Sayı Problemleri Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunun eğitim salonundaki kursiyerler, salonun her bir sırasına ikişerli oturduklarında $4$ kursiyer ayakta kalıyor. Eğer kursiyerler her bir sıraya üçerli otururlarsa $1$ sıra tamamen boş kalıyor. Buna göre, bu eğitim salonundaki toplam kursiyer sayısı kaçtır?

14

16

18

20

22

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Eğitim salonundaki toplam kursiyer sayısı 18'dir.

Toplam kursiyer sayısı 18'dir. Sıra sayısına

x

dediğimizde, ilk durumdaki öğrenci sayısı

2x+4

olur. İkinci durumda bir sıra tamamen boş kaldığına göre öğrenciler

x-1

sıraya üçerli oturmuşlardır, bu da

3(x-1)

kişiye karşılık gelir.

2x+4 = 3x-3

eşitliğinden

x=7

(sıra sayısı) bulunur. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında toplam kişi sayısı 18 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken tanımlama

Sıra sayısı

x

olsun.

Problemdeki tüm unsurlar sıra sayısına bağlı olduğu için temel değişken olarak belirlendi.

2

Kursiyer sayısını iki farklı durum için ifade etme

1. Durum:

2x + 4

, 2. Durum:

3(x - 1)

İkişerli oturunca 4 kişi artması

2x+4

, üçerli oturunca 1 sıranın boş kalması ise

3(x-1)

şeklinde modellenir.

3

Denklemleri birbirine eşitleme ve çözme

2x + 4 = 3x - 3 \Rightarrow 4 + 3 = 3x - 2x \Rightarrow x = 7

Toplam kursiyer sayısı değişmediği için iki ifadeyi eşitleyerek toplam sıra sayısını buluruz.

4

Sıra sayısını yerine koyarak kursiyer sayısını bulma

2 \times 7 + 4 = 18

veya

3 \times (7 - 1) = 18

Bulunan sıra sayısı herhangi bir denklemde yerine yazılarak gerçek kişi adedine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde bilinmeyen kullanarak doğrusal denklem kurma ve çözme.

İpuçları

1

Salondaki sıra sayısına

x

diyerek her iki durumu da

x

cinsinden yazmayı deneyin.

2

Birinci durumda toplam kişi sayısı

2x + 4

olurken, ikinci durumda bir sıra boş kaldığı için toplam kişi sayısını

3(x - 1)

olarak yazabilirsiniz.

3

Toplam kursiyer sayısı değişmediği için

2x + 4

ve

3(x - 1)

ifadelerini birbirine eşitleyerek önce

x

değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Boş kalan sıra yerine 'bir sırada sadece 1 kişinin oturduğu' durumları içeren benzer problemleri çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek deneme yapılabilir. Örneğin 18 kişi için: İkişerli otursalar 7 sıra tam dolar (14 kişi), 4 kişi artar. Üçerli otursalar 6 sıra tam dolar (18 kişi), 1 sıra boş kalır. Şartlar sağlandığı için doğru cevap 18'dir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2Soru →

Bir kamu kurumunun arşivindeki dosyalar raflara belirli bir düzenle yerleştirilecektir. Dosyalar raflara 8’erli dizildiğinde 24 dosya artmaktadır. Eğer raflara 12’şerli dizilirse 2 raf boş kalmakta ve bir rafta da sadece 4 dosya bulunmaktadır. Buna göre arşivdeki toplam dosya sayısı kaçtır?

120

128

136

144

152

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 136

Cevap

Arşivde toplam 136 dosya bulunmaktadır.

Soruda verilen iki durumu birbirine eşitleyerek çözüm yapılır. '2 raf boş ve 1 rafta 4 dosya var' ifadesi, toplam raf sayısından 3 rafın (2 boş + 1 yarı dolu) tam kapasiteyle kullanılmadığını gösterir. Bu yüzden ikinci denklem

12(x-3) + 4

şeklinde kurulmalıdır. Bu denklem

8x + 24

ile eşitlendiğinde raf sayısı 14 bulunur. Toplam dosya sayısı ise

8 \times 14 + 24 = 136

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla.

Raf sayısı = x, Dosya sayısı = y olsun.

Problemi matematiksel denklemlere dökmek için bilinmeyenleri harflendirmemiz gerekir.

2

Birinci durum için denklemi kur.

8'erli dizilince 24 artıyor: y = 8x + 24

Her rafa 8 dosya konulup 24 tanesi dışarıda kalıyorsa, toplam dosya sayısı 8x + 24 olur.

3

İkinci durum için denklemi kur (Kritik Adım).

12'şerli dizilince 2 raf boş, 1 raf 4'lü: y = 12(x - 3) + 4

Toplam x rafın 2'si boş, 1'i ise tam dolu değil (4 dosya var). Tam dolu (12'li) raf sayısı x - 2 - 1 = x - 3 olur. Kalan 4 dosya buna eklenir.

4

İki denklemi birbirine eşitle ve x'i bul.

8x + 24 = 12(x - 3) + 4 → 8x + 24 = 12x - 36 + 4 → 8x + 24 = 12x - 32 → 56 = 4x → x = 14

Dosya sayısı (y) her iki durumda da aynıdır.

5

Bulunan x değerini yerine yazarak y'yi hesapla.

y = 8(14) + 24 = 112 + 24 = 136

Raf sayısını (14) ilk denklemde yerine koyarak toplam dosya sayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemlerinde Denklem Kurma (Tam ve Kısmi Dolu Kaplar)

İpuçları

1

Raf sayısına 'x' diyerek iki farklı durum için dosya sayısını veren iki ayrı denklem yazmayı deneyin.

2

İkinci durumda '2 raf boş, 1 rafta 4 dosya var' deniliyor. Bu, toplam 'x' raftan kaç tanesinin tam dolu (12 dosya) olduğunu etkiler. Boş ve yarı dolu rafları tam dolulardan çıkarın.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek de çözülebilir. Örneğin 136 dosya olsa: 8'e bölersek 17 raf gerekir (tam bölünür, artan 0). Ama soruda 24 artmalı diyor. Demek ki 136'dan 24 çıkarıp (112) 8'e bölmeliyiz.

112/8 = 14

raf. Şimdi 14 rafı 2. duruma uygulayalım:

14

rafın 2'si boş, 1'i 4'lü ise,

11

raf tam doludur.

11 \times 12 + 4 = 136

. Tuttuğu için cevap budur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumundaki personel, düzenlenecek bir moral yemeği için bir organizasyon firmasıyla toplam sabit bir ücret karşılığında anlaşmıştır. Yemeğe katılması planlanan tüm personel, toplam ücreti eşit olarak paylaşacaktır. Ancak organizasyon günü 5 kişi mazeret bildirerek yemeğe katılmamış, bu yüzden katılan diğer personel planlanandan 40 TL daha fazla ödeme yapmak zorunda kalmıştır. Kişi başı ödenmesi planlanan ilk tutar 160 TL olduğuna göre, yemeğe kaç kişi katılmıştır?

15

20

25

30

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Yemeğe 20 kişi katılmıştır.

Toplam ödenecek tutar sabittir. İlk durumda kişi başı 160 TL düşmektedir. 5 kişi katılmadığında kişi başı ücret 40 TL artarak 200 TL olmuştur. Planlanan kişi sayısına

x

denilirse,

160 \cdot x = 200 \cdot (x-5)

eşitliği kurulur. Buradan

x=25

(planlanan) bulunur. Katılan sayısı ise

25-5=20

kişidir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin değişkenlerini tanımla.

Planlanan kişi sayısı:

x

. Planlanan kişi başı ücret: 160 TL. Toplam Ücret:

160x

.

Toplam ücretin sabit olması, denklemin temelini oluşturur.

2

İkinci durum (gerçekleşen) için verileri yaz.

Katılan kişi sayısı:

x - 5

. Yeni kişi başı ücret:

160 + 40 = 200

TL.

Katılmayanlar yüzünden kişi başı düşen pay artmıştır.

3

İki durumdaki toplam ücreti eşitleyerek denklemi kur.

160x = 200(x - 5)

Organizasyon firmasına ödenecek toplam tutar değişmemiştir.

4

Denklemi çözerek

x

değerini bul.

160x = 200x - 1000 \Rightarrow 40x = 1000 \Rightarrow x = 25

.

Bulunan

x

değeri, yemeğe katılması PLANLANAN kişi sayısıdır.

5

Soruda istenen değeri hesapla.

Katılan kişi sayısı =

x - 5 = 25 - 5 = 20

.

Soru planlanan sayıyı değil, gerçekleşen (katılan) sayıyı sormaktadır.

Anahtar Kavram

Ters Orantı ve Denklem Kurma

İpuçları

1

Toplam ödenmesi gereken tutar her iki durumda da aynıdır (Sabit Ücret).

2

Planlanan kişi sayısı ile kişi başı ücretin çarpımı, katılan kişi sayısı ile yeni ücretin çarpımına eşittir.

3

Planlanan sayıya

x

derseniz, denklem:

160 \cdot x = (160+40) \cdot (x-5)

olur.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan 'öğrenci evi kira paylaşımı' veya 'minibüs ücreti' problemlerini çözerek ters orantı mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fark üzerinden düşünme: Katılmayan 5 kişinin ödemesi gereken toplam tutar

5 \times 160 = 800

TL'dir. Bu yük, kalan kişilere paylaştırılmıştır. Kalan her kişi 40 TL fazla ödediğine göre, kalan kişi sayısı

800 / 40 = 20

kişidir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir kamu kurumunda düzenlenen hizmet içi eğitim seminerinde katılımcılar salondaki sıralara belirli bir düzende oturacaktır. Katılımcılar her sıraya $3$ 'er kişi oturursa $2$ sıra tamamen boş kalıyor. Eğer her sıraya $2$ 'şer kişi oturursa $7$ katılımcı ayakta kalıyor. Buna göre, bu seminerdeki toplam katılımcı sayısı kaçtır?

25

26

33

39

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Seminerdeki toplam katılımcı sayısı 33'tür.

Toplam sıra sayısına

x

denildiğinde, 2 sıranın boş kalması katılımcıların

(x-2)

sıraya 3'erli oturduğunu gösterir. Aynı katılımcı kitlesi sıralara 2'şerli oturduğunda 7 kişi ayakta kalıyorsa, katılımcı sayısı

2x+7

olarak ifade edilir.

3(x-2) = 2x+7

eşitliğinden

x=13

bulunur. Bu değer yerine yazıldığında toplam katılımcı sayısının 33 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken tanımlama

Sıra sayısı =

x

Problemdeki tüm veriler sıra sayısına bağlı olduğu için temel değişken olarak sıra sayısını seçiyoruz.

2

Katılımcı sayısını iki farklı durum için denkleme dökme

1. Durum:

3 \times (x - 2)

, 2. Durum:

2x + 7

İlk durumda 2 sıra boş kaldığı için oturanlar

(x-2)

sırayı doldurur. İkinci durumda herkes oturduğunda 7 kişi artmaktadır.

3

Denklemleri birbirine eşitleme ve çözme

3x - 6 = 2x + 7 \Rightarrow x = 13

Her iki durum da aynı toplam katılımcı sayısını verdiği için denklemler birbirine eşittir.

4

Bulunan değeri yerine koyarak katılımcı sayısını hesaplama

2 \times 13 + 7 = 33

veya

3 \times (13 - 2) = 33

Bulduğumuz sıra sayısını herhangi bir durumdaki ifadede yerine yazarak toplam kişi sayısına ulaşıyoruz.

Anahtar Kavram

Sözel ifadeleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlere dönüştürme ve çözme.

İpuçları

1

Seminerdeki toplam sıra sayısına

x

diyerek başlayın.

2

İki farklı oturma düzeni için de katılımcı sayısını

x

cinsinden yazıp bu iki ifadeyi birbirine eşitleyin.

3

'2 sıra boş kalıyor' ifadesini

3 \times (x - 2)

şeklinde, '7 kişi ayakta kalıyor' ifadesini ise

2x + 7

şeklinde denkleme dökebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan 'kumbaraya atılan madeni para' veya 'ikişer üçer çıkılan merdiven basamağı' problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerden giderek deneme yapılabilir. Örneğin 33 katılımcı için:

33 / 3 = 11

sıra doludur,

13 - 11 = 2

sıra boştur (Şart sağlanır). 33 katılımcı için:

13 \times 2 = 26

kişi oturur,

33 - 26 = 7

kişi ayakta kalır (Şart sağlanır).

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir belediyenin Park ve Bahçeler Müdürlüğü, kentsel dönüşüm projesi kapsamında bir caddeye 'Ihlamur' ve 'Çınar' olmak üzere iki tür fidan dikecektir. Birim fiyatları ihale sonucunda Ihlamur fidanı için $150$ TL, Çınar fidanı için ise $250$ TL olarak belirlenmiştir. Proje için toplam $40$ adet fidan alınmış ve bu alım karşılığında yüklenici firmaya toplam $7.600$ TL ödeme yapılmıştır.

Buna göre, proje kapsamında dikilen 'Çınar' fidanı sayısı kaçtır?

12

16

20

24

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Proje kapsamında dikilen Çınar fidanı sayısı 16'dır.

Toplam fidan sayısı ve toplam maliyet üzerinden kurulan iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümünde, Çınar fidanı sayısı (

y

) 16 olarak bulunur. Sağlaması yapıldığında: 16 adet Çınar (

16 \times 250 = 4.000

TL) ve 24 adet Ihlamur (

24 \times 150 = 3.600

TL) toplamda

7.600

TL etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla.

Ihlamur fidanı sayısı =

x

, Çınar fidanı sayısı =

y

olsun.

Bilinmeyen değerleri matematiksel ifadelere dönüştürmek için harflendirme yapılır.

2

Toplam fidan sayısına göre birinci denklemi kur.

x + y = 40

Soruda toplam fidan sayısının 40 olduğu belirtilmiştir.

3

Toplam maliyete göre ikinci denklemi kur.

150x + 250y = 7.600

Her bir fidan türünün birim fiyatı ile adedi çarpılarak toplam maliyete eşitlenir.

4

İkinci denklemi sadeleştir (her iki tarafı 50'ye böl).

3x + 5y = 152

Katsayıları küçülterek işlem kolaylığı sağlamak için sadeleştirme yapılır.

5

Birinci denklemden

x

'i çekip ikinci denklemde yerine koy veya yok etme metodu uygula (Birinci denklemi -3 ile çarp).

-3x - 3y = -120

ve

3x + 5y = 152

. Taraf tarafa toplarsak:

2y = 32

.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için bir değişken yok edilir.

6

y

değerini bul.

y = 16

Elde edilen son eşitlikten Çınar fidanı sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri (Denklem Kurma)

İpuçları

1

Ihlamur fidanı sayısına

x

, Çınar fidanı sayısına

y

diyerek iki ayrı denklem kurmayı deneyin: Biri sayı adetleri için, diğeri toplam maliyet için.

2

Toplam adet denklemi

x + y = 40

olacaktır. Toplam maliyet denklemini ise birim fiyatlarla çarparak oluşturun:

150x + 250y = 7600

.

3

Maliyet denklemini 50 ile sadeleştirirseniz

3x + 5y = 152

elde edersiniz. İlk denklemi kullanarak (

x = 40 - y

) yerine koyma metodunu uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen 'tavuk-tavşan ayak sayısı' veya 'otel odası yatak sayısı' sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Varsayım Metodu: Tüm fidanlar ucuz olan Ihlamur (

150

TL) olsaydı, toplam maliyet

40 \times 150 = 6.000

TL olurdu. Gerçek maliyet

7.600

TL olduğuna göre,

7.600 - 6.000 = 1.600

TL'lik bir fark var. Her bir Çınar fidanı, Ihlamur'dan

100

TL (

250-150

) daha pahalıdır. Bu fiyat farkı, Çınar fidanlarından kaynaklanır:

1.600 / 100 = 16

adet Çınar fidanı vardır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir şirketin muhasebe departmanı, personelin aylık fazla çalışma sürelerine göre uyguladığı brüt saat ücretini ve bu ücretten yapılan kesinti oranlarını aşağıdaki gibi belirlemiştir:

Fazla Çalışma Süresi (Saat)	Brüt Saat Ücreti (TL)	Kesinti Oranı
İlk $10$ saat	$200$	$\%0$
$11$ ile $20.$ saatler arası	$250$	$\%20$
$20$ saati aşan kısım	$300$	$\%25$

Bu tarifeye göre hesaplanan fazla mesai ücreti, kümülatif olarak (dilimler halinde) toplanarak ödenmektedir.

Bir ayda yaptığı fazla çalışmalar sonucunda eline **net $5350$ TL** geçen bir personel, toplam kaç saat fazla mesai yapmıştır?

24

25

26

27

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Personel toplam 26 saat fazla mesai yapmıştır.

Doğru cevap, her ücret diliminin ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla bulunur. İlk 10 saatten 2000 TL, ikinci 10 saatten (kesinti sonrası) yine 2000 TL kazanılmıştır. Toplam 4000 TL eder. Geriye kalan 1350 TL'lik fark, 3. dilimdeki (kesinti sonrası 225 TL olan) saatlik ücretle kazanılmıştır. 1350 TL / 225 TL = 6 saatlik bir çalışma gerektirir. Toplam süre 10 + 10 + 6 = 26 saattir.

Adım Adım Çözüm

1

İlk

10

saatlik dilimin net ücretini hesapla.

10 \times 200 = 2000

TL (Kesinti

\%0

olduğu için brüt = net).

Tarifede ilk 10 saat için herhangi bir kesinti uygulanmamaktadır.

2

İkinci dilim (

11-20

saat arası) için net ücreti hesapla. Bu dilim de

10

saat sürer (

20-10=10

).

Brüt:

250

TL. Kesinti:

\%20

. Net Saat Ücreti:

250 \times (1 - 0.20) = 200

TL. Toplam:

10 \times 200 = 2000

TL.

İkinci dilimdeki 10 saat için %20 kesinti sonrası ele geçen miktar hesaplanmalıdır.

3

İlk iki dilimden elde edilen toplam net ücreti bul ve hedeflenen

5350

TL'den çıkar.

Toplam:

2000 + 2000 = 4000

TL. Kalan İhtiyaç:

5350 - 4000 = 1350

TL.

Personelin kazandığı paranın ne kadarının 3. dilimden (20 saati aşan kısımdan) geldiğini bulmak için.

4

Üçüncü dilimdeki (

20

saati aşan) net saat ücretini hesapla.

Brüt:

300

TL. Kesinti:

\%25

. Net Saat Ücreti:

300 \times (1 - 0.25) = 225

TL.

Kalan tutarın kaç saate denk geldiğini bulmak için birim kazanç belirlenmelidir.

5

Kalan tutarı (

1350

TL), üçüncü dilimin net saat ücretine (

225

TL) bölerek ek süreyi bul.

1350 / 225 = 6

saat.

Son dilimdeki çalışma süresini belirlemek için.

6

Tüm süreleri toplayarak toplam çalışma saatini bul.

10

(1. dilim)

+ 10

(2. dilim)

+ 6

(3. dilim)

= 26

saat.

Soru toplam süreyi sormaktadır.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyon ve Vergi/Kesinti Problemleri

İpuçları

1

Önce ilk 20 saatlik çalışmanın (ilk iki dilimin) personeline net olarak ne kadar kazandırdığını hesaplayın.

2

İlk 10 saat:

10 \times 200 = 2000

TL. İkinci 10 saat:

10 \times 250

TL üzerinden

\%20

kesinti yapılırsa eline ne geçer? Bunları toplayın ve

5350

TL'den çıkarın.

3

İlk 20 saatten toplam

4000

TL net gelir elde edilir. Geriye kalan

1350

TL (

5350 - 4000

) için 3. dilimdeki saatlik net ücreti (

300

TL'nin

\%25

eksiği) kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, elektrik faturalarındaki kademeli tarife sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem kurarak çözüm: Toplam süreye

x

diyelim (

x > 20

olduğu açıktır). Denklem:

10(200) + 10(250 \cdot 0.80) + (x-20)(300 \cdot 0.75) = 5350

. Buradan

2000 + 2000 + (x-20)(225) = 5350

çözülerek

x

bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 7Soru →

Bir kamu kurumunda uygulanan performans değerlendirme sistemine göre, personeller usulüne uygun tamamladıkları her dosya işlemi için 12 puan kazanmakta, eksik evrak nedeniyle iade ettikleri her işlem için ise 4 puan kaybetmektedir. Bir ay içerisinde toplam 60 dosya işlemi gerçekleştiren bir personelin, ay sonunda toplam 480 puan topladığı bilinmektedir. Buna göre, bu personel kaç dosyayı iade etmiştir?

10

15

30

40

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Personel toplam 15 dosyayı iade etmiştir.

Toplam dosya sayısı 60 olduğu için iade edilenlere

y

, tamamlananlara

(60-y)

diyebiliriz. Puan denklemi kurulduğunda: Tamamlananlardan kazanılan (

12 \times (60-y)

) - İade edilenlerden kaybedilen (

4 \times y

) = Toplam Puan (

480

). Denklemi çözdüğümüzde

720 - 12y - 4y = 480

ifadesinden

16y = 240

ve buradan

y = 15

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla.

Tamamlanan dosya sayısı =

x

, İade edilen dosya sayısı =

y

.

Problemi matematiksel bir denkleme dökmek için bilinmeyenleri belirlememiz gerekir.

2

Verilen bilgilerle denklemleri kur.

Toplam dosya sayısı:

x + y = 60

. Toplam puan:

12x - 4y = 480

.

Her başarılı işlem +12, her iade -4 puan getirmektedir.

3

Birinci denklemden

x

'i çekip ikinci denklemde yerine yaz (veya yok etme metodunu kullan).

x = 60 - y

olduğu için,

12(60 - y) - 4y = 480

.

İki bilinmeyenli denklemi tek bilinmeyene düşürerek çözüme ulaşmak.

4

Denklemi çöz.

720 - 12y - 4y = 480 \Rightarrow 720 - 16y = 480 \Rightarrow 16y = 240 \Rightarrow y = 15

.

y

değeri bize iade edilen dosya sayısını verir.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli denklemlerle problem çözme (Sayı Problemleri - Denklem Kurma).

İpuçları

1

Soruda iki tür işlem vardır: Puan kazandıranlar ve puan kaybettirenler. İade edilen dosya sayısına 'y' derseniz, tamamlanan dosya sayısı '60 - y' olur.

2

Toplam puanı hesaplarken, kazanılan puanlardan kaybedilen puanları çıkarmanız gerekir. Denklem: (Kazanılan Puan x Sayı) - (Kaybedilen Puan x Sayı) = Toplam Puan.

3

Denklemi şu şekilde kurmalısınız:

12 \cdot (60 - y) - 4 \cdot y = 480

. Bu denklemi çözerek y değerini (iade edilenleri) bulabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm dosyalar başarılı olsaydı:

60 \times 12 = 720

puan toplanırdı. Ancak toplanan puan

480

. Aradaki fark

720 - 480 = 240

puandır. Her bir iade işlemi, hem 12 puanın kazanılmasını engeller hem de 4 puan sildirir, yani toplamda 16 puanlık bir fark yaratır. O halde iade sayısı:

240 / 16 = 15

.

Soru 8Soru →

Bir kamu kurumunun dijital arşiv biriminde yürütülen çalışmada, "Gizli", "Hizmete Özel" ve "Genel" nitelikli belgeler taranarak elektronik sisteme yüklenmektedir. Bu belge türlerinin birer adedinin sisteme yüklenme süreleri sırasıyla $40$ saniye, $20$ saniye ve $10$ saniyedir.

Bir personel, hiç ara vermeden toplam $80$ adet belgeyi $25$ dakikada sisteme yüklemiştir. Sisteme yüklenen "Genel" nitelikli belge sayısının, "Gizli" nitelikli belge sayısının $3$ katı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, sisteme yüklenen "Hizmete Özel" belge sayısı kaçtır?

10

30

35

40

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Sisteme yüklenen Hizmete Özel belge sayısı 40'tır.

Doğru cevap, belge sayıları ve süreleri arasındaki ilişkinin matematiksel modellemesiyle bulunur. Toplam belge sayısı ve toplam süre kısıtları kullanılarak kurulan denklem sisteminde; Gizli belge sayısı 10, Genel belge sayısı 30 ve Hizmete Özel belge sayısı 40 olarak tespit edilir. Bu değerler hem toplam belge sayısını (80) hem de toplam süreyi (1500 saniye) sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Belge türleri için değişkenler atanır ve toplam belge sayısı denklemi kurulur.

Gizli:

x

, Hizmete Özel:

y

, Genel:

z

. Toplam belge:

x + y + z = 80

.

Üç bilinmeyenli denklem sisteminin ilk adımını oluşturmak için.

2

Soruda verilen kat ilişkisi değişkene dökülür.

"Genel" belge sayısı "Gizli"nin 3 katı ise:

z = 3x

.

Bilinmeyen sayısını azaltmak için.

3

Toplam belge denkleminde

z

yerine

3x

yazılarak

y

değişkeni

x

cinsinden ifade edilir.

x + y + 3x = 80 \Rightarrow 4x + y = 80 \Rightarrow y = 80 - 4x

.

Tek bir değişkene bağlı kalarak süreyi hesaplamak için.

4

Toplam süre dakika cinsinden saniyeye çevrilir ve süre denklemi kurulur.

Toplam süre:

25 \times 60 = 1500

saniye. Denklem:

40x + 20y + 10z = 1500

.

Birim tutarlılığını sağlamak ve ana denklemi kurmak için.

5

Süre denkleminde

y

ve

z

ifadeleri yerine yazılır ve

x

bulunur.

40x + 20(80 - 4x) + 10(3x) = 1500 \Rightarrow 40x + 1600 - 80x + 30x = 1500 \Rightarrow -10x = -100 \Rightarrow x = 10

.

Gizli belge sayısını bulmak için.

6

Bulunan

x

değeri kullanılarak istenen

y

(Hizmete Özel) değeri hesaplanır.

y = 80 - 4(10) = 80 - 40 = 40

.

Sorunun nihai cevabına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri (Denklem Kurma ve Birim Çevirme)

İpuçları

1

İşlem süreleri saniye cinsinden verildiği için, toplam süreyi (25 dakika) saniyeye çevirmeyi unutmayın.

2

Belge sayılarına sırasıyla x, y, z diyerek;

x + y + z = 80

ve süre denklemini kurun. 'Genel = 3 * Gizli' bilgisini kullanarak bilinmeyen sayısını azaltın.

3

Gizli belge sayısına

k

derseniz, Genel belge sayısı

3k

olur. Hizmete Özel belge sayısı ise

80 - 4k

olacaktır. Bu ifadeleri süre denkleminde yerine yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, belge türlerinin her biri için farklı puanların verildiği ve toplam puanın hesaplandığı sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Ortalama süre yaklaşımıyla da çözülebilir. Ancak bu soruda denklem kurma yöntemi daha doğrudan sonuç verir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 9Soru →

Bir kamu kurumu, 'Tasarruf Tedbirleri Genelgesi' kapsamında envanterinde bulunan ihtiyaç fazlası binek ve ticari araçları ihale yoluyla satışa çıkarmıştır. İhale sonucunda her bir binek araç 400.000 TL, her bir ticari araç ise 250.000 TL sabit bedelle satılmıştır. Satıştan elde edilen toplam gelirin 8.350.000 TL olduğu ve satılan toplam araç sayısının 25'ten fazla, ticari araç sayısının ise 20'den az olduğu tutanaklara geçmiştir.

Buna göre, ihalede satılan binek araç sayısı kaçtır?

4

9

14

19

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İhalede satılan binek araç sayısı 9'dur.

Kurulan 8x + 5y = 167 denkleminin tam sayı çözümleri analiz edildiğinde, soruda verilen 'toplam araç sayısının 25'ten fazla olması' ve 'ticari araç (y) sayısının 20'den az olması' şartlarını aynı anda sağlayan tek çözüm x=9 (binek) ve y=19 (ticari) çiftidir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilenleri matematiksel denkleme dök

400.000x + 250.000y = 8.350.000 (x: Binek, y: Ticari)

Toplam gelir denklemini oluşturmak için.

2

Denklemi sadeleştir

Her tarafı 50.000'e böl: 8x + 5y = 167

Daha kolay işlem yapabilmek için katsayıları küçültmek.

3

y'yi x cinsinden ifade et ve tam sayı çözümlerini ara

5y = 167 - 8x. (167 - 8x) ifadesi 5'in katı olmalıdır. x = 4, 9, 14, 19... değerleri bu şartı sağlar.

Araç sayıları tam sayı (doğal sayı) olmak zorundadır (Diophantine denklem çözümü).

4

Olası çözüm kümelerini oluştur

x=4 için y=27; x=9 için y=19; x=14 için y=11; x=19 için y=3.

Hangi çiftlerin matematiksel olarak mümkün olduğunu görmek.

5

Kısıtlamaları (Toplam > 25 ve y < 20) uygula

x=4, y=27 (Toplam 31, fakat y>20 olduğu için ELENDİ). x=14, y=11 (Toplam 25, >25 şartını sağlamaz, ELENDİ). x=9, y=19 (Toplam 28, y<20 şartını SAĞLAR).

Sorudaki özel şartları sağlayan tek doğru çifti bulmak.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerde kısıtlar altında tam sayı çözümlerinin bulunması (Diophant Denklemleri).

İpuçları

1

Verilen fiyatları ve toplam geliri kullanarak iki bilinmeyenli bir denklem kurun (Örn: 400x + 250y = ...).

2

Denklemi sadeleştirerek 8x + 5y = 167 haline getirin ve x'e değer vererek y'nin tam sayı olduğu durumları inceleyin.

3

x'in alabileceği değerler 4, 9, 14... şeklinde ilerler. Bulduğunuz (x,y) çiftlerinden hangisinin 'Toplam > 25' ve 'y < 20' şartlarını sağladığını kontrol edin.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 10Soru →

Bir bakanlığın proje dairesinde görevli uzmanlara dağıtılacak projelerle ilgili bir planlama yapılmaktadır. Bu planlamaya göre, her bir uzmana düşen proje sayısı, toplam uzman sayısının 3 katından 2 fazladır. Ancak, görevlendirme sürecinde 2 uzman yıllık izne ayrıldığı için projeler kalan uzmanlara eşit şekilde dağıtılmış ve kişi başına düşen proje sayısı ilk duruma göre 10 artmıştır.

Buna göre, dağıtımı yapılan toplam proje sayısı kaçtır?

75

80

120

180

240

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Toplam proje sayısı 120'dir.

Toplam proje sayısı her iki durumda da sabittir. İlk durumda uzman sayısı

x

alındığında, kişi başı proje

3x+2

olur. İkinci durumda uzman sayısı

x-2

olduğunda, kişi başı proje

3x+12

olur. Bu iki durumun çarpımı eşitlenerek (

x(3x+2) = (x-2)(3x+12)

) uzman sayısı

x=6

bulunur. Yerine konulduğunda toplam proje sayısı

120

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla ve matematiksel ifadeye dök.

Uzman sayısı = x olsun. İlk durumda kişi başına düşen proje = 3x + 2. Toplam proje = x(3x + 2).

Soruda verilen 'uzman sayısının 3 katından 2 fazla' ilişkisini kurmak için.

2

İkinci durumu analiz et ve denklemi kur.

2 uzman ayrılınca kalan uzman = x - 2. Yeni düşen proje sayısı = (3x + 2) + 10 = 3x + 12. Toplam proje = (x - 2)(3x + 12).

Toplam proje sayısı değişmediği için iki durumu birbirine eşitlemek gerekir.

3

Eşitliği çözerek x değerini bul.

x(3x + 2) = (x - 2)(3x + 12) -> 3x² + 2x = 3x² + 12x - 6x - 24 -> 3x² + 2x = 3x² + 6x - 24 -> 4x = 24 -> x = 6.

Bilinmeyen uzman sayısını bulmak için.

4

Bulunan x değerini yerine koyarak toplam proje sayısını hesapla.

Toplam proje = 6 * (3*6 + 2) = 6 * 20 = 120.

Sorunun istediği nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde değişmeyen büyüklük (toplam proje sayısı) üzerinden iki farklı durumun eşitlenmesi.

İpuçları

1

Uzman sayısına 'x' diyerek başlayın. Kişi başına düşen proje sayısını x cinsinden ifade edin.

2

Toplam proje sayısı değişmediğine göre; (İlk Durumdaki Uzman Sayısı × Kişi Başı Proje) = (İkinci Durumdaki Uzman Sayısı × Yeni Kişi Başı Proje) eşitliğini kurun.

3

Denkleminiz şu şekilde olmalıdır: x · (3x + 2) = (x - 2) · (3x + 12).

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv dairesinde bulunan dosyalar A, B ve C blokları arasında yeniden düzenlenmiştir. Bu düzenleme işlemi sırasıyla şu üç aşamada gerçekleştirilmiştir:

1. A bloğundaki dosyaların $\frac{1}{4}$ 'ü B bloğuna taşınmıştır.
2. Daha sonra, B bloğunda oluşan yeni dosya sayısının $\frac{1}{3}$ 'ü C bloğuna taşınmıştır.
3. Son olarak, C bloğunda oluşan yeni dosya sayısının $\frac{1}{5}$ 'i A bloğuna taşınmıştır.

Tüm işlemler tamamlandıktan sonra her üç blokta da eşit sayıda dosya bulunduğu tespit edilmiştir. Başlangıçta B bloğunda 60 adet dosya bulunduğuna göre, başlangıçta C bloğunda kaç dosya vardır?

30

36

42

48

72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Başlangıçta C bloğunda bulunan dosya sayısı 36'dır.

Problemi çözmek için sondan başa doğru (ters işlem) gitmek gerekir. Son durumda her blokta eşit sayıda dosya vardır; bu sayıya

k

diyelim.

1. **Son Adım (C

\rightarrow

A):** C'nin

\frac{1}{5}

'i gittiğinde

\frac{4}{5}

'i kalır.

\frac{4}{5}C = k \Rightarrow C_{önce} = \frac{5k}{4}

. A'ya giden parça

\frac{k}{4}

'tür. A'nın önceki hali

k - \frac{k}{4} = \frac{3k}{4}

.

2. **Orta Adım (B

\rightarrow

C):** B'nin

\frac{1}{3}

'ü gittiğinde

\frac{2}{3}

'ü kalır.

\frac{2}{3}B = k \Rightarrow B_{önce} = \frac{3k}{2}

. C'ye giden parça

\frac{k}{2}

'dir. C'nin bir önceki hali

\frac{5k}{4} - \frac{k}{2} = \frac{3k}{4}

.

3. **İlk Adım (A

\rightarrow

B):** A'nın

\frac{1}{4}

'ü gittiğinde

\frac{3}{4}

'ü kalır.

\frac{3}{4}A = \frac{3k}{4} \Rightarrow A_{baş} = k

. B'ye giden parça

\frac{k}{4}

'tür. B'nin başlangıç hali

\frac{3k}{2} - \frac{k}{4} = \frac{5k}{4}

.

Soruda

B_{baş} = 60

olarak verilmiştir.

\frac{5k}{4} = 60 \Rightarrow k = 48

.
Bizden

C_{baş}

istenmektedir:

C_{baş} = \frac{3k}{4} = \frac{3 \times 48}{4} = 36

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi sondan başa doğru (ters işlem yöntemiyle) çözmek için son durumu analiz et. B bloğunun başlangıç sayısı 60 verilmiş, ancak son durumdaki sayı bilinmiyor. Bu yüzden önce son durumdaki eşit sayıya

k

diyelim.

Son durumda: A =

k

, B =

k

, C =

k

.

Her blokta eşit sayıda dosya olduğu belirtilmiştir.

2

3. adımı (C'den A'ya transfer) tersine çevirerek işlem öncesi değerleri bul. C, elindekinin

\frac{1}{5}

'ini A'ya verdiyse, kendisinde

\frac{4}{5}

'i kalmıştır.

\frac{4}{5} C_{adım2} = k \Rightarrow C_{adım2} = \frac{5k}{4}

. A'ya giden miktar

\frac{k}{4}

'tür. Bu durumda A'nın işlem öncesi hali

A_{adım2} = k - \frac{k}{4} = \frac{3k}{4}

olur. B değişmedi (

B_{adım2} = k

).

Son işlem C'den A'ya yapılmıştır, bu yüzden C azalmış A artmıştır.

3

2. adımı (B'den C'ye transfer) tersine çevir. B, elindekinin

\frac{1}{3}

'ünü C'ye verdiyse, kendisinde

\frac{2}{3}

'ü kalmıştır.

\frac{2}{3} B_{adım1} = k \Rightarrow B_{adım1} = \frac{3k}{2}

. C'ye giden miktar

\frac{k}{2}

'dir. C'nin işlem öncesi hali

C_{adım1} = \frac{5k}{4} - \frac{k}{2} = \frac{3k}{4}

. A değişmedi (

A_{adım1} = \frac{3k}{4}

).

İkinci işlem B'den C'ye yapılmıştır.

4

1. adımı (A'dan B'ye transfer) tersine çevir. A, elindekinin

\frac{1}{4}

'ünü B'ye verdiyse, kendisinde

\frac{3}{4}

'ü kalmıştır.

\frac{3}{4} A_{baş} = \frac{3k}{4} \Rightarrow A_{baş} = k

. B'ye giden miktar

\frac{k}{4}

'tür. B'nin işlem öncesi hali

B_{baş} = \frac{3k}{2} - \frac{k}{4} = \frac{5k}{4}

. C değişmedi (

C_{baş} = \frac{3k}{4}

).

İlk işlem A'dan B'ye yapılmıştır.

5

Verilen bilgiyi kullanarak

k

değerini ve ardından C'nin başlangıç sayısını bul. Soruda

B_{baş} = 60

olarak verilmiştir.

B_{baş} = \frac{5k}{4} = 60 \Rightarrow 5k = 240 \Rightarrow k = 48

. Buradan

C_{baş} = \frac{3k}{4} = \frac{3 \times 48}{4} = 36

.

Denklem çözülerek istenen değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ters İşlem Yöntemi ve Kesir Problemleri

İpuçları

1

Soruda son durum (eşitlik) bilindiği için, işlemleri sondan başa doğru tersine çevirerek (verilenleri geri alarak) ilerlemeyi deneyin.

2

Son durumda her blokta

k

dosya olduğunu varsayın. C bloğu

\frac{1}{5}

'ini verdikten sonra

k

kaldıysa, vermeden önce kaç

k

vardı?

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'bir kapta bulunan suyun önce 1/3'ü, sonra kalanın 1/4'ü döküldüğünde...' şeklindeki 'kalanlı' kesir problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmakta zorlanıyorsanız, şıklardan giderek (örneğin C=36 kabul edip) işlemleri sırasıyla uygulayıp sonucun B=60 varsayımıyla tutarlı olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 12Soru →

Bir grup arkadaş, kiraladıkları bir yazlık evin ücretini aralarında eşit olarak paylaşmayı planlamıştır. Gruptan 4 kişi ödeme yapmaktan vazgeçince, kalanların kişi başı ödemesi gereken tutar 10 TL artmıştır. Eğer bu gruba 6 kişi daha dahil olsaydı, kişi başı ödenecek tutar 10 TL azalacaktı. Buna göre, başlangıçta grupta kaç kişi vardır?

20

24

30

40

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Başlangıçtaki kişi sayısı 24'tür.

Toplam tutarın sabit kalmasından yola çıkarak kurulan iki denklemin ortak çözümü başlangıçtaki kişi sayısını 24 olarak verir. İlk durumda 4 kişinin ödemediği payı diğerlerinin üstlenmesi, ikinci durumda ise yeni gelenlerin katkısının diğerlerinin yükünü hafifletmesi mantığıyla kurulan

5n - 2p = 20

ve

3p - 5n = 30

denklemleri doğru sonucu sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla ve denklemleri kur.

Başlangıçtaki kişi sayısı

n

, kişi başı ücret

p

olsun. Toplam Tutar

T = n \cdot p

.

Değişen durumlarda toplam tutarın sabit kalması ilkesi kullanılır.

2

Birinci durum (4 kişi eksik) için denklemi yaz.

(n-4)(p+10) = n \cdot p \Rightarrow np + 10n - 4p - 40 = np \Rightarrow 10n - 4p = 40 \Rightarrow 5n - 2p = 20

Kişi sayısı azalınca kişi başı ücret artar, ancak çarpım (toplam tutar) değişmez.

3

İkinci durum (6 kişi fazla) için denklemi yaz.

(n+6)(p-10) = n \cdot p \Rightarrow np - 10n + 6p - 60 = np \Rightarrow 6p - 10n = 60 \Rightarrow 3p - 5n = 30

Kişi sayısı artınca kişi başı ücret azalır.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çöz.

1. Denklemden

5n = 2p + 20

elde edilir. Bunu 2. denklemde

5n

yerine koyalım:

3p - (2p + 20) = 30 \Rightarrow p - 20 = 30 \Rightarrow p = 50

.

Yok etme veya yerine koyma metodu ile değişkenlerden biri bulunur.

5

Bulunan

p

değerini kullanarak

n

'yi hesapla.

5n = 2(50) + 20 \Rightarrow 5n = 120 \Rightarrow n = 24

.

Bulunan kişi başı ücret değeri, kişi sayısı denkleminde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Ters Orantı Problemleri ve Denklem Sistemleri

İpuçları

1

Toplam kira bedeli her durumda aynıdır. Kişi sayısı ile kişi başı ücretin çarpımı sabittir.

2

Başlangıçtaki kişi sayısına

n

, ücretine

p

deyin.

(n-4)(p+10) = np

ve

(n+6)(p-10) = np

eşitliklerini kullanın.

3

Birinci denklemden

4p = 10(n-4)

ilişkisini, ikinci denklemden

6p = 10(n+6) + 60

benzeri bir ilişkiyi türeterek

p

'leri yok edin.

Alternatif Yöntem

Paylaşım Mantığı: 1. Durumda ayrılan 4 kişinin ödemesi gereken toplam tutarı (

4p

), kalan

n-4

kişi 10'ar TL paylaşmıştır. Yani

4p = 10(n-4)

. Buradan

2p = 5(n-4)

bulunur. Bu ilişkiyi ikinci durum denkleminde yerine koyarak

n

doğrudan bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 13Soru →

Bir arşiv görevlisi, elindeki dosyaları raflara yerleştirmektedir. Dosyaları raflara on beşerli yerleştirirse 20 dosya artıyor. Eğer dosyaları raflara yirmişerli yerleştirirse bir raf boş kalıyor ve bir rafta da sadece 5 dosya oluyor. Buna göre toplam dosya sayısı kaçtır?

125

140

165

185

205

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 185

Cevap

Toplam dosya sayısı 185'tir.

Toplam dosya sayısı sabittir. İlk durumda

15x+20

, ikinci durumda ise

x-2

tane tam dolu raf ve bir tane 5'li raf olduğu için

20(x-2)+5

denklemi kurulur. Bu eşitlikten raf sayısı 11 bulunur ve toplam dosya sayısı 185 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken belirleme

Raf sayısı =

x

olsun.

Soruda değişmeyen birim raf sayısıdır, bu nedenle raf sayısına değişken atamak çözümü kolaylaştırır.

2

Birinci durum için denklem oluşturma

Dosya Sayısı =

15x + 20

Her rafa 15 dosya konulduğunda 20 dosya açıkta kalmaktadır.

3

İkinci durum için denklem oluşturma

Dosya Sayısı =

20(x - 2) + 5

Bir raf tamamen boş (

x-1

raf kullanılıyor) ve kullanılanlardan biri de tam dolmayıp 5 dosya alıyor (

x-2

raf tam dolu). Kalan 5 dosya eklenir.

4

Denklemleri eşitleme ve çözme

15x + 20 = 20(x - 2) + 5 \Rightarrow 15x + 20 = 20x - 40 + 5 \Rightarrow 15x + 20 = 20x - 35 \Rightarrow 55 = 5x \Rightarrow x = 11

Dosya sayısı her iki durumda da aynıdır.

5

Toplam dosya sayısını hesaplama

15(11) + 20 = 165 + 20 = 185

Bulunan raf sayısı ilk denklemde (veya ikincisinde) yerine konularak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

Denklem kurma problemlerinde 'artan', 'eksik' veya 'boş kalan' durumlarının matematiksel modellemesi.

Soru 14Soru →

Bir grup arkadaş, bir arkadaşlarının doğum günü için ortak bir hediye almaya karar veriyor ve hediye ücretini aralarında eşit olarak paylaşmayı planlıyorlar.

Bu planlamayla ilgili şu bilgiler verilmiştir:

• Gruptan 4 kişi ayrılırsa, kalanların ödemesi gereken kişi başı tutar 25 TL artmaktadır.
• Gruba 3 kişi daha katılırsa, kişi başı ödenecek tutar 10 TL azalmaktadır.

Buna göre, alınacak hediyenin toplam tutarı kaç TL'dir?

480

540

600

720

900

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 600

Cevap

Alınacak hediyenin toplam tutarı 600 TL'dir.

Toplam hediye tutarı her durumda sabittir. İlk durumda kişi sayısı

n

ve pay

x

olsun. 4 kişi ayrıldığında

(n-4)(x+25) = nx

eşitliğinden

x = 5n - 25

gibi bir bağıntı yerine

25n - 4x = 100

elde edilir. 3 kişi katıldığında

(n+3)(x-10) = nx

eşitliğinden

3x - 10n = 30

elde edilir. Bu iki denklem çözüldüğünde

n=12

ve

x=50

bulunur. Toplam tutar

12 \times 50 = 600

TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla ve temel eşitliği kur.

Gruptaki kişi sayısı

n

, kişi başı düşen ilk pay

x

olsun. Toplam Tutar

= n \cdot x

Sayı problemlerinde bilinmeyenleri harflendirmek çözümün ilk adımıdır.

2

Birinci durumu (ayrılma) denkleme dök.

4 kişi ayrılırsa kişi sayısı

n-4

, pay

x+25

olur. Denklem:

(n-4)(x+25) = n \cdot x

Toplam tutar değişmediği için yeni kişi sayısı ile yeni payın çarpımı yine toplam tutara eşittir.

3

İkinci durumu (katılma) denkleme dök.

3 kişi katılırsa kişi sayısı

n+3

, pay

x-10

olur. Denklem:

(n+3)(x-10) = n \cdot x

Benzer şekilde, kişi sayısı artınca pay azalır ancak çarpımları sabittir.

4

Denklemleri düzenle ve sistemi çöz.

1. Denklemden:

25n - 4x = 100

. 2. Denklemden:

3x - 10n = 30

. Ortak çözümden

n=12

bulunur.

İki bilinmeyenli iki denklem yok etme metoduyla çözülerek kişi sayısı bulunur.

5

Kişi başı payı ve toplam tutarı hesapla.

n=12

ise

x=50

bulunur. Toplam

= 12 \cdot 50 = 600

.

Bulunan değerler yerine konularak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Ters Orantı ve Denklem Sistemleri

İpuçları

1

Toplam hediye tutarı değişmemektedir. Kişi sayısı ile kişi başı düşen payın çarpımı her durumda birbirine eşittir.

2

Başlangıçtaki kişi sayısına

n

, kişi başı paya

x

diyerek iki farklı durum için denklem kurunuz:

(n-4)(x+25) = nx

ve

(n+3)(x-10) = nx

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 15Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde yapılacak düzenleme için dosyalar raflara yerleştirilecektir. Dosyalar her bir rafa 24'erli dizilirse 60 dosya açıkta kalmaktadır. Eğer dosyalar her bir rafa 30'arlı dizilirse 3 raf boş kalmakta ve kullanılan son rafta da sadece 12 dosya bulunmaktadır.

Buna göre, arşivde yerleştirilmeyi bekleyen toplam dosya sayısı kaçtır?

612

660

720

732

780

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 732

Cevap

Arşivdeki toplam dosya sayısı 732'dir.

Toplam dosya sayısı değişmediği için iki farklı yerleştirme senaryosu birbirine eşitlenmelidir. Raf sayısına

x

denildiğinde; birinci durumda

24x + 60

dosya vardır. İkinci durumda 3 raf boş ve 1 raf kısmi dolu (12 dosya) olduğu için, tam dolu raf sayısı

(x-4)

olur. İkinci denklem

30(x-4) + 12

şeklindedir. Bu iki ifade eşitlendiğinde

x=28

raf bulunur. Yerine konulduğunda toplam dosya sayısı 732 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Raf sayısını değişken olarak tanımla ve birinci durumu denkleme dök.

Raf sayısı

x

olsun. İlk durumda dosya sayısı:

24x + 60

Her rafa 24 dosya konulduğunda 60 dosya artmaktadır.

2

İkinci durumu analiz et ve dosya sayısı için ikinci denklemi oluştur.

3 raf boş, 1 raf ise 12 dosya içeriyor. Tam dolu (30'lu) raf sayısı

(x - 4)

olur. Dosya sayısı:

30(x - 4) + 12

Toplam

x

raftan 3'ü boş, 1'i eksik doludur. Geriye kalan

(x-4)

raf tam kapasiteyle (30 dosya) doludur.

3

İki denklemi birbirine eşitle ve

x

değerini bul.

24x + 60 = 30(x - 4) + 12 \Rightarrow 24x + 60 = 30x - 120 + 12 \Rightarrow 24x + 60 = 30x - 108 \Rightarrow 168 = 6x \Rightarrow x = 28

Dosya sayısı her iki durumda da eşittir.

4

Bulunan raf sayısını herhangi bir denklemde yerine koyarak toplam dosya sayısını hesapla.

24(28) + 60 = 672 + 60 = 732

Toplam dosya sayısına ulaşmak için raf sayısı yerine konulur.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde sabit bir çokluğun (dosya sayısı) farklı gruplandırma senaryoları (24'lü ve 30'lu dizilim) üzerinden denkleme dökülmesi.

İpuçları

1

Raf sayısına

x

diyerek iki farklı durum için toplam dosya sayısını veren cebirsel ifadeleri yazmaya çalışın.

2

İkinci durumda '3 raf boş' ve '1 raf 12 dosya alıyor' ifadesine dikkat edin. Bu, tam kapasiteyle (30 dosya) dolu olan raf sayısının toplam raf sayısından 4 eksik olduğunu gösterir.

3

Denklemi şu şekilde kurun:

24x + 60 = 30(x - 4) + 12

.

Alternatif Yöntem

Şıklardan giderek de çözülebilir: Şıklardaki sayıdan 60 çıkarıldığında 24'e tam bölünmeli (İlk durum). Aynı sayıdan 12 çıkarıldığında kalan kısım 30'a tam bölünmeli ve elde edilen bölüm, ilk durumdaki bölümden 4 eksik olmalıdır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 16Soru →

Bir kamu kurumunun Destek Hizmetleri Dairesi, arşiv düzenleme çalışmaları kapsamında 'Standart' ve 'Kapsamlı' olmak üzere iki farklı türde dosyalama seti satın almıştır. Satın alınan setlerin içeriği ve birim fiyatları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Set Türü	İçerik (Adet/Set)	Birim Fiyat (TL)
Standart	4 Mavi Klasör, 3 Kırmızı Dosya	120
Kapsamlı	6 Mavi Klasör, 5 Kırmızı Dosya	190

Kurumun Taşınır Kayıt ve Yönetim Sistemi (TKYS) kayıtlarına göre, bu alım sonucunda depoya toplam 330 adet Mavi Klasör ve 260 adet Kırmızı Dosya girişi yapılmıştır.

Buna göre, bu dosyalama setleri için ödenen toplam fatura tutarı kaç Türk Lirasıdır?

9.850

10.150

10.500

11.200

11.550

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10.150

Cevap

Toplam fatura tutarı 10.150 TL'dir.

Verilen tablo ve stok bilgileri kullanılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurulmalıdır. Mavi klasör sayısı üzerinden

4x + 6y = 330

ve kırmızı dosya sayısı üzerinden

3x + 5y = 260

eşitlikleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde 45 adet Standart ve 25 adet Kapsamlı set alındığı bulunur. Birim fiyatlarla çarpıldığında (

45 \times 120 + 25 \times 190

) toplam tutar 10.150 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla.

Standart set sayısı =

x

, Kapsamlı set sayısı =

y

olsun.

Bilinmeyen set sayılarını bulmak için harfli ifadeler kullanmalıyız.

2

Verilen toplam ürün sayılarına göre denklem sistemini kur.

Mavi Klasörler için:

4x + 6y = 330

Kırmızı Dosyalar için:

3x + 5y = 260

Her setteki ürün miktarını set sayısıyla çarparak toplam stoka eşitlemeliyiz.

3

Denklem sistemini yok etme metoduyla çöz (

y

'yi bul).

Birinci denklemi 3 ile, ikinci denklemi -4 ile çarpalım:

12x + 18y = 990

-12x - 20y = -1040

----------------

-2y = -50 \Rightarrow y = 25

x

değişkenini yok ederek

y

(Kapsamlı set) sayısını bulmak için.

4

Bulunan

y

değerini yerine koyarak

x

'i bul.

3x + 5(25) = 260 \Rightarrow 3x + 125 = 260 \Rightarrow 3x = 135 \Rightarrow x = 45

Kapsamlı set sayısını kullanarak Standart set sayısını elde etmek için.

5

Toplam maliyeti hesapla.

Toplam Tutar =

(45 \times 120) + (25 \times 190) = 5.400 + 4.750 = 10.150

TL

Birim fiyatlarla set sayılarını çarpıp toplayarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri Problemleri

İpuçları

1

Soruda iki bilinmeyenli bir durum vardır: Standart set sayısı ve Kapsamlı set sayısı. Bunlara sırasıyla

x

ve

y

diyerek başlayabilirsiniz.

2

Mavi klasörlerin toplam sayısı için

x

ve

y

cinsinden bir denklem, kırmızı dosyaların toplam sayısı için ikinci bir denklem kurmalısınız.

3

4x + 6y = 330

ve

3x + 5y = 260

denklemlerini yok etme metoduyla çözerek önce set sayılarını, sonra toplam tutarı bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, toplam ayak sayısı ve baş sayısı verilen tavşan-tavuk problemleri veya otel odası kapasite problemleri çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Sadece Mavi Klasör denklemini (

2x + 3y = 165

) kullanarak

y

'ye (Kapsamlı set) tek sayı değerleri (1, 3, 5...) verip,

x

'in tamsayı çıkıp çıkmadığını ve ikinci denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol ederek de çözüm bulunabilir (Deneme-Yanılma).

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 17Soru →

Bir kamu kurumunun dijital arşiv projesi kapsamında K, L ve M isimli üç farklı belge tarama cihazı kullanılmaktadır. Bu cihazların çalışma kapasiteleri ve prensipleri ile ilgili şunlar bilinmektedir:

* K cihazı saatte 60, L cihazı saatte 80, M cihazı ise saatte 100 sayfa belge taramaktadır.
* Cihazların aşırı ısınmasını önlemek amacıyla, kesintisiz yapılan her 3 saatlik tarama işleminin ardından tüm cihazlar zorunlu olarak 1 saat soğumaya bırakılmaktadır (çalışmamaktadır).

Toplam 5400 sayfalık bir arşivin taranması için bu üç cihaz aynı anda çalıştırılıyor. Ancak başlangıçtan tam 6 saat sonra L cihazı arızalanıyor ve sistemden çıkarılıyor. Kalan iş, K ve M cihazları ile (soğuma prensiplerine sadık kalınarak) tamamlanıyor.

Buna göre, eğer L cihazı arızalanmasaydı işin bitme süresi ne kadar kısalırdı?

10 saat 30 dakika

11 saat 15 dakika

11 saat 30 dakika

11 saat 45 dakika

12 saat 15 dakika

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11 saat 45 dakika

Cevap

İşin bitme süresi 11 saat 45 dakika kısalırdı.

L cihazının arızalandığı gerçek durumda iş toplam 41 saat 15 dakikada (41.25 saat), arızalanmadığı ideal durumda ise 29 saat 30 dakikada (29.5 saat) biter. Aradaki fark 11.75 saat, yani 11 saat 45 dakikadır.

Adım Adım Çözüm

1

Cihazların çalışma ve dinlenme döngüsündeki iş kapasitelerini hesapla.

3 cihaz (K+L+M) saatte toplam 240 sayfa tarar. 1 döngü (3 saat çalışma + 1 saat mola = 4 saat) sonunda 3 x 240 = 720 sayfa taranır.

Döngüsel iş miktarını belirlemek, toplam süreyi hesaplamanın temelidir.

2

L cihazı arızalanana kadar (ilk 6 saat) yapılan işi ve gelinen aşamayı belirle.

İlk 4 saat (1 döngü) bittiğinde 720 sayfa tamamlanır. 4. ve 6. saatler arasında (2 saat çalışma) 2 x 240 = 480 sayfa daha taranır. Toplam taranan: 1200. Kalan iş: 4200. Zaman: 6. saat sonu (2. döngünün 2. çalışma saati sonu).

Arıza anındaki durumu sabitlemek, kalan işin planlaması için gereklidir.

3

Arıza sonrası (K+M ile) kalan işin ne kadar sürede biteceğini hesapla.

K+M hızı = 160 sayfa/saat. Döngüleri devam ediyor. 6-7. saat arası (döngünün son çalışma saati) 160 sayfa taranır. 7-8. saat moladır. 8. saat sonunda kalan iş: 4200 - 160 = 4040. K+M döngü kapasitesi: 3 x 160 = 480. Gerekli tam döngü: 4040 / 480 = 8 tam döngü + 200 sayfa artan. Süre: 8 x 4 = 32 saat. Kalan 200 sayfa için süre: 200 / 160 = 1.25 saat. Toplam Gerçekleşen Süre: 8 (ilk senkronizasyon) + 32 + 1.25 = 41.25 saat.

Mevcut durumdaki (arızalı senaryo) toplam süreyi bulmak.

4

L cihazı hiç arızalanmasaydı (planlanan durum) işin ne kadar sürede biteceğini hesapla.

Toplam 5400 sayfa. Döngü kapasitesi 720. 5400 / 720 = 7.5 döngü. Yani 7 tam döngü (7 x 4 = 28 saat) + yarım döngü. Yarım döngü işi: 0.5 x 720 = 360 sayfa. Hız 240 olduğu için 360/240 = 1.5 saat çalışma (mola yok). Toplam Planlanan Süre: 28 + 1.5 = 29.5 saat.

İdeal senaryodaki süreyi bulmak.

5

İki senaryo arasındaki farkı al.

41.25 - 29.5 = 11.75 saat. 0.75 saat = 45 dakika. Sonuç: 11 saat 45 dakika.

Sorunun istediği kısalma miktarını bulmak.

Anahtar Kavram

İşçi Problemleri ve Döngüsel İşlemler

İpuçları

1

Cihazların '3 saat çalışma + 1 saat mola' düzenini 4 saatlik bir blok (döngü) olarak düşünün. Her döngüde ne kadar iş yapıldığını hesaplayın.

2

Önce L cihazı hiç bozulmasaydı işin kaç döngüde biteceğini bulun. Sonra L cihazının bozulduğu 6. saate kadar yapılan işi çıkarıp, kalan işi sadece K ve M cihazlarının hızıyla (yine döngüleri dikkate alarak) hesaplayın.

3

İdeal durumda iş 7.5 döngüde (29.5 saat) biter. Gerçek durumda 6. saatte 1200 sayfa bitmiştir. Kalan 4200 sayfayı K+M (hız: 160) tamamlayacaktır. K+M'nin bir döngüsü 480 sayfadır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, mola sürelerinin cihazlara göre farklılaştığı (senkronize olmayan) bir senaryo ile çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Toplam işi 'birim iş' üzerinden değil, saatlik hızlar üzerinden denklem kurarak da çözebilirsiniz, ancak mola sürelerini her tam sayı katında manuel eklemeniz gerekir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 18Soru →

Bir kalkınma ajansı, 'Kırsal Kalkınma Destek Programı' kapsamında üç farklı kategoride hibe desteği sağlamaktadır. Proje kategorilerine göre verilen hibe tutarları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Proje Kategorisi	Hibe Tutarı
Küçük Ölçekli	60.000 TL
Orta Ölçekli	80.000 TL
Büyük Ölçekli	150.000 TL

Program kapsamında toplam 25 projeye hibe verilmiş ve 2.700.000 TL bütçenin tamamı dağıtılmıştır. Her kategoriden en az bir proje desteklendiği bilinmektedir.

Buna göre, destek sağlanan Orta Ölçekli proje sayısı kaçtır?

5

6

7

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Desteklenen Orta Ölçekli proje sayısı 6'dır.

Kurulan

2o + 9b = 120

denklemi ve

k = 3.5b - 35

bağıntısı incelendiğinde; proje sayılarının pozitif tam sayı olması gerekliliği sadece

b=12

değerinde sağlanır. Bu durumda orta ölçekli proje sayısı

o = 6

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenleri tanımla ve denklem sistemini kur.

Küçük:

k

, Orta:

o

, Büyük:

b

olsun.
1)

k + o + b = 25

2)

60.000k + 80.000o + 150.000b = 2.700.000

Problemdeki verileri matematiksel ifadelere dökmek gerekir.

2

Para denklemini sadeleştir.

Her terimi 10.000'e böl:

6k + 8o + 15b = 270

.

Büyük sayılarla işlem yapmayı kolaylaştırmak için sadeleştirme yapılır.

3

Birinci denklemden

k

'yı çekip ikinci denklemde yerine yaz (Yok etme metodu).

k = 25 - o - b

6(25 - o - b) + 8o + 15b = 270

150 - 6o - 6b + 8o + 15b = 270

2o + 9b = 120

Değişken sayısını azaltarak çözüme yaklaşmak için.

4

Elde edilen

2o + 9b = 120

Diophant denklemini tam sayı şartlarına göre analiz et.

2o = 120 - 9b

.

2o

ve

120

çift sayı olduğu için

9b

çift olmalı, yani

b

çift sayı olmalıdır (

2, 4, 6...

).
Ayrıca

k > 0

olduğu için

o + b < 25

olmalıdır.

Proje sayıları pozitif tam sayı olmak zorundadır.

5

Olası

b

değerlerini dene ve

k

'nın pozitiflik şartını kontrol et.

o = 60 - 4.5b

ve

k = 25 - (o + b) = 3.5b - 35

.

k > 0

olması için

3.5b > 35

yani

b > 10

olmalıdır.

b

çift sayı ve

b > 10

şartını sağlayan tek uygun değer,

o

'yu negatif yapmayan

b=12

'dir.

b=12

için:

o = 60 - 4.5(12) = 60 - 54 = 6

.

Denklem sisteminin tek bir geçerli tam sayı çözümü vardır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde, denklem sayısı bilinmeyen sayısından az olduğunda (Diophant denklemleri), değişkenlerin tam sayı olma şartı ve problemdeki kısıtlamalar (örneğin k>0) kullanılarak tekil çözüm bulunur.

Soru 19Soru →

Bir konferans salonundaki katılımcılar koltuklara üçerli oturduğunda 5 katılımcı ayakta kalmaktadır. Eğer katılımcılar koltuklara dörderli oturursa 2 koltuk tamamen boş kalmakta ve bir koltukta da sadece 2 katılımcı oturmaktadır.

Buna göre, konferans salonundaki katılımcı sayısı kaçtır?

38

44

50

56

62

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Konferans salonundaki katılımcı sayısı 50'dir.

Soruda verilen iki farklı oturma düzeni aynı katılımcı sayısını ifade etmektedir. Koltuk sayısına

x

denilerek kurulan

3x + 5 = 4(x-3) + 2

denkleminden koltuk sayısı 15 bulunur. Bu değer yerine konulduğunda katılımcı sayısı 50 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Salondaki koltuk sayısına

x

diyelim. Birinci durumu (üçerli oturma) matematiksel ifadeye dökelim.

Katılımcı Sayısı =

3x + 5

Her koltukta 3 kişi var ve 5 kişi ayakta kalıyor.

2

İkinci durumu (dörderli oturma) analiz edelim. 2 koltuk boş ve 1 koltukta 2 kişi var ise, tamamen dolu (4 kişinin oturduğu) koltuk sayısını bulalım.

Tam Dolu Koltuk Sayısı =

x - 2 - 1 = x - 3

Toplam

x

koltuktan, 2 tanesi boş ve 1 tanesi tam dolu değil. Geriye kalanlar 4 kişiliktir.

3

İkinci durum için katılımcı sayısını ifade edelim.

Katılımcı Sayısı =

4(x - 3) + 2

Tam dolu koltuklardaki kişiler (

4(x-3)

) ile kısmen dolu koltuktaki 2 kişinin toplamıdır.

4

İki durumu birbirine eşitleyerek

x

değerini bulalım.

3x + 5 = 4(x - 3) + 2 \Rightarrow 3x + 5 = 4x - 12 + 2 \Rightarrow 3x + 5 = 4x - 10 \Rightarrow x = 15

Katılımcı sayısı her iki durumda da aynıdır.

5

Bulunan koltuk sayısını (

x=15

) herhangi bir denklemde yerine koyarak katılımcı sayısını hesaplayalım.

Katılımcı Sayısı =

3(15) + 5 = 45 + 5 = 50

Sonuç sağlama:

4(15-3) + 2 = 4(12) + 2 = 48 + 2 = 50

.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde 'sıra/koltuk' soruları çözülürken, tam dolu olmayan ve boş olan birimlerin toplam sayıdan çıkarılarak denklemin kurulması esastır.

İpuçları

1

Koltuk sayısına bir değişken (örneğin 'x') atayarak başlayın ve her iki durum için toplam kişi sayısını bu değişken cinsinden yazın.

2

İkinci durumda dörderli oturulduğunda, tamamen dolu olan koltuk sayısı toplam koltuk sayısından eksiktir. Hem boşları hem de tam dolmayan koltuğu 'x'ten çıkarmayı unutmayın.

3

Dörderli oturma düzeninde: (x - 2 boş - 1 yarı dolu) tane koltukta 4'er kişi, kalan 1 koltukta ise 2 kişi vardır. Denklemi buna göre kurun:

4(x-3) + 2

.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanan 'Merdiven basamaklarını ikişer çıkıp üçer inme' sorularını çözerek denklem kurma yeteneğinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerden giderek (deneme yanılma): 50 kişi olsa, 3'erli oturunca

50 = 3 \times 16 + 2

(uymaz, 5 artmalı).

50 = 3 \times 15 + 5

(uyar, 15 koltuk). Şimdi 15 koltukla ikinci durumu dene: 2 boş, 1 tanesinde 2 kişi, kalan 12 tanesi 4 kişi.

12 \times 4 + 2 = 50

. Tuttu.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 20Soru →

Bir Teknokent yönetimi, bünyesinde geliştirilen Ar-Ge projelerine 'Proje Teşvik Programı' kapsamında kademeli hibe desteği sağlamaktadır. Bu programa göre, bir projenin onaylanan bütçesinin;

* İlk 50.000 TL'lik kısmı için %80,
* Bunu aşan kısmı için ise %50

oranında hibe desteği verilmektedir.

Programa başvuran K ve L firmalarının projeleri ile ilgili şunlar bilinmektedir:

* L firmasının onaylanan proje bütçesi, K firmasının bütçesinden 40.000 TL fazladır.
* L firmasına sağlanan toplam hibe desteği tutarı, K firmasına sağlanan tutardan %25 fazladır.
* Her iki firmanın proje bütçesi de 50.000 TL'nin üzerindedir.

Buna göre, K firmasının onaylanan proje bütçesi kaç TL'dir?

110.000

130.000

150.000

160.000

170.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 130.000

Cevap

K firmasının onaylanan proje bütçesi 130.000 TL'dir.

Kademeli destek hesaplamasında, 50.000 TL'yi aşan bütçeler için genel formül '15.000 + 0,5x' şeklindedir. L firmasının bütçesi K'den 40.000 TL fazla olduğundan, L'nin aldığı destek K'den tam olarak 20.000 TL (40.000'in %50'si) fazladır. Bu 20.000 TL'lik fark, K firmasının aldığı toplam desteğin %25'ine (yani 4'te 1'ine) denk gelmektedir. Buna göre K'nin destek tutarı 80.000 TL olmalıdır (20.000 / 0,25). Formülde yerine koyarsak: 15.000 + 0,5k = 80.000 => 0,5k = 65.000 => k = 130.000 TL bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Hibe desteği hesaplama fonksiyonunu tanımla.

50.000 TL üzeri bir bütçe (x) için Destek(x) = (50.000 × 0,80) + (x - 50.000) × 0,50 = 40.000 + 0,5x - 25.000 = 15.000 + 0,5x

Her iki proje de limitin üzerinde olduğu için kademeli hesaplama formülü tek bir doğrusal denkleme indirgenir.

2

K ve L firmalarının bütçeleri arasındaki ilişkiyi kur.

K firmasının bütçesi = k olsun. L firmasının bütçesi = k + 40.000

Soruda L'nin bütçesinin K'den 40.000 TL fazla olduğu belirtilmiştir.

3

Her iki firma için destek tutarlarını formüle et.

Destek(K) = 15.000 + 0,5k
Destek(L) = 15.000 + 0,5(k + 40.000) = 15.000 + 0,5k + 20.000 = 35.000 + 0,5k

Adım 1'deki formülde x yerine ilgili bütçe değerlerini koyarak destek miktarlarını buluruz.

4

Destek tutarları arasındaki %25'lik farkı denkleme dök.

Destek(L) = 1,25 × Destek(K)
35.000 + 0,5k = 1,25 × (15.000 + 0,5k)

Soruda L'nin desteğinin K'den %25 fazla olduğu belirtilmiştir. Bir sayının %25 fazlası, o sayının 1,25 ile çarpımına eşittir.

5

Denklemi çözerek k değerini bul.

35.000 + 0,5k = 18.750 + 0,625k
35.000 - 18.750 = 0,625k - 0,5k
16.250 = 0,125k
k = 16.250 / 0,125 = 130.000

Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kademeli (Parçalı) Fonksiyon Problemleri ve Yüzde Hesapları

İpuçları

1

Her iki proje de 50.000 TL limitini geçtiği için, her ikisi de ilk 50.000 TL için sabit bir destek (40.000 TL) alır. Değişken kısım sadece limiti aşan miktardır.

2

Bütçesi x olan bir firma için toplam destek fonksiyonunu D(x) = 40.000 + (x - 50.000) * 0.50 şeklinde yazabilirsiniz. Bunu sadeleştirin.

3

Sadeleşmiş fonksiyon D(x) = 15.000 + 0.5x olur. L firmasının desteği D(k+40.000) ve K firmasının desteği D(k)'dır. Aralarındaki oran 1.25'tir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, elektrik faturalarındaki kademeli tarife (ilk 150 kWh düşük, sonrası yüksek tarife) sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Fark üzerinden çözüm: L bütçesi K'den 40.000 TL fazladır. Limit aşımı bölgesinde oldukları için bu 40.000 TL'lik fark, L'ye ekstra 20.000 TL (40.000 * 0.5) destek kazandırır. Soruda bu farkın, K'nin desteğinin %25'i olduğu söyleniyor. Yani K'nin desteğinin 4'te 1'i 20.000 TL'dir. O halde K'nin toplam desteği 80.000 TL'dir. 80.000 TL desteğe ulaşmak için: 40.000 TL (ilk dilim) + 40.000 TL (ikinci dilim). İkinci dilimin 40.000 TL olması için 80.000 TL ek bütçe gerekir (80.000 * 0.5 = 40.000). Toplam bütçe = 50.000 + 80.000 = 130.000 TL.

Tahmini Süre:2m 30s

Sayı Problemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm