Kümeler ve Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

x

ve

y

değişkenleri için,

|x - 2| \le 3

|y + 1| \le 2

eşitsizlikleri veriliyor.

Bu koşulları sağlayan $(x, y)$ sıralı ikililerinin analitik düzlemde oluşturduğu kapalı bölgenin, $y \le x$ eşitsizliğini sağlayan parçasının alanı kaç birimkaredir?

22

24

12

2

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İstenen bölgenin alanı 22 birimkaredir.

Verilen eşitsizlikler analitik düzlemde köşeleri

(-1, -3)

,

(5, -3)

,

(5, 1)

ve

(-1, 1)

olan bir dikdörtgen oluşturur. Bu dikdörtgenin toplam alanı 24 birimkaredir.

y \le x

koşulu,

y=x

doğrusunun alt tarafını ifade eder. Bu doğru dikdörtgenin sol üst köşesinden bir üçgen keser. Kesilen bu üçgenin (

y > x

olduğu bölge) alanı 2 birimkaredir. Dolayısıyla geriye kalan alan

24 - 2 = 22

birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

Mutlak değer eşitsizliklerini çözerek

x

ve

y

değişkenlerinin sınırlarını belirle.

|x - 2| \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5

ve

|y + 1| \le 2 \Rightarrow -3 \le y \le 1

.

Kartezyen çarpım kümesinin (dikdörtgenin) analitik düzlemdeki sınırlarını çizmek için.

2

Oluşan dikdörtgenin toplam alanını hesapla.

Yatay uzunluk

5 - (-1) = 6

birim, dikey uzunluk

1 - (-3) = 4

birim. Toplam Alan =

6 \times 4 = 24

birimkare.

Tüm olasılık uzayının büyüklüğünü bulmak için.

3

y \le x

doğrusunun dikdörtgeni kestiği noktaları ve koşulu SAĞLAMAYAN (

y > x

) bölgeyi tespit et.

Doğru dikdörtgeni

(-1, -1)

ve

(1, 1)

noktalarında keser.

y > x

olan kısım, köşeleri

(-1, -1)

,

(1, 1)

ve

(-1, 1)

olan dik üçgendir.

Çıkarılacak alanı geometrik olarak modellemek için.

4

Dışarıda kalan üçgenin alanını toplam alandan çıkar.

Üçgenin dik kenarları 2'şer birimdir. Alanı =

(2 \times 2)/2 = 2

birimkare. Sonuç =

24 - 2 = 22

.

Sadece istenen koşulu sağlayan bölgenin alanına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım Bölgesi ve Lineer Eşitsizlikler

İpuçları

1

Öncelikle mutlak değer eşitsizliklerini çözerek

x

ve

y

'nin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulun.

2

Bulduğunuz sınırlarla analitik düzlemde bir dikdörtgen çizin ve bu dikdörtgenin toplam alanını hesaplayın.

3

y=x

doğrusunu çizin. Bu doğrunun dikdörtgenin içinde kalan kısmının üzerinde (

y > x

) kalan küçük üçgeni belirleyin ve bu üçgenin alanını toplam alandan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, kartezyen çarpım kümesi bir daire veya üçgen oluşturacak şekilde kurgulayarak çözün.

Alternatif Yöntem

İntegral kullanarak veya yamuk alanı formülüyle de hesaplanabilir:

x=-1

ile

x=1

arasında yamuk,

x=1

ile

x=5

arasında dikdörtgen oluşur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 142Soru →

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere,

f(x) = (a - 3)x^2 + (b + 2)x + a \cdot b

fonksiyonu bir sabit fonksiyondur.

Buna göre, $f(2026)$ ifadesinin değeri kaçtır?

-6

-5

0

1

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Sabit fonksiyonun değeri her

x

için aynı olup

-6

olarak hesaplanır.

Sabit fonksiyonun tanımı gereği

x^2

ve

x

içeren terimlerin katsayıları

0

olmalıdır. Bu durumda

a-3=0 \Rightarrow a=3

ve

b+2=0 \Rightarrow b=-2

bulunur. Fonksiyonun genel kuralı

f(x) = a \cdot b

şekline dönüşür. Değerler yerine yazıldığında

f(x) = 3 \cdot (-2) = -6

elde edilir. Fonksiyon sabit olduğu için

f(2026)

değeri de

-6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit fonksiyon tanımını uygula

a - 3 = 0

ve

b + 2 = 0

Sabit fonksiyonda

x, x^2, x^3...

gibi değişkenli terimlerin bulunmaması için katsayıları sıfıra eşitlenmelidir.

2

Bilinmeyen parametreleri bul

a = 3

ve

b = -2

Denklemler çözülerek fonksiyondaki sabit terimi oluşturacak

a

ve

b

değerleri belirlenir.

3

Fonksiyonun sabit değerini hesapla

f(x) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 3 \cdot (-2) = -6

Bulunan

a

ve

b

değerleri fonksiyonda yerine yazılarak sabit sayı elde edilir.

4

İstenen değeri bul

f(2026) = -6

Sabit fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman aynı görüntüye gider, bu yüzden

x

yerine ne yazılırsa yazılsın sonuç değişmez.

Anahtar Kavram

Sabit fonksiyonlarda değişkenli terimlerin katsayıları sıfırdır ve fonksiyonun değeri her noktada sabittir.

İpuçları

1

Bir fonksiyon sabit ise, içinde

x

değişkeni barındıran terimler bulunmamalıdır.

2

x^2

ve

x

önündeki katsayıları sıfıra eşitleyerek

a

ve

b

sayılarını bulun.

3

Fonksiyon

f(x) = a \cdot b

halini alacaktır. Bulduğunuz

a

ve

b

değerlerini çarpın.

Daha Fazla Pratik

Birim fonksiyon (özdeşlik fonksiyonu) sorularında ise

f(x) = x

kuralını uygulayarak katsayıları buna göre düzenlemeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun her

x

değeri için aynı sonucu vermesi gerektiğini biliyoruz.

x=0

için

f(0) = a \cdot b

ve

x=1

için

f(1) = (a-3) + (b+2) + a \cdot b

olur. Bu iki değer birbirine eşit olmalıdır (

f(0) = f(1)

), buradan katsayıların sıfır olması gerektiği çıkarımına da varılabilir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 143Soru →

Bir $A$ kümesinin eleman sayısı, $B$ kümesinin eleman sayısından 3 fazladır. $A$ kümesinin alt küme sayısı, $B$ kümesinin alt küme sayısından 112 fazla olduğuna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

4

5

7

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 7'dir.

Verilen bilgilere göre kurulan

2^{n+3} - 2^n = 112

denklemi çözüldüğünde

B

kümesinin eleman sayısı 4,

A

kümesinin eleman sayısı ise bunun 3 fazlası olan 7 olarak bulunur. 128 (A'nın alt küme sayısı) ile 16 (B'nin alt küme sayısı) arasındaki fark tam olarak 112'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Küme eleman sayılarını isimlendirme

s(B) = n

ise

s(A) = n+3

A

kümesinin eleman sayısının

B

kümesinden 3 fazla olduğu bilgisi kullanıldı.

2

Alt küme sayısı formülünü uygulama

2^{n+3} - 2^n = 112

Bir kümenin alt küme sayısı

2^n

formülü ile hesaplanır ve farkın 112 olduğu verilmiştir.

3

Üslü denklemi ortak paranteze alarak çözme

2^n \cdot (2^3 - 1) = 112 \Rightarrow 2^n \cdot 7 = 112

2^{n+3}

ifadesi

2^n \cdot 2^3

olarak yazılarak

2^n

parantezine alındı.

4

2^n

değerini ve

n

'i bulma

2^n = 16 \Rightarrow n = 4

112 sayısı 7'ye bölündüğünde 16 elde edilir ve

2^4 = 16

olduğu için

n=4

bulunur.

5

A

kümesinin eleman sayısını hesaplama

s(A) = 4 + 3 = 7

En başta

s(A) = n+3

olarak tanımlandığı için

n

yerine 4 yazılarak sonuca ulaşıldı.

Anahtar Kavram

Alt küme sayısı

2^n

formülü ile bulunur.

İpuçları

1

Bir kümenin eleman sayısı

n

ise alt küme sayısı

2^n

formülüyle bulunur.

2

B

kümesinin eleman sayısına

n

derseniz,

A

kümesinin eleman sayısı

n+3

olur. Alt küme sayıları farkını veren denklemi yazın.

3

2^{n+3} - 2^n = 112

denklemini

2^n(2^3 - 1) = 112

şeklinde ortak paranteze alarak çözmeyi deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, özalt küme sayısı verildiğinde eleman sayısını bulma sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Küçük değerlerden başlayarak deneme yapabilirsiniz.

2^n

değerlerini listelediğimizde (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...) hangi iki değer arasındaki farkın 112 olduğuna bakın. 128 ile 16 farkı 112'dir. Bu da 7 elemanlı ve 4 elemanlı iki kümeye karşılık gelir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 144Soru →

Gerçel sayılar kümesi

\mathbb{R}

üzerinde

A

ve

B

kümeleri,

A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1| \le 4 \}

B = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2 \}

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, $A \setminus B'$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(2, 5]

[2, 5]

[-3, 2]

(-3, 2)

[2, 5)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(2, 5]$

Cevap

A kümesinden B'nin tümleyeni çıkarıldığında elde edilen aralık

(2, 5]

olur.

Öncelikle mutlak değer eşitsizliği çözülerek

A=[-3, 5]

bulunur. Daha sonra

B

kümesinin tümleyeni alınarak

B'=(-\infty, 2]

elde edilir. Son adımda

A

kümesinden

B'

kümesi çıkarılır.

2

noktası çıkarılan kümeye dahil olduğu için sonuçta hariç tutulur,

5

noktası çıkarılan kümede olmadığı için dahil edilir. Sonuç

(2, 5]

aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesini aralık gösterimiyle ifade et.

|x - 1| \le 4 \implies -4 \le x - 1 \le 4 \implies -3 \le x \le 5

. Yani

A = [-3, 5]

.

Mutlak değerli eşitsizlik çözülerek A kümesinin sınırları bulunur.

2

B kümesinin tümleyenini (

B'

) bul.

B = (2, \infty)

olduğuna göre,

B' = (-\infty, 2]

olur.

2'den büyük sayıların tümleyeni, 2 ve 2'den küçük sayılardır.

3

A \setminus B'

fark kümesini hesapla.

[-3, 5]

aralığından

(-\infty, 2]

aralığını çıkarırsak geriye 2'den büyük, 5'e eşit veya küçük sayılar kalır.

2 sayısı

B'

kümesine dahildir, bu yüzden fark kümesinden atılır (açık parantez). 5 sayısı

B'

kümesinde yoktur, kalır (kapalı parantez).

Anahtar Kavram

Kümelerde Fark ve Tümleme

İpuçları

1

Önce A kümesinin aralık gösterimini bulunuz (

-a \le x \le a

kuralını kullanın).

2

B kümesi

x > 2

olduğuna göre, B'nin tümleyeni (

B'

) 2 ve 2'den küçük sayıları kapsar.

3

[-3, 5]

aralığından 2 ve 2'den küçük sayıları çıkarırsanız, alt sınırınız 2 olur (dahil değil).

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkta,

(A \cup B)'

işlemini gerektiren sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizerek A kümesini ve B' kümesini farklı renklerle işaretleyip, A'nın B' ile örtüşmeyen kısmını görsel olarak tespit edebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 145Soru →

Elemanları tam sayılardan oluşan $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı negatif bir tam sayıya eşittir?

32

112

128

224

256

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 128

Cevap

Çarpımı negatif olan 128 farklı alt küme vardır.

Bir sayı kümesindeki elemanların çarpımının negatif olması için, kümede 0 bulunmamalı ve negatif eleman sayısı tek (1, 3, 5...) olmalıdır. Pozitif elemanlar sonucu etkilemez. A kümesinde 3 negatif (

-3, -2, -1

) ve 5 pozitif (

1, 2, 3, 4, 5

) sayı vardır. Tek sayıda negatif seçimi (1 veya 3 tane)

\binom{3}{1} + \binom{3}{3} = 4

yolla yapılır. Pozitiflerden herhangi bir alt küme

2^5 = 32

yolla seçilir. Çarpma kuralı gereği toplam

4 \times 32 = 128

alt küme vardır.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesindeki elemanları işaretlerine göre gruplandır.

Negatifler:

\{-3, -2, -1\}

(3 eleman), Pozitifler:

\{1, 2, 3, 4, 5\}

(5 eleman), Nötr:

\{0\}

(1 eleman).

Çarpım sonucunun işaretini belirlemek için elemanların türlerini bilmek gerekir.

2

Çarpımın negatif olması için gereken koşulu belirle.

Küme içinde '0' elemanı BULUNMAMALIDIR ve 'tek sayıda' negatif eleman BULUNMALIDIR.

Bir kümede 0 varsa çarpım 0 olur. Negatif sayıların adedi çift ise çarpım pozitif, tek ise negatif olur. Pozitif sayıların adedi işareti etkilemez.

3

Negatif elemanların seçim sayısını hesapla.

3 negatif elemandan tek sayıda (1 veya 3) seçim yapılmalıdır:

\binom{3}{1} + \binom{3}{3} = 3 + 1 = 4

farklı yol.

1 tane negatif seçilirse çarpım eksi olur, 3 tane seçilirse yine eksi olur.

4

Pozitif elemanların seçim sayısını hesapla.

5 pozitif elemandan istenildiği kadar (hiçbiri, bazıları veya hepsi) seçilebilir:

2^5 = 32

farklı yol.

Pozitif sayıların varlığı veya yokluğu çarpımın işaretini değiştirmez.

5

Toplam durumu hesapla (Çarpma kuralı).

Negatif seçimleri

\times

Pozitif seçimleri =

4 \times 32 = 128

.

Bağımsız seçimlerin kombinasyonu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Alt Küme Sayısı ve Çarpma Kuralı

İpuçları

1

Bir çarpma işleminin sonucunun negatif olması için çarpanlardan kaç tanesinin negatif olması gerektiğini düşünün.

2

Kümedeki '0' elemanını alırsanız çarpım ne olur? Negatif olması için 0'ı kümeye dahil etmeli misiniz?

3

Çarpımın negatif olması için TEK sayıda (1 veya 3) negatif sayı seçmelisiniz. Pozitif sayıları seçmekte özgürsünüz.

Daha Fazla Pratik

Aynı kümenin elemanları çarpımının 'pozitif' olduğu alt küme sayısı kaçtır? (İpucu: Boş kümenin çarpımının 1 kabul edildiği durumları inceleyin).

Alternatif Yöntem

Simetri Yöntemi: 0 hariç geriye kalan 8 elemanlı kümenin (

A'

) tüm alt kümelerinin sayısı

2^8 = 256

'dır. Bu alt kümelerin yarısında negatif sayıların adedi tek, diğer yarısında çifttir (veya hiç yoktur). Bu matematiksel simetri gereği, çarpımı negatif olanların sayısı

256 / 2 = 128

olur.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 146Soru →

$A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \mid 40 < x < 180, x = 3k, k \in \mathbb{Z}\}

B = \{x \mid 40 < x < 180, x = 5m, m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, $A$ ve $B$ kümelerinin birleşiminin eleman sayısı ( $s(A \cup B)$ ) kaçtır?

55

64

65

73

82

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

A ve B kümelerinin birleşiminin eleman sayısı 64'tür.

Verilen aralıkta 3'e bölünen 46 sayı, 5'e bölünen 27 sayı vardır. Bu sayıların 9 tanesi hem 3'e hem 5'e bölündüğü için (15'in katları) her iki sayımda da mevcuttur. Birleşim formülü gereği bu mükerrer sayımı düzeltmek için kesişim kümesinin eleman sayısını bir kez çıkarmalıyız:

46 + 27 - 9 = 64

.

Adım Adım Çözüm

1

A

kümesinin eleman sayısını hesaplayın (

40 < x < 180

aralığındaki 3'ün katları).

İlk terim 42, son terim 177. Terim sayısı:

\frac{177-42}{3} + 1 = 46

. Yani

s(A) = 46

.

Terim Sayısı =

\frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1

2

B

kümesinin eleman sayısını hesaplayın (

40 < x < 180

aralığındaki 5'in katları).

İlk terim 45, son terim 175. Terim sayısı:

\frac{175-45}{5} + 1 = 27

. Yani

s(B) = 27

.

Terim Sayısı formülü uygulanır.

3

A \cap B

kümesini belirleyin ve eleman sayısını hesaplayın.

Hem 3'e hem 5'e bölünen sayılar 15'in katıdır (EKOK(3,5)=15). İlk terim 45, son terim 165. Terim sayısı:

\frac{165-45}{15} + 1 = 9

. Yani

s(A \cap B) = 9

.

Kesişim kümesi, iki bölenin en küçük ortak katının (EKOK) katlarından oluşur.

4

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayın.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 46 + 27 - 9 = 64

.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Birleşim Kümesi Eleman Sayısı (Dahil Etme - Hariç Tutma Prensibi)

İpuçları

1

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

şeklindedir.

2

A \cap B

kümesi, hem 3'ün hem de 5'in katı olan sayıları, yani 15'in katlarını içerir.

3

180 sayısı aralığa dahil değildir (

x < 180

). Terim sayısı hesaplarken son terim olarak 180'den küçük en büyük katları almalısınız (177, 175, 165).

Daha Fazla Pratik

Bölünebilme kuralları değiştiğinde (örneğin 4 ve 6) EKOK alma işleminin nasıl değiştiğini inceleyen bir soru çözünüz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek hesaplama yapılabilir: Sadece A kümesinde olanlar (

46-9=37

), sadece B kümesinde olanlar (

27-9=18

) ve her ikisinde olanlar (

9

). Toplam:

37+18+9=64

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 147Soru →

Bir devlet dairesinde çalışan bir memurun öğleden önce tamamlaması gereken işlerin kümesi $A = \{\text{Dosyalama, Arşiv}\}$ ve öğleden sonra tamamlaması gereken işlerin kümesi $B = \{\text{Yazışma, Onay, Kayıt}\}$ olarak belirlenmiştir. Bu memurun biri öğleden önce, diğeri öğleden sonra olmak üzere (öğleden önceki iş, öğleden sonraki iş) şeklinde oluşturabileceği tüm sıralı ikililerin kümesi olan $A \times B$ kartezyen çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

\{(\text{Dosyalama, Yazışma}), (\text{Dosyalama, Onay}), (\text{Dosyalama, Kayıt}), (\text{Arşiv, Yazışma}), (\text{Arşiv, Onay}), (\text{Arşiv, Kayıt})\}

\{(\text{Yazışma, Dosyalama}), (\text{Onay, Dosyalama}), (\text{Kayıt, Dosyalama}), (\text{Yazışma, Arşiv}), (\text{Onay, Arşiv}), (\text{Kayıt, Arşiv})\}

\{\text{Dosyalama, Arşiv, Yazışma, Onay, Kayıt}\}

\{(\text{Dosyalama, Yazışma}), (\text{Arşiv, Onay})\}

\{(\text{Dosyalama, Arşiv}), (\text{Yazışma, Onay}), (\text{Onay, Kayıt})\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\{(\text{Dosyalama, Yazışma}), (\text{Dosyalama, Onay}), (\text{Dosyalama, Kayıt}), (\text{Arşiv, Yazışma}), (\text{Arşiv, Onay}), (\text{Arşiv, Kayıt})\}$

Cevap

Tüm öğleden önceki işlerin öğleden sonraki işlerle sırasıyla eşleştiği sıralı ikililer kümesi olan seçenek doğrudur.

Doğru cevap,

A

kümesindeki her bir işin (Dosyalama ve Arşiv),

B

kümesindeki üç işin (Yazışma, Onay, Kayıt) her biriyle 'önce A'daki iş gelecek şekilde' eşleştirilmesiyle elde edilen 6 elemanlı kümedir.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

kümelerinin elemanlarını belirleyin.

A = \{\text{Dosyalama, Arşiv}\}

ve

B = \{\text{Yazışma, Onay, Kayıt}\}

.

Kartezyen çarpım işlemini gerçekleştirmek için önce kaynak kümelerin elemanlarını netleştirmeliyiz.

2

A \times B

tanımını uygulayın.

A \times B = \{(a, b) : a \in A \text{ ve } b \in B\}

.

Sıralı ikililerin ilk bileşeni her zaman birinci kümeden (

A

), ikinci bileşeni ise ikinci kümeden (

B

) seçilmelidir.

3

A

kümesinin ilk elemanı olan 'Dosyalama'yı

B

kümesinin tüm elemanlarıyla eşleştirin.

(\text{Dosyalama, Yazışma}), (\text{Dosyalama, Onay}), (\text{Dosyalama, Kayıt}).

Sistemli bir şekilde tüm ikilileri bulmak için birinci kümenin her elemanını sırayla kullanırız.

4

A

kümesinin ikinci elemanı olan 'Arşiv'i

B

kümesinin tüm elemanlarıyla eşleştirin.

(\text{Arşiv, Yazışma}), (\text{Arşiv, Onay}), (\text{Arşiv, Kayıt}).

Birinci kümedeki tüm elemanların eşleştirildiğinden emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Sıralı İkililer

İpuçları

1

Kartezyen çarpım kümesinin elemanları her zaman

(x, y)

şeklinde sıralı ikililerden oluşur.

2

A \times B

dendiğinde, parantez içindeki ilk eleman mutlaka

A

kümesinden, ikinci eleman ise

B

kümesinden seçilmelidir.

3

A

kümesinde 2,

B

kümesinde 3 eleman olduğu için

A \times B

kümesinin toplam

2 \times 3 = 6

tane elemanı (sıralı ikilisi) olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Kümelerin eleman sayılarını değiştirerek kartezyen çarpımın eleman sayısının nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 148Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen yabancı dil muafiyet sınavına toplam $80$ personel katılmıştır. Bu personelin İngilizce ve Arapça dillerindeki başarı durumları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- $12$ personel her iki dilden de başarısız olmuştur.
- İngilizce sınavından başarılı olanların sayısı, her iki sınavdan da başarılı olanların sayısının $3$ katıdır.
- Sadece Arapça sınavından başarılı olanların sayısı, her iki sınavdan da başarılı olanların sayısından $8$ fazladır.

Buna göre, bu grupta sadece İngilizce sınavından başarılı olan personel sayısı kaçtır?

15

23

30

38

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $30$

Cevap

Sadece İngilizce sınavından başarılı olan personel sayısı

30

kişidir.

Verilen bilgilere göre oluşturulan Venn şemasında tüm kısımların toplamı olan

4x + 8

ifadesi

68

personeline eşittir. Buradan her iki dilden başarılı olanlar

15

bulunurken, sadece İngilizce'den başarılı olanlar bunun iki katı yani

30

kişi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

En az bir dilden başarılı olan toplam personel sayısını bulun.

80 - 12 = 68

personel en az bir sınavdan başarılı olmuştur.

Toplam personelden her iki dilden de başarısız olanlar çıkarılarak evrensel küme içindeki birleşim kümesinin eleman sayısı bulunur.

2

Küme elemanlarını bir değişken (

x

) cinsinden tanımlayın.

Her iki dilden başarılı olanlar:

x

. İngilizce'den başarılı olanlar:

3x

. Sadece İngilizce'den başarılı olanlar:

3x - x = 2x

. Sadece Arapça'dan başarılı olanlar:

x + 8

.

Soruda verilen oranları ve fazlalıkları matematiksel ifadeye dönüştürmek çözüm için gereklidir.

3

Bütün bölgeleri toplayarak toplam başarılı sayısına eşitleyin ve

x

değerini bulun.

2x + x + (x + 8) = 68 \Rightarrow 4x + 8 = 68 \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15

.

Ayrık bölgelerin (sadece A, sadece B ve kesişim) toplamı birleşim kümesini verir.

4

İstenen 'sadece İngilizce' değerini hesaplayın.

2x = 2 \times 15 = 30

.

Soru kökünde sadece bir dile ait olan kısım sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim kümesi eleman sayısı, ayrık bölgelerin toplamı olarak ifade edilir:

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) + s(B \setminus A)

.

İpuçları

1

Her iki dilden başarısız olanları toplam sayıdan çıkararak işe başlayın.

2

Her iki dilden başarılı olanlara bir değişken atayıp Venn şeması çizin.

3

İngilizce başarılı olanlar

3x

ise, sadece İngilizce başarılı olanların

2x

olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Üçlü küme problemlerinde 'en az' ve 'en çok' ifadelerinin kullanıldığı senaryoları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizmeden,

s(İ) = 3x

ve

s(Sadece A) = x+8

diyerek;

s(İ) + s(Sadece A) = 68

eşitliğinden

3x + x + 8 = 68 \Rightarrow 4x = 60 \Rightarrow x = 15

bulabilir, ardından

3x - x

farkından sonuca ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 149Soru →

Bir kamu kurumunda görevde yükselme sınavına giren $100$ personelin tamamı "Mevzuat" ve "Genel Kültür" sınavlarına katılmıştır. Bu personelden $65$ 'i Mevzuat sınavından, $55$ 'i ise Genel Kültür sınavından başarılı olmuştur. Her iki sınavdan da başarısız olan personel sayısı $10$ olduğuna göre, sadece Mevzuat sınavından başarılı olan personel sayısı, her iki sınavdan da başarılı olan personel sayısından kaç fazladır?

5

10

25

30

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Sadece Mevzuat sınavından başarılı olan personel sayısı, her iki sınavdan da başarılı olanlardan 5 fazladır.

Toplam

100

personelden başarısız olan

10

kişi çıkarıldığında en az bir sınavı geçen

90

kişi kalır. Mevzuat (

65

) ve Genel Kültür (

55

) toplamı olan

120

sayısından

90

çıkarıldığında her iki sınavı geçen

30

kişi bulunur. Mevzuat geçenlerin tamamından bu

30

kişi çıkarıldığında sadece Mevzuat geçen

35

kişi kalır.

35

ile

30

arasındaki fark ise

5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

En az bir sınavdan başarılı olan personel sayısını bulmak

100 - 10 = 90

Toplam personelden her iki sınavda da başarısız olanları çıkararak Mevzuat veya Genel Kültür sınavlarından en az birini geçenlerin sayısına (

s(M \cup G)

) ulaşılır.

2

Her iki sınavdan da başarılı olan personel sayısını (

s(M \cap G)

) hesaplamak

90 = 65 + 55 - s(M \cap G) \Rightarrow s(M \cap G) = 30

Birleşim kümesi formülü (

s(M \cup G) = s(M) + s(G) - s(M \cap G)

) kullanılarak kesişim kümesi bulunur.

3

Sadece Mevzuat sınavından başarılı olan personel sayısını bulmak

65 - 30 = 35

Mevzuat sınavından başarılı olan toplam personelden, her iki sınavda da başarılı olanlar çıkarıldığında sadece Mevzuat sınavını geçenler bulunur.

4

İstenen farkı hesaplamak

35 - 30 = 5

Sadece Mevzuat sınavını geçen personel sayısı ile her iki sınavı da geçen personel sayısı arasındaki fark sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri

İpuçları

1

Önce hiçbir sınavdan başarılı olamayanları toplam personelden çıkararak birleşim kümesinin eleman sayısını bulun.

2

Birleşim kümesi formülü olan

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

ifadesini kullanarak her iki sınavda da başarılı olanları bulun.

3

Venn şeması çizerek bölgeleri yerleştirin: Mevzuat kümesinden kesişimi çıkararak 'sadece Mevzuat' bölgesini bulup kesişim bölgesiyle karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Verilen başarı yüzdeleri üzerinden küme problemleri çözerek yüzde hesaplamalarıyla kümeleri birleştiren sorulara çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgelere harf verin: Sadece Mevzuat=x, Her ikisi=y, Sadece Genel Kültür=z olsun. x+y+z+10=100, x+y=65 ve y+z=55 denklemlerini çözerek x ve y değerlerine ulaşıp farklarını alabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 150Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f

fonksiyonu,

f(x) = \begin{cases} 4x + a, & x < 1 \\ bx + 2, & x \geq 1 \end{cases}

biçiminde veriliyor.

$f$ fonksiyonu birebir ve örten olduğuna ve $f^{-1}(6) = 2$ eşitliği sağlandığına göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

-2

0

2

4

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a + b toplamı 2'dir.

Doğru cevap,

f(2)=6

eşitliğinden

b=2

bulunması ve fonksiyonun

x=1

noktasında sürekli olması şartından (

4+a=b+2

)

a=0

bulunarak toplamın 2 elde edilmesidir.

Adım Adım Çözüm

1

f^{-1}(6) = 2

bilgisini kullanarak

b

değerini bulma.

f(2) = 6

olur.

2 \ge 1

olduğundan alttaki parça kullanılır:

2b + 2 = 6 \implies 2b = 4 \implies b = 2

.

Ters fonksiyon özelliği ve parçalı fonksiyonun tanım aralığı seçimi.

2

Birebir ve örtenlik şartından dolayı kritik noktada (

x=1

) sürekliliği sağlama.

x=1

noktasında parçaların limitleri eşit olmalıdır:

4(1) + a = b(1) + 2

.

Parçalı doğrusal fonksiyonların birebir ve örten olması için kopma noktası olmamalıdır (grafik birleşmelidir).

3

Bulunan

b

değerini yerine yazarak

a

değerini hesaplama.

4 + a = 2 + 2 \implies 4 + a = 4 \implies a = 0

.

Denklem çözümü.

4

a + b

toplamını bulma.

0 + 2 = 2

.

Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların birebir ve örten olabilmesi için parçaların birleşim noktalarında kopukluk olmamalı (süreklilik şartı) ve her parça monoton (aynı işaretli eğim) olmalıdır.

İpuçları

1

f^{-1}(6) = 2

eşitliği,

f(2) = 6

anlamına gelir. 2 sayısı hangi aralıkta?

2

Bir parçalı fonksiyonun tüm gerçel sayılarda birebir ve örten olması için parçaların birleştiği nokta olan

x=1

'de grafik kopmamalıdır.

Daha Fazla Pratik

Birebir ve örtenlik şartının grafik üzerinde nasıl göründüğünü (yatay doğru testi ve süreklilik) inceleyen sorular çözülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 151Soru →

Ortak özellik yöntemiyle $A = \{x \mid 1 < x^2 < 20, \text{ } x \in \mathbb{N}\}$ şeklinde tanımlanan $A$ kümesinin liste yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

\{2, 3, 4\}

\{1, 2, 3, 4\}

\{4, 9, 16\}

\{2, 3, 4, 5\}

\{0, 1, 2, 3, 4\}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{2, 3, 4\}

Cevap

Doğru cevap

\{2, 3, 4\}

kümesidir.

Ortak özellik yönteminde verilen

1 < x^2 < 20

şartını sağlayan doğal sayılar, karesi bu aralıkta olan

2, 3

ve

4

sayılarıdır. Bu elemanlar küme parantezi içinde yazıldığında doğru liste gösterimi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Küme şartlarını analiz etme

x

bir doğal sayı olmalı ve karesi (

x^2

),

1

ile

20

arasında (fakat

1

ve

20

hariç) kalmalıdır.

Ortak özellik yönteminde verilen şartlar kümenin hangi elemanlardan oluşacağını belirler.

2

Doğal sayıları deneme

0^2 = 0

,

1^2 = 1

,

2^2 = 4

,

3^2 = 9

,

4^2 = 16

,

5^2 = 25

değerleri elde edilir.

Küme elemanlarını bulmak için tam sayı karelerini kontrol etmek gerekir.

3

Eşitsizliğe uygun değerleri seçme

1 < 4 < 20

,

1 < 9 < 20

ve

1 < 16 < 20

olduğu için

2, 3

ve

4

değerleri şartı sağlar.

1

ve

25

değerleri sınırların dışında kaldığı için elenir.

4

Küme liste yöntemini oluşturma

A = \{2, 3, 4\}

Bulunan elemanlar küme parantezi içinde aralarına virgül konularak yazılır.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yönteminden Liste Yöntemine Geçiş

İpuçları

1

Küme içindeki

x

değerlerinin karesinin

1

ile

20

arasında olması gerektiğini fark edin.

2

Doğal sayıları (

0, 1, 2, \dots

) sırayla deneyerek hangi sayıların karesinin bu aralığa düştüğünü bulun.

3

2^2=4

,

3^2=9

ve

4^2=16

değerlerinin verilen eşitsizliği sağladığını, ancak

1^2=1

ve

5^2=25

değerlerinin sağlamadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'tam sayılar' (

\mathbb{Z}

) kümesi için çözerek negatif sayıların etkisini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 152Soru →

A = \{1, 2, 3, 4, 5\}

kümesi üzerinde tanımlı

f: A \rightarrow A

fonksiyonunun birebir (injective) olduğu ve

f(1) < f(2) < f(3)

eşitsizliğini sağladığı bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir?

10

20

60

120

125

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Bu koşulları sağlayan 20 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Soruda f fonksiyonunun birebir olduğu belirtilmiştir. İlk üç eleman için

f(1) < f(2) < f(3)

şartı verildiğinden, A kümesinden seçeceğimiz herhangi 3 eleman bu şartı sağlayan tek bir sıralamaya sahiptir. 5 elemandan 3'ünü seçmenin yolu

C(5,3) = 10

'dur. Geriye kalan 2 eleman (4 ve 5), boşta kalan 2 görüntüye

2! = 2

farklı şekilde gidebilir. Çarpma kuralı gereği toplam fonksiyon sayısı

10 \times 2 = 20

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birebir fonksiyonun tanımını ve görüntü kümesi seçimini analiz etme

f birebir olduğu için A kümesindeki 5 eleman, A'daki 5 farklı elemana eşleşmelidir. f(1), f(2) ve f(3) için görüntü kümesinden 3 farklı eleman seçilmelidir.

Birebir fonksiyonlarda her tanım kümesi elemanı farklı bir görüntüye gitmelidir.

2

f(1) < f(2) < f(3) şartını sağlayan durumları sayma

A kümesinden seçilen herhangi 3 eleman (örneğin {1, 3, 5}), küçükten büyüğe tek bir şekilde sıralanabilir (1 < 3 < 5). Bu nedenle, bu üç eleman için sıralama değil sadece SEÇİM (kombinasyon) yapılır: C(5, 3) = 10.

Sıralama şartı verildiğinde permütasyon değil kombinasyon kullanılır, çünkü elemanlar seçildiğinde yerleri bellidir.

3

Geriye kalan elemanların (f(4) ve f(5)) durumunu hesaplama

Geriye kalan 2 eleman (4 ve 5), görüntü kümesinde kalan 2 boş yere birebir olacak şekilde 2! = 2 farklı şekilde eşleşebilir.

Fonksiyon A'dan A'ya ve birebir olduğu için tüm elemanlar eşleşmelidir.

4

Toplam durumu çarpma kuralı ile bulma

10 (seçim) x 2 (kalanların sıralanışı) = 20.

Olaylar bağımlı olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda belirli elemanlar arasındaki sıralama şartı, o elemanların görüntülerinin sadece seçilmesini (kombinasyon) gerektirirken; şart olmayan diğer elemanlar kendi aralarında yer değiştirebilir (permütasyon).

İpuçları

1

Önce

f(1), f(2)

ve

f(3)

değerlerinin alabileceği görüntüleri belirlemek için kümeden kaç eleman seçmeniz gerektiğini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, f(1) < f(2) şartını sağlayan ancak örten olma zorunluluğu olmayan fonksiyon sayılarını araştıran bir soru çözülebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 153Soru →

$A$ ve $B$ kümeleri, $E$ evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Aşağıdaki Venn şemasında bu kümeler arasındaki belirli bir bölge taralı olarak gösterilmiştir.

Buna göre, şemada taralı olarak gösterilen bölgeyi ifade eden işlem aşağıdakilerden hangisidir?

A \setminus B

B \setminus A

A \cap B

A \cup B

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A \setminus B$

Cevap

Taralı bölge,

A

kümesinde olup

B

kümesinde olmayan elemanları temsil ettiği için

A \setminus B

(veya

A-B

) işlemiyle ifade edilir.

Venn şemasında taranmış olan bölge, sol taraftaki

A

kümesinin sınırları içerisinde kalırken sağ taraftaki

B

kümesinin dışında bırakılmıştır. Matematiksel olarak bir kümede bulunup diğerinde bulunmayan elemanların kümesi "fark" işlemi ile gösterilir. Bu nedenle taranmış bölgeyi en doğru şekilde ifade eden gösterim

A \setminus B

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Venn şemasındaki sınırları inceleyin.

Şemada iki adet kesişen çember (

A

ve

B

) ve onları kapsayan bir dikdörtgen (

E

) bulunmaktadır.

Kümeler arasındaki ilişkileri görsel olarak anlamak için sınırların tespiti gerekir.

2

Taralı alanın hangi kümenin içinde ve hangisinin dışında olduğunu belirleyin.

Taralı bölge tamamen

A

çemberinin içinde yer alırken,

B

çemberinin sınırlarının tamamen dışındadır.

Taralı bölgenin karakteristik özelliğini belirleyerek matematiksel tanıma ulaşmak hedeflenir.

3

Elde edilen veriyi küme işlemleri tanımlarıyla eşleştirin.

"

A

kümesinde olan ancak

B

kümesinde olmayan" elemanların kümesi fark işlemidir ve

A \setminus B

şeklinde gösterilir.

Görsel veriyi küme teorisi terminolojisine dönüştürmek için tanım bilgisi kullanılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi (

A \setminus B

), birinci kümede bulunan ancak ikinci kümede bulunmayan elemanların oluşturduğu kümedir.

İpuçları

1

Taralı bölgenin hangi kümenin 'sahipliğinde' olduğunu ve hangi kümeden 'kaçındığını' düşünün.

2

Şemada taranan yer sadece

A

kümesine ait olup

B

ile hiçbir ortaklığı olmayan kısımdır.

3

Bir kümeden diğerini 'çıkardığımızda' geriye kalan bölgeyi ifade eden matematiksel sembolü hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir şemada hem

A

hem de

B

çemberlerinin dışında kalan ancak dikdörtgenin içinde kalan bölgenin hangi işlemi (tümleme) ifade ettiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 154Soru →

Bir ilçe tarım müdürlüğüne tarımsal destekleme ödemesi için başvuran $60$ çiftçinin tamamı "Tohum Desteği" veya "Mazot Desteği" kalemlerinden en az birine başvurmuştur. Tohum Desteği'ne başvuran çiftçi sayısı, sadece Mazot Desteği'ne başvuran çiftçi sayısının $2$ katıdır. Her iki destek kalemine de başvuran $12$ çiftçi olduğuna göre, sadece Tohum Desteği'ne başvuran çiftçi sayısı kaçtır?

20

24

28

32

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Sadece Tohum Desteği'ne başvuran çiftçi sayısı 28'dir.

Sadece Mazot Desteği'ne başvuranlara

x

dersek, Tohum Desteği'ne başvuranların tamamı

2x

olur. Toplam çiftçi sayısı

n(T \cup M) = n(T) + n(\text{Sadece Mazot}) = 2x + x = 3x

olarak bulunur.

3x = 60

denkleminden

x = 20

elde edilir. Bu durumda Tohum Desteği'ne başvuran toplam kişi sayısı

2 \times 20 = 40

olur. Sadece Tohum Desteği'ne başvuranlar ise

40 - 12 = 28

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme elemanlarını değişkenlerle ifade etme

Sadece Mazot Desteği'ne başvuran çiftçi sayısı

x

ise, Tohum Desteği'ne başvuranların toplamı

n(T) = 2x

olur.

Sorudaki 'Tohum Desteği'ne başvuranlar, sadece Mazot Desteği'ne başvuranların 2 katıdır' ifadesini matematiksel dile dökmek için.

2

Birleşim formülünü kullanarak denklem kurma

n(T \cup M) = n(T) + n(M \setminus T) \Rightarrow 60 = 2x + x

Tüm çiftçiler en az bir desteğe başvurduğu için birleşim kümesi toplam çiftçi sayısına eşittir.

3

Denklemi çözerek değişkenin değerini bulma

3x = 60 \Rightarrow x = 20

Sadece Mazot Desteği alanların sayısını belirlemek için.

4

Tohum Desteği'ne başvuran toplam sayıyı bulma

n(T) = 2x = 2 \times 20 = 40

Tohum Desteği kümesinin tamamını hesaplamak için.

5

Sadece Tohum Desteği'ne başvuranları hesaplama

n(T \setminus M) = n(T) - n(T \cap M) = 40 - 12 = 28

Tohum Desteği kümesinden her iki desteğe de başvuran ortak elemanları çıkarmak için.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Bölge Analizi

İpuçları

1

Verilen bilgileri bir Venn şeması üzerine yerleştirerek bölgeleri isimlendirmeyi deneyin.

2

Sadece Mazot Desteği alanlara

x

derseniz, Tohum Desteği kümesinin tamamının

2x

olacağını unutmayın.

3

Tüm grubun toplamı olan 60; Tohum Desteği kümesi (

2x

) ile sadece Mazot Desteği alanların (

x

) toplamıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'en az birine başvuran' yerine 'hiçbirine başvurmayan' çiftçilerin olduğu bir senaryo üzerinde çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şemasında üç bölge tanımlayalım: a (Sadece Tohum), b (Kesişim), c (Sadece Mazot). b = 12 olarak verilmiş. Tohum Desteği (a+b), Sadece Mazot'un (c) 2 katı olduğuna göre a + 12 = 2c yazılır. Ayrıca a + b + c = 60 olduğundan a + 12 + c = 60 -> a + c = 48 olur. İlk denklemden a = 2c - 12 ifadesini ikincide yerine koyarsak (2c - 12) + c = 48 -> 3c = 60 -> c = 20 bulunur. Buradan a = 2(20) - 12 = 28 elde edilir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 155Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde $1$ elemanı bulunur, $2$ elemanı bulunmaz ve kümenin eleman sayısı en az $4$ olur?

6

10

16

26

32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16

İstenen alt kümede

1

mutlaka bulunacak ve

2

bulunmayacaktır. Geriye kalan

\{3, 4, 5, 6, 7\}

kümesinden (5 eleman), alt kümenin toplam eleman sayısını en az 4 yapmak için, mevcut olan

1

elemanının yanına en az 3 eleman daha seçmemiz gerekir. Bu durumlar: 3 eleman seçimi (

\binom{5}{3}=10

), 4 eleman seçimi (

\binom{5}{4}=5

) ve 5 eleman seçimi (

\binom{5}{5}=1

) şeklindedir. Toplam:

10+5+1=16

.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeyi ve koşulları analiz et

Küme

A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}

. İstenen alt küme

S

olsun. Koşullar:

1 \in S

,

2 \notin S

ve

|S| \ge 4

.

Problemi matematiksel sembollerle ifade ederek çözüm yolunu netleştirmek için.

2

Seçim havuzunu belirle

1

kesinlikle var,

2

kesinlikle yok. Geriye kalan seçilebilir elemanlar:

\{3, 4, 5, 6, 7\}

. Havuzdaki eleman sayısı

n = 5

.

Alt kümenin geri kalan kısmını oluşturacağımız eleman kümesini belirlemek için.

3

Gerekli ek eleman sayısını hesapla

Alt kümede zaten

1

elemanı var (1 tane). Toplam eleman sayısının en az

4

olması için, havuzdan en az

4 - 1 = 3

eleman daha seçilmelidir.

Sabit eleman hesaba katılarak kombinasyon hesabında kaç eleman seçilmesi gerektiğini bulmak için.

4

Kombinasyonları hesapla ve topla

5 elemanlı havuzdan 3, 4 veya 5 eleman seçme durumları:

\binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 10 + 5 + 1 = 16

.

Tüm olası geçerli durumların sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Alt Küme Oluşturma ve Kombinasyon

İpuçları

1

Önce

1

'in kesinlikle bulunduğu ve

2

'nin kesinlikle bulunmadığı durumu düşünün. Geriye seçim yapabileceğiniz kaç eleman kalıyor?

2

Alt kümede zaten

1

elemanı var (1 tane). Toplam eleman sayısının en az 4 olması için, geriye kalan havuzdan en az kaç tane daha seçmelisiniz?

3

Geriye kalan 5 elemandan; 3 tane, 4 tane veya 5 tane seçtiğiniz durumları toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'en çok 4 elemanlı' koşulu olan bir soru çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Tüm Durumdan Çıkarma Yöntemi: 1'in olduğu ve 2'nin olmadığı tüm alt kümelerin sayısı

2^5 = 32

'dir. Bunlardan istenmeyen durumları (toplam eleman sayısı 4'ten az olanları) çıkarabilirsiniz. İstenmeyen durumlar: Sadece {1} (0 ek seçim), {1, x} (1 ek seçim), {1, x, y} (2 ek seçim).

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 156Soru →

$\mathbb{Z}$ tam sayılar kümesi olmak üzere, $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x + 1| \le 4 \}

B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 2^x \le 5 \}

Buna göre, $A \cap B$ kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

-12

-9

-7

-3

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

A \cap B

kümesinin elemanlarının toplamı -12'dir.

A kümesi -5 ile 3 arasındaki (sınırlar dahil) tam sayılardan oluşur. B kümesi ise 2 ve 2'den küçük tüm tam sayılardan oluşur. Bu iki kümenin kesişimi, A kümesinin 2'den büyük olan elemanlarının (sadece 3 sayısı) atılmasıyla bulunur. Kesişim kümesi

\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}

olur. -2'den +2'ye kadar olan sayıların toplamı 0 olduğundan, geriye kalan

-5, -4, -3

sayılarının toplamı -12 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını belirlemek için mutlak değer eşitsizliğini çöz.

|x + 1| \le 4 \implies -4 \le x + 1 \le 4

. Her taraftan 1 çıkarırsak:

-5 \le x \le 3

.

A = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

.

Mutlak değer

|u| \le a

ifadesi

-a \le u \le a

anlamına gelir.

2

B kümesinin elemanlarını analiz et.

2^x \le 5

şartını sağlayan tam sayılar aranır.

2^2=4 \le 5

(sağlar),

2^3=8 > 5

(sağlamaz). Ayrıca negatif tam sayılar ve 0 için de bu şart sağlanır (örn:

2^0=1

,

2^{-1}=0.5

). Bu durumda

B = \{..., -2, -1, 0, 1, 2\}

.

Üslü eşitsizlikte taban 1'den büyük olduğu için üs büyüdükçe değer büyür; üst sınır kontrol edilmelidir.

3

Kesişim kümesini (

A \cap B

) bul ve elemanları topla.

İki kümenin ortak elemanları hem

-5 \le x \le 3

hem de

x \le 2

şartını sağlamalıdır. Yani

-5 \le x \le 2

. Elemanlar:

\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}

. Toplam:

(-5) + (-4) + (-3) + [(-2)+(-1)+0+1+2] = -12 + 0 = -12

.

Kesişim kümesi, her iki kümede de bulunan ortak elemanlardan oluşur.

Anahtar Kavram

Kümelerin ortak özellik yöntemiyle gösterimi ve tam sayılarda aralık kavramı.

İpuçları

1

Önce her iki kümeyi de liste yöntemiyle (elemanlarını yazarak) ifade etmeye çalışın. A kümesi için mutlak değer eşitsizliğini açın.

2

B kümesindeki

2^x \le 5

şartını sağlayan en büyük tam sayıyı bulun. Negatif tam sayıların da bu şartı sağladığını (örneğin

2^{-1}=1/2

) unutmayın.

3

A kümesi

[-5, 3]

aralığıdır. B kümesi ise 2 ve daha küçük tüm tam sayılardır. Kesişim kümesi bu iki şartı aynı anda sağlayan sayılardır.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu çizilerek A kümesinin aralığı (-5 ile 3 arası) ve B kümesinin aralığı (2'den geriye doğru) işaretlenip üst üste gelen bölge görsel olarak belirlenebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 157Soru →

Bir bakanlığın teftiş kurulu tarafından denetlenen 120 adet proje dosyasının her birinde; 'Mali', 'İdari' veya 'Teknik' eksiklik türlerinden en az biri tespit edilmiştir. Bu dosyalarla ilgili aşağıdaki bilgiler mevcuttur:

* Sadece bir türde eksiklik içeren dosya sayıları birbirine eşittir.
* Her üç türde de eksiklik içeren dosya sayısı, sadece Mali ve Teknik türde eksiklik içeren dosya sayısına eşittir.
* Sadece Mali ve İdari türde eksiklik içeren dosya sayısı ile sadece İdari ve Teknik türde eksiklik içeren dosya sayısı birbirine eşit olup, her üç türde eksiklik içeren dosya sayısının iki katıdır.
* En az iki türde eksiklik içeren toplam dosya sayısı $42$ 'dir.

Buna göre, 'Mali' türde eksiklik tespit edilen toplam dosya sayısı kaçtır?

26

47

54

68

78

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Mali türde eksiklik tespit edilen dosya sayısı 54'tür.

Soruda verilen ilişkiler Venn şeması üzerinde bölgelere ayrıldığında; üçlü kesişime

y

denilirse, ikili kesişimlerin sadece o bölgeye ait kısımları sırasıyla

y

,

2y

ve

2y

olur. 'En az iki' ifadesi bu bölgelerin toplamı olan

6y

'ye eşittir ve

42

olarak verilmiştir, buradan

y=7

bulunur. Toplam

120

dosya olduğu için, sadece tek eksik içerenler (

3x

) hesaplanarak

x=26

bulunur. Mali kümesi, sınırları içindeki tüm bölgelerin (

x+4y

) toplamı olduğundan cevap

54

'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.

Sadece bir eksik (

x

), üçlü kesişim (

y

) olsun. Verilenlere göre: (M∩T yalnız) =

y

, (M∩İ yalnız) =

2y

, (İ∩T yalnız) =

2y

.

Sözel ilişkileri matematiksel denklemlere dökmek için değişken atamak gerekir.

2

'En az iki türde eksiklik' bilgisini kullanarak

y

değerini bul.

En az iki = (M∩T yalnız) + (M∩İ yalnız) + (İ∩T yalnız) + (M∩İ∩T) =

y + 2y + 2y + y = 6y

. Denklem:

6y = 42 \Rightarrow y = 7

.

Soruda verilen sayısal kısıtlamadan (

42

) temel değişkenin değerini bulmak için.

3

Toplam dosya sayısını kullanarak

x

değerini hesapla.

Toplam = (Sadece birler) + (En az ikiler) =

3x + 42 = 120

. Buradan

3x = 78 \Rightarrow x = 26

.

Mali kümesini hesaplamak için gerekli olan 'sadece Mali' (

x

) değerini bulmak için.

4

Mali kümesinin toplam eleman sayısını hesapla.

s(M) = (\text{Sadece } M) + (\text{Sadece } M \cap T) + (\text{Sadece } M \cap İ) + (M \cap İ \cap T) = x + y + 2y + y = x + 4y

. Değerler yerine konulursa:

26 + 4(7) = 26 + 28 = 54

.

Sorunun istediği nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerle Problem Çözme (Venn Şeması Yöntemi)

İpuçları

1

Problemi çözmek için üç kümeli bir Venn şeması çizin ve her bir bölgeyi (sadece M, sadece M ve İ, vb.) harflendirerek (x, y gibi) denklem kurun.

2

'En az iki türde eksiklik içerenler', şemanın kesişim bölgelerindeki (ortadaki üçgenler ve merkez) sayıların toplamıdır.

3

Üçlü kesişime

y

derseniz, sorudaki ilişkiye göre diğer kesişim bölgeleri

y

,

2y

ve

2y

olur. Bunların toplamı 42'dir.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmadan oran vererek deneme-yanılma (kat yöntemi) ile

y

değerinin 7'nin katı olması gerektiğini fark edip seçeneklerden gitmek de mümkündür ancak risklidir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 158Soru →

Boştan farklı $K$ ve $L$ kümeleri, $E$ evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Aşağıdaki eşitlikler bu kümeler için geçerlidir:

s(K \cup L) = 30

s(K \setminus L) + s(L \setminus K) = 4 \cdot s(K \cap L)

s(K) = 2 \cdot s(L)

s(K') = 18

Verilen bu bilgilere göre, $L'$ (L kümesinin tümleyeni) eleman sayısı kaçtır?

12

18

24

30

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

L kümesinin tümleyeninin eleman sayısı 30'dur.

Verilen eşitlikler kullanılarak küme eleman sayıları sırasıyla bulunur.

s(K \cup L) = 30

ve farkların toplamı kesişimin 4 katı olduğundan kesişim 6 bulunur.

s(K)=2s(L)

eşitliğinden

K

fark

L

kümesi 18,

L

fark

K

kümesi 6 bulunur.

K'

bilgisiyle evrensel kümenin dışındaki eleman sayısı 12 olarak hesaplanır. Son olarak

L'

,

K

fark

L

ile dış bölgenin toplamı olan 30'a eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim kümesinin eleman sayısını (

x

) belirle.

s(K \cap L) = x

olsun.

Bilinmeyenleri ifade etmek için değişkene ihtiyaç vardır.

2

Fark kümelerinin toplamını

x

cinsinden ifade et ve birleşim formülünü kullan.

s(K \setminus L) + s(L \setminus K) = 4x

olduğundan,

s(K \cup L) = 4x + x = 5x = 30 \Rightarrow x = 6

.

Birleşim kümesi, fark kümeleri ve kesişimin toplamına eşittir.

3

Fark kümelerinin eleman sayılarını (

a

ve

b

) bulmak için

s(K) = 2 \cdot s(L)

eşitliğini kullan.

s(K \setminus L) = a

,

s(L \setminus K) = b

olsun.

a + b = 24

.

s(K) = a + 6

,

s(L) = b + 6

.

a + 6 = 2(b + 6) \Rightarrow a = 2b + 6

. Denklem çözülürse

b=6, a=18

.

İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülmelidir.

4

Evrensel kümenin dışındaki (

y

) eleman sayısını

s(K') = 18

bilgisinden bul.

s(K') = s(L \setminus K) + s((K \cup L)') = 6 + y = 18 \Rightarrow y = 12

.

Bir kümenin tümleyeni, o kümenin dışındaki tüm elemanları kapsar.

5

İstenen

s(L')

değerini hesapla.

s(L') = s(K \setminus L) + s((K \cup L)') = 18 + 12 = 30

.

L'nin tümleyeni, L dışındaki elemanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemleri arasındaki cebirsel ilişkiler.

İpuçları

1

Kümeleri Venn şeması çizerek gösterin ve her bölgeye (

K \setminus L

,

K \cap L

,

L \setminus K

ve dış bölge) birer değişken atayın (örneğin

a, x, b, y

).

2

s(K \cup L)

formülünü kullanarak önce kesişim kümesinin eleman sayısını (

x

) bulun.

3

s(K') = s(L \setminus K) + s((K \cup L)')

eşitliğini kullanarak dış bölgedeki eleman sayısını (

y

) bulun, sonra

L'

için

s(K \setminus L) + y

toplamını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu üç küme (

A, B, C

) için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Denklem sistemi yerine değer vererek deneme yapılabilir, ancak

s(K)=2s(L)

şartını sağlayan tek tam sayı çözümünü bulmak zor olabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 159Soru →

$A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x : 10 < x < 30, x = 3k, k \in \mathbb{Z}\}

B = \{x : 10 < x < 30, x = 4m, m \in \mathbb{Z}\}

Buna göre, $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı ( $s(A \cup B)$ ) kaçtır?

2

7

9

11

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

A ve B kümelerinin birleşiminin eleman sayısı 9'dur.

Kümelerin elemanlarını listeleyip saydığımızda A kümesinin 6, B kümesinin 5 elemanı olduğunu görürüz. Her iki kümede ortak olan (kesişim) elemanlar 12 ve 24'tür (2 tane). Birleşim formülü

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

uygulandığında

6 + 5 - 2 = 9

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A kümesinin elemanlarını belirle (10 ile 30 arasındaki 3'ün katları).

A = {12, 15, 18, 21, 24, 27}, s(A) = 6

Kümelerin eleman sayılarını bulmak için liste yöntemi kullanılır.

2

B kümesinin elemanlarını belirle (10 ile 30 arasındaki 4'ün katları).

B = {12, 16, 20, 24, 28}, s(B) = 5

İkinci kümenin eleman sayısı tespit edilir.

3

Kesişim kümesini (A ∩ B) belirle (Hem 3'ün hem 4'ün, yani 12'nin katları).

A ∩ B = {12, 24}, s(A ∩ B) = 2

Birleşim formülünde ortak elemanları iki kere saymamak için kesişim kümesi bulunmalıdır.

4

Birleşim formülünü uygula: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).

s(A ∪ B) = 6 + 5 - 2 = 9

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülü ile sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim İşlemi Formülü:

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

Soru 160Soru →

Bir lojistik üssünde görev yapan toplam 72 teknik personel; 'Forklift', 'Vinç' ve 'Reachtruck' iş makinelerinden en az birini kullanma ehliyetine sahiptir.

Bu personelin ehliyet durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler mevcuttur:

* Her üç iş makinesini de kullanabilen personel sayısı, yalnızca iki iş makinesini kullanabilen personel sayısının yarısına eşittir.
* Yalnızca bir iş makinesini kullanabilen personel sayısı, en az iki iş makinesini kullanabilen toplam personel sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu lojistik üssünde yalnızca bir iş makinesi kullanabilen kaç personel bulunmaktadır?

36

42

48

54

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Yalnızca bir iş makinesi kullanabilen 54 personel vardır.

Kümeleri kesişim sayılarına göre x (üçlü), y (ikili), z (tekli) olarak ayırdığımızda; verilen oranlardan y=2x ve z=9x bağıntıları elde edilir. Toplam 12x=72 denkleminden x=6 bulunur. İstenen değer z=9x olduğundan cevap 54'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Kümeleri ayrık bölgelere ayırarak değişken tanımla.

x: Her üçünü kullananlar
y: Yalnızca ikisini kullananlar
z: Yalnızca birini kullananlar

Kesişim problemlerinde 'yalnızca' ifadeleri kullanıldığında bölge tabanlı değişken atamak çözümü kolaylaştırır.

2

Birinci öncülü matematiksel denkleme dök.

x = y / 2 => y = 2x

Soruda 'her üçünü kullananlar, yalnızca ikisini kullananların yarısıdır' denilmiştir.

3

'En az iki' kavramını tanımla ve ikinci öncülü denkleme dök.

En az iki kullananlar = (x + y) = (x + 2x) = 3x.
z = 3 * (En az iki) => z = 3 * (3x) = 9x

'En az iki', hem üçünü hem de yalnızca ikisini kullananların toplamıdır.

4

Toplam personel sayısını kullanarak x değerini bul.

Toplam = x + y + z = 72
x + 2x + 9x = 72
12x = 72
x = 6

Tüm bölgelerin toplamı evrensel kümeyi (toplam personeli) verir.

5

İstenen değeri (z) hesapla.

z = 9x = 9 * 6 = 54

Soru 'yalnızca bir' iş makinesi kullananları sormaktadır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman Sayısı Problemleri (Bölge Analizi)

İpuçları

1

Kümeleri iç içe daireler yerine, 'sadece 1 tane', 'sadece 2 tane' ve '3 tane' kullananlar şeklinde ayrık gruplar olarak düşünün.

2

Üç makineyi de kullananlara 'x' derseniz, yalnızca iki makineyi kullananlar '2x' olur. Şimdi 'en az iki' grubunun toplamını (x + 2x) bulun.

3

'En az iki' kullananlar 3x kişi yapar. Yalnızca bir kullananlar bunun 3 katı olduğuna göre 9x kişidir. Toplam 12x = 72 eşitliğini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, 'en az bir' yerine 'en çok bir' kısıtlaması vererek ve boş küme (hiçbirini kullanamayan) ekleyerek çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki sayılar 'yalnızca bir' (z) değerleridir. z, (x+y)'nin 3 katı olmalıdır. Yani z sayısı 3'e tam bölünmeli ve kalan sayı (72-z), 3'e bölünebilen bir sayı (x+y) olmalıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları