin tabanı

6

birim, yüksekliği

8

birim olup alanı

\frac{6 \times 8}{2} = 24

birimkaredir. Dolayısıyla ikinci parabol ikinci özellikle eşleşir.

Eksen kesim noktalarının oluşturduğu geometrik şeklin alanını hesaplamak için taban ve yükseklik değerleri bulunur.

3

Üçüncü parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme

h(x) = x^2 - 6x

için eksenleri kestiği noktalar

(0,0)

ve

(6,0)

'dır. Parabol orijinden geçtiği için

y

-eksenini kestiği nokta ile

x

-eksenini kestiği noktalardan biri çakışır. Eksenleri yalnızca iki noktada kestiği için bu noktalarla bir üçgen oluşturulamaz. Dolayısıyla üçüncü parabol üçüncü özellikle eşleşir.

Orijinden geçen parabollerin eksenleri kestiği noktaların sayısını ve konumunu analiz etmek.

Key Concept

Parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktaların bulunması ve bu noktaların geometrik yorumu

Estimated Time:1m 30s

Question 2580Question →

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x + 2}

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,

\lim_{x \to -2} f(x)

limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-4

-2

0

\frac{4}{3}

4

Show answer & explanation

Answer: $4$

Answer

Limit değeri

4

olarak bulunur.

Verilen rasyonel ifadede

x = -2

yazıldığında pay ve payda sıfır olmaktadır. Bu durumda

\frac{0}{0}

belirsizliği oluşur. Belirsizliği gidermek için pay

x^2 - 4 = (x-2)(x+2)

ve payda

x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Ortak olan

(x+2)

terimleri sadeleştirildikten sonra geriye kalan

\frac{x-2}{x+1}

ifadesinde

x

yerine

-2

yazıldığında limit değeri

\frac{-4}{-1} = 4

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonda

x = -2

değeri yerine yazılarak limitin durumu incelenir.

\frac{(-2)^2 - 4}{(-2)^2 + 3(-2) + 2} = \frac{0}{0}

belirsizliği elde edilir.

Limit hesaplamasında belirsizlik durumunun varlığını tespit etmek için.

2

Pay ve payda ifadeleri çarpanlarına ayrılır.

Pay için iki kare farkından

x^2 - 4 = (x-2)(x+2)

ve payda için

x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)

elde edilir.

Belirsizliğe yol açan ortak çarpanı belirlemek için.

3

x \to -2

iken

x \neq -2

olduğundan ortak olan

x+2

çarpanı sadeleştirilir.

f(x) = \frac{x-2}{x+1}

ifadesi elde edilir.

Belirsizliği ortadan kaldırmak için.

4

Sadeleşmiş ifadede

x = -2

yazarak limit değeri hesaplanır.

\lim_{x \to -2} \frac{x-2}{x+1} = \frac{-2-2}{-2+1} = \frac{-4}{-1} = 4

bulunur.

Belirsizlik giderildikten sonra limitin nihai değerine ulaşmak için.

Key Concept

0/0 belirsizliği durumunda rasyonel ifadeleri çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yöntemiyle limit hesaplama.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer