Examkin

Kümeler ve Fonksiyonlar

286 soru

Soru 121Soru →

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\} kümeleri veriliyor. Buna göre, (A∪B)×(A∩B)(A \cup B) \times (A \cap B) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 12'dir.
Verilen AA ve BB kümeleri için birleşim kümesi {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olup 6 elemanlıdır. Kesişim kümesi ise ortak olan {3,4}\{3, 4\} elemanlarından oluşur ve 2 elemanlıdır. Kartezyen çarpımın eleman sayısı kuralı gereği, bu iki kümenin eleman sayıları çarpıldığında (6×26 \times 2) sonuç 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A∪BA \cup B (birleşim) kümesini ve eleman sayısını belirle.
A∪B={1,2,3,4,5,6}A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olduğundan s(A∪B)=6s(A \cup B) = 6 olur.
Birleşim kümesi, her iki kümedeki tüm elemanların (tekrar etmeden) bir araya getirilmesiyle oluşur.
2
A∩BA \cap B (kesişim) kümesini ve eleman sayısını belirle.
A∩B={3,4}A \cap B = \{3, 4\} olduğundan s(A∩B)=2s(A \cap B) = 2 olur.
Kesişim kümesi, her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur.
3
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygula.
s((A∪B)×(A∩B))=s(A∪B)⋅s(A∩B)=6⋅2=12s((A \cup B) \times (A \cap B)) = s(A \cup B) \cdot s(A \cap B) = 6 \cdot 2 = 12.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır: s(K×L)=s(K)⋅s(L)s(K \times L) = s(K) \cdot s(L).

İpuçları

1
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısını bulmak için her bir kümenin eleman sayısını bulup çarpmalısın.
2
Önce parantez içindeki (A∪B)(A \cup B) ve (A∩B)(A \cap B) kümelerini liste yöntemiyle yazmayı dene.
3
s(A∪B)=6s(A \cup B) = 6 ve s(A∩B)=2s(A \cap B) = 2 olduğunu bulduktan sonra bu değerleri çarparak sonuca ulaşabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Fark kümesi içeren kartezyen çarpım sorularını (örneğin (A∖B)×B(A \setminus B) \times B) çözerek konuyu pekiştirebilirsin.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek elemanları yerleştirmek, birleşim ve kesişim bölgelerindeki eleman sayılarını görsel olarak saymayı kolaylaştırabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 122Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x−2∣≤4}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 4\}

B={x∈Z:∣x+1∣≤3}B = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 1| \le 3\}

Buna göre, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

İki kümenin kartezyen çarpımlarının kesişimi, kümelerin kesişiminin karesine eşittir; bu sayı 25'tir.
Soruda istenen (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesi, kartezyen çarpımın dağılma özelliği gereği (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) ifadesine eşittir. Kesişim değişmeli olduğundan bu ifade (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) demektir. AA ve BB kümelerinin ortak elemanları {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} olmak üzere 5 tanedir. Sonuç 5×5=255 \times 5 = 25 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirle.
∣x−2∣≤4  ⟹  −4≤x−2≤4  ⟹  −2≤x≤6|x - 2| \le 4 \implies -4 \le x - 2 \le 4 \implies -2 \le x \le 6. A kümesi {−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} olup s(A)=9s(A)=9'dur.
Mutlak değer eşitsizliğini açarak tam sayı elemanlarını listelemek gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını belirle.
∣x+1∣≤3  ⟹  −3≤x+1≤3  ⟹  −4≤x≤2|x + 1| \le 3 \implies -3 \le x + 1 \le 3 \implies -4 \le x \le 2. B kümesi {−4,−3,−2,−1,0,1,2}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\} olup s(B)=7s(B)=7'dir.
Mutlak değer eşitsizliğini açarak tam sayı elemanlarını listelemek gerekir.
3
Kümelerin kesişimini (A∩BA \cap B) bul.
Ortak elemanlar {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesidir. Dolayısıyla s(A∩B)=5s(A \cap B) = 5'tir.
Kartezyen çarpım özelliği için ortak eleman sayısı gereklidir.
4
Kartezyen çarpım özelliğini uygula.
s((A×B)∩(B×A))=s((A∩B)×(A∩B))=5×5=25s((A \times B) \cap (B \times A)) = s((A \cap B) \times (A \cap B)) = 5 \times 5 = 25.
(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) kuralı gereği, burada kümeler yer değiştirdiği için sonuç (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) yani (A∩B)2(A \cap B)^2 olur.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

İpuçları

1
Önce mutlak değer eşitsizliklerini çözerek A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça yazınız.
2
(A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesi, her iki bileşenin de hem A hem de B kümesinde olmasını gerektirir.
3
Bu ifade (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesine eşittir. Sadece ortak elemanların sayısını bulup karesini almalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (A∪B)×(A∩B)(A \cup B) \times (A \cap B) eleman sayısını soran bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Elemanları tek tek yazmak yerine sayı doğrusu üzerinde aralıkların kesişimini [−2,2][-2, 2] olarak bulup, bu aralıktaki tam sayı adedini (Son - İlk + 1) formülüyle 2−(−2)+1=52 - (-2) + 1 = 5 olarak hesaplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 123Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} birim fonksiyon ve g:R∖{−b/2}→Rg: \mathbb{R} \setminus \{-b/2\} \to \mathbb{R} sabit fonksiyondur.

f(2x+k)=(a−1)x+b−3 f(2x + k) = (a - 1)x + b - 3

g(x)=(a+1)x+82x+b g(x) = \frac{(a + 1)x + 8}{2x + b}

olduğuna göre, f(a)+g(b)+kf(a) + g(b) + k toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Yapılan hesaplamalar sonucunda toplamın değeri 6 olarak bulunur.
Birim fonksiyon tanımı gereği f(2x+k)=2x+kf(2x+k)=2x+k olur; bu da a=3a=3 ve k=b−3k=b-3 sonuçlarını verir. Sabit fonksiyonun rasyonel formunda katsayılar oranı sabit olduğundan (a+1)/2=8/b(a+1)/2 = 8/b eşitliğinden b=4b=4 ve dolayısıyla k=1k=1 bulunur. Son olarak f(3)=3f(3)=3, g(4)=2g(4)=2 ve k=1k=1 değerlerinin toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
ff birim fonksiyon olduğundan f(X)=Xf(X) = X özelliğini kullanın.
f(2x+k)=2x+kf(2x + k) = 2x + k olur. Buradan (a−1)x+b−3=2x+k(a - 1)x + b - 3 = 2x + k eşitliği elde edilir.
Birim fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur.
2
Polinom eşitliği prensibine göre katsayıları karşılaştırın.
a−1=2⇒a=3a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3 ve b−3=kb - 3 = k denklemleri bulunur.
Aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
3
gg sabit fonksiyonu için katsayılar oranını eşitleyin.
g(x)=(a+1)x+82x+bg(x) = \frac{(a + 1)x + 8}{2x + b} sabit ise a+12=8b\frac{a + 1}{2} = \frac{8}{b} olmalıdır.
Rasyonel bir fonksiyonun sabit olması için pay ve paydasındaki aynı dereceli terimlerin katsayıları orantılı olmalıdır.
4
a=3a = 3 değerini kullanarak bb ve kk parametrelerini hesaplayın.
3+12=8b⇒2=8b⇒b=4\frac{3 + 1}{2} = \frac{8}{b} \Rightarrow 2 = \frac{8}{b} \Rightarrow b = 4 olur. k=b−3=4−3=1k = b - 3 = 4 - 3 = 1 bulunur.
Bir önceki adımda bulunan denklemlerin çözülmesi gerekir.
5
İstenen değerleri yerine koyarak toplamı bulun.
f(a)=f(3)=3f(a) = f(3) = 3 (birim fonksiyon), g(b)=g(4)=2g(b) = g(4) = 2 (sabit değer 42=2\frac{4}{2}=2), k=1k = 1 olduğundan 3+2+1=63 + 2 + 1 = 6 elde edilir.
Her fonksiyonun kendi tanımı ve bulunan parametreler uygulanır.

Anahtar Kavram

Birim fonksiyon f(x)=xf(x)=x ve sabit fonksiyon g(x)=cg(x)=c tanımlarının cebirsel denklemlerde uygulanması.

Daha Fazla Pratik

Birim ve sabit fonksiyonların bileşke fonksiyonlar içindeki davranışlarını inceleyen soruları çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 124Soru →

A={1,2}A = \{1, 2\} ve B={2,3}B = \{2, 3\} kümeleri veriliyor. Bu kümeler ve alt küme özellikleri dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: AA ve BB kümelerinin birleşimi olan A∪B={1,2,3}A \cup B = \{1, 2, 3\} kümesi, AA kümesinin bir alt kümesidir.

Cevap

İki kümenin birleşimi olan A∪BA \cup B kümesi, AA kümesini kapsar (A⊆A∪BA \subseteq A \cup B), ancak her zaman AA kümesinin bir alt kümesi değildir.
Doğru cevap olan ifade yanlıştır çünkü birleşim işlemi kümelerin bir araya gelmesiyle oluşur. Verilen örnekte A∪B={1,2,3}A \cup B = \{1, 2, 3\} kümesinin '3' elemanı AA kümesinde bulunmadığı için birleşim kümesi AA'nın bir alt kümesi olamaz. Aksine AA, birleşim kümesinin bir alt kümesidir (A⊆A∪BA \subseteq A \cup B).

Adım Adım Çözüm

1
Alt küme tanımını ve temel özelliklerini hatırla.
Boş küme her kümenin alt kümesidir ve her küme kendisinin alt kümesidir.
Bu özellikler alt küme kavramının evrensel kurallarıdır.
2
AA kümesinin eleman sayısını belirle ve alt küme sayısını hesapla.
s(A)=2s(A) = 2 olduğu için alt küme sayısı 22=42^2 = 4'tür.
Alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur.
3
Kesişim ve birleşim kümelerinin alt küme ilişkilerini incele.
A∩B={2}A \cap B = \{2\} kümesi AA'nın içindedir, ancak A∪B={1,2,3}A \cup B = \{1, 2, 3\} kümesi AA'dan daha geniş bir kümedir.
Kesişim işlemi kümeyi küçültür veya eşit bırakır (alt küme yapar), birleşim işlemi ise kümeyi büyütür veya eşit bırakır (kapsayan küme yapar).

Anahtar Kavram

Alt Küme Tanımı ve Özellikleri

İpuçları

1
Bir kümenin alt kümesi olabilmesi için o kümenin tüm elemanlarının ana kümede bulunması gerekir.
2
Boş kümenin her kümenin alt kümesi olduğunu ve her kümenin kendisinin bir alt kümesi olduğunu unutmayın.
3
Birleşim (A∪BA \cup B) ve kesişim (A∩BA \cap B) kümelerini yazarak hangisinin elemanlarının AA kümesinin içinde kaldığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Bir kümenin eleman sayısı 1 artarsa alt küme sayısının nasıl değiştiğini inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek A ve B kümelerini yerleştirin. Kesişim bölgesinin A'nın içinde kaldığını, ancak birleşim bölgesinin A'nın sınırlarını aştığını görsel olarak görebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 125Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan 4545 personelin yabancı dil bilgileriyle ilgili yapılan bir araştırmada; 2828 personelin İngilizce, 2222 personelin ise Almanca bildiği tespit edilmiştir. Bu kurumda her iki dili de bilmeyen 55 personel olduğuna göre, sadece Almanca bilen personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Sadece Almanca bilen personel sayısı 12'dir.
Toplam personelden her iki dili bilmeyenleri çıkardığımızda geriye kalan 40 kişi en az bir dil bilmektedir. Birleşim kümesi formülüne göre 28 İngilizce ve 22 Almanca bilen toplandığında (50 kişi), birleşimden fazla olan 10 kişilik grup her iki dili de bilenlerdir. Almanca bilen 22 kişiden bu 10 kişi çıkarıldığında sadece Almanca bilen 12 kişi kalır.

Adım Adım Çözüm

1
En az bir dil bilenlerin sayısını hesaplama
45−5=4045 - 5 = 40
Toplam personelden her iki dili de bilmeyenleri çıkararak birleşim kümesinin eleman sayısını (s(I˙∪A)s(İ \cup A)) buluruz.
2
Kesişim kümesini (her iki dili bilenleri) bulma
s(I˙∪A)=s(I˙)+s(A)−s(I˙∩A)⇒40=28+22−s(I˙∩A)⇒s(I˙∩A)=10s(İ \cup A) = s(İ) + s(A) - s(İ \cap A) \Rightarrow 40 = 28 + 22 - s(İ \cap A) \Rightarrow s(İ \cap A) = 10
Birleşim kümesi formülünü kullanarak her iki dili de bilenlerin sayısını tespit ederiz.
3
Sadece Almanca bilenlerin sayısını hesaplama
s(A)−s(I˙∩A)=22−10=12s(A) - s(İ \cap A) = 22 - 10 = 12
Almanca bilen toplam kişiden, aynı zamanda İngilizce de bilenleri çıkardığımızda geriye sadece Almanca bilenler kalır.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Formülü

İpuçları

1
En az bir dil bilenlerin sayısını bulmak için toplam mevcuttan hiçbir dili bilmeyenleri çıkarın.
2
Birleşim formülündeki eksik olan kesişim değerini (her iki dili bilenler) bulun.
3
Sadece Almanca bilenleri bulmak için Almanca kümesinden kesişim kümesini çıkarmanız gerektiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'en az bir dil bilenler' veya 'en çok bir dil bilenler' gibi ifadelerle çözerek kavramı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirebilirsiniz (x, y, z). İngilizce bilenler x+y=28, Almanca bilenler y+z=22 ve x+y+z=40 denklemlerinden z değerini doğrudan bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 126Soru →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi üzerinde tanımlı f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonunun birebir olduğu bilinmektedir.

f(1)+f(2)=9f(1) + f(2) = 9

şartını sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Şartı sağlayan 96 farklı fonksiyon tanımlanabilir
Soruda verilen f(1)+f(2)=9f(1) + f(2) = 9 şartını sağlayan sıralı ikililer tespit edilir: (3,6),(6,3),(4,5),(5,4)(3,6), (6,3), (4,5), (5,4). Toplam 4 farklı durum vardır. Fonksiyon birebir olduğu için, geriye kalan 4 eleman (3,4,5,63,4,5,6), değer kümesinde boşta kalan 4 elemanla 4!=244! = 24 farklı şekilde eşleşebilir. Toplam fonksiyon sayısı 4×24=964 \times 24 = 96 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(1) ve f(2) için uygun değer çiftlerini belirle
Toplamı 9 olan ve A kümesinde bulunan sayı ikilileri: (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)
Fonksiyon A'dan A'ya tanımlı olduğu için görüntüler 1 ile 6 arasında olmalıdır.
2
Birebir fonksiyon şartını kontrol et
Seçilen her çift birbirinden farklı olduğu için (örneğin 3 ve 6), birebir olma şartı bu adımda bozulmaz.
Birebir fonksiyonlarda farklı girdiler farklı çıktılara gitmelidir (x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)).
3
Kalan elemanların kaç farklı şekilde eşleşebileceğini hesapla
Tanım kümesinde kalan 4 eleman, değer kümesinde kalan 4 elemana 4!=244! = 24 farklı şekilde eşleşebilir.
A kümesinin 6 elemanı vardır. 2 elemanın görüntüsü belirlendiğinde, geriye kalan 4 eleman kendi aralarında permütasyon oluşturur.
4
Toplam fonksiyon sayısını hesapla
4 farklı başlangıç durumu ×\times 24 farklı sıralama = 96
Saymanın temel ilkesi (çarpma kuralı) gereği olasılıklar çarpılır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda, belirli elemanların görüntüleri sabitlendiğinde geriye kalan elemanlar, kalan görüntü kümesi elemanlarıyla birebir eşleşmek zorundadır (permütasyon).

İpuçları

1
Önce f(1)f(1) ve f(2)f(2)'nin alabileceği değerleri listeleyin. Toplamı 9 olan kaç farklı (x,y)(x, y) ikilisi var?
2
Fonksiyon birebir olduğu için, f(1)f(1) ve f(2)f(2) için değer seçtikten sonra, geriye kalan 4 elemanı (3,4,5,63, 4, 5, 6) kalan 4 görüntüye eşlemeniz gerekir.
3
Toplamı 9 olan 4 farklı durum vardır: (3,6),(6,3),(4,5),(5,4)(3,6), (6,3), (4,5), (5,4). Her bir durum için kalan elemanlar 4!4! (24) farklı şekilde sıralanır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'f(1) < f(2)' şartıyla çözmeyi deneyin. Bu durumda permütasyon yerine kombinasyon mantığı nasıl devreye girer?

Alternatif Yöntem

Tüm birebir fonksiyon sayısı 6!=7206! = 720'dir. İstenen şartı sağlamayanları çıkarmak yerine doğrudan istenen durumları saymak (yapıcı metot) burada daha hızlıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 127Soru →
A={x∈Z∣1<x≤150}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 < x \le 150\} kümesi veriliyor. Bu kümenin alt kümeleri olan KK ve LL aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
K={x∈A∣x,4 ile tam bo¨lu¨nu¨r}K = \{x \in A \mid x, 4 \text{ ile tam bölünür}\}

L={x∈A∣x,6 ile tam bo¨lu¨nu¨r}L = \{x \in A \mid x, 6 \text{ ile tam bölünür}\}

Buna göre, AA kümesinin elemanlarından kaç tanesi KK veya LL kümelerinin yalnızca birinde bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

38
İstenen durum, kümelerin simetrik farkıdır (yalnızca K'de olanlar + yalnızca L'de olanlar). s(K)=37, s(L)=25 ve s(K∩L)=12 bulunur. Formül: s(K) + s(L) - 2.s(K∩L) = 37 + 25 - 24 = 38.

Adım Adım Çözüm

1
K ve L kümelerinin eleman sayılarını bul.
s(K) = 37, s(L) = 25
1 ile 150 arasında 4'e bölünenler: 150/4 = 37 (tam kısım). 6'ya bölünenler: 150/6 = 25.
2
Kesişim kümesinin (K ∩ L) eleman sayısını bul (OKEK hesapla).
s(K ∩ L) = 12
Hem 4 hem 6 ile bölünen sayılar, 12'nin katlarıdır. 150/12 = 12 (tam kısım).
3
Yalnızca birinde bulunan eleman sayısını (Simetrik Fark) hesapla.
38
s((K ∪ L) \ (K ∩ L)) = [s(K) + s(L)] - 2⋅s(K ∩ L) = [37 + 25] - 2(12) = 62 - 24 = 38.

Anahtar Kavram

Simetrik Fark ve Bölünebilme Kuralları
Soru 128Soru →

Ortak özellik yöntemi ile A={x∣x<10, x bir asal sayı}A = \{x \mid x < 10, \text{ } x \text{ bir asal sayı}\} şeklinde tanımlanan kümenin liste yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{2, 3, 5, 7\}

Cevap

Doğru cevap {2, 3, 5, 7} elemanlarından oluşan kümedir.
Verilen küme tanımı, 10'dan küçük ve asal olan sayıları istemektedir. 10'dan küçük asal sayılar 2, 3, 5 ve 7'dir. Bu elemanların liste yöntemiyle gösterimi ise elemanların süslü parantez içinde yazılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin tanımındaki koşulları analiz et.
x<10x < 10 ve xx bir asal sayı olmalı.
Kümenin hangi sayıları kapsadığını anlamak için verilen matematiksel kısıtlamaları belirlemek gerekir.
2
10'dan küçük asal sayıları belirle.
2, 3, 5 ve 7.
Asal sayılar 1'den büyük, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır. 10'dan küçük olanlar incelendiğinde bu dört sayı bulunur.
3
Belirlenen elemanları liste yöntemiyle yaz.
{2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\}
Liste yöntemi, elemanların süslü parantez içine aralarına virgül konularak yazılmasıdır.

Anahtar Kavram

Ortak Özellik Yönteminden Liste Yöntemine Geçiş

İpuçları

1
Kümenin elemanlarını bulmak için '10'dan küçük' ve 'asal sayı' olma koşullarının her ikisini de sağlayan sayıları düşünün.
2
En küçük asal sayının 2 olduğunu ve 1'in asal sayı olmadığını hatırlayın.
3
10'dan küçük rakamları (0-9) sırayla kontrol edin: 2, 3, 5 ve 7'nin sadece 1'e ve kendisine bölündüğünü göreceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Eleman sayıları verilen bu kümenin alt küme sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 129Soru →

A={−2,−1,0,1,2}A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesi veriliyor.

f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonunun birebir olduğu ve her x∈Ax \in A için
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

eşitliğini sağladığı bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Verilen koşulları sağlayan 8 farklı fonksiyon vardır.
Fonksiyonun f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) koşulunu sağlaması (tek fonksiyon özelliği), f(0)=0f(0)=0 olmasını zorunlu kılar. Ayrıca xx ve −x-x değerlerinin görüntüleri mutlak değerce eşit ve zıt işaretli olmalıdır (f(x)=y  ⟹  f(−x)=−yf(x)=y \implies f(-x)=-y). A={−2,−1,0,1,2}A=\{-2,-1,0,1,2\} kümesinde f(1)f(1) değeri için 0 hariç 4 seçenek vardır. f(1)f(1) seçildiğinde f(−1)f(-1) otomatik belirlenir ve görüntü kümesinden 2 eleman eksilir. Geriye kalan f(2)f(2) için 2 seçenek kalır. Toplamda 4×2=84 \times 2 = 8 farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1
x=0x=0 için fonksiyonun değerini belirle.
f(0)=0f(0) = 0 olmalıdır.
Verilen f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) eşitliğinde x=0x=0 yazılırsa, f(0)=−f(0)f(0) = -f(0) olur. Bu durumda 2f(0)=02f(0)=0 ve f(0)=0f(0)=0 bulunur. Birebir olduğu için 00 görüntü kümesinde başka eleman tarafından kullanılamaz.
2
Tanım kümesindeki diğer elemanları gruplandır ve f(1)f(1) için seçenek sayısını bul.
f(1)f(1) için 4 farklı seçenek vardır: {−2,−1,1,2}\{-2, -1, 1, 2\}.
Tanım kümesinde kalan elemanlar {−2,−1,1,2}\{-2, -1, 1, 2\}. f(1)f(1) değeri 00 olamaz (birebirliğe aykırı). Geriye kalan 4 değerden herhangi birini alabilir.
3
f(1)f(1) seçimine bağlı olarak f(−1)f(-1) değerini belirle.
f(−1)f(-1) tek bir değer alır (zorunlu seçim).
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) kuralı gereği, f(1)=yf(1) = y seçildiğinde f(−1)=−yf(-1) = -y olmak zorundadır. Bu adım için ekstra bir seçim hakkı oluşmaz (1 durum).
4
f(2)f(2) için kalan seçenek sayısını hesapla.
f(2)f(2) için 2 farklı seçenek kalır.
Görüntü kümesinde 00, yy ve −y-y değerleri kullanıldı. Kümede toplam 5 eleman vardı, geriye 5−3=25-3=2 eleman kaldı. f(2)f(2) bu iki değerden birini alabilir.
5
f(−2)f(-2) değerini belirle ve toplam fonksiyon sayısını hesapla.
Toplam sayı: 1×4×1×2×1=81 \times 4 \times 1 \times 2 \times 1 = 8.
f(2)f(2) seçilince f(−2)f(-2) otomatik olarak belirlenir. Çarpma kuralına göre seçenekler çarpılır.

Anahtar Kavram

Birebir fonksiyonlarda simetri ve kısıtlı sayma

İpuçları

1
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) eşitliğinde x=0x=0 yazarak f(0)f(0) değerini bulunuz.
2
Birebir olduğu için kullanılan değerler tekrar kullanılamaz. f(1)f(1) için kaç seçenek olduğunu belirleyip, bu seçimin f(−1)f(-1)'i nasıl etkilediğini düşününüz.
3
f(1)f(1) değeri seçilince f(−1)f(-1) zorunlu olarak belirlenir. Bu işlem görüntü kümesinden iki elemanı eksiltir. Kalan elemanlar f(2)f(2) için kullanılabilir.

Daha Fazla Pratik

Aynı küme üzerinde tanımlı, birebir ve f(-x) = f(x) (çift fonksiyon) koşulunu sağlayan kaç fonksiyon vardır sorusu ile simetri kavramını pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Olası fonksiyonları eşleşme diyagramı çizerek somutlaştırabilirsiniz: 0→0 sabittir. {1, -1} çifti {a, -a} çiftine gitmelidir. Kümede iki tane {a, -a} çifti vardır ({1,-1} ve {2,-2}). 1 sayısı bu 4 değerden birine gittiğinde çifti kilitlenir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 130Soru →

A={1,2}A = \{1, 2\} ve B={a,b,c}B = \{a, b, c\} kümeleri veriliyor. Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}\{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}

Cevap

{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}\{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\} elemanlarından oluşan küme doğru cevaptır.
Kartezyen çarpım kümesi oluşturulurken birinci küme olan AA'nın her bir elemanı (11 ve 22), ikinci küme olan BB'nin her bir elemanı (a,b,ca, b, c) ile sırayla eşleştirilir. Bu işlem sonucunda elde edilen tüm sıralı ikililerin toplandığı küme doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci küme olan AA kümesinin elemanlarını belirleyin.
A={1,2}A = \{1, 2\}
Kartezyen çarpımda (A×BA \times B) sıralı ikililerin birinci bileşenleri AA kümesinden gelmelidir.
2
İkinci küme olan BB kümesinin elemanlarını belirleyin.
B={a,b,c}B = \{a, b, c\}
Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri BB kümesinden gelmelidir.
3
AA kümesinin her bir elemanını BB kümesinin tüm elemanlarıyla sırasıyla eşleştirin.
1 için: (1,a),(1,b),(1,c)(1, a), (1, b), (1, c); 2 için: (2,a),(2,b),(2,c)(2, a), (2, b), (2, c)
Kartezyen çarpım tanımı gereği her iki kümenin elemanları arasında tüm olası eşleşmeler yapılmalıdır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım A×BA \times B, birinci bileşeni AA'dan ve ikinci bileşeni BB'den alınan tüm (a,b)(a, b) sıralı ikililerinin kümesidir.

İpuçları

1
Kartezyen çarpım kümesindeki her eleman bir sıralı ikilidir; yani (x,y)(x, y) formundadır.
2
A×BA \times B işleminde ilk sayı mutlaka AA kümesinden, harf ise mutlaka BB kümesinden seçilmelidir.
3
AA kümesinde 22, BB kümesinde 33 eleman olduğu için çarpım kümesinin toplam 2×3=62 \times 3 = 6 elemanı olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bulmak için kümelerin eleman sayılarını çarpmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 131Soru →

M={x∣x,"MATEMATI˙K" kelimesinin bir harfidir}M = \{ x \mid x, \text{"MATEMATİK" kelimesinin bir harfidir} \} ve N={x∣x,"I˙STATI˙STI˙K" kelimesinin bir harfidir}N = \{ x \mid x, \text{"İSTATİSTİK" kelimesinin bir harfidir} \} kümeleri veriliyor. Bu kümeler kullanılarak S={M,N,{M,N},∅}S = \{ M, N, \{M, N\}, \emptyset \} kümesi oluşturuluyor.

Buna göre, SS kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: N⊆SN \subseteq S

Cevap

N kümesinin S kümesinin alt kümesi olduğunu belirten ifade yanlıştır çünkü N kümesi S'nin bir alt kümesi değil, bir elemanıdır.
Doğru cevap olan ifade yanlıştır çünkü N kümesi S kümesinin bir elemanı olarak tanımlanmıştır (N∈SN \in S). Bir kümenin alt küme (⊆\subseteq) olabilmesi için o kümenin tüm elemanlarının hedef kümede bulunması gerekir. N kümesinin elemanları harflerdir (İ, S, T, A, K), oysa S kümesinin elemanları harf değil, kütüphane gibi kümelerin kendisidir. Dolayısıyla harfler S'nin elemanı olmadığı için N kümesi S'nin alt kümesi olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
M ve N kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yazıp eleman sayılarını bulun.
M={M,A,T,E,I˙,K}⇒s(M)=6M = \{M, A, T, E, İ, K\} \Rightarrow s(M) = 6 ve N={I˙,S,T,A,K}⇒s(N)=5N = \{İ, S, T, A, K\} \Rightarrow s(N) = 5.
Kelime içindeki tekrar eden harfler kümede bir kez yazılır.
2
S kümesinin elemanlarını belirleyin.
SS kümesinin elemanları: MM kümesi, NN kümesi, {M,N}\{M, N\} kümesi ve ∅\emptyset (boş küme).
S kümesi ortak özellik yöntemiyle değil, elemanların listelenmesiyle verilmiştir; bu elemanların her biri birer kümedir.
3
Eleman olma (∈\in) ve alt küme olma (⊆\subseteq) kavramlarını kontrol edin.
NN bir bütün olarak SS'nin içindedir, yani N∈SN \in S. Ancak N⊆SN \subseteq S olabilmesi için I˙∈S,S∈S,…İ \in S, S \in S, \dots olması gerekirdi.
Bir kümenin alt kümesi, o kümenin elemanlarından oluşmalıdır. SS'nin elemanları harfler değil, kümelerdir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme Farkı

İpuçları

1
Kümelerde aynı eleman birden fazla kez yazılmaz; kelimelerdeki harfleri sayarken buna dikkat edin.
2
S kümesinin elemanlarının neler olduğunu tek tek listeleyin. Bu elemanlar harf mi yoksa küme mi?
3
Bir kümenin alt küme olabilmesi için, o alt kümenin elemanlarının ana kümenin içinde 'eleman' olarak bulunması gerekir. N'nin elemanları harflerdir, S'nin içinde bu harfler tek başına var mı?

Daha Fazla Pratik

Kuvvet kümesi (power set) kavramını inceleyerek eleman ve alt küme ilişkisini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek S kümesini büyük bir torba olarak hayal edin. Bu torbanın içine üzerinde 'M' yazan bir kutu, 'N' yazan bir kutu, içinde hem M hem N kutusu olan başka bir kutu ve bir boş kutu koyun. Torbanın içinde harfler değil, kutular (kümeler) vardır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 132Soru →

Yabancı dil kursundaki öğrencilerin oluşturduğu EE evrensel kümesi içerisinde; Almanca bilenlerin kümesi AA, İngilizce bilenlerin kümesi II ile gösterilmiştir. Aşağıdaki Venn şemasında sadece Almanca bilen öğrencilerin bulunduğu bölge taranmıştır. Buna göre, taranan bu bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A∖IA \setminus I

Cevap

Sadece Almanca bilenlerin kümesi olan A∖IA \setminus I ifadesi doğrudur.
Şemada taranmış olan bölge, Almanca bilenlerin (AA kümesi) sınırları içinde yer alırken, İngilizce bilenlerin (II kümesi) sınırlarının dışında kalmaktadır. Matematikte bu durum 'A fark I' olarak adlandırılır ve A∖IA \setminus I sembolü ile gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1
Taranan bölgenin hangi temel kümenin sınırları içerisinde olduğunu belirleyin.
Taranan bölge AA kümesinin (çemberinin) içindedir.
Sadece Almanca bilenler, AA kümesinin bir alt kısmını oluşturur.
2
Taranan bölgenin hangi kümenin sınırları dışında bırakıldığını kontrol edin.
II kümesi ile olan ortak bölge (kesişim) taranmamıştır.
Bir kişinin 'sadece' Almanca bilmesi, o kişinin İngilizce bilmediği anlamına gelir.
3
AA kümesinde bulunup II kümesinde bulunmayan elemanları temsil eden matematiksel sembolü belirleyin.
Bu durum 'fark' işlemiyle A∖IA \setminus I (veya A−IA - I) şeklinde gösterilir.
Kümelerde fark işlemi, bir kümenin diğer kümeden ayrılan özel kısmını tanımlar.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işlemi (A∖BA \setminus B), A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesidir.

İpuçları

1
Taranan bölgenin hangi ana kümenin (A veya I) içinde olduğuna dikkat edin.
2
Taranan yer A kümesinin içindedir ancak I kümesi ile ortak olan kısımları içermemektedir.
3
Bir kümede olup başka bir kümede olmayan elemanları göstermek için 'fark' sembolü (\ veya -) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Aynı şema üzerinde hem Almanca hem İngilizce bilenlerin bölgesini ve Almanca bilmeyenlerin bölgesini sembollerle ifade etmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Taranan bölgeyi A∩I′A \cap I' (A ile I'nın tümleyeninin kesişimi) şeklinde de ifade edebiliriz, çünkü bu bölge hem A'nın içinde hem de I'nın dışındadır.
Tahmini Süre:45s
Soru 133Soru →
AA, BB ve CC boş kümeden farklı kümeler olmak üzere,
s[(A×B)∩(A×C)]=12s[(A \times B) \cap (A \times C)] = 12

s(A)=4s(A) = 4

s(B∪C)=11s(B \cup C) = 11

s(B)=s(C)+2s(B) = s(C) + 2

eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, s[B×(C∖B)]s[B \times (C \setminus B)] ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
Sorunun çözümü, kartezyen çarpımın kesişim işlemi üzerine dağılma özelliğinin (A×(B∩C)A \times (B \cap C)) doğru tespit edilmesine ve küme formüllerinin (birleşim ve fark) hatasız uygulanmasına dayanır. Hesaplamalar sonucunda s(B)=8s(B)=8 ve s(C∖B)=3s(C \setminus B)=3 bulunduğundan, çarpımları 24 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılır: (A×B)∩(A×C)=A×(B∩C)(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C).
s[A×(B∩C)]=12s[A \times (B \cap C)] = 12
Kartezyen çarpım özelliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştirmek için.
2
Kartezyen çarpım eleman sayısı formülü ile kesişim kümesinin eleman sayısı bulunur: s(A)⋅s(B∩C)=12s(A) \cdot s(B \cap C) = 12.
4⋅s(B∩C)=12⇒s(B∩C)=34 \cdot s(B \cap C) = 12 \Rightarrow s(B \cap C) = 3
Bilinmeyen kesişim kümesi değerine ulaşmak için.
3
Birleşim formülü (s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C)) kullanılarak s(B)+s(C)s(B) + s(C) toplamı bulunur.
11=s(B)+s(C)−3⇒s(B)+s(C)=1411 = s(B) + s(C) - 3 \Rightarrow s(B) + s(C) = 14
Denklem sistemi kurabilmek için gerekli toplamı bulmak.
4
Elde edilen s(B)+s(C)=14s(B) + s(C) = 14 ve verilen s(B)=s(C)+2s(B) = s(C) + 2 denklemleri ortak çözülür.
(s(C)+2)+s(C)=14⇒2s(C)=12⇒s(C)=6(s(C)+2) + s(C) = 14 \Rightarrow 2s(C) = 12 \Rightarrow s(C) = 6 ve s(B)=8s(B) = 8
B ve C kümelerinin eleman sayılarını belirlemek için.
5
İstenen s[B×(C∖B)]s[B \times (C \setminus B)] değeri için önce s(C∖B)=s(C)−s(B∩C)s(C \setminus B) = s(C) - s(B \cap C) hesaplanır, sonra çarpım yapılır.
s(C∖B)=6−3=3s(C \setminus B) = 6 - 3 = 3 ve Sonuç: 8⋅3=248 \cdot 3 = 24
Sorunun nihai cevabına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Dağılma Özelliği ve Küme Problemleri

İpuçları

1
(A×B)∩(A×C)(A \times B) \cap (A \times C) ifadesini ortak paranteze alır gibi düşünün: A×(B∩C)A \times (B \cap C).
2
s(B∪C)=s(B)+s(C)−s(B∩C)s(B \cup C) = s(B) + s(C) - s(B \cap C) formülünü kullanarak s(B)s(B) ve s(C)s(C) değerlerini bulmaya çalışın.
3
C∖BC \setminus B kümesinin eleman sayısını bulmak için s(C)s(C) değerinden s(B∩C)s(B \cap C) değerini çıkarmayı unutmayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 134Soru →

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinin, B={1,2}B = \{1, 2\} kümesini kapsayan alt kümelerinden kaç tanesinin eleman sayısı 4 değildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eleman sayısı 4 olmayan 10 adet alt küme vardır.
B kümesini kapsayan tüm alt kümelerin sayısından (16), eleman sayısı tam olarak 4 olan alt kümelerin sayısı (6) çıkarılarak 10 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları sağlayan tüm alt kümelerin sayısını hesapla.
B⊂K⊆AB \subset K \subseteq A şartını sağlayan KK kümeleri için, B={1,2}B=\{1,2\} elemanları sabittir. Geriye kalan {3,4,5,6}\{3,4,5,6\} kümesinden (4 elemanlı) seçim yapılır. Toplam durum: 24=162^4 = 16.
Sabit elemanlar dışındaki elemanların oluşturacağı tüm kombinasyonlar hesaplanır.
2
İstenmeyen durumun (eleman sayısı 4 olanlar) sayısını hesapla.
KK kümesinin 4 elemanlı olması için, sabit olan 2 elemanın yanına, kalan 4 elemandan 2 tane daha seçilmelidir: C(4,2)=4⋅32⋅1=6C(4, 2) = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6.
Eleman sayısı 4 olan kümeleri bulmak için kombinasyon hesabı yapılır.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
Sonuç = 16−6=1016 - 6 = 10.
Toplam sayıdan, şartı sağlamayan (eleman sayısı 4 olan) kümeler çıkarılarak cevaba ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bir kümenin belirli elemanları kapsayan alt kümelerinin sayısı ve kombinasyon (seçme) mantığı.
Soru 135Soru →
EE evrensel kümesinin boş olmayan AA ve BB alt kümeleri için,
K=[(A∪B′)∖(A∖B)]∩B K = [(A \cup B') \setminus (A \setminus B)] \cap B

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A∩BA \cap B

Cevap

İfadenin en sade hali A∩BA \cap B kümesidir.
Verilen ifade adım adım sadeleştirildiğinde; ilk kısım evrensel kümeden simetrik farkın çıkarılmasına (veya kesişim ile dış bölgenin birleşimine) denk gelir. Bu küme ile BB kümesi kesiştirildiğinde, geriye sadece hem AA'da hem de BB'de olan elemanlar, yani A∩BA \cap B kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Fark işlemini kesişim cinsinden ifade etme
A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B' ve X∖Y=X∩Y′X \setminus Y = X \cap Y' kurallarını kullanalım. İfade: (A∪B′)∩(A∖B)′(A \cup B') \cap (A \setminus B)' haline gelir.
Küme cebiri işlemlerini yapabilmek için fark işlemini kesişim ve tümleme cinsinden yazmak gerekir.
2
De Morgan kuralını uygulama
(A∖B)′=(A∩B′)′=A′∪B(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B olur. İfade şimdi: [(A∪B′)∩(A′∪B)]∩B[(A \cup B') \cap (A' \cup B)] \cap B şeklindedir.
Parantezin tümleyenini içeri dağıtarak işlemi basitleştirmek için.
3
Dağılma özelliği veya bölge analizi yapma
[(A∪B′)∩(A′∪B)][(A \cup B') \cap (A' \cup B)] ifadesi, (A∩B)∪(A∪B)′(A \cap B) \cup (A \cup B)' kümesine eşittir (veya sadece bölgeler düşünüldüğünde: 'Sadece B' ve 'Sadece A' bölgeleri dışındaki her yer).
Bu ifadeyi basitleştirmek sonraki kesişim işlemi için gereklidir.
4
Sonuç ile B kümesini kesiştirme
[(A∩B)∪(A∪B)′]∩B[(A \cap B) \cup (A \cup B)'] \cap B. Dağılma özelliği ile: (A∩B∩B)∪((A∪B)′∩B)(A \cap B \cap B) \cup ((A \cup B)' \cap B).
(A∩B)∩B=A∩B(A \cap B) \cap B = A \cap B olur.
(A∪B)′∩B=∅(A \cup B)' \cap B = \emptyset (çünkü B kümesi (A∪B)′(A \cup B)' ile ayrıktır).
Sonuç: (A∩B)∪∅=A∩B(A \cap B) \cup \emptyset = A \cap B.

Anahtar Kavram

Küme işlemlerinde fark (A∖B=A∩B′A \setminus B = A \cap B') ve De Morgan kurallarının sembolik mantık ile uygulanması.

İpuçları

1
İfadedeki fark işlemlerini (X∖YX \setminus Y) kesişim ve tümleme cinsinden (X∩Y′X \cap Y') yazarak işe başlayın.
2
(A∖B)′(A \setminus B)' ifadesini De Morgan kuralı ile açın: (A∩B′)′=A′∪B(A \cap B')' = A' \cup B.
3
İfadeyi Venn şeması üzerinde bölgeler vererek düşünün: A∪B′A \cup B' kümesinden A∖BA \setminus B (sadece A) bölgesini çıkarırsanız geriye ne kalır?

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgeleri numaralandırın (1: Sadece A, 2: Kesişim, 3: Sadece B, 4: Dışarı). (A∪B′)(A \cup B') {1,2,4} bölgeleridir. (A∖B)(A \setminus B) {1} bölgesidir. Farkları {2,4} olur. Bu kümeyi B kümesi {2,3} ile kesiştirirseniz geriye sadece {2} yani kesişim kalır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 136Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesi veriliyor. Buna göre, AA kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin en küçük elemanı bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Verilen kümenin 3 elemanlı alt kümelerinden 13 tanesinin en küçük elemanı bir çift sayıdır.
Doğru cevap olan 13, kümedeki çift sayıların (2 ve 4) en küçük eleman olma durumlarının ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir. En küçük eleman 2 olduğunda geriye kalan 5 elemandan 2 tane, en küçük eleman 4 olduğunda ise geriye kalan 3 elemandan 2 tane seçilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki çift sayıları belirleyin.
Çift sayılar: {2,4,6}\{2, 4, 6\}.
En küçük elemanın bir çift sayı olması istendiği için başlangıç noktamız budur.
2
En küçük elemanın 2 olduğu durumları hesaplayın.
C(5,2)=10C(5, 2) = 10.
En küçük eleman 2 ise, kalan 2 eleman {3,4,5,6,7}\{3, 4, 5, 6, 7\} kümesinden (5 eleman arasından) seçilmelidir.
3
En küçük elemanın 4 olduğu durumları hesaplayın.
C(3,2)=3C(3, 2) = 3.
En küçük eleman 4 ise, kalan 2 eleman {5,6,7}\{5, 6, 7\} kümesinden (3 eleman arasından) seçilmelidir.
4
En küçük elemanın 6 olduğu durumları kontrol edin.
C(1,2)=0C(1, 2) = 0.
En küçük eleman 6 ise, kalan 2 eleman sadece {7}\{7\} kümesinden seçilebilir ki bu mümkün değildir (en az 2 eleman gereklidir).
5
Bulunan tüm durumları toplayın.
10+3=1310 + 3 = 13.
Farklı durumlar ayrık olaylar olduğu için toplamları genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Alt kümelerde eleman seçimi ve en küçük/en büyük eleman sınırlamaları genellikle kombinasyon yardımıyla çözülür.

İpuçları

1
Kümedeki çift sayıları (2, 4, 6) listeleyerek işe başlayın.
2
En küçük eleman 2 ise, diğer iki elemanı 2'den büyük olanlar arasından seçmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla 'en büyük elemanı tek sayı olan' 3 elemanlı alt küme sayısını bulmaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Koşulu sağlayan tüm kümeleri listeleyebilirsiniz: {2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}, {2,3,7}, {2,4,5}, {2,4,6}, {2,4,7}, {2,5,6}, {2,5,7}, {2,6,7} (10 tane) ve {4,5,6}, {4,5,7}, {4,6,7} (3 tane). Toplam 13 küme.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 137Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x∣<5}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| < 5\}

B={x∈Z:∣x−2∣≤3}B = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}

Buna göre, A×BA \times B kümesinin elemanlarından kaç tanesi B×AB \times A kümesinin bir elemanı değildir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

İstenen kümenin eleman sayısı 27'dir.
Doğru cevap 27'dir. İstenen durum, (a,b)∈A×B(a,b) \in A \times B iken (a,b)∉B×A(a,b) \notin B \times A olmasıdır. Bu, A×BA \times B kümesinden (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin çıkarılmasıyla bulunur. Kesişim özelliği gereği bu (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesine eşittir. s(A)=9s(A)=9, s(B)=7s(B)=7 ve s(A∩B)=6s(A \cap B)=6 olduğundan, sonuç 63−36=2763 - 36 = 27 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle.
∣x∣<5  ⟹  −5<x<5|x| < 5 \implies -5 < x < 5. x∈{−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}. s(A)=9s(A) = 9.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek tam sayı elemanları listelemek gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını ve sayısını belirle.
∣x−2∣≤3  ⟹  −3≤x−2≤3  ⟹  −1≤x≤5|x-2| \le 3 \implies -3 \le x-2 \le 3 \implies -1 \le x \le 5. x∈{−1,0,1,2,3,4,5}x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}. s(B)=7s(B) = 7.
İkinci mutlak değer eşitsizliğini çözerek B kümesini oluşturmak gerekir.
3
Toplam kartezyen çarpım eleman sayısını (s(A×B)s(A \times B)) hesapla.
s(A×B)=s(A)⋅s(B)=9⋅7=63s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 9 \cdot 7 = 63.
Genel kümenin büyüklüğünü bulmak, çıkarılacak kısmı belirlemek için gereklidir.
4
İki kartezyen çarpımın kesişim kümesini ((A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A)) belirle.
Kesişim, (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesidir. A∩B={−1,0,1,2,3,4}A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} olup s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6. Kesişim sayısı 6⋅6=366 \cdot 6 = 36.
B×AB \times A içinde de olan elemanları bulmak için kümelerin kesişimi kullanılır.
5
Fark kümesinin eleman sayısını hesapla.
s((A×B)∖(B×A))=s(A×B)−s((A×B)∩(B×A))=63−36=27s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \times B) \cap (B \times A)) = 63 - 36 = 27.
Toplam eleman sayısından, her iki kümede de bulunan ortak elemanları çıkararak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Küme Farkı
Soru 138Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için,
f(x+1)=2f(x)−xf(x+1) = 2f(x) - x

eşitliği verilmektedir.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

İşlemler adım adım takip edildiğinde f(4) değeri 21 olarak bulunur.
Verilen fonksiyon bir indirgeme bağıntısıdır. f(4)f(4) değerine ulaşmak için f(1)f(1)'den başlayarak sırasıyla f(2)f(2) ve f(3)f(3) değerlerini bulmamız gerekir. Her adımda xx değeri 1 artırılarak formülde yerine konulur ve bir sonraki fonksiyon değeri elde edilir. f(2)=7f(2)=7 ve f(3)=12f(3)=12 bulunduktan sonra son adımda f(4)=21f(4)=21 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte x yerine 1 yazılarak f(2) değerini hesapla.
f(1+1) = 2f(1) - 1 ⇒ f(2) = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7
Fonksiyonun yinelemeli (rekürsif) kuralını başlatmak için bilinen f(1) değerini kullanmalıyız.
2
Bulunan f(2) değerini kullanarak, x yerine 2 yazıp f(3) değerini hesapla.
f(2+1) = 2f(2) - 2 ⇒ f(3) = 2(7) - 2 = 14 - 2 = 12
Zincirleme kuralı devam ettirerek hedefe yaklaşmalıyız.
3
Bulunan f(3) değerini kullanarak, x yerine 3 yazıp f(4) değerini hesapla.
f(3+1) = 2f(3) - 3 ⇒ f(4) = 2(12) - 3 = 24 - 3 = 21
Sonuca ulaşmak için son adımı uygularız.

Anahtar Kavram

Yinelemeli (İndirgemeli) Fonksiyonlar
Soru 139Soru →

Bir kamu kurumunun Strateji Dairesi Başkanlığında; 'Mevzuat (M)', 'Denetim (D)' ve 'Eğitim (E)' olmak üzere üç farklı çalışma grubu oluşturulmuştur. Toplam 52 personelin görev yaptığı bu dairede, her personel bu gruplardan en az birinde yer almaktadır.

Gruplardaki personel dağılımı ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Denetim grubunda veya Eğitim grubunda yer alan her personel, mutlaka başka bir grupta daha görev yapmaktadır.
* Sadece Mevzuat grubunda görev yapan personel sayısı, Denetim grubunda görev yapan toplam personel sayısına eşittir.
* Yalnızca Denetim ve Eğitim gruplarında görev yapan personel sayısı, her üç grupta da görev yapanların 4 katıdır.
* Yalnızca Mevzuat ve Denetim gruplarında görev yapanların sayısı da, yalnızca Mevzuat ve Eğitim gruplarında görev yapanların sayısı da her üç grupta görev yapanların sayısına eşittir.

Buna göre, Mevzuat grubunda görev yapan toplam personel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Mevzuat grubunda görev yapan toplam personel sayısı 36'dır.
Doğru cevap 36'dır. Problemi çözmek için Venn şeması mantığıyla tüm bölgeleri tek bir bilinmeyen (x) cinsinden ifade ederiz. 'Sadece Denetim' ve 'Sadece Eğitim' bölgelerinin boş olması (0), problemin kilit noktasıdır. Toplam personel sayısı denklemi 13x = 52 verir, buradan x = 4 bulunur. Mevzuat grubunun tamamı 9x'e karşılık geldiği için sonuç 36 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri matematiksel küme bölgelerine dönüştür. Her üç grupta çalışan personel sayısına 'x' de.
n(M∩D∩E) = x olarak belirlendi.
Bilinmeyenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek denklemi çözülebilir kılar.
2
'Denetim veya Eğitim grubunda yer alan her personel, mutlaka başka bir grupta daha görev yapmaktadır' ifadesini yorumla.
Bu ifade, 'Sadece Denetim' ve 'Sadece Eğitim' bölgelerinin boş küme olduğunu gösterir. Yani n(D_yalnız) = 0 ve n(E_yalnız) = 0.
Bu personeller tek başlarına bu gruplarda bulunamıyorsa, mutlaka kesişim bölgelerinde yer almalıdırlar.
3
Diğer kesişim bölgelerini 'x' cinsinden yaz.
Yalnızca D ve E kesişimi = 4x; Yalnızca M ve D kesişimi = x; Yalnızca M ve E kesişimi = x.
Sorudaki kat ve eşitlik bilgileri (4 katı ve eşit olması) kullanıldı.
4
Denetim (D) grubunun toplam eleman sayısını hesapla ve 'Sadece Mevzuat' sayısını bul.
n(D) = n(D_yalnız) + n(M∩D_yalnız) + n(D∩E_yalnız) + n(M∩D∩E) = 0 + x + 4x + x = 6x. Verilen bilgiye göre n(M_yalnız) = n(D) = 6x.
Soruda 'Sadece Mevzuat grubunda görev yapan personel sayısı, Denetim grubunun toplamına eşittir' denilmiştir.
5
Toplam personel sayısı (52) üzerinden denklemi kur ve x'i bul.
Toplam = 6x (M_yalnız) + 0 (D_yalnız) + 0 (E_yalnız) + x (M∩D) + x (M∩E) + 4x (D∩E) + x (M∩D∩E) = 13x. 13x = 52 ise x = 4.
Ayrık bölgelerin toplamı evrensel kümeyi (toplam personeli) verir.
6
Mevzuat (M) grubunun toplam personel sayısını hesapla.
n(M) = n(M_yalnız) + n(M∩D_yalnız) + n(M∩E_yalnız) + n(M∩D∩E) = 6x + x + x + x = 9x. x=4 olduğundan, 9 * 4 = 36.
Mevzuat grubuna dahil olan tüm alt bölgeler toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemleri ile problem çözme

İpuçları

1
'Denetim veya Eğitim grubunda yer alan herkes başka bir grupta da vardır' ifadesi, bu kümelerin 'sadece kendilerine ait' (yalnızca D veya yalnızca E) elemanlarının 0 olduğu anlamına gelir.
2
Her üç grupta da bulunan kişi sayısına x diyerek diğer tüm grupları x cinsinden yazmayı deneyin. Örneğin, sadece D ve E'de olanlar 4x olacaktır.
3
Denetim grubunun toplam sayısı (kesişimler dahil) 6x çıkacaktır. Bu sayı 'Sadece Mevzuat' sayısına eşittir. Toplam personel sayısı olan 13x = 52 eşitliğini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'En az iki grupta görev alanlar' veya 'Sadece bir grupta görev alanlar'ın sorulduğu varyasyonları çözünüz.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 140Soru →

A={a,b,c,d,e}A = \{a, b, c, d, e\} ve B={1,2,3,4,5,6}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümeleri veriliyor. AA kümesinden BB kümesine tanımlı ff fonksiyonunun birebir (1-1) olduğu bilinmektedir.

ff fonksiyonu için aşağıdaki şartlar sağlanmaktadır:
1. f(a)+f(b)=7f(a) + f(b) = 7
2. f(c)f(c) değeri bir tek sayıdır.

Buna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Verilen şartlara uyan 72 farklı birebir fonksiyon tanımlanabilir.
İşlem adımları sırasıyla şöyledir: 1. f(a)+f(b)=7f(a)+f(b)=7 şartını sağlayan 6 farklı sıralı ikili vardır. Bu ikililerin her birinde bir tek ve bir çift sayı kullanılır. 2. f(c)f(c) tek sayı olmalıdır. Toplam 3 tek sayıdan 1 tanesi aa veya bb tarafından kullanıldığı için geriye 2 seçenek kalır. 3. Geriye kalan dd ve ee elemanları için, kullanılmayan 3 eleman kalmıştır. dd için 3, ee için 2 seçenek vardır (3×2=63 \times 2 = 6). Sonuç: 6×2×6=726 \times 2 \times 6 = 72.

Adım Adım Çözüm

1
f(a) + f(b) = 7 şartını sağlayan ve birbirinden farklı (birebir olduğu için) ikilileri belirle.
B kümesindeki elemanlardan toplamı 7 olan ikililer: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3). Toplam 6 durum vardır.
Fonksiyon birebir olduğu için f(a) ≠ f(b) olmalıdır. Hem a hem b için değer seçilmelidir.
2
Bu seçimlerin tek/çift sayı durumunu ve f(c) için kalan seçenekleri analiz et.
Her ikilide (örneğin 1 ve 6) mutlaka 1 tek ve 1 çift sayı kullanılır. B kümesindeki tek sayılar {1, 3, 5} (3 adet), çift sayılar {2, 4, 6} (3 adet). a ve b için 1 tek sayı kesinlikle kullanıldığı için, f(c) için geriye 3 - 1 = 2 adet tek sayı kalır.
f(c)'nin tek sayı olması şartı, a ve b'nin kullandığı sayılara bağlıdır.
3
Kalan elemanlar (d ve e) için seçenek sayısını hesapla.
B kümesinde toplam 6 eleman var. f(a), f(b) ve f(c) için toplam 3 eleman kullanıldı. Geriye 6 - 3 = 3 eleman kalır. d için 3, e için 2 seçenek vardır (veya P(3,2) = 6).
Fonksiyon birebir olduğu için kullanılan değerler tekrar kullanılamaz.
4
Çarpma kuralını uygulayarak toplam fonksiyon sayısını bul.
6 (a ve b için) × 2 (c için) × 6 (d ve e için) = 72.
Olaylar bağımsız aşamalar olduğu için seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Birebir Fonksiyon Sayısı ve Saymanın Temel İlkesi

İpuçları

1
Önce f(a) + f(b) = 7 eşitliğini sağlayan sayı çiftlerini listeleyin. Sıralamanın önemli olduğunu unutmayın (f(a)=1 ile f(a)=6 farklıdır).
2
f(a) ve f(b) çiftlerinin her birinde kaç tane tek sayı kullanıldığını kontrol edin. Bu, f(c) için kaç tek sayı kaldığını belirleyecektir.
3
Adım adım seçenek sayılarını çarpın: (a,b çifti sayısı) × (c için kalan tek sayılar) × (d,e için kalan tüm sayılar).

Daha Fazla Pratik

Birebir olmayan fonksiyon sayısı sorulsaydı sonuç nasıl değişirdi?

Alternatif Yöntem

Tüm birebir fonksiyonlardan şartları sağlamayanları çıkarmak yerine, doğrudan şartları sağlayan durumları saymak (yukarıdaki yöntem) bu soru için çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 7 / 15Sonraki
Kümeler ve Fonksiyonlar — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 7 | Examkin