Examkin

Trigonometri

420 questions

All types420Multiple choice209True / False17Numeric121Ordering56Short answer17
Question 1Question →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir. İkinci bölgenin ilk yarısında yer alan xx açısı için sinüs değeri pozitif olup kosinüsün mutlak değerinden büyüktür, bu sebeple a=sin⁡x+cos⁡x>0a = \sin x + \cos x > 0 olur. c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x ifadesi zıt işaretli sayıların çarpımı olarak negatiftir ve (−0.5,0)(-0.5, 0) aralığındadır. b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x ifadesi ise bu negatif çarpımın çarpmaya göre tersi olduğundan −2-2 veya daha küçük değerler alır. Bu durum b<c<ab < c < a sonucunu doğurur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen aralıkta sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x fonksiyonlarının işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini belirlemek.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında yani ikinci bölgenin ilk yarısında sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olur. Buradan a=sin⁡x+cos⁡x>0a = \sin x + \cos x > 0 elde edilir.
aa ifadesinin işaretini belirlemek için.
2
cc ifadesinin işaretini ve alabileceği değer aralığını bulmak.
c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x olup zıt işaretli iki ifadenin çarpımı olduğundan negatiftir. İfadeyi yarım açı formülüyle c=sin⁡(2x)2c = \frac{\sin(2x)}{2} olarak yazabiliriz. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) ise 2x∈(π,3π2)2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) yani üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu negatif olduğundan c∈(−0.5,0)c \in (-0.5, 0) aralığında yer alır.
cc ifadesinin sınırlarını belirlemek için.
3
bb ifadesini sadeleştirip sınırlarını bulmak ve tüm ifadeleri sıralamak.
b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=1cb = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{1}{c} olur. c∈(−0.5,0)c \in (-0.5, 0) aralığında olduğundan, b=1c≤−2b = \frac{1}{c} \leq -2 olur. Dolayısıyla b≤−2b \leq -2, c∈(−0.5,0)c \in (-0.5, 0) ve a>0a > 0 olduğundan doğru sıralama b<c<ab < c < a olarak bulunur.
bb ifadesinin sınırlarını belirleyerek nihai sıralamayı yapmak için.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve İkinci Bölgede Sıralama
Estimated Time:2m 0s
Question 2Question →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)sin⁡x+cos⁡x=12\frac{\cos(2x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçt��r?

Show answer & explanation

Answer: 34\frac{3}{4}

Answer

doğru cevap olan 34\frac{3}{4}
İfade çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildikten sonra cos⁡x−sin⁡x=12\cos x - \sin x = \frac{1}{2} eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında 1−sin⁡(2x)=141 - \sin(2x) = \frac{1}{4} denklemi kurulur ve buradan doğru cevap olan 34\frac{3}{4} değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesine iki kare farkı biçimindeki yarım açı açılımı uygulanır.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)sin⁡x+cos⁡x=12\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2}
Payda ile sadeleştirme yapabilmek için cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x özdeşliği çarpanlarına ayrılır.
2
Pay ve paydadaki ortak (sin⁡x+cos⁡x)(\sin x + \cos x) terimleri sadeleştirilir.
cos⁡x−sin⁡x=12\cos x - \sin x = \frac{1}{2}
x∈(0,π/2)x \in (0, \pi/2) aralığında sinüs ve kosinüs değerlerinin toplamı sıfırdan büyük olduğu için sadeleştirme işlemi güvenle yapılabilir.
3
Elde edilen denklemin her iki tarafının karesi alınarak düzenlenir.
cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x=14⇒1−sin⁡(2x)=14\cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - \sin(2x) = \frac{1}{4}
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 temel özdeşliği ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
4
sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesi yalnız bırakılarak değer hesaplanır.
sin⁡(2x)=1−14=34\sin(2x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerini bulmak için basit bir cebirsel düzenleme yapılır.

Key Concept

Kosinüs ve Sinüs Yarım Açı Formülleri
Question 3Question →

Bir ABCDABCD konveks dörtgeninde [AC][AC] köşegendir. ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim}, ∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim}, m(ABC^)=120∘m(\widehat{ABC}) = 120^\circ ve m(ADC^)=60∘m(\widehat{ADC}) = 60^\circ olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

CD uzunluğu 8 birimdir.
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} bulunur. ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulandığında ise x2−5x−24=0x^2 - 5x - 24 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü 88 olduğundan ∣CD∣|CD| uzunluğu 8 birim8\text{ birim} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣AC∣|AC| uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim}
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2∣AB∣∣BC∣cos⁡(120∘)|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2|AB||BC|\cos(120^\circ) formülünde bilinenler yerine yazıldığında ∣AC∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−1/2)=9+25+15=49|AC|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49 elde edilir.
2
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu hesaplanır.
x=8 birimx = 8\text{ birim}
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2∣AD∣∣CD∣cos⁡(60∘)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2|AD||CD|\cos(60^\circ) formülünde bilinenler yerine yazıldığında 72=52+x2−2⋅5⋅x⋅(1/2)  ⟹  49=25+x2−5x  ⟹  x2−5x−24=07^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot (1/2) \implies 49 = 25 + x^2 - 5x \implies x^2 - 5x - 24 = 0 elde edilir. Bu denklem (x−8)(x+3)=0(x-8)(x+3) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Uzunluk negatif olamayacağından x=8x = 8 bulunur.

Key Concept

Kosinüs Teoremi'nin ardışık iki üçgende uygulanması ve elde edilen denklemin çözülmesi

Alternative Method

ADCADC üçgeninde CC köşesinden [AD][AD] kenarına dikme indirilerek 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ özel üçgeni ve Pisagor teoremi yardımıyla da ∣CD∣|CD| uzunluğu hesaplanabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 4Question →
cos⁡(2x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=sin⁡(2x)+1\frac{\cos(2x)}{\cos(x) - \sin(x)} = \sin(2x) + 1

denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) aç��k aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Show answer & explanation

Answer: 3π3\pi

Answer

3π3\pi
Verilen denklemde pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) yarım açı formülüyle (cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) şeklinde yazılıp payda ile sadeleştirildiğinde denklem cos⁡(x)+sin⁡(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\cos(x) + \sin(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2 durumuna gelir. Buradan elde edilen sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sin(x) + \cos(x) = 0 denkleminden x=3π4x = \frac{3\pi}{4} ve x=7π4x = \frac{7\pi}{4} kökleri, sin⁡(x)+cos⁡(x)=1\sin(x) + \cos(x) = 1 denkleminden ise (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü gelir. Köklerin tamamı paydayı sıfır yapmadığından geçerlidir ve toplamları 3π3\pi olur.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesi kısıtlamasını bulunuz.
cos⁡(x)−sin⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1\cos(x) - \sin(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1
Rasyonel bir ifadede payda sıfıra eşit olamaz.
2
Pay kısmındaki yarım açı ifadesini açarak sadeleştirme yapınız.
(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))cos⁡(x)−sin⁡(x)=cos⁡(x)+sin⁡(x)\frac{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))}{\cos(x) - \sin(x)} = \cos(x) + \sin(x)((\tan(x)
eq 1kısıtlamasıaltında) kısıtlaması altında)
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayrılır.
3
Denklemin sağ tarafını çarpanlarına ayrılabilir forma getirerek denklemi yeniden yazınız.
cos⁡(x)+sin⁡(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\cos(x) + \sin(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2
sin⁡(2x)+1=2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\sin(2x) + 1 = 2\sin(x)\cos(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2 özdeşliği geçerlidir.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözümleri iki gruba ayırınız.
(sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x)−1)=0(\sin(x) + \cos(x))( \sin(x) + \cos(x) - 1 ) = 0
Tüm terimler bir tarafa toplanıp ortak çarpan parantezine alınır.
5
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
sin⁡(x)+cos⁡(x)=0  ⟹  tan⁡(x)=−1  ⟹  x1=3π4, x2=7π4\sin(x) + \cos(x) = 0 \implies \tan(x) = -1 \implies x_1 = \frac{3\pi}{4}, \ x_2 = \frac{7\pi}{4}
(0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında tanjantı −1-1 olan açılar belirlenir. Bu açılar tanım kümesi kısıtlamasını (tan⁡(x)≠1\tan(x) \neq 1) sağlar.
6
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
sin⁡(x)+cos⁡(x)=1  ⟹  sin⁡(x+π4)=22  ⟹  x3=π2\sin(x) + \cos(x) = 1 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x_3 = \frac{\pi}{2}
x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi) aralığı için x=0x=0 ve x=2πx=2\pi sınır değerleri açık aralığa dahil olmadığından sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü alınır.
7
Bulunan tüm geçerli köklerin toplamını hesaplayınız.
π2+3π4+7π4=3π\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 3\pi
Denklemi sağlayan tüm farklı köklerin toplamı istenir.

Key Concept

Trigonometrik Denklemler

Alternative Method

Denklem sadeleştirildikten sonra sin⁡(x)+cos⁡(x)=t\sin(x) + \cos(x) = t dönüşümü yapılarak t=t2t = t^2 ikinci dereceden denklemi elde edilebilir. Buradan t=0t=0 veya t=1t=1 değerleri için ayrı ayrı çözüme gidilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 5Question →
Bir ABCDABCD dikdörtgeninde,
∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}
∣BC∣=6 birim|BC| = 6\text{ birim}
olmak üzere, EE noktası [AD][AD] kenarının orta noktasıdır. [CD][CD] kenarı üzerinde alınan bir FF noktası için ∣DF∣=2 birim|DF| = 2\text{ birim} olduğuna göre, tan⁡(EBF^)\tan(\widehat{EBF}) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 511\frac{5}{11}

Answer

İstenen tanjant değeri beş bölü on bir olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen değer, dikdörtgen üzerindeki dik üçgenlerden elde edilen tanjant değerlerinin fark formülüne doğru biçimde uygulanmasıyla hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
EAB dik üçgenini inceleyelim.
EE noktası [AD][AD] kenarının orta noktası olduğundan ∣AE∣=3 birim|AE| = 3\text{ birim} olur. EABEAB dik üçgeninde EBA^\widehat{EBA} açısının tanjantı tan⁡(EBA^)=∣AE∣∣AB∣=38\tan(\widehat{EBA}) = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{3}{8} olarak bulunur.
Tanjant fark formülünü uygulamak için gerekli olan ilk açının tanjantını bulmak.
2
F noktasından AB doğrusuna dikme indirerek FHB dik üçgenini oluşturalım.
Dikme ayağı HH olsun. Bu durumda ∣FH∣=∣BC∣=6 birim|FH| = |BC| = 6\text{ birim} ve ∣HB∣=∣AB∣−∣DF∣=8−2=6 birim|HB| = |AB| - |DF| = 8 - 2 = 6\text{ birim} olur. Buradan tan⁡(FBA^)=∣FH∣∣HB∣=66=1\tan(\widehat{FBA}) = \frac{|FH|}{|HB|} = \frac{6}{6} = 1 bulunur.
Tanjant fark formülü için gerekli olan ikinci açının tanjantını bulmak.
3
Tanjant fark formülünü uygulayalım.
α=EBF^=FBA^−EBA^\alpha = \widehat{EBF} = \widehat{FBA} - \widehat{EBA} olduğundan, tan⁡(α)=tan⁡(FBA^)−tan⁡(EBA^)1+tan⁡(FBA^)⋅tan⁡(EBA^)=1−381+1⋅38=58118=511\tan(\alpha) = \frac{\tan(\widehat{FBA}) - \tan(\widehat{EBA})}{1 + \tan(\widehat{FBA}) \cdot \tan(\widehat{EBA})} = \frac{1 - \frac{3}{8}}{1 + 1 \cdot \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{11}{8}} = \frac{5}{11} bulunur.
İki açının farkının tanjantını bularak hedef açının tanjant değerine ulaşmak.

Key Concept

İki açının farkının tanjant formülü: tan⁡(x−y)=tan⁡(x)−tan⁡(y)1+tan⁡(x)tan⁡(y)\tan(x - y) = \frac{\tan(x) - \tan(y)}{1 + \tan(x)\tan(y)}
Question 6Question →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
cot⁡x−tan⁡x=3\cot x - \tan x = 3
olduğuna göre, 26⋅sin⁡(4x)26 \cdot \sin(4x) ifadesinin de��eri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İstenen ifadenin değeri 24 olarak bulunur.
Verilen denklem cot⁡x−tan⁡x=2cot⁡(2x)=3\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = 3 şeklinde yarım açı formülüne dönüştürüldüğünde tan⁡(2x)=2/3\tan(2x) = 2/3 elde edilir. İlgili dik üçgenden ve bölge analizinden yararlanılarak sin⁡(2x)=2/13\sin(2x) = 2/\sqrt{13} ve cos⁡(2x)=3/13\cos(2x) = 3/\sqrt{13} bulunur. Son olarak sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=12/13\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 12/13 değeri hesaplanır ve bu değer 26 ile çarpılarak 24 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
cot⁡x−tan⁡x=3\cot x - \tan x = 3 eşitliğini yarım açı formülleri yardımıyla tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesine dönüştürmek.
tan⁡(2x)=23\tan(2x) = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Verilen ifadeyi yarım açı ilişkisini kullanabileceğimiz daha sade bir trigonometrik fonksiyona indirgemek.
2
2x2x açısının bölgesini belirleyerek sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) değerlerini hesaplamak.
sin⁡(2x)=213\sin(2x) = \frac{2}{\sqrt{13}} ve cos⁡(2x)=313\cos(2x) = \frac{3}{\sqrt{13}} olarak elde edilir.
sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesini açtığımızda karşımıza çıkacak olan sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) değerlerini elde etmek.
3
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) yarım açı formülünü uygulamak ve 26⋅sin⁡(4x)26 \cdot \sin(4x) değerini hesaplamak.
26⋅sin⁡(4x)=2426 \cdot \sin(4x) = 24 olarak bulunur.
Soruda sorulan ifadenin nihai sayısal değerine ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerde yarım açı formüllerinin (sinüs ve kosinüs çift kat açı formülleri) uygulanması ve bölge analizine göre işaret tayini.
Estimated Time:2m 0s
Question 7Question →
cos⁡(2x)1−tan⁡(x)=0\frac{\cos(2x)}{1 - \tan(x)} = 0 denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralı��ında 4 farklı gerçel kökü vardır.
Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Verilen ifade yanlıştır çünkü x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=5π4x = \frac{5\pi}{4} değerleri paydadaki 1−tan⁡(x)1 - \tan(x) ifadesini sıfır yaparak denklemi tanımsız kılar. Bu nedenle bu değerler kök olamaz ve denklemin verilen aralıktaki kök sayısı 4 değil, 2'dir.
İfade yanlıştır çünkü payı sıfır yapan x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=5π4x = \frac{5\pi}{4} değerleri paydayı sıfır yaparak denklemi tanımsız hale getirir. Bu nedenle denklemin (0,2π)(0, 2\pi) aralığında 4 değil, sadece 2 kökü vardır.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin tanımlı olma şartlarını belirleyin.
Denklemin tanımlı olabilmesi için tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonunun tanımlı olması (x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi) ve paydanın sıfırdan farklı olması (1−tan⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1  ⟹  x≠π4+kπ1 - \tan(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi) gerekir.
Bir rasyonel ifadenin sıfıra eşit olması için payının sıfır olması gerekirken, paydasının sıfır olmaması ve tüm alt fonksiyonların tanımlı olması şarttır.
2
Payı sıfır yapan kök adaylarını bulun.
cos⁡(2x)=0  ⟹  2x=π2+kπ  ⟹  x=π4+kπ2\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} elde edilir. Bu genel çözümden (0,2π)(0, 2\pi) aralığına düşen kök adayları x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4}, x2=3π4x_2 = \frac{3\pi}{4}, x3=5π4x_3 = \frac{5\pi}{4} ve x4=7π4x_4 = \frac{7\pi}{4} olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin değerinin sıfır olması, pay kısmının sıfıra eşit olmasıyla mümkündür.
3
Kök adaylarını tanım kümesi ve payda şartına göre kontrol edin.
x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4} ve x3=5π4x_3 = \frac{5\pi}{4} değerleri için tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 olduğundan payda 1−1=01 - 1 = 0 olur ve ifade tanımsız kalır. Diğer kök adayları x2=3π4x_2 = \frac{3\pi}{4} ve x4=7π4x_4 = \frac{7\pi}{4} için tan⁡(x)=−1\tan(x) = -1 olduğundan payda sıfırdan farklı (1−(−1)=2≠01 - (-1) = 2 \neq 0) olur. Dolayısıyla gerçel kökler yalnızca bu iki değerdir.
Bulunan kök adaylarının orijinal denklemde tanımsızlık yaratıp yaratmadığı denetlenmelidir.

Key Concept

Rasyonel trigonometrik denklemlerde payı sıfır yapan köklerin paydanın tanım kümesini ve sıfırdan farklı olma şartını bozup bozmadığının kontrol edilmesi.
Question 8Question →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=sec⁡x−csc⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sec x - \csc x \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: a<c<ba < c < b

Answer

a < c < b
Verilen aralıkta sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan a>0a > 0 olur. bb ve cc ifadeleri düzenlendiğinde c=asin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{\sin x \cos x} ve b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) elde edilir. 0<sin⁡xcos⁡x<1/20 < \sin x \cos x < 1/2 olduğundan c>2a>ac > 2a > a olur. Ayrıca sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 olduğundan b>cb > c bulunur. Buradan a<c<ba < c < b elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini ve işaretlerini belirleme.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında (birinci bölgenin ikinci yarısında), sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 olur. Dolayısıyla a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0 elde edilir.
Sıralama yapabilmek i��in öncelikle terimlerin işaretlerini ve birbirleriyle olan temel büyüklük ilişkilerini belirlemeliyiz.
2
bb ve cc ifadelerini ortak paydada yazarak sadeleştirme ve aa türünden ifade etme.
b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = \frac{a(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} ve c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x=asin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x} = \frac{a}{\sin x \cos x} elde edilir.
İfadeleri karşılaştırılabilir hale getirmek için hepsini ortak bir çarpan olan aa cinsinden yazmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
aa, bb ve cc değerlerini karşılaştırma.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında 0<sin⁡xcos⁡x<120 < \sin x \cos x < \frac{1}{2} olduğundan 1sin⁡xcos⁡x>2\frac{1}{\sin x \cos x} > 2 olur. Buradan c=asin⁡xcos⁡x>2a>ac = \frac{a}{\sin x \cos x} > 2a > a bulunur. Ayrıca aynı aralıkta 1<sin⁡x+cos⁡x<21 < \sin x + \cos x < \sqrt{2} olduğundan b=c⋅(sin⁡x+cos⁡x)>cb = c \cdot (\sin x + \cos x) > c elde edilir. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralamasına ulaşılır.
Elde edilen oranları ve trigonometrik değerlerin aralıktaki sınırlarını kullanarak nihai sıralamayı belirleriz.

Key Concept

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeleri sadeleştirme ve belirli bir aralıkta fonksiyon değerlerini sıralama.
Estimated Time:2m 0s
Question 9Question →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [AC][AC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}
∣AD∣=4 birim|AD| = 4\text{ birim}
∣BD∣=∣DC∣=5 birim|BD| = |DC| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 152\frac{15}{2}

Answer

15/2 birim
Doğru olan 15/2 değeri, birinci üçgende Kosinüs Teoremi uygulanarak elde edilen kosinüs değerinin, ikinci üçgende bütünler açı kuralı (−cos⁡(α)-\cos(\alpha)) ile yerine yazılması ve Kosinüs Teoremi'nin ikinci kez doğru bir şekilde uygulanmasıyla hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABDABD üçgeninde m(ADB^)=αm(\widehat{ADB}) = \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(α)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\alpha)
62=42+52−2⋅4⋅5⋅cos⁡(α)6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\alpha)
36=16+25−40cos⁡(α)36 = 16 + 25 - 40\cos(\alpha)
40cos⁡(α)=5  ⟹  cos⁡(α)=1840\cos(\alpha) = 5 \implies \cos(\alpha) = \frac{1}{8}
Bilinmeyen ∣BC∣|BC| uzunluğunu bulmak için komşu BDCBDC üçgeninde kullanılacak açının kosinüs değerini elde etmek.
2
AA, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(180∘−α)=−cos⁡(α)=−18\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) = -\frac{1}{8}
Bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olması kuralını uygulamak.
3
BCDBCD üçgeninde m(CDB^)=180∘−αm(\widehat{CDB}) = 180^\circ - \alpha açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣BC∣=x|BC| = x uzunluğu hesaplanır.
x2=∣BD∣2+∣CD∣2−2⋅∣BD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(180∘−α)x^2 = |BD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BD| \cdot |CD| \cdot \cos(180^\circ - \alpha)
x2=52+52−2⋅5⋅5⋅(−18)x^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)
x2=25+25+508=50+254=2254x^2 = 25 + 25 + \frac{50}{8} = 50 + \frac{25}{4} = \frac{225}{4}
x=2254=152x = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}
BCDBCD üçgeninin iki kenarı ve aralarındaki açının kosinüsü bilindiğinden Kosinüs Teoremi ile üçüncü kenarı bulmak.

Key Concept

Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü biliniyorsa, karşı kenarın uzunluğu Kosinüs Teoremi ile hesaplanabilir. Ayrıca doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüs değerleri birbirinin zıt işaretlisidir.

Alternative Method

Bu soru Stewart Teoremi kullanılarak da çözülebilir. Stewart Teoremi formülü:

∣BD∣2=∣AB∣2⋅∣DC∣+∣BC∣2⋅∣AD∣∣AC∣−∣AD∣⋅∣DC∣|BD|^2 = \frac{|AB|^2 \cdot |DC| + |BC|^2 \cdot |AD|}{|AC|} - |AD| \cdot |DC|

Değerler formülde yerine yazılırsa:

52=62⋅5+x2⋅49−4⋅55^2 = \frac{6^2 \cdot 5 + x^2 \cdot 4}{9} - 4 \cdot 5
25=180+4x29−2025 = \frac{180 + 4x^2}{9} - 20
45=180+4x2945 = \frac{180 + 4x^2}{9}
405=180+4x2  ⟹  4x2=225  ⟹  x=152405 = 180 + 4x^2 \implies 4x^2 = 225 \implies x = \frac{15}{2} elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 10Question →
x>0x > 0 olmak üzere,
tan⁡(arctan⁡(2x)+arctan⁡(x))=−3\tan(\arctan(2x) + \arctan(x)) = -3
denklemini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 1; x = 1

Answer

1
Verilen denklemde arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b dönüşümleri yapıldığında, tanjant toplam formülü kullanılarak rasyonel bir ifadeye ulaşılır. Bu ifade düzenlendiğinde 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 denklemi elde edilir. Çözüm kümesinden elde edilen x=1x = 1 değeri, x>0x > 0 koşulunu sağlayan tek köktür.

Step-by-Step Solution

1
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlemek için arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b olarak adlandırın.
tan⁡(a)=2x\tan(a) = 2x ve tan⁡(b)=x\tan(b) = x eşitlikleri elde edilir.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı gereği arctan⁡(u)=v  ⟺  tan⁡(v)=u\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u ilişkisi kullanılır.
2
Soru kökündeki denklemde dönüşümleri yerine yazarak tanjant toplam formülünü uygulayın.
tan⁡(a+b)=−3  ⟹  tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)=−3\tan(a+b) = -3 \implies \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} = -3 olur. Değerleri yerine koyduğumuzda 2x+x1−(2x)(x)=−3\frac{2x + x}{1 - (2x)(x)} = -3 elde edilir.
Tanjant fonksiyonunun toplam formülü olan tan⁡(a+b)=tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} ifadesinden yararlanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyip ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3x1−2x2=−3  ⟹  3x=−3(1−2x2)  ⟹  3x=−3+6x2  ⟹  6x2−3x−3=0\frac{3x}{1 - 2x^2} = -3 \implies 3x = -3(1 - 2x^2) \implies 3x = -3 + 6x^2 \implies 6x^2 - 3x - 3 = 0 olur.
İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki ifade karşı tarafa çarpım olarak geçirilir.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
Denklemin her iki tarafı da 33 ile bölünürse 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 elde edilir. Bu ifade (2x+1)(x−1)=0(2x + 1)(x - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x=−12x = -\frac{1}{2} ve x=1x = 1 olarak bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
x>0x > 0 koşulunu göz önünde bulundurarak denklemi sağlayan nihai değeri belirleyin.
x=1x = 1 olarak bulunur.
Soruda başlangıçta xx değerinin pozitif olduğu (x>0x > 0) belirtilmiştir, bu nedenle negatif kök elenir.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonları içeren denklemlerde tanjant toplam formülünün uygulanması.
Question 11Question →
θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡4θ−sin⁡4θsin⁡θcos⁡θ=83\frac{\cos^4 \theta - \sin^4 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{8}{3}
olduğuna göre, tan⁡θ\tan \theta değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 13\frac{1}{3}

Answer

13\frac{1}{3}
Verilen ifade iki kare farkı ve yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡(2θ)=34\tan(2\theta) = \frac{3}{4} elde edilir. Tanjant yarım açı formülüyle kurulan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde ve açının (0,π4)\left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında olduğu (yani tanjant değerinin pozitif olduğu) dikkate alındığında doğru değer 13\frac{1}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡4θ−sin⁡4θ\cos^4 \theta - \sin^4 \theta ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın.
(cos⁡2θ−sin⁡2θ)(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=cos⁡(2θ)⋅1=cos⁡(2θ)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos(2\theta) \cdot 1 = \cos(2\theta)
Trigonometrik yarım açı ve temel özdeşlik kurallarını kullanarak ifadeyi basitleştirmek.
2
Paydadaki sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta ifadesini sinüs yarım açı formülü yardımıyla düzenleyin.
12sin⁡(2θ)\frac{1}{2}\sin(2\theta)
Payda kısmını tek bir açın��n (2θ2\theta) trigonometrik oranı cinsinden yazmak.
3
Elde edilen sonuçları denklemde yerine yazarak tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerini bulun.
cos⁡(2θ)12sin⁡(2θ)=83  ⟹  2cot⁡(2θ)=83  ⟹  cot⁡(2θ)=43  ⟹  tan⁡(2θ)=34\frac{\cos(2\theta)}{\frac{1}{2}\sin(2\theta)} = \frac{8}{3} \implies 2\cot(2\theta) = \frac{8}{3} \implies \cot(2\theta) = \frac{4}{3} \implies \tan(2\theta) = \frac{3}{4}
Tanjant yarım açı formülünü uygulayabilmek için tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerine ulaşmak.
4
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak tan⁡θ=t\tan\theta = t değişkeni için bir denklem kurun ve bu denklemi çözün.
2t1−t2=34  ⟹  8t=3−3t2  ⟹  3t2+8t−3=0  ⟹  (3t−1)(t+3)=0\frac{2t}{1 - t^2} = \frac{3}{4} \implies 8t = 3 - 3t^2 \implies 3t^2 + 8t - 3 = 0 \implies (3t - 1)(t + 3) = 0 Buradan t=13t = \frac{1}{3} veya t=−3t = -3 bulunur.
tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerinden yarım açı formülüyle tan⁡θ\tan\theta değerine geçiş yapmak.
5
Verilen θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığını göz önünde bulundurarak doğru tanjant değerini seçin.
θ\theta açısı birinci bölgede olduğundan tan⁡θ>0\tan\theta > 0 olmalıdır. Bu nedenle t=13t = \frac{1}{3} değeri alınır.
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik fonksiyonun işaretini belirlemek.

Key Concept

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci dereceden denklemler yardımıyla yarım açının trigonometrik değerinin bulunması.
Question 12Question →

xx ve yy birer dar açı olmak üzere,

3sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y=23\sin x \cos y + \cos x \sin y = 2
sin⁡xcos⁡y+3cos⁡xsin⁡y=1\sin x \cos y + 3\cos x \sin y = 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x−yx - y farkı kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Verilen denklem sisteminden sinüs fark formülü yardımıyla sin⁡(x−y)=12\sin(x-y) = \frac{1}{2} elde edilir. xx ve yy dar açılar olduğundan x−y=30∘x-y = 30^\circ bulunur.
Verilen iki denklem u=sin⁡xcos⁡yu = \sin x \cos y ve v=cos⁡xsin⁡yv = \cos x \sin y değişkenleriyle iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürülür: 3u+v=23u + v = 2 ve u+3v=1u + 3v = 1. Bu sistem çözüldüğünde u=5/8u = 5/8 ve v=1/8v = 1/8 bulunur. Sinüs fark formülü sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y olduğundan, sin⁡(x−y)=u−v=5/8−1/8=1/2\sin(x-y) = u - v = 5/8 - 1/8 = 1/2 olur. xx ve yy dar açılar olduğu için −90∘<x−y<90∘-90^\circ < x-y < 90^\circ olup bu aralıkta sinüsü 1/21/2 olan tek açı 30∘30^\circ derecedir.

Step-by-Step Solution

1
u=sin⁡xcos⁡yu = \sin x \cos y ve v=cos⁡xsin⁡yv = \cos x \sin y değişken tanımlamaları yapılır.
Sistem 3u+v=23u + v = 2 ve u+3v=1u + 3v = 1 biçimini alır.
Trigonometrik ifadeleri daha kolay çözülebilir bir doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.
2
Elde edilen doğrusal denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.
u=58u = \frac{5}{8} ve v=18v = \frac{1}{8} bulunur.
Bilinmeyen trigonometrik çarpımların sayısal değerlerini tespit etmek için.
3
Sinüsün fark formülü olan sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y ifadesinde bulunan değerler yerine yazılır.
sin⁡(x−y)=58−18=48=12\sin(x-y) = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} elde edilir.
İstenen x−yx-y açısına ulaşmak için gerekli olan sinüs değerini hesaplamak için.
4
xx ve yy dar açılar olduğundan −90∘<x−y<90∘-90^\circ < x-y < 90^\circ aralığı göz önüne alınarak x−yx-y değeri belirlenir.
x−y=30∘x-y = 30^\circ bulunur.
Açı sınırlandırmalarını kullanarak sinüs değeri 12\frac{1}{2} olan uygun açıyı bulmak için.

Key Concept

İki açının farkının sinüs açılımı formülü: sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b.
Question 13Question →
tan⁡70∘−tan⁡10∘−3tan⁡70∘tan⁡10∘\frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3}}{\tan 70^\circ \tan 10^\circ} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 3\sqrt{3}

Answer

3\sqrt{3}
İfadeyi sadeleştirmek için 70∘−10∘=60∘70^\circ - 10^\circ = 60^\circ ilişkisi kullanılarak iki açının farkının tanjant formülü uygulanır. tan⁡(70∘−10∘)=tan⁡70∘−tan⁡10∘1+tan⁡70∘tan⁡10∘\tan(70^\circ - 10^\circ) = \frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 10^\circ} eşitliğinde tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3} yazılarak içler dışlar çarpımı yapıldığında tan⁡70∘−tan⁡10∘−3=3tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3} = \sqrt{3} \tan 70^\circ \tan 10^\circ elde edilir. Bu değer pay kısmındaki ifadenin yerine yazıldığında pay ve paydadaki tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ \tan 10^\circ terimleri sadeleşir ve sonuç karekök üç olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
70∘−10∘=60∘70^\circ - 10^\circ = 60^\circ eşitliğini fark ederek iki açının farkının tanjant formülünü yazmak.
tan⁡(70∘−10∘)=tan⁡70∘−tan⁡10∘1+tan⁡70∘tan⁡10∘\tan(70^\circ - 10^\circ) = \frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 10^\circ}
Verilen ifadedeki tan⁡70∘\tan 70^\circ ve tan⁡10∘\tan 10^\circ terimleri arasındaki cebirsel ilişkiyi kurabilmek için fark formülü kullanılır.
2
tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3} değerini formülde yerine koyup içler dışlar çarpımı yapmak.
3+3tan⁡70∘tan⁡10∘=tan⁡70∘−tan⁡10∘\sqrt{3} + \sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ = \tan 70^\circ - \tan 10^\circ
Bilinen bir açının tanjant değerini kullanarak denklem oluşturulur.
3
Elde edilen eşitliği düzenleyerek sorudaki pay kısmına benzetmek.
tan⁡70∘−tan⁡10∘−3=3tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3} = \sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ
Pay kısmındaki ifadenin yerine tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ \tan 10^\circ cinsinden eşiti yazılmak istenir.
4
Bulunan bu eşiti orijinal kesirli ifadede pay kısmına yazıp sadeleştirme işlemini tamamlamak.
3tan⁡70∘tan⁡10∘tan⁡70∘tan⁡10∘=3\frac{\sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ}{\tan 70^\circ \tan 10^\circ} = \sqrt{3}
Ortak terimler sadeleştirilerek ifadenin en sade sayısal değeri bulunur.

Key Concept

İki açının farkının tanjant formülü: tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}
Question 14Question →

Tanımlı olduğu her xx gerçek sayısı için,

sin⁡(x−π6)+cos⁡(x−π3)cos⁡(x−π6)−sin⁡(x−π3) \frac{\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}

ifadesinin en sade eşiti nedir?

Show answer & explanation

Answer: tan(x); \tan(x); tan x; \tan x; tanx; \tanx

Answer

İfadenin en sade eşiti tan(x) olarak bulunur.
Verilen ifadedeki tüm terimler toplam ve fark formülleri kullanılarak açılıp toplandığında pay kısmı 3sin⁡x\sqrt{3}\sin x, payda kısmı ise 3cos⁡x\sqrt{3}\cos x olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin oranı ise tan⁡x\tan x sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
sin⁡(x−π/6)=sin⁡xcos⁡(π/6)−cos⁡xsin⁡(π/6)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - \pi/6) = \sin x \cos(\pi/6) - \cos x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x ve cos⁡(x−π/3)=cos⁡xcos⁡(π/3)+sin⁡xsin⁡(π/3)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - \pi/3) = \cos x \cos(\pi/3) + \sin x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x elde edilir.
Payı basitle��tirmek için sin⁡(a−b)\sin(a-b) ve cos⁡(a−b)\cos(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
2
Pay kısmındaki bu iki açılımı toplayarak payı sadeleştirin.
(32sin⁡x−12cos⁡x)+(12cos⁡x+32sin⁡x)=3sin⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x bulunur.
−12cos⁡x-\frac{1}{2}\cos x ve 12cos⁡x\frac{1}{2}\cos x terimleri birbirini sadeleştirir.
3
Payda kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
cos⁡(x−π/6)=cos⁡xcos⁡(π/6)+sin⁡xsin⁡(π/6)=32cos⁡x+12sin⁡x\cos(x - \pi/6) = \cos x \cos(\pi/6) + \sin x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x ve sin⁡(x−π/3)=sin⁡xcos⁡(π/3)−cos⁡xsin⁡(π/3)=12sin⁡x−32cos⁡x\sin(x - \pi/3) = \sin x \cos(\pi/3) - \cos x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x elde edilir.
Paydayı basitleştirmek için cos⁡(a−b)\cos(a-b) ve sin⁡(a−b)\sin(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
4
Payda kısmındaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek paydayı sadeleştirin.
(32cos⁡x+12sin⁡x)−(12sin⁡x−32cos⁡x)=3cos⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x bulunur.
Çıkarma işlemi dağıtıldığında 12sin⁡x\frac{1}{2}\sin x terimleri birbirini götürür ve kosinüslü terimler toplanır.
5
Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda değerlerini oranlayın.
3sin⁡x3cos⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sqrt{3}\sin x}{\sqrt{3}\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x elde edilir.
Katsayılar sadeleşir ve temel trigonometrik özdeşliklerden sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x bağıntısı kullanılır.

Key Concept

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının fark formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 15Question →

Kenar uzunlukları ∣AB∣=7 birim|AB| = 7\text{ birim}, ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} ve ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim} olan bir ABCABC üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası belirleniyor.

∣BD∣=2 birim|BD| = 2\text{ birim} olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

AD uzunluğu 7 birimdir.
Doğru cevap 7'dir. İlk olarak büyük ABCABC üçgeninde tüm kenarlar bilindiği için Kosinüs Teoremi ile CC açısının kosinüsü 12\frac{1}{2} olarak bulunur. Ardından DD noktası [BC][BC] kenarını 22 ve 33 birimlik iki parçaya ayırdığı için, ACDACD üçgeninde kenarlar 88 birim ve 33 birim, aralarındaki açının kosinüsü ise 12\frac{1}{2} olur. Bu üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣AD∣=7|AD| = 7 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak cos⁡(C^)\cos(\widehat{C}) değeri hesaplanır.
∣AB∣2=∣BC∣2+∣AC∣2−2⋅∣BC∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(C^)|AB|^2 = |BC|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})
72=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(C^)7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\widehat{C})
49=25+64−80⋅cos⁡(C^)49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(\widehat{C})
80⋅cos⁡(C^)=40⇒cos⁡(C^)=1280 \cdot \cos(\widehat{C}) = 40 \Rightarrow \cos(\widehat{C}) = \frac{1}{2} (Buradan m(C^)=60∘m(\widehat{C}) = 60^\circ bulunur.)
ACDACD üçgeninde ∣AD∣|AD| uzunluğunu hesaplayabilmek için bu iki üçgenin ortak açısı olan CC açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
2
ACDACD üçgeninde [AD][AD] kenarını bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣CD∣2+∣AC∣2−2⋅∣CD∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(C^)|AD|^2 = |CD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})
Burada ∣CD∣=∣BC∣−∣BD∣=5−2=3 birim|CD| = |BC| - |BD| = 5 - 2 = 3\text{ birim}'dir.
∣AD∣2=32+82−2⋅3⋅8⋅12|AD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
∣AD∣2=9+64−24=49|AD|^2 = 9 + 64 - 24 = 49
∣AD∣=7 birim|AD| = 7\text{ birim} bulunur.
ACDACD üçgeninin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüs değeri bilindiğinden, bilinmeyen üçüncü kenar doğrudan hesaplanabilir.

Key Concept

Kosinüs Teoremi yardımıyla bir üçgende bilinmeyen kenar uzunluğunun hesaplanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 16Question →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=16\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 16
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 0.5

Answer

İfadenin değeri 0.5 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin paydaları eşitlenip düzenlendiğinde sin⁡2x⋅cos⁡2x=116\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16} elde edilir. Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x bağıntısının karesi kullanılarak sin⁡2(2x)=14\sin^2(2x) = \frac{1}{4} değerine ulaşılır. Kosinüs yarım açı formülü cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) eşitliğinde bu değer yerine yazıldığında sonuç 0.5 çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Payda eşitleme ve temel özdeşliği uygulama
sin⁡2x⋅cos⁡2x=116\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16}
Rasyonel ifadeleri birleştirmek ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini kullanmak için paydalar eşitlenmiştir.
2
Sinüs yarım açı formülünü uygulama
sin⁡2(2x)=14\sin^2(2x) = \frac{1}{4}
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğundan, ifadenin karesi alınarak sin⁡2xcos⁡2x\sin^2 x \cos^2 x ifadesi sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden yazılmıştır.
3
Kosinüs yarım a��ı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
cos⁡(4x)=0.5\cos(4x) = 0.5
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) formülünde bulunan değer yerine yazılarak sonuç hesaplanmıştır.

Key Concept

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açı Formüllerinin Uygulanması
Question 17Question →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅tan⁡xb=cos⁡x⋅cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: a < b < c

Answer

Doğru sıralama a < b < c şeklindedir.
Üçüncü bölgede sin x ve cos x negatif, tan x ve cot x ise pozitiftir. Buradan a = sin x * tan x (negatif), b = cos x * cot x (negatif) ve c = sin x * cos x (pozitif) olur. Pozitif olan c en büyüktür. Negatif olan a ve b için verilen aralıkta |sin x| > |cos x| olduğundan |a| > |b| olur. Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçük olduğundan a < b elde edilir. Böylece doğru sıralama a < b < c olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Açının bölgesini ve bu bölgedeki temel fonksiyonların işaretlerini belirleme
x açısı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede sin x < 0, cos x < 0, tan x > 0 ve cot x > 0 değerlerini alır.
Sıralama yapılacak ifadelerin işaretlerini doğru analiz etmek için.
2
Verilen a, b ve c ifadelerinin işaretlerini hesaplama
a = sin x * tan x çarpım�� (-) * (+) = (-) olur. b = cos x * cot x çarpımı (-) * (+) = (-) olur. c = sin x * cos x çarpımı (-) * (-) = (+) olur. Dolayısıyla c en büyük değerdir.
Pozitif olan c değerinin negatif olan a ve b değerlerinden daha büyük olduğunu tespit etmek için.
3
Negatif olan a ve b değerlerini kendi içinde kar��ılaştırma
a = sin^2(x)/cos(x) ve b = cos^2(x)/sin(x) şeklinde yazılabilir. Üçüncü bölgede 5pi/4 < x < 3pi/2 aralığı için |sin x| > |cos x| > 0 ve sin^2(x) > cos^2(x) olur. Ayrıca 1/|cos x| > 1/|sin x| olduğundan |a| > |b| elde edilir. İkisi de negatif olduğundan a < b olur.
a ve b sayılarının negatif olduğunu göz önünde bulundurarak mutlak değerleri üzerinden büyüklük ilişkisi kurmak için.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve sıralaması
Estimated Time:2m 0s
Question 18Question →
tan⁡(2x)−cot⁡(x)=0\tan(2x) - \cot(x) = 0

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı SS radyandır.

Buna göre, Sπ\frac{S}{\pi} oranı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 1.5

Answer

Köklerin toplamının π\pi radyana oranı 1,5'tir.
Denklemin kökleri sinüs ve kosinüs dönüşümleriyle tam olarak incelendiğinde, (0,π)(0, \pi) aralığında π6\frac{\pi}{6}, π2\frac{\pi}{2} ve 5π6\frac{5\pi}{6} olmak üzere 3 farklı gerçel kök bulunur. Bu köklerin toplamı 1,5π1,5\pi radyandır. Dolayısıyla bu toplamın π\pi değerine oranı 1,5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs oranları olarak yazın.
sin⁡(2x)cos⁡(2x)−cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 0
Denklemi çözülebilir bir forma getirmek için temel fonksiyonlara dönüştürüyoruz.
2
Paydaları eşitleyerek ortak paydada yazın.
sin⁡(2x)sin⁡(x)−cos⁡(2x)cos⁡(x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0\frac{\sin(2x)\sin(x) - \cos(2x)\cos(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0
Rasyonel ifadenin sıfıra eşitliğini incelemek için pay ve paydayı belirlemek gerekir.
3
Pay kısmını eksi parantezine alıp kosinüsün toplam formülünü uygulayın.
−cos⁡(2x)cos⁡(x)−sin⁡(2x)sin⁡(x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0  ⟹  −cos⁡(3x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0-\frac{\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0 \implies -\frac{\cos(3x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0
Trigonometrik toplam formülü sayesinde payı tek bir kosinüs fonksiyonu olarak ifade edebiliriz.
4
İfadenin sıfır olması için payı sıfır yapan kökleri bulun.
cos⁡(3x)=0  ⟹  3x=π2+kπ  ⟹  x=π6+kπ3\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}
Bir kesrin sıfır olması için payının sıfır olması gerekir.
5
(0,π)(0, \pi) aralığındaki kk tamsayı değerleri için kökleri listeleyin ve tanımlılık kontrolü yapın.
k=0  ⟹  x1=π6k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{6}
k=1  ⟹  x2=π2k=1 \implies x_2 = \frac{\pi}{2}
k=2  ⟹  x3=5π6k=2 \implies x_3 = \frac{5\pi}{6}
Bu değerlerin hiçbiri paydayı (yani cos⁡(2x)sin⁡(x)\cos(2x)\sin(x)) sıfır yapmaz, dolayısıyla tanımlıdır.
Bulunan aday köklerin orijinal denklemdeki fonksiyonları tanımsız yapıp yapmadığı kontrol edilmelidir.
6
Bulunan köklerin toplamını hesaplayıp π\pi değerine oranlayın.
S=π6+π2+5π6=9π6=1,5π  ⟹  Sπ=1,5S = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = 1,5\pi \implies \frac{S}{\pi} = 1,5
Soru kökündeki toplam oranını bulmak.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulma ve tanımlılık kontrolü yapma.
Question 19Question →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=6 birim|AB| = 6\text{ birim}, ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. AA köşesine ait iç açıortay doğrusu [BC][BC] kenarını DD noktasında kestiğine göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 247\frac{24}{7}

Answer

24 bölü 7
İç açıortay teoremi uyarınca köşeden çizilen açıortay karşı kenarı komşu kenarların oranı olan 6/8 = 3/4 oranında böler. Açıortay açıyı 60 derecelik iki eş açıya böldüğünden, oluşan iki alt üçgende Kosinüs Teoremi uygulandığında ortak bilinmeyenler sadeleşerek doğru uzunluk 24 bölü 7 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İç açıortay teoremini kullanarak kenar oranlarını yazma
|BD| / |CD| = |AB| / |AC| = 6/8 = 3/4. Buradan |BD| = 3k ve |CD| = 4k belirlenir.
Açıortayın karşı kenarda ayırdığı parçaların oranı, komşu kenarların oranına eşittir.
2
Kosinüs Teoremini ABD ve ACD üçgenlerinde AD = x için uygulama
ABD üçgeninde: 9k^2 = 36 + x^2 - 6x. ACD üçgeninde: 16k^2 = 64 + x^2 - 8x.
Açıortay açıyı iki eşit 60 derecelik açıya böldüğü için her iki üçgende de cos(60) = 1/2 kullanılarak bağıntılar yazılır.
3
Denklemleri ortak çözerek x değerini yalnız bırakma
16(36 + x^2 - 6x) = 9(64 + x^2 - 8x) ise 7x^2 = 24x ve x = 24/7 bulunur.
k^2 terimini yok etmek için denklemler uygun katsayılarla çarpılıp eşitlenir.

Key Concept

Bir üçgende Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoreminin birlikte uygulanması
Question 20Question →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=tan⁡xsin⁡xb=cot⁡xcos⁡xc=tan⁡x⋅cot⁡x\begin{aligned} a &= \frac{\tan x}{\sin x} \\ b &= \frac{\cot x}{\cos x} \\ c &= \tan x \cdot \cot x \end{aligned}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

a < c < b
İkinci bölgenin ikinci yarısında kosinüs negatif ve sinüs pozitif değerler alır. İfadeler sadeleştirildiğinde a=sec⁡xa = \sec x negatif, b=csc⁡xb = \csc x ise 2\sqrt{2}'den büyük pozitif bir değer alır. c=1c = 1 sabit sayısı da pozitif olduğundan, negatif olan aa en küçük, 11'den büyük olan bb ise en büyük olur. Bu durumda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen trigonometrik ifadeleri özdeşlikler yardımıyla en sade biçimlerine dönüştürelim.
a=sin⁡x/cos⁡xsin⁡x=1cos⁡x=sec⁡xa = \frac{\sin x / \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x,
b=cos⁡x/sin⁡xcos⁡x=1sin⁡x=csc⁡xb = \frac{\cos x / \sin x}{\cos x} = \frac{1}{\sin x} = \csc x,
c=tan⁡x⋅cot⁡x=1c = \tan x \cdot \cot x = 1 elde edilir.
Sıralama yapabilmek için ifadelerin en yalın hallerini bulmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığına göre elde edilen fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyelim.
Bu aralıkta (ikinci bölgenin ikinci yarısı) cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan a=sec⁡x<0a = \sec x < 0 olur.
sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan b=csc⁡x>0b = \csc x > 0 olur.
c=1c = 1 ise pozitif bir sabit değerdir.
Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri sıralamada öncelikli kriterdir. Negatif olan aa değerinin en küçük olduğu bu aşamada belirlenir.
3
Pozitif olan bb ve cc değerlerini kendi aralarında karşılaştıralım.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında 0<sin⁡x<220 < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} aralığındadır. Bu durumda b=1sin⁡x>2>1b = \frac{1}{\sin x} > \sqrt{2} > 1 olur.
c=1c = 1 olduğundan, c<bc < b ilişkisi kurulur.
Aynı işaretli değerlerin büyüklük ilişkisini belirlemek için fonksiyonların bu aralıktaki sınır değerleri incelenir.
4
Elde edilen tüm bilgileri birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.
a<0a < 0, c=1c = 1 ve b>2b > \sqrt{2} olduğundan doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Negatif değer en küçük, değeri en büyük olan pozitif terim ise en büyük olacak şekilde sıralama tamamlanır.

Key Concept

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Estimated Time:2m 0s
Page 1 / 21Next
Trigonometri Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin