Examkin

Sayma ve Olasılık

160 questions

All types160Multiple choice92Numeric64Matching4
Question 101Question →

Bir satranç turnuvasında AA, BB ve CC oyuncuları mücadele etmektedir. Turnuva kuralları şu şekildedir:
- Her turda yalnızca iki oyuncu karşılaşır. Mağlup olan oyuncu elenmez ancak bir sonraki turda dinlenir (yani o tur oynamayan oyuncu ile bir önceki turun galibi karşılaşır).
- Turnuvadaki hiçbir maçta beraberlik yaşanmamaktadır.
- 1. turda AA ile BB karşılaşmıştır.
- Turnuva süresince oyuncuların birbirlerini yenme olasılıkları sabittir. AA'nın BB'yi yenme olasılığı 23\frac{2}{3}, AA'nın CC'yi yenme olasılığı 12\frac{1}{2} ve BB'nin CC'yi yenme olasılığı ise 35\frac{3}{5}'tir.

Buna göre, 3. turdaki maçı AA oyuncusunun kazandığı bilindiğine göre, 2. turdaki maçı BB oyuncusunun kazanmış olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 619\frac{6}{19}

Answer

İstenen koşullu olasılık değeri 619\frac{6}{19}'dur.
3. turdaki maçı A oyuncusunun kazandığı bilindiğine göre örnek uzayımız A'nın 3. turda kazandığı üç farklı durumun olasılıkları toplamı olan 1945\frac{19}{45} değerine indirgenir. Bu durumlardan yalnızca 1. turu B'nin kazanıp, 2. turda B'nin C'yi yenmesi ve ardından 3. turda A'nın B'yi yenmesi durumunda 2. turu B kazanmış olur. Bu özel yolun olasılığı 215\frac{2}{15} olduğuna göre, koşullu olasılık değeri 2/1519/45=619\frac{2/15}{19/45} = \frac{6}{19} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Turların eşleşmelerini ve olası sonuç dallarını belirleme
1. Tur: A - B maçı yapılır. İki olasılık vardır:
- A kazanır (Olasılık: 23\frac{2}{3}): Bu durumda 2. Tur C - A olur (B dinlenir).
- B kazanır (Olasılık: 13\frac{1}{3}): Bu durumda 2. Tur C - B olur (A dinlenir).
Olay akışını sistematik olarak takip edebilmek için ağaç diyagramı başlangıcı oluşturulur.
2
2. ve 3. tur sonuçlarına göre A'nın 3. turu kazandığı yolları analiz etme
Yol 1: A (1. turu kazanır) -> A (2. turda C'yi yener) -> A (3. turda B'yi yener)
Olasılık: 23×12×23=29\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}

Yol 2: B (1. turu kazanır) -> B (2. turda C'yi yener) -> A (3. turda B'yi yener)
Olasılık: 13×35×23=215\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{15}

Yol 3: B (1. turu kazanır) -> C (2. turda B'yi yener) -> A (3. turda C'yi yener)
Olasılık: 13×25×12=115\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{15}

Not: 1. turu A kazanıp 2. turu C kazansaydı, 3. tur B ile C arasında oynanacaktı ve A'nın 3. turu kazanma olasılığı 0 olacaktı.
Koşullu olasılıkta payda kısmını oluşturan 'A'nın 3. turu kazanması' koşuluna uygun tüm durumları belirlemek gerekir.
3
Koşulun gerçekleşme olasılığını (A'nın 3. turu kazanma olasılığı) hesaplama
P(A3)=29+215+115=29+315=29+15=10+945=1945P(A_3) = \frac{2}{9} + \frac{2}{15} + \frac{1}{15} = \frac{2}{9} + \frac{3}{15} = \frac{2}{9} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 9}{45} = \frac{19}{45}
Koşulun toplam olasılığını bularak örnek uzayı bu değere daraltacağız.
4
2. turu B'nin kazandığı ve A'nın 3. turu kazandığı ortak durumu bulup koşullu olasılığı hesaplama
2. turu B'nin kazandığı ve 3. turu A'nın kazandığı tek yol Yol 2'dir. Bu yolun olasılığı 215\frac{2}{15}'tir.
Koşullu Olasılık = P(Yol 2)P(A3)=2151945=215×4519=619\frac{P(\text{Yol 2})}{P(A_3)} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{19}{45}} = \frac{2}{15} \times \frac{45}{19} = \frac{6}{19}
Koşullu olasılık tanımı gereği P(X∣Y)=P(X∩Y)P(Y)P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)} formülü uygulanır.

Key Concept

Koşullu olasılıkta, verilen bir koşulun gerçekleştiği bilindiğinde, ��rnek uzay sadece bu koşulu sağlayan çıktılara daraltılır.
Estimated Time:3m 0s
Question 102Question →

Bir bisiklet firması, müşterilerine kendi bisikletlerini tasarlayabilmeleri için internet sitesinde bir modül sunmaktadır. Bu modülde bir bisiklet tasarımı oluşturmak isteyen bir müşteri sırasıyla;
- 33 farklı kadro tipi (K1,K2,K3K_1, K_2, K_3),
- 44 farklı gidon tipi (G1,G2,G3,G4G_1, G_2, G_3, G_4),
- 33 farklı sele tipi (S1,S2,S3S_1, S_2, S_3)
arasından seçim yapacaktır. Ancak üretimdeki teknik kısıtlamalardan dolayı;
- K1K_1 kadro tipi seçildiğinde G3G_3 gidon tipi,
- S1S_1 sele tipi seçildiğinde G4G_4 gidon tipi
kullanılamamaktadır.

Buna göre, bir müşteri bu kısıtlamalara uygun olarak kaç farklı bisiklet tasarımı yapabilir?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Teknik kısıtlamalara uygun olarak yapılabilecek toplam bisiklet tasarımı sayısı 30'dur.
Kısıtlamasız tüm durumların sayısı olan 36'dan, kısıtlamaları ihlal eden ve kesişimleri boş olan iki ayrık durum grubunun (3 ve 3 olmak üzere toplam 6 durum) çıkarılmasıyla doğru cevap 30 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kısıtlama olmadan yapılabilecek tüm tasarımların sayısını hesaplama
3×4×3=363 \times 4 \times 3 = 36
Çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca, ardışık yapılan bağımsız seçimlerin seçenek sayıları çarpılır.
2
K1K_1 kadro ve G3G_3 gidon kombinasyonunun kullanıldığı geçersiz durumları bulma
1×1×3=31 \times 1 \times 3 = 3
Kadro K1K_1 ve gidon G3G_3 olarak seçildiğinde, sele için 3 farklı seçenek (S1,S2,S3S_1, S_2, S_3) kullanılabilir.
3
S1S_1 sele ve G4G_4 gidon kombinasyonunun kullanıldığı geçersiz durumları bulma
3×1×1=33 \times 1 \times 1 = 3
Sele S1S_1 ve gidon G4G_4 olarak seçildiğinde, kadro için 3 farklı seçenek (K1,K2,K3K_1, K_2, K_3) kullanılabilir.
4
Geçersiz durumların ortak elemanı (kesişimi) olup olmadığını kontrol etme ve toplam geçersiz durumları bulma
3+3=63 + 3 = 6
Bir bisiklet tasarımında yalnızca bir gidon seçilebildiği için, bir tasarımda aynı anda hem G3G_3 hem de G4G_4 bulunamaz. Bu nedenle iki geçersiz durum kümesi ayrıktır ve eleman sayıları toplanır.
5
Geçerli tasarımların sayısını bulma
36−6=3036 - 6 = 30
Tüm olası durumlardan geçersiz durumların çıkarılması (tümleyen yöntemi) ile sonuca ulaşılır.

Key Concept

Çarpma ve Toplama Yoluyla Sayma İlkeleri ile Tüm Durumlardan İstenmeyen Durumların Çıkarılması
Question 103Question →

Bir torbada 11'den 66'ya kadar numaralandırılmış 66 kırmızı ve 11'den 66'ya kadar numaralandırılmış 66 mavi top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki top çekiliyor.

Çekilen topların renklerinin farklı veya üzerindeki sayıların toplamının 77 olma olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} kesri olarak yazıldığında a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Renklerin farklı veya üzerindeki sayıların toplamının 77 olma olasılığı en sade biçimde 711\frac{7}{11} olup, pay ile paydanın toplamı 1818'dir.
Toplam 1212 top arasından rastgele 22 top (122)=66\binom{12}{2} = 66 farklı şekilde çekilebilir. Çekilen topların farklı renkte olduğu 3636 durum, üzerindeki sayıların toplamının 77 olduğu 1212 durum vardır. Hem farklı renkte hem de toplamları 77 olan 66 ortak durum bulunduğundan, istenen koşulu sağlayan toplam durum sayısı 36+12−6=4236 + 12 - 6 = 42 olur. Olasılık değeri ise 4266=711\frac{42}{66} = \frac{7}{11} olarak elde edilir. En sade biçimdeki bu kesir için pay (77) ile paydanın (1111) toplamı 1818 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Torbada bulunan toplam top sayısını ve bu toplardan aynı anda çekilebilecek tüm iki top kombinasyonlarının sayısını hesaplama.
Toplam top sayısı 6+6=126 + 6 = 12'dir. Bu 12 toptan 2 tanesi (122)=12×112=66\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 farklı şekilde çekilebilir.
İstenen olayın olasılığını hesaplamak için örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını belirlemek gerekir.
2
Çekilen topların farklı renkte olma durumunun (A olayı) eleman sayısını bulma.
66 kırmızı toptan 11 tane ve 66 mavi toptan 11 tane seçilmelidir. Bu durumun eleman sayısı s(A)=(61)×(61)=6×6=36s(A) = \binom{6}{1} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36 olarak bulunur.
Farklı renklerdeki iki topun çekilme sayısın�� belirlemek için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.
3
Çekilen topların üzerindeki sayıların toplamının 77 olma durumunun (B olayı) eleman sayısını bulma.
Toplamları 77 olan sayı çiftleri {1,6}\{1, 6\}, {2,5}\{2, 5\} ve {3,4}\{3, 4\}'tür. Her bir çift için seçilebilecek top kombinasyonları şunlardır: İkisi de kırmızı (1 durum), ikisi de mavi (1 durum) ya da biri kırmızı diğeri mavi (2 durum). Dolayısıyla her çift için 44 durum vardır ve toplam durum sayısı s(B)=3×4=12s(B) = 3 \times 4 = 12 olur.
Üzerindeki sayıların toplamı 77 olan tüm top çifti kombinasyonlarını eksiksiz belirlemek gerekir.
4
Hem renkleri farklı hem de sayıların toplamı 77 olan ortak durumların (A∩BA \cap B olayı) eleman sayısını bulma.
Toplamları 77 olan 3 sayı çiftinin her biri için renklerin farklı olduğu 22 durum vardır (örneğin 1R,6B1_R, 6_B ve 1B,6R1_B, 6_R). Dolayısıyla ortak durumların sayısı s(A∩B)=3×2=6s(A \cap B) = 3 \times 2 = 6 olur.
Kesişim kümesinin eleman sayısını belirleyerek, hem renklerin farklı hem de toplamın 77 olduğu durumların iki kez sayılmasını önlemek gerekir.
5
Birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplama ve olasılık değerini en sade rasyonel biçimde ifade etme.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=36+12−6=42s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 36 + 12 - 6 = 42 bulunur. Olasılık değeri ise P(A∪B)=4266=711P(A \cup B) = \frac{42}{66} = \frac{7}{11} olur.
Renklerin farklı veya toplamın 77 olması olayının olasılığını bulmak için birleşim formülü uygulanır.
6
En sade haldeki pay ve paydanın toplamını bulma.
En sade haldeki kesir 711\frac{7}{11} olduğundan a=7a = 7 ve b=11b = 11 olur. Buradan a+b=7+11=18a + b = 7 + 11 = 18 elde edilir.
Soruda istenen a+ba + b değerine ulaşmak için pay ve paydayı toplamak gerekir.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı ve Kümelerde Birleşim Kuralı
Question 104Question →

Bir robot, analitik düzlemin (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına hareket edecektir. Bu robot her bir adımında;
- 11 birim sağa,
- 11 birim yukarı ya da
- 11 birim sağa ve 11 birim yukarı (çapraz)
gidebilmektedir.

Bu robotun hareketi boyunca tam olarak 22 kez çapraz adım attığı ve (2,3)(2,3) noktasından geçtiği bilinmektedir.

Buna göre, robot bu koşullara uygun olarak (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına kaç farklı yoldan gidebilir?

Show answer & explanation

Answer: 204

Answer

Robotun (2,3)(2,3) noktasından geçerek ve tam olarak 22 çapraz adım atarak (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına gidebileceği toplam yol sayısı 204204'tür.
Doğru cevap olan 204204 değeri, geçiş noktasından önce kullanılan çapraz adım sayısına (0,10, 1 veya 22) göre tüm durumların tekrarlı permütasyon formülüyle ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Koordinat değişimleri ile adım sayıları arasındaki ilişkileri belirlemek.
Robotun (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına giderken attığı sağa adım sayısı xx, yukarı adım sayısı yy ve çapraz adım sayısı zz olsun. Bu durumda x+z=5x + z = 5 ve y+z=5y + z = 5 olmalıdır. Toplam çapraz adım sayısı z=2z = 2 olarak verildiğinden, x=3x = 3 sağa adım ve y=3y = 3 yukarı adım atılmalıdır.
Hareketlerin koordinatlar üzerindeki etkilerini matematiksel denklemlerle ifade etmek için.
2
Robotun (0,0)(0,0) ile (2,3)(2,3) arasındaki hareketini analiz ederek durumları belirlemek.
(0,0)(0,0) noktasından (2,3)(2,3) noktasına giderken atılan sağa adım sayısı x1x_1, yukarı adım sayısı y1y_1 ve çapraz adım sayısı z1z_1 olsun. Buradan x1+z1=2x_1 + z_1 = 2 ve y1+z1=3y_1 + z_1 = 3 elde edilir. Adım sayıları negatif olamayacağından z1z_1 değeri 0,10, 1 veya 22 olabilir.
Geçiş noktasına ulaşana kadar atılabilecek çapraz adım senaryolarını gruplandırmak için.
3
Belirlenen z1z_1 durumlarına göre tekrarlı permütasyon hesaplamalarını yapmak.
Durum 1 (z1=0z_1 = 0): (0,0)→(2,3)(0,0) \rightarrow (2,3) için x1=2,y1=3x_1=2, y_1=3 (toplam 5 adım) ⇒5!2!3!=10\Rightarrow \frac{5!}{2!3!} = 10 yol. Bu durumda kalan yol (2,3)→(5,5)(2,3) \rightarrow (5,5) için z2=2z_2 = 2 çapraz adım olmalıdır. Buradan x2=1,y2=0x_2 = 1, y_2 = 0 (toplam 3 adım) ⇒3!1!2!=3\Rightarrow \frac{3!}{1!2!} = 3 yol. Bu durumdaki toplam yol sayısı: 10×3=3010 \times 3 = 30. Durum 2 (z1=1z_1 = 1): (0,0)→(2,3)(0,0) \rightarrow (2,3) için x1=1,y1=2,z1=1x_1=1, y_1=2, z_1=1 (toplam 4 adım) ⇒4!1!2!1!=12\Rightarrow \frac{4!}{1!2!1!} = 12 yol. Kalan yol (2,3)→(5,5)(2,3) \rightarrow (5,5) için z2=1z_2 = 1 çapraz adım olmalıdır. Buradan x2=2,y2=1,z2=1x_2 = 2, y_2 = 1, z_2=1 (toplam 4 adım) ⇒4!2!1!1!=12\Rightarrow \frac{4!}{2!1!1!} = 12 yol. Bu durumdaki toplam yol sayısı: 12×12=14412 \times 12 = 144. Durum 3 (z1=2z_1 = 2): (0,0)→(2,3)(0,0) \rightarrow (2,3) için x1=0,y1=1,z1=2x_1=0, y_1=1, z_1=2 (toplam 3 adım) ⇒3!1!2!=3\Rightarrow \frac{3!}{1!2!} = 3 yol. Kalan yol (2,3)→(5,5)(2,3) \rightarrow (5,5) için z2=0z_2 = 0 çapraz adım olmalıdır. Buradan x2=3,y2=2,z2=0x_2 = 3, y_2 = 2, z_2=0 (toplam 5 adım) ⇒5!3!2!=10\Rightarrow \frac{5!}{3!2!} = 10 yol. Bu durumdaki toplam yol sayısı: 3×10=303 \times 10 = 30.
Her bir çapraz adım dağılımı senaryosu için tekrarlı permütasyon kuralını uygulamak ve yolları çarparak birleştirmek için.
4
Tüm durumların sonuçlarını toplayarak toplam yol sayısını bulmak.
Toplam yol sayısı: 30+144+30=20430 + 144 + 30 = 204 olarak bulunur.
Ayrık durumların yol sayılarını toplama yoluyla sayma kuralına göre birleştirmek için.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon kullanarak kısıtlı ızgara (grid) yollarını hesaplama ve adım durumlarını ayrık durumlara bölerek inceleme.
Question 105Question →

Bir kütüphanedeki dijital emanet dolaplarının şifreleri aşağıdaki kurallara göre belirlenmektedir:

- Şifreler 44 haneli olup, ilk iki hanesi sesli harflerden, son iki hanesi ise rakamlardan oluşmaktadır.
- Şifrede kullanılan harfler birbirinden farklı olmalıdır.
- Şifrede kullanılan rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
- Harfler A={A,E,I,O}A = \{A, E, I, O\} kümesinden, rakamlar ise B={1,2,3,4,5}B = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinden seçilecektir.
- Şifrenin en az bir rakamı tek sayı olmalıdır.

Buna göre, bu kurallara uygun kaç farklı dolap şifresi oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 216

Answer

İstenen kurallara uygun olarak oluşturulabilecek farklı dolap şifresi sayısı 216'dır.
Şifrenin ilk iki hanesi için seçilecek harfler AA kümesinden ve birbirinden farklı olmalıdır. Bu durumda ilk hane için 4, ikinci hane için 3 farklı seçenek bulunur ve harfler için 4×3=124 \times 3 = 12 farklı dizilim elde edilir. Son iki hanedeki rakamlar ise BB kümesinden ve birbirinden farklı olmalıdır. Tüm farklı rakam çiftlerinin sayısı 5×4=205 \times 4 = 20 olup, her iki rakamın da çift olduğu durum sayısı {2,4}\{2, 4\} kümesinden seçilen farklı rakamlarla 2×1=22 \times 1 = 2 tanedir. Dolayısıyla en az bir rakamı tek olan farklı rakam çiftlerinin sayısı 20−2=1820 - 2 = 18 olur. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre toplam şifre sayısı 12×18=21612 \times 18 = 216 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Harf hanelerinin seçimi ve sıralanması hesaplanır.
4×3=124 \times 3 = 12 farklı harf çifti oluşturulabilir.
Harfler A={A,E,I,O}A = \{A, E, I, O\} kümesinden seçilecektir ve şifredeki harfler birbirinden farklı olmalıdır. İlk hane için 4, ikinci hane için 3 seçenek vardır.
2
Rakam haneleri için tüm olası farklı rakam çifti sayısı hesaplanır.
5×4=205 \times 4 = 20 farklı rakam çifti.
Rakamlar B={1,2,3,4,5}B = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinden seçilecektir ve rakamlar birbirinden farklı olmalıdır. İlk rakam hanesi için 5, ikinci rakam hanesi için 4 seçenek vardır.
3
En az bir tek rakam bulunması şartına uymayan durumlar (tüm rakamların çift olduğu durumlar) belirlenir.
Çift rakamlar {2,4}\{2, 4\} kümesinden seçilerek 2×1=22 \times 1 = 2 farklı rakam çifti oluşturulabilir.
İstenmeyen durum, şifrenin son iki hanesindeki rakamların her ikisinin de çift sayı olmasıdır. Bu durumda en az bir tek rakam koşulu sağlanmaz.
4
En az bir rakamı tek olan farklı rakam çifti sayısı bulunur.
20−2=1820 - 2 = 18 farklı durum.
Tüm farklı rakam çifti sayısından, her ikisinin de çift olduğu istenmeyen durumların sayısı çıkarılır.
5
Çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanarak toplam şifre sayısı hesaplanır.
12×18=21612 \times 18 = 216 farklı şifre.
Harf ve rakam seçimleri ardışık ve bağımsız işlemler olduğundan, her iki aşamanın durum sayıları çarpılır.

Key Concept

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Estimated Time:2m 0s
Question 106Question →

Aşağıdaki tabloda, bir maratona katılan 350 koşucunun yaş gruplarına ve maratonu tamamlama durumlarına göre dağılımı verilmiştir:

Yaş GrubuMaratonu TamamlayanlarMaratonu Yarıda Bırakanlar
Genç (18-35)12030
Yetişkin (36-50)9040
Kıdemli (51 ve üzeri)4030

Bu maratona katılan ko��ucular arasından rastgele seçilen birinin maratonu tamamladığı veya 18-35 yaş grubunda olduğu bilindiğine göre, bu kişinin 36-50 yaş grubunda olup maratonu tamamlayan bir koşucu olma olasıl��ğı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 928\frac{9}{28}

Answer

Seçilen kişinin 36-50 yaş grubunda olup maratonu tamamlayan bir koşucu olma olasılığı 928\frac{9}{28}'dir.
Koşullu olasılık tanımına göre örnek uzay, 'maratonu tamamlayanlar veya 18-35 yaş grubunda olanlar' kümesi olarak daraltılır. Bu birleşim kümesinde 280 kişi bulunmaktadır. Bu daraltılmış örnek uzay içinde istenen durum olan '36-50 yaş grubunda olup maratonu tamamlayan' kişi sayısı 90'dır. Bu iki değerin oranı olan 928\frac{9}{28} doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Koşul kümesini tanımlama ve eleman sayısını belirleme.
Maratonu tamamlayanlar kümesi TT ve 18-35 yaş grubundakiler kümesi GG olsun. Bizden istenen koşul T∪GT \cup G kümesidir. Bu kümenin eleman sayısı tablodaki ilgili hücreler doğrudan toplanarak veya birleşim formülüyle bulunabilir: s(T)=120+90+40=250s(T) = 120 + 90 + 40 = 250, s(G)=120+30=150s(G) = 120 + 30 = 150, s(T∩G)=120s(T \cap G) = 120'dir. Buradan s(T∪G)=s(T)+s(G)−s(T∩G)=250+150−120=280s(T \cup G) = s(T) + s(G) - s(T \cap G) = 250 + 150 - 120 = 280 bulunur. (Alternatif olarak tablodan: 120+30+90+40=280120 + 30 + 90 + 40 = 280)
Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşul kümesiyle sınırlanır.
2
İstenen durumun eleman sayısını belirleme.
İstenen olay, seçilen kişinin hem 36-50 yaş grubunda (Yetişkin) olması hem de maratonu tamamlamış olmasıdır. Tablodan bu kesişime karşılık gelen kişi sayısı 9090 olarak belirlenir.
İstenen durumun daraltılmış örnek uzay içindeki eleman sayısını bulmak için.
3
Koşullu olasılığı hesaplama.
Olasılık değeri, istenen durumun eleman sayısının koşullu örnek uzayın eleman sayısına oranıdır: P=90280=928P = \frac{90}{280} = \frac{9}{28} bulunur.
Koşullu olasılık tanımını uygulamak ve kesri en sade haline getirmek için.

Key Concept

Koşullu Olasılık
Estimated Time:2m 0s
Question 107Question →

Düzgün bir altıgenin köşeleri olan 6 noktadan rastgele 3 tanesi seçilerek köşeleri bu noktalar olan bir üçgen oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu üçgenin bir dik üçgen olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 35\dfrac{3}{5}

Answer

Oluşturulan üçgenin dik üçgen olma olasılığı 3/5'tir.
Düzgün altıgenin köşelerinden seçilen 3 nokta ile oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı (63)=20\binom{6}{3} = 20'dir. Bir dik üçgen oluşturabilmek için seçilen noktalardan ikisinin altıgenin merkezinden geçen bir ana köşegen (çap) olması gerekir. Altıgende 3 adet ana köşegen bulunur ve her ana köşegen için geriye kalan 4 köşeden biri seçilerek dik açılı köşe oluşturulur. Bu şekilde 3×4=123 \times 4 = 12 farklı dik üçgen elde edilir. İstenen olasılık ise 1220=35\frac{12}{20} = \frac{3}{5} olur.

Step-by-Step Solution

1
Tüm olası üçgenlerin sayısını (örnek uzayın eleman sayısını) hesaplamak.
(63)=20\dbinom{6}{3} = 20
Düzgün altıgenin 6 köşesinden herhangi 3 tanesi seçilerek bir üçgen oluşturulmaktadır. Köşelerden herhangi üçü doğrusal olmadığından her seçim bir üçgen belirtir.
2
İstenen durum olan dik üçgenlerin sayısını belirlemek.
12
Düzgün altıgenin köşelerinden seçilen üç noktanın bir dik üçgen oluşturması için, bu noktalardan ikisinin altıgenin çevrel çemberinin çapı (yani altıgenin ana köşegeni) olması gerekir. Altıgende 3 adet ana köşegen vardır. Her bir köşegen için kalan 4 köşeden herhangi biri seçildiğinde bir dik üçgen oluşur. Dolayısıyla 3×4=123 \times 4 = 12 tane dik üçgen vardır.
3
İstenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlayarak olasılığı bulmak.
1220=35\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}
Basit bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının örnek uzayın eleman sayısına oranıdır.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı

Alternative Method

İlk nokta rastgele seçildikten sonra, ikinci noktanın bu noktanın karşısındaki köşe (ana köşegen) olma olasılığı 15\frac{1}{5}'tir. Bu durumda, üçüncü nokta ne seçilirse seçilsin (kalan 4 noktadan biri) dik üçgen oluşur. Buradan gelen olasılık 15×1=15\frac{1}{5} \times 1 = \frac{1}{5} olur. İkinci noktanın karşısındaki köşe olmama olasılığı 45\frac{4}{5}'tir. Bu durumda dik üçgen oluşması için üçüncü noktanın, ilk iki noktadan birinin karşısındaki köşe olması gerekir. Kalan 4 noktadan bu şartı sağlayan 2 nokta olduğundan olasılık 24=12\frac{2}{4} = \frac{1}{2} olur. Buradan gelen olasılık 45×12=25\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} olur. Toplam olasılık: 15+25=35\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Question 108Question →

Bir AA kentinden BB kentine 3 farklı yol, BB kentinden CC kentine 4 farklı yol bulunmaktadır. Ayrıca AA kentinden CC kentine, BB kentine uğramadan gidilebilen 2 farklı direkt yol vardır.

Buna göre, AA kentinden CC kentine gidip tekrar AA kentine dönecek olan bir kişi, giderken kullandığı yol parçalarından hiçbirini dönüşte kullanmamak şartıyla kaç farklı rotadan gidip dönebilir?

Show answer & explanation

Answer: 122

Answer

Gidiş ve dönüş rotalarında kullanılan yol parçalarının tekrarlanmaması şartıyla toplam 122 farklı rota bulunur.
AA'dan CC'ye gidiş yolları BB üzerinden (1212 yol) ve direkt (22 yol) olmak üzere ikiye ayrılır. BB üzerinden gidildiğinde kullanılan yol parçaları dönüşte kullanılamayacağından dönüş için 88 yol kalır ve bu durumdan 9696 rota elde edilir. Direkt gidildiğinde ise kullanılan direkt yol dönüşte kullanılamayacağından dönüş için 1313 yol kalır ve buradan 2626 rota elde edilir. Toplamda 122122 farklı rota bulunur.

Step-by-Step Solution

1
AA kentinden CC kentine gidiş yollarını ve bu yolların sayılarını belirleme.
Gidiş için iki ana durum vardır:
1) BB üzerinden gitmek: 3×4=123 \times 4 = 12 yol.
2) Direkt gitmek: 22 yol.
Toplam gidiş yolu 12+2=1412 + 2 = 14'tür.
Gidişte hangi yol tipinin seçildiği dönüşteki seçenek sayısını etkileyeceğinden durumları ayrı ayrı incelemeliyiz.
2
BB üzerinden gidilmesi durumunda dönüş rotalarını hesaplama.
Gidişte BB üzerinden bir güzergah seçilirse (1212 seçenek):
- Dönüşte yine BB üzerinden dönülürse: Kalan yollarla (4−1)×(3−1)=6(4 - 1) \times (3 - 1) = 6 yol.
- Dönüşte direkt yollar kullanılırsa: 22 yol.
Bu durumda toplam dönüş yolu 6+2=86 + 2 = 8 olur.
Bu seçeneğin toplam gidiş-dönüş rota sayısı: 12×8=9612 \times 8 = 96 bulunur.
Giderken kullanılan iki yol parçasının dönüşte kullanılamayacağı kısıtını uygulamak.
3
Direkt yoldan gidilmesi durumunda dönüş rotalarını hesaplama.
Gidişte direkt yol seçilirse (22 seçenek):
- Dönüşte BB üzerinden dönülürse: 4×3=124 \times 3 = 12 yol.
- Dönüşte yine direkt yoldan dönülürse: Kalan 2−1=12 - 1 = 1 yol.
Bu durumda toplam dönüş yolu 12+1=1312 + 1 = 13 olur.
Bu seçeneğin toplam gidiş-dönüş rota sayısı: 2×13=262 \times 13 = 26 bulunur.
Direkt gidildiğinde sadece kullanılan o direkt yolun dönüşte kullanılamayacağı kısıtını uygulamak.
4
Ayrık durumların sonuçlarını toplama.
Toplam rota sayısı: 96+26=12296 + 26 = 122 olarak bulunur.
Toplama yoluyla sayma prensibi gereği farklı gidiş senaryolarından elde edilen sonuçlar toplanır.

Key Concept

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Alternative Method

Matematiksel olarak tüm durumları formüle döküp ağaç şeması çizerek de her bir gidiş senaryosuna karşılık gelen dönüş dallarını tek tek sayarak aynı sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 109Question →

Bir yazılım şirketi, geliştireceği yeni bir mobil uygulama için veritabanı, sunucu mimarisi ve güvenlik katmanı bileşenlerini seçecektir. Şirketin kullanabileceği bileşen sayıları aşağıda verilmiştir:

* 33 farklı veritabanı seçeneği (V1,V2,V3V_1, V_2, V_3)
* 44 farklı sunucu mimarisi seçeneği (S1,S2,S3,S4S_1, S_2, S_3, S_4)
* 33 farklı güvenlik katmanı seçeneği (G1,G2,G3G_1, G_2, G_3)

Aşağıdaki sol sütunda verilen uygulama bileşeni seçim senaryolarını, sağ sütunda verilen bu senaryolara uygun matematiksel sayma ifadeleriyle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Items

Uygulama için bir veritabanı, bir sunucu mimarisi ve bir güvenlik katmanı seçilecektir. Ancak V1V_1 veritabanı seçildiğinde güvenlik katmanı olarak G1G_1 kullanılamamaktadır.
Uygulama için ya (bir veritabanı ve bir sunucu mimarisi) ya da (yalnızca bir güvenlik katmanı) seçilecektir.
Uygulama için bir veritabanı, bir sunucu mimarisi ve bir güvenlik katmanı seçilecektir. Ancak sunucu mimarisi olarak S1S_1 veya S2S_2 seçilirse, güvenlik katmanı olarak yalnızca G3G_3 seçilmek zorundadır.

Matches

Show answer & explanation

Answer

Birinci senaryo 3×4×3−1×4×13 \times 4 \times 3 - 1 \times 4 \times 1 ifadesiyle, ikinci senaryo 3×4+33 \times 4 + 3 ifadesiyle, üçüncü senaryo ise (3×2×1)+(3×2×3)(3 \times 2 \times 1) + (3 \times 2 \times 3) ifadesiyle eşleşir.
Verilen senaryoların her biri toplama ve çarpma yoluyla saymanın temel ilkelerine dayanmaktadır. Birinci senaryoda tüm durumlardan (3×4×33 \times 4 \times 3) kısıtlı durumlar (1×4×11 \times 4 \times 1) çıkarılarak doğru ifadeye ulaşılır. İkinci senaryoda iki ayrık olay 'ya da' bağlacıyla toplama kuralı gereği toplanır (3×4+33 \times 4 + 3). Üçüncü senaryoda ise sunucu seçimine göre iki ayrı durum incelenerek toplanır ((3×2×1)+(3×2×3)(3 \times 2 \times 1) + (3 \times 2 \times 3)).

Step-by-Step Solution

1
Birinci senaryo için tüm durumları ve kısıtlamaları belirlemek.
Herhangi bir kısıtlama olmaksızın yapılabilecek tüm seçimlerin sayısı 3×4×3=363 \times 4 \times 3 = 36'dır. V1V_1 ve G1G_1'in birlikte seçildiği istenmeyen durumların sayısı ise 1×4×1=41 \times 4 \times 1 = 4'tür. Buradan geçerli durum sayısı 3×4×3−1×4×13 \times 4 \times 3 - 1 \times 4 \times 1 olarak bulunur.
Koşullu sayma problemlerinde tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak pratik bir yöntemdir.
2
İkinci senaryo için toplama ve çarpma kurallarını uygulamak.
Bir veritabanı ve bir sunucu mimarisi seçimi 3×43 \times 4 yolla yapılır. Sadece bir güvenlik katmanı seçimi ise 33 yolla yapılır. 'Ya da' bağlacı ayrık iki kümenin birleşimini ifade ettiğinden bu iki değer toplanır: 3×4+33 \times 4 + 3.
Ayrık olayların gerçekleşme yollarının sayısını bulmak için toplama yoluyla sayma kuralı kullanılır.
3
Üçüncü senaryo için durumlara göre ayrı sayım yapmak.
Sunucunun S1S_1 veya S2S_2 olması durumunda seçim sayısı 3×2×13 \times 2 \times 1'dir. Sunucunun S3S_3 veya S4S_4 olması durumunda ise seçim sayısı 3×2×33 \times 2 \times 3'tür. Bu iki ayrık durumun toplamı (3×2×1)+(3×2×3)(3 \times 2 \times 1) + (3 \times 2 \times 3) olarak ifade edilir.
Koşula bağlı olarak değişen durumlarda, her bir durumu kendi içinde çarpma yoluyla sayıp ardından toplamak gerekir.

Key Concept

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Prensipleri
Estimated Time:2m 0s
Question 110Question →

Bir EE örnek uzayındaki AA ve BB olayları için

P(B∣A)=23P(B \mid A) = \frac{2}{3}
P(A′∣B′)=35P(A' \mid B') = \frac{3}{5}
P(A∪B)=78P(A \cup B) = \frac{7}{8}

olduğuna göre, P(A∣B′)P(A \mid B') olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.4

Answer

İstenen olasılık değeri 2/5 (veya 0,4) olarak bulunur.
Koşullu olasılık tanımına göre P(A∣B′)=P(A∩B′)P(B′)P(A \mid B') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')} yazılır. Gerekli adımlarla P(B′)=524P(B') = \frac{5}{24} ve P(A∩B′)=P(A)−P(A∩B)=112P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{12} değerleri elde edildikten sonra bu iki değerin oranı 1/125/24=25\frac{1/12}{5/24} = \frac{2}{5} veya 040{}4 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Koşullu olasılık tanımından faydalanarak B olayının tümleyeninin olasılığını bulmak.
P(B′)=524P(B') = \frac{5}{24} ve dolayısıyla P(B)=1924P(B) = \frac{19}{24}
P(A′∣B′)=P(A′∩B′)P(B′)=1−P(A∪B)1−P(B)P(A' \mid B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')} = \frac{1 - P(A \cup B)}{1 - P(B)} eşitliği kullanılarak P(B′)P(B') elde edilir.
2
Verilen koşullu olasılık ve birleşim formüllerini kullanarak A olayının olasılığını belirlemek.
P(A)=14P(A) = \frac{1}{4} ve P(A∩B)=16P(A \cap B) = \frac{1}{6}
P(B∣A)=P(A∩B)P(A)=23P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{3} bağıntısı kesişimi A cinsinden yazmamızı sağlar. Birleşim formülü P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) kullanılarak tek bilinmeyenli denklem çözülür.
3
Aranan koşullu olasılık olan P(A∣B′)P(A \mid B') değerini hesaplamak.
P(A∣B′)=25P(A \mid B') = \frac{2}{5} (veya 040{}4)
P(A∣B′)=P(A∩B′)P(B′)=P(A)−P(A∩B)P(B′)P(A \mid B') = \frac{P(A \cap B')}{P(B')} = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{P(B')} formülü ile sonuca ulaşılır.

Key Concept

Koşullu olasılık tanımı, birleşim formülü ve De Morgan kurallarının küme kuramsal olarak uygulanması.
Estimated Time:2m 30s
Question 111Question →

Dik koordinat düzleminde, köşeleri A(0,3)A(0, 3), B(0,0)B(0, 0), C(4,0)C(4, 0) ve D(4,3)D(4, 3) noktaları olan bir dikd��rtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin sınırları üzerinde veya iç bölgesinde bulunan ve her iki koordinatı da tam sayı olan tüm noktalardan rastgele biri seçiliyor.

Buna göre, seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 33 birim olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: \dfrac{11}{20}

Answer

Seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 3 birim olma olasılığı 11/20'dir.
Seçilen noktanın orijine olan uzaklığının en fazla 3 birim olma koşulu, x² + y² ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan 11 noktanın bulunması ve toplam nokta sayısının 20 olması nedeniyle 11/20 olasılık değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Örnek uzayı belirleme
Dikdörtgenin sınırları ve içindeki tam sayı koordinatlı noktaların kümesi S = {(x, y) | x ∈ {0,1,2,3,4} ve y ∈ {0,1,2,3}} şeklindedir. Toplam nokta sayısı s(S) = 5 × 4 = 20'dir.
Olasılık hesabında tüm olası durumların sayısını bulmak için örnek uzayın eleman sayısını belirlememiz gerekir.
2
Koşulu matematiksel olarak ifade etme
Bir (x, y) noktasının orijine (0,0) olan uzaklığı d = √(x² + y²) formülüyle hesaplanır. d ≤ 3 koşulu, x² + y² ≤ 9 eşitsizliğine denktir.
İstenen olaya ait noktaları tespit edebilmek için uzaklık sınırını bir eşitsizlik olarak yazarız.
3
Koşulu sağlayan noktaları belirleme
x değerlerine göre eşitsizliği sağlayan y tam sayılarını bulalım:
- x = 0 için: y² ≤ 9 ⇒ y ∈ {0, 1, 2, 3} (4 nokta)
- x = 1 için: 1 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 8 ⇒ y ∈ {0, 1, 2} (3 nokta)
- x = 2 için: 4 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 5 ⇒ y ∈ {0, 1, 2} (3 nokta)
- x = 3 için: 9 + y² ≤ 9 ⇒ y² ≤ 0 ⇒ y = 0 (1 nokta)
- x = 4 için: 16 + y² ≤ 9 sağlanamaz (0 nokta)
Toplamda istenen koşulu sağlayan 11 nokta vardır.
İstenen olayın eleman sayısını bulmak için tüm olası x değerleri için eşitsizliği sağlayan y değerlerini tek tek inceleriz.
4
Olasılığı hesaplama
Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Durumların Sayısı) = 11 / 20
Basit olayların olasılığı formülünü uygulayarak sonucu buluruz.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı ve Koordinat Düzleminde Nokta Sayma
Estimated Time:2m 0s
Question 112Question →

Bir torbada 33 kırmızı ve 44 beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen top kırmızı ise torbaya geri atılmayıp torbaya 11 beyaz top ekleniyor; eğer çekilen top beyaz ise torbaya geri atılıp torbaya 11 kırmızı top ekleniyor. Ardından torbadan rastgele ikinci bir top çekiliyor.

Buna göre, ikinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 710\frac{7}{10}

Answer

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı 710\frac{7}{10} olarak bulunur.
İkinci topun kırmızı geldiği bilindiği için bu durum yeni örnek uzayımız olur. İlk topun beyaz ve ikincinin kırmızı geldiği durumun olasılığı (ondört bölü kırk dokuz), ikinci topun kırmızı geldiği toplam olasılığa (yirmi bölü kırk dokuz) oranlandığında yedi bölü on sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk çekimde kırmızı top gelmesi durumunu ve sonrasındaki torba yapısını analiz etme
İlk çekilen topun kırmızı olma olasılığı P(K1)=37P(K_1) = \frac{3}{7}'dir. Kırmızı top geri atılmayıp yerine 11 beyaz top eklendiğinden torbada 22 kırmızı ve 55 beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı P(K2∣K1)=27P(K_2 | K_1) = \frac{2}{7} olur. İki olayın ortak olasılığı P(K1∩K2)=37×27=649P(K_1 \cap K_2) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{49}'dur.
Bağımlı olayların zincirleme olasılıklarını belirlemek için ilk aşamayı hesaplamamız gerekir.
2
İlk çekimde beyaz top gelmesi durumunu ve sonrasındaki torba yapısını analiz etme
İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı P(B1)=47P(B_1) = \frac{4}{7}'dir. Beyaz top geri atılıp torbaya 11 kırmızı top eklendiğinden torbada 44 kırmızı ve 44 beyaz top olur. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı P(K2∣B1)=48=12P(K_2 | B_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} olur. İki olayın ortak olasılığı P(B1∩K2)=47×12=1449P(B_1 \cap K_2) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{14}{49}'dur.
İkinci aşamada beyaz topun çekilmesi durumundaki bağımlı olasılık yollarını belirlemek için.
3
İkinci topun kırmızı gelme toplam olasılığını hesaplama
P(K2)=P(K1∩K2)+P(B1∩K2)=649+1449=2049P(K_2) = P(K_1 \cap K_2) + P(B_1 \cap K_2) = \frac{6}{49} + \frac{14}{49} = \frac{20}{49}'dur.
Koşullu olasılık formülünün paydasını (örnek uzayı daraltan koşulu) bulmak amacıyla toplam olasılık teoremini uygularız.
4
Koşullu olasılık formülünü uygulayarak nihai sonucu bulma
P(B1∣K2)=P(B1∩K2)P(K2)=14492049=1420=710P(B_1 | K_2) = \frac{P(B_1 \cap K_2)}{P(K_2)} = \frac{\frac{14}{49}}{\frac{20}{49}} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}'dur.
İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ilk çekilen topun beyaz olma olasılığını hesaplamak için koşullu olasılık tanımını kullanırız.

Key Concept

Bağımlı olayların olasılıkları hesaplanırken bir sonraki aşamadaki örnek uzay ve eleman sayıları ilk aşamadaki sonuca göre değişir. Koşullu olasılık sorularında ise toplam olasılık hesaplanarak örnek uzay daraltılır.
Question 113Question →

Bir müziksever, çalma listesindeki birbirinden farklı 33 klasik müzik ve 33 rock müzik parçasını sırayla dinleyecektir. Bu kişinin rock müzik parçalarını art arda (yan yana) dinlemek istemediği bilindiğine göre, bu 66 müzik parçası kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Show answer & explanation

Answer: 144144

Answer

144
Klasik müzik parçaları 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir. Rock müzik parçalarının yan yana gelmemesi için bu parçalar, klasik müzik parçalarının soluna, sağına veya aralarına gelen 44 boşluktan seçilecek 33 boşluğa yerleştirilmelidir. Boşluk seçimi C(4,3)=4C(4,3) = 4 farklı şekilde yapılır. Yerleştirilen rock parçaları da kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabileceğinden, toplam sıralama sayısı 3!×C(4,3)×3!=6×4×6=1443! \times C(4,3) \times 3! = 6 \times 4 \times 6 = 144 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Klasik müzik parçalarının kendi aralarındaki sıralanma sayısını hesaplama
3!=63! = 6
33 farklı klasik müzik parçası yan yana 3!3! farklı şekilde sıralanabilir.
2
Rock müzik parçalarının yerleştirilebileceği boşluk sayısını belirleme ve yer seçimi yapma
C(4,3)=4C(4,3) = 4
Rock müzik parçalarının yan yana gelmemesi için klasik müzik parçalarının oluşturduğu 44 boşluktan (_K_K_K_\_ \text{K} \_ \text{K} \_ \text{K} \_) 33 tanesi seçilmelidir.
3
Rock müzik parçalarının kendi aralarındaki sıralanma sayısını hesaplama ve toplam sıralama sayısını bulma
3!=63! = 6 ve toplam durum: 6×4×6=1446 \times 4 \times 6 = 144
Seçilen boşluklara yerleştirilen 33 farklı rock müzik parçası kendi arasında 3!3! farklı şekilde sıralanır. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre tüm bu durumlar çarpılır.

Key Concept

Koşullu permütasyon ve nesnelerin yan yana gelmeme durumlarının hesaplanması.
Question 114Question →

Bir veri merkezinde bulunan AA ve BB sunucularının bir gün içinde arızalanma olasılıkları sırasıyla P(EA)P(E_A) ve P(EB)P(E_B)'dir. Bu sunucuların arızalanma durumları birbirinden bağımsız olaylardır.

AA sunucusunun arızalanma olasılığı, BB sunucusunun arızalanma olasılığının 22 katıdır.

Gün sonunda bu sunuculardan en az birinin arızalanmış olma olasılığı 79\frac{7}{9} olduğuna göre, sadece AA sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade haliyle ab\frac{a}{b} rasyonel sayısı olarak yazıldığında a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Sadece A sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade biçimde 4/9 olup, pay ve payda toplamı 13'tür.
Sadece A sunucusunun arızalanması olasılığı, A'nın arızalanması ve B'nin arızalanmaması olaylarının kesişimidir. Olaylar bağımsız olduğu için bu olasılıkların çarpımı olan 4/9 değerine ulaşılır. Pay ve payda toplamı ise 13'tür.

Step-by-Step Solution

1
Sunucuların arızalanma olasılıklarını değişkenler cinsinden ifade etme
P(EB)=pP(E_B) = p ise P(EA)=2pP(E_A) = 2p olur.
A sunucusunun arızalanma olasılığının, B sunucusunun arızalanma olasıl��ğının 2 katı olduğu soruda verilmiştir.
2
En az bir sunucunun arızalanma olasılığı formülünü bağımsız olaylar için kurup çözme
18p2−27p+7=018p^2 - 27p + 7 = 0 denkleminden p=13p = \frac{1}{3} elde edilir.
Olaylar bağımsız olduğundan P(EA∪EB)=P(EA)+P(EB)−P(EA)⋅P(EB)=2p+p−2p2=3p−2p2P(E_A \cup E_B) = P(E_A) + P(E_B) - P(E_A) \cdot P(E_B) = 2p + p - 2p^2 = 3p - 2p^2 olur. 3p−2p2=793p - 2p^2 = \frac{7}{9} eşitliğinden 18p2−27p+7=018p^2 - 27p + 7 = 0 elde edilir. Bu denklemin çarpanları (3p−1)(6p−7)=0(3p - 1)(6p - 7) = 0 olup kökleri p=13p = \frac{1}{3} veya p=76p = \frac{7}{6}'dır. Olasılık değeri 1'den büyük olamayacağı ve P(EA)=2p≤1P(E_A) = 2p \leq 1 olması gerektiği için p=13p = \frac{1}{3} alınır.
3
Sadece A sunucusunun arızalanma olasılığını hesaplama
P(EA∩EB′)=49P(E_A \cap E_B') = \frac{4}{9} olur.
Sadece A'nın arızalanması, A'nın arızalanıp B'nin arızalanmaması anlamına gelir. Bağımsız olaylar için bu olasılık P(EA)⋅(1−P(EB))=23⋅(1−13)=23⋅23=49P(E_A) \cdot (1 - P(E_B)) = \frac{2}{3} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} olarak hesaplanır.
4
En sade rasyonel ifadenin pay ve payda değerlerini toplama
a+b=4+9=13a + b = 4 + 9 = 13 bulunur.
Bulunan 49\frac{4}{9} kesri en sade halindedir. Bu durumda a=4a = 4 ve b=9b = 9 olup toplamları 13'tür.

Key Concept

Bağımsız olayların kesişim ve birleşim olasılıklarının hesaplanması
Question 115Question →

Bir torbada 44 sarı ve 66 lacivert kart bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir kart çekiliyor.

- Çekilen kart sarı ise, üzerinde 11'den 66'ya kadar rakamların yazılı olduğu düzgün bir zar atılıyor.
- Çekilen kart lacivert ise, üzerinde 11'den 88'e kadar rakamların yazılı olduğu düzgün sekizyüzlü bir zar atılıyor.

Buna göre,

I. Çekilen kartın sarı olması olayı ile zarda tek sayı gelmesi olayı bağımsızdır.
II. Çekilen kartın sarı olması olayı ile zarda 33'ten küçük bir sayı gelmesi olayı bağımsızdır.
III. Zarda gelen sayının çift sayı olması olasılığı 12\frac{1}{2}'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III ifadeleri doğrudur.
I ve III ifadelerinin doğru olduğunu gösteren matematiksel açıklamadır. Kartın sarı olması olayı ile zarda tek sayı gelmesi olayı bağımsızdır çünkü kesişimlerinin olasılığı, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir. Benzer şekilde, toplam olasılık formülünden zarda gelen sayının çift olma olasılığı 1/2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Torbada bulunan toplam kart sayısını belirleyip sarı ve lacivert kart çekilme olasılıklarını hesaplayın.
P(Sarı)=410=25P(\text{Sarı}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} ve P(Lacivert)=610=35P(\text{Lacivert}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} bulunur.
İkinci aşamadaki zar atışlarının hangi zarla yapılacağını belirleyen olasılıkları bulmak için.
2
I. öncül için zarda tek sayı gelme olasılığını (P(T)P(T)) toplam olasılık formülüyle hesaplayıp sarı kart çekme olayı (SS) ile bağımsızlığını test edin.
Sarı kart çekildiğinde 6 yüzlü zarda tek gelme olasılığı P(T∣S)=36=12P(T|S) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, lacivert kart çekildiğinde 8 yüzlü zarda tek gelme olasılığı P(T∣L)=48=12P(T|L) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}'dir. Toplam olasılık: P(T)=P(T∣S)P(S)+P(T∣L)P(L)=12⋅25+12⋅35=12P(T) = P(T|S)P(S) + P(T|L)P(L) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{2}. Kesişim olasılığı: P(S∩T)=P(T∣S)⋅P(S)=12⋅25=15P(S \cap T) = P(T|S) \cdot P(S) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}. P(S)⋅P(T)=25⋅12=15P(S) \cdot P(T) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5} olduğundan P(S∩T)=P(S)⋅P(T)P(S \cap T) = P(S) \cdot P(T) eşitliği sağlanır ve olaylar bağımsızdır.
İki olayın bağımsız olabilmesi için kesişimlerinin olasılığının, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşit olması gerekir.
3
II. öncül için zarda 3'ten küçük bir sayı gelme olasılığını (P(M)P(M)) hesaplayıp sarı kart çekme olayı (SS) ile bağımsızlığını test edin.
Sarı kart çekildiğinde 6 yüzlü zarda 3'ten küçük gelme olasılığı P(M∣S)=26=13P(M|S) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, lacivert kart çekildiğinde 8 yüzlü zarda 3'ten küçük gelme olasılığı P(M∣L)=28=14P(M|L) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}'tür. Toplam olasılık: P(M)=P(M∣S)P(S)+P(M∣L)P(L)=13⋅25+14⋅35=215+320=1760P(M) = P(M|S)P(S) + P(M|L)P(L) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{15} + \frac{3}{20} = \frac{17}{60}. Kesişim olasılığı: P(S∩M)=P(M∣S)⋅P(S)=13⋅25=215=860P(S \cap M) = P(M|S) \cdot P(S) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15} = \frac{8}{60}. P(S)⋅P(M)=25⋅1760=34300=17150P(S) \cdot P(M) = \frac{2}{5} \cdot \frac{17}{60} = \frac{34}{300} = \frac{17}{150}'dir. 860≠17150\frac{8}{60} \neq \frac{17}{150} olduğundan bu olaylar bağımlıdır.
Kesişim olasılığı ile olasılıkların çarpımı eşit çıkmadığı için bağımsızlık koşulu sağlanmaz.
4
III. öncül için zarda çift sayı gelme olasılığını (P(C¸ift)P(\text{Çift})) toplam olasılık formülüyle hesaplayın.
P(C¸ift)=1−P(T)=1−12=12P(\text{Çift}) = 1 - P(T) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} bulunur.
Bir zar atıldığında gelen sayının tek veya çift olması birbirinin tümleyeni olan iki olaydır.

Key Concept

İki aşamalı deneylerde olayların bağımsızlığının matematiksel olarak P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) bağıntısıyla test edilmesi.
Question 116Question →

Bir okulun basketbol takımında yer alan 5 sporcu, antrenman sonrasında yan yana yerleştirilmiş 5 sandalyeye oturacaktır.

Bu sporculardan Can ve Efe'nin arasında en az bir sporcunun bulunması koşuluyla, bu 5 sporcu sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilir?

Show answer & explanation

Answer: 72

Answer

Can ve Efe'nin arasında en az bir sporcu olacak biçimde 72 farklı sıralama yapılabilir.
Tüm olası dizilimlerin sayısından (5!=1205! = 120), Can ve Efe'nin yan yana oturduğu durumların sayısı (4!×2!=484! \times 2! = 48) çıkarılarak aralarında en az bir sporcunun bulunduğu dizilimlerin sayısı 72 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
5 sporcunun 5 sandalyeye herhangi bir kısıtlama olmaksızın oturabileceği tüm durumların sayısını hesaplayalım.
5!=1205! = 120
Kısıtlamasız durumda her sporcu bir sandalyeye yerleşeceğinden toplam sıralama sayısı 5 faktöriyeldir.
2
Can ve Efe'nin yan yana oturduğu (istenmeyen) durumların sayısını bulalım.
4!×2!=24×2=484! \times 2! = 24 \times 2 = 48
Can ve Efe tek bir eleman gibi bir arada düşünülürse toplam 4 eleman sıralanır (4!4!). Can ve Efe kendi aralarında yer değiştirebilir (2!2!).
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumların sayısını çıkaralım.
120−48=72120 - 48 = 72
Tüm durumlardan yan yana oldukları durumlar çıkarıldığında, aralarında en az bir sporcunun bulunduğu durumlar elde edilir.

Key Concept

Permütasyon ve Tümleme Yöntemi
Question 117Question →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinden rastgele seçilen birbirinden farklı üç sayı küçükten büyüğe doğru sıralanarak sırasıyla aa, bb ve cc olarak belirleniyor. Buna göre; aa, bb ve cc uzunluklarına sahip üç doğrunun uç uca eklenmesiyle bir üçgen oluşturulabilme olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 720\frac{7}{20}

Answer

Seçilen sayıların bir üçgen oluşturma olasılığı 7/20'dir.
Seçilen üç farklı sayı için a<b<ca < b < c sıralaması yapıldığında, bu sayıların bir üçgen oluşturması için a+b>ca + b > c eşitsizliğinin sağlanması gerekir. {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinden seçilebilecek 20 farklı üçlüden sadece 7 tanesi bu şartı sağlar. Olasılık bu nedenle 7/20'dir.

Step-by-Step Solution

1
Tüm olası durumların sayısını belirlemek için kümenin 6 elemanından rastgele 3 eleman seçilir.
Örnek uzayın eleman sayısı (63)=6×5×43×2×1=20\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 olur.
Seçilen elemanların kendi arasındaki sırası önemli olmadığından kombinasyon hesabı kullanılır.
2
Seçilen a<b<ca < b < c sayıları için üçgen oluşturma şartı olan a+b>ca + b > c eşitsizliğini sağlayan üçlüleri belirlemek.
Bu şartı sağlayan (a,b,c)(a, b, c) ü��lüleri:
- c=6c = 6 için: (2,5,6)(2, 5, 6), (3,4,6)(3, 4, 6), (3,5,6)(3, 5, 6), (4,5,6)(4, 5, 6) (4 durum)
- c=5c = 5 için: (2,4,5)(2, 4, 5), (3,4,5)(3, 4, 5) (2 durum)
- c=4c = 4 için: (2,3,4)(2, 3, 4) (1 durum)
olmak üzere toplam 7 tanedir.
a<b<ca < b < c sıralaması verildiğinden diğer üçgen eşitsizlikleri olan a+c>ba + c > b ve b+c>ab + c > a her zaman doğrudur. Sadece en büyük kenara göre eşitsizlik kontrol edilmelidir.
3
İstenen olasılık değerini hesaplamak.
Olasılık = I˙stenen Durum SayısıTu¨m Durumların Sayısı=720\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{7}{20} bulunur.
Basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Key Concept

Kombinasyon yardımıyla örnek uzay ve istenen olay durumlarının hesaplanarak basit olayların olasılığının bulunması.
Question 118Question →

Bir torbada 1'den 8'e kadar numaralandırılmış 8 kart bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki kart seçiliyor. Seçilen kartların üzerindeki sayıların çarpımının 3 ile kalansız bölünebilen bir sayı olma olasılığı en sade haliyle ab\frac{a}{b} olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 41

Answer

Çarpımın 3 ile kalansız bölünebilme olasılığı en sade biçimde 1328\frac{13}{28} olup, pay ile paydanın toplamı 41'dir.
Seçilen iki kartın çarpımının 3 ile kalansız bölünebilmesi için seçilen kartlardan en az birinin 3 veya 6 olması gerekir. Tüm 28 durumdan, 3'ün katı olmayan 6 sayı arasından yapılan 15 farklı seçimi çıkardığımızda istenen durum sayısını 13 buluruz. Olasılık 1328\frac{13}{28} olduğundan ve bu kesir sadeleşemediğinden a=13a=13, b=28b=28 ve a+b=41a+b=41 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Örnek uzayın (tüm olası seçimlerin) eleman sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplama.
s(E)=(82)=28s(E) = \binom{8}{2} = 28
8 farklı kart arasından sıra gözetmeksizin 2 kartın kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmak için.
2
Çarpımın 3'ün katı olmadığı (yani seçilen iki kartın da 3 veya 6 olmadığı) durum sayısını hesaplama.
(62)=15\binom{6}{2} = 15
Torbadaki 3'ün katı olmayan 6 karttan 2 tanesini seçerek çarpımları 3 ile bölünmeyen durumları belirlemek için.
3
Çarpımın 3 ile kalansız bölündüğü durum sayısını tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak bulma.
28−15=1328 - 15 = 13
Bir olayın gerçekleşme olasılığını tüm durumlar ile tüm durumların dışındaki durumların farkı yöntemiyle daha kolay bulmak için.
4
Olasılık değerini ab\frac{a}{b} biçiminde ifade edip a+ba + b değerini bulma.
P(A)=1328P(A) = \frac{13}{28} ve a+b=41a+b = 41
Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısını tüm durum sayısına oranlayıp en sade kesir biçiminde pay ve paydayı toplamak için.

Key Concept

Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır. Kombinasyon kullanılarak alt kümeler seçilir ve tüm durumlar farkı yöntemiyle istenen durum sayısı pratik şekilde hesaplanır.
Question 119Question →

Bir torbada 33 kırmızı, 44 mavi ve 55 yeşil bilye bulunmaktadır. Bu torbadan çekilen bilye geri atılmaksızın art arda rastgele iki bilye çekiliyor.

Çekilen birinci bilyenin kırmızı veya ikinci bilyenin mavi olma olasılığı en sade hâliyle ab\frac{a}{b} kesridir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 197

Answer

Doğru cevap 197'dir. İstenen olasılık değeri en sade biçimde 65132\frac{65}{132} olarak hesaplanır ve bu kesrin payı ile paydasının toplamı 197'ye eşit olur.
İstenen durumun olasılığı, bağımlı olaylar kuralı ve olasılık birleşim formülü (P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)) kullanılarak en sade biçimde 65132\frac{65}{132} olarak hesaplanır. Buradan pay ve paydanın toplamı 65+132=19765 + 132 = 197 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Olayları tanımlama ve birleşim formülünü yazma
P(K1∪M2)=P(K1)+P(M2)−P(K1∩M2)P(K_1 \cup M_2) = P(K_1) + P(M_2) - P(K_1 \cap M_2)
Birinci bilyenin kırmızı (veya) ikinci bilyenin mavi olma olasılığı sorulduğu için iki olayın birleşim kümesi olasılık formülü uygulanmalıdır.
2
Birinci bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama
P(K1)=312=14P(K_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}
Torbadaki toplam 12 bilyeden 3 tanesi kırmızıdır.
3
İkinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama
P(M2)=13P(M_2) = \frac{1}{3}
Bilyeler geri konulmadığı için bağımlı olaylardır. İkinci bilyenin mavi olma olasılığı, birincinin mavi olması (P(M1∩M2)=412×311P(M_1 \cap M_2) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11}) ve birincinin mavi olmaması (P(M1′∩M2)=812×411P(M_1' \cap M_2) = \frac{8}{12} \times \frac{4}{11}) durumlarının toplamıdır.
4
Birinci bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama
P(K1∩M2)=111P(K_1 \cap M_2) = \frac{1}{11}
Çekilen bilye geri konulmadığı için olaylar bağımlıdır. Birincinin kırmızı gelme olasılığı 312\frac{3}{12} iken, kalan 11 bilyeden 4'ünün mavi olma olasılığı 411\frac{4}{11} olur.
5
Birleşim olasılığını ve a+ba+b toplamını hesaplama
P(K1∪M2)=65132P(K_1 \cup M_2) = \frac{65}{132} ve a+b=197a+b = 197
Değerler formülde yerine yazıldığında 14+13−111=65132\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{11} = \frac{65}{132} elde edilir. 6565 ve 132132 aralarında asal olduğundan a=65a=65, b=132b=132 ve a+b=197a+b=197 bulunur.

Key Concept

Bağımlı Olaylar ve Olasılık Birleşim Kuralı

Alternative Method

İstenen durumun tümleyenini (tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak) hesaplayabiliriz. İstenmeyen durum, birinci bilyenin kırmızı OLMAMASI ve ikinci bilyenin mavi OLMAMASI durumudur. Birinci bilyenin kırmızı olmama olasılığı 912=34\frac{9}{12} = \frac{3}{4}'tür. Bu durumda ilk çekilen bilye mavi ise (olasılık 412\frac{4}{12}), geriye kalan 11 bilyeden 8'i mavi değildir. İlk çekilen yeşil ise (olasılık 512\frac{5}{12}), geriye kalan 11 bilyeden 7'i mavi değildir. Bu yolla istenmeyen durumun olasılığı 412×811+512×711=32+35132=67132\frac{4}{12} \times \frac{8}{11} + \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{32 + 35}{132} = \frac{67}{132} olarak bulunur. Tüm durumdan çıkardığımızda 1−67132=651321 - \frac{67}{132} = \frac{65}{132} olasılığını elde ederiz.
Estimated Time:2m 30s
Question 120Question →

Bir kenarı 33 birim olan bir kare, 99 adet eş birim kareye bölünmüştür. Bu birim karelerden rastgele 33 tanesi seçilerek boyanıyor.

Buna göre, boyanan birim karelerden herhangi ikisinin ortak bir kenarının olmama olasılığı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1142\frac{11}{42}

Answer

Boyanan birim karelerden herhangi ikisinin ortak bir kenarının olmama olasılığı 1142\frac{11}{42}'dir.
Toplam 84 farklı seçimden, hiçbir kare çiftinin ortak kenara sahip olmadığı durum sayısı satranç tahtası renklendirme yöntemi ile analiz edilerek 22 olarak bulunur. Bu iki değerin oranı bize 1142\frac{11}{42} sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Toplam olası durum sayısını hesaplamak.
99 birim kareden 33 tanesi (93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 farklı şekilde seçilebilir.
Seçim sırası önemsiz olduğundan kombinasyon kullanılır.
2
Birim kareleri satranç tahtası desenine göre iki gruba ayırmak.
99 birim kare, satranç tahtası gibi boyandığında 55 tanesi beyaz (köşeler ve merkez), 44 tanesi gri (kenar ortaları) olur. Aynı renkteki iki karenin ortak bir kenarı olamaz.
Ortak kenara sahip olan karelerin her zaman farklı renklerde olması kuralını kullanarak durum sayımını kolaylaşt��rmak.
3
İstenen durumu sağlayan durum sayısını gruplandırarak hesaplamak.
Uygun seçimler 4 farklı durumda incelenir:
1) Seçilen 3 karenin de beyaz olması: (53)=10\binom{5}{3} = 10 durum.
2) Seçilen 3 karenin de gri olması: (43)=4\binom{4}{3} = 4 durum.
3) Seçilenlerin 2 beyaz ve 1 gri olması: Seçilen gri karenin komşu olmadığı 2 beyaz kare seçilmelidir. Her bir gri karenin 33 beyaz komşusu olduğundan, geriye kalan 22 beyaz kare tek bir şekilde seçilebilir. 4×(22)=44 \times \binom{2}{2} = 4 durum.
4) Seçilenlerin 1 beyaz ve 2 gri olması: Seçilen beyaz karenin komşu olmadığı 2 gri kare seçilmelidir. Merkez kare seçilirse tüm gri karelerle komşu olduğundan 00 durum gelir. Köşelerdeki 44 beyaz kareden biri seçilirse, komşusu olmayan 22 gri kare tek şekilde seçilebilir. 4×(22)=44 \times \binom{2}{2} = 4 durum.

Toplam uygun durum sayısı: 10+4+4+4=2210 + 4 + 4 + 4 = 22 olur.
Tüm olasılıkları eksiksiz ve çakışmasız şekilde saymak.
4
Olasılık değerini bulmak.
Olasılık = I˙stenen DurumTu¨m Durum=2284=1142\frac{\text{İstenen Durum}}{\text{Tüm Durum}} = \frac{22}{84} = \frac{11}{42} bulunur.
Basit olayların olasılık formülü uygulanır.

Key Concept

Basit Olayların Olasılığı ve Kombinasyon ile Sayma
PreviousPage 6 / 8Next
Sayma ve Olasılık Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 6 | Examkin