All practice questions

Question 1841Question →

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

olmak üzere,

\frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \cos^2 x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\tan x - \cot x

\tan x + \cot x

\cot x - \tan x

-\tan x - \cot x

0

Show answer & explanation

Answer: $\tan x - \cot x$

Answer

tan x - cot x

Dördüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif, sinüs fonksiyonunun işareti negatiftir. Karekök içindeki tam kare ifadeler dışarıya mutlak değer ile çıkarılır. Buna göre,

\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| = \cos x

ve

\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| = -\sin x

olur. Bu değerler yerlerine yazıldığında ifade

\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}

haline gelir. Tanjant ve kotanjant tanımlarından faydalanılarak bu ifade

\tan x - \cot x

şeklinde sadeleşir.

Step-by-Step Solution

1

Kök içerisindeki ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla düzenleme.

1 - \sin^2 x = \cos^2 x

ve

1 - \cos^2 x = \sin^2 x

özdeşlikleri kullanılarak ifade

\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x}}

şeklinde yazılır.

Kök dışına çıkarma işlemini gerçekleştirmek için temel özdeşliklerden yararlanılır.

2

Kareköklü ifadeleri mutlak değer kullanarak kök dışına çıkarma.

\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|

ve

\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|

olduğundan ifade

\frac{\sin x}{|\cos x|} + \frac{\cos x}{|\sin x|}

haline gelir.

Çift dereceli köklerin dışına çıkan ifadelerin işaretini doğru belirlemek için mutlak değer kullanılır.

3

Verilen aralığa göre mutlak değerlerin işaretini belirleyip sadeleştirme yapma.

x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)

aralığı 4. bölgede olduğundan bu bölgede

\cos x > 0

ve

\sin x < 0

olur. Dolayısıyla

|\cos x| = \cos x

ve

|\sin x| = -\sin x

olarak çıkar. İfade

\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{-\sin x} = \tan x - \cot x

şeklinde sadeleşir.

4. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret kuralları uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Belirleme

Estimated Time:1m 30s

Question 1842Question →

Pozitif terimli bir

(a_n)

geometrik dizisi için,

\begin{aligned} a_1 \cdot a_{11} &= 128 \\ a_3 + a_9 &= 36 \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

Bu dizinin ortak çarpanı $r > 1$ olduğuna göre, $a_5 + a_7$ toplamı kaçtır?

36

80

24

18

32

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

24

Geometrik dizinin terim çarpımı özelliğinden

a_3 \cdot a_9 = a_1 \cdot a_{11} = 128

bulunur. Toplamları 36 ve çarpımları 128 olan pozitif terimler 4 ve 32'dir. Ortak çarpan

r > 1

olduğundan dizi artandır, bu yüzden

a_3 = 4

ve

a_9 = 32

olmalıdır. Buradan

a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2

bulunur. İstenen terimler

a_5 = a_3 \cdot r^2 = 8

ve

a_7 = a_3 \cdot r^4 = 16

olup, bu terimlerin toplamı 24'tür.

Step-by-Step Solution

1

İndisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği özelliğini uygulamak.

a_1 \cdot a_{11} = a_3 \cdot a_9 = 128

Bir geometrik dizide

p + q = r + s

ise

a_p \cdot a_q = a_r \cdot a_s

eşitliği geçerlidir.

2

a_3

ve

a_9

terimlerini bulmak için toplam ve çarpım değerlerini kullanarak ikinci dereceden denklem kurmak.

x^2 - 36x + 128 = 0 \implies (x-4)(x-32) = 0 \implies \{a_3, a_9\} = \{4, 32\}

Çarpımları 128 ve toplamları 36 olan terimleri bulmak için kökleri bu sayılar olan denklem çözülür.

3

Ortak çarpanın

r > 1

olma ko��ulunu kullanarak dizinin artan olduğunu belirlemek ve

r^2

değerini hesaplamak.

a_3 = 4

,

a_9 = 32

ve

a_9 = a_3 \cdot r^6 \implies 32 = 4 \cdot r^6 \implies r^6 = 8 \implies r^2 = 2

Dizi artan olduğundan

a_3 < a_9

olmalıdır ve terimler arasındaki oran ortak çarpanın kuvvetini verir.

4

İstenen

a_5 + a_7

toplamını

a_3

ve

r^2

cinsinden yazıp hesaplamak.

a_5 = a_3 \cdot r^2 = 4 \cdot 2 = 8

ve

a_7 = a_3 \cdot r^4 = 4 \cdot 4 = 16 \implies a_5 + a_7 = 8 + 16 = 24

Geometrik dizinin genel terim formülü kullanılarak istenen terimler bilinen terimler cinsinden ifade edilir.

Key Concept

Geometrik dizilerde terimlerin indisleri toplamı eşit olduğunda çarpımlarının eşit olması ve terimler arası oranların ortak çarpanın kuvvetlerine bağlı olması.

Estimated Time:2m 0s

Question 1843Question →

Her

n \in \mathbb{Z}^+

için genel terimi

a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}

olan

(a_n)

dizisi ile genel terimi

b_n = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16}

olan

(b_n)

dizisi eşit iki dizidir.

Buna göre, $x + y + z + w$ toplamının değeri kaçtır?

20

36

40

48

80

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Dizilerin eşitliğinden katsayılar oranlandığında doğru cevap 40 değeridir.

İki dizinin eşit olabilmesi için her pozitif tam sayı teriminde eşit olmaları gerekir. Genel terimi verilen birinci dizinin toplamı teleskopik toplam yardımıyla sadeleştirildiğinde payı

n^2 + 3n

, paydası

4n^2 + 12n + 8

olan bir kesir elde edilir. Bu diziyi genel terimi verilen ikinci diziye eşitlemek için paydadaki sabit terim olan 8 sayısı, ikinci dizinin paydasındaki sabit terim olan 16 ile eşitlenecek şekilde kesir 2 ile genişletilir. Genişletme sonucunda elde edilen katsayılar toplandığında doğru cevap olan 40 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Genel terimdeki rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılması.

\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)

eşitliği elde edilir.

Teleskopik toplam yardımıyla dizinin genel terimini sadeleştirmek.

2

Toplam sembolünün teleskopik yöntemle açılması.

a_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{2\cdot 3}\right) + \left(\frac{1}{2\cdot 3} - \frac{1}{3\cdot 4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \right]

ifadesinden ara terimler sadeleşir.

Birbirini götüren terimleri belirleyip toplamı basitleştirmek.

3

Kalan terimlerin paydalarının eşitlenerek sadeleştirilmesi.

a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8}

bulunur.

Dizinin genel terimini tek bir rasyonel ifade biçiminde yazmak.

4

a_n

ve

b_n

dizilerinin eşitliğinin kurulması.

\frac{n^2 + 3n}{4n^2 + 12n + 8} = \frac{x \cdot n^2 + y \cdot n}{z \cdot n^2 + w \cdot n + 16}

eşitliği kurulur.

b_n

dizisinin paydasındaki sabit terim 16 olduğundan,

a_n

ifadesi 2 ile genişletilerek

\frac{2n^2 + 6n}{8n^2 + 24n + 16}

elde edilir.

Dizilerin tüm pozitif tam sayılar için eşit olması gerektiğinden katsayıları eşitlemek.

5

Katsayıların karşılaştırılması ve istenen toplamın hesabı.

x = 2

,

y = 6

,

z = 8

,

w = 24

olarak bulunur. Toplamları ise

2 + 6 + 8 + 24 = 40

elde edilir.

Bilinmeyen katsayıların değerlerini belirleyip toplamlarını bulmak.

Key Concept

Eşit Diziler ve Teleskopik Toplamlar

Alternative Method

Alternatif bir yol olarak, dizilerin eşitliğinden faydalanarak ilk birkaç terim hesaplanabilir.

a_1 = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6}

ve

a_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{5}{24}

bulunur. Buradan

b_1 = \frac{x+y}{z+w+16} = \frac{1}{6}

ve

b_2 = \frac{4x+2y}{4z+2w+16} = \frac{5}{24}

denklemleri elde edilir. Bu denklemler çözülerek katsayılar bulunabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 1844Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları

f(x) = x^2 + x

g(x) = 3x - 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $(f \circ g)'(2)$ değeri kaçtır?

5

9

15

20

27

Show answer & explanation

Answer: 27

Answer

Bileşke fonksiyonun türev kuralı doğru bir şekilde uygulandığında elde edilen 27 sayısıdır.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı olan

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

ifadesinde verilen fonksiyonların değerleri yerine yazıldığında,

(f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(4) \cdot g'(2) = 9 \cdot 3 = 27

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralını) belirlemek

(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

2

g(x) = 3x - 2

fonksiyonunun türevini almak ve

x = 2

noktasındaki değerini bulmak

g'(x) = 3

ve dolayısıyla

g'(2) = 3

olur.

Zincir kuralında çarpım durumunda olan içteki fonksiyonun türev değerini bulmak gerekir.

3

g(2)

değerini hesaplamak

g(2) = 3(2) - 2 = 4

olur.

Dıştaki fonksiyonun türevinin hangi noktada değerlendirileceğini bulmak için içteki fonksiyonun değerine ihtiyaç vardır.

4

f(x) = x^2 + x

fonksiyonunun türevini almak ve bulduğumuz

g(2) = 4

noktasındaki değerini hesaplamak

f'(x) = 2x + 1

ve

f'(4) = 2(4) + 1 = 9

olur.

Zincir kuralındaki

f'(g(2))

teriminin değerini belirlemek gerekir.

5

Elde edilen değerleri türev formülünde yerine koyarak bileşke fonksiyonun türevini hesaplamak

(f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = f'(4) \cdot g'(2) = 9 \cdot 3 = 27

olur.

Formüldeki tüm bileşenler hesaplanmış olup son çarpım işlemiyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Estimated Time:1m 30s

Question 1845Question →

x \in [0, \pi]

olmak üzere,

\cos(4x) + \sin(3x) = \cos(2x)

denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Denklemin

[0, \pi]

aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 6'dır.

Denklemin çözümü için öncelikle kosinüs fark formülü uygulanarak ifade

\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0

biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan

\sin(3x) = 0

ve

\sin(x) = \frac{1}{2}

denklemleri elde edilir. İlk denklemin

[0, \pi]

aralığında 4 farklı kökü, ikinci denklemin ise 2 farklı kökü vardır. Bu köklerin tamamı birbirinden farklı olduğundan denklemin toplam 6 farklı gerçel kökü bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Denklemin terimleri tek bir tarafa toplanır.

\cos(4x) - \cos(2x) + \sin(3x) = 0

Dönüşüm formüllerini uygulayabilmek için terimleri gruplandırmak gerekir.

2

\cos(4x) - \cos(2x)

ifadesine dönüşüm formülü uygulanır.

-2\sin(3x)\sin(x) + \sin(3x) = 0

\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)

özdeşliği kullanılır.

3

Ortak çarpan olan

\sin(3x)

parantezine alınır.

\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0

Çarpanlarına ayırarak her bir çarpanın sıfır olabileceği durumlar incelenir.

4

\sin(3x) = 0

denkleminin

[0, \pi]

aralığındaki kökleri bulunur.

x \in \left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\right\}

3x \in [0, 3\pi]

olduğundan

3x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi

değerlerini alabilir.

5

1 - 2\sin(x) = 0

yani

\sin(x) = \frac{1}{2}

denkleminin

[0, \pi]

aralığındaki kökleri bulunur.

x \in \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}

[0, \pi]

aralığında sinüsü

\frac{1}{2}

olan açılar

\frac{\pi}{6}

ve

\frac{5\pi}{6}

'dır.

6

Tüm farklı kökler birleştirilerek toplam kök sayısı hesaplanır.

x \in \left\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\right\}

olmak üzere 6 farklı kök vardır.

Bulunan tüm kökler birbirinden farklıdır ve verilen aralığın içindedir.

Key Concept

Trigonometrik denklemleri dönüşüm formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.

Question 1846Question →

f(x) = \begin{cases} 3x - k, & x < 2 \\ 2x + 1, & x \geq 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f(x)$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında limitinin var olması için $k$ gerçek sayısı kaç olmalıdır?

5

-1

1

11

6

Show answer & explanation

Answer: $1$

Answer

k gerçek sayısı 1 olmalıdır.

Fonksiyonun

x = 2

noktasında limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir. Sol limit

\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - k = 6 - k

ve sağ limit

\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) + 1 = 5

olarak hesaplanır. Bu iki limit değeri birbirine eşitlendiğinde

6 - k = 5

denklemi elde edilir ve buradan

k = 1

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun

x = 2

noktasındaki sol limitini hesaplayınız.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - k = 6 - k

x < 2

bölgesi için tanımlı olan

3x - k

kuralı kullanılır.

2

Fonksiyonun

x = 2

noktasındaki sağ limitini hesaplayınız.

\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2) + 1 = 5

x \geq 2

bölgesi için tanımlı olan

2x + 1

kuralı kullanılır.

3

Limitin var olması için elde edilen sağ ve sol limit değerlerini birbirine eşitleyerek bilinmeyeni bulunuz.

6 - k = 5 \implies k = 1

Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerin eşit olması şarttır.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik (sınır) noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir.

Question 1847Question →

f(x) = (x - 3)^3 + 2

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

\mathbb{R}

[3, \infty)

\mathbb{R} \setminus \{3\}

(3, \infty)

(-\infty, 3]

Show answer & explanation

Answer: $\mathbb{R}$

Answer

Tüm gerçek sayılar kümesi (

\mathbb{R}

)

Fonksiyonun türevi olan

f'(x) = 3(x - 3)^2

ifadesi, tüm gerçek sayılar için sıfırdan büyük veya eşittir (

f'(x) \geq 0

). Türevin sıfır olduğu tek nokta

x = 3

olup bu nokta izole bir noktadır. Dolayısıyla, fonksiyon tüm gerçek sayılar kümesinde artandır. Bu nedenle doğru cevap tüm gerçek sayılar kümesidir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen fonksiyonun türevi alınır.

f'(x) = 3(x - 3)^2

elde edilir.

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.

2

Türevin sıfır olduğu noktalar (kökler) bulunur ve işaret tablosu oluşturulur.

3(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3

çift katlı köktür.

x = 3

dışındaki tüm gerçek sayılar için

f'(x) > 0

olur.

(x - 3)^2

ifadesi bir tam kare olduğundan

x \neq 3

için daima pozitiftir. Çift katlı köklerde işaret değişmez.

3

Türevin işaretine göre fonksiyonun artan olduğu en geniş aralık belirlenir.

f'(x) \geq 0

koşulu tüm

x \in \mathbb{R}

için sağlanır ve

f'(x) = 0

yapan

x = 3

noktası izole bir noktadır. Dolayısıyla fonksiyon tüm gerçek sayılarda artandır.

Türevin sıfır olduğu izole noktalar sürekli fonksiyonlarda artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işareti incelenir. Sürekli bir fonksiyon için türevi sıfır yapan izole noktalar artanlık/azalanlık aralığına dahil edilir.

Question 1848Question →

Türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

f(x) = g(x^2 - x)

eşitliği verilmiştir.

$g'(2) = 5$ olduğuna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Türevlenebilir iki fonksiyon arasındaki ilişki zincir kuralı ile türetilip verilen değer yerine yazıldığında aranan türev değeri 15 olarak bulunur.

Verilen

f(x) = g(x^2 - x)

eşitliğinde her iki tarafın türevi alındığında, zincir kuralı gereği

f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)

elde edilir. Bu eşitlikte

x = 2

yazıldığında

f'(2) = g'(2) \cdot (2 \cdot 2 - 1) = g'(2) \cdot 3

olur.

g'(2) = 5

değeri yerine yazıldığında doğru yanıt

5 \cdot 3 = 15

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin her iki tarafının türevi alınır.

f'(x) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.

2

Türev eşitliğinde

x = 2

değeri yerine yazılır.

f'(2) = g'(2) \cdot 3

x = 2

değeri için

x^2 - x

ifadesi 2 değerini alır ve iç kısmın türevi olan

2x - 1

ifadesi 3 olur.

3

Verilen

g'(2) = 5

değeri yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.

f'(2) = 15

f'(2) = 5 \cdot 3

çarpım işlemiyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevinde zincir kuralının uygulanması

Estimated Time:1m 0s

Question 1849Question →

f(x) = 3x^2 - 12x + 7

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık

(-\infty, a]

olduğuna göre,

a

sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

İstenen

a

değeri 2'dir.

Verilen fonksiyonun türevi

f'(x) = 6x - 12

olarak bulunur. Fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevi sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır. Buradan

6x - 12 \leq 0 \implies x \leq 2

elde edilir. Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık

(-\infty, 2]

olduğundan, sınır değeri olan

a

sayısı

2

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun türevi alınır.

f'(x) = 6x - 12

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelemek gerekir.

2

Türevi sıfır veya sıfırdan küçük yapan değerler için eşitsizlik kurulur.

6x - 12 \leq 0

Sürekli bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.

3

Kurulan birinci dereceden eşitsizlik çözülür.

x \leq 2

yani

(-\infty, 2]

Eşitsizliğin çözüm kümesi fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığı verir. Bu aralık

(-\infty, a]

olarak tanımlandığı için

a = 2

bulunur.

Key Concept

Bir fonksiyonun türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.

Question 1850Question →

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + a, & x < 2 \\ 3x + b, & x \geq 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f(x)$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında limiti olduğuna göre, $a - b$ farkı kaçtır?

-10

-2

2

6

10

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10

Fonksiyonun

x = 2

noktasında limitinin var olması için bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken

x < 2

olduğundan

|x^2 - 4| = -(x^2 - 4)

olur ve sadeleştirme sonucunda sol limit

-4 + a

olarak bulunur. Sağ limit ise doğrudan

6 + b

olarak elde edilir. Bu iki limit değerinin eşitlenmesiyle

-4 + a = 6 + b \implies a - b = 10

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Sol limitin hesaplanması için

x \to 2^-

durumunda mutlak değerin içinin işaretini inceleyin.

x \to 2^-

için

x < 2

olduğundan

x^2 < 4

ve dolayısıyla

x^2 - 4 < 0

olur. Bu nedenle mutlak değerli ifade

|x^2 - 4| = -(x^2 - 4)

olarak dışarı çıkar.

Kritik noktada mutlak değerli bir ifadenin limitini hesaplamak için yaklaşılan yöne göre ifadenin işareti belirlenmelidir.

2

Sıfır bölü sıfır belirsizliğini gidermek için ifadeyi sadeleştirin ve sol limiti hesaplayın.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left( \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} + a \right) = \lim_{x \to 2^-} (-(x + 2) + a) = -(2 + 2) + a = -4 + a

bulunur.

Pay ve paydadaki ortak

(x - 2)

çarpanları sadeleştirilerek belirsizlik ortadan kaldırılır.

3

Sağ limiti hesaplayın.

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x + b) = 3(2) + b = 6 + b

bulunur.

x \to 2^+

yaklaşımı

x \ge 2

aralığına denk geldiğinden bu aralıktaki fonksiyon kuralı kullanılır.

4

Limitin var olma koşulunu uygulayarak parametreler arasındaki ilişkiyi kurun.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies -4 + a = 6 + b \implies a - b = 10

elde edilir.

Bir noktada limitin var olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitlerinde kritik noktalar incelenirken sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı kontrol edilir. Mutlak değer içeren ifadelerde, limit değerine yaklaşılan yöne göre mutlak değerin içi pozitif veya negatif olarak belirlenir ve gerekirse sadeleştirme yapılarak belirsizlikler giderilir.

Question 1851Question →

a

ve

b

birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + ax - 12}{|x - 3|}, & x < 3 \\ 2x + b, & x \ge 3 \end{cases}

fonksiyonunun

x = 3

noktasında limiti vardır.
Buna göre,

a - b

farkı kaçtır?

0

2

8

14

-12

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Farkın değeri 14'tür.

Fonksiyonun

x=3

noktasında limitinin olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken

0/0

belirsizliğinin olması gerektiğinden

a=1

bulunur.

x < 3

için

|x-3| = -(x-3)

olarak çıkarılır ve limit

-7

bulunur. Sağ limit

6+b

olduğundan,

-7 = 6+b \implies b = -13

bulunur. Buradan

a-b = 1 - (-13) = 14

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Limitin varlık koşulunun belirlenmesi

x = 3

noktasındaki limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin birbirine eşit ve birer gerçel sayı olması gerekir.

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik noktalarda limitin bulunması için sağ ve sol limitlerin eşit olması şarttır.

2

Sol limitin hesaplanması ve belirsizliğin giderilmesi

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 + ax - 12}{|x - 3|}

ifadesinde payda sıfır olduğundan limitin gerçel sayı çıkması için pay da sıfır olmalıdır. Buradan

3^2 + 3a - 12 = 0 \implies 3a = 3 \implies a = 1

bulunur. Pay

x^2 + x - 12 = (x-3)(x+4)

olarak çarpanlarına ayrılır.

x < 3

için

|x-3| = -(x-3)

olduğundan sol limit

\lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+4)}{-(x-3)} = \lim_{x \to 3^-} -(x+4) = -7

olur.

Sıfır bölü sıfır belirsizliğinin giderilmesi ve mutlak değerin tanım aralığına göre dışarı çıkarılması gerekmektedir.

3

Sağ limitin hesaplanması ve limitlerin eşitlenmesi

Sağ limit

\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x + b) = 6 + b

olur. Limitlerin eşitliğinden

-7 = 6 + b \implies b = -13

elde edilir.

Kritik noktadaki limit değerini belirlemek için sağ limit sol limite eşitlenir.

4

İstenen farkın hesaplanması

a - b = 1 - (-13) = 14

bulunur.

Soruda istenen

a-b

farkı bu şekilde hesaplanır.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik durumlarının çözülmesi.

Question 1852Question →

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 3 \\ 1, & x = 3 \\ x^2 - bx + 2, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

\lim_{x \to 2^-} f(5 - x) = 5

\lim_{x \to 4^-} f(x - 1) = 8

eşitlikleri sağlandığına göre,

a + b

toplamının değeri kaçtır?

0

1

3

4

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Limit yönleri doğru analiz edildiğinde

a = 2

ve

b = 2

bulunur, bu değerlerin toplamı ise 4'tür.

Limit yönleri doğru analiz edildiğinde; birinci limitte

5 - x

ifadesinin 3'e sağdan yaklaştığı görülür ve fonksiyonun

x > 3

kuralı kullanılarak

b = 2

değeri elde edilir. İkinci limitte

x - 1

ifadesinin 3'e soldan yaklaştığı görülür ve fonksiyonun

x < 3

kuralı kullanılarak

a = 2

değeri elde edilir. Bu iki değerin toplamı

2 + 2 = 4

olur.

Step-by-Step Solution

1

Birinci limit ifadesini analiz etme

x \to 2^-

iken

5 - x \to 3^+

olur.

x

değişkeni 2'ye soldan yaklaşırken

x < 2

olur. Buradan

-x > -2

ve

5 - x > 3

elde edilir. Dolayısıyla

5 - x

ifadesi 3'e sağdan yaklaşır.

2

Birinci limit değerini kullanarak b parametresini bulma

b = 2

\lim_{x \to 2^-} f(5 - x) = \lim_{t \to 3^+} f(t)

olur.

t > 3

için tanımlı olan

t^2 - bt + 2

kuralı kullanılır.

\lim_{t \to 3^+} (t^2 - bt + 2) = 3^2 - 3b + 2 = 11 - 3b

olur. Bu değer 5'e eşit olduğundan

11 - 3b = 5 \implies 3b = 6 \implies b = 2

bulunur.

3

İkinci limit ifadesini analiz etme

x \to 4^-

iken

x - 1 \to 3^-

olur.

x

değişkeni 4'e soldan yaklaşırken

x < 4

olur. Buradan

x - 1 < 3

elde edilir. Dolayısıyla

x - 1

ifadesi 3'e soldan yaklaşır.

4

İkinci limit değerini kullanarak a parametresini bulma

a = 2

\lim_{x \to 4^-} f(x - 1) = \lim_{t \to 3^-} f(t)

olur.

t < 3

için tanımlı olan

2t + a

kuralı kullanılır.

\lim_{t \to 3^-} (2t + a) = 2(3) + a = 6 + a

olur. Bu değer 8'e eşit olduğundan

6 + a = 8 \implies a = 2

bulunur.

5

İstenen toplam değerini hesaplama

a + b = 4

Bulunan

a = 2

ve

b = 2

değerleri toplanır:

2 + 2 = 4

elde edilir.

Key Concept

Bileşke ve ötelenmiş fonksiyonlarda sağdan ve soldan limit hesaplanırken yaklaşım yönünün belirlenmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 1853Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $f'(x) = 0$ denkleminin gerçek sayılardaki köklerinin kümesi $\{-1, 3, 8\}$ 'dir.
* $f'$ fonksiyonunun grafiği, $x = 3$ noktasında $x$ eksenine teğet olup bu noktanın civarında $x$ ekseninin üst tarafındadır.
* $x > 8$ için $f'(x) < 0$ ve $x < -1$ için $f'(x) < 0$ 'dır.

Buna göre, $g(x) = f(x^2 - 2x)$ fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, -2] \cup [1, 4]

(-\infty, -2] \cup [1, 3] \cup [4, \infty)

[-2, 1] \cup [4, \infty)

[-2, 4]

[-2, 1] \cup [3, 4]

Show answer & explanation

Answer: $(-\infty, -2] \cup [1, 4]$

Answer

(-\infty, -2] \cup [1, 4]

aralığıdır.

Bileşke fonksiyonun türevi

g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x)

şeklinde elde edilir. Bu ifadenin kökleri ve katlılık durumları incelendiğinde;

x = -2

ve

x = 4

tek katlı,

x = -1

ve

x = 3

çift katlı,

x = 1

ise tek katlı (3. dereceden) kök olarak bulunur. İşaret tablosu en sağdan negatif işaretle başlanarak doldurulduğunda, türevin pozitif veya sıfır olduğu bölgelerin

(-\infty, -2]

ve

[1, 4]

aralıkları olduğu görülür. Dolayısıyla en geniş artanlık aralığı bu iki aralığın birleşimidir.

Step-by-Step Solution

1

Bileşke fonksiyonun türevini alma

g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2 - 2x)

Fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıklar�� bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir.

2

Türevin sıfır olduğu kritik noktaları (kökleri) bulma

g'(x) = 0 \implies 2(x-1) = 0

veya

f'(x^2 - 2x) = 0

1)

2(x-1) = 0 \implies x = 1

(1. dereceden/tek katlı kök)

2)

f'(t) = 0

denkleminin kökleri

t = -1

(tek katlı),

t = 3

(çift katlı) ve

t = 8

(tek katlı) olarak verilmiştir. Buradan

t = x^2 - 2x

yazarak kökleri bulalım:

*

x^2 - 2x = -1 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1

(çift katlı denklem kökü)
*

x^2 - 2x = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0 \implies x = 3

ve

x = -1

*

x^2 - 2x = 8 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4

ve

x = -2

İşaret tablosu oluşturmak için türevin tüm köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirlemeliyiz.

3

K��klerin toplam katlılık derecelerini belirleme

*

x = -2

ve

x = 4

noktaları tek katlı köklerdir (toplam katları 1).
*

x = -1

ve

x = 3

noktaları çift katlı köklerdir. Çünkü

t = 3

,

f'(t)

fonksiyonunun çift katlı kökü olduğundan, buradan gelen

x = 3

ve

x = -1

kökleri

g'(x)

için de çift katlı olur.
*

x = 1

noktası için:

2(x-1)

çarpanından tek katlı kök (üs 1) gelirken,

f'(x^2 - 2x)

kısmından

(x-1)^2

çarpanından dolayı çift katlı kök (üs 2) gelmektedir. Toplamda

x = 1

kökünün derecesi

1 + 2 = 3

(tek katlı) olur.

Hangi noktalarda türevin işaret değiştireceğini belirlemek için köklerin tek veya çift katlı olduğunu netleştirmeliyiz.

4

Türevin işaret tablosunu oluşturma

Kökler küçükten büyüğe:

-2, -1, 1, 3, 4

En sağdaki bölgeyi (

x > 4

için) inceleyelim:

x > 4 \implies x-1 > 0

ve

t = x^2 - 2x > 8

olur. Soruda

t > 8

için

f'(t) < 0

verildiğinden

f'(x^2-2x) < 0

olur. Dolayısıyla

g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) < 0

(negatif) olur.

İşaret tablosu sağdan sola:
*

(4, \infty)

aralığında:

-

*

x = 4

tek katlı kökünden geçerken işaret değişir:

+

*

(3, 4)

aralığında:

+

*

x = 3

çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez:

+

*

(1, 3)

aralığında:

+

*

x = 1

tek katlı (3. derece) kökünden geçerken işaret değişir:

-

*

(-1, 1)

aralığında:

-

*

x = -1

çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez:

-

*

(-2, -1)

aralığında:

-

*

x = -2

tek katlı kökünden geçerken işaret değişir:

+

Türevin işaret tablosunu oluşturarak fonksiyonun artan (

g'(x) \geq 0

) ve azalan (

g'(x) \leq 0

) olduğu aralıkları tam olarak belirleriz.

5

Artan aralıkların birleşimini yazma

Türevin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar:

(-\infty, -2]

ve

[1, 4]

(Burada

x = 3

noktasında türev sıfırdır ancak işaret değiştirmediği için aralık bölünmez ve

[1, 4]

olarak birleştirilir).

En geniş artanlık aralığı:

(-\infty, -2] \cup [1, 4]

Sürekli bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklarda fonksiyon artandır. Uç noktalar kapalı aralık olarak dahil edilir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması, işaret tablosunda tek ve çift katlı köklerin analizi.

Question 1854Question →

Tanım kümesi $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ve değer kümesi $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ olan $f: A \rightarrow B$ fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre,

f(1) < f(2) < f(3)

ve

f(3) > f(4) > f(5)

koşullarını aynı anda sağlayan kaç farklı

f

fonksiyonu tanımlanabilir?

70

126

371

811

21

Show answer & explanation

Answer: 371

Answer

Koşulları sağlayan toplam 371 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Koşulları sağlayan fonksiyon sayısını bulmak için tepe noktası olan

f(3)

değeri

k

olarak belirlenir.

f(3)

değerinin solundaki iki eleman (

f(1), f(2)

) ve sağındaki iki eleman (

f(4), f(5)

) için

k

'den küçük olan elemanlar arasından bağımsız olarak ikişer eleman seçilir. Her bir

k \in \{3, 4, 5, 6, 7\}

değeri için hesaplanan durumların kareleri toplanarak 371 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

f(3)

değerinin alabileceği değer aralığını belirleme.

f(3) = k

olmak üzere

k \in \{3, 4, 5, 6, 7\}

olmalıdır.

f(1) < f(2) < f(3)

ve

f(3) > f(4) > f(5)

koşullarının sağlanabilmesi için

f(3)

elemanından küçük en az ikişer farklı değer seçilebilmelidir. Değer kümesi

B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

olduğundan,

f(3)

en az 3, en fazla 7 olabilir.

2

Sabit bir

f(3) = k

değeri için

f(1), f(2)

ve

f(4), f(5)

değerlerinin seçim sayısını formüle etme.

Her bir

f(3) = k

durumu için toplam seçim sayısı

\binom{k-1}{2} \times \binom{k-1}{2} = \left(\binom{k-1}{2}\right)^2

şeklindedir.

f(1) < f(2) < k

koşulu için

\{1, 2, \dots, k-1\}

kümesinden 2 farklı eleman kombinasyonla seçilir. Benzer şekilde,

k > f(4) > f(5)

koşulu için de

\{1, 2, \dots, k-1\}

kümesinden 2 farklı eleman seçilir. Bu iki seçim birbirinden bağımsız olduğu için çarpım kuralı uygulanır.

3

Her bir

k

değeri için olası durumları hesaplayıp toplama.

1 + 9 + 36 + 100 + 225 = 371

farklı fonksiyon tanımlanabilir.

k=3

için

\binom{2}{2}^2 = 1

,

k=4

için

\binom{3}{2}^2 = 9

,

k=5

için

\binom{4}{2}^2 = 36

,

k=6

için

\binom{5}{2}^2 = 100

,

k=7

için

\binom{6}{2}^2 = 225

değerleri bulunur ve bu durumlar ayrık olduğundan toplanır.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Sayma İlkeleri

Question 1855Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. $f'$ fonksiyonu ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her $x \in (-\infty, -3) \cup (8, \infty)$ için $f'(x) > 0$ 'dır.
* Her $x \in (-3, 8) \setminus \{0\}$ için $f'(x) < 0$ 'dır.
* $f'(-3) = f'(0) = f'(8) = 0$ 'dır.

$g(x) = f(x^2 - 2x)$ olmak üzere,

I. $g$ fonksiyonu $[1, 4]$ aralığında azalandır.
II. $g(0) > g(-1)$ 'dir.
III. $g(2) > g(1)$ 'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

Doğru yanıt olan ifadeler I ve II'dir. Türev tablosu yapıldığında

g'(x)

'in

[-2, 1]

aralığında pozitif veya sıfır olduğu ve sadece izole noktalarda sıfırlandığı görülür. Bu yüzden

g(x)

bu aralıkta kesin artandır, dolayısıyla

g(0) > g(-1)

eşitsizliği sağlanır. Benzer şekilde,

g'(x)

'in

[1, 4]

aralığında negatif veya sıfır olması fonksiyonun bu aralıkta azalan olduğunu gösterir. Bu durumda birinci öncül doğru olurken, azalanlık tanımı gereği

g(2) < g(1)

olması gerektiğinden üçüncü öncül yanlış olur.

Step-by-Step Solution

1

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) yardımıyla

g(x)

fonksiyonunun türevi bulunur.

g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2-2x)

g(x) = f(h(x))

ise

g'(x) = h'(x) \cdot f'(h(x))

kuralını uygulamak gerekir.

2

g'(x) = 0

denkleminin kökleri belirlenir.

2x-2 = 0 \implies x=1

(tek katlı kök) ve

f'(x^2-2x) = 0 \implies x^2-2x \in \{-3, 0, 8\}

. Bunlardan;
*

x^2-2x = -3 \implies x^2-2x+3=0

denkleminin diskriminantı

\Delta < 0

olduğundan gerçel kökü yoktur. Her

x

için

x^2-2x > -3

sağlanır.
*

x^2-2x = 0 \implies x(x-2)=0 \implies x=0

ve

x=2

kökleri bulunur. Grafikte

f'(u)

fonksiyonu

u=0

'da işaret değiştirmediği (x-eksenine teğet olduğu) için bu kökler

g'(x)

için işaret değiştirmeyen (çift katlı) köklerdir.
*

x^2-2x = 8 \implies x^2-2x-8=0 \implies x=-2

ve

x=4

tek katlı kökleri bulunur.

İşaret tablosu yapmak için türevi sıfır yapan tüm kritik noktaların ve köklerin türünün (tek/çift katlı) bilinmesi gerekir.

3

g'(x)

için işaret tablosu oluşturulur.

*

x < -2

için

g'(x) < 0

(azalan)
*

-2 < x < 0

için

g'(x) > 0

(artan)
*

0 < x < 1

için

g'(x) > 0

(artan)
*

1 < x < 2

için

g'(x) < 0

(azalan)
*

2 < x < 4

için

g'(x) < 0

(azalan)
*

x > 4

için

g'(x) > 0

(artan)

g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x)

ifadesinin her bir çarpanının işaretleri çarpılarak toplam türevin işareti bulunur.

4

Monotonluk aralıkları birleştirilerek öncüller incelenir.

g

fonksiyonu sürekli olduğundan, artan olduğu aralıklar birleştirilerek

[-2, 1]

aralığında artan, azalan olduğu aralıklar birleştirilerek

[1, 4]

aralığında azalan olduğu görülür. Buradan;
* I. öncül:

[1, 4]

aralığında azalandır ifadesi doğrudur.
* II. öncül:

[-2, 1]

aralığında artan olduğundan ve

-1 < 0

olduğundan

g(-1) < g(0)

, yani

g(0) > g(-1)

ifadesi doğrudur.
* III. öncül:

[1, 4]

aralığında azalan olduğundan ve

1 < 2

olduğundan

g(1) > g(2)

, yani

g(2) > g(1)

ifadesi yanlıştır.

Öncüllerdeki eşitsizliklerin doğruluğu tanımlı oldukları monotonluk aralıklarındaki davranışlara göre test edilir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi ve türev yardımıyla artan/azalan aralıkların bulunması

Estimated Time:2m 30s

Question 1856Question →

Tanımlı olduğu aralıklarda türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2

g(x) = \frac{x+1}{x-2}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -75

Answer

-75

Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre,

[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

olur. Eşitliğin sağ tarafının türevi ise

6x - 5

olarak bulunur.

g(x) = 2

koşulunu sağlayan değer

x = 5

olduğundan, türev denkleminde

x = 5

yazıldığında

f'(2) \cdot g'(5) = 25

elde edilir. Bölümün türevi kuralıyla

g'(5) = -\frac{1}{3}

olarak hesaplanır. Buradan

f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

g(x) = 2

eşitliğini sağlayan

x

değerini bulmak.

x = 5

f'(2)

değerini elde etmek için bileşke fonksiyonun içindeki

g(x)

ifadesinin

2

olması gerekir.

\frac{x+1}{x-2} = 2 \implies x+1 = 2x-4 \implies x = 5

bulunur.

2

f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2

eşitliğinde her iki tarafın

x

değişkenine göre türevini almak.

f'(g(x)) \cdot g'(x) = 6x - 5

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafın türevi alınır.

3

g(x) = \frac{x+1}{x-2}

fonksiyonunun türevini alıp

x = 5

değerini yerine yazmak.

g'(5) = -\frac{1}{3}

Bölümün türevi kuralı uygulanır:

g'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}

. Buradan

g'(5) = \frac{-3}{(5-2)^2} = -\frac{1}{3}

elde edilir.

4

Türev denkleminde

x = 5

yazarak

f'(2)

değerini çekmek.

f'(2) = -75

f'(g(5)) \cdot g'(5) = 6(5) - 5 \implies f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75

olarak bulunur.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması unutulmamalıdır.

Estimated Time:2m 0s

Question 1857Question →

\arctan(2) + \arctan(3)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{4}

\frac{3\pi}{4}

\frac{5\pi}{4}

\frac{7\pi}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3\pi}{4}$

Answer

Üç pi bölü dört ifadesi doğru cevaptır.

Ters tanjant fonksiyonlarının tanımından dolayı elde edilen dar açılar sırasıyla pi bölü dörtten büyüktür. Bu iki açının toplamı ikinci bölgede bulunmalıdır. Tanjant toplam formülü kullanılarak toplamın tanjant değeri eksi bir olarak hesaplanır. İkinci bölgede tanjantı eksi bir olan tek açı üç pi bölü dört olduğundan doğru yanıt bu değerdir.

Step-by-Step Solution

1

Ters trigonometrik ifadeleri değişkenlere atayarak tanjant değerlerini bulalım.

x = \arctan(2) \Rightarrow \tan x = 2

y = \arctan(3) \Rightarrow \tan y = 3

elde edilir. Bizden istenen değer

x + y

toplamıdır.

Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlem yapabilmek için bilinen trigonometrik oranlara dönüştürmek gerekir.

2

Açıların hangi bölgede yer aldığını belirleyerek toplam açının sınırlarını bulalım.

2 > 1 \Rightarrow \arctan(2) > \frac{\pi}{4}

3 > 1 \Rightarrow \arctan(3) > \frac{\pi}{4}

olduğundan,

x + y > \frac{\pi}{2}

olur. Ayrıca

x < \frac{\pi}{2}

ve

y < \frac{\pi}{2}

olduğundan,

x + y < \pi

elde edilir. Yani

x + y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

aralığındadır (2. bölge).

Ters fonksiyonların görüntü kümeleri sınırlı olduğundan, toplam açının hangi bölgeye düştüğünü bilmek doğru açıyı seçmek için kritiktir.

3

Tanjant toplam formülünü uygulayarak toplamın tanjant değerini hesaplayalım.

\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}

\tan(x + y) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1

bulunur.

Toplam açının tanjant değerini elde etmek için toplam formülünden yararlanırız.

4

Bulunan tanjant değerine ve bölgeye uygun olan açıyı tespit edelim.

Tanjantı

-1

olan ve ikinci bölgede

\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

yer alan açı

x + y = \frac{3\pi}{4}

radyandır.

Tanjant değeri ve açı bölgesi birleştirilerek tekil çözüme ulaşılır.

Key Concept

Toplam ve Fark Formülleri

Estimated Time:2m 0s

Question 1858Question →

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4|}{x - 2} + a \cdot \sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) & , \quad x < 2 \\ x^2 - bx + 3 & , \quad 2 \le x \le 4 \\ \frac{2x - 8}{|x - 4|} + c & , \quad x > 4 \end{cases}

$f(x)$ fonksiyonunun her $x$ gerçel sayısı için limiti olduğuna göre,

\lim_{x \to 3} \frac{(2a-c)x^2 - 9(2a-c)}{x-3}

limitinin değeri kaçtır?

-66

-18

6

15

30

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Limit değeri 30'dur.

Doğru seçenekte verilen

30

değeri,

f(x)

fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda limitinin olması koşulundan elde edilen

a+2b=11

ve

4b+c=17

denklemlerinin ortak çözümünden

2a-c=5

bulunması ve bu değerin sorulan limit ifadesinde yerine yazılarak belirsizliğin giderilmesi ile elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1

x=2

kritik noktasındaki limit varlığı incelenir.

a + 2b = 11

x \to 2^-

için

x < 2

olduğundan

|x^2-4| = -(x^2-4)

olur. Buradan sol limit:

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left( -(x+2) + a\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right) \right) = -4 + a

olur. Sağ limit:

\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 - 2b + 3 = 7 - 2b

olur. Limit varlığı için

-4 + a = 7 - 2b \implies a + 2b = 11

elde edilir.

2

x=4

kritik noktasındaki limit varlığı incelenir.

4b + c = 17

Sol limit:

\lim_{x \to 4^-} f(x) = 4^2 - 4b + 3 = 19 - 4b

olur.

x \to 4^+

için

x > 4

olduğundan

|x-4| = x-4

olur. Buradan sağ limit:

\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} \left( \frac{2(x-4)}{x-4} + c \right) = 2 + c

olur. Limit varlığı için

19 - 4b = 2 + c \implies 4b + c = 17

elde edilir.

3

Elde edilen denklemlerden

2a - c

ifadesinin değeri hesaplanır.

2a - c = 5

a + 2b = 11

denklemi 2 ile çarpılarak

2a + 4b = 22

elde edilir. Bu denklemden

4b + c = 17

denklemi taraf tarafa çıkarıldığında

(2a + 4b) - (4b + c) = 22 - 17 \implies 2a - c = 5

bulunur.

4

Bulunan

2a - c

değeri sorulan limit ifadesinde yerine yazılır ve belirsizlik giderilir.

30

2a-c = 5

değeri yerine yazıldığında limit ifadesi

\lim_{x \to 3} \frac{5(x^2 - 9)}{x-3}

şekline dönüşür. Burada

0/0

belirsizliği vardır. Pay çarpanlarına ayrılarak belirsizlik giderilir:

\lim_{x \to 3} \frac{5(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} 5(x+3) = 5(3+3) = 30

bulunur.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların kritik noktalardaki limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşitliği kontrol edilmeli, limit noktası mutlak değerin içini sıfır yapıyorsa mutlaka işaret analizi yapılarak mutlak değer dışına çıkarma işlemi gerçekleştirilmelidir.

Question 1859Question →

f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık $[1, 5]$ olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Doğru cevap 24'tür.

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktaları, türev fonksiyonunun işaret değiştirdiği sıfır noktalarıdır. Dolayısıyla

x = 1

ve

x = 5

değerleri

f'(x) = 3x^2 - 2ax + b = 0

denkleminin kökleridir. Vieta formülleri kullanılarak kökler toplamı

1+5 = 2a/3 \implies a = 9

ve kökler çarpımı

1 \cdot 5 = b/3 \implies b = 15

bulunur. Buradan

a+b = 24

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 3x^2 - 2ax + b

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevinin işaretini incelemek gerekir.

2

Azalanlık aralığının sınırları ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurun.

f'(x) = 0

denkleminin kökleri

x_1 = 1

ve

x_2 = 5

olmalıdır.

Sürekli bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık

[1, 5]

ise, bu aralığın uç noktalarında türev sıfıra eşittir ve bu aralıkta türev negatif değerler alır.

3

Kökler toplamı ve çarpımı bağıntılarını kullanarak

a

ve

b

değerlerini bulun ve toplayın.

a = 9

,

b = 15

ve buradan

a + b = 24

elde edilir.

Kökler toplamı formülünden

1 + 5 = \frac{2a}{3} \implies a = 9

ve kökler çarpımı formülünden

1 \cdot 5 = \frac{b}{3} \implies b = 15

bulunur.

Key Concept

Polinom fonksiyonlarının azalan olduğu en geniş aralığın sınır noktalarında birinci türevinin sıfıra eşit olması.

Alternative Method

Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini kullanmak yerine,

f'(1) = 0

ve

f'(5) = 0

eşitlikleri doğrudan yazılabilir. Buradan

3 - 2a + b = 0

ve

75 - 10a + b = 0

denklemleri elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa çıkararak

72 - 8a = 0 \implies a = 9

bulunur. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında da

b = 15

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 1860Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları

f(3x - 1) = g(x^2 + 1) + x^2 - x

eşitliğini sağlamaktadır.

$g'(2) = 4$ olduğuna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İstenen türev değeri 3 olarak bulunur.

Verilen eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı gereğince

3 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1

elde edilir.

f'(2)

değerine ulaşmak için

x = 1

yazıldığında

3 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1

bağıntısı oluşur.

g'(2) = 4

değeri yerine yazıldığında

3 \cdot f'(2) = 9

ve buradan

f'(2) = 3

sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin her iki tarafının

x

değişkenine göre türevi alınır.

3 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1

Bileşke fonksiyon türev kuralları ve zincir kuralı gereği, içteki fonksiyonların türevleri çarpım olarak dışarıya yazılır.

2

f'(2)

değerini elde etmek için

x

yerine yazılması gereken değer bulunur.

3x - 1 = 2 \implies x = 1

Türev ifadesinde

f'

fonksiyonunun içinin 2 olması istenir.

3

Türev eşitliğinde

x = 1

yazılarak işlem tamamlanır.

3 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 \implies 3 \cdot f'(2) = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \implies f'(2) = 3

g'(2) = 4

değeri yerine yazılarak bilinmeyen

f'(2)

değeri çekilir.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır:

(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)

.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer