Examkin

Tüm alıştırma soruları

2563 soru

Tüm türler2,563Çoktan seçmeli2,490Sayısal63Sıralama10
Soru 2481Soru →

Bir sayı dizisinin terimleri, aşağıdaki kurallara göre belirlenmektedir:

* Dizinin ilk terimi iki basamaklı bir doğal sayıdır.
* Bir sonraki terim bulunurken, bir önceki terimin en büyük rakamı kontrol edilir.
* Eğer bu en büyük rakam çift ise, bir önceki terime bu rakamın 22 katı eklenerek yeni terim elde edilir.
* Eğer bu en büyük rakam tek ise, bir önceki terimden bu terimin en küçük rakamı ile 33'ün toplamı çıkarılarak yeni terim elde edilir.

Bu kurala göre oluşturulan bir dizinin ilk terimi S1=45S_1 = 45 olduğuna göre, bu dizinin yedinci terimi (S7S_7) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Dizinin yedinci terimi olan 64 sayısıdır.
Verilen kurallar adım adım uygulandığında her adımda elde edilen yeni sayının rakamları kontrol edilerek bir sonraki adıma geçilmelidir. S1=45S_1 = 45 sayısından başlayarak ardışık adımlar izlendiğinde yedinci terim olan S7=64S_7 = 64 sonucuna hatasız bir şekilde ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terim olan S1=45S_1 = 45 sayısının rakamlarını analiz etme.
En büyük rakam 55 (tek), en küçük rakam 44 olarak belirlenir.
Bir sonraki terimi bulmak için en büyük rakamın tek mi çift mi olduğunu tespit etmek gerekir.
2
S2S_2 terimini hesaplamak için tek sayı kuralını uygulama.
S2=45−(4+3)=38S_2 = 45 - (4 + 3) = 38 bulunur.
En büyük rakam (55) tek olduğu için bir önceki terimden en küçük rakam (44) ile 33'ün toplamı çıkarılır.
3
S2=38S_2 = 38 sayısını analiz edip S3S_3 terimini hesaplama.
En büyük rakam 88 (çift). Çift sayı kuralına göre: S3=38+(8×2)=54S_3 = 38 + (8 \times 2) = 54 bulunur.
En büyük rakam (88) çift olduğu için terime bu rakamın 22 katı eklenir.
4
S3=54S_3 = 54 sayısını analiz edip S4S_4 terimini hesaplama.
En büyük rakam 55 (tek), en küçük rakam 44. Tek sayı kuralına göre: S4=54−(4+3)=47S_4 = 54 - (4 + 3) = 47 bulunur.
En büyük rakam (55) tek olduğu için tek sayı kuralı uygulanır.
5
S4=47S_4 = 47 sayısını analiz edip S5S_5 terimini hesaplama.
En büyük rakam 77 (tek), en küçük rakam 44. Tek sayı kuralına göre: S5=47−(4+3)=40S_5 = 47 - (4 + 3) = 40 bulunur.
En büyük rakam (77) tek olduğu için tek sayı kuralı uygulanır.
6
S5=40S_5 = 40 sayısını analiz edip S6S_6 terimini hesaplama.
En büyük rakam 44 (çift). Çift sayı kuralına göre: S6=40+(4×2)=48S_6 = 40 + (4 \times 2) = 48 bulunur.
En büyük rakam (44) çift olduğu için çift sayı kuralı uygulanır.
7
S6=48S_6 = 48 sayısını analiz edip S7S_7 terimini hesaplama.
En büyük rakam 88 (çift). Çift sayı kuralına göre: S7=48+(8×2)=64S_7 = 48 + (8 \times 2) = 64 bulunur.
En büyük rakam (88) çift olduğu için çift sayı kuralı uygulanarak dizinin yedinci terimine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Koşullu İşlemler ve Kural Takibi

İpuçları

1
Her adımda elde ettiğiniz yeni sayının basamaklarındaki en büyük rakamı yeniden bulup tek veya çift olduğunu kontrol etmelisiniz.
2
S1=45S_1 = 45 için en büyük rakam 55 (tek) olduğundan tek sayı kuralı uygulanır ve S2=38S_2 = 38 bulunur. Şimdi S2=38S_2 = 38 için en büyük rakam olan 88'in çift olmasına dikkat ederek çift sayı kuralını uygulayın.
3
Sırasıyla terimler şu şekilde ilerlemelidir: S1=45→S2=38→S3=54→S4=47→S5=40→S6=48→S7=64S_1=45 \rightarrow S_2=38 \rightarrow S_3=54 \rightarrow S_4=47 \rightarrow S_5=40 \rightarrow S_6=48 \rightarrow S_7=64. Her adımda rakamların tek/çift olma durumunu doğru kontrol ettiğinizden emin olun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan fakat bu kez basamakların toplamına bağlı kuralları içeren başka bir kural takibi sorusu çözerek bu konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2482Soru →

Aşağıdaki tabloda, belirli bir kurala göre oluşturulmuş sayı örüntüsünün ilk üç satırı verilmiştir:

I. SütunII. SütunIII. Sütun
1. Satır136
2. Satır259
3. Satır4813

Buna göre, bu örüntü aynı kurala göre devam ettirildiğinde tablonun 5. satırının III. sütununda yer alacak sayı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

5. satırın üçüncü s��tununda yer alacak sayı 29'dur.
Örüntünün kuralına göre, her satırın ilk elemanı 2'nin kuvvetleri şeklinde ilerlemektedir (1, 2, 4, 8, 16...). Dolayısıyla 5. satırın ilk elemanı 16'dır. Satırlardaki sütunlar arası artış miktarları ise her satırda birer artarak devam etmektedir. Satır numarası nn için I. sütundan II. sütuna geçişte n+1n+1, II. sütundan III. sütuna geçişte ise n+2n+2 eklenmektedir. 5. satır için bu artışlar sırasıyla +6 ve +7 olur. Bu durumda 5. satırın üçüncü sütunundaki sayı 16 + 6 + 7 = 29 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
I. sütundaki sayıların değişim kuralını belirleyin.
1. satırda 1 (202^0), 2. satırda 2 (212^1), 3. satırda 4 (222^2) olduğuna göre, her satırın ilk elemanı 2n−12^{n-1} formülüyle (nn satır numarası olmak üzere) bulunur. 5. satırın ilk elemanı 24=162^4 = 16 olur.
Diğer sütunlardaki değerleri hesaplayabilmek için satırın başlangıç değerini bilmemiz gerekir.
2
Sütunlar arasındaki artış kuralını analiz edin.
1. satırda artışlar +2 ve +3; 2. satırda +3 ve +4; 3. satırda +4 ve +5 şeklindedir. Dolayısıyla nn. satırda sütunlar arası artışlar +(n+1)+(n+1) ve +(n+2)+(n+2) şeklindedir.
İstenen sütundaki değere ulaşmak için satır içindeki geçiş kuralını saptamalıyız.
3
5. satır için artış miktarlarını bulun ve uygulayın.
5. satır için artışlar +(5+1)=+6+(5+1) = +6 ve +(5+2)=+7+(5+2) = +7 olur. 5. satırın I. sütunundaki 16 değerine sırasıyla bu artışları eklediğimizde: II. sütun için 16+6=2216 + 6 = 22, III. sütun için ise 22+7=2922 + 7 = 29 sonucuna ulaşırız.
Doğru sonucu bulmak için belirlenen kuralları 5. satıra uygularız.

Anahtar Kavram

İki boyutlu tablolarda satır ve sütun örüntü kurallarını ayrı ayrı belirleme ve uygulama.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2483Soru →

A={x∈Z:−1<x≤5}A = \{x \in \mathbb{Z} : -1 < x \leq 5\} kümesi veriliyor. BB kümesi asal rakamlardan, CC kümesi ise tek rakamlardan oluşan kümelerdir. Buna göre, (A×B)∩(C×A)(A \times B) \cap (C \times A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 9 olarak bulunur.
Kartezyen çarpım kümesinin kesişim özelliği kullanılarak (A×B)∩(C×A)=(A∩C)×(B∩A)(A \times B) \cap (C \times A) = (A \cap C) \times (B \cap A) eşitliği elde edilir. Burada s(A∩C)=3s(A \cap C) = 3 ve s(B∩A)=3s(B \cap A) = 3 olduğundan, çarpım kümesinin eleman sayısı 3×3=93 \times 3 = 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyip eleman sayısını bulalım.
A={0,1,2,3,4,5}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} ve s(A)=6s(A) = 6 olur.
−1<x≤5-1 < x \leq 5 aralığındaki tam sayılar AA kümesini oluşturur.
2
BB ve CC kümelerinin elemanlarını belirleyelim.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} ve C={1,3,5,7,9}C = \{1, 3, 5, 7, 9\} olur.
Asal rakamlar BB kümesini, tek rakamlar ise CC kümesini tanımlar.
3
(A×B)∩(C×A)(A \times B) \cap (C \times A) ifadesini kartezyen çarpımın kesişim özelliğiyle düzenleyip sonucu hesaplayalım.
(A×B)∩(C×A)=(A∩C)×(B∩A)(A \times B) \cap (C \times A) = (A \cap C) \times (B \cap A) özelliğinden s(A∩C)×s(B∩A)=3×3=9s(A \cap C) \times s(B \cap A) = 3 \times 3 = 9 bulunur.
A∩C={1,3,5}A \cap C = \{1, 3, 5\} ve B∩A={2,3,5}B \cap A = \{2, 3, 5\} kümelerinin eleman sayıları 3'tür.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği ve Eleman Sayısı
Soru 2484Soru →

Pozitif tam sayılarla oluşturulan bir sayı piramidinde, her satırdaki sayılar belirli bir kurala göre dizilmiştir. Bu piramidin ilk beş satırı aşağıda gösterilmiştir:

1.1. Satır: 11
2.2. Satır: 2,42, 4
3.3. Satır: 3,6,93, 6, 9
4.4. Satır: 4,8,12,164, 8, 12, 16
5.5. Satır: 5,10,15,20,255, 10, 15, 20, 25

Buna göre, bu piramidin 15.15. satırındaki tüm sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18001800

Cevap

Piramidin 15.15. satırındaki sayıların toplamı 18001800 olur.
15.15. satırdaki sayılar 1515'in katları olan ardışık sayılardır. Bu sayılar 15,30,45,…,22515, 30, 45, \dots, 225 şeklindedir. Terim sayısı 1515'tir. Bu sayıların toplamı, 15×(1+2+⋯+15)=15×120=180015 \times (1 + 2 + \dots + 15) = 15 \times 120 = 1800 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Piramidin satır yapısını inceleyerek genel örüntü kuralını belirlemek.
n.n. satırda nn adet sayı bulunmakta olup, bu sayılar sırasıyla n,2n,3n,…,n2n, 2n, 3n, \dots, n^2 şeklindedir (yani nn sayısının ilk nn katıdır).
Soruda istenen 15.15. satırdaki sayıları ve bu sayıların dizilim kuralını tespit etmek için.
2
Genel örüntü kuralını 15.15. satıra uygulayarak terimleri belirlemek.
15.15. satırdaki sayılar sırasıyla 15⋅1,15⋅2,…,15⋅1515 \cdot 1, 15 \cdot 2, \dots, 15 \cdot 15 yani 15,30,45,…,22515, 30, 45, \dots, 225 olur.
Toplanacak olan sayıları net olarak görmek için.
3
Bu sayıların toplamını hesaplamak.
Toplam = 15+30+45+⋯+225=15⋅(1+2+3+⋯+15)15 + 30 + 45 + \dots + 225 = 15 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 15) olur. 11'den 1515'e kadar olan sayıların toplamı 15⋅162=120\frac{15 \cdot 16}{2} = 120 olduğundan, Toplam = 15⋅120=180015 \cdot 120 = 1800 bulunur.
15.15. satırdaki tüm sayıların toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı piramitlerinde satır dizilim kuralları ve ardışık sayıların toplamı formülü.

İpuçları

1
Her satırın ilk elemanının satır numarasına eşit olduğuna ve elemanların o sayının katları şeklinde ilerlediğine dikkat edin.
2
n.n. satırdaki sayıların toplamını bulmak için n⋅(1+2+⋯+n)n \cdot (1 + 2 + \dots + n) ortak parantez alma yöntemini kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan fakat her satırın son elemanının satır numarasının karesi olduğu örüntüleri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Aritmetik dizi toplam formülünü doğrudan kullanabiliriz: Terim sayısı 1515, ilk terim 1515, son terim 225225 olduğuna göre Toplam = 152⋅(15+225)=152⋅240=15⋅120=1800\frac{15}{2} \cdot (15 + 225) = \frac{15}{2} \cdot 240 = 15 \cdot 120 = 1800 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2485Soru →

Bir spor salonuna kayıt yaptıran Elif, kendisine bir antrenman programı hazırlayacaktır. Haftanın belirli günlerinde yapabileceği aktiviteler için seçenekler şu şekildedir:

* Hafta içi günlerinden (55 farklı gün) en fazla bir gün kardiyo yapacaktır.
* Hafta sonu günlerinden (22 farklı gün) en fazla bir gün ağırl��k antrenmanı yapacaktır.

Elif, antrenman yapmadığı günlerde dinlenecektir.

Buna göre, Elif bir hafta için kardiyo ve ağırlık antrenman günlerini kaç farklı şekilde planlayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Elif bir hafta için kardiyo ve ağırlık antrenman günlerini 18 farklı şekilde planlayabilir.
Doğru yanıt 18'dir. Hafta içi antrenman gününün belirlenmesi için 5 alternatif gün ve 1 antrenman yapmama seçeneği ile birlikte 6 farklı durum vardır. Hafta sonu antrenman gününün belirlenmesi için ise 2 alternatif gün ve 1 antrenman yapmama seçeneğiyle birlikte 3 farklı durum mevcuttur. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre bu iki bağımsız seçimin birleşimi 6×3=186 \times 3 = 18 farklı program oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Hafta içi günlerinde yapılabilecek kardiyo antrenmanı için tüm olası seçeneklerin sayısını bulun.
Hafta içi 5 gün bulunmaktadır. Elif bu günlerden en fazla birinde kardiyo yapacaktır. Bu durumda ya 5 günden birini seçer ya da hiç kardiyo yapmaz. Toplam durum sayısı 5+1=65 + 1 = 6 olur.
En fazla bir gün antrenman yapma koşulu, antrenman yapmama seçeneğini de kapsadığı için toplama kuralı uygulanır.
2
Hafta sonu günlerinde yapılabilecek ağırlık antrenmanı için tüm olası seçeneklerin sayısını bulun.
Hafta sonu 2 gün bulunmaktadır. Elif bu günlerden en fazla birinde ağırlık antrenmanı yapacaktır. Bu durumda ya 2 günden birini seçer ya da hiç ağırlık antrenmanı yapmaz. Toplam durum sayısı 2+1=32 + 1 = 3 olur.
Benzer şekilde, en fazla bir gün ağırlık antrenmanı yapma koşulu antrenman yapmama seçeneğini de içerir.
3
Hafta içi ve hafta sonu planlamalarını birleştirerek toplam program sayısını hesaplayın.
Hafta içi ve hafta sonu yapılan seçimler bağımsız olaylar olduğundan, çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır: 6×3=186 \times 3 = 18 farklı program planlanabilir.
İki farklı bağımsız seçimin birlikte oluşturabileceği tüm durumların sayısını bulmak için çarpma kuralı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2486Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x
g(x)=x+42g(x) = \frac{x + 4}{2}
biçiminde veriliyor.
Buna göre, (f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin de��eri 3'tür.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği (f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2)) yazılır. Öncelikle en içteki fonksiyon olan g(2)g(2) değeri hesaplanır. İlgili fonksiyonda xx yerine 2 yazıldığında g(2)=2+42=3g(2) = \frac{2+4}{2} = 3 elde edilir. Daha sonra elde edilen bu 3 değeri dıştaki f(x)f(x) fonksiyonunda girdi olarak kullanılır: f(3)=32−2(3)=9−6=3f(3) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 bulunur. Bu adımlar sonucunda doğru değere ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak ifadeyi daha açık bir şekilde yazın.
(f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2)) elde edilir.
Bileşke fonksiyon kuralına göre sağdaki fonksiyonun çıktısı, soldaki fonksiyonun girdisi olur.
2
İçteki fonksiyon olan g(2)g(2) değerini hesaplayın.
g(2)=2+42=62=3g(2) = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 bulunur.
f(g(2))f(g(2)) ifadesinde önce parantez içindeki değeri bulmam��z gerekir.
3
Bulduğunuz değeri dıştaki fonksiyonda yerine yazarak nihai sonucu bulun.
f(3)=32−2⋅3=9−6=3f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3 bulunur.
f(g(2))f(g(2)) ifadesi g(2)=3g(2) = 3 olduğu için f(3)f(3) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda işlem sırasının sağdan sola (içten dışa) doğru uygulanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2487Soru →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı ∙\bullet işleminin tablosu aşağıda verilmiştir:

∙\bullet12345
134512
245123
351234
412345
523451

Bu tabloda satır ve sütunların kesişim noktası, o satırdaki eleman ile o sütundaki elemanın ∙\bullet işlemine göre sonucunu vermektedir. Örneğin 2∙3=12 \bullet 3 = 1 dir.

Buna göre, (x∙2)∙4=1(x \bullet 2) \bullet 4 = 1 eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İstenen x değeri 3'tür.
Verilen denklemde parantez içindeki x∙2x \bullet 2 ifadesine geçici olarak yy dersek, eşitlik y∙4=1y \bullet 4 = 1 biçimine dönüşür. İşlem tablosunda hangi elemanın 4 ile işleme girdiğinde 1 sonucunu verdiğine baktığımızda, 1 satırı ile 4 sütununun kesişiminin 1 olduğunu görürüz. Buradan y=1y = 1 bulunur. Bu durumda x∙2=1x \bullet 2 = 1 olmalıdır. Tabloda 2 sütunu ile kesişimi 1 olan satır elemanını incelediğimizde ise 3 satırını görürüz. Dolayısıyla eşitliği sağlayan xx değeri 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
(x∙2)∙4=1(x \bullet 2) \bullet 4 = 1 eşitliğinde parantez içindeki x∙2x \bullet 2 ifadesine yy diyelim.
y∙4=1y \bullet 4 = 1 denklemi elde edilir.
İşlemi daha basit hale getirmek ve adım adım çözebilmek için değişken dönüşümü uygulanır.
2
Tabloda 44 sütunu (veya satırı) ile kesiştiğinde 11 sonucunu veren satır (veya sütun) elemanını bulalım.
y=1y = 1 olarak bulunur.
Tabloda 11. satır ile 44. sütunun kesişiminde 11 değeri yer almaktadır (1∙4=11 \bullet 4 = 1).
3
y=1y = 1 olduğuna göre x∙2=1x \bullet 2 = 1 eşitliğini sağlayan xx değerini bulalım.
x=3x = 3 olarak bulunur.
Tabloda 22 sütunu ile kesiştiğinde 11 sonucunu veren satır elemanını aradığımızda 33 satırını buluruz (3∙2=13 \bullet 2 = 1).

Anahtar Kavram

İşlem Tablolarında Tersten İşlem Yapma ve Bilinmeyeni Bulma

İpuçları

1
Parantezli ifadelerde dıştan içe doğru gidin. Öncelikle (x∙2)(x \bullet 2) ifadesini tek bir bilinmeyen gibi düşünün.
2
Kutucuk içine aldığınız (x∙2)(x \bullet 2) ifadesi ile 4 işleme girdiğinde 1 çıkıyorsa, tablodan 'hangi sayı ile 4'ün işlemi 1 eder?' sorusunun cevabını arayın.

Daha Fazla Pratik

İşlem tablolarında etkisiz (birim) elemanı bularak, bir elemanın tersini bulma sorularını da çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tablonun simetrik (değişmeli) yapısını kullanarak işlemi tersten takip edebilirsiniz. Eşitliğin sağ tarafındaki 1 sonucundan başlayıp adımları tersten uygulayarak bilinmeyene ulaşmak da mümkündür.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2488Soru →

Bir depodaki kutular beşerli gruplandırıldığında 33 kutu, altışarlı gruplandırıldığında 44 kutu, sekizerli gruplandırıldığında ise 66 kutu artmaktadır. Depodaki kutu sayısı 500500'den fazla olduğuna göre, bu depoda en az kaç kutu vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 598598

Cevap

En az 598598 kutu vardır.
Verilen bölme işlemlerine göre depodaki kutu sayısı olan KK değeri K=5a+3=6b+4=8c+6K = 5a + 3 = 6b + 4 = 8c + 6 olarak yazılır. Eşitliğin her tarafına 22 eklendiğinde K+2K + 2 ifadesi 55, 66 ve 88 sayılarının tam katı olur. 55, 66 ve 88 sayılarının en küçük ortak katı EKOK(5,6,8)=120\text{EKOK}(5, 6, 8) = 120 olarak bulunur. K>500K > 500 koşulunu sağlayan en küçük değer için K+2=120×5=600K + 2 = 120 \times 5 = 600 eşitliğinden kutu sayısı en az 598598 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Depodaki kutu sayısını KK olarak belirleyip verilen bölme işlemlerini matematiksel eşitlik olarak ifade etmek.
K=5a+3=6b+4=8c+6K = 5a + 3 = 6b + 4 = 8c + 6 eşitliği elde edilir (burada a,b,ca, b, c pozitif tam sayılardır).
Kutuların gruplandırılmasından elde edilen kalanları g��steren bir denklem kurmak problemin çözümünün ilk adımıdır.
2
Eşitliğin her tarafına 22 ekleyerek katsayıların tam katı olan bir ifade elde etmek.
K+2=5a+5=6b+6=8c+8⇒K+2=5(a+1)=6(b+1)=8(c+1)K + 2 = 5a + 5 = 6b + 6 = 8c + 8 \Rightarrow K + 2 = 5(a + 1) = 6(b + 1) = 8(c + 1) elde edilir.
Kalanlar ile bölenler arasındaki fark sabit (her birinde fark 22) olduğu için, eşitliğe 22 eklemek K+2K + 2 sayısını 55, 66 ve 88 sayılarının ortak katı yapar.
3
55, 66 ve 88 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) hesaplamak.
EKOK(5,6,8)=120\text{EKOK}(5, 6, 8) = 120 olarak bulunur.
K+2K + 2 ifadesi 55, 66 ve 88 sayılarının ortak bir katı olmalıdır. En küçük ortak katı bulmak temel referans değerimizi verir.
4
K+2=120kK + 2 = 120k (burada kk bir tam sayıdır) eşitliğinde K>500K > 500 koşulunu sağlayan en küçük kk değerini belirlemek ve KK sayısını hesaplamak.
k=5k = 5 için K+2=120×5=600⇒K=598K + 2 = 120 \times 5 = 600 \Rightarrow K = 598 bulunur (k=4k = 4 için K=478≤500K = 478 \le 500 olur).
Soruda kutu sayısının 500500'den fazla ve en az olması istendiği için bu koşulu sağlayan en küçük kk katı seçilir.

Anahtar Kavram

Eşit kalan farkı içeren durumlarda EKOK kullanarak ortak kat bulma.
Soru 2489Soru →
AA ve BB kümelerinin birleşimi ile kartezyen çarpımının eleman sayıları sırasıyla şu şekildedir:
s(A∪B)=10s(A \cup B) = 10
s(A×B)=24s(A \times B) = 24

AA ve BB kümelerinin en az bir ortak elemanı bulunduğuna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 14'tür.
Doğru cevap 14'tür. Kartezyen çarpım eleman sayısı formülüne göre iki kümenin eleman sayılarının çarpımı 24 olmalıdır. Birleşim formülünden kesişim eleman sayısı formüle edildiğinde, ortak eleman bulunma ve alt küme sınırlama şartlarını sadece 3 ve 8 elemanlı kümeler sağlar. Buradan elde edilen fark kümelerinin eleman sayıları 2 ve 7 olup, bunların kartezyen çarpımının eleman sayısı 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanarak s(A)⋅s(B)s(A) \cdot s(B) çarpımını belirlemek.
s(A×B)=s(A)⋅s(B)=24s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 24
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazarak kesişim kümesinin eleman sayısını veren ifadeyi bulmak.
s(A∩B)=s(A)+s(B)−10s(A \cap B) = s(A) + s(B) - 10
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) olduğundan ve s(A∪B)=10s(A \cup B) = 10 verildiğinden bu eşitlik elde edilir.
3
Çarpımları 24 olan pozitif tam sayı çiftlerini (s(A)s(A) ve s(B)s(B)) inceleyerek küme sınırlamalarını kontrol etmek.
s(A)=3s(A) = 3 ve s(B)=8s(B) = 8 (veya tam tersi) olup s(A∩B)=1s(A \cap B) = 1 bulunur.
Kesişimin en az 1 elemanlı olması ve kesişim eleman sayısının kümelerin eleman sayılarından küçük veya eşit olması koşullarını sadece 3 ve 8 çarpan çifti sağlar.
4
Fark kümelerinin eleman sayılarını bulmak ve kartezyen çarpımlarını hesaplamak.
s(A∖B)⋅s(B∖A)=(3−1)⋅(8−1)=2⋅7=14s(A \setminus B) \cdot s(B \setminus A) = (3 - 1) \cdot (8 - 1) = 2 \cdot 7 = 14 elde edilir.
Her iki kümeden de kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak fark kümelerinin eleman sayıları bulunur ve bu değerler çarpılır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım Eleman Sayısı ve Kümelerde İşlemler

İpuçları

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısının, iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşit olduğunu hatırlayın.
2
Çarpımları 24 olan pozitif tam sayı çiftlerini bulun ve bu çiftlerin birleşim formülündeki toplamlarını inceleyin.
3
Kümelerin en az bir ortak elemanı olduğu ve kesişim eleman sayısının kümelerin kendi eleman sayısını aşamayacağı sınırlarını kullanarak doğru çarpan çiftini (3 ve 8) belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Kartezyen çarpım kümelerinin analitik düzlemdeki grafikleri ve bu grafiklerin sınırladığı alanlarla ilgili soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere eleman sayıları atanabilir. Ortadaki kesişim bölgesine x dersek, A fark B bölgesi a, B fark A bölgesi b olsun. Buradan a + x + b = 10 ve (a + x)(b + x) = 24 denklemleri elde edilir. x >= 1 ve x <= min(a+x, b+x) koşuluyla sistem çözüldüğünde x=1, a=2 ve b=7 bulunur. İstenen kartezyen çarpımın eleman sayısı a * b = 2 * 7 = 14 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2490Soru →
Analitik düzlemde,
d1:y=2x+4d_1: y = 2x + 4
d2:x+y−1=0d_2: x + y - 1 = 0
d3:ax−2y+8=0d_3: ax - 2y + 8 = 0
doğruları aynı noktada kesiştiğine göre, aa kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğruların ortak kesişim noktası kullanılarak elde edilen 4 değeri
Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi, bu doğruların tek bir ortak noktaya sahip olduğu anlamına gelir. İlk iki doğrunun ortak çözümüyle kesişim noktası P(−1,2)P(-1, 2) olarak belirlenir. Bu noktanın koordinatları üçüncü doğrunun denklemini de sağlamak zorunda olduğundan, denklemde xx yerine −1-1 ve yy yerine 22 yazıldığında a=4a = 4 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasını bulmak için birinci ve ikinci doğrunun denklemlerini ortak çözelim.
d1d_1 denklemindeki y=2x+4y = 2x + 4 ifadesini d2d_2 denkleminde yerine yazarsak x+(2x+4)−1=0x + (2x + 4) - 1 = 0 elde ederiz.
Ortak kesişim noktasının koordinatları her iki doğrunun da denklemini sağlamalıdır.
2
Elde edilen tek bilinmeyenli denklemi çözerek kesişim noktasının apsis (xx) değerini bulalım.
3x+3=0⇒3x=−3⇒x=−13x + 3 = 0 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 bulunur.
Kesişim noktasının yatay eksendeki koordinatını belirlemek için.
3
Bulunan x=−1x = -1 değerini birinci doğrunun denkleminde yerine yazarak ordinat (yy) değerini bulalım.
y=2(−1)+4=2y = 2(-1) + 4 = 2 bulunur. Böylece ortak kesişim noktası P(−1,2)P(-1, 2) olarak elde edilir.
Kesişim noktasının dikey eksendeki koordinatını belirlemek için.
4
P(−1,2)P(-1, 2) noktasının koordinatlarını üçüncü doğrunun denkleminde yerine yazarak bilinmeyen katsayıyı bulalım.
a(−1)−2(2)+8=0⇒−a−4+8=0⇒−a+4=0⇒a=4a(-1) - 2(2) + 8 = 0 \Rightarrow -a - 4 + 8 = 0 \Rightarrow -a + 4 = 0 \Rightarrow a = 4 elde edilir.
Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi için üçüncü doğrunun da bu ortak noktadan geçmesi gerekir.

Anahtar Kavram

İki doğrunun kesişim noktasının koordinatları, doğruların denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi durumunda, bu nokta üç denklemi de sağlamalıdır.

Alternatif Yöntem

Kesişim noktasını bulmak için yok etme metodu da tercih edilebilir. İkinci denklem olan x+y−1=0x + y - 1 = 0 ifadesi 22 ile çarpılıp 2x+2y−2=02x + 2y - 2 = 0 elde edilir. Bu denklem ile birinci doğrunun y−2x−4=0y - 2x - 4 = 0 biçimindeki düzenlenmiş hali taraf tarafa toplanarak xx değişkeni yok edilir ve 3y−6=0⇒y=23y - 6 = 0 \Rightarrow y = 2 değerine daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2491Soru →

Bir kutuda bulunan özdeş kartların 2 tanesinin üzerinde 44, 3 tanesinin üzerinde 77 ve 2 tanesinin üzerinde 99 rakamı yazılıdır. Bu kartların tamamı yan yana dizilerek 7 basamaklı sayılar oluşturulacaktır.

Buna göre, bu kartlar kullanılarak kaç farklı 7 basamaklı çift sayı oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Kartlar kullanılarak 60 farklı çift sayı oluşturulabilir.
Çift sayı oluşturabilmek amacıyla birler basamağına tek seçenek olan 4 rakamlarından biri sabitlenir. Kalan 6 basamağa ise geriye kalan bir adet 4, üç adet 7 ve iki adet 9 rakamları tekrarlı permütasyon formülüyle sıralanır. Bu işlem sonucunda 6! / (3! * 2!) = 60 farklı dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının çift olması için birler basamağına yerleştirilmesi gereken rakamı belirleme
Birler basamağına bir adet 44 rakamı yerleştirilir.
Oluşturulacak sayının çift sayı olabilmesi için birler basamağındaki rakamın çift olması gerekir. Kartlar üzerindeki rakamlar (44, 77, 99) arasında tek çift rakam 44'tür.
2
Geriye kalan basamaklar için kullanılabilir durumda olan rakamları tespit etme
Geriye kalan rakamlar: bir adet 44, üç adet 77 ve iki adet 99 (toplam 6 rakam).
Başlangıçta iki adet 44 rakamı vardı. Bunlardan biri birler basamağında sabitlendiği için geriye dizilmesi gereken bir adet 44 rakamı kalmıştır.
3
Kalan 6 rakamın kendi aralarındaki dizilim sayısını tekrarlı permütasyon ile hesaplama
6!1!×3!×2!=7201×6×2=60 \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = 60
Dizilecek 6 rakam içinde 77 rakamı 3 kez, 99 rakamı ise 2 kez tekrar etmektedir. Bu nedenle toplam permütasyon sayısı, tekrar sayılarına ait fakt��riyellerin çarpımına bölünür.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon

İpuçları

1
Bir sayının çift olması birler basamağına bağlıdır. Kutudaki kartlardan hangilerinin birler basamağına gelebileceğini belirleyin.
2
Birler basamağına bir adet 4 rakamını koyduktan sonra, kalan 6 basamak için hangi kartların elinizde kaldığını yazın ve bunların kaçar kez tekrar ettiğini bulun.
3
Geriye kalan rakamlar bir tane 4, üç tane 7 ve iki tane 9'dur. Bu 6 rakamın dizilimini tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak 6!1!×3!×2!\frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} şeklinde hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kalan 6 basamaktaki yerleri seçme (kombinasyon) yöntemiyle de çözebiliriz. 6 basamaktan 3 tanesini 7 rakamları için C(6,3)=20C(6,3) = 20 farklı şekilde, kalan 3 basamaktan 2 tanesini 9 rakamları için C(3,2)=3C(3,2) = 3 farklı şekilde ve son kalan 1 basamağı ise kalan tek 4 rakamı için C(1,1)=1C(1,1) = 1 farklı şekilde seçebiliriz. Çarpım kuralı gereğince 20×3×1=6020 \times 3 \times 1 = 60 farklı dizilim elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2492Soru →
İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayıları için,
AB+BA=5⋅(A+B+12)AB + BA = 5 \cdot (A + B + 12)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Çarpımın alabileceği en b��yük değer 25'tir.
Doğru cevap olan 25 değeri, iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi doğru yapılıp denklem çözüldüğünde elde edilen A+B=10A+B=10 eşitliğinden gelir. Toplamları sabit olan iki rakamın çarpımının en büyük olması için bu rakamlar birbirine en yakın (bu durumda eşit) seçilmelidir. A=5A=5 ve B=5B=5 rakamları için çarpım 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 olur.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyip toplayalım.
AB+BA=(10A+B)+(10B+A)=11(A+B)AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11(A+B) elde edilir.
Denklemde iki basamaklı sayıları tek bir bilinmeyenli terim cinsinden ifade etmek için çözümleme yapılır.
2
Bulduğumuz çözümleme sonucunu verilen denklemde yerine yazıp dağılma özelliğini uygulayalım.
11(A+B)=5(A+B)+6011(A+B) = 5(A+B) + 60 elde edilir.
Parantezi açarak benzer terimleri bir araya getirmek amaçlanır.
3
A+BA+B toplamını yalnız bırakalım.
6(A+B)=60  ⟹  A+B=106(A+B) = 60 \implies A+B = 10 bulunur.
Rakamların toplamını bularak çarpım için olası değerleri belirlemek amaçlanır.
4
AA ve BB birer rakam ve AB,BAAB, BA iki basamaklı sayılar olduğu için A≠0A \neq 0 ve B≠0B \neq 0 koşulunu göz önünde bulundurarak toplamları 10 olan rakam ikililerini yazıp en büyük çarpım değerini belirleyelim.
Olası rakam ikilileri (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5) olup en büyük çarpım değeri 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 olur.
Toplamı sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların birbirine en yakın seçilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Sayı Basamakları ve Çözümleme
Soru 2493Soru →
Tanımlı oldukları aralıklarda ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−2x−5f(x) = x^2 - 2x - 5
g(x)=2x+6x−1g(x) = \frac{2x + 6}{x - 1}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3))'tür. İlk olarak içteki fonksiyon olan g(3)g(3) değeri hesaplanır. g(3)=2(3)+63−1=6g(3) = \frac{2(3)+6}{3-1} = 6 bulunur. Daha sonra bu değer dıştaki ff fonksiyonunda yerine yazılarak f(6)=62−2(6)−5=19f(6) = 6^2 - 2(6) - 5 = 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesini f(g(3))f(g(3)) şeklinde yazın.
f(g(3))f(g(3))
Bileşke fonksiyon işlemi sağdan sola doğru uygulanır.
2
g(x)g(x) fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak g(3)g(3) değerini hesaplayın.
g(3)=6g(3) = 6
g(3)=2(3)+63−1=122=6g(3) = \frac{2(3) + 6}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6 elde edilir.
3
Bulunan g(3)=6g(3) = 6 değerini f(x)f(x) fonksiyonunda yerine yazarak f(6)f(6) değerini hesaplayın.
f(6)=19f(6) = 19
f(6)=62−2(6)−5=36−12−5=19f(6) = 6^2 - 2(6) - 5 = 36 - 12 - 5 = 19 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma işlemi sağdaki fonksiyonun görüntüsünün soldaki fonksiyona girdi olarak yazılmasıyla ger��ekleştirilir.

Alternatif Yöntem

Bileşke fonksiyon işlemini doğrudan f(g(x))f(g(x)) fonksiyonunun kuralını bulup sonra x=3x=3 yazarak da çözebiliriz: f(g(x))=(2x+6x−1)2−2(2x+6x−1)−5f(g(x)) = \left(\frac{2x+6}{x-1}\right)^2 - 2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right) - 5. Burada x=3x=3 koyduğumuzda yine 62−2(6)−5=196^2 - 2(6) - 5 = 19 sonucuna ulaşırız. Ancak bu yöntem zaman alıcıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2494Soru →

Bir belediye; uzunluğu 120120 metreden fazla, 150150 metreden az olan düz bir caddenin bir kenarına, caddenin başlangıcında ve bitişinde de birer lamba bulunması koşuluyla eşit aralıklarla sokak lambaları dikecektir. Bu caddedeki ardışık iki lamba arasındaki mesafe metre cinsinden birer tam sayı olup, lambalar 66 metre veya 88 metre aralıklarla dikildiğinde her iki durumda da caddenin bitiş noktasına tam olarak bir lamba denk gelmektedir. Buna göre, bu lambalar 66 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısı, 88 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Lambalar 6 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısı, 8 metre aralıklarla dikildiğinde kullanılacak lamba sayısından 6 fazladır.
Caddenin uzunluğu hem 66 hem de 88 metrelik aralıklarla tam bölünebildiği için bu iki sayının en küçük ortak katı olan 2424 metrenin katı olmalıdır. Belirtilen 120120 ile 150150 metre aralığında 2424'ün katı olan tek sayı 144144 metredir. Caddenin başına ve sonuna lamba dikildiği için 66 metre aralıkla 2525 lamba, 88 metre aralıkla ise 1919 lamba dikilir. İki durum arasındaki lamba sayısı farkı ise 66 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Caddenin uzunluğu olan LL değerinin aralı��ını belirleme ve EKOK ilişkisini kurma.
LL değeri 120120 ile 150150 arasındadır (120<L<150120 < L < 150). Lambalar hem 66 metre hem de 88 metre aralıklarla tam olarak yerleştirilebildiği için caddenin uzunluğu hem 66 hem de 88 sayılarının ortak bir katı, yani en küçük ortak katlarının (EKOK) bir katı olmalıdır.
Lambaların başlang��çta ve sonda bulunması ve aralıkların tam sayı olması nedeniyle caddenin uzunluğu, aralıkların ortak katı olmak zorundadır.
2
66 ve 88 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) hesaplama.
EKOK(6,8)=24\text{EKOK}(6, 8) = 24 olarak bulunur.
Caddenin uzunluğunun alabileceği ortak katların temel birimini bulmak için EKOK hesabı yapılır.
3
120<L<150120 < L < 150 koşulunu sağlayan 2424'ün katını bulma.
24×5=12024 \times 5 = 120 (koşula uymaz, 120'den fazla olmalıdır), 24×6=14424 \times 6 = 144 (koşula uyar), 24×7=16824 \times 7 = 168 (koşula uymaz, 150'den az olmalıdır). Dolayısıyla, caddenin uzunluğu L=144L = 144 metredir.
Caddenin uzunluğu verilen sınırlar arasında 2424'ün tam katı olan tek değer olmalıdır.
4
Her iki durum için dikilecek lamba sayılarını hesaplama.
66 metre aralıklarla lamba sayısı: 1446+1=24+1=25\frac{144}{6} + 1 = 24 + 1 = 25 lamba. 88 metre aralıklarla lamba sayısı: 1448+1=18+1=19\frac{144}{8} + 1 = 18 + 1 = 19 lamba.
Lamba yerleştirme problemlerinde başlangıç noktasına da lamba dikildiği için lamba sayısı, aralık sayısından 1 fazla olur.
5
Lamba sayıları arasındaki farkı bulma.
25−19=625 - 19 = 6 bulunur.
İki farklı yerleşim durumundaki lamba miktarları arasındaki farkı bulmak için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

En Küçük Ortak Kat (EKOK) ve aralık-nokta ilişkisi

İpuçları

1
Lambaların yerleştirilme aralıkları 66 ve 88 metre olduğuna göre, yolun uzunluğu bu iki sayının ortak bir katı olmalıdır.
2
66 ve 88 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulunuz ve bu katın 120120 ile 150150 arasındaki değerini belirleyiniz.
3
Bulduğunuz yol uzunluğunu sırasıyla 66'ya ve 88'e bölerek aralık sayılarını bulunuz. Hem başlangıca hem de sona lamba dikildiği için lamba sayısının, aralık sayısından 11 fazla olacağını unutmayınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki farklı zil veya nöbet probleminde EKOK mantığının nasıl uygulandığını inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Lamba sayıları arasındaki farkı doğrudan oranlar üzerinden de bulabilirsiniz. Yolun uzunluğu L=144L = 144 metre olarak belirlendikten sonra, lamba sayıları farkı (L6+1)−(L8+1)=L6−L8(\frac{L}{6} + 1) - (\frac{L}{8} + 1) = \frac{L}{6} - \frac{L}{8} şeklinde yazılabilir. Buradan payda eşitlenirse 4L−3L24=L24\frac{4L - 3L}{24} = \frac{L}{24} elde edilir. L=144L = 144 değeri yerine yazıldığında fark 14424=6\frac{144}{24} = 6 olarak doğrudan hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2495Soru →
Gerçel sayılarda tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx için
f(x)+x⋅f(4−x)=x2−2xf(x) + x \cdot f(4-x) = x^2 - 2x
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Doğru cevap -3 değeridir.
Verilen fonksiyonda sırasıyla x=3x=3 ve x=1x=1 yazıldığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem f(3)+3f(1)=3f(3) + 3f(1) = 3 ve f(3)+f(1)=−1f(3) + f(1) = -1 biçimindedir. İkinci denklem birinciden çıkarıldığında 2f(1)=4  ⟹  f(1)=22f(1) = 4 \implies f(1) = 2 elde edilir. Bu değer ikinci denklemde yerine yazıldığında ise f(3)=−3f(3) = -3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon denkleminde xx yerine 33 yazarak ilk denklemi elde etmek.
f(3)+3⋅f(1)=32−2(3)=9−6=3f(3) + 3 \cdot f(1) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3
f(3)f(3) ve f(1)f(1) değerleri arasında bir ilişki kurmak.
2
Verilen fonksiyon denkleminde xx yerine 11 yazarak ikinci denklemi elde etmek.
f(1)+1⋅f(3)=12−2(1)=1−2=−1f(1) + 1 \cdot f(3) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1
İki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturmak için ikinci bir bağıntı bulmak.
3
Elde edilen f(3)+3f(1)=3f(3) + 3f(1) = 3 ve f(3)+f(1)=−1f(3) + f(1) = -1 denklemlerini taraf tarafa çıkararak f(1)f(1) değerini bulmak.
2f(1)=4  ⟹  f(1)=22f(1) = 4 \implies f(1) = 2
Bilinmeyenlerden birini yok etme yöntemiyle bulmak.
4
f(1)=2f(1) = 2 değerini ikinci denklemde yerine yazarak f(3)f(3) değerini hesaplamak.
f(3)+2=−1  ⟹  f(3)=−3f(3) + 2 = -1 \implies f(3) = -3
İstenen fonksiyon değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda değişken değiştirme ve fonksiyonel denklemler yardımıyla değer bulma.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2496Soru →
Boş kümeden farklı AA, BB ve CC sonlu kümeleri için,
s(A×B)=18s(A \times B) = 18
s(A×C)=24s(A \times C) = 24
s(B∪C)=7s(B \cup C) = 7
olduğu biliniyor.
Buna göre, (B∖C)×(C∖B)(B \setminus C) \times (C \setminus B) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 12'dir.
Doğru cevap 12'dir. AA, BB ve CC kümelerinin eleman sayıları analiz edildiğinde s(A)=6s(A) = 6, s(B)=3s(B) = 3 ve s(C)=4s(C) = 4 bulunur. Birleşim kümesinin eleman sayısı 7 olduğundan, BB ve CC kümelerinin kesişimi boştur (s(B∩C)=0s(B \cap C) = 0). Bu durumda s(B∖C)=3s(B \setminus C) = 3 ve s(C∖B)=4s(C \setminus B) = 4 olur. Bu iki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı ise 3×4=123 \times 4 = 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanarak s(A×B)=s(A)⋅s(B)=18s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 18 ve s(A×C)=s(A)⋅s(C)=24s(A \times C) = s(A) \cdot s(C) = 24 eşitliklerini yazmak.
s(A)s(A) sayısı hem 18 hem de 24 sayılarının ortak bir tam sayı böleni olmalıdır.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpılan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
2
s(B∪C)=7s(B \cup C) = 7 bilgisini kullanarak s(A)s(A) için alt sınır belirlemek.
s(B)≤7  ⟹  s(A)≥18/7≈2.57s(B) \leq 7 \implies s(A) \geq 18/7 \approx 2.57 ve s(C)≤7  ⟹  s(A)≥24/7≈3.43s(C) \leq 7 \implies s(A) \geq 24/7 \approx 3.43 olduğundan s(A)≥4s(A) \geq 4 olmalıdır.
Bir kümenin eleman sayısı, o kümenin alt kümesi veya birleşim kümesinin eleman sayısından büyük olamaz.
3
1818 ve 2424 sayılarının 44 veya 44'ten büyük ortak bölenini belirlemek.
Ortak bölenler {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} kümesinden 44'ten büyük olan tek sayı 66'dır. Buradan s(A)=6s(A) = 6 bulunur.
s(A)s(A) hem tam sayı olmalı hem de belirlenen alt sınır şartını sağlamalıdır.
4
s(A)=6s(A) = 6 değerini kullanarak BB ve CC kümelerinin eleman sayılarını bulmak.
s(B)=18/6=3s(B) = 18 / 6 = 3 ve s(C)=24/6=4s(C) = 24 / 6 = 4 elde edilir.
Kartezyen çarpım eleman sayıları ile s(A)s(A) bilindiği için diğer kümelerin eleman sayıları doğrudan hesaplanabilir.
5
s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C) formülünü uygulayarak kesişim kümesinin eleman sayısını bulmak.
7=3+4−s(B∩C)  ⟹  s(B∩C)=07 = 3 + 4 - s(B \cap C) \implies s(B \cap C) = 0 bulunur.
Kümelerin birleşim formülü kullanılarak ortak eleman sayısı tespit edilir.
6
B∖CB \setminus C ve C∖BC \setminus B kümelerinin eleman sayılarını hesaplamak.
Kümeler ayrık olduğundan (s(B∩C)=0s(B \cap C) = 0) s(B∖C)=s(B)=3s(B \setminus C) = s(B) = 3 ve s(C∖B)=s(C)=4s(C \setminus B) = s(C) = 4 olur.
İki küme ayrık olduğunda, bir kümenin diğerinden farkı kendisidir.
7
(B∖C)×(C∖B)(B \setminus C) \times (C \setminus B) kartezyen çarpımının eleman sayısını hesaplamak.
s((B∖C)×(C∖B))=s(B∖C)⋅s(C∖B)=3⋅4=12s((B \setminus C) \times (C \setminus B)) = s(B \setminus C) \cdot s(C \setminus B) = 3 \cdot 4 = 12 bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı tanımı gereği iki kümenin eleman sayılarının çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Küme İşlemleri İlişkisi
Soru 2497Soru →
AA ve BB tam sayı kümeleri olmak üzere,
A={x∈Z:−3<x≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 < x \leq 2\}
B={y∈Z:∣y−1∣≤2}B = \{y \in \mathbb{Z} : |y - 1| \leq 2\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin (a,b)(a, b) elemanlarından kaç tanesi a+b≥2a + b \geq 2 koşulunu sağlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
A kümesinin elemanları {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} ve B kümesinin elemanları {−1,0,1,2,3}\{-1, 0, 1, 2, 3\} şeklindedir. a+b≥2a + b \geq 2 koşulu incelendiğinde; a=−1a = -1 için b=3b = 3 (1 adet), a=0a = 0 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 adet), a=1a = 1 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 adet) ve a=2a = 2 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 adet) olmak üzere toplam 10 adet (a,b)(a, b) ikilisi bu koşulu sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek
A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}
−3<x≤2-3 < x \leq 2 koşulunu sağlayan tam sayılar bu elemanlardan oluşmaktadır.
2
B kümesinin elemanlarını belirlemek
B={−1,0,1,2,3}B = \{-1, 0, 1, 2, 3\}
∣y−1∣≤2|y - 1| \leq 2 mutlak değerli eşitsizliği −2≤y−1≤2  ⟹  −1≤y≤3-2 \leq y - 1 \leq 2 \implies -1 \leq y \leq 3 aralığı olarak çözülür.
3
A kümesindeki her bir a elemanı için a+b≥2a + b \geq 2 koşulunu sağlayan b elemanlarını bulmak
a=−2a = -2 için b≥4b \geq 4 (0 adet), a=−1a = -1 için b=3b = 3 (1 adet), a=0a = 0 için b∈{2,3}b \in \{2, 3\} (2 adet), a=1a = 1 için b∈{1,2,3}b \in \{1, 2, 3\} (3 adet), a=2a = 2 için b∈{0,1,2,3}b \in \{0, 1, 2, 3\} (4 adet) bulunur.
b≥2−ab \geq 2 - a eşitsizliğini sağlayan b∈Bb \in B elemanları her durum için ayrı ayrı tespit edilir.
4
Koşulu sağlayan toplam ikili sayısını hesaplamak
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 adet ikili
Her bir durum için bulunan uygun ikili sayılarının toplanması toplam sonucu verir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesindeki elemanların koşullu sayımı

İpuçları

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazın.
2
B kümesini bulmak için ∣y−1∣≤2|y - 1| \leq 2 mutlak değerli eşitsizliğini çözerek y tam sayılarının sınırlarını belirleyin.
3
A kümesinden seçeceğiniz her bir eleman için b≥2−ab \geq 2 - a koşulunu sağlayan B elemanlarının sayısını ayrı ayrı belirleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Kartezyen çarpımın elemanlarını bir koordinat düzleminde noktalar olarak gösterip, a+b=2a + b = 2 doğrusunun üzerinde ve sağında kalan noktaları sayarak görsel bir çözüm yapmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Koşulu sağlayan elemanları tek tek saymak yerine, kartezyen çarpımın tüm elemanlarından (25 adet) koşulu sağlamayan (a+b<2a + b < 2) elemanları bulup çıkararak da sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2498Soru →

A={x∈Z:x2−3x−4≤0}A = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 3x - 4 \leq 0\} kümesi veriliyor.

BB kümesi 1212 sayısının pozitif tam bölenlerinden, CC kümesi ise 1818 sayısının pozitif tam bölenlerinden oluşmaktadır.

Buna göre, (A×B)∩(A×C)(A \times B) \cap (A \times C) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 24'tür.
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılarak (A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği elde edilir. A kümesinin eleman sayısı s(A) = 6 ve B ve C kümelerinin kesişim kümesinin eleman sayısı s(B ve C ortak elemanları) = 4 olarak bulunur. Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı formülüne göre bu iki değer çarpıldığında 6 * 4 = 24 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 24 elemanlı seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirleme.
x2−3x−4≤0⇒(x−4)(x+1)≤0x^2 - 3x - 4 \leq 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) \leq 0 eşitsizliğinden −1≤x≤4-1 \leq x \leq 4 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar A={−1,0,1,2,3,4}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} olup eleman sayısı s(A)=6s(A) = 6 bulunur.
Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplamak için birinci kümenin eleman sayısına ihtiyaç vardır.
2
BB ve CC kümelerini yazıp kesişim kümesini ve eleman sayısını bulma.
B={1,2,3,4,6,12}B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} ve C={1,2,3,6,9,18}C = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} kümelerinin kesişimi B∩C={1,2,3,6}B \cap C = \{1, 2, 3, 6\} olup eleman sayısı s(B∩C)=4s(B \cap C) = 4 bulunur.
Kartezyen çarpımın dağılma özelliği uygulandıktan sonra elde edilen ikinci bileşen kümenin eleman sayısı gereklidir.
3
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliğini uygulayarak eleman sayısını hesaplama.
(A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) eşitliği kullanılır. Bu kümenin eleman sayısı s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=6⋅4=24s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 6 \cdot 4 = 24 olarak hesaplanır.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, bileşen kümelerinin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği ve eleman sayısı formülü

Alternatif Yöntem

Kümelerin elemanları tek tek yazılıp kartezyen çarpım kümelerinin elemanları oluşturularak bu iki kümenin ortak olan elemanları sayılarak da sonuca ulaşılabilir. Ancak bu yöntem oldukça zaman alıcı ve işlem hatasına açık bir yoldur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2499Soru →
Her aa ve bb gerçel sayısı için Δ\Delta ve ⋆\star işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:
aΔb=3a−2ba \mathbin{\Delta} b = 3a - 2b
a⋆b=a⋅b−(a+b)a \mathbin{\star} b = a \cdot b - (a + b)
Buna göre,
(xΔ4)⋆3=11(x \mathbin{\Delta} 4) \mathbin{\star} 3 = 11

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayısı 5'tir.
Tanımlanan kurallar adım adım uygulandığında, dıştaki yıldız işlemi 2y−3=112y - 3 = 11 denklemine dönüşür ve buradan parantez içi değer olan 77 elde edilir. Üçgen işlemi ise 3x−8=73x - 8 = 7 denklemine dönüşür ve buradan bilinmeyen değer 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki işlem olan xΔ4x \mathbin{\Delta} 4 ifadesine yy diyelim ve eşitliği yy cinsinden yazalım.
y⋆3=11y \mathbin{\star} 3 = 11 elde edilir.
İç içe geçmiş işlemleri daha kolay çözmek için en dıştaki işlemden başlayarak adım adım ilerlemek gerekir.
2
a⋆b=a⋅b−(a+b)a \mathbin{\star} b = a \cdot b - (a + b) tanımını y⋆3y \mathbin{\star} 3 ifadesine uygulayalım.
y⋅3−(y+3)=11  ⟹  3y−y−3=11  ⟹  2y−3=11y \cdot 3 - (y + 3) = 11 \implies 3y - y - 3 = 11 \implies 2y - 3 = 11 elde edilir.
Tanımlanan işlem kuralına göre birinci bileşen ile ikinci bileşenin çarpımından bileşenlerin toplamı çıkarılmalıdır.
3
2y−3=112y - 3 = 11 denklemini çözerek yy değerini bulalım.
2y=14  ⟹  y=72y = 14 \implies y = 7 bulunur.
Bilinmeyen yy değerini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına 3 eklenip 2'ye bölünür.
4
y=7y = 7 değerini ilk başta yaptığımız y=xΔ4y = x \mathbin{\Delta} 4 eşitliğinde yerine koyalım ve Δ\Delta işlemini uygulayalım.
xΔ4=7  ⟹  3x−2(4)=7x \mathbin{\Delta} 4 = 7 \implies 3x - 2(4) = 7 elde edilir.
aΔb=3a−2ba \mathbin{\Delta} b = 3a - 2b tanımı gereğince birinci bileşenin 3 katından ikinci bileşenin 2 katı çıkarılmalıdır.
5
3x−8=73x - 8 = 7 denklemini çözerek xx değerini bulalım.
3x=15  ⟹  x=53x = 15 \implies x = 5 bulunur.
Bilinmeyen xx değerini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına 8 eklenip 3'e bölünür.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı sembollerin kurallarına uygun olarak denklem çözme ve işlem önceliğine dikkat etme.
Soru 2500Soru →

Bir dik açının kenarlarına teğet olan 12 cm12\text{ cm} yarıçaplı bir çember verilmiştir. Bu çemberin açının kenarları arasında kalan yayının üzerindeki bir TT noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, açının kenarlarını AA ve BB noktalarında kesmektedir.

Buna göre, köşesi açının başlangıç noktası olan OABOAB üçgeninin çevresi kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Dik açının kollarına teğet olan çemberin teğet özelliklerinden faydalanıldığında, oluşan dik üçgenin çevresi çemberin yarıçapının iki katına eşittir. Bu nedenle çevre uzunluğu 24 cm'dir.
Doğru cevap 24 cm'dir. Çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması kuralına göre, üçgenin kenarları arasındaki bağıntılar yazılıp toplandığında bilinmeyen teğet parçaları birbirini götürür. Geriye kalan sabit terimlerin toplamı, çemberin yarıçapının iki katı olan 24 cm değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktalarını belirleme
Çemberin dik açının kollarına teğet olduğu noktalar KK ve LL olsun. Başlangıç noktası OO olmak üzere, te��et kolları birbirine eşit olduğundan ∣OK∣=∣OL∣=r=12 cm|OK| = |OL| = r = 12\text{ cm} olur.
Çemberin merkezinden teğet noktalarına çizilen yarıçaplar diktir ve kollarda oluşan dörtgen bir karedir.
2
Dış noktadan çizilen teğetlerin eşitliği özelliğini kullanma
AA noktasından çembere çizilen teğetler için ∣AK∣=∣AT∣|AK| = |AT| ve BB noktasından çizilen teğetler için ∣BL∣=∣BT∣|BL| = |BT| eşitlikleri elde edilir.
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçaların��n uzunlukları birbirine eşittir.
3
OABOAB üçgeninin kenar uzunluklarını ifade etme
∣OA∣=∣OK∣−∣AK∣=12−∣AT∣|OA| = |OK| - |AK| = 12 - |AT| ve ∣OB∣=∣OL∣−∣BL∣=12−∣BT∣|OB| = |OL| - |BL| = 12 - |BT| yazılır. Üçgenin hipotenüsü ise ∣AB∣=∣AT∣+∣BT∣|AB| = |AT| + |BT|'dir.
Üçgenin dik kenarları, teğet uzunluklarının tamamından dışarıda kalan teğet parçalarının çıkarılmasıyla elde edilir.
4
Çevre uzunluğunu hesaplama
Çevre (OAB)=∣OA∣+∣OB∣+∣AB∣=(12−∣AT∣)+(12−∣BT∣)+(∣AT∣+∣BT∣)=24 cm(OAB) = |OA| + |OB| + |AB| = (12 - |AT|) + (12 - |BT|) + (|AT| + |BT|) = 24\text{ cm} bulunur.
Kenar uzunlukları toplandığında ∣AT∣|AT| ve ∣BT∣|BT| terimleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece teğet uzunluklarının toplamı kalır.

Anahtar Kavram

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması özelliği.

İpuçları

1
Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olduğunu hatırlayınız.
2
Açının kolları üzerindeki teğet noktalarına KK ve LL diyerek ∣AK∣=∣AT∣|AK| = |AT| ve ∣BL∣=∣BT∣|BL| = |BT| eşitliklerini yazınız.
3
∣OA∣=12−∣AT∣|OA| = 12 - |AT| ve ∣OB∣=12−∣BT∣|OB| = 12 - |BT| yazıp bu ifadeleri üçgenin çevre formülünde yerlerine yerleştirerek sadeleştirme yapınız.

Daha Fazla Pratik

Aynı çemberde dik açı yerine 60 derecelik bir açı kullanılsaydı çevre ve teğet uzunlukları nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

T noktasını çember üzerinde hareket ettirdiğimizi düşünebiliriz. Limit durumunda T noktası K veya L noktasına yaklaştıkça dik üçgenin bir köşesi teğet noktasına doğru kayar. T noktası K noktası üzerine geldiğinde A noktası K ile çakışır ve ∣OA∣=12|OA| = 12, ∣OB∣=12|OB| = 12, ∣AB∣=0|AB| = 0 olur. Bu uç durumda da çevre toplamı 12+12+0=24 cm12 + 12 + 0 = 24\text{ cm} olarak korunur.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 125 / 129Sonraki
Tüm alıştırma soruları — ALES | Examkin