Examkin

Geometri

436 soru

Soru 381Soru →

ABC bir üçgendir. ABAB kenarı üzerinde bir DD noktası ve ACAC kenarı üzerinde bir EE noktası alınarak [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olacak şekilde bir doğru parçası çiziliyor. Daha sonra BCBC kenarı üzerinde bir FF noktası belirlenip [EF]∥[AB][EF] \parallel [AB] olacak şekilde birleştiriliyor.

Oluşan ADEADE üçgeninin alanı 16 cm216 \text{ cm}^2 ve EFCEFC üçgeninin alanı 49 cm249 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCABC üçgeninin tamamının alanı kaç  cm2\text{ cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 121

Cevap

121
Verilen paralellikler sayesinde ADEADE ve EFCEFC üçgenleri ile büyük ABCABC üçgeni birbirine benzerdir. Benzerlik oranı alanların karekökü ile orantılıdır. ADEADE üçgeninin benzerlik kenarı 16=4\sqrt{16}=4 birim, EFCEFC üçgeninin benzerlik kenarı 49=7\sqrt{49}=7 birim gibi düşünülebilir. Paralelkenar yapısından dolayı büyük üçgenin tabanı bu iki parçanın toplamı olan 4+7=114+7=11 birim ile orantılıdır. Büyük üçgenin alanı ise bu toplam oranın karesi ile ilişkilidir: 112=121 cm211^2 = 121 \text{ cm}^2.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen paralellikleri kullanarak benzer üçgenleri belirle.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] ve [EF]∥[AB][EF] \parallel [AB] olduğu için △ADE∼△EFC\triangle ADE \sim \triangle EFC benzerliği vardır. Ayrıca bu iki üçgen büyük △ABC\triangle ABC üçgenine de benzerdir.
Kenarları birbirine paralel olan üçgenler benzerdir (Açı-Açı-Açı benzerliği).
2
Alanlar oranından benzerlik oranını bul.
Alan(ADE)Alan(EFC)=1649\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(EFC)} = \frac{16}{49} olduğundan, benzerlik oranı k=1649=47k = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}'dir.
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (k2=Alan Oranık^2 = \text{Alan Oranı}).
3
Kenar uzunluklarını oransal olarak ifade et ve tabanları topla.
△ADE\triangle ADE'nin tabanına 4k4k, △EFC\triangle EFC'nin tabanına 7k7k diyelim. BDEFBDEF bir paralelkenar olduğu için ∣BF∣=∣DE∣=4k|BF| = |DE| = 4k olur. Büyük üçgenin tabanı ∣BC∣=4k+7k=11k|BC| = 4k + 7k = 11k olur.
Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları eşittir (∣DE∣=∣BF∣|DE| = |BF|).
4
Küçük üçgen ile büyük üçgen arasındaki benzerlik oranını kullanarak toplam alanı bul.
△ADE\triangle ADE ile △ABC\triangle ABC arasındaki benzerlik oranı ∣DE∣∣BC∣=4k11k=411\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{4k}{11k} = \frac{4}{11}'dir. Alanlar oranı (411)2=16121\left(\frac{4}{11}\right)^2 = \frac{16}{121} olur. 16/Alan(ABC)=16/121  ⟹  Alan(ABC)=121 cm216 / \text{Alan}(ABC) = 16 / 121 \implies \text{Alan}(ABC) = 121 \text{ cm}^2.
Benzerlik oranının karesi alanlar oranını verir.

Anahtar Kavram

Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir (S1/S2=k2S_1/S_2 = k^2). Ayrıca bu özel yapıda STu¨m=S1+S2\sqrt{S_{Tüm}} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} kuralı geçerlidir.

İpuçları

1
Şekilde ADEADE ve EFCEFC üçgenlerinin ABCABC üçgenine benzer olduğunu hatırlayınız. Benzerlik oranı ile alan oranı arasındaki ilişkiyi kullanın.
2
Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir (k2k^2). 16=4\sqrt{16}=4 ve 49=7\sqrt{49}=7 değerlerini kenar uzunlukları ile ilişkilendirmeyi deneyin.
3
BDEFBDEF şeklinin bir paralelkenar olduğuna dikkat edin. Bu sayede DEDE kenar uzunluğunu BFBF kenarına taşıyabilir ve büyük üçgenin tabanının oransal değerini bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranı 1/3 olan iki üçgenin alanları oranını ve çevreleri oranını karşılaştıran bir soru çözünüz.

Alternatif Yöntem

Pratik Kural: Bu tip iç içe geçmiş paralel üçgen sorularında, büyük üçgenin alanının karekökü, küçük üçgenlerin alanlarının karekökleri toplamına eşittir: SABC=SADE+SEFC=4+7=11  ⟹  SABC=121\sqrt{S_{ABC}} = \sqrt{S_{ADE}} + \sqrt{S_{EFC}} = 4 + 7 = 11 \implies S_{ABC} = 121.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 382Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde, [BC][BC] kenarının uzantısı üzerinde bir HH noktası bulunmaktadır. [AH]⊥[CH][AH] \perp [CH] ve K∈[AB]K \in [AB], L∈[AC]L \in [AC] olmak üzere [KL]//[BC][KL] // [BC]'dir.

∣AH∣=10|AH| = 10 cm ve ∣BC∣=10|BC| = 10 cm olduğu biliniyor.

3∣AK∣=2∣KB∣3|AK| = 2|KB| olduğuna göre, AKLAKL üçgeninin alanı kaç cm2cm^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18 cm2cm^2
Önce büyük üçgenin alanı hesaplanır: Taban (10) ve dış yükseklik (10) kullanılarak Alan(ABC) = 50 bulunur. Ardından kenar oranlarından benzerlik oranı k = 2/5 olarak bulunur. Alanlar oranı benzerlik oranının karesi (4/25) olduğundan, 50 * 4/25 işlemi ile sonuç 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABC üçgeninin alanını hesapla.
Alan(ABC) = (Taban × Yükseklik) / 2 = (10 × 10) / 2 = 50 cm²
Geniş açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin dış bölgesinde olabilir. Burada taban [BC], yükseklik ise [AH]'dır.
2
AKL ve ABC üçgenleri arasındaki benzerlik oranını (k) bul.
3|AK| = 2|KB| verildiğinden, |AK|=2m ve |KB|=3m diyebiliriz. |AB| = 5m olur. Benzerlik oranı k = |AK|/|AB| = 2m/5m = 2/5'tir.
[KL] // [BC] olduğundan Temel Benzerlik Teoremi gereği üçgenler benzerdir.
3
Alanlar oranını hesapla.
Alanlar oranı = k² = (2/5)² = 4/25
Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
4
AKL üçgeninin alanını bul.
Alan(AKL) = Alan(ABC) × (4/25) = 50 × (4/25) = 2 × 4 = 8 cm²
Toplam alanı hesaplanan oranla çarparak istenen bölgenin alanına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üçgende benzerlik oranı ile alan arasındaki ilişki (k -> k²)

İpuçları

1
Geniş açılı üçgenlerde yükseklik bazen üçgenin dışında kalabilir. Alan formülü değişmez: (Taban x Yükseklik) / 2.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 383Soru →

Aşağıda verilen ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] dir. m(DAB^)=60∘m(\widehat{DAB}) = 60^\circ, m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ, ∣AD∣=8|AD| = 8 cm ve ∣DC∣=5|DC| = 5 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24+28324 + 28\sqrt{3}

Cevap

Yamuğun alanı 24+28324 + 28\sqrt{3} cm2\text{cm}^2 dir.
Doğru cevap, yamuğun yüksekliğinin ve alt taban parçalarının özel üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90) yardımıyla bulunup, alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilir. Yükseklik 434\sqrt{3} ve alt taban 9+439+4\sqrt{3} bulunduğunda, alan (24+283)(24 + 28\sqrt{3}) cm2\text{cm}^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
DD ve CC köşelerinden [AB][AB] kenarına dikmeler indirilir.
DD den inilen dikme ayağı HH, CC den inilen dikme ayağı KK olsun. Böylece ortada bir HKCDHKCD dikdörtgeni ve yanlarda ADHADH ile CKBCKB dik üçgenleri oluşur.
Yamuğun alanını bulmak için yüksekliğe ve alt taban uzunluğuna ihtiyaç vardır; bu dikmeler hem yüksekliği hem de taban parçalarını bulmamızı sağlar.
2
ADHADH üçgeninde (30-60-90) kenar uzunlukları hesaplanır.
Hipotenüs ∣AD∣=8|AD|=8 ise, 30∘30^\circ nin karşısı ∣AH∣=4|AH|=4, 60∘60^\circ nin karşısı (yükseklik) ∣DH∣=43|DH|=4\sqrt{3} olur.
30-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30 derecenin karşısındaki kenarın 2 katıdır; 60 derecenin karşısı ise 30 derecenin karşısının 3\sqrt{3} katıdır.
3
CKBCKB üçgeninde (45-45-90) kenar uzunlukları hesaplanır.
Yükseklikler eşit olduğundan ∣CK∣=∣DH∣=43|CK| = |DH| = 4\sqrt{3} tür. İkizkenar dik üçgen olduğu için ∣KB∣=43|KB| = 4\sqrt{3} olur.
45-45-90 üçgeninde dik kenarlar birbirine eşittir.
4
Alt taban uzunluğu ∣AB∣|AB| bulunur.
∣AB∣=∣AH∣+∣HK∣+∣KB∣=4+5+43=9+43|AB| = |AH| + |HK| + |KB| = 4 + 5 + 4\sqrt{3} = 9 + 4\sqrt{3} cm. (Not: ∣HK∣=∣DC∣=5|HK|=|DC|=5)
Alt taban, sol üçgenin tabanı, dikdörtgenin tabanı ve sağ üçgenin tabanının toplamıdır.
5
Yamuk alan formülü uygulanır: a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h.
Alan = (9+43)+52⋅43=14+432⋅43=(7+23)⋅43\frac{(9+4\sqrt{3}) + 5}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{14+4\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = (7+2\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{3}
Yamuğun alanı, alt ve üst tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
6
Çarpma işlemi dağıtılarak sonuca ulaşılır.
(7⋅43)+(23⋅43)=283+(8⋅3)=283+24(7 \cdot 4\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}) = 28\sqrt{3} + (8 \cdot 3) = 28\sqrt{3} + 24.
Köklü sayılarda dağılma özelliği uygulanır: a(b+c)=ab+aca(b+c) = ab + ac.

Anahtar Kavram

Yamukta Alan Hesabı ve Özel Üçgenler

İpuçları

1
DD ve CC köşelerinden alt tabana dikmeler indirerek özel üçgenler oluşturmayı deneyin.
2
Oluşan ADHADH üçgeni 30-60-90 üçgeni, CKBCKB üçgeni ise 45-45-90 ikizkenar dik üçgenidir. Bu üçgenlerin kenar bağıntılarını hatırlayın.
3
Yükseklik h=43h = 4\sqrt{3} cm'dir. Alt tabanı üç parça halinde (∣AH∣|AH|, ∣HK∣|HK|, ∣KB∣|KB|) hesaplayıp toplayın, sonra alan formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, taban açılarından biri 30 derece, diğeri 45 derece olan bir yamuğun alanını hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

CC noktasından ADAD'ye paralel bir doğru çizerek yamuğu bir paralelkenar ve bir üçgene ayırabilirsiniz. Oluşan üçgenin kenar ve açı özelliklerini kullanarak yüksekliği bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 384Soru →

Kısa kenar uzunluğu 22 cm, uzun kenar uzunluğu 88 cm olan bir ABCDABCD dikdörtgeni veriliyor. Bu dikdörtgenin AA ve BB köşelerinden geçen bir çember, dikdörtgenin [CD][CD] kenarına teğet olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Çemberin yarıçapı 5 cm'dir.
Çemberin merkezi, ABAB kirişinin orta dikmesi üzerinde yer alır. ABAB kenarının orta noktası ile çemberin merkezi arasındaki uzaklık hh, yarıçap RR ve dikdörtgenin kısa kenarı 22 birim olduğunda, teğetlik şartından dolayı h=∣R−2∣h = |R - 2| olur. AA köşesi, merkez ve orta nokta ile oluşturulan dik üçgende R2=42+(R−2)2R^2 = 4^2 + (R - 2)^2 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde R=5R = 5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgeni koordinat düzlemine yerleştir veya simetri eksenini belirle.
ABAB kenarının orta noktası MM olsun. Çember AA ve BB noktalarından geçtiği için merkezi [AB][AB]'nin orta dikmesi üzerindedir.
Bir kirişin orta dikmesi daima merkezden geçer.
2
Yarıçap (RR) ve merkezin konumu arasındaki ilişkiyi kur.
Çember CDCD kenarına teğet olduğu için, merkezden CDCD kenarına olan uzaklık RR olur. ABAB ile CDCD arası 22 cm olduğundan, merkezin ABAB kenarına uzaklığı ∣R−2∣|R - 2| cm olur.
Teğet noktasına olan dikme yarıçaptır ve paralel kenarlar arası mesafe sabittir.
3
Merkez (OO), ABAB'nin orta noktası (MM) ve AA köşesi arasında bir dik üçgen oluştur.
∣AM∣=4|AM| = 4 cm ve ∣OM∣=∣R−2∣|OM| = |R - 2| cm olan dik üçgende hipotenüs ∣OA∣=R|OA| = R olur.
Pisagor teoremi uygulanarak bilinmeyen yarıçap hesaplanabilir.
4
Pisagor bağıntısını yaz ve denklemi çöz.
R2=42+(R−2)2⇒R2=16+R2−4R+4⇒4R=20⇒R=5R^2 = 4^2 + (R - 2)^2 \Rightarrow R^2 = 16 + R^2 - 4R + 4 \Rightarrow 4R = 20 \Rightarrow R = 5 cm bulunur.
Dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Çemberde kiriş özellikleri ve merkezin teğete olan uzaklığının yarıçapa eşitliği.

İpuçları

1
Çemberin merkezini dikdörtgenin içinde veya dışında bir nokta olarak düşünün ve A,BA, B noktalarına olan uzaklığının yarıçap olduğunu unutmayın.
2
ABAB kenarının orta noktasından geçen dikme çemberin merkezinden geçer. Bu dikme üzerindeki merkezin, teğet olduğu CDCD kenarına uzaklığı yarıçapa (RR) eşittir.
3
Merkezin ABAB kenarına uzaklığına hh derseniz, teğetlikten dolayı R=h+2R = h + 2 olur. AA köşesi ile bir dik üçgen kurarak R2=h2+42R^2 = h^2 + 4^2 bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Eğer çember CDCD kenarına değil de, dikdörtgenin merkezine teğet olsaydı yarıçap nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Koordinat düzlemi kullanarak; A(−4,0)A(-4, 0) ve B(4,0)B(4, 0) noktalarını yerleştirin. CDCD doğrusu y=2y = 2 olur. Merkezi (0,y0)(0, y_0) olan çemberin y=2y=2 doğrusuna uzaklığı ∣y0−2∣=R|y_0 - 2| = R olur. AA noktasından geçen çember denklemi 42+y02=R24^2 + y_0^2 = R^2 sistemini çözerek aynı sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 385Soru →

Şekilde O merkezli ve yarıçapı 6 cm olan bir çember verilmiştir. [PT ışını çembere T noktasında teğettir. P, K ve O noktaları doğrusaldır ve K noktası çember yayı üzerindedir.

∣PT∣=63|PT| = 6\sqrt{3} cm olduğuna göre; PT doğru parçası, PK doğru parçası ve KT yayı arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi

Cevap

Dik üçgenin alanından daire diliminin alanı çıkarılarak sonuç 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi bulunur.
Soruda verilen bölge, OTPOTP dik üçgeninin alanından 60∘60^\circ'lik OTKOTK daire diliminin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Yarıçap teğete dik olduğu için oluşan 30-60-90 üçgeninden merkez açı 60∘60^\circ bulunur. Üçgenin alanı 18318\sqrt{3}, daire diliminin alanı ise 6π6\pi olduğundan cevap 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet özelliğini kullanarak üçgeni tanımla.
Merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir (OT⊥PTOT \perp PT). Oluşan △OTP\triangle OTP bir dik üçgendir.
Teğet-yarıçap dikliği geometrik kuraldır.
2
Merkez açıyı (α\alpha) belirle.
△OTP\triangle OTP dik üçgeninde, tan⁡(TOP^)=∣PT∣∣OT∣=636=3\tan(\widehat{TOP}) = \frac{|PT|}{|OT|} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}. Bu durumda TOP^=60∘\widehat{TOP} = 60^\circ olur.
Trigonometrik oranlardan veya 30-60-90 üçgeni özelliğinden açı bulunur.
3
△OTP\triangle OTP üçgeninin alanını hesapla.
Alan(△OTP\triangle OTP) = ∣OT∣⋅∣PT∣2=6⋅632=183\frac{|OT| \cdot |PT|}{2} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Dik üçgen alan formülü.
4
OTK daire diliminin alanını hesapla.
Alan(Dilim) = πr2⋅α360=π⋅62⋅60360=36π⋅16=6π\pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60}{360} = 36\pi \cdot \frac{1}{6} = 6\pi cm2\text{cm}^2.
Daire dilimi alan formülü.
5
Taralı alanı bulmak için çıkarma işlemi yap.
Taralı Alan = Alan(△OTP\triangle OTP) - Alan(Dilim) = 183−6π18\sqrt{3} - 6\pi.
İstenen bölge, büyük üçgenden daire diliminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Teğet-Yarıçap Dikliği ve Daire Dilimi Alanı

İpuçları

1
Çemberin merkezinden teğet noktasına (T) çizilen yarıçapın, teğet doğrusuna (PT) dik olduğunu hatırlayın.
2
Oluşan OTP dik üçgeninde kenar uzunluklarını kullanarak O açısının kaç derece olduğunu bulun (∣OT∣=6,∣PT∣=63|OT|=6, |PT|=6\sqrt{3}).
3
Taralı alanı bulmak için OTP üçgeninin alanından, O merkezli daire diliminin alanını çıkarmanız gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 386Soru →

Dik koordinat düzleminde, ∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 eşitsizliği ile belirtilen kapalı bölgenin, y≥1y \ge 1 eşitsizliğini sağlayan kısmının alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İstenen bölgenin alanı 9 birimkaredir.
Verilen ∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 eşitsizliği, merkezi (2,0)(2,0) noktasında olan bir kare belirtir. Bu karenin y≥1y \ge 1 doğrusunun üzerinde kalan kısmı, tabanı y=1y=1 doğrusu üzerinde ve tepe noktası (2,4)(2,4) olan bir üçgendir. Taban uzunluğu 6 birim ve yüksekliği 3 birim olduğundan alan 9 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik bölgelerini tanımla
∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 eşitsizliği, merkezi (2,0)(2, 0) olan ve köşegen uzunlukları 8 birim olan bir kare (eşkenar dörtgen) belirtir. y≥1y \ge 1 eşitsizliği ise y=1y=1 doğrusunun üst kısmını ifade eder.
Geometrik şekli ve kesişim bölgesini belirlemek için sınırları çizmek gerekir.
2
Kesişim bölgesinin sınır noktalarını bul
y=1y=1 doğrusunun eşitsizlik sınırı ile kesiştiği noktalar için ∣x−2∣+1=4⇒∣x−2∣=3|x - 2| + 1 = 4 \Rightarrow |x - 2| = 3 denklemi çözülür. x−2=3⇒x=5x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 ve x−2=−3⇒x=−1x - 2 = -3 \Rightarrow x = -1. Kesişim noktaları (−1,1)(-1, 1) ve (5,1)(5, 1)'dir.
Oluşan üçgensel bölgenin taban uzunluğunu bulmak için köşe koordinatlarına ihtiyaç vardır.
3
Bölgenin tepe noktasını belirle
∣x−2∣+∣y∣≤4|x - 2| + |y| \le 4 bölgesinin en üst noktası, x=2x=2 için ∣y∣=4⇒y=4|y|=4 \Rightarrow y=4 noktasıdır. Tepe noktası (2,4)(2, 4)'tür.
Üçgenin yüksekliğini hesaplamak için tepe noktasının bilinmesi gerekir.
4
Üçgenin alanını hesapla
Taban uzunluğu 5−(−1)=65 - (-1) = 6 birim. Yükseklik 4−1=34 - 1 = 3 birim. Alan = 6×32=9\frac{6 \times 3}{2} = 9 birimkare.
Üçgen alanı formülü (Taban x Yükseklik / 2) uygulanır.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Grafiği ve Bölge Alanı

İpuçları

1
Eşitsizliği sağlayan bölgeyi çizmek için önce mutlak değerlerin kritik noktalarını (içini sıfır yapan değerler) bulun.
2
∣x−2∣+∣y∣=4|x - 2| + |y| = 4 denklemi, merkezi (2,0)(2, 0) olan bir kare (eşkenar dörtgen) oluşturur. Tepe noktalarını belirleyin.
3
Bölge, y=1y=1 doğrusu ile kesildiğinde üstte kalan kısım bir üçgendir. Bu üçgenin taban noktalarını bulmak için denklemde y=1y=1 yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, ∣x∣+∣y∣≤6|x| + |y| \le 6 ve y≥xy \ge x eşitsizliklerinin kesişim alanını hesaplayınız.

Alternatif Yöntem

Yamuk alanı yöntemi: y≥0y \ge 0 bölgesinin alanı (yarım kare) 16'dır. 0≤y≤10 \le y \le 1 arasındaki yamuğun alanı ise Alt Taban=8, Üst Taban=6, Yükseklik=1 olduğundan (8+6)/2 * 1 = 7'dir. İstenen alan 16 - 7 = 9 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 387Soru →

Bir ABCDABCD eşkenar dörtgeninde, DD köşesinden [AB][AB] kenarına indirilen [DH][DH] dikmesi, [AB][AB] kenarını iki eş parçaya bölmektedir.

Eşkenar dörtgenin çevresi 3232 cm olduğuna göre, bu eşkenar dörtgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32332\sqrt{3}

Cevap

Eşkenar dörtgenin alanı 32332\sqrt{3} cm2\text{cm}^2 dir.
Verilen çevre uzunluğundan bir kenar 8 cm bulunur. İndirilen dikmenin kenarı ikiye bölmesi, oluşan üçgenin eşkenar olmasını ve dolayısıyla taban açısının 60 derece olmasını gerektirir. Buradan yükseklik 434\sqrt{3} cm bulunur ve alan 32332\sqrt{3} cm 2^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bul.
Çevre = 4a=324a = 32 cm olduğundan, bir kenar uzunluğu a=8a = 8 cm'dir.
Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.
2
Verilen geometrik özelliği kullanarak üçgenin yapısını belirle.
[DH][DH] hem yükseklik hem de kenarortay (∣AH∣=∣HB∣=4|AH|=|HB|=4) olduğu için ADBADB üçgeni ikizkenardır (∣AD∣=∣DB∣|AD|=|DB|). ∣AD∣=a=8|AD|=a=8 olduğundan ∣DB∣=8|DB|=8 olur. Üç kenarı da 88 cm olduğu için ADBADB eşkenar üçgendir.
Bir üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay ise o üçgen ikizkenardır.
3
Eşkenar dörtgenin yüksekliğini (hh) hesapla.
ADBADB eşkenar üçgen olduğundan m(DAB^)=60∘m(\widehat{DAB}) = 60^\circ dir. ADHADH dik üçgeninde (veya eşkenar üçgen yüksekliği formülünden): h=∣DH∣=8⋅sin⁡(60∘)=8⋅32=43h = |DH| = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} cm.
30-60-90 üçgeni özellikleri veya trigonometrik oranlar.
4
Alanı hesapla.
Alan = Taban ⋅\cdot Yükseklik = 8⋅43=3238 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Paralelkenar ve eşkenar dörtgende alan formülü.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende bir köşeden inilen dikme kenarı ortalıyorsa, oluşan üçgen eşkenardır ve dar açı 60∘60^\circ dir.
Soru 388Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8|AB| = 8 cm, ∣AC∣=15|AC| = 15 cm ve m(BAC^)<90∘m(\widehat{BAC}) < 90^\circ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, ABCABC üçgeninin üçüncü kenarı olan ∣BC∣|BC| uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9 farklı tam sayı değeri vardır.
Üçgenin var olabilmesi için ∣BC∣|BC| uzunluğu öncelikle üçgen eşitsizliğini (7<x<237 < x < 23) sağlamalıdır. Ayrıca soruda verilen m(A^)<90∘m(\widehat{A}) < 90^\circ şartı gereği, kenar uzunluğu Pisagor teoremindeki hipotenüs değerinden küçük olmalıdır (x<17x < 17). Bu iki koşulun kesişimi 7<x<177 < x < 17 aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar 8'den 16'ya kadardır ve toplam 9 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgen eşitsizliğini uygula.
∣15−8∣<∣BC∣<15+8⇒7<∣BC∣<23|15 - 8| < |BC| < 15 + 8 \Rightarrow 7 < |BC| < 23
Bir üçgenin bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür.
2
Açı şartını (Dar Açı) uygula.
∣BC∣2<82+152⇒∣BC∣2<64+225⇒∣BC∣2<289⇒∣BC∣<17|BC|^2 < 8^2 + 15^2 \Rightarrow |BC|^2 < 64 + 225 \Rightarrow |BC|^2 < 289 \Rightarrow |BC| < 17
m(A^)<90∘m(\widehat{A}) < 90^\circ ise, a2<b2+c2a^2 < b^2 + c^2 (Pisagor eşitsizliği) geçerlidir.
3
İki eşitsizliği birleştirerek ortak çözüm aralığını bul.
7<∣BC∣7 < |BC| ve ∣BC∣<17|BC| < 17 olduğundan ortak aralık: 7<∣BC∣<177 < |BC| < 17
Kenar uzunluğu her iki koşulu da aynı anda sağlamalıdır.
4
Aralıktaki tam sayıları say.
Değerler: 8,9,10,11,12,13,14,15,168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Toplam 9 tane.
Sonlu aralıktaki tam sayı adedi: (U¨stSınır−AltSınır)−1=17−7−1=9(Üst Sınır - Alt Sınır) - 1 = 17 - 7 - 1 = 9.

Anahtar Kavram

Üçgende kenar uzunlukları hem temel üçgen eşitsizliğini (∣b−c∣<a<b+c|b-c| < a < b+c) hem de açıya bağlı özel durumları (Pisagor eşitsizlikleri) sağlamalıdır.

İpuçları

1
Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.
2
m(A^)=90∘m(\widehat{A}) = 90^\circ olsaydı ∣BC∣|BC| kaç olurdu? Açı 90∘90^\circ'den küçük olduğuna göre ∣BC∣|BC| nasıl etkilenir?
3
8-15-17 özel üçgenini hatırlayın. Açı dar olduğuna göre ∣BC∣|BC| kenarı 17'den küçük olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ (Geniş Açı) koşulu verildiğinde çözüm aralığının nasıl değişeceğini inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 389Soru →

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] olarak verilmiştir. AA köşesinin [BC][BC] hipotenüsüne olan en kısa uzaklığı 6 cm, [BC][BC] kenarının orta noktasına olan uzaklığı ise 12 cm'dir. m(ABC^)>m(ACB^)m(\widehat{ABC}) > m(\widehat{ACB}) olduğuna göre, m(ACB^)m(\widehat{ACB}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Aranan açı 15 derecedir.
Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay (∣AD∣|AD|), hipotenüsün ayırdığı parçalara eşittir (∣DC∣|DC|). Bu durum ADCADC üçgeninin ikizkenar olmasını sağlar. Yükseklik üçgeninde (AHDAHD) hipotenüs (1212), dik kenarın (66) iki katı olduğu için tepe açısı (kenarortayın tabanla yaptığı açı) 30∘30^\circ bulunur. İkizkenar ADCADC üçgeninde dış açı 30∘30^\circ ise, taban açısı olan CC açısı 15∘15^\circ olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen uzunlukları tanımlayalım.
AA köşesinden inilen dikme ayağına HH, orta noktaya DD diyelim. ∣AH∣=6|AH| = 6 cm (yükseklik), ∣AD∣=12|AD| = 12 cm (kenarortay) olur.
En kısa uzaklık yüksekliktir; orta noktaya olan uzaklık kenarortaydır.
2
AHDAHD dik üçgeninde açıları inceleyelim.
Hipotenüs ∣AD∣=12|AD|=12 ve dik kenar ∣AH∣=6|AH|=6 olduğu için bu bir 30-60-90 üçgenidir. sin⁡(ADH^)=612=12\sin(\widehat{ADH}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} olduğundan m(ADH^)=30∘m(\widehat{ADH}) = 30^\circ olur.
Bir dik üçgende dik kenar hipotenüsün yarısı ise, o kenarı gören açı 30∘30^\circ dir.
3
Muhteşem üçlü kuralını ve ikizkenar üçgen özelliklerini kullanalım.
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir (∣AD∣=∣DC∣=∣BD∣|AD| = |DC| = |BD|). Dolayısıyla ADCADC üçgeni ikizkenardır.
Muhteşem üçlü kuralı gereği ∣AD∣=∣DC∣|AD| = |DC|.
4
Dış açı kuralı ile CC açısını hesaplayalım.
ADCADC üçgeninde m(DAC^)=m(ACD^)=xm(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ACD}) = x dersek, iki iç açının toplamı komşu olmayan dış açıya (m(ADH^)m(\widehat{ADH})) eşittir. 2x=30∘⇒x=15∘2x = 30^\circ \Rightarrow x = 15^\circ.
Bir üçgende iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü) ve yükseklik ile kenarortay arasındaki açı ilişkisi.

İpuçları

1
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayı çizin. Bu kenarortayın uzunluğu ile ayırdığı parçalar arasındaki ilişkiyi hatırlayın (Muhteşem Üçlü).
2
Oluşan dik üçgende hipotenüs 12 cm, bir dik kenar 6 cm'dir. Bu size hangi özel üçgeni hatırlatıyor?
3
Kenarortayın hipotenüsle yaptığı açı 30∘30^\circ'dir. Kenarortay hipotenüsün yarısına eşit olduğundan oluşan ikizkenar üçgende dış açı kuralını uygulayın.

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: Bir dik üçgende yükseklik (hh) ile kenarortay (VaV_a) arasındaki açı α=∣B−C∣\alpha = |B - C|'dir. AHDAHD üçgeninde cos⁡(α)=6/12=1/2⇒α=60∘\cos(\alpha) = 6/12 = 1/2 \Rightarrow \alpha = 60^\circ. ∣B−C∣=60∘|B - C| = 60^\circ ve B+C=90∘B + C = 90^\circ. Bu denklem sistemi çözülerek 2C=30∘⇒C=15∘2C = 30^\circ \Rightarrow C = 15^\circ bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 390Soru →

Bir ABCABC dik üçgeninde [BA]⊥[AC][BA] \perp [AC] ve m(ACB^)=30∘m(\widehat{ACB}) = 30^\circ olarak verilmiştir. BB köşesine ait açıortay [AC][AC] kenarını DD noktasında kesmektedir.

∣AD∣=6|AD| = 6 cm olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12312\sqrt{3}

Cevap

12312\sqrt{3} cm
Verilen ABCABC dik üçgeninde CC açısı 30∘30^\circ olduğundan BB açısı 60∘60^\circ olur. Açıortay bu açıyı 30∘−30∘30^\circ-30^\circ böler. Oluşan ABDABD üçgeni (30-60-90) kullanılarak ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3} cm bulunur. Büyük üçgende ise hipotenüs ∣BC∣|BC|, ∣AB∣|AB|'nin 2 katıdır; yani 12312\sqrt{3} cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin açılarını belirle
ABCABC üçgeninde A=90∘A=90^\circ ve C=30∘C=30^\circ olduğundan, B=60∘B=60^\circ'dir. BDBD açıortay olduğu için BB açısını 30∘30^\circ ve 30∘30^\circ olarak ikiye böler.
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ'dir ve açıortay açıyı iki eş parçaya ayırır.
2
ABDABD üçgenini analiz et
ABDABD üçgeninde A=90∘A=90^\circ ve m(ABD^)=30∘m(\widehat{ABD})=30^\circ'dir. Bu bir 30-60-90 üçgenidir. 30∘30^\circ karşısındaki kenar ∣AD∣=6|AD|=6 cm ise, 60∘60^\circ karşısındaki kenar ∣AB∣=63|AB| = 6\sqrt{3} cm olur.
30-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 3\sqrt{3} katıdır.
3
ABCABC büyük üçgeninde hipotenüsü (∣BC∣|BC|) hesapla
Büyük ABCABC üçgeni de bir 30-60-90 üçgenidir. 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar ∣AB∣=63|AB|=6\sqrt{3} cm olduğuna göre, 90∘90^\circ'nin karşısındaki hipotenüs ∣BC∣=2⋅(63)=123|BC| = 2 \cdot (6\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} cm bulunur.
30-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Anahtar Kavram

30-60-90 Üçgeni Özellikleri ve Açıortay

İpuçları

1
Üçgenin iç açılar toplamından BB açısının tamamını bulun ve açıortayın bu açıyı nasıl böldüğünü düşünün.
2
ABDABD üçgeni bir özel üçgendir (30-60-90). 30∘30^\circ'nin karşısı 6 cm ise, diğer dik kenar (ABAB) ne olur?
3
∣AB∣|AB| uzunluğunu bulduktan sonra büyük üçgen (ABCABC) için 30-60-90 özelliğini tekrar kullanın: Hipotenüs (BCBC), 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır.

Alternatif Yöntem

m(DBC^)=30∘m(\widehat{DBC}) = 30^\circ ve m(C^)=30∘m(\widehat{C}) = 30^\circ olduğu için BDCBDC üçgeni ikizkenardır (∣BD∣=∣DC∣|BD|=|DC|). ABDABD üçgeninde hipotenüs ∣BD∣=12|BD|=12 bulunur, dolayısıyla ∣DC∣=12|DC|=12 olur. Buradan ∣AC∣=18|AC|=18 bulunur. sin⁡(60∘)=∣AC∣/∣BC∣⇒3/2=18/∣BC∣\sin(60^\circ) = |AC|/|BC| \Rightarrow \sqrt{3}/2 = 18/|BC| işlemiyle de sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 391Soru →

Şekildeki OO merkezli dairenin yarıçapı ∣OA∣=4|OA| = 4 cm'dir. Buna göre, bu dairenin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Dairenin alanı 48 cm2\text{cm}^2'dir.
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile hesaplanır. Yarıçapı 44 cm olan bir dairede, π\pi sayısı 33 olarak alındığında alan 3×42=3×16=483 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 cm2\text{cm}^2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dairenin yarıçapını (rr) belirleyin.
r=4r = 4 cm
Soruda ∣OA∣|OA| uzunluğu yarıçap olarak verilmiştir.
2
Dairenin alan formülünü uygulayın.
Alan=π×r2Alan = \pi \times r^2
Dairenin yüzey büyüklüğünü bulmak için alan formülü kullanılır.
3
Verilen değerleri formülde yerine yazın.
Alan=3×42Alan = 3 \times 4^2
π=3\pi = 3 ve r=4r = 4 olarak belirtilmiştir.
4
İşlemi sonuçlandırın.
3×16=483 \times 16 = 48 cm2\text{cm}^2
Önce üslü sayı (42=164^2=16), sonra çarpma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Dairenin Alanı

İpuçları

1
Dairenin alanını bulmak için yarıçapın karesini kullanmalısınız.
2
Alan formülü π×r2\pi \times r^2 şeklindedir. Burada π=3\pi = 3 ve r=4r = 4 cm'dir.
3
Önce 44'ün karesini (4×44 \times 4) bulun, ardından çıkan sonucu 33 ile çarpın.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı iki katına çıkarılan bir dairenin alanının kaç katına çıkacağını hesaplayarak benzerlik ilişkisini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eğer çap verilseydi (d=8d=8), alan formülü πd24\frac{\pi d^2}{4} şeklinde de kullanılabilirdi: 3×824=3×644=3×16=48\frac{3 \times 8^2}{4} = \frac{3 \times 64}{4} = 3 \times 16 = 48.
Tahmini Süre:45s
Soru 392Soru →

Ayrıt uzunlukları 3 cm3\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 12 cm12\text{ cm} olan bir dikdörtgenler prizması aşağıda modellenmiştir. Bu prizmanın birbirine en uzak iki köşesini birleştiren cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni uzunluğu 13 cm13\text{ cm} olarak bulunur.
Verilen 33, 44 ve 1212 ayrıt uzunlukları için cisim köşegeni 32+42+122=9+16+144=169=13\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın ayrıtlarını aa, bb ve cc olarak belirleyin.
a=3 cma = 3\text{ cm}, b=4 cmb = 4\text{ cm} ve c=12 cmc = 12\text{ cm}
Cisim köşegeni formülünü uygulamak için temel boyutların bilinmesi gerekir.
2
Cisim köşegeni formülünü (d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}) uygulayın.
d=32+42+122=9+16+144d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144}
Bir dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, üç farklı ayrıtın karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
3
Kök içindeki toplamı hesaplayın ve karekökünü alın.
169=13\sqrt{169} = 13
132=16913^2 = 169 olduğu için sonuç rasyonel bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni uzunluğu d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} formülüyle hesaplanır.

İpuçları

1
Cisim köşegeni, bir kutunun içinde çizilebilecek en uzun doğru parçasıdır.
2
Önce tabandaki 33 ve 44 birimlik kenarlardan oluşan dik üçgenin hipotenüsünü (taban köşegenini) bulun, sonra bu uzunluğu ve yüksekliği kullanarak ikinci bir Pisagor yapın.
3
Ayrıtları a,b,ca, b, c olan prizmanın cisim köşegeni a2+b2+c2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} formülüyle bulunur. 32+42+1223^2 + 4^2 + 12^2 işleminin sonucuna odaklanın.

Daha Fazla Pratik

Bir ayrıtı aa olan bir küpün cisim köşegeninin neden a3a\sqrt{3} olduğunu bu formülden türetmeye çalışın.

Alternatif Yöntem

İki aşamalı Pisagor: 1) Taban köşegeni k=32+42=5k = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5. 2) Cisim köşegeni d=k2+122=52+122=13d = \sqrt{k^2 + 12^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 393Soru →

ABCABC bir üçgen, [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC]'dir. Şekilde verilen ∣AD∣=4|AD| = 4 cm, ∣DB∣=2|DB| = 2 cm ve ∣AE∣=6|AE| = 6 cm değerlerine göre, ∣EC∣|EC| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Üçgende benzerlik ve temel orantı teoremi kurallarına göre ∣EC∣=3|EC| = 3 cm'dir.
Üçgenin bir kenarına çizilen paralel doğru, diğer kenarları orantılı böler. ADAD uzunluğunun DBDB uzunluğuna oranı 4/2=24/2 = 2 olduğundan, AEAE uzunluğunun ECEC uzunluğuna oranı da 22 olmalıdır. 6/3=26/3 = 2 eşitliğinden ∣EC∣|EC| uzunluğu 33 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paralellik durumunda kenarlar arasındaki orantıyı belirle.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için Temel Orantı Teoremi (Thales) gereği ∣AD∣∣DB∣=∣AE∣∣EC∣\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} eşitliği yazılır.
Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, kestiği kenarları orantılı parçalara ayırır.
2
Verilen sayısal değerleri formülde yerine koy.
42=6∣EC∣\frac{4}{2} = \frac{6}{|EC|}
∣AD∣=4,∣DB∣=2|AD|=4, |DB|=2 ve ∣AE∣=6|AE|=6 bilgileri soruda verilmiştir.
3
Bilinmeyen ∣EC∣|EC| değerini hesapla.
2=6∣EC∣⇒∣EC∣=32 = \frac{6}{|EC|} \Rightarrow |EC| = 3 cm
Eşitliğin sol tarafındaki 4/24/2 oranı 22'ye eşittir. 22 ile ne çarpılırsa 66 eder veya 66 neye bölünürse 22 eder mantığıyla sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Temel Orantı Teoremi

İpuçları

1
[DE][DE] ve [BC][BC] doğrularının birbirine paralel olması, üçgenler arasında bir benzerlik veya kenarlar arasında bir orantı olduğunu gösterir.
2
Temel orantı teoremini hatırla: Üçgenin içindeki paralel doğru kenarları hangi oranda bölüyorsa, karşı kenarı da aynı oranda böler.
3
ADAD uzunluğu DBDB uzunluğunun tam 22 katıdır (4=2×24 = 2 \times 2). Aynı kat ilişkisi karşı tarafta AEAE ve ECEC arasında da olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Bu soruda ∣EC∣|EC| yerine tüm ∣AC∣|AC| uzunluğu da sorulabilirdi. Benzerlik oranını kullanarak taban uzunlukları (DEDE ve BCBC) arasındaki ilişkiyi de inceleyebilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 394Soru →

Bir dışbükey dörtgenin üç iç açısının ölçüsü sırasıyla 80∘80^\circ, 110∘110^\circ ve 70∘70^\circ olarak verilmiştir. Buna göre, bu dörtgenin dördüncü iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100∘100^\circ

Cevap

Dörtgenin dördüncü iç açısının ölçüsü 100∘100^\circ'dir.
Dörtgenlerin iç açılarının toplamı 360∘360^\circ kuralına dayanarak, verilen 80∘80^\circ, 110∘110^\circ ve 70∘70^\circ açılarının toplamı olan 260∘260^\circ değeri 360∘360^\circ değerinden çıkarıldığında sonuç 100∘100^\circ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dörtgenin temel açı özelliğini hatırla.
Tüm dışbükey dörtgenlerin iç açılarının toplamı her zaman 360∘360^\circ'dir.
Dörtgenler, bir köşegenle iki adet üçgene ayrılabildiği için (180∘+180∘180^\circ + 180^\circ) toplam 360∘360^\circ eder.
2
Verilen üç açının toplamını hesapla.
80∘+110∘+70∘=260∘80^\circ + 110^\circ + 70^\circ = 260^\circ
Bilinmeyen açıyı bulmak için öncelikle bilinen açıların toplam miktarını bilmemiz gerekir.
3
Toplam açıdan bilinenleri çıkararak dördüncü açıyı bul.
360∘−260∘=100∘360^\circ - 260^\circ = 100^\circ
Dörtgenin iç açılar toplamı kuralını tamamlamak için eksik olan parça hesaplanır.

Anahtar Kavram

Dörtgenlerin iç açılarının toplamı her zaman 360∘360^\circ'dir.

İpuçları

1
Bir dörtgenin iç açılarını topladığımızda elde edeceğimiz sabit bir sayı vardır.
2
Dörtgenin iç açılar toplamı, bir üçgenin iç açılar toplamının iki katıdır.
3
İç açılar toplamı olan 360∘360^\circ değerinden, bildiğiniz üç açının toplamını çıkarın.

Daha Fazla Pratik

İç açıları verilen bir paralelkenarda dördüncü açıyı bulma egzersizleri yaparak bu kuralı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dörtgeni bir köşegenle iki üçgene ayırdığınızı hayal edin. Her bir üçgen 180∘180^\circ ise toplam 360∘360^\circ olur. Verilenleri toplayıp bu sayıdan çıkararak dördüncü açıyı elde edersiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 395Soru →

Merkezleri çakışık (eş merkezli) iki daireden oluşan bir sistemde, iki daire arasında kalan halkanın alanı, içteki küçük dairenin alanına eşittir. Büyük dairenin, küçük daireye teğet olan kirişinin uzunluğu 1212 cm olduğuna göre, küçük dairenin yarıçapı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

Küçük dairenin yarıçapı 6 cm'dir.
Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ikiye böler (6 cm). Pisagor teoreminden R2−r2=36R^2 - r^2 = 36 bulunur. Soruda halka alanının (π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2)) iç daire alanına (πr2\pi r^2) eşit olduğu verilmiştir. Buradan 36π=πr236\pi = \pi r^2 eşitliği ile r=6r=6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen geometrik yapıyı ve değişkenleri tanımla.
Büyük dairenin yarıçapı RR, küçük dairenin yarıçapı rr olsun. Kiriş uzunluğu 1212 cm verildiğinden, teğet noktasında kiriş iki eşit parçaya bölünür: 66 cm ve 66 cm.
Merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap, kirişi dik ortalar.
2
Pisagor bağıntısını kullanarak RR ve rr arasındaki ilişkiyi kur.
Oluşan dik üçgende hipotenüs RR, dik kenarlar rr ve 66 cm'dir. Bağıntı: R2=r2+62⇒R2−r2=36R^2 = r^2 + 6^2 \Rightarrow R^2 - r^2 = 36.
Halka alanı formülü için R2−r2R^2 - r^2 ifadesine ihtiyaç vardır.
3
Problemde verilen alan eşitliğini matematiksel denkleme dök.
Halka Alanı = Küçük Daire Alanı ⇒π(R2−r2)=πr2\Rightarrow \pi(R^2 - r^2) = \pi r^2.
Soruda verilen temel koşul budur.
4
Bulunan eşitlikleri birleştirerek rr değerini hesapla.
İkinci denklemde R2−r2R^2 - r^2 yerine 36 yazılır: 36π=πr2⇒r2=36⇒r=636\pi = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6 cm.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Halka Alanı ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
Şekli çiziniz: İç içe iki çember ve büyük çemberin kirişi küçük çembere teğet. Merkez ile teğet noktasını birleştiren yarıçapı çizin.
2
Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eşit parçaya böler. Burada oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını yazın (RR, rr ve 66 arasında).
3
Halka alanı π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2) formülü ile bulunur. Bu ifadeyi Pisagor'dan bulduğunuz değerle (3636) eşleştirip, soruda verilen 'halka alanı = iç daire alanı' eşitliğinde kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, halkanın alanı verilip kiriş uzunluğunun sorulduğu durumu inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik Kural: Bir halkada, iç çembere teğet olan kirişin uzunluğu 2x2x ise, halkanın alanı yarıçapı xx olan bir dairenin alanına eşittir (πx2\pi x^2). Burada 2x=12⇒x=62x=12 \Rightarrow x=6. Halka alanı 36π36\pi olur. 36π=πr236\pi = \pi r^2 eşitliğinden r=6r=6 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 396Soru →

ABCABC bir üçgen, D∈[BC]D \in [BC], E∈[AC]E \in [AC] ve F∈[AB]F \in [AB] noktaları işaretlenmiştir. ∣BD∣=∣BF∣|BD| = |BF|, ∣CD∣=∣CE∣|CD| = |CE| ve m(BAC^)=80∘m(\widehat{BAC}) = 80^\circ olduğuna göre, m(FDE^)=αm(\widehat{FDE}) = \alpha kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5050

Cevap

İç açı toplamları ve ikizkenar üçgen özellikleri kullanıldığında α\alpha açısı 50∘50^\circ olarak bulunur.
ABCABC üçgeninde tepe açısı 80∘80^\circ ise taban açılarının toplamı 100∘100^\circ olur. DD noktasındaki doğru açı bütünlüğü kullanıldığında, α\alpha açısı bu iki taban açısı toplamının yarısına eşit çıkmaktadır (100/2=50100/2=50).

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninin iç açılarını belirleme.
m(B^)+m(C^)=180∘−80∘=100∘m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ
Üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180∘180^\circ derecedir.
2
İkizkenar üçgenlerin taban açılarını ifade etme.
m(BDF^)=180∘−m(B^)2m(\widehat{BDF}) = \frac{180^\circ - m(\widehat{B})}{2} ve m(CDE^)=180∘−m(C^)2m(\widehat{CDE}) = \frac{180^\circ - m(\widehat{C})}{2}
∣BD∣=∣BF∣|BD| = |BF| ve ∣CD∣=∣CE∣|CD| = |CE| olduğu için bu üçgenler ikizkenardır ve taban açıları eşittir.
3
Doğru açı özelliğini kullanarak α\alpha açısını hesaplama.
α=180∘−(m(BDF^)+m(CDE^))=180∘−[180∘−m(B^)+m(C^)2]=m(B^)+m(C^)2=100∘2=50∘\alpha = 180^\circ - (m(\widehat{BDF}) + m(\widehat{CDE})) = 180^\circ - [180^\circ - \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})}{2}] = \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ
BCBC doğrusu üzerindeki DD noktasında oluşan açıların toplamı 180∘180^\circ derecedir.

Anahtar Kavram

Üçgende iç açılar toplamı ve ikizkenar üçgenin taban açılarının eşitliği.

İpuçları

1
BB ve CC açılarının toplamını bularak işe başlayın.
2
BD=BFBD=BF ve CD=CECD=CE eşitliklerini kullanarak DD noktası etrafındaki komşu açıları bulun.
3
DD noktasındaki üç açının toplamının 180∘180^\circ olduğunu kullanarak α\alpha'yı çekin.

Daha Fazla Pratik

Tepe açısı 80∘80^\circ yerine farklı bir değer verildiğinde sonucun nasıl değiştiğini gözlemlemek için benzer bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 397Soru →

Taban ayrıtları 66 cm ve 88 cm, yüksekliği 1212 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki boş bir kabın içinde 99 cm yüksekliğinde su bulunmaktadır. Bu kabın içerisine, bir ayrıtının uzunluğu 66 cm olan demir bir küp tamamen batacak şekilde bırakılıyor. Buna göre, kaptan taşan suyun hacmi kaç cm3\text{cm}^3 olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7272

Cevap

Kaptan taşan suyun hacmi 72 cm^3 olur.
Prizmanın taban alanı 48 cm248 \text{ cm}^2 ve boş yüksekliği 33 cm'dir, dolayısıyla 144 cm3144 \text{ cm}^3 boş alan vardır. İçeriye atılan küpün hacmi 216 cm3216 \text{ cm}^3 olduğundan, bu hacmin 144 cm3144 \text{ cm}^3 kısmı boşluğu doldurur, geriye kalan 72 cm372 \text{ cm}^3 ise dışarı taşar.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın taban alanını ve suyun üzerindeki boş kısmın hacmini hesapla.
Taban Alanı = 6×8=48 cm26 \times 8 = 48 \text{ cm}^2. Boş kısmın yüksekliği = 12−9=312 - 9 = 3 cm. Boş hacim = 48×3=144 cm348 \times 3 = 144 \text{ cm}^3.
Kaba atılan nesnenin taşmaya neden olması için önce kaptaki boşluğu doldurması gerekir.
2
Kaba atılan demir küpün hacmini hesapla.
Hacim = a3=63=216 cm3a^3 = 6^3 = 216 \text{ cm}^3.
Batan her cisim, kendi hacmi kadar suyun yerini değiştirir.
3
Taşan suyun hacmini bulmak için küpün hacminden boş hacmi çıkar.
Taşan Hacim = 216−144=72 cm3216 - 144 = 72 \text{ cm}^3.
Küpün hacmi boşluktan büyük olduğu için aradaki fark kadar su dışarı taşar.

Anahtar Kavram

Batan cisimlerin hacmi ve sıvı taşma prensibi

İpuçları

1
Cisim kaba girdiğinde önce suyun üzerindeki boşluğu doldurur.
2
Prizmanın boş kısmının hacmini (Taban Alanı x Boş Yükseklik) ve küpün hacmini (a3a^3) ayrı ayrı hesaplayın.
3
Taşan su = (Küpün Hacmi) - (Prizmanın Boş Hacmi) formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Eğer cisim tamamen batmasaydı veya su seviyesi değişimi sorulsaydı nasıl bir yol izlenirdi?
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 398Soru →

Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve m(ACB^)=15∘m(\widehat{ACB}) = 15^\circ olarak verilmiştir. AA köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı HH ve [BC][BC] kenarının orta noktası KK noktasıdır. Eğer ∣HK∣=23|HK| = 2\sqrt{3} cm ise, hipotenüs uzunluğu ∣BC∣|BC| kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Hipotenüs uzunluğu 8 cm'dir.
Soruda verilen 15−75−9015-75-90 üçgeni özelliği gereği yükseklik hipotenüsün dörtte biridir (ha=∣BC∣/4h_{a} = |BC|/4). Kenarortay ise hipotenüsün yarısıdır (∣AK∣=∣BC∣/2=2ha|AK| = |BC|/2 = 2h_{a}). Oluşan AHKAHK dik üçgeninde hipotenüs 2h2h, dik kenar hh olduğundan bu bir 30−60−9030-60-90 üçgenidir ve diğer dik kenar ∣HK∣=h3|HK| = h\sqrt{3} olur. Verilen ∣HK∣=23|HK|=2\sqrt{3} eşitliğinden h=2h=2 bulunur. Buradan hipotenüs ∣BC∣=4h=8|BC|=4h=8 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
15−75−9015-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin (hh), hipotenüsün (∣BC∣|BC|) dörtte biri olduğunu hatırlayalım.
∣AH∣=h|AH| = h ve ∣BC∣=4h|BC| = 4h.
15−75−9015-75-90 üçgeninin temel özelliği: hhyp=14⋅Hyph_{hyp} = \frac{1}{4} \cdot Hyp.
2
Muhteşem üçlü kuralını kullanarak kenarortay uzunluğunu (∣AK∣|AK|) hh cinsinden ifade edelim.
∣AK∣=∣BC∣2=4h2=2h|AK| = \frac{|BC|}{2} = \frac{4h}{2} = 2h.
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
3
AHKAHK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak hh değerini bulalım.
h2+(23)2=(2h)2⇒h2+12=4h2⇒3h2=12⇒h=2h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2h)^2 \Rightarrow h^2 + 12 = 4h^2 \Rightarrow 3h^2 = 12 \Rightarrow h = 2.
AHKAHK üçgeninde hipotenüs 2h2h, bir dik kenar hh ise diğer dik kenar h3h\sqrt{3}'tür (30-60-90 üçgeni).
4
Bulunan hh değerini kullanarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu hesaplayalım.
∣BC∣=4h=4⋅2=8|BC| = 4h = 4 \cdot 2 = 8 cm.
Soruda istenen hipotenüs uzunluğudur.

Anahtar Kavram

15-75-90 üçgeninde yükseklik-hipotenüs ilişkisi (h=4ah=4a) ve muhteşem üçlü kuralının bir arada kullanımı.

İpuçları

1
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).
2
15-75-90 üçgeninde hipotenüse ait yükseklik (hh) ile hipotenüs (aa) arasında h=a/4h = a/4 bağıntısı vardır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, 22.5-67.5-90 üçgeninde yükseklik ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi (h=a/22h = a / 2\sqrt{2}) inceleyiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 399Soru →

OO merkezli ve yarıçapı 66 cm olan bir çeyrek daire içine; [OB][OB] yarıçapını çap kabul eden bir yarım daire ile hem bu yarım daireye, hem [OA][OA] yarıçapına, hem de çeyrek dairenin yayına teğet olan MM merkezli küçük bir çember çiziliyor.

Buna göre, MM merkezli küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,5

Cevap

Küçük çemberin yarıçapı 1,5 cm'dir.
Küçük çemberin yarıçapı rr olsun. Merkezini koordinat sisteminde (r,y)(r, y) olarak alabiliriz (y-eksenine teğet olduğu için). Büyük çeyrek daireye içten teğet olduğu için orijine uzaklığı 6−r6-r, yarım daireye dıştan teğet olduğu için yarım daire merkezine (3,0)(3,0) uzaklığı 3+r3+r olur. Bu iki koşuldan elde edilen y2=12ry^2 = 12r ve y2=36−12ry^2 = 36-12r denklemleri eşitlendiğinde 24r=3624r = 36 bulunur, buradan r=1,5r=1,5 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çeyrek daireyi koordinat düzlemine yerleştirme ve merkezleri belirleme
O(0,0)O(0,0) orijin olsun. OAOA y ekseni üzerinde, OBOB x ekseni üzerinde olsun. Yarım dairenin çapı OBOB üzerinde olduğundan, merkezi K(3,0)K(3,0) ve yarıçapı 33 cm olur.
Geometrik şekillerin konumlarını analitik düzlemde ifade etmek, teğetlik koşullarını denkleme dökmeyi kolaylaştırır.
2
Küçük çemberin merkez koordinatlarını ve teğetlik koşullarını yazma
Küçük çemberin yarıçapı rr olsun. OAOA (y-ekseni) doğrusuna teğet olduğu için merkezinin x koordinatı rr olur. Merkeze M(r,y)M(r, y) diyelim.
Bilinmeyen yarıçap rr ile merkez koordinatları arasında ilişki kurmak gerekir.
3
Pisagor bağıntılarını kurma (İki çember arası uzaklık)
1. Küçük çember ile büyük çeyrek daire (yarıçap 6) içten teğet: ∣OM∣=6−r⇒r2+y2=(6−r)2|OM| = 6 - r \Rightarrow r^2 + y^2 = (6-r)^2. 2. Küçük çember ile yarım daire (yarıçap 3, merkez (3,0)(3,0)) dıştan teğet: ∣MK∣=3+r⇒(r−3)2+y2=(3+r)2|MK| = 3 + r \Rightarrow (r-3)^2 + y^2 = (3+r)^2.
Teğet çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık, yarıçapların toplamına (dıştan teğet) veya farkına (içten teğet) eşittir.
4
Denklem sistemini çözme
İkinci denklemden: r2−6r+9+y2=r2+6r+9⇒y2=12rr^2 - 6r + 9 + y^2 = r^2 + 6r + 9 \Rightarrow y^2 = 12r. Birinci denklemden: r2+y2=36−12r+r2⇒y2=36−12rr^2 + y^2 = 36 - 12r + r^2 \Rightarrow y^2 = 36 - 12r. Eşitleyelim: 12r=36−12r⇒24r=36⇒r=1,512r = 36 - 12r \Rightarrow 24r = 36 \Rightarrow r = 1,5.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek yarıçapı bulmak.

Anahtar Kavram

Çemberlerde Teğetlik ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
Şekli analitik düzleme (koordinat sistemi) yerleştirmeyi deneyin. O noktası orijin olsun.
2
Yarım dairenin merkezi (3,0) noktasıdır. Küçük çemberin merkezi ile yarım dairenin merkezi arasındaki uzaklığı yazın.
3
Küçük çemberin yarıçapına rr, merkezinin ordinatına yy diyerek iki farklı Pisagor denklemi kurun: Biri orijine (0,0)(0,0) göre, diğeri yarım daire merkezine (3,0)(3,0) göre.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, yarım daire yerine çeyrek daire içine çizilen tam daire (Sangaku problemi) üzerinden sorarak pekiştirme yapılabilir.

Alternatif Yöntem

Descartes Çember Teoremi (Soddy Circles) genelleştirilmiş haliyle de çözülebilir ancak bu müfredat dışı ve daha karmaşıktır. En pratik yol dik üçgenler kurmaktır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 400Soru →

Şekildeki ABCABC üçgeninde D∈[AB]D \in [AB] ve E∈[AC]E \in [AC] noktaları alınmıştır. [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] ve [BE][BE] doğru parçası ABC^\widehat{ABC} açısının açıortayıdır. m(BAC^)=64∘m(\widehat{BAC}) = 64^\circ ve m(DEB^)=28∘m(\widehat{DEB}) = 28^\circ olduğuna göre, m(ACB^)m(\widehat{ACB}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

60∘60^\circ
Soruda verilen [DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] paralelliği sayesinde 'Z kuralı' (iç ters açılar) uygulanır ve m(EBC^)=28∘m(\widehat{EBC}) = 28^\circ bulunur. [BE][BE]'nin açıortay olması nedeniyle m(ABC^)m(\widehat{ABC}) açısının tamamı 2×28∘=56∘2 \times 28^\circ = 56^\circ olur. ABCABC üçgeninin iç açıları toplamı (180∘180^\circ) kullanılarak 64∘+56∘+m(ACB^)=180∘64^\circ + 56^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ denkleminden cevap 60∘60^\circ bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paralellikten yararlanarak iç ters açıları belirle.
[DE]∥[BC][DE] \parallel [BC] olduğu için Z kuralı gereği m(EBC^)=m(DEB^)=28∘m(\widehat{EBC}) = m(\widehat{DEB}) = 28^\circ.
Paralel doğrular arasındaki iç ters açılar birbirine eşittir.
2
Açıortay özelliğini kullanarak B açısının tamamını bul.
[BE][BE] açıortay olduğundan m(ABE^)=m(EBC^)=28∘m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{EBC}) = 28^\circ. Dolayısıyla m(ABC^)=28∘+28∘=56∘m(\widehat{ABC}) = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ.
Açıortay bir açıyı iki eş parçaya böler.
3
Üçgenin iç açıları toplamını kullanarak C açısını hesapla.
m(ABC^)+m(BAC^)+m(ACB^)=180∘⇒56∘+64∘+m(ACB^)=180∘m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ \Rightarrow 56^\circ + 64^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ. Buradan 120∘+m(ACB^)=180∘⇒m(ACB^)=60∘120^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ \Rightarrow m(\widehat{ACB}) = 60^\circ.
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ'dir.

Anahtar Kavram

Paralel doğrularda açılar (Z kuralı) ve üçgenin iç açıları toplamı.
ÖncekiSayfa 20 / 22Sonraki
Geometri — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 20 | Examkin