Examkin

Tüm alıştırma soruları

2563 soru

Tüm türler2,563Çoktan seçmeli2,490Sayısal63Sıralama10
Soru 2501Soru →

Bir sanat galerisinde yan yana bulunan 55 boş duvara 33 farklı modern ve 22 farklı klasik tablo asılacaktır. Klasik tabloların yan yana gelmemesi şartıyla, bu tablolar duvarlara kaç farklı şekilde asılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Klasik tabloların yan yana gelmediği durumların sayısı 72'dir.
Klasik tabloların yan yana gelmediği durumların sayısı, tüm dizilimlerin sayısından (120120) klasik tabloların yan yana olduğu dizilimlerin sayısının (4848) çıkarılmasıyla 7272 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası dizilimlerin sayısını hesaplayın.
5 farklı tablonun 5 duvara herhangi bir koşul olmadan asılma sayısı 5!=1205! = 120 olur.
Koşulsuz tüm durumları bulup istenmeyen durumları çıkarmak (tümleyen yöntemi) kolaylık sağlar.
2
Klasik tabloların yan yana olduğu durumların sayısını hesaplayın.
2 klasik tabloyu tek bir paket (1 tablo) gibi düşünelim. Bu durumda 3 modern tablo ve 1 paket olmak üzere toplam 4 nesne vardır. Bu nesneler 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır. Paket içindeki 2 klasik tablo da kendi arasında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Dolayısıyla klasik tabloların yan yana olduğu durumların sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.
İstenmeyen durum, klasik tabloların yan yana olması durumudur.
3
İstenen durumu bulmak için tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarın.
120−48=72120 - 48 = 72 farklı şekilde asılabilir.
Tüm durumlardan klasik tabloların yan yana olduğu durumlar çıkarıldığında yan yana olmadığı durumlar elde edilir.

Anahtar Kavram

Permütasyon

İpuçları

1
Tüm olası dizilimlerin sayısından, klasik tabloların yan yana geldiği istenmeyen durumları çıkarmayı deneyebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 4 farklı matematik ve 3 farklı fizik kitabının yan yana dizileceği ve fizik kitaplarının yan yana gelmeyeceği durum sayısını hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Modern tabloları yerleştirdikten sonra aralarında ve uçlarında oluşan boşluklara klasik tabloları yerleştirme (boşluk yöntemi) metodunu da kullanabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2502Soru →
Pozitif tam sayılardan oluşan AA ve BB kümeleri şu şekilde tanımlanmıştır:
A={x∈Z+:x bir rakam ve 24 sayısı x ile kalansız bo¨lu¨nu¨r}A = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x \text{ bir rakam ve } 24 \text{ sayısı } x \text{ ile kalansız bölünür}\}
B={y∈Z+:y<8 ve y bir asal sayıdır}B = \{y \in \mathbb{Z}^+ : y < 8 \text{ ve } y \text{ bir asal sayıdır}\}

Buna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 8'dir.
AA kümesi {1,2,3,4,6,8}\{1, 2, 3, 4, 6, 8\} ve BB kümesi {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} olarak belirlenir. Buradan fark kümeleri A∖B={1,4,6,8}A \setminus B = \{1, 4, 6, 8\} ve B∖A={5,7}B \setminus A = \{5, 7\} olur. Bu kümelerin eleman sayıları sırasıyla s(A∖B)=4s(A \setminus B) = 4 ve s(B∖A)=2s(B \setminus A) = 2 olduğundan, kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 4×2=84 \times 2 = 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını belirlemek için 24'ü kalansız b��len pozitif rakamları buluruz.
A={1,2,3,4,6,8}A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} kümesi elde edilir ve bu kümenin eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6'dır.
A kümesinin elemanları tanım gereği pozitif rakamlar ve 24'ün bölenleridir.
2
BB kümesinin elemanlarını belirlemek için 8'den küçük pozitif asal sayıları buluruz.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} kümesi elde edilir ve bu kümenin eleman sayısı s(B)=4s(B) = 4'tür.
B kümesinin elemanları tanım gereği 8'den küçük pozitif asal sayılardır.
3
A∖BA \setminus B ve B∖AB \setminus A fark kümelerini ve eleman sayılarını hesaplarız.
A∖B={1,4,6,8}A \setminus B = \{1, 4, 6, 8\} olup s(A∖B)=4s(A \setminus B) = 4 ve B∖A={5,7}B \setminus A = \{5, 7\} olup s(B∖A)=2s(B \setminus A) = 2 bulunur.
Kartezyen çarpımı yapılacak fark kümelerinin eleman sayılarını bulmak için kümelerin ortak elemanları çıkarılır.
4
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bulmak için elde edilen fark kümelerinin eleman sayılarını çarparız.
s((A∖B)×(B∖A))=s(A∖B)×s(B∖A)=4×2=8s((A \setminus B) \times (B \setminus A)) = s(A \setminus B) \times s(B \setminus A) = 4 \times 2 = 8 olarak hesaplanır.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımının Eleman Sayısı ve Küme Fark İşlemi
Soru 2503Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir işlem düzeneğinde, sisteme gönderilen her nn sayısı için bir sonraki adımda elde edilecek yeni sayı şu kurallarla belirlenmektedir:

* nn sayısı tek asal sayı ise bir sonraki adımda n+3n + 3 sayısı elde edilir.
* nn sayısı ��ift sayı ise bir sonraki adımda n2\frac{n}{2} sayısı elde edilir.
* nn sayısı asal olmayan bir tek sayı ise bir sonraki adımda n+1n + 1 sayısı elde edilir.

(Not: 11 sayısı asal olmayan bir tek sayı olarak kabul edilmektedir.)

Buna göre, bu düzeneğe girilen aşağıdaki başlangıç sayılarından hangisi, 4. adımın sonunda ilk kez 11 değerine ulaşır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Düzeneğe girilen 16 sayısı, her adımda çift sayı kuralı uygulanarak sırasıyla 8, 4, 2 ve en son 4. adımda 1 değerine ulaşır.
Düzeneğe girilen 16 sayısı başlangıçta çifttir. Birinci adımda ikiye bölünerek 8, ikinci adımda ikiye bölünerek 4, üçüncü adımda ikiye bölünerek 2 ve dördüncü adımda ikiye bölünerek 1 elde edilir. Bu süreçte daha önceki adımlarda 1 elde edilmediğinden, 16 sayısı 4. adımın sonunda ilk kez 1 değerine ulaşmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Seçeneklerdeki sayıların kurallara göre adım adım değişimini incelemek için 16 sayısını ele alalım.
16 sayısı çift bir sayı olduğudur.
Başlangıç sayısının hangi kurala tabi olduğunu belirlemek için sayının çiftlik durumuna bakılır.
2
16 sayısına ardışık olarak çift sayı kuralını uygulayalım.
1. ad��mda 16/2 = 8, 2. adımda 8/2 = 4, 3. adımda 4/2 = 2 ve 4. adımda 2/2 = 1 elde edilir.
16 ve her adımda elde edilen yeni sayıların tümü çift sayı olduğu için sürekli n/2 kuralı uygulanır.
3
Diğer seçeneklerdeki sayıların durumlarını kontrol edelim.
10 sayısı 4. adımda 2; 12 sayısı 3; 14 sayısı 8; 18 sayısı ise 8 değerine ulaşır.
Diğer başlangıç sayılarının 4. adımda 1 değerini verip vermediğini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Koşullu İşlemler ve Kural Takibi

İpuçları

1
Her adımda elde ettiğiniz sayının çiftlik ve asallık durumunu yeniden kontrol ederek doğru kuralı uygulayın.
2
Çift sayıları her seferinde ikiye bölmeye devam edin; tek bir sayı elde ettiğinizde bu sayının asal olup olmadığını kontrol edin.
3
16 sayısı çift bir sayıdır ve arka arkaya 4 kez ikiye bölündüğünde 1 elde edilir.

Daha Fazla Pratik

Aynı kurallara göre sisteme başlangıç değeri olarak 15 sayısı girilirse, 6. adımın sonunda hangi sayı elde edilir?

Alternatif Yöntem

1 değerinden başlayarak geriye doğru ters işlemler yapabilirsiniz. Son adımda 1 elde etmek için bir önceki adımda çift sayı kuralından 2 gelmiş olmalıdır. Bu şekilde geriye giderek başlangıç sayılarını üretebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2504Soru →

aa, bb ve cc birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

a+2b+3c=42a + 2b + 3c = 42

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

toplamın alabileceği en küçük değer olan 16'dır
Verilen denklemde en küçük toplamı elde etmek için katsayısı büyük olan değişkenlere olabildiğince büyük değerler vermeliyiz. Sayıların birbirinden farklı pozitif tam sayılar olması koşulu altında, c=11c = 11, b=4b = 4 ve a=1a = 1 değerleri denklemi sağlar ve en küçük toplamı olan 16 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi düzenleyerek toplam ifadesini yalnız bırakma.
a+b+ca + b + c toplamına SS diyelim. Verilen a+2b+3c=42a + 2b + 3c = 42 denklemini S+b+2c=42S + b + 2c = 42 şeklinde yazabiliriz. Buradan S=42−(b+2c)S = 42 - (b + 2c) elde edilir.
SS toplamını en küçük yapmak için çıkarılan (b+2c)(b + 2c) ifadesini en büyük yapmamız gerektiğini görmek.
2
aa değişkeninin pozitif tam sayı olma koşulunu kullanma.
a≥1a \geq 1 olduğundan, 42−2b−3c≥1  ⟹  2b+3c≤4142 - 2b - 3c \geq 1 \implies 2b + 3c \leq 41 eşitsizliği elde edilir.
bb ve cc değişkenlerinin alabileceği üst sınırları belirlemek.
3
cc değişkenine en büyük değerleri vererek bb ve aa değerlerini test etme.
c=13c = 13 için 2b≤2  ⟹  b=1  ⟹  a=12b \leq 2 \implies b = 1 \implies a = 1 olur (farklı olma koşuluna uymaz). c=12c = 12 için 2b≤5  ⟹  b=12b \leq 5 \implies b = 1 veya b=2b = 2 olabilir. b=1b=1 için a=4a=4 bulunur (toplam 1717 olur). c=11c = 11 için 2b≤8  ⟹  b≤42b \leq 8 \implies b \leq 4 olur. En büyük b=4b = 4 için a=1a = 1 bulunur (toplam 1+4+11=161+4+11 = 16 olur).
Değişkenlerin birbirinden farklı ve pozitif tam sayı olma koşullarına göre en küçük toplamı bulmak.

Anahtar Kavram

Temel Kavramlar ve Sayı Kümelerinde Değer Verme

İpuçları

1
a+b+ca + b + c toplamını en küçük yapmak için katsayısı büyük olan bb ve cc değişkenlerini olabildiğince büyük seçmeye çalışmalısınız.
2
a+2b+3c=42a + 2b + 3c = 42 ifadesini (a+b+c)+b+2c=42(a+b+c) + b + 2c = 42 olarak düzenleyin. Toplamın en küçük olması için b+2cb + 2c ifadesi en büyük olmalıdır.
3
c=13c = 13, c=12c = 12 ve c=11c = 11 durumlarını tek tek deneyerek değişkenlerin pozitif tam sayı ve birbirinden farklı olma koşullarını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde katsayıları farklı olan denklemlerde en büyük veya en küçük değer sorularını çözerek değer verme becerilerinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde aa yalnız bırakılırsa a=42−2b−3ca = 42 - 2b - 3c olur. a≥1a \geq 1 eşitsizliğinden yola çıkarak 2b+3c≤412b + 3c \leq 41 elde edilir. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük b+2cb + 2c değerini arayarak da çözüme ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2505Soru →

Ardışık nn tane tek tam sayının toplamı TT'dir. Bu sayıların her birinden 4 çıkarıldığında elde edilen yeni sayıların toplamı T−72T - 72 olmaktad��r.

Bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı 44 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

En büyük sayı 39'dur.
Terim sayısı, toplam azalış miktarı olan 72'nin tek bir terimdeki azalış miktarı olan 4'e bölünmesiyle 18 olarak bulunur. Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2 olduğundan, 18 terimli bu dizinin en büyük terimi, en küçük teriminden 2×17=342 \times 17 = 34 fazladır. En küçük terime xx dersek, en büyük terim x+34x+34 olur. Bu iki terimin toplamı 2x+34=442x+34 = 44 olduğundan en küçük terim x=5x=5 ve en büyük terim 5+34=395+34 = 39 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terim sayısını (nn) bulmak için toplamdaki azalış miktarını terim başına yapılan azalış miktarına böleriz.
n=724=18n = \frac{72}{4} = 18 bulunur.
Her bir terimden 4 çıkarıldığında, nn tane terimin toplamı 4n4n kadar azalır. Bu azalış 72'ye eşit olduğundan terim sayısı 18'dir.
2
En küçük terime xx diyerek en büyük terimi xx cinsinden ifade ederiz.
En büyük terim x+2(18−1)=x+34x + 2(18 - 1) = x + 34 olur.
Ardışık tek sayılar ikişer ikişer artar. nn tane terim olduğunda en büyük terim en küçük terimden 2(n−1)2(n-1) kadar fazla olur.
3
En büyük ve en küçük terimlerin toplamının 44 olmasını kullanarak denklem kurup xx'i buluruz.
x+(x+34)=44⇒2x+34=44⇒2x=10⇒x=5x + (x + 34) = 44 \Rightarrow 2x + 34 = 44 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5 bulunur.
Soruda en büyük ve en küçük terimlerin toplamının 44 olduğu belirtilmiştir.
4
Bulduğumuz en küçük terim değerini kullanarak en büyük terimin değerini hesaplarız.
En büyük terim 5+34=395 + 34 = 39 olur.
En büyük terim x+34x + 34 olarak tanımlanmıştı ve x=5x = 5 olarak bulunmuştur.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayılarda Terim Sayısı ve Terimler Arasındaki Artış İlişkisi

İpuçları

1
Her bir sayıdan 4 çıkarıldığında toplamın ne kadar azaldığına bakarak terim sayısını (nn) bulun.
2
Ardışık tek sayılar arasındaki artış miktarının 2 olduğunu unutmayın. En küçük terim ile en büyük terim arasındaki farkı terim sayısı cinsinden yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, ardışık çift sayılar için de aynı kuralların nasıl uygulanacağını pekiştirmek adına artış miktarının 2 olduğunu göz önünde bulundurarak farklı bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

En küçük terim xx ve en büyük terim yy olsun. Terim sayısı formülünden y−x2+1=18⇒y−x=34\frac{y - x}{2} + 1 = 18 \Rightarrow y - x = 34 elde edilir. Soruda verilen y+x=44y + x = 44 denklemi ile bu eşitliği taraf tarafa toplarsak 2y=78⇒y=392y = 78 \Rightarrow y = 39 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2506Soru →

Bir grupta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan 36 kişi vardır. Bu grupta İngilizce konuşanların kümesi EE, Almanca konuşanların kümesi GG ile gösterilmektedir.

* Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların sayısının 2 katıdır.
* Sadece Almanca konuşanların sayısı, her iki dili de konuşanların sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu grupta İngilizce konuşan kişi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

İngilizce konuşan kişi sayısı 27'dir.
İngilizce konuşan toplam kişi sayısı, sadece İngilizce konuşanlar (8x8x) ile her iki dili konuşan ortak elemanların (xx) toplamıdır. Denklemden elde edilen x=3x = 3 değeri yerine yazıldığında 9x=279x = 27 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesinin eleman sayısını değişkenle ifade edin.
s(E∩G)=xs(E \cap G) = x
Diğer küme bölümlerinin eleman sayıları bu ortak bölgeye bağlı olarak tanımlanacaktır.
2
Almanca konuşanların toplam eleman sayısını bulun.
s(G∖E)=3xs(G \setminus E) = 3x ve s(G)=3x+x=4xs(G) = 3x + x = 4x
Sadece Almanca konuşanlar her iki dili konuşanların 3 katı olduğundan, Almanca konuşanlar bu iki bölgenin toplamıdır.
3
Sadece İngilizce konuşanların eleman sayısını Almanca konuşanlar cinsinden ifade edin.
s(E∖G)=2⋅s(G)=2⋅4x=8xs(E \setminus G) = 2 \cdot s(G) = 2 · 4x = 8x
Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların toplam sayısının 2 katı olarak verilmiştir.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak x değerini hesaplayın.
s(E∪G)=8x+x+3x=12x=36  ⟹  x=3s(E \cup G) = 8x + x + 3x = 12x = 36 \implies x = 3
Gruptaki herkes en az bir dil konuştuğu için tüm bölgelerin toplamı grubun toplam mevcudu olan 36'ya eşittir.
5
İngilizce konuşan toplam kişi sayısını hesaplayın.
s(E)=s(E∖G)+s(E∩G)=8x+x=9x  ⟹  9⋅3=27s(E) = s(E \setminus G) + s(E \cap G) = 8x + x = 9x \implies 9 · 3 = 27
İngilizce konuşanlar, sadece İngilizce konuşanlar ile her iki dili de konuşanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemlerinin sözel problemler üzerindeki uygulaması ve eleman sayıları arasındaki ilişkiler.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bir bölgenin eleman sayısını doğrudan şema üzerinde harflendirip denklem kurarak da çözüme ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2507Soru →

Bir tercüme bürosunda çalışan Aslı bir kitabın çevirisini tek başına 1212 günde, Burak ise aynı kitabın çevirisini tek başına 1818 günde tamamlayabilmektedir. İkisi birlikte bu kitabın çevirisine başladıktan 44 gün sonra Aslı işi bırakıyor. Geriye kalan kısmı Burak tek başına tamamladığına göre, kitabın tamamının çevirisi toplam kaç günde tamamlanmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Kitabın tamamının çevirisi toplam 12 günde tamamlanmıştır.
Aslı ve Burak'ın bir günde yaptıkları iş miktarları sırasıyla 112\frac{1}{12} ve 118\frac{1}{18}'dir. Birlikte 4 günde işin 4×(112+118)=594 \times \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{18}\right) = \frac{5}{9}'unu bitirirler. Kalan 49\frac{4}{9}'luk işi Burak tek başına günde 118\frac{1}{18} hızla çalışarak 49÷118=8\frac{4}{9} \div \frac{1}{18} = 8 günde tamamlar. Toplam süre 4+8=124 + 8 = 12 gündür.

Adım Adım Çözüm

1
Aslı ve Burak'ın birer günde yapabildikleri iş miktarlarını (çalışma hızlarını) belirleme.
Aslı günde 112\frac{1}{12} iş, Burak ise günde 118\frac{1}{18} iş yapar.
İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş miktarları üzerinden denklem kurulur.
2
İkisinin birlikte çalıştığı 4 günde kitabın ne kadarını çevirdiklerini hesaplama.
4×(112+118)=4×(336+236)=4×536=594 \times \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{18}\right) = 4 \times \left(\frac{3}{36} + \frac{2}{36}\right) = 4 \times \frac{5}{36} = \frac{5}{9}
Birlikte geçirilen sürede yapılan toplam iş miktarını bulmak için hızlar toplanır ve süreyle çarpılır.
3
Geriye kalan iş miktarını belirleme.
1−59=491 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}
İşin tamamı 1 bütün olarak kabul edilir ve yapılan kısım bütünden çıkarılır.
4
Burak'ın kalan işi tek başına kaç günde bitireceğini bulma.
49÷118=49×18=8\frac{4}{9} \div \frac{1}{18} = \frac{4}{9} \times 18 = 8 gün
Kalan iş miktarı, işi yapan kişinin birim zamandaki hızına bölünerek geçen s��re hesaplanır.
5
Kitabın tamamının çevrilmesi için geçen toplam süreyi hesaplama.
4+8=124 + 8 = 12 gün
İlk 4 gün birlikte çalıştıkları süre ile Burak'ın tek başına çalıştığı 8 gün toplanır.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş miktarının rasyonel ifadelerle modellenmesi ve kalan işin süresinin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Kitabın tamamına 12 ve 18'in en küçük ortak katı olan 36x36x birim iş diyelim. Bu durumda Aslı günde 3x3x birim, Burak ise günde 2x2x birim iş yapar. Birlikte 4 günde 4×(3x+2x)=20x4 \times (3x + 2x) = 20x birim iş yaparlar. Geriye kalan iş 36x−20x=16x36x - 20x = 16x birimdir. Burak kalan işi tek başına 16x÷2x=816x \div 2x = 8 günde tamamlar. Toplam süre 4+8=124 + 8 = 12 gün olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2508Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı gg fonksiyonu
g(x)=2x−13g(x) = \frac{2x - 1}{3}
ve ff fonksiyonu
f(x)={3x−5,x<2x2−1,x≥2f(x) = \begin{cases} 3^x - 5, & x < 2 \\ x^2 - 1, & x \ge 2 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (f∘g)(5)−(g∘f)(1)(f \circ g)(5) - (g \circ f)(1) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 293\frac{29}{3}

Cevap

293\frac{29}{3}
Bileşke fonksiyon tanımından faydalanılarak önce g(5)=3g(5) = 3 bulunur, ardından f(3)=8f(3) = 8 elde edilir. İkinci kısımda ise f(1)=−2f(1) = -2 bulunur, ardından g(−2)=−53g(-2) = -\frac{5}{3} elde edilir. Bu iki sonucun farkı alındığında 8−(−53)=2938 - (-\frac{5}{3}) = \frac{29}{3} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
g(5)g(5) değerini hesaplayın.
g(5)=3g(5) = 3
(f∘g)(5)(f \circ g)(5) ifadesinde ff fonksiyonunun içine yazılacak değeri bulmak için.
2
f(3)f(3) değerini bulun.
f(3)=8f(3) = 8
3≥23 \ge 2 olduğundan f(x)f(x) fonksiyonunun ikinci par��asını kullanarak (f∘g)(5)(f \circ g)(5) değerini tamamlamak için.
3
f(1)f(1) değerini bulun.
f(1)=−2f(1) = -2
1<21 < 2 olduğundan f(x)f(x) fonksiyonunun ilk parçasını kullanarak (g∘f)(1)(g \circ f)(1) için iç değeri bulmak için.
4
g(−2)g(-2) değerini hesaplayın.
g(−2)=−53g(-2) = -\frac{5}{3}
(g∘f)(1)(g \circ f)(1) değerini tamamlamak için f(1)f(1) sonucunu gg fonksiyonuna yazmak için.
5
İki değerin farkını hesaplayın.
8−(−53)=2938 - (-\frac{5}{3}) = \frac{29}{3}
İstenen çıkarma işlemini gerçekleştirmek için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma ve parçalı tanımlı fonksiyonların alt aralıklarına göre değer hesaplama.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2509Soru →

Uzunluğu 150 metre150\text{ metre} olan bir tren, sabit hızla hareket ederek 450 metre450\text{ metre} uzunluğundaki bir tüneli giriş anından tamamen çıkış anına kadar 30 saniyede30\text{ saniyede} geçmektedir. Aynı tren, tüneli geçtikten sonra hızını saatte 18 km18\text{ km} artırarak başka bir köprüyü 20 saniyede20\text{ saniyede} tamamen geçiyor. Buna göre, bu köprünün uzunluğu kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 350

Cevap

350 metre
Doğru cevap, trenin tüneli geçerken aldığı yolun tren ve tünel boylarının toplamı (600 m600\text{ m}) olduğunu görerek hızını 20 m/s20\text{ m/s} olarak hesaplayan; ardından hız artışını (18 km/h=5 m/s18\text{ km/h} = 5\text{ m/s}) ekleyip yeni hızını 25 m/s25\text{ m/s} bulan ve 2020 saniyede alınan toplam 500 m500\text{ m} yoldan trenin kendi boyunu (150 m150\text{ m}) çıkararak köprü uzunluğunu 350 metre350\text{ metre} olarak bulan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Trenin tüneli tamamen geçmesi için alması gereken toplam mesafeyi belirlemek.
Toplam mesafe = Tren boyu + Tünel boyu = 150+450=600 metre150 + 450 = 600\text{ metre}.
Bir trenin bir tüneli tamamen geçmesi için kendi boyu ile tünel boyunun toplamı kadar yol alması gerekir.
2
Trenin ilk hızını (V1V_1) metre/saniye (m/s) cinsinden hesaplamak.
V1=60030=20 m/sV_1 = \frac{600}{30} = 20\text{ m/s}.
Hız, alınan yolun geçen süreye bölünmesiyle bulunur.
3
Saatte 18 km18\text{ km} (18 km/h18\text{ km/h}) olan hız artışını metre/saniye (m/s) cinsine çevirmek.
18 km/h=18×1000 m3600 s=5 m/s18\text{ km/h} = \frac{18 \times 1000\text{ m}}{3600\text{ s}} = 5\text{ m/s}.
Sorudaki diğer birimler metre ve saniye cinsinden olduğundan hız artışının da m/s cinsine çevrilmesi gerekir.
4
Trenin yeni hızını (V2V_2) belirlemek.
V2=20+5=25 m/sV_2 = 20 + 5 = 25\text{ m/s}.
Tren hızını 5 m/s5\text{ m/s} artırdığı için yeni hız bu iki değerin toplamıdır.
5
Trenin köprüyü geçerken aldığ�� toplam yolu ve buradan köprünün uzunluğunu hesaplamak.
Toplam yol = 25 m/s×20 s=500 metre25\text{ m/s} \times 20\text{ s} = 500\text{ metre}. Köprü uzunluğu = Toplam yol - Tren boyu = 500−150=350 metre500 - 150 = 350\text{ metre}.
Köprüyü tamamen geçme süresi ve hız kullanılarak toplam yol bulunur; bu yoldan trenin kendi boyu çıkarıldığında köprünün uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Trenlerin tünel ve köprü geçişlerinde toplam yol hesabı ve hız birimi dönüştürme

Alternatif Yöntem

Tüm birimleri saat ve kilometre cinsine çevirerek de çözüme ulaşabiliriz. Trenin boyu 0,15 km0,15\text{ km}, tünelin boyu 0,45 km0,45\text{ km}'dir. Toplam yol 0,6 km0,6\text{ km} olur. Süre 30 saniye=303600=1120 saat30\text{ saniye} = \frac{30}{3600} = \frac{1}{120}\text{ saat}'tir. Buradan ilk hız V1=0,61/120=72 km/hV_1 = \frac{0,6}{1/120} = 72\text{ km/h} bulunur. Hız 18 km/h18\text{ km/h} artırılınca yeni hız 90 km/h90\text{ km/h} olur. Köprüden geçiş süresi 20 saniye=203600=1180 saat20\text{ saniye} = \frac{20}{3600} = \frac{1}{180}\text{ saat}'tir. Alınan toplam yol 90×1180=0,5 km=500 metre90 \times \frac{1}{180} = 0,5\text{ km} = 500\text{ metre} olur. Köprü uzunluğu ise 500−150=350 metre500 - 150 = 350\text{ metre} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2510Soru →

Dik koordinat düzleminde, A(k,3)A(k, 3) ve B(2,−1)B(2, -1) noktaları arasındaki uzaklık, AA noktasının yy-eksenine olan uzaklığının 22 katına eşittir. Buna göre, kk gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −43-\frac{4}{3}

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı −43-\frac{4}{3}'tür.
Doğru cevap −43-\frac{4}{3} değeridir. A(k,3)A(k, 3) noktasının yy-eksenine olan uzaklığı ∣k∣|k| birimdir. A(k,3)A(k, 3) ile B(2,−1)B(2, -1) noktaları arasındaki uzaklık ise (k−2)2+16\sqrt{(k-2)^2 + 16} birimdir. Verilen koşula göre (k−2)2+16=2∣k∣\sqrt{(k-2)^2 + 16} = 2|k| eşitliği yazılır. Eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında 3k2+4k−20=03k^2 + 4k - 20 = 0 denklemine ulaşılır. Bu denklemin kökler toplamı formülü (−ba-\frac{b}{a}) uygulandığında kk değerlerinin toplamı −43-\frac{4}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A noktasın��n y-eksenine olan uzaklığını ifade etme.
A(k,3)A(k, 3) noktasının yy-eksenine olan uzaklığı, apsisinin mutlak değerine eşittir: ∣k∣|k| birimdir.
Bir noktanın y-eksenine olan uzaklığı, o noktanın x koordinatının mutlak değeridir.
2
A ve B noktaları arasındaki uzaklığı formülize etme.
∣AB∣=(k−2)2+(3−(−1))2=(k−2)2+16|AB| = \sqrt{(k - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(k - 2)^2 + 16} birimdir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} bağıntısı ile hesaplanır.
3
Verilen koşula göre denklem kurma ve çözme.
(k−2)2+16=2∣k∣\sqrt{(k - 2)^2 + 16} = 2|k| denklemi kurulur. Her iki tarafın karesi alındığında; (k−2)2+16=4k2  ⟹  k2−4k+20=4k2  ⟹  3k2+4k−20=0(k - 2)^2 + 16 = 4k^2 \implies k^2 - 4k + 20 = 4k^2 \implies 3k^2 + 4k - 20 = 0 ikinci derece denklemi elde edilir.
Uzaklığın, y-eksenine olan uzaklığın 2 katına eşit olduğu bilgisi kullanılmıştır.
4
İkinci derece denklemin kökler toplamını bulma.
3k2+4k−20=03k^2 + 4k - 20 = 0 denkleminin kökler toplamı −ba=−43-\frac{b}{a} = -\frac{4}{3} olarak hesaplanır. Çarpanlara ayırma yöntemiyle de kökler k1=−103k_1 = -\frac{10}{3} ve k2=2k_2 = 2 olarak bulunur ve toplamları −103+2=−43-\frac{10}{3} + 2 = -\frac{4}{3} elde edilir.
Soruda k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde bir noktanın eksenlere olan uzaklığı ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2511Soru →

aa ve bb birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

(a−1)!+(b+1)!=126(a-1)! + (b+1)! = 126

olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Farklı pozitif tam sayıların çarpımı 12'dir.
Toplamları 126 olan faktöriyel değerleri sadece 120120 (5!5!) ve 66 (3!3!) olabilir. Bu durumda a−1=5⇒a=6a-1=5 \Rightarrow a=6 ve b+1=3⇒b=2b+1=3 \Rightarrow b=2 olur. Sayılar birbirinden farklı olduğu için bu durum geçerlidir ve çarpımları 12'dir. Diğer durumda ise a=4a=4 ve b=4b=4 çıkmaktadır fakat bu durum sayıların farklı olması koşuluna uymamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplamı 126 olan iki faktöriyel ifadesini belirlemek.
(a−1)!+(b+1)!=120+6(a-1)! + (b+1)! = 120 + 6
Faktöriyel değerlerini incelediğimizde (0!=10!=1, 1!=11!=1, 2!=22!=2, 3!=63!=6, 4!=244!=24, 5!=1205!=120), toplamı 126 yapan tek ikilinin 120 ve 6 olduğu görülür.
2
aa ve bb sayıları için olası durumları bulmak.
Birinci durum: a−1=5⇒a=6a-1=5 \Rightarrow a=6 ve b+1=3⇒b=2b+1=3 \Rightarrow b=2. İkinci durum: a−1=3⇒a=4a-1=3 \Rightarrow a=4 ve b+1=5⇒b=4b+1=5 \Rightarrow b=4.
5!=1205! = 120 ve 3!=63! = 6 eşitlikleri kullanılarak değişkenlerin değerleri hesaplanır.
3
Birbirinden farklı olma koşulunu kontrol ederek çarpımı hesaplamak.
a=6a=6 ve b=2b=2 için a⋅b=12a \cdot b = 12 elde edilir.
aa ve bb sayılarının birbirinden farklı pozitif tam sayılar olması istendiğinden a=4,b=4a=4, b=4 durumu elenir. Bu durumda tek geçerli çözüm a=6,b=2a=6, b=2 olur.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı ve temel faktöriyel değerlerinin denklemlerde kullanımı

İpuçları

1
Küçük sayıların faktöriyel değerlerini (1!,2!,3!,4!,5!1!, 2!, 3!, 4!, 5!) listeleyip, hangi ikisinin toplamının 126 ettiğini bulun.
2
Toplamları 126 yapan faktöriyeller 5!=1205! = 120 ve 3!=63! = 6 sayılarıdır. Buradan iki farklı durum elde edersiniz.
3
aa ve bb sayılarının birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğunu unutmayın. Bu bilgi elde ettiğiniz iki durumdan birini elemenizi sağlayacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde üç terimli faktöriyel toplamları içeren denklemleri ve bu denklemlerdeki kısıtlamaları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2512Soru →
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
a⋅b<0a \cdot b < 0
b−a<0b - a < 0
a⋅c>0a \cdot c > 0
c−a>0c - a > 0
olduğuna göre; aa, bb ve cc say��larının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<a<cb < a < c

Cevap

Doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen eşitsizliklerden a⋅b<0a \cdot b < 0 ifadesi aa ile bb'nin zıt işaretli olduğunu gösterir. b−a<0b - a < 0 ifadesi ise b<ab < a demektir. Zıt işaretli iki sayıdan bb daha küçük olduğu için bb negatif, aa ise pozitif olmalıdır (b<0<ab < 0 < a). Diğer yandan, a⋅c>0a \cdot c > 0 ifadesi aa ile cc'nin aynı işaretli olduğunu gösterir. aa pozitif olduğu için cc de pozitif olmalıdır. Son olarak, c−a>0c - a > 0 ifadesinden c>ac > a elde edilir. Bu durumda pozitif olan cc sayısı, pozitif olan aa sayısından büyüktür. Negatif olan bb ise en küçük sayıdır. Sonuç olarak doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b<0a \cdot b < 0 ve b−a<0b - a < 0 eşitsizliklerini inceleyerek aa ve bb sayılarının işaretlerini belirleyelim.
aa pozitif (a>0a > 0) ve bb negatif (b<0b < 0) olmalıdır.
a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan aa ve bb zıt işaretlidir. b−a<0  ⟹  b<ab - a < 0 \implies b < a olduğundan, küçük olan sayı (bb) negatif, büyük olan sayı (aa) pozitif olmak zorundadır.
2
a⋅c>0a \cdot c > 0 eşitsizliğini kullanarak cc sayısının işaretini belirleyelim.
cc pozitif (c>0c > 0) olmalıdır.
a>0a > 0 olarak bulunmuştu. Çarpımları pozitif (a⋅c>0a \cdot c > 0) olduğuna göre cc de aa ile aynı işaretli, yani pozitif olmalıdır.
3
c−a>0c - a > 0 eşitsizliğini kullanarak aa ve cc sayılarını kendi aralarında sıralayalım ve tüm sayıları birleştirelim.
b<a<cb < a < c sıralaması elde edilir.
c−a>0  ⟹  c>ac - a > 0 \implies c > a olur. b<0b < 0, a>0a > 0 ve c>0c > 0 olduğunu biliyoruz. aa ve cc pozitif sayılarından cc daha büyük olduğundan sıralama b<a<cb < a < c şeklinde elde edilir.

Anahtar Kavram

Basit eşitsizliklerde işaret belirleme ve taraf tarafa işlemlerle sıralama yapılması.

İpuçları

1
Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir, çarpımları pozitif olan iki sayı ise aynı işaretlidir.
2
b−a<0b - a < 0 eşitsizliğini b<ab < a olarak yazıp zıt işaretli olma durumuyla birleştirerek aa ve bb'nin işaretlerini bulabilirsiniz.
3
aa'nın işaretini bulduktan sonra a⋅c>0a \cdot c > 0 ve c−a>0c - a > 0 eşitsizliklerini kullanarak cc'nin işaretini ve aa ile ilişkisini belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üslü ifadeler içeren eşitsizliklerde işaret ve sıralama belirleme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı değerleri vererek de sıralamayı doğrulayabilirsiniz. Örneğin, eşitsizlikleri sağlayacak şekilde b=−1b = -1, a=1a = 1 ve c=2c = 2 değerlerini seçtiğimizde tüm koşulların sağlandığını görebiliriz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2513Soru →

Bir doğa sporları kampındaki 5050 katılımcının her biri rafting veya doğa yürüyüşü (trekking) aktivitelerinden en az birine katılmıştır. Bu kampta sadece rafting yapanların sayısı, her iki aktiviteye de katılanların sayısının 44 katıdır.

Kampta doğa yürüyüşü yapan toplam katılımcı sayısı 2626 olduğuna göre, rafting yapan toplam katılımcı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Rafting yapan toplam katılımcı sayısı 30'dur.
Her iki aktiviteye katılanların sayısına xx dersek, sadece rafting yapanlar 4x4x olur. Doğa yürüyüşü yapanlar 2626 kişidir. Toplam katılımcı sayısı 5050 olduğundan, sadece rafting yapanlar ile doğa yürüyüşü yapanların toplamı 5050'ye eşit olmalıdır: 4x+26=50  ⟹  4x=24  ⟹  x=64x + 26 = 50 \implies 4x = 24 \implies x = 6. Rafting yapan toplam katılımcı sayısı ise sadece rafting yapanlar ile her iki aktiviteyi yapanların toplamı, yani 4x+x=5x4x + x = 5x'tir. Buradan 5×6=305 \times 6 = 30 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve değişkenleri tanımlayın.
Rafting yapanlar kümesi RR, doğa yürüyüşü yapanlar kümesi TT olsun. Her iki aktiviteyi de yapanların sayısı s(R∩T)=xs(R \cap T) = x ise sadece rafting yapanların sayısı s(R∖T)=4xs(R \setminus T) = 4x olur.
Soruda verilen oranları matematiksel sembollerle ifade etmek için.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kurun ve xx değerini bulun.
Kamp sakinlerinin tamamı en az bir aktiviteye katıldığı için toplam katılımcı sayısı s(R∪T)=50s(R \cup T) = 50'dir. Buradan s(R∪T)=s(R∖T)+s(T)  ⟹  50=4x+26  ⟹  4x=24  ⟹  x=6s(R \cup T) = s(R \setminus T) + s(T) \implies 50 = 4x + 26 \implies 4x = 24 \implies x = 6 elde edilir.
Kesişim kümesinin eleman sayısını (xx) bularak alt kümelerin eleman sayılarına ulaşmak için.
3
Rafting yapan toplam katılımcı sayısını (s(R)s(R)) hesaplayın.
s(R)=s(R∖T)+s(R∩T)=4x+x=5xs(R) = s(R \setminus T) + s(R \cap T) = 4x + x = 5x olur. x=6x = 6 değeri yerine yazıldığında s(R)=5×6=30s(R) = 5 \times 6 = 30 bulunur.
Bizden istenen rafting yapan toplam kişi sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri

İpuçları

1
Her iki aktiviteye de katılanların sayısını bir değişken (xx gibi) ile temsil edin.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısının, sadece rafting yapanlar ile doğa yürüyüşü yapan toplam kişilerin toplamına eşit olduğunu fark edin: s(R∪T)=s(R∖T)+s(T)s(R \cup T) = s(R \setminus T) + s(T).
3
Bulduğunuz xx değeri yardımıyla hem sadece rafting yapanların (4x4x) hem de her iki aktiviteyi yapanların (xx) sayısını belirleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç kümenin (örneğin İngilizce, Almanca ve Fransızca konuşanlar) yer aldığı daha karmaşık küme problemlerini çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirebilirsiniz. Toplam katılımcı sayısı 5050 ve doğa yürüyüşü yapanlar 2626 ise, sadece rafting yapan kişi sayısı 50−26=2450 - 26 = 24 olur. Sadece rafting yapanlar 2424 ise, her iki aktiviteyi yapanlar 24/4=624 / 4 = 6 olur. Toplam rafting yapanlar ise sadece rafting yapanlar ile her iki aktiviteyi yapanların toplamı olan 24+6=3024 + 6 = 30 olarak doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2514Soru →

Kerem, bir alışveriş merkezindeki duran bir yürüyen bandın üzerinde sabit hızla yürürken bandın bir ucundan diğer ucuna 60 saniyede60\text{ saniyede} ulaşmaktadır. Yürüyen bant çalışır durumdayken Kerem aynı hızla yürüdüğünde ise bandın bir ucundan diğer ucuna 20 saniyede20\text{ saniyede} varmaktadır.

Buna göre, Kerem bant üzerinde hiç yürümeden sadece ayakta durursa, çalışan yürüyen bandın Kerem'i bandın bir ucundan diğer ucuna taşıma süresi kaç saniyedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Çalışan yürüyen bandın Kerem'i sadece ayakta dururken taşıma süresi 30 saniyedir.
Kerem'in duran bant üzerindeki hızı birim zamanda yolun altmışta biri, çalışan bant üzerinde yürürkenki toplam hızı ise birim zamanda yolun yirmide biridir. Toplam hızdan Kerem'in kendi hızını çıkardığımızda bandın hızı birim zamanda yolun otuzda biri olarak bulunur. Dolayısıyla bant, üzerinde duran Kerem'i otuz saniyede diğer uca ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Yol uzunluğunu ve hız değişkenlerini tanımlama
Yürüyen bandın uzunluğuna xx, Kerem'in yürüme hızına vkv_k ve yürüyen bandın hareket hızına vbv_b diyelim.
Sorudaki fiziksel büyüklükleri matematiksel denklemlere dökebilmek için değişken ataması yapılır.
2
Duran bant üzerindeki hareket denklemini yazma
Kerem duran bantta sadece kendi hızıyla hareket ettiğinden yol denklemi x=vk×60x = v_k \times 60 olur. Buradan Kerem'in hızı vk=x60v_k = \frac{x}{60} olarak bulunur.
Kerem'in hızını yol cinsinden ifade etmek için.
3
Çal��şan bant üzerindeki hareket denklemini yazma
Bant çalışırken Kerem de aynı yönde yürüdüğünde hızlar toplanır: x=(vk+vb)×20x = (v_k + v_b) \times 20. Buradan vk+vb=x20v_k + v_b = \frac{x}{20} elde edilir.
Bileşik harekette toplam hızı ve toplam süreyi ilişkilendirmek için.
4
Yürüyen bandın hızını yalnız bırakarak bulma
vk=x60v_k = \frac{x}{60} değerini bileşik hız denkleminde yerine yazalım:
x60+vb=x20\frac{x}{60} + v_b = \frac{x}{20}
vb=x20−x60v_b = \frac{x}{20} - \frac{x}{60}
Paydaları 60'ta eşitleyip çıkarma işlemini yaparsak:
vb=3x−x60=2x60=x30v_b = \frac{3x - x}{60} = \frac{2x}{60} = \frac{x}{30} bulunur.
Sadece bandın hareket hızını yol cinsinden elde etmek için.
5
Kerem'in bant üzerinde durarak geçireceği süreyi hesaplama
Kerem yürümeyip sadece durduğunda hızı sıfır olur ve sadece bandın vbv_b hızıyla hareket eder. Geçen süre tt ise:
x=vb×tx = v_b \times t
x=x30×t  ⟹  t=30 saniyex = \frac{x}{30} \times t \implies t = 30\text{ saniye} bulunur.
İstenen hareket süresini nihai olarak hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Bileşik hareket ve hız-zaman bağıntısı

İpuçları

1
Yolun uzunluğuna bir değişken atayıp Kerem'in duran banttaki hızını ve çalışan banttaki toplam hızını yol cinsinden yazmaya çalışın.
2
Çalışan bantta yürürken Kerem'in hızı ile bandın hızı toplanır. Bu toplam hız birim zamanda yolun yirmide birine eşittir.
3
Kerem'in hızı birim zamanda yolun 1/60'ı olduğuna göre, bandın hızı 1/20 - 1/60 işleminden yolun kaçta kaçı olur?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, rüzgarlı bir havada rüzgarla aynı yönde ve rüzgara zıt yönde uçan bir dronun hareket sürelerini veren bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yolun uzunluğuna 60 ve 20 sayılarının ortak katı olan 60 metre diyebiliriz. Bu durumda Kerem'in kendi hızı 60/60=1 m/s60 / 60 = 1\text{ m/s} olur. Bant çalışırkenki toplam hızı 60/20=3 m/s60 / 20 = 3\text{ m/s} olur. Buradan bandın hızı 3−1=2 m/s3 - 1 = 2\text{ m/s} olarak bulunur. Kerem bantta durduğunda sadece bandın hızıyla gideceğinden süre 60/2=30 saniye60 / 2 = 30\text{ saniye} olacaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2515Soru →

Analitik düzlemde; y=43xy = \frac{4}{3}x doğrusu, y=ky = k (k>0k > 0) doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı 5454 birimkaredir. Buna göre, bu kapalı bölgenin çevre uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Çevre uzunluğu 36 birim olan seçenektir.
Verilen doğruların sınırladığı bölge, dik kenarları 12 ve 9 birim olan bir dik üçgendir. 9-12-15 özel dik üçgeni özelliğinden hipotenüs uzunluğu 15 birim olup, bu üçgenin çevre uzunluğu 12 + 9 + 15 = 36 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların kesim noktalarını belirlemek
y=43xy = \frac{4}{3}x doğrusu ile yy-ekseninin (x=0x=0) kesim noktası (0,0)(0,0); y=ky=k doğrusu ile yy-ekseninin kesim noktası (0,k)(0,k); y=43xy = \frac{4}{3}x ile y=ky=k doğrularının kesim noktası ise (34k,k)(\frac{3}{4}k, k) olarak bulunur.
Sınırlı kapalı bölgenin köşelerini tespit ederek şeklin geometrik yapısını anlamak.
2
Kapalı bölgenin alanını k cinsinden ifade etmek
Oluşan şekil, dik köşesi (0,k)(0,k) noktasında olan ve dik kenar uzunlukları kk ile 34k\frac{3}{4}k birim olan bir dik üçgendir. Bu üçgenin alanı 12×k×34k=38k2\frac{1}{2} \times k \times \frac{3}{4}k = \frac{3}{8}k^2 birimkaredir.
Verilen alan bilgisini kullanarak k değerini bulmak için denklem kurmak.
3
k değerini hesaplamak
38k2=54⇒3k2=432⇒k2=144⇒k=12\frac{3}{8}k^2 = 54 \Rightarrow 3k^2 = 432 \Rightarrow k^2 = 144 \Rightarrow k = 12 bulunur.
Üçgenin kesin boyutlarını elde etmek.
4
Çevre uzunluğunu hesaplamak
k=12k=12 için dik kenarlar 1212 ve 99 birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs 122+92=15\sqrt{12^2 + 9^2} = 15 birim olarak bulunur. Çevre ise 12+9+15=3612 + 9 + 15 = 36 birimdir.
Soru kökünde istenen kapalı bölgenin çevre uzunluğuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların kesişim noktaları ile oluşturdukları kapalı bölgelerin analitik incelenmesi.
Soru 2516Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=2xy = 2x ve y=−12xy = -\frac{1}{2}x doğruları ile x+y=6x + y = 6 doğrusunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kapalı bölgenin alanı 30 birimkaredir.
Doğruların kesim noktaları olan O(0,0)O(0,0), A(2,4)A(2,4) ve B(12,−6)B(12,-6) noktaları bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin dik kenar uzunlukları 20\sqrt{20} ve 180\sqrt{180} birimdir. Alanı ise bu iki değerin çarpımının yarısı olan 30 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların kesim noktalarını bulalım.
y=2xy = 2x ve y=−12xy = -\frac{1}{2}x doğruları orijinde, yani O(0,0)O(0,0) noktasında kesişir. y=2xy = 2x ile x+y=6x + y = 6 doğrularının kesişim noktası A(2,4)A(2,4) ve y=−12xy = -\frac{1}{2}x ile x+y=6x + y = 6 doğrularının kesişim noktası B(12,−6)B(12,-6) olarak bulunur.
Sınırlı bölgenin köşe koordinatlarını belirlemek için doğruları ortak çözmemiz gerekir.
2
Elde edilen üçgenin kenar özelliklerini inceleyelim.
y=2xy = 2x doğrusunun eğimi m1=2m_1 = 2 ve y=−12xy = -\frac{1}{2}x doğrusunun eğimi m2=−12m_2 = -\frac{1}{2}'dir. Bu iki eğimin çarpımı m1⋅m2=2⋅(−12)=−1m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 olduğundan, bu doğrular birbirine diktir. Dolayısıyla, köşe noktaları O(0,0)O(0,0), A(2,4)A(2,4) ve B(12,−6)B(12,-6) olan OABOAB üçgeni, dik köşesi OO noktası olan bir dik üçgendir.
Dik üçgenin alanını dik kenarlarının uzunlukları çarpımının yarısı olarak kolayca hesaplayabilmek için dikliği kontrol ederiz.
3
Dik kenarların uzunluklarını hesaplayıp alanı bulalım.
∣OA∣=22+42=20|OA| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} birim ve ∣OB∣=122+(−6)2=180|OB| = \sqrt{12^2 + (-6)^2} = \sqrt{180} birimdir. Üçgenin alanı: Alan(OAB)=∣OA∣⋅∣OB∣2=20⋅1802=36002=602=30\text{Alan}(OAB) = \frac{|OA| \cdot |OB|}{2} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{180}}{2} = \frac{\sqrt{3600}}{2} = \frac{60}{2} = 30 birimkaredir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak kenar uzunlukları bulunur ve dik üçgen alan formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Analitik Geometride doğruların kesim noktalarını bulma, doğruların diklik şartı ve iki nokta arası uzaklık formülü ile alan hesabı.

İpuçları

1
Doğruların eğimlerini bulup çarpımlarını kontrol edin. Bu size doğruların birbirine dik olup olmadığını gösterecektir.
2
Kesişim noktalarını O(0,0)O(0,0), A(2,4)A(2,4) ve B(12,−6)B(12,-6) olarak belirledikten sonra, OAOA ve OBOB dik kenarlarının uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde birbirine dik iki doğru ile eksenleri kesen başka bir doğrunun sınırladığı bölgelerin alanlarını çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin köşeleri belirlendikten sonra, köşeleri bilinen üçgenin alan formülü olan 12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| bağıntısı kullanılarak da doğrudan alana ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2517Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde en az iki çift sayı bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

En az iki çift sayı bulunduran alt kümelerin sayısı 53'tür.
Doğru cevaba ulaşmak için kümedeki tek ve çift sayılar ayrılır. 4 tek ve 4 çift sayı vardır. 4 elemanlı alt kümelerde en az iki çift sayı olması istendiğinden, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı bulunabilir. Bu durumlar ayrı ayrı hesaplanır: 2 çift ve 2 tek sayı seçimi (42)×(42)=36\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 36 farklı şekilde, 3 çift ve 1 tek sayı seçimi (43)×(41)=16\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 16 farklı şekilde, 4 çift sayı seçimi ise (44)=1\binom{4}{4} = 1 farklı şekilde yapılır. Bu üç durum toplanarak 36+16+1=5336 + 16 + 1 = 53 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme
Tek sayılar: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 adet), Çift sayılar: {2,4,6,8}\{2, 4, 6, 8\} (4 adet)
Kombinasyon hesaplamalarında kullanılacak grupların eleman sayılarını tespit etmek için.
2
En az iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerin durumlarını belirleme
Durum 1: 2 çift ve 2 tek sayı. Durum 2: 3 çift ve 1 tek sayı. Durum 3: 4 çift ve 0 tek sayı.
'En az iki çift' koşulunu sağlayan tüm olası senaryoları ayrık durumlar olarak incelemek için.
3
Her bir durum için kombinasyon hesaplama
Durum 1: (42)×(42)=6×6=36\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36. Durum 2: (43)×(41)=4×4=16\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 4 \times 4 = 16. Durum 3: (44)×(40)=1×1=1\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1 \times 1 = 1.
Belirlenen senaryoların her biri için kaç farklı seçim yapılabileceğini bulmak için.
4
Durumların sonuçlarını toplayarak toplam sayıyı bulma
36+16+1=5336 + 16 + 1 = 53
Ayrık durumların toplamı, koşulu sağlayan tüm alt kümelerin sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve Ayrık Durumların Toplanması

İpuçları

1
Kümedeki elemanları tek ve çift sayılar olarak iki gruba ayırarak işe başlayın.
2
4 elemanlı bir alt kümede 'en az iki çift sayı' bulunması, kümede 2, 3 veya 4 çift sayı olabileceği anlamına gelir.
3
İkinci bir yol olarak tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısından, hiç çift sayı içermeyen veya sadece 1 çift sayı içeren alt kümelerin sayısını çıkarabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, aynı kümenin en çok iki çift sayı içeren 4 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlar yöntemini kullanabiliriz. Kümenin tüm 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı (84)=70\binom{8}{4} = 70'tir. İstenmeyen durumlar: 1) Hiç çift sayı olmaması (4 tek sayı): (44)×(40)=1\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1. 2) Sadece 1 çift sayı olması (1 çift, 3 tek sayı): (41)×(43)=16\binom{4}{1} \times \binom{4}{3} = 16. İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 70−(1+16)=5370 - (1 + 16) = 53 olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2518Soru →

Bir otomobilin arka cam sileceği, sabit bir OO noktası etrafında dönebilmektedir. Sileceğin üzerindeki temizleyici şerit, dönme merkezine 10 cm10\text{ cm} ve 30 cm30\text{ cm} uzaklıktaki noktalar arasında yer almaktadır. Silecek çalıştırıldığında kol 120∘120^\circ lik bir açı ile dönmektedir. Buna göre, temizleyici şeridin dış ucunun aldığı yol, iç ucunun aldığı yoldan kaç cm\text{cm} fazladır? (π=3\pi = 3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Temel yay uzunluğu formülü kullanılarak dış ucun aldığı yoldan iç ucun aldığı yol çıkarıldığında sonuç 40 cm olarak bulunur.
Temizleyici şeridin dış ucu 30 cm30\text{ cm} yarıçaplı, iç ucu ise 10 cm10\text{ cm} yarıçaplı çember yayları çizer. Her iki yayın merkez açısı 120∘120^\circ olduğundan, alınan yollar sırasıyla 60 cm60\text{ cm} ve 20 cm20\text{ cm} olarak hesaplanır. Aradaki fark 40 cm40\text{ cm}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Dış ucun aldığı yolu (dış yayın uzunluğunu) hesaplayınız.
Ldıs¸=2⋅π⋅R⋅θ360∘=2⋅3⋅30⋅120∘360∘=60 cmL_{\text{dış}} = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot \frac{\theta}{360^\circ} = 2 \cdot 3 \cdot 30 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 60\text{ cm}
Dış uç, dönme merkezine 30 cm30\text{ cm} uzaklıkta 120∘120^\circ lik bir yay çizmektedir.
2
İç ucun aldığı yolu (iç yayın uzunluğunu) hesaplayınız.
Lic¸=2⋅π⋅r⋅θ360∘=2⋅3⋅10⋅120∘360∘=20 cmL_{\text{iç}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} = 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 20\text{ cm}
İç uç, dönme merkezine 10 cm10\text{ cm} uzaklıkta 120∘120^\circ lik bir yay çizmektedir.
3
Dış ve iç uçların aldıkları yolların farkını bulunuz.
60 cm−20 cm=40 cm60\text{ cm} - 20\text{ cm} = 40\text{ cm}
Soruda dış ucun aldığı yolun iç ucun aldığı yoldan kaç cm fazla olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Çember yayı uzunluğu, yarıçap ve merkez açının ölçüsü kullanılarak 2πrθ360∘2\pi r \frac{\theta}{360^\circ} formülüyle hesaplanır.
Soru 2519Soru →

Analitik düzlemde; y=43xy = \frac{4}{3}x doğrusu, x=6x = 6 doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin çevre uzunluğu, y=ky = k (k>0k > 0) doğrusu, y=512xy = \frac{5}{12}x doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin çevre uzunluğuna eşittir. Buna göre kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Her iki kapalı bölgenin çevreleri hesaplanıp eşitlendiğinde elde edilen k değeri 4'tür.
Birinci dik üçgenin kenarları 6, 8 ve 10 birim olduğundan çevresi 24 birimdir. İkinci dik üçgenin kenarları kk, 125k\frac{12}{5}k ve 135k\frac{13}{5}k birim olduğundan çevresi 6k6k birimdir. Çevreler eşitlendiğinde 6k=246k = 24 bağıntısından k=4k = 4 bulunur. Bu nedenle doğru değer 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kapalı bölgenin köşe koordinatlarını belirleme
Bölge y=43xy = \frac{4}{3}x, x=6x = 6 ve y=0y = 0 (xx-ekseni) doğruları arasındadır. Kesişim noktaları (köşeler) (0,0)(0,0), (6,0)(6,0) ve (6,8)(6,8) noktalarıdır.
Üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayabilmek için köşe koordinatlarına ihtiyaç duyulur.
2
Birinci kapalı bölgenin çevre uzunluğunu hesaplama
Üçgenin dik kenar uzunlukları 6 ve 8 birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs 62+82=10\sqrt{6^2 + 8^2} = 10 birimdir. Çevre uzunluğu 6+8+10=246 + 8 + 10 = 24 birimdir.
İkinci bölgenin çevre uzunluğuna eşitlemek amacıyla birinci bölgenin çevresi hesaplanır.
3
İkinci kapalı bölgenin köşe koordinatlarını belirleme
Bölge y=ky = k, y=512xy = \frac{5}{12}x ve x=0x = 0 (yy-ekseni) doğruları arasındadır. Kesişim noktaları (köşeler) (0,0)(0,0), (0,k)(0,k) ve (125k,k)(\frac{12}{5}k, k) noktalarıdır.
İkinci üçgenin kenar uzunluklarını kk cinsinden ifade edebilmek için köşeler belirlenir.
4
İkinci kapalı bölgenin çevre uzunluğunu kk cinsinden hesaplama
Üçgenin dik kenar uzunlukları kk ve 125k\frac{12}{5}k birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs k2+(125k)2=135k\sqrt{k^2 + (\frac{12}{5}k)^2} = \frac{13}{5}k birimdir. Çevre uzunluğu k+125k+135k=6kk + \frac{12}{5}k + \frac{13}{5}k = 6k birimdir.
İki çevre uzunluğunu eşitlemek için ikinci çevrenin kk cinsinden değeri bulunur.
5
Çevreleri birbirine eşitleyerek kk değerini bulma
6k=24  ⟹  k=46k = 24 \implies k = 4 elde edilir.
Soruda iki çevre uzunluğunun birbirine eşit olduğu belirtildiğinden eşitlik kurularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların analitik düzlemde sınırladığı dik üçgenlerin alan ve çevre hesabı.
Soru 2520Soru →
Tanımlı oldukları aralıklarda ff ve gg fonksiyonları için
f(x+1)=2x−3f(x + 1) = 2x - 3
(g∘f)(x)=4x−5(g \circ f)(x) = 4x - 5
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, g(3)g(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11 değeridir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) şeklindedir. İlk olarak f(x+1)=2x−3f(x + 1) = 2x - 3 eşitliğinde xx yerine x−1x - 1 yazarak f(x)=2(x−1)−3=2x−5f(x) = 2(x - 1) - 3 = 2x - 5 elde ederiz. Ardından, g(f(x))=g(2x−5)=4x−5g(f(x)) = g(2x - 5) = 4x - 5 eşitliğini kullanırız. Bizden g(3)g(3) değeri istendiği için fonksiyonun parantez içindeki ifadesini 33'e eşitleriz: 2x−5=3⇒2x=8⇒x=42x - 5 = 3 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4 olur. Bulduğumuz bu x=4x = 4 değerini 4x−54x - 5 ifadesinde yerine yazdığımızda g(3)=4(4)−5=11g(3) = 4(4) - 5 = 11 sonucuna ulaşırız. Bu nedenle doğru cevap 11 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun kuralını bulmak
f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5
f(x+1)=2x−3f(x+1) = 2x - 3 eşitliğinde xx yerine x−1x-1 yazılarak değişken dönüşümü yapılır.
2
Bileşke fonksiyon tanımını yazmak
g(2x−5)=4x−5g(2x - 5) = 4x - 5
(g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) tanımından ötürü f(x)f(x) ifadesi gg fonksiyonunun içine yazılır.
3
g(3)g(3) değerini bulmak için uygun xx değerini belirlemek ve yerine yazmak
g(3)=11g(3) = 11
2x−5=3⇒x=42x - 5 = 3 \Rightarrow x = 4 bulunur. Bu xx değeri sağ taraftaki 4x−54x - 5 ifadesinde yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon

İpuçları

1
f(x+1)f(x + 1) ifadesinden f(x)f(x) fonksiyonuna geçmek için xx yerine ne yazılması gerektiğini düşünün.
2
f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5 olduğunu bulduktan sonra, bileşke fonksiyonun tanımını kullanarak g(f(x))=4x−5g(f(x)) = 4x - 5 eşitliğini elde edin.
3
g(2x−5)=4x−5g(2x - 5) = 4x - 5 eşitliğinde parantez içini 33 yapmak için xx yerine 44 yazmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ve g(x)g(x) verilip f(x)f(x) fonksiyonunun istendiği soruları çözerek bileşke fonksiyon işlemlerini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

f(x+1)=2x−3f(x+1) = 2x-3 ifadesini (g∘f)(x)=4x−5(g \circ f)(x) = 4x-5 bileşke fonksiyonuyla doğrudan ilişkilendirmek için xx yerine x+1x+1 yazarak (g∘f)(x+1)=g(f(x+1))=g(2x−3)=4(x+1)−5=4x−1(g \circ f)(x+1) = g(f(x+1)) = g(2x-3) = 4(x+1) - 5 = 4x - 1 elde edebilirsiniz. Burada g(3)g(3) değerini bulmak için 2x−3=3⇒x=32x-3 = 3 \Rightarrow x=3 eşitliği kullanılır ve g(3)=4(3)−1=11g(3) = 4(3) - 1 = 11 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 126 / 129Sonraki
Tüm alıştırma soruları — ALES | Examkin