Examkin

All practice questions

842 questions

All types8,734Multiple choice4,865Multiple select1True / False289Numeric852Matching1,797Ordering842Fill in the blank63Short answer25
Question 101Question →

θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=cos⁡(11π2+θ)a = \cos\left(\frac{11\pi}{2} + \theta\right)
b=sin⁡(7π2−θ)b = \sin\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right)
c=cot⁡(9π2−θ)c = \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir. İkinci bölgedeki θ\theta açısı için tanjant değeri negatif olduğundan c=tan⁡θc = \tan\theta en küçük değerdir. Pozitif olan a=sin⁡θa = \sin\theta ve b=−cos⁡θb = -\cos\theta değerleri karşılaştırıldığında, θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡θ>−cos⁡θ\sin\theta > -\cos\theta olduğu görülür, bu nedenle en büyük değer aa olur.

Step-by-Step Solution

1
Açıların esas ölçülerini bulup indirgeme formüllerini uygulayarak aa, bb ve cc ifadelerini θ\theta cinsinden yazalım.
a=cos⁡(3π2+θ)=sin⁡θa = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta, b=sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θb = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta ve c=cot⁡(π2−θ)=tan⁡θc = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta elde edilir.
İfadeleri tek bir açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak amacıyla indirgeme kuralları uygulanır.
2
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığına göre (yani 90∘<θ<135∘90^\circ < \theta < 135^\circ aralığı) elde ettiğimiz trigonometrik değerlerin işaretlerini inceleyelim.
a=sin⁡θ>0a = \sin\theta > 0, b=−cos⁡θ>0b = -\cos\theta > 0 ve c=tan⁡θ<0c = \tan\theta < 0 olur.
İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatif ve tanjant negatif olduğu için işaret analiziyle negatif olan cc değerinin en küçük olduğu belirlenir.
3
Pozitif olan aa ve bb değerlerini karşılaştıralım. θ=90∘+x\theta = 90^\circ + x (burada 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ) dönüşümü yapalım.
a=sin⁡(90∘+x)=cos⁡xa = \sin(90^\circ + x) = \cos x ve b=−cos⁡(90∘+x)=sin⁡xb = -\cos(90^\circ + x) = \sin x olur. 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan a>ba > b sonucuna ulaşılır.
Aynı bölgede yer alan pozitif değerli trigonometrik büyüklükleri birbirleriyle kıyaslamak için dar açı dönüşümünden yararlanılır.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki karşılıklarının bulunması ve belirli bir aralıkta işaret/büyüklük analizi yapılarak sıralanması.
Question 102Question →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Verilen trigonometrik ifadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen ifadeler dar açıya indirgendiğinde aa pozitif çıkarken, bb ve cc negatif çıkmaktadır. Negatif değerler karşılaştırıldığında, dar açılarda tanjant değeri sinüsten büyük olduğu için negatifleri alındığında tanjantlı terim en küçük olur. Bu da c<b<ac < b < a sıralamasını verir.

Step-by-Step Solution

1
a=sin⁡(160∘)a = \sin(160^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
a=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡(20∘)a = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ) (Pozitif)
160∘160^\circ açısı ikinci bölgede olup sinüs fonksiyonu bu bölgede artı işaretlidir.
2
b=cos⁡(250∘)b = \cos(250^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
b=cos⁡(180∘+70∘)=−cos⁡(70∘)=−sin⁡(20∘)b = \cos(180^\circ + 70^\circ) = -\cos(70^\circ) = -\sin(20^\circ) (Negatif)
250∘250^\circ açısı üçüncü bölgede olup kosin��s fonksiyonu bu bölgede eksi işaretlidir.
3
c=tan⁡(340∘)c = \tan(340^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
c=tan⁡(360∘−20∘)=−tan⁡(20∘)c = \tan(360^\circ - 20^\circ) = -\tan(20^\circ) (Negatif)
340∘340^\circ açısı dördüncü bölgede olup tanjant fonksiyonu bu bölgede eksi işaretlidir.
4
Elde edilen değerleri işaret ve büyüklüklerine göre sıralama.
c<b<ac < b < a
aa değeri pozitif olduğundan en büyüktür. Negatif olan bb ve cc değerleri için, 20∘20^\circ dar açısında tan⁡(20∘)>sin⁡(20∘)\tan(20^\circ) > \sin(20^\circ) olduğu bilindiğinden, negatif işaretle çarpıldığında −tan⁡(20∘)<−sin⁡(20∘)-\tan(20^\circ) < -\sin(20^\circ) olur. Bu durumda c<bc < b elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açı cinsinden yazılması (indirgeme formülleri).
Estimated Time:1m 30s
Question 103Question →

Bir matematik öğretmeni, trigonometrik indirgeme formülleri ve esas ��lçü kavramlarını pekiştirmek amacıyla tahtaya aşağıdaki xx, yy ve zz değerlerini yazmıştır:

x=sin⁡(25π6)x = \sin\left(\frac{25\pi}{6}\right)
y=cos⁡(−16π3)y = \cos\left(-\frac{16\pi}{3}\right)
z=tan⁡(29π4)z = \tan\left(\frac{29\pi}{4}\right)

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

y<x<zy < x < z (en küçük yy, sonra xx, en büyük zz)
Verilen ifadelerin esas ölçüleri ve bölgelere göre indirgenmiş değerleri hesaplandığında y=−12y = -\frac{1}{2} ile en küçük, x=12x = \frac{1}{2} ile ortanca ve z=1z = 1 ile en büyük değer olur.

Step-by-Step Solution

1
xx sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
x=12x = \frac{1}{2}
25π6\frac{25\pi}{6} açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (25'in 12'ye bölümünden kalan 1) π6\frac{\pi}{6} radyandır. Birinci bölgede sinüs pozitif olup sin⁡(π6)=sin⁡(30∘)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} elde edilir.
2
yy sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
y=−12y = -\frac{1}{2}
−16π3-\frac{16\pi}{3} negatif açısına esas ölçüyü bulmak için 2π2\pi'nin en küçük pozitif katı olan 6π6\pi eklenir: −16π3+6π=2π3-\frac{16\pi}{3} + 6\pi = \frac{2\pi}{3} radyan olur. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle cos⁡(2π3)=cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
3
zz sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
z=1z = 1
29π4\frac{29\pi}{4} açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (29'un 8'e bölümünden kalan 5) 5π4\frac{5\pi}{4} radyandır. Üçüncü bölgede tanjant pozitif değer alır. İndirgeme formülüyle tan⁡(5π4)=tan⁡(225∘)=tan⁡(180∘+45∘)=tan⁡(45∘)=1\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan(225^\circ) = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
4
Elde edilen değerleri sayı doğrusu üzerindeki büyüklüklerine göre sıralama
y<x<zy < x < z
−12<12<1-\frac{1}{2} < \frac{1}{2} < 1 olduğundan doğru sıralama y<x<zy < x < z şeklindedir.

Key Concept

Radyan cinsinden verilen açıların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre trigonometrik fonksiyon değerlerinin indirgeme formülleriyle hesaplanması.
Question 104Question →

θ∈(5π4,4π3)\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) olmak üzere,

x=sin⁡3θ−cos⁡3θ1+sin⁡θcos⁡θx = \frac{\sin^3\theta - \cos^3\theta}{1 + \sin\theta\cos\theta}
y=1−sec⁡2θ1−csc⁡2θy = \frac{1 - \sec^2\theta}{1 - \csc^2\theta}
z=sin⁡θ1+cos⁡θ+1+cos⁡θsin⁡θz = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama z < x < y şeklindedir.
İfadelerin sadeleşmiş biçimleri sırasıyla x=sin⁡θ−cos⁡θx = \sin\theta - \cos\theta, y=tan⁡4θy = \tan^4\theta ve z=2csc⁡θz = 2\csc\theta olarak bulunur. Verilen θ\theta aralığında zz değeri −2-2 değerinden küçük negatif bir sayı, xx değeri −1-1 ile 00 arasında negatif bir sayı ve yy değeri 11 değerinden büyük pozitif bir sayı olduğundan doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
xx ifadesini çarpanlara ayırma özdeşliklerini kullanarak sadeleştirin.
x=sin⁡θ−cos⁡θx = \sin\theta - \cos\theta
Pay kısmındaki sin⁡3θ−cos⁡3θ\sin^3\theta - \cos^3\theta ifadesi küp farkı açılımı ile (sin⁡θ−cos⁡θ)(sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ)(\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) olarak yazılır. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 olduğu için bu ifade (sin⁡θ−cos⁡θ)(1+sin⁡θcos⁡θ)(\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta) olur. Payda ile sadeleştiğinde geriye sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta kalır.
2
yy ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla basitleştirin.
y=tan⁡4θy = \tan^4\theta
1−sec⁡2θ=−tan⁡2θ1 - \sec^2\theta = -\tan^2\theta ve 1−csc⁡2θ=−cot⁡2θ1 - \csc^2\theta = -\cot^2\theta özdeşlikleri yerlerine yazıldığında, y=−tan⁡2θ−cot⁡2θ=tan⁡2θcot⁡2θ=tan⁡4θy = \frac{-\tan^2\theta}{-\cot^2\theta} = \frac{\tan^2\theta}{\cot^2\theta} = \tan^4\theta elde edilir.
3
zz ifadesinde paydaları eşitleyerek sadeleştirme yapın.
z=2sin⁡θ=2csc⁡θz = \frac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta
Paydalar eşlendiğinde pay kısmında sin⁡2θ+(1+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+1+2cos⁡θ+cos⁡2θ\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta ifadesi oluşur. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 olduğundan pay kısmı 2+2cos⁡θ=2(1+cos⁡θ)2 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta) haline gelir. Paydadaki 1+cos⁡θ1 + \cos\theta çarpanı ile sadeleştiğinde geriye 2sin⁡θ\frac{2}{\sin\theta} kalır.
4
θ∈(5π4,4π3)\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}\right) aralığına göre elde edilen ifadelerin değer sınırlarını karşılaştırın.
z<x<yz < x < y
Bu aralık birim çemberin üçüncü bölgesindedir. Burada sin⁡θ<cos⁡θ<0\sin\theta < \cos\theta < 0 olduğundan, x=sin⁡θ−cos⁡θ<0x = \sin\theta - \cos\theta < 0 olur. sin⁡θ∈(−32,−22)\sin\theta \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğu için z=2sin⁡θ<−2z = \frac{2}{\sin\theta} < -2 bulunur. Üçüncü bölgede tan⁡θ>1\tan\theta > 1 olduğundan, y=tan⁡4θ>1y = \tan^4\theta > 1 olur. Bu durumda negatif ve mutlak değerce en büyük olan zz en küçük, negatif olan xx ortanca, pozitif olan yy ise en büyüktür.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama Analizi
Estimated Time:3m 0s
Question 105Question →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen değerlerin işaretleri incelendiğinde bb değerinin negatif, aa ve cc değerlerinin ise pozitif olduğu görülür. Buradan en küçük değerin bb olduğu anlaşılır. Pozitif olan aa ve cc değerleri birinci bölgeye indirgendiğinde a=sin⁡(20∘)a = \sin(20^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) olur. Birinci bölgede sin⁡(20∘)<tan⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \tan(40^\circ) bağıntısı geçerli olduğundan a<ca < c elde edilir. Bu durumları birleştirdiğimizde doğru sıralama b<a<cb < a < c olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
aa, bb ve cc değerlerinin açılarını bulundukları bölgelere göre inceleyip işaretlerini belirleyelim.
160∘160^\circ ikinci bölgede olduğundan a=sin⁡(160∘)>0a = \sin(160^\circ) > 0 (pozitif), 250∘250^\circ üçüncü bölgede olduğundan b=cos⁡(250∘)<0b = \cos(250^\circ) < 0 (negatif) ve 220∘220^\circ üçüncü bölgede olduğundan c=tan⁡(220∘)>0c = \tan(220^\circ) > 0 (pozitif) olur. Buradan negatif olan bb değerinin en küçük olduğu tespit edilir.
Farklı bölgelerdeki trigonometrik değerleri sıralarken işaret analizi yapmak kıyaslamayı büyük ölçüde kolaylaştırır.
2
Pozitif olan aa ve cc değerlerini kıyaslayabilmek için açıları birinci bölgeye indirgeyelim.
a=sin⁡(160∘)=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡(20∘)a = \sin(160^\circ) = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ) ve c=tan⁡(220∘)=tan⁡(180∘+40∘)=tan⁡(40∘)c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ) eşitlikleri elde edilir.
Pozitif değerleri büyüklük yönünden karşılaştırmak için hepsini dar açı (birinci bölge) cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Birinci bölgedeki sin⁡(20∘)\sin(20^\circ) ile tan⁡(40∘)\tan(40^\circ) değerlerini karşılaştıralım.
Birinci bölgede (0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ) her xx açısı için sin⁡(x)<tan⁡(x)\sin(x) < \tan(x) eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca açı büyüdükçe sinüs ve tanjant değerleri artar. Bu durumda sin⁡(20∘)<sin⁡(40∘)<tan⁡(40∘)\sin(20^\circ) < \sin(40^\circ) < \tan(40^\circ) olduğundan a<ca < c elde edilir. Negatif olan bb en küçük olduğuna göre doğru sıralama b<a<cb < a < c olur.
Birinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların artış eğilimlerini ve birbirleriyle olan büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralamayı tamamlamak için.

Key Concept

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması ve Bölgelere Göre İndirgeme
Question 106Question →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡(810∘−x)a = \sin(810^\circ - x)
b=cos⁡(7π+x)b = \cos(7\pi + x)
c=tan⁡(x−270∘)c = \tan(x - 270^\circ)

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe do��ru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

c < a < b
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde a=cos⁡(x)a = \cos(x), b=−cos⁡(x)b = -\cos(x) ve c=−cot⁡(x)c = -\cot(x) elde edilir. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında kosinüs değeri −1-1 ile −0.707-0.707 arasındadır. Dolayısıyla aa negatif bir değerdir. bb ise negatif bir değerin eksiyle çarpımı olduğundan pozitif bir değerdir. Bu aralıkta kotanjant değeri 11'den büyüktür, dolayısıyla c=−cot⁡(x)c = -\cot(x) değeri −1-1'den küçüktür. Bu durumda en küçük değer −1-1'den küçük olan c, ardından sıfıra daha yakın negatif değer olan a ve en büyük değer ise pozitif olan b'dir.

Step-by-Step Solution

1
a ifadesini sadeleştirin.
a=sin⁡(810∘−x)=sin⁡(90∘−x)=cos⁡(x)a = \sin(810^\circ - x) = \sin(90^\circ - x) = \cos(x)
810∘810^\circ açısının esas ölçüsü 90∘90^\circ'dir (810∘−2⋅360∘=90∘810^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 90^\circ). Birinci bölgede sinüs fonksiyonu kosinüse dönüşür.
2
b ifadesini sadeleştirin.
b=cos⁡(7π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)b = \cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos(x)
7π7\pi açısının esas ölçüsü π\pi'dir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif işaretlidir.
3
c ifadesini sadeleştirin.
c=tan⁡(x−270∘)=tan⁡(x+90∘)=−cot⁡(x)c = \tan(x - 270^\circ) = \tan(x + 90^\circ) = -\cot(x)
x−270∘x - 270^\circ açısına 360∘360^\circ eklenerek esas ölçüsü x+90∘x + 90^\circ bulunur. İkinci bölgede tanjant fonksiyonu negatif işaretlidir ve isim değiştirerek kotanjanta dönüşür.
4
Verilen aralığa göre değerleri karşılaştırın.
c<a<bc < a < b
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı üçüncü bölgededir (180∘<x<225∘180^\circ < x < 225^\circ). Bu aralıkta cos⁡(x)∈(−1,−22)\cos(x) \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) olduğundan a∈(−1,−0.707)a \in (-1, -0.707) olur. b=−cos⁡(x)b = -\cos(x) olduğundan b∈(0.707,1)b \in (0.707, 1) pozitif aralığındadır. Bu aralıkta cot⁡(x)>1\cot(x) > 1 olduğundan c=−cot⁡(x)<−1c = -\cot(x) < -1 olur. Bu durumda aralıklar c<−1<a<0<bc < -1 < a < 0 < b şeklinde sıralanır.

Key Concept

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Question 107Question →

Aşağıdaki trigonometrik ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
İfadelerin dar açı cinsinden karşılıkları ve işaretleri incelendiğinde; a=−cos⁡(40∘)a = -\cos(40^\circ) negatif, b=sin⁡(50∘)b = \sin(50^\circ) ve c=tan⁡(20∘)c = \tan(20^\circ) pozitif bulunur. Pozitif değerlerden tan⁡(20∘)\tan(20^\circ) değeri sin⁡(50∘)\sin(50^\circ) değerinden küçük olduğu için en küçükten büyüğe sıralama a<c<ba < c < b şeklinde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Açıların esas ölçülerini bulma ve birim çember üzerindeki bölgelerini belirleme.
220∘220^\circ açısı 3. bölgededir. −310∘-310^\circ açısının esas ölçüsü −310∘+360∘=50∘-310^\circ + 360^\circ = 50^\circ olup 1. bölgededir. 200∘200^\circ açısı ise 3. bölgededir.
Trigonometrik oranların işaretlerini doğru saptayabilmek için açıların birim çemberdeki bölgelerini belirlemek gerekir.
2
İfadeleri dar açı cinsinden indirgeme formülleriyle yazma.
a=cos⁡(220∘)=cos⁡(180∘+40∘)=−cos⁡(40∘)a = \cos(220^\circ) = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos(40^\circ), b=sin⁡(−310∘)=sin⁡(50∘)b = \sin(-310^\circ) = \sin(50^\circ) ve c=tan⁡(200∘)=tan⁡(180∘+20∘)=tan⁡(20∘)c = \tan(200^\circ) = \tan(180^\circ + 20^\circ) = \tan(20^\circ) olarak elde edilir.
Farklı bölgelerdeki açıların büyüklüklerini karşılaştırabilmek amacıyla dar açı cinsinden karşılıkları bulunur.
3
İşaret ve değer analizi yaparak sıralamayı gerçekleştirme.
a<0a < 0 olduğundan en küçük değerdir. Pozitif olan bb ve cc değerleri için; tan⁡(20∘)<tan⁡(30∘)≈0.577\tan(20^\circ) < \tan(30^\circ) \approx 0.577 ve sin⁡(50∘)>sin⁡(45∘)≈0.707\sin(50^\circ) > \sin(45^\circ) \approx 0.707 olduğundan c<bc < b eşitsizliği geçerlidir. Buradan genel sıralama a<c<ba < c < b olarak bulunur.
Negatif sayıların pozitif sayılardan küçük olması ve pozitif dar açıların bilinen referans değerlerle kıyaslanması sıralamayı belirler.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi ve dar açı cinsinden indirgenmesi
Question 108Question →

x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere tanımlanan aşağıdaki aa, bb ve cc ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe sıralama c < a < b şeklindedir.
Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde; en küçük değerin negatif ve −1-1'den küçük olan toplam ifadesi, ortanca değerin negatif ancak sıfıra daha yakın olan rasyonel ifade, en büyük değerin ise pozitif olan fark ifadesi olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
İlk ifadenin (aa) sadeleştirilmesi
a=sin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡xa = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x}
Paydadaki tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x ifadesi sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} olarak yazılır. Pay ile payda oranlandığında ortak çarpan olan sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x sadeleşir.
2
İkinci ifadenin (bb) sadeleştirilmesi
b=cos⁡x−sin⁡xb = \cos x - \sin x
1−2sin⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x1 - 2\sin^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin^2 x = \cos^2 x - \sin^2 x özdeşliği kullan��lır. Bu ifade iki kare farkı olarak (cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) şeklinde yazılıp paydadaki terimle sadeleştirilir.
3
Üçüncü ifadenin (cc) sadeleştirilmesi
c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x
Pay kısmındaki sin⁡4x−cos⁡4x\sin^4 x - \cos^4 x ifadesi iki kare farkı olarak (sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde çarpanlarına ayrılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan pay sin⁡2x−cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) olur ve paydadaki terimle sadeleşir.
4
İfadelerin işaretlerinin ve büyüklüklerinin bölgelere göre analizi
c<a<bc < a < b
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı 3. bölgenin ikinci yarısıdır. Bu aralıkta −1<sin⁡x<−22<cos⁡x<0-1 < \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 0 bağıntısı geçerlidir. Buradan b=cos⁡x−sin⁡x>0b = \cos x - \sin x > 0 bulunur. c=sin⁡x+cos⁡x<−1c = \sin x + \cos x < -1 ve a=sin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡x∈(−0.354,0)a = \frac{\sin x \cos x}{\sin x + \cos x} \in (-0.354, 0) olduğundan c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik özdeşliklerin sadeleştirilmesi ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.
Question 109Question →

Bir xx dar açısı 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre, aşağıda tanımlanan trigonometrik değerleri en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.
İfadeler en sade hallerine indirgendiğinde a=−sin⁡xa = -\sin x, b=sin⁡xb = \sin x, c=tan⁡xc = \tan x ve d=−tan⁡xd = -\tan x olarak bulunur. 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında tüm değerler pozitif olup sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x ilişkisi vardır. Buradan hareketle pozitif değerler için b<cb < c ve negatif değerler için eşitsizlik yön değiştireceğinden d<ad < a sıralaması bulunur. Negatif değerler pozitiflerden her zaman küçük olduğundan genel sıralama d<a<b<cd < a < b < c şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Derece cinsinden verilen aa ve cc ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.
900∘=2⋅360∘+180∘900^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 180^\circ olduğundan esas ölçü 180∘180^\circ’dir. Buradan a=sin⁡(180∘+x)=−sin⁡xa = \sin(180^\circ + x) = -\sin x bulunur.
c=tan⁡(x−540∘)c = \tan(x - 540^\circ) ifadesinde tanjantın periyodu 180∘180^\circ (veya π\pi) olduğundan c=tan⁡(x−3⋅180∘)=tan⁡xc = \tan(x - 3 \cdot 180^\circ) = \tan x elde edilir.
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini veya periyodik karşılıklarını belirlemek gerekir.
2
Radyan cinsinden verilen bb ve dd ifadelerinin açılarını indirgeyiniz.
13π2=6π+π2=3⋅2π+π2\frac{13\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2} olduğundan esas ölçü π2\frac{\pi}{2}’dir. Dolayısıyla b=cos⁡(π2−x)=sin⁡xb = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x olur.
7π2=2π+3π2\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2} olduğundan esas ölçü 3π2\frac{3\pi}{2}’dir. Dolayısıyla d = \cot\left(\frac{3\pi}{2} + x \right) = -\tan x$ olur.
Radyan cinsinden açıların π2\frac{\pi}{2} veya 3π2\frac{3\pi}{2} katlarına göre indirgenmesinde fonksiyonların isim değiştireceğini ve açının bulunduğu bölgedeki işaretini belirlemek gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığındaki değerlerine göre sıralayınız.
0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında sin⁡x\sin x ve tan⁡x\tan x değerleri pozitiftir ve sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x eşitsizliği geçerlidir.
Pozitif olan terimler karşılaştırıldığında: 0<b<c0 < b < c yani 0<sin⁡x<tan⁡x0 < \sin x < \tan x elde edilir.
Negatif olan terimler karşılaştırıldığında: sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x eşitsizliği −1-1 ile çarpıldığında yön değiştirir ve −tan⁡x<−sin⁡x-\tan x < -\sin x yani d<a<0d < a < 0 elde edilir.
Tüm değerler birleştirildiğinde doğru sıralama d<a<b<cd < a < b < c olur.
Dar açılarda farklı trigonometrik fonksiyonların büyüklük ilişkilerini ve negatif sayıların sıralama kurallarını uygulayarak sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi ve dar açılarda sıralama
Question 110Question →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten b��yüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen trigonometrik ifadeler aynı cinsten yazıldığında sıralama kolayca yapılabilir. b=cos⁡(55∘)=sin⁡(35∘)b = \cos(55^\circ) = \sin(35^\circ) ve c=tan⁡(45∘)=1c = \tan(45^\circ) = 1 olduğu bilinmektedir. Birinci bölgede açısı büyüdükçe sinüs değeri artacağından sin⁡(15∘)<sin⁡(35∘)<1\sin(15^\circ) < \sin(35^\circ) < 1 sıralaması elde edilir. Bu durumda doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs ifadesini sinüs cinsinden yazınız.
b=cos⁡(55∘)=sin⁡(90∘−55∘)=sin⁡(35∘)b = \cos(55^\circ) = \sin(90^\circ - 55^\circ) = \sin(35^\circ) elde edilir.
Farklı trigonometrik fonksiyonları aynı türden yazarak daha kolay karşılaştırmak için tümler açı özdeşliği kullanılır.
2
Tanjant değerini belirleyiniz.
c=tan⁡(45∘)=1c = \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
45∘45^\circ açısının tanjantı özel bir değerdir ve karşılaştırma için referans noktası sağlar.
3
Elde edilen tüm değerleri birbiriyle karşılaştırarak sıralayınız.
Birinci bölgede sinüs fonksiyonu artandır. Dolayısıyla 15∘<35∘15^\circ < 35^\circ olduğundan sin⁡(15∘)<sin⁡(35∘)<sin⁡(90∘)=1\sin(15^\circ) < \sin(35^\circ) < \sin(90^\circ) = 1 olur. Buradan a<b<ca < b < c sıralamasına ulaşılır.
Birinci bölgedeki dar açıların sinüs değerleri daima 11’den küçük olduğundan tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1 değeri en büyükt��r.

Key Concept

Trigonometrik Değerlerin Sıralanması
Estimated Time:1m 0s
Question 111Question →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız:

a=cos⁡(2026∘)a = \cos(2026^\circ)
b=sin⁡(43π6)b = \sin\left(\frac{43\pi}{6}\right)
c=tan⁡(−17π5)c = \tan\left(-\frac{17\pi}{5}\right)

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

K��çükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Doğru sıralama küçükten büyüğe doğru c<a<bc < a < b şeklindedir. İndirgeme formülleri uygulandığında c=−tan⁡(72∘)<−1c = -\tan(72^\circ) < -1, a=−cos⁡(46∘)≈−0,69a = -\cos(46^\circ) \approx -0,69 ve b=−0,5b = -0,5 değerleri elde edilir. Sayı doğrusu üzerinde bu değerler soldan sağa sırasıyla cc, aa ve bb olarak sıralanır.

Step-by-Step Solution

1
2026∘2026^\circ açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.
2026∘=5×360∘+226∘2026^\circ = 5 \times 360^\circ + 226^\circ olduğundan esas ölçü 226∘226^\circ olur. III. bölgede kosinüs negatif olduğundan a=cos⁡(226∘)=cos⁡(180∘+46∘)=−cos⁡(46∘)a = \cos(226^\circ) = \cos(180^\circ + 46^\circ) = -\cos(46^\circ) elde edilir.
Büyük açların trigonometrik değerlerini karşılaştırmak için öncelikle esas ölçülerini bulup dar açı cinsinden ifade etmeliyiz.
2
43π6\frac{43\pi}{6} açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.
43π6=6π+7π6=3×2π+7π6\frac{43\pi}{6} = 6\pi + \frac{7\pi}{6} = 3 \times 2\pi + \frac{7\pi}{6} olduğundan esas ölçü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır. III. bölgede sinüs negatif olduğundan b=sin⁡(7π6)=sin⁡(π+π6)=−sin⁡(π6)=−0,5b = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -0,5 elde edilir.
Radyan cinsinden verilen açıyı dar açı cinsinden yazarak değerini doğrudan bulabiliriz.
3
−17π5-\frac{17\pi}{5} açısının esas ölçüsünü bulup indirgeyiniz.
−17π5+4π=3π5-\frac{17\pi}{5} + 4\pi = \frac{3\pi}{5} (108∘108^\circ) olup esas ölçü II. bölgededir. II. bölgede tanjant negatif olduğundan c=tan⁡(108∘)=tan⁡(180∘−72∘)=−tan⁡(72∘)c = \tan(108^\circ) = \tan(180^\circ - 72^\circ) = -\tan(72^\circ) elde edilir.
Negatif radyanlı açıların üzerine 2π2\pi'nin katları eklenerek esas ölçü bulunur ve ardından dar açıya indirgenir.
4
Bulunan aa, bb ve cc değerlerini karşılaştırınız.
tan⁡(72∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(72^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 olduğundan c=−tan⁡(72∘)<−1c = -\tan(72^\circ) < -1 olur. cos⁡(46∘)\cos(46^\circ) değeri ise 0,50,5 ile 0,7070,707 arasındadır, bu yüzden a=−cos⁡(46∘)a = -\cos(46^\circ) değeri −0,707-0,707 ile −0,5-0,5 arasındadır. b=−0,5b = -0,5 olduğundan, sıralama c<a<bc < a < b şeklinde olur.
Negatif sayıların sıralanmasında mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.

Key Concept

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Estimated Time:2m 0s
Question 112Question →

Aşağıda verilen xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı z<y<xz < y < x şeklindedir.
Pozitif olan x değeri en büyüktür. Negatif olan y ve z değerlerinden mutlak değerce daha büyük olan z en küçük değerdir, dolayısıyla doğru sıralama z < y < x şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
xx değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
760∘760^\circ açısının esas ölçüsü, 760∘=2⋅360∘+40∘760^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 40^\circ eşitliğinden 40∘40^\circ olarak bulunur. Dolayısıyla x=sin⁡(40∘)x = \sin(40^\circ) olur. Bu değer birinci bölgede olduğundan pozitiftir.
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini bulmamız gerekir.
2
yy değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
y=cos⁡(−13π5)=cos⁡(13π5)y = \cos\left(-\frac{13\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{13\pi}{5}\right) olur. 13π5=2π+3π5\frac{13\pi}{5} = 2\pi + \frac{3\pi}{5} olduğundan esas ölçü 3π5\frac{3\pi}{5} radyandır. Derece cinsinden 3⋅180∘5=108∘\frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ olur. İkinci bölgede kosinüs negatif olduğundan y=cos⁡(108∘)=−cos⁡(72∘)y = \cos(108^\circ) = -\cos(72^\circ) olarak elde edilir.
Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve ikinci bölgedeki işaret durumunu kullanırız.
3
zz değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
17π6=2π+5π6\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} olduğundan esas ölçü 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır. Derece cinsinden 5⋅180∘6=150∘\frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ olur. İkinci bölgede kotanjant negatif olduğundan z=cot⁡(150∘)=−cot⁡(30∘)=−3z = \cot(150^\circ) = -\cot(30^\circ) = -\sqrt{3} olarak elde edilir.
Kotanjant fonksiyonunun ikinci bölgedeki işaretini ve indirgeme kuralını kullanırız.
4
Elde edilen ifadeleri işaretlerine ve mutlak değer büyüklüklerine göre sıralayın.
x=sin⁡(40∘)>0x = \sin(40^\circ) > 0, y=−cos⁡(72∘)<0y = -\cos(72^\circ) < 0 ve z=−3≈−1,73<0z = -\sqrt{3} \approx -1,73 < 0 bulunur. Negatif değerler karşılaştırıldığında, cos⁡(72∘)<1<3\cos(72^\circ) < 1 < \sqrt{3} olduğundan −3<−cos⁡(72∘)-\sqrt{3} < -\cos(72^\circ) olur. Buradan z<y<xz < y < x sıralamasına ulaşılır.
Pozitif sayılar negatif sayılardan büyüktür. Negatif sayılarda ise mutlak değerce daha büyük olan sayı daha küçüktür.

Key Concept

Trigonometrik oranların esas ölçülerinin bulunması, bölgelere göre işaret analizi ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Question 113Question →

x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) olmak üzere,

a=cos⁡(2x)cos⁡(x)+sin⁡(x)a = \frac{\cos(2x)}{\cos(x) + \sin(x)}
b=2tan⁡(x)cos⁡(x)csc⁡(x)b = \frac{2\tan(x)\cos(x)}{\csc(x)}
c=1−tan⁡2(x)sec⁡2(x)c = \frac{1 - \tan^2(x)}{\sec^2(x)}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

a, b ve c değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı a < b < c şeklindedir.
Sadeleştirilmiş ifadelerin verilen aralıktaki değerleri incelendiğinde; a negatif, b sıfır ile bir bölü iki aralığında pozitif, c ise bir bölü iki ile bir aralığında pozitif değerler alır. Bu durumda en küçük değer a, ortanca değer b ve en büyük değer c olur.

Step-by-Step Solution

1
a ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
a=cos⁡(x)−sin⁡(x)a = \cos(x) - \sin(x)
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = (\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) iki kare farkı özdeşliği pay kısmında yerine yazılır ve payda ile sadeleştirilir.
2
b ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
b=2sin⁡2(x)b = 2\sin^2(x)
tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} ve csc⁡(x)=1sin⁡(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} eşitlikleri yerine yazılarak ifade sadeleştirilir.
3
c ifadesini özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme
c=cos⁡(2x)c = \cos(2x)
sec⁡2(x)=1cos⁡2(x)\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} ve tan⁡2(x)=sin⁡2(x)cos⁡2(x)\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} özdeşlikleri kullanılarak ifade sadeleştirilir.
4
Açı aralığına göre her bir ifadenin işaretini ve alabileceği değer aralığını belirleme
a<0a < 0, 0<b<120 < b < \frac{1}{2}, 12<c<1\frac{1}{2} < c < 1
x∈(5π6,π)x \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığı ikinci bölgededir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs pozitiftir. Bu nedenle a=cos⁡(x)−sin⁡(x)a = \cos(x) - \sin(x) ifadesi negatiftir. sin⁡(x)∈(0,12)\sin(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right) olduğundan b=2sin⁡2(x)∈(0,12)b = 2\sin^2(x) \in \left(0, \frac{1}{2}\right) olur. 2x∈(5π3,2π)2x \in \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right) aralığı dördüncü bölgededir ve kosinüs pozitiftir, böylece c=cos⁡(2x)∈(12,1)c = \cos(2x) \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) olur.
5
Değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapma
a<b<ca < b < c
aa negatif, bb ve cc pozitif olup bb değeri 1/21/2 değerinden küçük, cc değeri ise 1/21/2 değerinden büyük olduğu için sıralama bu şekilde elde edilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonlarda özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme yapma ve bölgelere göre işaret/değer sıralaması gerçekleştirme.
Question 114Question →

a=sin⁡(200∘)a = \sin(200^\circ)
b=cos⁡(290∘)b = \cos(290^\circ)
c=tan⁡(130∘)c = \tan(130^\circ)

Yukarıda verilen trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışını oluşturunuz.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Tanjant 130 derece < Sinüs 200 derece < Kosinüs 290 derece
Tanjant 130 derece ikinci bölgede negatif olup −1-1'den küçüktür. Sinüs 200 derece üçüncü bölgede negatif olup −1-1 ile 00 arasındadır. Kosinüs 290 derece dördüncü bölgede pozitif bir değer alır. Bu durumda en küçük değer tanjant 130 derece, ortanca değer sinüs 200 derece, en büyük değer ise kosinüs 290 derecedir.

Step-by-Step Solution

1
Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleme
200∘200^\circ açısı ü��üncü bölgede olup sinüs değeri negatiftir (a<0a < 0).
290∘290^\circ açısı dördüncü bölgede olup kosinüs değeri pozitiftir (b>0b > 0).
130∘130^\circ açısı ikinci bölgede olup tanjant değeri negatiftir (c<0c < 0).
Sıralama yaparken ilk adım olarak değerlerin pozitif veya negatif olduğunu belirlemek karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
Negatif olan sinüs ve tanjant değerlerini kendi aralarında karşılaştırma
a=sin⁡(200∘)=−sin⁡(20∘)a = \sin(200^\circ) = -\sin(20^\circ) değer aralığı (−1,0)(-1, 0) arasındadır.
c=tan⁡(130∘)=−tan⁡(50∘)c = \tan(130^\circ) = -\tan(50^\circ) değerinde, tan⁡(50∘)>tan⁡(45∘)=1\tan(50^\circ) > \tan(45^\circ) = 1 olduğu için c<−1c < -1 olur.
Aynı işarete sahip iki değerin büyüklük ilişkisini belirlemek için mutlak değerce kıyaslama yapılarak negatif işaretin etkisi incelenir.
3
Tüm değerleri birleştirerek küçükten büyüğe sıralama yapma
c<−1c < -1 ve −1<a<0-1 < a < 0 ve b>0b > 0 olduğundan doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Elde edilen tüm eşitsizlikler birleştirilerek nihai sıralamaya ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve değer aralıkları yardımıyla sıralanması

Alternative Method

Tüm açılar birim çember üzerinde çizilip eksenler üzerindeki izdüşümleri veya tanjant ekseni üzerindeki kesim noktaları görsel olarak kıyaslanarak da sıralama yapılabilir.
Estimated Time:50s
Question 115Question →

Uygur Devleti'nin kuruluş, gelişim ve yıkılış süreçlerinde yaşanan aşağıdaki olayları kronolojik olarak eskiden yeniye doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Uygur Devleti'nin tarihi gelişimindeki doğru kronolojik sıralama sırasıyla: Ötüken merkezli bağımsız devletin kurulması, Maniheizm dininin kabul edilmesi ve Kırgızların saldırısıyla devletin yıkılarak göçlerin yaşanması şeklindedir.
Doğru kronolojik sıralama sırasıyla kuruluş, Mani dininin kabulü ve Kırgızlar tarafından yıkılma aşamalarını takip eder.

Step-by-Step Solution

1
Devletin kuruluş olayının tespit edilmesi
II. Kök Türk Devleti'nin zayıflama sürecinde 744 yılında bağımsız bir devlet kurulmuştur.
Bir devletin siyasi kronolojisindeki ilk adım her zaman kuruluş aşamasıdır.
2
Sosyo-kültürel değişim yaratan dini gelişmenin belirlenmesi
Bögü Kağan döneminde 762 yılında Maniheizm'in kabul edilmesi kronolojide ikinci aşamadır.
Maniheizm'in kabulü, devlet kurulduktan sonra gerçekleşen ve yerleşik hayata geçişi hızlandıran bir gelişmedir.
3
Devletin varlığını sonlandıran siyasi olayın bulunması
840 yılında Kırgızların istilası sonucu devletin yıkılması ve farklı bölgelere göç edilmesi son halkadır.
Yıkılış ve göç dalgaları bu sürecin tamamlanmasına ve devletin tarih sahnesinden çekilmesine neden olmuştur.

Key Concept

Uygur Devleti'nin kuruluş, kültürel dönüşüm ve yıkılış aşamaları
Estimated Time:2m 0s
Question 116Question →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Negatif değere sahip olan b=tan⁡(−27π/8)b = \tan(-27\pi/8) ifadesi en küçüktür. Pozitif olan aa ve cc değerleri indirgendiğinde sırasıyla a=cos⁡(36∘)a = \cos(36^\circ) ve c=cos⁡(18∘)c = \cos(18^\circ) elde edilir. 1. bölgede kosinüs fonksiyonunun azalan karakteri nedeniyle cos⁡(18∘)>cos⁡(36∘)\cos(18^\circ) > \cos(36^\circ) olduğundan c>ac > a sıralaması bulunur. Böylece en küçükten büyüğe sıralama b<a<cb < a < c olur.

Step-by-Step Solution

1
Açıların esas ölçülerini bulunuz.
aa için 19π5−2π=9π5\frac{19\pi}{5} - 2\pi = \frac{9\pi}{5}, bb için −27π8+4π=5π8-\frac{27\pi}{8} + 4\pi = \frac{5\pi}{8} ve cc için 12π5−2π=2π5\frac{12\pi}{5} - 2\pi = \frac{2\pi}{5} esas ölçüleri elde edilir.
Trigonometrik oranları karşılaştırmak için öncelikle açıların [0,2π)[0, 2\pi) aralığındaki karşılıklarını bulmamız gerekir.
2
Esas ölçüsü bulunan açıların bölgelerini ve işaretlerini belirleyiniz.
9π5\frac{9\pi}{5} açısı 4. bölgededir ve kosinüs bu bölgede pozitiftir (a>0a > 0). 5π8\frac{5\pi}{8} açısı 2. bölgededir ve tanjant bu bölgede negatiftir (b<0b < 0). 2π5\frac{2\pi}{5} açısı 1. bölgededir ve sinüs bu bölgede pozitiftir (c>0c > 0). Bu durumda bb en küçük değerdir.
Bölgelere göre işaret analizi yapmak, negatif ve pozitif değerleri birbirinden ayırarak sıralamayı kolaylaştırır.
3
Pozitif olan aa ve cc değerlerini aynı cinsten ifade ederek karşılaştırınız.
a=cos⁡(36∘)a = \cos(36^\circ) ve c=sin⁡(72∘)=cos⁡(18∘)c = \sin(72^\circ) = \cos(18^\circ) olarak yazılır. 1. bölgede açı büyüdükçe kosinüs değeri küçüldüğünden (azalan fonksiyon) cos⁡(18∘)>cos⁡(36∘)\cos(18^\circ) > \cos(36^\circ) yani c>ac > a olur.
1. bölgeye indirgenen pozitif trigonometrik değerler, aynı fonksiyon türüne dönüştürülerek açı büyüklüklerine göre sıralanabilir.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin esas ölçü yardımıyla bölgelere göre indirgenmesi ve 1. bölgedeki değişim aralıklarına göre sıralanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 117Question →

Aşağıda üç farklı trigonometrik ifade verilmiştir:

x=cos⁡(17π6)x = \cos\left(\frac{17\pi}{6}\right)
y=sin⁡(−675∘)y = \sin\left(-675^\circ\right)
z=cot⁡(1020∘)z = \cot\left(1020^\circ\right)

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Doğru sıralama x<z<yx < z < y şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup indirgeme kuralları uygulandığında x=−32x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2} ve z=−33z = -\frac{\sqrt{3}}{3} değerleri elde edilir. Bu değerler karşılaştırıldığında en küçük değer xx, sonra zz, en büyük değer ise yy olur.

Step-by-Step Solution

1
x=cos⁡(17π6)x = \cos\left(\frac{17\pi}{6}\right) ifadesinin değerini hesaplayın.
x=−32x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
17π6\frac{17\pi}{6} açısının esas ölçüsü 17π6−2π=5π6\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6} radyandır. İkinci bölgedeki kosinüsün işareti negatif olduğundan cos⁡(5π6)=−cos⁡(π6)=−32\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
2
y=sin⁡(−675∘)y = \sin\left(-675^\circ\right) ifadesinin değerini hesaplayın.
y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2}
−675∘-675^\circ açısına 2×360∘=720∘2 \times 360^\circ = 720^\circ eklendiğinde esas ölçü 45∘45^\circ bulunur. Birinci bölgede sinüsün işareti pozitif olduğundan sin⁡(45∘)=22\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} elde edilir.
3
z=cot⁡(1020∘)z = \cot\left(1020^\circ\right) ifadesinin değerini hesaplayın.
z=−33z = -\frac{\sqrt{3}}{3}
1020∘1020^\circ açısının 360∘360^\circ ile bölümünden kalan (esas ölçü) 300∘300^\circ derecedir. Dördüncü bölgedeki kotanjantın işareti negatif olduğundan cot⁡(300∘)=−cot⁡(60∘)=−33\cot(300^\circ) = -\cot(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} elde edilir.
4
Elde edilen değerleri sayı doğrusunda karşılaştırın.
x<z<yx < z < y
−32≈−0.866-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866, −33≈−0.577-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577 ve 22≈0.707\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 olduğundan küçükten büyüğe sıralama x<z<yx < z < y olur.

Key Concept

Trigonometrik oranların esas ölçü kullanılarak birinci bölgeye indirgenmesi ve bölgelere göre işaret analizi.
Estimated Time:2m 0s
Question 118Question →

Aşağıda verilen xx, yy, zz ve ww trigonometrik ifadelerini en küçük değerden en büyük değere do��ru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Verilen ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralanışı z, w, y, x şeklindedir.
İfadelerin doğru sıralanışı en küçük değerden en büyük değere doğru sırasıyla z, w, y, x şeklindedir. İndirgeme formüllerine göre z ifadesi en küçük negatif değer olan -sin(15) değerine eşitken, w ifadesi -tan(10) değerine eşittir. Pozitif değerlerden y ifadesi sin(15) değerine, x ifadesi ise en büyük değer olan tan(25) değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Açıların bulundukları bölgeleri belirleyip indirgeme formüllerini uygulayarak ifadeleri birinci bölgeye taşıyın.
z=sin⁡(195∘)=sin⁡(180∘+15∘)=−sin⁡(15∘)z = \sin(195^\circ) = \sin(180^\circ + 15^\circ) = -\sin(15^\circ)
w=cot⁡(100∘)=cot⁡(90∘+10∘)=−tan⁡(10∘)w = \cot(100^\circ) = \cot(90^\circ + 10^\circ) = -\tan(10^\circ)
y=cos⁡(285∘)=cos⁡(270∘+15∘)=sin⁡(15∘)y = \cos(285^\circ) = \cos(270^\circ + 15^\circ) = \sin(15^\circ)
x=tan⁡(205∘)=tan⁡(180∘+25∘)=tan⁡(25∘)x = \tan(205^\circ) = \tan(180^\circ + 25^\circ) = \tan(25^\circ)
İfadelerin işaretlerini belirlemek ve büyüklüklerini birinci bölgedeki bilinen dar açılar cinsinden karşılaştırabilmek için indirgeme yapılır.
2
Negatif değerleri kendi aralarında karşılaştırın.
Birinci bölgede 15∘>10∘15^\circ > 10^\circ olduğundan sin⁡(15∘)>tan⁡(10∘)\sin(15^\circ) > \tan(10^\circ) olur. Bu değerler negatif işaretle çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir: −sin⁡(15∘)<−tan⁡(10∘)-\sin(15^\circ) < -\tan(10^\circ). Dolayısıyla z<wz < w elde edilir.
Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanı daha küçüktür.
3
Pozitif değerleri kendi aralarında karşılaştırın.
Birinci bölgede her α\alpha dar açısı için tan⁡α>sin⁡α\tan\alpha > \sin\alpha bağıntısı geçerlidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları birinci bölgede artan olduğundan tan⁡(25∘)>sin⁡(25∘)>sin⁡(15∘)\tan(25^\circ) > \sin(25^\circ) > \sin(15^\circ) sıralaması bulunur. Dolayısıyla y<xy < x elde edilir.
Pozitif trigonometrik değerlerin büyüklük sıralaması fonksiyonların birinci bölgedeki davranışlarına göre belirlenir.
4
Bulunan tüm sonuçları birleştirerek nihai sıralamayı oluşturun.
Negatif değerler pozitif değerlerden her zaman küçük olacağı için genel sıralama z<w<y<xz < w < y < x şeklindedir.
Tüm ifadelerin büyüklük ilişkisini tek bir eşitsizlik zincirinde toplamak için gruplar birleştirilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve birinci bölgedeki değerlerin karşılaştırılması.
Question 119Question →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Trigonometrik özdeşlikler ve aralık analizi yapıldığında ifadeler a<c<ba < c < b şeklinde sıralanır.
Verilen aralıkta ifadeler sadeleştirildiğinde a=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \sin(x) - \cos(x) değeri sıfır ile bir arasında pozitif bir değer alır, cc ifadesi sadeleşerek doğrudan bir değerine eşit olur, bb ifadesi ise mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarak birden büyük bir değer alır. Bu durum en küçük değerin ilk ifadeye, en büyük değerin ise ikinci ifadeye ait olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
aa ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirelim.
a=(sin⁡2(x)−cos⁡2(x))(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)a = \frac{(\sin^2(x) - \cos^2(x))(\sin^2(x) + \cos^2(x))}{\sin(x) + \cos(x)} elde edilir. sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olduğu için ifade a=(sin⁡(x)−cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x))sin⁡(x)+cos⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)a = \frac{(\sin(x) - \cos(x))(\sin(x) + \cos(x))}{\sin(x) + \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x) halini alır.
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapmak, sıralama kıyaslamasını kolaylaştırır.
2
bb ifadesini tam kare özdeşliği yardımıyla kök dışına çıkaralım.
1=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) yazıldığında kök içi (sin⁡(x)+cos⁡(x))2(\sin(x) + \cos(x))^2 olur. Buradan b=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣b = \sqrt{(\sin(x) + \cos(x))^2} = |\sin(x) + \cos(x)| elde edilir.
Derecesi çift olan köklü ifadeler dışarıya mutlak değer içinde çıkarılmalıdır.
3
cc ifadesini sinüs ve kosinüs fonksiyonları türünden yazıp sadeleştirelim.
Pay kısmı: tan⁡(x)+cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} olur. Payda kısmı: sec⁡(x)csc⁡(x)=1cos⁡(x)sin⁡(x)\sec(x)\csc(x) = \frac{1}{\cos(x)\sin(x)} olur. İkisinin oranı c=1c = 1 sonucunu verir.
Temel trigonometrik kimlikler kullanılarak karmaşık rasyonel ifadeler sadeleştirilir.
4
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre ifadelerin işaret ve büyüklük analizini yapalım.
Bu aralıkta (üçüncü bölgede) cos⁡(x)<sin⁡(x)<0\cos(x) < \sin(x) < 0 eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla:
- a=sin⁡(x)−cos⁡(x)>0a = \sin(x) - \cos(x) > 0 olup 0<a<10 < a < 1 aralığındadır.
- sin⁡(x)+cos⁡(x)<0\sin(x) + \cos(x) < 0 olduğundan b=∣sin⁡(x)+cos⁡(x)∣=−sin⁡(x)−cos⁡(x)b = |\sin(x) + \cos(x)| = -\sin(x) - \cos(x) olur. Bu değer 1<b<21 < b < \sqrt{2} aralığındadır.
- c=1c = 1 sabittir.
Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri ve birbirlerine göre büyüklükleri sıralamayı belirler.
5
Elde edilen değer aralıklarını birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.
0<a<10 < a < 1, c=1c = 1 ve 1<b<21 < b < \sqrt{2} olduğundan sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Bulunan sayısal aralıklar sıralamayı tek bir şekilde belirlememizi sağlar.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Estimated Time:2m 30s
Question 120Question →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x+cos⁡xa = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}
b=1+2sin⁡xcos⁡x−sin⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - \sin x
c=tan⁡x1+tan⁡2xc = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

İfadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı c,b,ac, b, a şeklindedir.
Verilen aralıkta fonksiyonların işaretleri analiz edildiğinde aa ifadesinin pozitif, bb ve cc ifadelerinin ise negatif olduğu görülür. Negatif olan bb ve cc değerleri karşılaştırıldığında b>cb > c olduğu saptanır. Bu sayede doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla cc, bb ve aa olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
aa ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.
a=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)sin⁡x+cos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x+cos⁡x=sin⁡x−cos⁡xa = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x
Pay kısmında iki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 eşitliği kullanılmıştır.
2
bb ifadesini mutlak değer ve bölge özelliklerini dikkate alarak sadeleştiriniz.
b=(sin⁡x+cos⁡x)2−sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣−sin⁡xb = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - \sin x = |\sin x + \cos x| - \sin x İkinci bölgenin ikinci yarısında yani x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında sin⁡x<−cos⁡x\sin x < -\cos x olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek çıkar:
b=−(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡x=−2sin⁡x−cos⁡xb = -(\sin x + \cos x) - \sin x = -2\sin x - \cos x
Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerle çıkması ve ikinci bölgede kosinüsün mutlak değerce sinüsten büyük olmasından dolayı toplamın negatif olması esastır.
3
cc ifadesini sadeleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazınız.
1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x olduğundan
c=tan⁡xsec⁡2x=tan⁡x∣sec⁡x∣c = \frac{\tan x}{\sqrt{\sec^2 x}} = \frac{\tan x}{|\sec x|} olur. İkinci bölgede cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan sec⁡x<0\sec x < 0 dır. Dolayısıyla ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x olur:
c=tan⁡x−sec⁡x=sin⁡xcos⁡x−1cos⁡x=−sin⁡xc = \frac{\tan x}{-\sec x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{-\frac{1}{\cos x}} = -\sin x
Sekant fonksiyonunun ikinci bölgede negatif işaretli olması nedeniyle mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarılması gerekir.
4
Elde edilen sadeleşmiş a,ba, b ve cc ifadelerini verilen aralıkta karşılaştırarak sıralayınız.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında:
- sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0 dır. Hatta a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) aralığındadır.
- bb ve cc ifadeleri ise negatif değerler alır. Bu iki ifadeyi karşılaştırmak için farklarına bakılır:
b−c=(−2sin⁡x−cos⁡x)−(−sin⁡x)=−sin⁡x−cos⁡xb - c = (-2\sin x - \cos x) - (-\sin x) = -\sin x - \cos x
Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan, −sin⁡x−cos⁡x>0-\sin x - \cos x > 0 olur. Dolayısıyla b−c>0  ⟹  b>cb - c > 0 \implies b > c elde edilir.
Bu bilgiler ışığında sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
İfadelerin işaretleri ve birbirleriyle olan farklarının pozitiflik/negatiflik durumları sıralamayı belirler.

Key Concept

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve mutlak değerce büyüklüklerinin analizi
PreviousPage 6 / 43Next
All practice questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin