Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

131 soru

Tüm türler131Çoktan seçmeli115Sayısal16
Soru 61Soru →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(n+2)!+(n+1)!+n!(n+2)!−(n+1)!−n!=1311\frac{(n+2)! + (n+1)! + n!}{(n+2)! - (n+1)! - n!} = \frac{13}{11}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, nn değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11'dir.
Verilen rasyonel ifadenin payı n!⋅(n+2)2n! \cdot (n+2)^2 ve paydası n!⋅n(n+2)n! \cdot n(n+2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak terimler olan n!n! ve (n+2)(n+2) sadeleştirildiğinde geriye n+2n\frac{n+2}{n} kalır. Bu oran 1311\frac{13}{11} değerine eşitlenip içler dışlar çarpımı yapıldığında 11n+22=13n  ⟹  2n=22  ⟹  n=1111n + 22 = 13n \implies 2n = 22 \implies n = 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli terimleri en küçük terim olan n!n! cinsinden yazarak ortak paranteze alın.
(n+2)!+(n+1)!+n!=n!⋅[(n+2)(n+1)+(n+1)+1]=n!⋅[n2+3n+2+n+1+1]=n!⋅(n2+4n+4)=n!⋅(n+2)2(n+2)! + (n+1)! + n! = n! \cdot [(n+2)(n+1) + (n+1) + 1] = n! \cdot [n^2 + 3n + 2 + n + 1 + 1] = n! \cdot (n^2 + 4n + 4) = n! \cdot (n+2)^2
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpanlarına ayırmak amacıyla ortak paranteze alma yöntemi uygulanır.
2
Payda kısmındaki faktöriyelli terimleri de aynı şekilde n!n! ortak parantezine alarak düzenleyin.
(n+2)!−(n+1)!−n!=n!⋅[(n+2)(n+1)−(n+1)−1]=n!⋅[n2+3n+2−n−1−1]=n!⋅(n2+2n)=n!⋅n(n+2)(n+2)! - (n+1)! - n! = n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot [n^2 + 3n + 2 - n - 1 - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n) = n! \cdot n(n+2)
Pay ile payda arasındaki ortak çarpanları sadeleştirebilmek için payda da çarpanlarına ayrılır.
3
Elde edilen pay ve payda ifadelerini kesirde yerine yazıp ortak çarpanları sadeleştirin.
n!⋅(n+2)2n!⋅n(n+2)=n+2n\frac{n! \cdot (n+2)^2}{n! \cdot n(n+2)} = \frac{n+2}{n}
Pay ve paydadaki n!n! ve birer adet (n+2)(n+2) çarpanı sadeleşerek ifadeyi en basit haline getirir.
4
Sadeleşmiş ifadeyi verilen orana eşitleyip içler dışlar çarpımı yardımıyla nn değerini bulun.
n+2n=1311  ⟹  11(n+2)=13n  ⟹  11n+22=13n  ⟹  2n=22  ⟹  n=11\frac{n+2}{n} = \frac{13}{11} \implies 11(n+2) = 13n \implies 11n + 22 = 13n \implies 2n = 22 \implies n = 11
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerinde ortak paranteze alma ve sadeleştirme yönteminin kullanılması.
Soru 62Soru →

Rakamları birbirinden farklı, iki basamaklı bir ABAB doğal sayısı ile bu sayının rakamları toplamının toplamı bir tam kare sayıya eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı ABAB doğal sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Koşulu sağlayan 5 farklı ABAB doğal sayısı vardır.
Verilen koşulu sağlayan iki basamaklı sayılar çözümlenip rakamları toplamıyla toplandığında 11A+2B=k211A + 2B = k^2 denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan ABAB sayıları 17, 27, 38, 72 ve 86 olmak üzere 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB iki basamaklı sayısının basamak çözümlemesinin yapılması
AB=10A+BAB = 10A + B
Sayıyı rakamları cinsinden ifade ederek cebirsel işlem yapabilmek için.
2
ABAB sayısı ile rakamları toplamının toplanarak tam kareye eşitlenmesi
11A+2B=k211A + 2B = k^2 (Burada kk bir tam sayıdır)
Soruda verilen matematiksel koşulu denkleme dökmek için.
3
11A+2B11A + 2B ifadesinin sınırlarının ve olası tam kare değerlerin belirlenmesi
11≤11A+2B≤11711 \le 11A + 2B \le 117 aralığındaki tam kareler: 16,25,36,49,64,81,10016, 25, 36, 49, 64, 81, 100
AA ve BB rakamlarının sınırlarına göre alabileceği tam kare değerleri kısıtlamak için.
4
Her tam kare değer için uygun AA ve BB rakamlarının bulunması
(1,7),(2,7),(3,8),(7,2),(8,6)(1,7), (2,7), (3,8), (7,2), (8,6) olmak üzere 5 çift elde edilir.
Denklemi sağlayan ve A≠0A \ne 0, A≠BA \ne B koşullarına uyan rakam ikililerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Basamak analizi, çözümleme ve tam kare sayıların sınır değerleri yardımıyla çözülmesi.
Soru 63Soru →

aa, bb ve cc asal sayılardır.

ab+bc=17a^b + b^c = 17

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Denklemdeki taban ve üslerin asal sayı olması gerektiği ve sonucun tek sayı (1717) olduğu göz önüne alındığında, terimlerden birinin çift sayı olması gerektiği sonucuna varılır. Çift olan tek asal sayı 22 olduğundan, durumlar analiz edilerek (3,2,3)(3, 2, 3) ve (2,3,2)(2, 3, 2) çözümleri elde edilir. Bu çözümlerden gelen toplam değerleri 88 ve 77 olup bunların toplamı 1515 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tek-çift analizi yapmak.
İki sayının toplamı 1717 (tek sayı) olduğundan, aba^b ve bcb^c ifadelerinden biri çift, diğeri tek olmalıdır.
İki tek sayının veya iki çift sayının toplamı çift sayı vereceğinden, sonucun tek olması için terimlerden birinin mutlaka çift olması gerekir.
2
Birinci durumu (b=2b=2) analiz etmek.
b=2b = 2 (çift asal sayı) olması durumunda denklem a2+2c=17a^2 + 2^c = 17 haline gelir. Burada a2<17a^2 < 17 olmalıdır. Asal sayı olan aa için denenebilecek tek değer a=3a = 3 olup buradan 32+2c=17  ⟹  9+2c=17  ⟹  2c=8  ⟹  c=33^2 + 2^c = 17 \implies 9 + 2^c = 17 \implies 2^c = 8 \implies c = 3 elde edilir. c=3c=3 asal sayı olduğu için (3,2,3)(3, 2, 3) geçerli bir çözümdür. Bu durumda toplam 3+2+3=83+2+3 = 8 olur.
Çift olan tek asal sayının 2 olmasından yola ��ıkarak birinci olası durumu çözümlemek.
3
İkinci durumu (a=2a=2) analiz etmek.
a=2a = 2 olması durumunda denklem 2b+bc=172^b + b^c = 17 haline gelir. bb bir asal sayı olmalıdır. b=2b=2 için 2c=132^c = 13 olur ve bunu sağlayan asal sayı yoktur. Dolayısıyla bb tek asal sayı olmalıdır. b=3b=3 için 23+3c=17  ⟹  8+3c=17  ⟹  3c=9  ⟹  c=22^3 + 3^c = 17 \implies 8 + 3^c = 17 \implies 3^c = 9 \implies c = 2 elde edilir. c=2c=2 asal sayı olduğu için (2,3,2)(2, 3, 2) geçerli bir çözümdür. Bu durumda toplam 2+3+2=72+3+2 = 7 olur. b≥5b \geq 5 için 2b≥32>172^b \geq 32 > 17 olduğundan başka çözüm yoktur.
Çift asal sayı olma durumunu diğer terim için de değerlendirerek tüm çözümleri eksiksiz tespit etmek.
4
Değerleri toplamak.
a+b+ca+b+c toplamının alabileceği farklı değerler 77 ve 88 olup toplamları 7+8=157 + 8 = 15 bulunur.
Elde edilen farklı toplam değerlerinin toplamını bularak soruyu sonuçlandırmak.

Anahtar Kavram

Asal sayıların özellikleri, çift olan tek asal sayının 2 olması ve tek-çift sayı analizi.
Soru 64Soru →
aa ve bb birer doğal sayı olmak üzere,
(a+2)⋅(b−3)=18(a + 2) \cdot (b - 3) = 18
olduğuna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En küçük toplam değeri 10'dur.
Doğru cevap 10'dur. Verilen (a+2)⋅(b−3)=18(a+2) \cdot (b-3) = 18 denkleminde a≥0a \geq 0 olduğundan a+2≥2a+2 \geq 2 olmalıdır. 18'in 2 ve 2'den büyük çarpanları denendiğinde a+ba+b toplamı en az 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğal sayı kümesinin özelliklerini ve sınırlarını belirleme
aa ve bb doğal sayılar olduğu için a≥0a \geq 0 ve b≥0b \geq 0 olmalıdır. Buradan a+2≥2a + 2 \geq 2 ve b−3≥−3b - 3 \geq -3 elde edilir.
Değişkenlerin hangi sayı kümesine ait olduğunu belirleyerek olası çarpan sınırlarını çizmek için.
2
18 sayısının pozitif çarpanlarını bulma ve çarpanları eşleme
a+2a+2 ifadesi en az 2 olabileceği için 18'in 2 ve 2'den büyük pozitif çarpanları seçilir: 2, 3, 6, 9, 18. Bu çarpanlara karşılık gelen (a+2,b−3)(a+2, b-3) ikilileri (2,9)(2, 9), (3,6)(3, 6), (6,3)(6, 3), (9,2)(9, 2) ve (18,1)(18, 1) olarak belirlenir.
Denklemi sağlayan tüm tam sayı ikililerini bulmak için.
3
aa ve bb değerlerini çözerek a+ba+b toplamlarını hesaplama
Olası durumlar çözüldüğünde:
1) a+2=2⇒a=0a+2=2 \Rightarrow a=0 ve b−3=9⇒b=12b-3=9 \Rightarrow b=12 için a+b=12a+b=12
2) a+2=3⇒a=1a+2=3 \Rightarrow a=1 ve b−3=6⇒b=9b-3=6 \Rightarrow b=9 için a+b=10a+b=10
3) a+2=6⇒a=4a+2=6 \Rightarrow a=4 ve b−3=3⇒b=6b-3=3 \Rightarrow b=6 için a+b=10a+b=10
4) a+2=9⇒a=7a+2=9 \Rightarrow a=7 ve b−3=2⇒b=5b-3=2 \Rightarrow b=5 için a+b=12a+b=12
5) a+2=18⇒a=16a+2=18 \Rightarrow a=16 ve b−3=1⇒b=4b-3=1 \Rightarrow b=4 için a+b=20a+b=20 elde edilir.
Her bir durum için a+ba+b toplamının alabileceği değerleri karşılaştırmak için.
4
En küçük toplam değerini belirleme
a+ba+b toplamının alabileceği en küçük değer 10'dur.
Bulunan toplamlar içerisinden en küçük olanı seçmek için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin eleman özelliklerini kullanarak çarpım halindeki denklemleri çözme ve dört işlem yardımıyla değer eniyilemesi (minimizasyon) yapma.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 65Soru →

xx, yy ve zz ikişer ikişer aralarında asal pozitif tam sayılardır.

x(y+z)=50x(y + z) = 50
y(x+z)=56y(x + z) = 56

olduğuna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 105

Cevap

İkişer ikişer aralarında asal olan sayıların çarpımı 105'tir.
Denklem sisteminden elde edilen z(y−x)=6z(y - x) = 6 eşitliği analiz edildiğinde, ikişer ikişer aralarında asal olma koşulunu sağlayan tek pozitif tam sayı üçlüsünün (5,7,3)(5, 7, 3) olduğu görülür. Bu sayıların çarpımı 5⋅7⋅3=1055 \cdot 7 \cdot 3 = 105 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemleri parantez dışına dağıtarak taraf tarafa çıkarın.
xy+xz=50xy + xz = 50 ve xy+yz=56xy + yz = 56 denklemleri taraf tarafa çıkarıldığında (xy+yz)−(xy+xz)=56−50(xy + yz) - (xy + xz) = 56 - 50 elde edilir. Buradan yz−xz=6⇒z(y−x)=6yz - xz = 6 \Rightarrow z(y - x) = 6 ilişkisine ulaşılır.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi basitleştirmek ve çarpanlara ayırmak için.
2
zz değişkeninin alabileceği değerleri belirleyin.
x,y,zx, y, z pozitif tam sayılar olduğundan, zz sayısı 6'nın pozitif bir böleni olmalıdır. Dolayısıyla z∈{1,2,3,6}z \in \{1, 2, 3, 6\} olabilir.
Pozitif tam sayı çözümlerini sınırlamak için.
3
zz değerinin alabileceği tüm durumları tek tek analiz edin.
Her bir zz değeri için:
- z=1z = 1 için: y−x=6⇒y=x+6y - x = 6 \Rightarrow y = x + 6. Birinci denklemde yerine yazıldığında x(x+7)=50x(x + 7) = 50 elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı çözümü yoktur.
- z=2z = 2 için: 2(y−x)=6⇒y=x+32(y - x) = 6 \Rightarrow y = x + 3. İkişer ikişer aralarında asal olma koşulundan dolayı z=2z = 2 ise xx ve yy tek sayı olmalıdır. Denklemde yerine yazıldığında x(x+5)=50⇒x=5x(x + 5) = 50 \Rightarrow x = 5 bulunur. Buradan y=8y = 8 olur. Ancak y=8y = 8 çift sayı olduğundan z=2z = 2 ile aralarında asal olamaz.
- z=3z = 3 için: 3(y−x)=6⇒y=x+23(y - x) = 6 \Rightarrow y = x + 2. z=3z = 3 ise xx ve yy 3'ün katı olmamalıdır. Denklemde yerine yazıldığında x(x+5)=50⇒x=5x(x + 5) = 50 \Rightarrow x = 5 bulunur. Buradan y=7y = 7 elde edilir.
- z=6z = 6 için: 6(y−x)=6⇒y=x+16(y - x) = 6 \Rightarrow y = x + 1. Denklemde yerine yazıldığında x(x+7)=50x(x + 7) = 50 elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı çözümü yoktur.
Aralarında asallık koşulunu sağlayan geçerli tam sayı değerlerini bulmak için.
4
Elde edilen tek geçerli çözüm kümesini doğrulayın ve çarpımı hesaplay��n.
x=5x = 5, y=7y = 7 ve z=3z = 3 sayıları ikişer ikişer aralarında asaldır. Bu sayıların çarpımı x⋅y⋅z=5⋅7⋅3=105x \cdot y \cdot z = 5 \cdot 7 \cdot 3 = 105 olarak hesaplanır.
Soruda istenen nihai çarpım sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkişer ikişer aralarında asal sayılar, ortak bölen analizi ve Diophantine benzeri denklem sistemlerinin çözümü.

İpuçları

1
Denklemleri taraf tarafa çıkararak ortak olan xyxy teriminden kurtulmayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, ikişer ikişer aralarında asal olan üç sayının toplamları ve çarpımları arasındaki sınır değerleri bulmaya yönelik sorular çözerek bu kavramı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemleri birbirine oranlayarak da çözüme başlayabilirsiniz: x(y+z)y(x+z)=5056=2528\frac{x(y+z)}{y(x+z)} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28}. Buradan içler dışlar çarpımı yaparak 28xy+28xz=25xy+25yz⇒3xy+28xz=25yz28xy + 28xz = 25xy + 25yz \Rightarrow 3xy + 28xz = 25yz elde edilir. Bu ifadeyi zz parantezine alarak düzenleyebilir ve yine aralarında asallık kurallarını uygulayabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 66Soru →
7!+6!5!\frac{7! + 6!}{5!}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48
Verilen rasyonel ifadede pay kısmındaki faktöriyelli terimler en küçük olan terim (5!5!) cinsinden yazılarak ortak paranteze alınır. 7!=7×6×5!7! = 7 \times 6 \times 5! ve 6!=6×5!6! = 6 \times 5! olduğundan pay kısmı 5!×(42+6)=48×5!5! \times (42 + 6) = 48 \times 5! haline gelir. Paydadaki 5!5! ile paydaki 5!5! sadeleştiğinde geriye 48 kalır. Bu nedenle 48 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki 7!7! ve 6!6! ifadelerini paydada bulunan 5!5! terimi cinsinden açın.
7!=7×6×5!=42×5!7! = 7 \times 6 \times 5! = 42 \times 5! ve 6!=6×5!6! = 6 \times 5! elde edilir.
Rasyonel faktöriyel ifadelerinde büyük olan terimleri en küçük terim cinsinden açarak sadeleştirme yapmak işlemi kolaylaştırır.
2
Açılan terimleri pay kısmında yerine koyup ortak çarpan olan 5!5! parantezine al��n.
7!+6!=42×5!+6×5!=5!×(42+6)=48×5!7! + 6! = 42 \times 5! + 6 \times 5! = 5! \times (42 + 6) = 48 \times 5! bulunur.
Toplama işlemini ortak paranteze alarak çarpım biçimine dönüşt��rmek payda ile sadeleştirme yapabilmeyi sağlar.
3
Pay kısmında elde edilen çarpım durumundaki ifadeyi paydadaki 5!5! terimi ile sadeleştirin.
48×5!5!=48\frac{48 \times 5!}{5!} = 48 bulunur.
Pay ve paydadaki aynı çarpanlar birbirini götürür ve geriye sadece katsayı kalır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapmak için ortak çarpan parantezine alma yöntemi

Alternatif Yöntem

Faktöriyel değerleri küçük olduğundan doğrudan hesaplama da yapılabilir: 7!=50407! = 5040, 6!=7206! = 720 ve 5!=1205! = 120 olarak yazılır. Pay kısmı 5040+720=57605040 + 720 = 5760 olur. Bu değer paydadaki 120120'ye bölündüğünde 5760120=48\frac{5760}{120} = 48 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 67Soru →
Üç basamaklı ABCABC ve iki basamaklı BCBC doğal sayıları için,
ABC=13⋅BC+12ABC = 13 \cdot BC + 12
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan en büyük ABCABC doğal sayısı için A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Rakamları toplamının değeri 20 olan seçenektir.
Koşulu sağlayan en büyük sayı, yüzler basamağı olan AA rakamının en büyük seçilmesiyle (A=9A = 9) elde edilir. Bu durumda BC=74BC = 74 olur ve rakamları farklı olan 974974 sayısı bulunur. Bu sayının rakamları toplamı 2020 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Üç basamaklı ABCABC sayısını ABC=100A+BCABC = 100A + BC şeklinde çözümleyerek denklemde yerine yazalım.
100A+BC=13⋅BC+12100A + BC = 13 \cdot BC + 12 elde edilir.
ABCABC sayısının son iki basamağı BCBC olduğundan bu çözümleme kolaylık sağlar.
2
Elde edilen denklemde BCBC terimlerini bir araya getirerek sadeleştirme yapalım.
100A=12⋅BC+12  ⟹  100A=12(BC+1)100A = 12 \cdot BC + 12 \implies 100A = 12(BC + 1) elde edilir. Her iki tarafı 4 ile bölersek 25A=3(BC+1)25A = 3(BC + 1) eşitliğine ulaşırız.
Katsayıları küçülterek rakam değerlerini daha kolay analiz edebilmek için.
3
25A=3(BC+1)25A = 3(BC + 1) eşitliğinde 25 ve 3 aralarında asal olduğundan, AA rakamı 3'ün katı olmalıdır. En büyük ABCABC sayısını bulmak için en büyük AA değerinden başlayalım.
A=9A = 9 için 25⋅9=3(BC+1)  ⟹  75=BC+1  ⟹  BC=7425 \cdot 9 = 3(BC + 1) \implies 75 = BC + 1 \implies BC = 74 bulunur. Bu durumda B=7B = 7 ve C=4C = 4 olur.
Soruda en büyük ABCABC sayısının bulunması istendiği için yüzler basamağı olan AA rakamını en büyük seçmeliyiz.
4
Bulunan rakamların farklılık koşulunu ve basamak koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
A=9A = 9, B=7B = 7, C=4C = 4 olup tüm rakamlar birbirinden farklıdır. ABC=974ABC = 974 sayısı elde edilir. Rakamlar toplamı 9+7+4=209 + 7 + 4 = 20 olur.
Sorudaki rakamların farklı olması koşulunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme

Alternatif Yöntem

Denklem 100A=12⋅BC+12100A = 12 \cdot BC + 12 olarak elde edildikten sonra her iki tarafın 12 ile bölümünden kalanlar incelenebilir. 100A100A sayısının 12 ile bölümünden kalan 12'nin katı olmalıdır, bu da AA rakamının 3'ün katı olmasını gerektirir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 68Soru →

İki basamaklı bir ABAB doğal sayısının onlar basamağındaki rakam 3 artırılıp, birler basamağındaki rakam 4 azaltılıyor. Buna göre, elde edilen yeni sayı ilk sayıdan kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Elde edilen yeni sayı, ilk sayıdan 26 fazladır.
Onlar basamağındaki rakamın 3 artırılması sayıyı 30 artırır, birler basamağındaki rakamın 4 azaltılması ise 4 azaltır. Sonuç olarak sayı 30−4=2630 - 4 = 26 artar.

Adım Adım Çözüm

1
Onlar basamağındaki değişimin etkisini hesaplama
Sayı 30 artar.
Onlar basamağındaki rakam 3 artırıldığında sayının değeri 3×10=303 \times 10 = 30 kadar artış gösterir.
2
Birler basamağındaki değişimin etkisini hesaplama
Sayı 4 azalır.
Birler basamağındaki rakam 4 azaltıldığında sayının değeri 4×1=44 \times 1 = 4 kadar azalış gösterir.
3
Net değişimi hesaplama
Sayı 26 artar.
Artış ve azalış miktarlarının net sonucu 30−4=2630 - 4 = 26 artış olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Basamak Değeri Değişimi
Soru 69Soru →
mm ve nn pozitif tam sayıları için
3m−n3m - n
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: m⋅nm \cdot n

Cevap

Çarpanlarından en az biri çift olan çarpım işlemi her zaman çift sayı olacağından, biri tek diğeri çift sayı olan m ve n sayılarının çarpımı her zaman çift sayıdır.
Verilen 3m−n3m - n ifadesinin tek sayı olması, eksilen ve çıkan terimlerin farklı paritede olmasını gerektirir. 3 katsayısı tek olduğu için 3m3m teriminin paritesi doğrudan mm sayısının paritesine bağlıdır. Bu durumda mm ve nn sayılarından biri tek, diğeri çift sayı olmalıdır. Farklı paritedeki iki sayının çarpımı, içinde en az bir çift çarpan barındırdığı için her zaman çift bir sayı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin teklik durumunu analiz etme
3m−n3m - n ifadesi tek sayıdır.
İki sayının farkının tek olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının birbirinden farklı (biri tek, diğeri çift) olması gerekir.
2
Değişkenlerin paritelerini belirleme
mm ve nn sayılarından biri çift, diğeri tek sayıdır.
3m3m ifadesinin teklik-çiftlik durumu mm ile aynıdır. Dolayısıyla 3m3m ile nn sayılarının paritelerinin farklı olması, mm ile nn sayılarının paritelerinin farklı olmasını gerektirir.
3
Seçenekleri bu duruma göre değerlendirme
m⋅nm \cdot n ifadesinin sonucu her zaman çift sayıdır.
Biri çift, diğeri tek olan iki sayının çarpımında çarpanlardan biri çift sayı olduğu için sonuç her zaman çift sayı olur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altındaki parite kuralları.
Soru 70Soru →
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı ABCABC doğal sayısı için
ABC−ACB=54ABC - ACB = 54
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısı ile en küçük ABCABC doğal sayısı arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 800

Cevap

En büyük sayı 982 ve en küçük sayı 182 olduğundan aralarındaki fark 800'dür.
Çözümleme yapıldığında B−C=6B - C = 6 ilişkisi bulunur. Rakamların sıfırdan ve birbirinden farklı olması koşuluyla oluşturulabilecek en büyük sayı 982982, en küçük sayı ise 182182'dir. Bu iki sayının farkı olan 800800 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve ACBACB üç basamaklı sayılarını basamaklarına çözümleyelim.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve ACB=100A+10C+BACB = 100A + 10C + B elde edilir.
Verilen çıkarma işlemini basamak analizine uygun hale getirmek için çözümleme yapmalıyız.
2
ABC−ACB=54ABC - ACB = 54 eşitliğinde çözümleme sonuçlarını yerine yazarak sadeleştirme yapalım.
9(B−C)=549(B - C) = 54 ve buradan B−C=6B - C = 6 bulunur.
Yüzler basamağındaki ortak 100A100A terimleri birbirini götürür ve BB ile CC rakamları arasındaki bağıntıyı verir.
3
Rakamların sıfırdan ve birbirinden farklı olması koşuluna göre B−C=6B - C = 6 eşitliğini sağlayan (B,C)(B, C) rakam çiftlerini bulalım.
(B,C)(B, C) çiftleri (7,1)(7, 1), (8,2)(8, 2) ve (9,3)(9, 3) olabilir.
BB ve CC birer rakam ve sıfırdan farklı olduğu için bu farkı veren sınırlı sayıda durum vardır.
4
En büyük ABCABC sayısını oluşturmak için yüzler basamağındaki AA rakamını en büyük seçmeye çalışalım.
B=8,C=2B=8, C=2 çifti seçilirse A=9A=9 alınabilir ve en büyük sayı 982982 olur.
B=9,C=3B=9, C=3 seçilirse rakamların farklı olması kuralı gereği AA en fazla 88 seçilebilir ve 893893 sayısı oluşur. 982>893982 > 893 olduğundan en büyük değer 982982'dir.
5
En küçük ABCABC sayısını oluşturmak için yüzler basamağındaki AA rakamını en küçük seçmeye çalışalım.
B=8,C=2B=8, C=2 çifti seçilirse A=1A=1 alınabilir ve en küçük sayı 182182 olur.
B=7,C=1B=7, C=1 seçilirse rakamların farklı olması kuralı gereği AA en az 22 seçilebilir ve 271271 sayısı oluşur. 182<271182 < 271 olduğundan en küçük değer 182182'dir.
6
Bulunan en büyük ve en küçük sayıların farkını hesaplayalım.
982−182=800982 - 182 = 800 bulunur.
Soruda en büyük ve en küçük ABCABC doğal sayıları arasındaki fark istenmiştir.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve verilen rakam kısıtlarına göre en büyük/en küçük değerlerin optimize edilmesi.
Soru 71Soru →

Ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin terim sayısı çifttir. Bu kümenin en küçük elemanı, terim sayısının yarısına eşittir.

Bu kümedeki çift sayıların toplamı 242242 olduğuna göre, kümenin terim sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Kümenin terim sayısı 22'dir.
Kümedeki terim sayısını 2k olarak belirlediğimizde, en küçük eleman k olur ve elemanlar k'dan başlayıp 3k-1'e kadar gider. k parametresinin tek sayı olması durumunda çift terimler k+1 ile 3k-1 arasında yer alır ve toplamları 2k^2 formülüyle hesaplanır. Bu toplam 242'ye eşitlendiğinde k = 11 elde edilir. 11 tek sayı olduğu için bu durum doğrulanır. Buradan terim sayısı 2k = 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Terim sayısının ve en küçük elemanın cebirsel olarak tanımlanması
Terim sayısı 2k2k (k≥1k \ge 1, k∈Zk \in \mathbb{Z}), en küçük eleman ise kk olur.
Kümenin terim sayısı çift olarak verildiği için 2k2k seçilmiştir. En küçük eleman terim sayısının yarısı olduğundan 2k/2=k2k / 2 = k şeklinde ifade edilir.
2
Kümenin elemanlarının ve sınırlarının belirlenmesi
Kümenin elemanları: k,k+1,k+2,…,3k−1k, k+1, k+2, \dots, 3k-1 şeklindedir.
En küçük elemanı kk olan ve 2k2k tane ardışık tam sayıdan oluşan kümenin son terimi k+(2k−1)=3k−1k + (2k - 1) = 3k - 1 olur.
3
Kümedeki çift sayıların toplamının kk'nın çift olma durumuna göre incelenmesi (Durum 1)
2k2−k−242=02k^2 - k - 242 = 0 denkleminin tam sayı çözümü yoktur.
Eğer kk çift ise, ilk terim kk çift, son terim 3k−13k-1 tek olur. Çift sayılar k,k+2,…,3k−2k, k+2, \dots, 3k-2 olup toplamları k×4k−22=k(2k−1)k \times \frac{4k-2}{2} = k(2k-1) olur. k(2k−1)=242  ⟹  2k2−k−242=0k(2k-1) = 242 \implies 2k^2 - k - 242 = 0 denkleminin diskriminantı tam kare olmadığından çözüm gelmez.
4
Kümedeki çift sayıların toplamının kk'nın tek olma durumuna göre incelenmesi (Durum 2) ve kk değerinin bulunması
k=11k = 11 bulunur.
Eğer kk tek ise, ilk terim kk tek olduğundan ilk çift sayı k+1k+1 olur. Son terim 3k−13k-1 çift olur. Çift sayılar k+1,k+3,…,3k−1k+1, k+3, \dots, 3k-1 olup toplamları k×4k2=2k2k \times \frac{4k}{2} = 2k^2 olur. 2k2=242  ⟹  k2=121  ⟹  k=112k^2 = 242 \implies k^2 = 121 \implies k = 11 (11 tek sayı olduğundan kabul edilir) bulunur.
5
Toplam terim sayısının hesaplanması
Terim sayısı 2k=2×11=222k = 2 \times 11 = 22 olarak elde edilir.
Kümenin terim sayısı en başta 2k2k olarak tanımlandığı için k=11k = 11 değeri 2 ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ardışık terimlerin toplamı, terim sayısı hesaplama ve pariteye (teklik-çiftlik) bağlı sınır analizi yapma.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 72Soru →
Birbirinden farklı xx, yy ve zz asal sayıları için
xy+yx=zx^y + y^x = z
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

22
Doğru cevap 22'dir. Teklik-çiftlik analizi yapıldığında, xy+yxx^y + y^x toplamının asal bir sayı (zz) belirtebilmesi için xx ve yy değişkenlerinden birinin çift asal sayı olan 2 olması gerekir. Genelliği bozmadan x=2x=2 alındığında, y=3y=3 için z=23+32=17z = 2^3 + 3^2 = 17 asal sayısı elde edilir. y>3y > 3 için yapılan mod 3 analizinde ise 2y+y22^y + y^2 ifadesinin her zaman 3'ün katı olduğu ve dolayısıyla asal olamayacağı görülür. Bu nedenle tek çözüm {2, 3, 17} olup toplamları 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Teke-çiftlik analizi yaparak değişkenlerin alabileceği değerleri sınırland��rın.
xx ve yy sayılarından birinin 2 olduğu belirlenir.
Eğer xx ve yy sayılarının ikisi de tek asal sayı olsaydı, tek sayıların tüm kuvvetleri tek olacağından xyx^y ve yxy^x tek sayı olurdu. Bu iki tek sayının toplamı olan zz çift sayı olmak zorunda kalırdı. 2'den büyük çift asal sayı olmadığından ve x,yx, y farklı asal sayılar olduğu için z>2z > 2 olmalıdır. Dolayısıyla xx ve yy sayılarından biri kesinlikle 2 olmalıdır.
2
Genelliği bozmadan x=2x = 2 kabul ederek en küçük tek asal sayı olan y=3y = 3 için denklemi sınayın.
z=23+32=17z = 2^3 + 3^2 = 17 elde edilir.
17 bir asal sayı olduğundan bu durum tüm koşulları sağlar. Bu durumda asal sayılar kümesi {2, 3, 17} olur.
3
Diğer tek asal sayılar (y>3y > 3) için çözüm olup olmadığını 3 modunda analiz edin.
y>3y > 3 olan tüm asal sayılar için z=2y+y2z = 2^y + y^2 ifadesinin 3 ile tam bölündüğü ve asal olamayacağı kanıtlanır.
3'ten büyük her yy asal sayısı için y≡1y \equiv 1 veya y≡2(mod3)y \equiv 2 \pmod 3 olup, y2≡1(mod3)y^2 \equiv 1 \pmod 3 olur. Ayrıca yy tek sayı olduğundan y=2k+1y = 2k+1 biçimindedir. Buradan 2y=22k+1=2⋅4k≡2⋅1k≡2(mod3)2^y = 2^{2k+1} = 2 \cdot 4^k \equiv 2 \cdot 1^k \equiv 2 \pmod 3 elde edilir. Bu iki ifadenin toplamı olan z=2y+y2≡2+1≡3≡0(mod3)z = 2^y + y^2 \equiv 2 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3 olur. z>3z > 3 olduğundan zz asal sayı olamaz.
4
Elde edilen tek çözüm kümesindeki sayıları toplayın.
x+y+z=2+3+17=22x+y+z = 2+3+17 = 22 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Asal Sayılar
Soru 73Soru →

aa, bb ve cc birbirinden farklı asal sayılardır.

a⋅b⋅c=3(a+b+c+8)a \cdot b \cdot c = 3(a + b + c + 8)

olduğuna göre, a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 65

Cevap

En büyük değer olan 65'tir. Bu değer, asal sayıların {2, 3, 13} olarak belirlenmesinden sonra en büyük çarpanın parantez dışına (13 olarak) yerleştirilmesiyle elde edilir.
Çözüm sonucunda elde edilen tek geçerli asal sayı kümesi {2, 3, 13}'tür. Bu kümedeki elemanlar ile oluşturulabilecek a * (b + c) ifadesinin en büyük değeri, en büyük asal sayı olan 13'ün parantez dışına çarpan olarak yazılmasıyla elde edilen 65'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafındaki çarpımın bölen analizini yapma.
a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı 3'ün katı olmalıdır. Sayılar asal olduğundan, içlerinden biri kesinlikle 3 olmalıdır. Kolaylık açısından c=3c = 3 seçelim.
Denklemin sağ tarafında 3 çarpanı bulunduğundan, eşitliğin sağlanabilmesi için sol taraf da 3 ile tam bölünmelidir.
2
Seçilen değeri denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapma.
3⋅a⋅b=3(a+b+3+8)  ⟹  a⋅b=a+b+113 \cdot a \cdot b = 3(a + b + 3 + 8) \implies a \cdot b = a + b + 11 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını ikiye düşürerek denklemi çözülebilir bir forma getirmek.
3
Denklemi çarpanlara ayırma formatına dönüştürme.
a⋅b−a−b=11  ⟹  a(b−1)−(b−1)−1=11  ⟹  (a−1)(b−1)=12a \cdot b - a - b = 11 \implies a(b - 1) - (b - 1) - 1 = 11 \implies (a - 1)(b - 1) = 12 elde edilir.
Tam sayı çözümlerini çarpan analizine dayalı olarak bulabilmek.
4
12'nin çarpanlarını inceleyerek asal sayı çiftlerini belirleme.
Çarpanlar (1, 12), (2, 6) veya (3, 4) olabilir. Çözüm yapıldığında:
- a−1=1  ⟹  a=2a-1=1 \implies a=2 ve b−1=12  ⟹  b=13b-1=12 \implies b=13 (Asal ve birbirinden farklıdır. Kümemiz {2,3,13}\{2, 3, 13\} olur).
- a−1=2  ⟹  a=3a-1=2 \implies a=3 (c=3 ile çelişir, elenir).
- a−1=3  ⟹  a=4a-1=3 \implies a=4 (Asal değildir, elenir).
Soruda verilen 'birbirinden farklı asal sayılar' koşulunu sağlayan tek kümenin {2,3,13}\{2, 3, 13\} olduğunu göstermek.
5
İfadeyi en büyük yapacak değerleri yerine koyarak hesaplama yapma.
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinde en büyük çarpanı parantez dışına almak için a=13a=13 seçilir. Bu durumda 13⋅(2+3)=6513 \cdot (2 + 3) = 65 bulunur.
Çarpımın sonucunu maksimize etmek.

Anahtar Kavram

Asal sayıların bölünebilme özellikleri ve tam sayı denklemlerinin çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü

Alternatif Yöntem

Denklem a⋅b⋅c−3(a+b+c)=24a \cdot b \cdot c - 3(a+b+c) = 24 olarak düzenlendikten sonra da değer analizi yapılabilir. Ancak çarpanlara ayırma yöntemi (c=3c=3 kabulü ile) en sistematik ve kesin yoldur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 74Soru →

−4,−2,3-4, -2, 3 ve 55 sayılarının tamamı aşağıdaki kutulara, her kutuda farklı bir sayı olacak biçimde yerleştirildiğinde bir AA tam sayısı elde edilmektedir:

[(□−□)×□]÷□=A[ (\Box - \Box) \times \Box ] \div \Box = A

Buna göre, AA tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Elde edilebilecek en küçük tam sayı değeri -6'dır.
En küçük tam sayı değerini elde etmek için parantez içi çıkarma işleminden pozitif ve büyük bir sayı elde edilmeye çalışılır. 5−(−4)=95 - (-4) = 9 ifadesi bu gruptaki sayılarla elde edilebilecek en büyük farktır. Bu farkı negatif yapmak için negatif olan −2-2 sayısı ile çarparız: 9×(−2)=−189 \times (-2) = -18. Son olarak elde edilen bu değeri pozitif olan 33 sayısına böldüğümüzde −18÷3=−6-18 \div 3 = -6 elde edilir. Bu değer elde edilebilecek en küçük tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki çıkarma işleminden elde edilebilecek en büyük pozitif değeri belirleyin.
55 ve −4-4 sayıları seçilerek 5−(−4)=95 - (-4) = 9 farkı elde edilir.
Çarpım sonucunu en küçük (en negatif) yapmak için, çarpılacak pozitif çarpanın olabildiğince büyük olması gerekir.
2
Elde edilen farkı negatif yapmak için kalan sayılardan negatif olanıyla çarpın.
9×(−2)=−189 \times (-2) = -18 elde edilir.
Çarpımın negatif ve mutlak değerce büyük olması için kalan sayılar arasındaki negatif sayı olan −2-2 seçilmelidir.
3
Elde edilen negatif çarpımı, kalan tek sayıya bölerek tam sayı değerini bulun.
−18÷3=−6-18 \div 3 = -6 elde edilir.
Kutularda kullanılmayan son sayı 33 olduğu için bölme işlemi gerçekleştirilir ve −6-6 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinde dört işlem, parantezli işlemler ve negatif sayılarla çarpma/bölme kuralları.
Soru 75Soru →

3'ün katı olan ardışık 5 tam sayının toplamı 15n+6015n + 60 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3n+183n + 18

Cevap

3n+183n + 18
Ardışık 5 terimden oluşan bu dizinin toplamı olan 15n+6015n + 60 ifadesi terim sayısı olan 5'e bölündüğünde ortanca terim (3. terim) 3n+123n + 12 olarak bulunur. Sayılar 3'ün katı olduğundan ardışık terimler arasındaki fark 3'tür. En büyük terim olan 5. terimi bulmak için 3. terime iki kez 3 eklenmelidir. Bu durumda en büyük terim (3n+12)+6=3n+18(3n + 12) + 6 = 3n + 18 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ortanca terimini bulmak için toplamı terim sayısına bölmek gerekir.
Ortanca Terim=15n+605=3n+12\text{Ortanca Terim} = \frac{15n + 60}{5} = 3n + 12 olarak bulunur. Bu terim, 5 terimli dizinin 3. terimidir.
Ardışık tek sayıda terimden oluşan dizilerde toplamın terim sayısına bölümü ortanca terimi verir.
2
En büyük terimi (5. terim) bulmak için ortanca terime gereken artış miktarını eklemek gerekir.
En Bu¨yu¨k Terim=(3n+12)+2×3=3n+18\text{En Büyük Terim} = (3n + 12) + 2 \times 3 = 3n + 18 elde edilir.
Sayılar 3'ün katı olduğundan aralarındaki fark 3'tür. 3. terimden 5. terime geçmek için iki adım (2 x 3 = 6) ileri gidilmelidir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim toplamı ile ortanca terim (ortalama) arasındaki ilişki ve belirli bir terimin bulunması
Soru 76Soru →
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları için
ABC−CBA=396ABC - CBA = 396
eşitliği sağlanmaktadır.

A+C=8A + C = 8 olduğu ve BB rakamının çift sayı olduğu bilindiğine göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Bu koşulları sağlayan 2 farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir.
Üç basamaklı ABCABC ve CBACBA sayılarının farkı 99(A−C)=39699(A-C) = 396 eşitliğini verir. Buradan A−C=4A-C = 4 elde edilir. A+C=8A+C = 8 eşitliğiyle birlikte bu sistem çözüldüğünde A=6A=6 ve C=2C=2 rakamlarına ulaşılır. Rakamlar sıfırdan ve birbirinden farklı olduğundan BB rakamı 6 ve 2 değerlerini alamaz. BB'nin çift sayı olduğu kısıtlamasıyla birlikte geriye yalnızca 4 ve 8 rakamları kalır. Dolayısıyla 2 farklı sayı yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üç basamaklı ABCABC ve CBACBA sayılarının basamak çözümlemesini yapıp farklarını hesaplayalım.
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)=396ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) = 396
Sayıların çözümlenmesiyle elde edilen ortak 99(A−C)99(A-C) çarpanı sayesinde çıkarma işlemini sadeleştirmek.
2
99(A−C)=39699(A - C) = 396 eşitliğinden yararlanarak A ve C rakamlarının değerlerini bulalım.
A−C=4A - C = 4
Verilen A+C=8A + C = 8 eşitliğiyle bu denklemi taraf tarafa toplarsak:
2A=12  ⟹  A=62A = 12 \implies A = 6
C=2C = 2
bulunur.
İki bilinmeyenli iki denklemin ortak çözümüyle A ve C rakamlarını kesin olarak belirlemek.
3
Bulunan A ve C değerleri ile verilen kısıtlamaları kullanarak B rakamının alabileceği değerleri belirleyelim.
ABCABC sayısının rakamları sıfırdan ve birbirinden farklıdır. Bu yüzden BB rakamı 0, 2 ve 6 olamaz. Ayrıca BB rakamının çift sayı olduğu belirtilmiştir. Çift rakamlar {0,2,4,6,8}\{0, 2, 4, 6, 8\} kümesidir. Koşulları sağlayan BB değerleri sadece 44 ve 88 rakamlarıdır. Bu durumda yazılabilecek ABCABC sayıları 642 ve 682 olup toplam 2 tanedir.
Soruda verilen tüm rakamsal kısıtlamaları (sıfırdan farklı, birbirinden farklı, çift rakam) bir araya getirerek olası ABCABC sayılarının adedini bulmak.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların çözümlenmesi ve rakam kısıtlamalarına göre basamak değerlerinin analizi.
Soru 77Soru →

xx, yy ve zz birer tam sayı olmak üzere,

x2+y⋅zx^2 + y \cdot z

ifadesinin bir tek sayı,

x+y+zx + y + z

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z

Cevap

x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.
Yapılan analizde, koşulları sağlayan tüm durumlarda xx, yy ve zz sayılarından tam olarak bir tanesinin çift sayı olduğu görülmüştür. Çarpanlardan en az biri çift sayı olduğunda, bu sayıların çarpımı olan x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman bir çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
x2+y⋅zx^2 + y \cdot z ifadesinin teklik-çiftlik durumunu sadeleştirme.
x+y⋅zx + y \cdot z ifadesinin tek sayı olduğu bulunur.
Herhangi bir tam sayının karesi ile kendisi aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir. Bu nedenle x2x^2 yerine xx yazarak inceleme yapabiliriz.
2
xx sayısının çift olması durumunu inceleme.
xx çift ise y⋅zy \cdot z tek olmalı, bu da yy ve zz sayılarının her ikisinin de tek olmasını gerektirir.
xx çift iken toplamın tek olması için y⋅zy \cdot z çarpımının tek olması gerekir. İki tam sayının çarpımı tek ise bu sayıların her ikisi de tek olmak zorundadır.
3
xx çift iken ikinci koşulu kontrol etme.
xx çift, yy tek ve zz tek olduğunda x+y+zx + y + z toplamı çift olur, bu da ikinci koşulu doğrular.
Çift ++ Tek ++ Tek == Çift kuralı uyarınca koşul sağlanır. Bu durumda x,y,zx, y, z sayılarından sadece xx çift sayıdır.
4
xx sayısının tek olması durumunu inceleme ve ikinci koşulla birleştirme.
xx tek ise y⋅zy \cdot z çarpımı çift olmalıdır. Ayrıca x+y+zx + y + z çift olduğundan y+zy + z toplamı tek olmalıdır. Bu durumda yy ve zz sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
xx tek iken toplamın çift olması için diğer iki sayının toplamı (y+zy+z) tek olmalıdır. Toplamları tek olan iki sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Bu durumda da x,y,zx, y, z sayılarından sadece biri (yy veya zz) çifttir.
5
Elde edilen durumları birleştirerek sonucu yorumlama.
Tüm durumlarda x,y,zx, y, z tam sayılarından tam olarak bir tanesi çift sayı olmaktadır.
Çarpanlarından en az biri çift sayı olan tam sayı çarpımlarının sonucu daima çift sayı olacağından, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri kuralları ile üs alma özelliğinin analizi.
Soru 78Soru →

Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının yüzler basamağındaki rakam 2 artırılıp, onlar basamağındaki rakam 3 azaltıldığında elde edilen yeni sayı; ABCABC sayısının onlar ve birler basamağının yer değiştirilmesiyle elde edilen üç basamaklı ACBACB sayısının 2 katından 15 eksik olmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayıları için A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Verilen koşulu sağlayan ABCABC sayılarının rakamları toplamı 14'tür.
Soruda verilen yönergeler takip edilerek kurulan ABC+170=2⋅ACB−15ABC + 170 = 2 \cdot ACB - 15 denklemi çözümlendiğinde 100A+19C−8B=185100A + 19C - 8B = 185 eşitliği elde edilir. Burada rakam sınırlandırmaları (0≤A,B,C≤90 \le A, B, C \le 9 ve A≠0A \neq 0) uygulandığında yalnızca iki çözüm bulunur: 167167 ve 293293. Her iki sayının da rakamları toplamı 14'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC sayısının basamaklarındaki değişimlerin say�� değerine etkisini belirleyerek denklemi kurun.
ABCABC sayısının yüzler basamağı 2 artırılırsa sayı değeri 200 artar, onlar basamağı 3 azaltılırsa sayı değeri 30 azalır. Dolayısıyla yeni sayı ABC+170ABC + 170 olur. Bu sayı ACBACB sayısının 2 katından 15 eksik olduğuna göre denklemimiz: ABC+170=2⋅ACB−15ABC + 170 = 2 \cdot ACB - 15 olarak kurulur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliğe dönüştürmek için.
2
Elde edilen denklemi çözümleme (basamak analizi) yöntemiyle açarak sadeleştirin.
100A+10B+C+170=2(100A+10C+B)−15100A + 10B + C + 170 = 2(100A + 10C + B) - 15 100A+10B+C+185=200A+20C+2B100A + 10B + C + 185 = 200A + 20C + 2B Terimleri düzenlersek: 185+8B=100A+19C185 + 8B = 100A + 19C elde edilir.
Bilinmeyen rakamlar arasındaki ilişkiyi daha basit bir formda analiz edebilmek için.
3
A,B,CA, B, C rakamlarının alabileceği değerleri inceleyin.
100A+19C−8B=185100A + 19C - 8B = 185 denkleminde B≤9B \le 9 olduğundan 8B≤728B \le 72 olur. Buradan 100A+19C100A + 19C ifadesinin değeri [185,257][185, 257] aralığında olmalıdır. Bu durumda AA rakamı sadece 1 veya 2 olabilir.

A=1A = 1 için: 19C−8B=85  ⟹  C=719C - 8B = 85 \implies C = 7 ve B=6B = 6 bulunur. Sayımız 167167 olur.

A=2A = 2 için: 8B−19C=15  ⟹  B=98B - 19C = 15 \implies B = 9 ve C=3C = 3 bulunur. Sayımız 293293 olur.
Rakamların 0 ile 9 arasındaki tam sayılar olması sınırlandırmasını kullanarak olası çözümleri bulmak için.
4
Bulunan sayılar için rakamlar toplamını (A+B+CA + B + C) hesaplayın.
167167 sayısı için: 1+6+7=141 + 6 + 7 = 14
293293 sayısı için: 2+9+3=142 + 9 + 3 = 14
Her iki durumda da rakamlar toplamı 14 çıkmaktadır.
İstenen ortak toplamı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Çözümleme
Soru 79Soru →
A=6!−5!4!+3!A = \frac{6! - 5!}{4! + 3!}

olduğuna göre, AA sayısından küçük veya AA sayısına eşit kaç tane asal sayı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8 tane asal sayı vardır.
Verilen ifade sadeleştirildiğinde A=20A = 20 elde edilir. 20'den küçük veya 20'ye eşit olan asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 olmak üzere 8 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştiriniz.
6!−5!=6⋅5!−5!=5!⋅(6−1)=5⋅5!6! - 5! = 6 \cdot 5! - 5! = 5! \cdot (6 - 1) = 5 \cdot 5!
Pay kısmını daha küçük olan faktöriyel cinsinden yazıp sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
2
Payda k��smındaki faktöriyelli ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştiriniz.
4!+3!=4⋅3!+3!=3!⋅(4+1)=5⋅3!4! + 3! = 4 \cdot 3! + 3! = 3! \cdot (4 + 1) = 5 \cdot 3!
Payda kısmını sadeleştirmeye hazır hale getirmek.
3
Elde edilen ifadeleri oranlayarak AA değerini hesaplayınız.
A=5⋅5!5⋅3!=5!3!=5⋅4⋅3!3!=20A = \frac{5 \cdot 5!}{5 \cdot 3!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 20
İfadenin sadeleşmiş halinin sayısal değerini bulmak.
4
20 sayısından küçük veya 20'ye eşit olan asal sayıları belirleyiniz.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (toplam 8 adet)
Tanıma uygun asal sayıların adedini bulmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak paranteze alma ve sadeleştirme işlemleri ile asal sayı tanımı.
Soru 80Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a⋅b+a+3=4ca \cdot b + a + 3 = 4c
eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b+1a + b + 1

Cevap

Teklik ve çiftlik analizi sonucunda elde edilen aa tek ve bb çift değerleri için a+b+1a + b + 1 ifadesi her zaman çift sayıdır.
Eşitlik düzenlendiğinde a(b+1)=4c−3a(b + 1) = 4c - 3 elde edilir. 4c4c çift olduğundan 4c−34c - 3 tektir. Bu durumda aa tek ve b+1b + 1 tek olmalıdır, yani bb çift sayıdır. aa tek ve bb çift olduğundan, a+b+1a + b + 1 ifadesi Tek + Çift + Tek = Çift işleminin sonucu olarak her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği düzenleyerek ortak çarpan parantezine alalım.
a(b+1)+3=4ca(b + 1) + 3 = 4c elde edilir. Buradan a(b+1)=4c−3a(b + 1) = 4c - 3 yazılır.
Teklik-çiftlik analizini kolaylaştırmak için değişkenleri çarpanlarına ayırmak gerekir.
2
Eşitliğin sağ tarafının teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.
cc pozitif tam sayı olduğundan 4c4c her zaman çift sayıdır. Çift bir sayıdan tek bir sayı (3) çıkarıldığında sonuç tek olur. Dolayısıyla 4c−34c - 3 ifadesi her zaman tektir.
Eşitliğin bir tarafının kesin karakterini belirleyerek diğer taraf hakkında çıkarım yapmak.
3
Eşitliğin sol tarafındaki çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz edelim.
a(b+1)a(b + 1) çarpımının sonucu tek sayı olduğuna göre, her iki çarpan da tek sayı olmalıdır. Buradan aa tek sayı ve b+1b + 1 tek sayı bulunur. b+1b + 1 tek ise bb çift sayı olur.
İki tam sayının çarpımının tek olması için her iki sayının da tek olması kuralını uygulamak.
4
Bulunan aa (tek) ve bb (çift) değerlerini seçeneklerdeki ifadelere uygulayarak her zaman çift olan ifadeyi bulalım.
a+b+1a + b + 1 ifadesinde, aa tek, bb çift olduğundan Tek + Çift + Tek = Çift olur. Dolayısıyla bu ifade her zaman çifttir.
Değişkenlerin kesin teklik-çiftlik durumlarını seçeneklerde yerine koymak.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Çarpım ve Toplam Özellikleri
ÖncekiSayfa 4 / 7Sonraki
Temel Kavramlar ve Sayılar Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 4 | Examkin