Layer 1

Soru 261Soru →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde $[AH] \perp [BC]$ dir. $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ ve $|AH| = 6$ cm olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

6 + 6\sqrt{3}

12\sqrt{3}

12

18

6 + 2\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 + 6\sqrt{3}$

Cevap

6 + 6\sqrt{3}

cm uzunluğu, iki özel dik üçgenin taban uzunluklarının toplamıdır.

Verilen

ABC

üçgeninde

AH

yüksekliği, üçgeni iki özel dik üçgene ayırır. Sol taraftaki

ABH

ikizkenar dik üçgeninde

|BH|=6

cm bulunur. Sağ taraftaki

ACH

(

30-60-90

) üçgeninde ise

60^\circ

'nin gördüğü

|HC|

kenarı,

30^\circ

'nin gördüğü

6

cm'nin

\sqrt{3}

katı olan

6\sqrt{3}

cm'dir. Toplam taban uzunluğu bu iki değerin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

ABH

dik üçgeninde kenar özelliklerini belirle.

|BH| = 6

cm

45-45-90

üçgeninde dik kenarlar birbirine eşittir.

|AH| = 6

cm olduğundan

|BH| = 6

cm olur.

2

ACH

dik üçgeninde kenar özelliklerini belirle.

|HC| = 6\sqrt{3}

cm

30-60-90

üçgeninde

60^\circ

'nin karşısındaki kenar (

HC

),

30^\circ

'nin karşısındaki kenarın (

AH

)

\sqrt{3}

katıdır.

3

|BC|

toplam uzunluğunu hesapla.

6 + 6\sqrt{3}

cm

|BC|

uzunluğu,

|BH|

ve

|HC|

parçalarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Özel açılı dik üçgenlerde (

30-60-90

ve

45-45-90

) kenarlar arasındaki sabit oranlar.

İpuçları

1

AH

yüksekliğinin üçgeni iki farklı özel dik üçgene böldüğüne dikkat edin.

2

Sol tarafta bir

45-45-90

(ikizkenar dik) üçgen, sağ tarafta ise bir

30-60-90

üçgeni oluşmaktadır.

3

30-60-90

üçgeninde

30^\circ

'nin karşısındaki kenar

6

ise,

60^\circ

'nin karşısındaki

|HC|

kenarı bunun

\sqrt{3}

katı olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda

|BC|

uzunluğu verilip yüksekliğin sorulduğu durumları inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 262Soru →

ABC bir ikizkenar üçgen olup $|AB| = |AC|$ eşitliği verilmiştir. Bu üçgenin $[BC]$ kenarı üzerinde, $|AD| = |BD|$ olacak şekilde bir $D$ noktası işaretleniyor.

$m(\widehat{DAC}) = 36^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{ACB})$ kaç derecedir?

36

42

48

54

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48 derece

Soruda verilen iki farklı ikizkenar üçgen ilişkisi kullanılarak bilinmeyen açılar arasında denklem kurulur.

|AB|=|AC|

eşitliği

\widehat{B}

ve

\widehat{C}

açılarının eşitliğini (

x

),

|AD|=|BD|

eşitliği ise

\widehat{BAD}

ve

\widehat{B}

açılarının eşitliğini (

x

) verir. Dış açı kuralı ile

\widehat{ADC} = 2x

bulunur. ADC üçgeninde iç açılar toplamı (

36+x+2x=180

) çözüldüğünde sonuç 48 derece bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar üçgen özelliklerini kullanarak açıları isimlendir.

|AB| = |AC|

olduğundan

m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = \alpha

olsun.

İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

2

İkinci ikizkenar üçgenin (

|AD| = |BD|

) açılarını belirle.

|AD| = |BD|

olduğundan

\triangle ABD

ikizkenardır ve

m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ABD}) = \alpha

olur.

Bir üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.

3

Dış açı özelliğini kullanarak

m(\widehat{ADC})

açısını ifade et.

\triangle ABD

üçgeninde iki iç açının toplamı, komşu olmayan dış açıya eşittir:

m(\widehat{ADC}) = \alpha + \alpha = 2\alpha

.

Üçgende dış açı özelliği.

4

\triangle ADC

üçgeninde iç açılar toplamı bağıntısını kur ve

\alpha

değerini hesapla.

36^\circ + 2\alpha + \alpha = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha = 144^\circ \Rightarrow \alpha = 48^\circ

.

Üçgenin iç açıları toplamı

180^\circ

dir.

Anahtar Kavram

İkizkenar Üçgen ve Dış Açı Özellikleri

İpuçları

1

Soruda iki farklı ikizkenar üçgen vardır. Önce

|AB| = |AC|

eşitliğinden hangi açıların eşit olduğunu belirleyip onlara bir değişken (örneğin

\alpha

) verin.

2

Ardından

|AD| = |BD|

eşitliğini kullanarak bu değişkeni üçgenin başka bir açısına taşıyın.

3

\triangle ABD

üçgeninin dış açısı olan

\widehat{ADC}

açısını

\alpha

cinsinden yazın ve

\triangle ADC

iç açılar toplamını

180^\circ

'ye eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgenin tabanında alınan bir noktanın oluşturduğu benzer açı sorularını çözerek pratik yapın.

Alternatif Yöntem

Açıları harflendirmek yerine

\widehat{C}

açısını şıklardan deneyerek de gidilebilir. Örneğin

\widehat{C}=48

ise,

\widehat{B}=48

olur. İkizkenarlıktan

\widehat{BAD}=48

olur.

\widehat{ADC}

dış açısı

48+48=96

olur.

\triangle ADC

iç açıları

36+48+96 = 180

sağlar.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 263Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 5$ cm ve $|AC| = 12$ cm olarak verilmiştir. $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu bilindiğine göre, $BC$ kenarının santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

2

3

4

9

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Üçgen eşitsizliği ve geniş açı kuralı birlikte değerlendirildiğinde, kenar uzunluğunun alabileceği 3 farklı tam sayı değeri (14, 15, 16) bulunmaktadır.

Üçgen eşitsizliğine göre

|BC|

uzunluğu 7 ile 17 arasında olmalıdır. Ancak açının

90^\circ

'den büyük olduğu belirtildiği için, Pisagor bağıntısının ötesinde

|BC|^2 > 5^2 + 12^2

şartı da sağlanmalıdır. Bu durumda

|BC| > 13

olur. Her iki şartı sağlayan tam sayılar 14, 15 ve 16 olmak üzere toplam 3 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliğini uygulayın.

|12 - 5| < |BC| < 12 + 5 \Rightarrow 7 < |BC| < 17

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Geniş açı (

m(\widehat{A}) > 90^\circ

) şartını uygulayın.

|BC|^2 > 5^2 + 12^2 \Rightarrow |BC|^2 > 25 + 144 \Rightarrow |BC|^2 > 169 \Rightarrow |BC| > 13

Bir üçgende bir açının ölçüsü

90^\circ

'den büyükse, o açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.

3

Her iki koşulu birleştirerek ortak aralığı bulun.

13 < |BC| < 17

Kenar uzunluğu hem 7 ile 17 arasında olmalı hem de 13'ten büyük olmalıdır.

4

Bu aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyin.

14, 15, 16

(Toplam 3 adet)

13 ve 17 sınırları dahil değildir, bu sınırlar arasındaki tam sayılar sayılır.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Geniş Açı Şartı

İpuçları

1

Önce

BC

kenarı için üçgen eşitsizliği kuralını kullanarak genel bir aralık belirleyin.

2

Eğer

A

açısı tam olarak

90^\circ

olsaydı, Pisagor bağıntısından

BC

kaç olurdu? Açının

90^\circ

'den büyük olması bu değeri nasıl etkiler?

3

|BC|^2 > 5^2 + 12^2

eşitsizliğinden

|BC| > 13

sonucuna ulaşın. Bunu üçgen eşitsizliği aralığıyla (

7 < |BC| < 17

) birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Eğer açının dar açı (

< 90^\circ

) olduğu söylenseydi çözüm nasıl değişirdi?

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 264Soru →

Taban yarıçapı $4$ cm ve yüksekliği $10$ cm olan dolu bir dik dairesel silindirden, taban merkezinden geçen ve merkez açısı $90^\circ$ olan bir dilim kesilip çıkarılıyor.

Buna göre, geriye kalan büyük parçanın yüzey alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

84\pi + 80

84\pi

60\pi + 80

84\pi + 40

112\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $84\pi + 80$

Cevap

84\pi + 80

Doğru cevap, kalan cismin tüm yüzeylerinin (tabanlar, kavisli yüzey ve kesim yüzeyleri) doğru hesaplanıp toplanmasıyla bulunur. 3/4'lük tabanlar (

24\pi

), 3/4'lük yanal alan (

60\pi

) ve kesim sonucu oluşan iki dikdörtgen yüzey (

2 \times 40 = 80

) toplandığında sonuç

84\pi + 80

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kalan cismin geometrik yapısını analiz et

Silindirden 90 derecelik (1/4) bir dilim çıkarıldığında geriye 3/4'lük bir silindir dilimi kalır. Ayrıca kesim bölgesinde iki adet yeni dikdörtgen yüzey oluşur.

Yüzey alanı hesaplanırken hem dış yüzeyler hem de kesim sonucu açığa çıkan iç yüzeyler toplanmalıdır.

2

Taban ve tavan alanlarını hesapla

Taban Alanı =

\pi r^2 = 16\pi

. Kalan kısım 3/4 olduğu için: Alt ve Üst Taban Toplamı =

2 \times (\frac{3}{4} \times 16\pi) = 24\pi

.

Silindirin alt ve üst tabanlarından 90 derecelik kısımlar eksilmiştir.

3

Yanal (kavisli) yüzey alanını hesapla

Tam Yanal Alan =

2\pi r h = 2\pi(4)(10) = 80\pi

. Kalan Yanal Alan =

\frac{3}{4} \times 80\pi = 60\pi

.

Silindirin dış kavisli yüzeyinin de 1/4'ü gitmiştir.

4

Kesim sonucu oluşan dikdörtgen yüzeylerin alanını hesapla

Kesim yüzeyleri, boyutları

r

ve

h

olan iki dikdörtgendir. Alan =

2 \times (r \times h) = 2 \times (4 \times 10) = 80

.

Parça çıkarıldığında cismin içinde kalan yüzeyler dışarıya açılmıştır ve alana dahil edilmelidir.

5

Tüm alanları topla

Toplam Alan = (Tabanlar) + (Yanal) + (Kesim Yüzeyleri) =

24\pi + 60\pi + 80 = 84\pi + 80

.

Cismin toplam yüzey alanı bu üç bileşenin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Parçalı Cisimlerin Yüzey Alanı

İpuçları

1

Cisimden 90 derecelik bir dilim çıkarıldığında, geriye silindirin 3/4'ü kalır.

2

Yüzey alanını hesaplarken sadece silindirin dış yüzeylerini değil, kesim sonucu açığa çıkan dikdörtgen şeklindeki iç yüzeyleri de eklemeyi unutmayın.

3

Oluşan yeni yüzeyler, yarıçap (

r

) ve yükseklik (

h

) boyutlarında iki adet dikdörtgendir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 265Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[BC]$ kenarının orta noktası olarak işaretlenmiştir. $A$ köşesini bu $D$ noktasına birleştiren $[AD]$ doğru parçası çizildiğinde, bu doğru parçası üçgenin hangi yardımcı elemanı olur?

Kenarortay

Açıortay

Yükseklik

Kenar orta dikme

Orta taban

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kenarortay

Cevap

Verilen tanıma göre bu doğru parçası kenarortaydır.

Kenarortay, bir üçgende bir köşeyi o köşenin karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. Soruda

D

noktasının

[BC]

kenarının orta noktası olduğu ve

A

köşesiyle birleştirildiği belirtildiği için bu tanım doğrudan kenarortayı karşılar.

Adım Adım Çözüm

1

D

noktasının özelliğini belirle.

D

noktası

[BC]

kenarının tam orta noktasıdır (

|BD| = |DC|

).

Soruda

D

noktasının kenar orta noktası olduğu açıkça belirtilmiştir.

2

[AD]

doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktalarını analiz et.

A

köşesi ile karşı kenar olan

[BC]

'nin orta noktası birleştirilmiştir.

Yardımcı elemanların tanımları bu uç noktalara göre yapılır.

3

Geometrik tanımı uygula.

Kenarortay tanımı: Bir üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır.

Tanım ve verilen durum birebir örtüşmektedir.

Anahtar Kavram

Kenarortay Tanımı

İpuçları

1

Doğru parçasının bir ucu köşede, diğer ucu kenarın tam ortasındadır.

2

'Kenarı ortalayan' anlamındaki terimi düşünün.

3

Üçgenin ağırlık merkezini (G) oluşturan elemanları hatırlayın; bunlar kenarları ikiye bölen doğrulardır.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgende bu yardımcı elemanların (kenarortay, açıortay, yükseklik) birbirinin aynısı olup olamayacağını araştırabilirsiniz.

Tahmini Süre:30s

Soru 266Soru →

Dik koordinat düzleminde, köşe noktaları $O(0,0)$ , $A(6,0)$ ve $B(0,2)$ olan $OAB$ üçgeninin $y = x$ doğrusuna göre simetriği alınarak ikinci bir üçgen elde ediliyor. Buna göre, elde edilen bu iki üçgenin kesişim bölgesinin alanı kaç birimkaredir?

2

2,5

3

4

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İki üçgenin kesişim bölgesinin alanı 3 birimkaredir.

Verilen üçgenin ve simetriğinin kesişimi, köşeleri orijin, eksenler üzerindeki en yakın noktalar ve hipotenüslerin kesişim noktası olan bir dörtgendir. Bu dörtgenin alanı, iki küçük üçgene ayrılarak hesaplandığında 3 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk üçgenin kenar doğrularını ve simetriğini belirle.

OAB

üçgeninin hipotenüsü

AB

doğrusudur.

A(6,0)

ve

B(0,2)

noktalarından geçen doğru denklemi:

y - 0 = \frac{2-0}{0-6}(x-6) \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + 2

.

Üçgenin sınırlarını belirleyen doğruların denklemleri kesişim noktasını bulmak için gereklidir.

2

Simetrik üçgenin hipotenüs denklemini bul.

y = -\frac{1}{3}x + 2

doğrusunun

y=x

doğrusuna göre simetriği,

x

ve

y

yer değiştirilerek bulunur:

x = -\frac{1}{3}y + 2 \Rightarrow 3x = -y + 6 \Rightarrow y = -3x + 6

.

İkinci üçgenin sınır doğrusu, ilk doğrunun

y=x

'e göre simetriğidir.

3

İki hipotenüsün kesişim noktasını (

P

) bul.

-\frac{1}{3}x + 2 = -3x + 6

denklemi çözülür.

\frac{8x}{3} = 4 \Rightarrow x = \frac{12}{8} = 1,5

.

y = -3(1,5) + 6 = 1,5

. Kesişim noktası

P(1,5; 1,5)

.

Kesişim bölgesi, eksenler ve bu iki doğrunun kesişim noktası ile sınırlıdır.

4

Kesişim bölgesinin alanını hesapla.

Bölge köşeleri

O(0,0)

,

B'(2,0)

,

P(1,5; 1,5)

ve

B(0,2)

olan bir deltoiddir. Alanı,

OP

köşegeni ile iki üçgene ayrılarak hesaplanır:

Alan = Alan(OB'P) + Alan(OBP) = \frac{2 \cdot 1,5}{2} + \frac{2 \cdot 1,5}{2} = 1,5 + 1,5 = 3

.

Çokgenin alanı, tabanları eksenler üzerinde olan iki üçgenin toplamı olarak kolayca hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde simetri ve doğruların kesişimi ile oluşan bölgelerin alan hesabı.

İpuçları

1

Önce

A

ve

B

noktalarının

y=x

doğrusuna göre simetriklerini bularak ikinci üçgenin köşe noktalarını belirleyin.

2

İki üçgenin hipotenüs doğrularının denklemlerini yazıp ortak kesişim noktasını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

y=-x

simetriği için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Grafik çizilerek kesişim bölgesinin

(0,0)

,

(2,0)

,

P(1,5; 1,5)

ve

(0,2)

noktaları olduğu görülür. Bu şekil

y=x

doğrusu üzerinde katlandığında simetrik olduğundan, alanı

2 \times (\text{Taban } 2 \times \text{Yükseklik } 1,5 / 2) = 3

olarak bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 267Soru →

Bir $ABCD$ dik yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ ve $[AD] \perp [DC]$ 'dir. Yamuğun köşegenleri $([AC] \text{ ve } [BD])$ birbirini dik kesmektedir.

$|AD| = 6$ cm ve $ABCD$ yamuğunun alanı $45 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

9

10

3\sqrt{13}

12

4\sqrt{10}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3\sqrt{13}$

Cevap

Dik yamukta köşegenler dik kesiştiğinde

h^2 = a \cdot c

bağıntısı kullanılır. Tabanlar

3

ve

12

bulunur, buradan

|BC| = 3\sqrt{13}

elde edilir.

Dik yamukta köşegenler dik kesiştiğinde yükseklik bağıntısı (

h^2 = a \cdot c

) ve alan formülü birlikte kullanılarak tabanlar bulunur (

3

ve

12

). Ardından oluşturulan dik üçgen yardımıyla yan kenar hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dik yamukta köşegenlerin dik kesişmesi özelliğini (

h^2 = a \cdot c

) kullan.

6^2 = |AB| \cdot |DC| \Rightarrow a \cdot c = 36

.

Dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa yükseklik, tabanların geometrik ortalamasıdır.

2

Alan formülünden tabanların toplamını bul.

Alan

= \frac{a+c}{2} \cdot h \Rightarrow 45 = \frac{a+c}{2} \cdot 6 \Rightarrow a+c = 15

.

Yamuğun alanı, orta taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

3

Elde edilen iki denklemden (

a \cdot c = 36

ve

a+c=15

) taban uzunluklarını bul.

x^2 - 15x + 36 = 0

denkleminin kökleri

12

ve

3

'tür. Yani

|AB|=12

ve

|DC|=3

.

Toplamları 15, çarpımları 36 olan iki sayı 12 ve 3'tür.

4

C

köşesinden

[AB]

kenarına dikme indirerek oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygula.

Dik kenarlar

6

ve

(12-3)=9

cm olur.

|BC|^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117

.

Yan kenarı bulmak için yamuk içinde dik üçgen oluşturulur.

5

Sonucu kök dışına çıkar.

|BC| = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}

cm.

Sadeleştirme işlemi.

Anahtar Kavram

Dik Yamukta Köşegenlerin Dik Kesişmesi (

h^2=a \cdot c

)

İpuçları

1

Dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa, yükseklik ile tabanlar arasında özel bir bağıntı vardır (

h^2 = a \cdot c

).

2

Alan formülünden tabanların toplamını (

a+c

), yükseklik bağıntısından çarpımını (

a \cdot c

) bularak

a

ve

c

değerlerini hesaplayınız.

3

Tabanları

3

ve

12

bulduktan sonra,

C

noktasından

[AB]

'ye dik inerek oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulayınız.

Alternatif Yöntem

Benzerlik kullanarak: Köşegenlerin kesişim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasını kullanarak da çözüm yapılabilir, ancak

h^2=ac

kuralı en kısa yoldur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 268Soru →

Taban yarıçapı $4$ cm ve yüksekliği $12\pi$ cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir rulo pastanın taban dairesi üzerindeki $A$ noktasından başlayıp, pastanın yan yüzeyi üzerinden iki tam tur atarak, $A$ noktasının tam üstündeki (üst taban dairesi üzerindeki) $B$ noktasına en kısa yoldan çekilecek bir krema şeridinin uzunluğu kaç cm'dir?

12\pi

16\pi

20\pi

24\pi

28\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20\pi$

Cevap

Krema şeridinin uzunluğu

20\pi

cm'dir.

Doğru cevap, silindirin yan yüzeyi açıldığında oluşan dik üçgenin hipotenüs uzunluğudur. Yükseklik

12\pi

ve yatay kenar (iki turdan dolayı iki çevre uzunluğu)

16\pi

olduğunda, Pisagor bağıntısından hipotenüs

20\pi

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Silindirin yan yüzeyinin açınımını (dikdörtgen hali) düşünün. Silindir açıldığında, yan yüzey bir dikdörtgen oluşturur. Bu dikdörtgenin düşey kenarı silindirin yüksekliğine (

h

), yatay kenarı ise taban çevresine eşittir.

Yükseklik

h = 12\pi

cm.

Silindirin yan yüzeyi açıldığında yükseklik değişmez.

2

Taban çevresini hesaplayın.

Çevre

= 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi

cm.

Dairenin çevresi

2\pi r

formülü ile bulunur.

3

Şeridin iki tam tur attığı belirtildiği için, açınım dikdörtgeninde yatayda katedilen mesafeyi hesaplayın. Bu mesafe, taban çevresinin tur sayısı ile çarpımıdır.

Yatay Yol

= 2 \times \text{Çevre} = 2 \times 8\pi = 16\pi

cm.

Her bir tam tur, yatayda bir çevre uzunluğu kadar mesafe demektir. İki tur için bu mesafe iki katına çıkar.

4

Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayarak hipotenüsü (en kısa yolu) bulun. Dik kenarlar

12\pi

ve

16\pi

'dir.

Uzunluk

= \sqrt{(12\pi)^2 + (16\pi)^2} = \sqrt{144\pi^2 + 256\pi^2} = \sqrt{400\pi^2} = 20\pi

cm.

En kısa yol, açınım düzleminde başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren doğru parçasının (hipotenüsün) uzunluğudur. Burada 3-4-5 üçgeninin

4\pi

katı olan 12-16-20 üçgeni oluşur.

Anahtar Kavram

Silindir yüzeyinde en kısa yol (geodezik eğri) problemleri, silindirin yan yüzeyinin düzlemsel açınımı yapılarak çözülür. Tur sayısı, açınımda yatayda gidilen çevre sayısını belirler.

İpuçları

1

Silindirin yan yüzeyini bir makasla kesip düz bir dikdörtgen olarak açtığınızı hayal edin.

2

Açılan dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliğidir (

12\pi

). Diğer kenarı ise, ip iki tur attığı için taban çevresinin iki katı uzunluğundadır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir koni yüzeyinde yarım tur veya tam tur atarak en kısa yolu bulan soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özel üçgenleri kullanabilirsiniz: Dik kenarlar

12\pi

ve

16\pi

ise, bunları

4\pi

parantezine aldığınızda

(3, 4, x)

üçgeni elde edersiniz. 3-4-5 üçgeni kuralından hipotenüs

5 \times 4\pi = 20\pi

olur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 269Soru →

Aşağıda verilen dik üçgen modelinde dik kenar uzunlukları $|AB| = 5$ cm ve $|BC| = 12$ cm olarak belirtilmiştir. $[AB] \perp [BC]$ olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu olan $|AC|$ kaç santimetredir?

13

17

169

15

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Hipotenüs uzunluğu 13 santimetredir.

Verilen üçgen bir dik üçgendir ve hipotenüs uzunluğu Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanılarak hesaplanır. 5 ve 12 dik kenar uzunlukları için kareler toplamı

25 + 144 = 169

eder. 169 sayısı 13'ün karesi olduğu için hipotenüs 13 cm'dir. Bu aynı zamanda '5-12-13' özel dik üçgenidir.

Adım Adım Çözüm

1

Dik kenar uzunluklarını Pisagor bağıntısında yerine yazın.

5^2 + 12^2 = |AC|^2

Pisagor bağıntısı, dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.

2

Dik kenarların karelerini hesaplayın.

25 + 144 = |AC|^2

Sayıların karelerini alarak toplam işlemine hazır hale getiririz.

3

Kareleri toplayın.

169 = |AC|^2

Hipotenüsün karesinin sayısal değerini buluruz.

4

Sonucun karekökünü alarak kenar uzunluğunu bulun.

|AC| = \sqrt{169} = 13

Karesi 169 olan pozitif tam sayıyı bularak hipotenüs uzunluğuna ulaşırız.

Anahtar Kavram

Pisagor Bağıntısı ve Özel Dik Üçgenler (5-12-13 Üçgeni)

İpuçları

1

Dik üçgenlerde en uzun kenar (hipotenüs) her zaman dik açının karşısındaki kenardır.

2

Pisagor bağıntısını hatırlayın:

a^2 + b^2 = c^2

. Burada

a=5

ve

b=12

olarak verilmiştir.

3

5 ve 12 sayılarının karelerini alıp toplayın, ardından çıkan sonucun hangi sayının karesi olduğunu bulun.

Daha Fazla Pratik

Diğer popüler özel dik üçgenleri (3-4-5, 8-15-17 gibi) inceleyerek pratiklik kazanabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Geometride sıkça karşımıza çıkan '5-12-13' özel dik üçgenini ezbere bilmek, Pisagor işlemi yapmadan hızlıca sonuca ulaşmanızı sağlar.

Tahmini Süre:45s

Soru 270Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 9$ cm ve $|AC| = 15$ cm uzunlukları verilmiştir. $BC$ kenarına ait kenarortay uzunluğu $x$ cm'dir. $m(\widehat{BAC}) < 90^\circ$ olduğu bilindiğine göre, $x$ 'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

3

4

5

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

x'in alabileceği 3 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgende kenarortay (

x

) için temel sınır

3 < x < 12

aralığıdır. Ancak

A

açısı

90^\circ

'den küçük (dar) olduğu için

a^2 < b^2+c^2

olur; bu da kenarortayın

x > \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}

olmasını gerektirir. Değerler yerine konulduğunda

x > 8.74

bulunur. Üst sınır 12 olduğundan, aralık

(8.74, 12)

olur. Bu aralıktaki tam sayılar 9, 10 ve 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Kenarortay uzunluğu için temel üçgen eşitsizliği aralığını belirle.

\frac{|15-9|}{2} < x < \frac{15+9}{2} \Rightarrow \frac{6}{2} < x < \frac{24}{2} \Rightarrow 3 < x < 12

Bir üçgende kenarortay uzunluğu

x

, komşu kenarların farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.

2

Açının dar açı (

m(\widehat{A}) < 90^\circ

) olma şartını kenarortay formülüyle ilişkilendir.

2x^2 = b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2}

ve

a^2 < b^2 + c^2

(dar açı) olduğu için,

x^2 > \frac{b^2+c^2}{4}

eşitsizliği elde edilir.

Dar açılı üçgende kenarortayın karesi, komşu kenarların kareleri toplamının dörtte birinden büyüktür (

x > \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{2}

).

3

Verilen değerleri eşitsizliğe uygula ve alt sınırı hesapla.

x > \frac{\sqrt{9^2 + 15^2}}{2} = \frac{\sqrt{81 + 225}}{2} = \frac{\sqrt{306}}{2} \approx \frac{17.49}{2} \approx 8.74

Sayısal kısıtlamayı bulmak için.

4

İki eşitsizliği birleştirip tam sayı değerlerini say.

Genel aralık:

3 < x < 12

. Açı kısıtı:

x > 8.74

. Kesişim:

8.74 < x < 12

. Tam sayılar: 9, 10, 11.

Her iki şartı da sağlayan değerler çözüm kümesidir.

Anahtar Kavram

Üçgende Kenarortay ve Açı İlişkisi

Soru 271Soru →

Bir fabrikadaki üretim bandında, yarıçapları $4$ cm olan üç adet eş dairesel makara, merkezleri bir eşkenar üçgenin köşeleri olacak şekilde birbirine dıştan teğet olarak monte edilmiştir. Bu makaraları dıştan saran ve gevşeklik payı olmayan gergin bir kayışın uzunluğu en az kaç cm'dir?

12 + 8\pi

24 + 4\pi

24 + 8\pi

24 + 12\pi

48 + 8\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $24 + 8\pi$

Cevap

Kayışın toplam uzunluğu

24 + 8\pi

cm'dir.

Kayışın uzunluğu, çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruların uzunlukları toplamı ile bir tam çemberin çevresinin toplamına eşittir. Yarıçap

r=4

cm olduğundan, düz kısımlar

3 \times (4+4) = 24

cm, eğrisel kısımlar ise

2\pi(4) = 8\pi

cm eder. Toplam uzunluk

24 + 8\pi

cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Makaraların merkezlerini birleştirerek oluşan geometrik şekli ve kenar uzunluklarını belirle.

Merkezler birleştirildiğinde, her bir kenarı

2r = 4 + 4 = 8

cm olan bir eşkenar üçgen oluşur.

Makaralar birbirine teğet olduğu için merkezler arası mesafe yarıçapların toplamına eşittir.

2

Kayışın düz (doğrusal) kısımlarının toplam uzunluğunu hesapla.

3 adet düz kısım vardır ve her biri merkezler arası mesafeye eşittir.

3 \times 8 = 24

cm.

Kayışın makaralara değdiği noktalardan çizilen teğetler, merkezler arası doğru parçalarına paralel dikdörtgenler oluşturur.

3

Kayışın eğrisel (yay) kısımlarının toplam açısını ve uzunluğunu hesapla.

Her bir köşedeki yay açısı

360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 60^\circ) = 120^\circ

'dir. Toplam açı

3 \times 120^\circ = 360^\circ

(tam çember). Yay uzunluğu

2\pi r = 2\pi(4) = 8\pi

cm.

Eşkenar üçgenin iç açısı

60^\circ

ve teğetler yarıçapa dik (

90^\circ

) olduğu için geriye

120^\circ

kalır.

4

Düz ve eğrisel kısımları toplayarak sonucu bul.

24 + 8\pi

cm.

Toplam çevre uzunluğu düz parçalar ve yayların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Teğet Çemberler ve Kayış Problemleri

İpuçları

1

Makaraların merkezlerini birleştirerek bir eşkenar üçgen oluşturun.

2

Kayışın makaralara değdiği noktalardan merkezlere yarıçaplar çizin; oluşan dikdörtgenleri fark edin.

3

Düz kısımların toplamı üçgenin çevresine, yayların toplamı ise tam bir çemberin çevresine eşittir.

Daha Fazla Pratik

Farklı yarıçaplı iki makara etrafına sarılan kayışın uzunluğunu soran bir soru çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 272Soru →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir. $|AB| = |AD| = 10$ cm, $|BD| = 12$ cm ve $|DC| = 4$ cm olarak verilmiştir.

Buna göre, $ADC$ üçgeninin alanı kaç santimetrekaredir?

12

16

32

48

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16 santimetrekaredir

Verilen

|AB|=|AD|=10

cm bilgisi,

ABD

üçgeninin ikizkenar olduğunu gösterir. İkizkenar üçgende tabana (

BD=12

cm) indirilen dikme, tabanı ikiye böler (

6

ve

6

). Pisagor bağıntısı ile yükseklik

\sqrt{10^2-6^2}=8

cm bulunur. Bu yükseklik aynı zamanda sorulan

ADC

üçgeninin

|DC|=4

cm'lik tabanına ait yüksekliktir. Alan formülü ile

\frac{4 \cdot 8}{2} = 16

cm² elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABD üçgeninin ikizkenar olduğunu fark et (

|AB|=|AD|=10

) ve A noktasından BD kenarına dikme (yükseklik) indir.

İndirilen yükseklik [AH], BD tabanını iki eş parçaya böler:

|BH| = |HD| = 12 / 2 = 6

cm.

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.

2

Pisagor bağıntısını kullanarak yüksekliği (

h

) hesapla.

AHD dik üçgeninde:

h^2 + 6^2 = 10^2 \Rightarrow h^2 + 36 = 100 \Rightarrow h^2 = 64 \Rightarrow h = 8

cm.

6-8-10 özel dik üçgeni.

3

ADC üçgeninin alanını hesapla. ADC üçgeninin tabanı

|DC|=4

cm ve yüksekliği (geniş açılı olduğu için dışarıdadır) az önce bulunan

h=8

cm'dir.

Alan(

ADC

) =

\frac{1}{2} \cdot |DC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16

cm².

Üçgende alan = (Taban × Yükseklik) / 2.

Anahtar Kavram

Geniş açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin dış bölgesinde olabilir. Ayrıca, ortak tepe noktasına sahip üçgenlerin yükseklikleri eşittir.

İpuçları

1

Önce

ABD

üçgeninin ikizkenar olduğunu fark edip, bu üçgenin yüksekliğini bulmaya çalışın.

2

ABD

üçgeninde A köşesinden

BD

kenarına bir dikme indirin. Bu dikme

BD

kenarını iki eş parçaya böler.

3

İndirdiğiniz dikme 8 cm uzunluğundadır (6-8-10 üçgeni). Bu dikme aynı zamanda

ADC

üçgeninin de yüksekliğidir. Tabanı 4 cm alarak alanı hesaplayın.

Alternatif Yöntem

Alanlar oranı tabanlar oranına eşittir. Alan(ABD) / Alan(ADC) = |BD| / |DC| = 12/4 = 3. Önce ABD alanı bulunur (48), sonra 3'e bölünür: 48/3 = 16.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 273Soru →

Aşağıda verilen dik üçgen modelinde dik kenar uzunlukları $|AB| = 8$ cm ve $|BC| = 15$ cm olarak verilmiştir. $[AB] \perp [BC]$ olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu ( $|AC|$ ) kaç santimetredir?

17

13

23

25

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 17 santimetredir.

Pisagor teoremi gereğince, dik kenarları 8 cm ve 15 cm olan bir üçgende hipotenüs uzunluğu

c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289

denklemiyle bulunur. 289 sayısının karekökü 17 olduğu için en uzun kenar 17 cm'dir. Bu durum geometride '8-15-17 özel üçgeni' olarak bilinir.

Adım Adım Çözüm

1

Dik üçgenin kenarları arasındaki Pisagor bağıntısını yazın.

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2

Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyun.

8^2 + 15^2 = |AC|^2

Soruda

|AB| = 8

ve

|BC| = 15

olarak verilmiştir.

3

Sayıların karelerini hesaplayın ve toplayın.

64 + 225 = 289

İşlemler:

8 \times 8 = 64

ve

15 \times 15 = 225

.

4

Toplamın karekökünü alarak hipotenüs uzunluğunu bulun.

\sqrt{289} = 17

17 \times 17 = 289

olduğu için

|AC| = 17

cm bulunur.

Anahtar Kavram

Pisagor Bağıntısı ve 8-15-17 Özel Üçgeni

İpuçları

1

Dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi bulmak için Pisagor bağıntısını (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanmalısınız.

2

Kenar uzunlukları 8 ve 15 olan sayıların karelerini hesaplayıp toplayın.

3

64 + 225 = 289

işleminin sonucunun hangi sayının karesi olduğunu düşünün.

Daha Fazla Pratik

Hipotenüsü 25 cm ve bir dik kenarı 7 cm olan bir dik üçgenin diğer dik kenarını bulmaya çalışarak özel üçgen bilginizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Geometride sıkça kullanılan tam sayılı özel üçgenleri (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25) ezberlemek, sınavda işlem yapmadan hızlıca sonuca ulaşmanızı sağlar.

Tahmini Süre:45s

Soru 274Soru →

Aşağıdaki şekilde $ABC$ ve $ACD$ üçgenleri $[AC]$ kenarı boyunca birleştirilmiştir. $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 8$ cm ve $|CD| = 5$ cm'dir. Şekilde $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ ve $m(\widehat{ACD}) > 90^\circ$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $|AD| = x$ uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

5

6

7

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

x'in alabileceği 7 farklı tam sayı değeri vardır.

Soruda verilen iki geniş açı şartı adım adım uygulanmalıdır. İlk olarak

ABC

üçgeninde

B

açısı

90^\circ

'den büyük olduğu için

|AC|

kenarı

6-8-10

üçgeninden dolayı

10

'dan büyük olmalıdır; aynı zamanda üçgen eşitsizliğinden

14

'ten küçüktür (

10 < |AC| < 14

). İkinci adımda,

ACD

üçgeninde

C

açısı

90^\circ

'den büyük olduğu için hipotenüs konumundaki

x

, dik kenarların kareleri toplamından büyük olmalıdır (

x^2 > |AC|^2 + 5^2

).

|AC|

'nin en küçük değeri

10

'dan büyük olduğu için,

x^2 > 100 + 25 = 125

bulunur, yani

x > \sqrt{125} \approx 11.18

. Üst sınır ise üçgen eşitsizliğinden

x < |AC| + 5 < 14 + 5 = 19

olur. Bu durumda

11.18 < x < 19

aralığındaki tam sayılar

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

olmak üzere 7 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk olarak ABC üçgeninde verilen geniş açı şartını ve üçgen eşitsizliğini kullanarak ortak kenar AC'nin aralığını belirle.

10 < |AC| < 14

m(B) > 90 olduğundan |AC| > √(6² + 8²) = 10 ve üçgen eşitsizliğinden |AC| < 6 + 8 = 14.

2

ACD üçgeni için geniş açı şartını (m(C) > 90) kullanarak x için alt sınırı belirle.

x > √125 (yaklaşık 11.18)

m(ACD) > 90 ise x² > |AC|² + |CD|² olur. |AC| > 10 olduğundan |AC|² > 100 ve x² > 100 + 25 = 125.

3

ACD üçgeni için üçgen eşitsizliğini kullanarak x için üst sınırı belirle.

x < 19

x < |AC| + |CD| olmalıdır. |AC| < 14 olduğundan x < 14 + 5 = 19.

4

Bulunan alt ve üst sınırlar arasındaki tam sayıları listele ve say.

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 (Toplam 7 adet)

11.18 < x < 19 aralığındaki tam sayılar.

Anahtar Kavram

İki üçgenin ortak kenarı üzerinden, geniş açı kısıtlamaları ile kenar uzunluklarının aralığının bulunması.

İpuçları

1

Önce

ABC

üçgeninde Pisagor bağıntısını referans alarak

|AC|

kenarının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

2

|AC|

kenarının 10'dan büyük olduğunu bulduktan sonra, bu bilgiyi

ACD

üçgenindeki geniş açı eşitsizliğinde (

x^2 > |AC|^2 + 5^2

) yerine koyunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir açısı dar açı (<90) olarak verilen iki üçgenli bir soru çözerek aradaki farkı pekiştiriniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 275Soru →

$ABCD$ bir paralelkenardır. Şekilde $m(\widehat{A}) = 110^\circ$ olarak verildiğine göre, $B$ açısının ölçüsü ( $m(\widehat{B})$ ) kaç derecedir?

70^\circ

80^\circ

110^\circ

120^\circ

180^\circ

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $70^\circ$

Cevap

Verilen paralelkenarda

B

açısının ölçüsü

70^\circ

derecedir.

Paralelkenar geometrik özelliğine göre, paralel kollar arasında kalan komşu iç açıların toplamı

180^\circ

derecedir. Soruda

A

açısı

110^\circ

olarak verildiği için, onunla komşu olan

B

açısını bulmak için bütünler açı mantığıyla

180^\circ

'den

110^\circ

çıkarılır. Yapılan

180 - 110

işlemi sonucunda doğru cevap

70^\circ

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Paralelkenarın açılarla ilgili temel özelliğini hatırla.

Paralelkenarda ardışık (bir kenarın uçlarında bulunan) iki iç açının toplamı her zaman

180^\circ

derecedir.

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğu için

[AD] \parallel [BC]

durumu karşı durumlu açılar oluşturur ve bu açıların toplamı

180^\circ

olur.

2

Bilinmeyen açıyı bulmak için çıkarma işlemini uygula.

m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ

denkleminden

110^\circ + m(\widehat{B}) = 180^\circ

yazılır. Buradan

m(\widehat{B}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ

bulunur.

A

ve

B

açıları ardışık açılar olduğundan toplamları

180^\circ

olmalıdır.

Anahtar Kavram

Paralelkenarda ardışık (komşu) açıların toplamı

180^\circ

derecedir.

İpuçları

1

Paralelkenarda yan yana gelen (ardışık) iki açının toplamı kaç derecedir?

2

Paralelkenarda karşılıklı kenarlar paraleldir. Bu durum, komşu açıların birbirini

180^\circ

'ye tamamlamasını sağlar.

3

180^\circ

dereceden verilen

110^\circ

derecelik açıyı çıkararak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Paralelkenarda karşılıklı açıların (örneğin

A

ve

C

) eşitliği ile ilgili soruları inceleyerek pekiştirme yapabilirsin.

Tahmini Süre:45s

Soru 276Soru →

Taban yarıçapı $4\text{ cm}$ ve yüksekliği $10\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun hacmi kaç $\text{cm}^3$ olur? ( $\pi = 3$ alınız.)

120

160

240

480

960

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 480

Cevap

Dik dairesel silindirin hacmi

480\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Dik dairesel silindirin hacmi

V = \pi r^2 h

formülü ile hesaplanır. Yarıçapı

4\text{ cm}

, yüksekliği

10\text{ cm}

olan ve

\pi

sayısı

3

alınan bu silindirde;

V = 3 \times 4^2 \times 10 = 3 \times 16 \times 10 = 480\text{ cm}^3

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Silindir hacim formülünün belirlenmesi

V = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} = \pi r^2 h

Dik dairesel silindirin hacmi, tabanını oluşturan dairenin alanı ile silindirin yüksekliğinin çarpımına eşittir.

2

Verilen değerlerin formülde yerine yazılması

r = 4

,

h = 10

,

\pi = 3

için

V = 3 \times 4^2 \times 10

Soruda verilen yarıçap, yükseklik ve

\pi

değerleri hacim formülüne yerleştirilir.

3

Matematiksel işlemlerin tamamlanması

V = 3 \times 16 \times 10 = 480\text{ cm}^3

Önce yarıçapın karesi alınır, ardından tüm katsayılar çarpılarak toplam hacim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Dik Dairesel Silindirin Hacmi

İpuçları

1

Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.

2

Taban alanı bir dairedir ve

\pi r^2

formülüyle hesaplanır.

3

V = \pi r^2 h

formülünde

r=4

,

h=10

ve

\pi=3

değerlerini kullanarak sonucu bulabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı sabit tutup yüksekliği iki katına çıkardığımızda hacmin nasıl değişeceğini inceleyebilirsin.

Tahmini Süre:45s

Soru 277Soru →

Ölçüleri $m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeni çiziliyor. Bu üçgende $A$ köşesinden $[BC]$ hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı $H$ , hipotenüse ait $[AD]$ kenarortayının hipotenüsü kestiği nokta ise $D$ olarak işaretleniyor.

$|AB| = 12$ cm olduğuna göre, $H$ ve $D$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|HD|$ ) kaç cm'dir?

12

6\sqrt{3}

6

18

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

H ve D noktaları arasındaki uzaklık 6 cm'dir.

Verilen

ABC

üçgeninde hipotenüs uzunluğu 24 cm olarak hesaplanır. Hipotenüse ait kenarortay noktası

D

,

B

köşesinden 12 cm uzaklıktadır.

A

köşesinden inen yüksekliğin ayağı olan

H

noktası ise

ABH

(

30-60-90

) üçgeni gereği

B

köşesinden 6 cm uzaklıktadır. Bu durumda iki nokta arasındaki mesafe olan 6 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninin bilinmeyen açılarını ve kenar uzunluklarını belirleyin.

m(\widehat{B}) = 60^\circ

ve

|BC| = 2 \times 12 = 24

cm.

Bir dik üçgende açılar toplamı

180^\circ

olduğundan

B

açısı

60^\circ

olur.

30-60-90

üçgeninde hipotenüs,

30^\circ

karşısındaki kenarın iki katıdır.

2

Kenarortay noktasının (

D

) konumunu tespit edin.

|BD| = |DC| = 12

cm.

Kenarortay, hipotenüsü iki eşit parçaya böler.

3

ABH

dik üçgeninde yüksekliğin ayağı olan

H

noktasının konumunu hesaplayın.

|BH| = |AB| / 2 = 6

cm.

ABH

üçgeni de bir

30-60-90

üçgenidir (

m(\widehat{BAH})=30^\circ

);

30^\circ

karşısındaki

|BH|

kenarı hipotenüs

|AB|

'nin yarısıdır.

4

H

ve

D

noktaları arasındaki farkı bulun.

|HD| = |BD| - |BH| = 12 - 6 = 6

cm.

B, H

ve

D

noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan aralarındaki mesafe farkları ile bulunur.

Anahtar Kavram

Dik üçgende 30-60-90 özel açılı üçgen bağıntıları ile muhteşem üçlü ve yükseklik özellikleri.

İpuçları

1

ABC

üçgeninin iç açılarından faydalanarak

B

açısının kaç derece olduğunu bulun.

2

30-60-90 üçgeni kuralını kullanarak önce hipotenüsü (

|BC|

), ardından

ABH

üçgeninde

|BH|

uzunluğunu hesaplayın.

3

|BC|

'nin tam orta noktasının

D

olduğunu ve

B

köşesine uzaklığının

|BC|/2

olduğunu unutmayın.

|HD| = |BD| - |BH|

işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Aynı soruyu

|AB|

yerine

|AC|

kenarı verildiğinde tekrar çözerek özel üçgenlerdeki oran hakimiyetinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

|AC| = 12\sqrt{3}

cm olarak bulunur.

AHC

dik üçgeninde

|HC| = |AC| \cdot \cos(30^\circ) = 12\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) = 18

cm hesaplanır.

|CD| = 12

cm olduğundan,

|HD| = |HC| - |CD| = 18 - 12 = 6

cm sonucuna varılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 278Soru →

$ABCD$ bir paralelkenar olmak üzere, $E \in [DC]$ ve $F \in [BC]$ noktaları işaretlenmiştir. $|EC| = 2|DE|$ ve $|BF| = 3|FC|$ eşitlikleri verilmiştir. $Alan(ABCD) = 120$ cm² olduğuna göre, $Alan(AEF)$ kaç cm²'dir?

30

40

45

50

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Şekildeki dış üçgenlerin alanları toplamı olan 75 cm², paralelkenarın toplam alanı olan 120 cm²'den çıkarıldığında

Alan(AEF)

45 cm² olarak bulunur.

Paralelkenarın köşelerinde oluşan

ADE

,

ECF

ve

ABF

üçgenlerinin alanları, paralelkenarın toplam alanına oranlanarak hesaplanır. Bu oranlar sırasıyla

1/6

,

1/12

ve

3/8

olup, 120 cm² üzerinden değerleri 20, 10 ve 45 cm²'dir. Toplam 75 cm² olan bu alanlar 120'den çıkarıldığında sonuç 45 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ADE

üçgeninin alanını hesapla.

Alan(ADE) = 20

cm²

DE = \frac{1}{3} DC

olduğundan

Alan(ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{1}{3} CD \cdot \sin(D) = \frac{1}{6} Alan(ABCD) = \frac{120}{6} = 20

cm².

2

ECF

üçgeninin alanını hesapla.

Alan(ECF) = 10

cm²

EC = \frac{2}{3} CD

ve

CF = \frac{1}{4} BC

olduğundan

Alan(ECF) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} CD \cdot \frac{1}{4} BC \cdot \sin(C) = \frac{1}{12} Alan(ABCD) = \frac{120}{12} = 10

cm².

3

ABF

üçgeninin alanını hesapla.

Alan(ABF) = 45

cm²

BF = \frac{3}{4} BC

olduğundan

Alan(ABF) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{3}{4} BC \cdot \sin(B) = \frac{3}{8} Alan(ABCD) = \frac{3}{8} \cdot 120 = 45

cm².

4

Toplam alandan dış üçgenleri çıkar.

45 cm²

Alan(AEF) = Alan(ABCD) - [Alan(ADE) + Alan(ECF) + Alan(ABF)] = 120 - [20 + 10 + 45] = 120 - 75 = 45

cm².

Anahtar Kavram

Paralelkenarda alan parçalama ve üçgenin alanı ile paralelkenarın alanı arasındaki ilişki.

İpuçları

1

Paralelkenarın alanını, köşelerdeki üçgenlerin alanlarını bulup toplam alandan çıkararak sonuca ulaşabilirsiniz.

2

Bir üçgenin alanı, iki kenarı ve aralarındaki açının sinüsü çarpımının yarısıdır. Paralelkenarın alanı ise kenar çarpımları ve açının sinüsüdür.

3

Alan(ABF) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BF| \cdot \sin(B)

formülünde

|BF| = \frac{3}{4} |BC|

yazarak paralelkenar alanıyla ilişki kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu bir dikdörtgen içinde alan oranları vererek çözmeyi deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 279Soru →

Taban yarıçapı $6$ cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kapta bir miktar su bulunmaktadır. Bu kabın içine, suda tamamen batan bir metal küre atıldığında su seviyesi $2$ cm yükselmektedir.

Buna göre, suya atılan kürenin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

24\pi

36\pi

48\pi

72\pi

144\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $72\pi$

Cevap

Cismin hacmi suyun yükselen kısmının hacmine eşittir, bu da

72\pi

\text{cm}^3

tür.

Suda tamamen batan bir cismin hacmi, yükselen suyun hacmine eşittir. Yükselen su, taban yarıçapı

6

cm ve yüksekliği

2

cm olan bir silindir formundadır. Bu hacim

\pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 2 = 72\pi

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Suyun içerisine atılan batan cismin hacminin, yer değiştiren (yükselen) suyun hacmine eşit olduğunu belirle.

V_{\text{cisim}} = V_{\text{yükselen su}}

Arşimet prensibi gereği, tamamen batan bir cisim kendi hacmi kadar sıvı taşırır veya yükseltir.

2

Yükselen suyun hacmini, taban yarıçapı

r=6

cm ve yükseklik

h=2

cm olan silindir hacim formülü ile hesapla.

V = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 2

Silindirin hacim formülü

V = \pi r^2 h

şeklindedir.

3

İşlemleri tamamla.

V = \pi \cdot 36 \cdot 2 = 72\pi

Çarpma işlemi uygulanır.

Anahtar Kavram

Sıvı içerisine batırılan cismin hacmi, sıvıda meydana getirdiği hacim değişimine (yükselmesine) eşittir.

İpuçları

1

Tamamen batan cisim, kendi hacmi kadar suyun yerini değiştirir.

2

Yükselen suyun şekli, kabın şekliyle aynıdır (silindir). Yükselen kısmın hacmini hesaplamalısınız.

3

Yarıçapı

6

cm ve yüksekliği

2

cm olan silindirin hacim formülünü (

V=\pi r^2 h

) kullanınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kap için çözmeyi deneyiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 280Soru →

Bir geometri öğretmeni, tahtaya çizdiği $ABC$ üçgeni için aşağıdaki bilgileri vermiştir:

* $|AB| = 6$ cm
* $|AC| = 10$ cm
* $60^\circ < m(\widehat{BAC}) < 120^\circ$

Buna göre, $|BC|$ kenar uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

4

5

6

7

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgende bir açının ölçüsü ile karşısındaki kenar uzunluğu doğru orantılı değişir. Verilen açının sınır değerleri (

60^\circ

ve

120^\circ

) için kenar uzunlukları hesaplanarak

|BC|

'nin alabileceği değer aralığı bulunur.

m(\widehat{A})=60^\circ

için

|BC|=\sqrt{76} \approx 8.7

,

m(\widehat{A})=120^\circ

için

|BC|=14

bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 9, 10, 11, 12 ve 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Açının sınır değerleri için

|BC|

uzunluğunu hesapla (

m(\widehat{A}) = 60^\circ

durumu).

x^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 100 - 60 = 76 \Rightarrow x = \sqrt{76}

Kosinüs teoremi veya özel üçgen yardımıyla alt sınır belirlenir.

2

Açının sınır değerleri için

|BC|

uzunluğunu hesapla (

m(\widehat{A}) = 120^\circ

durumu).

x^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ) = 136 - 120(-1/2) = 196 \Rightarrow x = 14

Kosinüs teoremi yardımıyla üst sınır belirlenir.

3

Elde edilen aralıktaki tam sayıları listele.

Sınırlar:

\sqrt{76} < |BC| < 14

.

\sqrt{76} \approx 8.7

olduğundan, tam sayılar:

9, 10, 11, 12, 13

.

Eşitsizlik aralığındaki tam sayı değerleri tespit edilir.

4

Bulunan tam sayıların adedini say.

Toplam 5 adet değer vardır.

Sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Üçgende açı büyüdükçe karşısındaki kenar da büyür ilkesi ve Kosinüs Teoremi sınırları.

İpuçları

1

Bir üçgende açı büyüdükçe karşısındaki kenar uzunluğu da artar. Sınır değerleri olan

60^\circ

ve

120^\circ

için

|BC|

uzunluğunun ne olacağını düşünün.

2

Eğer açı tam

60^\circ

olsaydı, karşısındaki kenarı bulmak için

A

köşesinden dik indirebilirdiniz veya Kosinüs Teoremini (

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

) kullanabilirdiniz.

3

60^\circ

için

|BC|^2 = 6^2+10^2 - 60 = 76

ve

120^\circ

için

|BC|^2 = 6^2+10^2 + 60 = 196

olur.

|BC|

bu iki değerin karekökü arasındadır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla,

90^\circ < m(\widehat{A}) < 135^\circ

aralığı için soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Dik üçgen oluşturma yöntemi:

A

köşesinden

AC

üzerine dik inilerek (veya dışarıya uzatılarak) oluşan

30-60-90

üçgenleri yardımıyla da kenar uzunlukları hesaplanabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik