Layer 1

Soru 241Soru →

Karayolları Genel Müdürlüğü tarafından hazırlanan dairesel bir trafik levhasının yarıçapı $|OA| = 10$ cm'dir. Buna göre, bu levhanın çevre uzunluğu kaç cm'dir? ( $\pi = 3$ alınız.)

30

60

100

120

300

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Dairenin çevre uzunluğu 60 cm'dir.

Dairenin çevre uzunluğu

2 \cdot \pi \cdot r

formülü ile hesaplanır. Verilen

r = 10

cm ve

\pi = 3

değerleri formüle yerleştirildiğinde

2 \cdot 3 \cdot 10 = 60

cm sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Çemberin çevre formülünü belirle.

Çevre = 2 \cdot \pi \cdot r

Dairenin çevresini hesaplamak için standart çevre formülü kullanılır.

2

Soruda verilen değerleri (

\pi = 3

ve

r = 10

) formülde yerine yaz.

Çevre = 2 \cdot 3 \cdot 10

Yarıçap (r) 10 cm ve sabit sayı (

\pi

) 3 olarak verilmiştir.

3

Çarpma işlemini gerçekleştir.

6 \cdot 10 = 60

cm

İşlem önceliğine göre çarpma işlemi yapılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dairenin Çevre Hesaplaması

İpuçları

1

Çemberin çevresini bulmak için yarıçap (r) ve pi (

\pi

) sayılarını kullanmalısın.

2

Kullanman gereken formül

2 \cdot \pi \cdot r

şeklindedir.

3

\pi

yerine 3,

r

yerine 10 yazarak

2 \cdot 3 \cdot 10

işlemini yapmalısın.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı 10 cm olan bu aynı levhanın yüzey alanını hesaplayarak aradaki farkı görebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eğer çap verilmiş olsaydı, çevre formülünü

Ç = \pi \cdot R

(burada R çaptır) şeklinde de kullanabilirdiniz. Yarıçap 10 cm ise çap 20 cm'dir,

3 \cdot 20 = 60

cm sonucuna yine ulaşılırdı.

Tahmini Süre:45s

Soru 242Soru →

Dik koordinat düzleminde noktaların eksenler üzerindeki yerleşimi, o noktanın koordinat değerlerinden en az birinin sıfır olmasıyla belirlenir. $A(a-3, 4)$ noktası $y$ ekseni üzerinde, $B(-2, b+5)$ noktası ise $x$ ekseni üzerindedir. Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

-8

-2

0

2

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2$

Cevap

Verilen noktaların eksenler üzerindeki konumlarına göre koordinatları sıfıra eşitlenerek bulunan

a=3

ve

b=-5

değerlerinin toplamı olan

-2

cevabı doğrudur.

Analitik düzlemde bir nokta

y

ekseni üzerindeyse bu noktanın apsis değeri

0

olmalıdır. Dolayısıyla

a-3=0

eşitliğinden

a=3

bulunur. Aynı şekilde, bir nokta

x

ekseni üzerindeyse ordinat değeri

0

olmalıdır; bu durumda

b+5=0

eşitliğinden

b=-5

elde edilir. Bu iki değer toplandığında

3 + (-5) = -2

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

A(a-3, 4)

noktasının

y

ekseni üzerinde olma şartını uygula.

a - 3 = 0 \implies a = 3

y

ekseni üzerindeki tüm noktaların apsis (

x

) değeri

0

'dır.

2

B(-2, b+5)

noktasının

x

ekseni üzerinde olma şartını uygula.

b + 5 = 0 \implies b = -5

x

ekseni üzerindeki tüm noktaların ordinat (

y

) değeri

0

'dır.

3

Bulunan

a

ve

b

değerlerini topla.

3 + (-5) = -2

Soruda bizden istenen

a + b

toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde eksenler üzerindeki noktaların koordinat özellikleri (

x

ekseni için

y=0

,

y

ekseni için

x=0

).

İpuçları

1

y

ekseni üzerinde bulunan bir noktanın

x

koordinatı (apsisi) her zaman sıfırdır.

2

B

noktası

x

ekseni üzerinde olduğuna göre, parantez içindeki ikinci değer olan

b+5

ifadesini sıfıra eşitleyiniz.

3

a-3=0

ve

b+5=0

denklemlerinden

a

ve

b

sayılarını çekip, ardından bu iki sayıyı toplayarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Noktaların eksenlere olan uzaklıkları sorulsaydı mutlak değer kullanmanız gerekeceğini unutmayın.

Tahmini Süre:45s

Soru 243Soru →

Şekildeki $ABCD$ dörtgeninde $C$ noktası $ABD$ üçgeninin iç bölgesindedir. $m(\widehat{BAD}) = 80^\circ$ ve $m(\widehat{BCD}) = 140^\circ$ dir. $[BK]$ ve $[DK]$ sırasıyla $\widehat{ABC}$ ve $\widehat{ADC}$ açılarının açıortayları olup $K$ noktasında kesişmektedir. Buna göre, $BKD$ üçgeninin $K$ köşesine ait dış açısının ölçüsü kaç derecedir?

55

60

70

80

110

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

BKD üçgeninin K köşesindeki dış açısı 70 derecedir.

İçbükey dörtgende (roket kuralı) taban açılarının açıortayları arasındaki açı, diğer iki açının aritmetik ortalamasıdır.

\frac{80+140}{2} = 110^\circ

bulunur. Soruda bu açının dış açısı istendiğinden,

180 - 110 = 70^\circ

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

İçbükey dörtgen (roket/şalvar) kuralı ve açıortay özelliği arasındaki ilişkiyi hatırla.

m(\widehat{BKD}) = \frac{m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{BCD})}{2}

formülü kullanılır.

İçbükey bir dörtgende taban açılarının açıortaylarının kesişim açısı, tepe açısı ile içbükey açının aritmetik ortalamasına eşittir.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyarak

K

noktasındaki iç açıyı hesapla.

m(\widehat{BKD}) = \frac{80 + 140}{2} = \frac{220}{2} = 110^\circ

.

Aritmetik ortalama hesabı.

3

Bulunan iç açının bütünleri olan dış açıyı hesapla.

180^\circ - 110^\circ = 70^\circ

.

Bir üçgenin bir köşesindeki iç açı ile dış açının toplamı

180^\circ

dir (doğru açı).

Anahtar Kavram

İçbükey Dörtgen ve Açıortay İlişkisi

İpuçları

1

İçbükey dörtgenin (roket şekli) iç açılarının toplamı ile ilgili kuralı veya açıortay formülünü hatırlayın.

2

Açıortayların kesişimindeki açı (

K

), tepe açısı (

A

) ile içbükey açının (

C

) aritmetik ortalamasıdır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 244Soru →

Bir teknik çizimde $ABC$ üçgeni biçimindeki bir levha üzerinde $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları işaretlenmiştir. $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$ , $|AD| = 4 \text{ cm}$ , $|AE| = 5 \text{ cm}$ ve $|EC| = 3 \text{ cm}$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, $|DB|$ uzunluğu kaç cm'dir?

4

5

6

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Levha üzerindeki

|DB|

uzunluğu 6 cm'dir.

Verilen

ABC

ve

ADE

üçgenlerinde

A

açısı ortak olup

D

ve

C

açılarının ölçüleri eşit verildiğinden, bu üçgenler Açı-Açı kuralına göre benzerdir. Benzerlik oranı kurulduğunda

AD

kenarının

AC

kenarına oranı,

AE

kenarının

AB

kenarına oranına eşittir. Bu oranlardan yola çıkarak

4/8 = 5/(4+|DB|)

denklemi elde edilir ve buradan

|DB| = 6

cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenler arasındaki benzerliği tespit etme

\triangle ADE \sim \triangle ACB

\widehat{A}

açısı her iki üçgen için ortaktır ve soruda

m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})

olarak verilmiştir. Açı-Açı (A.A.) benzerlik kuralına göre bu iki üçgen benzerdir.

2

Benzerlik oranını yazma

\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|}

Benzer üçgenlerde eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır.

3

Verilen değerleri yerine koyma ve denklem kurma

\frac{4}{5+3} = \frac{5}{4+|DB|}

|AC| = |AE| + |EC| = 5 + 3 = 8 \text{ cm}

ve

|AB| = |AD| + |DB| = 4 + |DB|

'dir.

4

Denklemi çözme

|DB| = 6

\frac{4}{8} = \frac{5}{4+|DB|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{5}{4+|DB|} \Rightarrow 4 + |DB| = 10 \Rightarrow |DB| = 6 \text{ cm}

bulunur.

Anahtar Kavram

İki üçgende ikişer açının ölçüleri birbirine eşitse, bu üçgenler benzerdir (A.A. Benzerliği). Benzer üçgenlerin kenar uzunlukları arasında sabit bir oran vardır.

İpuçları

1

İki üçgenin açılarını inceleyerek hangi açıların birbirine eşit olduğunu belirleyin.

2

A açısının her iki üçgende de ortak olduğunu fark edin. Bu durumda ADE ve ACB üçgenleri benzerdir.

3

Benzerlik oranını kurarken aynı açının karşısındaki kenarları birbirine oranlayın:

AD/AC = AE/AB

.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı ile alanlar arasındaki ilişkiyi pekiştirmek için bu iki üçgenin alanları oranını (

k^2

) hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Benzerlik oranı

k = 4/8 = 1/2

olarak bulunur. Bu, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin ilgili kenarlarının yarısı olduğu anlamına gelir.

AE = 5

ise, bu kenarın karşılık geldiği

AB

kenarı

5 \times 2 = 10

olmalıdır.

AB = 10

ve

AD = 4

olduğundan

|DB| = 10 - 4 = 6

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 245Soru →

Şekildeki $ABCD$ ikizkenar yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ ve $|AD| = |BC|$ 'dir. Köşegenleri birbirine dik kesişen ( $[AC] \perp [BD]$ ) bu yamukta, $C$ köşesinden $[AB]$ kenarına indirilen dikmenin ayağı $H$ noktasıdır. $|AH| = 12$ cm olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç santimetrekaredir?

72

96

108

144

156

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

ABCD yamuğunun alanı 144 cm²'dir.

İkizkenar yamukta

|AH|

uzunluğu orta tabana (

\frac{a+c}{2}

) eşittir. Köşegenler dik kesiştiği için yükseklik de orta tabana eşittir (

h = |AH|

). Alan formülü Orta Taban

\times

Yükseklik olduğundan, Alan =

|AH| \cdot |AH| = 12 \cdot 12 = 144

cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar yamukta

C

noktasından indirilen dikmenin tabanda ayırdığı parçayı analiz et.

|AH|

uzunluğu, yamuğun orta tabanına eşittir:

|AH| = \frac{|AB| + |DC|}{2}

.

İkizkenar yamukta yükseklik çizildiğinde, uzun parça (

AH

) alt ve üst taban toplamının yarısına (orta tabana) eşittir.

2

Köşegenlerin dik kesişmesi özelliğini kullanarak yüksekliği (

h

) belirle.

h = 12

cm.

Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta yükseklik (

h

), orta tabana (

|AH|

) eşittir (

h = \frac{a+c}{2}

).

3

Yamuğun alanını hesapla.

Alan =

144

cm².

Yamuk Alanı = Orta Taban

\times

Yükseklik formülünden:

12 \times 12 = 144

.

Anahtar Kavram

Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta yükseklik, orta tabana eşittir (

h = \frac{a+c}{2}

).

İpuçları

1

İkizkenar yamukta

C

köşesinden indirilen dikmenin ayağı

H

ise,

|AH|

uzunluğu alt ve üst taban toplamının yarısına eşittir.

2

Bir yamuğun alanı (Alt Taban + Üst Taban)/2

\times

Yükseklik formülüyle bulunur.

|AH|

zaten (Alt Taban + Üst Taban)/2 değeridir.

3

Köşegenleri dik kesişen ikizkenar yamukta, yükseklik (

h

) orta tabana (

|AH|

) eşittir. Yani

h=12

cm'dir.

Daha Fazla Pratik

Köşegenleri dik kesişen bir dik yamuk sorusu çözerek

h^2 = a \cdot c

bağıntısını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Köşegenlerin kesişim noktasına

O

deyin. Oluşan

\triangle AOB

ve

\triangle DOC

ikizkenar dik üçgenlerdir. Bu üçgenlerin yükseklikleri toplamı yamuğun yüksekliğini verir ve bu toplam tabanların aritmetik ortalamasına eşittir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 246Soru →

$O$ merkezli ve $5$ birim yarıçaplı bir çemberin dışındaki bir $P$ noktasından çembere $[PA]$ teğeti çizilmiştir. $P$ noktasının çemberin merkezine olan uzaklığı $|OP| = 13$ birimdir. $P$ noktasından geçen bir kesen çemberi $B$ ve $C$ noktalarında kesmektedir. $|PB| = 8$ birim olduğuna göre, $|BC|$ kirişinin uzunluğu kaç birimdir?

6

8

10

12

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

BC kirişinin uzunluğu 10 birimdir.

Verilen bilgilere göre önce

OAP

dik üçgeninden teğet parçasının uzunluğu 12 birim olarak bulunur. Daha sonra teğet-kesen kuvvet özelliği (

|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|

) kullanılarak kesenin tamamı 18 birim hesaplanır. Kiriş uzunluğu için dışarıdaki 8 birimlik parça çıkarıldığında 10 birim sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet noktasına yarıçap çizilmesi

OA \perp PA

ve

|OA| = 5

birimdir.

Bir çemberin teğet noktasına çizilen yarıçap, teğet doğrusuna diktir.

2

OAP

dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanması

|OA|^2 + |PA|^2 = |OP|^2 \Rightarrow 5^2 + |PA|^2 = 13^2 \Rightarrow |PA| = 12

birim.

Teğet parçasının uzunluğunu bulmak için merkez, teğet noktası ve dış nokta arasındaki dik üçgen kullanılır.

3

Çemberde kuvvet (teğet-kesen) bağıntısının uygulanması

|PA|^2 = |PB| \cdot |PC| \Rightarrow 12^2 = 8 \cdot |PC| \Rightarrow 144 = 8 \cdot |PC| \Rightarrow |PC| = 18

birim.

Bir dış noktadan çizilen teğetin karesi, o noktadan geçen kesenin çemberi kestiği noktaların uzaklıkları çarpımına eşittir.

4

|BC|

kiriş uzunluğunun hesaplanması

|BC| = |PC| - |PB| = 18 - 8 = 10

birim.

Kesenin tamamından çemberin dışında kalan parça çıkarılarak kiriş uzunluğu bulunur.

Anahtar Kavram

Çemberde Kuvvet ve Teğet Özellikleri

Soru 247Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 80^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$ olarak verilmiştir. Bu üçgende $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına çizilen $[AH]$ yüksekliği ile $A$ köşesine ait $[AN]$ iç açıortayı arasındaki $m(\widehat{HAN})$ açısı kaç derecedir?

15

20

25

30

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Yükseklik ile iç açıortay arasındaki açı 25 derecedir.

Üçgenin iç açıları toplamından

A

açısı

70^\circ

bulunur. İç açıortay bu açıyı

35^\circ

'lik iki parçaya ayırır. Diğer yandan

A

köşesinden inen yükseklik,

B

açısı

80^\circ

olan dik üçgende

A

köşesinde

10^\circ

'lik bir açı bırakır. Bu iki yardımcı eleman arasındaki fark

25^\circ

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

ABC

üçgeninin iç açıları toplamından

A

açısının ölçüsünü bulalım.

m(\widehat{A}) + 80^\circ + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{A}) = 70^\circ

Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

180^\circ

dir.

2

[AN]

iç açıortayının

A

açısını nasıl böldüğünü belirleyelim.

m(\widehat{BAN}) = 35^\circ

Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya böler (

70^\circ / 2 = 35^\circ

).

3

[AH]

yüksekliğinin

ABH

dik üçgeninde oluşturduğu açıyı bulalım.

m(\widehat{BAH}) = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ

AH \perp BC

olduğundan

ABH

bir dik üçgendir ve dar açılar birbirini

90^\circ

'ye tamamlar.

4

m(\widehat{HAN})

açısını hesaplayalım.

m(\widehat{HAN}) = 35^\circ - 10^\circ = 25^\circ

[AH]

yüksekliği

[AB]

kenarına daha yakın olduğu için

m(\widehat{HAN}) = m(\widehat{BAN}) - m(\widehat{BAH})

olur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik ve iç açıortay arasındaki açının ölçüsü, diğer iki köşedeki açıların ölçüleri farkının yarısına eşittir:

x = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{C})|}{2}

İpuçları

1

Önce üçgenin verilmeyen

A

açısının ölçüsünü bulun.

2

A

köşesinden inen

[AH]

yüksekliğinin

ABH

dik üçgeninde

A

açısının ne kadarını kapladığını hesaplayın.

3

Açıortay

A

açısını iki eş parçaya (

35^\circ

) böler. Bu değer ile yüksekliğin bıraktığı

10^\circ

arasındaki farkı bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer üçgen ikizkenar olsaydı ve

B

ile

C

açıları eşit olsaydı, bu iki yardımcı eleman arasındaki açının kaç derece olacağını düşünebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik formül: Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik ile iç açıortay arasındaki açı, diğer iki açının farkının yarısıdır.

\frac{|80 - 30|}{2} = \frac{50}{2} = 25

derecedir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 248Soru →

Yarıçapı $30 \text{ cm}$ olan bir bisiklet tekerleği, düz bir yolda $5$ tam tur attığında toplam kaç metre yol almış olur? ( $\pi = 3$ alınız.)

4,5

9

18

27

90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Tekerleğin aldığı toplam yol 9 metredir.

Tekerleğin bir tam turda aldığı yol çevresine (

2\pi r

) eşittir. Yarıçapı

30 \text{ cm}

olan tekerleğin çevresi

2 \times 3 \times 30 = 180 \text{ cm}

olur.

5

tur sonunda tekerlek

180 \times 5 = 900 \text{ cm}

yol alır. Bu değer metreye çevrildiğinde

9 \text{ metre}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tekerleğin bir tam turda ne kadar yol aldığını bulmak için çevresini hesaplayın.

C = 2 \times \pi \times r = 2 \times 3 \times 30 = 180 \text{ cm}

Bir tekerlek bir tam tur attığında çevresi kadar yol alır.

2

Tekerleğin

5

tam turda aldığı toplam yolu santimetre cinsinden hesaplayın.

180 \times 5 = 900 \text{ cm}

Toplam yol, bir turdaki yol ile tur sayısının çarpımıdır.

3

Bulunan santimetre cinsinden değeri metreye çevirin.

900 \text{ cm} = 9 \text{ metre}

1 \text{ metre} = 100 \text{ cm}

olduğu için değer 100'e bölünür.

Anahtar Kavram

Dairenin çevresi ve tekerlek problemlerinde alınan yol ilişkisi

İpuçları

1

Bir tekerleğin bir turda aldığı yol, o tekerleğin çevresine eşittir.

2

Çemberin çevresini hesaplamak için

2 \cdot \pi \cdot r

formülünü kullanın.

3

Toplam yolu bulduktan sonra santimetreyi metreye çevirmek için sonucu 100'e bölmeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir soruda alanı verilen bir dairenin çevresi üzerinden tekerlek tur sayısı hesabı yaparak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce

1

turda alınan yolu metreye çevirip sonra tur sayısıyla çarpabilirsiniz:

180 \text{ cm} = 1,8 \text{ metre}

. Toplam yol

= 1,8 \times 5 = 9 \text{ metre}

.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 249Soru →

Bir $ABC$ üçgeninin iç açılarının ölçüleri $m(\widehat{A}) = 80^\circ$ , $m(\widehat{B}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{C}) = 40^\circ$ olarak belirlenmiştir. Bu üçgenin kenar uzunlukları $a, b$ ve $c$ birim olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdagilerden hangisidir?

a > b > c

c > b > a

b > a > c

a > c > b

b > c > a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a > b > c$

Cevap

Kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama en büyükten en küçüğe

a > b > c

şeklindedir.

Üçgende temel kural gereği, en büyük açının karşısında en uzun kenar, en küçük açının karşısında ise en kısa kenar bulunur. Verilen açılar

80^\circ, 60^\circ

ve

40^\circ

şeklinde sıralandığı için, bu açıların karşısındaki

a, b

ve

c

kenarları da

a > b > c

şeklinde sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin iç açılarının ölçülerini karşılaştırın.

80^\circ > 60^\circ > 40^\circ

Kenar uzunluklarını sıralamak için önce karşılarındaki açıların büyüklüklerini belirlememiz gerekir.

2

Açı-kenar bağıntısı kuralını uygulayın.

m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) \Rightarrow a > b > c

Bir üçgende daha büyük olan açının karşısındaki kenar, daha küçük olan açının karşısındaki kenardan daha uzundur.

Anahtar Kavram

Üçgende bir açının ölçüsü büyüdükçe, o açının karşısındaki kenarın uzunluğu da artar (Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur).

İpuçları

1

Üçgenin iç açılarını en büyükten en küçüğe doğru sıralayarak başlayın.

2

Unutmayın: Bir üçgende bir açı ne kadar büyükse, o açının tam karşısındaki kenar da o kadar uzundur.

3

80^\circ

lik açının karşısında

a

kenarı,

60^\circ

lik açının karşısında

b

kenarı ve

40^\circ

lik açının karşısında

c

kenarı bulunmaktadır.

Daha Fazla Pratik

Farklı açılara sahip bir geniş açılı üçgende kenar sıralaması yaparak bu kuralı pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 250Soru →

Bir harita mühendisi, $ABC$ üçgeni şeklindeki bir araziyi, $[AB]$ kenarı üzerindeki $D$ ve $[AC]$ kenarı üzerindeki $E$ noktalarından geçen doğrusal bir hat ile iki bölgeye ayırmıştır. Yapılan ölçümlerde $m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC})$ olduğu ve $ADE$ üçgensel bölgesinin alanının, $BCED$ dörtgensel bölgesinin alanına oranının $\frac{4}{21}$ olduğu belirlenmiştir. Arazide $|AD| + |AE| = 140$ metre ve $|AB| - |AC| = 50$ metre olduğuna göre, $|DB|$ uzunluğu kaç metredir?

70

100

120

140

200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

140 metre

Verilen açı eşitliği (

m(\widehat{AED}) = m(\widehat{B})

), üçgenlerin antiparallel bir kesimle benzer olduğunu gösterir (

\Delta ADE \sim \Delta ACB

). Alanlar oranı

\frac{4}{25}

olduğundan benzerlik oranı

k=\frac{2}{5}

olur. Bu oran, çapraz kenarlar arasında (

AD

ile

AC

,

AE

ile

AB

) kurulmalıdır. Elde edilen denklem sisteminden

|AB|=200

ve

|AD|=60

bulunur, farkları olan

|DB|=140

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Benzerlik ilişkisini ve türünü belirle.

\Delta ADE

ve

\Delta ACB

üçgenlerinde

\widehat{A}

ortak açı ve

m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC})

olduğundan, A-A benzerlik teoremine göre

\Delta ADE \sim \Delta ACB

dir.

İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir ancak açıların sırası kenar oranları için kritiktir (Antiparalellik).

2

Alan oranından benzerlik oranını (

k

) hesapla.

\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{4S}{4S + 21S} = \frac{4}{25}

. Benzerlik oranı

k = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}

tir.

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2

). Toplam alan

4+21=25

birimdir.

3

Benzerlik oranını kenar uzunlukları ile ilişkilendir.

\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{2}{5}

. Buradan

|AC| = \frac{5}{2}|AD|

ve

|AB| = \frac{5}{2}|AE|

elde edilir.

Benzerlikte eşit açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır:

\widehat{E}

'nin karşısındaki

AD

,

\widehat{B}

'nin karşısındaki

AC

ile orantılıdır.

4

Verilen denklem sistemini kur ve çöz.

|AB| - |AC| = \frac{5}{2}(|AE| - |AD|) = 50 \Rightarrow |AE| - |AD| = 20

. Verilen

|AE| + |AD| = 140

ile birlikte çözüldüğünde:

2|AE| = 160 \Rightarrow |AE|=80

,

|AD|=60

.

İki bilinmeyenli denklem sistemi kullanılarak kenar parçaları bulunur.

5

İstenen uzunluğu hesapla.

|AB| = \frac{5}{2} \cdot 80 = 200

m. İstenen parça

|DB| = |AB| - |AD| = 200 - 60 = 140

m.

Sonuç için bulunan

|AB|

değerinden

|AD|

çıkarılır.

Anahtar Kavram

Benzerlik Oranı ve Alan İlişkisi (Antiparalellik)

İpuçları

1

Üçgenlerde verilen eşit açıları (

m(\widehat{AED}) = m(\widehat{B})

) kullanarak benzerlik kurmaya çalışın. Açıların sırasına dikkat edin.

2

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2

). Toplam alanı düşünerek benzerlik oranını (

k

) bulun.

3

Benzerlik oranı

2/5

tir. Ancak

DE

paralel DEĞİLDİR. Bu yüzden

\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{2}{5}

eşitliğini kullanıp, verilen toplam ve fark denklemlerini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının çevreler oranına eşit olduğu (

k

), ancak alanlar oranının karesine eşit olduğu (

k^2

) durumları pekiştiren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sinüs alan formülü kullanılarak da oranlar yazılabilir:

\text{Alan}(ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin A

ve

\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A

. Taraf tarafa oranlandığında

\frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \frac{4}{25}

bulunur. Benzerlikten gelen

AB = \frac{AE}{k}

ve

AC = \frac{AD}{k}

yerine yazılarak da aynı sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 251Soru →

Taban yarıçapı $r = \frac{5}{\pi}$ cm ve yüksekliği $h = 24$ cm olan dik dairesel silindir şeklindeki bir kutunun taban çevresi üzerindeki A noktasında bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden bir tam tur atarak A noktasının tam üzerinde ve üst taban kenarında bulunan B noktasına gitmek istiyor. Buna göre, karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm'dir?

24

25

26

30

34

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Karıncanın alacağı en kısa yol 26 cm'dir.

Silindir yüzeyi üzerinde bir tam tur atarak en kısa yoldan gitmek, silindirin yanal yüzeyi açıldığında oluşan dikdörtgenin köşegeni boyunca hareket etmek demektir. Taban çevresi

2\pi(\frac{5}{\pi}) = 10

cm ve yükseklik 24 cm olduğundan, oluşan dik üçgenin kenarları 10 ve 24 cm'dir. Pisagor bağıntısıyla hipotenüs 26 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Silindirin yanal yüzeyini düz bir dikdörtgen olarak açın.

Bir kenarı taban çevresi, diğer kenarı yükseklik olan bir dikdörtgen elde edilir.

Silindir üzerindeki 'bir tam tur' hareketi, açılmış dikdörtgende karşı köşeye giden köşegen yoluna karşılık gelir.

2

Taban çevresini hesaplayın.

Çevre =

2\pi r = 2\pi \cdot \frac{5}{\pi} = 10

cm.

Yatayda alınan yol silindirin taban çevresi kadardır.

3

Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.

Dik kenarlar 10 cm ve 24 cm'dir.

Yatay kenar 10, dikey kenar (yükseklik) 24 cm'dir.

4

Hipotenüs uzunluğunu bulun.

x = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26

cm.

Bu üçgen 5-12-13 özel üçgeninin 2 katı olan 10-24-26 üçgenidir.

Anahtar Kavram

Silindir Yüzeyinde En Kısa Yol (Yüzey Açınımı)

İpuçları

1

Silindirin yanal yüzeyini bir kağıt gibi açtığınızı düşünün. A ve B noktaları bu açık kağıt üzerinde nerede olur?

2

Açılmış şekilde oluşan dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği (

h

), diğer kenarı ise taban çevresi (

2\pi r

) olacaktır.

3

Oluşan dik üçgenin kenarları 10 ve 24 cm'dir. 5-12-13 özel üçgenini hatırlayın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 252Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 10$ cm ve $|BC| = 12$ cm'dir. $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına çizilen kenarortay $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, iç açıortay ise $E$ noktasında kesmektedir. Buna göre, $D$ ve $E$ noktaları arasındaki uzaklık ( $|DE|$ ) kaç cm'dir?

1,5

1

2

2,5

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,5

Cevap

D ve E noktaları arasındaki uzaklık 1,5 cm'dir.

Kenarortay

12

cm'lik tabanı

6

cm ve

6

cm olarak ikiye bölerken, iç açıortay teoremi gereği

6

ve

10

cm'lik yan kenarlar tabanı

3:5

oranında parçalar. Bu oranla

12

cm'lik taban

4,5

cm ve

7,5

cm olarak ayrılır.

B

köşesinden ölçüldüğünde kenarortay

6

. cm'de, açıortay

4,5

. cm'dedir; aralarındaki mesafe

1,5

cm olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kenarortayın kestiği

D

noktasının konumunu belirle.

|BD| = |DC| = \frac{12}{2} = 6

cm

Kenarortay, indiği kenarı iki eşit parçaya böler.

2

İç açıortay teoremini kullanarak

E

noktasının konumunu (

|BE|

) hesapla.

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BE|}{|EC|} \Rightarrow \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

.

|BE| = 3k

,

|EC| = 5k

ise

8k = 12 \Rightarrow k = 1,5

. Buradan

|BE| = 3 \times 1,5 = 4,5

cm bulunur.

İç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.

3

İki nokta arasındaki uzaklığı (

|DE|

) bul.

|DE| = |BD| - |BE| = 6 - 4,5 = 1,5

cm

D

ve

E

noktaları

B

köşesinden itibaren aynı doğru üzerindedir, aradaki fark uzaklığı verir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarortay ve iç açıortayın taban üzerindeki ayırma oranları farklıdır.

İpuçları

1

Kenarortay her zaman tabanı tam ortadan böler. Bu soruda taban 12 cm olduğuna göre orta nokta kaçıncı cm'dedir?

2

İç açıortay teoremini hatırla:

AB/AC = BE/EC

. Yan kenarlar 6 ve 10 olduğuna göre tabandaki parçaların oranı ne olmalıdır?

3

Bulduğun parça uzunluklarını (6 cm ve 4,5 cm) birbirinden çıkararak aradaki mesafeyi bulabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu dış açıortay teoremini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 253Soru →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde, $[BC]$ kenarı taban ve bu tabana inen $[AH]$ dikmesi yüksekliktir. $|BC| = 18$ cm ve $|AH| = 4$ cm olduğuna göre, $ABC$ üçgensel bölgesinin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

72

22

36

44

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Üçgensel bölgenin alanı 36 cm² olarak hesaplanır.

Üçgenin alan formülü olan

(\text{taban} \times \text{yükseklik}) / 2

kuralı uygulandığında,

18

ile

4

çarpılıp sonuç olan

72

ikiye bölündüğünde

36

değerine ulaşılır. Bu, geometrideki en temel alan hesaplama yöntemidir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen temel geometrik değerleri belirlemek.

Taban (

|BC|

) = 18 cm ve Yükseklik (

|AH|

) = 4 cm.

Üçgende alan hesabı için bir kenar uzunluğu ve o kenara ait yükseklik bilinmelidir.

2

Alan formülünü kullanarak çarpma işlemini yapmak.

18 \times 4 = 72

.

Alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır; ilk aşamada çarpım bulunur.

3

Elde edilen çarpımı ikiye bölmek.

72 / 2 = 36

.

Üçgensel bölgenin alanı, dikdörtgensel bölgenin yarısı olduğu için ikiye bölme işlemi zorunludur.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan Formülü

İpuçları

1

Üçgenin alanını bulmak için taban uzunluğu ile yüksekliği çarpmalısınız.

2

Alan formülü:

A = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}

şeklindedir.

3

Sorudaki 18 ve 4 değerlerini çarpıp sonucu ikiye bölmeyi deneyin.

Daha Fazla Pratik

Farklı taban ve yükseklik değerleriyle benzer alan hesaplama alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eğer üçgen dik üçgen olsaydı, dik kenarların çarpımının yarısını alırdık. Burada taban ve o tabana inen yükseklik verildiği için aynı mantık geçerlidir.

Tahmini Süre:45s

Soru 254Soru →

Kenar uzunlukları tam sayı olan bir ABC çeşitkenar üçgeninde $|AB| = 6$ cm ve $|AC| = 10$ cm ölçülerindedir. $m(\widehat{ABC}) > 90^\circ$ olduğu bilindiğine göre, $|BC|$ kenar uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

11

12

18

20

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Sadece 5 ve 7 değerleri şartları sağlar, toplamları 12'dir.

Doğru cevap, üçgenin hem var olma şartlarını (üçgen eşitsizliği), hem açı şartını (geniş açı), hem de özel tanım şartını (çeşitkenar) sağlayan değerlerin toplamıdır. 5 ve 7 sayıları bu üç koşulu da sağlayan yegane tam sayılardır.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını

|BC| = x

için uygula.

|10 - 6| < x < 10 + 6 \Rightarrow 4 < x < 16

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.

2

Verilen

m(\widehat{B}) > 90^\circ

(geniş açı) koşulunu kenar bağıntılarına uyarla.

b^2 > a^2 + c^2 \Rightarrow 10^2 > x^2 + 6^2 \Rightarrow 100 > x^2 + 36 \Rightarrow 64 > x^2 \Rightarrow x < 8

Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.

3

Elde edilen iki eşitsizliği (Adım 1 ve Adım 2) birleştirerek

x

için geçerli aralığı bul.

4 < x < 16

ve

x < 8

olduğundan, ortak aralık

4 < x < 8

olur. Bu aralıktaki tam sayılar:

\{5, 6, 7\}

.

Kenar uzunluğu her iki koşulu da aynı anda sağlamalıdır.

4

'Çeşitkenar üçgen' koşulunu kontrol ederek uygun olmayan değerleri ele.

Kenarlar

6

,

10

ve

x

olduğundan;

x \neq 6

ve

x \neq 10

olmalıdır.

\{5, 6, 7\}

kümesinden

6

çıkarılır. Kalan değerler:

\{5, 7\}

.

Çeşitkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirinden farklı olmalıdır.

5

Kalan değerleri topla.

5 + 7 = 12

Sonuç hesaplaması.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları (Geniş Açı Kuralı ve Üçgen Eşitsizliği)

İpuçları

1

Önce üçgen eşitsizliğini (

|b-c| < a < b+c

) kullanarak kenar uzunluğunun genel aralığını bulunuz.

2

B açısının

90^\circ

'den büyük olması, bu açının karşısındaki kenarın karesinin, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyük olmasını gerektirir (

b^2 > a^2 + c^2

).

3

Bulduğunuz aralıktaki tam sayılardan, üçgenin 'çeşitkenar' olma özelliğini bozan (diğer kenarlara eşit olan) değerleri elemeyi unutmayınız.

Alternatif Yöntem

Pisagor bağıntısı referans alınabilir: Eğer B açısı

90^\circ

olsaydı

x^2 + 6^2 = 10^2

eşitliğinden

x=8

olurdu. Açı

90^\circ

'den büyük olduğu için B'nin karşısındaki kenar (10) en büyük olmalıdır, bu da

x

'in 8'den küçük olması gerektiğini gösterir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 255Soru →

Analitik düzlemde $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$ denklemi ile verilen çembere teğet olan $3x - 4y + k = 0$ doğrusu için, $k$ gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

-20

-10

0

10

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -20

Cevap

k değerlerinin toplamı -20'dir.

Çemberin merkezi

M(2, -1)

ve yarıçapı

r=2

'dir. Teğet doğrusu

3x - 4y + k = 0

olduğuna göre, merkezin bu doğruya uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır. Uzaklık formülünden

|10+k|/5 = 2

elde edilir. Buradan

|10+k|=10

bulunur. Bu eşitliği sağlayan değerler

k=0

ve

k=-20

'dir. Toplamları -20 eder.

Adım Adım Çözüm

1

Çember denklemini analiz et.

Merkez

M(2, -1)

, Yarıçap

r = 2

.

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

formundaki denklemden merkez

(a,b)

ve yarıçap

r

bulunur.

2

Teğet olma şartını uygula.

Merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır:

d = r

.

Bir doğrunun çembere teğet olması için, çember merkezinin doğruya olan dik uzaklığı yarıçap kadar olmalıdır.

3

Noktanın doğruya uzaklığı formülünü kullan.

\frac{|3(2) - 4(-1) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2

Ax + By + C = 0

doğrusuna

(x_0, y_0)

noktasının uzaklığı

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

formülü ile hesaplanır.

4

Denklemi düzenle ve mutlak değeri çöz.

\frac{|6 + 4 + k|}{5} = 2 \Rightarrow |10 + k| = 10

Paydada

\sqrt{25}=5

bulunur, içler dışlar çarpımı yapılır.

5

Olası k değerlerini bul ve topla.

10 + k = 10 \Rightarrow k_1 = 0

veya

10 + k = -10 \Rightarrow k_2 = -20

. Toplam:

0 + (-20) = -20

.

|x| = a

ise

x = a

veya

x = -a

olur.

Anahtar Kavram

Noktanın Doğruya Uzaklığı ve Çember Teğeti

İpuçları

1

Önce verilen çember denklemini kullanarak çemberin merkez koordinatlarını ve yarıçapını belirleyin.

2

Bir doğrunun bir çembere teğet olması için, çemberin merkezinin bu doğruya olan uzaklığının neye eşit olması gerektiğini hatırlayın.

3

Noktanın doğruya uzaklığı formülü

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

'dir. Bu formülde

d=r

eşitliğini kurarak

k

'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Aynı çembere dıştan teğet olan, eğimi bilinen doğruların denklemlerini bulma üzerine bir soru çözün.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 256Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden $[BC]$ kenarının orta noktasına çizilen $[AD]$ doğru parçası bu üçgenin kenarortayıdır. Bu üçgenin ağırlık merkezi $G$ noktası olarak işaretlenmiştir. $|AD| = 21$ cm olduğuna göre, $|AG|$ uzunluğu kaç cm'dir?

14

7

10,5

12

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Köşeye olan uzaklık olan 14 cm

Üçgenin ağırlık merkezi (

G

), kenarortayı köşeye

2

kat, kenara

1

kat uzaklıkta böler.

|AD|

uzunluğu

21

cm ise,

21 / 3 = 7

cm bir katı verir. Köşeye olan uzaklık

|AG| = 2 \times 7 = 14

cm olur.

Adım Adım Çözüm

1

Ağırlık merkezinin kenarortay üzerindeki bölme oranını belirle.

|AG| = 2k

ve

|GD| = k

oranları belirlenir.

Üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru

2:1

oranında böler.

2

Toplam uzunluğu kullanarak

k

değerini hesapla.

2k + k = 21 \Rightarrow 3k = 21 \Rightarrow k = 7

cm bulunur.

Kenarortayın tamamı (

|AD|

) bu iki parçanın toplamına eşittir.

3

İstenen

|AG|

uzunluğunu bul.

|AG| = 2k = 2 \times 7 = 14

cm olarak hesaplanır.

Soru bizden köşeye olan uzaklığı, yani

2k

olan kısmı istemektedir.

Anahtar Kavram

Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim uzaklıkta olacak şekilde böler.

İpuçları

1

Üçgende ağırlık merkezi (

G

), kenarortayı belirli bir oranda böler.

2

Bu oran köşeye olan uzaklığın, kenara olan uzaklığın 2 katı olmasıdır (

2:1

oranı).

3

|AG| = 2x

ve

|GD| = x

diyerek

3x = 21

denklemini kurabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay özelliğini (muhteşem üçlü) inceleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Toplam uzunluğu direkt

3

'e bölerek kenara yakın olan kısa parçayı (

7

cm) bulabilir, sonra bunu toplamdan çıkararak (

21 - 7 = 14

) köşeye olan uzunluğu elde edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 257Soru →

ABC bir üçgendir. $[DE] \parallel [BC]$ olmak üzere; $D \in [AB]$ ve $E \in [AC]$ noktaları işaretlenmiştir. $|AD| = 2$ cm ve $|DB| = 3$ cm olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $ADE$ üçgeninin alanının $ABC$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

\frac{2}{5}

\frac{4}{25}

\frac{4}{9}

\frac{2}{3}

\frac{9}{25}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{25}$

Cevap

İstenen alanların oranı

\frac{4}{25}

olarak bulunur.

Paralellik nedeniyle

ADE

ve

ABC

üçgenleri benzerdir. Benzerlik oranı

|AD|/|AB| = 2/5

'tir. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi olduğundan

(2/5)^2 = 4/25

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Benzerlik durumunu tespit et

[DE] \parallel [BC]

olduğu için

ADE

üçgeni ile

ABC

üçgeni benzerdir (

ADE \sim ABC

).

Paralellikten dolayı yöndeş açılar eşittir, dolayısıyla Açı-Açı benzerliği vardır.

2

Benzerlik oranını (

k

) hesapla

k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AD| + |DB|} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}

Benzerlik oranı, karşılıklı kenar uzunluklarının oranına eşittir.

|AB|

kenarı

|AD|

ve

|DB|

toplamıdır.

3

Alanlar oranını hesapla

\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (

k^2

).

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı 1/3 olan iki üçgenin alanları farkı 32 cm² ise, küçük üçgenin alanı kaçtır?

Tahmini Süre:45s

Soru 258Soru →

Aşağıdaki şekilde $[AB] \parallel [DE]$ olduğu bilinmektedir. $A, C, D$ noktaları ile $B, C, E$ noktaları kendi aralarında doğrusaldır.

$|AB| = 6\text{ cm}$ , $|DE| = 9\text{ cm}$ ve $|AC| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|CD| = x$ uzunluğu kaç cm'dir?

5

6

7

8

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen geometrik şekilde benzerlik oranı kullanılarak

|CD|

uzunluğu

6\text{ cm}

olarak bulunur.

Verilen şekilde

[AB]

ve

[DE]

doğruları paralel olduğu için

\triangle ABC

ve

\triangle DEC

üçgenleri arasında kelebek benzerliği vardır. Benzerlik oranı

\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

şeklindedir. Aynı oran yan kenarlar için de geçerli olduğundan

\frac{4}{x} = \frac{2}{3}

eşitliğinden

2x = 12

ve buradan

x = 6\text{ cm}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Benzer üçgenleri belirleme

\triangle ABC \sim \triangle DEC

[AB] \parallel [DE]

olduğu için İç Ters (Z kuralı) açılardan dolayı üçgenlerin açıları eştir.

2

Benzerlik oranını kurma

\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|CD|}

Benzer üçgenlerde aynı açının karşısındaki kenarlar orantılıdır.

3

Verilen değerleri yerine yerleştirme

\frac{6}{9} = \frac{4}{x}

|AB|=6, |DE|=9

ve

|AC|=4

değerleri orantıda yerine yazılır.

4

Denklemi çözme

6x = 36 \Rightarrow x = 6

İçler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kelebek (Kum Saati) Benzerliği

İpuçları

1

Paralel doğrular arasında kalan üçgenlerde 'Kelebek Benzerliği' kurallarını hatırlayın.

2

Üstteki üçgenin tabanının alttaki üçgenin tabanına oranı, kenarların birbirine oranına eşittir.

3

6

'nın

9

'a oranı ile

4

'ün

x

'e oranı birbirine eşit olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Farklı benzerlik oranları kullanarak benzer 'kelebek' soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sadeleştirme yaparak oranı

2/3

olarak bulup,

2

birime

4\text{ cm}

geliyorsa (2 katı),

3

birime

6\text{ cm}

gelir diyerek pratik yoldan çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 259Soru →

Yarıçapı $r$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir su kabının yarısı su ile doludur. Bu kabın içerisine yarıçapı $r$ olan metal bir küre bırakıldığında, küre tamamen suya batmakta ve su seviyesi silindirin üst taban seviyesine (ağzına kadar) ulaşmaktadır. Buna göre, silindirin yüksekliğinin yarıçapına oranı ( $\frac{h}{r}$ ) kaçtır?

2

\frac{7}{3}

\frac{8}{3}

3

\frac{10}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8}{3}$

Cevap

Silindirin yüksekliğinin yarıçapına oranı

\frac{8}{3}

olarak bulunur.

Kürenin hacmi (

\frac{4}{3}\pi r^3

), silindirin boş olan üst yarısının hacmine (

\pi r^2 \cdot \frac{h}{2}

) eşit olduğundan, denklemin çözümünden yükseklik-yarıçap oranı

\frac{8}{3}

çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Kürenin hacmini ifade edin.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3

Tamamen batan bir cisim, hacmi kadar sıvının yerini değiştirir.

2

Yükselen suyun hacmini (silindirin boş kısmını) ifade edin.

V_{\text{yükselen}} = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2}

Kaptan su taşmadığına ve su seviyesi yarısından (

h/2

) ağzına (

h

) kadar yükseldiğine göre, yükselen suyun hacmi yüksekliği

h/2

olan silindirin hacmine eşittir.

3

Kürenin hacmini yükselen suyun hacmine eşitleyin.

\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2}

Batan kürenin hacmi, silindirde yükselen su hacmine eşittir.

4

Eşitliği sadeleştirerek istenen oranı bulun.

\frac{4}{3}r = \frac{h}{2} \Rightarrow \frac{8}{3}r = h \Rightarrow \frac{h}{r} = \frac{8}{3}

Her iki taraftan

\pi r^2

terimleri sadeleştirilir ve içler dışlar çarpımı yapılır.

Anahtar Kavram

Batan cisimlerin hacmi, yer değiştiren sıvının hacmine eşittir.

İpuçları

1

Kürenin hacmi ile silindirde suyun yükseldiği kısmın hacmi birbirine eşittir.

2

Su seviyesi

h/2

'den

h

'a çıktığına göre yükselen hacim, yüksekliği

h/2

olan bir silindirdir.

3

\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2}

denklemini kurup

h/r

oranını çekmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer kürenin yarıçapı silindirin yarıçapının yarısı (

r/2

) olsaydı oran nasıl değişirdi?

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 260Soru →

Bir dik üçgende dik açıyı oluşturan kenarların uzunlukları $|AB| = 9$ cm ve $|BC| = 12$ cm olarak verilmiştir. $[AB] \perp [BC]$ olduğuna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu ( $|AC|$ ) kaç santimetredir?

15

21

225

\sqrt{21}

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Hipotenüs uzunluğu 15 santimetredir.

Verilen dik üçgende dik kenarlar 9 cm ve 12 cm'dir. Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) uygulandığında

9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225

bulunur. 225 sayısının karekökü 15 olduğundan hipotenüs 15 cm'dir. Ayrıca bu üçgen, en temel özel üçgen olan 3-4-5 üçgeninin her bir kenarının 3 ile çarpılmış halidir (

3\times3=9

,

4\times3=12

,

5\times3=15

).

Adım Adım Çözüm

1

Verilen dik kenar uzunluklarını belirleyelim.

|AB| = 9

cm ve

|BC| = 12

cm

Pisagor bağıntısını uygulamak için dik kenar uzunluklarını bilmemiz gerekir.

2

Pisagor bağıntısını (

a^2 + b^2 = c^2

) kuralım.

9^2 + 12^2 = |AC|^2

Dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

3

Kare alma ve toplama işlemlerini yapalım.

81 + 144 = 225

Sayıların karelerini hesaplayıp toplayarak hipotenüsün karesini buluruz.

4

Sonucun karekökünü alarak hipotenüs uzunluğunu bulalım.

|AC| = \sqrt{225} = 15

cm

Uzunluğu bulmak için karesi alınan değerin karekökünü hesaplarız.

Anahtar Kavram

Pisagor Bağıntısı ve Özel Dik Üçgenler

İpuçları

1

Dik üçgende hipotenüsü bulmak için Pisagor bağıntısını (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanabilirsin.

2

Dik kenarlar olan 9 ve 12'nin karelerini alıp topladıktan sonra, çıkan sonucun hangi sayının karesi olduğunu düşün.

3

Bu üçgen 3-4-5 özel üçgeninin bir katı olabilir mi? Kenar uzunluklarını 3'e bölerek kontrol et.

Daha Fazla Pratik

Farklı kenar uzunluklarına sahip 5-12-13 ve 8-15-17 gibi diğer özel dik üçgenleri de inceleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

Özel üçgenleri hatırlamak işini kolaylaştırabilir. 3-4-5 üçgeninin katlarını kontrol edersek:

3\times3=9

ve

4\times3=12

olduğunu görürüz. Bu durumda hipotenüs de

5\times3=15

olacaktır.

Tahmini Süre:45s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları