Examkin

Yaş Problemleri

19 soru

Soru 1Soru →

Bir babanın bugünkü yaşı, ikişer yıl arayla doğmuş üç çocuğunun bugünkü yaşları toplamına eşittir. 55 yıl sonra babanın yaşı, en büyük çocuğun yaşının 22 katından 33 fazla olacağına göre, en küçük çocuğun bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En küçük çocuğun bugünkü yaşı 1010'dur.
Çocukların bugünkü yaşları ikişer yıl arayla x−2x-2, xx, x+2x+2 ve babanın bugünkü yaşı bunların toplamı olan 3x3x olarak belirlenir. 55 yıl sonra babanın yaşı 3x+53x+5, en büyük çocuğun yaşı x+7x+7 olur. Soruda verilen ilişkiye göre kurulan 3x+5=2(x+7)+33x+5 = 2(x+7)+3 denklemi çözüldüğünde x=12x=12 bulunur. En küçük çocuğun bugünkü yaşı x−2x-2 olduğundan 12−2=1012-2=10 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çocukların ve babanın bugünkü yaşlarını değişkenler türünden ifade etmek.
En küçük çocuğun yaşı x−2x-2, ortanca çocuğun yaşı xx ve en büyük ��ocuğun yaşı x+2x+2 olsun. Bu durumda babanın bugünkü yaşı bu yaşların toplamı olan (x−2)+x+(x+2)=3x(x-2) + x + (x+2) = 3x olur.
Soruda çocukların yaşlarının ikişer yıl arayla olduğu ve babanın yaşının bunların toplamına eşit olduğu belirtilmiştir.
2
55 yıl sonraki yaşları belirlemek.
55 yıl sonra babanın yaşı 3x+53x + 5, en büyük çocuğun yaşı ise (x+2)+5=x+7(x+2) + 5 = x + 7 olacaktır.
Zaman geçtikçe gruptaki her bireyin yaşı geçen yıl miktarı kadar artar.
3
55 yıl sonraki durumu veren denklemi kurmak ve çözmek.
3x+5=2(x+7)+33x + 5 = 2(x+7) + 3 denkleminden 3x+5=2x+14+3  ⟹  3x+5=2x+17  ⟹  x=123x + 5 = 2x + 14 + 3 \implies 3x + 5 = 2x + 17 \implies x = 12 bulunur.
55 yıl sonra babanın yaşının, en büyük çocuğun yaşının 22 katından 33 fazla olduğu bilgisi kullanılmıştır.
4
Soruda istenen en küçük çocuğun bugünkü yaşını bulmak.
En küçük çocuğun bugünkü yaşı x−2=12−2=10x-2 = 12-2 = 10 olarak bulunur.
En küçük çocuğun yaşını x−2x-2 olarak tanımlamıştık ve xx değerini 1212 bulduk.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçtikçe herkesin yaşının aynı miktarda artması ve yaş farklarının sabit kalması ilkesi kullanılarak denklem kurulması.
Soru 2Soru →

Bir abla ile kardeşinin yaşları farkı 66'dır. 55 yıl sonra ikisinin yaşları toplamı 3232 olacağına göre, ablanın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Ablanın bugünkü yaşı 14'tür.
Abla ile kardeşin yaşları farkı zamanla değişmez ve her zaman 6'dır. 5 yıl sonra her birinin yaşı 5 artacağı için yaşları toplamı 10 artarak 32 olmuştur. Dolayısıyla bugünkü yaşları toplamı 22'dir. Bugünkü yaşları farkı 6 ve toplamı 22 olan iki kişiden büyük olan ablanın yaşı 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Abla ve kardeşin bugünkü yaşlarını değişkenler cinsinden ifade etme
Ablanın yaşı AA, kardeşin yaşı KK olsun. A−K=6A - K = 6 olur.
Soruda abla ile kardeşin yaşları farkının 6 olduğu belirtilmiştir.
2
5 yıl sonraki yaşlar toplamı bilgisini kullanarak bugünkü yaşlar toplamını bulma
5 yıl sonraki yaşlar toplamı (A+5)+(K+5)=32  ⟹  A+K=22(A + 5) + (K + 5) = 32 \implies A + K = 22 olur.
Her iki kişinin de yaşı 5 yıl artacağı için yaşlar toplamı 10 artar.
3
Elde edilen iki denklemi ortak çözerek ablanın bugünkü yaşını bulma
(A−K)+(A+K)=6+22  ⟹  2A=28  ⟹  A=14(A - K) + (A + K) = 6 + 22 \implies 2A = 28 \implies A = 14 olur.
Taraf tarafa toplama yöntemiyle KK değişkeni yok edilir ve ablanın yaşı AA doğrudan bulunur.

Anahtar Kavram

Yaş farkının zamanla değişmemesi ve geçen sürenin her bireyin yaşına aynı miktarda eklenmesi prensibi.
Soru 3Soru →

Bir okulda öğretmenlik yapan Aylin, Barış ve Ceren'in bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Aylin'in bugünkü yaşının, Barış ile Ceren'in bugünkü yaşları farkına oranı 33'tür.
* Ceren, Aylin'in bugünkü yaşına geldiğinde; Aylin, Barış ve Ceren'in yaşları toplamı 105105 olacaktır.
* Barış, Ceren'in bugünkü yaşındayken; Aylin ve Ceren'in yaşları toplamı 3535 idi.

Buna göre, Barış'ın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Barış'ın bugünkü yaşı 35'tir.
Kurulan denklem sistemi çözüldüğünde Barış'ın bugünkü yaşı 35 olarak elde edilir. Aylin 30, Barış 35 ve Ceren ise 25 yaşındadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve ilk bağıntıyı yazma.
Aylin'in yaşı AA, Barış'ın yaşı BB, Ceren'in yaşı CC olsun. Barış, Ceren'den büyük kabul edilirse yaş farkı d=B−Cd = B - C olur. Buradan A=3dA = 3d ve B=C+dB = C + d elde edilir.
Sözel ifadeleri matematiksel modele dönüştürmek.
2
Gelecekteki yaş durumunu denkleme dökme.
Ceren'in Aylin'in yaşına gelmesi için geçen süre A−C=3d−CA - C = 3d - C yıldır. Bu süre sonunda üçünün yaşları toplamı: (2A−C)+(B+A−C)+A=13d−C=105(2A - C) + (B + A - C) + A = 13d - C = 105 olur.
Gelecekteki yaşlar toplamı bilgisini denklem haline getirmek.
3
Geçmişteki yaş durumunu denkleme dökme.
Barış'ın Ceren'in yaşında olduğu zaman B−C=dB - C = d yıl öncesidir. Bu zaman diliminde Aylin'in yaşı A−d=2dA - d = 2d ve Ceren'in yaşı C−dC - d olup yaşları toplamı: 2d+C−d=d+C=352d + C - d = d + C = 35 olur.
Geçmişteki yaşlar toplamı bilgisini denklem haline getirmek.
4
Denklem sistemini çözme.
13d−C=10513d - C = 105 ve d+C=35d + C = 35 denklemleri taraf tarafa toplanırsa 14d=140  ⟹  d=1014d = 140 \implies d = 10 bulunur. Buradan C=25C = 25, A=30A = 30 ve B=C+d=35B = C + d = 35 olarak hesaplanır.
Değişkenlerin sayısal değerlerini bulmak.

Anahtar Kavram

Yaş Problemlerinde Zaman Geçişi ve Yaş Farkının Korunumu
Soru 4Soru →

Hakan ile Melis'in bugünkü yaşları farkı 88'dir. 44 yıl sonra Hakan'ın yaşı Melis'in yaşının 22 katı olacağına göre, Hakan'ın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Hakan'ın bugünkü yaşı 12'dir.
Hakan ile Melis'in yaşları farkı 8'dir. Hakan'ın bugünkü yaşı HH, Melis'in bugünkü yaşı MM olsun. Bu durumda H=M+8H = M + 8 olur. 4 yıl sonra Hakan'ın yaşı H+4H + 4, Melis'in yaşı ise M+4M + 4 olacaktır. Soruda verilen bilgiye göre 4 yıl sonra Hakan'ın yaşı Melis'in yaşının 2 katı olacağından H+4=2(M+4)H + 4 = 2(M + 4) eşitliği yazılır. Bu denklemde HH yerine M+8M + 8 yazıldığında M+8+4=2(M+4)⇒M+12=2M+8M + 8 + 4 = 2(M + 4) \Rightarrow M + 12 = 2M + 8 elde edilir. Buradan M=4M = 4 bulunur. Hakan'ın bugünkü yaşı ise H=4+8=12H = 4 + 8 = 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Hakan ve Melis'in bugünkü yaşlarını deği��kenlerle ifade etmek ve yaş farkını belirlemek.
Hakan'ın bugünkü yaşı HH, Melis'in bugünkü yaşı MM olsun. Yaş farkı sabit olduğundan H−M=8H - M = 8 yazılır. Buradan Hakan'ın yaşı H=M+8H = M + 8 olarak ifade edilir.
Problemi tek bir bilinmeyen cinsinden çözebilmek için iki kişinin yaşları arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
4 yıl sonraki yaşları belirlemek ve aralarındaki ilişkiyi denklem haline getirmek.
4 yıl sonra Hakan H+4=M+8+4=M+12H + 4 = M + 8 + 4 = M + 12 yaşında, Melis ise M+4M + 4 yaşında olur. Verilen bilgiye göre: M+12=2(M+4)M + 12 = 2(M + 4) denklemi elde edilir.
Zaman geçtikçe her iki kişinin de yaşının aynı miktarda artacağını göz önüne alarak yeni durumdaki yaş ilişkisini denklemle ifade etmek gerekir.
3
Elde edilen denklemi çözerek Melis'in ve ardından Hakan'ın bugünkü yaşını bulmak.
M+12=2M+8⇒M=4M + 12 = 2M + 8 \Rightarrow M = 4 bulunur. Hakan'ın bugünkü yaşı ise H=M+8=4+8=12H = M + 8 = 4 + 8 = 12 olarak hesaplanır.
Melis'in bugünkü yaşını bulduktan sonra, aralarındaki yaş farkını kullanarak soruda bizden istenen Hakan'ın bugünkü yaşına ulaşmak gerekir.

Anahtar Kavram

Yaş Problemleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 5Soru →

Bir babanın bugünkü yaşı, oğlunun bugünkü yaşının 3 katıdır. 6 yıl önce babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katı olduğuna göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Babanın bugünkü yaşı 54'tür.
Oğlun yaşı xx, babanın yaşı 3x3x olarak belirlendikten sonra, 6 yıl önceki yaşları sırasıyla x−6x-6 ve 3x−63x-6 olur. Bu durumda kurulan 3x−6=4(x−6)3x - 6 = 4(x - 6) denklemi çözüldüğünde x=18x = 18 bulunur. Babanın bugünkü yaşı 3x=543x = 54 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Oğlun bugünkü yaşına xx denilerek babanın yaşı ve 6 yıl önceki durum için değişkenler belirlenir.
Oğlun bugünkü yaşı: xx, babanın bugünkü yaşı: 3x3x. 6 yıl önce oğlun yaşı: x−6x - 6, babanın yaşı: 3x−63x - 6 olur.
Yaş problemleri çözülürken verilen ilişkiler değişkenlerle ifade edilmelidir.
2
6 yıl önceki yaş ilişkisine göre denklem kurulur ve çözülür.
3x−6=4(x−6)⇒3x−6=4x−24⇒x=183x - 6 = 4(x - 6) \Rightarrow 3x - 6 = 4x - 24 \Rightarrow x = 18 bulunur.
6 yıl önce babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katına eşittir.
3
Bulunan xx değeri yardımıyla babanın bugünkü yaşı hesaplanır.
Babanın bugünkü yaşı: 3x=3×18=543x = 3 \times 18 = 54 olarak bulunur.
Babanın bugünkü yaşının oğlunun yaşının 3 katı olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Yaş Problemleri Denklem Kurma
Soru 6Soru →

Bir anne ile iki çocuğunun yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Annenin şimdiki yaşı, iki çocuğunun şimdiki yaşları toplamının 22 katından 66 fazladır.
* Çocukların yaşları farkı 44'tür.
* Küçük çocuk büyük çocuğun şimdiki yaşına geldiğinde annenin yaşı, büyük çocuğun o zamanki yaşının 33 katına eşit olacaktır.

Buna göre, annenin şimdiki yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Annenin şimdiki yaşı 38'dir.
Doğru cevaba ulaşmak için çocukların yaşları xx ve x+4x+4 olarak belirlenir. Annenin şimdiki yaşı 2(2x+4)+6=4x+142(2x+4)+6 = 4x+14 şeklinde yazılır. Küçük çocuğun büyük çocuğun yaşına gelmesi için 4 yıl geçmesi gerektiğinden, 4 yıl sonra annenin yaşı 4x+184x+18, büyük çocuğun yaşı ise x+8x+8 olur. Kurulan 4x+18=3(x+8)4x+18 = 3(x+8) denkleminden x=6x=6 elde edilir. Bu değer annenin şimdiki yaş formülünde yerine konulduğunda annenin şimdiki yaşı 38 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük çocuğun şimdiki yaşına xx diyerek büyük çocuğun ve annenin şimdiki yaşlarını xx cinsinden ifade edin.
Küçük çocuk xx, büyük çocuk x+4x+4 yaşındadır. Annenin şimdiki yaşı ise A=2(x+x+4)+6=4x+14A = 2(x + x + 4) + 6 = 4x + 14 olur.
Problemin ilk kısmında verilen sözel ilişkileri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
Küçük çocuğun büyük çocuğun şimdiki yaşına gelmesi için geçmesi gereken süreyi ve bu süre sonundaki yaşları belirleyin.
Küçük çocuğun x+4x+4 yaşına gelmesi için geçen süre (x+4)−x=4(x+4) - x = 4 yıldır. 4 yıl sonra büyük çocuk x+8x + 8 yaşında, anne ise A+4=4x+18A + 4 = 4x + 18 yaşında olur.
Zaman içindeki yaş değişimlerini doğru şekilde takip edebilmek için.
3
Gelecekteki yaş ilişkisini kullanarak xx değerini bulmak için denklemi kurun ve çözün.
4x+18=3(x+8)⇒4x+18=3x+24⇒x=64x + 18 = 3(x + 8) \Rightarrow 4x + 18 = 3x + 24 \Rightarrow x = 6 bulunur.
Yaşlar arasındaki doğrusal bağıntıyı çözüp çocukların yaşlarını elde etmek için.
4
Bulunan xx değerini annenin şimdiki yaşı denkleminde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
A=4(6)+14=38A = 4(6) + 14 = 38 olarak bulunur.
Soruda istenen annenin şimdiki yaşını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman içindeki yaş değişimlerinin denkleştirilmesi

İpuçları

1
Küçük çocuğun yaşına xx diyerek büyük çocuğun yaşını xx cinsinden yazın ve annenin yaşını bu iki yaşın toplamı üzerinden modelleyin.
2
Küçük çocuğun büyük çocuğun şimdiki yaşına gelmesi için kaç yıl geçmesi gerektiğini bulun ve bu süre sonunda herkesin yaşını güncelleyin.
3
Gelecekteki yaşlar arasındaki oranı kurarken annenin yaşının da geçen yıl kadar artmış olması gerektiğine dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkta, üç çocuğun yaşları ve babanın yaşı arasındaki ilişkileri içeren bir yaş problemi çözerek zaman farkı kavramını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, seçeneklerden gidilebilir. Doğru cevap olan 38 değeri annenin şimdiki yaşı olarak kabul edilirse, 4x+14=38⇒4x=24⇒x=64x + 14 = 38 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6 (küçük çocuk) ve büyük çocuk 10 yaşında olur. 4 yıl sonra annenin yaşı 42, büyük çocuğun yaşı ise 14 olacaktır. 42 sayısı 14'ün tam 3 katı olduğu için bu durum soruda verilen şartı doğrular.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

Aylin ile Burak'ın bugünkü yaşları toplamı 3030'dur. 33 yıl sonra Aylin'in yaşı Burak'ın yaşının 22 katı olacağına göre, Burak'ın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Burak'ın bugünkü yaşı 99'dur.
Burak'ın bugünkü yaşına xx denilirse, yaşları toplamı 3030 olduğu için Aylin'in bugünkü yaşı 30−x30 - x olur. 33 yıl sonra Burak x+3x + 3, Aylin ise 33−x33 - x yaşında olacaktır. Soruda verilen kat ilişkisine göre kurulan 33−x=2(x+3)33 - x = 2(x + 3) denklemi çözüldüğünde 33−x=2x+6  ⟹  3x=27  ⟹  x=933 - x = 2x + 6 \implies 3x = 27 \implies x = 9 sonucu elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 99 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Burak'ın bugünkü yaşına xx diyerek her iki kişinin bugünkü ve 33 yıl sonraki yaşlarını ifade edelim.
Burak'ın bugünkü yaşı xx ise, yaşları toplamı 3030 olduğu için Aylin'in bugünkü yaşı 30−x30 - x olur. 33 yıl sonra Burak x+3x + 3 yaşında, Aylin ise (30−x)+3=33−x(30 - x) + 3 = 33 - x yaşında olacaktır.
Sözel ifadeleri bilinmeyen kullanarak matematiksel ifadelere dönüştürmek için.
2
33 yıl sonraki yaş ilişkisine göre denklemi kuralım.
33−x=2⋅(x+3)33 - x = 2 \cdot (x + 3)
Aylin'in yaşının Burak'ın yaşının 22 katı olacağı bilgisini eşitlemek için.
3
Denklemi çözerek xx değerini bulalım.
33−x=2x+6  ⟹  33−6=2x+x  ⟹  27=3x  ⟹  x=933 - x = 2x + 6 \implies 33 - 6 = 2x + x \implies 27 = 3x \implies x = 9 elde edilir.
Burak'ın bugünkü yaşını temsil eden bilinmeyeni yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Yaş Problemleri

İpuçları

1
Burak'ın bugünkü yaşına xx diyerek başlayın. Yaşları toplamı 3030 olduğuna göre Aylin'in yaşını xx cinsinden yazın.
2
33 yıl sonra her iki kişinin de yaşının 33 artacağını unutmayın. Aylin'in 33 yıl sonraki yaşını Burak'ın 33 yıl sonraki yaşının 22 katına eşitleyin.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 8Soru →

Bir annenin yaşının, iki çocuğunun yaşları farkına oranı bugün 88'dir. 55 yıl sonra bu oran 99 olacağına göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Annenin bugünkü yaşı 40'tır.
İki kişinin yaşları farkı yıllar geçse de değişmez. Çocukların yaşları farkı DD ise 55 yıl sonra da DD kalacaktır. Bugün annenin yaşı MM ise M/D=8  ⟹  M=8DM/D = 8 \implies M = 8D'dir. 55 yıl sonra annenin yaşı M+5M+5 olacağından (M+5)/D=9  ⟹  M+5=9D(M+5)/D = 9 \implies M+5 = 9D elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde 8D+5=9D  ⟹  D=58D + 5 = 9D \implies D = 5 ve annenin bugünkü yaşı M=8×5=40M = 8 \times 5 = 40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İki çocuğun bugünkü ya��ları farkına DD, annenin bugünkü yaşıına MM diyelim. İki kişinin yaşları farkı zamanla değişmeyeceği için çocukların yaşları farkı her zaman DD olarak kalacaktır.
M=8DM = 8D denklemi elde edilir.
Soruda annenin yaşının, çocukların yaşları farkına oranının bugün 8 olduğu belirtilmiştir.
2
5 yıl sonra annenin yaşı M+5M + 5 olacaktır. Bu durumdaki oranı veren denklemi kuralım.
M+5D=9  ⟹  M+5=9D\frac{M+5}{D} = 9 \implies M + 5 = 9D denklemi elde edilir.
5 yıl sonra bu oranın 9 olacağı bilgisi verilmiştir.
3
Birinci adımda bulduğumuz M=8DM = 8D ifadesini ikinci adımda elde ettiğimiz denklemde yerine yazarak DD değerini bulalım.
8D+5=9D  ⟹  D=58D + 5 = 9D \implies D = 5 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözmek için.
4
Bulduğumuz D=5D = 5 değerini ilk denklemde yerine yazarak annenin bugünkü yaşını hesaplayalım.
M=8×5=40M = 8 \times 5 = 40 bulunur.
Soruda annenin bugünkü yaşı (MM) sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Yaş farkının zamanla değişmemesi ilkesi ve oran-orantı yardımıyla denklem kurma.
Soru 9Soru →

Bir iş yerinde ��alışan Arda ve Berk'in bugünkü yaşları sırasıyla 33 ve 44 sayıları ile orantılıdır. Arda, Berk'in bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 7272 olacağına göre, Arda'nın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2424

Cevap

Arda'nın bugünkü yaşı 24'tür.
Doğru cevap olan 24 değeri, Arda ve Berk'in yaşlarının sırasıyla 3k ve 4k olarak belirlenmesiyle elde edilir. Arda'nın Berk'in yaşına gelmesi için k yıl geçmelidir. Bu süre zarfında Berk de k yıl yaşlanarak 5k yaşına ulaşır. Gelecekteki yaşlarının toplamı olan 4k + 5k = 9k ifadesi 72'ye eşitlendiğinde k = 8 bulunur. Buradan Arda'nın bugünkü yaşı 3k = 3 * 8 = 24 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Arda ve Berk'in bugünkü yaşlarını oranlarına göre bilinmeyen bir kk değişkeni cinsinden yazın.
Arda'nın bugünkü yaşı 3k3k, Berk'in bugünkü yaşı 4k4k olur.
Yaşların sırasıyla 33 ve 44 ile orantılı olduğu belirtilmiştir.
2
Arda'nın Berk'in yaşına gelmesi için geçmesi gereken süreyi hesaplayın.
Geçen süre 4k−3k=k4k - 3k = k yıldır.
Arda'nın bugünkü yaşı 3k3k iken Berk'in yaşı 4k4k'dir; aradaki yaş farkı kadar yıl geçmesi gerekir.
3
Bu süre sonunda hem Arda'nın hem de Berk'in ulaşacağı yeni yaşları bulun.
Arda 4k4k yaşına gelir. Berk ise 4k+k=5k4k + k = 5k yaşına gelir.
Zaman herkes için aynı miktarda ilerlediği için Berk'in yaşına da kk eklenmelidir.
4
Yaşların toplamını 7272'ye eşitleyerek kk değerini bulun.
4k+5k=9k=72⇒k=84k + 5k = 9k = 72 \Rightarrow k = 8 bulunur.
Arda Berk'in yaşına geldiğinde yaşları toplamının 7272 olacağı verilmiştir.
5
Arda'nın bugünkü yaşını bulmak için kk değerini yerine koyun.
Arda'nın bugünkü yaşı 3k=3×8=243k = 3 \times 8 = 24 olarak bulunur.
Soruda Arda'nın bugünkü yaşı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Orantı kullanarak yaş problemlerinde denklem kurma ve zaman ilerlemesini modelleme.
Soru 10Soru →

Bir gruptaki üç arkadaşın bugünkü yaşları sırasıyla 2, 3 ve 4 sayıları ile doğru orantılıdır. 6 yıl sonra bu üç arkadaşın yaşları toplamı, ortanca arkadaşın bugünkü yaşının 4 katına eşit olacağına göre, en küçük arkadaşın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En küçük arkadaşın bugünkü yaşı 12'dir.
Doğru seçenekte belirtilen yaş değeri (12), kurulan yaş denkleminin doğru çözümüdür. Arkadaşların bugünkü yaşları 2k2k, 3k3k ve 4k4k olsun. Bugünkü yaşlar toplamı 9k9k olur. 6 yıl sonra 3 kişinin yaşları toplamı 9k+189k + 18 olacaktır. Bu değer, ortanca arkadaşın bugünkü yaşının (3k3k) 4 katı olan 12k12k'ye eşitlenirse 9k+18=12k  ⟹  3k=18  ⟹  k=69k + 18 = 12k \implies 3k = 18 \implies k = 6 elde edilir. Buradan en küçük arkadaşın bugünkü yaşı 2k=2×6=122k = 2 \times 6 = 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Arkadaşların bugünkü yaşların�� oranlarına göre değişken cinsinden yazmak.
Arkadaşların bugünkü yaşları sırasıyla 2k2k, 3k3k ve 4k4k olarak belirlenir. Bugünkü yaşlar toplamı 2k+3k+4k=9k2k + 3k + 4k = 9k olur.
Yaşların 2, 3 ve 4 ile doğru orantılı olduğu verilmiştir.
2
6 yıl sonraki yaşlar toplamını ifade etmek.
6 yıl sonra her arkadaşın yaşı 6 yıl artacağından, yaşlar toplamı 9k+(3×6)=9k+189k + (3 \times 6) = 9k + 18 olur.
Gruptaki 3 kişinin her biri 6 yıl yaşlanır.
3
Verilen eşitliği kullanarak denklemi kurmak ve çözmek.
9k+18=4×(3k)  ⟹  9k+18=12k  ⟹  3k=18  ⟹  k=69k + 18 = 4 \times (3k) \implies 9k + 18 = 12k \implies 3k = 18 \implies k = 6 olarak bulunur.
6 yıl sonraki yaşlar toplamı, ortanca arkadaşın bugünkü yaşının (3k3k) 4 katına eşittir.
4
Bulunan kk değerine göre en küçük arkadaşın yaşını hesaplamak.
En küçük arkadaşın bugünkü yaşı 2k=2×6=122k = 2 \times 6 = 12 olarak hesaplanır.
En küçük arkadaşın yaşı başlangıçta 2k2k olarak belirlenmiştir.

Anahtar Kavram

Doğru Orantı ve Yaş Problemleri
Soru 11Soru →

Efe, Başak ve Cihan'ın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Efe ve Başak'ın yaşları farkı, Başak ve Cihan'ın yaşları farkına eşittir.
* Efe, Başak'ın bugünkü yaşına geldiğinde yıl 20322032 olacaktır.
* Cihan, Başak'ın bugünkü yaşındayken yıl 20202020 idi.
* Üçün��n bugünkü yaşları toplamı 6666'dır.

Buna göre, Efe'nin bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Efe'nin bugünkü yaşı 16'dır.
Efe ile Başak ve Başak ile Cihan arasındaki yaş farkı eşit olduğundan yaşlar aritmetik bir dizi oluşturur. İki tarih arasındaki 12 yıllık fark, bu ortak yaş farkının iki katına (2d2d) eşit olur. Buradan yaş farkı d=6d = 6 olarak bulunur. Yaşlar toplamı olan 66, ortadaki kişi olan Başak'ın yaşının 3 katına eşittir (3B=66  ⟹  B=223B = 66 \implies B = 22). Efe'nin yaşı ise Başak'ın yaşından 6 eksik olduğundan 22−6=1622 - 6 = 16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin yaşları arasındaki ilişkileri belirlemek için değişkenleri tanımlama.
Efe (EE), Başak (BB) ve Cihan (CC) olsun. B−E=C−B=dB - E = C - B = d eşitliğinden E=B−dE = B - d ve C=B+dC = B + d elde edilir.
Yaşlar arasındaki farkın eşit olduğunu ve kişilerin büyüklük sıralamasını ifade etmek için.
2
Zaman farklarından yararlanarak ortak yaş farkını (dd) bulma.
2d=2032−2020  ⟹  2d=12  ⟹  d=62d = 2032 - 2020 \implies 2d = 12 \implies d = 6 bulunur.
Efe'nin Başak'ın yaşına gelmesi için dd yıl geçmesi, Cihan'ın Başak'ın yaşında olması için dd yıl öncesine gidilmesi gerekir; bu iki durum arasındaki zaman farkı 2d2d kadardır.
3
Yaşlar toplamını kullanarak ortanca kişinin yaşını bulma.
E+B+C=66  ⟹  (B−6)+B+(B+6)=66  ⟹  3B=66  ⟹  B=22E + B + C = 66 \implies (B - 6) + B + (B + 6) = 66 \implies 3B = 66 \implies B = 22 bulunur.
Üç kişinin bugünkü yaşları toplamı 66 olarak verildiği için.
4
Efe'nin bugünkü yaşını hesaplama.
E=B−6  ⟹  E=22−6=16E = B - 6 \implies E = 22 - 6 = 16 bulunur.
Efe'nin yaşı Başak'ın yaşından d=6d = 6 eksik olduğu için.

Anahtar Kavram

Yaş Problemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 12Soru →

Bir ailedeki üç kardeş olan Selim, Kerem ve Melih'in bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Melih, Kerem'in bugünkü yaşına geldiğinde; Selim'in yaşı, Melih'in o günkü yaşının 22 katından 66 eksik olacaktır.
* Selim, Kerem'in bugünkü yaşındayken; Melih'in yaşı, Selim'in o günkü yaşının yarısından 22 eksikti.
* Üç kardeşin bugünkü yaşları toplamı 4646'dır.

Buna göre, en büyük kardeş olan Selim'in bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2020

Cevap

Selim'in bugünkü yaşı 2020'dir.
Doğru cevap Selim'in yaşının 2020 olduğudur. Sorudaki her iki zaman değişimini ve yaşlar toplamını içeren denklem sistemi çözüldüğünde; Kerem'in yaşı 1616, Melih'in yaşı 1010 ve Selim'in yaşı 2020 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kardeşlerin bugünkü yaşlarını değişkenlerle ifade edip yaş sıralamasını belirleme.
Selim'in yaşı SS, Kerem'in yaşı KK ve Melih'in yaşı MM olsun. Melih, Kerem'in yaşına geleceğine göre M<KM < K; Selim, Kerem'in yaşındayken dendiğine göre K<SK < S'dir. Dolayısıyla yaş sıralaması M<K<SM < K < S şeklindedir.
Problemin zaman adımlarını doğru kurgulamak için hangi kardeşin daha büyük olduğunu bilmemiz gerekir.
2
Birinci koşula göre Melih'in Kerem'in yaşına gelmesi durumunu denklemle ifade etme.
Melih'in Kerem'in yaşına gelmesi için K−MK - M yıl geçmelidir. Bu süre sonunda Melih'in yaşı KK, Selim'in yaşı ise S+K−MS + K - M olur. Verilen bilgiye göre: S+K−M=2K−6  ⟹  S−K−M=−6  ⟹  S=K+M−6S + K - M = 2K - 6 \implies S - K - M = -6 \implies S = K + M - 6 (Denklem 1) elde edilir.
Melih büyürken Selim'in de aynı sürede yaşlanacağını dikkate alarak doğru denklemi kurmak.
3
İkinci koşula göre Selim'in Kerem'in yaşında olduğu geçmiş zamanı denklemle ifade etme.
Selim'in Kerem'in yaşında olduğu zaman S−KS - K yıl öncesidir. O tarihte Melih'in yaşı M−(S−K)M - (S - K) ve Selim'in yaşı KK idi. Verilen bilgiye göre: M−S+K=K2−2M - S + K = \frac{K}{2} - 2 olur. Her iki tarafı 22 ile çarparsak: 2M−2S+2K=K−4  ⟹  2S−2M−K=42M - 2S + 2K = K - 4 \implies 2S - 2M - K = 4 (Denklem 2) elde edilir.
Geçmiş zamana giderken tüm kişilerin yaşlarından aynı sürenin çıkarılmas�� gerektiğini uygulamak.
4
Elde edilen Denklem 1'i Denklem 2'de yerine yazarak Kerem'in yaşını (KK) bulma.
2(K+M−6)−2M−K=4  ⟹  2K+2M−12−2M−K=4  ⟹  K−12=4  ⟹  K=162(K + M - 6) - 2M - K = 4 \implies 2K + 2M - 12 - 2M - K = 4 \implies K - 12 = 4 \implies K = 16 bulunur.
Değişkenleri sadeleştirerek bilinmeyenlerden birini doğrudan çözmek.
5
Kerem'in yaşını kullanarak Selim ile Melih'in yaşları arasındaki ilişkiyi yazma.
Denklem 1'de K=16K = 16 yazarsak S=16+M−6  ⟹  S=M+10S = 16 + M - 6 \implies S = M + 10 (Denklem 3) olur.
Son koşul olan yaşlar toplamı bilgisini kullanmak için Selim'in yaşını Melih cinsinden ifade etmek.
6
Üç kardeşin yaşları toplamı bilgisini kullanarak Melih ve Selim'in yaşlarını hesaplama.
S+K+M=46S + K + M = 46 denkleminde K=16K = 16 ve S=M+10S = M + 10 yazarsak: (M+10)+16+M=46  ⟹  2M+26=46  ⟹  2M=20  ⟹  M=10(M + 10) + 16 + M = 46 \implies 2M + 26 = 46 \implies 2M = 20 \implies M = 10 bulunur. Buradan Selim'in yaşı da S=M+10=10+10=20S = M + 10 = 10 + 10 = 20 olarak hesaplanır.
Tüm koşulları birleştirerek sorulan en büyük kardeşin yaşını bulmak.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçişinin tüm kişilere eşit olarak yansıması ve bağıntıların bu doğrultuda kurulması.
Soru 13Soru →

Bir antrenör ile yaşları farklı iki sporcunun bugünkü yaşları hakkında aşağıdakiler bilinmektedir:

* İki sporcunun bugünkü yaşları farkı 44'tür.
* Antrenörün bugünkü yaşı, küçük sporcunun bugünkü yaşının 33 katına eşittir.
* 66 yıl sonra antrenörün yaşı, iki sporcunun yaşları toplamının 22 katından 3838 eksik olacaktır.

Buna göre, büyük sporcunun bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Büyük sporcunun bugünkü yaşı 16'dır.
Küçük sporcunun yaşı xx seçilirse büyük sporcu x+4x + 4 ve antrenör 3x3x yaşında olur. 66 yıl sonraki yaşlar sırasıyla x+6x + 6, x+10x + 10 ve 3x+63x + 6 olur. Bu durumda sporcuların yaşları toplamı 2x+162x + 16 olur. Antrenörün yaşı ile bu toplam arasındaki ilişkiyi kuran 3x+6=2(2x+16)−383x + 6 = 2(2x + 16) - 38 denklemi çözüldüğünde x=12x = 12 bulunur. Buradan büyük sporcunun bugünkü yaşı 12+4=1612 + 4 = 16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve bugünkü yaşları ifade etme
Küçük sporcunun bugünkü yaşı xx olsun. Bu durumda büyük sporcunun yaşı x+4x + 4 ve antrenörün yaşı 3x3x olur.
Soruda verilen bugünkü yaş ilişkilerini matematiksel olarak modellemek için.
2
66 yıl sonraki yaşları ve sporcuların yaşları toplamını belirleme
66 yıl sonra; antrenörün yaşı 3x+63x + 6, küçük sporcunun yaşı x+6x + 6, büyük sporcunun yaşı x+10x + 10 olur. Sporcuların yaşları toplamı ise (x+6)+(x+10)=2x+16(x + 6) + (x + 10) = 2x + 16 bulunur.
66 yıl sonraki durum üzerinden denklem kurabilmek için her bir kişinin yaşını 66 artırarak yeni toplamı bulmak gerekir.
3
Verilen bağıntıya göre denklem kurma ve küçük sporcunun yaşını bulma
3x+6=2(2x+16)−38  ⟹  3x+6=4x+32−38  ⟹  3x+6=4x−6  ⟹  x=123x + 6 = 2(2x + 16) - 38 \implies 3x + 6 = 4x + 32 - 38 \implies 3x + 6 = 4x - 6 \implies x = 12 bulunur.
Antrenörün gelecekteki yaşının sporcuların yaşları toplamı ile olan ilişkisini kullanarak bilinmeyen xx değerini bulmak için.
4
Büyük sporcunun bugünkü yaşını hesaplama
Büyük sporcunun bugünkü yaşı x+4=12+4=16x + 4 = 12 + 4 = 16 olarak elde edilir.
Bizden istenen büyük sporcunun bugünkü yaş değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçtikçe gruptaki her bir bireyin yaşının aynı miktarda artması ve yaş farkının hiçbir zaman değişmemesi kuralı.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →

Bir babanın bugünkü yaşı, oğlunun bugünkü yaşının 33 katından 22 fazladır. 88 yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının 22 katından 1212 fazla olacaktır.

Buna göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Babanın bugünkü yaşı 56'dır.
Oğlunun bugünkü yaşına xx dendiğinde babanın yaşı 3x+23x + 2 olur. 8 yıl sonra oğul x+8x + 8, baba 3x+103x + 10 yaşında olacaktır. Verilen 3x+10=2(x+8)+123x + 10 = 2(x + 8) + 12 denklemi çözüldüğünde x=18x = 18 bulunur. Buradan babanın bugünkü yaşı 3(18)+2=563(18) + 2 = 56 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Oğlunun bugünkü yaşına xx denilerek babanın bugünkü yaşı cinsinden ifade edilir.
Oğlunun yaşı xx ise babanın yaşı 3x+23x + 2 olur.
Babanın yaşının oğlunun yaşının 3 katından 2 fazla olduğu belirtilmiştir.
2
8 yıl sonraki yaşlar belirlenir.
8 yıl sonra oğul x+8x + 8, baba ise (3x+2)+8=3x+10(3x + 2) + 8 = 3x + 10 yaşında olur.
Zaman geçtikçe gruptaki her bireyin yaşı geçen yıl sayısı kadar artar.
3
8 yıl sonraki yaş ilişkisini gösteren denklem kurulur ve çözülür.
3x+10=2(x+8)+123x + 10 = 2(x + 8) + 12 denklemi çözülerek x=18x = 18 bulunur.
Babanın 8 yıl sonraki yaşının, oğlunun yaşının 2 katından 12 fazla olacağı bilgisi kullanılmıştır.
4
Bulunan xx değeri kullanılarak babanın bugünkü yaşı hesaplanır.
3(18)+2=563(18) + 2 = 56 olarak bulunur.
Babanın bugünkü yaşı 3x+23x + 2 olarak tanımlanmıştı.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçişinin tüm kişilere eşit uygulanması ve denklem kurma kuralları.
Soru 15Soru →

Bir anne ile iki çocuğunun bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* İki çocuğun yaşları farkı 44'tür.
* Annenin bugünkü yaşı, çocuklarının bugünkü yaşları toplamının 22 katına eşittir.
* 66 yıl sonra annenin yaşı, çocuklarının yaşları toplamından 1010 fazla olacaktır.

Buna göre, büyük çocuğun bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Büyük çocuğun bugünkü yaşı 10'dur.
Büyük çocuğun bugünkü yaşı 10'dur. Küçük çocuğun yaşına xx dersek, büyük çocuğun yaşı x+4x+4 olur. Çocukların bugünkü yaşları toplamı 2x+42x+4 ve annenin bugünkü yaşı 4x+84x+8 olarak bulunur. 6 yıl sonra annenin yaşı 4x+144x+14, çocukların yaşları toplamı ise 2x+162x+16 olur. Bu durumda kurulan 4x+14=2x+16+104x+14 = 2x+16+10 denkleminden x=6x=6 elde edilir. Büyük çocuğun yaşı da 6+4=106+4=10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Çocukların yaşlarını ve yaşları toplamını değişkenler cinsinden ifade edin.
Küçük çocuğun yaşı xx ise, aralarındaki yaş farkı 44 olduğundan büyük çocuğun yaşı x+4x + 4 olur. Çocukların bugünkü yaşları toplamı T=x+(x+4)=2x+4T = x + (x + 4) = 2x + 4 şeklinde yazılır.
Çocukların yaşlarını tek bir bilinmeyen cinsinden yazarak denklemi basitleştirmek gerekir.
2
Annenin bugünkü yaşını belirleyin.
Annenin bugünkü yaşı çocukların yaşları toplamının 22 katı olduğuna göre, A=2×(2x+4)=4x+8A = 2 \times (2x + 4) = 4x + 8 olur.
Annenin yaşını çocukların yaşları cinsinden ifade ederek denklem kurmaya hazır hale getirmek gerekir.
3
66 yıl sonraki yaş durumlarını belirleyin.
Annenin 66 yıl sonraki yaşı 4x+8+6=4x+144x + 8 + 6 = 4x + 14 olur. İki çocuğun her biri 66 yıl yaşlanacağı için, çocukların yaşları toplamı 2x+4+12=2x+162x + 4 + 12 = 2x + 16 olur.
Zaman geçtikçe gruptaki her bireyin yaşının geçen yıl sayısı kadar artacağını dikkate almak gerekir.
4
66 yıl sonraki yaş ilişkisini veren denklemi kurup çözün.
4x+14=(2x+16)+104x+14=2x+262x=12x=64x + 14 = (2x + 16) + 10 4x + 14 = 2x + 26 2x = 12 x = 6 (Küçük çocuğun bugünkü yaşı).
66 yıl sonra annenin yaşının, çocukların yaşları toplamından 1010 fazla olması koşulunu matematiksel olarak ifade etmek gerekir.
5
Büyük çocuğun bugünkü yaşını hesaplayın.
Büyük çocuğun yaşı x+4=6+4=10x + 4 = 6 + 4 = 10 olarak bulunur.
Soru kökünde bizden büyük çocuğun bugünkü yaşı istendiği için bulduğumuz xx değerine 44 eklememiz gerekir.

Anahtar Kavram

İleri zamanlardaki yaş hesaplamalarında gruptaki kişi sayısı kadar yaş artışının toplam yaşa yansıtılması ve sözel ifadelerin doğru denkleme dönüştürülmesi.
Soru 16Soru →

Deniz ve Eylül adındaki iki çalışma arkadaşının bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Deniz'in bugünkü yaşı, Eylül'ün bugünkü yaşından 66 fazladır.
* 44 yıl sonra Deniz'in yaşı, Eylül'ün 22 yıl önceki yaşının 22 katı olacaktır.

Buna göre, Deniz'in bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Deniz'in bugünkü yaşı 20'dir.
Deniz'in bugünkü yaşı DD ve Eylül'ün bugünkü yaşı EE olsun. Soruda verilen bilgilere göre D=E+6D = E + 6 olur. 44 yıl sonra Deniz'in yaşı D+4D+4, Eylül'ün 22 yıl önceki yaşı ise E−2E-2 olacaktır. Bu durumda kurulan D+4=2(E−2)D+4 = 2(E-2) denkleminde DD yerine E+6E+6 yazılırsa, E+10=2E−4E+10 = 2E-4 elde edilir. Buradan Eylül'ün bugünkü yaşı E=14E = 14 ve Deniz'in bugünkü yaşı D=14+6=20D = 14 + 6 = 20 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve ilk denklemin kurulması
Deniz'in bugünkü yaşı DD, Eylül'ün bugünkü yaşı EE olsun. Yaşları farkı 6 olduğuna ve Deniz daha büyük olduğuna göre D=E+6D = E + 6 yazılır.
Kişilerin bugünkü yaşları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Zaman geçişine göre yaşların ifade edilmesi ve ana denklemin kurulması
Deniz'in 4 yıl sonraki yaşı D+4D + 4, Eylül'ün 2 yıl önceki yaşı E−2E - 2 olur. Verilen koşula göre D+4=2(E−2)D + 4 = 2(E - 2) denklemi elde edilir.
Soruda verilen zaman geçişli yaş ilişkisini denkleme dökmek için.
3
Denklemin çözülmesi ve Eylül'ün yaşının bulunması
Birinci denklem ikinci denklemde yerine yazılırsa: (E+6)+4=2(E−2)  ⟹  E+10=2E−4  ⟹  E=14(E + 6) + 4 = 2(E - 2) \implies E + 10 = 2E - 4 \implies E = 14 bulunur.
Eylül'ün bugünkü yaşını hesaplamak için.
4
Deniz'in yaşının hesaplanması
D=14+6=20D = 14 + 6 = 20 elde edilir.
Soruda istenen Deniz'in bugünkü yaşını bulmak için.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçişinin (nn yıl önce/nn yıl sonra) tüm kişilerin yaşlarına aynı şekilde etki etmesi ve iki kişinin yaş farkının zamanla değişmemesi kuralı.
Soru 17Soru →

Bir anne ile oğlunun doğum yılları sırasıyla 19ab19ab ve 20ba20ba olmak üzere, 20262026 yılında annenin yaşı oğlunun yaşının 44 katından 77 fazladır. Buna göre, oğlu doğduğunda anne kaç yaşındaydı?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Oğlu doğduğunda annenin yaşı 28'dir.
Doğru cevap olan yaş farkı seçeneği, annenin ve oğlunun doğum yıllarının basamak analizinden elde edilen denklemin çözülmesiyle bulunur. Bulunan rakamlar a=9a=9 ve b=1b=1 olduğundan, anne 1991, oğlu 2019 doğumludur. Oğlu doğduğunda annenin yaşı 2019−1991=282019 - 1991 = 28 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Annenin ve oğlunun doğum yılları sırasıyla 19ab19ab ve 20ba20ba olarak verilmiştir. 20262026 yılındaki yaşlarını belirlemek için doğum yıllarını basamaklarına çözümleyerek çıkarma işlemi yaparız.
Annenin yaşı: 2026−(1900+10a+b)=126−10a−b2026 - (1900 + 10a + b) = 126 - 10a - b
Oğlunun yaşı: 2026−(2000+10b+a)=26−a−10b2026 - (2000 + 10b + a) = 26 - a - 10b olarak bulunur.
Kişilerin belirli bir yıldaki yaşları, o yıldan doğum yıllarının çıkarılmasıyla elde edilir.
2
20262026 yılında annenin yaşının, oğlunun yaşının 44 katından 77 fazla olduğunu belirten denklemi kurup düzenleriz.
126−10a−b=4(26−a−10b)+7  ⟹  15+39b=6a126 - 10a - b = 4(26 - a - 10b) + 7 \implies 15 + 39b = 6a denklemi elde edilir.
Soruda verilen yaş ilişkisini cebirsel olarak ifade etmek için denklem kurulur.
3
aa ve bb birer rakam olduğu için 15+39b=6a15 + 39b = 6a denklemini sağlayan rakam değerlerini buluruz.
b=1b = 1 için 15+39=54=6a  ⟹  a=915 + 39 = 54 = 6a \implies a = 9 bulunur. b≥2b \ge 2 için 6a≤546a \le 54 koşulu sağlanamaz. Dolayısıyla tek çözüm a=9a = 9 ve b=1b = 1 dir.
Bilinmeyenlerin rakam olma özelliğinden yararlanarak denklemin tekil çözümünü buluruz.
4
Bulduğumuz rakamlarla doğum yıllarını belirler ve oğlu doğduğunda annenin kaç yaşında olduğunu hesaplarız.
Annenin doğum yılı 19911991, oğlunun doğum yılı 20192019'dur. Oğlu doğduğunda annenin yaşı 2019−1991=282019 - 1991 = 28 olarak hesaplanır.
İki kişinin doğum yılları arasındaki fark, birinin doğduğu andaki diğerinin yaşını verir.

Anahtar Kavram

Yaş Problemleri ve Basamak Çözümleme
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →

Bir atölyede çalışan usta, kalfa ve çırağın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kalfanın bugünkü yaşı, çırağın bugünkü yaşının 22 katıdır.
* Ustanın 55 yıl sonraki yaşı, kalfanın 55 yıl önceki yaşının 33 katına eşit olacaktır.
* Çırak kalfanın bugünkü yaşına geldiğinde ustanın yaşı, çırağın o günkü yaşının 22 katından 1010 fazla olacaktır.

Buna göre, ustanın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Soruda verilen bilgilerin doğru denklemlerle çözülmesiyle ustanın bugünkü yaşı 40 olarak bulunur.
Ustanın bugünkü yaşının 40 olması, soruda verilen tüm koşulları doğrulamaktadır. Kalfa 20 ve çırak 10 yaşındayken, 5 yıl sonra usta 45, kalfa 5 yıl önce 15 yaşında olur ve 45 sayısı 15'in 3 katıdır. Ayrıca çırak kalfanın yaşına (20 yaşına) geldiğinde 10 yıl geçer ve usta 50 yaşında olur; bu da çırağın yaşının (20) 2 katından 10 fazladır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve ilk oranın belirlenmesi
Çırağın bugünkü yaşına CC, kalfanın bugünkü yaşına KK, ustanın bugünkü yaşına UU diyelim. Birinci koşula göre K=2CK = 2C olur.
Kişilerin yaşları arasındaki matematiksel ilişkileri kurabilmek amacıyla değişken ataması yapılır.
2
İkinci koşula ait denklemin kurulması
U+5=3(K−5)  ⟹  U+5=3(2C−5)  ⟹  U=6C−20U + 5 = 3(K - 5) \implies U + 5 = 3(2C - 5) \implies U = 6C - 20 elde edilir.
Usta ile kalfanın geçmiş ve gelecekteki yaş ilişkisi çırak değişkeni (CC) cinsinden ifade edilir.
3
Üçüncü koşula ait denklemin kurulması
Çırağın kalfanın yaşına gelmesi için K−C=2C−C=CK - C = 2C - C = C yıl geçmelidir. Bu süre sonunda çırağın yaşı 2C2C olurken ustanın yaşı U+CU + C olacaktır. Koşula göre U+C=2(2C)+10  ⟹  U=3C+10U + C = 2(2C) + 10 \implies U = 3C + 10 elde edilir.
Çırağın yaşının kalfanın bugünkü yaşına ulaştığı andaki usta ve çırak yaş ilişkisi modellenir.
4
Denklemlerin eşitlenmesi ve ustanın yaşının bulunması
6C−20=3C+10  ⟹  3C=30  ⟹  C=106C - 20 = 3C + 10 \implies 3C = 30 \implies C = 10 bulunur. Buradan ustanın bugünkü yaşı U=3(10)+10=40U = 3(10) + 10 = 40 olarak hesaplanır.
Ustanın yaşı için elde edilen iki farklı ifade birbirine eşitlenerek çırağın ve ardından ustanın bugünkü yaşı tespit edilir.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçişlerinin tüm kişilerin yaşlarına eşit miktarda yansıtılması ve doğru denklem sistemlerinin kurulması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →

Mert ve Nilgün isimli iki kardeşin bugünkü yaşları sırasıyla xx ve yy’dir. Mert, Nilgün’ün bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 3434 olacaktır. Nilgün, Mert’in bugünkü yaşındayken ikisinin yaşları toplamı 1818 olduğuna göre, Mert’in bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Mert'in bugünkü yaşı 11'dir.
Mert'in bugünkü yaşı 11 ve Nilgün'ün bugünkü yaşı 15'tir. Aralarındaki yaş farkı 4'tür. Mert, Nilgün'ün yaşına geldiğinde (4 yıl sonra) yaşları sırasıyla 15 ve 19 olur, toplamları 34 yapar. Nilgün, Mert'in bugünkü yaşındayken (4 yıl önce) yaşları 7 ve 11 olur, toplamları 18 yapar. Bu değerler tüm koşulları sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Mert ve Nilgün'ün bugünkü yaşları sırasıyla xx ve yy olarak tanımlanır. Mert, Nilgün'ün yaşına geleceğine göre Nilgün, Mert'ten büyüktür (y>xy > x). İki kardeş arasındaki yaş farkı d=y−xd = y - x olsun.
Yaş farkı d=y−xd = y - x olarak belirlenir.
Geçen süreyi ve yaş değişimlerini ifade edebilmek için yaş farkı tanımlanmalıdır.
2
Mert'in Nilgün'ün yaşına gelmesi için dd yıl geçmesi gerekir. Bu durumda Mert yy yaşına, Nilgün ise y+dy + d yaşına gelir. Yaşları toplamı 3434 olacağına göre denklem kurulur: y+(y+d)=34⇒2y+d=34y + (y + d) = 34 \Rightarrow 2y + d = 34.
Birinci denklem: 2y+d=342y + d = 34 elde edilir.
Gelecekteki yaş durumu denklem haline getirilir.
3
Nilgün'in Mert'in bugünkü yaşındayken, yani dd yıl önce, Mert x−dx - d yaşında, Nilgün ise xx yaşındaydı. Yaşları toplamı 1818 olduğuna göre denklem kurulur: (x−d)+x=18⇒2x−d=18(x - d) + x = 18 \Rightarrow 2x - d = 18.
İkinci denklem: 2x−d=182x - d = 18 elde edilir.
Geçmişteki yaş durumu denklem haline getirilir.
4
Elde edilen 2y+d=342y + d = 34 ve 2x−d=182x - d = 18 denklemleri taraf tarafa toplanır: (2y+d)+(2x−d)=34+18⇒2(x+y)=52⇒x+y=26(2y + d) + (2x - d) = 34 + 18 \Rightarrow 2(x + y) = 52 \Rightarrow x + y = 26 bulunur.
İki kardeşin bugünkü yaşları toplamı x+y=26x + y = 26 olarak bulunur.
dd değişkenini yok ederek bugünkü yaşlar toplamına ulaşmak hedeflenir.
5
Birinci denklemden ikinci denklem çıkarıl��r: (2y+d)−(2x−d)=34−18⇒2(y−x)+2d=16(2y + d) - (2x - d) = 34 - 18 \Rightarrow 2(y - x) + 2d = 16. Yaş farkı tanımından y−x=dy - x = d yerine yazılırsa: 2d+2d=16⇒4d=16⇒d=42d + 2d = 16 \Rightarrow 4d = 16 \Rightarrow d = 4 elde edilir.
Yaş farkı d=4d = 4 olarak hesaplanır.
Kardeşlerin yaş farkını bularak bireysel yaşları bulmak kolaylaştırılır.
6
Bugünkü yaşlar toplamı x+y=26x + y = 26 ve yaş farkı y−x=4y - x = 4 ortak çözülür. İki denklem taraf tarafa toplanırsa 2y=30⇒y=152y = 30 \Rightarrow y = 15 ve buradan Mert'in yaşı x=11x = 11 bulunur.
Mert'in bugünkü yaşı x=11x = 11 olarak hesaplanır.
Denklem sisteminin çözümünden istenen değişkenin değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki kişinin yaşları farkının zamanla değişmemesi ve yaşları toplamının geçen sürenin iki katı kadar artması.

İpuçları

1
İki kardeş arasındaki yaş farkını dd olarak belirleyip geçmiş ve gelecekteki yaşları dd cinsinden yazarak iki bilinmeyenli denklem sistemi kurmayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde üç kişinin yaşları toplamının zamana göre değişimini içeren sorular çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İki kardeşin yaşları toplamının zamana göre değişimini inceleyebiliriz. dd yıl sonra ikisinin yaşları toplamı 2d2d artar, dd yıl önce ise 2d2d azdır. Bu iki durum arasındaki yaş toplamları farkından 2d+2d=4d2d + 2d = 4d olduğunu görürüz. Buradan 34−18=16⇒4d=16⇒d=434 - 18 = 16 \Rightarrow 4d = 16 \Rightarrow d = 4 bulunur. Kardeşlerin yaşları toplamı bugün 34−2(4)=2634 - 2(4) = 26 olur. Toplamları 26, farkları 4 olan iki sayıdan küçük olanı (Mert'in yaşı) (26−4)/2=11(26 - 4) / 2 = 11 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s